optimisasi bab2 dan3
Post on 12-Feb-2018
311 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
1/34
llrrb
2
I'ITOGRAI\{A
LINIER
3.1
Pengertlan
Umum
l'r'ograma
linier
yang
diter.lemahkan
dari
Linear Programming
tl,l')
adalah
suatu cara untuk
menyelesaikan
persoalan
peng-
lLrkrrsian
sumber-sumber
yang
terbatas
di
antara
beberapa akti-
vllrrs yang
bersaing, dengan cara
yang
terbaik
yang
mungkin
di-
lnkukan. Persoalan
pengalokasian
ini
akan
muncul
manakala
se-
-snonrng
harus
memilih
tingkat aktivitas-aktivitas tertentu
yang
lrrsning
dalam
hal
penggunaan
sumber daya langka
yang
di-
lrrt[uhkan
untuk
melaksanakan
aktivitas-aktivitas
tersebut.
Be-
lrnrnpa
contoh situasi dari
uraian
di
atas antara
lain ialah
per-
eonlan
pengalokasian
fasilitas produksi,
persoalan
pengalokasian
surnber
daya
nasional
untuk
kebutuhan
domestik, penjadwalan
pro
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
2/34
dengan
harga
Rp
27.0004usin
yang
setiap
nusinnya
memerlukan
biaya
material
sebesar
Rp
10.000
serta
biaya
tenaga
kerja
sebesar
Rp
14.000.
Kereta
api
yang
dijual
seharga
Rp
21.000/lusin
me-
mlrlukan
biaya
material
sebesar
Rp 9.000
dan
biaya
tenaga
kerja
sebesar
Rp
10.000.
untuk
membuat
boneka
dan kereta
api
ini
di-
perlukan dua
kelompok
tenaga
kerja,
yaitu
tukang
kayu
dan
iukang
poles.
Setiap
lusin
boneka
memerlukan
2
jam
pemolesan
dan
i
jam
pekerjaan
ka,ru, sedangkan
setiap
lusin
kereta
api
memerlukan
l
jam
pemolesan
dan
1
jam
pekerjaan
kayu.
Meski'
pun
pada
setiap
minggunya
perusahaan
ini
dapat
memenuhi
se-
iu"rrt
material
yang
diperlukan,
jam
kerja
yang
tersedia
hanya
100
jam
untuk
pemolesan
dan
80
jam
untuk
pekerjaan
kayu'
Dari
pengamatan
pasar selama
ini
dapat
dikatakan
bahwa
kebutuhan
atai
tereta
api
tidak
terbatas,
tetapi
untuk
boneka
tidak
lebih
dari
40
lusin
yang
terjual
setiap
minggunya.
Bagaimanakah
formulasi
dari
persoalan
di
atas
untuk
mengetahui berapa
lusin
jenis
mainan
masing-masing
yang
harus
dibuat
setiap
minggu
agar
diperoleh
keuntungan
yang
maksimum?
-
DJam
membangun
model
dari
formulasi
persoalan di
atas
akan
digunakan
karakteristik-karakteristik
yang biasa digunakan
dalam
persoalan
programa
linier,
yaitu:
a. Variabel
kePutusan
Variabel
keputusan
adalah
variabel
yang
menguraikan
secara
lengkap
keprrtusan-keputusan
yang
akan
dibuat.
Dalam
persoalan
ini,
variabel
keputusan
akan
menentukan
berapa
banyak
boneka
dan
kereta
api
masing-masing
harus
dibuat
setiap
minggunya'
Misalkan:
xl
=
banyaknya
boneka
yang dibuat
setiap
minggu
xz
=
banyaknya
kereta
api
yang dibuat
setiap
minggu
b.
Fungsi
tujuan
Fungsi
tujuan
merupakan
fungsi
dari
variabel
keputusan
yang
akan
dimaksimumkan
(untuk
pendapatan atau
keuntungan)
atau
diminimumkan
(untuk
ongkos)'
Pada
persoalan
ini akan
di-
maksimumkan
(pendapatan/minggu)
-
(ongkos
materiaVmingeu)
-
(ongkos
tenaga
kerja/minggu)'
18
Pendapatan
dan ongkos-ongkos
ini
dapat
diekspresikan
dengan
menggunakan
variabel
keputusan xr
dan
xz sebagai
berikut:
Pendapatan/minggtr
=
pendapatan/minggu
dari boneka
+
pen-
dapatan/minggu
dari
kereta
api
=
27
xt +
Zlxz
Ongkos
materiaVminggu
=
10
xr +
9
xz
Ongkos
tenaga
kerja/minggu
=
14 xr
+
10 xz
eehingga
yang
akan dimaksimumkan
adalah:
(27
xr
+
21 rz)-
(10
xr
+
9 xz)-
(14
xr
+
10
xz)
=
3
xl
*
2 xz
(latatan:
ongkos
dan
pendapatan
dalam
ribuan
rupiah.
Untuk
menyatakan
nilai
fungsi tujuan
ini
akan digunakan
varia-
lxrl
z
sehingga
fungsi
tujuannya
menjadi:
Maksimumkanz=3xl
*2x2
(..
Pembatas
Itrmbatas
merupakan kendala
yang
dihadapi sehingga kita
tidak
blsa menentukan harga-harga
variabel
keputusan
secara
sem-
lxrrang. Pada
persoalan
di
atas
ada
3
pembatas
yang
kita
hadapi,
ylri[u:
I'ombatas
1:
Setiap
minggu
tidak
lebih
dari 100
jam
waktu
pe-
molesan
yang
dapat digunakan
l'ombatas
2: Setiap minggu
tidak
lebih
dari 80
jam
waktu
pe-
ngerjaan kayu
yang
dapat digunakan
Pombatas
3:
Karena
permintaan
yang
terbatas, maka
tidak
lebih
dari
40
lusin boneka
yang
dapat dibuat setiap
minggu.
Jumlah
material yang
dapat
digunakan
di-
asumsikan
tidak
terbatas
sehingga
tidak
ada
pem-
batas untuk
hal
ini.
ii.lrln;,r1nt",
ekspresihan
pembatas-pembatas
itu ke dalam
xr
'lnrr
x2
sebagai
berikut:
lrrrrn[a1ur
t'
2
xr
+
rz S
100
l'r'rnbatas
2: xr
+
xz
0
Dengan demikian,
formulasi lengkap
dari
persoalan
Pl
Sayang
Anak
adalah:
Maksimumkan
z=3xl
+2xz
berdasarkan
2xt
+
xz
b
*lnlrrh
ketidaksamaan
linier.
Sebagai
contoh,
2xr
+
3xz
,l lrrr krnlah
ketidaksamaan
linier.
?.?
Model Programa
Linier
I'n,ln contoh
persoalan
Pt Indah
Gelas
terdapat
tiga
buah sumber
l.r lrrrt,ns
(yaitu
kapasitas
produksi
pada
ketiga
pabrik)
yang
harus
'ltnl,rknsikan
di
antara
dua aktivitas
yang
bersaing
(yaitu
dua
rur('nrn
produk
baru
yang
dipesan).
Sekarang,
bagaimana
jika
ada
d.llurnhlh
(katakan
m buah)
sumber
yang
terbatas
yang
harus
,linlrklsikan
di
antara sejumlah
(katakan
n
buah)
aktivitas
yang
l,,tr
rttittg?
z=3xl+5x2
x1
2xz
150
200
300
Departemen
Jam kerja
maksimum
per
minggu
Tingkat
produksi (uniVjam)
komp.
1 komp.2
komp. 3
1
2
100
80
8
6
5
12
10
4
33
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
10/34
Secara
matematis,
persamaan
ini
dapat
diganti
dengan:
Maksimumkan
Y
berdasarkan
Pembatas:
Sxtr+
6xzr>Y
Sxtz
+
L?xzz?
I
10xrs+
4xzs
>Y
dimanaY>0.
Dengan
demikian,
model
lengkap
dari
persoalan
ini dapat
kita
nyatakan
sebagai:
Maksimumkan
z
=
Y
berdasarkan
Pembatas:
8xu+6xzr-
y:0
5x
+LZx
Y
10xrs+
4xzs-
y
xll+
xLz +x130
2.5 Soal
1.
sebuah
perusahaan elektronik
memproduksi
tape
recorder
dan
arnpiift.er
yar.g
prosesnya
dilakukan
di
dua
stasiun
kerja,
yaitu perakitan
dan pengetesan.
Setiap
wittape
record'er
me-
merlukan
2
jam
perakitan dan
2
jam
pengetesan,
sedangkan
setiap
unit
arnplifier
memerlukan
4
jam
perakitan
dan
3
jam
p"rrglte"utt.
Waktu
yang tersedia
di departemen
perakitan
uauur,
72
jam/minggu
sedangkan
di
departemen
pengetesan
adalah
48
jam/minggu.
Kontribusi
profit
dari
tape
recorder
adalah
Rp
25.000/unit,
dan
dar.i
setiap
unit
anzplifier
adalah
Rp
50.000.
Bagaimanakah
formulasi
persoalan
di
atas
agar
dapat
ditentukan
strategi
produksi
terbaik
yang
memberikan
kontribusi
Profit
maksimum?
34
Sebuah
perusahaan
membuat 2
jenis
produk,
A
dan
B.
Harga
jual
produk
A
adalah
Rp 20.000/unit
sedangkan
produk
B
dijual
dengan
harga
Rp
30.000/unit.
Untuk
membuat
1
unit
produk
A
dibutuhkan
waktu
2
jam-orang
(man-hour),
sedang-
kan
untuk
I
unit
produk
B
diperlukan
6
jam-orang.
Jumlah
pekerja
adalah
2
orang,
masing-masing
bekerja
8
jam/hari
termasuk
istirahat
selama
30 menit.
Untuk
1
unit A
di-
butuhkan
6 kg
bahan
baku,
sedangkan
setiap
unit B
mem-
butuhkan
3
kg
bahan
bakrr.
Harga
per
kg
bahan
baku
adalah
Itp
1.500.
Upah
pekerja
per
jam-orang
adalah
Rp
2.000.
Jika
bahan
baku
yang
tersedia
per
hari
adalah
40 kg,
bagai-
rnanakah
formulasi
persoalan
ini
agar diperoleh
kontribusi
grrofit
maksimum?
.Scorang petani
yang
memiliki
7
ha
tanah
sedang
memikirkan
lrt'rapa
ha tanah
yang
harus ditanami jagung
dan
berapa
ha
vnng
harus
ditanami
gandum.
Dia
mengetahui
bahwa
jika
di-
l,nnami
jagung,
setiap
ha
tanah
akan menghasilkan
10
ton
jugung.
Untuk ini
diperlukan
4
jam-orang
setiap minggunya.
,lika
ditanami
gandum,
hasilnya
adalah 25
ton/ha
dan
di-
;rcrlukan
10
jam-orang/minggu.
Setiap kg
jagung
dapat
dijual
aoharga
Rp
30, sedangkan
harga
jual
gandum
adalah
Rp 40/
hg.
Saat
ini
petani
tsb. hanya
memiliki
40
jam-orang
setiap
rninggunya.
Karenb
ada
peraturan
pemerintah
yang
meng-
lurruskan
setiap
petani
untuk
menghasilkan gandum
paling
gltlikit
30
ton
setiap kali
panen,
bagaimanakah
formulasi
per-
sunlnn
ini
agar
petani
tsb. dapat menggarap
tanahnya
secara
llrl,irnal?
lir,ornng pedagang
buah-buahan
membeli
buah
dukuh
dari
B
nlnng
petani.
Kualitas
buah
ini
biasa dinyatakan
dengan
lr,srrrny&,
dan
diklasifikasikan
dalam
B
kategori, yaitu
besar,
q.rlrng,
dan
kecil. Berikut ini
adalah
data harga
dan
per-
c*'rrl.n.se
ukuran buah
yang
dimiliki
oleh
masing-masing pe-
lrrtri:
35
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
11/34
IGbutuhan
minimum
pedagang
tsb'
akan
masing-masing
kua-
iit".
U.r"t,
setiap
bulainya
adalah
ukuran
besar
500
kg,
ukur'
rr,
,"aurrg
300
tg,
dan
uku"a"
kecil
300
kg' Modal
perusaha-
an
itu
.*t
irri
hanya
mampu
untuk
membeli
maksimum
500
kg
dari
masing-masing
petani'
Formulasikanlah
persoalan
ini
untuk
meminimumkan
ongkos'
5.
Seseorang
yang sedang
dalam
pengawasan
seorang
aili
gizi
mendapat
petunjuk
bahwa
kebutuhan
minimal
orang
tersebut
setiap
iarl
ailalah
500
kalori,
6
ons
cokelat'
10
ons
gula'
dan
8 orrs
lemak.
Saat
ini
orang
tsb'
'sedang
berada
di
suatu
iempat
yang
hanya
menyediakan-kue
kering'
es
krim'
Coca
Cola,
dan
roti
keju'
Harga
dan
kandungan
bahan
masing-
masing
makanan/minuman
tsb'
adalah
sebagai
berikut:
Harga/kg
(Rp)
Persentase
untuk
ukuran
(%)
Besar
Sedang
Kecil
Petani
I
Petani
2
Petani
3
s-000
4.000
3-000
40
30
20
40
35
20
20
35
60
lalui
unit
kerja
perakitan
dan
pengecatan.
Apabila unit kerja
pengecatan
hanya digunakan
untuk mengerjakan
truk
jenis
I,
maka akan
dapat
dihasilkan
800
unit
truk
jenis
I
per
hari,
tetapi
jika
hanya
digunakan
untuk
mengerjakan
truk
jenis
II,
hasilnya
adalah
700 unit truk
jenis
II.
Apabila
unit kerja
pe-
rnlritan
hanya
digunakan
untuk
mengerjakan
truk
jenis
I,
akan
dihasilkan
1.500 unit truk
jenis
I
per
hari,
sedangkan
jika
hanya
digunakan
untuk
mengerjakan
truk
jenis
II
akan
dihasilkan
1.200
unit truk
jenis
II
per
hari.
IGuntungan
dari
truk
jenis
I
adalah
Rp
300.000/unit, sedangkan dari
jenis
II
akan
diperoleh
keuntungan sebesar Rp 500.000/unit. Bagai-
manakah
formulasi
persoalan
ini
agar diperoleh keuntungan
yang
maksimum?
Seorang
pengusaha yang
memiliki
3
buah
pabrik
sedang
menghadapi
masalah
yang berkaitan
dengan
pembuangan
limbah
dari
pabriknya.
Selama
ini ia membuang
limbah
tsb.
ke sungai
sehingga
menimbulkan dua
macam
polutan.
Se-
tolah
berkonsultasi
dengan
pihak
berwenang,
diperoleh in-
formasi
bahwa
ongkos untuk
memproses
zat
buangan dari
lrnbrik
I
adalah Rp
15.000/ton
dengan kemampuan
dapat
me-
ngurangi
polutan
I
sebanyak 0,1
ton
dan
polutan
2 sebanyak
0,46
ton dari
setiap 1
ton
zat
buangan.
Ongkos
untuk
mem-
l)roses
zat
buangan dari
pabrik
II
adalah
Rp
10.000/ton
dongan kemampuan mengurangi 0,2
ton
polutan
1 dan
0,25
l,on
polutan
2.
Untuk
memproses 1
ton
zat
buangan dari
grnbrik
III
diperlukan
biaya Rp
20.000
yang akan mengurangi
0,4
ton
polutan
1
dan 0,3 ton
polutan
2.
Peraturan
pe-
rnorintah
mengharuskan
perusahaan
ini
untuk dapat me-
rrgurangi
polutan
I
paling
sedikit
30
ton
dan
polutan
2
paling
Eorlikit
40
ton.
Formulasikan
persoalan ini
agar
diperoleh
nngkos
total minimum.
agaimanakah
formulasi
untuk
memenuhi
kebutuhan
hian
makanan
dengan
biaYa
minimum?
Indah
Motor
ailalah
sebuah
perusahaan
yang
memproo
dua
jenis
truk.
Setiap
jenis
truk
yang dibuatnya
harus
36
37
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
12/34
Bab
3
TEKNIK PEMECAIIAN
MODEL
PROGRAI\{A
LINIER
Pada
dasarnya,
metode-metode
yang
dikembangkan untuk me-
mecahkan
model
programa
linier
ditujukan
untuk
mencari solusi
dari
beberapa
alternatif solusi
yang
dibentuk oleh
persamaan-
persamaan pembatas
sehingga
diperoleh
nilai fungsi tujuan
yang
optimum.
Ada
dua
cara yang
bisa digunakan
untuk
menyelesaikan
per-
soalan-persoalan
programa
linier
ini,
yaitu
dengan cara
grafis
dan
dengan
metode
simpleks.
Cara
grafis
dapat
kita
pergunakan apabila
persoalan
pro-
grama
linier
yang
akan
diselesaikan
itu
hanya
mempunyai
dua
buah variabel
(lihat
Bab 2).
Walaupun demikian,
cara ini
telah
memberikan
satu
petunjuk
penting
bahwa
untuk
memecahkan
persoalan-persoalan
programa
linier,
kita
hanya'
perlu
memper-
hatikan
titik
ekstrem
(titik
terjauh)
pada
ruang solusi atau
daerah
fisibel. Petunjuk
ini
telah
menjadi
kunci
dalam
me-
ngembangkan
metode
simpleks.
Metode simpleks
merupakan
teknik
yang
paling
berhasil
di-
kembangkan
untuk
memecahkan
persoalan programa
linier
yang
mempunyai
jumlah
variabel
keputusan
dan
pembatas
yang
besar.
Algoritma
simpleks
ini
diterangkan
dengan menggunakan logika
secara aljabar
matriks, sedemikian
sehingga
operasi
perhitungan
dapat
dibuat lebih efisien.
3.1
Solusi Grafis
Untuk
mencari
solusi
suatu
persoalan
programa
linier
dengan
cara
grafis,
berikut
ini
dikemukakan dua buah
contoh,
yaitu
per-
soalan maksimasi dan minimasi.
38
:l.I-7
Solusi
grafis
untuh
persoala.n
mahsima.si
l'crhatikan
kembali contoh
soal
PT
Indah
Gelas.
Pada prosedur
grafis
ini
kita
harus
membuat
grafrk
ber_
rlirnensi
dua dengan
xr
dan xz
sebagai
sumbu-sumbunya.
Langkah
lrcrtama
ialah
mengidentifikasi
harga-harga
(xr,
xz)
yang
me-
rnr:nuhi
pembatas-pembatas
yang
ada dengan
cara
menggambar_
krrn
garis-gBris
yang
harus
membatasi
daerah
harga-harga
yang
rliperbolehkan.
Ingat
bahwa
adanya
pembatas
nonnegatif
xl
>
0
rlnn x2
>
0
akan menyebabkan
(x1,
xz)
harus
berada
pada
sisi
positif
dari
sumbu-sumbunya
(pada
kuadran
I).
Setelah itu,
per_
lrrrfikan
bahwa
pembatas
xt
28
2xr+ l2xz> 24
xl20,x2>0
EDaerah*
Daerah fisibel
tidak
terbalae
(unbounded)
nsrDt
:
Titik
optimum:
E
Solusioptimum:
x
-3,6;xr
1,4
z-32
c E
tol2
14
S.2
Kasus Khusus
llun
contoh
soal
yang
telah
dibahas dengan cara
grafis
di atas
nrnrnpunyai hanya
satu solusi optimal.
Akan
kita lihat
berikut
ini
lrnlrwn ada
persoalan
programa
linier
yang
mempunyai kasus
llnrrus
seperti:
I
Mompunyai solusi
optimal
yang
tidak
terbatas, biasa disebut
juga
mempunyai
solusi
alternatif
atau
bersolusi
optimal
lxrnyak.
I
'l'idak
mempunyai
solusi
frsibel
atau
persoalan programa
li-
rrit:r yang
infisibel.
fl Mempunyai
ruang
solusi
yang
tidak
terbatas,
yaitu
kasus
di
rnnna
ada
titik-titik
pada
daerah
frsibel
dengan
harga
z
yang
enngat besar
(pada
persoalan
maksimasi).
llJ
-l
Solusi
alternatif
atau
solusi
optimal
banyah
I'ttttloh:
Mlksimumkan
z=3xl+2xz
lxrrdasarkan
(U40)
xt
+
(V60)
xz
0
Solusi
grafis
dari
persoalan
ini
adalah:
Tidak ada ruang
fisibel sehingga
tidak
ada solusi
optimal
10
20
30
40 50
60
Gambar
3.5:
Tidak
ada
ruang fisibel
3.2-?
Persoalan programc
linier.
dengon
ruang
solusi
yang
tidale
terbatqs
(unbounded)
Kasus ini
terjadi
apabila ruang
solusi
tidak tcrbatas
-sehingga
nilai
fungsi
tujuan
dapat
meningkaVmenurun
sccar.a
tid:rk
ter-
44
l,nlnH.
l)ada umumnya,
kasus
ini
terjadi
karena kesalahan dalam
rrrl
r r r
li rrmulasikan
persoalan.
t
't
trt
l
.
)lt:
Mrrksimumkan
z=2xt-xz
lrordasarkan
xl-x26
xl>0,
x2>0
Frlrrni
graflrs
dari
persoalan
ini
adalah:
,t
:l
llentuk
Standar
Model
Programa
Linier
lr-lrrlr rli[crangkan
pada
bab
di
muka
bahwa
model
programa
lintr,r
rrri
rlapat
memiliki
pembatas-pembatas
yang
bertanda
s,
=,
'* rrlrun
'.
Demikian
juga
variabel-variabelnya
yang
dapat berupa
Gambar
3.6:
Ruang
solusl
tldak terbatas
45
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
16/34
variabel
nonnegatif,
dapat
pula
variabel-variabel
yang
tidak
ter-
batas dalam
tanda
(unrestricted
in
sign).
Di
dalam
menyelesaikan
persoalan
programa
linier
dengan
menggunakan metode
simpleks, bentuk
dasar
yang
digunakan
haruslah
bentuk standar,
yaitu
bentuk
formulasi yang
memiliki
sifat-sifat
sebagai berikut:
1.
Seluruh
pembatas
harus
berbentuk
persamaan
(bertanda
=)
dengan
ruas kanan
yang
nonnegatif.
2.
Seluruh
variabel harus
merupakan
variabel nonnegatif.
3.
Fungsi
tujuannya
dapat
berupa
maksimasi
atau
minimasi.
Untuk mengubah
suatu bentuk formulasi yang
belum
standar
ke
dalam bentuk
standar
ini
dapat dilakukan
cara-cara
sebagai
ber-
ikut:
1.
Pembatas
(constraint)
a. Pembatas yang
bertanda
S
atau
>
dapat
dijadikan
suatu
persamaan (bertanda =)
dengan
menambahkan
atau
me-
ngurangi
dengan
suatu variabel
qlack
pada
ruas kiri
pem-
batas itu.
Contoh
1:
xt
+
2x2
5
karena
ruas
kirinya
tidak
lebih kecil
dari
ruas
kanan,
maka harus
dikurangkan
variabel
Sz
>
0
pada
ruas
kiri
sehingga
diperoleh
persamaan:
3xt
+
2xz-
3xg
-
52
=
5,
Sz
>
0
b.
Ruas
kanan
dari
suatu
persamaan
ilapat
d[iadikan
bilangan
nonnegatif
dengan
cara mengalikan
kedua
ruas
dengan
-1.
46
Contoh:
2xt
-
3xz
-
7xs
-
-5,
secara
matematis
adalah
sama
dengan
-2xt
+
3xz
+
7:$
=
5.
(:.
Arah
ketidaksamaan
dapat
berubah
apabila
kedua ruas
dikalikan
dengan
-1.
Contoh:
2
-4
Zxt
-
rz
5
tl.
Pembatas
dengan
ketidaksamaan yang
ruas
kirinya
ber-
ada dalam
tanda mutlak
dapat
diubah menjadi
dua ke-
tidaksamaan.
Contoh
1:
untukb>0,larxr+
azxzl
dengan
alxr
+ azxz
s
b
dan alxl
+
azxz
>
-b.
Contoh
2:
untuk e
)
0,
I prxr
+ pzx2l
>
q
adalah
sarna
dengan
prxr
+
p2x2
>
q
atau
prxr
+
pzx2
S
-q.
Variabel
Huntu
variabel
yi yang
tidak terbatas
dalam
tanda
dapat
di-
lr.yntakan
sebagai
dua
variabel nonnegatif
dengan mengguna-
hnn
substitusi:
y,
=
yi'-
yi"
di
mana
yi
dan
yi"
>
0
Hubstitusi
seperti
ini harus
dilakukan
pada
seluruh
pembatas
rlnn
fungsi
tujuannya.
h'ttrtgsi
tujuan
Wnlrrupun
model
standar
programa
linier
ini
dapat
berupa
irrnksimasi
atau minimasi,
kadang-kadang
diperlukan
per-
ttlurhnn
dari satu
bentuk ke
bentuk lainnya.
Dalain
hal ini,
rrrnksimasi
dari
suatu
fungsi
adalah
sama dengan minimasi
rlari
ncgatif
fungsi
yang
sama.
l'rrrrloh:
Maksimumkan
z=lxL
+
2x2
a
gs3
Er,('nnr
matematis
adalah
sama dengan:
rninimumkan
(-z)
=
-5x1 -
2xz
-
3xe
47
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
17/34
3.4
Metode
Slmpleks
Metode
simpleks
merupakan
prosedur
aljabar
yang
bersifat ite-
ratif,
yang
bergerak
selangkah
demi
selangkah,
dimulai
dari
suatu
titik
ekstrem
pada
daerah
fisibel
(ruang
solusi) menuju
ke
titik
ekstrem yang optimum.
Untuk
dapat
lebih
memahami
uraian
selanjutnya, berikut
ini
diberikan
pengertian
dari
beberapa
terminologi
dasar
banyak digunakan dalam
membicarakan
metode
simpleks. Untuk
itu,
perhatikan
kembali
model
programa
linier berikut ini:
Maks.
atau min.:
z
=
cr xt
+
c2
xz
+
...
*
cn
Xn
berdasarkan:
a1l
xl
+
a:rzx2
+
...
+ &ln
xn
=
bl
A2I xI
+
a22
xZ
+
...
+ a2n
xn
=
b2
8m1
xl
*
8;r'rr2
x2
+
...
*
Zlm. Xn
=
bm
xi
>
0
(i
=
1.,
2,
...,
n)
Jika
kita
definisikan:
llntuk mendapatkan
solusi
basis
dari
AX
-
b maka sebanyak
(n
-
m) variabel harus dinolkan. Variabel-variabel
yang
dinol-
krrn ini
disebut uariabel nonbasis
(NBV).
Selanjutnya,
dapat-
knn
harga
dari
n
-
(n
-
m)
=
m variabel lainnya
yang
me-
menuhi
AX
=
b,
yang
disebut uariabel
bosis
(BV).
I
Solusi basis frsibel
,lika
seluruh variabel
pada
suatu
solusi basis
berharga
non-
nogatif, maka
solusi
itu
disebut
solusi
basis
fi,sibe,
(BFS).
H Solusi frsibel
titik
ekstrerm
Ytng
dimaksud
dengan solusi
fisibel
titik ekstrem
atau
titik
rudut
ialah
solusi
frsibel
yang
tidak terletak
pada
suatu
a(lgmen
garis yang
menghubungkan dua
solusi
fisibel lainnya.
,lndi,
titik-titik
(0,0), (0,6),
(2,6),
(4,3),
dan
(4,0)
adalah solusi-
:olusi
fisibel
titik sudut
atau titik-titik
ekstrem
pada persoal-
nn
PT Indah Gelas,
Apabila
ada sejumlah
n
(n
< 3)
buah
va-
rirrbel keputusan,
maka
definisi
di
atas
tidak
cocok lagi
rrnluk
mengidentifikasi
solusi
fisibel
titik
sudut
(titik
t'kstrem)
sehingga
pembuktiannya
harus dengan cara al-
inbar.
Arle l,iga
sifat
pokok
titik ekstrem
ini,
yaitu:
Etfit
La:
Jika
hanya
ada
satu
solusi
optimum, maka
pasti
ada
satu
titik
ekstrem.
Hlltt l.b:
Jika
solusi optimumnya banyak, maka
paling
sedikit
ada
dua titik ekstrem
yang
berdekatan.
(Dua
buah
titik ekstrem dikatakan
berdekatan
jika
segmen
garis
yang
menghubungkan
keduanya
itu
terletak
pada
sudut dari
batas daerah
frsibel.)
Hanya ada
sejumlah
terbatas
titik ekstrem
pada
setiap
persoalan.
Jika
suatu
titik ekstrem
memberikan
harga
z
yang
lebih
baik dari
yang lainnya,
maka
pasti
solusi
itu me-
rupakan
solusi optimum.
iiifrrl
ll ini
menjadi
dasar
dari
metode
simpleks
yang
prosedurnya
*:nltlrrrl,i 3
langkah
sebagai berikut:
I l,rrngkah
inisialisasi: mulai
dari
suatu titik ekstrem
(0,0).
all 412 ...
81n
A2l a22...
a2n
8m1 &m2 ,,.
&mrr
x1
x2
br
bz
btt
A=
;
X=
;b=
dituliskan ke
m
persamaan
maka
pembatas
dari
model tersebut
dapat
bentuk sistem
persamaan
AX
=
b.
Perhatikan
suatu
sistem
AX
=
b
dari
dalam
n
variabel
(n
> m)
Definisi:
1.
Solusi basis
Solusi basis
untuk
AX
=
b
adalah solusi di
mana
sebanyak-banyaknya
m
variabel berharga bukan
nol.
48 49
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
18/34
2. Langkah
iteratifi
bergerak
menuju
titik
ekstrem
yang
lebih
baik. Langkah
ini
diulangi
sebanyak
diperlukan.
3.
Aturan penghentian:
memberhentikan
langkah
ke-2
apabi
telah
sampai
pada
titik
ekitrem
yang
terbaik
(titik
optimum).
Sebagai
ilustrasi,
kita
lihat kembali
persoalan
Pt
Indah
Gelas.
Algoritma
simpleks
dimulai dari
titik
A
(0,0)
yang biasa
sebut
sebagai solusi
awal
(starting
solution).
Kemudian
ber
ke
titik
sudut
yang
berdekatan,
bisa
ke
B
atau ke E.
Dalam
ini,
pemilihan
(B
atau E)
akan
bergantung
pada
koefisien
tujuan.
Karena
koefisien
xz lebih
besar
daripada xl,
dan
fu
tujuannya
maksimasi,
maka
solusi
akan
bergerak
searah
peningkatan
xz
hingga
mencapai
titik
ekstrem E.
Pada
titik
proses
yang
sama
diulangi
untuk
menguji
apakah
masih
ada
ti
ekstrem
lain yang
dapat memperbaiki
nilai
fungsi
tujuan.
titik ekstrem
D
(2,6)
memberikan
nilai fungsi
tujuan
yang
lebi
baik
daripada
titik
E
(0,6)
dan
titik
C
(4,3),
maka iterasi berhenti
dengan
titik
D
(2,6)
sebagai
titik
optimum.
Dengan
demikian,
ada
dua aturan
yang
berlaku
dalam
milih
titik ekstrem
yang
berikut
setelah
mencapai
suatu
ekstrem tertentu,
yaitu:
1. Titik
ekstrem
yang
berikutnya
ini
harus
merupakan
ekstrem
yang
berdekatan
dengan titik
ekstrem
yang
dicapai.
Sebagai contoh,
dari
titik A
tidak
bisa
langsung
ke
titik
D
atau
C
karena
mereka
tidak berdekatan.
2.
Solusi
ini
tidak
akan
pernah
kembali
ke
titik
ekstrem
telah
dicapai
sebelumnya. Misalnya
dari
E
tidak
akan
bali lagi
ke A.
Sebagai
ringkasan
dari
ide metode
simpleks ini ialah
bahwa
tode ini selalu
dimulai
pada
suatu
titik sudut fisibel,
dan
bergerak
melalui
titik
sudut
fisibel
yang
berdekatan,
masing-masing
titik
mengenai
optimalitasnya
sebelum
pada
titik lainnya.
Pada
persoalan
PT
Indah
Gelas diperlukan
iterasi
untuk mencapai
solusi
optimum,
yaitu
A,
E,
dan
D.
Untuk
mengekspresikan
ide
ini
dalam
konteks
simpleks;
diperlukan
suatu
korespondensi
antara metode
rlnn
metode
simpleks
mengenai ruang
solusi dan titik-titik
sudut
(
l,itik-titik
ekstrem)
sebagai berikut:
Tabel 3.1: Kgrespondensi
mei.ode
grafis
dengan metode simpleks
Mnkn, sebagai
ilustrasi dari representasi
ruang
solusi secara
al-
InLnr
ini, kita
lihat
lagi
persoalan
PT Indah
Gelas.
Bentuk
rlnnrlar model
persoalan
ini adalah:
Maksimumkan:
2
=
3xt
*
5xz+
OSr
+ OSz+OSg
lnrdasarkan
pembatas:
xl
+Sr
-
4
2xz
+Sz
=I2
3xr+2xz
+Sa-18
Xl, X2, 51, 52,
Sa > 0
Gambar
3.7:
Ruang
solusi
Pembatas-pembatas dalam
bentuk
standar
Solusi-solusi basis dari
bentuk
standar
50
5l
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
19/34
Setiap
titik
pada
ruang
solusi
di
atas dapat direpresentasikan
bagai variabel-variabel
xl,
x2,
St, 52,
dan
Sa dari
bentuk
nya. Jika
51
=
0,
maka
garisnya
adalah
x1
=
4 yang
presentasikan sudut BC.
Jika
Sr
>
0,
maka
titik-titik
frsibel
gerak
ke
arah
produk
1 dari ruang
solusi tersebut.
Dari
Gambar
3.7
di
atas
kita
juga
dapat
titik-titik ekstrem
secara
aljabar
sebagai berikut:
Tabel
3.2: ldentilikasl titik-Utik ekstrem
secara allabar
Dari
uraian di
atas,
ada dua
hal
yang
dapat kita
si
yaitu:
1. Karena bentuk standar
persoalan
ini memiliki 3
persam
pembatas
dengan 5 anu,
maka
setiap
titik ekstrem
pasti
miliki
sebanyak
2
(=
5
-
3) variabel
yang
berharga
nol.
2. Titik-titik
ekstrem
yang
berdekatan,
berbeda
hanya
pada
variabel.
Kesimpulan
pertama
menunjukkan bahwa
kita
dapat
identifikasi
titik-titik
ekstrem
suatu
ruang solusi
secara
dengan cara
mengenolkan
sebanyak
(n
-
m) variabel.
Bany
persamaan
pembatas
fungsional
adalah
m,
sedangkan
variabel (m < n) adalah
n.
Secara
matematis, solusi
yang
diperoleh
dari
pengenolan
(n
m)
variabel
itu
kemudian disebut
sebagai
solusi bosls
(basic
tion).
Jika
suatu
solusi
basis
dapat
memenuhi
pembatas-pem
nonnegatif,
maka solusi
ini
disebut
sebagai
solusi
basis
(feasible
basic
solution).
Variabel-variabel
yang
dinolkan
di
sebagai
variabel-uariabel
nonbasis
(non-basic
variables),
dan
si
nya disebut
sebagai
uariabel-uariabel
basis
(basic
vari
Jumlah
iterasi maksimum dalam
metode simpleks
adalah
dengan
jumlah
maksimum
solusi basis
dalam
bentuk
lh'ngan
demikian,
iumlah
iterasi
simpleks ini
tidak
nkan
lebih
rlnri:
Cf.=n /t(n-m) m
l
Dari kesimpulan
yang
kedua,
titik
ekstrem
yang
berdekat-
nrnyn
hanya
berbeda
pada satu
variabel,
kita
dapat menetapkan
lll.lk
ekstrem
berikutnya
dengan mengganti
variabel
nonbasis
tvnrinbel
yang
dinolkan)
yang
telah
dicapai
dengan
variabel
basis
varrg
telah
dicapai.
Sebagai contoh,
pada
persoalan
Pl
Indah
(lelns,
misalkan
bahwa kita
sedang
berada di titik
A dan
akan
lnlgorak ke
titik
E.
Untuk
dapat
mencapai
titik E ini kita
naik-
lnn
harga
variabel nonbasis xg
dari nilainya
semula
(yaitu
0)
Irlrrgga mencapai
titik
E. Pada
titik E, variabel
Sz
(yang
sebelum-
rrvn
merupakan
variabel basis di
titik
A)
secara
otomatis
menjadi
nrrl,
nrtinya menjadi
variabel nonbasis.
Dengan
demikian,
per-
;nrrl.inn
ini
terjadi
antara x2
dan
52,
seperti
terlihat
pada
tabel
hallh
ut:
ekstrem
Variabel
nonbasis
Variabel
basis
A
E
xt
,
xl
,
Sr,
Sr,
,Ss
,Ss
Tabel
3.3:
Pergantian
varlabel
basls
dan nonbasls
9 4
I Algoritma
simplehs untuh
persoalan
mahsimasi
l,rrlrrk
menyelesaikan persoalan
programa
linier
dengan
meng-
g
rl
rn
h rr
n metode
simpleks,
lakukanlah
langkah-langkah
berikut:
I
l(onversikan
formulasi
persoalan
ke
dalam
bentuk
standar.
1
(
lrrri
solusi
basis
fisibel
(BFS).
,t
,likn
seluruh
NBV mempunyai koefisien
nonnegatif
(artinya
lrr,r'[1s1g" positif
atau
nol)
pada
baris fungsi tujuan
(baris
per-
6,unrran
z
yang
biasa
juga
disebut baris
0), maka
BFS
sudah
ogrl,irnal.
Jika
pada
baris
0
masih
ada variabel
dengan ko-
llir;icn
negatif,
pilihlah
salah
satu
variabel
yang
mempunyai
Ilhk
52
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
20/34
0
48
20
I
5
4.
koefisien
paling
negatif
pada
baris
0
itu.
Variabel
ini
akan
memasuki
status
variabel basis,
karena
itu
variabel
ini
di-
sebut
sebagai
variabel
yang
masuk
basis
(entering
variable,
disingkat
EV).
Hitung
rasio
dari
(Ruas
kanan)
l(Koefisien
EV)
pada
setiap
baris
pembatas
di
mana
EV-nya
mempunyai
koef,rsien
positif'
Variabel
basis
pada
baris
pembatas
dengan
rasio
positif
kecil akan
berubah
status
menjadi
variabel
nonbasis.
V
ini
kemudian
disebut
sebagai
riariabel
yang
basis
atau
leauing
uariable,
disingkat
LV'
Lakukan
operasi
baris
elementer
(ERO)
untuk
koeflrsien
EV
pada
baris
dengan
rasio
positif
terkecil
ini
jadi
berharga
1 dan
berharga
0
pada
baris-baris
lainnya.
Kembali
ke
langkah
3.
Catatan:
Jika
ditemukan
lebih
dari
satu
baris
yang nr
Formulasi
ini
dapat
juga
ditulis
dalam bentuk kanonik
sbb.:
llarls0 z-60xr-
30xz
-
20xg
=
8xr+ 6xz+
xg+Sr
=
4xr
+
2 xz+
1,5x9
+Sz
=
Zxr
+
1,512+
0,5x9 +Sg
=
+Sl
=
Lunghah
2.: Menentukan
solusi
basis
frsibel
(BFS)
llarl
bentuk
kanonik
di atas,
jika
kita
tetapkan
xl
=
x2
=
xB
=
0
rrrakn
akan kita
dapatkan harga-harga
Sl,
52,
SB,
dan
Sl,
yaitu
rnrnn dengan
ruas
kanan
masing-masing
baris.
Dengan
mengikut-
ror[nkan baris 0
maka
kita
dapatkan:
llV
=
{
z,
Sl, Sz, Sg, Sl
I
;
NBV
=
{
xl,
x2,
xg
}
llFS-nyaadalah:
z=0; Sr=
48,
Sz=20, Sa=
$
Se=5; dan
xl
=x2=x3=0
Frlxrrti
terlihat
dari
contoh
di
atas,
variabel slack
dapat
diguna-
Iltr robagai
variabel basis untuk suatu
persamaan
pembatas
apa-
hile
ruas
kanan
dari
pembatas
itu
berharga
nonnegatif.
I,ughah
3:
llarl
formulasi
kanonik
di atas
kita
tahu
bahwa.
seluruh
NBV
rtlarrrlrunyai
koefisien
yang
berharga
negatif sehingga
pada
iterasi
lnl llFS
belum
optimal. Karena variabel
xl
mempunyai koefisien
ynrrg
paling
negatif
(lihat
baris 0
formulasi kanonik,),
maka
va-
rlelxrl
xr terpilih
sebagai
variabel
yang
akan
menjadi
variabel
hnsla
(cntering
variabel).
t.nqhuh
4:
Menghitung rasio dan melakukan
ERO
Itrrgio
dari
baris
I
adalah
48/8
=
6
Itnnio
dari baris
2
adalah
20/4
=
5
Itngio
dari baris 3 adalah
8/2
=
4 rasio
terkecil
llcl
trrl
menunjukkan
bahwa
xr
akan
menjadi
variabel
basis
pada
l,er
tn
il,
rnenggantikan
Se
yang
berubah statusnya
menjadi
varia-
l,el
rrlrrbasis
(NBV).
Dengan
kata lain,
sebagai
akibat dari
ter-
Ftlilrrryn
xr
sebagai
EV, maka Ss
menjadi LV.
llnris
1
hnrls
2
llarh
3
llarls
4
punyai rasio
positif
terkecil,
pilihlah
salah
satu
Cara
ini
tidak
akan
mempengaruhi
hasil
perhitung
an
akhir.
Contoh:
Maksimumkan:
z
=
60
xl
+
30
x2
+
20
x3
berdasarkan:
8xr
+
6
x2 +
4xt
+
2
x2
+
2xt +
1,5x2
+
x2
xLX2r$
>
0
xa
18,
adalah
sama dengan
-3xr -
2xz
-18.
Dengan
menambahkan
variabel
slaclz
menjadi
-3xr
-
2xz
SB
=
-18,
Se
tidak
bisa
menjadi
variabel
basis
awal
karena
nya negatif.
Untuk
menyelesaikan
kedua
jenis
kasus
tersebut,
kita
merlukan
adanya
variabel dummy
(variabel
palsu)
yang
di
uariabel aftifisial,
sehingga variabel
basis
awal
bisa
tetap
ada.
bagai
ilustrasi,
kita lihat
contoh
berikut:
Contoh
7:
Maksimumkan:
z
=
3xt
+
5x2
berdasarkan
pembatas:
xl
2xz
s 72
3xt+2xz=18
xlrx220
lh,nluk
di
atas
kita
ubah
menjadi:
z
-3xt-5xz
x1
+Sr
=Q
=4
2xz
+Sz
=12
3xr
+2xz
+Ra-18
x1X2r
Sl, 52,
Ra
2
0
l','ngaruh
variabel artifisial
(R)
ini
adalah
untuk
memperluas
dae-
urlr
(rsibel.
Pada kasus
di atas,
daerah
fisibel
berkembang
dari
se-
lrrrln
berupa segmen
garis
yang
menghubungkan
titik-titik
(2,0)
rlnrr
(4,3)
menjadi
bidang
ABCDE
pada
Gambar 3.1.
t'rttt oh
2l
Maksimumka;r; z
=
3xr
+
5xz
lxrrdasarkan
pembatas:
xl
3xr
Xlr
Fl'rrl.uk di
atas
menjadi:
z
-3xt
-5x2
n
-v
A
+Rz
=
12
+Rs
-
18
x1
-Sr
+Rr
>4
Zxz
>
L2
+2x2
=lg
x2>0
2xz
-
Sz
3xr
+
2xz
Xlr X2r
Sl, Sz,
R1, R2, Rs
)
0
Fn'lrr
rrkhirnya,
iterasi-iterasi
metode
simpleks
akan secara
oto-
*ulia
rncnjadikan
variabel
artifisial
ini
tidak
muncul lugr (b""-
h'rr
gn
nol),
yaitu
apabila
persoalan
semula telah
terselesaikan.
It,,lgrrn
kata lain,
kita
gunakan
variabel artifisial ini hanya
untuk
r*,,.rnrrlni
solusi,
dan
harus
menghilangkannya
(menjadikannya
r.erl,rrpirr
nol)
pada
akhir
solusi.
Jika
tidak demikian,
solusi
yang
.li1,r'rrlr,lr
akan
tidak
fisibel.
Untuk
itu,
maka
harus diberikan
,'e"ttl v
M
(IU
bilangan
positif
yang
sangat
besar)
pada
setiap
.erirrl,r.i
artifisial
dalam fungsi tujuannya.
Contoh:
dari
contoh 2
'lt
nlrr,;,
lirngsi
tujuannya
menjadi:
z
,=
3xl
+
lxz
-
MRr
-
MRz
-
MRe
64 65
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
26/34
atau
z- 3x1-5xz
+
MRr
+
MRz
+MRs
-
0
Perhatikan bahwa
penalty
di
atas bertanda
(-)
karena
tujuannya
berupa maksimasi.
Jika
fungsi
tujuannya
minimasi,
maka
penalty
bertanda
(+).
fungsi
Ada
dua teknik
penyelesaian
untuk
kasus
dengan variabel
artifisial
ini,
yaitu
(1)
teknik
M
dan
(2)
teknik dua
fase.
Kedua
teknik
ini
saling
berkaitan erat.
3.6-1
Tehnih
M
(metode
penalty)
Perhatikan
persoalan
di bawah
ini:
Maksimumkan:
z
=
1xt
+
lxz
berdasarkan
pembatas:
x1
s
4
2xz
1
12
3xr
+
2xz-
18
x1rx2>0
Karena
pembatas
ketiga
bertanda
(-),
maka
untuk mendapa
solusi basis awalnya kita
harus
menambahkan
variabel
arti
sehingga diperoleh
bentuk:
Maksimumkan: z=lxL
+
5xz
+ OSr
+ OSz-MRs
berdasarkan
pembatas:
xl
+
Sr
=
4
2xz
+Sz
=
12
3xt+2xz
+R3=
l$
'
xlr x2,
St, Sz,
Rg )
0
Untuk
memasukkan
model
di atas
ke
dalam bentuk
tabel,
terlebih dahulu
substitusikan
Rs
dengan cara:
Re
=
18
-3.xt-2xz
kemudian masukkan
ke
dalam
persamaan
z
sebagai
berikut:
z
=
3xL
+
5xz
+ OSr +
OSz
-
M(18
-
lxt
-
2xz)
atau:
z
=
(3M
+ 3)xr
+
(2M
-
5)xz+
OSr +
OSz
-
18M
z
-
(3M
+
3)xr
-
(2M
+
5)xz
-
OSr
-
OSz
= -18M
Hal ini
dilakukan dengan maksud agar dalam
pembuatan
simpleks awalnya, Re
sudah secara
otomatis
"dipaksa"
berh
nol.
Selanjutnya
selesaikan
persoalan
di atas
dengan cara
yang
rArrra
(lihat
Tabel
3.6).
ia&el I
i:
Tabel simpleks
penyelesaian
persoalan
PT
lndah Gelas
dengan
penr
batas
ketiga bertanda
(=)
'
,,:itrtlr
lttinnya:
illrrrirnumkani
z=
3xt
+
5xz
I'r:r
{lrrsrrrkan
pembatas:
x1
2x"
3xt
+
;t
xtrXz
beru
=12
>18
0
Basis
z
S1 D2 Rs
l
,Q
Solusi
z
1
(-3N,H)(-2M-5)000
-18M
S.l
S2
Rt
0
0
0
1
1 0 0
4
0
3
010
001;
12
18
z
1
0
(-2[Fs)
(3M+3)
0
0
-6M+12
x1
Se
Rr
0
0
0
1
0
0
0
2
100
010
4
12
2
-3
0 1 6
2
-9t2
0
(M+5/2)
0
27
X1
Sz
x2
xl
5r
Xr
0
0
0
1
0
0
0
0
1
4
6
3
1
0 312
(M+1)
0
36
0
0
0
0
-1t3
1t3
1 1t3
-1t3
01t20
1
0
0
0
0
1
2
2
6
66
o/
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
27/34
Bentuk
standar:
z= 3x,
+
5xz
+
OSr
+
OSg
+
MRz+
MRr
X1
*Sr
=
2x,
aRz
=
3xt
+
Zxz
-S3
a
R:
=
Xl , Xz,
S,
,
S.
, R, , R.)0
(Perhatikan
bahwa
penalty
M
bertanda
positif).
Substitusi:
Rz=L2-2xz
Re=18-3xr-2xz+Sa
sehingga
didapat:
z
=
3xl
+
5xz
+ OSr
+
OSs
+
M(L2-2xil
+ M(18-3xr-2xr+gt
atau
z
=
(-3M+3)x1
+(-4lttt+5;;, +OSr
+MSa +30M
z
-
(-3M+3)xr
-(-4M+5)x, -
OSt
-MSr
-30M
:l.li
2
'Il:hnih
dua
fase
lh'rrHnn
digunakannya
konstanta M yang
merupakan
bilangan
po-
attil
yrrrrg
sangat
besar
sebagai
pendlty,
maka
bisa
terjadi
ke-
anlnlr,n
perhitungan,
terutama
apabila
perhitungan
itu
dilakukan
'L,rrg'.
menggunakan
komputer. Kesalahan
itu
bisa
terjadi
kare-
fu &rrr,fisien
fungsi
tujraan
relatif
sangat
kecil
dibandingkan
'lelgnn
harga
M,
sehingga
komputer
akan memperlakukannya
se-
I'ndnr koeFlsien yang
berharga
nol.
Sebagai
contoh,
apabila
pada
lrFrar)nlrrn
teknik
M di
atas
ditetapkan
harga
M
=
100.000,
maka
lrnrlleron xr
dan x2
pada
fungsi
tujuannya
menjadi
(900.000
-
g)
rlnu
('l(X).000
-
5).
lirrssll;un
ini
bisa
dikurangi
dengan menggunakan
teknik
dua
taer'
l)i
sini
konstanta
IVI dihilangkan
dengan
cara menyelesaikan
Fere'nlnn
dalarn
dua fase
(dua
tingkatan)
sebagai
berikut:
Fitcr
L'
Fero
rrri
digunakan
untuk menguji
apakah persoalan
yang
kita
he,lof
i rnemiliki
solusi frsibel
atau tidak. Pada
fase
ini
fungsi
irrfrrarr
rrcmula
diganti
dengan
meminimurnkan
jumlah
uariabel
atttftztulnya.
Jika nilai
minimum
fungsi
tujuan
baru
ini
berharga
*r,'l tnr'[inya
seluruh
variabel
artifisial
berharga
nol),
berarti
per-
c+relnrr
rnemiliki
solusi
fisibel,
lanjutkan
ke fase
2.
Tetapi,
jika
nllnl
rrrinimum
fungsi
tujuan
baru
ini
berharga
positif,
maka
per-
.pelprr
l.irlak
memiliki
solusi
fisibel.
STOP.
f=xttt
'.'.
rilnnhrrn
solusi
basis optimum
dari
fase
1
sebagai solusi
awal
Fagl
pr,r'sonlan
semula.
Dalam
hal ini
ubahlah
bentuk fungsi
tuju-
*r
lireo I
dengan
mengembalikannya pada
fungsi tujuan
persoal-
elr
d.,rurlrr.
Pemecahan
persoalan
dilakukan
dengan
cara
seperti
l,i
q
ett
"tl1tl1
t.'
l\lrrlt:iirnumkan:
z=3'xt
+
lxz
I'r.t
r
I
r t.sirrkan
pembatas:
4
t2
18
x2
Sr 53
Rz
Rr
1
0
3
01000
1001120
-1
(-M+3/2)
(-M+1)
0
0
1
0
1 1t3
113
-113
1001120
0
0
-1t3
-'ll3
113
68
Tabel 3.7:
Tabel simpleks
penyelesalan
contoh soal
di atas
69
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
28/34
x1
3xt
+
Xlr X2
Bentuk
standar:
Maksimumkan:
z
2xz
2xz
=
>0
4
t2
18
I'.rsoalan
di
atas memiliki
solusi
fisibel.
selanjutnya
R
tidak
di-
tkutsertakan
lagi.
l,'use
2:
=
3xr +
5xz
+
OSr
+
OSz
-
MRt
x1
aSr
-
4
2x,
aSz
=
L2
3x,
+Zxz aRr
=18
X1,X2
rSr,Sr,Rt)0
Dari
persamaan
di
atas diperoleh harga
Rs
=
18
-
3ixt
-
?.xz
Fase 1:
Minimumkan:
r=Ra
atau
r= 1E-SNr-2xa
berdasarkan
pembatas:
xl
+
Sr
=
4
2xz
+Sz
=L2
3xt+
2xz
+
Rg
-
18
xttx2t
St, 52,
Rs,2 0
3Sr
+Sz
=6
xz
-
3/2Sr
-3
-ex =3+3/2Sr
Krrrnfuali
kepada
model
persoalan
semula,
dan dengan
rr
yu
bstitusikan
persamaan-persamaan
di
atas,
kita
dapatkan:
Maksimumkan: z
=
3(4-Sr)
+
5(3
-
3/2
Sr)
atau
z=9/2Sr+27
berdasarkanpembatas:
x1
+
Sr
=4
3Sr+Sz=6
-312fi
-3
Itirlnlrrrt
solusi
optimal: xt
=
2,
xz
=
6, dengan
z
=
86.
t'rtttlrth.
2
Minimumkan:
z=3xr+5xz
l,r,r'tlasarkan
pembatas:
x1 s
4
2xz
--
12
3xr+2x22
18
x1rx2>0
llnri
tabel
optimum
pada
Hn
tn
aan-persamaan
berikut:
xl+Sr
fase
1
di
atas
dapat
dituliskan
per-
=4
-+xl
=4-Sr
Iterasi Basis
Jt
Sz Rs
1
x2
Soh.rsi
0
r 0
0
0
2
18
Sr
Sa
Rs
010
0012
't2
18
1
r
{
0 0
2 6
xl
S?
Rs
100
0100
4
12
lzl
-3
o
1
lt
J
2
I
0
0
-1
0
0
xl
Se
,Q
1010
0031
01-3t20
0
-1
1t2
4
6
3
Iterasi
Basis
x2
Sr
Sz
1
Solusi
0
z
0
-9/2
0
27
x1
Se
x2
0
0
1
'l
0
0
4
31
1
4t2]
o
6l
3
1
z
0
0 3t2
36
x1
Sr
x2
100-1t3
0011t3
0101/2
2
2
6
70
77
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
29/34
Bentuk standar:
MinimumkarL:
z
=
3xr +
5xz
+
OSr
+
OSs
+
MRz
+
MRs
xl
+Sr
=
4
2xz
+Rz
=72
3xt+2xz -Sa
+Rs=18
xlrx2rStrSa,R2,Rg>0
Diperoleh
persamaan-persamaan:
Rz=
L2
-
2xz
Ra=18-3xr-2xz+Ss
Fase
7:
Minimumkan:
r=Rz+Rs
r
=
L2
-
2xz
+
18
-
3xl"-
2xz
+ Sn
r+3xt*4xz-Ss=30
Persoalan
memiliki
solusi
fisibel.
72
l,'ose
2:
Sr +1/3Ss
=2
xz
=6
:1
-1l3Sa
=2
Itrrrnfali
ke
persamaan
semula:
Minimumkan:
z=3(2
+
1/3
Sa)
+ 5
(6)
-+xl
=2+V3Sa
atau: z-Sa-36
Tabel
di atas sudah langsung
merupakan
tabel optimum
lfsri
kedua
contoh di
atas ternyata
bahwa
jumlah
iterasi
pada
lalnik
dua fase
ini
sama dengan
jumlah
iterasi
pada
teknik M.
Sntu hal
lagi
yangjuga
penting
untuk diingat
adalah bahwa
vlr'inbel-variabel artifisial tidak diikutsertakan
lagi
dalam
per-
liiltrngan
pada
fase
2 apabila
pada
akhir
fase 1,
variabel-variabel
ar lrlisial
itu
berstatus
sebagai variabel
nonbasis.
Ada kemungkin-
en
vnriabel-variabel
artifisial
itu
berstatus
sebagai
variabel
basis
y,lrrgl
bcrharga nol
pada
akhir
fase 1.
Dalam
hal ini
harus
dilaku-
barr
l.indakan
pencegahan
untuk
memastikan
bahwa
vzu'iabel
Arlrli:.;ial itu
tidak
akan
pernah
berharga
positif
selama
per-
lllrrrrpi;rn
fase 2,
Aptbila
pada
iterasi
optimum
masih
ada
variabel
artifisial
yang
lx'r'status
sebagai
variabel
basis dan
berharga
positif
(bukan
*r,li,
11111[s
hal ini
rnenjadi
tanda
bahwa
persoalan yang
ber-
=
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
30/34
berdasarkan:
Zxt+ xz12
xtrx2)0
Solusinyd
adalah
sebagai
berikut:
I(arena
variabel
artifisial R
berharga
positif
(=
4)
pada
"solusi
op.
timum"-nya, maka
sebenarnya
persoalan
di
atas
tidak memiliki
ruang
solusi
yang
fisibel. Karena
itu,
solusi
di atas hanya me-
rupakan
solusi optimum
samaran
(pseudooptimum).
3.7 Soal
1.
Persamaan
matematis suatu
programa
linier
adalah
se
berikut:
Maksimasi:
Z=3Xr+2Xz
dengan
pembatas:
4Xr
+5X25
69
ZXr
+2Xzs
30
Xr,Xz>o
Carilah harga
Xr
dan
Xz.
74
Persarnaan
matematis
suatu
program
berikut:
Minimasi:
g'
=
6Xt *
7,5X2
dengan
pembatas:
7Xr+
3
Xz>210
6Xr+12X2>180
4Xz
>
LZO
xr,xz>o
linier adalah
sebagai
Carilah
harga
Xr
,
)(z
tvt Unilever bermaksud
membuat
2
jenis
sabun,
yakni
sabun
bubuk
dan
sabun
batang.
Untuk
itu
dibutuhkan
2 macam
zat
kimia,
yakni
A
dan
B. Jumlah
zat
kimia
yang
tersedia
adalah
A
=
200
kg
dan
B
=
360
kB.
Untuk
membuat
1
kg
sabun
bubuk
diperlukan
2 kgA
dan
ll
kg B.
Untuk
membuat
1
kg
sabun
batang diperlukan
5
kg
A
rlnn
3
kg
B.
Bila
keuntungan
yang
akan
diperoleh
setiap
rnombuat
1
kg
sabun
bubuk
=
$
3 sedangkan
setiap
1 kg
enbun
batang
=
$
2, berapa
kg
jumlah
sabun
bubuk
dan
snbun batang
yang
sebaiknya
dibuat?
Srrl;uah
perusahaan
film sedang
membuat
rencana
kegiatan
unluk
tahun
yang
akan
datang.
Ada 2
jenis
frlm
yang
akan
rlilruat,
yakni
film
untuk
TV dan
film
untuk
di
gedung.
Iliaya
pembuatan
film
TV adalah
sebesar
Rp
750.000,00
a.rlnngkan biaya
pembuatan
frlm
gedung
adalah
Rp
'J
(xX).000,00
sebuah.
Film TV
dapat
dijual
dengan
harga
Rp
I :lr'0.000,00
sedangkan
frlm
gedung
dapat
dijual
dengan
lrnrgn:
Rp 3.000.000,00
sebuah.
Waktu ekuivalen
yang
dibutuhkan
untuk
membuat
se-
l,rlrl,
film
TV
-
12
minggu,
sedangkan
untuk
film
gedung
=
ll)
rninggu. Waktu
ekuivalen
yang
tersedia
selama
tahun
l.rrrrg
rrkan
datang
adalah sebanyak
600
minggu
(1
tahun
=
tirl
111i11ggu,
terdapat
L2 alaL,iadi
waktu
ekuivalen
=
50
x
12
=
rltr{)
rninggu).
75
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
31/34
Bila
dana
yang
tersedia adalah sebesar
Rp
25.000.000,00,
berapa
jumlah
masing-masing
jenis
film
yang
harus dibuat?
5. Sebuah
perusahaan
mebel
bermaksud
membuat
2
produk,
yakni
lemari
pakaian
dan tempat tidur.
Keun
setiap
lemari
pakaian adalah
sebesar
Rp
6.000,00,
bila
membuat
tempat
tidur
keuntungannya adalah
sebesar
5.000,00
sebuah.
Pembuatan
kedua
produk
tersebut
harus
melalui
2
kerja,
yakni
unit
kerja
1
dan
unit kerja 2.
Jam
kerja
pada
unit
kerja
1
adalah
40
jam/minggu,
sedangkan
pada
kerja 2
adalah 50
jam/minggu.
Setiap
lemari
pakaian
membutuhkan
unit
kerja
1
dan
1
jam
pada
unit kerja 2,
tempat
tidur
memerlukan
waktu
1,25
jam
waktu 2
jam
sedangkan
seti
pada
unit kerja
dan 1
jam
pada
unit
kerja
2.
Berapa
jumlah
lemari
pakaian dan tempat
tidur
yang
baiknya
dibuat
setiap
minggu?
6.
PI
Sayang Anak
memproduksi
dua
jenis
mainan
A dan
yang
keduanya terbuat dari
campuran
pasir
dan lilin.
A
dapat
dibuat
melalui
proses
1
atau
proses
2,
sedan
produk
B
dapat dibuat melalui proses
3
atau
proses
4.
U
mendapat
1
unit
produk
A
dan
B
pada
masing-masing
diperlukan
masukan
(input)
sebagai
berikut:
Tenaga
kerja
yang
tersedia tidak
lebih
dari
15
jam-or
sedangkan
persediaan pasir
dan
lilin adalah
120 m3
dan
rlus.
Keuntungan
proses
L,
2,
3,
dan
4
masing-masing
Rp
4,00/unit,
Rp
5,00/unit,
Rp
9,00/unit,
dan
Rp
11,00/unit.
Formulasikan persoalan
di atas
sebagai
persoalan
l)r'ograma
linier,
dan
buatlah
tabel
iterasi
awalnya.
Suatu perusahaan membuat
5
tipe
truk.
Adapun
jumlah
truk
vnng
diproduksi dibatasi
oleh
kapasitas
tiap bagian
yang
rncmbuat
masing-masing
tipe truk,
yaitu:
n. Bagian
rnetal
starnping
tidak
menangani lebih
dari
jumlah
ekuivalen 10.000
truk tipe
I.
Perbandingan
jumlah
truk
yang
dibuat
pada
bagian rnetal
stamping
adalah tipe
I :
tipe
II
: tipe
III
:
tipe
IV.:
tipe V
=
L: L,4:
2:0,8
:2,2.
h.
Bagian
asembling mesin
tidak dapat menangani
lebih
dari
jumlah
ekuivalen 15.000
truk
tipe
I.
Perbandingan
jumlah
truk
yang
dibuat
pada
bagian
asembling
mesin
adalah
tipe
I
: tipe II :
tipe
III
:
tipe IV
:
tipeV
=
1
:
1,6
:
3:1:2,6.
l
Jumlah
truk
maksimum
yang
dapat
ditangani
oleh bagi-
an
asembling
akhir adalah
sebagai
berikut:
tipe
I
7.500
buah
tipe
II
r.........,r..
5.000 buah
tipe
III
1.000
buah
tipe
fV
9.000
buah
[ipe
V
3.000
buah
Keuntungan
yang
diperoleh
dari
tipe
I
s-d.
V
masing-
rnasing
adalah Rp
350.000,
Rp
450.000,
Rp 500.000,
Rp
:|00.000,
dan Rp 400.000 per
buah.
Tentukanlah
model
matematis programa
liniernya.
'1,'rrrr,
Wall
Paper
Company"
adalah sebuah
perusahaan
yang
rrr,,rrrlrroduksi
linear
board. Produk
ini
mempunyai
lebar
,,1;rrrrlrtr
68
inci.
t
Inbuk
tahun
depan
perusahaan
ini
mendapat
pesanan
I'r
",luk
dengan
lebar
yang
berbeda-beda,
yaitu:
76 77
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
32/34
110
unit
yang
lebarnya
22
inci,
120
unit
yang
lebarnya
20
inci,
dan
80
unit
yang
lebarnya 12 inci.
Bayangkanlah
bahwa Saudara adalah
seorang
konsultan
percayaan perusahaan
tersebut. Bagaimanakah usul
Sauda
untuk
dapat
memenuhi
pesanan
tersebut,
tetapi
syarat,
jumlah
linear board
yang
terbuang
sekecil
mungkin?
9.
PT
Philips Ralin memproduksi
3
jeniVmodel
radio,
yai
model A, B,
dan
C
yang
masing-masing
memberikan
untungan
sebagai
berikut:
Model
A:
$
16
per
set
Model
B:
$
30
per
set
Model
C:
$
50
per
set
Menurut informasi
dari
bagian
penjualan,
keperluan
m
mum
per
minggu dari masing-masing
model
adalah:
ModelA=
20set
ModelB= 120set
ModelC= 60set
Proses
pembuatan
radio ini
meliputi
proses-proses
buatan
komponen,
perakitan,
dan
pengepakan
yang
un
masing-masing
model,
waktunya
adalah
sebagai
berikut:
Model A:
pembuatan
komponen :
3
jam/set
perakitan
pengepakan
Model
B:
pembuatan
komponen
perakitan
pengepakan
Model C:
pembuatan
komponen
perakitan
pengepakan
Untuk
minggu
yang
akan datang,
waktu
sebanyak:
-
untuk
pembuatan
komponen
:
1440
jam
-
untuk
perakitan
:
1920
jam
-untukpengepakan
: 576
jam
I'r'r'tanyaan:
n. Formulasikan
persoalan
di
atas
sebagai persoalan
program
linier.
lr.
Buatlah
tabel
simpleks
untuk
iterasi
awalnya
saja
li.buah
perusahaan
elektronik
membuat
2
jenis
pesawat tele-
lrrrrr,
yakpi
jenis
pusfr
button
(pB)
dan
dial
(D),
masing_
rrrnsing
dalam
3 warna
(abu-abu,
mer.ah,
hijau).
proses
grt,ngerjaannya
melalui
4 mesin,
yaitu
p,
e,
R,
dan
S.
Dari
hasil
penelitian
diperoleh
data-data
sebagai
berikut:
FglUnrlrran
;'ale
trrosin
It
u
't
F
curlrltt{
tet
rtttil
lfln
Push button
Dial
Jam
mesin
tersedia
A
M H
A
M H
0,02
0,02
0,02
0,40
-
0,40
0,06
0,06
0,06
0,06
0,'t0
_
0,10
0,16
1.700
1.400
200
1.800
0,80
0,56
0,64
1,44
1,28
1,20
3,5
jamlset
5
jam/set
4
jam/set
5
jam/set
8
jam/set
1
jam/set
1,5
jam/set
3
jam/set
llll^
Saudara
diminta
bantuannya,
bagaimanakah
rencana
l,rorluksi
yang
paling
optimum,
dan
berapa
keuntungan
yang
rrhnrr
diperoleh?
I
i
ilrurt.u
perusahaan
konfeksi pakaian
memproduksi
tiga
jenis
I'nkrriun,
yaitu
pakaian
anak-anak,
pakaian
pria,
dan
pakaian
wnrril.n.
Untuk
satu
lusin
pakaian anak-anak
diperlukan
dua
r,'l krrin
berbagai
corak
dan
warna
serta
empat
orang tenaga
Lrrln.
Untuk
satu lusin
pakaian
pria
dan satu lusin pakaian
rviurrl.r
diperlukan
masing-masing
sebanyak
empat
dan
dua
r,,l
ktin
berbagai
corak
dan warna
dengan
jumlah
tenaga
Li,r
1n
rnasing-masing
dua dan enam
orang. Kain
yang
diguna-
blrr
:rcliap
harinya
tersedia
sebanyak
dua
puluh
rol.
Tenaga
tr,r
111
.tntrt
ada mempunyai
keahlian yang
sama,
dan
jumlah-
rrr.ir
( nam
belas
orang.
perusahaan mem
78 79
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
33/34
Policy
perusahaan
mengharuskan
seluruft
tenaga
kerj
digunakan,
artinya
tidak
boleh
ada
tenaga
kerja
yang
mer
urrggtt.
Ongkos
membuat
masing-masing
jenis
pakaian
i
kan.
Tetapi,
sebagai
patokan dapat
digunakan
biaya
rata-rat
yang
besarnya
$
lSAusin pakaian
anak-anak,
$
30/lusi
pakaian
pria,
dan
$
45llusin
pakaian
wanita'
Jika
masing-masing
jenis
pakaian
itu
laku
terjual
d
harga
$
2SAusin
pakaian anak-anak,
$
54llusin
pakaian
aa"
$
53/lusin
pakaian
wanita,
bagaimanakah
model
grama
linier
persoalan
di
atas?
didasarkan
atas
model,
aksesori,
dan
jam
kerja
yang di
Direktur
Pertamina
mengatakan
bahwa
ada
dua
maca
proses
pengolahan
minYak,
Yaitu:
lro.".
lt dengan
menggunakan
bahan
I batel
mi
mentah
A
dan
3
barrel
minyak
mentah
B
sehi
dihasilkan:
50
galon
gasolin
x dan
20
galon
gasolin
Y.
dengan
menggunakan
bahan
4
barrel
mi
-"ttt
tt
A dan
Zbarrel
minyak
mentah
B
sehi
Scbuah
perusahaan
bermaksud
akan
mengiklankan
hasil
grroduksinya
dengan
menggunakan
radio
dan televisi. Anggar-
nn
yang
disediakan untuk
kebutuhan
ini
adalah sebesar
satu
.iuta
rupiah per
minggu.
Biaya
iklan
di radio
adalah Rp
5000
lror
menit,
sedangkan
biaya
iklan
di
TV
adalah
Rp
100.000
pur menit.
Perusahaan
ini
akan
menggunakan
radio
paling
rlrdikit
dua
kali
dari
penggunaan
TV
setiap
minggunya. Peng-
nlnman
perusahaan
lain
yang
sejenis
menunjukkan
bahwa
nctiap
menit
iklan
di
TV
akan
menghasilkan
peningkatan
ornzet
penjualan
sebanyak 25 kali
dari
yang
dicapai
oleh
ucliap
menit
iklan di
radio.
Pemerintah setempat menetapkan
bahwa setiap
per-
rusahaan hanya
boleh menggunakan
waktu
maksimum l
jam
aotiap
bulannya untuk keperluan iklan
di
radio
dan atau TV
ini.
Jika
persoalan
di atas kita
pandang
sebagai
persoalan
|
)rograma
linier, bagaimanakah
formulasinya?
"lndah
Leather" adalah
sebuah
perusahaan
yang
mem-
produksi
4
jenis
tas untuk
berbagai keperluan,
yaitu
tas
runtuk
belanja, tas
sekolah
anak-anak,
tas
kantor
pria,
dan
l,ns
tangan
wanita.
Seluruh
jenis
produk
ini
dibuat dari bahan
hrrlit
dan
plastik,
yang
setiap harinya
dihabiskan
paling
se-
rlikit
30
m kulit
dan
paling
sedikit
20
m
plastik.
Banyaknya
I'rrhan
yang
dibutuhkan
untuk
masing-masing
jenis
produk
1r,,r
buah
adalah
sebagai
berikut:
-
Ta*s
belanja
-
Tas
sekolah
anak-anak
-
Tas
kantor
pria
-
Tas
tangan
wanita
lmkulitdan2mplastik
2mkulitdanlmplastik
2mkulitdanSmplastik
3mkulitdan2mplastik
lrrlirrmasi
dari
kepala
bagian
produksi
menyatakan
bahwa
rrrrl.rrk
membuat
1
unit
tas
belanja diperlukan
waktu
l
jam,
1
urrit,
tas
sekolah
anak-anak 2
jam,
1
unit tas
kantor
pria
3
lrrrrr,
dan 1
unit
tas tangan
wanita
4
jam.
Diketahui
pula
lrrrlrwil
ongkos
pembuatan
masing-masing
jenis
produk
ini
di-
,lrrrrrrrkan
langsung
atau
lamanya
(waktu)
proses.
ll
t2.
t{
Proses
2:
dihasilkan:
30
galon
gasolin x dan
80
galon
gasolin
Y'
Diketahui
bahwa
persediaan
maksimum
minyak
mentah
adalah
L20
barrel
dan
minyak
mentah
B
sebanyak
180
Bagian penjualan melaporkan bahwa
untuk
tahun
d
diperlulan
sekurang-kurangnya
2800
galon
gasolin
x
2200
galon
gasolin
Y.
Keuntungan
masing-masing
proses
adalah:
US
$
5/unit
Proses
1 dan
US
$
8/unit
Proses
2.
Tentukanlah
berapa
barrel
masing-masing
minyak
yang
harus
dipakai
pada
proses
1
dan
2
agar
diperoleh
80
untungan
Yang
maksimum-
81
-
7/23/2019 OPTIMISASI bab2 dan3
34/34
Persoalan:
1. Formulasikan
persoalan
di
atas
sebagai
persoal
programa
linier.
2. Dapatkan solusi
optimumnya dengan
syarat
tidak
boleh
menggunakan
artifi.cial
uariable.
3.
Apa yang terjadi
jika
banyaknya bahan
kulit
yang
gunakan
setiap
harinya 45
m
paling
sedikit?
4. Apa
yang
terjadi
jika
ada ketentuan baru
yang
ngatakan
bahwa
untuk
tas belanja
dan
tas wanita
dibuat
harus
dipasang
masing-masing
sebuah
sedangkan
banyaknya
gesper
yang
dapat
digunakan
tiap
harinya
paling
sedikit
20
buah?
15.
"Mini
Super
Market"
mempekerjakan
tiga
karyawan
kecakapan
yang
berbeda-beda. Oleh
sebab
itu,
"Mini
Super
Market"
menetapkan
besarnya
gaji
untuk
ketiga karyawan
tersebut
berbeda-beda,
pada
kecakapannya dan tugas apa
yang
harus di
Gqji
per
bulan
ketiga
karyawan
tersebut adalah
berikut:
Bagaimanakah
pimpinan
"Mini
Super
Market"
harus
atur
tugas
ketiga karyawan
tersebut agar
biaya
minimal?
'Adi
Teknik"
adalah
sebuah
perusahaan
yang khusus
buat
roda
gigi kendaraan
bermotor. Perusahaan
ini
keterampilan
ketiga
pekerja
tersebut
berbeda_beda,
maka
upah
perjam
merekajuga
berbeda,
yakni
sebagai
berikut:
A
=
Rp
0.000,00
per
jam,
B
=
Rp
8.000,00 per
jam,
C
=
Rp 1.000,00
per
jam.
'lirbel
berikut
memperlihatkan
waktu
yang diperlukan
(iam)
,lch
ketiga
pekerja
tersebut
untuk
-"rry"i"ruikan
tiga
;;iis
;rckerjaan:
per
bul
bergantu
Pekerjaan
Lama
waktu yang
diperlukan
(jam)
A
B
c
Frais
&
bor
5
3
6
Bubut
4
5
I
Gerinda
6
7
1
llila
Saudara
adalah pemilik
,Adi
Teknik",
bagaimana
peng_
nturan
tugas
ketiga
pekerja
tersebut
agar
ongko,
p&""j-"
trrinimal?
16.
Pekerjaan
Gaji karyawan
per
bulan
(Rpl.000,00)
A
B
c
Kasir
t00
124
140
Pelayan
60 80 96
Pengafuran/Penyim-
panan
barang 88
76 68
82
punyai
3 orang
pekerja.
Karena lama
kerja
(pengalaman)
83
top related