parábolas y límites
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UNIVERSIDAD POPULAR AUTÓNOMA DEL
ESTADO DE PUEBLA
Cálculo diferencial
Aplicación de la parábola y límites en la vida cotidiana
Profesor: Jorge Manuel Morales Castro
Quinto semestre grupo “A”
Alumnos: Rebeca Guadalupe Álvarez Caloca, Erick Jonathan Pérez
Barbosa, Santiago Campos Zaldívar, Eduardo Domínguez Ojeda y
Carlos Gibrán Tejeda César
1 de diciembre de 2014
San Martin Texmelucan, Puebla.
2
Índice Introducción: ............................................................................................................ 3
Descripción del proyecto y características del mismo ............................................. 4
Cálculos del trabajo realizado ................................................................................. 9
Gráficas y esquemas que muestran claramente al proyecto realizado: ................ 13
Conclusión del trabajo realizado: .......................................................................... 14
Bibliografías ........................................................................................................... 16
3
Introducción:
¿Sabías qué?
La parábola fue un concepto el cual se
desarrolló hace mucho tiempo,
específicamente la antigua Grecia, cuando un
personaje llamado Apolonio de Perge,
Apolonio se hizo una pregunta, cuando estaba
estudiando un cono, se dio cuenta que al
realizarse un corte sobre el cono a cierta altura,
este daba origen a un nuevo lugar geométrico, lo llamó parábola.
La parábola es un lugar geométrico el cual está
presente en muchas de las estructuras modernas que
vemos a diario, y además es la base de las
telecomunicaciones hoy en día, pues gracias a esta
hoy tenemos un mejor entendimiento de cómo se
puede enviar información de manera inalámbrica y nos
permite comunicarnos más eficiente que hace 20 años.
Mientras tanto, el concepto de límite es
importante en análisis matemático; una
herramienta básica para definir la derivada
e integral definida, la existencia de número
real al definir por un sistema de intervalos
encajados, la potencia real de un real
positivo.
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Descripción del proyecto y características del mismo
El proyecto se basa básicamente en la representación de una parábola mediante
el uso de dos herramientas: un arco y un proyectil (los dos hechos por nosotros) y,
de igual manera, el uso de los límites empleando espejos.
Pero para empezar, ¿qué es una parábola y que son los límites?
La parábola es una de las cuatro secciones cónicas, junto con la circunferencia,
elipse, e hipérbola. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
se mueven de tal manera que la distancia a un punto fijo llamado foco equidista de
una recta fija llamada directriz.
Sus elementos son:
Vértice. Es el punto donde la
parábola corta a su eje focal.
Foco. Es un punto que se
encuentra situado sobre el eje
focal y la distancia que se
encuentra del vértice al foco, es
la misma que del vértice a la
Directriz.
Lado recto. La cuerda,
perpendicular al eje focal, que contiene al foco y corta a dos puntos de la parábola.
𝐿𝑅 = 𝑙 4𝑝 𝑙
Directriz. Línea recta donde la dist. (P, F)= dist.
Eje focal. Recta que contiene el foco y es perpendicular a la directriz.
Parámetro p. Distancia del foco al vértice
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De acuerdo al signo del parámetro, se determina la concavidad de la parábola:
Horizontal Vertical
“p” es positivo
“p” es negativo
A partir de lo anterior podemos mencionar que existen dos tipos de parábolas, con
centro en el origen y centro fuera del origen.
Una parábola cuyo vértice está en el
origen y su eje coincide con el eje de las
ordenadas, tiene una ecuación de la
forma 𝑦2 = 4𝑝𝑥 (en su forma canoníca)
donde el parámetro p especifica la
escala de la parábola, incorrectamente
descrita como la forma de la parábola,
ya que como se dijo antes, todas las
parábolas tienen la misma forma.
Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es
negativo se abre «hacia abajo».
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (P, 0). La
directriz es por tanto, la recta vertical que pasa por (-P, 0). A la distancia entre el
vértice y el foco se le llama “distancia focal”, de modo que en este caso la distancia
focal es igual a p. Con esta configuración se tiene:
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La ecuación de una parábola con vértice en (0,0). A continuación se muestran las
fórmulas que se utilizan para el cálculo de ecuaciones, coordenadas del foco y la
directriz.
Tipo Ecuación Foco Directriz
Vertical 𝑥2 = 4𝑝𝑦 𝐹(0, 𝑝) 𝑦 = −𝑝
Horizontal 𝑦2 = 4𝑝𝑥 𝐹(𝑝, 0) 𝑥 = −𝑝
El límite de una función:
En las aplicaciones de la definición de
limite, se presenta usualmente casos como
el siguiente: se tiene una variable “𝑣” y una
función dada “𝑧” de “𝑣”, y supone que la
variable “𝑣” recibe valores tales que 𝑣 → 𝑙.
Tenemos que examinar entonces los
valores de la variable dependiente “𝑧” e
investigar, particularmente, si “𝑧” tiende
también a un límite. Si efectivamente existe
una constante a tal que 𝑙í𝑚 𝑧 = 𝑎, entonces
se expresa esta relación escribiendo
lim𝑣→𝑡
𝑧 = 𝑎
Y se leerá: “el límite de 𝑧, cuando 𝑣 tiende a 𝑙, es 𝑎.”
Teoremas sobre límites:
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes.
Supongamos que 𝑢, 𝑣 y 𝑤 sean funciones de una variable 𝑥 y que
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lim𝑥→𝑎
𝑢 = 𝐴 lim𝑥→𝑎
𝑣 = 𝐵 lim𝑥→𝑎
𝑤 = 𝐶
Entonces son ciertas las siguientes relaciones.
1. lim𝑥→𝑎
(𝑢 + 𝑣 − 𝑤) = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2. lim𝑥→𝑎
(𝑢𝑣𝑤) = 𝐴𝐵𝐶
3. lim𝑥→𝑎
𝑢
𝑣=
𝐴
𝐵, 𝑠𝑖 𝐵 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜
En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un
cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente
de los límites respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite de divisor no
sea cero.
Si “c” es una constante (independiente de “𝑥”) y “𝐵” no es cero, de lo anterior se
deduce:
4. lim𝑥→𝑎
(𝑢 + 𝑐) = 𝐴 + 𝑐, lim𝑥→𝑎
𝑐𝑢 = 𝑐𝐴 , lim𝑥→𝑎
𝑢
𝑣=
𝑐
𝐵
Consideramos un ejemplo:
1. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 lim𝑥→𝑎
(𝑥2 + 4𝑥) = 12
Demostración: La función dada es la suma de 𝑥2 𝑦 4𝑥. En primer lugar hallaremos
los límites de esta función.
Según (2). lim𝑥→∞
𝑥2 = 4 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥2 = 𝑥 ∗ 𝑥
Según (4). lim𝑥→∞
4𝑥 = 4, lim𝑥→∞
𝑥 = 8
8
Luego, según 1, el límite buscado es 4 + 8 = 12
Cuando el límite tiene a infinito:
Si el valor numérico de una variable “𝑣” llega a ser y permanecer mayor que
cualquier número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea.
Decimos que “𝑣” se vuelve infinita.
Si “𝑣” tomo sólo valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente toma
valores negativos, se hace infinita negativamente.
La notación que se emplea en los tres casos es:
lim 𝑣 = ∞, lim 𝑣 = +∞, lim 𝑣 = −∞
Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación.
La constante “𝑐” no es cero.
1. lim𝑥→0
𝑐
𝑣= ∞
𝑐
0= ∞
2. lim𝑥→∞
𝑐𝑣 = ∞ (𝑐)(∞) = ∞
3. lim𝑥→∞
𝑣
𝑐= ∞
∞
𝑐= ∞
4. lim𝑥→∞
𝑐
𝑣= 0
𝑐
∞= 0
Ciertos límites particulares son útiles para halar el límite del cociente de dos
polinomios cuando la variable se hace infinita. El siguiente ejemplo ilustrará el
método:
Ejemplo ilustrativo: lim𝑥→∞
2𝑥3−3𝑥2+4
5𝑥−𝑥2−7𝑥3 = −2
7
9
Demostración: Divídase el numerador y el denominador por 𝑥3, que es la mayor
potencia de “𝑥” que entra en la fracción. Entonces tenemos:
lim𝑥→∞
2𝑥3 − 3𝑥2 + 4
5𝑥 − 𝑥2 − 7𝑥3 = lim
𝑥→∞
2 −3𝑥 +
4𝑥3
5𝑥2 −
1𝑥 − 7
= − 2
7
El límite de cada término que contiene “𝑥” se sustituye por ∞ haciendo que se
convierta en 0, lo que nos da como resultado − 2
7
Cálculos del trabajo realizado
Problema 1.-
Se lanzó una flecha desde una
distancia considerable en
donde nuestra ecuación nos
quedó así: 𝑦2 = 8𝑥, calcular
su vértice, su foco y la recta
directriz.
Utilizamos las fórmulas para
los elementos de la parábola, comenzamos con el vértice, tenemos una ecuación
de la forma
𝑦2 = 4𝑝𝑥
Por lo tanto sabemos que el vértice está en el origen, y se trata de una parábola
horizontal. Así que el vértice queda como: 𝑉(0,0).
Ahora, vamos con el foco, para esto sabemos que el foco es igual a 𝐹(𝑝, 0), como
no sabemos el valor de p, lo podemos calcular, ya que en la ecuación podemos
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observar que a estar en su forma canoníca, se tiene el valor de 4p, sólo lo
despejamos y así sabremos el valor del foco.
Tenemos la ecuación 𝑦2 = 8𝑥, entonces:
4p=8, ahora despejamos, el 4 está del lado izquierdo de la ecuación y le obstruye a
p para encontrarse sólo, por lo tanto, lo despejamos, el 4 se encuentra multiplicando
al 4, por lo tanto, al despejarlo, pasamos el 4 dividiendo al otro lado de la ecuación,
y tenemos:
4𝑝 = 8
𝑝 =8
4
𝑝 = 2
Ahora ya sabemos el valor de “p”, y
sabemos que el foco es igual a 𝐹(𝑝, 0),
retomando la formula, y lo único a realizar es
sustituir el valor de “p” en la ecuación, y ésta
queda:
𝐹(2,0)
Ahora resolvemos la última parte, que es encontrar la directriz, su fórmula es 𝑥 =
−𝑝, ya conocemos el valor de “p”, que es 2, entonces sólo le agregamos el signo de
– y colocamos después el valor de “p”, y queda:
𝑥 = −2
¡Listo! Ahora ya conocemos todos los datos, nuestro problema ha quedado resuelto.
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Problema 2.-
El foco de la parábola al momento de disparar nuestra flecha fue de 𝑦2 = 8𝑥, ¿en
qué coordenadas está?
Solución:
La parábola 𝑦2 = −8𝑥 tiene la forma 𝑦2 = 4𝑝𝑥,
donde esta representa una parábola horizontal,
como por lo tanto:
4𝑝 = −8
Despejando “p” nos queda
𝑃 = −8
4 𝑃 = −2
Su foco es el punto (p, 0), entonces:
𝐹(−2,0)
Problema 3.-
Hicimos una representación de la
reflexión de un objeto en dos espejos
con un ángulo específico.
Empezando de 0 a 90 grados con un
aumento de 10 grados entre cada uno.
Se observó que sucede cuando el
ángulo (límite) tiende a 180 grados, 60
grados, 30 grados, 90, grados, etc.
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Se encontró que la fórmula para calcular las imágenes reflectadas en los espejos
fue la siguiente:
lim360
𝑥− 1
Con lo que al cambiar la tendencia del límite nos quedó algo parecido a esto:
lim𝑥→0
360
0− 1 𝑌𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠
𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
1. lim𝑥→60
360
60− 1 = 5
2. lim𝑥→30
360
30− 1 = 11
3. lim𝑥→90
360
90− 1 = 3
4. lim𝑥→120
360
120− 1 = 2
5. lim𝑥→180
360
180− 1 = 1
6. lim𝑥→150
360
150− 1 = 1.4
7. lim𝑥→210
360
210− 1 = 0.714
8. lim𝑥→240
360
240− 1 = 0.5
9. lim𝑥→300
360
300− 1 = 0.2
10. lim𝑥→360
360
360− 1 = 0
La conclusión fue que dependiendo de la
abertura de los espejos es el número de
imágenes que se reflejan.
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Gráficas y esquemas que muestran claramente al proyecto
realizado:
Gráfica 1.- del primer problema
En donde observamos que la parábola
tiene su centro del origen ya que la
función dada es: 𝑦2 = 8𝑥
De igual forma sabemos que es una
función continua y que es positiva
Gráfica 2.- del segundo problema
Estas dos gráficas muestran:
Uno: la gráfica que se traza diciéndonos que es una parábola fuera del origen
Dos: el tiro que realizamos con el arco en coordenadas (0,2)
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Gráfica 3.- del tercer problema
En las imágenes de arriba se aprecian los grados de círculo y las reflexiones que el
espejo hace al momento de modificar los grados. Como ya se mencionó con
anterioridad, las imágenes proyectadas en los espejos dependen de los grados del
círculo.
Conclusión del trabajo realizado:
Con este proyecto realizado para la materia de Calculo Diferencial podemos concluir
que la rama de las matemáticas no sólo se centraliza en el estudio de los números,
si no también nos ayuda a entender nuestro entorno que nos rodea.
El uso de la parábola es muy extenso, un ejemplo es: trayectorias de objetos
celestes o cometas en los cuales se supone para los cálculos que la excentricidad
es igual a 1 (𝑒 = 1).Su periodo P es superior a los 200 años.
De igual manera: el Arco Parabólico que se
encuentra ubicado en el Centro Cívico, tiene una
altura de 18 metros. Fue diseñado por técnicos
alemanes. Está hecho de piedra de cantería de
color rosáceo.
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El arco parabólico se levanta en honor a nuestros héroes de la Guerra del Pacífico:
Miguel Grau y Francisco Bolognesi.
Las aplicaciones de la parábola, son básicamente aquellos fenómenos en donde
nos interesa hacer un haz de luz y sonido principalmente. Las lámparas sordas, un
ejemplo, los faros de auto, etcétera, de igual forma se pueden construir hornos
solares, con la propiedad de la parábola. Los micrófonos de ambiente en algunos
deportes también tienen forma paraboloide.
Por otra parte la importancia de los
límites de igual forma es necesaria
en la vida diaria, ejemplos tenemos
con: son el estudio de funciones
alrededor de un punto.
Un caso particular de los limites es
la derivada y las integrales que
tienen muchas aplicaciones en la
ingeniería tales como cálculos de
áreas, volúmenes, longitudes,
velocidades o razones de cambio en el tiempo, optimizaciones de envases (mayor
volumen utilizando el material mínimo para construirlo)
En conclusión, las diferentes herramientas que nos brindan las matemáticas son
infinitas, sólo debemos de saber cómo utilizarlas y dónde aplicarlas.
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