introduction à la commande application à la commande optimale cherfaoui nourrdine

Introduction à la commande

Application à la

Commande Optimale

Cherfaoui Nourrdine

Introduction à la commande Optimale

Partie I L’automatique Représentation des systèmes Notions sur la régulation PID Notion de robustesse

Partie II Espace d’état Commande par placement de pôles Observateur Commande par placement de pôles et observateur

Partie III Commande LQ Observateur optimale Commande LQG LQG/LTR

Introduction à la commande Optimale

Partie IL’automatiqueReprésentation des systèmesNotions sur la régulation PIDNotion de robustesse

L’automatique

But Historique Compromis et contraintes Quelques applications Les outils

But

L'automatique est une discipline qui traite de la modélisation, de l'analyse etde la commande des systèmes dynamiques. Elle a pour fondementthéorique les mathématiques.

L'état désiré du système est nommé la consigne. L’automatique consiste doncà commander un système en fonction d’une (ou plusieurs) consigne donnéepar l’utilisateur (ou un autre système).

Un exemple ‘simple’ est celui du régulateur de vitesse dans une automobile, il permet de la maintenir à une vitesse constante, prédéterminée par le conducteur. Dans ce cas, la consigne et une vitesse.

Oulalalala, le régulateur !Politiquement par correct

-III av J.C KTESIBIOS : Régulateur de niveau

1630 : DREBELLRégulateur de Température

1788 : WATTRégulateur de vitesse

1800 : LAPLACETransformée

1877 : ROUTH

1894 : HURWITZ

1899 HEAVISIDE

1932 : NYQUIST

1934 : BLACK

1940 : BODE

1942 ZIEGLER NICHOLSRéglage optimale du PID

Approche Fréquentielle

Approche Temporelle

Historique

On est même à la limiteDe l’approche spacio-

Temporelle ! 3 siècle av JC !J’en étais resté à Wienner !

Performance

Coût en

Energie Compromis Performance/Energie + on va vite + cela coût cher

Ex : Pour allez de 0 à 100Km : - Pied a fond -> Rapide mais consommation élevée - Faible accélération -> Plus lent mais la consommation est réduite

Contrainte Performance/Robustesse + on va vite + le système doit être robuste

Performance

Robustesse

UAV Dassault Aviation ‘’petit duc’’

MP 89 CA ‘’METEOR’’

Automobile : ABS/ESP/ASR….

installation d’épuration de gaz de haut-fourneau

Quelques applications

Les outils

Et l’huile de coude

Représentation des systèmes

Notion de Système Systèmes Linéaires invariants La transformée de Laplace Fonction de transfert Domaine de stabilité

Notion de Système

Un système (G) est défini par un ensemble de relation entre ses entrées et ses sorties

Exemple

Système : Résistance Entrée : i (t) Courant dans la résistance Sortie : u (t) Tension au borne de la résistanceRelation : u (t) = R*i(t)

Système : Masse ressortEntrée : F(t) Effort sur la masseSortie : x(t) Position de la masseRelation : m.a(t) = m.g +F(t)+Fressort(t)

Système y(t)u(t)

Systèmes Linéaires invariants

Rq : On parle aussi de système : LTI (Linear Time Invariant)

Linéaire

Soit un système G qui a pour entrée ui(t) une réponse yi(t). Si ce système est linéaire alors il vérifie la propriété suivante:

Invariant

Un système est invariant si un décalage dans le temps du signal d'entrée, entraîne le même décalage sur le signal de sortie

iii

iii

iii

yuG

NiRytuG

...

;;)(.

Je n’ai pas encore vu si tu en parlais,Mais tu peux parler du théorème de

Superposition (juste en parler)

dgtf

pFptf

ffpfLpdt

fdL

ffLpfL

gLbfLagbfaL

dttfepfLpF

pt

nnn

n

pt

)(*)(g)(t)f(;gL*fL gfL

nconvolutio deProduit

)(.lim)(lim

: finaleValeur

)0('...)0(.

)0(.'

:Dérivation

....

: Linéarité

)()()(

:par définie F,fonction laest

0, tréel nombrepour tout définie f,fonction uned' Laplace de ée transformla

0

1

0

Rappel : La transformée de LAPLACE

Tables de Transformées de Laplace

Echelon (t)

Impulsion )(

t

n

j

j

j

m

i

i

i tydt

datu

dt

db )(.)(.

Fonction de transfert

On peut écrire la relation entrée sortie du système sous la forme d’une relation entre les dérivés successive des entrées/sorties :

En appliquant la transformation de Laplace la relation entrée sortie se réécrit: (avec p la variable de Laplace et des conditions initiales nulles)

nn

mm

n

j

jj

m

i

ii

n

j

jj

m

i

ii

papaa

pbpbb

pA

pB

pa

pbpG

pU

pY

pYpapUpb

......

......

)(

)(

.

.)(

)(

)(

)(..)(..

10

10

Après avoir réalisé un bref sondage,Ils ont vu ces choses … en spé.

Donc, ça ne fera pas de mal

nn

mm

papaa

pbpbb

pA

pBpG

pU

pY

......

......

)(

)()(

)(

)(

10

10

La fonction de transfert d’un système LTI est de la forme :

Vocabulaire

G(p) est la fonction de transfert du SystèmeL’ordre du système est nLes racines de B(p) sont les Zéros du SystèmeLes racines de A(p) sont les Pôles du Système

Si m< n le système est Strictement Propre Si m=n le système est Propre Si m>n le système est Impropre

Systèmeu(t) y(t)

transfertdeFonction H(p)

elleimpulsionn RéponseH(t)

)(*)()(

)()()(

pUpHpY

Laplace

tutHty

Remarque

Systèmeu(t) H(t)

Impulsion

Exemple 1 : Système du premier ordre

Un système du premier ordre a une fonction de transfert de la forme :

1

0

1

0

1

10

10

en zeroun àG

en poleun àG

sinon propret strictemen ,0 si propreest

1 ordred'est : système le

.)(

)()(

)(

)(

b

bp

a

ap

b

paa

pbb

pA

pBpG

pU

pY

Etude d’un système du premier ordre stable

Etudions la réponse à un échelon d’un système du premier ordre de la forme:

2,7.0,5.01

1)(

i

i

ppour

p

ppG

On observer que :

-Tous les pôles du système sont négatifs.

-Le système est stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée).

-Le système est d’autant plus rapide que le pole est grand en valeur absolue.

0Stable

Rapide Lent

Reel

Etude d’un système du premier ordre instable

Etudions la réponse à un échelon d’un système du premier ordre de la forme:

5.0,7.01

1)(

i

i

ppour

p

ppG

On observer que :

-Tous les pôles du système sont positifs.

-Le système n’est pas stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée).

-Le système est d’autant plus rapide que le pôle est grand en valeur absolue

0Stable

Rapide Lent

ReelInstable

Exemple 2 : Système du second ordre

Un système du second ordre a une fonction de transfert de la forme :

0../ :G de Pôles

0../ :G de Zeros

sinon propret strictemen ,0 si propreest

2 ordred'est : système le

..

..

)(

)()(

)(

)(

2210

2210

2

2210

2210

papaap

pbpbbp

b

papaa

pbpbb

pA

pBpG

pU

pY

0.4375,1

)(2

cpour

cpp

cpG

Etudions la réponse à un échelon d’un système du second ordre de la forme:

Les pôles de ce système sont : c=1 Pôles -0.5 ± 0.866i c=0.4375 Pôles -0.5 ± 0.433i

On observer que :

-Tous les pôles du système sont à parties réelles négatives.

-Le système est oscillant.

-Le système est stable (dans le sens entrée bornée / sortie bornée).

0Stable

Rapide Lent

ReelInstable

ImaginaireOscillant

Domaine de stabilité

Un système est stable si et seulement les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelle strictement négative :

0)(0)(/ stableest )(

)()( ppAp

pA

pBpG

+ Dynamique

+Oscillant

Instable

Remarque sur les zeros

Un système qui a un zéro à partie réelle positive est un système à non minimum de phase

Influence d’un zéros dans le demi plan droit

MATLAB 6.5 SCILAB 4.0

Affichage des pôles et zéros : MATLAB : pzmap SCILAB : plzr

Un ami : la fonction help

Création de fonction de transfert : MATLAB : tfSCILAB : rapport de polynôme

Notions sur la régulation PID

Les régulateur tout ou rien

Régulation PID P PI PID

Méthode de Ziegler Nichols

Tu peux aussi ajouter une couche surLa stabilité en soulignant que dans certains

Cas, le dénominateur de la fonction de transfertEn Boucle fermée peut s’annuler.

Les régulateur tout ou rien

Régulateur simple du type chauffage : Si T > Seuil1 on coupe le chauffage Si T < Seuil2 on chauffe

La structure est simple mais on ne peut pas définir de consigne précise

Si l’écart entre les deux seuils est faible l’actionneur sera très sollicité

Contenu riche en harmoniqueCommutations rapides

Sur des systèmes d’électroniquesDe puissance, cela peut entrainer

Des pertes importantes.

Régulateur de type proportionnel

Régulateur système-

+ uε yy*

)(*))()((*)( * tKtytyKtu pp

La commande est proportionnel à l’erreur entre la consigne et la sortie du système

Le régulateur le plus simple

BO

BO

y

yet

BOy

SysKBO

SysKy

yy

p

p

11

1

*Soit

**

**

*

*

p

pp

K

K

p

KpBOp

yLBO

p

yp

Sys

Exemple

1

1(t) lim

1

1

11

1 lim

1*

1

1* lim

)(*1

1* lim(p)*p lim(t) lim

K Regulateur

unitaireEchelon ;1

1

:

t

0p0p

*

0p0pt

p

*

Pour une consigne en échelon et un système qui n’a pas de pôle en 0 (pas de comportement intégrateur) on à toujours une erreur statique si l’on utilise un régulateur de type P

Kp ↑ : -l’erreur statique ↓ -vitesse ↑

Régulateur de type proportionnel intégrale

Régulateur système-

+ uε yy*

dttKtKdttytyKtytyKtu ipip )()(*))()(())()((*)( **

Pour ne pas avoir d’erreur statique on ajoute une action intégrale

0(t) lim

0

1

1*

p

)K*(p1

1 lim

1*

1

1* lim

)(*1

1* lim(p)*p lim(t) lim

p

)K*(p Regulateur

unitaireEchelon ;1

1

:

t

p0p0p

*

0p0pt

p

*

p

KpBOp

yLBO

p

K

yp

Sys

Exemple

i

i

L’utilisation de l’action intégrale annule l’erreur statique

Erreur statique = 0

Régulateur de type proportionnel intégrale dérivée

Régulateur système-

+ uε yy*

)()()(*

))()(())()(())()((*)( ***

tdt

ddttKtK

tytydt

dKdttytyKtytyKtu

ip

dip

Pour augmenter la dynamique est compenser les inerties dues au tempsmort on à ajouter une action dérivée au régulateur

Régulateur 1/(p+1)-

+ uε yy*Retard de

1s

Méthode de Ziegler Nichols

K système-

+ uε yy*

1- On boucle le système avec un gain K variable et une entrée en échelon 2- On augmente K jusque à ce que le système soit oscillant

Tu

K=Ku

)**

11(*)(

)*

11(*)(

)(

:

di

p

ip

p

TpTp

KpRPID

TpKpRPI

KpRP

Régulateur

P PI PIDKp 0.5Ku 0.45Ku 0.6KuTi 0.83Tu 0.5TuTd 0.125Tu

Action Avantage Désavantage

P Dynamique Ne permet pas d’annuler une erreur statiqueI Annulation d’erreur

statique Action lenteD Action très dynamique Sensibilité aux bruits

résumé

Avantage des régulateur PID :-Structure simple-Pas besoin de modélisation pour la synthèse du régulateur

Désavantage des régulateur PID-Réglage empirique-Pas de garantie sur les performances et la stabilité

Notion de robustesse

MargeModuleGainPhase

Régulateur système-

+ uε y

BO

BO

y

yet

BOy

RGBO

RGy

yy

11

1

Soit

**

*

*

BO-

+ ε

y*

Y*y

BO est le transfert en boucle ouverte

L’étude de la BO ( Régulateur*Système) nous donne des informations sur la stabilité du système. Pour cela on dispose d’un certain nombre d’outils :

Diagramme de Bode

Deux courbes : 1/ Gain (Db) en fonction de la pulsation (en échelle log) 2/ Phase (° ou rad) en fonction de la pulsation (en échelle log)

Diagramme de Nyquist

En abscisse : La partie réel de BOEn ordonnée : La partie imaginaire de BO

L’abscisse curviligne est la pulsation (en rad/s)

On remarque que si la BO passe dans le diagramme de Nyquist par le point (-1,0) on a :

BO

BO

y

yalorsBOSi

11

*

Le point (-1,0) est dit point critique, on va donc chercher à s’en éloigner

Définition de marge de stabilité

Critère du revers

Le système est stable si le lieu de Nyquist en BO parcouru dans le sens des fréquences croissantes, laisse le point critique (-1,0) constamment à sa gauche

Réel

Imaginaire

-1

Stable

R

I

-1

Limite de stabilité

R

I

-1

Instable

-180°

dB

°

A B

Marge de phase

Marge de gain

R

I

-1

A

B

Marge de phase

1/(Marge de gain)

Marge de Gain :C’est la garantie que la stabilité sera maintenue malgré les variationsimprévues du gain en boucle ouverte (BO) dues aux perturbations. (MG = 8 à 15 dB)

Marge de Phase :C’est une garantie que la stabilité persistera malgré l’existence de retardsparasites dont on n’a pas tenu compte dans le réglage. (Mph = 30 à 50 °)

Point Critique

Marge de module :

la marge de module représente la plus petite distance de la BO au point critique et correspond donc au rayon du cercle centré sur le point critique qui tangente la

courbe      

BOSavec

SBOM

wwM

1

11min1min

R

I

-1

Marge de module

Une dernière motivation pour la marge de module :

La synthèse d’un régulateur R se fait sur un modèle de système G qui n’est pas exactement égale au système physique réel ( dynamique négligée par exemple)

RGSavec

RG

TRGRG

RG

BO

BO

y

yT

1

1GS.G

1

1T

T11

G1

RG1

RG

11

:etait fermée boucleen transfertdefonction la que vu aOn

G)1.(GG: donc aon

on,modelisati deerreur l'G et sytemedu modéleun GSoit

00

0*

0

0

La fonction S est dite fonction de sensibilité.

La fonction de transfert en boucle fermer T=1-S est dite fonction de Sensibilité complémentaire

RGSavec

SBOM

wwM

1

11min1min

La sensibilité à l’erreur de modélisation sera d’autant plus faible que la marge de module sera grande

exemple

Régulateur système-

+ uε yY*

3

1.*

3

122

pp

pkGRBOkcstRRégulateur

pp

pGSysteme

On peut penser que :-Si l’on augmente k le système sera plus rapide car une petite variation de l’erreur ε produit une forte correction sur la commande.-Et que comme le système G est stable la BF sera stable

Nyquist de la BO

k=2k=2.5K=3K=3.5

Instable

Pour cette exemple si la gain k≥3 le système en BF n’est pas stable

Conclusion :

Toujours vérifier :

-La stabilité d’un système quelque que soit le type de synthèse utilisé -La valeur des marges de gain, phase, module pour tenir compte des erreurs de modélisation

Quelques règles concernant la margeDe phase / marge de gain ? (juste une suggestion)

Introduction à la commande Optimale

Partie IIEspace d'étatCommande par placement de pôlesObservateurCommande par placement de pôles et

observateur

Espace d'état

Exemple : Le moteur électrique

U(t)

E

R

L J

I(t)

....

..

.

'

frotmecafrot

elecelec

KIKKCmJ

rotationenPFD

KKE

riceelectromotcontreForce

EILIRU

OhmdLoi

Si on applique la transformation de Laplace aux équations précédentes on obtient

elecmeca

frot KK

KpJLpRp

pU

ppG

).

)(.(

1

)(

)()(

elecmeca

frot KK

KpJLpRp

pU

ppG

).

)(.(

1

)(

)()(

La fonction G(p) nous donne la relation entre la tension d’alimentation du moteur et sa position mais cette représentation ne nous informe pas sur l’état du moteur:

Courant dans le circuit ElectriqueVitesse de rotation de l arbre

Hors cet état était visible via les équations du système

Info importante car tout excès de courantEst destructeur !!

Si les variables qui nous intéresse pour le moteur sont : La position Angulaire, le courant et la vitesse de rotation on peut des équations précédentes tirer les relations suivantes :

L

KIRUI

J

KIKelecfrotmeca

..

;..

;

Si l’on pose le vecteur x suivant :

I

x

On peut réécrire sous forme matricielle le système d’équation précèdente sous la forme :

U

L

x

L

R

L

KJ

K

J

Fx

elec

mecafrot .10

0

.

0

0

010

Avec ce type de représentation,Il peut être possible, dans certains

Cas de commander indépendammentPlusieurs variables d’état du système

Représentation d'état

On appelle représentation d’état (réalisation d’état) d’un système toute relation de la forme :

pmpnp

mnm

nnn

RERHRy

RGRu

RFRX

uEXHy

uGXFpX

uEXHy

uGXFpXSLI

**

*

*

;;

;

;

sorties de mombre le : p

entréesd' nombre le :m

systemedu dimension la :n soit

sortie deequation l'est ..

systemedu état d'equation l'est ..

..

..

G

F

E

Hx(t)

u(t)

y(t)

Mise sous forme de schéma bloc de la représentation d’état

La mémoire du système

Trajectoires d’état

La solution de l’équation d’état est dite Trajectoire d’état. Par intégration des équations d’état et de sortie, on obtient :

)(.)(.)(.)(

)(.)(.)(

..

..

0

0

0

0

)(

..

0)(

)(

..

0)(

tuEduGHetxHety

duGetxetx

uEXHy

uGXFpXSLI

t

t

tF

IC

ttF

t

t

tF

IC

ttF

Relation entre forme d’état et fonction de transfert

Objectif : Obtenir une relation entre forme d’état et fonction de transfert.

)det(

)det(.).(.

.).()(

..).('..

inversible )(condition la sous..)(

identité matrice .).(

..

aon état d'equation l'sur algebriqueoperation Par

)(..

..

1

1

1

FpI

FpIEGFpIAdjH

EGFIHpGu

y

uEGFIHyouduEXHyor

FpIuGFpIX

IuGXFpI

uGXFpX

pGu

y

uEXHy

uGXFpXSLI

Première fois que je vois cetteNotation. Il faut peut être

La préciser ?

)det(

)det(.).(.)(

FpI

FpIEGFpIAdjHpG

u

y

Les zéros du système sont les racines de

)det(.).(. FpIEGFpIAdjH

Les pôles du système sont les racines de :

)det( FpI

Le système est stable si et seulement si :

0)(0)det( pFpI

Pluralité de la représentation d’état

Remarque sur la pluralité de la représentation d’état

EEHTHGTGFTTFavec

tuEtzHty

tuGtzFtpzSLI

tEutHxty

tGutFxtpxSLI

tEutHTzty

tGuTtFTzTuGtxFTtpz

tEutHxy

tGutFxtpxSLI

T

;;;

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

)()().)(.()(

T.z(t) x(t)que telpassage de matrice une RTet

)()(

)()()( systeme lesoit

11

'

111

n*n

)(

])([

])([

]])([[

])([

])([

.).()(

:est transfertdefonction la SLI' systeme lepour

.).()(

:est transfertdefonction la SLI systeme lepour

1

111

111

1111

111

1

1

pG

EGFpIH

EGTTFpIHTT

EGTTFpITHT

EGTFTTpITTHT

EGTFTTpIHT

EGFpIHpGu

y

EGFpIHpGu

y

La fonction de transfert d’un système est invariante par changement de base

Relation entre fonction de transfert et forme d’état

Objectif : Obtenir une relation entre fonction de transfert et forme d’état

01

n

2

1

10

10

10

;

1

1

;

00

0

0

00

F

: suivante forme la résulteen Il

)(

: simple élémentsen ion decomposit laSoit

......

......

)(

)()(

)(

)(

cEccH

G

p

ccpG

papaa

pbpbb

pA

pBpG

pU

pY

n

n

i i

i

nn

mm

Forme Modale

Les modes du systèmessont dans la matrice F

Rq : Il existe d’autres relations entre Fonction de transfert et représentation d’état

MATLAB 6.5 SCILAB 4.0

tf2ss fonction de transfert vers représentation d’étatss2tf représentation d’état vers fonction de transfert

Et toujours la fonction help

Un exemple Multivariable

2211 ** UTUTY

XHHY

UG

GX

F

FpX

Sys

YYYU

UU

X

XX

Soit

XHY

UGXFpX

XHY

UGXFpX

21

2

1

2

1

222

1

2

1

222

22222

111

11111

0

0

.

..

.

..

Etat augmenté

Conclusion

La représentation des systèmes sous forme d’état fournit une écriture condensée et simple aussi bien dans le cas mono que multi-variable.

L’algèbre des matrices fournit des outils pour une manipulation simple des systèmes:-Changement de base-Construction de système augmenté

Le formalisme d’état permet d’avoir accès à une information plus riche que la simple relation entrée sortie d’une fonction de transfert.

MATLAB et SCILAB donne la possibilité de manipuler facilement des systèmessous forme d’état.

On verra dans la suite l’utilisation de ce formalisme dans la synthèse de loi de commande.

Commande par placement de pôles

La problématique de la synthèse d’un correcteur

Commandabilité / Stabilisabilité Synthèse d’un retour d’état par

placement de pôles Conclusion

Un problème d’automatique :Deux questions :

Problème de la poursuite de la consigne (cible) Problème la stabilité du système

Une synthèse en deux temps 1/ Synthèse d’un régulateur stabilisant 2/ Synthèse finale qui tient compte de la poursuite

Commandabilité

Peut-on amener en un temps fini le système à commander d’un état arbitraire x(t0) à un état désiré x(tf) avec une loi de commande admissible?

Concept de Commandabilité des systèmes

x(t0)

x(tf)

Dire que la commandabilitéPermet d’identifier les variables

D’état que l’on pourra commanderIndépendamment.

J’ai bon ?(J’avoue, la commande dans l’espace

D’état, ça remonte à loin)Je dis ça juste pour leur donner une

Accroche, un but qui permettra de mieuxSuivre la suite

En partant de l’équation de la trajectoire d’état du système on peut obtenir une relation entre le vecteur des commandes, les conditions initiales et finales du système et une matrice C dite matrice de commandabilité du système

GFFGGGFCet

du

du

tt n

t

t n

t

t

ff

f

1

1

0

0 ...),(

)().(

....

)().(

),(

0

0

)(.)(.)),(),(.(),(),(

: aon plein rang deest ),( matrice la Si

),().,()(.)(

0..1

0

commandes desVecteur

0

Initialeet Finale Conditions

0..

0

0

txetxeGFCGFCGFCtt

GFC

ttGFCtxetxe

tFf

tFTTf

ftF

ftF

f

f

On obtient donc une relation qui donne pour tout t une relation pourdéterminer la commande à appliquer. On remarque qu’il existe une infinité de lois de commandes qui vérifient :

),()().( 00

fk

t

t k ttduf

On choisira celle qui sera compatible avec l’objectif de commande que l’on cherche à réaliser (minimisation de l’énergie de commande ou dynamique) .

Propriété

plein rang deest ...G)C(F,

: litécommandabi de

matrice sa siseulement et si ecommandablest

)(.)(.)(

)0()(.)(.)(

: système Le

1

0

GFFGG

tuEtxHty

xxavectuGtxFtpxSLI

n

Sous MATLAB : Matrice de commandabilité : C = ctrb(F,G)Rang d’une matrice : r = rank(C)

Sous SCILABMatrice de commandabilité : C = cont_mat(F,G)Rang d’une matrice : r = rank(C)

D’où vient la matrice de commandabilité ?Comment on s’en sert ?

Comment on identifie les variables d’étatNon commandable ?

Voir si tu pourrais pas, vite fait, ajouterQuelques infos là-dessus ?

Remarque :Toutes les représentations d’état d’un même système ont le même rang de commandabilité.

En effet, si l’on effectue un changement de base T la matrice de commandabilité associée est donnée par :

),(

...

...

...)G,FC(

)(.)(/

1

11

111111

1

GFCT

GFFGGT

GTTFTGFTTTGT

GFGFG

tzTtxT

n

n

n

La commandabilité est un invariant par changement de base

Décomposition selon la commandabilité

Si le système n’est pas complètement commandable, on peut le décomposer comme indiqué sur la figure suivante:

PartieCommandable

PartieNon Commandable

y(t)

Pour toute réalisation (F,G,H,E) d’ordre n tel que Rang(C(F,G))=r < n, on peut toujours effectuer un changement de base :

systemedu escommandablnon modes lescontient

e.commandablsoit )G,(F que Telle

;;0

;0

)()()(

)()()(

: forme la sous systeme le récrire depermet qui

)(.)(

cc

'

c

ccc

c

ccc

cc

F

EEHHHG

GF

FFFavec

tuEtzHty

tuGtzFtpzSLI

SSSavectzStx

Stabilisabilité

Le principe de stabilisabilité a été introduit pour tenir compte du cas des modes non commandables.

La paire (F,G) est dite stabilisable si et seulement si tous les modes non commandable sont asymptotiquement stables

0)(0).det( )( pFIp crn

Il n’y a pas d’explosion de la dynamique des états

Synthèse d’un retour d’état par placement de pôles

)()(.)(

)(.)(.)(

)(.)(.)(

* tytxKtuSC

tuEtxHty

tuGtxFtpxSLI

G

F

E

Hx(t)

u(t)= y*(t) - K.x(t)

y(t)

-K

But: contrôler la valeur de la partie réellePour contrôler la dynamique des variables d’état

Cas de la régulation : y*(t)=0

)().()(

)().()(

Commande) (Systeme commande de Système

)(.)(

commande de Lois

)(.)(.)(

)(.)(.)(

Système

txEKHty

txGKFtpxSC

txKtuLDC

tuEtxHty

tuGtxFtpxSLI

Le système de commande est asymptotiquement stable si et seulement si le gain K vérifie la propriété suivante :

0)(0)det()( pGKFpIDGKF s

La dynamique du système est fixée par les modes de (F-GK). On peut assigner arbitrairement les modes du systèmes de commande si et seulement si le système est commandable :

n

iin

n

ppGKFpI

pp

1

n*m

1

)()det(

: que telRKgain

un trouver urspeut toujoon stabilité, de domaine le dans spécifiés pôlesn .....Soit

Avec openoffice, on n’a plus ce genre de délicatesse !Vive openoffice !

3)),((

100

210

121

),(

)(100)(

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(

432

1)(

23

GFCrangGFC

txty

tutxtx

ppppG

Exemple : Système commandable

La matrice de commandabilité de G et d’ordre 3, le système est donc commandable

04320)det(

432

)

010

001

432

100

010

001

det()det(

23

23

pppFpI

ppp

pFpI

Le système G stable mais oscillant

Car les pôles ont une partie imaginaire symétrique.Quand on construit une transformée de laplace contenantDeux pôles symétriques, on trouve une sinusoide dans le

Domaine temporelle

Objective : rendre le système non oscillant mais sans ralentir son mode le plus rapide via un retour d’état. On veut par exemple que tous les pôles du système commandable soient en -2

]494[

84

123

62

8126))2(()det(on veut

4)3()2(

)

10

01

432

det()det(

))2(()det(/

233

23

3

K

c

b

a

ppppGKFpI

cpbpap

p

p

cbap

GKFpI

pGKFpIcbaK

3))2(()

010

001

8126

det(

)(100)(

)(

010

001

8126

)(

)().()(

)().()(

)(494)(

)(100)(

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(

ppI

txty

txtpx

txEKHty

txGKFtpxSC

txtuLDC

txty

tutxtxSLI

La synthèse du gain K vérifie bien la contrainte sur les pôles que l’on a spécifié.

y*=0Régulation

X0=[15; 10; -5]

Gain de retour d’état

Sys seulSys + Retour d’état

Critère classique:Dépassement max de 20 %

Consigne en poursuite

X0=[0 0 0]

Influence de la recherche de dynamique sur la commande

K1 : pôles : -5 -6 -7K2 : pôles : -1 -2 -3

Le choix de la dynamique doit tenir compte de la limitation sur la commande

Commande nonadmissible

Le réglage K1 est + dynamique

Exemple : Système non commandable

)(0100)(

)(

0

0

0

1

)(

5000

0010

0001

0432

)(2

)(100)(

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(1

txty

tutxtxSys

txty

tutxtxSys

Les systèmes Sys1 et Sys2 ont le même comportement entrée/sortiemais Sys2 possède un état supplémentaire.

3)),((

0432

0001

0010

0100

),(

)(0100)(

)(

0

0

0

1

)(

5000

0010

0001

0432

)(2

GFCRangGFC

txty

tutxtxSys

Le système Sys2 n’est pas commandable

Peut on quand même trouver un gain de retour d’état tel que tous les pôles du système de commande soit en -2 ?

322.488.06*519

6

8.0

1

32519

24513

16520

87

1632248))2(()det(on veut

)520()519()513()7(

)

5000

010

001

432

det()det(

))2(()det(/

234'4

234

4

b

c

a

cb

ba

c

a

pppppGKFpI

cpcbpbapap

p

p

p

dcbap

GKFpI

pGKFpIdcbaK

Le système Sys2 n’étant pas commandable la recherche du gain de retour d’état K n’est pas possible

On peut toujours essayer de trouver,Mais comme un état est non commandable,

Il est non controlable et va rapidement diverger !Entrainant une rapide destruction du système !

Il faut un peu les secouer bordel !!!!

Sous MATLAB : K= place(F,G,pôles) Limitation : Can't place poles with multiplicity greater than rank(G).

Sous SCILABK= ppol(F,G,pôles)

Conclusion

La commande à retour d’état par placement de pôles (commande modale) est relativement simple dans sa mise en œuvres, mais sur des systèmes complexes d’ordre élevé avec des vecteurs d’état qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvres

Probléme 1:Les etats d’un systeme ne sont pas toujours mesurable, le coût des capteurs peut aussi être un frein à la commande par placement de

pôles Une solution Les observateurs

Problème 2: Comment choisir de façon optimale la valeur du gain de retour d’état toute en réalisant un compromis entre la dynamique du système et sa stabilité

Une solution La commande optimale LQ

Mesure de couple par capteur de contraintesTrès cher. On passe effectivement par des

Estimateurs sur les voitures

Observateur

But Observabilité / Détectabilité Synthèse d’un observateur Conclusion

Observateur

Peut-on déterminer l’état d’un système à partir de la connaissance de son comportement d’entrée sortie sur un intervalle de temps fini ?

Concept d’Observabilité des systèmes

Système

Observateur

u(t) y(t)

x(t)

1

2-n11

1

11

22

...F)O(H,

0HFGHF

HGHFG

0HG

00

T

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(),()(

'

1;)()()()()()()(

)()()(

)()(

n

nn

i

j

jjini

HF

HF

H

HGGtup

tpu

tu

tU

typ

tpy

ty

tYavec

tTUtxFHOtY

oud

ituGpHFtxHFtyptHGputHFGutxHFtyp

tHGutHFxtpy

tHxty

Quelle manipulation algébrique! Prétentieux

))()((),()(

:plein rang deest O matrice la siest lemonovariab cas le Dans

)()(),()( : àOn

1 tTUtYFHOtx

tTUtxFHOtY

On peut donc reconstruire l’état du système à partir de ses signaux d’entrée-sortieet de leurs dérivées successives.

plein rang deest ...

F)O(H,

itéObservabild' matrice sa siseulement et si observableest

)(.)(.)(

)0()(.)(.)(

: systéme Le

1

0

nHF

HF

H

tuEtxHty

xxavectuGtxFtpxSLI

Observabilité

Sous MATLAB : O = obsv(F,H)

Sous SCILAB : O = obsv_mat (F,H)

Comment fait-on pour obtenir cette matrice ?

Remarque

Toutes les représentations d’ état d’un même système ont le même rang d’observabilité. En effet, si l’on effectue un changement de base T la matrice d’obervabilité associée est donnée par:

TFHO

TFHTT

FTHTT

HT

FH

FH

H

FHO

tzTtxT

nn

),(......

),(

)(.)(/

11

1

1

L’Observabilité est un invariant par changement de base

Synthèse d’un observateur

)(.)(ˆ.)(

ˆ)0(ˆ))(ˆ)(()(.)(ˆ.)(ˆ

:par donnéssont Ils état.d'

res trajectoileurs rereconstrui de permettent qui dynamique systémes desSont

)(.)(.)(

)0()(.)(.)(

systémes lespour uesasymptotiq rsobservateu Les

0

0

tuEtxHty

xxavectytyMtuGtxFtxpOA

tuEtxHty

xxavectuGtxFtpxSLI

D’où vient cette notation ?

G

F

E

H x(t)y(t)

G

F

E

H

u(t)

M

+-

)(ˆ tx )(ˆ ty

0)(0)det(

: siseulement et si stableuement asymptotiqest r observateuL'

(0)x~.e(t)x~ : donc auraOn

(t)x~H(t)y~x~(0)x~(t)x~MH).-(F(t)x~p

EO

:par décriteest (t)x̂-x(t)(t)x~n observatiod'erreur L'

MH)t-(F

0

pMHFpI n

La dynamique du système est fixée par les modes de (F-MH). On peut assigner arbitrairement la dynamique de l’observateur si et seulement si le système est Observable :

n

iin

n

ppMHFpI

pp

1

P*n

1

)()det(

: que telRMgain

un trouver urspeut toujoon stabilité, de domaine le dans spécifiés pôlesn .....Soit

Décomposition selon l’observabilité

SI le système n’est pas complètement observable, on peut le décomposercomme indiqué sur la figure suivante:

PartieObservable

PartieNon Observable

u(t)y(t)

systemedu observablenon modes lescontient

.observablesoit )F,(H que Telle

;0;;0

)()()(

)()()(

: forme la sous systeme le récrire depermet qui

)(.)(

oo

'

o

oo

o

ooo

o

oo

F

EEHHG

GG

FF

FFavec

tuEtzHty

tuGtzFtpzSLI

SSSavectzStx

Pour toute réalisation (F,G,H,E) d’ordre n telle que Rang(O(H,F))=r < n, on peut toujours effectuer un changement de base :

Détectabilité

Le principe de Détectabilité a été introduit pour tenir compte du cas des modes nonobservable. La paire (H,F) est Détectable si et seulement si tous les modes non observable sont asymptotiquement stables

0)(0).det( pFIp or

exemple

3)),((

001

010

100

),(

)(100)(

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(

432

1)(

23

HFOrangHFO

txty

tutxtx

ppppG

La matrice d’obervabilité de G et d’ordre 3, le système est donc Observable

Objective : Faire la synthese d’un observateur pour le systeme G dont la dynamique soit plus rapide que le pôle le plus rapide du systeme.

Le pôle le plus rapide de G etant en -2 on souhaite par exemple que tous les pôles de l’observateur soit en -5

13

46

10

125432

7523

152

1257515))5(()det(on veut

)432()23()2(

)

10

1

432

det()det(

))5(()det(/

233

23

3

M

acb

cb

c

ppppMHFpI

acbpcbpcp

cp

bp

ap

MHFpI

pMHFpI

c

b

a

M

X0=[-20 ; -20;-20]

L’observateur n’a pas les bonnes C.I.X0=[10;10;10]

Gain de l’observateur

La sortie et l’etat de l’observateur converge bien vers celle du Systeme

Pas mal du tout cet exemple

Simulation avec un Observateur lent dont les pôles sont en -1 M=[-2 -2 1]

Gain de place si tu écris Mt

Sous MATLAB : M= (place(FT,HT,pôles))T

Limitation : Can't place poles with multiplicity greater than rank(H).

Sous SCILABM= (ppol(FT,HT,pôles))T

TTTTTT MHFMHFMHF )()( : que remarqueOn

Conclusion

La synthese d’observateur par placement de pôles (observateur modale) est relativement simple dans sa mise en oeuvre, mais sur des systémes complexes d’ordre élevés avec des vecteurs d’états qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvres

Probléme:Comment choisir la dynamique de l’observateur en fonction du mode

que l’on veut observer Une solution Les observateurs du type Kalman

Commande par placement de pôles et observateur

Hypothèses pour la synthèse Exemple

Hypothese

rObservateu avec

poles deplacement à commande de systemeun construirepeut On : Alors

plien rang de ...G)C(F, eCommandablEst -

plien rang de ...

F)O(H, ObservableEst -

)(.)(.)(

)0()(.)(.)(

Si

1

1

0

GFFGG

HF

HF

H

tuEtxHty

xxavectuGtxFtpxSLI

n

n

Plein Plein Plein

y(t)Système

Observateur

u(t)

-K

)(ˆ.)(

)(.)(ˆ.)(ˆ

ˆ)0(ˆ))(ˆ)(()(.)(ˆ.)(ˆ

)(.)(.)(

)0()(.)(.)(

Systéme

0

0

txKtuLDC

Commande

tuEtxHty

xxavectytyMtuGtxFtxpOA

rObservateu

tuEtxHty

xxavectuGtxFtpxSLI

)(ˆ tx

G

F

E

H x(t)y(t)

G

F

E

H

u(t)

M

+-

)(ˆ tx )(ˆ ty

-K

0)(0)det()(

0)(0)det()(

: siseulement et si stable

uementasymptotiqest r observateuet état d'retour avec commande de système Le

)().()det().det(

00

0det)(P

:est commande de du xystème tiquecaractéris polynôme Le

)(~)(

.0)(

)(~)(

.0)(~

)(

: commande de Système

c

pMHFpIpP

pGKFpIpP

pPpPMHFpIGKFpI

MHF

GKGKF

I

Ipp

tx

txHty

tx

tx

MHF

GKGKF

tx

txp

no

nf

ofnn

n

n

c

3)),((

001

010

100

),(

3)),((

100

210

121

),(

)(100)(

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(

432

1)(

23

HFOrangHFO

GFCrangGFC

txty

tutxtx

ppppG

Le système est Commandable et Observable

Exemple

- Faire la synthese d’un observateur pour le systeme G dont la dynamique soit plus rapide que le pôle le plus rapide du systeme.Le pôle le plus rapide de G etant en -2 on souhaite par exemple que tous les pôles de l’observateur soit en -5

13

46

10

))5(()det(/ 3 MpMHFpI

c

b

a

M

-Rendre le système non oscillant mais sans ralentir son mode le plus rapide via un retour d’état.On veut par exemple que tous les pôles du système de commandable soient en -2

]494[))2(()det(/ 3 KpGKFpIcbaK

Gain de la commande

Gain de l’observateurL’observateur n’a pas les bonnes C.I.X0=[0;0;0]

X0=[-2;-2;-2]

C.I.

Le système de commande avec retour d’état et observateur répond bien à la contrainte de régulation

Conclusion

La Commande à retour d’état par placement de pôles (commande modale) est relativement simple dans sa mise en œuvres, mais sur des systèmes complexes d’ordre élevés avec des vecteurs d’états qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvre.

La synthese d’observateur par placement de pôles (observateur modale) est relativement simple dans sa mise en oeuvre, mais sur des systémes complexes d’ordre élevés avec des vecteurs d’état qui ne sont pas toujours physique on arrive à des limites dans sa mise en œuvre.

Probléme:Comment choisir la dynamique de l’observateur et celle de la

commande en fonction du systeme et du CdC

Une solution :

Les observateurs du type Kalman + La commande LQ Commande LQG

Introduction à la commande Optimale

Partie IIICommande LQObservateur optimale Commande LQG

Commande optimale LQ

Choix du critère Le problème LQ Propriétés Grammien de commandabilité Conclusion

Choix du critère

** Qui dit commande optimale dit critère pour choisir cet optimum **

Le but d’un système de commande est de réaliser :

-Le rejet rapide des perturbations (l’état du système converge rapidement vers sont équilibre après une perturbation)-Minimiser l’énergie pour assurer le suivi de consigne et le rejet des perturbations

On se trouve donc face à une obligation de compromis entre une convergence rapide et une minimisation de l’énergie de commande

1)(1)0(

)(2)(2

1)(1)0(

)()(1

22

2

22

11

11

t

t

etxx

txtxsys

etxx

txtxsys

Rejet des perturbations

Soit deux systèmes avec la même condition initiale(≠0) on souhaite savoiren combien de temps les systèmes vont retourner a l’équilibre.

On constate que

0

22

0

21 )()( dttxdttx

On peut donc dire qu’un rejet rapide de perturbation est respecté par la minimisation de

0

2 )( dttxJ x

Dans le cas multivariable on défini une matrice de pondération Qc (symétrique définie non négative). On peut ainsi affecter un poid différent à chaques composantes du vecteur d’état

0

)(.).( dttxQtxJ cT

x

Energie de commande

De la même façons on peut évaluer l’énergie de commande par :

0

2 )( dttuJ u

Dans le cas multivariable on défini une matrice de pondération Rc (symétrique définie positive). On peut ainsi affecter un poids différent à chaques composantes du vecteur de commande

0

)(.).( dttuRtuJ cT

u

commande la den ponderatio : positive définie symétrique matrice

étatl' den ponderatio : negativenon définie symétrique matrice

)()()()(

)()()()(

0

0 0

c

c

cT

cT

LQ

cT

cT

uxLQ

R

Q

dttuRtutxQtxJ

dttuRtudttxQtxJJJ

Critère de compromis

Des observations précédentes on peut définir un critère de compromis entre l’énergie de commande et la dynamique du système.

Problème LQ

Le problème est de calculer la matrice K qui permet de déterminer le retour d’état u(t)=-K.x(t) qui minimise le critère LQ

)(.)(

)()()()(0

txKtu

dttuRtutxQtxJ cT

cT

LQ

cT

cT

Tc

QPGPGRPFPF

PGRK

avec

txKtu

F

RQ

1

1

c

0

RICCATI de algébriqueequation l' desolution P avec

)(.)(

: commande de loi lapar donnéeest LQ régulation de problèmedu solution La

observable ),Q(et lestabilisab G)(F,-

positive définie symétrique matrice et negativenon définie symétrique matrice

: hypothèses les Avec

Une démonstration simple est disponible dans la référence [3]

éeest verifi detectable G)(F,condition la donc observableest , 3)),rang(O(

éeest verifi lestabilisab G)(F,condition la donc ecommandablest ,3)),((

100/1;10/1;1;

100

010

001

)(100)(

2

2

2

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(

432

1)(

0

23

FQFQ

GFGFCrang

avecRQ

txty

xtutxtx

ppppG

cc

cc

Exemple

Rc=1 K= [0.6314 0.9623 0.1231] ;

Pôles :

-1.7212 -0.4551 + 1.4793i -0.4551 - 1.4793i

Simulation en régulation y*=0

Rc=1/10 K= [2.7229 4.1529 1.0990 ]

Pôles :

-2.8337 -0.9446 + 0.9524i -0.9446 - 0.9524i

En diminuant la pondération sur la commande on accélère le système (les pôles du système on été déplacé plus à gauche) mais la valeur de la commande a augmenté.

Rc=1/100 [9.6215 15.5293 6.7703]

Pôles :

-9.8516 -0.8849 + 0.5569i -0.8849 - 0.5569i

En diminuant la pondération sur la commande on accélère le système maisla valeur de la commande a fortement augmenté.

On diminue R on accélère le Système

Mais le système de commande est-il robuste ?

c

*

c

1c

1

1S :ou d'

)( BO

)()()(

BOu

y

GFpIK

tupBOtw c

GuFpIx

GuxFpI

GuFxpx

Rappel

1)(

)(

:

Analyse de la BO

G

F

E

Hx(t)

u(t) y(t)

K

w(t)

On coupe la boucle

-

y*(t)

Un peu de manipulation algébrique

cc

TTc

T

cc

TTc

T

cc

TTc

TT

Tc

cc

TTTcc

TT

c

TTTc

TTTT

TT

cT

cT

cT

cT

RGFpIQ(-pI-F)GpBORpBOI

RGFpIQ(-pI-F)GpBORpBOI

RGFpIQ(-pI-F)GGFpIKIRK(-pI-F)G

PGRK

RGFpIQ(-pI-F)GGFpIPGRIRPGR(-pI-F)G

GFpIQ(-pI-F)GGFpIPGPGR(-pI-F)GGFpIPGPG(-pI-F)G

GFpI

(-pI-F)G

QPGPGRP(-pI-F)P(pI-F)

pIPPpI

QPGPGRPFPF

11

11

1111

1

111111

1111111

1

1

1

1

)())(1())((

)())(1())((

)())(()(I

: auraon Puisque

)())(()(I

: factoriseon et menbresdeux aux R ajouteOn

)()()(

)(par droite a multiplieOn

par gauche a multiplieOn

RICATTI deequation l' à ajouteOn

0 : àOn

Un peu ! T’es modeste ! (je rigole)Tu as des précisions historique sur l’équation de Ricatti:

D’où elle vient ?

11BO1: lemonovariab cas le Dans

))(1())(( :ou d'

negativenon definie Q

puisque positive-semi definie eHermitienn forme uneest 0)()(

)()())(1())((

)())(1())((

0

c

11

1

1

c

cccT

c

c

cTT

ccTTT

cc

TTT

Tc

cT

cT

S

RpBORpBOI

GpHQpHG

RGpHQpHGpBORpBOI

RGFpIQ(-pI-F)GpBORpBOI

PGRK

QPGPGRPFPF

11BO1

: toujoursaon LQ synthese uned' cas le Dans

c cS

Cela signifie que le lieu de Nyquist de la BO reste toujours à l’extérieur du cercle de rayon 1 centré sur le point critique (-1,0)

R

I

-1

Marge de gain [0.5 +∞]Marge de phase [-60° 60°]

Nyquist de la commande

Exemple

(R=1/10)

Le Nyquist de la commande est toujours à l’exterieur du cercle de rayon 1centré sur le point critique : MM ≥ 1

La synthèse LQ si elle nous garantie des propriétés fortes de robustesse,elle nous impose tout de même le choix des pondérations Qc et Rc qui n’est pas forcement simple.

Dans un premier temps :-On peut imposer d’avoir des matrices diagonales pour limiter le nombre de paramètres. -Fixer une matrice à l’identité et faire varier l’autre.

Mais dans le cas de système complexe d’ordre important on se retrouve devant le même problème que celui de la commande par placement de pôles.

Une solution pour le choix des matrices Qc et Rc a été proposé par Philippe de Larminat : la methode des grammien

Grammien de commandabilité

Dans cette approche on réduit le choix des matrices Qc et Rc à un horizon : Tc

Tc est l’horizon de commande. A partir de ce choix les matrices Qc et Rc sont définies de la façon suivante :

IR

dtGeGeTQ

c

TTFtFt

Cc

C

1

0

Ce choix permet d’avoir les pôles du système de commande LQ à gauche de la verticale d’abscisse -1/Tc

Avec les logiciels :

Sous SCILAB

Resolution de l’equation de Riccati continue :Fonction : RICC

Sous MATLAB

Resolution de l’equation de Riccati continue :Fonction ARE

Resolution du probleme LQ :K=lqr(F,G,Q,R)

Conclusion

La synthèse LQ nous offre une solution simple à la réalisation de régulateur à retour d’état avec comme avantage :

-De réaliser un compromis entre dynamique et coût énergétique-De garantir des propriétés de stabilité de la boucle de régulation

Le choix des matrices de pondération par la méthode des grammien offrentde plus une solution simple pour fixer la dynamique.

Mais comme dans le cas du placement de pôles modale les états du systèmen’étant pas toujours mesurable on doit avoir recours la plupart du temps à l’utilisation d’observateur

Observateur optimale

Observateur de Kalman Propriétés Grammien de commandabilité Conclusion

))()((

))()((

: covariance de matrice deet

t indépendannt mutuelleme systeme,du sortie laet entréel'sur

nulle moyenne de blancs, bruits des et v(t) w(t)avec

)()(.)(

)0()()(.)(.)(

SLI systémeun Soit

0

0

0

tvtvR

twtwQ

tvtxHty

xxavectwtuGtxFtpxSLI

T

T

Observateur de Kalman

)(ˆ.)(ˆ

ˆ)0(ˆ))(ˆ)(()(.)(ˆ.)(ˆ

: forme la deest systeme un telpour r observateuUn

0

txHty

xxavectytyMtuGtxFtxpOA

On constate que l’observateur ne réalise pas d’estimation des bruits v(t) et w(t)

But

On cherche le gain M qui réalise la meilleure estimation de l’état du systèmeC.a.D. minimiser :

(t)xx(t)- (t)x

(t)x(t)xtJ T

ˆ~

~~)(

ooTT

oT

o

QHRHFF

RHM

RoQ

1

1

o

0

RICCATI de algébriqueequation l' desolution M avec

: donnéeest n observatiod' problémedu solution La

ecommandabl )Q(F, détectable H)(F,-

negativenon définie symétrique matrice ,

: hypothèses les Avec

Une démonstration est disponible dans la référence [2]

Remarque :

P

QQ

RR

GH

FF

QPGPGRPFPF

QHRHFF

co

co

T

T

cT

cT

ooTT

: suivante dualité la aOn

0

commande lapour RICCATI de algébriqueEquation

0

nobservatiol'pour RICCATI de algébriqueEquation

1

1

Dans le cas de la commande et de l’observation on résout le même problème mathématique

Analyse de la BO

G

F

E

H

u(t)=0

M

+-

)(ˆ tx)(ˆ ty

w(t)

MFpIH

twpBOty o

1c )( BO

)()()(ˆ

Un peu de manipulation algébrique

1BO1 : leMonovariab cas le Dans

))(())((

)()()(I)(I

:où d'

M commeet factoriseOn -5

: membredeux au ajouteOn -4

)(-pI :par droite à multiplieOn -3

)H(pI :par gauche à multiplieOn -2

: nul termele ajouteOn -1

0

: àOn

o

0

111

1p

1p

1

1

n

1n

10

oT

oopooop

TTnono

T

non

oT

o

TT

nn

oTT

RpGIRpGI

HFIpHQFIpHRMFpIHRMFpIH

RH

R

HF

F

pIpI

QHRHFF

11BO1

: toujoursàon Kalman der observateuun d' synthese la de cas le Dans

o oS

Cela signifie que le lieu de Nyquist de la BO de l’observateur reste toujours à l’extérieur du cercle de rayon 1 centre sur le point critique (-1,0)

R

I

-1

Marge de gain [0.5 +∞]Marge de phase [-60° 60°]

Exemple

ecommandabl )Q(F,3))QF,((

détectable H)(F, 3))Hrang(O(F,

10/1;

100

010

001

)(100)(

2

2

2

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(

432

1)(

oo

0

23

Crang

RQ

txty

xtutxtx

ppppG

oo

Exemple

Etats

Sortie

M =[ -3.9094 1.0025 3.4648 ]

CI

Nyquist de la BO de l’observateur

Cercle de Rayon 1

La synthèse d’un observateur de Kalman si elle nous garantie des propriétés fortes de robustesse nous impose tout de même le choix des pondérations Qo et Ro qui n’est pas forcement simple.

Si l’on connaît la nature des bruits qui affecte le système le choix des pondérationsest automatique dans le cas contraire on peut :

Dans un premier temps :

-Imposer d’avoir des matrices diagonales pour limiter le nombre de paramètres. -Fixer une matrice à l’identité et faire varier l’autre.

Mais dans le cas de système complexe d’ordre important on se retrouve devant le même problème que celui de la commande par placement de pôles.

Une solution pour le choix des matrices Qo et Ro a était proposer par Philippe de Larminat : la methode des grammien d’observabilité

Grammien d’observabilité

Dans cette approche on réduit le choix des matrices Qo et Ro à un horizon : To

To est l’horizon d’observation. A partir de ce choix les matrices Qo et Ro sont définies de la façon suivante :

IR

dtGHeHeTQ

o

TFtTFt

oo

O

1

0

Ce choix permet d’avoir les pôles de l’observateur à gauche de la verticale d’abscisse -1/To

Conclusion

L’approche de Kalman nous offre une solution simple et robuste à la synthèse d’observateur avec comme avantage :

-De réaliser la meilleure estimation au sens de la minimisation de la variance de l’erreur.-De garantir des propriétés de stabilité de l’observateur.

Le choix des matrices de pondération par la méthode des grammien offrent de plus une solution simple pour fixer la dynamique d’observation.

Se pose donc maintenant le problème de la robustesse d’un système de commande LQ avec observateur d’état du type Kalman

Commande optimale LQG

Le problème LQG Limite du LQG LQG/LTR

La synthèse d’un système de commande LQG est effectuée conformément au théorème de séparation ou principe d’équivalence certitude qui stipule que le problème de commande LQG peut être résolu en traitant séparément le problème d’observation optimale et le problème de commande optimale sous-jacents :

ooTT

oT

cT

cT

Tc

QHRHFF

RHM

QPGPGRPFPF

PGRKavectxKtu

F

1

1

1

1

o

c

0 : RICCATI de algébriqueequation l' desolution avec

: commande de loi lapar donnéeest n observatio de problèmedu solution La

0 : RICCATI de algébriqueequation l' desolution P avec

)(.)(

: commande de loi lapar donnéeest LQ régulation de problèmedu solution La

ecommandabl )Q(F,et détectable F)(H, : HO-

observable ),Q(et lestabilisab G)(F, : HC-

0)(0)det()(

0)(0)det()(

: stables

uement asymptotiqsont r observateul'et état d'retour avec regulateur le

car stableuement asymptotiqest système Le

)().()det().det(

00

0det)(P

:est commande de systèmedu tiquecaractéris polynôme Le

)()(~)(

.0)(

)(

)(0

)(~)(

.0)(~

)(

: commande de Système

c

pMHFpIpP

pGKFpIpP

pPpPMHFpIGKFpI

MHF

GKGKF

I

Ipp

tvtx

txHty

tv

tw

MI

I

tx

tx

MHF

GKGKF

tx

txp

no

nf

ofnn

n

n

n

n

c

lestabilisab donc ecommandablest , 3)G)rang(C(F,

observableest ,3)),((1;

100

010

001

observableest , 3)),rang(O(

lestabilisab donc ecommandablest ,3)),((1;

100

010

001

)(100)(

2

2

2

)(

0

0

1

)(

010

001

432

)(

432

1)(

0

23

GF

QFQFOrangRQ

FQFQ

GFGFCrangRQ

txty

xtutxtx

ppppG

ccoà

cc

cc

Exemple

ExemplePoursuite

Régulation

CI

Limite du LQG

On pourrait penser que :

les systèmes de commande LQG possèdent des propriétés de robustesse aussi importantes que celles des systèmes optimaux de commande et d’observation sous-jacents.

LQRobuste

KalmanRobuste

LQG Robuste ?

)(ˆ.)(

)(.)(ˆ.)(ˆ

ˆ)0(ˆ))(ˆ)(()(.)(ˆ.)(ˆ 0

txKtuLDC

Commande

tuEtxHty

xxavectytyMtuGtxFtxpOA

rObservateu

G

F

H

M

+

-

)(ˆ tx

)(ˆ ty

-K

)(tu

)(ty

Analyse du régulateur

-GK

F

MH

M

+

-

)(ˆ tx

)(ˆ ty

-K)(tu

)(ty

F-GK-MH

M -K)(tu)(ty

)(.)(

)0()(.)(.)(

: plus de

)()(

)()(

)()()(

)(ˆ.)(

)(.)(ˆ.)(ˆ

ˆ)0(ˆ))(ˆ)(()(.)(ˆ.)(ˆ

0

0

txHty

xxavectuGtxFtpxSLI

tRytu

tKxtu

tMyMHGKFtpxREG

txKtuLDC

Commande

tuEtxHty

xxavectytyMtuGtxFtxpOA

rObservateu

reg

reg

Régulateur Système

+

-

)(tu )(ty)(* ty

BO

Remarque :Dans le cas multivariable on a : Régulateur * Système ≠ Système*Régulateur

On a perdu de la robustesse au niveau de la marge de Gain

1/MG

Cette limitation de la commande LQG a été mis en évidence à la fin des années soixante par Kwakernaak qui a montré que les propriétés de la commande LQ et au FK ne sont pas préservées dans le cas général.

Une bonne décennie après, ce problème a été repris par Doyle and Stein qui ont proposé une technique de synthèse des systèmes de commande LQG réalisant un recouvrement du transfert de la boucle ouverte du système de commande LQ ( respectivement du FK) sous-jacent et l’ont baptisé LTR comme Loop Transfer Recovery

On a deux possibilites soit on récupère les propriétés de robustesse :

-De la commande LQ -De l’observateur de Kalman

LQG/LTR : Recouvrement en Entrée

Synthétiser, dans une premier étape, le correcteur LQ par un choix approprié des pondérations Qc et Rc obéissant aux exigences du cahier des charges.

Dans une seconde étape, à partir d’un réglage nominal Qo et Ro du filtre de KALMAN, on augmentera le paramètre q du nouveau réglage :

Qo = Qo +qGGT , Ro = Ro

jusqu’ à ce que le transfert de boucle K(s)G(s) du correcteur LQG recouvre, sur une bande de fréquence suffisamment large, le transfert de boucle de retour d’ état LQ :

Lim K(s)G(s) = −K(pI−F)−1G ∞

q ∞ : Nyquist BO Nyquist de la commande

On peut donc retrouver les propriétés de robustesse de la commande LQ

LQG/LTR : Recouvrement en Sortie

Synthétiser, dans une premier étape, le correcteur LQ par un choix approprie des pondérations Qc et Rc obéissant aux exigences du cahier des charges.

Dans une seconde étape, a partir d’un réglage nominal Qc et Rc, du retour d’état LQ on augmentera le paramètre q du nouveau réglage :

Qc = Qc +qHTH , Rc = Rc

jusqu’ a ce que le transfert de boucle G(s) K(s) du correcteur LQG recouvre, sur une bande de frequence suffisamment large, le transfert de boucle de l’observateur:

Lim G(s) K(s) = −H(pI−F)−1M ∞

q ∞ : Nyquist BO Nyquist de l’observateur

On peut donc retrouver les propriétés de robustesse de l’observateur

Modélisation d’un système

Commande Modale(Placement de pôles)

Observateur Modale(Placement de pôles)

Commande et Observateur Modale

Commande LQ Observateur de Kalman

LQG

LQG/LTR

Perte de Robustesse

Calcul du gain Kde retour d’état defaçon Optimale

Calcul du gain Mde l’observateur defaçon Optimale

Si l’on ne peut mesurer l’état

Si l’on ne peut mesurer l’état

Résumé

Pas mal commeGraphe de décision.

Bibliographie (par ordre alphabetique)

Daniel Alazard : [1] Regulation LQ/LQG (note de cours de SUPAERO)

http://personnel.supaero.fr/alazard-daniel/Pdf/cours_LQG.pdf [2] Introduction au filtre de Kalman: (note de cours de SUPAERO) http://personnel.supaero.fr/alazard-daniel/Pdf/cours_Kalman.pdf

Benoît Bergeon : [3] Commande linéaire des systèmes multivariables

http://personnel.supaero.fr/alazard-daniel/gtmosar/cma.pdf

Philippe de Larminat : [4] Automatique, Commande des systèmes Linéaires,

HERMES-LAVOISIER

Mohammed M’Saad :[5] Commande Optimale : une introduction

(note de cours de l’ENSICAEN)