passage/resources/prelim/past... · 2018-02-20 · problem #4 on taking 3 random and independent...

Problem  #1         Evaluate  the  integral    

!"

!!!! !! !!!!!!!      .  

Problem  #2        Let    

    𝐿 = !!

!!!− !

!!,              0 ≤ 𝑥 ≤ 1.  

   Determine  explicitly  the  Green’s  function  𝐺(𝑥, 𝜁)  which  satisfies  the  equation      

𝐿  𝐺 𝑥, 𝜁 = 𝛿 𝑥 − 𝜁    

 with  the  boundary  conditions  𝐺 0, 𝜁 = 𝐺 1, 𝜁 = 0.    

Problem  #3       The  𝑛×𝑛  matrix  𝑄!  is  defined  by  a  sum  of  a  multiple  of  the  unit  matrix  𝐼!  plus  a  multiple  of  the  constant  matrix  𝐶!  (in  which  all  matrix  elements  are  equal  to  1).  Thus      

𝑄! 𝑎, 𝑏 = 𝑎𝐼! + 𝑏𝐶!      

 a)� Find  the  eigenvalues  of  𝑄!(𝑎, 𝑏)  and  their  degeneracies.  

 b)� Show  that  the  set  of  all  such  matrices  is  closed  under  matrix  

multiplication.    

c)� Find  the  inverse  of  𝑄! 𝑎, 𝑏 .        

Problem  #4       On  taking  3  random  and  independent  draws  from  a  Poisson  distribution  one  obtains  the  numbers  18,  16,  23.      

a)� Derive  the  maximum  likelihood  estimate  for  the  Poisson  parameter  𝜆.    

b)� Derive  the  uncertainty  on  the  maximum  likelihood  estimate.