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Integrales multiples

Integrales dobles sobre rectángulosIntegrales dobles sobre regiones más generalesIntegrales dobles en coordenadas polaresAplicaciones de las integrales dobles

Gilberto Arenas Díaz

Escuela de MatemáticasUniversidad Industrial de Santander

Segundo semestre de 2011

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 / 3 3

Integrales dobles sobre rectángulos

De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de unavariables, se va a considerar una función de dos variables de�nida sobre unrectángulo cerrado

R = [a; b]� [c; d] =�(x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

y se supone inicialmente que f (x; y) � 0.

La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

Integrales dobles sobre rectángulos

De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de unavariables, se va a considerar una función de dos variables de�nida sobre unrectángulo cerrado

R = [a; b]� [c; d] =�(x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).

Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

Integrales dobles sobre rectángulos

De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de unavariables, se va a considerar una función de dos variables de�nida sobre unrectángulo cerrado

R = [a; b]� [c; d] =�(x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

Integrales dobles sobre rectángulos

De manera similar a como se realizó con intergrales para funciones de unavariables, se va a considerar una función de dos variables de�nida sobre unrectángulo cerrado

R = [a; b]� [c; d] =�(x; y) 2 R2 j a � x � b; c � y � d

y se supone inicialmente que f (x; y) � 0. La grá�ca de f es una super�cie conecuación z = f (x; y).Intentemos hallar el volumen del sólido S descrito por

S =�(x; y; z) 2 R3 j 0 � z � f (x; y) ; (x; y) 2 R

:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 / 3 3

El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.

[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

�ij

�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:

[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

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�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

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G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:

Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

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�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

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��A.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

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�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

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�ij

��A.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

�ij

�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

�ij

�es f

�x�ij ; y

�ij

��A.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

�ij

�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

�ij

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es f�x�ij ; y

�ij

��A.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulo.[a; b] se divide en m subintervalor [xi�1; xi] de longitud �x = (b� a)=m:[c; d] se divide en n subintervalor [yj�1; yj ] de longitud �y = (d� c)=n:Se forman así subrectángulos Rij = [xi�1; xi]� [yj�1; yj ] cada uno con área�A = �x ��y.

Si se elige un punto muestral�x�ij ; y

�ij

�en cada Rij , entonces el volumen del

prisma o columna de base Rij y altura f�x�ij ; y

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��A.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 3 / 3 3

Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la sumade los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo lagrá�ca de z = f (x; y).

La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor, luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la sumade los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo lagrá�ca de z = f (x; y).

La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor, luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la sumade los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo lagrá�ca de z = f (x; y).

La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor, luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la sumade los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo lagrá�ca de z = f (x; y).

La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor, luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la sumade los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo lagrá�ca de z = f (x; y).

La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor,

luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

Se obtiene una aproximación del volumen de S por medio de

V �mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

La suma anterior se conoce como suma doble de Riemann, representa la sumade los volúmenes de las columnas y es una aproximación al volumen bajo lagrá�ca de z = f (x; y).

La intuición nos dice que si m y n son más grandes, entonces la aproximaciónes mejor, luego se espera que

V = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 4 / 3 3

De�niciónLa integral doble de f sobre el rectángulo R esZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A

si existe el límite.

Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de laelección de

�x�ij ; y

�ij

�en Rij .

El punto�x�ij ; y

�ij

�puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede

ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij), en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (�xij ; �yij)�A

oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:

Si f (x; y) � 0, entoncesZZ

R

f (x; y) dA representa el volumen de S.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 3 3

De�niciónLa integral doble de f sobre el rectángulo R esZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A

si existe el límite.

Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de laelección de

�x�ij ; y

�ij

�en Rij .

El punto�x�ij ; y

�ij

�puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede

ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij), en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (�xij ; �yij)�A

oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:

Si f (x; y) � 0, entoncesZZ

R

f (x; y) dA representa el volumen de S.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 3 3

De�niciónLa integral doble de f sobre el rectángulo R esZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A

si existe el límite.

Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de laelección de

�x�ij ; y

�ij

�en Rij .

El punto�x�ij ; y

�ij

�puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede

ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij),

en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (�xij ; �yij)�A

oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:

Si f (x; y) � 0, entoncesZZ

R

f (x; y) dA representa el volumen de S.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 3 3

De�niciónLa integral doble de f sobre el rectángulo R esZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A

si existe el límite.

Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de laelección de

�x�ij ; y

�ij

�en Rij .

El punto�x�ij ; y

�ij

�puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede

ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij), en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (�xij ; �yij)�A

oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:

Si f (x; y) � 0, entoncesZZ

R

f (x; y) dA representa el volumen de S.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 3 3

De�niciónLa integral doble de f sobre el rectángulo R esZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A

si existe el límite.

Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de laelección de

�x�ij ; y

�ij

�en Rij .

El punto�x�ij ; y

�ij

�puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede

ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij), en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (�xij ; �yij)�A

oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:

Si f (x; y) � 0, entoncesZZ

R

f (x; y) dA representa el volumen de S.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 3 3

De�niciónLa integral doble de f sobre el rectángulo R esZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f�x�ij ; y

�ij

��A

si existe el límite.

Si f es continua sobre R este límite existe y es independiente de laelección de

�x�ij ; y

�ij

�en Rij .

El punto�x�ij ; y

�ij

�puede ser cualquier punto en el rectángulo Rij , puede

ser el punto medio (�xij ; �yij) o el extremo (xij ; yij), en dichos casos laexpresión para la integral queda:ZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (�xij ; �yij)�A

oZZ

R

f (x; y) dA = l��mm;n!1

mXi=1

nXj=1

f (xij ; yij)�A:

Si f (x; y) � 0, entoncesZZ

R

f (x; y) dA representa el volumen de S.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 5 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:

y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZR

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

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�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA �

f�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A

+f�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A

+f�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A

+f�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=

�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12

= � 958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA �

f�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A

+f(1; 2)�A+f�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A

+f�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A

+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=

�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12

= � 634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Ejemplo

(a). Utilice la regla del punto medio con m = n = 2 para estimarZZR

�x� 3y2

�dA, donde R = [0; 2]� [1; 2].

(b). Estime la integral anterior utilizando los puntos extremos de cadasubrectángulo y compare el resultado con el obtenido en la parte (a).

Solución.

(a). x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, �x1 = 1=2, �x2 = 3=2, �x = 1:y0 = 1, y1 = 3=2, y2 = 2, �y1 = 5=4, �y2 = 7=4, �y = 1=2:ZZ

R

�x�3y2

�dA � f

�12 ;

54

��A+f

�12 ;

74

��A+f

�32 ;

54

��A+f

�32 ;

74

��A

=�� 6716 �

13916 �

5116 �

12316

�� 12 = �

958 = �11;875:

(b).

ZZR

�x�3y2

�dA � f

�1; 32

��A+f(1; 2)�A+f

�2; 32

��A+f(2; 2)�A

=�� 23

4 � 11�194 � 10

�� 12 = �

634 = �15;75:

Más adelante encontraremos que el valor exacta de la integral esR 20

R 21

�x� 3y2

�dydx = �12:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 6 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectángulo

El valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.

Si f (x; y) � 0, la ecuaciónA (R)� fprom =

ZZR

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R.

LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA

=1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2�

=�

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Valor promedio de una función en un rectánguloEl valor promedio de una función f de dos variables de�nida en un rectánguloR se de�ne por

fprom =1

A (R)

ZZR

f (x; y) dA

donde A (R) es el área de R.Si f (x; y) � 0, la ecuación

A (R)� fprom =ZZ

R

f (x; y) dA;

esto es, el volumen del sólido que yace debajo de la grá�ca de f es igual al dela caja con base R y altura fprom.

Ejemplo

Calcular el valor promedio de f (x; y) =p1� x2 en R = [�1; 1]� [�2; 2].

Solución.Observe que z =

p1� x2 representa la mitad superior del cilindro de radio 1 y

altura 4 que yace sobre el rectángulo R. LuegoZZ

R

p1� x2dA = 1

2��4 = 2�.Ahora,

fprom =1

A (R)

ZZR

p1� x2dA = 1

8� 2� = �

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 7 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j.

Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.

Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Propiedades de las integrales dobles

1

ZZR

[f (x; y) + g (x; y)] dA =

ZZR

f (x; y) dA+

ZZR

g (x; y) dA

2

ZZR

kf (x; y) dA = k

ZZR

f (x; y) dA

3 Si f (x; y) � g (x; y), para todo par (x; y) 2 R, entoncesZZR

f (x; y) dA �ZZ

R

g (x; y) dA:

En particular,

����ZZR

f (x; y) dA

���� � ZZR

jf (x; y)j dA.

4 Si R =nSi=1

Ri y A (Ri \Rj) = 0, para i 6= j. Entonces

ZZR

f (x; y) dA =nXi=1

ZZRi

f (x; y) dA:

5 Si f es continua en R, f es integrable sobre R.Esta condición puede ser debilitada por (�).

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 8 / 3 3

Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy

Teorema (de Fubini)Si f es continua en el rectángulo R = [a; b]� [c; d], entoncesZZ

R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:

(�) En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,f es discontinua sólo en un número �nito de curvas uniformes y existenintegrales iteradas.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy

Teorema (de Fubini)Si f es continua en el rectángulo R = [a; b]� [c; d], entoncesZZ

R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:

(�) En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,f es discontinua sólo en un número �nito de curvas uniformes y existenintegrales iteradas.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy

Teorema (de Fubini)Si f es continua en el rectángulo R = [a; b]� [c; d], entoncesZZ

R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:

(�) En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,f es discontinua sólo en un número �nito de curvas uniformes y existenintegrales iteradas.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy

Teorema (de Fubini)Si f es continua en el rectángulo R = [a; b]� [c; d], entoncesZZ

R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:

(�) En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,f es discontinua sólo en un número �nito de curvas uniformes y existenintegrales iteradas.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy

Teorema (de Fubini)Si f es continua en el rectángulo R = [a; b]� [c; d], entoncesZZ

R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:

(�) En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,f es discontinua sólo en un número �nito de curvas uniformes y existenintegrales iteradas.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Integrales iteradas

Z b

a

A(x) dx =

Z b

a

"Z d

c

f(x; y) dy

#dx

Z d

c

A (y) dy =

Z d

c

"Z b

a

f(x; y) dx

#dy

Teorema (de Fubini)Si f es continua en el rectángulo R = [a; b]� [c; d], entoncesZZ

R

f(x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

f(x; y) dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x; y) dxdy:

(�) En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R,f es discontinua sólo en un número �nito de curvas uniformes y existenintegrales iteradas.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 9 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx

=

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx

=

�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.

R = [0; 1]��0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx

=

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx

=

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx

= 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplos

Ejemplo

EncuentreR 20

R 21

�x� 3y2

�dy dx:

)Z 2

0

Z 2

1

�x� 3y2

�dy dx =

Z 2

0

�Z 2

1

�x� 3y2

�dy

�dx

=

Z 2

0

h�xy � y3

�i21dx =

Z 2

0

(x� 7) dx =�x2

2� 7x

�20

= �12:

EjemploCalcular el volumen del sólido acotado por la super�cie z = sen y, los planosx = 1, x = 0, y = 0, y = �

2 y el plano xy.R = [0; 1]�

�0; �2

�y z = f (x; y) = sen y:

V =

ZZR

sen y dA =

Z 1

0

Z �=2

0

sen y dy dx =

Z 1

0

[� cos y]�=20 dx =

Z 1

0

dx = 1:

Estas dos integrales pueden realizarse en el otro orden de integración.G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 0 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:

Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy

=

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy

=

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy

=

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy

=

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy

=

�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

Ejemplo

Evaluar la integral iteradaR 40

R 20xpy dx dy:Z 4

0

Z 2

0

xpy dx dy =

Z 4

0

�x2

2

py

�20

dy =

Z 4

0

2py dy =

�4

3y3=2

�40

=32

3:

Observe que se puede utilizar el otro orden de integraciónZ 2

0

Z 4

0

xpy dy dx =

Z 2

0

�2

3xy3=2

�40

dx =

Z 2

0

16

3x dx =

�8

3x2�20

=32

3:

Ejemplo

Evaluar la integralZZ

R

y sen (xy) dA donde R = [1; 2]� [0; �] :

)ZZ

R

y sen (xy) dA =

Z �

0

Z 2

1

y sen (xy) dx dy =

Z �

0

[� cos (xy)]21 dy

=

Z �

0

(cos y � cos 2y) dy =�sen y � 1

2sen 2y

��0

= 0:

Observe que en el otro orden de integración el proceso es más complicado.G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 1 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y),

entonces el teorema de Fubini quedaZZR

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx

=

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

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4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx

=

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

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4

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= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx

=

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

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4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

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#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

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#dx =

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Z b

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g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

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Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�

=

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3

�30

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4

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= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

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c

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#dx

=

Z b

a

g (x)

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c

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Z b

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En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

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Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

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4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

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c

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#dx =

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c

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Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�

=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

En el caso especial donde f (x; y) se puede escribir como el producto de dosfunciones donde una depende de x y la otra depende de y, esto esf (x; y) = g (x)h (y), entonces el teorema de Fubini quedaZZ

R

f (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

g (x)h (y) dy dx =

Z b

a

"Z d

c

g (x)h (y) dy

#dx

=

Z b

a

g (x)

"Z d

c

h (y) dy

#dx =

Z d

c

h (y) dy

Z b

a

g (x) dx:

En conclusiónZZR

g (x)h (y) dA =

Z b

a

g (x) dx

Z d

c

h (y) dy, donde R = [a; b]� [c; d] :

Ejemplo

Z 3

0

Z 2

1

x2y3dy dx =

�Z 3

0

x2dx

��Z 2

1

y3dy

�=

�x3

3

�30

�y4

4

�21

= (9)

�4� 1

4

�=135

4:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 2 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales

Sea D una región acotada de R2 y sea

f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)

una función de dos variables.

Sea R un rectángulo tal que D � R yde�namos la función

F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =

�f (x; y) si (x; y) 2 D0 si (x; y) 2 RnD

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales

Sea D una región acotada de R2 y sea

f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)

una función de dos variables.Sea R un rectángulo tal que D � R yde�namos la función

F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =

�f (x; y) si (x; y) 2 D0 si (x; y) 2 RnD

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales

Sea D una región acotada de R2 y sea

f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)

una función de dos variables.Sea R un rectángulo tal que D � R yde�namos la función

F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =

�f (x; y) si (x; y) 2 D0 si (x; y) 2 RnD

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Integrales dobles sobre regiones más generales

Sea D una región acotada de R2 y sea

f : D �! R(x; y) 7�! z = f (x; y)

una función de dos variables.Sea R un rectángulo tal que D � R yde�namos la función

F : R �! R(x; y) 7�! z = F (x; y)

F (x; y) =

�f (x; y) si (x; y) 2 D0 si (x; y) 2 RnD

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 3 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�, entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I. D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD.

Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�, entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I. D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�,

entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I. D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�, entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I. D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�, entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I.

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�, entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I. D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

Si la integral doble de F existe sobre R, entonces se de�ne la integral doblede f sobre D medienteZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA:

Observe que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límites deD. Sin embargo, si f es continua en D y la curva límite de D tiene un �buen

comportamiento�, entonces se puede demostrar queZZ

R

F (x; y) dA existe y,

por lo tanto,ZZ

D

f (x; y) dA existe.

Región del tipo I. D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo I

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 4 / 3 3

A �n de evaluarZZ

D

f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un

rectángulo R = [a; b]� [c; d] que contiene a D, y sea F la función queconcuerda con f en D y que es cero fuera de D.

Entonces, por el teorema deFubini ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx

Observe que F (x; y) = 0 si y < g1 (x) ó y > g2 (x) porque entonces (x; y) estáfuera de D. Por lo tantoZ d

c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

A �n de evaluarZZ

D

f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un

rectángulo R = [a; b]� [c; d] que contiene a D, y sea F la función queconcuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema deFubini ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx

Observe que F (x; y) = 0 si y < g1 (x) ó y > g2 (x) porque entonces (x; y) estáfuera de D. Por lo tantoZ d

c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

A �n de evaluarZZ

D

f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un

rectángulo R = [a; b]� [c; d] que contiene a D, y sea F la función queconcuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema deFubini ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx

Observe que F (x; y) = 0 si y < g1 (x) ó y > g2 (x) porque entonces (x; y) estáfuera de D. Por lo tantoZ d

c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

A �n de evaluarZZ

D

f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un

rectángulo R = [a; b]� [c; d] que contiene a D, y sea F la función queconcuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema deFubini ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx

Observe que F (x; y) = 0 si y < g1 (x) ó y > g2 (x) porque entonces (x; y) estáfuera de D.

Por lo tantoZ d

c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

A �n de evaluarZZ

D

f (x; y) dA cuando D es una región de tipo I, se elige un

rectángulo R = [a; b]� [c; d] que contiene a D, y sea F la función queconcuerda con f en D y que es cero fuera de D. Entonces, por el teorema deFubini ZZ

D

f (x; y) dA =

ZZR

F (x; y) dA =

Z b

a

Z d

c

F (x; y) dy dx

Observe que F (x; y) = 0 si y < g1 (x) ó y > g2 (x) porque entonces (x; y) estáfuera de D. Por lo tantoZ d

c

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

F (x; y) dy =

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 5 / 3 3

En consecuencia se tiene que:

Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :Algunos ejemplos de regiones tipo II

Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar queZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :Algunos ejemplos de regiones tipo II

Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar queZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :

Algunos ejemplos de regiones tipo II

Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar queZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :Algunos ejemplos de regiones tipo II

Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar queZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :Algunos ejemplos de regiones tipo II

Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar que

ZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

En consecuencia se tiene que:Si f es continua en una región D del tipo I tal que

D = f(x; y) j a � x � b; g1 (x) � y � g2 (x)g

entonces ZZD

f (x; y) dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

f (x; y) dy dx:

Región del tipo II. D = f(x; y) j c � y � d; h1 (y) � x � h2 (y)g :Algunos ejemplos de regiones tipo II

Si se usan los métodos que se emplearon antes, se puede demostrar queZZD

f (x; y) dA =

Z d

c

Z h2(y)

h1(y)

f (x; y) dx dy

donde D es una región del tipo II.G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 6 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :

Solución. ZZD

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx

=

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx

= [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0

= �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx:

Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx

=

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx

=1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemplosEjemplo

Evalue la integralZZ

D

x dA, donde D = f(x; y) j 0 � x � �; 0 � y � senxg :Solución. ZZ

D

x dA =

Z �

0

Z sen x

0

x dy dx =

Z �

0

[xy]sen x0 dx

=

Z �

0

x senx dx = [senx� x cosx]�0 = �:

Ejemplo

Evalue la integralR 10

R xx2xy dy dx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x

x2xy dy dx =

Z 1

0

�xy2

2

�xx2dx

=1

2

Z 1

0

x�x2 � x4

�dx =

1

2

Z 1

0

�x3 � x5

�dx

=1

2

�x4

4� x

6

6

�10

=1

24:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 7 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy

=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx.

Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental.

Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.

Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g

=�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx

=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx

=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx

=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploObserve que la región de integración se puede escribir también comoZ 1

0

Z py

y

xy dx dy=

Z 1

0

�x2

2y

�pyy

dy=1

2

Z 1

0

y�y�y2

�dy=

1

2

�y3

3� y

4

4

�10

=1

24:

Ejemplo

Si se intenta evaluar la integralR 80

R 23pyex

4

dx dy, se enfrenta a la tarea de

evaluarRex

4

dx. Pero es imposible hacerlo en términos �nitos, puesto que noes una función elemental. Así que se debe cambiar el orden de integración.Observe que

D = f(x; y) j 0 � y � 8; 3py � x � 2g =

�(x; y) j 0 � x � 2; 0 � y � x3

:

Luego la integralZ 8

0

Z 2

3py

ex4

dxdy=

Z 2

0

Z x3

0

ex4

dydx=

Z 2

0

hyex

4ix30dx=

Z 2

0

x3ex4

dx=

�1

4ex

4

�20

=1

4

�e16�1

�:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 8 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx:

Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx

=

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx

=1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y.

Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx

=

Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx

=

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

EjemploEvaluar la integral iterada

R 10

R x2x3ydydx: Observe que la región de integración es

)Z 1

0

Z x2

x3y dy dx =

Z 1

0

�y2

2

�x2x3dx

=1

2

Z 1

0

�x4 � x6

�dx =

1

2

�x5

5� x

7

7

�10

=1

35:

EjemploHalle el volumen del tetraedro acotado por los planos y = 0, x = 0, z = 0 yz = 1� x� y. Iniciemos dibujando los planos dados

V =

Z 1

0

Z 1�x

0

(1� x� y) dy dx =Z 1

0

�y � xy � y

2

2

�1�x0

dx

=

Z 1

0

"(1� x)� x (1� x)� (1� x)

2

2

#dx

=

Z 1

0

�1

2x2 � x+ 1

2

�dx =

�1

6x3 � 1

2x2 +

1

2x

�10

=1

6:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 1 9 / 3 3

Propiedades en regiones más generales

Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidaspara regiones más generales.

Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, laintegral tiene dos interprestaciones a saber. Si = f(x; y; z) j 0 � z � 1; (x; y) 2 Dg, entoncesZZ

D

1 dA = V ol () = A (D) :

Si D es del tipo I, entoncesZZD

1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :

Si m � f (x; y) �M para todo punto (x; y) 2 D, entonces

m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Propiedades en regiones más generales

Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidaspara regiones más generales.

Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, laintegral tiene dos interprestaciones a saber. Si = f(x; y; z) j 0 � z � 1; (x; y) 2 Dg, entoncesZZ

D

1 dA = V ol () = A (D) :

Si D es del tipo I, entoncesZZD

1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :

Si m � f (x; y) �M para todo punto (x; y) 2 D, entonces

m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Propiedades en regiones más generales

Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidaspara regiones más generales.

Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, laintegral tiene dos interprestaciones a saber. Si = f(x; y; z) j 0 � z � 1; (x; y) 2 Dg, entoncesZZ

D

1 dA = V ol () = A (D) :

Si D es del tipo I, entoncesZZD

1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :

Si m � f (x; y) �M para todo punto (x; y) 2 D, entonces

m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Propiedades en regiones más generales

Las propiedades de las integrales dobles vistas para rectángulos son válidaspara regiones más generales.

Si se integra la función constante f (x; y) = 1, sobre la región D, laintegral tiene dos interprestaciones a saber. Si = f(x; y; z) j 0 � z � 1; (x; y) 2 Dg, entoncesZZ

D

1 dA = V ol () = A (D) :

Si D es del tipo I, entoncesZZD

1 dA =

Z b

a

Z g2(x)

g1(x)

dy dx =

Z b

a

(g2 (x)� g1 (x)) dx = A (D) :

Si m � f (x; y) �M para todo punto (x; y) 2 D, entonces

m �A (D) �ZZ

D

f (x; y) dA �M �A (D) :

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 0 / 3 3

Ejemplo

Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:

Puede observarse que�1 � cosx sen y � 1;

y dado que la función exponencial es creciente, se tiene que

e�1 � ecos x sen y � e:

En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D

ecos x sen ydA � e �A (D) :

Como A (D) = 4�, entonces

4�

e�ZZ

D

ecos x sen ydA � 4�e:

G A D (U IS ) In t e g r a l e s d o b le s S e g u n d o s em e s t r e d e 2 0 1 1 2 1 / 3 3

Ejemplo

Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:Puede observarse que

�1 � cosx sen y � 1;

y dado que la función exponencial es creciente, se tiene que

e�1 � ecos x sen y � e:

En consecuencia,

e�1 �A (D) �ZZ

D

ecos x sen ydA � e �A (D) :

Como A (D) = 4�, entonces

4�

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Considere el disco D con centro en el origen y radio 2:Puede observarse que

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