manual de fórmulas y tablas matemáticas murray r. spiegel
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Trata lemas elementaleslrigonometría, geometría
Contiene un conjuntomatemáticas de gran
de fórmulas y lablasutilidad práctica.
Incluye definiciones, te0remas, gráficas y diagramaspara la correcta comprensión y aplicaciónde las fórmulas.
MANUAL DE FORMULASY TABLAS MATEMATICAS
Murray B. Spiegel
como álgebra, geomelría,analí t ica y cálculo.
. El objet¡vo de este manual es presentar un conjunto defórmulas y tablas matemáticas que seguramente seránde gran valor para los estud¡antes e invest¡gadores enmaterias como matemáticas, física, ingeniería y otras.
. Los temas tratados oscilan desde los elementales has-ta los avanzados.
. Entre los temas elementales figuran el álgebra, la geo-metría, la trigonometría, la geometría analítica y el cá¡culo.Entre los temas avanzados figuran las ecuac¡ones dife-renciales, el anális¡s vectorial, las ser¡es de Fourier, lasfunciones gama y beta, las func¡ones de Bessel y de Le"grende, las transformadas de Laplace y Fourier, las fun-ciones elípt¡cas y algunas otras funciones especialesimportantes.
. Este manual está dividido en dos pades principales: enla pr¡mera están contenidas las fórmulas matemáticas altiempo que se tratan otros asuntos, tales como definicio-nes, teoremas, gráficas, diagramas, etc., que son esen-ciales para la correcta comprensión y aplicación de lasfórmulas. La segunda parte contiene tablas numéricas,tales como los valores de las lunciones elementales(trigonométr¡cas, logarítm¡cas, exponenciales, h¡perbó-licas. etc.).
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McGraw-Hilllnteratneitrana -,Eütores. S.A. ¿le CY.
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MANUAL DE FORMULAS YTABLAS MATEMATICAS
2 4OO FORMULAS Y 60 TABLAS
MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D.Llolso¡ de Mateñótica' del
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TRADUCCION Y ADAPÍACION
oRL Nio Gu¡BRÉRo RBE¡oqtu¡¡co d¿ t! V¡itati.h¿ d. Al,std
MccRAW-HtLL
Éxrco. EuEttos atFEs . ca8Acas . cuarEiraLA . L6aoa. MADR|D. NUEva yoBKSAI{ JUAI¡. SANTAFÉ DE EOGOTÁ. SAIÍIAOO. S¡O PAULO. AUCKLAIiO
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Gerente de Producto: Carlos cranados IslasSup€nisor¡ d€ ed¡ciótr: Lcticia Mcdina VisilSupervisor de prodücción: Zeferino carci;Carcu
MANUAL Df, FÓRMULAS Y TABLAS MATf,MÁTICAS
Prohibida la reproducción total o pa¡cial de csta ob¡a.por cualqurer nedio. sin autorización escrita del edior
DERECHOS RESERVADOS aO 1998, 1991. 1968 respeclo a la pnmera €drcjón cn espaiiot porMCGR-{W-HILLINTERAMERICANA EDITORES. S.A DE C V.Una Di\isión dc The Mccraiv-Hill Companies tnc.
Ced¡o Num 512, Col. ArlampaDelegación Cuauhtémoc06.150 México, D.F.Mjembfo de la Cám¿ra Nacional de lá Indust¡ia Editorial Meücana. Reg Núm 7j6
lsBN 9?0- i0-2095-2
Traducido de la pr mera ed ción en Ino és deSCHAUf\4 'S OUTL NE OF MATHEMATiCAL HANOBOOK OF FORÑIULAS AND TABLEScopyr ight o McMLXvl, by McG.aw,Hi , t ¡c. , u. s a.
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LIfOGRAFICA INGR¡MEX
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YAr CENTRO DE |NFORMACtól
El objeto de est¿ nanüal es el de presentar un conjunto de fó¡mulas y tablas matenáticasque seguramente se¡á¡ de válor para los e8tudiantes e investigádo¡es en materias .ono lasmaten¡iticas, ñsica, i.geni€ría y otras. Para cumpli¡ este propósito, se ha t€nido el cuidadode escoser aquellas fórnulás y tablas que puedan se¡ de ¡¡ayor urilidad pníctica pres.i¡diendo de las fórnulas altanente esp€cialiadas que .a¡ament€ se eúple¿¡.
No se ha ahor¡ado esfuerzo para presenta¡ los datos y fóimulás en form¡ pre.isá á la vezque concisa pa.a que se pue¿¡¡n en.ontrer con la mayor confia.za y f¡cilidad.
Los teñas t¡ai€dos oscilan desde los elementales hasta los ava¡zados. Ent¡e los temas ele-mentales figur¡¡ el álgeb¡a, la geometríá, lá higononetra, la geomet.ía analitica y el cálculo-Entre los iebas avanzados fisr¡.an las e.uá.io¡es diferenciales, el análisis vectorial, las se.iesde Foürier, l¿s funciones gamma y betá, l¡s funciones de Bessel y de lasendre. las t'ansfoFúádas d€ Fourie¡ y de lÁplace. las fún.iones elipticas y álcu¡as ot.as funciones especiálesimpo¡tartes. Este anplio cont€¡ido de teú¡s h¡ sido acosido con el fi¡ de poder p¡opó¡cionat,en un solo volumen, la mayo. parte de los dátos malemáticos impo.tantes de utilidad para elest,¡diánte o investigado., cuálquiera que se¿ su ¡área particula. de interés o su nivel de apren-
Este libro est¡í dividido en dos pa¡tes principales. En la parte I esrín conte¡idas las fó.mulas mateñíticss al ti€mpo que se t.atan ot.os asuntos táles coho defini.iones, teoremas.giÁficss, di¡gmmas, €tc., que son esenciales para la co.rectá cohp¡€nsión y aplicación de lasfór¡¡¡ulas. E¡ ¿sta prinera pa¡te ñsuran además ampliás tablas de int€grales y transformadasde Laplace que pueden ser de g¡an valo. pa.a el estudiante o i.vesiig¡dor. I¡ p¡¿e trcontienetablss numéricss ¿ales cono los lalo¡es de las funciones el€nentales (t¡iso¡ométiicas, logaritmicas, expone.ci¿les, hipe¡bólicas, etc.) así cono tanbién de las futrciones de carácte¡ avañ za-do (d€Bessel, de Iagendre. elípticas, etc.): I¡s tabl¡s nuñéricas correspondiente a cada tunción se prese¡tan por separado con el objeto de evit¡¡ confusiones, especiálnente para el p.i¡cipiante en matemáiicas. Aaí por ejenplo, las funciones seno y coseno pa.a ánsuiG en sradosy minutG s€ presenran en tablas sepa.adas más bien que en una sola tabla, lo cual evita al€studiante el tene. que preocuparse acérca de la posibilidad de incurrü en alsú¡ e¡ro¡ po¡ nobuscár e¡ la columna o ñla aproDiadas.
Deseo e+resár his aSradeimi€n¿os a los diversos auto¡es y editoEs po. habermeotorgadoel p€r¡niso de tomár dátos de sus libros para emplea.los en vá¡ias de las tabla! de este manual.Las referencias apropi¡das ¡p¡recen júnto con las tablás .orrespo¡dientes. Me hállo especiálnente agradecido del red¡ctor, del eltinto Sir Ronald A. Fishe., l. R. S., del D.. ¡rank Yates,I' R. S., y de Oliw¡ end Boyd Ltd., EdimburSo. por el p€rniso pár¡ empleár datosde la tabla III de su libro S¿¿¿;s¿icol TabLe, lot BiotosicdL, Asri.ultural and Medicot Reseatch
Deseo ademÁs e¡presár ni grat¡tud a Nicola Monti, He¡ry Hayde. y Jáck Márgolin porsu magnífi ca coope.ación editoriáI.
M. R, SPIEGEL
TABLA DE MATERIAS
Pfuina
Co.stsnt$ notsble. I
hoducros y fscto!6 notables . 2
Fónula del binomio d€ Newtor y c@ficienks binoñiales 3
Fó¡ú¡ülas SeonéÚicas 5
Funcionq tritononétú@ ll
Nú[ems conplejo. 2l
Fu¡cio¡es €ryoncmial€. y loslrítnic¡! . .23
Funciones hiperbólicas 26
L
a.3.a.t.a,,.l.
9.
to.r t .r?"t3.t t .t t -tó.t r .ta.t9.20,21.22.
lt.A,2t,26.27.24,29,30,3t .
Soluciones de l¿s eascion4 ¿k€br¿ic¡s . 32
Fórhul¡s de 8eo¡netría ¡¡allica planÁ . . 34
Cuw¿s pl¿nas notabl$ . ¡1O
Fórnulas de gponetrí¡ analftr@ del esp¿cio 16
Deivad,s. . . . . . . . . . . .63
I¡t€eráles irdefinid¡sInt¡sáles definidas .t¡ runcid¡ CammaLá tunción Bets .Fauaciones d;ferenciales Msicas y sus soluciones
94101l031O¡1t07
155
Series de coNtantes
Se¡i€. de Taylor 1lO
NúnercB de Be¡noulli y d€ Euler 1l¡l
Fórnulas de anál is is vectol ia l . . . . . . . .114
Seri$ de Fourie¡ lSl
Funciones de Bessél . . . . . . . . .136
Funciones de Les€ndre . t¡16
Funciones asociadas de l¡8c¡dre 1,19
Polinonios dé Hernite . 16l
Polinonios de Laguere 153
Polinonios asociados de Lasu€re
Polidonios d€ Chebyshev . 157
Fun.io¡e3 ir¡?rgeomót¡i 160
I AALA I)FJ MAI ERIAI
12.
33.
3¡1.
35.
3ó.
37.
36.
39.
ao,4t.
]\a¡sfb.madds dc Lápl¿{,e
'I ranslbn¡¡d¡s de t'ou¡ier
l 'un. iones norables div€rsas
l6t
174
t7sla3145la71aata9t90192
Desa¡rol lus en kaccinnes pá¡c,ales
Disi.ibuciones de probabiLidad
Momentos de iner.¡a imporrantes
Iácrores d€ conversión
Ejemplos de problenas pa¡a itust¡arelusode lastablás 194
t. Losaritnos coñunes dé.uatrc cif.as 2O2
2. Antiloga¡itmos comünes de c!átro ciifls 2O4
3. Sen ¡ (r en s.ados ! minutos) 206
¡1. Cos r (¡ en grados Y ninulos) 2O7
5. Tan r (¡ e¡ s.a.los y ninutos) 2Oa
ó. Cot ¡ (¡ en erados y minulos) 2OS
7. Sec r It en grados y ni¡ütos) 21o
a. Csc ¡ ( ' en srados y mi.utos) 211
9. Fün.iones t.isonomélricas natu.áles (en radianes) 212
lO. log sen r (¡ e¡ srados y ñinubs) 216
t f. los cos '
(r en sfados ) minutos) 21a
12. 1og taD , (¡ en gr¡dos y minutos) 22o
13. Coneefsión de.adianes en srados, minutos y segundos o frácciones de s.ado 222
14. Conversi¡in de sfádos, minutos y segundos en .adiáres 223
15. Log¡r i tmos ¡r turáles o neper ianos los.r o ln t 224
ló. Funciones exponenciales ¿' 226
17. Funciones exponen. ia les e 227
ra6. FuDciones hipe.bólicás senh ¡ 224
lab. fu¡ciones hipe¡bólicas cosh r 23O
t8c, t 'únciones hiperból i .¿s lanh ¡ 232
tt. Fácto¡ial .le n 2:¿4
TAALA DI.J MAT¡RIAS
20. Función Ganmá
2l, coet i ¡ icnre. b,nomi¡ le.
22. Cuadrado.. .ubos, rsi.er ) mciprocos
23. Faclor de ,sn¡ idád compueita: r l ¡ l
2¡1. Fa.ror dc \á lo. presenre: ( t ¡ r
2¡ . Faclo¡ de.snr idád compuesra psra ser ies un' fo¡meq 1- l 1 l
2ó. Iacto. .le valor prese¡te par¿ se¡ies uniformes I (l +
') '
;i ilH:::tr;:::i?J:,¡O. Fúhcioneq de Bessel y r¡r3r. Funciones de Bessel lo(rr .
2itat2362ila2,tO211
212
213
24424121ú24524621824724724A2442492492AO261252253254255255264
264259260281262263265
¡ ¡ . Funciones dc Aessel K¡ i i l
3a. Fun. ioncs de Bessel K, r t r¡5. Funciones de Bessel Bfr r i r
3ó. Funciones de Bessel Bei (¡)
17. Fun. iones de Bessel Ker (¡ l
3! . Funciones de Bessel Kei ( r ,
39. ValoEs apro¡imados de l¡s tu¡cion€s de Bessel por isualación a .ero40. I¡leg.ales exponenci¡I, de s€no y de cosero .¡ l l . Pol inomios dc tacend¡e P t¡r
¡2, Funcio¡es de B€ssel I1(¡)
12. PolinoDios de Lesendre P" (cose)
43, Inreg¡ales elípti.as coúpletas de p¡inera y segunda especies
Indi.e de símbolos y notácio.es esrFciales
44. lntes.al elípticá incohplet¡ de primera esp€cie45. Int€s¡al el'pr¡.á incomplera d. secunda especie4ó. O¡denadas de la cur!á dórnal47. A¡eas bajo la curva no.nalaa. Valo¡€s percentiles (¿,) de l¡ dist.ibución ¡ de Student49, Valore! pereniiles (xi) de la disr¡ibución Ji-cuadrado¡O. Valoes pe¡cedtiles 95! de la dist.ibución r,51. Valo.es p€r.€nt;les 99ú de la disrribución ¡12. Núúéros aleabrios
Parte I
FORMULAS
tt alfaltfo Gt|loo
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1¡ forE!1. 3.3, pu.d¿.rnb'r umbian
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I.A fORMULA DEL BI\OMIO \ COEFICIE}¡TES BINOMIALES
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FORMULAS CEOMETRICAS
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¡r.2. Are. - lcü ,,,-T.-\t¿" + lFlíú¡ / " \
4.25 Longirud.hl,ro lac = +!n + 14o, + ful'{-------¡l^/ | \"F--¡_ ' ' - . - ¡
F¡t t-11
FORMULAS CEOMETR¡CAS
1.26
4.27 A¡Éa de ra süp€riici. = z(ab +da+ ó.1
vo¡un.n = ¡^ = . ¡ .&n.
A$¡r.L¡up€rñci. = ¡rr¿
x,--l----i
4.21t
4.30
¡r¡l
1.32 AE dc l. ¡up.rlicié Lt¿¡al = 2r¡
4.33
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h3 difeE¡i¿s dadññt¿r, indimdos con los núnt¿ros bná.os I Il IlL IV, son llrnado! Esp€c'imm¿nte. pn-o cud.¡bt€s. Por ej¿np¡o, .¡ la fig, 5.2, el í¡s!¡o A e.tá en el r¿glndo d.dr.nr€,
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15 f U N C¡ON¡]S'f RICONOMETRICAS
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II'NC¡ONES TBIGONOMETR¡CAS 17
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.!noD&n63 Ét llud Lúb¡an.o. Bultifotu.r.
A @. @nvi¿.¿ eLcción¡¡ úh. ti¿t mi.rd. ¡rbr pln ¡Iaúr púD¡tito .!!..iñco. T¡l úb¡ s d.¡oEiu mtup'i¿.Ao¡ y ñ. e.fm e ¡laúún úL¿t pn^ci'¿Lts.
18 FUNC¡ONES TRIGONOMETRICAS
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5.77 .4_t' = *n,\ (r/,.)
5,71 G..r' = @ t\rlxt
t.v, c.^ t' = t¡r-,o/,)
5. lo sn-,{- , ) = -*n ' ,s.at d- ,1 , ) = , _ co. r ,
5.12 t¡n r(_,) = _t¡¡ ,,
5.83 cot. ' ( - , ) =t .ot- ' .
5.84 áe-I (-¿)
5.15 .s-¡ ( -¿) = -e-¡ ,
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¡t¡- tl1 Fi!. t-|2 fia.t-r3
¡IJNCIONES TR¡CONOMETRICAS
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¡iA.5la Fis.5Ja
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5.9i1 Ly d.rd¡aú
5,99 lay d. ¡o. cd.n6é = é+6,-%tcqC
lG ó¿m¡ ¡¡dor y ¡nguld ..t¡¡ ELciomdd d forn !ibit.r.
5.t{ l¡v d€ L. rúftrter;+¡ L¡M¿+a) D¿-ó t¡¡ l l ¡_A)
tdor@ I¡do'y¡.!ulo..ár¡nÉt¡.ioDdo..n fomsiEit r.
5.e5 6¡ = ¡¿¿V;G:AG=)¡i).to¡d. . = l(¡+ ó +ó) €. €l 6¡ip.rrúró.t l r¡i¡n¡uta S. ¡r.d.f obi.n r Dt*jon ¡ ¡iú¡t.E. cón lo
Vó.n* rd¿d& 1.. tómuh| 4,5, p¡Si.. 5; a.16 y !.¡6, p¡si¡. 6.
¡¡ ¡i¿- 6¡3 bú¡¿á .l rria¡Suto .sLri6 A¿C sobE l. .úts¡fci. dc un...hn. t¡ mdilr dc ld l&tor d, ó, . lqu. son .@ .i. ciqto na¡iúo.l..t¡ d.d¡ por lq ¡¡lufor qu subaicn¡Ln .n €l e¡rb ¡r. h c.f.É. I¡¡ ¡n{¡oiA I C son otMrh ¡ lo. l¡de 4 ó, . F.F.riúb.n¡. E¡b@. ñn v¡rid.¡
5.9ó Lydc¡o. r.¡d
5.97 r-y d. ro..d..6
4¿ = c6ú co!o + sn Ú*n ¿ @¿c6¡ = -c6A d.C +*nBseñCsa
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5.94 L.ydél.si¡nÉen.es
5,99
5.too
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
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¡€suliados srDilars * obnen.r con los¡1rs ladNy¿.sulc.
¡ , " fu*" \ ' , . ,
dond¿ r=ll¿+ü+.). R.sul¡,¡ós siñil,Es E¿ abti¿¡¿¡ con lNotrcs ladosyinsulo3
"""q -.os(s B) cos (S C)
d¡nd€ S=*(-4+a+c). R¿sullados simil¡Es s¿ obrienen con lo¡ olros hdGyángulos.
vé,s¿ ddeñ¡¡s l, fórmüI,¡ {¿. prs'na lo.
Prcs.indietrdo d€l Ánsxlo ndo q rl triángulo ¿sfé¡icoAaC erá rarmadc po¡ ¿incopad$co¡ditny€nb8 qn¿, si Becolocsn ud 1i.s oús seFln sFre.en €n Ir Fig.5 19, qü.darhn.n elgisienle.rdeh: d, b, ,,t, c, A.
f is ,5¡9
,eña = ten b t¡n (cc¡) . sen ¿ = t ¡nücoi8
r¿n (co-Á) =.os¿ms(có-¡) o co.-4 -
cos¡Jbna
Na¡r¡rlmtote que e¡os rcsulrador N.den oblen€Be i8¡rln¿nba padi¡ de las leJ€s 5.9? d¿ la stina 19.
¡it, t-¿)
Supóns¿s¿¿hora que eshs ctdrid¡des s orde.,. e. un ciKülocoBo se mu6in¿¡ l¡ Ft t20 én dobde heno!
aá¡dido ¿l prcrrjo ú lpa¡r indi.rr conp¡¿u¿n¡ol ! Ia hipote¡ús, ¿ y a lm á.!xlc A y ACualqui€ra de l0s pines d¿ €re.imulo s¿ pü€de llam.rpo¿¿ n¿dú, la3 dG pale6 recin$ e ll.nad¡n e¡loncs
F¡¡.r ddrd.pn¡¿r nicnrds quc l.s dór r¿sbnies se llanaríen p¿áp' oA4rdl. Eñro¡¡¿spod¿nm¿lpEs¡rl$ Éshs dr
5.101 El s¿no de cürlquier padc m.diaes igu¡l al produda d¿ las 1¡¡g¿nbs de las p,nes odyacent¿$.
5.102 El s€¡ode cualqtrie¡prre nediaes isnal alprodurto d¿ los co$n@de l¡s p¡¡le.op!Ata3.
E¡.mplo: Pue¡o qup co-, l =90o Á, ccA-900-4, bnenos
92 NUMEEOS COMPLEJOS
Un nún.ro compl¿jo r + ó¡ * pu¿de epEsenh. Ded¡ante un Ftñ1o{o, ó) sobre un pl¡no¡J lt¡Drdo ¿i4mno d. Arsd^¿ . plano d2 CoLss Lti,por cjsñplo. en la Fis.6l P 4pEeno el núneó coDplcio -g + ¡fi.
Un rúme¡o.onplejo bDbié. pu.d. inl¿¡pÉbre.omo ún r¿.¿rr que
¡i!.5.t
En l. Fig.6'2 el punro Pcuyas coo¡den.d,s so¡ (¡, ]) EpEsnb al nún¿rc coDpl€jd r + i. El D!.b Ptambién 3¿ pu.d..¡p8!t por n.dio decood. natu: pt) ttts l¡,.J, Púslo qu¿ ¡ -
r cG r,, -
r *n, s 3i3ue qu.
6Á r+i , = l .6r+i* . r )
3i.ndo 6to ld /orndpo¡¿¡ d€l núñ.ro únplejo. Con lro.n¿¡ci¿ decind que
r= J7 + yt...r nóduto y t t' anptitu¡t d2' + it.
l' A'\t:ti, ( l
- -"
I
6,7
ó.8
f'lc6 .¡ + i *n ,r)l l"(.6 rr + i sn ,¡)l = ''l,tco.
(,r + ,¡) + i en (r¡ + ,rl
#+;#, ",¡r
= rahG'"-'r+imno,-d.
srndopun nueú Érl.ualqu'er¡, eltmEn, d. D. Mo,vr.ú,blecequc
Ilc6t + i senr)lr = r,(co!r, + ienpr)
ó.to
S.! ¡ clrlcú,er ¿¡rÉm posrivo y r = 1/n,.rto¡c.6.9 pu..i...cribü&
h(cos, + ir, ,)r, ' = ,^l*t:"b,-¿sinas de un nús¿ro coDpl¿jo h,ci.ndodond¿ * en cu¡lquier .n!dro. De lqui se pueden oblener 18 , raí.€s
a c.n inq.ión viid ¡ .'4or.r qü.]¿,, r .ó túa.ro¡t{¡¡t ,Al ¡.¡t!d tdi¿lq E ródd Id oG qüd. .L¡_oÍ¡d¡ L dlü.ión Dor é¡o.
a.r , te l l 'm'e 'poa¿ate. t€.1¡b¡sy. ,*de¡oñin, l ¡ ¡otencíopded. l^ lo¡( ió^!-o '*üñ.fñ. idn
Sidt. ¡¡ donde d t 0, y. 1 1, ¿nton@. ¿ F ¿l lo¿dri¿mo ¡lé N.. b.* ¿, !ocu¡l*$.rib.p: ¡ lV El núñ._
m ,v -
.' d il¡úÍto .l d¿r¡¡oúla¡ro d. p .r b.* o y * 6crib€ ú.iilo& ¡.
Ei.6rro! Pu..toqw 8r -
0 ie¡€no¡ lo3¡g = 2, ¡ntilosrz = I
L, ru¡c'ó¡ t - lúz.z * ll.n.luncion Lrod ana
7.1 iP. d. = s,+4
, ,4 .o=1, ar0
7.7 iG= ¡^
7.10
2.t t
, ,12
f,2 d'túc = 6,-.
,.a l/* = *^ 7,e i,Alt =i,GtW
ro¡" i loa, ¡l - lor. N
L. lo¡'ritúos 6hu..! y .ü.,niilo!¡út¡or {tlnbión llhdd bnis¡¿¿o4 do. qu.llo¡.' ld @}.¡ L b¡-¿ = r0. El los¡'nho conún d. N c 6cn¡. bsúN o !¡ñpl€ñé.t. log ¡¡. f¡. !¡!i!.r 2i)2-m5 o¡ti.r.n l!hL. d. lor}ntños, utilo¡¡;tnú eñürer. El.ñ!l.o.lc e{ar labl$ $ ilusto con +mplod eñ las ÉBjn.s 1s.r96r
2A
24 TUNCIONES EXPONENCLALES Y LOCARITMI€AS
Los k*,nrños v lnrnog¡r(mos naiuÉlé¡ llambién llamsdos nep€d¡nosl son 'qüellos
€n lDs dal€s la baseo - .: 2,irs2¡ 13 fvó¡* l. p¿3in8 lj.
El l.¡F¡rirno naru¡ald¿,V E. esc¡bc !oe.¡ú o ln.V. tjs písihas !24-22á c.niien¿n abl¡s d¿ log¡ri.nd narur.l*.l,as tdblas d. arrilo*rrirmos ¡rlunl8 lo *, Ias ,rL¿ nos ddr .l val6 de €, pah difeÉnr4 eálor* d. ¡l ¡ÉÉencr l¡s ¡isinas 226 22t. Dl¿npl€od€.s!rs rabl$ s¿ ilusre oñ ej.ñplos.¡ ¡.. p¡einás lS6y 2&.
t¡ rela.ió ¿ire el lq¡¡nmo d" nn .ún¿ro ,V ¿¡ bos. o ) ¿l ¡oar¡ilmo d€ €* misno núne¡o N ¿n bae ¿ est¡
lor^ ¡Vro3. rv = i;-
¡oA.N = lnN = 2,30268 ó0129 ...loaro]v
logioN = loaN = 0,.f3429¡¡81t..-loa.¡v
7,13
7.t1
7,15
7.16 ¿ú = @., + isrr , . -b = q. - iÉ¡.
E{ár F¡scn,n€s r,n ll¡midar ¡d2ntid¿d¿s d2 Eubt E¡ a.ras, i EpÉ*nt.la uniüd iñrgi¡'ri¡ lvéa¡. ta pc¡ino
I Jt - .-o \4D' = {."-T;:q
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7,21
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FUNCIONES EXPONENCIALES Y T,OCARTTM¡CAS
Ij ro.Di pola. de nn nú-éú conp¡.io ¡ + i e pü.d. *eibn como .rF¡en.i.l fvé's 6.6, pasiru 221 "si
, .2a r+ir = r tcdr+i*n.) = ' . .
Irs fórnola¡ 6.7 a 6.10 de l¡ pfarna 22 eqüival¿n a hs que se don ¡coniinu¡ción.
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opúl( f , . r ' l = ' Í?rct+ o, l
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f¿4 troEnad¿ De MoivEl
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l . l5 cGh( , ) = c@h,
l . r l ñchl , ) = .eh,
E.ló i¡nh (-,) = -r¡nh,
E.l? cotn (-,) = -coü,
26
FUN CIONES HI?ERBOLICAS
l.rot.2l
a.zt
a,n
snh t .4h y i qh, s¡i /
@ü, ú!h/ ! snh, s¡h,
@¿h (, ! ,) = otl '
cgtb Y:a 1
ag
t25
426
¿.o¡Irrr-1= 1+2¡enbt,
4.2,
a.2a
t,ztt
[+ s i r>0, - ! i r<01
I+ 3i '>0,
- 3 i ¿<01
t.¡o
l.lt
t.32
1.33
t.ta
r.35
G-¡ t.iht,
8 snhl t cqh, + ¡s¿hh.c6h,
3.osh{, - Acorhr¡ + 1
1+6t. .ht-+t-ht
2a IA'\C¡ONES H¡PERBOLICAS
l.ló
a.37
l.3a
t.l9
!.ao
¡.al
* | có¡hrz + üc6baz
| + 1@h2r + *@h¡r
4,12
l.¡ül
l.¡L
1.45
!.¡|ó
at,
l./¡!
= 2 enh*(,+r) co.h *(' - r)
= 2 cdh *(¿ + r) s.h*(, - r)
= 2 co.h *(, + !¡) coü¡(,-r)
= 2 &nn*(, + r) *nh ¡(, - r)
*{.o.h (, + r) - .o.ü (, - !))
*{dn (t + ,) + .o.h (, - r))
l {ehhL¿ + r) + enh(¿-r))
8n -¡!ü.
rEo. .uposlr qs t > 0.
4.19_
Si ¿ < O rr..¡ .l ,i!no .propi.do ..aún tó indic¡¡ L. ¡ó6üL. 3.14 !
Itiaü'ltii,FAinr,/ira,
\G=
"ttG=
u,,/a=
ü,,/14\l=a
\E=A,/i=F/"
:.t,lt' 4
"t l 'E-|
t6=
,/l=7t"
,ra1^6=A
lfú.u\ElAr'iT-
.!,/í +7
FU\CIOÑÉS HIPERBOLICAS 29
t.50
8.53
l.5l
¡t¡. tJ
¡L. t-l
¡i!. &t ¡ tt g-!
8.54
¡i!.35 Fla.,-,
Sir- e¡hJ, e!¿o¡@rr - senh ¡ ¡..ll¡ndo.l,.¿o hiEt\óli.o Rítúo d2 r Dr D¡ren 3inil.r.¿d¿.
liE¡ l¡. d€D¡¡ tuncioné6hip¿rbólic$ Ecbea6. L$ funcio..6 hip€¡bólic,s @ip@s.on núllifo¡n.rysl i¡ü¡lqu.n €l ..m ds l* tutrciond tüonoñéhic.¡ Fciprc.d Jv¡r* l, D¡:¡n. 11. ¡o. Iin ¡End ¡ lG v.loDs pri¡cip.¡.s!.¡. lo. ruL. el¡.6 pu.d.. omid.¡¡rs unilomes.
I¡ ¡i8t¡ ¡i8üidh .it¡ ld v¡lo@ p.in.jpáLr Ir no ser que se indiqü¿ to conrñ¡iol d. l¡¡ tuncionE bipe¡bóli@sqbr@3 ctpwdo. p.r D.¡io d. funcio.¿r loc¡rlnid..r ¿l doñinio.¡ que $n Ea¡.s.
,¿ I [mh-rr>0.rv l lorpr incip. l l
a55 e¡h-., = tn {, + }G'+ r- )t,5ó cqh-l, = rn(, + lGi=i)
..r, .*-', = ;r(i*;)Lll
!.5t
t,60
.*-', = "1'(il-l)
/1 t - \cb-, , = ' t rF+ ! ;_r /
"*¡ , - , , = ," /1*. f i "*r)\ ¡ t r ' , /
f3rb rr > 0 *ralo.pú.cip.l1
30 fUNCIOÑES HIPEI{BOIICAS
l.ól
4.62
t,óil
tÉa
t.ó5
4,6
4,67
t.ól
a,7l
l.ó9
t,72
t.70
Fia. &z ¡i& 3.3 Fb.8-9
4,79 ? = c*h_' ,
Fia.8.I0 Fi!.311 ¡itll2
FUN CIONES ¡IIPERBOL¡CAS 3l
8.75 cú(i,) = co¡h r
8.70 s& (i¡) = sech,
8.81 co,n (i,) = .osr
E.l4 s€ch (i,) = sr
1.7ó t¡¡ (i,) = ¡t¡¡h,
¡.79 coi (i¡) = i.oth,
8.12 t¡nh (ü) = it¡n,
8.85 corh (¡,) = -¡coi¿
En es!id. consúer!Enos que A * cuslqüi.r e.bro.
l.ló enh(¿+2¿") = *nh¿ !.t7 corh('+tti,t
l.a9 ce¡ (¿ + 2Ér¡l) = ceh, 8.90 ren(¿+z*'i)
có!h, E.ll t¡hh (, + k',
ech, !,tl .oth (, + irr)
-b.,lF=7li
Si a t. son E r.¡ y ú D = ¿t- 4@ ¿! sl d¡s.¡¡ñ¡¡¡¡t¿ c¡lo
(i) E.L.r &.¡.úL.3i D > 0
{ i i ) E8l* . tu¡*3i D:0
(iii) dnjq.da..onpr.j$.i D< 0
i.a 8¡,r,,..onI..Éis,.ntoncs ¿t+ t. = -b/L v t\,t ='lú'
ta sol¡c io.¡ . tD<0
don¡L rr, ,2, ,r .o¡ I!. aE¡ niel
g6,a.- 27n, - zdln=-- '
dond. cc r = -Ely':4
s= { f+Ve+Er. r= {F-VQ3+E
f " , = s+r-¡" ,
j , , = +(s+ f i *d, + +iv3(s- nl,r = -*(s+D - i¿¡ - +¡V3(s-D
Sid!¿:,¿! .on E l¿s r t i ,=4ú+¡! cseld¿6. ' iñtn¿nr¿ enlonÉ.
(ü ün. it L¡ ñi¡x d Erl y dos ron mDpl.¡s @njüsldts si D > 0
(ii) io.Lr l¡' Fil¡ rón d¡.r y por ¡o n.n6 dG.!. eu¡s son isr.l.! !i D - o
(iiil .od¡. L. ña*$n éd&ydietintü ¡i D < 0
SiD < O,.l.¡¡c!lossinplific.ú.di¡'t .l uso d. la tnsonom.ti¡
,V- cd( la2V=O c6 ( i, + 120.)
2V:O cor I l, + 2aoe )
r'1:'
9.5
32
SOLUCIO\ES UE I-AS ECUACIONES ALGEBRAICAS 33
S.. ,¡ un¡ ¡¡íz r$l d€ l, .cuación cüticr
tó f azv2+(úú'-1ú)v+(a¡'s¡-¿i-4i., = 0
e.7 soh.¡o.€,: r¡.i úíc.sdc ""+ tl", ' J4:Gl;,x + ¡tr,,. r4', -r'.1 = o
Si todr6 las r.iÉs de 9.6 s¡ n¡lA. €l c¡lculo áe rinpljÍca ned¡.nt¿ el cñpLo d. .4u.ll! déi.min..t t.i¿ Ea¡co¡ la cual s pü.dr. obbn.r nún.M ul$ coDo ca6ci€nbd d. l¡ écú.ióñ d.dt&io 9.?.
9.1r',z+ tStt + ti\+ ,$r + .F +.t4 = tt
tptr. + rrtt4+ tÉt .+.t t . = -at
to, l d = v(¡r - '¡)' + (r,-yr)¡
,P. t , ' r )
Fis.10-l
lo¡
to,t
to.a
Ht=.t- \= ñ o
I = @+o
t.lr - t\tt ... to¡d. ü=rr- tu¡=- ú l ¡ iar . ¡ ¡ r . ¡on rc¡ . l . i v .
to.5
34
ÍORMULAS DE CEOMEAR¡A ANALITICA PLANA 35
t0.6' .o3o+ysenc
=,
dontré p: dttancia!É4ndi.uhrd*d.¿lo¡4€. o h¡st l¡ tin.¡y a: án3llo qu lo.ño l3 pe¡p€ndidlá¡ con I¡ po¡i. posniw
fln I0.l
to.7
¡0. !Atr + Err + C
! la2+ B'
dond€ €l stsno ha .is €@ogcEs dé t l naner. qE Iá dis.ancia no rc¡u¡t¿ n¿s¡¿iva.
to.9 ^", _ ##ta Edrs coincide. o.on p.Ál€l¡t ¡it.ólo ¡¡ d¡=n.
Ijr Ect¡! ,oñ DUfüaE€nt6 p¿rp.rdislaH ¡i y !ólo d ;, : -1lrr.
Fit. rla
. t " ' u ' 'fo.fo ^rq
= ,;P, * :
= ! ; \ 's t+y\ i r+ yt"-v ' , r -u," ' f l ' )
donde ¿l rtho ha d¿ Bcos€rs dc t.l mr¡.¡a qn€ e¡ íEa no Esult
Si €l óa. e €b iodG ld punioE ert¡¡ sobre !n! &u. Fis,lt¡
36 fO'tMUI-ÁS DE CEOM¡]TRIA ANA¡,ITICA PLANT,
lo. l l
d¡¡¿e (¡, t) d¿¡obn t'6 coorde.ad.s prinirivss io see l¡s cÑ'
d.n'd¡€ Elati%3 al3ú1ema ¡Jl. i ' ',r') d€no1a¡ las.u€!as 'mr
dendas lElativa3 ¡l 3is1¿n' ¡rl, (,0,1/o) ¡oi rrs cs'd¿n&
d,s d¿l ;ü€vo oris¿n o' @¡ r.s!.do !l ¡isr€n. pi¡D ivo de
- - ia ' - - - '
¡ig.le-6
f t = , ' c6o - y '*rorof2
1, = ¿'*nn!v 'cuo o r '
= . ú.¿+ r eaalu = t6¿.- .sad
do¡d€ ¿l orkln det ¡nt.nr i¡icill {r}1 ói..idc con ¿l d.l rü¿rc
snl¿nr d¿ cm'd€n.d.s I']' l p.to el ¿¡ ' '
fo'nr ún {.3!lo o
Fit.l0-?
to.t3 f , _
' ,@¿_,,eia+,0\ t =
' ' * .c+y' .o. '+trf', = (,-¿o) co.q + 1/ ,J *nr
' 1v' = (v-r"r -'"
- t, ,¡ *""dond. l¡s @¡d.nada. del nuevo o¡ige' O del sbt m. de cmrd€
n.d$ 'y
ton (d,o) ¿. El.ción co¡ .l sisléna prini¿iv' d¿
c6rd¿¡.dN ',
e .dc!¡Á ¿l .jó '
rorn¡ u' 'i.8u¡o
o con ¿t e].
li& la"A
Un Fnb P e pird¿ lúli¿r Do¡ n dio d. @td¿¡.d$ ebnrlt¡É.(¡, rl o Doi @id.tud.. D.hH (t, ,) k. .cucion& d. ¿¡¡n.forDación ¡on
to.ta I, = ra+}
F¡t.la¡
FORMUI,AS DE CEOMETR¡A ANALM¡CA PLANA 47.
to. f l (r-rd' + (,-r!)r = ¡r
FL. ro¡a
lotó"
5 l ¡ o(r-d)
don.t (r, ,) ¡on lr. @i¡.n..t¡¡ DohE. dc .u.hui.r pu.r¡ d€ciE¡nGEnci. y (n, !) li. cm¡d.n¡d.¡ po!¡É d.l e¡rb.
Ft ta-u
Si ün pnnto P .¿ bu.€ d. t¡l h.n.É q@ t¡ di.¡n.¡. .n¿E p y unptnto f'jo lu¡n.do tocot dividid. ¡br h di¡r.nci. d. p. n.. Ec¡ füflltE¡d¡ d¡e,¡¡rl Es¡lt! &¡ ¡ni con.t .r. I l¡Ltud¡ .¡..¿¡r¡cidzdl.
.¡ noDbE d. .ó¡iÉ ft¡t ¡ @n¡¡ * ll.D..a.i debido ¡ qü. e oblis¡s¡ co.t ¡do u¡ 610Í.ru. pLno.dit Enr.¡ a¡
Si c¡ ftu É siril¡ . ¡bitn¡i¡ ñ.¡r. .n .l o'L!. O, y .i oe -
p y ¿M -¿ f'ó.e l¡ !is. r0r4, treeión ¡l. un. córi.! .¡ mrd...d.¡ pot,E¡
IIIII
to. t7 ,= o = .Dl - rco. . 1- . . f l .
li) unt.lip.¿ ri . < 1(ri) una p.¡lb.l¡.i .= 1(iii) una hip¿.bol¡ .i t > r. ¡i3.10¡2
38 FORMULAS DE GEOMETRIA ANALITICA PLANA
lo,la Lórgtld d.¡.t Dáyor
lO.lt Lonsitud del ¿j. ¡enor
10.20 l¡ dühnoi¡ d.l óDt'o
lo.2l E¡c.n¿riciüd = . =
to.zó
t0.27
=,,/a=E
l0.l,l Esúió. .¡ cod€n.d¡¡ Eciitr3ul¡¿r:t -,^l ly - t.l'---;--+ --¡- = r
to¡t E u¡¡ó!.' úü.r.t¡. pol.E..' cdr¡.ñ o ¡ = -----44-
lo¡. E uúiód .¡ cóxt€n.d¡¡ Dob ¡ic.r¡.obFcrer.¡vFedro '
= #;*
lO.Z5 Si P...ulqu¡.r punto d.la ¿l¡p€., P¡'+P¡' = ¿a
si . l . tDrror6p.r . l . lo. lc jey,espúisoinbuEbiártyroÉñp¡¡4. .port ' - r ioto"- ,1
Si .l vónie .'r¡ d¡údo .n ¡(¡., ,r) , l. di.t .ci. d¿ ¡ ál fm ¡ .! a > 0, I¡ ..úcióñ d. I. p.táboL .!
¡¡a.lolt
fu-tdt = 141.- td l, p.¡¡bol. ¡e óE hlci. la d.Écn¡ fn5. r0 ral
U-t.P = -bk-tl d l. p.dbol. & ¡bE hda L izqüied¡ l¡is- tG¡51
to.2t
S¡ .l fo.o r hdl..¡ .l o.i!.n l¡rr 1c16l L éwió..n @rr}¿n.d.¡ pol.E3.¡
¡rL. r0-r¡ Fia. r0.rt Fls.loJa
,'
E .t aD .d qu. .l + e. p.ÉLlo .t .i. r, h¡y qu. i.t uEbi.r '
y, o EDDhr. t lor l' - t lj 00" -.r1.
¡ORMULAS DE CEOMETruA ANALIT¡CA PLANA 39
Elr t+1?
lo.tt hn¡itnd d.l .¡ ú.yor ¡? = t
lOlO r¡nsiiúd d.l .F úor ,'a = 2ó
lo¡l Dr.Enci. d.l 6núo c.l rdo f o F = . = y'-.t¿ ót
- ,JiiFfo.t2 Er€nrnc'd¡d , =
í= "
to.t¡
to.L
to.t5
to.ta Ecu.cióú.¡ córd.n.ür lolrd .i c..t¡.obE.l €já x y F s háll..n o, r = ¡ _. a.-4i-ll
lO.¡7 Si ¡.r ú puto uhui.¡ .L L hip¿.üo¡., Pf-Pl" = f.l ¡kró d.!.'d. ¡1. I¡ óD¡l
si.l.j. uyo..! p.n¡.lo.l.j.r, h.y qÉ int¿uDbi.¡ t y, o ¡ÉDl¡-ra Do. l' -, Io 90ó - r],
ll.l E u¡ción én cordenldas poLÉ!:
r. = a2 s2.
ll.2 E w¡ór.n cod.nrd¡¡ Ectl¡3uláú:
l"+ t')' = d\"- i'l
l ! ¡ An, l lo forñ.do p.r ¡a nABy. l .F ' =
ll.a ¡q @mpE¡d¡d. D.r u¡o.ir lo¡ l.rot = Fit.lll
It.l E uftion€ cr rorna p.r¡nédca:
1¿ = 4t6 - É. o)
t , / = ¡(1-cdr)
l l.ó AÉ. conpÉ¡dida por.l dto = 8rút
ll.7 Lngitrd d. c.d¡.ñ = S,
E.¡ c. l. dm d.!.nla po¡ u. prnlo Pd¿ ün¡.imnl|Éóci. dc r.dio. úndo ru.d. ¡¡n F.b.l¡r .obÉ .l .j. r. Fit n-,
l l.l E !¡iór .n m¡d¿r¡das Eúngul.E.:
.zt t+y. t , z. . t t
ll.9 F¡u¡cion8 en ro¡n. !¡on¿tt¡6:
f' = 4c'c,
11/ = ¿ e¡ ' ,
ll.lo AE .nemd.pór Ir cum = tdt
ll.ll Lonlitud dG arc. de 1od.l. cu¡v. = 6o
E3ú .5 ¡ cum d.s.ila p.r u. gnnlo P d. un. cim¡r.En.i. d€ ,.dio ¡/!cu.do ñ€d¡ inr.¡idn..t.6in nFb¡la¡ $bFün¡ cjnnf.Én.i. oyo ndio ¿s ..
40
F¡¡.rt¡
CURVAS PLANAS NOTABIES 1l
ll.l3 AEa.nÉa.d.por l,dru¡ = ¡*t
ll.l¡l l¡rs¡tud d¿ r*o de l. Éryr = 8.
E¡r¡ .r l¡ oM d.6.¡i1. p.r uD pún¿o P ¡|. un. cibn f.Fncj. d. 6dioa . b¿did¡ que ru.d¡ pór ñÉñ d. orú .¡hnñútui¡ f'¡ d. ndió a. E.t¡cu¡v. e. u¡ oo áFcid del crml ¡l€ P¡nl lvóru r13r1.
fL. I r.r
l t r i l
f f . f5 Eañión: s = i \ét"+rt4
=.&É2
E h .r h oF¡ qú forna o¡ ób¡. !e.o¡L y dc d.¡¡¡i¡¡rl un¡forsecundo s m.k! !.¡ Bü6 .rÉbc,( y a
t l . tó E u&¡ó¡: r=¿at
I¡.d.ció6 r = ¿ cn L coiÉir¡nd. ¡ l. iL u¡ @ry¡ liñil,r qü. *obtien l'rü¡dó fiñr l¡ du .L L ñ!- rr¡ g)oo
'/6 Édi.¡d ¿n en i-
do @¡¿n.¡o .l d. L. @il¡¡t .l¡ Eloj.
E¡ta¿l r=¿dr¡ o r=.6ra l ic , raa¡ ld.¡na¡np.r .
Ft rr-6
l l . l7 F¡!&¡ón: t =. .o¡?,
t¡¿cwió. r=¿*n, d¡E pond.. ¡. de un. cud¡ siDil.r qú€ &ob¿¡.n h¡.¡sn¡t g¡¡ú l. cúro ¡L ¡¡ ns. rl ?¡600r/a radi.n.3.!
-ntirto@ nno d d. ¡d laneill$ ¡lál Étoj.
E¡t ¡.ñ¡ r = o.o.i, o r = ó¿nn, ¿nñe2¡pét¡lo.!i¡.sp..
FL.1l-?
42 CURVAS PLANAS NOTÁBLES
ll.ta F¡@ione¡ psBméric..:
l " = ¡"r ¡ r - ¡ - ü* l r : "1,I \o/I . . /c+¡\t, = (¿ + o, *n . _ o *n I ---i_ j .t \ " /
E.r. .. l. cü'h d¿¡c¡ ¡ F¡ ün punto Pd. un. cjdnñE.ci. d€ rdio6 cú.do tu€rL rin résb¡ht po¡¿l¿te¡io¡dé órá Nyó Édio €3 ¿.
L @¡dioi{te IFis. 11'rl6 nn ms.rp..i!l & ¡..picic¡oid€-
rt, rr-a
ll.lt Ecuúioú ñEnand:
A.¡ .. ¡r o:r d.¡cnh po¡ ü. purto P d. uu ciEunbÉnci. d. i.dioó. nd¡.l¡ qú ó.¡ Ned. ¡in É.h.lii por.l ini.no! ¡t oaÉ cuyo r.dio.¡
'.Si ¡
- o/a, L orva d la qu. s nu.3tÉ.n ¡¡ ¡ig, 11.3.
¡L.llra
r r -
u- ó lA.!l.lO Filniom¡ púrm&rh..: {
E!¡ .r l¡ drv. dcerit¿ lor u' Dunb P 3itüdo r nna dbranciá b d.¡ enko de una ciEunleEncia de .¡¡¡o d ¡ú.¿id. qu. étl¡ Eda.in É.b.l.t slE.¡.j. ¡.
Si ü < ¿, l. .or. t¡.n. ls lo¡ú qú Dú.iÉ l. Ft. Il I0 y * L cond.on ¿l nombE d. c¡.loid¿ Ed!¿¡¿¿.
Sib > q l¡cünálid.Lfor¡.qú.¡u..iEl.¡¡9, lt rryebllúacícloi¿¿ olieoda
S¡ ¿ - ¿, h cury. .r L cicloid. d. l. Fir. ¡1-2,
ñt lI., ¡l¡. rt-11
CURVAS PLANAS NOTA¡LEs {3
.2t E ucioná D.hn¿,.ica. ft =
' h(cotló -
'o¡.)t ¡ , = ¿ enú
E3t! o Il o¡v¡ d.e¡it p.¡ ¿l pnnro etrEmo P d. ü.¿ cu.útúa'té PQ d. lonsitrd. a n€didr qne el olro ¿íEno e se nu.v.
ll.2:l E uociób cn Mrd¿ndÁ Er¡.gut.És: !=dlG
,t.rr t".*t*" *..u,n*", {l
En ¡. Fig. It 13 ¡¡ lítr€o v¿rjábl. O-,1 m¡i¡ h ¡í¡.! J, : % y lacirunr.Enci' d€ Ddio¿r €nr'o en (0. ¿) eb ¡@ pontos,,!y B E$périÉnc ¿, Cuh¡i¿¡pü.to Pde la..btuj! 6.loolis k¿ ndo!oul.l... lor éje r y y d€ ñodo qu. D.*n por I y ¡ E¡tsdiq.D.nt d.t.úi¡ondo.¡F¡ o P d. int¿É.@ió¡. ¡¡i¡ rr-rt
ll.2a Ecueió¡.n mrd.mdar Ed.rgüIlEs:é+Yt = e@r
11.25 Ei!.óiones p.6ñétrid:
ttr¡t As @bpÉnd¡d¡ po.a r.- = |".
f f .27 Ec'mión de f . ! . inbra: t+y+a= o FL. rr-¡¡
l l.tl E Ucion6paÉh¿t¡¡c&:
l , =.( .o.{+éeno)
ty = a{*.r_éc6t)Esta * l¡cuM d*cn|o Dor c¡ punró¿rtEoo Pdc una.uerda
€n.o¡l¡d! cn ünd ciEu¡tcE¡.id .iá mdio ¿ . b.dirtr qüe se d¿sen-vuek D¡.nrhs s nanrüne tüanié.
Fi& f-15
44 CURVAS PIANAS NOTABLES
I1.29 Ecumión on cürd.Md$ Ec¿ánslr¡Ds:
l@).¡' + lwP6 = l.i' -w1.
ll.8O Ecueio.es p.¡oBét;c.r:
l.' = (!¡ - 6') coc.
1', = to'-"1*¡'E¡l¡ cuú .r ¡. .nvolÉnl.' .L l[ mrúl€. ¡ l¡ .litÉ
t la, + 1tl6t = | b6tr'ü por l. liná . tn¿o. .D li
lf.3t Fn¡¡ó¡ eb rorn. poL. 1'+.¡-'!,'¡69t = b'
Est es h dd d.&rit' Dór un pu.to ¡ qu. s búw d. t¡¡ n.reñ qü. Gl produ'ro d€ ¡'s ditl'¡ci'¡ 'ntÉ
P v
dor puDt6 fiio. ld¿ü¡¡o..n.. d ¡ utu d¡.¡nci. 2tl.¡ ur. co¡.¡nb Ür.
t ¡cü¡v.s¡dL.doptrr l ¡ for¡ .d.1.¡¡¡ .11.Ú¡af!qu.ü<¿oqüoü>d¡sD'c ' l iv iñ 'nt . 'Siü-d 'bté_ñ.Eo¡ L @ryr Il.E.d. ¡"n¡¡'@!d [¡ig. 1l.11.
a
l ¡J2 Eaueión.n forD. p. l . r : t = ó+44.
56 lrQ urá l'¡eú qu. un€ .l ot¡sen O con ú¡ p!¡io culqu¡.¡. 4 tL u'¡ cinnr'F¡ci' d¿ di¡rn'{¡o d qu' p¡u
For o. É¡t ¡e¡ .d! dun .. et tu¡¡r 3Fn¿tri@ d. todo. lo¡ Dr¡¡or P 'tr¡
ld cuL. Al - ¿IrdM ion. ¡! lore..L l¡ F¡¡. rr-r9o¡. F¡a.11_20.€túú qúó> ¿ oü <¿ 6.Fctiqent' Si ó-¿' E
óbti.n. ¡. curvr ll¡ú!ü ..rd@¡.¡. I¡ig. rr-{.
"(
¡lr.l1-1? ñt rr-t¿
¡'lt ltJ6
Ft flJg n¡.11-t
CURVAS PT¡NAS NOTABLES 45
l l.!l F.!tuión.n c@¡d.n.di. EtaryüLÉ.:
! '==L
l ! .L E úióna p.nn&nc..:
l ' = eú.1 2d úr'.t, = .;;,
E t¡ 4 L @N¡ dsetit pór ú¡ pu¡t Pqü. s nu€v¿ de t'l
n.¡.n qú l. di.r¡ncú OP - di.t r.ü ¡S. g. ¡..8p¡€' 'n
ál pÓ_
ht¡ú d. lr.tati¡dció^ .Ll cubo, qe cofui.¡. .n anon¿hr 'l
ládo
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Ld nún€ós ¿, ¡¿, Nqu. son p¡oporio.sles a Ios cosenos dü€do@s | ¿, a, €on lt.m.dór ¡¡r'¿ros d¡r¿c¿rEr.h Ela.ión.ntn ellos ¿6tá dads Dor
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FORMLLAS D¡, CJ]OMETRL{ ANALÍTICA DEL ESPACIO 47
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48 FORMULAS DE GEOMETRIA ANALIT¡CA DEL ESPACIO
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Fr¡.r'¡
1v = {+vo .
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FORMUIAS DE CEOMETRLA ANALTTICA DEL ESPACIO 19
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¡'iÉ rt¡
U¡ ¡rnto P pa.t r.r lúlir.do poi D.dio d. c@rd.r¡-d.. .i¡i|dtt@ (¿r,r) Ie¡¡!. n!. P-I lo bisbo qu. porMrd.n.d¡r @t n!!Ls (r y, r).
Ir¡ écIEior* d. iüntfotuáción .on
t .tr.t¡ 1:
-rl::¡[. = .o+a
Fia.l2-z
FORMULAS DE CEOMETRIA ANALITICA DEI, NSPACIO
Un pu¡tó P9ued.5er localizadoFrr nedio d¿ .mdenad.s .sf¿.ic$ (t,r,o)lváds¿ Íis. 12'31 lo nismo que por cóordenadas redr¡.
t.r¡ daciones d. 1¡snslorñ¡ciór son
r2. t t
| = y*a+a
lt = có. I l,/l t, + t2 + 'r')
Fi:.11.3
12.20 t - 'o)2+(y-t /o) '+( . -zo), = E,
dond. el e¡iro d¿ la €.réá és (,0, r0,,0) y el hdio n.
¡ir. r¡-9
12.2r 12 - zrotc@lc oot+ r3+ e .o)z = Erdond¿ ¿l cerim d.l..sf.¡a án mrd€nad¡s .itindncar s (ro, ro,,0) y el radio fi.
Cundo.¡enrror. h. t tocn etors"n tspcu.. iónc¡
12.22
1r,23 /! + ró - 2ro' sen, sen ,o cG (o - eo) = ¿r
do¡d..1enlrode la€sr¿Ee¡ cooidenadrs¿réric.s.s ('0, r0, Ío) y¿t ¡"djo n.Cu¡¡doelc¿ntrcshal l ¡eb.¡o senl !ecuaciónes
12.21
fORMULAS DE CEOMETRLA A\ALÍTICA DEL ESPACIO
12,25( r - ¡ ¡ ) ¡ (y ,0F (z - znr
;' + --¡- + ., : I
12.26
do(le a ¿ dendan lG sGEr+. dc l. *.ció..üpaiú.si ó = o e 1¡dlá d€ u. cilind¡o ci¡@l¡r d. Édio ¿.
Fi¡.lll l
12.27 a+ i =c,
12,21
52 FORMULAS DE CEOMETRL{ ANALTTICA DEL ESPAC¡O
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64 DBRIVADAS
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d\! ! ! !e! . . ) = dLtd! ! . te! "
d@a) = u.ra + Drr.
S¿, /(r, rl u.r lu¡ción de dos varilbl* r yy. E¡toncs la d¿linición d. ti d¿riúd. p.É¡.1dc 1(¡ y) con tup.ctr,n&,6rída.bFr
t!.51 At . . r+^r-r \ - I t . l ta,=¿Y"- ' - - - - - ; - -
A¡ilac¡menle la de.ivsda párill d¿ /(¡, :y) mn 6p€do a ',
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Lc Esulladü e¡pÉsddG.n 13.613on k!'l* 3i la lunción y rü. d.núd* p.rci.l.. lon mnt¡nus, o ¡ea que e.es1¿ c,8o noiDpod¡€lod.n e.que se elRi,í.1¡ difeE¡ci,c,ón.
I¡dife¡c¡.i¡lde /{¡, vJ s€ dennc.omo
D¿ mncm es.t¡nenb rn'ilos¡ * d¿ñn. l¡ di&encül de !n tun.iorc¡ & aá. d. d$ vr¡iiblét.
s' á = t(.),enroneb \ .s ü tunción cuya denvt¿a c. /rrt \ v der oñ¡' drh.da \ odo ¿? |
dplrnid¿d.¡u, . loculsc.r . ¡ rbeJ/k 'd¡Pordmp3nc..¡y. t / r ¡ ¡du," . -*" ; :=/{u).Puc$oqf
Ir d€riv.dá d. uni co$t ¡b.3 am, aodlE l'E de¡iÉd,s i¡deli¡id.sdifi¿Fn ertre siDorunacorst¡nt.rrbitn¡ia.
V¿ft¿ L d.li nició¡ rl¿ i¡t¿gEl d.finid. .n la Éaina 9,1. El prcc€diniento $suido !a6 lu¡¡¡r ¡a iniqr.¡ se llara
^dnr¡ru..ió¡ a a ú son tun.ione8 d¿ tj ¡, ó, p, q. a son conslanis,con I's rst¡iccio¡¿sque ¿n casod.do*
indiqún; ¿: 2¡71&a 6 la b¡s n.lur!¡ d. ¡os lq¡rirnci In u es el loerrilno n¡¡uml de u suponi¿ndo queL>ofe. !€.eal, p{¡ padd ap¡icá. ¡.s fómulss e¡ lor osos ¿. qle ! < 0, Enllade ln ¿ por ln ulli to¿os rosúng!¡os et¡n G¡pb.dos €r ¡.dirn¿r. S. han omitido 1od$ l¡s constánt s d¿ intesrsció¡ p.r6ia¡ subenbndidas
r . . r J.d, = e
la,z I a l l r ldr = al ^r \d,
r . r J¡¿! = *-J"o" l rnt¡gÉció. po. p¿tuq
t . .3 J{¿=úa¡r ' . . )a" = l "a,= Í ,¿" ' Í -d, ' . .
57
V6$ lo rf.Fnrc¿ l, intsgEc,on g€n.¡,1tr,&¡orp¿üren Ir.43
vs ! ¡\út¿, =lf no^
r.c t rq"1¡a" = I"n#,^ = I *ry,*vt ! " .a"
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68 INDEFN¡D¡S.
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r . . r ¡ Jt r¿¿¿ = rn! .cr ; .
l . . la J ei¿ d" = tneó¿
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r . . l ! fc. ' r¿s = -@t!
l . . t t J ts ' ¡¿¡ = r .{r ts¡
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v.2t Í*¡ 'bdÁ =;-*? = í ¡ -e¡rú¡)
v.n I @..,tu = É*AA = ¡(¿+anr.or¡)
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14.2ó f.dh!¿¡
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14.27 J
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t4,2t J.othr
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r.29 Í Étudr:= erl(t$ür) o 2 t¡ú-¡.r
rr.ro J"*u"a, = r"t.r'| o --rr-'".
l43l J 4ch,¿du = t¡¡¡¡
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r l .rr J *.r, , , a, = ¡- i lnh¡
r ,., 1: * l)
IN,I'ECRALES INDEf INIDAS 69
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Jff i=- ; r ' \ " /! r"oa. = t.-l's - tn ."¡ + tt, .,0" - . - t.+I ¡s",¿"
Esta úLltinr * nrnada I'j¡n!¡a ee^.mlizdú de inteqmrión Dot pat|¡s.
OcurÉ en L p¡á.1i.¡ qu¿¿s posibl¿ sibplilieru¡s inre8nl bedianre¿l enpl€o d. nna rrandforña.ión o rurnu-ción
'p¡opirda jünto cor I' fórnul.14.6, p¡CiD 57. En la lhta sisui.nt * da¡ algun¡s t[n
v.a ! ¡o"+¿¡* = IÍ"*r*v.n f rg*+t 1a. =2f "4"¡a"v.sr J qilartta" = tf "*,r¡"¡a"v.sz I r6/6-;"¡a, =
"l r6-."t-."a" do¡de ,=¿sen¿
v.st J 4¡a+a¡a" = "l ra.*"t*"""a" don{ie z=ctn¿
60 ¡NTACRALES INDEFINIDAS
1..5. J
Ft \ / r , - t1t¿r 'J Frd t ¡n ! ) rc u t¿n u d¡
u.5s J Fa-td" =i ÍP*
rr.rc J"r',1a, - J no"a"
v.st (o(*^ ' r )¿, =, f rp¡"*"a,J \ dt r
R¿sulrados siúila res se $¡i.¿n Dáraotas fu.(i.nes risonométics F.íprcds
rr.:r J.r"*,,*,ra, =,J.(#-,#")# ¡""¡",=t"i
t\ la$ pÁgrn.s 610 . 93 se ?..ü¿núa u¡¡ l¡blr de inl€sr.lé clasificads por r¡p@ ndabl.s l¡3 obseNacibn6
h*his ¿n l' eásin¡ 5? son iPu.ln¿nle aplicabLs eñ 4i€ caso En lodos las osos * ¡upone erc¡ui'h b divi¡iób
vse Í *1 = ln(**¿)
va Jffi = 2 - jnp+r'1
v.6r t#* = (@-iü)¿ - 2ü(df¡+ ó) +5h(@+ü)
v,62 Í#h = (¿,-r-üP - 8ó(sji ¡)' + 3ür(qs+ t) -5h(¿.+ü)
v.a ! 7-Pt, = it(r* r-)
v.u Irffo = -#-;r(=#)vs' Í F#a = *#t#'(r*,-)
-'* [#rF = #r¡,r.", lfif* = ;r!¡+ir'r.,+ov.o lff i = - jó ,f ir-$r.r.,+orv.o l f f i = tú-ü) '-3btg+út +"6fir*$r.r-*o
u.zo J;6ft¡e - 1 + +h(-i¡)
vt !*!¡6 = F*¡-#.#"(*#)
IN TI.]IiRAI,ES ¡\DFJf ¡NIDAS
hrz J ,"r^l'_ u1" tE b\" - 3dt'
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v.ta lrft. =;fta,r.r, t fif* = éá$-,a¿Tñ
" '" !f f i = t#rr,-*ff,+]"nw+ot,,l" Jfi# = á a#h - 4J_.uoL-g"o;*av.n l*fr* =
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rr.ro J r*+ora, = !## si ¡= -r, vús¿ r4.be.
rr.rr J,,*+rla, = 'T,:ii:: o';i,u,,; .. ,. '
Siz - 1, 4 véat. r4.l',14.67
l¡ . ¡ l f ¡ r* , ¡ t .¿, rd rJf l_ 2¿(d+óF t , ü¡rd+ó)" ' r"- - J ' ^ ' ' ' 14 3)dr ( ' | 2)¿r
T {n+ l )dt
Sin - t, 2, 3, vóa* l{.61, l{ 64, 1,1 7s.
¡r.¡¡ J *r* * ¡¡¿, = ¿r\a, + hl'+ |
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v.¿a f d'J ,.,lAti
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'L-l-dr,:¡ ,rJ G¡_TFir, - cr*_rj+ !a;J9 r" 1p, + q¡
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72 INTECRA¡,¡]S IND!FIIiIDAS
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En!o.d6 ¡a inretr¡l delibid! d.l(rJ.n1re ¡ - ¿, ¡ - b 3. d€finecomo
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si lk) = ;r(r), enlon@s po¡.¡ l-.oÉn. tuld¡rnl¡l de¡ olculo inbsrl ¿l wlo¡ d¿ I' i.k8ál ánt rior s
px.dé halLr.npl.¡ndo Ir fó@uh
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Si .¡ inta¡v'lo 6 infnito o .i /(¡) lien€ akr.o sinsularidad en dlsúñ punlo del inl€¡va¡o, Ia jnt€g¡al deñnidges llamrds ;¡!¿!ú¡ inp¡opid. Trl.s inl€g¡.L. pú€den 1D1¡se.oñ. ¡as d¿fi.idas nedü¡te el.npleo d¿ ddeüad¡sop€r.c n¿s d€ linit¿. Por ejenplo.
15.3 | l(¡) d, = rin | /(¡)d¡
t5.. ( ' n,¡¿, = r¡m flr-r¿¡
15.5 l l ( ¡ ,d¡ - Ln I t i , rd¡ sbAunpud"rnsul ' ,
^ .n15.ó | / ( ¡ )d¡ . l im | , ( ' )d¡ s d * un podo r i ' (L l ' .
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la larnulr a.terior *.onde con €l noDbrcd. r.or.n¿ d¿l r"¡¡f n¿dnl p!m,ntegr¿les definidas y6víli¿, siehpÉ que f(¡) sr co¡1inua €n ¿ É ¿ = t-
94
I \TECRAI,ES DÉFIN¡DAS 95
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96 INTECRALAS DENN¡DAS
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(n+l) = 1: !:!;ELllC
¡ l {+¡t = f - ! ,q2¡V;' t .3.s (2r - l )
101
102 I¡ FUNCION GAMM
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2& | r(').(, + t) =EEb ú rimr B¿ l amr lórñuh de ¿upliúaón
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que qu€d. Educ¡d¡ . l. fórnlla 16.9 mndó a - 2.
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13' I;iM;r - I
Si.n 16.15 Éhc ¡ - n.¡t F y poájt¡vo,.nro.6. L lórDut, de S¿¡rtif3 dá u,a ¡pro¡imación ú¿j¡ !.r.n!
cu.do ¿ .. .uf¡ctr.i.n.nt s¡nd. Ip. .j, ¡ > rq.
"t - ''lr-"c,"-"
1253"" '
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donde - e.Ep¡c. p¡r. indico¡ qu¿ la ra¿ón ¿nln tcré¡hi¡os. rmbc tados *aerorjñ¿ a t6 m.did, one n e ..
tó. t t
t7.t a1,a¿ = J ' . - ' 6 - a ' -1d' ¿>0,,>o
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Mediank .l .npl¿o .t¿ 16.¡. ¡igi¡! 101, e pú.de modiñcar Ir d¿finición d. a(n, ¡) p!¡! inclun bnbién los
tt.¡
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103
!H'*. !"#* = "l¡.1 s€p¿¡lción.leva¡übles
hlrl tltl.tr + t.l.rt{t}.ty = 0
ll.2 E{uúció. li¡al de er¡er o}d.r
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l!.1 Ed&ión ¿ B.ñdlli
o¡ ' - .JPe = ¡ . -n) Í eatn tP&d' + ¿
dond. r=rr-¡ . Si n=l la¡olüciónB
h" = te-ef i "+"
f r ia,+ f fN-+lMr.)¿y = "J J\ /
donde¿rind¡.¡ que l¡ i.iegmció¡ .l¿b€ E lin¡*.o. Élpecto
ll,a F,lución €Ect¡
M(',y)¿, + N(.,rl¿t = o
dotd. ¿Mldy = dN::!.
n' = J 'P-"'
+"aó^de a-yl t . s ¡( , )=r, ¡ ' ¡o lucióncer-cr .
l l,5 Ecua.'dnhoños¿n€¡
* = r(z\
104
EI-UACTONNS D|FERENCIALES BASICAS Y SUS SOLUCIONES 106
t F(al . t t +.A\a).r t = O ^" = I#!i---"
ta.Z E¡{.ción_lin*l hono!¡n.!S..n nr,ñ¡ l ¡¡i.¿. d¿ r¿ + dn + 6 = 0. E¡ior6 ¡{v
C.ro l. ñr,n¡ E t¿sydjsrinhs:
I = . t . " +.2.4
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C¡.o 3. r ¡ = p+?i , ñr=r-qi
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ta.a Ecuació. ljnal no nohosó¡ead€ re4ndo o¡d¿¡ Hay 3 c6os qü¿.o¡ÉpoDden ¡ lmd¿ 13.7.
t - o'.r\. + cz.v
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t = .p\.+ orr.-¿
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_ "* ":.c, J.,* a@t *"t" d"
#t"**u = nt t
ll.9 E u&ión de EuLr o de Cruc\vHáci¿ndo, = .¡, l, truación * conli¿ne e¡
S+t.- t t r r4+t, = st" , ty€niónc6 pu¿de EsolE¡se coeo s¿ indio ¿¡ 13.?y r3.3.
"S**fr+o, = sr , r
106 ECUAC¡ONES DI¡ERENCIALES BASICAS Y SUS SOLUCIONES
la.lo Ecu.c¡ón ¡t€ B¿r*l
y = .J.(\''l +..Y.1')
Vó¡nc I.s Fisinrs 136¡3?.
, ' f i * . t*(r4 ' - i ' , ,=or
la.ll &u¡ción tÉ¡,rorm.ü .¡. B.!sl
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¿#+ p'+tu{+ e"*+ n ' = o
l!.12 E ució. d. t !.ndÉ
l ' - . t f ;-z'¿],-*a^+u = o | , = 6,p.(¡) +.re,rr)
l t l . t b+d)+(.+r4+.. . + {o+{,_r)¿)do¡iL ¡ = . + (i - ¡)d .¡ .t úh¡ho ianiño,
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:ntilii'ülilli:¿"J; ú".'l'iifi"'"*,**.,se.p.roimp¿¡. r¡s,.iñ. '¡d.¡ohnro
tt.l
r07
t0E SER¡ES DE CONSTANTES
^m¡linución s. pEs.nhn ¡lsum.rstu spe¿iales
l9. t l+9+s+ . .+i = i ( i ¡+ D
t9. to rr+r '+¡ t+. . . +d = di+¡ lJzi+l)
t9. l l t t+r .+8.+. . .+ i r = i { r ¡+lF = (¡+z+r+,, .+,)r
re, t2 r .+2i+s¡+. . .+i . = efG %!f !41! ! :1)Si 8¡ = 1r + 2¡ + ¡* + . . . + r¡ do'd.l t n son €nr¿rcs posiijvor,.nto¡@3
rr.r¡ l¡ 1 r)& * /* 1t)s, * ... * /¿ I ')". = (,+r)¡.¡ - (i+r)\ , , / ' \ . / - \ ¡ /
t r . t r r - |+ l - l+|- . . . = r¡ !r r . r r r - |+!- f+|- . . . =;re.ro r- l+|-+.*- . . = +r r . rz r- l+|-$+," f - =+rr . r r | - |+ l - f , - i - . . .= *rr . r r f i+|+$+|+. . . = *tuo f i+f +ol* i* =#tr : r $+$+$+j. . =*p:z ro_|+$_|+. . . = $rr : r | - |+{-}+. . . = Sr r : r , . ! -$+#-+r . . = *#t r .zs $+$+$+f i+. . . = ft t rc r !+*+á+++ . =*
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n *r,l lm:,***ji: ;'.1;uTü."tí:: * $J:r;,?f#i"fl,ltr*:"ilT,ff s."trj
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mrm¡ h4nfud v diñioñ. por ei .nDlc .o ¡¡ f is . 221, a - B.
2. M¡lt¡piic¡c¡ó! ¡tr ¡. vé¿ror ro, ¡¡ úqt.¿ Si ñ .. ddqüi.r r,íh.mE t { .4.L¡ m,dFs4acaunvecro,ruy.ñ5rnnudr. ,a, E!
rur, d:Rc,on A td m,¡m que u opueih , ta d.
, r¿ú8do.r ,¿¿ú¡ r¿.u o nL¡¿
¡. sum. d. veror*. k suns o rcsurb¡k de a v B ¡,t ¡tr
:jr..,-,"* d" B,- ",;;;.;.;;;"il.:;.",".I"n1'.1;1""i"ili"f"Tllti"*511i"ülli:';l,llT,:lTl'x-t,;:1".ji,",i *|fl",".**" *_ n,"., ¿,*."" *s,, _ ;;".." ü ijs
1 4;i-.-(.)
t¡l&t-,
r16
FORMULAS DB ANALISIS VECTORIAL 11?
E3 djd¿rb qu s1. d€fi¡ic¡ón e !!.d€ áptir¡¡ p¡B .únsr ñ¡is d. do, HtoR. ¡ri Dor +nplq .n t¡ Fia. 22-3* i¡.t¡d li mrc6 d. háll¡¡ lr ¡!h. E d. tG v@¿oEe ,{ B, C y D.
i i"(¿)
¡L. 'a¡
¡. vÉr-@ uni¡.r¡@. un L.¿or ¡¡nono.s ün dor dya nrsnitud¿nlon€.. *rn un w.roi unit¡rio.n li nüm¡ diEión d€
^ si ¡ =
€e igúl a la uid.¿. Si A.r ün do4
l6Tc+ ¡
Si .{ a, c don wciores y ñ, ¡ 3on edcalrEs. e¡t¡ne!
22.! a+l t =r+a l2y ñnDubt iva d€ t ' ¿dic ión
22.2 A+\n+Cl = (A+a)+C L¿y '3qi , r ih
d. h dic ió,
Z¿¡ 6{i¡) = (ü)A = n(rA) L€y *@¡a1¡{ d€ ta Du¡liptiec'ón €Mhr
22.a (r + i)A = iA + nA L.y diri'ibu¡v.
22-5 ñ(A+B) = ñA + iB L€y dürriburjv¡
Ub rcc.o¡ ^
s pued. EpEsenr.r coleindo su o.ig.h én .lot¡g.n O d. u¡ sid¿nr d. coo¡d.ú{¡¡s Er¡ns¡l.r* si t. j, ¡Ep-s.t n vrroE ¡¡it¡rio¡ eyr dieaión .s ll DisDa q@ t¡d¿ rG cj.. p.¡itim. r, t, : E3p€.r¡%n nte. enionc¿.
22.6 ^
= ,4.¿+Ay'+A*dondc ¡rl,¿¡t,/+ 3ón los l¡anodd ,r¡ousA.n Ias tEs diF¡on.s i, j, hy ¿!,¡r,¡, ro¡ hs lr.D¡d.s.o,,
AB.ü. 0Ér5r
Fl¡. t-¡
22.7 A. B =
d.nd. ,* ¿l ríngllo fornldo por A y L
1lt
Iry.¡ tund.ftr¡.Lc:
22.4
xr,,
22.1O
dond€ A = ¡¡+¡t i+,r*,
FORMIJ¡,AS DE ANALISIS VECTOR¡AL
^.1 = t ia
A. O+C) = A' l + A'c
A.a = AtEt+ A,Bt+ Apt
ZZ. l l ^xt
= AB*^.a 03.1,
dond. ra.l¡nsulo rorbrdo.ntEAy Ayr.iún vlctorun¡l¡.io r.¡Dé.di.ú¡.f ¡l pl¡no d.
^ y B.t rr¡ ñ¡n.¡
qu.a B, r lomon un ¡nl¿m. d.¡lz).¡o lro¡ tÉ. v€do.s A B ú rorm.¡ un lisr.m d.tinM ¡¡ un d.$orch¡do¡ d. hélid .¡e..d. h..i. L d.dh4 .¡ o.r un¡io enó. d. l3O & A h¡ci. B, .r¡r¡ .' l. dift'ciór & r ..¡tn a ¡ndi6 .r l¡ Fi¡. 2251.
So¡ ñrlrb.,únd.údt.¡.t
I r l2t. f t Ax¡ = lAt h A. l
lar t ¡ t ¡ l
= t/rjt.-A.B)r + ltpt- A,B)I + U,at-ateú
t l , l l ¡x¡ = -txa
12.14 ax(r+c) = axt + axc
'2.fl hx tl = ¡É..t 1p.ÉL¡otFDo cw6 Ld6 ¡on Ay E
ll& ¡a¡
lat ^.
a, lt.fa A.(txc) = lBt t. B.l = ,té¡cr+ i}&t+ tp'c.- tg,q- app.' ll,.cr
14 c¡ c.l
2¡.lt l^.(lxC)l = volu-.r.t l ps-l¿lepip.do cuyor ldn son ^,
B, c
¡ l . l l Ax( lx c) = t {A.c) - c{^. ! )
z l . l t {^x l ) xc = r(a.c)-a(r .c)
,2.2O (¡xt) ' (cxD) = (A.cxl .D) - (A.D)O.c)
22.21 (^xr)x(cxD) = C{A.( !xD)} - ¡ r {A.( lxCD= r{a. (c x D)} - a{r . (cxD)}
FORMULAS DE ¡NALIS¡S VECTOR¡AL 119
rt I¡ d.nv'd. de una rünción lerod.r A(¡) = /r(¡)t + ¡,(¡)J + ¡,(¿)¡ ¡ré t¿ v.rirhre c.Étr¡ ! e ds6r.
22.22 # =,]s,1tlp = ff,*fft*ffoI¡r d.rir¡r¡ pádales d. ün. funció. rc.r.ri,¡
^1n l. :t se deÍn.n de nar.¡! sioi¡.r. D,Dü F...reñdidoqu. ¿od,¡ h¡ d.riud¡s sris.en .
-.""" qu. * *F.cifiq,t i. r..tr.i..
n,a
^'(* 'C.^.G'f f )
f t^.ar
-1{e r r)
j t^'t" 'e.$ =
^.h =
= e.S + ff .r= a,d,4+#"s
c¡ = $.1r"c i +
z7.a
xt,25
22.N
z\27
El oFndor m¿h * d.fine .st
2r.2. v = t jn+¡"- ta¡$
- En lk ¡ómüIá¡ qu. vi.n n . ún.i¡u.ción ED@ . ¡upon.. qú U_ ¡/(¡, !, .), y- yt¿ r, ¿)
^ _ A(,'' ,)y A = a(¡ y, .) r¡.n€n dedv.d¡s p.ri.l€¿.
22.29 cr.di.rb.t€U = sudU = VU dv, au. au?Et+ ¿yt+Et
= ( '*1*t** '*)u =
9IVEROENCIA
22.¡O Div.rs¡n. i ' d? A = djvA - .V.^ = / '( i* * jú * rr,=) t¡¡ * '¡ * ¡"r
ü - a;- d"
120 FORMUT_AS UD ^NÁl,lsts
VECTORtAt,
(id¡ +,t + ¡i/ x (¡rr + ¡.,J + /r¡¡)
l ¡ , L lt¿ a al
lar ^, a,l
/¿¡t ¡¡,\. /¡¡t a¡¡\. . /.á, .¡,\-
\; i--a 7'. \E- - -¿"/' r \E:- E/¡
= v.(v¡¡ = *r*+*
- a¿-ú'¿a
22.&l kp¡.c¡rno d. U = VtU
2:l.llt t¡pkcúno de A = VtA
1l.l¡1 OrpBdorbi.srbó.icoaplicodoo U¿.v, lu,e.u - tv - dru - a.uF' 6t r 77 a .rr-
zl¡s v(u+y) = 9u+Yy
2¡.¡a v.(A+E) = v.a + V, l
2232 v x (a+!) = vxa + trx!
* l .aa 9.(V^) - (V¿4.^ + U(V,a)
22¡t vx(UA) = (v¿r)xÁ + ¿¡(vxa)
¡¡ . ¡10 v.(Ax¡) = a.(vxA) - A.(vxB)
22.4r vx(a)(B) = G.vla - a(v.^) - (¡ .v)r + ^{v.¡)
2"a, i ¡6.4 = G.v)a + (^.9)r + Ex(vxA) + Ax{vxD)
22./F vx(v¡, = c, ó s.a que el r.1o¡ dets¡ádi¿,red€ t/eserc.
22.¡L V.(VxA) = 0, o sea qw tadiw¡e€ncüdet D¿ord€A4c.ro.
zL¡15 Vx(Vxa) = v(v.a) - vta
FORMULAS DE ANALISIS VECTOR¡AL
en|ú@ t i^t.¿mt inLli\i¿¿.le a(¿) 6 ¡. ¡iglie¡l..
12l
si a(r) = *E(¿),
22lÁ
b i .¿4t d¿liaidí ¿r L/0)
2t7
J^n,* = B(ú) +. .de ¡ : ¡ ¡ ¡=¡ . . t ¡ d¡ .h por
J'e1*¡a. = qr¡ - E("¡En Bi. és I¡ inlqrd d.tinida puedé definiée d. ls D¡sna D¡.€E s-o !!.É.n r! pasjü 9a.
Co¡lidó@eüF oe Co¡ €l épocio tndi.e¡.iona qu¿ u¡, r@ pun_t@ Plq,!r,!.) y P,(4,ór¿.) @Do .n ta !is. 22-6. Divíü@ L c;F..n ¿ Fri€r por rú ellñd ink,E€di* (rr,r!,,J, ..., (!r_r, r¡_ r,,i_r).
. t t wcrorAr4y, .J. to ¡ , rgod. l ¡ .unr C
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^(!,, yp.,,). ¿ü,
donde Ar, = A.,f t Ar,, +aat, ^t,=%+l
l . ' . t . , - , , r sd?b.. * ¡uDon. qu. L D.yor.nrF t . ¡ Drsniud.3l4,l ¡. apFrib.
' erc. d.drd. qu. ,
- ..Et Frut¿odo 22.4a ee un. e.
ocEli¡ción d. I¡ irr.snl d.fioidr comrtn lpts¡na gat.Il iDr.gül tupihná 22.¡A t¡mb¡án ¡. Du.d. 6c¡b,r
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uñk pr y ¡t de una Fsron dldrq. s_ ,-b,@, ., .t c.r" -
.," a _ t. "ruando,A,A 0 dDnd.ry.us d.nwdñ p, .cr¿¡es son c.nr inm ¡rA, t . rnelr . ¡
" ,* ,1. . . f ¡ .¿.*ln@peñd¡.nrp e ¡a i¡'ycour;á. En brqso J"
xr.52 t,^.a, - t""'t.* = orP¡r - r(P,,
tz¿ ¡OBMULAS DE ANAIIS¡S VECTORI¡I
dond. a(PJyi erd.¡ó¡n ¡d uloF¡ dt a.n Ptv Pt ñFci¡rent En p¡nidLr, ái céuud4Érdl¡¡
22.í'
donii. .l .l¡u]o ebE .l .i!no & ini.!r.l ¡.€ arn¡i¡ .n .¡ heho d. {e C .r ér¿dÍ
l " t .a,=$"t .a,=o
S.¡ ¡(r y) uú tun.ión d.iinnü .¡ un. 6sión td.¡ P¡¡.o¡r ..@
- Duátn .¡ ¡¡ F¿. 22.7. SubdivthF l¡ Etión .n t
NbEgiúó tor !.dio d. liú¡ p¡¡L|.. . lo¡ .j.¡ t y J, óúo ¡indiú .ú l¡ li3!n. S.. A,|, = ar, ar, ¿l ¡s r¡. uE d. .¡b¡rubqioú: E¡toE. L ini.rr.l ¡| F(r r) obE I . i¡fD .l
/t.!1 | rE,nda = üE > F(¡.,r.)M,
.i.DpE y dÍto qú. .l llEir..ri.t!-
En t¡l uo l¡ int !¡l ¡¡.i. t Dbiár.enb¡4 cobo
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do¡d.t = rlr)yy= /r(,) @n l¡r éuoon.. it l¡¡ cur.. PtlQy ¡d€ Brpétiv.D..t .¡ntÉ¡qu.cyó.d 1...h.ci{¡ d. 16 Du¡t4 P y e Eú. irt sd l.Db¡ó. !e puede .enbü d
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E¡¡. o. ¡¡r lll.D¡fr. i¿..rnl¿t daób. o i^t¿ttul¿. .b d8. fn .ni€rioE. co¡c.p¿d @ pwd.n ¡Ep¡nr p¡rúid.^¡ ¡¡r.tdb. ttipL. o .L uo¡¡i4.n ¡i @Eo !.n i¿r¿trLr
'ú¡1¡¡¿r .n bl¡. .i. tE. di¡.n.¡on.t.
Subdivi<ld l. .u!.¡ñ.i. s lr¡.& l. ¡is. 22-31 .. ¡ .¡eneltd rl¿¡F. ¿S,, ?= 1.2,...,* Il*e. Att ,rrt = rrr dúd. (tr, t, t).¡ dtrh púnro P d. ÁAr. ¡jd rarun. .oru¡¡ unir.¡i¡ ¡ ¡.gr.n .¡lunt P' Entotrer, l¡ i.t.!Él d€ ,!FrfE¡. d. L conF¡.¡t€ norn.ld. A .obE S .e {refn¿ $l
A.NdS = l i r > ¡r , .N,aS,ns| l"
¡l!, ¿{
FORMULAS DI: AÑ"AL¡sIs vECToRIAL
si ? ¿¡ t. proycción d¿ s3obÉ.lplanaD,..to¡c¿s tvó,s¿ t¡ Fi*.22.s1
Je.xas = {^. . f fg
123
22.54
. .s¿a sunr Npdfioe anada qüe ¿¡.ierÉ u., sgión dc votunen v;.nrones si N es la no¡nalpcjrivr (dingiüb¡ci¡ et .¡Énot y ds - N dg s¿ tie¡e qüe tvéd6€ la Fis. 22.e1
22.5t f v.^nr = f ^.o"
E.t¿ hEba t,nbién s. conG con cl nonbre dé ¿¿oEñd d¿ co u,s otz¡ftño tl¿ c?en.
¡t. r+t nt. &ra
Er, 'eo'pm¿ c Í q iL.¿ Jn, , .o, .p.r¡ t d" .p,¡r" , r . t "
l:¿1 FORMULAS DE ANALISIS VECTOB¡AL
22r, Jt o+ r to.t.torllrv = Í \rarr.Édond. t y ú EpE3e'bb ¿ubcionee 6caLÉs.
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2,6
Si !¿ y ¿3 .ob orrt¡¡ica, ..to¡e¡ ,l v¡i.! ¿, . s¡Étoi d. potición ¡
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¡ORMUI,AS DE ^¡\¡AL¡S¡S
VECTORI^¡- rt6
2e & = ü&.¡ +f;dtq +f;a". = r,a.,.,+qó{q+¡r.¿¡...
Ztm ¿r = ¿r.¿r = ¡id.i+¡,id,l+¡ld.¡ilond. & d el .¡.n n o d€ lo¡litud d¿.rco.
Si dy.5 el elenén1o d. rclun.n..nt n..s
ZrUl ¿y = | {¡h.! ú¿r. (¡rr ¿d x (¡r.¡ &¡J I = ¡!¡q¡rdlr úh¿¡.
l*,"*-@lt'-*= 1..-"#1,",0",,* =
n.7,
F ¡¡rD. el.Ácoüüno d. l¡ iñn.fo.me¡ór_
ld,h", a'ta a"lal
= lata"' ** ,,^,le.l t a.taa. d.lar.l
L lórDrlá 22.72 !!.d€ €npl¿aE. p6ñ rnnsforha. inrcsnl.¡ Dilltjpl* d.l r¡.1€-¡ cr..sut¡, al 3¡5r.n! d.tuxreuüd onili¡a.. Po¡ ¿i:nplo, * ti€'. qú
z2.r' fÍt"r.'.,,*** = ffJ<",,*,",rlfffil-,0",0"- i - - i rrlond. {€.la E¡ión c¡ l¡ o"l qued¡ conv€nid" td&p!é. d. la .nnsto¡D,.ión y c(¡¡,rr, ¡J.. er úlo. qe @¡D.Do¡d. ¡ r(¡' r, z) d4ru& rL t¡ rr..r¡om..ión.
-- i Tlllnud9n,. ReÉúnr,. una fun.ion ....hr y a = ¡l.r + ¡A +
^..¡ uo fun.ron 6ori¡r oyrl
ztjt a',aie6t d.. = !.do = * = i#-¿ü.i#
zlzs Din¡s¿nci. d. A = di'a = v.e = .^r--f ffir,o"a,r + f;rr.r,e,r * ;lrr.,r,r.r]
22'7ó Rdo'd'^ = da = vxa = r*|fi tr ^T,1=¡fu f *:-r,,".r-{r^,,,r].,**-.r[fi o,.,r-f, o"..r]"
*frffirla'r-fioa,r]..zr.7' r¡p,in.ñ. d.r ='" = # [*,(+fr) - +(+#) - *(*#)]
obs¡r€e qü. el op.r¡do¡ bi..rnó¡ico 9ro = Vr(Vra) ¡¿ p!€dé obr¿nerá p¿rn de 22.2?.
126 FoRMULAS DE ANAL¡SIS VIiC'¡ORLAL
C@rden¡d¡s cilírdric¡s {i, ,, z) [Véase l¿ Fis: ]¿'r2l
22,74
z¿,v,
22.ú
n&¿-ll C@ld.n.ü. c¡li¡dnq¡. F¡t tnt cdd.¡.rti¡..1¿r¡c.¡.
Coorden¡d¡r eslérica¡ (¿r,ó) lvqse la Fis. z'13]
2t. f r ,=r* .6. , t=rsn.*¡r , .=rq.
22.a2 ¡i = r, ¡: = /., ra = '¡e.'.xt..t v'o = -13l¡9) +
-L¿ t ¿o\ t á'ó' ' ¡&\' ó¡/ ¿*".iar^' ü)* ¡ *"'-¡ td¡-
Cootd€tr¡d¡! ciü¡dlic¡6 p¡labólic¡s (r.,r,z)
n.4
n,t5 r i = ¡ : = ¡¡+,t , ¡ : = I
-- r /¿ro a+\ ¿ov+ = ;q_É \¿¡¡_
+ a,r_/ + ,r,
l¡¡ ú.ra de ¡$ Bnpülic¡¿¡ c@ rdcn.d.¡ .n .1 pt¡no ¡}.¿ mu*1r¡n en l¡ Fig. 22-t,t. Di.h!¡ 1rs! s¡ D.ribol..hoEor@¡cs qu. ti.nen nr ej¿ c.ñún. Fi!. tt-r¡
FORMULAS DE Añ"AI-ISIS VECTORIAL
coorden¡d¡s pa.sboloid¡tes (!r, r, ó)
22,ef
22,44
22.4'
¿ = t co.o. 1t =! 'snó,,=*(4!_, : )
¿E0, r?0, o=é<2.
h! = ni = 4.+dr, ^,
=, , t '
1 á/ tu\ r , / I \
'* - ;i;:",- *a(,#) - **----r-"'i * t*) - # #_Por
Evotucióh d¿ las prúbohsde t, Fig. "2-1,,
llEdedo, del eje:, ¿l crdl p$a éntones . lt!D{¡* e¡ z,s¿ obtien¿r dG sGtema¡ de slp€.fici€s coordenad$
Coo.denad¡s cilíndricas elíp.icas (¿,|,,2)
¿ = o@h¡co.r i , =.snh¡3¿nr, z - :
e¿0,0=o<2r. -d<t<p
¡ i = ¡ i =,r(&nh!¡+*n¡!) ,
^ l = I
z2!n v,+ = . I /!¡r ¿,+\ ¿,s" ' (*"h,¡_ É",¡ \ t ¡ . ¿;/ - á7
""""3"" f';:r:i,:"i."Jf,[i,.j," coo'd¿¡adas en er prs'o ¡' s ñu'stmn en ra Fis 22 r5 r{16 cu¡vrs son
Fis.22nt. Coordeúadas citindricas eliptic,s.
22,90
22.91
128 ¡.ORMTJI,AS DD A\ALISIS VEC'I'ORIAI,
Coordeóadas esferoid¡ les ¡ l ¡ raada6 (¡ . r ,8)
22.94 ¿ = ¿s¿nh¡snr@r9, , = orDh.sen,s€¡o, '
= aesn¡co.,
l=0,0=r<_r, O=O<2Í
22.9a ¡ i = ¡ i =. ' (s¿,hr¡+e.¡ , ) , ^3
=. ,senb,¡rn, ,
22.95 v'ó : : ,¡ r ¡ -¿ /snh¡i9\¿:(snh:¡ + sn'r t rnh¡ a{\ . r ¡ l
, r ¿/ ¿. t \ r ¿¡o- ;6;h'l*.n-t;;
';\4h!¿r/ - r;..h!¡*"',-;F
Por Evolución d¿ l¡s cufrls d¿ l, ¡ig. 22 rs ahdedor del ¿j€ ¡, €l eal p!¡á .nionc8 a ll¡ñaE. +:,e obrie¡c¡ dd s¿iie d¿ suF¡ficie¡ c@rd.nd¡s. Un. r¿rc.¡a sene de 3urErfici.B coordeb¿d., *t¡i conpú€si¡por Dl.nc qü¿ p.*n p.r dichó .j¿.
Coorde¡odas esfercidales ¡ch¡tad¡s (a, r,t)
,=.4nacqrcola, r=¿@!h¡@¡r*né, r = renhtsn,
a¿0, _, /2 É, =, /2, o1ó<
¡? = ¡ ! = ¿r(@nhr¡+*n' , ) , ¡ ¡ = ¡¿co.h. td, ,
v+ = __-] i : : 4 l co¡h r s! I¿13enF{ + pf r).ü¡ f d{ \ rlJ
a/+ ;'i*^h\ n;;'", ""* &3 t- ';:) . a
-;r;i *- ,¿,F
. Po¡ Évo¡ució¡ d. Ilr cun.. de L ¡is. 22.15 ahdedor det + y, ¿t cut Dá6a ¿niobce¡ a IIID¡g e¡ z, ¡¿o6¿i..d do. F.i6 d. iuperfti.! cdrden¡das. Uno ieee.! se¡i¿ de supérffci¿¡ codenad* *ni conpu.rraF¡ pranor qu. pá¡u po¡ djcho +.
22.1t6
zr,tn
22.t4
CoordeDad¡s bip¡rlarca (L, o, z)
n.tt
22.1O
zl.t0l
zr.la
¡i = ¡! = G;¡;{;,¡, ¡3 = r
e4 - G6h'-cd¡r ' /¿4+rro\ ¿d,ó¿: \¿¡¿ d"/ d¡,
l¡¡ r¡!¿6 d. ¡,s.up€¡ñcie¡ coordeb¡d.d sob¡e el planoí so n
FORMULAS DE ANALISIS V!]CTOR¡AL 129
rt¡. ¿-16. Co.rd.nad^¡ bip.t¡fts.
Coorde.adas toroidare6 (a r, ó)
a¿.¡Gl
zt.ra1G;ü!.-@D
- !,*#To)r*(..ffi9
- r*=*r#
,", ff."1,T:i'fr"n*1",T e obiüren he*ndo sn* Irs cud.' que ap"E.e. en I¿ ¡is. 22.16 s¡Edcdo¡
Coordenad¡s cón¡cas (r,rr.,
"=+.
¡ i=r ,
I ft:¡5r,r=¡¡tI-¡r:;-=
22.106
22.r07
130 ¡ORMUI,AS DE ANAIISIS VECTORTAL
Coorder¡dd eliD6oial¡le6 (honofocares) {^,A,,)
zt.to
tét lUl¿t-r t r - r ¿-rl * ! . ' .1 ;r1+ F= +
" '=l r ' r ¡ . it ; t=rór.- t ; ;
t2.lotrl ¡ i =
] "=
[^ ! =
(o' - rx¡, - ¡)(!' -.)
(¡t - ¡xüt - ¡xút -,)
(é-rxc-¡xd-,
xt. o
Coorde¡¡d$ paraboloid¡les (honofocal6) (r,p,,
22. 1
| --L, -Jt-
I --cL ^ --¿-
t__c_- -_L
22.t12f "=t - -t " -
l^ ;=t -I t i =
(cr-rX¿'-¡Xd-,
(ü¡-¡x¡:-¡xü,-,
I+¡+r-¿t-ü¡
¡O-t- rnü-r5{ , -d(r - ¡)
0-rtu-,
22.tlt
I¡ ene d€ Fouúci corespondie¡¿c . la funció¡ /(¡), ri cúl s 6upon .t¿ñniü en ¿l int€¡vllo . S . t . + tLdonde. y ¿ > 0 ¡on co.rbnÉs. $ d¿6n.,Bi
23.t
23.2
?* 3 1." -' Yr + ¿" *" +r)' r=| \
l^ = il.'.""rc"-rya"
l '" - i¡" '""no^,;*si lG) y /(¡) $¡ osiconiinu¡s y si lG) cstrr pdjódidn.ntr d€rinid. co. u¡ período dc 2¿, o s qu¿ l(r + 2¿)
: rG), c¡toner k s:ú cobv€'se h¡ci¡ /(¡) 3i ¡ I un pubto de conrinüidd y t'cia lu(, + 0) + Í' - 0)) .¡ I.s un Dünio dc dúco¡ii¡úidad.
SüDoni¿ndo que Iá *rie 23.r convdg. h.cia l(r), se ti€.¿ que
23.3 na = ,3_."","".-
I lr '"'23.1 . .=; l f r \ . - t t$tLd¿ 1l ' ,
[ ,*
@i+ 4)iJ.28.5
23.ó 1,t."."'tatooo' = + + j, G"""+ ó"d")
donde di,6" r ci,d" son los.oelicienies de ¡oürieiqu.co{.spond€na/(rrJsla) Esp€divameore.
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132 SERIES DE FOURIER
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13{ SERIES DE FOURIER
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SERIES DE FOURIER 136
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.6. 62t .o.r¿ ,
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+ r + --¡.- -
23,t2
| ' r , '+ 4,+ ld-¡ t ty = o i=0
L. &lú¡on¿á d. ll an¿dor ecuació¡ s. lrtn¿¡ fuBiú.r d. B.tt¿l ¿¿ oñ¿n r.
4.2)
* J,- * -¿r ¡(¡ + 1) [- 2(2n + 2'
É- ¡ti{" + ZElt
2'1{,i.+2llb+41
a.t ,-.(', = -#-ni
- m3¡;¡ - ¡¡a=*a=m -- € (-l)r('/a¡-'- É.¡Tr(¡+l- i ) -
214 J_r( , ) = (- lFJr(e) *=0,t ,2, . . .
Si ¡r.0,1,t,..., Jr{r) y J-,(r) don linalmnt in.Lr.rdi€nk3.3i i t¡ 0¡1,2,..., ,¡(d.Í¡ .i.6niü .n ¡ - o nisn¿É¡ qu. J-i(,).s ¡|€rinü¡.P.¡r r=0,1 Ét i6.
Ar rct , t =,- i* ;+-ñ+16- '
z.r u" = i-$'..F*a-s6dr." ..
aJ Ja\.) = -J¡t )
)
2a.a rret :f J.k) qk - J- . ( ' ) , r0, t ,2, . . .
{.* r,1,".13;.t" n=0,,.2, .
I¡ roh. ánl€¡ior 6ñbién ¡. conee co..t nonbÉ d. /¿¡ció^ de webet o lunció^ d. N.!,¿¿¡ Jt, d.¡&.co.1uñbn ¡ d.nob. F' Nr(¿,
186
¡'UN CIONES DE BESSEL
P.É r = 0, l, ,, , . ., l¡ E l, d! L Ho¿tii¡I ü
ao r"(,) = ! 0r (,/2) + r J, t,t - ] .!l r" -, - t) ' ("/r¡"-
137
2a.to
21.12
P.É .úhui¿i v.lo¡
- I .! t-uNnrrr + 'r" + r'¡9, * *tr:6 ra con¡i¡nr€ d€ Eül¿¡ tp¡gin¡ 1l ,
o{P) = r+t+d+ +; , o(o) = o
A- cG, a . . l:f ln(',4) + y)r¡(:) - i lr,=-¡fuo F{) + d¡Ac+l¿l) -...}
¡ . ( ' ) = (-1F¡¡( ' ) ¡=0,1,2, . . .
i = 0, J¡(,) *l d.firi{¡, e¡, = 0 aicniÉ¡ qu. y,(,) *r¡ l!de6¡¡d¡.
2¡tl¡ , = ¿J.(d + aJ-rG)
A,l1 t = At.lr, + ty"l.)
A. l5 | = A¿.ls l + 8J.t4 J,r ,Jadond. z{ y I sof .onst¡nr€s ..bit¡¿.ia3.
2{t6 .r¡-v,r = > J,(,).r
a.l7
a. l t
21.19
4.20
?4.21
21.t
t.,,1,¡ - 146¡- t. '¡4
J:(,) = lu"_¡(,) _ Ji+r(,))
'tal'l =
't'-l¿l - ^J"(.1.J'"|'J = ¿t.le) -
"J.+t(.1
*t .¡,a¡¡ = *t.-,t¿
!*t"-"t"Atl = -n .t"*,1"¡
r¡(¿) salkrrc¿n idé¡tica¡ r¡lcion¿s
18t FUNC¡ONES DE BESSEI
Eñ .¡¿. a.o l¡. tuncioñ.¡ i¿ ldrt ¡ .¡DE .r .o¡ .utilio dc s¡@ y @enm.
tlg ¡a.l') -
z'2t ru.@ - \f2 -""a.26 r-.Ba) = r/-*(+ -*'¡2t .2t ru, t) = {-*( i - ' )* ,- :*+a.2. taAt, = {={:*"-(*-r*" i
t+a t',ú,1, = ffr*-"
Enplá.* l. fór¡ul. do Gu.Enci¡ o& E que ¡e de@ oh¿n.¡ E8ultldG dicion.l€s. A p.ñú de 2,(3 P pu.-dén óbt¿r.r lo. ú¡ultldor e¡Égpordi€nL. . fú(r), v¡r(r), ...
,a.zt l:'l'l = t.(.1 + tY.l6l 2a.lo t1'\,) = riF) -.YJ')
ta.tl *t" +.1 ' - lé+r1t = 0 iEo
r¡¡ elucione¡dcr. ¡nkñorecu,c'.n p lr¡E,n t¿r.,o&r aodtlt d¿.x.h B.ss.l d? o".l?n n.
^1.t2 l.ld = l-rJ¡(&) = .-¡dtJ,(1,)
. . ( . , ¿= ñcfrt I' - 1(,.T¡ -+ l -3 c/ 'Ft*
j r - { t r ¡ I ( r+}+O
2¡1¡l
¡-"(a) = tn.r-Ji,) = dd'J-"14,
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n - . . . t , 3 @Iaú-,
1-.r0-r) t_ 212-2nl 2..12-r^)11-2r) J ¡-a &l r{* I r- i)
A, t1 L.(r , = \ ( n = 0,1,2, . . .
si rr0,1,2,..., cnronc6 t,{r) y r-i(,) e¡ lincálncntl ind¿p€ndieni¿r.
Prár=0,1,* i i .nc
24.15 ¡oF) -
Lt - i ' t 4:-a, t6fr .é1. . .
2Llr r , t¿) = i+f i r+¡f ta+ 6éou+ . .
za.t7 4/¡t = I.(.,
2. r(2r + 2')l2r + al
FUNCIONES DE BESSEL 189
| .- r 1r "1,¡ _ r"¡,¡
2..ü rrk) = j
[ , ]h ¿* '*- t¡- ' t ' l - t ' t ' ) ) ¡-0r '2 ' '
C¡ando t=0,1,2,..., aplic.¡do la Éslá d. L Hospital seoblienc
za.t9 t<rl', = (-t)¡+r{rn('p) + y)ri(,) * !'>'t-tl.t,-r.-r¡t tzt"-.
-¿*!("+" ' . : t
lo(*) - or" l ¡D
do¡d. o(r) Bá &d, r.¡ ?.1.10.
21/o r¡{,) = -0n(:/a r .,rt.tu +*- fforr- * ¡urÍ.",,r*l*¡, * ...
A.1l K-.('l = K"t') n = o, t, 2, . . .
4.12
21.1t
a.a4dond€ r( y A !oó comr¡n&3 a¡bi¿Ériá¡.
¡¡,pr + ¡¡,r.r J4 .*,.a..
21.a5 ,:<¡+u|t = 2 t.tx)e
2+6 I.+í.1 = t"-,@ - ?rJ,tAA7 li,l"t = *{¡"_r(,) + ¡"+rk)}
AAa ,I',1.1 = ,t"-t(.| - rl.k)
A.4, tt:(') - .t.+í.1 + ^r"lr)
2+,5o Ltuú"(.)l = ,a.'jc,
u.sr !p-.t"tatl = '-".¡,+¡(,)
?('s, k"+,t ) = x"'t"t ++Kt)
24,5¡ x;(¿) = t{r"-,(,) + r,+¡(,)}
21,54 .K'rl.l = -.1<" tltt - rK;(.|
2a.55 .E:rld = ^t<rl"
- .K.+t('l
24-|6 *ld'x.\'J\
= -'"Kr ,t )
a.57 *ie-"K.l,D
= -,-.K.+r(,)
140
2tt.6,
FUNC¡ONES DE BESSEL
En csi€ olo l& füncio¡eG 6e p!.d€r .tpEer !.¡ h.dió d. end y coenor hiFtbótico3.
?ast r,,tet = G-""
2..5. t-vr@t = G"*,
21.6t r-,,\,) = GG*,-*Ja.62 r,n@) =
n[{("r.)*',-*-""}
A.e r,,t t - .f¿1""*, * t¡¡:\ r.." t; I t "v.¡ \
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S. puedcn obl€n€. Fiültados adicioml8 emp¡ea¡.lo l! tóoul¡ 2,I.,tti. A p¡fir d. 2¡t.A3 s pu.den obi.nd lorEsürrrdos s¡psp.ndi€ntes !
'(u,1.), K,Dl'),...
I¡s p.ri6 el. i@ri¡.d. d. J¡{,én¡) s do¡o1u po¡ B.¡¡ (') y B.i. (,) ¡ic¡do
B-.k) = á¿!-ffi*('g"1'¿&)'a.q
4.65
4,6
4.67
ra,r,r = .i"¡ffi-t -"tc+rr¡r'
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@ny_@{l '+/Ft?" _. . .
, r i:' ('- ¡- r)! (4/r)*_¡ {si+¿¡,,- t.á ------- ¡r- *- o
. I ¡ {r/rF+r ,. . . . . , . , {8¡+¡¡},+t2 i¡G?Ej r.rtr +.{r+ ¡)l s -i-K.ri(') = -{l! (,¿) + 1} B.L (.) - ¡, Bdi(,)
r \ r (n- , - t ) ! ( r2)*- . r3 i+ 2¡) '- t ki.--¡! rn-l-
+ ti ffiorrr + 't"+¡rr *"f!¡1!4rdonde o 81¡¡ d.do 6ecún 24.10, Ft¡m ú?.
2.-ro *.t(.) = -0¡('a + r) E¿¡(') +;r.i1"¡ + I - $f 1r+¡t + Srr*1+¡+¡t2¡Lzf K.i(') = -ir¡ (¿¿) + r) B.i(,) - is*t"t + 6ny - lz4)4¡r+*+¡) + ...
PU\CIONES DE EESSEL 141
,L12 ¿ty, 1 t!' - lit2+,\1t - 0
L! rólució¡ ge¡e¡¿! de Ir rnlerior .cú¡ción ¿s
21,71 / = .4{Bér"(,) + i Eei"{¡)} + a{Kd"(') + i rC.L (,)}
Fl!.2'.1 ¡ta. x-a
742 F'UNC¡ONES DE BESSEL
2..A Í , rot¿d'
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A.75 I , . r¡@)a. - ér;0) +.ro@) - I rokt d '
A.7. ! '-r6@rd.
= n^tl.) + (i-1)l--!r0(,) - 1--rr ! "'-t"6ta"
2..77 I +¿, = ,,*, t-_4- l'"otu
n.n J'g* = 6!#-a!#-#rÍ'#*x.tt Jt,1aa
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A.o í 'r\(.)¿' = -"toto * lt"et*
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u.a ! !9 a" = -t,1"¡ + [ 4ot a.
n.n ! '$0. = -#t*Í '#*
u.u 1,4-¡¡Ja' =
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2aú [ * ' r"Oat = - ,¡J,- ,{ , ) + t*+^-t1 ! o- ' ' r ' - ,6¡ a"
,1o ! . t.(ú) lalp.t d' ='lal "l
J:'t{'] - !!Ja" t|'Jú,"''
u.u !,twta' - {t:r",rr * f,('-$)t'"r-rr'I¡¡ r'b¡ioÉ Fiülhdos ¡nbién sr !¡¡idos €i e Eñpl'a a ,¡(,) Por vi(r) o,
-¡¡ 3tó.6¡Ecni¿, po'
A. t.l.') + B vrl.l dond. ¡ y I 5on comt¡ntá.
2.,o f --tolb,l d' =
zr.eo f -u 4<04 a =
z'st J"' ** t"too a =
I
(y'aTu - ").b,,/dlÉ
f t),tE=Rt^
xn f, 4¿",a = I*n f,9.* = iu.x f, --a6¡a¡
a" =
x.x t' .41*¡t.1p'¡ u = d,tatr9=F't¿t|t¡¡
t.te !' .l,t*t a" = ](4(¡)p + Ír-¡,/é)(r.(¡))!
u.n !' .41-¡41p,¡ an = p rú'tlttet =:!í/".r\@
i { ' ;r"-o"
!!, '-,u-.^n.,
2..roo r¡(,) = Gft_t, {'-,,-¡,) cor,, d,, i>-l
r{ror r.(.) = -3d'*a*or,
2..rc2 rc ,t = I f '."rr,-,,1¿ = +f".-.d,
2..ror J.(.) - -t/q\'Vrrr \¿nl
2+¡ó tu.{r)
A.rt \l',
ta,loa r.(.)
FUNCIONES DE BSSSEI,
.-9tr
do¡& ¡ €¡ áufci..t Ddt an L
dond. r é ¡ür¡cú¡r.E.rL ;ñn.t
do¡d. ¡ a ¡uñcntri.b.nt !nrd.
don& ¡ é !úfri.¡bD.¡t añn&
don& , 6 d6cicñt D€nt AÉnd.
do.de ¡ a ¡ülici.¡t úsnL ¡únde
1t3
U,l6 t.l.l -
a.Lrl y.k -
{*E*G-r-.).,f*-(.-?-,
-^ l - ! l g\
r=lú;
FUI\CI(J\ ! ]S OE BESSEL
tivas de rBJ"(,) + sr./r(r) = 0¡ r > -1. ¡i,non.¿s. h,jo lls.ondi.i.r€s indi.adas, ún válidos l,r sisi€.tesdesarolios¿i sé¡¿s
,9 : 0, n + 0, o sea que ¡ , ,^r&,. . . son .aices posi t ivas de ¿ (¡) :0
21.tot' J\.)
24. t t0
¡ ln parúub¡. s i n=0,
21.lll t(")
24,1t2
¿¡J.(x'¿) + ¡!r¡(r!,) + /rJ.(Is') +
^- =; t - f ¡ lc)r .or , r dr
4rro(rr¡) + ¿,J00,,) + ,,l!Jo(^!¿) +
, , = ¡ ,^_) J" ' tk t rotre)d '
RIS > n
2a.ff3 ^')
= atJ"(^\¿) + /4,./"(r,') + -4¡Ji(rsr) + ...
A. l la ¿, = -J
l ' ' , t ,a l^\ ,$)dr- J: l \ ¡ ) - J"-r(^JJ^. , ( r . ) Jo ^
En panicular. si t = 0,
U,ll3 f\,) = a,Jo(^p) + -4,100,,) +,.rrJ'(¡!,) + ...
2a.rfó a, = =---3- "',i'^., , rit^¡ J" ¡/(¡)J'l^¡'l d'
21.117
2a.t t t tÁ0=I
= A¡t + ArJ"(^p) + /eji(r",) + .
26 + r) Jr' ,"+ ' 1.) dz
ñ-t^,r JJr.,J".rtJ Jo '/r¡) J. o'.'r ¿'
n-0 de nine¡a que Á:0 lo seq crando rr , r ! , rs, ,
= ,{o +,{,.r.(rr,) + A)Jo(\r') + .
f" = z f'.n"¡a,.t -'ln, = fi;J"''tto'"aa",
2¡t . t ¡9
24.12l¡
¡'UNCIONES DE BESSEL 145
&S < -rr
En ¿sb sso h¡y dos ¡aíÉs in.gimriás puá. iiro.denCa de l¡s aím p3itivas )ir¡ \¡ rr ... y e¡ionc¿¡
aa.r2r í¿J = Anr"(^ú) +,r:Jn(rr,) + .4¡Jr(r*) + ...
le
21.122 l a =
aut * r,-¡ar r..ru, J" "(') L(r"') d'
l . 2,¡¡ - i r - I r / ( , )r , (r¡ ' )dr
2a.t2l s(,enr) = tolr) + 2tt\r', @2t + zJ¡k)@¡t + ..
24.124 6e¡( ,s.nr) = 2J¡(¿)seh, + 2.¡ ! ( r )*n3, + 2J¡(¿)*¡6, + . . .
2|-125 t , l '+ t ) = . j . r , t ' l r , - - t l
'=0,a1,12,. . .I¡ lnt no. & lLDida /ór'ü¡d d¿ ddició¡ pan !ft tuncio.6 de lc.*¡.
21.124 | = J{a)+ 2J,\.) + ... + 2Jh(,) r .
21.127 . = 2{rr{r) + 8J,(r) + 6J.(r) + . . + (¡r+l)rh+¡@) + . }
24f24 r¡ = |t(Jt(r) + roJ.l.) + 80r.(,) + ... + (2n)tJh(r) + ..,
A. ln i : = J, \ .1- z l . t ' l + 8J.r¡) - . .
2a.r3o 1 = Íot"l + ¿t1@r + ¿¡1t"1+ ztll"t +.
,+rtr l:l.l = ¡{Ji-.(,) - ¿r.(r) + J.+'kD
A.rsir J:'l'J = l{ri !(') - ¡ri,!k) + 3J"+!(,) - r,+l')}
L¡s fó¡nul$ 24.131y 2r.82 * pú.dén gcn€ml¡a¡.
2 €n&A.t$ r,\,)t-r\t - ¿,,rr\t) = -
24.¡L J i ( ¡ 'J-¡+,( , ) ¿ J."( ' )J"- ,k) = =-
21,rt5 J,+tlrly,Ll - J.@lYa+ tl,l = ;
2a.lló *r, = l{r¡{') - ry') + 4(,) - ...}
2t1.137 6. = Jol,) ' 2J,1.) + 2J¡,) - ..
24131 Pnb, = 2{¡ l&)+¡ l r )+¡1,)+. . }
24.f39 c@n, = 'l',
+ 2(1,1" + It , + \1., a -..'
25,1 lr t?lu" - 2.y'+ n(r+ r)1! = 0
l¡s solucio¡os de l!an!.riorecuación !e lldnan tn.ion¿sd¿ ¿¿t?ndte de oden n
En€l$ú er qle n : 0, r ,2,
25.2
,l.! eolucion.s d.25.r sonpolinonic de ksendEP¡(¿)que s pueden hall,.pD¡
p"t"t = 2+i#\," r)"
25.5 Pt(')
25.6 Ptlr)
1
*(8, ' -1) 25.9 P.l.)
25.10 P?(,)
*(231,.- 316.i+ 10ó,¡ - 6)
*(.!29r? - 69s,5 + 316r. - 36r)
¡5.12 Pr (cor.)
25.14 P,(co¡r) = ¡(3.o!r+6co'34
25.t5 Pt(co¡r) = t(9 + 20 co!2, + s6.c4r)
25.16 P!(co.r) - ; t30co!, l36cor3r-63s6r)
¡i¡(60 + 106 cd2, + r25.d¿, + 2¡1 c@6r)
#0?6co., + 139 co.3, + 281 66, I .129.oú?r)
25.t9vf-zr .+t"
146
FI]NC]ONES DE LEGENDRE t47
25.20
25.21
25.22
45.23
25,21
(n+1)P"+r(¡) (2n + r)r P¡1,) + nPt r \ , )
P:+11.) - ,P"( , ) = 1¡ + 1)P"( ' )
¿P;\ ' ) P;- t (z) - nP¡k)
P;Ir( , ) P; r ( r ) = 122+1)P"(r)
\., -r) P:\r) = nxPrl') - tP"-J'J
25.25
25,26
En r^zón ¿e 25.25,Pn@) -e P-1,) se pueden ll¿ñar odoson¿l¿sen _1=, = I
25.27
25.24
25.29 P"(1) = r
25.32
25.33
25.3,1
25.35
25,36
t<.) = AoPú(¿) + AtPtl,t + A.P'l') + '
or = lj} t, , na e¡a a,
25.30 P.(-1) = (-1). 25.31 P,(-¿) = (-1)^P,(,)
f o n inpár
P"(o) = 1. _."r .s.6. .1r tJt z.{ .b r
r ,at = ;J" r ¡+vr-1co¡ÉFdc
t"^,.'¡0" = '-t$#;f'-gP"(,)l = 1
""at = jaS"$1ll*
( es una.urva c€rad¡ simDl¿ quelien¿ ¡ ¡.oño pünto interior
148 FUNCIONEA DE LEGENDRE
l¡ solu.ión B.nÉol d. Ii auciól d€ lrs.ndE é
4.3,
25.¡a
25.t1t v"\¿t = .-
25fi
t5¡l".or
= r-'r.'"[(;),]/"'
I u.\ 'Jtv " lr) n = o,2,a,.. .
LY¡(,) /Y¡(1) ' = 1,3,6. .
l i rnterio¡ erie .e convs4 nr. ¿n -1 <, < 1.
S¡ ¡ - q | 2, . .kun. d. ll3 p;* 25ia, 25.39 .s 6nitr. En tal€¡ c¡3os.
25..2 vo) - r-¡r,.-,,,,r-.,[(-J']7,'Pd dro l¡do, b Rn. no li¡ib. ,comps'id! & un sdrodo r¿cbr o.rE¡b, m d.n@ !o. C.G) v ,
-n@ ñn .l noDbE r¡€ /¿¿c¡'tn de I2s.^dE d. xquad¿ espe.i¿.) ¿rd¿n ¿. por def¡¡.ión,
I U"( t ) Y"(¡) n = 0,2,¡ , . . .eJ') = I
I y. l r ) u¡( ' ) i = 1,3,6. . .
' . : . ' , ; .
25.¡l¡
?t... c,r"r = i'(ji)
7c'At er,) = ir(u,J -.
25.4 o,o, - _7-* r(i=) ,;
u¡..t c,*, = -i* '( i*:) -u#*i
L¡r turcion* Q,O) sllisr¡c.n rórnulss de reuíencia es.t¡ne¡t ¡n¡losls a las que ¡e dan en 25.20,25.24.Empleandoés1as sepüed.€rpEs{¡ ls $olu.i¿o ineh¡dé la 4uació¡ de l¡3éndre de 8b dr. marer
25.lt y = 4P"@) + BQ,(.)
26.1
d¿ ¿¿Á¿¿dre Nos ocup'Ebos únna
26.2
26.1
26.4
P:(")
i DEIEGENDRE DE PnIMERA EsPEclE
26.5 Pll,l = lr - r')!z
26.6 Pi@) = 3.\r- ")"
26.7 Pil') - 3(1- ¿,)
2ó.8 Pl(¡) = l\t"'- \1t '"¡""
2ó.e Ptrlx) = r5!(r ,,)
2ó. lO P!(¿) = 15(1-¿¿)3/ '?
26.11 2ññt \1- 2tr + t2)ñ+ !2
FOR|uULA
( ¡ r1 z)ÉT+1(¡) (2a+1)zPÍk) +
P:.\n ?\ifrP:"t') + (¡ n)(n+ñ+ r)Pl(r) = o
26.12
2ó.t 3
149
160 FUNC¡ONES ASOC¡ADAS DE LECENDRE
26.14
24.15
16,t6
26.1'
Í ' ,P:\nPi@td" = o
J-,e:an" * = ;
dord. 0.(r) úr turcio!á d. I4t¡dE d¿ ¡¿¡udá éFci€ [pd:¡ú rra]
Di.hD tuNidn.r en iÍLlini.I¡s.n t = il, ni.nlÉ¡ qG ¡3r) &n ¡r.ñ¡id¡..¡, = tl.
rlr tu¡.iond Ql(,) *iüf¡@¡ bt nisnar Elacion s d¿ @rEncia qu€ ¡3t) Ivé¡u 26.12 v 26 Ú1.
26,14
2llt
tl,t = a^Pil¿ +,{-+1P:+¡(,) + /-*!Pl+!(') + '
^, = ?!+]## Í-,,(,t Pi@r ¿x
4-1,¡ = 6-a¡."*,4o.1"¡
, = áPl(') + B€;(')
t " -2. t '+2nt = o
En ¿l a@ .ñ qué n - 0, 1, 2, I¡s soluc¡o.e¡ d¿ L ¿cució¡ d. He¡nii€ e con@¡ coDo Doti¡oD¡d {t tüúii.
¡¡i(,) qu€ & p!.d.¡ h¡¡t,. Dor l, lónuta d. Bo¡rritw.
E"(,) = t-ry¿ -E,..t,
7f.l
zr,2
27.11
2r'¡ Et\'l
27.4 Ht(e:)
27.5 ¡r,1.)
2r.6 E.(rJ
2r.7 Ir.(")
27.t E.(.,
2r,9 H.(.)
27.10 sÁr\
= 42.! - L64'¡ + r20t
= ütt - 1e0t +1¡2a,t-t'0
= 12817 - 18¡.¡rr + 336¡tt - 1680,
i ¡r.(.) ¿"
2f,12
27,19
H,+tl.') = 2'E,l4l - zrE,-'lr')
u:ld z"E.-!')
161
POLTNOMIOS DE HERMITB
z.l1
t.l,
f;i'-r a-qsrP *
!' --t t"'a¡' o
2t.t6
,r,ll
flr') Í A.tlo/') + Ar,¡!(.t + A.IItl.) +. .
¡, = --l= f..r'ros,t ¡¡.
D.1a
n.r9 n.F.l
2r.zr
27.24
2r¡]¡
a,ta
272!t
27
r.¡,¡ = 6"¡. - !!!:11¡,).-' +'{"-r)k-:lx"-o(2n)'-. -...
= (-r)r¡ri(¡) t,2O Er-'\o, = o
t ¡ t (o) r l - l ) ¡C¡. r .3.6. . . O¡- 1,
t' -. ¡r.. rl,) ¡t , r(o),("+ü - ,O+ D-
$r-t n"ell = -.-¿ É,*,\nl
f ié a.trl rr = rr¡-la) : .-¿ ¡."-¡o'
f "tu-t 'IJ.ttd¿
= v;r!Pr(')
4("+,, = ár*!(l) n,ktz) E.-,¡r,,/z)
E¡¡ úlri4..l¡D¡d¡ ldr'.ü ¿...1ü¡!h !.{ lo. Dóün¡ún¡ ü H.!¡nt ...
g ¡Jt(¡) ¡t¡(y) t¡{í,)dJr) - rJ¡}¡rr+ro)
'?.---7F¡- = ,r¡ri'. (. -r)1r,27
. t "+(L-.} , '+q = o
En €l ds en qu. n : q ¡, 2, . . h¡ biu.ion.r dé L aü.oón de lls!.r€ de conwn cóno potrboñiG d€ hsu..rE ¿¡{r) qe .. pDden n¡¡hr pot tt lórbuta ¿2 nodick.
L.kJ = É#rú'-.242
21.3 &(¿)
,t,1 Ltt l
21.5 ¿¡(r)
24.6 L,t t
24.7 Lt(4)
7a,a r,5@)
, r -15t4+12d-g6a+2a
-¿q + 26,. - 200¿t + 600rt - 6{x)¿ + 120
2t,, L¡ltl = I - ¡f,L! + afur - zratott + 6rOOr - $206+ ?20
za.lo LAt' = -ú' + aú. - f¡2é + 7360.. - 2O,,rOO,r + 62.020,r _ 36.284, + 6O,tO
28.t t -l=- = i ¿"k) t"
24.12
21.t3
24.11
L"+r(r) - l2r+r-tlLrl.) + i'¿¡-¡(r) = o
L:@ - ñL:. t¿) + n¿¡-,( , ) = o
'Lilx) = rL"(.) - a¿ L^-,t¿l
153
154 POLINOMIOS DE LAGUERRE
2ü!l
2t ¡ó
f -.LJ')4t,d. = o
t .-{¿.k))'d, = (rrP
24.t,
tt tl
. t = AoLÁ', + , , rLl ' \ +á'¡ .( . )+.. .
^' =
é¡¡ Í,- ''tto'^at *
24.19 ¿.(o) = it zt.zo t'4p¡a' = 4(") - *+3
¿J,) = r-r).{,. - t;-¡ + 4"1)""-' _ ... (_r),",}2a,tl
24.22
2L2g
2|21
24.25
f * - . " . r ,* = { o s i?<¡
-" L(-l).(rr' 'i r=,
i ¿lr) ¿¡(rl _ L.I"L.+1A - L.+tl')4tu1
.:"i#4t", = f'
= ,, J,12,/at
ry" + (ñ+r-¿),/ + l,-ttd = o
Cnando n y ¿ son .nte¡os bo-n.gárivc l¡s ¡olncjone dé 29,1 són d¡.trs po¡ los poli¡omios asoci.dos d€ tjgu.¡F
21.2 L:bl = #L"r,)
dónds ¿¡(&) ¿énoi. Fli.oñi@ ds I¡su.R tvó,e I¡ pásin" 1581.
2.t,t
2r.a
Lll.t = L"(')
¡ l ( r) = o si '> i
zts LiG) = -\
29.6
^et
= z.-1
!r.7 tÁ1., = 2
,E.a Latd = -s,' + 18, - 18
U).9 Ll') = -a, + 78
29.10 ¿¡(,) = -¡
¡c. l l ¿lpl = t . -$i t+rt l r - ts
zg:z tlt"¡ = t2,t - 06, + 1¡,r
D.lt Lll4 = 2L-96
2.t.la Ll.,.t =
¡{#.*"*' =.i+"29.t5
POLINOMIOS ASOCIADOS DI] LACUERRE
vr,t6
29.17
29.11
29.19
!-++!¿i+,{,) + (, r d-zr-r)¿l(,) + nt¿l-t ) = 0
f rzft"rr - r,i-'r,l
t t '^",*att = 1n-r-r¡a- ra 'r, i 11"¡
"*u;t ¡ = t¡ -*t¿it"l + t¡-*-¡l¿i-\¡l
vr,20
2?.21
=0fo- ,.'-'r'lt t Áat a"
f "' **'r'':att' * =
21,22
2t.zt
^¿t = A^r,A@t +.{-.r¿*+t¡) +,{-*¡¿l+ú} + .. .
+ = ffi t"'--"rtetnoa
29.24
L;G)
2tr.2s
= (-D"c]:x1/, . - "(-"1i.),*--' + nln- 1x'1'.t)("-i- 1),r---r +]
l"',^.," . tLit.i' d" = (¿"i#+;il("t)¡
{ t - . ' fu"-4+tLt = 0
l¡. &lu.ion.5 d€ m.l Eon d¿da8 p.¡
r.(.) = co.( 'q-,,) = -
- (;) '"*o-"¡ * (:), .-o-,r - . . .
10.¡ to(,)
na rt@)
$5 rt(,)
¡o.ó t(r)
l.l.7 rt(.t = a'a-á.,+|
lo,l l'¡{,) = ¡6cr - lo,. + ó'
lo.? f . (r) = 82,.-¡8r+18,t-r
lO.lO fr(¿) = u.r - rr2" + a,r -7.
¡o.t I ¡!ffiv = i,"o"
lo.l2 rr(-.) = (-t)iri(,)
¡o.l¡ r.(1) = I
¡o.r4 fr(-l) = {-1F
lo.l¡ rb{o) = (-r).
167
lo.ló fr+r{o) = 0
15E POLINOM¡OS DE CHEBYSHEV
r-.t(.) - zar.kl + ?.-¡(,) = o
30.t1
to.tt
l -@=
( ' f ! -* = I 'J _\ {r-¿ l , t2
¡0.20
lo.2t
,l') = lA¡ro\') + Ltrtl.) + A,r.(c)+..
^,=?I_,f f i*
s.zz y.1¡¡ = :ef01J!9!ilfl
= (" i ) - - (" i ) - 'o- .e + (" ;1)"-o-. ' ) ' - "
gr.at vt\'l
90.24 Urb)
?t ,25 Vr\,t
4t,26 VJ.t
ür.n u.Ql
lo.2l a,(')
10.!t v.(.)
30.30 ul,)
= 6¡tr - ao¿ + ¿t-l
= t98tt - L92t +ao¿t-8¿
, - r**o! - . ! ,u ' t " r"
POLINOMIOS DE CHEBYSTIEV 159
!O.12 ot(-,) = (-t)¡¿¡ib)
¡O.ll u"(t) = n+r
to.!a u"(-t
90.35 uh(o)
3O.¡l u,¡]r(o) - o
A'+|lF) - zrvn@) + Ui-r{r) = o
ll=av-\4 a"k) d' = o
l ' ,,fi=ao¡'¡, * =lo¡92
ao.ao
¡o¡t = it_,^rv\ tJ+^zad')+. . .
,/i=6 ¡t"¡ u"t"t ¿'
30.¡12
¡o,+t
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k ¡gu,lüd & cúnpL ri y sólo .i lt(,) ' r/le(,) 6 consbn@
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L¡rabl,qu€ vien€¡cotrtinu..ión hae los monenios d. in.rcia d. dil¿Enies cuelpos.Í{dos de m¿$ M Entodo!
lG c¡rs sG suü,ne que el cue4n ri.h¿ de¡sidrd unilorme les dsir. conran(el.
V'rilla dels¡ds d¿ ldtitúd ¿
(d) ,lFd¿dordeun eJ. p.rD€ñdicula¡ a la varil]lyqu. da* pn¡.¡ cenÍ.
(b) olErledo¡ de u' .¡ Fo€¡dicul,¡ ¡ L {r¡lh y qü6 p¡3. po. una dt
Pa¡alel¿pip€do recl,óngnlo d€ lddor d, ó, .
(d) alÉd.dor de un ej¿ paál.ló á c y que pas' po¡ el ce¡l¡o de lá cad ¿ó,
(6) ¿lr .d¿dord.üneiepsEl¿loa¿yqnepas!porelenlrodel¡ . ¡ ¡sb(
t¡n,n' Éct.ng!l¡r delFd¡ d.lad.6 o, ó
(d) .lrcdedo¡ de un €j¿ que ptsa po.el c¿nld d€ la lánib¡v pe¡p€ndicü
(ó) rlededo¡ d¿ un .j. p.Elelo al lado ó v qü¿ p¡sa po¡ el c€ntrc'
lMo'
Cili¡dro ci4ul¡r d. r.dio d y aliür. h
(d) ,lndedo¡ del ej€ del cilindm,
(ó) alÉd¿do¡ d. un €j. D.rp€ndimla. ál €j¿ d.l .ilindF y que pasa por €l
(.) .lE¡¡edo. d. ün .j. qú. .oircide co. .l dlD.t¡o.n úno d. ¡6 ertÉ
l¡r(¿r + ór)
Cili¡d¡o cncuhr hu*o d. ¡¡dio €:te¡io¡ ¿, ndioint rio¡
(¿) .l¡.{i.dói d.l et¿ del cili.d6,(ó) .lEiLdor d. un .j¿ Ftlondidlir d .F del cilindtu v qu. pá{ Dor ¿l
(.1 alEde¿o. de un.iqüe coincid. con el diálerroen ünod€ lü.tlF-
190
MOMENTOS DE INERCIA IMPORTANTES 191
ao.ó lámira circulr¡ de ndio d
(d) ál*d€dor dc un ej€ p€.p.ndicub¡ ¿ h limina yque p88a p.rol centó
(b) alEd€d..d€ un ei. que coincid. con el dián¿tro.
d¿ rsdio exlerior¿ y Edio
(d) alredédor de un .je p€.Fndi.ul,f al plano de Il tíñird y que Fss
tá) ahededor de ui e¡ qüe.oincide con un diÁner¡o.
40,4 Anillo circulal delgado de ¡adio a
(¿) alrededo¡ de utr eje ,rue psa por ¿l cenha, y p¿4pndiculdr ál pláno
(á) alrcdedorde un ¡je qüe coincid¿ co. €l diáner¡o.
40.9 Esfera d. radiod
:Md'
|M""
lo) alrededord€ un eje que coin¿ide con un diánelro,
(r) ,l¡ededo.dé ün ejelá¡c€rte a l¿ su!€rficie.
40,I0 Esten hu{a de.adio e(erior d v adio inbrior ó
lM(dr - d5y(¿! - ü,
zM(05 br/(d' b\ + tra'(ó)alEdedorde un ejequecoincidecon un didn€t¡o,
.h€d.do¡ de un ejé b¡genle ¡ li suxrficie.
¡rc.11 conchr eslé¡id hu{s de id,o o
al¡€d.dor de un ej€ qüe cDincide con u¡ diámetru,
rh¿d.dor de un ej€ lan8rnte a lesüp€¡ñcie.
40.12 Elipsoide d€ !.ni ejes d, ó, ¿
ldJ ¡lÉd¿dorde un ¿j. que coincide co¡ el seni.j.c,
(r) almd€do¡de un sje bns€nle a r, sup€rñcie, pa¡¡rero al s.Di{j¿ . y,una dhlaNia o deledtú.
/ to, l3 cuñu omula¡ de mdLo d ) ar túru ¡
*¡r'I", + 4¡,')
AM(16, + r')
10) alrededo.del ¿j¿ del cono,1r) alEd¿dor{te un.je peFéndiculár rl ¿je d€l.onoy qüe psa p.rel !¿r
{.) alEdedorde un eje pfi!€ndicul.r al.je d€l únoy qü¿ pasa p.relen.
¡O.14 To¡a de ¡sdio erre¡ior¿ r ¡adioinle¡io¡ b
(¿) alE.l¿dor d€ úñ ¡jequ.p¿sapor el c¿nrro de Drsay pe¡!.ndicul rl
(b) alÉdodorde un¿je sirüadoen elph¡o del toroyque !¡s. po¡¿l c¿n
I pukül¡ (!u¡.) : 2,5¡0 cD: 90,,|¡' cE
I Dil¡. (Di) : ¡,609 h8t Dil : t0_, pulaI e¡tíneiro : 0,1ts37 Du¡!I netrc : 39,37 pultI h¡ón.iro : 0,621¡ e¡ll.
I nilhcüdúd. (úit) - 6¡() ..d
I a.E - a:r.660 D¡dr
1 ¡itr (¡ - Im.b' : r,06? mnillo¡ (q.) - 61,02 pu¡gr= 0,6532 piét h.lF d¡bico (n!)= rom ¡ -?,5,32 pie¡¡I p¡¿ crllrio (pi€!) = ?..lal Srlond (D.8. U.U.) - 0,02332 nt - 2g32 ¡I 3¡lón (8.8. U.U.) = 23r pnkt= 3,736 ¡i I c.lón bril¡nico: r,20r ¡rtore (E.8, U,U,)= 227,¡ Dúlat
I ti¡oet.no (k) = 2,20{6 ¡ibE .v (lb),0,06352 slusi 1 lb (¡v) -.53,6 3D - 0,@108 .¡u¡
¡ .lug - 32,12 lb :14,60 ¡!
L rú /tt - 0,n74 ú /q = 0,62Ir ¡¡ / hr - 0,9r 13 pi€g/¡¿g1 úi/h¡ - r,46? pjól¡r: r,@ \a/h. = 0,470 ñ /a.s
¡ gnlm¡ - 10t ISld= 62,13lb/pid= 1,9,10 !lüg/p¡.¡I lblpié:0,0160¿ ¡nlcnt: r slü3 /pt€¡= 0,511 gnlcñt
¡ rewt ¡ (n0 = 10! diúr: qr{r20 kl- 0,22¡3 lbrI ¡¡bn tu.¡¿ (lbo
- {,{.É nt : 0,4536 kl : 32,ú po¡rLllI t¡¡ogÉbo tu.rzá (Lsf) = 2,205 lbl - 9,&? ntI toftl¡.t¡ {8.8. U-U.):2m0¡bf; r bn.l.rt g¿nd.:2210 Di r úo¡.ndr D¡,tri6:2206Ib1
¡ ¡lio - ¡ !¿ ¡ - ¡0? .ryi@ - 0,73?ú pie lbl - 0,233S úl : 9,¡31 x ú-. B¿u1 Di. lbl = 1,366 ju¡io.
- O,32rg dl = ¡,235 x 1O-r Btü¡ 6¡0r¡ (ol)
- a,r36 iu¡iq - 3,6? D¡e lbr : 3,s64 x 10-t atu¡ &ü (uni.l¡d i¡tuid br ¡nio) - ??3pi.lbf = 1066 juli6
- 0,293 v.r¡o h¡I ¡.ilov¡rioüoo (¡v trt = 3,@ x ror juüm: 360,0lr6t - 3a¡3 Brur .¡atrór úliio (d) : 1,@2 x 10-re ju¡¡c
r ú60-¡ juf¡o/s.a= 107.¡sior/'4 - o,88 6r /s.zI db.llo d. fúra (Ilp):550 pi. lbf/..c = $.m pi. lbtlai¡ =?,t5,7 ui¡¡r L¡bv¡tio (Lv)
- l¡{r ho - 737,6 pi. ¡bf/.€¡ = 0.9t33 Bu/es
r /ñt - r0 di... /cmt = 9,3€ x ro-..¡m'i,f¿rá : 2,Cúo x rO-, tbf/pi€tr ¡bl/pulrt =63€6 nt/út =5r7r cD d€ b.mno : Zr,6A tu¡g .su.r !tñó.1e6 (.¿E|
- r,0ú x r0¡ /d't = r,ol3 x ro. di¡!s/cñt=r...?O tb¡/putat - i6 cEd¿ nercu.io : 406,4 puk .3u
152
Parte II
TABLAS
LOCANITMOS COMUNES
N€eci t ¡mos enconlm¡.1 núñem p ls l que 10' = 2.36 = lV, Pü¿sroqu¿l0o=1v101=lO,ps¿encon
t¡árÁ on¡e 0 y I t su valor se p.dníhallar rn las l.blas de losarnmos comün¿s, págira m2
Asi pDes, para€nconÍa¡ los 2,36 bus.,nos d€ arribd hs.ia abaio en l¿ colrmna de la ¡q¿t.rd¿ ¿nc'bezádi
.on un, N hara que encontremos lo5 dos p¡ine¡os díFitos, 23. Luego p¡osc$imos h¡'js la detch' hana en
.onlrar el núhero 3729 eo Ia.olDDna encabezado con el.úD.¡o 6. ¡lnlonces iencnos que los 2.3¡i:0,3?29 o
se, que 2,96 = 10¡dre.
t, H'll¿se (d) los 23,6, (6) tos 236, (c) los 23dJ.
Po¡ el F¡obl¿na I srb€nos qué 2.36: 10',8 Entonc4,
23,6 = 10¡.¡?,¡ 236 = 102,rm¡
ñrliipl¡¿s.do s¡c€sivimen¡e po¡ 10. k..m.s
ld) tog 2316 = 1,3129
{¡) ¡og 236 = 2,3?rg
1r) roa 2360 = 3,3729.
E1 núnero 0.3729 qur heF.s iom¡do de la tabla, se llan, ñ¿¿risd del log¡¡ilno.antes dr i¡.oú! es ls.¿rdd€ñs¡ica A.si sr¡ ei¿npla, ¿n (6)la.
La ¡.sk sipienLé ¿s útil y de lácil.onp*nsión
R€gla r. ll .arade¡iri¡a ds al al nún€rc de djgitos anies duno Po¡.jenplo, pu¿sio qDe 2360 1ien. cu.rú dícilas enies de la cona, h.r¡a.teíric¿ seE
3. till.se (.) lóg 0,236, ib) log 0,0!16, (.) l.g 0.0n236
Po¡ el prubl.m¿ I saD€hos que 2,36: 10q*t. Enioocts, d,rdisndo sucecivañ¿nre po¡ 10 t€nen.3
0,231j = 100,t*-r = 10!,14 a = 10 odn
0,02J¡j = 10qr2t, = 10.,fÉ-ú = 10 ldrr
0,m2¡6 = 100,t!e-3 = 10r.tF ú = 10 :¡tl
(¿) log 0,236 = 9,3729 - 10 = 0,62?1
(¿) los 0,0236 = 8,3729 10 = r,62?l
(¿) lóg 0.m236 = 1,3729 - l0 = -2.6271
El núneñ 0,3i29 es la manlisa dcl losaritno. Fjl núm¿ro qu¿ aconpaña ¡ la man¡sa ftales .ono: I 1r.
3 10. o 7 l0les la caraciernri.s
h Rsla lisi.nl. es i(,Ly de ticil conprcnsión
Regh 2. l¿ .araderilic¿ d¿ un núm¿i. posiLlo ñeno¡ quelgrrl 3l trüh¿m de ceros qu. sisuen innedialan.d¿ d¿spLás de la.ona nis uno A-si po¡ ejenplo:pue{o que 0.00236 ii¿ne .los .eros ¡lú¿
'sn d¿spués dc la ¡,m4, l! .áE.le¡istiG s.rá 3 ó k ¡lu¿ e'
194
EJEMPIOS DE P&OBLOMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS 196
.1, V¿ri¡E!4e cada uno d€ lc sisuienk los¡n¿no¡.
(¡) los 37.2. Mrnliu : qs{o5. c,r,cier¡ric. = 1! enlonc¿s lo¡ 3?.2 : r,e,{o5.
l¡) log 395.ü)(J = 5,596¡i.
(.) lo3io0,0{42. Mr.iüa: 0,6330, ca."cb¡isiica = a r0! eblonc¿d losro0,0¡42: 3,$30 r0
(di lóg 0,m$2r = 6,9175 _ 10.
Pucato qüe el núDeD ti¿ne cuat¡o dtiid¡ ren¿Dos q!€ i¡1¿rpó¡¡¡ p.- hdl¡¡ L bs.tis. k n.hiba elos ,l63a e encú.nt¿ .niÉ la. nanlis. d. los,1630 y d€ los ¡6,10 y I ñ¡yó. qlc I. b.nli.. d€l plim€ó.r 0,3veo l¡ .tir¿s¡cia eniE l¡s d@ eontis.3.
Ma.tirá d€ los,l6,lo - 0,6666 M¡nr¡¡a d. log,!,mA : 0,6656 + (0,3) (0,ün0)
M,biü. d. Io¿ ¡6$ - 0,6656 : 0.6663 h.6L la oarlá cifÉ
Dif¿Enci, iabuhr : 0,OXl9 Enlor.6 los ¡I.633 - 0,6663
Si üi se d€@, p¡€d. €hpldÉ¿ lá tlbl¡ d€ ples p¡oporcion¡les d. L !aei¡. t !.É oblen¿r diÉd¡n..t¿la n¡niis¡ (6666 + 7),
6, v.¡i&ü6. cdr üno de lG 3tni.nr€ lo$.iin6.
(¿) loe 183,2 = 2,2630 (2626 + ó)(b) losa7,610 = 1,9421 19125+2)(¿) 1oa0,25,r3 = 9.40€2 - 10 (!0¡!a + 1¡)
(4 bsq00$,{, = 7,039 l0 (99s0+3)
^¡¡'rll,ocABtrilos @MUNÍ s
7. rltilles¿ G) ¡¡tilog 1,7530, (ó) ¡nri¡oe (?,?5m 10).(¿) T.n€oG qüe ¿montá. €l valóf dcl0!,ñ30 ?!.elo qu. la naniis és 0,?t3o nirnG d¿ ¡.rib, LciMb,io
e¡ la colum¡. d. h iu q¿t¿¡d¿ .neb¿ádi con ünr p en la t¡bl! d€ l! ¡iAñ. 205 hast qú cnonrÉbo. lo¡dG pnD¿ü dígiid, 7s. Lu¿go pm¡eguiDú i&i. ¡. d¿¿.¡¿ h.¡ld én.onir¡ et rúme¡o 666, e. L ólnú-na ¿nc¡b€rad, con u¡ 3. Pu.Élo qu. lá c!áe.tutio 6 1. Bto qui¿E .tecn qu€ lay d@ dí¿.i¿o. .¡1¿. d. l¡oEa. EhtoñÉ..1nún.b büscddo sení s.c2.
(ó) hl uü"1que én (4) €hconr6ño. cnÉ *z.l númerc 5€42 qü¿ co.r$ponde ¡ L ünti{ 0,75.?0. Erton6,pu$to qú l. c.r..telátic. $ ? - r0, el n'iné¡o t¿nd.ú que ren¿¡ d6 erd inn.diatrD.nt¿ .lespüós d€ Ircoh.. Po! lo hnto el núnembuscado sú 0,m5662.
a. HÁll.a. lnlilo8 {9,$¡2 r0)La manris 0,3342 * ¿ncuntm enrE 0,34¡(} y 0j3$ lor I¡ cúl t.n¿úo¡ qu€ int eolár. D. .cü..do .o¡ lr
6bl. d¿ 1. pási.. 20,1 ienemas,
Núñ€ñ co¡Hpondient. a oja$ : 2427 Manrú8 dadr : 0.3412
Nún€rc corHpondient€ a 0,3340 = 2,121 M¡¡ti3. ñ€no¡ ní¡ próina : 0.3&O
D'f .Én, i , r rbuhr d D'Fm. 's 0,0m,
F,aronÉa 212t + t 12121 - 2421) = 2¡22 hosta I' cuora ci frá, lu.so ¿l {tjm.¡o bur¡do st 0,222.
Ere pmbLns podríe ¡esolve¡Ee isulrnente con arad! de la tabla .t¿ p¡rtA p¡oporcionale¡ de la p¿giM 20¡.
9- Vé¡i&n€se cad¡ üno d¿ los sisui¿ntas onrt¡og¡rtrhos.
(¿) aniilos 2,67t5
(6) aniilos 9,6039- t0 : 0,,1063
k) ,niilog {,r23
196 U'EMPLOS D¡: PROBLEMAS PARA II,USTRAR EI USO DE LAS TABLAS
CALCU¡,OS QUE SE PÚEDEN EFECTUAR MEDIANTE EL EMPLEO DE LOCARITMOS
r0. P -- - -
, IoAr tos?3{.6 , toqO.O.{Jt . toq2B23,
log?31,6 = q394?
{+l log0,0,t3t :: 3,63r¡t _ lur1.5292_ 10
(-)log2a,23 = r..r5o?¡óEp - loiiss:lt = qors¡ Lu.so p = 1,re3.
Nót€s€ et cáñi.bre¡ponencialdet lnlerior cónputo, ¿s deci¡:(73a,6110,041t) (lor.srtrlo!,e¡ ror
l ¡ t - = _
r i r ' - i t - ' : l0 ' ¡s7 ¡ tq:
'0 r ' ¡s ¡004r r , ts3
u. P= (5,895r¡_ logP - 3lós5,396 = s(0,?B2O) = ¡.s56o, y p = ?r?.800.
l¿ P = \,/s¡Z¡ = (38?,2)'/,. tosp= *ioe3g?,2 = *(2,ó8?o) = r_29.r0 y p= 19,68.tt. P
^= i6ñlii = 1o.o$r7 ),tt. tosp = t losu.osrtT = *(s.e200_ 10) = *(,rs,e2oo _ 50) = 0,?s,r0 _ 10Y P = 0,6orql.
,, "
_ \, 3@¡36v(tS3?)r -* ' -
{sJ¿;Esj rÓ3r: I roF0rDr6s4 3lost33? { tos3.72{
' I los?13.8
)\un.ñd.t N
i¡ rog 0,003614 - l(?.6623 ro)D?nontudot D
1)ose,124 = al.O,91O7) = A.7625= !(1?,5623-20) = 3,?814 - 10 1los?43,6 = ¡(qs?14) _ o,?1?s
3losla,37 - 3, .26,11r = 87923-Suna¡do: tosD = ,4,a8OA
loFN = 12.67¡?_ 10
los¡J = 12,573? 10(-l IogD = 4,¡1806
r"gp -¡ osii:l; c,lun"er p qoj23e
LOGA¡rIMOS NATU¡ALES O Nf,PERIANOSr5. tldt.s¿ (d) ln ?,236, (á) l¡ &16,2, tcr ln 0,0o25,ra.
(d) Empl!íAe lá tablt d¿l' pásina nS rn?.240 = 1,91962t^1,230 = 1,97A24
Dif .En. i r ' rbular ¡¡)0l1l -Enrones tn?.236 = 1,9?a2¡ + t(o,011&9) = 1,9?90?
n€.cie¡*, significa qu. .t,t1ú1 = 7,286.(ó) Al icualcu€e.la páfr¿ (¿), en¿on1¡aDos l. sis!ienk:
j¡3,362 = 2,123r¡6 + {¿(2,12165 2,t2346) = 2)2A7OEni,n.c!
lbl36,2 = ¡n(B.g62xror) = bga,362+21n10 = 2,t2B7O + a,6lf,t.' = 6,1ZaAiLoan¡e¡io¡, erpE adoéh exponenciales. sjgnifi., qüe .r,ü¿t = ag6,2.
(.) Al igurl qúern la radc (o) eDconÍ¡ñGlo sisuienr..tn2,5!!8 = 0,93216 + t(0.93609 0,93216) = 0,93630
l¡ 0,0o2s43 = ln (2,6.13 x 10 3t = ¡¡2,5{B 3tnt0 = 0.93690 _ 6,90??6 = -6,9?246l,o ¡¡rero¡, cxpresado ¿n txpon¿,ciales. sjsnitúr que ¿
FJJEMPLOS DE P¡IOBLEMÁS PARA ¡LTISTRAR ¡]L USO DE T,AS TABLAS
FUNCIONIS TRICONOMETRICAS (GNADOS Y MINUTOS)
16. Hól lese(o)sen?4,23' . (b)crsu.t . . t2, . 1.1lan82.56,.
(¿) vérs¿ ¡a tabl¿ de la pdsins 2¡xsn7,tq30, = 0,9iii6
3€n 7{020, = 0,9623
O'r.n." ubua¡ ¡ uro¡
l9?
Entones sn?,fo23, = 0,s623 + +(0.063) = 0,s6¡o
(b) véas. ¡a r.blá d€ L sísina m7.
1.) Vé,s L tabt, de lo !¡gin¡ m6.
c&36o.10' = 0,312{
6¡36050' = 0,3107Dir€E¡.¡. rabular
- ¡6ñ
.d35o¡12'=0,3124 - ra{0,00¡7) = 0,3r2r
.o¡35o¡2' = 0.3107 + *(0.0017) = 0,3r2r
trn32o60' = tán3300, = &1¡¡43fan82o60'
- 7,t630DileEncia t¡buL¡ = OJrl3
t¡n32o66, = ?,9530 + r!(0.r9t3) = 3,06?a
17. Háll*e (¿) col45'16', (r)str?Í1a,, (c).sc 23"33.
{d) Vóase h r¡bla d¿ ¡a página t09.
lot46010, = 0,9942
rot ¡t6o20, 0,e834
o¡r"**,u,"o¡- . -opo¡s
(6) Véas ¡á tábls d€ l, priginá 210.
(.) Vé,se la rabla de l, ll¡si.&2r1.
m¿¡16o16' = 0,99,(2 1100053) = o,smz
6t45or6' = 0,9€3¡ + á(0,053) = 0,s07
.*73o60, = 3,592
s?3e40, = 3,ó56Dif€rencia rabuh' =
-¡ñ&c?3o¡8' = 3,556 + !!(0,66) = 3,545
c*23o30' = 2,096
c& 23o,r0' -
2,0a5
Dir.renci. táhuh¡ = ;.d;
crcnq33 = 2,096 - ¡n(0,0]l) - 2,093
esc28'33' = 2,086 + t(qoll) = 2,093
198 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA IIUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS
FUNCIONES TRTGONOMETRICAS RECIPROCAS (GRADOS I MINUTOS)
13. RÁtlese (d)sñ-r(0,21{]), (ü) c@ ¡(0,54r2J,(¿) i,¡ '(1,1536)-
(a) Vórs. k ldbla de la pí¿ins 206.
"e. 12"20, = glqDireEncia ¿¡bul¡¡ = 0,0023
o 2l4J 02r16Pu.{¡ qur02i43"e¡rcuen,B,
, im.ñ id.Lo,r .Fn' . .en,40.?r16v0.2rb4.cl¡nelobu¡
.ado &ñí 1220 + ¿{10') = r?22.5'.
(ó) véos la 1'bla de I' página m7.co¡5?ol0' = 0,5¡22
co¡sr.zo, = !!91Di¡ePncia t,bula¡ = 0,1)02,1
,05{r2r= 6?'ao, 0:l!3--9-!I9lro ) = s?"r,r,2'
(o.s{r2r = 5?.10 +04 !IAJ11¡ ) = 6?'14,2'
(c) véa* la tabl¡ de lo üigiu 203.
DiLÉncia labüLr = 0,0067
bn , ,1.1s36. nt"p ¡ I l$6 f f i ¡ ¡ to,r 490{,8
Se pFcede d¿ nane¡a sinilarcon 1.3 orms bñ.ianes tns.nonétiids Ecíprccas.
FUNCIONES TRICONOMEIRICAS Y TRICONOMET¡ICAE RECIPROCAS (RAD¡ANB6)
19. H l€s€ (¿) sen (0,627), 1ó).os (1,056). (c)t¡n (0,153).
id) VúE€ Ia iábla de la p.gina 213.*n (0,630) = 0.53914
s¡ (o,6m) = 0,5aro{Dif€Encia labu¡$ = 0N410
Ento¡ces en (0,62?) = o,5ar0I + fd0,00610) = 0.$67r
(b) Vóa* la t¡bla de la pigi.¿ 2r{.
Ento¡c.s
(.) V&Be la labla de la póeina 212.
¿ó¡ (1,(50) -
J,,t975?
co¡ 0,000) !1$IDifeP.ci' t¡bul& = 0,0{1370
co.O,056) = q4?57 - 15(0,004m) = 0,¿9235
c6(1,056) = 0,{333? + trc,006?t¡) = 0..1s235
lan (0,1m) = qr¡jr33
tan (0,15o) = 0,15r1,1
Dif¿renc¡o t'bullr = 0,01024
t .0,153) = 0,1511{ + ¡a(0,0102{) = 0,lr2r
Se po..de é.i¡rns siDilár.¡n las ótás tuncion¿s Iryononctncss
EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAK EL USO DE LAS TABLAS I99
20. E¡ill6es¿n_1(0,512).¡ ridio¡es.
véás€ la 1¿bl¡ d€ l¿ Dágiñ. 21js.n l0.i{0) 0 tr4r4
' ' . - " ,1
En'or"c. sr ' r \ ¡ , r '2 osro -- - - l -
¡ , u. . t :cmd.én¡.
lk pro@de cn forúr siEilár.an l¡s otas tun.in¿s tisonomóticar ecí!ñcas
LOGARITMOS COMUN¡JS DE LAS I'UN(1ONES'IRICONOMETRICAS
2r. Hállece (o) logse¡ a}'r?', (ó) loscG44 44'.
(d) Vóae la bbla d. la DúAiná 2lr_.lo!¡ sen63020' = 9,e512 I0
los serrl3ol0' = 9.9505 10
m'
Entonú los sen63o17 - 9.9505 10 e idi0,0üJ7) = 19510 r0
(ó) VABe la 6bl. d€ h pás'¡, 2r9.loe cos43'40 = 9,3193 1o
los.os 13"50' = 9,3131 - 10
DileÉnci¿ r¿buldi
Entones l¡scos43"4¡' = 9.3193 10 rt(0.0oll) = s.3192 10
o log cos43"J4' = 9,3131 10 + ¡!(0,0014) = 9,31S2 10
S. pócede en torDs siDild.p.E h¡ll¡r los losarihc de l,s o1¡'s lun.i.¡es figononér¡i.as. Ob¡éNes¿ qü.
loaecr= loAccr, logcor, = * log lant , logcsc: = lossenr.
22. Si lag bn t : 9,6a.l5 10, háll8s. :.
Véase la bbla de la ¡rgina 2m.
los tán25c50' -
9.6350 - 10
los tán25' '10' = 9631? 10
Dilrenci¿ rdbul¡r -
o.r,t)il3
Enton*s '
2t no , 1!!16 eisl? ro , 2i {F r0.t{)ll
CONVERSTON DE GBAT}OS, MINUTOS Y Sf,CUNDOS EN RADIANtrS
23, Convió¡tas?s'23 47 enrdianes
Véss la r'bla d¿ l, ¡¡siM 223.
100
5) 0,047267
20 0,005313
3', . 0.00232r'
.10' = 0,1i00194
?" = 0,0110014
16'2a 41" -
r .3 l?370 radiaoes
200 EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR E¡, USO DE LAS TAB¡,AS
CONI'ÍTSION DE RADIANES EN CRAI'OS, MINUlOS Y SE]GUNDOS
2zL Convién.!. 2,547 radia¡es¿n sisdós, minulosy s¿gundos.
V¿&e la bblr d¿ ¡¡ !úgin. 222.
@NVE¡SION DE RÁI'I,INES EN FRACCIONES DE CRADO
25, Convién.eé 1,3a2 adianes en eradG.
V¿.s la t¡t¡a d¿ la písin¡ 222.
0,m2
FIINCIONES HIPE&SOLICAS t EIPONENCL{LES
to. tl¡ll€s (d).it¡, (ó).-a'r.
(c) Vó.& l¡ l¡bh de tr p¡isina:26.
2,54?.ad¡anes = 1140114'116.5" = 1{60 66' t6,5-
6?,29ó80
t7,1AA1q
4,$3?q
79.14244
(t) Vó.E. h bblr de l. púsiru 22?.
.ó,s = 200,34
é,¡0 = 131,2?Dif¿¡encia labura. = -ñ¡t
¿'¡¡ = 13r,2? + +(19,C?) = 133,90
¿ Es = 0,36071
¿ qla = 0,3521¡Dif.Encü 1¡bular = ¡.0066?
¿ o.rt = 0,360?l - *(0,0035?) = 0,35335
.-4rt= 0,3521¡ + i+(0.oo6s?) - o,s6is5
B¡lL.¿ (o) *nh (!,3a6), (¿) ¡¿ch (0,163).
(d) V¿... l! t¿bl. d. l. pi¡jnr 2t¡95¿¡¡ (4,350) = €3,866
r.nh{4,340) = 63,231
D,rpFn4¿,.bLt,r 0.63,
E,.obc.6 nnh (¡,8,16) = ,r,3,t0 + 10ó0,635) = 6,221
(á) Vé.F l¡ 1.blr d¿ la pásiru 2¡o.cor¡(0.r70r
- 1,0t,!5
cosn (0, rdr) = 1,0123Oif"rn.i¿ r,bula. = O,00rz
cGh (0,rü) = 1.0128 + r!10,00j7) = ¡¡133
sdhl0.r6rr = ,r = L = o.vrorzcoltr (0, t63t 10133
EJEMPLOS DE PROBLEMAS PARA ILUSTRAR EL USO DE LAS TABLAS 2OI
24. üállés€ tanb r(0,71{23).
véase l! labla de la plfina.¿32.tonh (0.900) = 0,?1630
tanh(0.380) = 0,711¡9
Dii . , . ' ' * , "b, , , tñ9|
E ion,c. bnl Ln,7.4¡,
INTERESES Y ANUALTDADES
29, U¡ hombE dep.¡ib ¿n el banm $2300, u¡ in¡erés.¡mpu.{o d¿I5,, capiralúrble lrim¿siralbont¿. ¿Cuil se.Áls c¡ntid¿d dcumuhda al .abo de 3 ¡ños?
H¡y ün totál d. n :a. {= 32 ¡€¡íodo3 de p,so a la iss, de int.¿¡ d. r: 0.¡),5/{ : 0,0125 p..ca.t¡ períódo. Por consisüi¿nle el ñonro ¡erá d¿
a = t2400(1+0,0r25t2 = $2300(1,43s1) = s¡t166,63d¿ ¡cu¿rdo c.n lo! &los óbienidós en lá iábla d€ l¡ pisin' 240.
30. Un hombre dc¡e. Eünü $t2.0m al cabo d€ 10,ños. ¿cuáñlo dinero rendrá qu¿ coloc'r a u.s 1as d€ inr¿rósconpuero del 61 apilalizabl¿ sr¿rrálh€nl.l
El prcbleh5 ¡os pide ha¡l!¡el valor acluál Pqü¿, al cabode 10,ños, ascerd€niá lá cantid¡d d¿ M = ¡12 m0Pwsto quó hay un rúal de n = 10.2 =20 peíodos de paso ¡ ta lasa d. inrerés d¿ r-0,06/2=0,03por cda p¿¡íodo. el valarprés¿n1e seií.le
P = 512.0000+0,03) s = tt2.000(055363) = t66,r{,16
de acu€do con Ir bbt¡ de l, Égiña 2{t.
3r. Un hombs invierta l5¡l0 dnu¡l€¡ ál 6nal d€ cada,ao Si l, !a¡á d€ inlerés conpu¿rc ¿s dcla¿; r to. inr.Fsson.¿pilalizabl$ anuln€nk, ¿a ¿u¡nio,E¿e¡derÁ l¡ c¿nlid¡d rcDnulad! ¡l c,ho de ñ rñG?
En ¿dt¿ aso ¡:0.0r, n = m y Ia .¡nlidád scunulds *ió d¿ fvéa* to l¡btá d¿ ll p¡sjno 2¡21,
.s 'ofrr '0041{ r l - ¡moizsrzr, = ¡rr .sssoo
L 0,04 I
32. ¿Cuál es cl v,lo¡ pns¿¡k d€ un. seri. uniloh. dé p¡sos d€ i120 @da uno hech...t final d. c¡da p€ríDda d€3nés* du¡anb 12 ¡ñós¡16.; d¿ i.te¡ós conpuefo .,rira li ¿a ndo l.i i¡t¡Éi.. trincdnlnenie?
En este Ém h¡y z -
¡.12: 43 p€rñd6 d. paso. r -
0,06/1= 0,015 r el utor p¡Bente cs de
T, - , r n, \ ' -d l¡ t20 : : . - | i120(34.0426) t409s, ' r
L .uD Id. acft¡do .o. ls tabld d¿ l, És,na 213.
,' 5Partes !rcporcronahr
123,r 5 6 7 3 9
t7
23
35
3?
12
45
1743
53
26
0000 00c3 0036 0123 01700414 0453 0,192 0t31 05690?92 0323 0364 0399 09341139 11?3 1206 1239 12?rt.¡61 1492 1523 155s 1131
1?6r t?90 1313 134? 13?á2041 2064 2495 2122 2]4A2301 2330 2255 2380 24052663 2611 2601 2625 264A2?33 2310 2333 2356 2378
3010 3032 305! 30?5 30963222 3243 3263 3244 33013421 3444 3461 3443 36023617 3636 3665 36?4 36923302 3320 3333 33ó6 33?¡r
4112
531á
6632 6542
7243 12úl
4513 4á33
5611
5343
65?166656?63
12it?356
6661 6561
6111 6,!53 t16t 54136á63 55?5 6537 5599
5?93 5309 6821 5332
6232 62,!3 6253 6263
0212 0253 02Ct 0334 A3710ri0? 06,rt 0632 0?r9 0?t50960 1004 1033 1072 11061303 1335 136? 1399 1,13016M644 16?3 1?03 1?32
1903 1931 1969 1937 20r42175 2201 2227 2253 22192430 215t 2440 250t 2t)292672 2696 271a 2142 27652900 2923 29,15 296? 2939
3113 3139 3160 3131 3201332,r $,!5 3365 $a5 340¡t3622 3541 36ri0 3679 35933711 3t29 374? 3?66 3?343192 3909 392? 39.!5 3962
,!065 4032 ,t090 C116 41334232 42¡!9 4265,1231 42S34393 4,109 {¡25 ,!¡,10 4,t564543 ,!661 45?9 ,159{ ,160S$94 4113 1724 1742 1757
5502 55t1 6521 6n395623 6635 5647 5653
5356 t366 53?7 6333
60?6 6035 6096 6107 611?6130 6191 6201 6212 6222623,1 6294 630{ 631¡ 63256335 6395 6,t0t 6415 6.1256434 6493 6503 6613 6522
6t30 6590 11599 6609 661366?5 66a4 6693 6?02 6712676? 6?76 6?3t 6t9,1 6303635? 6366 63?5 638¡ 63936046 6955 6t64 6972 6931
7033 70C2 7050 1059 ?06r7113 ?126 f13t ?1,13 ?1521202 1210 12ta n26 12X5723,1 ?292 7300 t303 1316?361 r3?2 ?330 ?333 ?396
5t36
4 't
12 17 21 25 29 33 314 311 15 19 23 26 30 343 7 tO14 11 2r 24 2a 3l3 610 13 16 19 23 2€ 293 6 912 16 13 21 24 2?
3 6 A t t ]4 lT 2022263 5 31r1316 la 21 2¡r2 6 710 t2 15 t7 20 222 51912 14 16 t9 212,1 ? 911 13 16 13 20
z 4 6 311 13 15 1? 192 4 6 310 12 14 16 13z,t 6 310 12 14 16 1?2 4 61911 t3t5 t12 4 5 7 9t t t2 14 16
2 2 5 7 91n12]! l t2 3 5 ? 310 11 13 152 3 5 6 3 $11 l3 142 3 5 6 3 91r121413 ¿ 6 ? t10 12 13
13 4 6 ? 910 11 1313 ! 6 ? 310 11 1213 ¡ ! 5 7 3 911 1213 4 6 6 3 910 1213,1 5 6 3 910 11
12 4 6 6 t 910 l t12, ! 5 6 ? 410 1112 3 6 6 7 a 91012 3 5 6 ? I91012 3 4 5 ? 3 910
12 3, ! 5 6 3 S10123166?39123,t56?3912 3.1 56 ?49123466?3S
r23156?49123,!56?73r23455€78123!. !56?31234456?3
1233,t56?312 3 3.1 5 6? 3\223!5677r2234666?1223.45667
3 5 123,I 5 6 7 39
202
3 I 3Pat¿! r¡oporcio¡ele3
l2¡r56?39
66
ó3
61
7l
17'14
l1a2
34
a73a
92
95
9?
7404 74t2 7419 1427 11357442 7490 7197 160t 75t37669 1686 1574 75A2 7ó891634 7642 1A& 7657 76617705 1716 1723 113\ 773a
1182 77a9 n96 7803 7al0?a$ ?360 ?363 ?3?6 ?8827924 7931 1938 1945 1952?993 8000 3007 3014 30214062 30€9 8t)?á 3032 3039
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1503,91 3.0e 2.?0 2,16 2.50 2,19 2,ú r,35 1,?5 1,63 1.5? 1.61 1,.!3 1.39 1.233,91 3 06 2.6? 2.13 2.27 2,16 2,00 1,32 1,?r 1,6¡ 1,54 1.47 1,14 1,34 \,223,39 3,0{ 2.65 2.1t 2,26 2.14 1,98 ¡,a0 1,69 r,62 1.52 1.,16 1,12 1,32 1.193,36 3,02 262 2.t9 2,23 2,12 1,96 l,?a 1.6? 1,60 1.¡9 1.¿2 1,33 ¡,23 1,133,84 2,99 2,60 2.37 2,2t 2.09 1.9.t 1,76 1,64 1,57 I.46 1.40 ¡,32 1.2¡ 1,00
Tono¿o de: C. \'l S.ede.di y W C. Cochr¡n, Slolnrt.d¡ M¿¿¡odr (e. ¿dición, lg{j?). inrÉnrá d. la univexidad d¿l Es.ado d€ lo*a. Áhes, rNa, en p.rmiso d¿ tos
260
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X 12 3 4 5 A A 12 16 20 J0 40 50 100 -
I234
4062 49!| 5113 5625 5?61 53á9 593193,49 99,01 99,r? 99,25 9S,30 99,33 99,3631,12 30,31 29.,16 24,11 24,21 21,11 21,1e21,20 1300 16.69 15,93 15,52 15,21 14,3016,24 12,27 12,06 11,39 10.97 10,6? 10,2?
6302
26,35
6106 6169 6203 62539r,42 99,1,1 99,,r5 99,.!?27,05 24.$ 26,69 26,5014.37 14.15 14,02 1r.330,39 9,63 9.65 9.33
13,?426,23 24,1213,57 13,¿6
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5.355,06
13.74 10,92 9.?3r2,2ó 9,65 3.4t11,?6 3,65 7.59
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7.72
5,11
1,39 1,23 7.t1
5,36 5,20 5,11
4,4\ 4,25 4,11
7.526,27
4,92
9,1t?,357,016,126,99
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5.64
5,75 5,65
t,3l3,91
¡3
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9.45 1,20 t),22 5.6? 6,32 6,0? 4,74 4,4O 4,2t 4,10 3,9¡ 3,36 3,80 3,70 3,609.33 6,93 6.95 6,41 5.06 ,!,32 4,50 4,16 3,94 3.86 3,?0 3.61 3,66 3..t6 3369,07 6.70 5.14 5,20 4.36 4,62 .!,30 3,96 3,?3 3.6? 3,51 3,,I2 3.37 327 3]63,36 6,51 5.56 É.03 .1,69 ¿,46 ¿ 14 3,30 3,62 3,51 3,3.1 3,26 3.2r 3,11 3,003,63 6,36 5.42 4.39 4,56 4,32 4,00 3,6? 3,43 3,36 3.20 3,12 3,Ol 2,97 231
r?131920
353 6.23 5,29 1,71 4,44 4,20 3,39 3,55 3,3? 3.25 3,r0 3,01 2,96 2,a6 2,763.40 6,11 5,13 ,t.6? 1,34 4,10 3,?9 3,.r5 3,2? 3.16 3,00 2,92 2,a6 2,16 2353,23 6,01 6,09 ¡,ó3 .!,25 4,01 3,?t 3,3? 3,19 3.0? 2,91 2,33 2,7A 2,AB 2.673,13 6,93 5,01 4,50 4.1? 3,94 3.63 3,30 3,12 3,00 2,a4 2,76 2,70 2,60 2A98.t0 5.35 4,9,{ 4,43 ¡¡,10 3.37 3.66 3,23 3,05 2,94 2,17 2,69 2,63 2,53 2.t2
2224
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1.54 5,12 142 !,31 3.99 3,76 3,45 3,12 2.94 2,A3 2.81 2,6A 2.63 2,42 2,gl1,42 5,61 4,72 4.22 3,90 3,6? 3,36 3.03 2¡5 2,14 2.6a 2/9 2,44 2,33 2,21'¡,72 6,53 4,61 4,1¡t 3 82 3,6S 3,29 2,96 2.11 2,66 2.50 2.11 2,86 2,26 2,13?.64 5,16 1.67 .!.0? 3.?6 3.53 3,23 2.90 2.11 2An 2,t4 2,36 2.30 2,¡8 2.067.t6 6.39 4,51 4,12 3,70 3.41 3.r7 2,3,! 2.66 2,55 2,3a 2.t9 2,21 2,1t 2,01
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1,327.14
1,65
2,37 2,20
2.20 2,0X
2,11 1.9,!
2.332,42
3,413,3{
3,25
2,66 2,¿9
2,50 2322,43 2,2A2,11 2.21
7,31 t .13 2,11 2,05
1,93 1,37
1.44 1,?a
3333,123.65
3,131,41t,6a
1,531,49
6.90 4.32 3.93 3 51 3.20 299 2,69 2.36 2.19 2.06 r.3C 1.?S 1,73 1,59 1,,¡36.31 .t.?5 3.91 3.,1.! 3.14 2.92 2,62 2,30 2,12 2.00 1,33 1.?2 1,66 1.51 1,336.?d 4.?l 3.43 3,,!1 3.11 2,90 2,60 2.23 2.0! 1.97 1.?0 1,69 r,62 1,¿3 1,2t6.?0 4.66 3.33 3.36 3.06 2.35 2,65 2,23 204 1.92 1.?¿ 1,64 1.6? 1..t2 l_196.61 4.60 3.?3 3.32 3,02 2.a0 2.51 2,r3 1.9!r r.A7 1,69 ¡.59 1..52 1,36 1.00
' l¡Dod,..r. c \!. sned¿.or ! $¡ G (io.hnn, s¡d¡q¡(o¡ M.¿rod\ 16. edi.ión. 1967). in0(¡rd d. la LoiveFlddd d¿l Erad. d? Io*a, aDes. L*r. co¡ n€rmis. d¿ los
261
6L172 71610
¿409s 2s191,16989 601?3
10686 02133
03535 793ó3
4662t 62498
21960 21347
11646 55370
31041 36?07
96?99 85669
93632 01186
76105 10363
5697{ 37124
12974 1?169
97153 90531
03507 94271
48116 42181
11322 15304
21034 6?283
41982 49169
16169 l¡IA?6
35633 472Á0
62934 ?6163
,4921 tó936
60905 20501
12\39 ?0145
8a714 S8?2S
84a21 68886
16l.19 0t229
1S219 ¡5943
23631 05825
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25,139
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992¡?
86916
64083
957\5
66644 843?t
08208 86962
¡081? 67906
62261 01017
68298 gA2f6
262
INDICE DE S¡MBOIOS Y NOTACIONES ESPECIATES
En la lüt! qu€ 6isxe Be ¿ncuentnn los simbolú y notaciones p,nicular* que se ha¡ .nDleadjurto @n las pd{ina6 en l¡s curles se hall¡ su de6nició¡ o en las que aparecen por p¡in¿¡a vez. Los cásos€. ¡oscualesun ni¡no !¡gno puedr da¡ lugar a m¡s d. un. sol! inle¡pEroció. podón s¿!,.|,rádos por ¿l conr¿¡ido.
Símbolos
Bd,('),8.i.(,) 1.{o
,(ñ,') funció¡ b¿ia, r03A, ¡ún€¡6 dc B.r¡oülli, rr4
C(,) i¡bsral de cseno d. FB¡.I, ú.{t (,) i¡14rál d¿ cd.no, úa
. brs d€ lc los'¡irnos ¡arür¡l¿s, I
.j,.r,.3 Ktoe8 nnla.ios en .m.dc¡ád& c!ryiljne$, r2r
rer (') funció. d¿ e¡D., 133
lc.¡G) lnnció¡ dnpl¿n¿nt¡¡i¡ d. eror, 133
t = AG,'/2) intésÉl.lípiicá coñpkla do seslnd.6p..ie, l?9
¡'(¡, t) int gÉl.lidi6 inconpld¿ de 3esx.da Bp€ci€, 1?9
/€(t) iniegr¡l.tFb¿nci.l, r33
tr ¡úne¡or de Eu¡e., 11.1
¡(¿,d; ¿i t) tunción hip¿¡s€onólrict, 160
¡'(*, é) inr€s¡rl ¿líptica irmnpl¿ta de prir.n ¿tp¿ci., I79
t,t r t¡anslo¡bade de Fou¡i¿r y 1¡rnslo¡nad¡ inw¡s, d¿ Foun¿r, 1?5, 176
¡r,12, is l¡doB d€ ¿sala ¿n cao¡denadas cüúilína3, 12a
¡ti(¿) pó¡irónn de H¿¡nii€, 151
'¡?(,) run.'on€. de Hanl¿l d¿ prin.É y rcgunda 6p.cies, $a
i uni.t d is.ginaria, 21
r,J,|( velo¡r únitlrio! .n cñrd.turtid Écr.ngul.Es, 117
¡¡(r) tunción nódificlda d€ B€$el .t¿ pnne¡a ápéci., 134
J,(r) furción de B4a¿l d¿ p¡in.¡á ¿sp€cie, 136
X = ¡'(¿,'/2) i¡tsgnl elipiic. canplel¡ de priñd¡ 6pccie, 17s
K.r,{,), K.ii (,) raoK¡b) runción Fodifi.áda d¿ B¿ss¿l d¿ 6¿str¡& BF.ci., l3e
l¡, o log., log.rtmo naiur¿l d¿ ',
24
log, o loa¡or losa¡itDo común de ¡, 23
¿i(r) p.linonios d. Las!¿.¡e, 153
¿l(,) p.linomiñ dsociudos d¿ Lasxer€. 155
{,4-1 i¡ansfo¡náda d. ljplae y lmnsformada inv€na dc kpla@, ¡61
Pn(,) poiinoúiG d¿ l?sendE. ra6
Pf(,) tuncions asocirdN de l¡ge¡dre de p¡in€B esp€ci., I,l9
Q¡(,) ru¡¿ion€s de rigendÉ de s*unda .sp.cie, l4a
Ql(,) rüncions,soosds de l2se.dn d¿ sqnndt .sp€ci€, r50
r cmrdenr.ta ¿iünd¡icr, .19
t coord€nadr p.la¡, 22, 36
r coo¡de¡a& $téih¡, 5¡S(,) inlegral de q.ho d¿ aresñ¿l. 13!
/s(t) integ¡ar de s€no, la3
?"(¡) tolinoniG de cheblshev d¿ prinera esp€.ie. 157
U"(¿) porinomios d€ chebyshev d¿ sssxndae6p€c¡¿, 15€yi(¡) lun.ió¡ de Besél dé sesnndr espe.ie, 136
263
264 ¡NDTCE Dl STMBOI,9S Y j\_!qIACTONES ES?Eet tES
Gríegos
bruE. r+i+a+. .+: , . (0) = 0, lszlu.ció¡ de diEt.ibuión de lap¡ob.bilid.d, ú9
Símbolos
? 6.11¡¡1. & Eul.r. r
r(¿) tu¡.ión s¡ru, r, r0r¡(,) r¡.ción zér¡ d. Ri.n.¡r, l3r
. co¡deu¡lt ciünd¡io, ¡9
. ñrdcn.d¡ po¡rt, 22, 36
A=BA>RA<BiaaA3BA-Ba-a
t¡l
/ " \\k./
!,', = H= t.'t"t,r.a.l
ú=e*at
al.,!,2)a{¡r, rr, ¡r)
| !('\ d'
| 1,)d¿
| ^ 'd¡A.E
Notaciones
¡ .. D¡tor qú A o A a b.nor qa Á
A é aeho¡ qu¡ B o a sr n¡Jor q* ,{
¡ d myor que o tu¡l . I
A t n.no¡ qu. o isut . A
¡ .¡ ¡pDtib.d!c¡1. ¡u¡ ¡ ¡
Á ü ¡s¡¡tó.io. ¡ o ¡/A e.pEnu ¡.1, r02
( A. i A¿Oe.lú ttsluto d. ¡ = I
t*Á ¡ i ¿r=0
ccn.ienlor biroDül.s. 3
¡l.rivádú d.r, o de lt) @n E¡F.t ¡r,53,55
,'&iE¡ d.nwd¡ en E.!€do . ,, 55
ini€gr.l úrvilln.a d€ A r lo la.so de C, 121
p¡ldncio esc,lá. de A y B, l)?
oódu.ro v.ctorúl rte A y B, lla
op.rdd.¡ laphcirno, l2O
ope¡ad.r bi árnónico, lz'
INDICE
AchdLdas, cm¡d¿¡adas.sl€Didal6, r%
Adición, fórnulas d¿, pl¡' 116 fún.iobe3 .l¿ 843.1, 145para las funcio!8¿lipricas, r3{)pa¡a Ls fu¡cidne hip..hólicas, npa¡a l¡! funcioné
'igobom¿t.ic*, lá
p¡ra lm poli.omi@ de Hermie. rt2
N¡¡sadls, coorden.dG es fercidáI4, tla
Al€áiori6. hbL d. númems, $zAlgeb¡ai.ss, lolúcion$ d¿ lG ecúcionés, 32, 33Amplitud, d. ün nrimero @npl.jo, 22
d¿ Ir ibiesrd €liptica, r?9A¡rlí1ica, geonei¡ú' pl.na (vé$e pl,na, s€oner¡i¡
analitic.); del Bpacio {v¿.e eEp¿cio. 8€on.lrú
A¡sllae.rEdos lin¿¡.,€bclpll.o, 35
Arli¡os,¡i¿nos, coDun¿¡, 23, 195, 20{ m5natü¡lles o nep€¡ianü, 2,1, 226, tÚ7
A'ulidad, felo' de crntidld c
A¡itnóticó gdnéió@s, *;e6, r0?
ñquin€r'*, 6pi.!l d€, 15asinrote de Ia hiDé.bolq 3skinióiicos, d.saróllc o lórDül*, ¡t los ¡r¡he8 d¿
d€ las tunciong d. Aésel, 1{¡tl€ l. fu¡c¡óngañn¡, tm
{!miad*,lurcio¡e d¿ lis¿ndE, raq ú0 (vérs¿
ldcEtu LB€ndE, füncion8ld.prin€la€Gp€ci¿,149.t¿ sÍü.d, ep€ci., 150
fórúúlas de m!¡Enci' pár., 1,I9
3¿ri$onosoraldd¿,150Aleiados, polinomiod d. kg!€re, 155, 156
(ré.se ¡deDd¡ trsu¡É, polj¡onias d¿)skunú cieñp¡@ de, 155ló¡Dül,s dé HüEnda de, 156func¡ón g¿n¿.¡dor dé, r55
E3trl6dor ép.ciale! que co.ri¿nén, 1563e¡i¿E odoÍonaLs d¿, 156
Bas d¿!n los¡rirno. 23
B.ry B€i, funciones, 1,10, 1!rdelinición de l.s, l,to{uación dif¿r€ncül corÉspondieni¿
" 1,3, r{l
r¿pÉ¡.nración giíai@ de tas, I,1l
B€monlli, euoción dif€Érci¿l de, 1O1B.¡ndlli, números de. 93, lo?, Ir4, rl5
fó¡mülá $i¡1óric' páá los, ll5nl'ció. co. Iñ núne¡Gd¿ Fuler, rr5
Irbla de 'lsünod
d. los 9rimerc, Ir{B*¡.1, fúb.ion8de, 136, 115
de ord¿n isú.1 ¡ l, nilad de ub ¿nt.tu inp.r,de p¡ine¡s .spccie y orden ¡, 136, 13?dclarollos asiñtó1icos de l3s, r13{t s.sxnd..spcci¿ J o¡den n. 136, 13?eú.ióñ dif¿E'cirl nod¡licoda d¿. $ató.nula. de adición pa¡a ld, 115fó¡nul& d¿ EcufEnci¡ p¿a l!¡, ú7funciones s€..¡.do¡.s de l'6. 13?, r39ióreghtesdeñnids.queconr¡n€n, l{2, 113inl€s¿lc! indelinidüqu.co¡1ie.¿n, 142hodificad!. {!¿$e nodiñc.d.s, funcion¿¡ d¿
¡rcduc¿o¡ inñnnos de las. 134¡epÉ*ni.ción gi6cr d¿ la8, 141EpEs¡t¡ción int¿g{l d€ h3. 1.13seri.6 onog.n¡16 de Iu, 14{ 14ásolnción s!ó.t.1 d¿ las, 139t¡bl.e ds las, 2r{, 2,19v.loEs apFlin¡d€ pü igüdrción r cm, 25o
relación de l¡, con L función !¡nm., t03Bi.armó.ico. op¿r.do., 120
¿n c@denadft curili¡.as, 12tBinonú1, dier?ibuOón, r30Bi.oDi.L!, s.¡i4, A 110Binoniode N¿ston, ccfici€nb d¿I. 3
l.bla d¿ mloÉr dcl, 26, 237Bipol¡é, cord.¡¡d.s. r4, r29
Brigli.nG. lq.tilbos, 23
C¡den¡. Esl! ¡l¿ d¿ri!¡ción ¿n, 53q.la@l d¿ Púc'L4r,4,1
c6t¡l¡¡, @n6i!nr¿ d., úr
C.uchyo Eule¡. ¿NációndifeE¡ciald€. 105C¡uchy, Estode.¿n3¿.i.¡ d. T.!lo¡, 110C¡uchy Sch*t\ dcsigü,ld"d de. 135
C.ú, isul..ió¡ a, d¿ las fnnciones de A8sel, 25o
Cilind¡ic,3, óodé¡¿dás, ¡9. 126
265
266
e.d€ l¿ sup.'f¡c¡. hr.r.ldel,3,9
¡¿cior d€ (véa* serord¿ un círcolol¡.smenro d. (véa* segñenru de un cirulo)
Cüclnf.En.i. lpcíñ.tó d. l!), 6
coDpL¡. lóraul., par. I¡ trnsrorn¡dr inveEa de
coñphic, únjusd6. rlcomp¡.jc. nún.ror, 21, 22. 25
.t finicionB Fh1¡v.3 I ¡os, 2r
ror¡. po¡.r d. lG, 22, 25
hülrip¡ic,.ión de. 21, 25
roPÉPnlrciór súñc. de lo, 22EpPsnl,c¡ón E.o¡i.l d¿ lG, 22
Conpl.n¿nbria, fúnció., d€ .roi ü3
Cohp.r.r..r d€ un v€dor, ll?Compon.nns, vedo¡A, lt?Coñpu.d¿, r.b¡¡ d. f.cro¡.. d. c¡nlid'd, 2.roCoDun.s. ¡ñtilog.ritños, 23, 15. m4 205
ejebplord.phbl.m&en Elaciónco¡, 195
Comun.s, loar¡iinor, 23, 19¡, ?02. m3¿ildlñ n.diant. .ñple d€, 196ejeñplGd.pób¡.nas.¡ Elrc¡ón con, lg,t
cónic,r, cmd¿nadas, 129
cónicas,37 (v&3e sdenís dipse, plÉbol4 hipó'bol')coñjle¡dos smpl.jos. 2rCobñubriva, l.y, p¡n produús esc.¡a¡es, 3
pa¡. lá adición vriori{1, ll7
rec(o cirular (vé,s¿ EtoL snocncuhtConsranre de inrcg¡áción, 5?C.nvéreéñcia, inre alo d¿. ll0
d. seri€s de nouder, l3lConrelg¿n.i,, r.hla dé ladores d¿, 192
coordcndas ¡urvilí¡€!s, 124 lrjo
onosonal$nor¿bres, 126. r3!
h ns nrnación d?. i!6, 4a. i9
i¡bl¡ d¿ v¡loros del. 251CGnc.ley d¿ ¡G. pan riíng!¡6 pláror, l9
l€y d¿ los, paro lri¡¡gutós ¿¡fé¡icc, 19Cu¡dEda, función d€ ondi, 172Cu¡draüs, lab¡, d€ mn$, xq 239Cüld¡adc. bb¡¡ dG, 233, Zl9
Cuodníiica, solucion d€ la..wió¡, 32Cu.¿og1do,h¡ucióntt l¡.curció¡ds,33Cúb¡.a,3o¡ución d. l,.cueió¡, 32c(rbi.*, t¿b¡l d¿ ,¡í@¡, zt8, 239Cübo, dulic¡.ión d.l, ¡15
Cu¡v¡lin.¡s, ln¡den¡d¡!, 124, r25
C! rviltn.ae, i¡t€$.L¡, r21, ú,
ind.perd¿nc¡. d.¡ qh¡¡o d€ 1.., r2r, r22
Ch¿h$h.v, d.r¡gü.ldrd d.. r€6Ch.bFh€v, óu¡ción diLEnc¡.¡ d., 15?
mlución ¡...n¡ & I., r59Ch.by3hcv, po¡inúiú .L, ¡57, 159
d. ¡4u¡d¡ *p€.i., rsa¿d.ción dif.Éncial d., r57
fó¡nulft d. lunnci. p..., l54, 159fünci onA ¡.n¿r.do6s d., 15?, l5aodo{.Dlid.d d., l53t $eE¡,cio¡éqú. 6.ii¿rén, r5sseri€e or¿oson.¡4 d., r5a, 1593olución sen.6¡ dG, 159valo6 .5p..id6 d., r57, r5e
D€fi rid.r, i¡i¿lFl€e, 9¡100
fó¡nul$ s€ne¡alB qüe co,riencn, 9¡, 95oétodoe ¿9rcrthado¡ par. clld¡¡¡ l¡r, 95
D.Moin, büeDo dei 2q 25D.rivación, 53 (véd¿ .dcñ& ¡tsrivldsd)
b¡jo¿l signode int€s¿1,95Fgla! 3Éner.l€s p&á 14 53
DcriEdá6, 5t56 {véa* !den& d€¡ivaciór)
.t¿ I¡s tuncion4.lbric&, 131d. la3 funcio..s.xpon¿nciolBy logalnnicá3, 5{d¿ la8 lunciones hip€rbó¡ica! y d€ lá6 hip€¡bólicas
de las tub.ione¡ trisoron¿l¡icar y d€ ld ttisonoñét¡...*dprcm.54
I¿sl! d.la cad.n.páá, á3
INDICE
Dit€En.ü16, htu¡oré, M.¡c.. y .!! ¡olu¡o¡..,
DiEdoEq a@ñ6, a6, 17
Dütl¡ci!, ériÉ de puntd .r .l ri6oo pl¡ro, 3.1d. un Dunto r !m lina 36d. u. pi¡nto { u' phno, ¡lB.ntE dos D!¡r@ en el dp¡cio, a6
Di¡lribúion* d. h pbbabili¡¡¡d, r39
p.r¡ prcducid esc.t s,113
.tr cúdér¡d¡. cuviliner, 125Diw.8r¡ci., ¡.oEE. d€ la, 123Do¡ls, fónul¡¡ .l.l ¡nFlo, e¡ fu¡cioncs hi!€rüóli.
e¡ tunc¡o¡e rriso¡oDéaúo, 16
Drplicú¡ón, lónüI, iir, p¡r. L. tunc¡on.r .i.
Eo¡¡c¡ór d. ü¡. re4 3,1
.r lo¡nr p6Ér&nu, {7en lo@. É:@ni.iú, o i¡t44eptu.r, 3¡fom. nod.l d¿ L, 35
F¡P.ndiol& á ún pl,nó, 16Ecu.ción d¿l Dhno, lo¡D¡ gln¿¡,I, ¡7
qu. P.ú Por tE6 pu.to¡¡ ¡?
ercenÍicidrd d¿ I., 3a
8.mi-¡. D¡yo¡ y -.no¡
dé 1., ?. 33
El¡páojd¿, m&ión d.l 5r
Elbri@, cmrdcnad.e cilr.dnc¡s, 1?7
ElÍpti6, tuncion6, t?9 rA2 (vó'* dér'l¡ €lipiic¡3,
d6rmll6 .n 6¿ri6 da, úrló¡ñülm de dición p6É, ú0i.lenlid adee qu€ coniienen, I3l
v.loEs esD€ci¡16 d€, 132
2c1
Elíotiot, intqr!16, r?9, I3o (vérp rd.D¡¡ ¿liDaic¡.,
de !.!u¡d..¡p.cié, 1?9d. br.r .Bp.ci€, l?9. l3OEbción d€ L¡a€ndrc púo, ¡32lab¡. d. v.¡ores d. ¡.¡, 25¡, 255tlln.fornúión d. I¡nd.n p.n, l3¡l
t.bh d€ valorc¡ d€, 25?
üc.la¡, p¡ddüc.o, r17. rú
DEcaloud., función, 1?3E! f¿¡¡, auación d. 1,. to
tnr d€ L rürf.ti.i¿ d. ta, 9¿r¡dngulo sbÉ (v&sé €sférico, ilüngoloJ
E3lé¡ica. cMde¡ad$. 50, l rG
Esfé¡ico, Árár d. ¡r $p.rlici. del mqu.t , Ivolumn cobpEndido p.r.l 6quet¿. I
E¡téncq ¿riárgllo, á8. de u¡, 10E3li6 db Nápi.t p.¡a un, qu. ti.n. ur .ryxlo
El.cion.s c¿iÉ lo¡ lado¡ y á4!¡or de un, 19, mEapacio, lóróular d. sKndrñ
'mlítica del, ¡6'52
Espidl d¿ Arquined$, ¡6
EulcFMlcl¿u¡ir, fórnul¡ rümltórir d€, I{)gA¡le. o C¡uchy, cu!.ión diteE¡ci.l de, 105Eülsr, núm.r6 d€, lla, rú
Étmión de. co, ld n¡iñ¿rm d€ B¿r.oulli, 11ás.ie8 qüe conrienen, 115labl. dc a¡slhos de I@D.in€tus, rr.{
En ta, mación dileEncial. 104E!@nl¡i.idad, detiñiciób de l¡, 3?
Erpon.n.iá1, int.¿ral, 1a3
E:por.ncialÉ, tunciones, 23 21 200€jenptc d. prcbleD,s qu¿ i.cluy€n ¿l oílculo d¿,
d4arol loensr ie¡de, l r l
el¡ción ¿nr€, y lasbtononé1.icas. 2{
Eltr¿mo de un vedor,116
valoÉs pe¡enril¿s 95¡ y 99 d. ló, 260, xl
INDICE
268
lablade v¡loÉsde.23,l
F.uher, s€rieide, 131 135
ro¡Dacomrlejad¿,131id¿¡tidsd de PádevalpaB. l3r
f ouri.r, túnD, de I' intg'.l do, 1?¡Fourier, rransforn¡das d€, l7,t 1?3
ide¡1idld de P,B¿lal pa.., l?5
!éoreú, d€.onvólu.iór p!¡s, 175Fnsn.l, inregnleBd¿s.noyde.os¿¡q 134¡¡ullani, inlegralde, 100
c'n ma. lurción, l. l0t, l(D¡lsnnG valor.s dc la, r01como produdo infinno, r02, 133d¿fnición de la. 1o1, 102
d*arolló5 ¿.inrólicos de la, ¡02fó¡ñula deduplio¡ióñ p'ro l¡. 102fó¡nulad¿ EcurEnciapár. h, r01pqrá valoE! beg¡livos. 101El¿ción con l. fünció¡ bct¡, 103ElacioneB qu. contien.n b, r02Eeresenl,ción s.ófica de la. loltablddé v.loFsd. la, 235
C.n.ádo63, furcio¡c8, t3?, 139. 146, 1¡9.
Gen¿rali4dr, ló¡nu¡8, d. int¿eúció¡,por
C¿on¿lric.s, fó.nul$. 5 10C.omótic.., s€'i.5, rü¡
.¡ c@rd€n¡das curvilínas. l%crád6, r,194,2ü)
conv€Gión d., en ¡rdi.n$, rga, ¡r,223r¿l¿ción¿nté.y ¡adirn$, 12, 190, 2m
C€n.priho¡¡yseglnds id¿ntid¡der d., r24
H¿avisid¿, funció. unilarú d., 173H¿rhile. ¿cu,ción dil¿ro..ial de. 151He.mne,po¡iñ.niosd., ¡51, r52
ej€nplos cp¿s.ntalivos d., $rlórDulasdedición parr, 152
fórbu¡a de R.driguep!¡a. l5¡
rusülbdos ¿sp€ciales que.onri€n¿n, 152
¡NDICE
s€¡i€s odqonales de. 152
loDsitud de los ¿j¿5 6ryfi y neno¡d¿, 39H ipó¡bolas h on ofo..les, 127Hip¿rbólicas, lun.iones, 26Jl
de orclb¿¡1os .e3arivd, 26
desarrc¡lo¿¡ s¿riss d¿ las, 112ejeDplos d¿ prcbleDas pá¡r crlcuk¡ los valoÉtde,
fórnulas d¿ adició.párá,,fó.nülás &l Á¡sülo dobl¿ pá6 las, 2?ló¡ñulas d€l lngulo hil¡d pan las, 2?lóinulas del ró¡sulo núlriplo p¡D l$. 27
recíprcas {véas tuites, au.cion8 hip€rbóli.$)Élació¡ enl¡e,y las riso'ob&tic8, 31r¿l'ciones ¿n1É 1.3, 26, 23ep¿entación g¡fica dc rosi 293um., dil¿Encir y p¡oducto d¿,23tábl. d. v¡loEe d¿, 2rP-233
Hip€¡bólico, p.6boloide. 52Hip€¡botoid¿ de una dol. hoja, 5I
Hip€rgómét¡ica. mución difcÉncto! lm
HiD.¡g@nékic¡á, lunc¡oreE, 160c.¡o3 ¿sp¿cül* d., 16¡)p¡opi.drd¿s va¡¡N d€ ls, 160
Hipdicloid€ en tÉier.l,,12
Holde¡, dédigurldad d€, 1a5
HonofGl8, elip#, Lcoo¡d.nad¡s elipsi.tales, Im.mrd€nadm par.boloid,ld, $0
Honosónea, rüa.iób direEncia¡, 104Ii¡c.l d€ s4nndo o¡d.¡, 105
InaÉi¡!¡ia, pan€, de un núeb .onpl.jo, 2I
Lnpopi.s, iniésnl*, 94Ldefi nidas, inlegr¡l¿¡, 5?'93
tÉñslorneión d¿, 5s. mIn fi ¡itG, prodüdo¡, 102, l3a
*¡ics dc, (véas 3e¡i4)Int.sración, 5? (!¿,s además ini.gld..)
Esl'8 s¿n€rala p.6 la, 5? 59Inl¿sr¡ción pd paréd, 5?
lórruh g.¡€¡!li4.I¡ pon l!, 59I'EgBI, leená fuhd¡ne.tal d€ dlelo, 91
I'lésÉl.s d€finids¡ (vé.e deñnid.6, irtlgñl@)
o¡vilín¿as (véas. cuNilin€as, in1e38tes)
indofinidas (vóase inderindas,,nt¿srat¿s)
I¡teGec¿ión co. el eje r, 3'lInr¿Bec.ió¡ con ¿r€j. y, 34
I¡t¿rv{lo de convérc€ñcid, lt0I.wxión de seri¿sd.ook¡cias. r13¡nvolut! de la cjrcúdr¿Énci¡, 43
Jácobi, lunciob* elipticas de, l3o
Ji..uad¡ádo. dútibu.ión, t39valoros p€r@ñtiles,259
K¿¡ y X.i. füncion¿s,l10, r4l
¿cua.ión dif.¡encial pr¡a las, 1¡1
l¡grs¡se. re.lod¿, ¿n se.i€s de Tlylq,110las!.¡e, ¿cuación direren.isl ¡eo.idda d¿, r55l¡3ü.¡8, ecurió. diferehci.l d¿, t53I!8n€n¿, p.li¡omios d., t53,l5r
as@iodG (véd6. rsociados, polinoñ¡G d. Lasüexe)
fórhulas de re.ur.ncie para lG, 153fó.nula de Rod¡isue pa¡a lG, r$función sene¡ado!, d¿ tos, 153o.rosóna¡idad de los, 151sé¡i8 orogo¡á14 Éra lG, t54
l¡nde¡, rEnsfo.nación de, Éot pkce, tó.ñüld pa8 h ha¡slorm¡d. inlerea de,
I¡plac¿, kanslorn¿dae d., t61 1?3defini.ión d.las, 161
€ncoddeud.s.uivilin¿¡s. rLeg€ndre, hadón dil¿rencial á3kiad¡ de, r,I9
slución B€.eral de la, 150l*3€nd¡e. ¿cüa.ión diterencial de, 10q ¡46
3olu.ión 8€n€rEl de la. 1¡li9Irs.ndÉ, fü.cionF de, 146 u3(v¿!s.ad.nás
Irs€ndE, lolinonios)Nci{da¡ (yéas¿ as(iadas. runciones de L¿s¿ndr¿)desesrhdá¿Bp€cie, l1a
lrs€ndE, po¡inonios d¿, 146, 11? (vérse ademó!Les€¡d¡.. funciones de)
fúnüt, de Rodrisu¿ pa¡e tos, l,16fórnul, de B.ure.d, pdr¡ los, t¡?lunción seneradoa dé los. 146orlogonalided de los, 147r€sulbdos esp¿.iales qN .oñtienen, l,r7sene¡ odosonales de, l,l7tablad€valorésde los, 252, ?$
l¡s¿ndE. relaciónde,p&, tas iñésrat€s ¿lipricss, 182
269
¡¡ibnlu, rcsla d¿. pa¡a d¿rnaf ba¡, ¿l sisno de ihte.
par¡ defivsd¡s superior$ de produ.tos, 55
Line¡ Écta, eúaoón de üna (vésse ecuación dr una
Llneal, ¿.ua.iótr drrer¿nci¡1, de r¡in.¡ o¡den, 10¿¿.!r.ión dir¿¡encial, d¿ s€FUndo orden, 105
Losaritnica8, lun.iones, 21.25 (véas. adrmis losarii-
d.saBollo en series de lar, r1lLosarirmos, 21 (vé¿s¿ adcmás tos'¡nDicas. luncionet
a.hlagarnh.s y (v¿.se ánrilqa¡it'osl
canbio dé base de los. 2.t.,n.1eristica d€ los, 19¿coDunes (véase o nü n€!, losarnnG)de r0no0r¿¡ rigonomáricas, 2lÉ221de núm.ros .omplejos, 25
M€dio, t¿o¡€n¿ del v,lor, per¡ int.s¡als d€fi.idss,
Miad, fó¡nula del n¡sllo, p¡ú funciores hip¿rbó
pan Iuncio¡es triSonom¿hi.as, l6M in ko*6Ly, de¡kxaldad de. 136
Modúú&s, run.ianes de Eb3s¿1, úa, 139ecu,ción düee¡ci.lpara la3, 133d€ odeó ipñl
' la mir'd de un e¡lero inpár. l{0
fó¡mulás d. Ecun€ncir p8n las, 139función s€.e¿dora de las, 139¡ep¡¿senb.ión g¡i¡c. d. lds, 1{l
Módulod¿un núnemcohpl.jo, 22Mon€n1os d¿ i.¿rcia inpof rnte5. 190, ¡91MoviFienlo en s¿ntido cont¡rrio al de l.s mdn.cillss
Muhinonial rórhuta, {Mütlplo, fó¡nulapara ¿llingulo, en fün.iones hip¿r
en funcion* úisononébicas, l6Múlripl€s, inlesra16, 122
rsnsror6ociónd¿, l%
lórhul,s !ad.s qu¿ co¡1i€n¿n, lm
Nátu¡á16. lqariimos y a¡tilo3¡riimc. 24. lgj
¡'ep.¡ianos, los!nlñoc, 24, 196
Neuma.n, Iunciónd€. 136No honosónea, ecusci¿n li¡.¡td. sesnndo o¡den. lotNormsl,n¡é,sb¡to lá ou.va. 257
No¡mal d. diE¡oón positivd (dirisida h¡cia et exre
274
lornrl, dbi¡ibució¡, 139Nlm¡L¿cuión d¿ uru li¡.¡ edr.n ¡orñq 3ó
.{uió¡ dcl pl.no.¡ forDo, {3
N'tn.M coñp¡.ioo (ú.* compl¿jo., núm¿ús)
Orrogoú1.¿, óo¡d€n.d¡. curilin.á¡, ¡24.130fórnullr ¿n larqu..¡táó, t25
Ot|q.ruliüd y orosoi¡rLr, 3¿¡i€r, t.14, 145. t|?, l5o.152, ¡6,r, 156, r53, 159
.ranlricidad de la, 37
e5D¿nto ds (vó$¿ csD¿nio de p.¡íbol¡)P¡lbo¡r. hoñofdrl.i, lmP,¡,bóli.!, lórau¡¡, prd ca¡cul.r ¡¡i.g..Ls d.fini
P.r.bó¡ic..,@rd.nd.¡c¡¡fnd¡ic&, 126
Plr.boloidd.q @.de.¡d.!, ¡2?
Pü.boloidc d. Evolució¡, vo¡u¡¿r d.l, l0
P..rL¡¡¡, condición po!¡ que do! ¡iñea. 8l.. En,
P.¡.¡.l.Db.do Ect¡¡a!¡o (vá4. É.íñsulo, p¡¡¡l€L,
P.¡.LlqriDo, lE¡ d.l, 6
P.t L¡or¡.Eo, ¡.y d.¡, p.r¡ ¡. .di.ión ¡t. vc.o¿1 l¡6
P¡E¡¡L¡, d.!.rollo.n i@io¡e., ú?Pu.v.¡, ¡d.n¿iüd r¡.. Fu 1Éhárom..t! dé
pü.¡.ri€r.t Foori.4 Úr
P.eil, iri¡n¡ulo d., ¡, 236P.rdi. ¿d. uD lín@ Er.,9¡P.rFn¡l¡cul¡Es, dndición por. qu. dot lin.rs Ect¡r
P¡ñrbi.ir. vol¡E.n d¿ l!, SPl¡n¡, ló.hüLr d. a€ob€1rL ar.li.i6. 3,¡-39Pl¡no, ¡a d. u¡ rÍngllo, 5, 35Pl.¡o, éución .t l (vé¡se ecu¡ción del pLno)PL¡o, t¡i¡ngulo, léy d. lo¡ s.n@ p.r. un, r9
l.y.t l.¡t¡¡r¿ri.. Da6 u¡, 19l.y d. lo¡ cno¡ p.r. un, 19
hdio rt l.lr.ulo circuncrito r un,6¡.djo .l€l cinülo in¡.¡ilo ¿n ün, 6El!.ione. enlE Io. lado¡ y fn8ülor de un, 19
Pói!3o., di¡ribúción d., l€sPoi&on, lórDula €uhl|ori. d., t€P¡¡,r, fcD4 .¡pF .d. dno .lpor¿ncisl. ?5
d. !¡ ¡ún€ú dDpl.jo. 22, 25Duhjpli.lción y división eb, 22
IND¡C8
Pol. r.s, coorde ¡ád.!, 22, 36k nsfo¡n*ión de coo¡d.nádad ÉcbnsxlaEs.,36
Poltono rqula¡ lvóas p!!la¡, poltDnol
PÉr¿nl, fa.to¡ d€ valo¡, d¿ un monto,241d€ uD 8.ri. unifdn.. 2¡:r
Principál*. vrlo¡¿¡, d. funci¡¡.s hip8rbólicas ¡..Drd
d€ ru¡ciónes1¡jgonobéticasre.ip¡e.s 17, r¡P.obábilidád, dis(¡ibucion¿s de Ia, lagP¡oduclc ihfiniros. 102, l3a
Puh,ciones. función de, 1?3
Elrción .ntE, y rndor, 12, 199, 2mLb¡a de conrFión de, 222
tl¡íÉ8 de lü .úhercs coñpl¿joE, 22. 25tabl¡ de cuad.¡dd y cub6, 2¡3, 239
R.al,p¡n¡, d.un númerocomplej., 2lR.cíormq fnncion8 h ip€¡bólicas, 29.31
erDEqd.s po. nedió de tuncio¡cs logadlñjo., 29Éllcjór ¿nl¡¿,J l¡6 lrislnonét¡icád Écbú&,3r
EpÉú.i¡.ión 3¡lñ6 d. la3, 30v¡loE. pn.cip"ler de la3, 29
R€cip@a!, ,u¡ciobcs l¡¡sononéi.icd, 17 rg
Fla.¡ón €n18, y lis hip.rbóticú Hipúús, 3rdlcione¡ .¡rE ¡.¡, 13EpE¡enlúión súnc. de l.s, ú, 19hloG principá¡ár d. Ias, I?
R.cíptu¡, i¡rDrfo.D¡ds d¿ L¡pllce, 16rR¿ci!@o., ilb¡¡ de, 233, 2ao&.1¡¡3!Lr, fórDüla, p.E éltuhr ink¡raLr dé6
Ret¡ngll¡Es, coo¡den.rt 6, t¡rnsfotu.cjó¡ .t , .cord.nadar p.l¡EB, 36
Ret.n3!l¡re¡, sisi€ña d.No¡¡eh.d$, rr?
R€cúryulo, p¡olelepip¿do. voluñ¿n del. 3&¿. rt Il ¡up€rficié d.¡,3
R.c1ifiod4 lnnciónd¿onü ienoi.t¡!, 172
R¿.io, tónca de o¡o circ¡lar, (!éúe tlone d. cono
.up€úci¿ ¡d¿r.¡, aÉ. .ts I!, 9
R.cu¡Enci.. ló.Dulas d¿, 101. ¡3?, 139, 1,1?, 119, r5r,¡53.1á6, 153, t59
Rqll¡r, íE! de un polísobo, 6A.s!I.!, pol¡go¡o, .ncufuc.ilo ! ün circulo,
'ne. de, 7
in$¡noenuncílo¡o, ?
Ri¿nánn, f!h.ió¡ d d¿, 13.tR.diislc, tóimulá! de.14q 151. ¡53R¡s de tÉ! y .utn póblos. 4l
R.l.ción de .mil.¡¡tL3.n ¿¡ plino, s
.n cmrd.n.d¡! drvilird3, 125
S.hs..¿, &.isü.ld.d d¿, (v¿¡c C¡uchy'Srhvln,
S¿do¡ d. u¡ .imlo. lonFúd ¡1. .rco d.¡, 6
S.sn¿nt¡ d¿ cndb, áH d.l, 7S4sñ.n¿o de prlbol¡, ¿É. d.l, ?
S.si.Eliñcrdr, fDñción d. ondr &noid¡1, r72
5€16. l.y d. lo., p¡r¡ ki¡n$16 pL.o¡, ¡ 9I¿y d. lo., p.F lri¡bguld *ró¡icd, 19
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