performance analysis of a parallel link network with preemption

8/6/2019 Performance Analysis of a Parallel Link Network With Preemption

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2 0 0 6 C o n f e r e n c e o n I n f o r m a t i o n S c i e n c e s a n d S y s t e m s , P r i n c e t o n U n i v e r s i t y , M a r c h 2 2 - 2 4 , 2 0 0 6

P e r f o r m a n c e a n a l y s i s o f a p a r a l l e l l i n k n e t w o r k w i t h p r e e m p t i o n

Z h e n Z h a o B r y a n W i l l m a n S t e v e n W e b e r J a u d e li c e C . d e O l i v e i r aD e p t . o f ECE D ep t . o f ECE D e p t . o f ECE D e p t . o f ECE

D r e x e l U n i v e r s i t y D r e x e l U n i v e r s i t y D r e x e l U n i v e r s i t y D r e x e l U n i v e r s i t y

3 1 4 1 C h e s t n u t S t r e e t 3 1 4 1 C h e s t n u t S t r e e t 3 1 4 1 C h e s t n u t S t r e e t 3 1 4 1 C h e s t n u t S t r e e tP h i l a d e l p h i a , PA 1 9 1 0 4 P h i l a d e l p h i a , PA 1 9 1 0 4 P h i l a d e l p h i a , PA 1 9 1 0 4 P h i l a d e l p h i a , PA 1 9 1 0 4

zz392@drexel.edu bjw25@drexe1.edu sweber@ece.drexel.edu jau@ece.drexel.edu

A b s t r a c t - P r e e m p t i o n c a n b e u s e d t o p r o v i d e i m p r o v e d c o n t e x t , p r e e m p t i o n h a s b e e n a p p l i e d i n c a c h e - r e l a t e d e v e n t s . I n [ 2 ]

a v a i l a b i l i t y a n d r e l i a b i l i t y t o h i g h p r i o r i t y t r a f f i c o n a c o n ge s t ed a t e c h n i q u e t o b o u n d c a c h e - r e l a t e d p r e e m p t i o n d e l a y i s p r o p o s e d .n e t w o r k , o r when t h e n e t w o r k e x p e r i e n c e s l i n k o r n o d e f a i l u r e s A n o t h e r e x a m p l e i s t h e u s e o f p r e e m p t i o n i n h a n d o f f s c h e m e s i n

t h e w i r e l e s s m o b i l e n e t w o r k s f r a m e w o r k [ 3 ] .a n d t r a f f i c n e e d s t o b e r e r o u t e d . T h e u s e o f p r e e m p t i o n p e r m i t s P r e e m o n p l e s e l e c t o n e w o r m s t oP r e e m p t i o n p o l i c i e s s e l e c t one o r more s t r e a m s t o b e r e m o v e di m p r o v e d b l o c k i n g p r o b a b i l i t i e s a n d t r a f f i c a l i g n m e n t o n s h o r t - f r o m a g i v e n r o u t e i n t h e n e t w o r k i n o r d e r t o m a k e r o o m f o r ae s t p a t h s f o r h i g h p r i o r i t y t r a f f i c a t t h e e x p e n s e o f p e r f o r m a n c e n e w l y a r r i v i n g s t r e a m . T h e r e m o v e d s t r e a m may t h e n b e r e r o u t e dd e g r a d a t i o n f o r l o w p r i o r i t y t r a f f i c . S u c h p o l i c i e s h a v e b e e n o n a n ot h e r p a th i n t h e n e t w o r k ( t r a n s f e r r e d ) o r , i f n e c e s s a r y , e v i c t e dd e p l o y e d i n a v a r i e t y o f s c e n a r i o s a n d a r e v e r y a t t r a c t i v e f r o m t h e n e t w o r k ( d r o p p e d ) . W h i l e s e v e r a l c r i t e r i a ( e . g . , p r i o r i t y o f

s t r e a m , n u m b e r o f p r e e m p t e d s t r e a m s , p r e e m p t e d b a n d w i d t h , e t c . )for a evc rvdr otnehentEgneig c a n b e t a k e n i n t o a c c o u n t i n a p r e e m p t i o n p o l i c y , we c o n c e n t r a t e

T a s k F o r c e ( I E T F ) t r a f f i c e n g i n e e r i n g w o r k i n g g r o u p ( t e w g ) o n s i m p l e s t r e a m p r i o r i t y i n t h i s p a p e r . T h a t i s , a n e w l y a r r i v i n gp o i n t e d o u t t h e n e e d f o r p r i o r i t y a n d p r e e m p t i o n p a r a m e t e r s a s s t r e a m o f a g i v e n p r i o r i t y l e v e l may c a u s e t h e p r e e m p t i o n o f o n e o f

t r a f f i c e n g i n e e r i n g a t t r i b u t e s i n a M u l t i P r o t o c ol L a b e l S w i t c h i n g m o r e l o w e r p r i o r i t y s t r e a m s i f c o n t e n t i o n f o r r e s o u r c e s e x i s t s .

(MPLS) n e t w o r k . I n t h i s p a p e r we a n a l y z e a s i m pl e t w o p a r a l l e l I n t h i s p a p e r we r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o a r e l a t i v e l y s i m p l es c e n a r i o : t w o p a r a l l e l l i n k s , o n e p r i m a r y ( m o r e p r e f e r a b l e ) a n d o n e

link ntrspoigw sri c l s s w s e c o n d a r y ( l e s s p r e f e r a b l e ) . T h e s e t w o l i n k s a r e t o p r o v i d e s e r v i c ep r i o r i t y ( H P ) c l a s s h a s h a r d p r e e m p t i v e p r i o r i t y o v e r t h e l o w t o t w o t r a f f i c c l a s s e s : h i g h p r i o r i t y a n d l o w p r i o r i t y i n e l a s t i c t r a f f i c .

p r i o r i t y ( L P ) c l a s s . T h i s s i m p l e t w o l i n k t o p o l o g y c a n b e t h o u g h t We a s s u m e a l l c a l l s o f b o t h c l a s s e s a r e o f t h e s a m e b an d w i d t h w h i c h

o f a s a n a b s t r a c t i o n o f a ( m o r e d e s i r a b l e ) p r i m a r y r o u t e a n d we n o r m a l i z e t o 1 ; t h u s t h e l i n k c a p a c i t i e s a r e e x p r e s s e d i n t e r m s

a ( l e s s d e s i r a b l e ) s e c o n d a r y r o u t e c o n n e c t i n g a g i v e n s o u r c eo f t h e maximum n u m b e r o f s i m u l t a n e o u s c a l l s t h e y may s u p p o r t .

a d ( l e s s d e s i r a b l e ) s e o n a r y e r o u t e w o n n e .T i n a e g i v n s o u c T h e l o w a n d h i g h p r i o r i t y a r r i v a l p r o c e s s e s a r e a s s u m e d t o b ed e s t i n a t i o n p a i r i n a l a r g e n e t w o r k . T h e p r e e m p t i o n p o l i c y i n d e p e n d e n t a n d P o i s s o n , a n d t h e c a l l d u r a t i o n s a r e e x p o n e n t i a l s op e r m i t s b o t h p r e e m p t i o n f r o m t h e p r i m a r y l i n k t o t h e s e c o n d a r y t h a t t h e r a n d o m p r o c e s s d e s c r i b i n g t h e n u m b e r o f a c t i v e c a l l s o f e a c h

l i n k ( a t r a n s f e r ) i f p o s s i b l e , a n d e v i c t i o n f r o m e i t h e r l i n k i f p r i o r i t y l e v e l o n e a c h o f t h e t w o l i n k s i s a c o nt i n u o u s t i m e M a r k o v

n e c e s s a r y . A n a l y s i s o f t h e s y s t e m i s t r i v i a l f o r HP s t r e a m s , c h a i n . I n f a c t b o t h t h e p r i m a r y l i n k a n d t h e s y s t e m a s a w h o l e may

a n d q u a l i t y o f s e r v i c e ( Q o S ) i s c a p t u r e d b y t h e a d m i s s i o n b e v i e w e d a s M/M/c/c q u e u e s s e r v i c i n g t w o p r i o r i t y c l a s s e s . I tp r o b a b i l i t i e s . the p r im ar y and secondary.inks (which are

i s w e l l k n o w n t h a t t h e b l o c k i n g p r o b a b i l i t i e s f o r s u c h q u e u e s a r e

g i v e n b y t h e E r l a n g - B b l o c k i n g p r o b a b i l i t y f o r m u l a . We e x p l o i t t h i si n d e p e n d e n t o f t h e L P t r a f f i c ) . F o r t h e L P s t r e a m s , h o w e v e r , q u e u e - b a s e d i n t e r p r e t a t i o n t o d e r i v e e x p r e s s i o n s c a p t u r i n g t h e r a t e a t

t h e QoS i s s p e c i f i e d b o t h b y a d m i s s i o n r a t e s o n b o t h l i n k s a s w h i c h l o w p r i o r i t y s t r e a m s a r e p r e e m p t e d ( t r a n s f e r r e d o r d r o p p e d )w el l a s p r e e m p t i o n r a t e s f r o m b o t h l i n k s . We a r e a b l e t o a n a l y z e f r o m t h e t w o l i n k s .

t h e p r e e m p t i o n a n d d e p a r t u r e r a t e s o f L P s t r e a m s i n t h i s s y s t e mT h i s E r l a n g - B b a s e d a n a l y s i s i s q u i t e s u c c e s s f u l i n c h a r a c t e r i z i n g

t h e p e r f o r m a n c e o f LP s t r e a m s i n t h e s y s t e m , h o w e v e r i t c a n n o ti n t e r m s o f t h e E r l a n g - B b l o c k i n g p r o b a b i l i t y e q u a t i o n f o r a n f u l l y c h a r a c t e r i z e a l l q u a n t i t i e s o f i n t e r e s t . T h i s l i m i t a t i o n i s f u n -M/M/c/c q u e u e . N u m e r i c a l a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w v e r y d a m e n t a l l y d u e t o t h e f a c t t h a t t h e a r r i v a l p r o c e s s a t t h e s e c o n d a r y

g o o d a g r e e m e n t a n d d e m o n s t r a t e s o m e i n t e r e s t i n g b e h a v i o r . l i n k i s n o t P o i s s o n ( b e c a u s e o f t h e t e m p o r a l c o r r e l a t i o n s i n b l o c k i n gs t r e a m s f r o m t h e p r i m a r y l i n k ) . We p r e s e n t n u m e r i c a l a n d s i m u l a t i o n

I . INTRODUCTION r e s u l t s w h i c h s h o w v e r y c l o s e a g r e e m e n t a n d v a l i d a t e o u r a n a l y s i s .T h e r e s t o f t h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s . R e l a t e d w o r k o n

Demand f o r s t r e a m i n g m e d i a o n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k scon-. . .t i n u e s t o i n c r e a s e a n d ma y p o s s i b l y i n t h e f u t u r e e c l i p s e t h e p r e e m p t i o n p o l i c i e s a n d t h e i r p e r f o r m a n c e a n a l y s i s i s p r e s e n t e d i n

S e c t i o n I I . S e c t i o n I I I i n t r o d u c e s t h e m o d e l f r a m e w o r k a n d n o t a t i o n .v o l u m e o f d a t a t r a f f i c o n t h e I n t e r n e t . P r e e m p t i o n p o l i c i e s f o r T e p r . e e m t i o np o l i c s r e d u e s c r i e d a n de n t h t r i c si n e l a s t i c t r a f f i c h a v e g a i n e d a t t e n t i o n i n r e c e n t y e a r s a s a f l e x i b l e T a e g i e e c t i o n p r e s e n t s t e s m a t h e m a n a l y s i so r t h e e t r w c s

a n d f f e t i v e c o n r o l e ch n is mt o y n am ca ly alocae caa ia r e g i v e n . S e c t i o n I V p r e s e n t s t h e m a t h e m a t i c a l a n a l y s i s o f t h e t w o

a n d e f f e c t i v e c o n t r o l m e c h a n i s m t o d y n a m i c a l l y a l l o c a t e c a p a c i t y l i k t w proiylvlsse.Nmrcladsmlto.eut

. . ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ t y . . l i l n k s t w o p r i o r i t y l e v e l s y s t e m . N u m e r i c a l a n d s i m u l a t i o n r e s u l t sa m o n g c o m p e t i n g t r a f f i c c l a s s e s w i t h d i f f e r e n t p r i o r i t i e s ( s e e r e l a t e d a

w o r k b e l o w ) . I n f a c t p r e e m p t i o n p o l i c i e s a l s o h a v e b e e n w i d e l y a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n V .e m p l o y e d i n t h e c o n t e x t o f M P L S w h e r e t h e p r e e m p t i o n a t t r i b u t e a r e p r e s e n t e d i n S e c t i o n V Id e t e r m i n e s w h e t h e r a L a b e l S w i t c h e d P a t h ( L S P ) w i t h a c e r t a i n I I . RELATED WO RKp r i o r i t y a t t r i b u t e c a n p r e e m p t a n o t h e r LS P w i t h a l o w e r p r i o r i t y I n t h i s s e c t i o n we h i g h l i g h t t h e r e l a t e d w o r k a n d g r o u p i t i n t oa t t r i b u t e f r o m a g i v e n p a t h , w h e n t h e r e i s a c o m p e t i t i o n f o r a v a i l a b l e t w o d i f f e r e n t t y p e s o f l i t e r a t u r e o n p r e e m p t i o n . T h e f i r s t g r o u p c o n -r e s o u r c e s . T h e p r e e m p t e d L SP may t h e n b e r e r o u t e d . P r e e m p t i o n c e n t r a t e s o n p r o p o s i n g p r e e m p t i o n p o l i c i e s , o p t i m a l a n d h e u r i s t i c s ,c a n b e u s e d t o a s s u r e t h a t h i g h p r i o r i t y L S P s c a n b e a l w a y s a n d e v a l u a t i n g t h e i r c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y . T h e s e co n d g r o u pr o u t e d t h r o u g h r e l a t i v e l y f a v o r a b l e p a t h s w i t h i n a d i f f e r e n t i a t e d c o n c e n t r a t e s o n p r e e m p t i o n m o d e l in g o n a s i m p l e n e t w o r k ( s i n g l es e r v i c e s e n v i r o n m e n t . I n t h e s a m e c o n t e x t , p r e e m p t i o n c a n b e l i n k ) .u s e d t o i m p l e m e n t v a r i o u s p r i o r i t i z e d a c c e s s p o l i c i e s a s w e l l a s I n 1 9 9 2 , G a r a y a n d G o p a l a d d r e s s e d t h e c a l l p r e e m p t i o n p r o b l e mr e s t o r a t i o n p o l i c i e s f o l l o w i n g f a u l t e v e n t s [ 1 ] . I n a c o m p u t i n g s y s t e m i n c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s [ 4 ] . T h e a u t h o r s s h o w e d t h a t t h e p r o b -

1 - 4 2 4 4 - 0 3 5 0 - 2 / 0 6 / $ 2 0 . O O © C 2 0 0 6 IEEE 2 7 1

8/6/2019 Performance Analysis of a Parallel Link Network With Preemption

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l e m o f s e l e c t i n g a c o n n e c t i o n f o r p r e e m p t i o n i n o r d e r t o m i n i m i z e i s n o t o n p r e e m p t i o n h o w e v e r .t h e n u m b e r o f p r e e m p t e d c o n n e c t i o n s o r m i n i m i z i n g t h e a m o u n t o f I I I . D E F I N I T I O N S A N D N O T A T I O Nb an d w i d t h p r e e m p t e d i s N P - c o m p l e t e . T h e y t h e n p r o p o s e d h e u r i s -

ThetwoAN D N O T A T I O N

t i c s f o r a c e n t r a l i z e d n e t w o r k f r a m e w o r k t h a t w e r e s h o w n t o p e r f o r m T h e t wo p a r a l l e l l i n k n e t w o r k i s d e p i c t e d g r a p h i c a l l y i n F i g u r er e a s o n a b l y w e l l r e l a t i v e t o t h e o p t i m a l s o l u t i o n . C i t i n g G a r a y a n d 1 T h e t o p f i g u r e i l l u s t r a t e s q u a n t i t i e s p e r t a i n i n g t o HP s t r e a m s a n dG o p a l ' s w o r k, P e y r av i a n a n d K s h e m k a l y a n i p r o p o s e d d e c e n t r a l i z e d t h e b o t t o m f i g u r e i l l u s t r a t e s q u a n t i t i e s p e r t a i n i n g t o L P s t r e a m s . T h en e t w o r k c o n n e c t i o n p r e e m p t i o n a l g o r i t h m s i n [ 5 ] , w h i c h o p t i m i z e n o t a t i o n u s e d i n t h e f i g u r e w i l l b e d e f i n e d b e l o w . T h r o u g h o u t t h et h r e e f i x e d c r i t e r i a i n a g i v e n o rd er o f i m p o r t a n c e : n u m b e r o f p a p e r w e w i l l m a k e u s e o f b o t h a " l i n k v i e w " a n d a " s y s t e m v i e w "

c o n n e c t i o n s , b a n d w i d t h , a n d p r i o r i t y ; a n d b a n d w i d t h , p r i o r i t y , a n d o f t h e n e t w o r k I n t h e l i n k v i e w w e c o n s i d e r t h e l i n k s s e p a r a t e l yn u m b e r o f c o n n e c t i o n s . T h e s e d e c e n t r a l i z e d p o l i c i e s w e r e t h e b a s i s a n d t h e " s t a t e " o f t h e s y s t e m i s t h e n u m b e r o f H P / L P s t r e a m s o n t h ef o r t h e a u t h o r ' s w o r k o n f l e x i b l e a n d a d a p t i v e p r e e m p t i o n p o l i c i e s p r i m a r y a n d s e c o n d a r y l i n k s ( a f o u r t u p l e ) . I n t h e " s y s t e m v i e w " we

[ 6 ] , [ 7 ] , i n w h i c h a n o r d e r o f i m p o r t a n c e f o r t h e c o n s i d e r e d c r i t e r i a c o n s i d e r t h e l i n k s t o g e t h e r a n d t h e " s t a t e " o f t h e s y s t e m i s s i m p l yi s n o t f i x e d , b u t c a n b e c o n f i g u r e d b y t h e n e t w o r k p r o v i d e r a c c o r d i n g t h e t o t a l n u m b e r o f H P / L P s t r e a m s i n t h e n e t w o r kt o t h e n e t w o r k ' s b e s t i n t e r e s t . I n [ 8 ] , t h e a u t h o r s p r o p o s e d ac e n t r a l i z e d c o n n e c t i o n p r e e m p t i o n a l g o r i t h m w h i c h o p t i m i z e s t h e H i g h p r i o r i t y : l i n k v i e wp r e e m p t i o n c r i t e r i a i n a d i f f e r e n t f i x e d o r d e r . I n [ 9 ] , t h e a u t h o r sp r e s e n t e d a n a l g o r i t h m c o n c e n t r a t i n g o n b a n d w i d t h a l l o c a t i o n a n d A l1

m a n a g e m e n t w i t h p r e e m p t i o n . A b a n d w i d t h c o n s t r a i n t m o d e l s i m i l a r D i lt o Maximum A l l o c a t i o n w i t h R e s e r v a t i o n ( M A R ) , [ 1 0 ] , i s p r o p o s e da n d i m p l e m e n t e d u s i n g t h r e e c o l o r e d m a t r i c e s . T h e a l g o r i t h m i sh o w e v e r c e n t r a l i z e d ( t h e m a t r i c e s n e e d t o b e a d v e r t i s e d ) . P r e e m p t i o ni s p e r f o r m e d u n t i l a c o n n e c t i o n r e a c h e s i t s minimum b a n d w i d t h , i n A 1 2w h i c h c a s e p r e e m p t i o n i s n o t a l l o w e d . S t a n i s i c a n d D e v e t s i k i o t i s C 2 D 1 2p r o p o s e d s i m p l e p r e e m p t i o n p o l i c i e s b a s e d o n r a n d o m s e l e c t i o n ,

w h i c h d r a m a t i c a l l y r e d u c e t h e t i m e n e e d e d t o s e l e c t a s e to f

c o n n e c -t i o n s t o b e p r e e m p t e d , a v e r y i n t e s r e t i n g f e a t u r e f o r l a r g e t o p o l o g i e s[ 1 1 ] . B o t h [ 1 2 ] a n d [ 1 3 ] f o c u s o n r o u t i n g a l g o r i t h m s w h i c h c o n s i d e r H i g h p r i o r i t y : s y s t e m v i e w

p r e e m p t i o n m e c h a n i s m s . A p a t h i s s e l e c t e d b a s e d o n t h e n u m b e r o fc o n n e c t i o n s ( o r L S P s i n t h i s c a s e ) w h i c h n e e d t o b e p r e e m p t e d . T h er o u t i n g a l g o r i t h m t h e r e f o r e t r i e s t o m i n i m i z e t h e p r e e m p t i o n e v e n t s A la n d t h e r e f o r e t h e n e e d f o r r e r o u t i n g . R e c e n t l y , V i e i r a a n d G u a r d i e i r o C =C l + C 2 D 1 0i m p l e m e n t e d d e O l i v e i r a ' s p r e e m p t i o n p o l i c i e s u s i n g f u z z y l o g i c a n dg e n e t i c a l g o r i t h m i n a n M P L S t e s t - b e d a n d d i s c u s s t h e i r a p p r o a c hi n [ 1 4 ] . T h e w o r k i n [ 6 ] , [ 7 ] , [ 8 ] , [ 9 ] , [ 1 1 ] , [ 1 2 ] , [ 1 3 ] , [ 1 4 ] i s a p p l i e d IF_t o a D i f f e r e n t i a t e d S e r v i c e s ( D i f f S e r v ) a w a r e M P L S s c e n a r i o .

O u r p r i m a r y c o n t r i b u t i o n i n t h i s w o r k i s t h a t we a n a l y z e t h ep e r f o r m a n c e o f a m u l t i p l e l i n k n e t w o r k h a n d l i n g m u l t i p l e s e r v i c ec l a s s e s o f i n e l a s t i c t r a f f i c w i t h p r e e mp t i v e p r i o r i t y . M o s t r e l a t e d Low p r io r i t y : l i n k v i e ww o r k o n p r e e m p t i o n e i t h e r d i s c u s s e s t h e c a s e o f e l a s t i c t r a f f i c ( e . g . , A 2M/G/1 q u e u e s ) , o r m u l t i p l e s e r v i c e c l a s s e s o f i n e l a s t i c t r a f f i c o n 2 c l

D 2 1a s i n g l e l i n k , o r m u l t i p l e l i n k s s e r v i c i n g m u l t i p l e s e r v i c e c l a s s e sw i t h o u t p r e e m p t i o n , i . e . , m u l t i - s e r v i c e l o s s n e t w o r k s [ 1 5 ] . M i l l e r \p[ 1 6 ] u s e s m a t r i x - g e o m e t r i c m e t h o d s t o c o m p u t e s t e a d y s t a t e p r o b a - T 2 1 2b i l i t i e s f o r M / M / 1 p r i o r i t y q u e u e s , a n d C h o a n d Un [ 1 7 ] p r o v i d e a n

A

a n a l y s i s o f a c o m b i n e d p r e e m p t i v e / n o n p r e e m p t i v e p r i o r i t y M/G/1 A2 2 c 2 Dq u e u e . T h e s e a n a l y s e s , a l t h o u g h s t u d y i n g p r e e m p t i o n , a r e o f l i m i t e dr e l e v a n c e t o o u r c a s e s i n c e t h e y a r e a p p r o p r i a t e f o r e l a s t i c i n s t e a do f i n e l a s t i c t r a f f i c . T h e e a r l i e s t p a p e r t o d i s c u s s p r e e m p t i o n p o l i c i e s ' I F \ \ 2 2f o r c i r c u i t s w i t c h e d t r a f f i c , a n d i n f a c t t h e m o s t r e l e v a n t , i s b y H e l l y L[ 1 8 ] w h i c h c a m e o u t i n 1 9 6 2 . T h i s s h o r t t w o p a g e p a p e r p r e s e n t s Low p r i o r i t y : s y s t e m v i e w

t h e f r a m e w o r k f o r e m p l o y i n g t h e E r l a n g B b l o c k i n g p r o b a b i l i t ye q u a t i o n o n a s i n g l e l i n k w i t h p r e e m p t i o n . We h a v e e m p l o y e dt h i s s a m e i d e a i n o u r a n a l y s i s a n d e x t e n d e d i t t o t h e m u l t i p l e A _ + Dl i n k c a s e . H e l l y ' s m o d e l a n d a n a l y s i s wa s e x t e n d e d t o a b r o a d e r A21 C 2

c l a s s o f p o l i c i e s b y B u r k e [ 1 9 ] l a t e r t h a t s a m e y e a r . F r o m t h e n t h el i t e r a t u r e a p p e a r s t o b e s i l e n t u n t i l 1 9 8 0 w h e n C a l a b r e s e e t . a l . [ 2 0 ]

p u b l i s h e d a n a n a l y s i s o f a v o i c e n e t w o r k w it h p r e e m p t i o n . H i s p a p e ri n c l u d e s a d i s c u s s i o n o f a v a r i e t y o f d i f f e r e n t p r e e m p t i o n p o l i c i e s , P 2 0w h i c h h e t e r m s " r u t h l e s s " a n d " f r i e n d l y . " H i s a n a l y s i s i s a p p l i e dt o a n e t w o r k o f l i n k s , b u t h e e m p l o y s a p p r o x i m a t i o n s t h a t o n l yh o l d i n c e r t a i n r e g i m e s . B u z e n a n d B o n d i [ 2 1 ] p u bl i sh e d a n a r t i c l e F i g . 1 . I l l u s t r a t i o n o f t h e t w o p a r a l l e l l i n k t o p o l o g y . T h e t o p f i g u r e s h o w s

i n 1 9 8 3 s t u d y i n g a n e t w o r k o f M/M/m q u e u e s w i t h p r e e m p t i v e ( l i n k a n d s y s t e m v i e w s o f ) t h e n e t w o r k a s s e e n by HP s t r e a m s ; t h e b o t t o m

r e s u m e p o l i c i e s . T h e i r r e s u l t s a r e f o c u s e d o n m o m e n t s r a t h e r t h a n f i g u r e s h o w s t h e n e t w o r k a s s e e n b y L P s t r e a m s .d i s t r i b u t i o n s . Ngo a n d L e e p u b l i s h e d a s h o r t n o t e i n 1 9 9 0 [ 2 2 ] o na s i n g l e M / M / c q u e u e w i t h p r e e m p t i v e p r i o r i t y . On a s o m e w h a t We d e n o t e h i g h p r i o r i t y s t r e a m s w i t h t h e s u b s c r i p t 1 a n d l o wm o r e t a n g e n t i a l n o t e , t h e w o r k b y L i a n g e t . a l . [ 2 3 ] o n Qo S a w a r e p r i o r i t y s t r e a m s w i t h t h e s u b s c r i p t 2 . HP s t r e a m s a r e a s s u m e dq u e u e i n g a n a l y s i s f o r U M T S e m p l o y s a n M/M/c/K q u e u e i n g t o h a v e h a r d p r e e m p t i v e p r i o r i t y o v e r LP s t r e a m s . T h i s m e a n s am o d e l w i t h t w o s e r v i c e c l a s s e s , v e r y s i m i l a r t o o u r s . T he i r f o c u s HP s t r e a m a r r i v i n g t o f i n d t h e s y s t e m f u l l w i t h o n e o r m o r e L P

2 7 2

8/6/2019 Performance Analysis of a Parallel Link Network With Preemption

http://slidepdf.com/reader/full/performance-analysis-of-a-parallel-link-network-with-preemption 3/6

s t r e a m s w i l l i m m e d i a t e l y p r e e m p t t h e L P s t r e a m e i t h e r b y c a u s i n g . P k l : t h e r a t e a t w h i c h s t r e a m s o f c l a s s k a r e d r o p pe d f r o m l i n kt h e L P s t r e a m t o b e t r a n s f e r r e d t o t h e s e c o n d a r y p at h ( i f p o s s i b l e ) 1 , f o r k , I 1 , 2 . N o t e t h a t P 1 = 0 s i n c e HP s t r e a m s a r e n o to r d r o p p i n g t h e s t r e a m f r o m t h e n e t w o r k ( i f n e c e s s a r y ) . T h e l i n k s d r o pp ed . L e t P k o = P k l + P k 2 b e t h e t o t a l p r e e m p t i o n r a t ea r e n u m b e r e d i n o r d e r o f p r e f e r e n c e , i . e . , t h e p r i m a r y l i n k i s 1 a n d o f c l a s s k = 2 c a l l s f r o m t h e s y s t e m .t h e s e c o n d a r y l i n k i s 2 . A r r i v a l s f o r e a c h c l a s s k = 1 , 2 f o r m a n . T k l m : t h e r a t e a t w h i c h s t r e a m s o f c l a s s k a r e t r a n s f e r r e d f r o mi n d e p e n d e n t P o i s s o n p ro c es s o f r a t e A k . M o r e o v e r , e a c h c a l l o f c l a s s l i n k I t o l i n k m . I n t h e t w o l i n k c a s e t h e o n ly n o n -z e r o q u a n t i t y

k r e q u e s t s s e r v i c e f o r a n e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d l e n g t h o f t i m e o f i s T 2 1 2 : t h e r a t e a t w h i c h c l a s s 2 s t r e a m s a r e t r a n s f e r r e d f r o mm e a n / k t . l i n k I t o l i n k 2 .

C o n s i d e r f i r s t t h e a r r i v i n g HP s t r e a m s . HP s t r e a m s f i r s t s e e k . n k l : t h e n u m b e r o f s t r e am s o f c l a s s k o n l i n k 1 , f o r k , 1 1 , 2 .a d m i s s i o n o n t h e p r i m a r y l i n k 1 . T h e r e a r e t h r e e p o s s i b i l i t i e s f o r T h e f o u r t u p l e ( n i l , n 1 2 , n 2 l , n 2 2 ) i s t h e s t a t e o f t h e l i n k - v i e wt h e s t a t e o f l i n k 1 : o f t h e n e t w o r k . L e t n k O = n k l + n k 2 b e t h e t o t a l n u m b e r o f

* T h e r e i s s u f f i c i e n t f r e e c a p a c i t y o n l i n k I t o p e r m i t a d m i s s i o n ; c l a s s k s t r e a m s i n t h e n e t w o r k ; t h e p a i r ( n r o , n 2 0 ) i s t h e s t a t e* T h e r e i s n o f r e e c a p a c i t y o n l i n k 1 b u t o n e o r m o r e o f t h e o f t h e s y s t e m - v i e w o f t h e n e t w o r k .

a c t i v e s t r e a m s a r e L P ; N o t e t h a t t h e t o t a l r a t e o f p r e e m p t i o n i s t h e sum o f t h e d r o p p i n g* T h e r e i s n o f r e e c a p a c i t y o n l i n k 1 a n d a l l t h e a c t i v e s t r e a m s r a t e a n d t h e t r a n s f e r r a t e . I n p a r t i c u l a r , t h e t o t a l p r e e m p t i o n r a t e o f

o n l i n k 1 a r e H P . L P s t r e a m s f r o m l i n k 1 i s T 2 1 2 + P 2 1 . We w i l l d e r i v e e x p r e s s i o n s

I n t h e f i r s t c a s e t h e HP s t r e a m i s s i m p ly a dm i t t e d o n l i n k 1 . I n t h e f o r s e v e r a l o f t h e s e q u a n t i t i e s i n t h e n e x t s e c t i o n .s e c o n d c a s e t h e HP s t r e a m i s a d m i t t e d o n l i n k 1 a n d o n e o f t h ea c t i v e LP s t r e a m s o n l i n k 1 i s p r e e m p t e d ( s e e b e l o w ) . I n t h e t h i r d I V . SYSTEM ANALYSISc a s e t h e HP s t r e a m i s b lo c ke d f r o m l i n k 1 a n d m u s t s e e k a d m i s s i o n F o r a n o v e r v i e w o f t h e M/M/c/c q u e u e a n d t h e E r l a n g - Bo n l i n k 2 . T h e r e a r e t h e s a m e t h r e e p o s s i b i l i t i e s f o r t h e s t a t e o f b l o c k i n g p r o b a b i l i t y e q u a t i o n , t h e r e a d e r i s r e f e r r e d t o B e r t s e k a sl i n k 2 a s f o r l i n k 1 . I n t h e f i r s t c a s e t h e HP s t r e a m i s a d m i t t e d o n a n d G a l l a g e r [ 2 4 ] . We w r i t e E ( p , c ) f o r t h e E r l a n g - B b l o c k i n gl i n k 2 . I n t h e s e c o n d c a s e t h e HP s t r e a m i s a d m i t t e d o n l i n k 2 a n d p r o b a b i l i t y o f a n M/M/C/c q u e u e w i t h a r r i v a l r a t e A , s e r v i c e r a t eo n e o f t h e a c t i v e L P s t r e a m s o n l i n k 2 i s p r e e m p t e d . F i n a l l y , i n t h e 8 , a n d o f f e r e d l o a d p = A / i t . F o r n o t a t i o n a l c o n v e n i e n c e we w i l l

t h i r d c a s e , t h e HP s t r e a m i s b l o c k e d f r o m l i n k 2 a n d h e n c e f r o m w r i t e E ( p , c )=

1- E ( p , c ) t o d e n o t e t h e a d m i s s i o n p r o b a b i l i t y o ft h e s y s t e m . a n M/ M/c/c q u e u e .C o n s i d e r n e x t t h e a r r i v i n g L P s t r e a m s . From t h e p e r s p e c t i v e o f A n a l y s i s o f a d m i s s i o n r a t e s f o r HP s t r e a m s . A l t h o u g h t h e HP

a n a r r i v i n g L P s t r e a m t h e r e a r e o n l y t w o p o s s i b l e s t a t e s f o r e a c h s t r e a m s may i n d u c e p r e e m p t i o n i n t h e LP s t r e a m s , t h e HP s t r e a m sl i n k : t h e r e e i t h e r i s o r i s n o t s u f f i c i e n t f r e e c a p a c i t y f o r a d m i s s i o n . a d m i s s i o n p r o c e s s i s i n f a c t i n d e p e n d e n t o f t h e n u m b e r o f L PI f t h e r e i s s u f f i c i e n t f r e e c a p a c i t y o n l i n k 1 t h e n t h e LP s t r e a m i s s t r e a m s . T h e p r i m a r y l i n k , s e c o n d a r y l i n k , a n d s y s t e m a d m i s s i o na d m i t t e d t h e r e . I f t h e r e i s n o t , t h e L P s t r e a m t h e n s e e k s a d m i s s i o n t f t h e HP s t r e a m s a r e i v e n b:o n l i n k 2 . I f t h e r e i s s u f f i c i e n t f r e e c a p a c i t y o n l i n k 2 t h e n t h e L P g Ys t r e a m i s a d m i t t e d . I f n o t , t h e n t h e L P s t r e a m i s b lo c ke d f r o m l i n k A l l = D i , = A l E ( p l , C l ) ,2 a n d h e n c e f r o m t h e s y s t e m .

N e x t c o n s i d e r t h e p r e e m p t e d L P s t r e a m s f r o m t h e p r i m a r y l i n k A 1 2 = D 1 2 = Alo - A l l = A l E ( p l , c ) - A l E ( p l , c l ) ,1 . S u c h a s t r e a m may s w i t c h t o t h e s e c o n d a r y l i n k 2 i f t h e r e i s A l o = DioA l E ( p l , c ) .s u f f i c i e n t f r e e c a p a c i t y f o r a d m i s s i o n . I n t h i s c a s e we s a y t h e L Ps t r e a m i s t r a n s f e r r e d f r o m l i n k 1 t o l i n k 2 . O t h e r w i s e t h e L P s t r e a m T o s e e t h i s , f i r s t n o t e t h a t t h e s t a t e o f t h e p r i m a r y l i n k 1 i si s d r o p p e d f r o m l i n k 1 a n d f r o m t h e s y s t e m . F i n a l l y , c o n s i d e r a i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o f l i n k 2 . T h u s t h e HP s t r e a m s v y i n g f o rp r e e m p t e d s t r e a m f r o m t h e s e c o n d a r y l i n k 2 . T h i s s t r e a m i s d r o p p e d a d m l i s s l i o n o n t h e p r i m a r y l i l n k 1 h a v e t h e s a m e d y n a m i c s a s a n

f r o m t h e s y s t e m i r r e s p e c t i v e o f w h e t h e r o r n o t t h e r e i s f r e e c a p a c i t y M/M/C / c q u e u e w i t h a r r i v a l r a t e A 1 a n d s e r v i c e r a t e i i , a n do n t h e p r i m a r y l i n k 1 . A l 1 A t E ( p s , c a ) .G i v e n t h e a b o v e d e s c r i p t i o n , t h e s y s t e m i s c h a r a c t e r i z e d b y V i e w i n g t h e s y s t e m a s a w h o l e t h e t o t a l n u m b e r o f s t r e a m s

s p e c i f y i n g t h e f o l l o w i n g " p r i m i t i v e s " : a d m i t t e d i n t o t h e s y s t e m h as t h e s a m e d y n a m i c s a s a n M/M/c/c

* A 1 , A 2 : s t r e a m a r r i v a l r a t e s f o r e a c h p r i o r i t y c l a s s . q u e u e w h e r e c c l H C 2 i s t h e s y s t e m c a p a c i t y , A 1 i s t h e a r r i v a l* / 1 l , / t 2 : s e r v i c e r a t e s f o r e a c h p r i o r i t y c l a s s , r a t e a n d / i 1 i s t h e s e r v i c e r a t e . T h i s y i e l d s A l o = A i E ( p i , c ) .

C l , C 2 : l i n k c f o r e a c h l i n k . F i n a l l y , b y c o n s e r v a t i o n o f f l o w , t h e a d m i s s i o n r a t e t o t h e

Fromh s e p i p a c t i e s s e c o n d a r y l i n k 2 i s t h e s y s t e m a d m i s s i o n r a t e l e s s t h e p r i m a r yFrom t h e s e p r i e q u f e r e d l o a n t i t i e w e a c c l a n s d e f i n e : Aklik

a d m i s s i o n r a t e . N o t e , h o w e v e r , t h a t t h e a r r i v a l p r o c e s s t o t h ep o , P 2 : t h e o f f e r e d l o a d f o r e a c h c l a s s , w h e r e p k A k1 / 2 k , s e c o n d a r y l i n k i s n o t P o i s s on , a n d t h e r e f o r e t h e n u m b e r o f HP c a l l sf o r k = 1 , 2 . o n t h e s e c o n d a r y l i n k i s n o t a M a r k o v p r o c e s s , a n d t h e E r l a n g - B

* A s A 1 H A 2 : t h e c u m u l a t i v e a r r i v a l r a t e f o r b o t h t h e t w o e q u a t i o n d o e s n ' t a p p l y .c l a s s e s . T h e d e p a r t u r e r a t e s e q u a l t h e c o r re s p o n d i n g a d m i s s i o n r a t e s b y

c l H -P2: t h e c u m u l a t i v e o f f e r e d l o a d f o r b o t h t h e t w o c o n se r v at i o n o f f l o w . T h e s e e q u a t i o n s s p e c i f y t h e d y n a m i c s o f t h ec l a s s e s . HP s t r e a m s .C =cl - + C 2 : t h e t o t a l c a p a c i t y o f t h e t w o l i n k s w h e n v i e w e da s a w h o l e . A n a l y s i s o f a d m i s s i o n r a t e s f o r L P s t r e a m s . T h e a n a l y s i s o f LP

I t i s c o n v e n i e n t t o d e f i n e s e v e r a l q u a n t i t i e s p e r t a i n i n g t o t h e a d - s t r e a m s a d m i s s i o n r a t e s i s s i m i l a r t o t h a t o f HP s t r e a m s e x c e p t t h a tm i s s i o n , d e p a r t u r e , a n d p r e e m p t i o n r a t e s , a s w e l l a s t h e s y s t e m t h e t o t a l l o a d p = p l + P 2 i s u s e d i n c a l c u l a t i n g t h e b l o c k i n gs t a t e . E a c h o f t h e s e q u a n t i t i e s g e n e r a l i z e s i n a n a t u r a l way t o m o r e p r o b a b i l i t i e s :c o m p l e x s y s t e m s o f l a r g e r n u m b e r s o f p r i o r i t y c l a s s e s s h a r i n g l a r g e rn u m b e r s o f p a r a l l e l l i n k s . A 2 1 = A 2 E ( p , c l ) ,

A k l : t h e r a t e a t w h i c h s t r e a ms o f c l a s s k a r e a d m i t t e d o n l i n k A 2 2 = A 2 0 - A 2 1 = A 2 E ( p , c ) - A 2 E ( p , c l ) ) ,I , f o r k , 1 1 , 2 . L e t A k o A k l I A k 2 b e t h e t o t a l a d m i s s i o n A 2 0 A 2 E ( p , c ) .r a t e f o r c l a s s k s t r e a m s .

* D k l : t h e r a t e a t w h i c h s tr ea ms o f c l a s s k d e p a r t f r o m l i n k C o n s i d e r f i r s t L P s t r e a m s a r r i v i n g a t t h e p r i m a r y l i n k 1 . T h e s e1 ( o f t h e i r own a c c o r d , w i t ho u t p re e m pt i on ) , f o r k , 1 1 , 2 . s t r e a m s a r e a d m i tt e d o n ly i f t h e t o t a l n u m b e r o f a c t i v e s t r e a m s i sL e t Dko =Dkl H - D k 2 b e t h e t o t a l d e p a r t u r e r a t e f o r c l a s s k s t r i c t l y l e s s t h a n t h e l i n k 1 c a p a c i t y , i . e . , T i l l H - n i 2 l < c l . T h u s LPs t r e a m s . s t r e a m s v y i n g f o r a d m i s s i o n o n t h e p r i m a r y l i n k 1 h a v e t h e s a m e

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8/6/2019 Performance Analysis of a Parallel Link Network With Preemption

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d y n a m i c s a s a n M/M/ci/ci q u e u e w i t h o f f e r e d l o a d p . T h e s a m e f r o m t h e s y s t e m i s f o u n d t o b ec o m m e n t s a s a b o v e e x p l a i n t h e e x p r e s s i o n s f o r A 2 2 a n d A 2 0 . P ( p r e e m p t s y s . P ( ( N 1 o , N 2 0 ) c S p r e e m p

s

A n a l y s i s o f t o t a l p r e e m p t i o n r a t e s f o r L P s t r e a m s . R e c a l l t h a t P I ( b l o c k s y s . 2 ) - I P ( b l o c k s y s . 1 )t h e t o t a l r a t e o f p r e e m p t i o n i s t h e sum o f t h e d r o p r a t e p l u s t h et r a n s f e r r a t e . T h e t o t a l r a t e o f p r e e m p t i o n f r o m t h e p r i m a r y l i n k E ( p , c ) - E ( p i , c ) .1 we d e n o t e b y R 2 1 _ P 2 1 + T 2 1 2 , t h e t o t a l r a t e o f p r e e m p t i o n T h u s t h e t o t a l r a t e o f p r e e m p t i o n f r o m t h e s y s t e m a s a w h o l e i sf r o m t h e s y s t e m a s a w h o l e i s P 2 0 = P 2 1 + P 2 2 . C o n s i d e r t h e

p r i m a r y l i n k 1 : t h e s t a t e o n t h i s l i n k i s i n d e p e n d e n t o f t h e s t a t e o n P 2 0=

P 2 1 + P 2 2=

A l E ( p , c ) - A l E ( p l , c ) . ( 2 )t h e s e c o n d a r y l i n k 2 . L e t ( n i l l , n 2 l ) d e n o t e t h e s t a t e o f l i n k 1 , a n dl e t S = { ( n i l , n 2 l ) :ll H -n2l < C l } b e t h e s e t o f f e a s i b l e s t a t e s . A n a l y s i s o f d e p a r t u r e r a t e s f o r L P s t r e a m s . L o o k i n g a t F i g u r e 1T h e n t h e s e t o f s t a t e s t h a t c a u s e HP b l o c k i n g , L P b l o c k i n g , a n d L P i t i s e a s y t o s e e t h a t t h e f o l l o w i n g r a t e c o n s e r va t i o n e q u a t i o ns h o l d :p r e e m p t i o n a r e :

A 2 1 = D 2 1 + P 2 1 + T 2 1 2 ,S b l . c k l = { ( C l ) } A 2 2 + T 2 1 2 = D 2 2 + P 2 2 ,

S b l o c k 2 = { ( n l l , n 2 l ) : n l l + n 2 1 = C l } , A 2 0 = D 2 0 + P 2 0

S p r e e m p t 2 S b l o c k 2 \ S b l o c k l - L o o k i n g a t t h e f i r s t e q u a t i o n , we h a v e e x p r e s s i o n s f o r A 2 1 a n d

T h e f i r s t e q u a t i o n s a y s a HP s t r e a m i s b l o c k e d a t t h e p r i m a r y l i n k P 2 1 + T 2 1 2 , a n d t h u s t h e d e p a r t u r e r a t e o f L P s t r e a m s f r o m t h e

1 i f f i t a r r i v e s t o f i n d t h e p r i m a r y l i n k f i l l e d w i t h c l HP s t r e a m s . p r i m a r y l i n k 1 i s t h e d i f f e r e n c e o f t h e s e t w o e x p r e s s i o n s :T h e s e c o n d e q u a t i o n s a y s a L P s t r e a m i s b l o c k e d a t t h e p r i m a r y D 2 1 = A 2 1 - ( T 2 1 2 + P 2 1 )l i n k 1 i f f i t a r r i v e s t o f i n d t h e p r i m a r y l i n k f i l l e d w i t h c l s t r e a m st o t a l . T h e t h i r d e q u a t i o n s a y s a HP s t r e a m c a u s e s a p r e e m p t i o n o f a = A 2 E ( p , c l ) - A l ( E ( p , c l ) - E ( p l , c l ) ) .L P s t r e a m f r o m t h e p r i m a r y l i n k 1 i f f i t a r r i v e s t o f i n d t h e p r i m a r y S i m i l a r l y , l o o k i n g a t t h e t h i r d e q u a t i o n , we h a v e e x p r e s s i o n s f o r

l i n k f i l l e d w i t h c l s t r e a m s t o t a l a n d o n e o r more o f t h e m a r e L P . A 2 0 a n d P 2 0 , a n d t h u s t h e d e p a r t u r e r a t e o f LP s t r e a m s f r o m t h eS e e F i g u r e 2 f o r a p i c t u r e o f t h e s e t h r e e e v e n t s . s y s t e m a s a w h o l e i s t h e d i f f e r e n c e o f t h e s e t w o e x p r e s s i o n s :

D 2 0 = A 2 0 - P 2 0

n 2 l = A 2 E ( p , c ) - A l 1 ( E ( p , c ) - E ( p l , c ) ) .

F i n a l l y , n o t i n g t h a t D 2 1 + D 2 2 = D 2 0 , we o b t a i n a n e x p r e s s i o n f o rS p r e e m p t 2 t h e d e p a r t u r e r a t e o f L P s t r e a m s f r o m t h e s e c o n d a r y l i n k 2 :

C 1 ( S 2 D 2 2 ( A 2 E ( p , c ) - A l ( E ( p , c ) - E ( p l , c ) ) )

Sblock 2 _ ( A 2 P ( p , c l ) - N l ( E ( p , c l ) - - E ( p l , c l ) ) ) .

S b l o c k 1 L i m i t a t i o n s o f t h e a n a l y s i s . T h u s f a r we h a v e s u c c e s s f u l l y a p p l i e dt h e E r l a n g - B e q u a t i o n t o d e r i v e e x p r e s s i o n s f o r t h e a d m i s s i o n ,p r e e m p t i o n , a n d d e p a r t u r e r a t e s o f HP a n d L P s t r e a m s f r o m b o t h t h e

ni:s p r i m a r y a n d s e c o n d a r y l i n k s . T h e r e are t h r e e r e m a i n i n g q u a n t i t i e st h a t h a v e n o t b e e n s p e c i f i e d : t h e t r a n s f e r r a t e T 2 1 2 , t h e L P l i n k 1C J d r o p r a t e P 2 1 , a n d t h e LP l i n k 2 d r o p r a t e P 2 2 . A t f i r s t i t w o u l d

a p p e a r t h a t we h a v e t h r e e e q u a t i o n s i n t h e s e u n k n o w n s :

F i g . 2 . I l l u s t r a t i o n o f t h e s t a t e s p a c e S f o r t h e p r i m a r y l i n k 1 . T h e x - a x i s T212+2 1 = A 2 1D21i s t h e n u m b e r o f HP s t r e a m s , t h e y - a x i s i s t h e n u m b e r o f LP s t r e a m s . P 2 1 + P 2 2 = A2 0 - D 2 0

By PA S T A ( P o i s s o n a r r i v a l s s e e t i m e a v e r a g e s ) , t h e p r o b a b i l i t y - T 2 1 2 + P 2 2 = A 2 2 - D 2 2o f t h e s e e v e n t s a r e f o u n d b y s u m m i n g t h e i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o n o v e r H o w e v e r , f u r t h e r a n a l y s i s s h o w s t h a t t h e s e e q u a t i o n s a r e n o t i n d e -t h e s t a t e s c o m p r i s i n g t h e e v e n t . T h e i n v a r i a n t d i s t r i b u t i o n f o r t h i s p e n d e n t , i . e . , we s t i l l o n l y h a v e t w o e q u a t i o n s a n d t h r e e u n k n o w n s .s y s t e m i s n o t k n o w n i n c l o s e d f o r m ( t o o u r k n o w l e d g e ) b u t t h e T h i s w o u l d s e e m t o b e a f u n d a m e n t a l l i m i t a t i o n o f t h e m o d e l . Wep r o b a b i l i t i e s o f t h e e v e n t s o f i n t e r e s t a r e k n o w n . I n p a r t i c u l a r : h a v e t w o s y s t e m s we c a n a n a l y z e : t h e p r i m a r y l i n k b y i t s e l f a n d

t h e s y s t e m a s a w h o l e , i . e . , we c a n n o t a n a l y z e t h e s e c o n d a r y l i n kI P ( b l o c k 1 ) P I ( ( N 1 l , N 2 1 ) e S b l o c k l ) = E ( p l , c l ) , b y i t s e l f s i n c e i t s s t a t e d e p e n d s o n t h a t o f t h e p r i m a r y l i n k . T h e

I P ( b l o c k 2 ) = P ( ( N 1 l , N 2 1 ) c S b l o c k 2 ) = E ( p , c l ) , b a s i c p r o b l e m i s t h a t we c a n n o t d e t e r m i n e t h e p r o b a b i l i t y t h a t a

I P ( p r e e m p t 2 ) I P ( ( N l l , N 2 1 ) c S p r e e m p t 2 ) s t r e a m p r e e m p t e d f r o m t h e p r i m a r y l i n k w i l l b e t r a n s f e r r e d t o t h es e c o n d a r y l i n k v e r s u s b e i n g d r o p p e d . D e t e r m i n i n g t h i s p r o b a b i l i t yPP ( b l o c k 2 ) -I P ( b l o c k 1 ) w o u l d r e q u i r e k n o w l e d g e o f t h e s t a t e o f t h e s e c o n d a r y l i n k . I n

- E ( p , c l ) - E ( p l , c l ) . p a r t i c u l a r , a p r e e m p t i o n f r o m t h e p r i m a r y l i n k i s t r a n s f e r r e d t o t h es e c o n d a r y l i n k o n l y i f t h e s e c o n d a r y l i n k i s n o t f u l l a t t h e t i m e o f

T h i s l i n e o f r e a s o n i n g i s o r i g i n a l l y d u e t o [ 1 8 ] . T h u s t h e t o t a l r a t e p r e e m p t i o n .o f p r e e m p t i o n f r o m l i n k 1 i s A n o t h e r way t o s e e t h i s i s t o n o t e t h a t o n l y f o u r e l e m e n t a r y

e v e n t s ma y b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f E r l a n g - B p r o b a b i l i t i e s :T 2 1 2 H - P 2 1 = N 1 E ( p , c l ) - AE(p1, c l ) . ( 1 ) . HP b l o c k i n g o n p r i m a r y l i n k 1 : { T i l l = c l } .

* HP b l o c k i n g f r o m t h e s y s t e m a s a w h o l e : { T i l o = c } .By a n e x a c t l y a n a l o g o u s a r g u m e n t t h e p r o b a b i l i t y o f t h e s y s t e m . L P b l o c k i n g o n p r i m a r y l i n k 1 : { T i l l H - T 2 1 = c l }b e i n g i n a s t a t e t h a t w o u l d c au se a n L P s t r e a m t o b e p r e e m p t e d . LP b l o c k i n g f r o m t h e s y s t e m a s a w h o l e : { T i l o H - T 2 0 = c } .

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8/6/2019 Performance Analysis of a Parallel Link Network With Preemption

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A l l t h e a d m i s s i o n , p r e e m p t i o n , a n d d e p a r t u r e e v e n t s a n a l y z e d a b o v e f i l l e d w i t h s t r e a m s , i . e . , L +) I l j I , which f o r t h i s e x a m p l ea r e e a s y c o m b i n a t i o n s o f t h e s e f o u r f u n d a m e n t a l e v e n t s . D e t e r m i n - t r a n s l a t e s t o a r o u n d A l = A 2 1 0 0 . T h e s e c a l c u l a t i o n s a r e b o r n o u t

i n g t h e p r o b a b i l i t y o f a L P t r a n s f e r f r o m t h e p r i m a r y l i n k t o t h e i n t h e F i g u r e . N o t e a g a i n t h e c l o s e a l i g n m e n t b e t w e e n t h e n u m e r i c a ls e c o n d a r y l i n k , h o w e v e r , r e q u i r e s c o m p u t i n g t h e p r o b a b i l i t y o f a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s .

L P P r e e m p t i o n R a t e v s A r r i v a l R a t e

T h a t i s , a p r e e m p t i o n r e q u i r e s t h e s y s t e m s t a t e b e s u c h t h a t t h e 9 0 L P I L i n k A r a t e o f p r e e m p t i o n ( s i m )

p r i m a r yl i n k i s f i l l e d , t h e r e a r e one o r more

p r e e m p t a b l eLP s t r e a m s

8 0 L PL i n k A r a t e o f

p r e e m p t i o n ( n u m )on t h e p r i m a r y l i n k , a n d t h e s e c o n d a r y l i n k i s n o t f i l l e d . T h i s t y p e 8 0 L P Sytema t e o f p r e e m p t i o n ( s i m )L P S y s t e m r a te o f p r e e m p t i o n ( n u m )

o f e v e n t i s n o t e x p r e s s i b l e a s a c o m b i n a t i o n o f t h e a b o v e f o u r 7 0 - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - -

e l e m entary e v e n t s . 6 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

V . N U M E R I C A L AND S I M U L A T I O N RE SU L T S 5We h a v e w r i t t e n s c r i p t s t o c o m p u t e a l l t h e p e r f o r m a n c e e x p r e s - ~-E

s i o n s d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . M o r e o v e r , we h a v e w r i t t e n 9 )

a P e r l s c r i p t t h a t s i m u l a t e s t h e s y s t e m . T h e c a p a c i t i e s o f t h e t w o n

l i n k s a r e f i x e d a n d e q u a l : c l C 2 1 0 ; r e a l 3 h e c p a i t e a e R 2 1 T 2 1 2 + P ' 2 1 P 2 0 = P 2 1 + P 2 2e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f s t r e a m s t h e y c a n a c c o m m o d a t e . 2 0---

W assume t h e s e r v i c e r a t e s a r e u n i t y : / 1 l = -1 1 . T h e HP a n d0------------------------------------

L P a r r i v a l r a t e s , A l , A2 a r e k e p t e q u a l t o on e a n o t h e r a n d a r e v a r i e df r o m 1 t o 2 0 0 . T h u s t h e a g g r e g a t e a r r i v a l r a t e ( H P p l u s L P ) v a r i e s 0 4L_ L _ _f r o m 2 t o 4 0 0 . T h e p l o t s r e f e r t o t h e p r i m a r y l i n k 1 a s l i n k A , a n d H P 0 4 0 6

a n d L P 0 r i a r a t X 1 4 1 6 2 0

t h e s e c o n d a r y l i n k 2 a s l i n k B .H n Parvlrt l=k

F i g u r e 3 s h o w s t h e d e p a r t u r e r a t e o f L P s t r e a m s f r o m b o t h t h e

p r i m a r y l i n k a n d t h e s y s t e m a s a w h o l e . We c a n s e e t h e t h e o r i c a l F i g . 4 . S i m u l a t i o n a n d n u m e r i c a l r e s u l t s f o r t h e p r e e m p t i o n r a t e o f L Pr e s u l t s m a t c h t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s v e r y w e l l . N o t e t h e d e p a r t u r e s t r e a m s ( d r o p s p l u s t r a n s f e r s ) v e r s u s t h e H P / L P s t r e a m a r r i v a l r a t e b o t hr a t e t r a c k s t h e a r r i v a l r a t e w h e n t h e s y s t e m i s u n d e r l o a d e d . T h e f r o m t h e p r i m a r y l i n k a n d t h e s y s t e m a s a w h o l e .

p r i m a r y l i n k s a t u r a t e s f i r s t a r o u n d A = 5 0 ; a t t h i s p o i n t t h e HPs t r e a m s a r e p r e e m p t i n g t h e L P s t r e a m s f r o m t h e p r i m a r y l i n k , R e c a l l f r o m t h e p r e v i o u s s e c t i o n t h a t o u r mode o f a n a l y s i sl o w e r i n g t h e i r c h a n c e s o f d e p a r t i n g f r o m t h e p r i m a r y l i n k . T h e s u f f e r s f r o m t h e l i m i t a t i o n t h a t we a r e u n a b l e t o d e r i v e c l o s e d f o r m

s y s t e m d e p a r t u r e r a t e p e a k s a r o u n d A =100. B e y o n d t h i s p o i n t , e x p r e s s i o n s f o r T 2 1 2 , P 2 1 a n d P 2 2 . T h e s e q u a n t i t i e s a r e a v a i l a b l et h e HP s t r e a m s a r e p r e e m p t i n g t h e L P s t r e a ms o u t o f t h e s y s t e m , v i a s i m u l a t i o n , h o w e v e r , a n d we s h o w t h e m i n F i g u r e 5 . We c a n

a g a i n r e d u c i n g t h e d e p a r t u r e r a t e . s e e t h e t r a n s f e r r a t e T 2 1 2 s t a r t s t o i n c r e a s e w h e n t h e p r e e m p t i o ns t a r t s on t h e p r i m a r y l i n k , a r o u n d A l 1 A 2 = 5 0 . T h i s i s b e c a u s et h e s e c o n d a r y l i n k i s n o t f i l l e d i n f o r A l e s s t h a n a p p r o x i m a t e l y

L P L i n k A a n d S y s t e m D e p a r t u r e R a t e s 5 0 , a n d t h u s a l l p r i m a r y l i n k p r e e m p t i o n s r e s u l t i n t r a n s f e r s t o t h e1 0 0 T T T L P L i n k A d e p a r t u r e r a t e ' ( s i m ) s e c o n d a r y l i n k . O n c e t h e s y s t e m a s a w h o l e i s f i l l e d on a v e r a g e ,

9 0 L i n k A d e p a r t u r e r a t e(num) a ro u n d A , = A 2 = 1 0 0 , t h e d r o p r a t e s b e g i n t o i n c r e a s e . T h i s i st e m d e p a r t u r e r a t e ( s i m ) o b e c a u s e f o r A g r e a t e r t h a n a ro u n d 1 0 0 a p r e e m p t e d LP s t r e a m may

8 0 L P - - - - - - - - s - - d e p a r t u r e r a t e - - - - - - - - r u m ) - - - - -------f i n d t h e s e c o n d a r y l i n k i s a l r e a d y f u l l , a n d t h u s w i l l h a v e t o b e

- - - - - - - - - k A - - - - - o - - i n 2 0 - - - - - - - T r a n s - - - - - - - - e r - - - - r a t e - - - - - - - - - s - - - m - - - - - - - - - - - - - - -

3 0 60 L P h i n k e B P r e e m p t i o ntfRomsytemsi m -

2 0 7

rr1~~H andLnkLPprarrivalratatesys-mim30

v e s s t h 0 P L s t e a a r i a r a t e - - b o t h - - - - - - f r o m - - - - - - t h e - - - - - - p ri mary ---- li nk an d theBpempin ae rm s y t m sm

Fiue4sostetercladsmlto repinrts00 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0o fPr e a s , o t h f r o t h p r m a r l i k 1andfro t h s y t e m H P a n d L P a r r i v a l r a t e X 1 2 1

l n a i n r a e o c r i n t e r g m w h r L P s r a s a e s i l b i g F i g .. S i m u l a t i o n a n n u e i l r e s u l t s f o r t h e t r a n f e r a n d d r oa t efP s t r e a m s 2

a m t e , b t o t n p e m t d A r o g c a u a i n o t h a r i a r a e v e r s u sh e H P / L P s t r e a m a r r i v a l r a t e b o t h f r o m t h e p r i m a r y l i n k a n d t h e

r a t e a i n c r e a s e s , h ah e p r e e m p t i o n r a t ef L P o t h e rpriar l i e n k wilVtCNCUINADeUUEWRs y t e n d t o a u c n s t r l a n t . d F o t h e n w h o l e a s y s t l i e m r l , t h e n L p r e v e m p o t i o r T h e F i n . t h i s u p a p e o n r w a e s u l s t u d i t e d t h e n s p e r f o r a n c r p a e o fa Pr e e a m p t os t n a r t s t i n c r e a s e a c c r o u i n d t h e p o g i n t w h e n e b o t o f t h e atominsr e policyng

vesu o n e a H i P L e t w o a p a r r i a l l r a e l l i n k n e t o r k s h e r v c n wp r i o r i i n a d t y e

],,,+ -+-- A - 1 , -F +,- 27 5

8/6/2019 Performance Analysis of a Parallel Link Network With Preemption

http://slidepdf.com/reader/full/performance-analysis-of-a-parallel-link-network-with-preemption 6/6

c l a s s e s . T hi s t o po l o g y i s i m p o r t a n t b e c a u s e i t c a p t u r e s t h e e s s e n t i a l [ 1 7 ] Y Z . C h o a n d C . K . U n , " A n a l y s i s o f t h e M / G /1 Q u e u e u n d e r

c h a r a c t e r i s t i c s o f a p r i m a r y a n d b a c k u p p a t h i n a n e t w o r k . O u r a C o m b i n e d P r e e m p t i v e / N o n p r e e m p t i v e P r i o r i t y D i s c i p l i n e , " I E E Ec o n t r i b u t i o n i n t h i s p a p e r i s t h e d e r i v a t i o n o f s e v e r a l c l o s e d f o r m T r a n s a c t i o n s o n C o m m u n i c a t i o n s , v o l . 4 1 , n o . 1 , 1 9 9 3 .e x p r e s s i o n s c a p t u r i n g t h e a d m i s s i o n , d e p a r t u r e , a n d p r e e m p t i o n r a t e s [ 1 8 ] W . H e l l y , " T w o d o c t r i n e s f o r t h e h a n d l i n g o f t w o - p r i o r i t y t r a f f i c b y ao f L P s t r e a m s i n a m u l t i p l e l i n k s y s t e m s e r v i c i n g m u l t i p l e c l a s s e s g r o u p o f N s e r v e r s , " O p e r a t i o n s R e s e a r c h , v ol . 1 0 , n o . 2 , 1 9 6 2 .o f i n e l a s t i c t r a f f i c w i t h p r e e m p t i v e p r i o r i t y . T o o u r k n o w l e d g e a l l [ 1 9 ] P a u l J . B u r k e , " P r i o r i t y t r a f f i c w i t h a t m o s t o n e q u e u e i n g c l a s s , "

o t h e r r e l a t e d w o r k o n t h i s t o p i c i s e i t h e r s i n g l e l i n k ( w i t h p o s i b l O p e r a t i o n s R e s e a r c h , v o l . 1 0 , no . 4 , 1 9 6 2 .o t h r r l a t dr k n t i s o p i i s e i t e r i n g e ln k w i t p o s i l y [ 2 0 ] D . A . C a l a b r e s e , M . J . F i s c h e r , B . E . H o i e m , a n d E . P . K a i s e r ,

m u l t i p l e c l a s s e s ) o r m u l t i p l e c l a s s e s ( w i t h o n l y a s i n g l e t r a f f i c c l a s s ) . " M o d e l i n g a V o i c e N e t w o r k w i t h P r e e m p t i o n , " I E E E T r a n s a c t i o n s

A s s h o w n i n o u r n u m e r i c a l a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s s e c t i o n , t h e u s e o f o n C o m m un i c at i o ns , v o l . 2 8 , n o . 1 , 1 9 8 0 .p r e e m p t i o n p e r m i t s i m p r o v e m e n t s i n s e r v i c e q u a l i t y f o r HP s t r e a m s [ 2 1 ] J . P . B u z e n a n d A . B . B o n d i , " T h e r e s p o n s e t i m e s o f p r i o r i t y c l a s s e sa t t h e e x p e n s e o f L P s t r e a m s . O u r a n a l y s i s p r e d i c t s t h e s e t r a d e o f f s u n d e r p r e e m p t i v e r e s u m e i n m / m / m q u e u e s , " O p e r a t i o n s R e s e a r c h ,q u i t e a c c u r a t e l y . O u r c u r r e n t w o r k o n t h i s t o p i c i s t o e x t e n d t h e v o l . 3 1 , n o . 3 , p p . 4 5 6 - 4 6 5 , M a y - J u n e 1 9 8 3 .a n a l y s i s f r o m 2 c l a s s e s o n 2 p a r a l l e l l i n k s t o a m o r e g e n e r a l k [ 2 2 ] B . N g o a n d H . L e e , " A n a l y s i s o f a p r e - e m p t i v e p r i o r i t y M / M / c m o d e lc l a s s e s o n 1 p a r a l l e l l i n k s . w i t h t w o t y p e s o f c u s t o m e r s a n d r e s t r i c t i o n , " E l e c t r o n i c s L e t t e r s , v o l .

2 6 , 1 9 9 0 .

A C K N O W L E D G E M E N T [ 2 3 ] G . L . L i a n g , S . B u r l e y , a n d M . W i t w i t , " Q o S a w a r e q u e u ei n g a n a l y s i sf o r UMTS," i n T h e 5 t h I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m o n W i r e l e s s P e r s o n a l

T h i s w o r k i s s u p p o r t e d b y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d at i o n u n d e r M u l t i m e d i a C o m m u n i c a t i o n s s , O c t o b e r 2 0 0 2 .NeTS G r a nt N o . 0 4 3 5 2 4 7 . T h e o p i n i o n s a n d f i n d i n g s i n t h i s p a p e r [ 2 4 ] D . B e r t s e k a s a n d R . G a l l a g e r , D a t a N e t w o r k s , P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 1 .a r e t h o s e o f t h e a u t h o r s a n d d o n o t n e c e s s a r i l y r e f l e c t t h e v i e w s o ft h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n .

REFERENCES

[ 1 ] D . 0 . A w d u c h e e t a l . , R e q u i r e m e n ts f o r T r a f f i c E n g i n e e r i n g o v e r MP LS,

I E T F , R F C 2 7 0 2 , S e p t e m b e r 1 9 9 9 .[ 2 ] C . - G . L e e e t a l . , " B o u n d i n g C a c he - R e l at e d P r e e m p t io n D e l a y f o r R e a l -

T i m e S y s t e m s , " IEEE T r a n s a c t i o n s o n S o f t wa r e E n gi n e e ri n g , v o l . 2 7 ,n o . 9 , p p . 8 0 5 - 8 2 6 , S e p t e m b e r 2 0 0 1 .

[ 3 ] J . W a n g , Q . - A . Z e n g , a n d D . P . A g r a w a l , " P e r f o r m a n c e A n a l y s i so f P r e e m p t i v e H a n d o f f S c h e m e f o r I n t e g r a t e d W i r e l e s s M o b i l e N e t -w o r k s , " i n P r o c e ed i ng s o f IEEE GLOBECOM'01, S a n A n t o n i o , T X ,2 0 0 1 , p p . 3 2 7 7 - 3 2 8 1 .

[ 4 ] J . A . G a r a y a n d I . S . G o p a l , " C a l l P r e e m p t i o n i n C o m m u n i c a t i o nN e t w o r k s , " i n P r o c e e d i n g s o f IEEE I N F OC O M , 1 9 9 2 , p p . 1 0 4 3 - 1 0 5 0 .

[ 5 ] A . D . K s h e m k a l y a n i M . P e y r a v i a n , " C o n n e c t i o n P r e m p t i o n : I s s u e s ,A l g o r i t h m s , a n d a S i m u l a t i o n S t u d y , " i n P r o c e e d i n g s o f IEEE I N F O -COM, 1 9 9 7 .

[ 6 ] J . C . d e O l i v e i r a , C . S c o g l i o , I . F . A k y i l d i z , a n d G . U h l , " A N ewP r e e m p t i o n P o l i c y f o r D i f f S e r v - A w a r e T r a f f i c E n g i n e e r i n g t o M i n i m i z eR e r o u t i n g , " i n P r o c e e d i n g s o f IEEE I N F OC O M , N ew Y o r k C i t y , N ewY o r k , J u n e 2 0 0 2 .

[ 7 ] J . C . d e O l i v e i r a , C . S c o g l i o , I . F . A k y i l d i z , a n d G . U h l , "NewP r e e m p t i o n P o l i c i e s f o r D i f f S e r v - A w a r e T r a f f i c E n g i n e e r i n g t o M i n -i m i z e R e r o u t i n g i n M P L S N e t w o r k s , " I E E E / A C M T r a n s a c t i o n s o nN e t w o r k i n g , v o l . 1 2 , n o . 4 , 2 0 0 4 .

[ 8 ] J . S u n g - e o k , R . T . A b l e r , a n d A . E . G o u l a r t , " T h e o p t i m a l c o n n e c t i o np r e e m p t i o n a l g o r i t h m i n a m u l t i - c l a s s n e t w o r k , " i n P r o c e ed i n g s o fIEEE I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n C o m m u n i c a t i o n s , 2 0 0 2 .

[ 9 ] S . T o n g , D . H o a n g , a n d 0 . Y a n g , " B a n d w i d t h a l l o c a t i o n a n d p r e -e m p t i o n f o r s u p p o r t i n g d i f f e r e n t i a t e d - s e r v i c e - a w a r e t r a f f i c e n g i n e e r i n gi n m u l t i - s e r v i c e n e t w o r k s , " i n P r oc e e d i n g s o f IEEE I n t e r n a t i o n a lC o n f e r e n c e o n C o m m u n i c a t i o n s , 2 0 0 2 .

[ 1 0 ] J . A s h , M ax A l l o c a t i o n w i t h R e s e r v a t i o n B a n d w i d t h C o n s t r a i n t sM o d e l f o r D i f f s e r v - a w a r e M P L S T r a f f i c E n g i n e e r i n g a n d P e r f o r m a n c eC o m p a r i s o n s , I E T F R F C 4 1 2 6 , J u n e 2 0 0 5 .

[ 1 1 ] V . S t a n i s i c a n d M . D e v e t s i k i o t i s , "A d y n a m i c s tu dy o f p r o v id i n gq u a l i t y o f s e r v i c e u s i n g p r e e m p t i o n p o l i c i e s w i t h r a n d o m s e l e c t i o n , "i n P r o c e ed i ng s o f IEEE I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n C o m m u n i c a t i o n s ,2 0 0 3 .

[ 1 2 ] F . B l a n c h y , L . M el o n , a n d G . L e du c , " R o u t i ng i n a M P L S n e t w o r k f e a -t u r i n g p r e e m p t i o n m e c h a n i s m s , " i n P r o c e e d i n g s o f 1 0 t h I n t e r n a t i o n a lC o n f e r e n c e o n t e l e c o m m u n i c a t i o n s , 2 0 0 3 .

[ 1 3 ] K . Y u , L . Z h a n g , a n d H . Z h a n g , "A P r e e m p t i o n - a w a r e P a t h S e l e c t i o nA l g o r i t h m f o r D i f f S e r v / M P L S N e t w o r k s , " i n P r oc e e d i n g s o f IEEE

W o r k s h o p o n I P O p e r a t i o n s a n d M a n a g e m e n t , 2 0 0 4 .[ 1 4 ] R . C . V i e i r a a n d P . R . G u a r d i e i r o , "A p r o p o s a l a n d e v a l u a t i o n o f a

L SP p r e e m p t i o n p o l i c y i m p l e m e n t e d w i t h f u z z y l o g i c a n d g e n e t i c a l g o -r i t h m s i n a D i f f S e r v / M P L S t e s t - b e d , " i n P r o c e e d i n g s o f I n t e r n a t i o n a l

C o n f e r e n c e o n C o m m u n i c a t i o n s , C i r c u i t s a n d S y s t e m s , M ay 2 0 0 5 .[ 1 5 ] K e i t h W . R o s s , M u l t i s e r v i c e l o s s m o d e l s f o r b r o a d b a n d c o m m u n i c a t i o n

n e t w o r k s , S p r i n g e r V e r l a g , 1 9 9 5 .[ 1 6 ] D . R . M i l l e r , " C o m p u t a t i o n o f S t e a d y - s t a t e P r o b a b i l i t i e s f o r M / M / 1

P r i o r i t y Q u e u e s ," O p er a t i on s R e s e a r c h , O p e r a t i o n M a n a g e m e n t , v o l .1 0 , n o . 2 , 1 9 6 2 .

2 7 6