metode statistice de optimizare a managementului educational, de mariana sandru
Post on 08-Apr-2018
225 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 1/71
Mariana Şa ndru
METODE STATISTICE
DE OPTIMIZARE A
MANAGEMENTULUI
EDUCAȚIONAL
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 2/71
Mariana Şandru
METODE STATISTICE DE OPTIMIZARE
A MANAGEMENTULUI EDUCAȚIONAL
MATRIX ROM
București 2011
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 3/71
MATRIX ROM
C.P. 16 - 162
062510 – BUCUREŞTI
tel. 021.4113617, 031.4012438, 0372743840
fax 021.4114280
email : office@matrixrom.ro
www.matrixrom.ro
Editura MATRIX ROM este acreditata de
CONSILIUL NAŢIONAL AL CERCETĂRIIŞTIINŢIFICE DIN Î NVĂŢĂMÂNTUL SUPERIOR
Această lucrare a fost editată sub egida Societăţii de Matematică din România
Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României
ŞANDRU, MARIANA
Metode statistice de optimizare a managementului
educaţional / Mariana Şandru – Bucureşti : Matrix Rom, 2011
Bibliogr.
ISBN 978 – 973 – 755 – 673 - 8
31:65.012.4:37
ISBN 978 – 973 – 755 – 673 - 8
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 4/71
i
În actualul stadiu de dezvoltare socială - caracterizat prin trecerea la
economia bazată pe cunoaștere, rolul planificării științ ifice a activităților
umane a crescut vertiginous. Din acest motiv ne- am propus ca în aceastălucrare să studiem variantele știintifice oferite de statistică pentru
eficientizarea actului de conducere.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 5/71
ii
CUPRINS
Introducere .......................................................................................................... 1
Capitopul I: Noțiuni fundamentale de statistică matematică .......................... 4
Definiții de bază în teoria probabilităților ..................................................... 4
Repartiția normală ......................................................................................... 6
Repartiția 2 ................................................................................................. 7
Repartiția Student .......................................................................................... 8
Repartiția Snedecor ........................................................................................ 8
Repartiția Fisher ............................................................................................. 9
Definiții de bază în statistica descriptivă .....................................................10
Inferența statistică .......................................................................................11
Estimații statistice ........................................................................................14
Ipoteze statistice ..........................................................................................16
Verificarea ipotezelor statistice ...................................................................17
Categorii de teste .........................................................................................20
Capitopul II: Teste de verificare a ipotezelor statistice ...................................22
Testarea ipotezelor privind media unei populații statistice ........................22
Testarea ipotezelor privind mediile a două populații statistice diferite .....27
Testarea ipotezelor asupra dispersiei unei populații ..................................32
Testarea ipotezelor privind dispersiile a două populații .............................34
Testarea ipotezelor privind mediile mai multor populații ..........................36
ANOVA simplă ..............................................................................................37
Capitopul III: Metode statistice de fundamentare a deciziilor .......................46
Stabilirea tendinței de evoluție a procesului instructiv -educativ ................47
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 6/71
iii
Alegerea programei de studiu .....................................................................48
Alegerea manulalului potrivit ......................................................................50
Stabilirea preciziei de ierarhizare a unităților de învățământ ....................51
Organizarea timpului liber ...........................................................................52
Alegerea ofertei avantajoase ......................................................................55
Reglarea procesului de predare- învățare ....................................................57
Stabilirea programului orar optim de studiu ...............................................59
Concluzii ........................................................................................................63
Bibliografie .........................................................................................................65
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 7/71
1
INTRODUCERE
În actuala etapă de dezvoltare a societății omenești caracterizată pintr -un
nou tip de economie – economia bazată pe cunoaștere, învățământului de
toate gradele și de toate specialitățile îi revin o multitudine de sarcini
specifice. Primele două ca importanță sunt acelea de a facilita adaptarea
omului obișnuit la ritmul, varietatea și amploarea schimbărilor și
transformărilor din societate, precum și acela de a asigura numărul necesar și
calitatea specialiștilor și a cadrelor apte să înțeleagă și capabile să gestioneze
aceste transformări.
Este de la sine înțeles că într-un astfel de context managementul va avea
de jucat un rol de prim rang. Pentru a face față noilor provocări el va fi nevoit
să-și reânoiască metodologia și filosofia de lucru. Acest proces de reformare
calitativă a actului de conducere este tot mai vizibil.
Managementul contemporan apelează tot mai des la cuceririle științifice
din diferite domenii de activitate. Proiectarea strategiilor de dezvoltare nu semai face empiric ci pe baza unor teorii puternic matematizate. Lucrarea de
față își propune să exemplifice acest lucru. În acest scop am ales ca domeniu
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 8/71
2
de studiu – managementul școlar, și ca instrument de fundamentare al său –
statistica matematică. Ideea de la care am plecat în acest demers este aceea
că actul decizional care succede orice activitate managerială se bazează pe un
anumit set de premise inițiale a căror veridicitate se poa te verifica din punct
de vedere satatistic.
Importanța studiului întreprins de noi constă în faptul că am adaptat
folosirea aparatului statistic de verificare a ipotezelor la nevoile și specificul
managementului școlar. Această importanță este consolidată și de
numeroasele studii de caz prezentate, prin care sunt acoperite majoritateaaspectelor de interes managerial de nivel local sau central.
Din punct de vedere didactic, pentru a realiza o bună transmitere a
modului în care vedem noi eficientizarea managementului școlar, am
convenit ca aparatul teoretic prezentat în această lucrare să fie structurat
după cum urmează :
Capitolul 1 este destinat introducerii conceptelor de bază din teoria
probabilităților și satatisticii matematice precum cele de spațiu de
probabilitate, variabilă aleatoare, repartiție de probabilitate, populație
statistică, caracteristică a unei populații. În acest capitol sunt prezentate
repartiția normală, repartiția 2 , repartiția Student, repartiția Snedecor și
repartiția Fisher. De asemenea este introdusă noțiunea de ipoteză statistică și
este prezentat aparatul teoretic general de verificare al ipotezelor statistice.
În capitolul 2 sunt prezentate detaliat principalele teste de verificare a
ipotezelor statistice: testul z , testul 2 , testul t , testul F și testul ANOVA.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 9/71
3
Capitolul 3 este alcătuit dintr -o suită de exemplificări ale modului de
aplicare concretă a aparatului statistic la rezolvarea problemelor de
conducere din cadrul sistemului de învățământ. Aceste exemplificări provin
din diferite studii de caz la care autorul a participat de- a lungul anilor și
constituie partea de contribuție originală adusă la aceasta lucrare.
Exemplificările prezentate în acest ultim capitol au fost selecționate după
două criterii: cel de utilizare al tuturor tipurilor de teste statistice prezentate
în capitolul precedent și cel de acoperire a cât mai multe din problematicile
reale ale coordonării învățământului contemporan la nivel central sau local.
Din perspectiva provocărilor actuale la care este supus învățământul
suntem îndre ptățiți să credem că materialul cuprins în această lucrare
acoperă mai multe zone de interes. Prima ar fi aceea că dovedește utilitatea
folosirii aparatului statistic în actul de conducere, transformând-ul dintr-o
activitate de rutină bazată pe experiență într-una creativă, bazată pe
raționament științific. O altă latură ar fi aceea a perfecționării profesionale în
domeniul teoriei probabilităților și statisticii matematice. În fine, un alt aspecteste legat de faptul că studiile de caz prezentate oferă prc ticienilor un set de
șabloane pe care le pot folosi după o minimă readaptare la rezolvarea
problemelor cu care aceștia se confruntă în mod direct.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 10/71
4
C a p i t o l u l 1
NOȚIUNI FUNDAMENTALE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ
Definiții de bază în teoria probabilităților
Noțiunea de câmp de evenimente : Un ansamblu , F alcătuit dintr -o
mulțime abstractă , numită spațiul evenimentelor elementare și o familie
F de părți ale lui , numită mulțimea evenimentelor, care verifică
următoarele axiome :
A 1) F ,
A 2) A A F F C ,
A 3) , A B F A B F ,
se numește câmp de evenimente.
Noțiunea de - câmp de evenimente : Un câmp de evenimente , F în
care familia F satisface în plus și axioma
A 4)1
nn
A F , dacă n A F , pentru orice 1n ,
se numește -câmp de evenimente.
Noțiunea de câmp de probabilitate : Tripletul ( , , )PF în care perechea
, F reprezintă un câmp ( -câmp) de evenimente, iar P o aplicație de la
F la care satisface axiomele :
A 1) 0 1,P A A F și 1P ,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 11/71
5
A 2) Pentru orice familie numărabilă (finită sau infinită) :i A i I F de
evenimente disjuncte două câte două (despre care, atunci când , F nu
este un -câmp, cerem să satisfacă suplimentar și proprietatea ii I
A F )
are loc relația
i ii I i I
P A P A
,
se va numi câmp de probabilitate, iar funcția P se va numi probabilitate pe
câmpul ( -câmpul) ( , )F .
Noțiunea de variabilă aleatoare : Fie un spațiu de probabilitate ( , , )PF
. O funcție reală : X , care satisface condiția:
: X x F oricare ar fi x ,
se numeşte variabilă aleatoare.
Noțiunea de funcție de repartiție a unei variabile aleatoare : Fie X o
variabilă aleatoare. Funcția reală de variabilă reală,
F x P X x ,
unde prin X x, s-a notat evenimentul
: X x ,
adică reuniunea acelor evenimente elementare pentru care v.a. X ia valori
mai mici sau egale cu x , se numește funcția de repartiție a v.a. X .
Noțiunea de densitate de repartiție a unei v.a. : Dacă există o funcție reală
: f , astfel încât
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 12/71
6
x
F x f t dt ,
atunci funcția de repartiție F se numește absolut continuă . Din punct de
vedere geometric numărul F x reprezintă aria mărginită de graficul funcției
f , axa 0 x și paralela la axa 0 y care trece prin punctul de abscisă x . Funcția
f , dacă există, se numeşte densitatea de probabilitate a v.a. X .
Observație : Funcția de repartiție a unei variabile aleatoare conține toate
informațiile necesare pentru calcularea probabilităților cu care acea variabilă
ia valori în diferitele intervale , ,a b a b , ale axei reale. Într-adevăr,
,P a X b F b F a a b .
Repartiția normală
Repartiția normală joacă un rol central în teoria probabilităților și în statistică
deoarece reprezintă o repartiție limită către care, în anumite condiții, tind
majoritatea celorlalte repartiții.
Prin definiție, o variabilă continuă X are o repartiție normală , sau
repartiție Gauss – Laplace , dacă funcția de repartiție a variabilei X este dată
de relația:
2
221, , , 0
2
t m x
F x e dt x m
,
unde m şi sunt parametrii funcției de repartiție. Funcția de repartiție
normală se notează de obicei prin 2
, N m , iar faptul că v.a. X urmează
această repartiție se notează prin 2, X N m .
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 13/71
7
Parametrii repartiției normale semnifică media și dispersia variabilei X .
Mai precis, 2 2,m M X D X . Din acest motiv putem spune că
repartiția normală 2, N m are media m şi dispersia 2 .
Observație. Media și dispersia determină în mod unic repartiția normală.
Repartiția normală 0,1 N se numeşte repartiția normală redusă,
repartiția normală normată, sau repartiția normală s tandard. O v.a.
repartizată după legea 0,1 N se notează de obicei cu Z şi este cunoscută
sub denumirea de variabilă Z , variabilă normală redusă, etc. Orice variabilă
X repartizată normal 2, N m poate fi transformată într -o v.a. repartizată
0,1 N prin transformarea (de normare, sau de standardizare)
X m Z
.
Repartiția 2
Repartiția definită prin densitatea de probabilitate
12 2
/ 2
1, 0
2 , 1,2
0, 0
n x
nn
x e xn
f x n
x
pentru
pentru
se numește repartiția 2 cu n grade de libertate. Această repartiție,
descoperită inițial de către Helmert, a fost pusă în evidență de către K.
Pearson. Vom nota cu 2 n mulțimea tuturor v.a. care au densitatea de
repartiție definită mai sus.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 14/71
8
Dacă 1 2, ,.., n X X X , cu 1n , este un șir de v.a. independente, de
repartiție normală 0,1 N , atunci 2 2 2 21 2 .. n X X X , este o v.a. supusă
repartiției 2 cu n grade de libertate.
Repartiția Student
Repartiția definită prin densitatea de probabilitate
1
2 2
11 2
1 , , 1,
2
n
n
n x
f x x nn nn
se numește repartiț ia Student cu n grade de libertate . Această repartiție a
fost descoperită și pusă în evidență de către W. Gosset, „ Student ”,
reprezentând pseudonimul sub care acesta își semna lucrările. Vom nota cu
S n mulțimea tuturor v.a . care au densitatea de repartiție definită mai sus.
Dacă 1 2, ,.., n X X X , cu 1n , este un ș ir de v.a. independente, de
repartiție normală 2
, N m , atunci
2
1
,1 n
ii
X mt
X n
este o v.a. supusă repartiț iei Student cu n grade de libertate.
Repartiția Snedecor
Repartiția Snedecor cu 1 21, 1, grade de libertate, se defineștre prin
densitatea de repartiț ie
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 15/71
9
1 1 2
1
1 2
1 22 21
1 12, 1 2
1 22 2
21 , 0 , , 1.
2 2
f x x x
Vom nota cu 1 2,S mulțimea tuturor v.a . care au densitatea de repartiț ie
definită mai sus.
În legătură cu repartițiile 2 , Student şi Snedecor enumerăm
următoarele proprietăți:
- Dacă v.a. X aparț ine clasei S n , atunci v.a. 2 X aparține clasei 1,S n .
- Dacă 21 X și 2
2Y sunt două v.a. independente, atunci
11 2
2
/ ,
/
X S
Y
.
- Dacă 1 2, X S , atunci2
1limY X
aparț ine clasei 21 .
- Dacă 1 2, X S , atunci 2 1
1,S
X .
Repartiția Fisher
Repartiția Fisher cu 1 21, 1, grade de libertate, se defineștre prin
densitatea de repartiț ie
1 1 2
1
1 2
1 22 2
21 1, 1 2
1 22 2
22 1 , , , 1.
2 2
x x f x e e x
Dacă 1 2, X S v , atunci v.a. 1ln
2Y X , urmează repartiț ia Fisher.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 16/71
10
Definiții de bază în statistica descriptivă
Noțiunea de populație statistică și de caracteristică : O mulțime oarecare P ,
nevidă, (finită sau nu) ale cărei elemente prezintă una sau mai multe
caracteristici de interes pentru un an umit studiu va fi numită populaț ie
statistică. De exemplu, dacă ne intereesază rezultatele obținute la testul
național de absolvire al clasei a VIII-a de către elevii unei unități şcolare,
atunci acei elevi (cei de clasa a VIII-a) reprezintă populația statistică, iar
notele obț inute de fiecare dintre ei la testul național de verificare a
cunostințelor, reprezintă caracteristica studiată.
Există doua feluri de caracteristici: cantitative şi calitative . În cazul în care
caracteristicile sunt exprimabile prin numere, de exemplu în cazul unei
populaț ii alcătuite din elevi, „notele” obținute la o anumită mat erie, sau
„greutatea” ori „înălțimea” acelor elevi, caracteristica se numeşte cantiativă .
În cazul în care caracteristicile nu apar ca numere, ci exprimă o anumită
calitate, cum ar fi de exemplu „starea de sănătate”, sau „apartenența la o
anumită organizație”, ori „preferința pentru un anumit gen de muzică”,caracteristica se numeşte calitativă .
Noțiunea de eș antion de sondaj : Atunci când populația statistică este
alcătuită dintr -un număr mic de unități (statistice) informațiile care ne
interesează pot fi luate de la fiecare unitate statistică în parte, acest procedeu
de culegere a datelor fiind numit enumerare completă. În c azul general,
culegerea informaț iilor referitoare la o anumită populație statistică, se face
prin sondaj adică, din populația statistică studiată se alege în mod aleator oanumită submulțime pe care se realizează un studiu restrâns. O astfel de
submulțime este numită eşantion sau selecție .
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 17/71
11
Noț iunea de efectiv total al unei populaț ii : În cazul unei populații
satatistice finite, num ărul tuturor unităț ilor care alcătuiesc acea populaț ie se
numeşte efectivul total al acelei populații şi se notează cu N .
Noțiunea de volum al unui eș antion : Numărul n al elementelor unui
eșantion oarecare se numește volumul acelui eșantion. Un eș antion de volum
n se notează de obicei prin 1 2, ,..,n n E x x x , unde 1 2, ,.., n x x x ,
reprezintă valorile observate ale caracteristicii x a populației din care a fost
prelevat eș antionul.
Noțiunea de frecvență absolută a unei valori : Numărul de unități ale unei
populaț ii, (atunci când populația este finită) sau numărul de unități ale unui
eșantion, care au valorile caracteristicii măsurate egale cu o anumită valoare
, dată, se numește frecvența absolută a acelei valori. De exemplu dacă la o
clasă s-au obținut 10 note de 7 la teza la matematică, atunci numărul 10
reprezintă frecvența absolută a notei 7 în cadrul acelei teze.
Noțiunea de frecvență relativă a unei valori : Dacă într-un eșantion de
volum n, (sau într-o populație de evectiv total N ) frecvența absolută a unei
valori , a caracteristicii măsurate, este an , atunci raportul nn
(respectiv,
raportul n N
) se va numi frecvența relativă a valorii . Deseori frecvența
relativă a unei valori date se exprimă în proporții.
Inferența statistică
Prin inferență statistică se înțelege obținerea de concluzii bazate pe o
evidență statistică, adică pe informații derivate dintr -un eşantion. Concluziile
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 18/71
12
trase privesc anumiți parametrii ai caracteristicii (caracteristicilor) populației
din care provine eşantionul.
Observație . Dacă este investigată întreaga populație, atunci rezultatele care
se obțin constituie finalul prelucrării. În acest caz nu mai sunt necesare
prelucrările menționate în această secțiune.
Prin eşantion (sau selecție ) înțelegem o submulțime 1 ,..,n n E x x a
populației statistice considerate. Numărul de elemente dintr -un eșantion se
numește volumul acelui eșantion. Operațiunea de formare a unui eşantion se
numeşte sondaj . Sondajele care au şanse mai mari de a produce eşantioanereprezentative sunt cele bazate pe proceduri de selecție aleatoare.
La eşantioane diferite (chiar și de același volum), statisticile calculate au
de obicei valori diferite. Din acest motiv se poate vorbi despre o distribuție a
valorilor statisticilor în mulțimea eşantioanelor de volum dat. De aici apare
noțiunea de distribuție de sondaj a statisticii respective.
Inferența statistică implică considerarea a trei distribuții asociate cu
caracteristica studiată: - distribuția populației;
- distribuția de sondaj;
- distribuția eşantionului.
Prin distribuție a populației se înțelege distribuția pe care o are
caracteristica populației studiate (sau v.a. asociată acestei caracteristici). În
general această distribuție nu este cunoscută. Scopul urmărit prin
organizarea unei cercetări fiind tocmai acela de a estima această distribuție.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 19/71
13
Prin distribuția eşantionului se înțelege distribuția pe care o are
caracteristica studiată în eşantionul disponibil în studiu. Această distribuție
este cunoscută complet, întrucât toate unitățile eșantionului sunt măsurate.
Prin distribuția de sondaj a unei statistici se înțelege distribuția pe care o
are statistica în mulțimea tuturor eşantioanelor de un volum dat. Este bine de
reținut faptul (susținut prin argumente de natură teoretică) că, între
distribuția populației şi distribuția de sondaj există legături bine determinate.
Aceste legături sunt puse în lumină prin intermediul teoremei „limită
centrală” , care facilitează cunoașterea distribuției populației prin intermediul
datelor prelevate în eșantion, atunci când volumul eşantionului creşte
nelimitat (tinde spre infinit).
Inferența statistică se realizează în general după următorul algoritm:
- din populaț ia originală se prelevează un eşantion cât mai reprezentativ
scopului propus;
- pe baza datelor din acest eșantion se calculează acea valoare tipică a
populației pentru care s -a demarat studiul (calculul propriu-zis al valorii tipice
despre care vorbim se face cu ajutorul unei anumite formule numită statistică
de sondaj );
- utilizând repartiția de sondaj a statisticii, care din considerente de ordin
teoretic se consideră cunoscută, ca de altfel și repartiția valorii tipice pe care
dorim să o estimăm, se pot face evaluări ale erorilor de estimație.
De exemplu, dacă 1 ,..,n n E x x este un eșantion de volum n prelevat
dintr-o populație normală de parametrii m și 2
, atunci media de sondaj
1 n x x x
n
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 20/71
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 21/71
15
Exemplul 1: Intervale de încredere pentru medie
Considerăm o populație statistică de caracteristică x repartizată normal, de
parametrii şi 2 . Presupunem că dintr -un eşantion de volum n s-au
obținut, media de sondaj x şi dispersia de sondaj2
s . Pentru un prag de
semnificație egal cu , intervalul de încredere pentru media populației este
1 / 2 1 / 2 x z x zn n
,
dacă dispersia, 2 este cunoscută, unde 1 / 2 z , este quantila (valoarea
critică) de ordinul 12 a repartiției normale standard 0,1 N , și
1 / 2 1 / 2s s
x t x t n n
,
dacă dispersia, 2 , nu este cunoscută, unde 1 / 2t , este quantila
(valoarea critică) de ordinul 12 a repartiției Student cu 1n grade de
libertate.
Exemplul 2: Intervale de încredere pentru dispersie
Considerăm o populație normală, sau aproximativ normală, de parametrii
şi 2 necunoscuți. Se demonstrează că, pentru un prag de încredere
satatistică de 1 , intervalul de încredere bilateral pentru dispersia
populației studiate este dat de inegalitățile
2 2
22 2
1 1
1 / 2, / 2,
n s n s
,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 22/71
16
unde n este volumul eşantionului utilizat,2
s este dispersia de sondaj, iar
2
/ 2, şi 2
1 / 2, sunt quantilele (valorile critice) de ordin 2 ,
respectiv 12 , ale repartiției 2 cu 1n grade de libertate.
Ipoteze statistice
Presupunem ca legea care guvernează o anumită populație statistică depinde
de un parametru pe care dorim să îl estimăm. În mod curent, estimarea
parametrului se face prin prelucrarea datelor conținute într -un eșantion desondaj prelevat din cadrul populației de origine. Valoarea găsită în acest mod
reprezintă un estimator al parametrului căutat. Deoarece această valoare
depinde de eșantionul extras, ea poate diferi de la un sondaj la altul. Se ridică,
deci, întrebarea în ce măsură para metrul estimat de către noi pe baza
rezultatelor obț inute de la un sondaj oarecare asigură „credibilitatea”
aprecierii făcute asupra valorii parametrului. Pentru a răspunde la această
întrebare va fi nevoie să testăm într -un anumit fel rezultatul găsit, car e încontextul prezentat are valoare de „ipoteză statistică” .
I poteza statistică este o presupunere care se face cu privire la parametrul
unei repartiții sau la legea de repartiție pe care o urmează anumite populații
statistice sau variabile aleatoare. O ipoteză statistică nu este neapărat
adevărată. Ea poate fi corectă sau greşită. Din acest motiv, procedeul de
verificare al ipotezelor satistice presupune ca pe lângă ipoteza ce urmează a fi
testată să fie formulată și o ipoteză alternativă. Ipoteza statistică ce urmeazăa fi testată poartă numele de ipoteză nulă şi se notează în mod uzual prin H0.
Respingerea ipotezei care este testată (a ipotezei nule) implică acceptarea
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 23/71
17
unei alte ipoteze. Această altă ipoteză (contrară, într -un anume grad, ipotezei
respinse) este numită ipoteză alternativă. Ipoteza alternativă se notează de
obicei prin H a, sau prin H 1. Cele două ipoteze trebuie să reprezinte, pentru
valorea parametrului populației, sau legii de repartiție care se analizează,
variante mutual exclusive (adică imposibil de realizat împreună) şi exhaustive
(adică capabile sa acopere toate posibilitățile).
Verificarea ipotezelor statistice
Procedeul de verificare a unei ipoteze statistice se numeşte test sau criteriu
de semnificație . Testele de verificare a ipotezelor satatistice au în
componența lor patru elemente comune și anume : ipoteza nulă, ipoteza
alternativă, testul statistic propriu -zis și regiunea critică sau de respingere a
testului. De asemenea și procedurile de aplicare ale testelor statistice au
câteva etape comune :
1) Stabilirea ipotezei nule, H 0. Ipoteza nulă trebuie să specifice
întotdeauna o singură valoare a parametrului ce se vrea estimat. Ipoteza nulă
reprezintă acea variantă de lucru care este acceptată până în moment ul în
care se dovedeşte a fi fost falsă.
2) Stabilirea ipotezei alternative, (de cercetat) H a. Aceasta trebuie să fie o
teorie care să contrazică ipoteza nulă. Ipoteza alternativă este acceptată
numai atunci când s- au adunat suficiente dovezi că este adevărată. În cadrul
testului de verificare ipoteza alternativă joacă un rol foarte important
deoarece ea prin intermediul ei putem afla răspuns la una dintre întrebările :
- dacă parametrul este diferit de valoarea specificată în ipoteza nulă;
- dacă parametrul este mai mare decât valoarea specificată în ipoteza
nulă;
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 24/71
18
- dacă parametrul este mai mic decât valoarea specificată în ipoteza nulă.
3) Calculul estimativ al valorii parametrului care trebuie determinat.
Acestă etapă presupune alcătuirea în prealabil a unui eșantion de sondaj.
4) Alegerea testului de verificare a ipotezei nule și a unui prag α de
semnificație.
Valorile parametrului α se stabilesc la începutul testului și rămân
neschimbate până la terminarea acestuia. Ele trebuie să aibă o semnificație
probabilistă mică. Din acest motiv valorile cele mai utilizate pentru α sunt
0,05 sau 0,01 . Pragul de semnificație α folosește la stabilirea regiunii critice a
testului. Regiunea critică se stabilește astfel încât probabilitatea ca rezultatul
testului să aparțină acestei regiuni, atunci când ipoteza nulă este adevărată,
să fie egală cu α.
Modul de utilizare al testului : Calculul estimatorului ca și procedeul de
verificare a ipotezei nule se face pe baza unui eşantion de sondaj extras din
populația originală (populația supusă studiului). Presupunem că eșantionul
extras are volumul n și că populația studiată are caracteristica x. Dacă punctul
definit de vectorul de sondaj ( x1, x2,…, xn) cade în regiunea critică Rc, ipoteza
H 0 se respinge, iar dacă acest punct cade în afara regiunii critice Rc, ipoteza
H 0 se acceptă.
Datorită valorii foarte mici a pragului de semnificație, numai într-un
număr redus de cazuri punctul (vectorul) de sondaj ( x1, x2,…, xn) va cădea în Rc,
majoritatea acestor puncte vor cădea în afara regiunii critice.
Erori statistice : Nu este însă exclus ca punctul de sondaj ( x1, x2,…, xn) să
cadă în regiunea critică chiar și atunci când ipoteza nulă este adevărată. De
asemenea nu este exclus ca punctul de sondaj ( x1, x2,…, xn) să cadă în afara
regiunii critice, iar ipoteza nulă să fie în realitate falsă. În primul caz suntem
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 25/71
19
dispuși, ca pe baza testului satatistic efectuat, să respingem o ipoteză
adevarată, iar în cel de al doilea caz să acceptăm o ipoteză falsă. Atunci când,
din cauza unui test satatistic, se respinge o ipoteză corectă se spune că s -a
săvârșit o eroare de genul întâi , iar atunci când se acceptă ca valabilă o
ipoteză falsă se spune că s -a săvârșit o eroare de genul al doilea .
Din motivele prezentate mai sus deducem că este mai corect să spunem
că pe baza datelor din eşantionul studiat nu putem respinge ipoteza nulă,
decât să spunem că ipoteza nulă este adevărată.
Probabilitatea comiterii unei erori de genul întâi este egală cu α şi se
numeşte nivel sau prag de semni ficație. În cadrul unui test statistic
probabilitatea de garantare a rezultatelor este 1 - α. Această probabilitate se
numește nivelul de încredere al testului.
Probabilitatea comiterii unei erori de genul al doilea se notează cu β . În
această situaț ie valoarea 1 - β poartă numele de putere a testului statistic.
Observații: 1) Cu cât probabilitățile comiterii erorilor de genul întâi
α = P (eroare de genul I) = P (se respingere H 0 deși H 0 este corectă)
,
şi de genul al doilea
β = P (eroare de genul II) = P (se acceptă H 0 deși H 0 este falsă) ,
sunt mai mici, cu atât testul este mai bun. Acest lucru se poate realiza în
principiu prin mărirea volumului n al eşantionului.
2) Datorită legăturilor de condiționare care pot apare între erorile de
genul I și cele de genul al II-lea, nu putem face întotdeauna ca nivelul acestor
erori să fie oricât de mici dorim decât separat, pentru fiecare dintre ele. Dinacest motiv nivelurile acestor erori trebuiesc stabilite în func ție de natura
consecințelor pe care producerea uneia sau a alteia dintre ele le pot pro voca,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 26/71
20
iar acest lucru nu se poate stabili decât de la caz la caz. Într- adevăr, dacă
distribuțiile testelor prin care se verifică valabilitatea ipotezelor H 0 și H a se
întersectează între ele , atunci se poate observa cu ușurință că micșorarea
valorii lui , adică a regiunii de sub graficul distribuției corespunzătoare
ipotezei H 0 situate la dreapta punctului critic x c , conduce la mărirea valorii
lui , adică a regiunii de sub graficul distribuției corespunzătoare ipotezei Ha
situate la stânga punctului critic x c .
3) Dacă ipoteza nulă are forma H 0: h = h0, atunci ipoteza alternativă
poate avea una din următoarele trei forme : H a: h ≠ h0 (h < h0 sau h > h0), sau
H a: h > h0, sau H a: h < h0. În primul caz vom spune că avem de a face cu un
test bilateral, în cel de al doilea caz cu un test unilateral dreapta, iar în cel de
al treilea caz cu un test unilateral stânga. De reținut că regiunea critică pentru
testul bilateral diferă de cea pentru testele uni laterale. Atunci când dorim să
detectăm o diferență față de ipoteza nulă, în ambele direcții, trebuie să
stabilim o regiune critică Rc în ambele “cozi” ale distribuției de eşantionare
pentru testul statistic. În contrast, atunci când efectuăm un test uni lateral,
vom stabili, după caz, o regiune critică într-o singură parte a distribuției de
eşantionare.
Categorii de teste
Testele pot fi clasificate după natura caracteristicilor care intervin în
problemele studiate, sau după scopul pentru care sunt folosite. După natura
caracteristicilor care intervin în problemele studiate, ele pot fi clasificate în
teste p entru variabile continue şi teste pentru variabile discrete (nominale
sau ordinale), iar după scopul urmărit în teste de concordanța și în teste de
comparare.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 27/71
21
Testele pentru variabile continue sunt, de regulă, teste parametrice, în
timp ce testele pentru variabile discrete sunt neparametrice. În ceea ce
privește testele din cea de a doua categorie, caracterizarea lor presupune o
prealabilă descriere de care ne vom ocupa succint în cele ce urmează.
Teste de concordanță
Testele de concordanță au menirea să stabilească gradul de legătură dintre
valorile calculate ale estimatorilor statistici pe baza datelor din eşantioanele
de sondaj şi valorile teoretice ale parametrilor populației statistice pe care îi
estimează (valori cunoscute sau presupuse). Problema poate fi formulată și
în felul următor : „cât de mult poate să se abată valoarea unui estimator
(calculată pe baza datelor cuprinse într -un eşantion de sondaj) de la valoarea
presupusă a parametrului estimat pentru a putea considera că între cele
două valori are loc o nepotrivire?”.
Teste de comparare
Date fiind două eşantioane1n E și
2n E extrase din două populații diferite : 1P
şi respectiv 2P , prin utilizarea testelor de verificare se doreşte de fapt
compararea celor două populații. Cum testele de verificare a ipotezelor
statistice se bazează pe folosirea datelor de sondaj care provin din eșantioane
alcătuite la întâmplare, dificultatea realizării acestei cerințe constă în aceea că
diferențele dintre cele două eşantioane, ca şi similaritatea lor, se pot datora:
- diferențelor dintre populații,
şi /sau
- diferențelor de sondaj dintre eşantioane.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 28/71
22
C a p i t o l u l 2
TESTE DE VERIFICARE A IPOTEZELOR STATISTICE
Procesul de luare a deciziilor presupune analiza, judecarea şi interpretarea
evidențelor oferite de datele pe care le avem la dispoziție. Managerii trebuie
să fie pregătiți să ia decizii privind acțiunile viitoare pe baza informațiilor
disponibile. În acest sens ei emit ipoteze pe care le pot testa ştiințific. Astfel,
metoda testării ipotezelor statistice poate fi folosită ca instrument matematicde luare a deciziilor. Într-adevăr, testele statistice ne permit să stabilim cu o
eroare prestabilită dacă o anumită presupunere sau ipoteză pe care o
formulăm în cadrul unui proces decizional este sau nu semnificativă din punct
de vedere probabilistic.
Testarea ipotezelor privind media unei populații statistice
a) Cazul eșantioanelor de volum mare
Utilizarea eşantioanelor de volum mare ( n > 30 ) face posibilă aplicarea
teoremei limită centrală.
Testul bilateral. În cazul acestui tip de test ipotezele au forma:
H 0: μ = μ0 ( μ - μ0 = 0) ,
H a: μ ≠ μ0 ( μ - μ0 ≠ 0) (adică μ < μ0 sau μ > μ0).
Testarea ipotezei nule se va face pe baza mediei x a eşantionului prelevat şi
a niveluluide semnificație α prestabilit.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 29/71
23
Utilizând teorema limită centrală, știm că dacă volumul eşantionului este
mare, media eşantionului x este distribuită aproape normal. De aceea
(putem presupune că), variabila aleatoare
0 0
x
x x z
n
,
urmează o distribuție normală standard.
Dacă pragul de semnificație α este stabilit, putem determina valoarea zα/2,
pentru care P(z > z α/ 2 ) = α /2 . Aceasta înseamnă că regiunea critică Rc estedată de:
Rc : z < - z α/2 , sau z > z α/2.
Regula de decizie are următorul conținut: Acceptam ipoteza H0, dacă
0 / 2
x
x z
n
/ 2 z ,
și o respingem dacă
2 / 0
z
n
x
x
, sau 2 / 0
z
n
x
x
.
Testul unilateral . Pentru testul unilateral dreapta, ipotezele au forma
H 0: μ = μ0 ( μ - μ0=0) ,
H 1: μ > μ0 ( μ - μ0>0) .
Testul statistic calculat are expresia
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 30/71
24
0 0
x
x x z
n
,
corespunzător căreia regiunea critică este definită prin inegalitatea Rc: z > z α.
Regula de decizie constă în acceptarea ipotezei H 0 dacă
0 x z
n
și în respingerea ei dacă
z
n
x 0 .
Pentru testul unilateral stânga , ipotezele sunt:
H 0: μ = μ0 ( μ - μ0 = 0) ,
H a: μ < μ0 ( μ - μ0 < 0) .
Testul statistic calculat are expresia
0 0
x
x x z
n
,
iar regiunea critică este dată de inegalitatea Rc : z < – zα.
Regula de decizie a testului constă în acceptarea ipotezei H0 dacă
0 x z
n
,
și în respingerea ei dacă
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 31/71
25
z
n
x 0 .
Observație importantă: Trebuie subliniat faptul că în nici una dintre situațiile
analizate mai devreme nu trebuie făcută vre -o presupunere specială asupra
legii care guvernează populația statistică studiată, deoarece teorema limită
centrală ne asigură că testul statistic
0
x
x z
,
va fi aproximativ normal distribuit, indiferent de natura distribuției din
colectivitate .
b) Cazul eșantioanelor de volum redus
În practica de zi cu zi, multe decizii trebuiescluate pe baza unor informații
limitate, adică pe baza datelor provenite din eşantioane mici (de volum n ≤
30). Inconvenientul cere apare cu această ocazie constă în faptul că
distribuția mediei x de eşantionare depinde (după cum se ştie, în astfel de
situații) de forma populației generale din care a fost extras eşantionul. În
cazul eşantioanelor de volum redus, distribuția mediei x de eşantionare va fi
normală (sau aproximativ normală), doar dacă colectivitatea generală este
distribuită normal (sau aproximativ normal).
Al doilea inconvenient apare atunci când nu se cunoaşte dispersia
teoretică 2 a colectivității studiate , deoarece, în cazul eşantioanelor mici,
este posi bil ca dispersia eşantionului 2
x să nu ofere o bună aproximare a
parametrului 2 . Ca atare, în locul statisticii z (folosită mai devreme) care
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 32/71
26
necesită cunoaşterea efectivă (sau măcar a unei bune aproxim ări) a lui ,
vom folosi statistica
0
x
xt
s n
,
unde
2
2
1
i
x
x xs
n.
Folosind statistica prezentată vom descrie acum etapele procesului de
testare a ipotezelor statistice cu privire la media teoretică μ a colectivității
generale pentru cazul eșantioanelor de volum redus.
În cazul testului bilateral, ipotezele de lucru au forma
H 0 : μ = μ0,
H a : μ ≠ μ0 ( μ < μ0 sau μ > μ0),
testul statistic are expresia
0
x
xt
s n
,
iar regiunea critică este descrisă de relațiile
Rc : t > t α/2,n -1 sau t < - t α/2,n -1.
În cazul testului unilateral dreapta ipotezele de lucru au forma
H 0: μ = μ0,
H a: μ > μ0,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 33/71
27
testul statistic are expresia
0
x
xt s n
,
iar regiunea critică este descrisă de inegalitatea
Rc : t > t (α, n-1).
În cazul testului unilateral stânga ipotezele de lucru au forma
H 0: μ = μ0,
H a: μ < μ0,
testul statistic are expresia
0
x
xt
s n
,
iar regiunea critică este descrisă de inegalitatea
Rc
: t < - t (α, n-1).
Observație: Trebuie reținut faptul că teoria expusă în acest paragraf este
corectă numai atunci când populația studiată este normal, sau aproximativ
normal, distribuită.
Testarea ipotezelor privind mediile a două populații statistice diferite
a) Cazul eșantioanelor de volum mare
Multe probleme de analiză statistică cer compararea mediilor a două
colectivități diferite. Dacă notăm cu μ1 media teoretică a primei populații, iar
cu μ2 media teoretică a celei de a doua populații, atunci un estimator al
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 34/71
28
diferenței μ 1 - μ2, dintre acestea, ar putea fi diferența 21 x x dintre mediile a
două eșantioane: câte unul din fiecare populație.
Pentru eşantioane de volum mare (n1 > 30 şi n2 > 30 ) distribuția
diferenței de eşantionare 21 x x este aproximativ normală. Din acest motiv:
1) media distribuției de eşantionare a lui 21 x x este μ1 – μ2;
2) dacă cele două eşantioane sunt independente, atunci abaterea medie
pătratică a distribuției de eşantionare va avea forma
1
1 2
2 22
1 2
x x
x x n n
,
unde1
2
x şi2
2
x sunt dispersiile celor două populații eşantionate, iar n1 şi n2
sunt volumele eşantioanelor respective.
În virtutea acestor proprietăți, pentru verificarea ipotezelor privind diferența
dintre mediile a două populații putem să adaptăm aparatul matematic folosit
pentru verificarea ipotezelor privind media unei singure populații satatistice.
Astfel, dacă notăm cu D diferența ipotetică dintre mediile t eoretice ale
celor două populații statistice studiate, atunci pentru testul bilateral ipotezele de
lucru au forma
H 0: μ1- μ2 = D ,
H a: μ1- μ2 ≠ D , ( μ1- μ2 > D , sau μ1- μ2 < D ),
testul statistic are expresia
21
1 2
x x
D x x z
,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 35/71
29
iar regiunea critică este descrisă de relațiile
Rc : z < - z α /2, sau z > z α /2 ;
pentru testul unilateral dreapta ipotezele de lucru au forma
H 0: μ1- μ2 = D ,
H a: μ1- μ2 > D ,
testul statistic are expresia
21
1 2
x x
D x x z
,
iar regiunea critică este descrisă de relațiile
Rc : z > z α ;
pentru testul unilateral stânga ipotezele de lucru au forma
H 0: μ1- μ2 = D ,
H 1: μ1- μ2 < D ,
testul statistic are expresia
1
21
2
x x
x x D z
,
iar regiunea critică este descrisă de relațiile
Rc : z < - z α.
Observație: Dacă volumele ambelor eșantioane folosite în cadrul testuluisunt mai mari decât 30 , atunci înlocuirea parametrilor
1 x și2 x
cu1 x
s ,
respectiv2 xs , adică folosirea statisticii
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 36/71
30
11 2
2
2 2
1 2
x x
x x D z
s s
n n
,
nu va afecta în mod apreciabil nivelul de semnificație al testului original.
Acest lucru este deosebit de important atunci când nu se cunosc dispersiile
teoretice1
2 x şi
2
2 x ale populațiilor studiate.
b) Cazul eșantioanelor de volum redus
Atunci când, pentru testarea ipotezelor privind diferența dintre mediile a
două populații statistice diferite, dorim să folosim eşantioane de volum
redus, va t rebui să construim, ca şi în penultimul paragraf, o statistică
Student, t . Pentru aceasta va trebui însă să presupunem că:
1) ambele colectivități din care s-au extras eşantioanele sunt normal,
sau aproximativ normal, distribuite;
2) dispersiile în cele două colectivități studiate sunt egale;
3) eşantioanele de sondaj sunt selectate independent unul de celălalt.
În cazul în care presupunem că cele două colectivități studiate au
dispersiile teoretice egale ( 21
22
2 ), un estimator al dispersiei
(variabilității) totale a celor două populații combinate poate fi
1 22 2
1 22 1 1
1 2 2
n n
i ii i
c
x x x xs
n n
.
În legătură cu acest indicator, observăm ușor că
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 37/71
31
1 2
2 21 22
1 2
1 1
1 1 x x
c
n s n ss
n n
.
Cu alte cuvinte, dispersia combinată 2cs este media aritmetică ponderată a
dispersiilor celor două eşantioane,1
2 xs şi
2
2 xs . În aceste condiții, statistica
Student, t , cu 1 2 2n n grade de libertate, pe care urmează să o folosim va
avea expresia
1 2
2
1 2
1 1c
x x Dt
sn n
.
Corespunzător acestei statistici, pentru testul bilateral
H 0: μ1- μ2 = D ,
H 1: μ1- μ2 ≠ D ,
regiunea critică Rc este caracterizată de inegalităț ile
1 2 / 2, 2t t n n , sau 1 2 / 2, 2t t n n ;
pentru testul unilateral dreapta
H 0: μ1- μ2 = D ,
H 1: μ1- μ2 > D ,
regiunea critică Rc este caracterizată de inegalitatea
1 2, 2t t n n ;
iar pentru testul unilateral stânga
H 0: μ1- μ2 = D ,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 38/71
32
H 1: μ1- μ2 < D ,
regiunea critică Rc este caracterizată de inegalitatea
1 2, 2t t n n .
Observa ții : 1) Dacă dispersiile celor două populații nu sunt egale (σ2x1 ≠ σ2
x2),
atunci testul statistic folosit va avea forma
1 2
2 21 2
1 2
,( x x ) D
t s sn n
despre care se știe că urmează repartiț ia Student cu 2 21 2
1 2
1
1 1u u
n n
grade de
libertate, unde2 21 1 2 2
1 22 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2
,s /n s /n
u us /n s /n s /n s /n
.
2) În cazul în care, după testarea ipotezei privind normalitatea distribuției
în colectivitatea generală, cu ajutorul testelor prezentate anterior, această
ipoteză nu este acceptată, se poate apela la teste sta tistice neparametrice, în
cadrul cărora nu trebuiesc făcute presupuneri speciale asupra formei
distribuției.
Testarea ipotezelor asupra dispersiei unei populații
Dacă populația eşantionată este normal distribuită, atunci se știe că suma
pătratelor diferențelor2
1 ( )
n
ii x x , (care este, de fapt, egală cu
2
sn sau cu2)1( sn pentru eşantioane mici) împărțită la dispersia teoretică a
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 39/71
33
colectivității, are o distribuție 2 cu ( 1)n grade de libertate. Prin urmare
pentru a verifica o ipoteză de forma 20
20 : H , se poate folosi statistica
22
20
( 1)n s
.
Procedeul de utilizare este următorul:
- pentru testul bilateral 2 2
0 0: H ,
2 20:a H ,
regiunea critică Rc este caracterizată de inegalităț ile
2 2 1 / 2, 1n sau 2 2 / 2, 1n ;
- pentru testul unilateral dreapta
2 20 0: H ,
2 20:a H ,
regiunea critică Rc este caracterizată de inegalitatea
2 2 , 1n ;
- pentru testul unilateral stânga 2 2
0 0: H ,
2 20:a H ,
regiunea critică Rc este caracterizată de inegalitatea
2 2 1 , 1n .
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 40/71
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 41/71
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 42/71
36
Testarea ipotezelor privind mediile ma i multor populaț ii
Este bine cunoscut faptul că rezultatul oricărui studiu statistic este cu atât mai
consistent cu cât numărul de grupe supuse analizei este mai mare, deoarece
în aceste situații efectul variabilelor independente asupra celeor dependente
devine mai vizibil.Ca urmare, pentru a creşte relevanța statistică a raportului
relațional dintre variabilele independente şi cele dependente se recomandă
cresterea numarului de grupe experimentale. După cum se știe,
determinarea diferențelor dintre două grupe poate fi obținută cu ajutorul
testului t . Această metodă , însă, nu ne este de mare ajutor atunci când dorim
să determinăm diferențele dintre mai mult de două grupe. Într -adevăr, într -o
astfel de situaț ie, testul t va trebui aplicat pentru fiecare dintre perechile
(diferite) de grupe care se pot constitui cu ajutorul grupelor considerate.
Acest lucru presupune deci aplicarea testului t de mai multe ori. De exemplu,
în cazul în care populația supusă analizei este împărțită în 3n grupe,
numărul perechilor care ar trebui supuse testului t ar fi egal cu 13
2
n n.
În plus de acest aspect, testul t este dezavantajos şi din punctul de vedere al
preciziei scăzute de evaluare pe care o oferă. De exemplu atunci c ând dorim
să determinăm diferenț ele dintre n grupe, nivelul erorii pe care o introduce
procedeul repetării testului t este dat de formula de formula
1 1n
,
unde este nivelul de încredere stabilit pentru fiecare test t efectuat. În
virtutea acestei formule este acum ușor de constatat că eroarea crește
odată cu numărul n .
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 43/71
37
Din scurta prezentare făcută reiese necesitatea găsirii unor metode mai
perfecționate de analiză a cazurilor în care numărul n de grupe ce trebuiesc
comparate este mai mare ca doi . Pentru a rezolva această problemă, R. A.
Fisher a dezvoltat o tehnică numită analiză dispersională sau ANOVA
(denumirea metodei a fos t sugerată de cuvintele englezești „ analysis of
variance”). Înainte de a trece la prezentarea ideilor l ui R. A. Fisher este bine să
reținem faptul că exista mai multe tipuri de ANOVA.
ANOVA simplă
Metoda denumită „ANOVA simplă” se utilizează în situatia în care avem o
singură variabilă independentă cu mai mult de două trepte (și implicit grupe
de subiecți) și o singuraă variabilă dependentă. Această tehnică este
echivalentul testului t independent. Se mai poate spune că testul t
independent este un tip special de ANOVA simplă în care sunt implicate doar
două grupe.
ANOVA simplă permite verificarea ipotezei potrivit căreia mediile a două
sau mai multe serii de date care reprezintă treptele (dependente ale)
aceleiași variabile independente sunt egale între ele. Această afirmaț ie
reprezintă ipoteza nulă a testului. În cadrul metodei ANOVA, ipoteza
alternativă este reprezentată de negarea ipo tezei nule. Gradul de
semnificație statistică al testul ui ANOVA (valoarea parametrului ) poate fi
fixat la pragul de 0,05 , sau de 0,01 . Această alegere se face la începutl testului
și se menține pe toată întinderea lui.
Procedeul matematic implicat în ANOVA simplă constă în analiza
dispersiei variabilei dependente. În aceasta analiză dispersia totală are două
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 44/71
38
componente: dispersia din interiorul fiecărui grup format ș i dispersia între
mediile grupelor și marea medie (media totală fară a ț ine seama de grupele
formate). De exemplu, pentru subiectul 1 X din grupa 1, abaterea față de
marea medie M este dată de două componente: abaterea lui 1 X față de
media 1 M a grupului din care face parte, (adică 1 1 X M ), respectiv abaterea
mediei grupului 1 față de marea medie (adică 1 M M ). Prima componentă,
care se datorează fluctuațiilor eșantionului ales pentru studiu, poartă numele
de dispersie intragrup , iar cea de a doua, care apare mai ales ca urmare a
influentei variabilei independente, se numeș te dispersie intergrup .
Observaț ii. În ANOVA simplă totalul dispersiei provine din două surse: una
intragrupală și alta intergrupală. Prima sursă reflectă abaterile datorate
selecției aleatoare a eșntionului, iar cea de a doua sursă reflectă abaterile
datorate treptelor diferite ale variabilei ind ependente. Dispersia datorată
eșantionării aleatoare se mai numește ș i dispersia erorii, în timp ce dispersia
datorată vari abilei independente se mai numește și dispersie adevarată.
În continuare vom prezenta mecanismul matematic de calculare al
indicatorului F (simbolul rezultatului obținut prin testul ANOVA). Pentru
aceasta presupunem că în legătură cu caracteristica x a unei anumite
populaț ii statistice sunt puse în evidență k grupe de interes ale căror
caracteristici vor fi desemnate respectiv prin 1 2, ,.., k x x x . Din prima grupă
selecționăm un eș antion de volum 1n : 1 11 11 12 1, ,..,n n E x x x , din cea de a
doua grupă un eș antion de volum 2n : 2 22 21 22 2, ,..,n n E x x x ,…, iar din
ultima grupă un eș antion de volum k n : 1 2, ,..,k k k n k k kn E x x x . Sistematizăm
rezultatele astfel obț inute în tabelul de mai jos:
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 45/71
39
Coloane 1c 2c k c
Replici
11 x 12 x 1k x
11n x 2 2n x
k n k x
Total pecoloane
1
11
n
r r
x 2
21
n
r r
x 1
k n
rk r
x
Media 1 x 2 x k x
Tabelul 1
Pentru calcuarea raportului F corespunzător metodei ANOVA simplă
folosim procedeul denumit algoritmul „ABC”. Potrivit acestuia, la pasul întâi,
se calculează valorea
1 22 2 2 2
1 21 1 1
k nn n
r r rk r r r
A x x x x
,
care reprezintă suma pătratelor rezultatelor cuprinse în cadrul eș antioanelor
prelevate din fiecare grupă în parte. La pasul doi, se calculează valoarea
1 2
2
2 1 21 1 1
1 2
k nn n
r r rk r r r
k
x x x x
B N n n n
,
care reprezintă raportul dintre pătratul sumei rezultatelor obținute în toate
eșantioanele, indiferent de grupa din c are acestea au fost prelevate, ș i
numarul total de unităț i statistice prelevate ( 1 2 k N n n n ). În fie, la
pasul trei, se calculează valoarea
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 46/71
40
1 222 2
1 211 1
1 2
,
k nn n
rk r r r r r
k
x x x
C n n n
reprezentând suma a k rapoarte, c âte unul pentru fiecare grupă, obținute
prin împărțirea pătratulu i sumei caracteristicilor unităț ilor prelevate dintr-o
anumită grupă la numărul total de unități prelevate din această grupă.
Datele astfel obținute se trec într -un tabel ca cel de mai jos, denumit
tabel ANOVA:
Sursa df SS MS F Factorul(intergroup) k - 1 C - B (C - B) / (k - 1) MS(factor) / MS(eroare )
Eroarea(intragrup) N - k A - C (A - C) / (N - k)
Total N - 1 A - B
Tabelul 2
Semnificația rubricilor acestui tabel este urmatoarea:
df – reprezintă numarul gradelor de libertate (în engleză “the degrees of
freedom”);
SS - reprezintă suma pătratelor (în engleză “the sum of squares”);
MS - reprezintă expresia ANOVA a dispersiei, sau, media patratică (în
engleză “the mean square”) ;
MSF
MS
factor
eroare- reprezintă raportul ANOVA.
Semnificația elementelor consemnate în tabelul 2 este urmatoarea :k - reprezintă numarul grupelor în care a fost departajat factorul studiat;
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 47/71
41
N - reprezintă numarul total de unităț i statistice (subiecți) implicate
(implicați) în experiment;
1k df factor ;
1 21 1 .. 1k N k n n n df eroare ;
1 N df total ;
2 2
1 1 1
1
c cn nk
rc rck r c r
c c
x x
C B SSn N
factor ;
unde 1 , 1,2, ..,
cn
rcr
c
c
x x c k
n ;
2
21 12 2
1 1 1 1
c
c c
nk
rcn nk k c r
rc rcc r c r
x
A B x x x SS N
total ,
unde1 1
cnk
rcc r
x
x N
;
1
SSC B MS
k df factor
factorfactor
;
SS A C MS
N k df eroare
eroareeroare
.
Observaț ii : 1) Între mărimile
SS factor ,
SS eroare ,
SS total și
df factor , df eroare , df total există relaț iile
SS SS SS total factor eroare ,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 48/71
42
respectiv
df df df total factor eroare .
2) Dintre elementele tabelului 2, de interes major este valoarea raportului
F . Analizând cu atenție tabelul 1 și 2 observăm că indicatorul F este obținut
prin împărțirea raportului di ntre media pătratică intergrup și numărul
gradelor de libertate introdus prin considerarea acestor grupe la raportul
dintre media pătratică intragrup și numărul gradelor de libertate introdus
prin constituirea întregului eș antion.
În final, valoarea obținută a raportului F , care reprezintă de fapt val oarea
empirică a testului efectuat, va fi comparată cu valoarea teoretică a statisticii
F corespun zătoare unui nivel de semnificaț ie (care trebuie) ales la începutul
testului și gradelor de libertate ale problemei studiate. În acest scop va fi
folosit tabelul valorilor teoretice ale repartiț iei F .
Observaț ie. Tabelul valorilor teoretice ale repartiț iei F se utilizează puțin
diferit de tabelul valorilor teoretice ale repartiț iei t . Valoarea teoretică a
repartiț iei F se stabilește în funcție de nivelul de semnificaț ie statistică al
testului efectuat și de numărul gradelor de libertate al problemei studiate.
Pentru realizarea acestui obiectiv mai întâi alegem tabelul cores punzător
nivelului de semnificație dorit (acesta poate fi 0,05 , sau 0,01 ). Apoi, la
intersectia dintre coloana k – 1 (unde k – 1, reprezintă numărul gradelor de
libertate pentru intergrup) cu linia N – k (unde N – k , reprezintă numărul
gradelor de libertate pentru intragrup) c itim valoarea căutată a repartiț iei F .
În funcție de tabelul folosit (cel corespunzător pragului de semnificaț ie 0,05 ,
sau cel coresponzător grdului de semnificație 0,01 ) valoarea obținută se
notează fie prin F (k - 1 , N - k , 0,05) , fie prin F (k-1, N - k , 0,01) .
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 49/71
43
În final, valoarea empirică a statisticii F (cea calculată de către noi în
cadrul testului) se compară cu valoarea teoretică a repartiț iei F (adică cu F (k
- 1, N - k , 0,05) , sau cu F (k -1 , N - k , 0,01) , funcție de gradul de semnificaț ie
pentru care am optat la începutul testului). Dacă valoarea empirică a
statisticii F este strict mai mică decât valoarea sa teoretică , atunci se acceptă
ipoteza nulă. Dacă valoarea empirică a statisticii F este strict mai mare decât
valoarea sa teoretică , atunci se acceptă ipoteza alternativă. În amb ele cazuri
nivelul de semnificație statistică este cel stabilit la începutul testului (prin
fixarea parametrului la una dintre valorile 0.05 sau la 0,01 ).
Obs ervaț ii : 1) Regula decizională a testului prezentată mai sus are
următoarele explicaț ii: Mai întâi, fiecare element c r x al tabelului 1 poate fi
privit ca suma dintre media teoretică a repartiț iei F , dintre efectul cF pe
care factorul testat îl are la fiecare nivel c al său asupra răspunsului variabilei
testate ș i dintre eroarea r c a experimentului care apare în cadrul replicii r
din coloana c , adică r c c r c x F . Apoi trebuie ținut seama de faptul
că factor MS măsoară variaț ia dintre nivelele factorului studiat (sau altfel
zis, dintre coloanele tabelului 1), MS eroare măsoară variaț ia din
interiorul nivelelor în care a fost împărț it factorul studiat (sau altfel zis, din
coloanele tabelului 1). Astfel dacă factor eroare MS MS vom trage
concluzia că mediile diferitelor nivele (trepte) ale factorului studiat nu sunt
toate egale între ele. Acesta înseamnă că factorul testat are un efect
seminificativ asupra răspunsului variabilei (deci ipoteza nulă trebuie
respinsă). În caz contrar, dacă MS factor nu este mai mare (în mod
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 50/71
44
semnificativ) decât eroare MS , nu vom avea nici o evidență statistică (nici
un motiv) ca să respingem ipoteza nulă.
2) Respingerea ipotezei nule (at unici când este cazul) ne arată doar că
cele k grupe, considerate în cadrul testului, nu sunt egale în ce priveste media
rezultatelor variabilelor dependente. Prin urmare, într-o astfel de situație, noi
nu vom ști cum diferă între ele cele k grupe: spre exemplu, dacă numai două
dintre grupele considerate diferă între ele, dacă există mai mult de două
grupe care diferă între ele, sau dacă toate grupele diferă semnificativ una de
cealaltă. Pentru a depaș i acest impas, prima solutie ar fi realizarea de teste
t între grupele i și j pentru orice i j . În această situatie reapare problema
enunțată la începutul acestui capitol cu privire la gradul de precizie obț inut
atunci când testul t se repetă de mai multe ori. Din acest mativ, pentru
rezolvarea acestui nou tip de probleme, es te necesar să se utilizeze soluț ii
noi. Acestea se împart în două categorii, una care poartă numele de
„comparație post hoc” deoarece se aplică după gasirea u nui raport F
semnificativ și alta care poartă numele „comparaț ie planificată”, deoarece
permite testarea difere nțelor dintre grupele de subiecț i, înainte de
efectuarea experimentului.
3) În aplicarea testului ANOVA simplă numarul de unităț i din grupe poate
să nu fie egal (czul prezentat de noi mai devreme) numai cu condiția
respectarii unei dispersii omogene în aceste grupe.
4) Respingerea ipotezei nule (atunici când acest fenomen are loc) arată că
între mediile grupelor există o diferență semnificativă, acest lucru exprimând în cazul dat o asociere între variabila independenta (factorul studiat) si
variabilele dependente (de grup). O masură a gradului de asociere dintre
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 51/71
45
variabila independenta şi cele dependente, în cazul ANOVA, este dată de
factorul de omogenitate al dispersiei, definit prin expresia
2
SS
SS df MS
MS
factor factor eroare
total eroare,
datorată lui Hays (1981), al cărui rol este acela de a indica proporția din
dispersia variabilelor dependente care poate fi pusă pe seama variaț iei
variabilei independente.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 52/71
46
C a p i t o l u l 3
METODE STATISTICE DE FUNDAMENTARE A DECIZIILOR
În aceast capitol vom oferi soluții la o categorie largă de probleme curente ale
managementului școlar cum ar fi analiza influenței schimbărilor de ordin
tehnologic sau structural asu pra evoluției procesului instructiv-educativ,
optimizarea proceselor decizionale, sau verificarea ipotezelor luate în calcul la
stabilirea strategiilor de dezvoltare a învățămului pe termen lung. Deexemplu, care sunt consecințele schimbării programei școlare la o anumită
disciplină, ce influență poate avea înlocuirea unui manual alternativ cu un
altul asupra calității procesului de învățământ, cum putem stabili dacă o
anumită investiție de ordin logistic este oportună sau nu, etc . În mod fericit,
din punctul de vedere al teoreticianului problemele de acest gen au o
strategie de rezolvare comună. Metoda de analiză empirică constând în
compararea rezultatelor obținute înaine și după producerea schimbăriloravute în vedere. În mod nefericit, însă, de foarte mu lte ori concluziile
desprinse din acest tip de investigare s-au dovedit a fi eronate. O modalitate
foarte eficientă de a ieși din această dificultate este oferită de utilizarea
aparatului statistic modern care dispune de un număr mare de metode
științifice de fundamentare a deciziilor de conducere precum și de
instrumentele necesare de analizare a erorilor care se pot produce în actul
decizional.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 53/71
47
Stabilirea tendinței de evoluț ie a procesului instructiv-educativ
Un profesor care a monitorizat activitatea elev ilor săi pe o perioadă foarte
î ndelungată de timp ajunge la concluzia că nivelul mediu al școlii la care
lucrează – la materia pe care o predă – este de 7. Acest rezultat fiind
obținut cu o împrăștiere a notelor individuale de 2 față de media
stabilită. În prezent el crede că elevii cu care lucrează sunt mai buni decât
precedenții. Pentru a verifica acest lucru, profesorul testează un număr de 36
de elevi aleși la întâmplare din clasele la care predă și constată că nivelul
mediu al acestora este de 7,50 . Întrebarea care se ridică cu această ocazie,
este dacă rezultatul obținut prezintă suficiente garanții de susținere a
impresiei formate de către profesor?
Pentru a rezolva această problemă avem nevoie de o evaluare a mediei
teoretice a distribuției care caracterizează nivelul la învățătură din ș coala
vizată în problemă. Ca să fixăm ideile, notăm cu media teoretică care ne
interesează, iar în legătură cu această medie , formulăm următoarele ipoteze:
H 0: 7 (actualele clase nu sunt superioare celor de dinainte),
H a: 7 (actualele clase sunt într-adevar superioare celor de dinainte).
Pentru a decide care dintre aceste două ipoteze are mai multe șanse de a
reflecta situația reală a școlii, stabilim un nivel al semnificației statistice de
5% . Având î n vedere faptul că volumul eșantionului cu care se lucrează,
36n , (numărul elevilor selecționați pentru evaluare ) este mai mare decât
30, se poate alege ca modalitate de verificare a ipotezei nule, testul
/
x z
n
,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 54/71
48
unde 7,5, x 2 și 36n . Pornind de la ideea că 7 , (ipoteza nulă a
testului pe care îl întreprindem) valoarea calculată a statisticii z este* 1,50. z
Folosind acum tabelul valorilor repartiției normale 0,1 N , aflam
valoarea critică 0,05 z a variabilei z corespunzătoare pragului de
semnificație de 5% fixat la început. Această valoare semnifică faptul că
0, 05 0, 05P z z .
În cazul nostru avem 0,05 1,65 z . Deoarece * 1,50 z 0,05 z
1,65 va trebui să acceptăm ipoteza H 0 cu un nivel de semnificație egal cu
5% . Astfel, datele problemei (de fapt acurateațea cu care se exprimă nivelul
la învațătură, adică valoarea 2 , pe care o are abaterea medie pătratică )
nu ne pe rmit să admitem faptul că actualele clase sunt superioare celorlalte.
Observații: Dacă în loc de 2 , considerăm 1,8 , (celelalte date ale
problemei rămânând nemodificate) atunci * 1,76 z și în consecință am avea
toate motivele (adică o garanție statistică de 95% ) să acceptăm faptul că
actualele clase sunt mai bune la învațătură decât celelalte.
Alegerea programei de studiu
La nivel central se pune problema înlocuirii programei școlare cu una nouă
despre care se crede că este mai bine adaptată cerințelor sociale și
tendințelor de dezvoltare dintr -o anumită perioadă de timp. În acest sens
ministerul lansează un studiu de impact. Rezultatele obținute sunt
cotabilizare în tabelul alaturat.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 55/71
49
Eșantionul N x s A 50 9,75 0,62
B 60 9,44 1,06Tabelul 3
Din eșantionul A fac parte școli care au învățat după programa aflată în
vigoare, iar din eșantionul B, școli care au învățat după programa care ar
urma să fie adoptată .
Pentru a decide care dintre cele două programe școlare sunt mai eficiente
vom nota prin A media teoretică a rezultatelor la învățătură obținute atunci
când se învață după programa actuală și cu B media teoretică a rezultatelorobținute la învățătură obținute dacă s -ar folosi programa nouă. În legătură cu
aceste medii facem următoarele ipoteze:
H 0: 0 A B ;
H a: 0 A B .
Pentru verificarea ipotezei nule alegem pragul de semnificație 0,02 .
Folosind statistica
2 2
A B A B
A B
A B
x x z
s sn n
,
și datele din tabelul 3, obținem * 1,91 z . Folosind apoi tabelul valorilor
repartiției normale standard, găsim 0,02 2,05 z . Deoarece punctul * z se
găsește în afara zonei critice * 0,02 z z acceptăm ipoteza nulă cu o
semnificație statistică de 0,02 . Aceasta inseamnă că în limita unei semnificații
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 56/71
50
statistice de 0,02 nu avem suficiente motive să conchidem că A B . Deci
nu se impune o schimbare a programei scolare.
Alegerea manualului potrivit
Pentru a alege dintre două manuale alternative de matematică, directorul
unei școli a decis ca o parte din calasele cărora li se adresau aceste manuale
să învețe după unul dintre acestea iar restul după celălalt. La sfârșitul ciclului
de învățământ a comparat performanțele la învățătură obținute de către 40
de elevi aleși la întâmplare din clasele la care se predase după primul manual
cu rezultatele obținute de către 40 de elevi aleși la întâmplare din clasele la
care predarea fusese f ăcută după cel de al doilea manual. Datele de porn ire
ale studiului sunt prezentate în tabelul 4.
Eșantionul N x s I 40 7,03 0,6II 40 7,21 0,6
Tabelul 4
Pentru a analiza datele din acest tabel, notăm cu I , respectiv, cu II mediile teoretice ale celor două categorii de populații: elevii care au învățat
după primul manual și elevii care au învățat după cel de al doilea manual. În
legătură cu aceste medii facem următoarele ipoteze:
H 0: I II ;
H a: I II .
Alegând un anumit nivel de semnificație, să zicem 0,05 , putem verifica
ipoteza nulă folosind statistica
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 57/71
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 58/71
52
natură a demonstra că școala în cauză a depășit pragul de împrăștiere s tabilit
(pragul de uniformitate al nivelului de pregătire)? Vom studia acestă
problemă pentru un nivel de semnificație statistică egal cu 0,05 . În acest sens
stabilim ipoteza nulă
H 0: 2 1 (în limitele marjei de control)
și ipoteza alternativă
H a:2 1 (în afara marjei de control).
Pentru verificarea ipotezei nule folosim testul
22
2
1n s
,
unde 2 228, 2,5, 1n s . Valoarea calculată a statisticii este 2* 67,5 .
Pentru a stabili regiunea critică ne folosim de tabelul distribuției 2 .
Astfel, corespunzător unui număr de 27 grade de libertate și unui prag de
semnificație egal cu 0,05 , limita inferioară a regiunii critice este 2 27, 0,05 40,1 . Cum 2* 2 27, 0,05 , va trebui să respingem
ipoteza nulă și să acceptăm ipoteza alternativă. În concluzie, școala controlată
nu se încadrează î n marja de gar antare a rezultatelor cerută de inspectorat.
Organizarea timpului liber (Analiza factorilor care pot influența luarea
deciziilor)
Înspectoratul Şcolar al unui anumit județ este preocupat de organizareatimpului liber al elevilor. În acest sens el vrea să știe dacă opțiunile de
petrecere a timpului liber depind de contingentele de vârstă ale elevilor.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 59/71
53
Pentru a se edifica în această privință, solicită elevilor din rețeaua școlară pe
care o coordonează să completeze un chestionar. Rezultatul centralizării a
600 astfel de chestionare este prezentat în tabelul alaturat
Ciclul destudiu
Nr. elevicare preferă activitățileculturale
Nr. elevicare preferă excursiile
Nr. elevicare preferă activitățilesportive
Total
Gimnazial 88 82 74 244Liceal 142 144 70 356Total 230 226 144 600
Tabelul 5 În legătură cu datele cuprinse în acest tabel se pot formula următoarele
ipoteze:
H 0: preferința elevilor pentru sport, excursii sau activități culturale este
independentă de categoria de vârstă în care aceştia se încadrează;
H a: alegerea modului de petrecere a timpului liber depinde de
contingentul de vârstă al respondentului.
Pentru a stabili dacă datele cuprinse în tabelul 5 oferă suficiente
argumente de respingere a ipotezei nule cu un nivel de semnificație de 0,05,
vom folosi testul
2
2 S T
T ,
unde S reprezintă frecvenț ele de sondaj (sau frecvențele observabil e empiric)
consemnate în tabel, T reprezintă frecvențele teoretice (sau frecvențele
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 60/71
54
planificate / așteptate) ale tabelului, suma rapoartelor 2S T
T extinzându-
se la toate celulele tabelului.
Observație: Testul la care ne referim are 1 1l c grade de libertate,
unde l reprezintă numărul de linii, iar c numarul de coloane ale tabelului
folosit.
Pentru a calcula statistica 2 trebuiesc determinate frecvențele teoretice
T corespunzătoare fiecărei celule a tabelului 5. În acest sens ne vom folosi de
ipoteza nulă potrivit căreia factorii care intervin în problemă sunt
independenți. Aceasta înseamnă că frecvențele teoretice corespunzătoare
celulelor tabelului 5 trebuie să fie proporționale cu totalele marginale ale
rândurilor și coloanelor pe care se află acele celule. Modul de calcul al acestor
frecvențe este prezentat în tabelul 6.
Ciclul destudiu
Nr. mediual elevilor
care prefer ă activitățileculturale
Nr. mediual elevilorcare prefer ă excursiile
Nr. mediual elevilor
care prefer ă activitățilesportive
Total
Gimnazial
230244
600244
23060093,54
226244
600244
22660091,90
144244
600244
14460058,56
244
Liceal
230356
600
356 230600136, 46
226356
600
356 226600134,10
144356
600
356 14460085,44
356
Total 230 226 144 600
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 61/71
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 62/71
56
Nr. deordine al
angajatului
Productiv. orarămedie obținutăcu ajut. soft. vechi(min/lucrare)
Productiv. orarămedie obținutăcu ajut. soft. nou(min/lucrare)
Diferență (în min.) dintre cele două
productivități 1 3 2 12 3 4 -13 4 3 14 2 3 -15 1 2 -1
Tabelul 7
După cum se poate observa, diferențele dintre cele două productivități sunt
mici și aproape se compenseaz ă între ele (suma lor este egală cu -1). În
această situație se pune în mod firesc întrebarea dacă noul software este într -
adevăr mai eficient?
Pentru a răspunde la această întrebare precizăm faptul că populația
statistică la care vom face referire este alcătuită din mulțimea tuturor
utilizatorilor posibili ai celor două aplicații software, iar caracteristica x a
acestei populații este diferența dintre productivitățile pe care un utilizator
generic le poate atinge a tunci când lucrează alternativ cu cele două aplicații
software. Notând cu media teoretică a caracteristicii x , vom considera ca
ipoteză nulă faptul că cele două aplicații software nu se deosebesc
semnificativ din punctul de vedere al randamentului de lucru pe care îl oferă,
adică vom presupune că 0 . Pentru verificarea acestei ipoteze vom apela
la testul
/
xt
s n
,
cu 1n grade de libertate, deoarece în cazul pe care îl studiem eș antionul
utilizat este de volum mic 5n . Folosind datele din tabel obținem
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 63/71
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 64/71
58
implicat, dar mai exigent. Pentru a ieși din această dilemă directorul în cauză
a analizat situația școlară a 15 elevi aleși la întâmplare dintre elevii clasei (sau
claselor) la care s-a produs incidentul. Rezultatele constatate au fost
centralizate în următorul tabel
Nr crt. Apreciereaprof. titular
Apreciereaprof. suplinitor
1 9,12 9,142 9,10 9,183 9,15 9,204 9,18 9,165 9,10 9,14
6 9,16 9,117 9,16 9,178 9,10 9,179 9,11 9,15
10 9,12 9,2111 9,18 9,1512 9,17 9,1813 9,14 9,2014 9,10 9,1615 9,16 9,19
Tabelul 8Indicatorii de sondaj care rezultă din tabel pentru cele două categorii de
note sunt:2 2
1 1 2 29,1367, 0,09523, 9,1705, 0,08515. x s x s
Folosind formula2 2
1 20
14 14 0,09523 0.085150,30031
28 2s s
s , găsim
abaterea medie pătratică de sondaj pentru ambele categorii (eșantioane) de
note.
A verifica dacă cele două sisteme de notare sunt semnificativ
asemaănătoare înseamnă a verifica ipoteza 0 : T S H , unde T , respectv,
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 65/71
59
S sunt mediile teoretice ale notelor acordate de către p rofesorul titular,
respectiv suplinitor. În acest scop vom apela la testul
0
1 2
1 1
T S T S x xt
sn n
,
cu 1 21 1n n grade de libertate. În cazul nostru 1 2 15n n , iar valoarea
calculată a statisticii este * 9,1367 9,1705 0,03380,30825
0,30031 0,10965t .
Pentru validarea ipotezei nule alegem ca prag de semnificație valoarea0,01 . Cu acestă ultimă precizare, valoarea critică a variabilei Student este
28, 0,01 2,763t . Întrucât * 0,30825 2,763 28, 0,01t t , admitem
ipoteza nulă, adică faptul că cele două medii teoretice T și S diferă
nesemnificativ (în raport cu pragul prestabilit de 0,01 ) și conchidem că cei doi
profesori au un mod apropriat de apreciere. Astfel în cazul studiat, procesul
de învățământ nu a avut de suferit prin schimbul de profesori care s -a produs.
Stabilirea programului orar optim de studiu
Într-o tabără de pregătire, coordonatorul unui lot olimpic este preocupat să
optimizeze randamentul procesului de învățare al elevilor săi. Pentru aceasta
el își propune ca pe parcursul primelor 3 zile de pregătire să monitorizeze
performanțele lotului în funcție de intervalul orar în care se desfășoară
programul de instruire: î n timpul dimineții, după prânz, sau dupăamiaza.
Rezultatele obținute, care reflectă nivelul atins de olimpici la sfârșitulprogramului de instruire în fiecare din cele trei zile, sunt prezentate în tabelul
9.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 66/71
60
Programulde studiu Dimineața După prânz După-amiază
Evaluareper elev
109
1089
99888
109998
Media 1 9,2 x 2 8,4 x 3 9 x
Tabelul 9
Analizand datele din tabel observăm o ușoară diferență între mediile
rezultatelor obținute pe parcursul celor trei zile de studiu. Deoarece
randamentul (performanțele atinse) unui elev se poate modifica de la o zi laalta chiar și atunci când intervalul orar de pregătire rămâne neschimbat, se
ridică întrebarea dacă variațiile notelor din tabel se datorează întâmplării ori
ele sunt influențate în mod real de perioadele de timp în care s -a desfășurat
programul de pregătire?
Pentru a modela statistic această problemă notăm cu 1 2 3, , x x x
caracteristicile populației alcătuite din cei 5 membrii ai lotului olimpic în
condițiile în care programul de pregătire se desfășoară în cursul dimineții,după prânz, sau după -amiaza. De asemenea, prin 1 2 3, , vom nota
mediile teoretice ale caracteristicilor 1 2 3, , x x x . Cu aceste pregătiri, în legătură
cu problema studiată , formulăm ipotezele
0 1 2 3: H ,
1 2 3: , ,a H nu toate mediile sunt egale între ele.
Ipoteza nulă exprimă faptul că intervalul orar de studiu nu afectează în
mod semnificativ randamentul elevilor în timp ce ipoteza alternativă afirmă
contrariul. Astfel în situația în care cel puțin două dintre mediile teoretice ale
rezultatelor la învățătură vor diferi în mod semnificativ ipoteza nulă va fi
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 67/71
61
înlocuită cu ipoteza alternativă. O decizie în acest sens poate fi luată prin
folosirea tehnicii ANOVA de analizare a varianței. Pentru aplicarea acestei
metode stabilim pragul de semnificație la 0,05 .
Cu aceste precizări făcute, trecem la calculul elementelor corespun-
zătoare tabelului ANOVA:
SS(total ) =
23 5
3 51 12
1 1 5
iji j
iji j
x
x
17689
1187 -15
7,733 ,
SS(factor )
2 2
3 5 3 5
1 1 1 1
5 15
ij iji j i j
x x
2 2 246 42 455
176891,733
15 ,
SS(eroare ) =
23 5
3 51 12
1 1 5
iji j
iji j
x
x
1187 1181 6 ,
df (factor) = 1c = 3-1 = 2 , df (total ) = n – 1 = 15 – 1 = 14 ,df (eroare ) = n – c = 15 – 3 = 12 ,
MS(factor) =
SS
df
factor
factor
1,7330,8665
2 ,
MS(eroare ) =
SS
df
eroare
eroare
60,5
12 .
Cu datele obținute , tabelul ANOVA,corespunzător problemei noastre ,
devine
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 68/71
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 69/71
63
fiecare an de studiu în parte. De asemenea, pentru a diminua influența
factorului aleator din analiză în favoarea întăririi rolului jucat de factorul
„interval orar” se poate alege de la început o clasă sau un grup de clase care
urmează să participe la programul de testare, iar acea clasă, sau acele clase,
să treacă periodic prin toate schimburile după care este organizată
funcționarea programului în școala respectivă și la final să fie analizate datele
obținute pentru fiecare astfel de clasă în parte.
În egală măsură tehnica ANOVA poate fi folosită pentru a testa eficiența
diferitelor tipuri de predare- învățare: clasic sau modern, bazat pe memorare
sau bazat pe înț elegere, pasiv sau activ, scolastic sau euristic, etc. De
asemenea tehnica ANOVA poate fi folosită de conducătorii unităților școlare
pentru a testa utilitatea folosirii tehnologiilor audio-video, sau a
laboratoarelor de specialitate în cadrul proceselor instructiv educative,
rezultatele unor astfel de analize putând fi folosite nu numai în scopul
optimizării ranamentului școlar ci și în acela de optimizare al modului de
chieltuire a resurselor bugetare destinate investițiilor în aparatură didactică.
Concluzii
Conținutul acestui capitol demonstrează pe deplin importanța utilizării
aparatului statistic în actul decizional. Numeroasele studii de caz prezentate
în cadrul acestui capitol având menirea să exemplifice posibilitățile de
utilizare ale acestui aparat la modul concret. Interesul acordat de noi în
acestă privință fiind acela de a acoperi o plajă c ât mai largă a problemelor cu
care se confruntă sistemul școlar în ansamblul său. Un interes deosebit în
aceast sens fiind aco rdat problemelor legate de ridicarea continuă a calității
procesului educațional și de mărire a gradului de competitivitate școlară.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 70/71
64
Subiectele dezbătute în acest capitol prezintă o importanță deosebită
pentru managerii instituțiilor de învățământ deoarece îi ajută să facă trecerea
de la actul decizional empirico-intuitiv la cel bazat pe rigoare științifică.
Pentru a susți ne această idee să ne amintim că statistica este știința care
permite evaluarea matematică a riscurilor, știința care a clasificat tipurile de
eroare c e pot perturba actul managerial și mai mult dec ât atât , știința care
permite anticiparea producerii acestor erori într-o marje de probabilitate ce
poate fi stabilită a prioric.
8/7/2019 Metode statistice de optimizare a managementului educational, de Mariana Sandru
http://slidepdf.com/reader/full/metode-statistice-de-optimizare-a-managementului-educational-de-mariana-sandru 71/71
BIBLIOGRAFIE
[1] P. Ardilly, “Les techniques desondage, Editions Technip, Paris, 1994.
[2] R. B. Ash, “Basic probabilityTheory”, Wiley New York, 1970.
[3] L. Bachelier, “Calcul des probabi-lités”, Gauthier Villars, Paris, 1912.
[4] H. M. Blalock, “Social Statistics”, Mc Graw Hill, 1972.
[5] Gh., Boldur-Lățescu, “Logica decizio-nală şi conducerea sistemelor” , EdituraAcademiei Române, Bucureşti, 1992.
[6+ G., Box, G. Jenkins, “Time SeriesAnalysis, Forecasting and Control,Holden-Day, San Francisco,1970.
[7+ G. Calot, “Cours de statistiquedescriptive, Dunod, Paris, 1965.
[8] W., Cochran, “Sampling Technique”,3rd edition, Wiley, New York, 1977.
*9+ M. Craiu, “Modele matematice înteoria riscului”, Editura Printeh, 2008.
[10] W., Fuller, Introduction toStatistical Time Series, Wiley, NewYork, 1976.
[11+ Ch., Gourieroux, “Theorie dessondages”, Economica, Paris, 1981.
[12] M. Iosifescu, Gh. Mihoc, “Teoriaprobabilităților şi statistică matemati -că”, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1966.
[14+ A. N. Kolmogorov, “Teoria pro-babilităților”, vol. II, Ed. Ştiințifică,Bucureşti, 1960.
[15+ Gh. Mihoc, N. Micu, “Elemente deteoria probabilităților şi statistică”, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1975.
[16] Gh. Mihoc, V. Urseanu, “Sondaje șiestimații statistice. Teorie și aplicații”,Editura Tehnică, București, 1977.
[17] J. Neveu, “Bases mathématiquesde calcul des probabilités”, Masson etCie, Paris, 1964.
[18] V. V. Popescu, “Managementulinstructiv educativ”, Ed. ScrisulRomânesc, Craiova, 1992.
[19] M. Şandru, “Teoria măsurii.Aplicații în geometrie”, Editura Tehnică,București, 1998.
[20+ O. I. Şandru, B.B. Ionescu, “Lecțiide calculul probabilitatilor şi statisticămatematică”, Ed. Didactică și Pedago-gică, București, 1998.
[21] C. Târcolea, A. Filipoiu, S. Bontaş,“Tehnici actuale în teoria fiabilității”,Ed. Ştiințifică şi Enciclopedică,Bucureşti, 1989.
[22] T. Zorlențan şi colab., “Manage-mentul organizației”, Editura Economi-
că, Bucureşti, 1998.
top related