interest rate term structure modeling using free … · 4-97 hasta 28-5-99) estimando las funciones...

INTEREST RATE TERM STRUCTURE MODELING USING FREE-KNOT SPLINES

Journal of Business 79 (6), 2006

Fernando Fernández Rodríguezffernandez@dmc.ulpgc.es

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

INTRODUCCIÓNLa ETTI (curva de tipos cupón cero) es la relación entre el conjunto de rendimientos los bonos cupón cero y sus respectivos vencimientosLos precios de los bonos son observados con errores ideosincráticos debido a la falta de liquidez, bid-ask spread, efectos de impuestos, etc. Son necesarios procedimientos de suavizado de los datos sesgados y ruidosos que proporciona el mercado. Suponer que el descuento es función del tiempo de maduración por medio de un pequeño número de parámetros.Criterios buen modelo: suavidad, flexibilidad y estabilidad

1 2( ) ( , , ,..)tR tt e d t a aδ −= =

Métodos de estimación de la ETTI

Splines McCulloch (1971, 1975)Estima la función de descuento

Funciones truncadas

( ) tR tt eδ −=2 3

0 1 2 3 1

2 30 1 2 3 1 2

2 30 1 2 3 2

0

( )

a a t a t a t t n

t b b t b t b t n t n

c c t c t c t n t T

δ

⎧ + + + ≤ ≤⎪

= + + + ≤ ≤⎨⎪ + + + ≤ ≤⎩

2 3 3 30 1 2 3 1 1 2 2( ) ( ) ( )t t t t t n t nδ α α α α β β+ += + + + + − + −

33 ( ) ,

( )0 ,t n si t n

t nsi t n+

⎧ − ≥− = ⎨

<⎩

Problema de elección de nudos de McCulloch

Número de nudos interiores DEMASIADOS NUDOS: sobreparametrización, la ETTI puede presentar formas muy curvadas en las maduraciones muy largas. POCOS NUDOS: se pierde flexibilidad.Problemas de elección óptima de la posición de los nudos : La función de descuento es muy sensible a colocación de los nudos. McCulloch: cada intervalo contienen igual número de vencimientos observadosLos cambios en la elección de los nudos implican cambios significativos en el nivel de la curva forward. Los modelos de splines pueden conducir a estimaciones inestables de los tipos forward que fluctúan tomando incluso valores negativos. Los tipos forward no convergen asintóticamente.

2k n≅ −

Métodos paramétricos de estimación de la ETTI

NELSON Y SIEGEL (1987): las tasas instantáneas forward convergen asintóticamente

Los tipos spot cupón cero consistentes con los anteriores tipos forward son

Svensson (1994, 1995)

/ /0 1 2 2( ) ( ) (1 )t ty t e e

tτ ττβ β β β− −= + + − −

1 1 2/ / /0 1 2 3

1 2

( ) t t tt tf t e e eτ τ τβ β β βτ τ

− − −= + + +

/ /0 1 2( ) t ttf t e eτ τβ β β

β− −= + +

Críticas a Nelson y Siegel y Svenson

Falta de estabilidad: cambiado una sola observación en el tramo largo, puede cambiar dramáticamente toda la ETTI, particularmente en las maduraciones cortas.Los splines son más flexibles pues en los segmentos individuales pueden moverse casi de forma independiente unos de otros.Los splines producen mejores ajustes.

ROBUSTEZ DEL MODELO DE SVENSSON

REGRESIÓN NO PARAMÉTRICA:

SPLINE SUAVIZADORES

Fisher, Nychka y Zervos (1995): controla el nivel de oscilación de la curva forward

Waggoner (1997): distinto grado de penalización para variabilidad de la curva forward según la maduración bonos

Anderson y Sleath (1999):

2 2

01

ˆ( ( )) ( ´́ ( ))KK t

i ii

P P h f t dtλ=

− +∑ ∫

2 2

01

ˆ( ( )) ( ) ( ´´( ))KK t

i ii

P P f t f t dtλ=

− +∑ ∫0.1 0 1

( ) 100 1 101000 10

tt t

tλ

≤ ≤⎧⎪= ≤ ≤⎨⎪ ≤⎩

2 2

01

ˆ ( )( ) ( ) ( ´́ ( ))KK ti i

i i

P P f t f t dtDM

λ=

−+∑ ∫

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA ETTI EN

DIFERENTES PAISES

Smoothing splines (Fischer-Nychka-Zervos). (Bills: Precios ponderados, Bonos: precios)

USA

Smoothing splines (Anderson y Sleath), antes Svensson. (TIR)UK

Smoothing splines (Fischer-Nychka-Zervos). Antes Svensson. (TIR)

Suecia

Smoothing splines (Fischer-Nychka-Zervos) (Precios)Japón

Nelson y Siegel (antes de 1995), Svensson (Precios ponderados)España

Svensson (TIR)Noruega

Nelson y Siegel (Precios ponderados)Italia

Svensson (TIR)Alemania

Nelson y Siegel, Svensson (Precios ponderados)Francia

Nelson y Siegel (Precios ponderados)Finlandia

Svensson (Precios ponderados)Canadá

Nelson y Siegel, Svensson (Precios ponderados)Bélgica

PROCEDIMIENTO DE AJUSTE Y ERROR MINIMIZADOBANCO CENTRAL

ESTIMACION DE LA ETTI CON SPLINES DE NUDOS LIBRES

La colocación óptima de los nudos mejoraría los ajustes de la ETTI con el mismo número de parámetros. PROBLEMA DEL LETARGO en la selección automatica de los nudos de spline:Los nudos consecutivos tienden a confundirse con el algoritmo de Gauss-Newton

( )2

1 2 1 1, , 1

( ) ..... ( ) ..... ( )i j k

nr r r

i r k kn i

Min t t t t n t nα β

δ α α α β β+ +=

− − − − − − − − −∑

ALGORITMO GENÉTICO DE SELECCIÓN

AUTOMÁTICA DE LOS NUDOS DE SPLINE

1) Formar población inicial de cromosomas

2) Estimamos coeficientes y por MCO en la función de pérdida

3) Formamos un ranking de cromosomas. 4) Se selecciona la mitad de los cromosomas mejor adaptados. 5) Se recombinan los cromosomas.

1 .... ka n n b< < < <

( )2

1 2 1 1, 1( ) ..... ( ) ..... ( )

i j

nr r r

i r k ki

Min t t t t n t nα β

δ α α α β β+ +=

− − − − − − − − −∑

[ ]1( ,...., ) , kkn n n a b= ∈

ALGORITMO GENÉTICO DE SELECCIÓN AUTOMÁTICA DE LOS NUDOS DE SPLINE

6) Se mutan, aleatoriamente, los genes de algunos cromosomas 7) Se reordenan, de nuevo, los genes dentro de los cromosomas 8) Se eliminan aquellos cromosomas que junten nudos

9) Se reponen los cromosomas eliminados. 10) Tras la reposición se ordenan nuevamente los cromosomas.

11) Se vuelve al paso (2) y se repite el proceso.

1j jn n ε−− ≤

RESULTADOS EMPÍRICOS Bonos Cupón Cero Del Euromercado de 40 vencimientos

entre 1 día y 10 años (7-4-97 al 28-5-99) 541 días

1 day, 1 week, 1, 2, 3, 6 and 9 months, 1 year, 1 year and 3, 6 and 9 months, 2 year, 2 year and 3, 6 and 9 months, 3 year, 3 year and 3, 6 and 9 months, 4 year, 4 year and 3, 6 and 9 months, 5 year, 5 year and 3, 6 and 9 months, 6 year, 6 year and 3, 6 and 9 months,7 year, 7 year and 3, 6 and 9 months,8 year, 8 year and 6 months,9 year, 9 year and 6 months, 10 year.Nº nudos de McCulloch 40 2 4k ≅ − ≅

Estimación curva spot por splines cuadráticos con 4 nudos interiores. Fecha 27-3-98

Estimación curva spot por splines cúbicos con 4 nudos interiores. Fecha 27-3-98

Suma cuadrática media de residuos en los 541 días (desde 7-4-97 hasta 28-5-99) estimando las curvas spot.

Splines cuadráticos ( 2=r ) Splines cúbicos ( 3=r )

Número de nudos Splines de nudos libres

con GA

Splines de McCulloch Splines de nudos libres

con GA

Splines de McCulloch

k=1 0.0380 0.0761 0.0312 0.0499

k=2 0.0198 0.0479 0.0177 0.0355

k=3 0.0118 0.0338 0.0117 0.0301

k=4 0.0085 0.0301 0.0081 0.0248

k=5 0.0066 0.0249 0.0065 0.0221

k=6 0.0051 0.0225 0.0057 0.0159

k=7 0.0045 0.0160 0.0052 0.0123

k=8 0.0039 0.0120 0.0048 0.0113

k=9 0.0035 0.0116 0.0047 0.0083

k=10 0.0032 0.0091 0.0047 0.0079

Suma cuadrática media de residuos en los 541 días (desde 7-4-97 hasta 28-5-99) estimando las funciones de descuento

Splines cuadráticos ( 2=r ) Splines cúbicos ( 3=r )

Número de nudos Splines de nudos libres

con GA

Splines de McCulloch Splines de nudos libres

con GA

Splines de McCulloch

k=1 0.1361 e-4 0.3173 e-4 1.317 e-5 1.637 e-5

k=2 0.0681 e-4 0.1525 e-4 5.238 e-6 1.030 e-5

k=3 0.0227 e-4 0.0912 e-4 2.7175 e-6 8.919 e-6

k=4 0.0099 e-4 0.0936 e-4 9.951 e-7 5.226 e-6

k=5 0.0053 e-4 0.0549 e-4 4.845 e-7 5.045 e-6

k=6 0.0033 e-4 0.0469 e-4 3.212 e-7 3.068 e-6

k=7 0.0024 e-4 0.0194 e-4 2.030 e-7 3.000 e-6

k=8 0.0017 e-4 0.0229 e-4 1.446 e-7 1.7116 e-6

k=9 0.0014 e-4 0.0143 e-4 1.132 e-7 1.050 e-5

k=10 0.0012 e-4 0.0087 e-4 9.833 e-8 4.025 e-3

Extensiones del Trabajo I: NUDOS OPTIMOS Y LA CURVATURA DE LAS TASAS INSTANTANEAS FORWARD

Determinación de la posición óptima de los nudos en el modelo de Fisher, Nychka y Zervos (1995)Los modelos de splines para modelizar la estructura temporal conduce a estimaciones inestables de los tipos forwardLa nueva función de pérdida

( )2

'' 2

1 0

ˆ( , ) ( ) ( ) ( ( ))Tn

i ii

S f t t f t dtλ δ δ δ λ=

= − +∑ ∫

( ) ( )2 3

23

1 1

ˆ ˆˆ ˆ( , ) ( ) ( ) ( )n N

i i ki k

NS f t t f tTλ δ δ δ λ

= =

= − + ∆∑ ∑

Ajuste de la función de descuento y curvatura de la tasa instantánea forward

Tabla 8:

Las tasas instantáneas forward se estimaron con splines cúbicos el 27/3/98

Ajuste de la curva de descuento )(ˆ tδ y curvatura de la tasa instantánea forward ˆ ( )f t .

Para [ ]0.001, 0.017λ∈ AG mejora McCulloch tanto en bondad del ajuste como en curvatura.

λ 0 0.001 0.005 0.01 0.015 0.017 0.020 0.025 0.05 0.1 0.5

Mc AG AG AG AG AG AG AG AG AG AG AG

SCR 25.97 e-6 1.32 e-6 1.97 e-6 5.46 e-6 10.5 e-6 19.92 e-6 20.47 e-6 29.70 e-6 30.2 e-6 32. 26 e-6 34.67 e-6 77.4 e-6

GOOD 0.787 e-6 4 e-8 5.98 e-8 0.165 e-6 0.317 e-6 0.603 e-6 0.620 e-6 0.9 e-6 0.915 e-6 0.9777 e-

6

1.051 e-6 2.346 e-6

EUBANK 0.954 e-6 4.85 e-8 7.25 e-8 0.200 e-6 0.384 e-6 0.731 e-6 0.752 e-6 1.091 e-6 1.109 e-6 1.185 e-6 1.273 e-6 2.843 e-6

Curvatura 4.049 e-6 5.19 e-6 3.536 e-6 2.127 e-6 1.45 e-6 1.003 e-6 0.855 e-6 0.357 e-6 0.333 e-6 0.269 e-6 0.218 e-6 0.075 e-6

Cromos 0.8000

2.8500

4.9000

6.9500

2.0880

3.1045

4.0949

4.7855

1.9058

3.0968

4.1095

5.0912

1.8012

3.0267

4.2406

5.6613

1.7526

3.0464

4.3305

6.2818

1.8896

2.7786

4.7874

6.8012

1.6390

3.1634

4.7527

6.3250

3.2369

4.3340

6.4154

8.2760

3.2047

4.4048

6.4505

8.2537

3.0295

4.5324

6.4909

8.3177

2.9296

3.8455

4.7460

6.7003

6.0975

7.6870

7.9878

8.8495

Figura 7: Curvas forward obtenidas por el modelo de nudos libres 27/3/98. (1), (2) y (3) corresponden a varios valores delparámetro de suavizado 0 , 0.017, 0.5yλ λ λ= = =

Comparación de curvaturas con el modelo de McCulloch

Tabla 10

Las diez peores fechas de la curvatura del modelo de McCulloch son mejoradas en ajuste y curvatura por el AG con 01.0=λ

Dates: 173 226 246 248 249 251 280 318 384 396

AG 116.5 e-6 141.5 e-6 2.87 e-6 0.99 e-6 5.00 e-6 20.18 e-6 12.61 e-6 72.48 e-6 5.52 e-6 129.0 e-6 RSS

McCulloch 378.4e-6 346.8e-6 8.03 e-6 22.44 e-6 17.11 e-6 49.04 e-6 43.46 e-6 147.5e-6 31.69 e-6 371.5e-6

AG 3.53 e-6 4.29 e-6 0.08 e-6 0.30 e-6 0.15 e-6 0.61 e-6 0.38 e-6 2.20 e-6 0.17 e-6 3.91 e-6 Goodness

McCulloch 11.47 e-6 10.51 e-6 0.24 e-6 0.68 e-6 0.52 e-6 1.48 e-6 2.83 e-6 4.47 e-6 0.96 e-6 11.26 e-6

AG 4.28 e-6 5.20 e-6 0.11 e-6 0.04 e-6 0.04 e-6 0.74 e-6 0.46 e-6 2.66 e-6 0.20 e-6 4.74 e-6 Eubank

McCulloch 13.90 e-6 12.74 e-6 0.29 e-6 0.82 e-6 0.63 e-6 1.80 e-6 3.43 e-6 5.42 e-6 1.16 e-6 13.65 e-6

AG 11.1 e-6 13.60 e-6 0.71 e-6 0.55 e-6 0.51 e-6 2.35 e-6 3.65 e-6 4.55 e-6 1.11 e-6 16.22 e-6 Curvatura

McCulloch 56.3 e-6 18.8 e-6 4.51 e-6 2.40 e-6 2.89 e-6 8.38 e-6 6.05 e-6 5.46 e-6 4.67 e-6 25.74 e-6

Extensiones del Trabajo II: Splines exponenciales de Vasicek y Fong (1982) con Algoritmos Genéticos

Un spline exponencial es una función exponencial a trozos

Objetivos:Consigue tasas forward con comportamiento asintóticoAlfa es el valor límite de las tasas forward

Captan muy bien la forma de los factores de descuento

Problemas:Sensibilidad a la colocación de los nudos.

Requiere complejas técnicas no lineales de estimación.

2 30 1 2 3( ) t t td t a a e a e a eα α α− − −= + + + ( )3( ) 1t ne α− −

+−

'( )lim ( ) lim( )t t

d tf td t

α→∞ →∞

= − =

( )3t ne eα α− −

+−

Extensiones del Trabajo III:

Predicción de la ETTISe puede predecir el comportamiento futuro de la ETTI prediciendo los parámetros de un modelo suyo.¿Cuál es el modelo más adecuado desde el punto de vista predictivo?Splines McCulloch (1971, 1975)

Nelson y Siegel (1987):

Svensson (1994, 1995)

/ /0 1 2( ) t ttf t e eτ τβ β β

β− −= + +

3 3 31 2 3 1 1 2 2( ) ( ) ( )t t t t n t nδ α α α β β+ += + + + − + −

1 1 2/ / /0 1 2 3

1 2

( ) t t tt tf t e e eτ τ τβ β β βτ τ

− − −= + + +

Predicción de la ETTI:Gestión de carteras de renta fija

Gestión activa de carteras de renta fija:Apuestas sobre no cambios en la curva de tipos.Apuestas sobre el nivel de los tipos de interés.Apuestas basadas en la pendiente y movimientos de la curva de tipos.

Tomar posiciones sobre predicciones sobre los tipos de interés:

• Tomar posiciones sobre las ineficiencias del mercado (Bondpicking). Estas estrategias buscan identificar activos infravalorados o sobre valorados.

Predicción de la ETTI: Modelo de Nelson y Siegel

/ /0 1 2( ) t ttf t e eτ τβ β β

β− −= + +