mathematik fuer physiker iia

Mathematik fur Physiker IIa

Version 0.3.1

Margarita Kraus (Mathematischer Inhalt)Manuel Muller (LATEX-Satz)

Letzte Aktualisierung: 2008-07-22T01:45:29.729027032+02:00

Lizenz und c©opyright

Dieses Dokument, wie auch dessen Quellcode, alle darin enthaltenen Zeichnun-gen und deren Quellcode stehen unter der

”Creative Commons Namensnennung-

Weitergabe unter gleichen Bedingungen 2.0 Deutschland“ Lizenz.

Der Inhalt der Lizenz kann unter

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/de/

eingesehen werden.

Vorwort

Diese Mitschrift wurde im Rahmen der Vorlesung”Mathematik fur Physiker

IIa“ des Sommersemesters 2008 (2008-04-14 - 2008-07-12), welche von MargaritaKraus gehalten wurde, angefertigt. Hinweise und Korrekturen nehmen die Au-toren gerne entgegen. Beide sollten (noch) an manumuel@students.uni-mainz.de

gesendet werden.

INHALTSVERZEICHNIS 2

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 91.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung 112.1 Definition (von Systemen von DGLen, Bahn und Losungskurve) . 112.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Lemma und Definition (von (nicht-)autonomen Systemen) . . . . 132.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Definition (von (erweiterten) Phasen -raum, -portrait und Rich-

tungsvektorfeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.8 Definition (der maximalen Losung) . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10 Definition (des Anfangswertproblems) . . . . . . . . . . . . . . . 172.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Erste Losungsmethoden fur DGLen 1. Ordnung 193.1 Losungsmethoden fur autonome DGLen . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Losungsmethode 2: getrennte Variablen . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5 Losungsmethode 3: Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . 23

4 Systeme linearer DGLen 1. Ordnung 254.1 Definition (von Systemen linearer DGLen) . . . . . . . . . . . . . 254.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Notiz (uber Losungen aus Losungszusammensetzungen) . . . . . 254.4 Hauptsatz uber lineare DGLen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.6 Definition (des/der Fundamental-systems, -matrix und der Wrons-

kideterminante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.8 Notiz (Losungen aus der Fundamentalmatrix) . . . . . . . . . . . 274.9 Satz (inhomogene Losung aus der Fundamentalmatrix) . . . . . . 27

4.10 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.11 Notiz (Losungen aus Eigen -werten bzw. -vektoren) . . . . . . . . 284.12 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.13 Korollar (Fundamentalsystem und Eigen -werte bzw. -vektoren) . 294.14 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.15 Erinnerung (Diagonalisierbarkeit) und Beispiel . . . . . . . . . . 35

5 Die Matrixexponentialfunktion 375.1 Definition (der Operatornorm) und Notiz . . . . . . . . . . . . . 375.2 Bemerkung (uber Zusammenhange der Operatornorm) . . . . . . 375.3 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4 Definition (der Matrizen -differentierbarkeit und -reihen) . . . . . 375.5 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6 Satz (Matrizenreihenkonvergenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.7 Korollar (Matrizenexponentialreihe) . . . . . . . . . . . . . . . . 385.8 Lemma (Rechenregel der Matrizenexponentialfunktion) . . . . . 385.9 Korollar (Matrizenexponentialfunktionen als Teilmenge der Ge-

neral Linear Group) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.10 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.11 Definition (der Nilpotenz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.12 Notation und Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.13 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.14 Satz (Lineare Algebra, z.B. Brockner, lineare Algebra II) . . . . . 405.15 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz 416.1 Definition (der lokalen Lipschitz-stetigkeit) . . . . . . . . . . . . 436.2 Bemerkung (C1 ⇒ lipschitz-stetig ⇒ C0) . . . . . . . . . . . . . 436.3 Satz (Eindeutigkeitssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.4 Banachscher Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.5 Satz (Existenzsatz von Picard-Lindelof) . . . . . . . . . . . . . . 446.6 Bemerkung (Erganzung zum Existenzsatz von Picard-Lindelof) . 456.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.8 Bemerkung (Picard-Lindelof-Verfahren) . . . . . . . . . . . . . . 456.9 Korollar (Zerlegung des Phasenraums) . . . . . . . . . . . . . . . 466.10 Definition (des Fixpunkts und der Periodizitat) . . . . . . . . . . 476.11 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 Differentialgleichungen der Ordnung n 487.1 Definition (von (autonomen) DGLen der Ordnung n) . . . . . . . 487.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.3 Satz und Definition (des dazugehorigen Systems 1. Ordnung) . . 487.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.5 Korollar (aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz) . . . . . . . 497.6 Definition (des (erweiterten) Phasenportraits) . . . . . . . . . . . 507.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

8 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 528.1 Definition (von linearen (homogenen) DGLen n-ter Ordnung) . . 528.2 Notiz (das dazugehorige System 1. Ordnung) . . . . . . . . . . . 528.3 Satz (Anfangsisomorphismus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.4 Definition (des Fundamentalsystems, der Wronski -matrix und

-determinante) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.6 Lemma (Losungen aus dem Fundamentalsystem) . . . . . . . . . 538.7 Korollar (inhomogene Losungen aus dem Fundamentalsystem) . 538.8 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548.9 Bemerkung (das charakteristische Polynom) . . . . . . . . . . . . 558.10 Satz (Fundamentalsysteme aus charakteristischen Polynomen) . . 558.11 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9 Der Umkehrsatz 589.1 Definition (des Diffeomorphismus) . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.2 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589.4 Definition (des lokalen Diffeomorphismus’) . . . . . . . . . . . . . 599.5 Beispiel (Polarkoordinantenabbildung) . . . . . . . . . . . . . . . 599.6 Satz (Umkehrsatz oder Satz von der lokalen Inversen) . . . . . . 599.7 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599.8 Erinnerung und Definition (regularer und singularer Punkt/Wert) 599.9 Satz (vom regularen Punkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.10 Definition (der lokalen Auflosbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . 619.11 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.13 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10 Flachen 6510.1 Definition (der Untermannigfaltigkeit (-skarte, -sgebiet)) & Satz . 6610.2 Korollar (Satz vom regularen Wert) . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

10.4 Definition (des (Untermannigfaltigkeits-)altas’, der Projektion,der Karte und des Kartenwechsels) . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10.5 Bemerkung (Differentierbarkeit von Karten) . . . . . . . . . . . . 6910.6 Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6910.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10.7.1 Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.2 Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.3 Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.4 Beispiel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.7.5 Beispiel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.7.6 Beispiel 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

10.8 Definition (der lokalen Parametrisierung) . . . . . . . . . . . . . 7410.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.10Notiz (Aussagen uber lokale Parametrisierungen) . . . . . . . . . 7410.11Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.12Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.13Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11 Tangentialraum und Differential 7711.1 Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811.4 Definition (des Diffeomorphismus’ und regularen Punkts/Werts)

und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811.5 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.6 Korollar (Satz vom regularen Wert) . . . . . . . . . . . . . . . . 7911.7 Definition (des Tangentialraums) und Lemma . . . . . . . . . . . 8011.8 Definition (der (Koordinanten-)basis) und Notiz . . . . . . . . . . 8111.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.10Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8211.11Definition (der reprasentativen Kurve) . . . . . . . . . . . . . . . 8311.12Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8311.13Satz (Tangentialraum aus der Koordinantengleichung) . . . . . . 8311.14Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

11.14.1Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8411.14.2Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11.15Definition (des Normalen(einheits)felds) . . . . . . . . . . . . . . 8511.16Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.17Definition (der Orientierbarkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.18Notiz (der Orientierung, Orientierungs -erhaltung und -umkehrung) 8611.19Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8611.20Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

11.20.1Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8711.20.2Beispiel 2 - Mobiusband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

11.21Definition und Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8911.22Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.23Korollar (Kettenregel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011.24Definition (der Orientierungserhaltung von Diffeomorphismen) . 9111.25Spezialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.26Notiz (orientierungserhaltene Karte und orientierungsdefiniertes

Normaleneinheitsfeld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.27Notiz (kritische Punkte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9111.28Korollar (kritischer Punkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9211.29Korollar (kritischer Punkt und Lagrange-Multiplikatoren) . . . . 9211.30Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311.31Weitere Anwendungen der Lagrange Multiplikatoren . . . . . . . 94

12 Integration auf Flachen 9612.1 Erinnerung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12.3 Satz (Integration uber berandete Gebiete) . . . . . . . . . . . . . 9612.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9612.5 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12.5.1 Spatvolumen in 3 und n Dimensionen . . . . . . . . . . . 9712.5.2 Verhalten von Spatvolumen unter linearen Abbildungen . 9812.5.3 Verallgemeinerung von Spatvolumen . . . . . . . . . . . . 9912.5.4 Erinnerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

12.6 Satz (Transformationsformel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9912.8 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.9 Definition (der Nullmenge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.10Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10012.11Notiz (Aussagen uber Nullmengen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.12Notiz (Integration uber Nullmengen) . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.13Notiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.14Definition (der Gramschen Determinante/Matrix bzw. 1. Funda-

mentalform) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.15Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.16Satz und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10312.17Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.18Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 1) . . . . . . . . 10512.19Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 2) . . . . . . . . 10512.20Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10512.21Definition (des Integrals eines Vektorfelds) . . . . . . . . . . . . . 10612.22Notiz (Verhalten des Vektorfeldintegrals unter orientierungsum-

kehrenden Umparametrisierungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10612.23Notiz (Integral uber Gradientenvektorfelder) . . . . . . . . . . . . 10712.24Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10712.25Definition (des vektoriellen Flachenintegrals) . . . . . . . . . . . 10812.26Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

13 Berandete Untermannigfaltigkeiten 11013.1 Notation (Offenheit und Rand) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11013.3 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.4 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11113.5 Definition (von ber. Untermannigfaltigkeitskarten bzw. Atlanten) 11213.6 Definition (des Randpunkts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11213.8 Lemma (Satz vom regularen Wert fur berandete Untermannig-

faltigkeiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.9 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.10Notiz (Rand einer ber. Untermannigfaltigkeit als Untermannig-

faltigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11313.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

13.12Definition und Notiz (nach innen/außen weisende Tangentialvek-toren bzw. Normalen(einheits)vektoren) . . . . . . . . . . . . . . 114

13.13Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.14Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11513.15Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14 Der Gaußsche und Stokesche Integralsatz 11814.1 Erinnerung und Definition (von Divergenz und Rotation) . . . . 11914.2 Der Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.3 Der Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.4 Bemerkung (Verallgemeinerung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11914.6 Korollar (Spezialfalle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.7 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12014.8 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12214.9 Bemerkung (Anschauliche Bedeutung der Divergenz) . . . . . . . 12314.10Beispiel - Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12314.11Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12414.12Beweis des Satzes von Gauß (im Spezialfall n = 3) . . . . . . . . 12414.13Bemerkung (Komposition von rot, div und grad) . . . . . . . . . 12714.14Lemma ((Vektor-)Potential aus Gradienten- und Rotationsfeldern)12714.15Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12914.16Definition (der Sternformigkeit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13114.17Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13114.18Bemerkung (Bezug zu Homologien) . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.19Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

14.19.1Beispiel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.19.2Beispiel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13214.19.3Beispiel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Literaturhinweise

1.”Mathematik fur Physiker“-Bucher

(a) (*) Goldhorn, Karl-Heinz & Heinz, Hans-Peter:”Mathematik fur

Physiker 1“,”Mathematik fur Physiker 2“

(b) Janich, Klaus:”Mathematik 1. Geschrieben fur Physiker“,

”Mathe-

matik 2. Geschrieben fur Physiker“

(c) (*) Janich, Klaus:”Analysis fur Physiker und Ingenieure“

(d) Fischer, Helmut & Kaul, Helmut:”Mathematik fur Physiker 1. Grund-

kurs“,”Mathematik fur Physiker 2“

2. Analysis Standardwerke:

(a) Brocker, Theodor:”Analysis III“

3. Lehrbucher uber gewohnliche DGLen:

(a) (*) Walter, Wolfgang:”Gewohnliche Differentialgleichungen. Eine Einfuhrung“

(b) (*) Arnold, Vladimir I.:”Gewohnliche Differentialgleichungen“

(c) Kamke, Erich:”Differentialgleichungen, Losungsmethoden und Losun-

gen II. Partielle Differentialgleichungen“

1 EINLEITUNG 9

1 Einleitung

1.1 Notation

Sei f : (a, b)→R, t 7→ f(t). Dann schreibt man:

f(t) ≡ d

dtf(t)

f(t) ≡ d2

dtf(t) ≡ f (2)(t)

dt(t) ≡ f (n)(t)

Wir betrachten hier nur gewohnliche DGLen, d.h., wir betrachten nur Gleichun-gen, die von Funktionen

f : I→Rk, I ⊆ R

handeln. (Im Gegensatz dazu heißen DGLen, die von Funktionen f : U→Rk mit

U ⊆ Rn handeln,”partielle DGLen“, vgl.

”Goldhorn, Heinz - Mathematik fur

Physiker III”)Was ist eine DGL? Eine DGL n-ter Ordnung ist durch

F (t, x, x, . . . , x(n)) = 0

gegeben, z.B.:

1. N = λN = 0

2. mx− F (x, x, t) = 0

3. x+ ω20x = 0 (harmonischer Oszillator)

4. x+ ω0x+ γx = 0 (harmonischer Oszillator + Reibung)

Losung von

⊲ 1.: C·eλt ist eine Losung von 1., denn

(C·eλt)− λ(C·eλt) = λ·C·eλt − λ·C·eλt = 0

Sind dies alle Losungen?

⊲ 3.: x+ ω20x = 0 hat die Losungen:

C1·sin(ω0t+ φ1) (= A)

C2·cos(ω0t+ φ2) (= B)

Sind dies alle Losungen? Sind sie alle verschieden?

Etwas allgemeiner: Systeme von gekoppelten DGLen. Wieder:

F (t, x, . . . , x(n)) = 0

aber x ∈ Rk, F : Rk·(n+1)+1→Rk. Beispiel: 3-Korper-Problem:

1 EINLEITUNG 10

x1 = m2·x2 − x1

||x2 − x1||3+m3·

x3 − x1

||x3 − x1||3

x2 = m3·x3 − x2

||x3 − x2||3+m1·

x1 − x2

||x1 − x2||3

x3 = m1·x1 − x3

||x1 − x3||3+m2·

x2 − x3

||x2 − x3||3

Fragen:

⊲ Explizite Losungen von DGLen berechnen (oft zu schwierig)

⊲ Existenz von Losungen,”Lebenszeit“ von Losungen

⊲ Eindeutigkeit von Losungen

⊲ Langzeitverhalten von Losungen

2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 11

2 Systeme von Differentialgleichungen 1. Ord-

2.1 Definition (von Systemen von DGLen, Bahn und Losungs-kurve)

Unter einem allgemeinem offnenen Rechteck der Dimensionm verstehen wir eineTeilmengeD ⊆ Rm der FormD = (a1, b1)× . . .×(an, bn) mit−∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞.

Ist D ⊆ Rk ein k-dimensionales, offenes Rechteck, w : (t0, t)×D→Rk stetig,so nennt man die Gleichung

x = w(t, x) (1)

(ausfuhrlicher:

x1 = w1(t, x1, . . . , xk)

xk = wk(t, x1, . . . , xk)

) ein (explizites) k-dimensionales System (gewohnlicher) DGLen 1. Ordnung. ImFall k = 1 spricht man nur von (expliziten) (gewohnlichen) DGLen 1. Ordnung.Eine Losung von 1 ist eine stetig differentierbare Abbildung:

α : (t′0, t′1)→D ⊆ R

k, α =

mitα(t) = w(t, α(t))

(ausfuhrlicher:αj(t) = wj(t, α1(t), . . . , αj(t))

fur alle j = 1, . . . , k und alle t ∈ (t′0, t′1) ⊆ (t0, t1)). Ist α : (t′0, t

′1)→D eine Losung

von 1, so heißtBild(α) = α(t′0, t

′1) ⊆ D

die Bahn oder der Orbit der Losung,

(t, α(t)) ∈ (t0, t1)×D | t ∈ (t′0, t′1)

heißt die Losungskurve. Ist die Abbildung w durch

w : R×D→Rk, w(t, x) = v(x)

mit v : D→Rk stetig gegeben, so heißt das System von DGLen 1. Ordnung

x = v(x) (2)

autonom.

2.2 Beispiele

2.2.1 Beispiel 1

Sei x = cx. Hier ist w : R×R→R, w(t, x) = cx. Dies ist eine autonome DGL 1.Ordnung.

⊲ Losung: αλ(t) = λ·ect fur ein λ ∈ R.

⊲ Bahn von

α0(t) : 0α1(t) : R

⊲ Losungskurven:

2.2.2 Beispiel 2

Sei f : R→R stetig,x = f(t)

ist eine nicht-autonome DGL 1. Ordnung. Die Losungen sind durch

α : R→R, αC(t) =

(f(t)) dt+ C

fur C ∈ R gegeben.

2.2.3 Beispiel 3

Sei v : R2→R2, v(

(−x2

(0 −11 0

. Dann ist x = v(x).

(Ausfuhrlich:x1 = −x2

x2 = x1

) ein 2-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung.

αC,φ : R→R2, t 7→ C·

(cos(t+ φ)sin(t+ φ)

sind Losungen von (∗). Bahn:

2.3 Notiz

Ist x = v(x) ein k-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung, danngilt fur jede Losung α : (t0, t1)→D von x = v(x), dass auch fur jedes c ∈ R

α : (t0 + c, t1 + c)→D, α(t) = α(t− c)

eine Losung von x = v(x) ist.Anschauung fur k = 1:

Beweis:

Sei α eine Losung von x = v(x).

Dann ist ˙α(t) = α(t− c)α ist Losung︷︸︸︷= = v(α(t− c)) = v(α(t)). 2

2.4 Lemma und Definition (von (nicht-)autonomen Syste-men)

Istx = w(t, x) (3)

ein k-dimensionales System nicht-autonomer DGLen 1. Ordnung, dann heißtdas (k + 1)-dimensionales System autonomer DGLen 1. Ordnung

x0 = 1 (4)

x0 = w(x0, x), (x0, x) ∈D

︷︸︸︷

(t0, t1)×D

das zu 3 gehorige autonome System mit v : D→Rk+1, v(x0, x) =

∈ Rk+1

︷︸︸︷

(1, w(x0, x))ist also 4 gegeben durch

x = v(x)

mit x ∈ D, v : D→Rk+1.Ist α eine Losung von 3, α : (t′0, t

′1)→D, so ist

β : (t′0, t′1)→(t′0, t

′1)×D, β(t) = (t, α(t)) = (β0(t), . . . , βk(t))

eine Losung von 4, denn

β0(t) = 1

β0(t) = αj(t) = wj(t, α(t)) = wj(β0(t), α(t)) = wj(β(t))

und ist β : (t0, t1)→D eine Losung von 4, dann ist β0(t) = t + c fur ein c ∈ R.Dann ist

α = (α1, . . . , αk)

mitαj : (t′0 + c, t′1 + c)→R

k mit αj(t) = βj(t− c)eine Losung von 3, denn es gilt:

αj(t) = βj(t− c) = vj(βj(t− c)) = wj(t, αj(t))2

2.5 Beispiel

Sei x = f(t), f : R→R stetig. Dann ist das autonome System durch

x0 = 1

x1 = f(x0)

gegeben. Eine Losung von diesem System ist durch

β(t) = (t,

(f(τ))) dτ

gegeben.

2.6 Definition (von (erweiterten) Phasen -raum, -portraitund Richtungsvektorfeld)

Ist x = v(x), v : D→Rk ein k-dimensionales System autonomer DGLen, so heißtD der Phasenraum und

v : D→Rk

das Richtungsvektorfeld auf D. R×D heißt der erweiterte Phasenraum und

v : R×D→Rk+1, v((t0, x)

, v(x) ∈ Rk

das erweiterte Richtungsvektorfeld.Der Phasenraum zusammen mit den Bahnen und ihrer Durchlaufrichtung

heißt Phasenportrait, der erweiterte Phasenraum zusammen mit den Losungs-kurven (und ihrer Durchlaufrichtung) heißt erweitertes Phasenportrait.

Ist x = w(t, x) ein nicht-autnomes System, so ist der Phasenraum, das Pha-senportrait und das Richtungsvektorfeld als die entsprechenden Dinge fur daszugehorige autonome System erklart.

2.7 Beispiele

2.7.1 Beispiel 1

x = λx, λ > 0.

⊲ Phasenraum: R

⊲ v(x) = λx, Richtungsvektorfeld:

⊲ Losungen: Ceλt

⊲ erweiterter Phasenraum: R×R, v((x0, x)T ) =

2.7.2 Beispiel 2

x = t ist nicht-autonom. Zugehoriges autonomes System: x0 = 1, x = 0.

⊲ Phasenraum: R×R

⊲ Richtungsvektorfeld: v(x0, x) =

⊲ Losungen: α(t) = 12 t

2.7.3 Beispiel 3(x1

(−x2

⊲ Phasenraum: R×R

⊲ Losungen: α(t) = c·(

cos(t+ t0)sin(t+ t0)

2.8 Definition (der maximalen Losung)

Unter einer maximalen Losung eines Systems von DGLen versteht man eineLosung α : (t′0, t

′1)→Rk, so dass es kein (t′′0 , t

′′1 ) mit (t′′0 , t

′′1 ) 6≥ (t′0, t

′1) und keine

Losung α : (t′′0 , t′′1)→Rk gibt mit α|(t′0, t′1) = α gibt.

2.9 Beispiel

x = λx, α : (0, 1)→R, α(t) = eλt ist eine Losung, aber keine maximale Losung.Eine maximale Losung ist durch α : R→R, α(t) = eλt gegeben.

2.10 Definition (des Anfangswertproblems)

Unter einem Anfangswertproblem fur ein System autonomer DGLen verstehtman die Aufgabe, alle (spater: eine) maximalen Losungen von

x = v(x) mit α(0) = x0

fur gegebenes x0 zu finden.Unter einem Anfangswertproblem fur ein System nicht-autonomer DGLen

versteht man die Aufgabe, zu gegebenem T ∈ (t0, t1), x0 ∈ D alle (eine) maxi-malen Losungen α von

x = w(t, x) und α(T ) = x0

zu finden.

2.11 Beispiele

2.11.1 Beispiel 1

x = λx, x0 = 2. ⇒ α(t) = 2·eλt ist eine Losung des Anfangswertproblems.(α(0) = 2)

2.11.2 Beispiel 2

x = t, (T, x0) = (0, 1). ⇒ α(t) = 12 t

2 + 1. (c = 1)

2.11.3 Beispiel 3(x1

(−x2

, x0 =

. ⇒ α(t) =

(cos(t)sin(t)

3 ERSTE LOSUNGSMETHODEN FUR DGLEN 1. ORDNUNG 19

3 Erste Losungsmethoden fur DGLen 1. Ord-

3.1 Losungsmethoden fur autonome DGLen

Sei v : (a, b)→R stetig. Betrachte

x = v(x) (5)

⊲ Sei x0 ∈ (a, b) mit v(x0) = 0. Dann ist

α(t) ≡ x0

eine Losung von 5, denn α(t) ≡ 0 = v(α(t)) = v(x0).

⊲ Ist (a′, b′) ⊆ (a, b) mit v(x) 6= 0 fur alle x ∈ (a′, b′). Ist α eine Losung von5, so gilt also:

v(α(t))= 1

falls α(t) ∈ (a′, b′). Ist Φ eine Stammfunktion von 1v , so ist

α(t) = Φ−1(t+ c)

(falls Φ−1 definiert) eine Losung von 5, denn

α(t) =1

Φ(Φ−1(t+ c)︸︷︷︸

)= v(α(t))

3.2 Beispiele

3.2.1 Beispiel 1

x = λx. v(x) = 0 ⇔ x = 0 ⇔ α(t) = 0 ist eine Losung. Φ(x) = 1λ ·ln(|x|) ist

Stammfunktion fur 1λx ⇒ α(t) = ±eλt+c = C′·eλt

3.2.2 Beispiel 2

v(x) = cos(x)2, x = cos(x)

(GRAPHIC HERE)

-3 -2 -1 0 1 2 3

Erweitertes Richtungsvektorfeld

Erw. RVFk · π

atan(t) + k · πatan(t+ C) + k · π

1. Nulstellen von v:v(π

2+ k·π) = 0, k ∈ Z

d.h.α(t) =

2+ k·π, t ∈ R

sind (die) maximalen Losungen zum Anfangswertproblem x(0) = π2 + kπ.

2. Φ(x) = tan(x) + C ist Stammfunktion von 1cos(x)2

fur x 6= π2 + kπ. ⇒

α(t) = arctan(t+ c)+kπ, k ∈ Z, c, t ∈ R sind weitere maximale Losungenvon x = v(x). Sind dies alle Losungen? (→ Ja, Begrundung spater)

Anfangswertproblem zu x(0) = π4 wird durch arctan(t+ 1) gelost, denn

α(0) = arctan(c) + kπ =π

4⇔ k = 0, c = 1

3.3 Losungsmethode 2: getrennte Variablen

Sei w : (t0, t1)×(a, b)→R, w(t, x) = f(x)·g(t), mitg : (t0, t1)→R

f : (a, b)→R+

stetig (Fur f :

(a, b)→R verfahre wie in 3.1 mit Fallunterscheidung!). Es gilt α : (t′0, t′1)→(a, b)

ist Losung von x = g(t)·f(x) ⇔ α(t)f(α(t)) = g(t).

Ist Φ Stammfunktion von 1f und G Stammfunktion von g, so gilt

(Φα)(t) =1

f(α(t))·α(t) = G(t)

Durch α(t) = Φ−1(G(t)) + C ist eine Losung von x = w(t, x) gegeben fur allet, c, fur welche die rechte Seite definiert ist.

3.4 Beispiele

3.4.1 Beispiel 1

x = g(t)·x, x > 0, t ∈ R (6)

Dann ist Φ = ln(x). ⇒ α(t) = C·etR

(g(τ)) dτ

, c > 0, t ∈ R maximale Losung von6. Das Anfangswertproblem zu

x(t0) = x0, x0 ∈ R+

wird durch

α(t) = x0e

(g(τ)) dτ

gelost. Fur g(t) = −t ist also α(t) = C·e− 12 t

die gesuchte Losung. Richtungs-vektorfeld:

-3 -2 -1 0 1 2 3

Richtungsvektorfeld

RVFC · e− 1

3.4.2 Beispiel 2

x = sin(t)︸︷︷︸

· ex︸︷︷︸

Richtungsvektorfeld:

-3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159

Richtungsvektorfeld

RVFln(cos(t))

⊲ Φ(x) = −e−x ist eine Stammfunktion von 1f(x) = e−x.

⊲ G(t) = −cos(t) + C ist Stammfunktion von sin(t).

⇒ α(t) = −ln(cos(t) + c) ist Losung von x = sin(t)·ex”fur alle t, c, auf denen

die rechte Seite definiert ist“, d.h. fur cos(t) + c > 0. Z.B.

⊲ fur c = 0:

t ∈ (−π2

+ 2kπ,π

2+ 2kπ)

α0(t) = −ln(cos(t))

α0(0) = 0

⊲ fur c = 1:

t ∈ R\π + 2kπ | k ∈ Zα1(0) = −ln(2)

⊲ fur c > 1:t ∈ R

-4.71239 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 4.71239

α−0,5(t)α0(t)α1(t)α2(t)

3.5 Losungsmethode 3: Variation der Konstanten

Gesucht ist eine Losung von

x = g(t)·x+ f(t) (7)

Losung fur f(t) = 0 ist durch

α(t) = C·etR

(g(τ)) dτ

gegeben. Angenommen

β(t) = u(t)·etR

(g(τ)) dτ

ist Losung von 7. Dann gilt:

u(t)·etR

(g(τ)) dτ

+ g(t)·β(t) = g(t)·β(t) + f(t)

⇒u(t) = f(t)·e−

(g(τ)) dτ

Daraus folgt, dass

β(t) = (x0 +

(f(s)·e−

(g(τ)) dτ

) ds)·etR

(g(τ)) dτ

Losung von 7 ist.Achtung: Dies sind nicht alle Losungen. Siehe 4.3 & 4.4.

4 SYSTEME LINEARER DGLEN 1. ORDNUNG 25

4 Systeme linearer DGLen 1. Ordnung

4.1 Definition (von Systemen linearer DGLen)

Ist A : (a, b)→M(

︷︸︸︷

k×k,R) stetig und b : (a, b)→Rk stetig, so heißt

x = Ax+ b (8)

ein k-dimensionales System linearer DGLen 1. Ordnung. Ist b ≡ 0, so heißt dasSystem homogen, ansonsten inhomogen.

x = Ax (9)

heißt das zu 8 gehorende homogene System.

4.2 Bemerkung

1. 8 ist genau dann autonom, falls A, b konstant sind.

2. 3.5 ist eine inhomogene lineare DGL.

4.3 Notiz (uber Losungen aus Losungszusammensetzun-gen)

1. Es gilt: Sind α1 und α2 Losungen von 9, so ist fur jedes c ∈ R

c·a1 + a2

wieder eine Losung von 9, denn

(c·α1 + α2) = cAα1 + cAα2

= A(cα1 + α2)

sofern die Definitionsbereiche von α1 und α2 ubereinstimmen.

2. Sind β1 und β2 Losungen von 8, so ist β1 − β2 Losung von 9, sofern dieDefinitionsbereiche von β1 und β2 ubereinstimmen.

3. Ist β Losung von 8 und α Losung von 9 und stimmen die Definitionsbe-

reiche von α & β uberein, dann gilt:

α+ β ist Losung von 8

(α+ β)(t) = α(t) + β(t)

= A(t)·α(t) +A(t)·β(t) + b(t)

= A(t)·(α + βt) + b(t)

4.4 Hauptsatz uber lineare DGLen

1. Die maximalen Losungen von x = Ax + b mit A : D→M(k×k,R), b :D→Rk sind auf ganz D definiert. Die Losungen des zugehorigen Systems9 bilden einen k-dimensionalen Untervektorraum vonC1(D,Rk). Ist τ ∈ Dbeliebig, so ist durch

L → Rk

α 7→ α(τ)

(wobei L den Raum der Losungen von 9 bezeichnet) ein Isomorphismusgegeben.

2. Ist β eine Losung von 8, so ist der Raum der Losungen von 8 durch

β + a | α Losung von 9

gegeben.

4.5 Bemerkung

4.4.1 besagt, dass es zu jedem T ∈ D und jedem x0 ∈ Rk genau eine Losung αvon 9 gibt mit

α(T ) = x0

Es kann nicht sein, dass α1(T ) = x0 = α2(T ), falls α1 und α2 beides Losungenvon 9 sind, d.h. die Bahnen zerlegen den PR, d.h. durch jeden Punkt des PRsgeht genau eine Bahn.

(Beweis fehlt hier, teilweise wird er in 6 nachgeliefert)

4.6 Definition (des/der Fundamental-systems, -matrix undder Wronskideterminante)

Eine Basis α1, . . . , αk des Losungsraums L von 9 bezeichnen wir als Fundamen-

talsystem, die matrixwertige Abbildung

D→M(k×k,R), t 7→ (α1(t) . . . αk(t))

bezeichnet man als Fundamentalmatrix. Sind β1, . . . , βk beliebige Losungen von9, so bezeichnet man mit

W (t) = det(β1(t) . . . βk(t))

die Wrongskideterminante von β1, . . . , βk.

4.7 Korollar

Fur k Losungen β1, . . . , βk von 9 sind aquivalent:

1. β1, . . . , βk bilden ein Fundamentalsystem von 9.

2. Jede Losung α von 9 ist eine LK der β1, . . . , βk, d.h. es gibt c1, . . . , ck ∈ R

so, dassα(t) = c1β1 + . . .+ ckβk

3. Fur ein τ ∈ D ist β1(τ), . . . , βk(τ) eine Basis von Rk.

4. Fur jedes τ ∈ D ist β1(τ), . . . , βk(τ) eine Basis von Rk.

5. Die Wronskideterminante W (τ) 6= 0 fur ein τ ∈ D.

6. Die Wronskideterminante W (τ) 6= 0 fur jedes τ ∈ D.

4.8 Notiz (Losungen aus der Fundamentalmatrix)

Ist Φ : D→M(k×k,R) eine Fundamentalmatrix von 9, dann ist Φ Losung derDGL

z = Az

z : D→M(k×k,R) (Dimension: k2).

4.9 Satz (inhomogene Losung aus der Fundamentalma-trix)

Ist Φ : R→GL(k,R) eine Fundamentalmatrix von 9, so ist

β(t) = Φ(t)·Φ−1(τ)·v + Φ(t)·t∫

(Φ−1(s)b(s)) ds

︸︷︷︸

eine Losung des inhomogenen Systems 8 mit

β(τ) = v

Beweis:

Nachrechnen wie in 3.5:

β(t) = Φ(t)·(Φ−1(τ)·v +

(Φ−1(s)b(s)) ds) + Φ(t)·Φ−1(t)b(t)

=︸︷︷︸

Aβ(t) + b(t)2

4.10 Bemerkung

Ist Φ eine Fundamentalmatrix, so ist fur jeden Vektor w ∈ Rk

β : D→Rk, t 7→ Φ(t)·w

eine Losung von 9 mit β(τ) = Φ(τ)·w.Fur k > 1 und A : D→M(k×k,R) existiert keine einfache allgemeine Metho-

de, um Φ zu berechnen. Aber fur den Fall eines autonomen homogenen Systemsgibt es Rechenverfahren. Ab jetzt: A ∈M(k×k,R) (also D = R).

4.11 Notiz (Losungen aus Eigen -werten bzw. -vektoren)

1. Ist λ ∈ R ein reeller Eigenwert von A, v ∈ Rk ein Eigenvektor zum Eigen-wert λ. Setze α(t) = eλt·v. Dann ist

α(t) = λ·eλt·v = eλt·Av = A·(eλt·v) = Aα(t)

Also ist α : R→Rk, α(t) = eλt·v eine Losung von x = Ax.

2. Ist γ + iω ∈ C, ω 6= 0 ein Eigenwert von A, dann ist γ − iω ∈ C ebenfallsein Eigenwert von A. Ist u+ iv ein Eigenvektor zu γ+ iω, so ist u− iv einEigenvektor zu γ − iω. Dann erfullt

β : Rk→C

k, β(t) = e(γ+iω)t(u+ iv) = eγt·(cos(ωt) + i·sin(ωt))·(u+ iv)

die Gleichung x = Ax, also sind auch Real- und Imaginarteil von β Losun-gen von x = Ax, d.h.

eγt(cos(ωt)·u− sin(ωt)·v)eγt(sin(ωt)·u+ cos(ωt)·v)

sind Losungen von x = Ax.

4.12 Beispiel

x1 = x2

x2 = −2x1 + 3x2

⊲ A =

(0 1−2 3

⊲ Eigenwerte: λ1 = 1, λ2 = 2

⊲ Eigenvektoren: v1 =

, v2 =

⊲ Allgemeine Losung: (c1·et + c2·e2tc1·et + 2c2·e2t

⊲ Losungen zum Anfangswertproblem α(0) =

c1 + c2 = a

c1 + 2c2 = b

⇒c2 = b− ac1 = 2a− b⇒

α(t) =

((2a− b)·et + (b− a)·e2t(2a− b)·et + 2(b− a)·e2t

4.13 Korollar (Fundamentalsystem und Eigen -werte bzw.-vektoren)

Ist A komplex diagonalisierbar, d.h. es existiert eine Basis von Ck von Eigenvek-toren zu A und sind λ1, . . . , λr, γ1±iω1, . . . , γs±iωs, r = 2s+k (λi und γj + iωjnicht notwendig alle verschieden) Eigenwerte von A mit Eigenvektoren

v1, . . . , vr, u1±iw1, . . . , us±iwsso ist ein Fundamentalsystem von x = Ax durch

eλjt , j = 1, . . . , r

eγjt(cos(ωjt)·uj − sin(ωjt)·wj) , j = 1, . . . , s

eγjt(sin(ωjt)·uj + cos(ωjt)·wj) , j = 1, . . . , s

gegeben, d.h. eine beliebige Losung von x = Ax ist von der Form

(cj ·eλjt·vj) +

(aj ·eγjt·(cos(ωjt)·uj − sin(ωjt)·wj))

(bj ·eγjt·(sin(ωjt)·uj + cos(ωjt)·wj))

mit aj , bj , cj ∈ R.

4.14 Beispiele

k = 2. Ist A diagonalisierbar, so sind folgende Falle moglich:

1. A hat 2 reelle Eigenwerte λ1, λ2 (moglicherweise λ1 = λ2) mit linear un-abhangigen Eigenvektoren v1, v2.

2. A hat 2 zueinander komplex konjugierte Eigenwerte γ1 + iω1, γ1 − iω1,ω1 6= 0.

Beispiele:

1. Erinnere 4.12.

⊲ Losung des Anfangswertproblems x0 =

((2a− b)·et + (b − a)·e2t(2a− b)·et + 2(b− a)·e2t

= et·(

2a− b+ (b − a)·et2a− b+ 2(b− a)·et

⊲ PP mit

⊲ (1) / Zyan: a = b

⊲ (2) / Rosa: 2a = b

⊲ (3) / Grun: a < b

⊲ (4) / Blau: a > b

-15 -10 -5 0 5 10 15

Phasenportrait

RVF(1)(2)(3)(4)

2. System:

x1 = −3x1 + 2x2

x2 = −4x1 + 3x2

⊲ Eigenwerte: λ1,2 = ±1

, v2 =

⊲ Allgemeine Losung:(c1·e−t + c2·etc1·e−t + 2c2·et

⊲ Anfangswertproblem x0(0) =

c1 + c2 = a

c1 + 22 = b

wird gelost durch

α(t) =

((2a− b)·et + (b− a)·et(2a− b)·et + 2(b− a)·et

⊲ PP mit

⊲ (1) / Zyan: a = b

⊲ (2) / Rosa: 2a = b

⊲ (3) / Grun: a < b

⊲ (4) / Blau: a > b

-15 -10 -5 0 5 10 15

Phasenportrait

RVF(1)(2)(3)(4)

3. System:

x1 = x2

x2 = 2x2

(0 10 2

⊲ Eigenwerte: λ1 = 0, λ2 = 2

, v2 =

⊲ Losungen:

α1(t) =

α2(t) = e2t·(

⊲ PP:

-15 -10 -5 0 5 10 15

Phasenportrait

4. System:

x1 = x2

x2 = −x2

(0 +1−1 0

⊲ Eigenwerte: λ1,2 = ±i

⊲ Eigenvektoren: v1,2 =

⊲ Losungen:

α1(t) =

(cos(t)

0sin(t)

(cos(t)−sin(t)

α2(t) =

(sin(t)cos(t)

⊲ PP:

-15 -10 -5 0 5 10 15

Phasenportrait

5. x = Ax, A =

(1 −22 1

⊲ Eigenwerte: λ1,2 = 1±2i

⊲ Eigenvektoren: v1,2 =

(1∓i

⊲ Losungen:

α1(t) = et·(

cos(2t)sin(2t)

α2(t) = et·(

sin(2t)−cos(2t)

⊲ PP mit γ > 0 (Drehrichtung fur γ < 0 umgedreht):

-15 -10 -5 0 5 10 15

Phasenportrait

4.15 Erinnerung (Diagonalisierbarkeit) und Beispiel

Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar, z.B. A =

(1 10 1

: Eigenwert λ = 1 mit

1-dimensionalem Eigenraum R·(

⇒ 1. Losung von x = Ax ist durch α(t) = et·(

gegeben. Bestimmung der

2. dazu linear unabhangigen Losung:

x1 = x1 + x2

x2 = x2

⇒x2(t) = et

⇒x1(t) = x1(t) + et (10)

⇒ 10 ist eine inhomogene Gleichung, x1(t) = t·et ist eine Losung von 10 ⇒Allgemeine Losung von x = Ax:

c1·(et

+ c2·(t·etet

= et·(c1 + c2·t

Allgemeiner sei A ∈ M(2×2,R), λ ∈ R ein reeller Eigenwert von A mit 1-dimensionalem Eigenraum R·v, A sei nicht diagonalisierbar. Erganze v durchw ∈ R2 zu einer Basis von R2. Dann gibt es ein κ 6= 0 so, dass Aw = λw + κv

(angenommen nicht, d.h. angenommen Aw = λ′w + κv, λ 6= λ′, dann ware

v′ = (v+ λ−λ′

κ ·w) ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ′ (Widerspruch), alsoA diagonalisierbar). Damit ist ein Fundamentalsystem von x = Ax durch

α1(t) = eλt·vα2(t) = (κtv + w)·eλt

definiert. Beweis nachrechnen, denn

α2(t) = κv·eλt + λ·α2(t)

Aα2(t) = (κt·λv + λw + κv)·eλt= κv·eλt + λ·α2(t)

⇒ a2 ist Losung von x = Ax. α1 und α2 bilden ein Fundamentalsystem, denn

α1(0) = v

α2(0) = w

5 DIE MATRIXEXPONENTIALFUNKTION 37

5 Die Matrixexponentialfunktion

Erinnere: x = ax, x ∈ R, hat die allgemeine Losung c·eat. Versuche furA ∈ M(k×k,R)

ein eλt =∞∑

( (λt)k

(k)! ) zu definieren.

5.1 Definition (der Operatornorm) und Notiz

Seien V,W normierte VRe mit Normen || ||V und || ||W . Bezeichne Hom(V,W )die Menge der linearen Abbildungen V→W , dann ist auf Hom(V,W ) durch

||A||OP = supv ∈ V

(||Av||W||v||V

) = supv,||v||=1

(||Av||W )

eine Norm wohldefiniert.

5.2 Bemerkung (uber Zusammenhange der Operatornorm)

1. ||Ax||W ≤ ||A||OP ·||x||V2. ||AB|| ≤ ||A||·||B||

i.A. gilt aber nicht||AB|| ≡ ||A||·||B||

z.B. A =

(1 00 0

(0 00 1

5.3 Notiz

Sei A = (aij), so istmax(|aij |) ≤ ||A||OP

denn ||A·ej ||W = ||

...anj

|| ≥ |aij | fur alle i, j.

5.4 Definition (der Matrizen -differentierbarkeit und -reihen)

1. Sei A : R→M(n×n,R) differentierbar, d.h. fur A = (aij) seien aij : R→R

differentierbar fur alle i, j, dann ist

dtA ≡ A = (aij)i,j

2. Sei p(t) =∞∑

(cktk), dann definieren wir p(A) =

∞∑

(ckAk) fur A ∈M(n×n,R)

5.5 Erinnerung

Die Losung von x = ax ist Ceat und ex =∞∑

(k)! ), wobei die Potenzreihe

absolut (auf R) konvergiert. Versuche, dies zu ubertragen auf den Fall x = Ax.Zeige:

⊲ eA ist wohldefiniert, d.h.∑

(k)! ) konvergiert

⊲ Reihenregeln fur eA

⊲ Berechnung von eA

5.6 Satz (Matrizenreihenkonvergenz)

Sei p eine absolut konvergierende Potenzreihe fur |t| < R, so ist auch (p(A))ijabsolut konvergernt fur A ∈M(n×n,R), ||A||OP < R, denn

|(Ak)ij | ≤︸︷︷︸

||Ak||OP ≤︸︷︷︸

||A||k ≤ Rk

d.h. die Reihen∑

(ck(Ak)ij) konvergieren nach dem Majorantenkriterium.

5.7 Korollar (Matrizenexponentialreihe)

Fur alle B ∈M(n×n,R) ist

∞∑

(k)!) = 1+B +

2B2 + . . .

wohldefiniert. Weiterd

dtetB = B·etB

d.h. die Spalten von etB sind Losungen von x = Bx.

5.8 Lemma (Rechenregel der Matrizenexponentialfunkti-on)

1. Ist AB = BA, so isteA+B = eA·eB

(Beweis in U.a.)

2. Ist C ∈ GL(n,R), so ist

eCAC−1

= C·eA·C−1

denn(CAC−1)k = C·Ak·C−1

5.9 Korollar (Matrizenexponentialfunktionen als Teilmen-ge der General Linear Group)

Fur alle A ∈M(n×n,R) ist etA ∈ GL(n,R), denn

e−tA︸︷︷︸

(etA)−1

·etA = e−tA+tA = e0 = 1d.h. die Spalten von etA bilden ein Fundamentalsystem von x = Ax.

5.10 Beispiel

Ist A ∈M(n×n,K) (K = R oder K = C) eine Diagonalmatrix, d.h.

λ1 0. . .

Dann ist

λk1 0. . .

0 λkn

Daraus folgt, dass

eλ1 0. . .

0 eλn

5.11 Definition (der Nilpotenz)

Eine Matrix N ∈M(n×n,R) heißt nilpotent, wenn es ein k ∈ N mit Nk = 0gibt.

5.12 Notation und Beispiel

Ist N nilpotent, Nk = 0, so ist eN = 1+N + 12N

2 + . . .+ 1(k−1)! ·Nk−1. Beispiel:

(0 10 0

, N2 = 0, eN = 1+N =

(1 10 1

, etN =

5.13 Beispiel

(1 10 1

(1 00 1

︸︷︷︸

(0 10 0

︸︷︷︸

Es gilt: DN = ND. ⇒

etA = eDt·eNt =

(et 00 et

(et tet

et ist ein Fundamentalsystem von x = Ax.

5.14 Satz (Lineare Algebra, z.B. Brockner, lineare Alge-bra II)

Ist A ∈ End(Cn) = Hom(Cn,Cn) = M(n×n,C). Dann gibt es eine Basis von C

bezuglich der A in Jordannormalform vorliegt, d.h. in der Form

J1 0 . . . 0

0 J2. . .

......

. . .. . . 0

0 . . . 0 Jr

wobei Ji ”Jordankastchen“ sind, d.h.

Ji ∈ M(ni×ni,C), Ji =

λi 1 0 . . . 0

0. . .

. . .. . .

......

. . .. . .

. . . 0...

. . .. . .

. . . 10 . . . . . . 0 λi

(Spezialfall r = n ⇒ A ist diagonal) also A = D+N , wobei D diagonal, N vonder Form

0 1 0 . . . . . . 0

0. . . 1

. . .. . .

......

. . .. . . 0

. . ....

.... . .

. . .. . .

. . ....

.... . .

. . .. . .

. . . 10 . . . . . . . . . . . . 0

also N nilpotent und DN = ND gilt.

5.15 Korollar

Ist A ∈ M(n×n,C), dann gibt es T ∈ GL(n,C) so, dass TAT−1 = D + N , Ddiagonal, N nilpotent, DN = ND, also:

eA = T−1eDeNT

6 DER EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ 41

6 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz

Fragen:

1. Gibt es zu jedem Anfangswertproblem x = v(x), x(0) = x0 eine Losung?

2. Ist sie eindeutig ?

1. Man kann nicht erwarten, dass jede Losung Definitionsbereich R hat.

2. Erinnere U.a.:

√x x ≥ 0

−√−x x ≤ 0, x(0) = 0

α1(t) = 0

α2(t) =

0 t ≤ 0

14 ·(t− c)2 t ≥ c

Voruberlegung:

Angenommen, α1 und α2 sind Losungen zu x = v(x) und x(0) = x0, so gilt

αj(t) = v(αj(t)), j = 1, 2

Daraus folgt:

αj(t) = x0 +

(v(αj(τ))) dτ (11)

||α2(t)− α1(t)|| = ||t∫

(v(α1(τ) − v(α2(τ))) dτ )|| (12)

≤t∫

(||v(α1(τ)) − v(α2(τ))||) dτ (13)

(?≤ θ·||α1(t)− α2(t)||) (14)

6.1 Definition (der lokalen Lipschitz-stetigkeit)

Sei M ⊆off R, v : M→Rn erfullt eine lokale Lipschitz-Bedingung oder v ist lokallipschitz-stetig, wenn gilt: Fur alle x ∈M existiert eine Umgebung U von x undein L > 0 so, dass fur alle x, y ∈ U gilt:

||v(x) − v(y)|| ≤ L||x− y||

6.2 Bemerkung (C1 ⇒ lipschitz-stetig ⇒ C0)

Ist v ∈ C1(M,Rn) M ⊆ Rm, so ist v lokal lipschitz-stetig. Ist v lokal lipschitz-stetig, so ist v stetig.

6.3 Satz (Eindeutigkeitssatz)

Sei v : D→Rk lokal lipschitz und seien αj : (t1,2 )→D Losungen von x = v(x),x(0) = x0 fur j = 1, 2, so ist α1 = α2.

Beweis:

Angenommen, es existiert ein t0, o.B.d.A.t0 > 0, mit α1(t0) 6= α2(t0).

Sei t := inf(t ∈ [0, t0] | α1(t) 6= α2(t)).

Dann gilt α1(t) = α2(t).

Wahle U und L wie in 6.1 und R ≥ 0 so, dass

⊆ U︷︸︸︷

UR(α(t)).

Sei ǫ > 0 so, dass

αj(t) ∈ KR fur alle t ∈ [t− ǫ, t+ ǫ], j = 1, 2

ǫL < 1

Dann gilt fur alle t ∈ [t, t+ ǫ]

||α1(t)− α2(t)|| ≤︸︷︷︸

(||v(α1(τ)) − v(α2(τ))||︸︷︷︸

≤ L·||α1(t)−α2(t) (∗)||

(*): weil α1(t) ∈ KR

maxt ∈ [t,t+ǫ]

(||α1(t)− α2(t)||) ≤ ǫL· maxt ∈ [t,t+ǫ]

(||α1(t)− α2(t)||)

⇒ maxt ∈ [t,t+ǫ]

(||α1(t)− α2(t)||) = 0. Widerspruch zur Definition von t:

α1(t) 6= α2(t), t ∈ [t, t+ ǫ]

Zum Existenzsatz:

⊲ Betrachte 11

⊲ Setze F : C∞((t1,2 ), D)→C0((t1, t2), D), F (f) = x0 +t∫

(v(f(τ))) dτ

⊲ f ist Losung von x = v·(

, x(0) = x0, falls F (f) = f ⇔ f ist Fixpunkt

6.4 Banachscher Fixpunktsatz

Sei (M,d) ein vollstandig metrischer Raum, F : M→M eine kontrahierendeAbbildung, so besitzt F genau einen Fixpunkt und es gilt: Ist a0 ∈M beliebig,an = Fn(a0), dann konvergiert (an)n ≥ 1 gegen den Fixpunkt.

6.5 Satz (Existenzsatz von Picard-Lindelof)

Erfullt v eine lokale Lipschitzbedingung und sei x0 ∈ D, dann gibt es ein ǫ > 0und eine Losung

α : (−ǫ, ǫ)→D von x = v(x), x(0) = x0

Beweisidee:

Wende 6.4 an auf M = α : (−ǫ, ǫ)→K | α(θ) = x0 fur geeignete ǫ undK.

d : M×M→R+0 , d(α, β) = sup

t ∈ (−ǫ,ǫ)(||α(t) − β(t)||)

F : M→M , F (α) = x0 +t∫

(v(α(τ))) dτ

Zeige: F ist wohldefiniert und kontrahiert,

d(F (α), F (β)) =

(||v(α) − v(β)||) dτ

= ǫLd(α, β)

. . . 2

6.6 Bemerkung (Erganzung zum Existenzsatz von Picard-Lindelof)

Satz 6.5 gilt auch unter der schwacheren Bedingung, dass v stetig ist.

6.7 Korollar

Sei w : (t1, t2)×D→Rk stetig und erfulle bezuglich der Variable x ∈ D einelokale Lipschitzbedingung, also: fur alle x ∈ D existiert eine Umgebung U undein L > 0 so, dass fur alle x, y ∈ U gilt:

||w(t, x) − w(t, y)|| ≤ L||x− y||

Dann gibt es zu jedem x0 ∈ D und t0 ∈ [t1, t2] genau eine Losung von x = w(t, x)und x(t0) = x0.

6.8 Bemerkung (Picard-Lindelof-Verfahren)

Der 2. Teil des Banachschen Fixpunktsatzes liefert ein Verfahren zur (naherungs-weisen) Bestimmung der Losung: Sei α0 : (t0 − ǫ, t0 + ǫ)→D beliebig. Definiererekursiv

αk : (t0 − ǫ, t0 + ǫ)→D, αk(T ) = x0 +

(w(τ, αk−1(τ))) dτ

Dann konvergiert αk gegen eine Losung. Beispiel: x = x, x(0) = 1:

⊲ Setze α0 ≡ 1.

⊲ Dann ist

α1(t) = 1 +

(1) dτ = 1 + t

α2(t) = 1 +

(1 + τ) dτ = 1 + t+1

......

αk(t) = 1 + t+ . . .+1

(k)!tk

(Beweis durch Induktion)

⊲ ⇒ limk→∞

(ak(t)) =∞∑

( 1(k)! t

k) = et.

6.9 Korollar (Zerlegung des Phasenraums)

Ist v : D→Rk lokal lipschitz, so zerlegen die Bahnen den PR, d.h.

1. zu jedem x ∈ D gibt es eine Bahn B, mit x ∈ B.

2. sind B1 und B2 zwei Bahnen mit B1 ∩ B2 6= ∅, so ist B1 = B2.

Beweis:

(1) ist nach dem Existenzsatz klar.

(2): Ist α(t1) = β(t1) und sind α, β Losungen.

Setze α(t) = α(t+ t1), β(t) = β(t+ t2).

⇒ Bahnen von α und α wie auch β und β stimmen uberein.

Es gilt: α(0) = α(t1) = β(t2) = β(0) ⇒ die Bahnen von α und β stimmenuberein.

6.10 Definition (des Fixpunkts und der Periodizitat)

Eine Losung α einer DGL heißt

1. Fixpunkt ⇔ α(t) = p, fur alle t ∈ (t1, t2)

2. periodisch ⇔ α ist kein Fixpunkt und es existiert genau ein T > 0 mitα(t) = α(t′) ⇔ (t′ − t) ∈ ZT . Das T mit dieser Eigenschaft heißt Periode

der Bahn.

6.11 Satz

Sei v : D→Rk lokal lipschitz, dann gilt fur die Losungen von x = v(x) genau

eine der folgenden Moglichkeiten:

1. α ist injektiv

2. α ist periodisch

3. α ist Fixpunkt

Beweis:

Angenommen, α ist weder injektiv noch Fixpunkt.

Dann existiert ein t0 und T mit α(t0) = α(t0 + T ). (*)

Wie im Beweis von 6.9 folgt dann, dass α(t+ T ) = α(t).

Sei T := inf(

T | T erfullt (*)

) ⇒ T > 0, sonst ware α Fixpunkt ⇒ T

ist die Periode von α.

7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DER ORDNUNG N 48

7 Differentialgleichungen der Ordnung n

7.1 Definition (von (autonomen) DGLen der Ordnung n)

Sind Dj ⊆ Rk verallgemeinerte Rechtecke und w : (t1, t2)×D0× . . .×Dn−1→Rk

stetig, so heißtx(n) = w(t, x, . . . , x(n−1)) (15)

ein (nicht-autonomes) k-dimensionales System von DGLen der Ordnung n. Hangtw nicht von t ab, ist also durch

v : D0× . . .×Dn−1→Rk

gegeben, so heißt das System autonom. Unter einer Losung von 15 versteht maneine Abbildung

α : (t′1, t′2)→R

k mit α(j)(t) ∈ Dα(n)(t) = w(t, α(t), . . . , α(n−1)(t)), (t′1, t

′2) ⊆ (t1, t2)

Analog fur die Losungen des autonomen Systems. Maximale Losungen sind wieim Fall n = 1 definiert.

7.2 Beispiel

x = −ω2x+ γx ist eine Gleichung 2. Ordnung.

7.3 Satz und Definition (des dazugehorigen Systems 1.Ordnung)

Zu 15 heißtx1 = x2

x2 = x3

...xn = w(t, x1, . . . , xn)

das zugehorige kn-dimensionale System 1. Ordnung (analog fur autonome Sys-teme). Ist α eine Losung von 15, so ist (α, α, . . . , α(n−1)) eine Losung von 16und ist β eine Losung von 16, so sind die ersten k-Komponenten von β eineLosung von 15.

Beweis:

Sei α eine Losung von 15, so gilt, dass (α, . . . , α(n−1)) die Gleichung

w(t, α(t), . . . , α(n−1)(t)) = α(n)

erfullt, also erfullt (α, . . . , α(n−1)) das System von DGLen 16. Ist β =(β1, . . . , βm) eine Losung von 16, so gilt

β2 = β1

β3 = β2 = β(2)1

βj = β(j−1)1

βn = β(n−1)1 ⇒ βn

︸︷︷︸

β(n)1

= w(t, β1, . . . , βn) = w(t, β1, . . . , β(n−1)1 )

also erfullt β1 die Gleichung 15.

7.4 Beispiel

x = −x (17)

Zugehoriges System 1. Ordnung:

x1 = x2

x2 = −x1

⇔x =

(0 1−1 0

x (18)

Allgemeine Losung von 18:

cos(t)−sin(t)

+ c2·(

sin(t)cos(t)

⇒ allgemeine Losung von 17:

c1·cos(t) + c2·sin(t)

7.5 Korollar (aus dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz)

Ist D = D0× . . .×Dn−1, w : (t1, t2)×D→Rk eine stetige Funktion, die bezuglich

der Variablen aus D lokal lipschitz-stetig ist, so gibt es zu

t0 ∈ (t1, t2), p = (p0, . . . , pn−1) ∈ D

genau eine Losung von 15 mit

α(t0) = p0, . . . , α(n−1)(t0) = pn−1

Analog fur autonome Systeme.

Beweis:

Ist w lokal lipschitz-stetig, so ist auch

w(t, x1, . . . , xn) =

w(t, x1, . . . , xn)

lokal lipschitz-stetig.

Nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz gibt es also genau eine Losungvon 16.

7.6 Definition (des (erweiterten) Phasenportraits)

Unter dem (erweiterten) Phasenportrait eines Systems n-ter Ordnung verstehtman das (erweiterte) Phasenportrait des zugehorigen Systems 1. Ordnung.

7.7 Beispiele

7.7.1 Beispiel 1

x = −x

Phasenportrait

7.7.2 Beispiel 2

x = 0, allgemeine Losung: α(t) = at+ b

Phasenportrait

RVFα(a, b, t)

7.7.3 Beispiel 3

Fadenpendel:

(GRAPHIC HERE)

8 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N -TER ORDNUNG 52

8 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

8.1 Definition (von linearen (homogenen) DGLen n-terOrdnung)

Sei a0, . . . , an−1 : (t1, t2)→M(k×k,R) stetig, so heißt

x(n) + an−1x(n−1) + . . .+ a0x+ b = 0 (19)

ein k-dimensionales System linearer DGLen der Ordnung n. Fur b : (t1, t2)→Rk,

b 6≡ 0 heißt es inhomogen, fur b ≡ 0 heißt es homogen. Setzt man in 19 b ≡ 0,so heißt das System das zugehorige homogene System. Fur k = 1 schreibt manstatt 19, b ≡ 0 im autonomen Fall auch

dt)x = 0

wobei P (s) das Polynom sn + an−1·sn−1 + . . .+ a0 ist.

8.2 Notiz (das dazugehorige System 1. Ordnung)

Das zu 19 gehorige System 1. Ordnung ist durch x = Ax+−→b mit

0 1 0 . . . 0

0 0. . .

. . ....

.... . .

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . . 1

−a0 . . . . . . . . . −an−1

kn,−→b =

0...−b

gegeben.

8.3 Satz (Anfangsisomorphismus)

Die Losungen von 19 sind auf ganz (t1, t2) definiert. Fur b = 0 bilden sie einenkn-dimensionalen VR. Fur b = 0 ist durch

(Losungen von 19 b = 0

→ Rkn

α 7→

a(t0)...

α(n−1)(t0)

fur jedes t0 ∈ (t1, t2) ein Isomorphismus definiert. φ heißt der Anfangsisomor-phismus zum Anfangsproblem t0.

8.4 Definition (des Fundamentalsystems, der Wronski -matrix und -determinante)

Unter einem Fundamentalsystem fur 19, b = 0, versteht man eine Basis deszugehorigen Losungsraums. Sind α1, . . . , αkn Losungen von 19, so heißt

X(t) =

α1(t) . . . αkn(t)...

α(n−1)1 (t) . . . α

(n−1)kn (t)

die zugehorige Wronski-matrix,

det(X(t)) = W (t)

heißt die Wronski-determinante.

8.5 Satz

Sind α1, . . . , αkn Losungen von 19, b = 0, so ist gleichbedeutend:

1. α1, . . . , αkn bilden ein Fundamentalsystem

2. W (t0) 6= 0 fur ein t0 ∈ (t1, t2)

3. W (t) 6= 0 fur alle t ∈ (t1, t2)

4. Fur jede Losung α von 19, b = 0, gibt es c1, . . . , ckn ∈ R so, dass

(cjαj)

8.6 Lemma (Losungen aus dem Fundamentalsystem)

Ist α1, . . . , αkn ein Fundamentalsystem von 19, b = 0, und ist β eine beliebigeLosung von 19, so ist die allgemeine Losung von 19 durch

(cjαj), cj ∈ R

gegeben.

8.7 Korollar (inhomogene Losungen aus dem Fundamen-talsystem)

Sei k = 1 und α1, . . . , αn ein Fundamentalsystem von 19 mit b = 0, d.h. derzu 19 gehorenden homogenen Gleichung, und es gelte X(0) = 1, wobei X diedurch α1, . . . , αn gegebene Wronskimatrix ist. Dann ist die Losung von 19 zurAnfangsbedingung x(0) = p1, . . ., x

(n−1)(0) = pn:

(pjαj(t))−n∑

(αj(t))·t∫

(b(τ)uj(τ)) dτ

X−1(t) =

? | u1(t)

? |...

? | un(t)

Beweis:

Nach 4.9 und 7.5 ist die Losung von 19 mit

x(0) = p1, . . . , x(n−1)(0) = pn

durch die 1. Komponente von

X(t)·p−X(t)·t∫

(X−1(τ)·−→b (τ)) dτ

gegeben.

8.8 Korollar

Sei α1, α2 ein Fundamentalsystem fur

x+ a1x+ a0x = 0

α1(0) = 1 , α1(0) = 0

α2(0) = 0 , α2(0) = 1

so ist

β(t) = α1(t)·p1 + α2(t)·p2 + α1(t)·t∫

(b(τ)·α2(τ)

W (τ)) dτ − α2(t)·

(b(τ)·α1(τ)

W (τ)) dτ

eine Losung von

x+ a1x+ a0x+ b = 0 mit β(0) = p1, β(0) = p2

denn ist

X(t) =

(α1(t) α2(t)α1(t) α2(t)

so ist

X−1(t) =1

W (t)·(α2(t) −α2(t)−α1(t) α1(t)

Ab jetzt betrachten wir den Fall einer autonomen linearen DGL

x(n) + an−1x(n−1) + . . .+ a0x = 0, aj ∈ R (20)

Das zugehorige System 1. Ordnung ist durch

x = Ax, A =

0 1 0 . . . 0

0 0. . .

. . ....

.... . .

. . .. . . 0

.... . .

. . .. . . 1

−a0 . . . . . . . . . −an−1

n×n (21)

gegeben. Losung: 1. Komponenten von eAt. Jetzt leiten wir eine einfachere Me-thode zur Berechnung des Fundamentalsystems von 20 her.

8.9 Bemerkung (das charakteristische Polynom)

Das charakteristische Polynom von 21 ist durch

P (t) = tn + an−1tn−1 + . . .+ a0

gegeben. Gesucht ist also eine Losung von P ( ddt)x = 0.

8.10 Satz (Fundamentalsysteme aus charakteristischen Po-lynomen)

Seien λ1, . . . , λr ∈ R die reellen Nullstellen von P mit Vielfachheiten n1, . . . , nr,γ1±iω1, . . . , γs±iωs ∈ C\R die echt komplexen Nullstellen von P mit Vielfach-heiten m1, . . . ,ms, also

n1 + . . .+ nr + 2(m1 + . . .+ms) = n

P (t) = (t− λ1)n1 · . . . ·(t− λr)nr ·(((t− γ1)

2 + ω21)m1 · . . . ·((t− γs)2 + ω2

so ist

eλ1t , teλ1t , . . . , tn1−1eλ1t

......

...eλrt , teλrt , . . . , tnr−1eλrt

eγ1tcos(ω1t) , teγ1tcos(ω1t) , . . . , tm1−1eγ1tcos(ω1t)...

......

eγstcos(ωst) , teγstcos(ωst) , . . . , tms−1eγstcos(ωst)

eγ1tsin(ω1t) , teγ1tsin(ω1t) , . . . , tm1−1eγ1tsin(ω1t)...

......

eγstsin(ωst) , teγstsin(ωst) , . . . , tms−1eγstsin(ωst)

ein Fundamentalsystem von 20.

Beweis:

Es ist ( ddt − λ)eλt = 0 und

dt− λ)tkeλt = ktk−1eλt + λtkeλt − λtkeλt = ktk−1eλt

⇒ ( ddt − λ)jtkeλt = 0 fur k < j.

⇒ P ( ddt )tkeλjt = 0 fur k < nj .

Ebenso P ( ddt)tke(γj+iωj)t = 0 fur k < mj und

ℜ(tke(γj+iωj)t) = tkeγjtcos(ωjt)

ℑ(tke(γj+iωj)t) = tkeγjtsin(ωjt)

Also sind die im Satz angegebenen Funktionen Losungen von 20. Sie bildenein Fundamentalsystem, wie man anhand der Wronskideterminante leichtnachrechnet, W (0) 6= 0. 2

8.11 Beispiele

8.11.1 Beispiel 1...x − 2x+ x− 2x = 0

Dann ist

P (t) = t3 − 2t2 + t− 2

= (t2 + 1)(t− 2)

Damit ergibt sich fur die Nullstellen von P :

λ1 = 2 , n1 = 1

γ1 + iω1 = ±i , m1 = 1

Somit ist das Fundamentalsystem:

e2t, cos(t), sin(t)

8.11.2 Beispiel 2

x+ 2µx+ ω2x = 0

Dann istP (t) = t2 + 2µt+ ω2

und die Nullstellen von P sind

λ1/2 = −µ±√

µ2 − ω2

Somit ergeben sich drei Falle:

1. µ2 > ω2

2. µ2 = ω2

3. µ2 < ω2

Fall 2:

⊲ λ = −µ, Vielfachheit 2

⊲ ⇒ e−µt, te−µt ist ein Fundamentalsystem fur x+ 2µx+ ω2x = 0.

9 DER UMKEHRSATZ 58

9 Der Umkehrsatz

Erinnerung (Jacobi-matrix und Kettenregel)

Sei U ⊆off Rn, f : U→Rk differentierbar. Dann ist

dfx︸︷︷︸

∈ Hom(Rn,Rk)

= Jf (x) =

∂f1∂x1

(x) . . . ∂f1∂xn

(x)...

...∂fk

∂x1(x) . . . ∂fk

∂xn(x)

Sind∂fj

∂xlstetig fur j = 1, . . . , k und l = 1, . . . , n, dann heißt f stetig differen-

tierbar, f ∈ C1(U,Rk) = (C1(U))k.Kettenregel: Sind g und f differentierbar, f : U→Rk, g : V→Rm, V ⊆off Rk,

f(U) ⊆ V , dann istJgf (x) = Jg(f(x))Jf (x)

Insbesondere fur g = f−1 ist Jf−1(f(x)) = (Jf (x))−1.

9.1 Definition (des Diffeomorphismus)

Seien U, V ⊆off Rn, dann heißt f : U→V ein Ck-Diffeomorphismus, falls f bi-jektiv und f als auch f−1 k-mal stetig differentierbar sind.

9.2 Notiz

Ist f : U→V ein Diffeomorphismus, so ist Jf (x) ∈ GL(n,R) fur alle x ∈ U .Frage: Ist f : U→V differentierbar und Jf (x) ∈ GL(n,R) fur alle x ∈ U ,

folgt dann, dass f : U→f(U) ein Diffeomorphismus ist?Erinnerung: Fur f : I→R, I = (a, b) differentierbar mit f ′(x) > 0 fur alle

x ∈ I oder f ′(x) < 0 fur alle x ∈ I ist f injektiv und f : I→f(I) bijektivund f−1 : f(I)→I differentierbar, also ist f ein Diffeomorphismus I→f(I).(Die Vorraussetzung f bijektiv und f ′(x) ≥ 0 ware nicht ausreichend, dass f−1

differentierbar ist, vgl. f(x) = x3)

9.3 Beispiel

f : R+×R→R

2\0, (r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))

Dann ist

Jf (r, φ) =

(cos(φ) −rsin(φ)sin(φ) rcos(φ)

unddet(Jf (r, φ)) = r·cos(φ)

2+ r·sin(φ)

2= r 6= 0

⇒ Jf (r, φ) ∈ GL(2,R), aber f ist kein Diffeomorphismus, denn

f(r, φ+ 2πk) = f(r, φ), k ∈ Z

Aber z.B.

f |R+×(0, 2π), R+×(0, 2π)→R

2\x ∈ R | y = 0 ∧ x ≥ 0

ist ein Diffeomorphismus.

9 DER UMKEHRSATZ 59

9.4 Definition (des lokalen Diffeomorphismus’)

Sei f : U→V differentierbar, U, V ⊆off Rn. Dann heißt f ein lokaler Diffeomor-

phismus bei x ∈ U , wenn es eine offene Umgebung Ux von x und eine offeneUmgebung Vf(x) von f(x) gibt, so, dass f |Ux : Ux→Vf(x) ein Diffeomorphismusist. f heißt ein lokaler Diffeomorphismus, falls f ein lokaler Diffeomorphismusbei x ∈ U fur alle x ∈ U ist.

9.5 Beispiel (Polarkoordinantenabbildung)

Die Polarkoordinatenabbildung aus 9.3 ist ein lokaler Diffeomorphismus.

9.6 Satz (Umkehrsatz oder Satz von der lokalen Inversen)

Ist f : U→V , f ∈ Ck(U, V ) und ist Jf (x) ∈ GL(n,R), so ist f ein lokaler Dif-feomorphismus bei x ∈ U . Ist Jf (x) ∈ GL(n,R) fur alle x ∈ U und f zusatzlich

injektiv, so ist f : U→f(U) ein Ck-Diffeomorphismus, d.h. f und f−1 sind k-malstetig differentierbar.

9.7 Notation

Ist f : B→Rk differentierbar, Φ : U ′→U ein Diffeomorphismus, U ⊆ B, so sagtman, f ist lokal auf U in den Koordinaten Φ durch g gegeben, falls g = fΦgilt. Beispiel:

f : R2→R, f(x, y) =

x2 + y2

f ist in Polarkoordinaten auf R2\(x, y) | y = 0 ∧ x ≥ 0 durch

g : R+×(0, 2π)→R, (r, φ) 7→ r

gegeben. Vorsicht : Manchmal wird g wieder mit f bezeichnet,”f(x, y) = f(r)“

oder f(x, y) = f(x(r, φ), y(r, φ)).

9.8 Erinnerung und Definition (regularer und singularerPunkt/Wert)

Ist f : B→Rk differentierbar, so heißt x ∈ B regularer Punkt, falls dfx surjektiv

ist, sonst heißt x ∈ B singularer Punkt ; y ∈ Rk heißt regularer Wert, falls f−1(y)nur aus regularen Punkten besteht, sonst heißt y ∈ Rk singularer Wert.

Ist insbesondere B ⊆off Rk, so sind die regularen Punkte x ∈ B genau die,fur welche Jf (x) invertierbar ist.

9 DER UMKEHRSATZ 60

9.9 Satz (vom regularen Punkt)

Ist B ⊆off Rn, x0 ∈ B regularer Punkt von f : B→R

k (also insbesondere n ≥ k),d.h.

rg(fx0) = rg(Jf (x0)) = k

so gibt es lokale C∞-Koordinaten so, dass f in diesen Koordinaten durch dieProjektion gegeben ist, genauer: es gibt eine Umgebung U von x0 und einenDiffeomorphismus h : U→U ′ so, dass

f = fh−1 = prk

gilt, wobeiprk : R

n→Rk

die Projektion auf die ersten k Koordinaten ist.

Beweis:

Sei f : B→Rk, Jf (x0) ∈ Hom(Rn,Rk) surjektiv.

Sei A ∈ Hom(Rn,Rn−k) so, dass

Rn→R

n, x 7→(Jf (x0)A

ein Isomorphismus ist fur x = x0.

Setze F : Rn→Rn, x 7→(f(x)Ax

Dann ist JF (x) =

(Jf (x)A

Dann ist F an der Stelle x0 ein lokaler Diffeomorphismus.

9 DER UMKEHRSATZ 61

Seien U, V ⊆off Rn, so, dass F |U : U→V ein Diffeomorphismus ist, x0 ∈ U .

Sei φ = F−1.

Dann ist

(Fφ)(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xn︸︷︷︸

) = (f(φ(x)), Aφ(x))

⇒ (fφ)(x) = prk(x)

⇒ Setze h := φ−1. 2

Nachste Anwendung des Umkehrsatzes: Auflosen von Gleichungssystemen:

f1(x1, . . . , xn, y1, . . . , yk) = c1...

...fk(x1, . . . , xn, y1, . . . , yk) = ck

Wann lasst sich 22 nach y auflosen?

9.10 Definition (der lokalen Auflosbarkeit)

Sei B ⊆off Rn×Rk, f = (f1, . . . , fk) : B→Rk eine Cr-Abbildung mit r ≥ 1. Seic ∈ Rk und (x0, y0) ∈ B mit f(x0, y0) = c. f(x, y) = c heißt lokal bei (x0, y0)nach y auflosbar, wenn es offene Umgebungen U , V von x0 gibt und eine diffe-rentierbare Abbildung g : U→V so, dass fur (x, y) ∈ U×V gilt:

f(x, y) = c ⇔ y = g(x)

9.11 Beispiel

n = k = 1, f(x, y) = x2 + y2, c = 1

9 DER UMKEHRSATZ 62

f(x, y) = 1 ist lokal bei (0, 1) nach y auflosbar:

U = (−1, 1), V = (0, 2)

g : (−1, 1)→(0, 2), x 7→√

1− x2

f(x, y) = 1 ist bei (1, 0) nicht lokal nach y auflosbar.

9.12 Satz

Sei B ⊆off Rn×Rk, f : B→Rk eine Cr-Abbildung, r ≥ 1. Sei c ∈ Rk und (x0, y0) ∈ Bmit f(x0, y0) = c. Ist

∂y(x0, y0) :=

∂f1∂y1

(x0, y0) . . . ∂f1∂yk

(x0, y0)...

...∂fk

∂y1(x0, y0) . . . ∂fk

∂yk(x0, y0)

∈ GL(k,R)

so gibt es eine Cr-Abbildung g : U→V , U ⊆off Rn, V ⊆off Rk, (x0, y0) ∈ U×Vso, dass fur (x, y) ∈ U×V gilt:

f(x, y) = c ⇔ y = g(x)

Es gilt dann:

Jg(x) = −(∂f

∂y(x, g(x)))−1·∂f

∂x(x, g(x))

Beweis:

Es ist Jf (x, y) =

∂x(x, y)

︸︷︷︸

∂y(x, y)

︸︷︷︸

Sei F : B→Rn+k, F (x, y) =

f(x, y)

, dann ist

JF (x, y) =

∂f∂x (x, y) ∂f

∂y (x, y)

∈ GL(n,R)

fur (x, y) = (x0, y0).

Sei W ⊆ B, W ′ = F (W ), so, dass F |W : W→W ′ ein Diffeomorphismusist, o.B.d.A.W = W1

︸︷︷︸

⊆ Rn

+ W2︸︷︷︸

⊆ Rk

Sei Φ = F−1.

Dann ist (x, y) = Φ(F (x, y)) = Φ(x, f(x, y))

⇒ Φ(x′, y′) = (x′, g(x′, y′)) fur g : W ′→W2.

9 DER UMKEHRSATZ 63

Dann ist(x′, y′) = F (Φ(x′, y′)) = (x′, f(x′, g(x′, y′)))

fur alle (x′, y′) ∈W ′, also

f(x′, g(x′, c)) = c

fur alle x′ mit (x′, c) ∈ W ′.

Setze U =x ∈ Rk | (x, c) ∈ W ′, V =

y ∈ Rk | (x, y) ∈ W ∧ x ∈ U

Dann ist g : U→V , g(x) = g(x, c) die gesuchte Funktion. Es ist f(x, g(x)) =c fur alle x ∈ U .

⇒ ∂∂xj

(f(x, g(x))) = 0 fur alle j.

⇒ ∂fl

∂xj(x, g(x)) +

( ∂fl

∂yi· ∂gi

∂xj(x, g(x))) = 0.

⇒ Behauptung. 2

9.13 Beispiele

9.13.1 Beispiel 1

f(x, y) = x2 + y2

∂y= 2y 6= 0 ⇔ y 6= 0

d.h., f(x, y) = 1 ist genau dann nach y auflosbar an der Stelle (x0, y0), wenny0 6= 0.

9.13.2 Beispiel 2

V (r, φ) =cos(φ)

r2, r > 0

In kartesischen Koordinaten ist V gegeben durch

V (x, y) =x

x2 + y23

An welchen Stellen ist V (r, φ) auflosbar nach r?

∂r= −2·cos(φ)

r36= 0 ⇔ φ 6∈

2+ kπ | k ∈ Z

9 DER UMKEHRSATZ 64

Potentialfeld des Dipols

x√x2+y2

-2-1.5-1-0.500.511.52 x

-2-1.5-1-0.500.511.52

Wann ist V nach y auflosbar?

∂y(x, y) = −3

5· xy√

x2 + y2

Aquipotentiallinien des Dipols

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x

-2-1.5-1-0.500.511.52

V (x, y) = c ist fur x 6= 0 und y 6= 0 nach y auflosbar.

10 FLACHEN 65

10 Flachen

Ziel: Bisher betrachtet: f : B→Rk, B ⊆off Rn (z.B. B = (a, b) ⊆ R, f : B→Rk

differentierbar, wenn limh→0

(f(x+h)−f(x)h ) existiert.)

Jetzt sollen als Definitionsbereich von f allgemeinere Teilmengen von Rn zuge-lassen werden, z.B.

f : M→R, M =(x, y) ∈ R

2 | x2 + y2 = 1≡ S1

Fragen:

⊲ Wann ist f differentierbar?

⊲ Wann hat f Extrema? Z.B. f : S1→R, f(

) = y hat Extrema bei(

aber grad(f) =

10 FLACHEN 66

(f) dx ?

Anwendungen:

⊲ M durch”Nebenbedingungen“, z.B. durch den Aufenthaltsort des Teil-

chens, beschrieben

⊲ Allgemeine Relativitatstheorie (ART)

10.1 Definition (der Untermannigfaltigkeit (-skarte, -sgebiet))& Satz

Eine TeilmengeM ⊆ Rn heißt eine k-dimensionale Flache oder eine k-dimensionaleUntermannigfaltigkeit des Rn, falls eine der beiden aquivalenten Bedingungenerfullt sind:

1. Fur jedes p ∈M gibt es eine offene Umgebung W ⊆off Rn und einen Dif-

feomorphismus H : W→W ′ (mit W ′ ⊆ Rn) so, dass

H(W ∩M) = (Rk×0) ∩ W ′

2. Fur jedes p ∈M gibt es eine offene Umgebung W und eine differentierbareFunktion F : W→Rn−k so, dass fur einen regularen Wert q ∈ Rn−k gilt:

M ∩ W = F−1(q)

Eine Abbildung H : W→W ′ wie in 1. heißt dann Untermannigfaltigkeitskarte

oder ein Flachmacher fur M . Man sagt auch, (W,H) ist Untermannigfaltigkeits-karte oder auch H ist Untermannigfaltigkeitskarte und W ist ein Untermannig-faltigkeitsgebiet.

Beweis der Aquivalenz:

1. ⇒ 2.:

Sei (W,H) eine Untermannigfaltigkeitskarte.

10 FLACHEN 67

Dann ist F : W→Rn−k, x 7→ prn−kH(x), wobei prn−k : W ′→Rn−k

die Projektion auf die letzten n− k-Komponenten ist.

Damit ist F−1( 0︸︷︷︸

∈ Rn−k

) = W ∩M .

2. ⇒ 1.:

9.9 und Vertauschen der ersten k mit den letzten (n−k)-Komponenten.2

Wichtigste Moglichkeit, um nachzuweisen, dass M ⊆ Rn eine Flache ist: 10.2.

10.2 Korollar (Satz vom regularen Wert)

Ist F : Rn→R

n−k, q ∈ Rn−k regularer Wert von F , so ist F−1(q) ⊆ R

n einek-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn.

10.3 Beispiele

10.3.1 Beispiel 1

x ∈ Rn+1 | ||x||2 = 1

⊆ Rn+1

ist eine n-dimensionale Flache: Sei F : Rn+1→R, x 7→ ||x||2. Dann ist grad(F (x)) =

2x. Sn = F−1(1). 1 ist regularer Wert von F , denn

grad(F (x)) = 0 ⇔ x = 0 und 0 6∈ F−1(1)

10.3.2 Beispiel 2

(x, y) ∈ R | x = 0 oder y = 0ist keine Untermannigfaltigkeit des R2.

10 FLACHEN 68

10.4 Definition (des (Untermannigfaltigkeits-)altas’, derProjektion, der Karte und des Kartenwechsels)

1. SeiM ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Eine Familie (Wλ, Hλ)λ ∈ Λ

von Untermannigfaltigkeiten heißt Untermannigfaltigkeitsatlas, falls esM ⊆ ⋃

λ ∈ Λ

2. Sei (W,H) eine Untermannigfaltigkeitskarte fur M , so heißt h : U→ U ′︸︷︷︸

⊆ Rk

wobei U = W ∩M , h := prkH |U , prk die Projektion auf die ersten k-Komponenten, eine Karte fur M .

Wir schreiben auch (U, h) ist Karte fur M oder h : U→U ′ ist Karte furM .

Dabei istU ′ = h(U) = prk((R

k×0) ∩ W ′) ⊆off Rk

(prk ist hier die Projektion auf die ersten k Komponenten). Ein Atlas fureine Untermannigfaltigkeit M ist eine Familie von Karten (Uλ, hλ)λ ∈ Λ

so, dass M =⋃

λ ∈ Λ

(Uλ).

10 FLACHEN 69

3. Sind (U1, h1) und (U2, h2) Karten fur M , U := U1 ∩ U2 6= ∅.

Dann heißth2h−1

1 |h1(U) : h1(U)→h2(U)

der Kartenwechsel zwischen h1 und h2.

10.5 Bemerkung (Differentierbarkeit von Karten)

Karten haben eine anschaulichere Bedeutung als Untermannigfaltigkeitskarten,aber Vorsicht: Es ist nicht moglich (bisher!), zu definieren, wann

h : U︸︷︷︸

→ U ′︸︷︷︸

⊆ Rk

differentierbar ist.Z.B. ist M = (x, |x|) | x ∈ R nach unserer Definition keine Untermannig-

faltigkeit, aber h : M→R, (x, |x|)→x ist bijektiv und stetig.

10.6 Notiz

Ist M eine Untermannigfaltigkeit, (U1, h1) und (U2, h2) Karten, so ist der Kar-tenwechsel

h1(U)︸︷︷︸

⊆ Rk

→h2(U)︸︷︷︸

⊆ Rk

ein Diffeomorphismus. Dabei ist U = U1 ∩ U2, denn

h2h−11 = prkH2H−1

1 iwobei i : h1(U)→W ′

1 die Inklusion und

U1 = W1 ∩Mh1 = H1|U1(???)

W ′1 = H1(W1)

10 FLACHEN 70

10.7 Beispiele

10.7.1 Beispiel 1

Sei f : Rn→R differentierbar.

Γ(f) := (x, f(x)) | x ∈ Rn ⊆ R

ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+1.

⊲ Untermannigfaltigkeitsatlas: W = Rn+1, H : (x, y)

︸︷︷︸

7→ (x, y − f(x))︸︷︷︸

⊲ Atlas: U = Γ(f), h : (x, f(x)) 7→ x

Ausnahmefall : es genugt hier eine Untermannigfaltigkeitskarte.

10.7.2 Beispiel 2

Sei M ⊆off Rn. Dann ist M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R

n.Wahle W = M , H = id.

10.7.3 Beispiel 3

Ist M = p1, p2, . . . ⊆ Rn eine abzahlbare Menge isolierter Punkte, so ist Meine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R

n. Sei namlich Wj = Uǫj(pj) =x ∈ Rn | ||x− pj || < ǫ so, dass Wj ∩M = pj (existiert, da M aus isoliertenPunkten besteht).

Hj : Wj → W ′j = Uǫj (0)

x 7→ x− pjDann gilt:

(Wj) = M

10.7.4 Beispiel 4

M = S1 =

x ∈ R2 | ||x||2 = 1

ist Untermannigfaltigkeit nach 10.3.1. Unter-

mannigfaltigkeitskarten sind z.B. durch Polarkoordinaten gegeben.

W1 = R2\(x, y) ∈ R

2 | y = 0, x ≥ 0

W2 = R2\(x, y) ∈ R

2 | y = 0, x ≤ 0

10 FLACHEN 71

⇒ M ⊆W1 ∩W2 = R2\0

Erinnere:F : R

+×(0, 2π)︸︷︷︸

W ′1

→W1, (r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))

ist ein lokaler Diffeomorphismus.

F−1(S1 ∩ W1) = 1 ∩ (0, 2π)

SetzeH1 : W1→(0, 2π)×t ∈ R | t > −1 =: W ′

mitH−1

1 : (φ, t) 7→ ((t+ 1)·cos(φ), (t+ 1)·sin(φ))

AlsoH1( S1 ∩W1

︸︷︷︸

U1 := S1\1

) = (0, 2π)×0

(h1 : S1\0→(0, 2π), (cos(φ), sin(φ))←[ φ)

H1 : W1 → W ′1

(x, y) 7→

(arccos1(x√x2+y2

x2 + y2 − 1) y ≥ 0

(arccos2(x√x2+y2

x2 + y2 − 1) y ≤ 0

10 FLACHEN 72

arccos1 := (cos|[0, π])−1

arccos2 := (cos|[π, 2π])−1

H2 : W2 → W ′2 = (−π, π)×t ∈ R | t > −1

((t+ 1)·cos(φ), (t+ 1)·sin(φ)) ←[ (φ, t)

Kartenwechsel:

h2h−11 : (0, 2π)\π → (−π, π)\0

φ 7→

φ φ < π

φ− 2π φ > π

h1(U1 ∩ U2) = (0, 2π)\πh2(U1 ∩ U2) = (−π, π)\0

10.7.5 Beispiel 5

(x, y, z) ∈ R3 | x

, a, b, c > 0

10 FLACHEN 73

Ellipsoid (offen Zwecks besserer Erkennbarkeit)

Karten analog wie fur S2. E ist Untermannigfaltigkeit: E = F−1(1)

F : R3→R, (x, y, z) 7→ x2

Jacobi-matrix:

JF (x, y, z) = (2x

c2) 6= 0 ⇔ (x, y, z) 6= 0

Aber (0, 0, 0) 6∈ E. Also besteht E nur aus regularen Punkten von F , F ist also2-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R3.

10.7.6 Beispiel 6

O(n) :=A ∈ GL(n,R) | TA·A = 1

O(n) ist eine n(n−1)2 -dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn

= M(n×n,R).

F : M(n×n,R) → Sym(n×n,R) =B ∈M(n×n,R) | TB = B

A 7→ TA·AdFA(X)︸︷︷︸

JF (AX)

dt|t=0

T (A+ tX)·(A+ tX) =T X ·A+T A·X

⊲ Ist 1 regularer Wert von F .

⊲ Ist fur alle A ∈ F−1(1) = O(n) dann dFA surjektiv?

Sei B ∈ Sym(n×n,R), also B = B+TB2 . Setze X = 1

2 ·A·B. Dann ist

dFA(X) =1

2(TB TAA

︸︷︷︸

=1, da A ∈ O(n)

+T AAB) =1

2(TB +B) = B

10 FLACHEN 74

⇒ dFA ist surjektiv fur alle A ∈ O(n)

⇒ 1 ist regularer Wert

⇒ O(n) ist n2− n(n+1)2 = 1

2n(n−1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von

M(n×n,R) = Rn2

Beispiele 3.-5. zeigen, dass es oft leichter ist, H−1 bzw. h−1 alsH anzugeben.Im Folgenden werden wir ein Kriterium suchen, dass erlaubt, nachzuweisen, dassM eine Untermannigfaltigkeit ist, falls nur h−1 bekannt ist.

10.8 Definition (der lokalen Parametrisierung)

Ist M ⊆ Rn eine k-dimensionale Flache, (W,H) eine Untermannigfaltigkeits-karte, (U, h) die dadurch gegebene Karte h : (U = W ∩M)→U ′ ⊆ Rk. Dannheißt

φ := h−1 : U ′→U ⊆ Rn

die durch h gegebene lokale Parametrisierung von M (oder von U ⊆M).

10.9 Beispiel

φ : (0, 2π)→S1 ⊆ R2, t 7→ (cos(t), sin(t))

ist eine lokale Parametrisierung von S1\1.

10.10 Notiz (Aussagen uber lokale Parametrisierungen)

Fur jede lokale Parametrisierung gilt:

1. φ : U ′→Rn ist injektiv und φ(U ′) ⊆off M , U ′ ⊆off Rn.

2. φ ist stetig, φ−1 ist stetig.

3. φ ist differentierbar und Jφ(x) ist injektiv; Vorsicht: φ−1 = h. Es ist nicht

sinnvoll (bisher!) uber Differentierbarkeit von φ−1 zu sprechen.

10 FLACHEN 75

10.11 Erinnerung

Zu finden in den Kapiteln (6.1 - 6.5), (9.1 - 9.5), (9.25) im Script”Margarita

Kraus - Mathematik fur Physiker I“.Sei U ⊆M ⊆ R. Dann heißt U offen in M

⇔ ∀x ∈ U

∃ǫ>0

UMǫ (x) := x′ ∈M | ||x′ − x|| < ǫ ⊆ U

z.B.[0, ǫ) ⊆ [0, 1] offen in [0, 1]

U ⊆M ist genau dann offen in M , wenn es eine offene Teilmenge W ⊆ Rn inRn gibt, so dass

U = W ∩Mz.B.

(−ǫ, ǫ) ⊆ R offen in R, (−ǫ, ǫ) ∩ [0, 1) = [0, ǫ)

Sind X,Y metrische Raume, z.B. X ⊆ Rn, Y ⊆ Rk. Dann heißt f : X→Ystetig an der Stelle x ∈ X , falls gilt:

∀ǫ>0∃δ>0

: f(Uδ(x)) ⊆ Uǫ(f(x))

Ist F : Rn→Rk stetig, so auch F |X .Warnung: Ist f : X→Y stetig und bijektiv, so ist nicht notwendig f−1 :

Y→X stetig, z.B.

φ : [0, 2π)→S1 ⊆ R2, t 7→ (cos(t), sin(t))

φ ist offenbar stetig und bijektiv. φ−1 ist”offenbar“ nicht stetig (Beweis nicht

so einfach).

10.12 Satz

Eine Teilmenge M ⊆ Rn ist genau dann eine k-dimensionale Untermannigfal-tigkeit, wenn fur jedes p ∈M eine offene Umgebung U ⊆M existiert und eineoffene Teilmenge U ′ ⊆ Rk existiert, so wie eine Bijektion φ : U ′→U so, dass gilt:

1. φ ist stetig

2. φ−1 ist stetig

10 FLACHEN 76

3. φ ist differentierbar

4. Jφ(x) hat Rang k fur alle x ∈ U ′

Beweis:

”⇒“:

”⇐“:

Angenommen, φ existiert.

Sei x = φ−1(p).

Sei A ∈ Hom(Rn−k,Rn) so, dass

(Jφ(x)︸︷︷︸

A︸︷︷︸

n ∈ GL(n,R) (moglicherweise wegen 4.)

Dann istΦ : U ′×R

n−k→Rn, (x′, y) 7→ φ(x′) +Ay

bei (x, 0) ein lokaler Diffeomorphismus.

Φ(x′, 0) = φ(x′) fur x′ ∈ U ′.

Sei W ′,W ⊆off Rn so, dass Φ|W ′ : W ′→W ein Diffeomorphismus istund (x, 0) ∈W ′.

Dann ist (mit M ∩W = U , da φ−1 stetig . . . ) H : W→W ′, H = Φ−1

die gesuchte Untermannigfaltigkeitskarte.

10.13 Bemerkung

1. Ein Beispiel fur φ : R→R3, das alle Bedingungen aus 10.12 bis auf φ−1

stetig erfullt, ist in den Ubungen gegeben. φ(R) ⊆ R3 ist dann keine Un-termannigfaltigkeit.

2. M =(x, y, z) ⊆ R3 | z = x2 − y2

φ : R2→R

3 , φ(x, y) = (x, y, x2 − y2)

φ(R2) = M

φ−1 : M→R2 , (x, y, z) 7→ (x, y)

11 TANGENTIALRAUM UND DIFFERENTIAL 77

11 Tangentialraum und Differential

Seien f : M→N , M , N Untermannigfaltigkeiten.

⊲ Wann ist f differentierbar?

⊲ Was ist das Differential / df ?

⊲ Wie bestimmt man Extrema? (N = R)

11.1 Definition und Notiz

Eine stetige Abbildung zwischen 2 Untermannigfaltigkeiten M und N heißtdifferentierbar an der Stelle p, wenn fur eine (und dann jede) Wahl von Karten(U, h), (V, k) um p und f(p) mit f(U) ⊆ V gilt, dass die Abbildung

f(h,k)

: U ′ → V ′

f(h,k)

(x) = kfh−1(x)

an der Stelle x = h(p) differentierbar ist.

f heißt differentierbar, wenn es an jeder Stelle p ∈M differentierbar ist. Sind(U, h), (V, k) weitere Karten um p, so ist

f(h,k)

= (kk−1)−1f (h,k)(hh−1) (23)

genau dann differentierbar an der Stelle h(p), wenn f(h,k)

differentierbar ander Stelle h(p) ist, da die Kartenwechsel kk−1 und hh−1 nach Abschnitt 10Diffeomorphismen sind.

11.2 Bemerkung

Damit sind insbesondere alle Karten differentierbare Abbildungen.

11.3 Lemma

1. Ist f : M→Rm differentierbar bei p ∈M und M ⊆ R

n eine Unterman-nigfaltigkeit, so existiert eine offene Umgebung W von p in Rn und F :W→Rm differentiertbar bei p so, dass F |M ∩W = f |M ∩ W .

2. M ⊆W ⊆off Rn, F : W→Rm differentierbar, so ist auch F |M =: f :M→Rm differentierbar.

Beweis:

Spezialfall von 1.: Sei f : M→Rm und M ⊆ Rn eine k-dimensionale Unterman-nigfaltigkeit. f ist differentierbar an der Stelle p ⇔ fφ differentierbar an derStelle h(p) fur jede lokale Parametrisierung φ um p.

11.4 Definition (des Diffeomorphismus’ und regularen Punkts/Werts)und Notiz

Seien M , N Untermannigfaltigkeiten von Rm und R

n, f : Mdiffb.−→N .

1. Eine Abbildung f : M→N heißt ein Diffeomorphismus, falls f bijektiv,differentierbar und f−1 differentierbar ist.

2. p ∈M heißt regularer Punkt, falls

(rg(f))(p) := rg(Jf

(h,k)(h(p))) = dim(N)

ist, wobei f(h,k)

wie in 11.1 gegeben. Sonst heißt p kritischer oder sin-gularer Punkt.

q ∈ N heißt regularer Wert, falls f−1(q) nur aus regularen Punkten be-steht. Diese Definitionen sind unabhangig von der Wahl der Karten h undk, wegen 23 in 11.1, da die Kartenwechsel jeweils Diffeomorphismen sind.

11.5 Korollar

Eine Familie (Uλ, hλ)λ ∈ Λ (Uλ ⊆M , hλ : Uλ→U ′λ, U

′λ ⊆off Rk, hλ ein Diffeo-

morphismus) ist genau dann ein Atlas fur eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit

M , wenn⋃

λ ∈ Λ

(Uλ) = M .

11.6 Korollar (Satz vom regularen Wert)

Seien M ⊆ Rm und N ⊆ Rn Untermannigfaltigkeiten der Dimension k und l,

f : Mdiffb.−→N . Sei q ∈ N regularer Wert von f , d.h.

rg(f(p)) = l fur alle p mit f(p) = q

Dann ist f−1(q) ⊆M eine k− l-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rm.

Beweis:

Wahle Karten (U, h) und (V, k) um p ∈M und q ∈ N .

Dann ist h(p) regularer Punkt von kfh−1 = f(h,k)

Damit folgt die Behauptung aus dem Satz vom regularen Punkt 9.9. 2

11.7 Definition (des Tangentialraums) und Lemma

Sei M eine k-dimensionale Flache im Rn, φ : U ′→U ⊆ R

n eine lokale Parame-trisierung um p ∈ U von M . Dann ist der Tangentialraum von M an der Stellep durch

T unterp (M) ≡ Tp(M) = Bild(Jφ(h(p)))

wobei h = φ−1, unabhangig von der Wahl der Parametrisierung um p wohldefi-niert. Tp(M) ist ein k-dimensionaler Vektorraum.

Beweis:

Tp(M) = Bild(Jφ(h(p)))

Tp(M) ist offenbar ein k-dimensionaler Vektorraum, da er Bild derinjektiven linearen Abbildung Jφ(h(p)) : Rk→Rn ist.

Seien φ : U ′→U und ψ : V ′→V 2 Parametrisierungen um p ∈MoBdA U = V (ansonsten ersetze U und V durch U ∩ V ).

Seien h = φ−1 und k = ψ−1 die zugehorigen Karten und ω = kφder Kartenwechsel zwischen h und k.

Nach 10.6 ist ω ein Diffeomorphismus, also ψω = φ und dann

Bild(Jφ( x︸︷︷︸

∈ U ′

)) = Bild(Jψω(x))

Kettenregel︷︸︸︷= Bild(Jψ(ω(x))· Jω(x)

︸︷︷︸

∈ GL(k,R)

= Bild(Jψ(ω(x)))

Also fur x = h(p):

Bild(Jφ(h(p))) = Bild(Jψ(k(p)))

11.8 Definition (der (Koordinanten-)basis) und Notiz

Ist φ : U ′→U eine lokale Parametrisierung um φ(x) = p, so ist durch

∂1(p) = Jφ(x)·e1, . . . , ∂k(p) = Jφ(x)·ekeine Basis von Tp(M), die sogenannte

”(durch h = φ−1 gegebene) Koordinaten-

basis“ gegeben.

11.9 Beispiele

11.9.1 Beispiel 1

f : Rk→R differentierbar, Γ(f) =(x, f(x)) | x ∈ Rk

⊆ Rk+1.

Eine Parametrisierung von f ist durch φ : Rk→Rk+1, x 7→ (x, f(x)) gegeben.

Jφ(x) =

(1k×k k∂f∂x1

. . . ∂f∂xk

︸︷︷︸

Also ist eine Basis von Tp(M), p = (x0, f(x0)) durch

100...

∂f∂x1

010...

∂f∂x2

, . . . ,

0...01

∂f∂xk

gegeben. Insbesondere fur k = 1:

∂f∂x(x0)

11.9.2 Beispiel 2

M = S1, φ : (0, 2π)→S1\ 1︸︷︷︸

, t 7→T (cos(t), sin(t)). Sei p ∈ S1\1, p = (cos(t0), sin(t0)).

Dann ist Jφ(t0) =

(−sin(t0)cos(t0)

. ⇒ Tp(S1) = R·

(−sin(t0)cos(t0)

11.10 Satz

Es gilt: Tp(M) = γ(0) | γ : (−ǫ, ǫ)→M differentierbar, γ(0) = p (Vorteil: Be-schreibung unabhangig von φ).

Beweis:

”⊆“:

Sei v ∈ Tp(M).

Dann existiert ein v′ ∈ Rk mit Jφ(h(0))v′ = v.

Sei γ(t) = φ(h(p) + tv′).

Dann ist γ(0) = p und γ(0) = Jφ(h(p))(v′) = v.

”⊇“:

Sei γ : (−ǫ, ǫ)→M .

Sei v′ := ddt |t=0(kγ).

Dann ist

γ(0) =d

dt|t=0(φhγ)

= Jφ(h(γ(0)))d

dt|t=0(hγ)

︸︷︷︸

⇒ γ(0) ∈ Tp(M).

11.11 Definition (der reprasentativen Kurve)

Ist γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = v, so heißt γ eine reprasentative Kurve. Manschreibt auch v = [γ]. Vorsicht : γ nicht eindeutig durch v bestimmt.

11.12 Beispiel

X ∈ so(n) =A ∈M(n×n,R) | TA = −A

⇒ γ : R→O(n), γ(t) = etX ist eine differentierbare Kurve mit γ(0) = 1.γ(t) ∈ O(n), denn

T (etX) = etTX = e−tX

⇒ T (etX)·etX = e−tX+tX = 1⇒ etX ∈ O(n) fur alle t. γ(0) = X und dim(so(n)) =12n(n− 1) = dim(O(n)). ⇒ T1(O(n)) = so(n)

Jetzt: 3. Moglichkeit, um Tp(M) zu berechnen.

11.13 Satz (Tangentialraum aus der Koordinantengleichung)

Sei ψ : Rndiffb.−→Rn−k, q ∈ Rn−k regularer Wert, M = ψ−1(q), p ∈M . Dann ist

Tp(M) = kern(Jψ(p))

= span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k))⊥

wobei ψ =

...ψn−k

, also ψi : R

n→R und fur einen Untervektorraum V ⊆ Rn

ist V ⊥ := w ∈ Rn | 〈v |w〉 = 0 fur alle v ∈ V .Beweis:

Sei v ∈ Tp(M).

Dann gibt es γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = p, γ(0) = v.

Es ist ψ(γ(t)︸︷︷︸

) = q fur alle t ∈ (−ǫ, ǫ).

⇒ Jψ(p)(γ(0)︸︷︷︸

) = 0,

⇒ Tp(M) ⊆ kern(Jψ(p)).

⇒ Tp(M) = kern(Jψ(p)), da beide Vektorraume der Dimension k (bzw.(n− (n− k))) sind.

Es ist Jψ(p) =

T grad(ψ1)...

T grad(ψn−k)

v ∈ kern(Jψ(p)) ⇔ 〈gradp(φi) |v〉 = 0 fur alle i ∈ 1, . . . , n− k⇔ v ∈ span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k))⊥2

11.14 Beispiele

11.14.1 Beispiel 1

M = Sn = ψ−1(1), ψ : Rn+1→R, ψ(x) = ||x||2. grad(ψ) = 2x, Tp(S

n) = (Rp)⊥.

Z.B. p =

(1√2

⇒ Tp(S1) = R·

(1√2

− 1√2

11.14.2 Beispiel 2

M = O(n). Erinnerung:

O(n) =A ∈ GL(n,R) | TA = ATA = 1

SO(n) = A ∈ O(n) | det(A) = 1so(n) =

A ∈M(n×n,R) | TA+A = 0

Bereits gezeigt:

⊲ M = F−1(1), wobei

⊲ F : M(n×n,R)→Sym(n×n,R), A 7→T AA

⊲ dFA(X) =T AX +T XA (10.7.6)

In 11.12 T1(O(n)) = so(n) mittels T1(O(n)) = γ(0) | . . . berechnet. Zeigejetzt das selbe Ergebnis mit 11.13.

T1(O(n)) = kern(dF1) mit dF1(X) = X +T X

= so(n)

11.15 Definition (des Normalen(einheits)felds)

Sei M ⊆ Rn eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Unter einen (stetigem/ differentierbaren) Normalenfeld N auf M versteht man eine (stetige / diffe-

rentierba) Abbildung N : M→Rn mit N(x) ∈ Tx(M)⊥. N heißt Normalenein-

heitsfeld, falls ||N(x)|| = 1 fur alle x ∈M gilt.

11.16 Beispiel

Ist ψ : Rndiffb.−→Rn−k, q ∈ Rn−k regularer Wert, M = ψ−1(q), dann sind durch

Ni(x) =grad(ψi(x))

||grad(ψi(x))||, x ∈M, i = 1, . . . , n− k

differentierbare Normaleneinheitsfelder gegeben. Z.B. M = Sn:

Dann ist N(x) = x ein differentierbares Normaleneinheitsfeld auf Sn.

11.17 Definition (der Orientierbarkeit)

Eine (n−1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn heißt orientierbar, falls

es ein stetiges Normaleneinheitsfeld auf M gibt.

11.18 Notiz (der Orientierung, Orientierungs -erhaltungund -umkehrung)

Auf einer zusammenhangenden orientierbaren (n−1)-dimensionalen Unterman-nigfaltigkeit von Rn gibt es genau 2 verschiedene stetige Normaleneinheitsfelder.

11.19 Definition

Ein stetiges Normaleneinheitsfeld N auf einer (n−1)-dimensionalen Unterman-nigfaltigkeit des Rn heißt Orientierung auf M . M zusammen mit N heißt danneine orientierte Untermannigfaltigkeit. Eine Basis (v1, . . . , vn−1) von Tx(M)heißt positiv orientiert, falls (N(x), v1, . . . , vn−1) positiv orientiert in Rn ist,d.h., falls det(N(x), v1, . . . , vn−1) > 0 ist.

Eine Karte (U, h) einer orientierten Untermannigfaltigkeit heißt orientie-

rungserhaltend, falls die durch h gegebene Koordinatenbasis positiv orientiertist, andernfalls heißt die Basis negativ orientiert und (U, h) orientierungsum-

kehrend.

11.20 Beispiele

11.20.1 Beispiel 1

Ist M = ψ−1(0), 0 regularer Wert von ψ : Rn→R, so ist M orientierbar und

N(x) =grad(ψ(x))

||grad(ψ(x))||ist eine Orientierung auf M gegeben.

(cos(t)sin(t)

Positiv orientierte Basis von T0

cos(t)sin(t)

(−sin(t)cos(t)

11.20.2 Beispiel 2 - Mobiusband

Nicht orientierbar: z.B. Mobiusband (vgl. U.a.), hier aus 3 Perspektiven:

3 -3-2

Mobius Band

3 -3-2

Mobius Band

Mobius Bandhypothetisches NEF

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3-2-10123

Mobius Band

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3-2-10123

Mobius Band

11.21 Definition und Notiz

Ist f : M1diffb.−→M2 eine Abbildung zwischen 2 differentierbaren Untermannigfal-

tigkeiten, dann ist fur x ∈M

dfx : Tx(M1) → Tf(x)(M2)

[γ] 7→ d

dt|t=0(fγ)

eine lineare Abbildung wohldefiniert. Dabei ist γ : (−ǫ, ǫ)diffb.−→M1, γ(0) = x

wohldefiniert und Linearitat folgt aus 11.22.

11.22 Notiz

Ist F : Wdiffb.−→Rm, W ⊆off Rn, sind M1 ⊆ Rn, M2 ⊆ Rm Untermannigfaltigkei-

ten und ist F |W ∩M1 = f . Dann ist fur v ∈ Tx(M)

dfx(v) = dFx(v), x ∈ W ∩M1

alsodfx = dFx|Tx(M1)

Beweis:

Ist v ∈ Tp(M), v = γ(0).

Dann ist JF (p)(v) = ddt |t=0(Fγ) = d

dt |t=0(fγ) = dfp(v).

11.23 Korollar (Kettenregel)

Ist f : Mdiffb.−→N , g : N

diffb.−→L, so ist gf : Mdiffb.−→L und

d(gf)p = d(g)f(p)d(f)p

11.24 Definition (der Orientierungserhaltung von Diffeo-morphismen)

Ein Diffeomorphismus f : M1→M2 zwischen orientierten k-dimensionalen Flachenim Rk+1 heißt orientierungserhaltend, wenn fur eine (dann jede) positiv orien-tierte Basis v1, . . . , vk von Tp(M1) gilt: (dfp(v1), . . . , dfp(vn)) ist eine positivorientierte Basis von Tf(p)(M2) fur alle p ∈M1.

11.25 Spezialfall

Sei M ⊆off Rn, also eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R

n. Dannfolgt Tp(M) = Rn, da eine Karte von M durch (U, h) mit U = M , h = id

gegeben ist. Dann ist dfp : Rnlin.−→Rn, dfp = Jf (p).

11.26 Notiz (orientierungserhaltene Karte und orientie-rungsdefiniertes Normaleneinheitsfeld)

Sei M eine orientierte 2-dimensionale Flache im R2+1, (U, h) eine orientierungs-erhaltene Karte, d.h. h : U

︸︷︷︸

→ U ′︸︷︷︸

⊆ R2

ist orientierungserhaltend. Dann ist das

orientierungsdefinierte Normaleneinheitsfeld auf U durch

N(p) =

∂φ∂x1

(h(p))× ∂φ∂x2

(h(p))

|| ∂φ∂x1(h(p))× ∂φ

∂x2(h(p))||

=∂1φ×∂2φ

||∂1φ×∂2φ||gegeben, denn

det(u×v, u, v︸︷︷︸

=||u×v||2

) > 02

11.27 Notiz (kritische Punkte)

Ist f : Mdiffb.−→R und hat f an der Stelle p ein lokales Extremum, so hat fur

jede Kurve γ : (−ǫ, ǫ)→M mit γ(0) = p dann fγ an der Stelle 0 ein lokalesExtremum, also

dt|t=0fγ = 0 ⇔ dfp(γ(0)) = 0

also ist danndfp ≡ 0

Beachte: dfp : Tp(M)lin.−→R, also dfp = 0 ⇔ p kritischer Punkt von f .

11.28 Korollar (kritischer Punkt)

IstM ⊆W ⊆off Rn,M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, F : Wdiffb.−→R,

so hat f = F |M genau dann einen kritischen Punkt bei p ∈M , wenn

Tp(M) ⊆ kern(JF (p))

dadfp = JF (p)|Tp(M)

11.29 Korollar (kritischer Punkt und Lagrange-Multiplikatoren)

Ist W ⊆off Rn, ψ : W→Rn−k, c ∈ Rn−k regularer Wert, M = ψ−1(c) also eine

k-dimensionale Flache. Sei F : Wdiffb.−→R. Dann gilt fur p ∈M :

p ist kritischer Punkt von f = F |M ⇔

∃λ1,...,λn−k ∈ R

: gradp(F ) =n−k∑

(λi·gradp(ψi)).

Dabei ist ψ =

...ψn−k

. λ1, . . . , λn−k heißen Lagrange Multiplikatoren.

Beweis:

Nach 11.13 ist Tp(M) = (span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k)))⊥.

Also p ∈M kritischer Punkt von F |M11.28⇐⇒ (span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k)))⊥ ⊆ (R·gradp(F ))⊥

⇔ gradp(F ) ∈ span(gradp(ψ1), . . . , gradp(ψn−k))2

11.30 Beispiel

Welcher Punkt aus E =x2 + (y2 )2 + ( z3 )2 = 1 | x, y, z ∈ R

hat von Punkt

den kleinsten Abstand?

(n = 3, k = 2, n− k = 1)

E = ψ−1(1).

) = x2 + (y

2)2 + (

3)2 (24)

grad(ψ) =

2xy22z9

Der Abstand von

zum Punkt

ist durch√

x2 + y2 + (z − 1)2 gegeben.

Wir suchen daher das Minimum von

F : R3→R,

7→ x2 + y2 + (z − 1)2

Es ist

grad(F ) =

2(z − 1)

Gesucht sind also Losungen von

2x = λ·2x (25)

2y = λ·y2

2(z − 1) = λ·2z9

1. 1. Fall: x 6= 0.25=⇒ λ = 1

26,27=⇒ y = 0

24=⇒ x = ±

1− (3

F (x, y, z) = 78

2. 2. Fall: x = 0, y 6= 0.

26=⇒ λ = 4

27=⇒ z =

24=⇒ y = ±2·

1− (3

F (x, y, z) = 165

3. 3. Fall: x = 0, y = 0.24=⇒ z = ±3

F (x, y, z) =

Also hat F bei (±√

1− (38 )2, 0, 9

8 ) die Minima.

11.31 Weitere Anwendungen der Lagrange Multiplikato-ren

Ist B ⊆ Rn eine abgeschlossene Teilmenge, ∂B ⊆ Rn eine (n− 1)-dimensionaleUntermannigfaltigkeit. Suche lokale Extrema von F : B→R! Teile das Problemauf: Suche

1. lokale Extrema von F |B\∂B︸︷︷︸

⊆off Rn

2. lokale Extrema von F |∂B.

Beispiel:B = D2 =(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1

, ∂B = S1 =

(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1

Betrachte F :

7→ x2 − y2. Es ist

(F ) =

(2x−2y

⇒ F |(B\∂B) hat bei

kritischen Punkt, F (

. Suche jetzt lokale

Extrema von F |S1.

S1 = ψ−1(1), ψ(

) = x2 + y2 (28)

Es ist

(ψ) =

Gesucht ist also Losung

2x = λ·2x (29)

−2y = λ·2y (30)

1. 1. Fall: x 6= 0.29=⇒ λ = 1

30=⇒ y = 0

28=⇒ x = ±1

2. 2. Fall: x = 028=⇒ y = ±1

) = −1

F |D2 hat bei

⊲ (±1, 0) Maxima

⊲ (0,±1) Minima

⊲ (0, 0) Sattelpunkt

12 INTEGRATION AUF FLACHEN 96

12 Integration auf Flachen

12.1 Erinnerung und Definition

Eine Teilmenge Ω ⊆ Rn heißt stetig berandet, wenn es stetige Funktionen ai, biso gibt, dass Ω durch

(x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn |

a0 ≤ x1 ≤ b0a1(x1) ≤ x2 ≤ b1(x1)

...an−1(x1, . . . , xn−1) ≤ xn ≤ bn−1(x1, . . . , xn−1)

gegeben ist.

12.2 Beispiele

12.2.1 Beispiel 1

(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1,−

1− x2 ≤ y ≤√

1− x2

12.2.2 Beispiel 2

D3 =(x, y, z) ∈ R

3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1

(x, y, z) ∈ R3 |

−1 ≤ x ≤ 1

−√

1− x2

︸︷︷︸

≤ y ≤√

1− x2

︸︷︷︸

−√

1− x2 − y2

︸︷︷︸

≤ z ≤√

1− x2 − y2

︸︷︷︸

Fuhre damit die Integration in mehreren Variablen zuruck auf die Integrationin einer Variablen: siehe 12.3.

12.3 Satz (Integration uber berandete Gebiete)

Sei Ω ⊆ Rn ein stetig berandetes Gebiet, ai, bi wie in 12.1. Sei f : Ω→R stetig,dann gilt:

(f(x)) dnx =

b1(x1)∫

a1(x1)

(. . . (

bn−1(x1,...,xn−1)∫

an−1(x1,...,xn−1)

(f(x1, . . . , xn)) dxn) . . .) dx2) dx1

Dies ist unabhangig von der Beschreibung von Ω (”Satz von Fubini“).

12.4 Beispiel

Sei Ω =(x, y) ∈ D2 | y ≥ 0

, f(x, y) = x2y.

(f(x, y)) dx, y =

√1−x2∫

(x2y) dy) dx

(x2[y2]√

1−x2

0 ) dx

(x2·(1 − x2)) dx

3x3 − 1

5x5]1−1

3− 1

Frage: Wie andert sich vol(Ω) einer Menge bei Diffeomorphismen Φ, d.h., wasist vol(Φ(M)) ?

Die Antwort gibt die Transformationsformel. Dazu erst einige Vorbemerkungen:

12.5 Erinnerung

12.5.1 Spatvolumen in 3 und n Dimensionen

Was ist das Volumen des von n Vektoren v1, . . . , vn ∈ Rn aufgespannten Spats

(λivi) | 0 ≤ λi ≤ 1

Im 3-dimensionalen gilt:

vol(v1, v2, v3) = 〈v1 |v2×v3〉 = |det(v1, v2, v3)|

Allgemein gilt:vol(v1, . . . , vn) = |det(v1, . . . , vn)|

(Denn vol(. . .) soll erfullen:

1. vol(e1, . . . , en) = 1

2. vol(v1, . . . , λvi, . . . , vn) = |λ|·vol(v1, . . . , vi, . . . , vn)

3. vol(v1 + vi, v2, . . . , vi, . . . , vn) = vol(v1, . . . , vn)

Dies sind genau die Eigenschaften (bis auf | |), durch welche det(. . .) definiertist.) Beispiel:

1. v1 =

, v2 =

→ vol(v1, v2) = 2 = det(

(1 00 2

2. v1 =

, v2 =

→ vol(v1, v2) = 2 = det(

12.5.2 Verhalten von Spatvolumen unter linearen Abbildungen

Ist A : Rnlin.−→Rn, Aei = vi, Q = [0, 1]n, dann ist

vol(A(Q))

1.︷︸︸︷= |det(v1, . . . , vn)| = |det(A)| = |det(A)|·vol(Q)

Allgemein zeigt man durch ahnliche Argumente wie in 1.: Ist S ⊆ Rn ein Spat,

A : Rnlin.−→Rn, so ist

vol(A(S)) = |det(A)|·vol(S)

Beweis:

Lineare Algebra

12.5.3 Verallgemeinerung von Spatvolumen

Ist M ⊆ Rn.

Dann ist:vol(A(M)) = |det(A)|·vol(M)

Beweis:

Argumentation uber Verfeinerung einer Zerlegung von M in Quader.

12.5.4 Erinnerung

Φ : Rn→Rn an der Stelle x wird in der 1. Ordnung durch JΦ(x) ∈ Hom(Rn,Rn)approximiert, d.h.

Φ(x+ h) = Φ(x)︸︷︷︸

Translation

+ JΦ(x)h︸︷︷︸

linear

+ φ(h), limh→0

(φ(h)

||h|| ) = 0

12.6 Satz (Transformationsformel)

Sei Φ : Ω→Ω′ ein Diffeomorphismus, Ω ⊆ Rn, B ⊆ Ω, Φ(B) = B′ ⊆ Ω′ ⊆ Rn,f : B′→R integrierbar. Dann ist fΦ·|det(JΦ)| : B→R integrierbar und

(f(x′)) dx′ =

((fΦ)·|JΦ(x)|) dnx

Insbesondere fur f ≡ 1:

vol(B′) =

(|JΦ(x)|) dnx

wobei |A| = |det(A)|. 2

12.7 Korollar

Ist Φ : Ωlin.−→Ω′, dann ist JΦ(x) = Φ, also

(f(x′)) dx′ = |Φ|·∫

(fΦ) dx′

und insbesondere fur f ≡ 1:

vol(B′) = |Φ|·vol(B)

12.8 Beispiel

B′ =(x, y) ∈ R

2 | r21 ≤ x2 + y2 ≤ r22 , y ≥ 0, x ≥ 0

Φ : (r1, r2)×(0,π

2) → B′

(r, φ) 7→ (r·cos(φ), r·sin(φ))

|JΦ(r, φ)| = r

vol(B) =

π2∫

(r) dφ) dr

2·[ 1

2r2]r2r1

4·(r22 − r21)

f : B′→R, f(x, y) =√

x2 + y2 ⇒ (fφ)(r, φ) = r.

(f(x′)) dx′ =

π2∫

(r2) dφ) dr

3·2 ·[r3]r2r1

6·(r32 − r31)

12.9 Definition (der Nullmenge)

N ⊆ Rn heißt eine Nullmenge der Dimension n, falls fur jedes f : N→R

(f) dnx = 0

gilt. Man sagt auch, N hat das n-dimensionale Volumen 0.

12.10 Beispiel

[0, 1] ⊆ R hat das 1-dimensionale Volumen 1 (= Lange), aber [0, 1] ⊆ R2 (ge-nauer: [0, 1]×0 ⊆ R2) hat das 2-dimensionale Volumen 0, also ist [0, 1] ⊆ R2

eine 2-dimensionale Nullmenge.

12.11 Notiz (Aussagen uber Nullmengen)

1. Rm×⊆ R

︷︸︸︷

0 ⊆ Rn ist eine n-dimensionale Nullmenge fur m < n.

2. Ist M ⊆ Rn eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, m < n, so ist Meine Nullmenge in Rn (Beweis mittels Karten und Transformationsformel).

3. Jede endliche Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge.

12.12 Notiz (Integration uber Nullmengen)

IstN ⊆ B eine Nullmenge, f : B→R, f : B→R zwei Funktionen mit f |(B\N ) =f |(B\N ). Dann ist

(f) dnx =

(f) dnx

Integration uber Flachen, z.B.: S1 =x ∈ R

2 | ||x|| = 1

ist eine 2-dimensionaleNullmenge;

Flacheninhalt ist nicht mit Transformationsformel und Parametrisierung φ :U ′︸︷︷︸

⊆ Rk

→U ⊆M ⊆ Rn zu berechnen: Jφ(x) ∈ Hom(Rk,Rn), also det(Jφ(x)) nicht

definiert!Was ist das Volumen des von (∂1(x), . . . , ∂k(x)) aufgespannten Spats in

Tx(M)? Z.B. k = 2, n = 3 → Berechne det(∂1(x), ∂2(x),∂1×∂2||∂1×∂2||︸︷︷︸

∈ Tx(M)⊥

12.13 Notiz

Ist v1, . . . , vk eine Orthonormalbasis von Tp(M), A ∈ End(Tp(M)) durch Avi =∂i gegeben, so ist

vol(∂1, . . . , ∂k) = |det(A)|(∗)︷︸︸︷= (det(gij))

wobeigij = 〈∂i |∂j〉

Beweis von (*):

gij = 〈∂i |∂j〉= 〈Avi |Avj〉= 〈vi |TAAvj〉

⇒ det((gij)) = det(TAA) = det(A)2 2

12.14 Definition (der Gramschen Determinante/Matrix bzw.1. Fundamentalform)

g = det(gij) heißt Gramsche Determinante, (gij) heißt entweder Gramsche Ma-

trix oder 1. Fundamentalform. Will man kenntlich machen, bezuglich welcher

Karte die Gramsche Matrix bestimmt wird, schreibt man auch g(φ) bzw. g(φ)ij .

(Erinnerung: ∂i = Jφ(h(x))(ei))

12.15 Beispiel

Sei U ⊆ Rk, f : U→R eine C∞-Funktion, Γ(f) = (x, f(x)) | x ∈ U, φ :

U→Rk+1, x 7→ (x, f(x)). Dann ist

∂i =

∂if(x)

, ei =

...1i...

Dann ist〈∂i |∂j〉 = δij + (∂xif)·(∂xjf)

Fallbetrachtung:

⊲ k = 1 → g11 = 1 + f ′2.

⊲ k = 2 →(gij) =

(1 + (∂xf)2 ∂xf ·∂yf∂xf ·∂yf 1 + (∂yf)2

undg = 1 + (∂xf)2 + (∂yf)2

12.16 Satz und Definition

1. Ist M ⊆ Rn eine Flache, f : M→R eine Funktion, φ : U ′→U eine lokaleParametrisierung und fφ·√g integrierbar uber U ′, dann ist

(fφ·√g) dkx =:

(f) dµ

unabhangig von der Wahl der Parametrisierung wohldefiniert. Ist M eineUntermannigfaltigkeit der Dimension

⊲ 3, so schreibt man statt dµ = dV .

⊲ 2, so schreibt man statt dµ = dF .

⊲ 1, so schreibt man statt dµ = ds.

2. Ist A ⊆ U , so ist∫

(f) dµ :=

(f) dµ

f(x) =

f(x) x ∈ A

0 sonst

3. Ist M = ˙⋃

i ∈ N

(Ai) (d.h. Ai ∩ Aj = ∅), Ai ⊆ Ui, Ui Kartengebiet, φi :

U ′i→Ui Parametrisierung. Existiert fur jedes i das Integral

(|f |) dµ und

ist∞∑

(|f |) dµ) <∞, dann ist

(f) dµ =∞∑

(f) dµ)

wohldefiniert, d.h. unabhangig von der Wahl der ZerlegungM = ˙⋃

i ∈ N

4. N ⊆M heißt Nullmenge, falls∫

(f) dµ = 0

fur alle f : N→R.

Beweis (der Wohldefiniertheit in 1.):

Ist φ : U ′→U eine weitere Parametrisierung von U , also φ = φω, wobeiω = φ−1φ der Kartenwechsel, also ein Diffeomorphismus ω : U ′

︸︷︷︸

⊆off Rk

→ U ′︸︷︷︸

⊆off Rk

Sei g = g(φ) die zu φ gehorige Gramsche Determinante, (gij) = 〈∂i |∂j〉die zugehorige 1. Fundamentalform.

Dann ist

gij(x) = 〈Jφ(h(x))ei |Jφ(h(x))ej〉= 〈Jφ(h(x))Jω(h(x))ei |Jφ(h(x))Jω(h(x))ej〉

⇒g = det((gij))

= (det(TJφ)(Jφ))·(det(Jω(h(x))))2

= g(det(Jω(h(x)))2)

⇒ fφ·√g = fφω·√g·|det(Jω)|.Transformationsformel

=⇒∫

(fφ·√

g) dkx =

ω(U ′)︸︷︷︸

(fφ·√g) dkx2

12.17 Bemerkung

1. Wir lassen den Beweis von 12.16 hier aus, vgl. z.B. Klaus, Janich:”Vektor-

analysis“. Anwendung bei uns meist einfacher.M wird meist durch endlich

viele Karten uberdeckt, z.B. S2\N , N =

ist das Definitionsgebiet

einer Karte der stereographischen Projektion.

(f) dF =

(f) dF

da N ⊆ S2 eine Nullmenge ist.

2. IstN ⊆M ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit der Dimension< k = dim(M),so ist N eine Nullmenge in M und es gilt:

(f) dµ =

(f) dµ

12.18 Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 1)

Ist M ⊆ Rn eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit, γ : (0, L)→Rn eine Pa-

rametrisierung von M , dann ist g(t) = ||γ(t)||2. Daraus folgt

(f) ds =

((fγ)(t)·||γ(t)||) dt (falls es existiert)

12.19 Korollar (Integral im Speziallfall der Dimension 2)

Ist M ⊆ R3 eine 2-dimensionale Flache, φ : U→M eine lokale Parametrisierung,

∂i = ∂φ∂xi

, so ist √g = ||∂1×∂2||

Beweis:

g = ||∂1||2·||∂2||2 − 〈∂1 |∂2〉︸︷︷︸

||∂1||2·||∂2||2·cos(ψ)2

= ||∂1×∂2||2

12.20 Beispiel

f : U→R, U ⊆ R2, M = Γ(f)

∂1×∂2 =

−∂xf−∂yf

⇒ vol(Γ(f)) =

1 + |grad(f)|2) dx dy

Rest des Abschnitts: Integral von Vektorfeldern (z.B. Kraft- und Geschwindig-keitsfelder).

Sei M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit.

12.21 Definition (des Integrals eines Vektorfelds)

Sei γ : I→Rn eine parametrisierte Kurve, d.h. γ ist differentierbar und γ(t) 6= 0

fur alle t ∈ I, W ⊆off Rn, γ(I) ⊆W , v : W→Rn ein Vektorfeld (d.h. eine C∞-Abbildung), so ist

(−→v ) d−→s :=

(〈−→v (γ(t)) |γ(t)〉) dt

das Integral des Vektorfelds v uber γ. Ist γ(I) ⊆ Rn eine Untermannigfaltigkeit,so ist

(−→v ) d−→s =

(〈−→v (γ(t)) | γ(t)||γ(t)|| 〉·||γ(t)||) dt

(〈−→v |T 〉) ds

T =γ(t)

||γ(t)|| ∈ Tγ(t)(γ(I))

Ist ω : I ′diffb.−→I mit ω′(s) > 0 fur alle s ∈ I ′, γ = γω, so ist

(−→v ) d−→s =

(〈v(γ(s)) | ˙γ(s)〉) ds

(−→v ) d−→s

(Invarianz gegenuber orientierungserhaltenen Umparametrisierungen)

12.22 Notiz (Verhalten des Vektorfeldintegrals unter ori-entierungsumkehrenden Umparametrisierungen)

Ist ω : I ′→I mit ω′(s) < 0 fur alle s ∈ I ′, γ = γω, so ist

(−→v ) d−→s = −∫

(−→v ) d−→s

12.23 Notiz (Integral uber Gradientenvektorfelder)

Ist v = grad(f), so ist

(−→v ) d−→s =

(〈grad(f)(γ(t)) |γ(t)〉) dt

dt(fγ)(t)) dt

= f(b)− f(a)

d.h. mit I = [a, b]:∫

(−→v ) d−→s ist unabhangig vom Weg.

12.24 Beispiel

γ : [0, π] → S1 ⊆ R2

γ(t) =

(cos(t)sin(t)

= grad(f)

mit f(x, y) = x. Dann folgt

(−→v ) d−→s = f(−1, 0)− f(+1, 0)

= −2

Als nachstes wollen wir Vektorfelder uber (orientierte) Flachen integrieren. Vor-stellung: −→v ist Geschindigkeitsfeld einer Flussigkeit; gesucht ist die Durchfluss-rate.

N ist Normaleneinheitsfeld, 〈v(x) |N(x)〉 =”Durchflussrate um Punkt x“.

12.25 Definition (des vektoriellen Flachenintegrals)

Sei M ⊆ Rn eine (n−1)-dimensionale orientierte Flache (wichtigster Fall: n = 3,n− 1 = 2), N : M→R

n das orientierungsdefinierende Normaleneinheitsfeld aufM und M ⊆W ⊆off Rn. Sei v : W→Rn ein Vektorfeld. Dann ist

(−→v ) d−→F :=

(〈−→v |−→N 〉) d−→F

das vektorielle Flachenintegral von v durch M bzw. die Gesamtdurchflussratevon v durch M .

12.26 Beispiel

M = S2R =

(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = R2

.N(x, y, z) = (x,y,z)

R , (x, y, z) ∈ S2R,

v(x, y, z) = (x, y, z).

N(x,y,z)

(〈−→v |−→N 〉) dF = R·∫

dF = 4R3π

13 BERANDETE UNTERMANNIGFALTIGKEITEN 110

13 Berandete Untermannigfaltigkeiten

Bisher: z.B. [a, b] ist keine Untermannigfaltigkeit (aber (a, b) Untermannigfal-tigkeit der Dimension 1).

(x, y, z) ∈ S2 | z ≥ 0

keine Untermannigfaltigkeit (keine Karte an den

”Rand-

punkten“).

HDI1:∫

(f ′(x)) dx = f(b)− f(a).

13.1 Notation (Offenheit und Rand)

Rn− := (x1, . . . , xn) ∈ R

n | x1 ≤ 0, V ⊆ Rn heißt offen :⇔ ∃

V ⊆off Rn

mit V ∩ Rn− =

V .∂Rn− := (x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0 Rand von Rn−. Fur V ⊆ Rn− heißt ∂V := V ∩ ∂Rn−

der Rand von V (neue Definition von Rand, Unterschied zur alten,”topologi-

schen Definition“).

13.2 Beispiel

V =(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 1, x ≤ 0

offen in Rn−, ∂V =

(0, y) ∈ R2 | − 1 < y < 1

1Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

(alte Definition von Rand: ∂V ∪(x, y) ∈ R2

− | x2 + y2 = 1)

13.3 Definition

Sei V ⊆off Rn−, f : V→Rn heißt differentierbar an der Stelle p ∈ ∂V , falls gilt: esgibt eine in Rn offene Umgebung W von p und eine differentierbare Abbildungf : W→R

m mit f |W ∩ V = f |W ∩ V .

Dann ist fur stetig differentierbares f auch Jf (p) fur p ∈ V definiert.Sind U, V ⊆ Rn−. Unter einem Diffeomorphismus zwischen U und V versteht

man eine differentierbare bijektive Abbildung f : U→V so, dass f−1 : V→Udifferentierbar ist.

13.4 Lemma

Ist f : U→V ein Diffeomorphismus zwischen in Rn− offenen Teilmengen, so istf(∂U) = ∂V und f |∂U : ∂U→∂V ist ein Diffeomorphismus zwischen 2 in Rn−1

offenen Teilmengen (Dabei wurde die Projektion : Rn−→Rn−1, (x1, . . . , xn) 7→(x2, . . . , xn) in der Notation unterdruckt).

Beweis:

vgl.”Janich“ -

”Vektoranalysis“ bzw. Skript VA

13.5 Definition (von ber. Untermannigfaltigkeitskarten bzw.Atlanten)

Sei M ⊆ Rn. M heißt berandete Untermannigfaltigkeit (oder berandete Flache)der Dimension k, wenn es um jedes p ∈M eine in Rn offene Umgebung W gibtund einen Diffeomorphismus H : W→W ′ ⊆off Rn so, dass gilt:

H(W ∩M) =

(Rk−×0) ∩ W ′

oder(Rk×0) ∩W ′

(W,H) heißen dann berandete Untermannigfaltigkeitskarten, (W ∩M = U,H |U =h) heißen berandete Karten, statt Atlas spricht man von berandetem Atlas, etc.pp. .

13.6 Definition (des Randpunkts)

p ∈M heißt Randpunkt, falls fur eine (dann nach 13.4 fur jede) berandete Karte(U, h) von M gilt, dass h(p) ∈ ∂U ′, U ′ = h(U). Die Menge aller Randpunktevon M heißt der Rand von M und wird mit ∂M bezeichnet.

13.7 Beispiel

M =(x, y, z) ∈ S2 | z ≥ 0

ist eine 2-dimensionale berandete Flache. Setze

U := ((x, y, z) ∈M,x > 0).

(x, y, z) 7→ (y, z) 7→ (−z, y)(√

1− y2, y, z) ←[ (y, z)

h : U→U ′,

7→(−zy

, U ′ =(x, y) ∈ R2

− | x2 + y2 < 1, ∂M =

(x, y, 0) | x2 + y2 = 1

13.8 Lemma (Satz vom regularen Wert fur berandete Un-termannigfaltigkeiten)

Ist ψ : Rndiffb.−→Rn−k, c ∈ Rn−k regularer Wert und f : Rn

diffb.−→R, (c, a) ∈ Rn−k+1

regularer Wert von (ψ, f) : Rn→Rn−k+1, so ist

x ∈ Rn | ψ(x) = c, f(x) ≤ a

eine berandete Untermannigfaltigkeit der Dimension k von Rn.

Beweis:

13.9 Beispiel

M =(x, y, z) ∈ S2 | z ≥ 0

ist eine 2-dimensionale berandete Untermannig-

faltigkeit von R3. Betrachte

ψ : R3→R ,

7→ x2 + y2 + z2

f : R3→R ,

7→ −z

M =x ∈ R

3 | ψ(x) = 1, f(x) ≤ 0, 1 ist regularer Wert von ψ.

(2x 2y 2z0 0 −1

ist surjektiv, falls (x, y) 6= (0, 0) (Aber fur (x, y, z) ∈(ψ

)−1(10

(x2 + y2 + z2

ist z = 0, also x 6= 0 oder y 6= 0).

⇒ (1, 0) ist regularer Wert von (ψ, f)⇒M ist eine 2-dimensionale berandeteFlache/Untermannigfaltigkeit.

13.10 Notiz (Rand einer ber. Untermannigfaltigkeit alsUntermannigfaltigkeit)

Ist M eine k-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, dann ist ∂M eine(k − 1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit.

13.11 Beispiel

M = D3 =(x, y, z) ∈ R

3 | x2 + y2 + z2 ≤ 1, ∂M = ∂D3 = S2.

13.12 Definition und Notiz (nach innen/außen weisendeTangentialvektoren bzw. Normalen(einheits)vektoren)

IstM eine k-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, p ∈ ∂M , φ : Rk−→M ⊆ Rn

eine lokale Parametrisierung, so ist

Tp(M) = dφh(p)(Rk) ⊆ R

ein k-dimensionaler Untervektorraum. (Erinnere: Das Differential am Rand istwohldefiniert)

Es ist Tp(∂M) = dφh(p)( ∂Rk−

︸︷︷︸

=0×Rk−1

) ⊆ Tp(M). Außerdem ist

T außp (M) = dφh(p)(R

k\Rk−)

T innp (M) = dφh(p)(R

k−\∂R

v ∈ T außp (M) heißt nach außen weisender Tangentialvektor und v ∈ T inn

p (M)heißt nach innen weisender Tangentialvektor. Es ist

Tp(M) = T außp (M) ∪ Tp(∂M) ∪ T inn

N(x) ∈ Tx(M), x ∈ ∂M heißt nach außen weisender Normalenvektor, fallsN(x) ∈ Tx(∂M)⊥

und N(x) ∈ T außp (M), Normaleneinheitsvektor, falls zusatzlich ||N(x)|| = 1

(analog mit”nach innen“).

Ein nach außen weisendes Normalen(einheits)feld auf ∂M ist eine stetigeAbbildung N : ∂M→R

n so, dass fur jedes x ∈ ∂M dann N(x) ein nach außenweisender Normalen(einheits)vektor ist.

13.13 Beispiel

Auf S1 bzw. allgemeiner Sn = ∂Dn+1 ist ein nach außen weisendes Normalen-einheitsfeld

∈ S1

bzw. allgemeiner fur x ∈ Sn ⊆ Rn+1 ist

N(x) = x ∈ Tx(Sn)⊥

13.14 Bemerkung

Ist M eine n-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit von Rn, also ∂M

eine (n− 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rn, so ist Tp(∂M)⊥Rn

ein1-dimensionaler Untervektorraum.

Ist ∂M = ψ−1(c) Urbild eines regularen Werts einer Abbildung ψ : Rndiffb.−→R,

so istgrad(ψ(x))︸︷︷︸

∈ Tp(∂M)⊥

fur alle x ∈ ∂M . Also ist das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld durch

N(x) = ± grad(ψ(x))

||grad(ψ(x))||

gegeben. (Ist V ⊆W Untervektorraum, dann ist V ⊥W = x ∈W | 〈x |v〉 = 0, v ∈ V )

13.15 Definition

1. Ist M ⊆ Rn eine n-dimensionale berandete Untermannigfaltigkeit, also∂M ⊆ R

n eine (n−1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit, soist ∂M eine orientierbare Untermannigfaltigkeit. Die kanonische Randori-entierung von ∂M ist durch das nach außen weisende Normaleneinheitsfeldgegeben.

2. Ist M ⊆ R3 eine 2-dimensionale orientierte berandete Untermannigfaltig-keit des R3, d.h. auf M sei ein orientierungsdefinierendes Normalenein-heitsfeld gegeben. Sei ν ein nach außen weisendes Normaleneinheitsfeldauf ∂M , also ν(x) ∈ Tx(M).

Dann heißt ein Vektor v ∈ Tp(∂M) positiv orientiert, falls

det(N, ν, v) > 0

Da ∂M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist, gibt es in Tp(∂M)genau einen Vektor T so, dass ||T || = 1 und T positiv orientiert ist.

14 DER GAUSSSCHE UND STOKESCHE INTEGRALSATZ 118

14 Der Gaußsche und Stokesche Integralsatz

Verallgemeinerung des HDI:

[0,1]=M

(f ′(x)) dx = f(1)− f(0)

∂M = [0, 1]

(. . .) =∫

(. . .)

Durchflussrate:∫

(〈v |N〉) dF =∫

(. . .? . . .)

(〈v |N〉) dF = v1(∆x, y)·∆y − v1(0, y)·∆y + v2(x,∆y)·∆x− v2(x, 0)·∆x

= (v1(∆x, y)− v1(0, y)

∆x+v2(x,∆y) − v2(x, 0)

∆y)∆x∆y

→ ∂v1∂x + ∂v2

∂y = div(v)

14.1 Erinnerung und Definition (von Divergenz und Ro-tation)

Ist v : Rndiffb.−→Rn, v =

v1...vn

, so ist

div(v) :=

(∂vi

∂xi)

die Divergenz. Fur n = 3 ist

rot(v) :=

∂∂x2

v3 − ∂∂x3

v2∂∂x3

v1 − ∂∂x1

v3∂∂x1

v2 − ∂∂x2

die Rotation.

14.2 Der Integralsatz von Gauß

Sei B ⊆off Rn, M ⊆ B eine beschrankte und abgeschlossene (= kompakt) n-

dimensionale (berandete) Untermannigfaltigkeit, v : Bdiffb.−→Rn eine C1-Abbildung.

Dann ist ∂M eine (n− 1)-dimensionale unberandete Untermannigfaltigkeit. Sei−→N das nach außen weisende Normaleneinheitsfeld auf ∂M . Dann gilt:

(div(−→v )) dµM =

(〈−→v |−→N 〉) dµ∂M

14.3 Der Integralsatz von Stokes

Sei B ⊆ R3,A ⊆ B eine beschrankte und abgeschlossene (berandete) 2-dimensionaleorientierte Flache (moglicherweise ∂A = ∅), N das orientierungsdefinierendeNormaleneinheitsfeld auf A, T das positiv orientierte tangentiale Einheitsfeldauf ∂M . Dann ist

(〈rot(−→v ) |−→N 〉) dF =

(〈−→v |−→T 〉) ds

14.4 Bemerkung (Verallgemeinerung)

In der Vektoranalysis lernt man den”Satz von Stokes“ als Verallgemeinerung

der beiden Satze 14.2 und 14.3 kennen.”M∫

dω = ∂M∫ω“.

14.5 Bemerkung

In der Physik braucht man den Satz von Stokes und den Satz von Gauß oftin etwas allgemeinerer Form als hier formuliert, namlich im Falle, dass M bzw.A

”Kanten und Ecken“ haben. Im Allgemeinen bleibt er auch dort anwendbar

(vgl. Agricola, Ilka & Friedrich, Thomas:”Globale Analysis: Differentialformen

in Analysis, Geometrie und Feldtheorie“). Eine wichtige Vorraussetzung ist dieKompaktheit von M oder A.

14.6 Korollar (Spezialfalle)

1. Sind M und v wie in 14.2 und div(−→v ) = 0, so ist

(〈−→v |−→N 〉) dµ∂M = 0

2. Sind M und v wie in 14.2 und div(−→v ) = c = const, so ist

(〈−→v |−→N 〉) dµ∂M = c·vol(−→M)

3. Sind M und v wie in 14.2 und v(x) ∈ Tx(∂M) fur alle x ∈ ∂M , so ist

(div(−→v )) dµM = 0

4. Ist rot(−→v ) = 0 und A wie in 14.3, so ist

(〈−→v |−→T 〉) ds = 0

5. Ist ∂A = ∅, A und v wie in 14.3, so ist

(〈rot(−→v ) |−→N 〉) dF = 0

14.7 Beispiel

B = R3\0,

E : B → R3

E(x) =qx

||x||3

q ∈ R\0. Es ist div(E) = 0.

Sei M ⊆ R3 eine 3-dimensionale beschrankte abgeschlossene Untermannigfaltig-keit, 0 6∈ ∂M .

(〈−→E |−→N 〉) dF =

0 0 6∈M (a)

4πq 0 ∈M (b)

(unabhangig von der weiteren Gestalt von M)

Beweis:

Beweis von (a):

Ist 0 6∈M .

Dann ist M ⊆ B = R3\0.Dann ist nach dem Satz von Gauß

(〈−→E |−→N 〉) dF =

(div(−→E )

︸︷︷︸

) dV = 0

Beweis von (b):

Ist 0 ∈M\∂M , so ist M 6⊆ B. Satz von Gauß ist also nicht anwend-bar.

M\0 ist nicht kompakt !

Sei ǫ > 0 so klein, dass D2ǫ(0) =x ∈ R3 | ||x|| < 2ǫ

⊆M\∂M .

Sei M = M\Dǫ.

Dann ist ∂M = ∂M ∪ Sǫ, Sǫ = ∂Dǫ =

x ∈ R3 | ||x||2 = ǫ2

M ist kompakt und M ⊆ B.

Also ist nach dem Satz von Gauß∫

(〈−→E |−→N 〉) dF +

(〈−→E |−xǫ〉) dF = 0

⇒∫

(〈−→E |−→N 〉) dF = q·∫

(〈 xǫ3|xǫ〉) dF

(||x||2) dF

= qǫ2

ǫ4Sǫ

︸︷︷︸

4πǫ2

= 4πq2

14.8 Bemerkung

Das Beispiel kann ganz analog durchgefuhrt werden, fallsE durch das elektrischeFeld mehrerer Punktladungen gegeben ist:

(qix− pi||x− pi||3

Daraus folgt, dass∫

(〈−→E |−→N 〉) dF =

(4πqi)

wobei p1, . . . , pm ∈M\∂M und pm+1, . . . , pr ∈ R3\M .

14.9 Bemerkung (Anschauliche Bedeutung der Divergenz)

Daraus lasst sich die anschauliche Bedeutung der Divergenz herleiten: Sei Sǫ(p) =

x ∈ Rn | ||x||2 = ǫ2

, Sǫ(p) = ∂Dǫ = ∂

x ∈ Rn | ||x||2 ≤ ǫ2

Dǫ(p)

(div(v)) dµn

Dǫ(p)

Sǫ(p)

(〈v |N〉) dµn−1

vol(Dǫ(p))︸︷︷︸

”Durchflussrate pro Volumeneinheit“

14.10 Beispiel - Auftrieb

Sei M eine kompakte 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit,−→N das nach innen

gerichtete Normaleneinheitsfeld, −→v (x) = −cz−→N (x, y, z). Gesamtkraft auf M :

−→K = −c

(z−→N ) dF

Kj = −c∫

(z〈ej |−→N 〉) dF = −c

(〈zej |−→N 〉) dF

div(zej) =

0 j = 1, 21 j = 3

, ze3 =

Kj = 0 fur j = 1, 2

K3 = +c

(1) dV = +c·vol(M)

c·vol(M)

14.11 Beispiel

Diffusionsgleichung

⊲ v(x, t) Geschwindigkeitsfeld

⊲ ρ(x, t) Massendichte

Ansatz:∫

(ρ〈−→v |−→N 〉) dF

︸︷︷︸

Gesamtdurchfluss (*)

= − d

(ρ) dV

︸︷︷︸

eingeschlossene Masse

Mit dem Satz von Gauß ist:

(∗) =

(div(ρ−→v )) dV div(ρ−→v ) + ρ = 0

14.12 Beweis des Satzes von Gauß (im Spezialfall n = 3)

Beweis:

SeiM = (x, y, z) | 0 ≤ z ≤ f(x, y), (x, y) ∈ U (M nicht kompakt), wobei

U stetig berandetes Gebiet, U offen, f : Udiffb.−→R.

B ⊆off R3, M ⊆ B, v : B→R3, v(x, y, z) = 0, falls (x, y) 6∈ U .

Der allgemeine Fall kann auf diesen Fall zuruckgefuhrt werden:”Zerschnei-

den von M“.

∂M = Γ(f) ∪ (U×0).

Sei v =

v1v2v3

, vi ∈ C∞(R3), vi(x, y, z) = 0 fur (x, y) 6∈ U .

(div(v)) dV =

f(x,y)∫

(∂xv1 + ∂yv2 + ∂zv3) dz) dx dy

(v3(x, y, f(x, y))− v3(x, y, 0)) dx dy

f(x,y)∫

(∂xv1 + ∂yv2) dz) dx dy

Berechne jetzt∫

(〈−→v |−→N 〉) dF :

(〈−→v |−→N 〉) dF = −∫

(〈v(x, y, 0) |

〉) dx dy

= −∫

(v3(x, y, 0)) dx dy

(〈−→v |−→N 〉) dF . Betrachte die Parametrisierung

φ : U → Γ(f)

φ(x, y) 7→ (x, y, f(x, y))

Es ist:

∂x =

∂xf(x, y)

∂y =

∂yf(x, y)

N =∂x×∂y||∂x×∂y||

√1 + (∂xf)2 + (∂yf)2

−∂xf−∂yf

1 + (∂xf)2 + (∂yf)2 =√g

Schließlich:∫

(〈−→v |−→N 〉) dF =

(〈v(x, y, f(x, y)) |N(x, y, f(x, y))〉√g) dx dy

(〈v(x, y, f(x, y)) |

−∂xf−∂yf

〉) dx dy

(−v1(x, y, f(x, y))∂xf(x, y)) dx dy

(−v2(x, y, f(x, y))∂yf(x, y)) dx dy

(v3(x, y, f(x, y))) dx dy

Bleibt zu zeigen (dann auch analog fur die 2. Komponente):

−∫

(v1(x, y, f(x, y))∂xf(x, y)) dx dy =

f(x,y)∫

((∂xv1)(x, y, z)) dz) dx dy

Es gilt fur jede differentierbare Funktion G (nach Kettenregel):

∂x(G(x, y, f(x, y))) = (∂xG)(x, y, f(x, y)) + (∂zG)(x, y, f(x, y))∂xf(x, y)

Wende dies an auf:

−f(x,y)∫

(v1(x, y, f(x, y))) dz = G(x, y, f(x, y))

Dann ergibt sich:

f(x,y)∫

(v1(x, y, z)) dz =

f(x,y)∫

((∂xv1)(x, y, z)) dz + v1(x, y, f(x, y))∂xf

Zu zeigen bleibt:

(∂x(

f(x,y)∫

(v1(x, y, z)) dz)) dx dy = 0

Sei U =(x, y) ∈ R2 | a ≤ y ≤ b, a(y) ≤ x ≤ b(y)

Es ist v(a(y), y, z) = 0 = v(b(y), y, z) nach Vorraussetzung.

f(x,y)∫

(v1(x, y, z)) dz) dx dy =

b(y)∫

f(x,y)∫

(v1(x, y, z)) dz) dx) dy

f(b(y),y)∫

(v1(b(y), y, z)) dz

︸︷︷︸

−f(a(y),y)∫

(v1(a(y), y, z)) dz

︸︷︷︸

14.13 Bemerkung (Komposition von rot, div und grad)

Es gilt:

rot(grad(f)) = 0 , f ∈ C∞(R3,R)

div(rot(v)) = 0 , v ∈ C∞(R3,R3)

div(grad(f)) = ∆f 6= 0

Fragen:

1. Wann hat ein Vektorfeld ein Potential, d.h., wann gibt es ein f mitgrad(f) = v?

2. Wann hat ein Vektorfeld ein Vektorpotential, d.h. wann gibt es ein w mitv = rot(w)?

Notwendige Bedingung:

1. rot(v) = 0

2. div(v) = 0

14.14 Lemma ((Vektor-)Potential aus Gradienten- und Ro-tationsfeldern)

1. Ist−→v ∈ C1(R3,R3) und rot(−→v ) = 0, so gibt es ein f ∈ C2(R3) mit grad(f) =−→v , namlich

f(−→x ) = 〈1∫

(−→v (t−→x )) dt |−→x 〉

2. Ist −→v ∈ C∞(R3) und div(−→v ) = 0, so ist

−→w (−→x ) =

(t−→v (t−→x )) dt×−→x

ein Vektorpotential, also rot(−→w ) = −→v .

Beweis:

Beweis von 1.:

∂x1=

(v1(t−→x )) dt+

(∂vj

∂x1(t−→x )

︸︷︷︸

=∂v1∂xj

(t−→x ), da rot(−→v =0)

)) dt·xj

( ∂∂xj

v1(t−→x ))·xj = d

dtv1(t−→x )

Es ergibt sich dann:

∂x1=

(v1(t−→x )) dt+

dtv1(t−→x )) dt

dt(tv1(t

−→x ))) dt

= [tv1(t−→x )]10

= v1(−→x )

Ebenso fur ∂f∂x2

= v2 und ∂f∂x3

Beweis von 2.:

Setze −→c (−→x ) =1∫

(t−→v (t−→x )) dt.

Dann ist

∂x2w3 −

∂x3w2 =

∂x2(c1x2 − c2x1)−

∂x3(c3x1 − c1x3)

= 2c1 − x1 (∂c2

∂x2+∂c3

∂x3)

︸︷︷︸

=− ∂c1∂x1

, da div(−→c )=0

+ x2∂c1

∂x2+ x3

= 2c1 +3∑

(xj∂c1

∂xj) (∗)

Es ist

(tv1(t−→x )) dt

2[t2v1(t

−→x )]10 −1

(t2dv1(t

−→x )

dt) dt

2(v1(−→x )−

(t2dv1(t

−→x )

dt) dt)

2(v1(−→x )−

(t2∂v1

∂xj(t−→x )xj) dt))

2(v1(−→x )−

(xj∂c1

∂xj))

Einsetzen in (*). 2

Ebenso fur die anderen Komponenten v2 und v3.

14.15 Bemerkung

1. Im Allgemeinen folgt aus rot(−→v ) = 0 nicht, dass −→v ein Potential besitzt.

Beispiel:

−→v : R3\

| t ∈ R

−→v (

x2 + y2

Behauptung: Es gibt kein f ∈ C∞(R3\

, t ∈ R) mit grad(f) = −→v .

Beweis:

Angenommen, es gabe doch eines, so wurde fur jedes γ : [0, 2π]→R3\

, t ∈ R

mit γ(0) = γ(2π) gelten:

(〈−→v (γ(t)) |γ(t)〉) dt = 0

2π∫

(〈grad(f(γ(t))) |γ(t)〉) dt = f(γ(2π))− f(γ(0))

Sei γ(t) =

cos(t)sin(t)

Dann ist

2π∫

(〈−→v (γ(t)) |γ(t)〉) dt =

2π∫

−sin(t)cos(t)

〉) dt = 2π

Widerspruch.

2. Ist −→v ein Vektorfeld mit div(−→v ) = 0, so hat −→v nicht notwendig ein Vek-torpotential.

Beispiel:

−→v : R3\0 → R

−→v (x) =x

||x||3

Es ist nun div(−→v ) = 0. Behauptung: Es gibt kein w ∈ C∞(R3\0) mitrot(w) = −→v .

Beweis:

Angenommen, es gabe doch eines, so wurde folgen, dass

4π14.7=

(〈−→v |−→N 〉) dF

(〈rot(−→w ) |−→N 〉) dF

S.v.G.=

∂S2=∅

(〈−→w |−→T 〉) ds

Widerspruch.

Frage: Fur welche B ⊆ R3, v : B→R3 kann 14.14 verallgemeinert werden:

⊲ rot(−→v ) = 0 ⇒ ∃f

: −→v = grad(f) ?

⊲ div(−→v ) = 0 ⇒ ∃−→w: −→v = rot(−→w ) ?

14.16 Definition (der Sternformigkeit)

B ⊆ R3 heißt sternformig bezuglich x0, wenn fur jedes x ∈ B die Strecke

x0x := x0 + t(x− x0) | t ∈ [0, 1] ⊆ B

14.17 Korollar

Ist −→v ∈ C1(B,R3) und B ⊆off R3.

1. Ist rot(−→v ) = 0, p ∈ B, dann gibt es ein ǫ > 0 so, dass Uǫ(p) ⊆ B undf ∈ C2(Uǫ(p)) mit grad(f) = −→v .

2. Ist div(−→v ) = 0, p ∈ B, Uǫ(p) ⊆ B, dann gibt es −→w ∈ C2(Uǫ(p),R3) mit

rot(−→w ) = −→v .

14.18 Bemerkung (Bezug zu Homologien)

In der Mathematik (Topologie) werden zu jeder Mannigfaltigkeit (insbesondereUntermannigfaltigkeit) Vektorraume Hk(M) definiert, welche die Fragen nachPotential, etc. beantworten. Z.B. M = R3:

H2dR(M) =

kern div

bild rot

H1dR(M) =

kern rot

bild grad

(HndR(X) ist dabei

”die n-te de-Rham-Kohomologiegruppe einer Mannigfaltig-

keit X“)

1. Ist H2dR(M) = 0 ⇔ Jedes v mit div(v) = 0 hat ein Vektorpotential.

Ist H1dR(M) = 0 ⇔ Jedes v mit rot(v) = 0 hat ein Potential.

2. Eindeutigkeitsfrage: Ist das Potential bzw. Vektorpotential jeweils eindeu-tig bestimmt?

Ist f ein Potential zu v, so ist auch f + c ein Potential fur jedes c ∈ R,denn grad(c) = 0.

Ist w ein Vektorpotential zu v, so auch w+ grad(f) fur f ∈ C3(R3), dennrot(grad(f)) = 0.

Ist M zusammenhangend und v = grad(f1) = grad(f2), so ist f1 = f2 + c furein c ∈ R, da grad(f1 − f2) = 0.

Ist H1dR(M) = 0 und v = rot(w) = rot(w′), so ist w′ = w + grad(f) fur ein

f ∈ C3(R3).

14.19 Beispiel

14.19.1 Beispiel 1

M = R3\0 : H1dR(M) = 0, H2

dR(M) = R.

14.19.2 Beispiel 2

M = R3\ z-Achse: H1dR(M) = R, H2

dR(M) = 0.

14.19.3 Beispiel 3

M sternformig: Hk(M) = 0 fur k = 1, 2.

mathematik fuer physiker iia

Documents

institut fu¨r mathematik - institut für mathematik

rollladensysteme fuer das buero-data

deutsch test fuer zuwanderer uebungstest 1

facebook marketing fuer einsteiger

natursteine fuer garten und haus

algorithms for the qr-decomposition - eth zurich · pdf...

kompetenz fuer enterprise 2.0 (bwcon)

daf fuer kinder 05

yammer enterprise social fuer power user

praxisleitfaden fuer sap co

universit˜at regensburg mathematik

erdungsboxen fuer crossbonding und schirmtrennung_de

mathematik für physiker ii -...

institut fu¨r mathematik

ffakultät für mathematik und informatikakultät für...

introduction - institut für mathematik

mathematik (teil ii)

regelungstechnik fuer ingenieure - vieweg

die mathematik des risikomanagements

fakultat ii¨ mathematik und institut fu¨r mathematik ·...