제9장 보의 처짐contents.kocw.net/kocw/document/2015/hanyang/yueunjong/... · 2016. 9. 9. ·...
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Mechanic
cs of Materials
s, 7th ed., Jame
es M. Gere &
Barry J. Goo
dno
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-1
Mechanic
9.1 소개
- 하중을
- 처짐의
- 부정정
9.2 처짐
- 처짐(d
cs of Materials
개
을 받는 보의
허용한계 확
구조물의 해
짐곡선의 미
eflection) v
s, 7th ed., Jame
변형 처짐
확인
해석에 필수적
미분방정식
는 y 방향으
es M. Gere &
제 9
짐곡선 (defle
적임
으로의 변위
Barry J. Goo
장 보의
ection curve
dno
처짐
)
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-2
Mechanic
회전각
곡률반지
cs of Materials
: 축과 처짐
지름 : 곡률
s, 7th ed., Jame
짐곡선의 접선
률중심 O에서
es M. Gere &
선이 이루는
서 곡선까지의
Barry J. Goo
각; 반시계
의 거리
dno
방향이 양 (경
경사각/처짐각
제 9 장
Pa
각으로도 불림
보의 처짐
age 09-3
림)
Mechanic
곡률은
처짐곡선
tandvdx
같은 방법
회전각이
1
한편 회전
Note:
1
선형 탄성
cs of Materials
1 dds
선의 기울기는
n , arc
법으로 cos
이 작은 경우,
ddx
전각이 작으면
는 라디안으
2
2
d vdx
성재료, Hook
s, 7th ed., Jame
; 곡률의 부
는 처짐곡선의
ctan dvdx
, sindxds
ds dx
면 tan
으로 측정됨
ke 의 법칙을
es M. Gere &
부호는 다음 그
의 1 차도함수
dvds
dvdx
을 따르는 재료
Barry J. Goo
그림의 규약을
수
2
2
d d vdx dx
료
dno
을 따름.
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-4
Mechanic
1
여기서 부
dVdx
불균
이 경우는
2
2xd vEIdx
따라서,
xd EIdx
2
2
d EIdx
cs of Materials
MEI
2ddx
부호규약을 고
, dMq Vdx
일 단면보
는 EI 가 x
v M
2
2xd v Vdx
2
2xd v dVIdx dx
s, 7th ed., Jame
2
2
v Mx EI
; 처
고려한 평형식
V
의 함수이므
V qdx
es M. Gere &
처짐곡선의 기
식은,
로
Barry J. Goo
기본 미분방정
dno
정식
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-5
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-6
균일 단면보
이 경우는 EI 가 상수이므로,
2 3 4
2 3 4, , d v d v d vEI M EI V EI qdx dx dx
, , ''''EIv M EIv V EIv q (굽힘모멘트방정식, 전단력방정식, 하중방정식)
곡률에 대한 엄밀 식 (회전각, 처짐값이 클 경우)
1 (arctan )d d v dxds dx ds
한편 2 2 2ds dx dv
2 2 1/ 2[ ]ds dx dv
1/ 222 1/ 21 [1 ( ) ]ds dv v
dx dx
또한 2
(arctan )1 ( )
d v vdx v
그러므로 2 3/ 2
1[1 ( ) ]
vv
Mechanic
9.3 굽힘
EIv
적분을 통
cs of Materials
힘 모멘트 방
, M EIv
통해 처짐, 회
단순지지
s, 7th ed., Jame
방정식의 적
, ''''V EIv
회전각 산정
지점
es M. Gere &
적분에 의한
q
적분상수
Barry J. Goo
한 처짐 계산
수는 경계조건
고정단
dno
산
건으로부터 결
결정
제 9 장
Pa
연속조건
보의 처짐
age 09-7
Mechanic
예제
문제
- 단순보
- 중앙점
- 지지 지
풀이
모멘트
cs of Materials
9-1
보 AB 의 처짐
에서의 최대
지점에서의 회
트를 구하기 위
s, 7th ed., Jame
짐곡선의 방정
대처짐 max
회전각 , A
위한 자유물체
es M. Gere &
정식
B 구하기
체도
Barry J. Goo
dno
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-8
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-9
2
( )2 2 2 2
qL x qLx qxEIv M x qx
2 3
14 6qLx qxEIv C , 중앙점에서 처짐각은 0 (대칭조건) 0
2Lv
3
1 24qLC
2 3 3
4 6 24qLx qx qLEIv
3 4 3
212 24 24qLx qx qL xEIv C , 좌측 지지점에서 처짐이 0 0 0v 2 0C
3 2 3( 2 )24
qxv L Lx xEI
4
max5
2 384L qLv
EI
3
(0) ( )24A BqLv v L
EI
Mechanic
예제
문제
- 처짐곡
- 자유단
풀이
모멘트
cs of Materials
9-2
곡선의 방정식
단의 처짐 B
트를 구하기 위
s, 7th ed., Jame
식
, 회전각 B
위한 자유물체
es M. Gere &
B
체도
Barry J. Goo
dno
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-10
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-11
2 2
2 2qL qxEIv M qLx
2 2 3
12 2 6qL x qLx qxEIv C , 고정단에서 처짐각은 0 0 0v 1 0C
2 2 3
2 2 6qL x qLx qxEIv
2 2 3 4
24 6 24qL x qLx qxEIv C , 고정단에서 처짐은 0 0 0v 2 0C
22 2(6 4 )
24qxv L Lx x
EI
3
( )6BqLv LEI
4
( )8BqLv LEI
Mechanic
예제
문제
- 단순보
- 지지 지
- 최대 처
cs of Materials
9-3
보 AB 의 처짐
지점에서의 회
처짐 max , 보
s, 7th ed., Jame
짐곡선의 방정
회전각 , A
보의 중앙점
es M. Gere &
정식
B 구하기
C 에서 처짐
Barry J. Goo
짐 C 구하기
dno
기
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-12
Mechanic
풀이
EIv
EIv
cs of Materials
PbxML
PbxML
s, 7th ed., Jame
( ) P x a
es M. Gere &
하중
하중
(0
(a
Barry J. Goo
중 좌측면 (FB
중 우측면 (FB
)
)
x a
x L
dno
BD)
BD)
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-13
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-14
2
1
2 2
2
(0 )2
( ) ( ) 2 2
PbxEIv C x aL
Pbx P x aEIv C a x LL
3
1 3
3 3
2 4
(0 )6
( ) ( ) 6 6
PbxEIv C x C x aL
Pbx P x aEIv C x C a x LL
B.C. (1) ( ) ( )a a (2) ( ) ( )v a v a (3) (0) 0v (4) ( ) 0v L
(1)
2 2
1 22 2Pba PbaC C
L L 1 2C C
(2)
3 3
1 3 2 4 =6 6
PbA PbaC a C C a CL L
1 2C C 이므로 3 4C C
(3) 3 40C C
(4)
2 2
1 2( )
6Pb L bC C
L
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-15
2 2 2
32 2 2
( ) (0 )6
( )( ) ( ) 6 6
Pbxv L b x x aLEIPbx P x av L b x a x LLEI EI
2 2 2
22 2 2
( 3 ) (0 )6
( )( 3 ) ( ) 6 2
Pbv L b x x aLEIPb P x av L b x a x LLEI EI
2 2( ) ( )(0)6 6A
Pb L b Pab L bvLEI LEI
2 2(2 3 ) ( )( )6 6B
Pb L bL b Pab L av LLEI LEI
A 를 b 에 대해 미분하여 / 3b L 에서 최대값 2
max
327A
PLEI
이 됨.
하중이 중앙점 우측에 작용한다는 가정하에 처짐각이 0 이 되는 점에서 max 가 구해짐
Mechanic
즉 처짐각
따라서
cs of Materials
각이 0 이 되
max xv
s, 7th ed., Jame
되는 위치는
1
2(9x x
Pb L
es M. Gere &
2
1 3L bx
2 2 3/ 2)3
bLEI
Barry J. Goo
2b (a
( )a b
dno
)b
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-16
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-17
참고: max 의 값은 b 의 위치에 따라 변하며 max 의 최대값은 / 2b L 일 때 3
max max 48PL
EI
중앙점의 처짐
2 2(3 4 )2 48CL Pb L bv
EI
( )a b
특별한 경우: 보의 중앙점에 하중이 작용하는 경우 ( / 2)a b L
2 2( 4 )16
Pv L xEI
02Lx
2 2(3 4 )48
Pxv L xEI
02Lx
2
16A BPL
EI
3
max 48CPL
EI
Mechanic
9.4 전단
예제
문제
- 4 계 미
- 자유단
풀이
''''EIv
EIv
(V L
EIv
(M L
2EIv
cs of Materials
단력과 하중
9-4
미분방정식을
단의 처짐 B
0 (q LqL
20 ( )2q L xL
) 0L C
0 ( )6q L xL
) 0L C
40 ( )24q L x
L
s, 7th ed., Jame
중 방정식의
이용한 처짐
, 회전각 B
)L xL
1C V
1 0C
32C M
2 0C
43C
es M. Gere &
적분에 의
짐곡선의 방정
B
Barry J. Goo
의한 처짐 계
정식
dno
계산
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-18
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-19
503 4( )
120qEIv L x C x C
L
(0) 0 (0) 0v v
3 30 0
3 4 24 120
q L q LC C
3 2 2 30 (4 6 4 )24
q xv L L x Lx xLEI
23 2 2 30 (10 10 5 )
120q xv L L x Lx x
LEI
30( )
24Bq Lv L
EI
40( )
30Bq Lv L
EI
Mechanic
예제
문제
- 3 계 미
- 돌출부
풀이
EIv
EIv
cs of Materials
9-5
미분방정식을
부 끝단의 처짐
2
PV
V P
s, 7th ed., Jame
이용한 처짐
짐 C
0
x
L x
es M. Gere &
짐곡선의 방정
3 2
L
Lx
Barry J. Goo
정식
dno
제 9 장
Pa
보의 처짐
age 09-20
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-21
1
2
02
3 2
PxEIv M C x L
LEIv M Px C L x
(0) 0AM EIv , 3 02CLM EIv
1 0C , 23
2PLC
02(3 2 ) 3
2 2
PxEIv M x L
P L x LEIv M L x
2
3
4
04
(3 ) 3 2 2
PxEIv C x L
Px L x LEIv C L x
B 점에서 회전각은 연속 '( ) '( )v L v L
22
3 44PL C PL C
2
4 33
4PLC C (k)
제 9 장 보의 처짐
Mechanics of Materials, 7th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 09-22
3
3 5
2
4 6
012
(9 2 ) 3 12 2
PxEIv C x C x L
Px L x LEIv C x C L x
(0) 0A v , ( ) 0B v L 5 0C ,
2
3 12PLC , (k)식에의해
2
45
6PLC
( ) 0B v L 을 BC 구간의 식에 대입하면
3
6 4PLC
2 2
3 2 2 3
( ) 012
3(3 10 9 2 ) 12 2
Pxv L x x LEIP Lv L L x Lx x L xEI
332 8CL PLv
EI
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