predavanje 2

MATH IS FUNMentalna matematika

Bojan Pažek

bojan.pazek@gmail.comhttp://web.studenti.math.pmf.unizg.hr/~pazek

11. prosinca 2013.

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 1 / 14

Tablica množenja do 20

Mentalna matematika:

Čuti problem

Razmišljati s lijeva na desno

Primjer:63 · 7 = 60 · 7 + 3 · 7 = 420 + 21 = 441

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 2 / 14

Tablica množenja do 20

Mentalna matematika:

Čuti problem

Razmišljati s lijeva na desno

Primjer:63 · 7 = 60 · 7 + 3 · 7 = 420 + 21 = 441

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 2 / 14

Tablica množenja do 20

Mentalna matematika:

Čuti problem

Razmišljati s lijeva na desno

Primjer:63 · 7 = 60 · 7 + 3 · 7 = 420 + 21 = 441

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 2 / 14

Tablica množenja do 20

Mentalna matematika:

Čuti problem

Razmišljati s lijeva na desno

Primjer:63 · 7 = 60 · 7 + 3 · 7 = 420 + 21 = 441

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 2 / 14

Tablica množenja do 20

Množenje jednoznamenkastog broja dvoznamenkastim

Tablica : Množenje do 20 prvi dio

11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 22 24 26 28 30 32 34 36 383 33 36 39 42 45 48 51 54 574 44 48 52 56 60 64 68 72 765 55 60 65 70 75 80 85 90 956 66 72 78 84 90 96 102 108 1147 77 84 91 98 105 112 119 126 1338 88 96 104 112 120 128 136 144 1529 99 108 117 126 135 144 153 162 171

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 3 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

19 · 7 = 10 · 7 + 9 · 7 = 70 + 63 = 133

Na drugačiji način:

19 · 7 = (20 − 1) · 7 = 20 · 7 − 1 · 7 = 140 − 7 = 133

Broj 19 je također poseban (kao i broj 9)

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 4 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

19 · 7 = 10 · 7 + 9 · 7 = 70 + 63 = 133

Na drugačiji način:

19 · 7 = (20 − 1) · 7 = 20 · 7 − 1 · 7 = 140 − 7 = 133

Broj 19 je također poseban (kao i broj 9)

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 4 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

19 · 7 = 10 · 7 + 9 · 7 = 70 + 63 = 133

Na drugačiji način:

19 · 7 = (20 − 1) · 7 = 20 · 7 − 1 · 7 = 140 − 7 = 133

Broj 19 je također poseban (kao i broj 9)

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 4 / 14

Tablica množenja do 20

Množenje s 19

Tablica : Množenje s 19 = 20 − 1

Res 1st digit 2nd digit19 · 1 = 19 2 · 1 − 1 = 1 1 + 9 = 1019 · 2 = 38 2 · 2 − 1 = 3 2 + 8 = 1019 · 3 = 57 2 · 3 − 1 = 5 3 + 7 = 1019 · 4 = 76 2 · 4 − 1 = 7 4 + 6 = 1019 · 5 = 95 2 · 5 − 1 = 9 5 + 5 = 1019 · 6 = 114 2 · 6 − 1 = 11 6 + 4 = 1019 · 7 = 133 2 · 7 − 1 = 13 7 + 3 = 1019 · 8 = 152 2 · 8 − 1 = 15 8 + 2 = 1019 · 9 = 171 2 · 9 − 1 = 17 9 + 1 = 10

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 5 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

19 · 43 = 817

Uočimo:

81 = 2 · 43 − 5 i 3 + 7 = 10

Primjer:

19 · 18 = 342

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 6 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

19 · 43 = 817

Uočimo:

81 = 2 · 43 − 5 i 3 + 7 = 10

Primjer:

19 · 18 = 342

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 6 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

19 · 43 = 817

Uočimo:

81 = 2 · 43 − 5 i 3 + 7 = 10

Primjer:

19 · 18 = 342

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 6 / 14

Tablica množenja do 20

Što ako su oba broja koja množimo između 10 i 20?

Primjer:

13 · 14Postupak:

Prvi korak:13 + 4 = 17

Drugi korak:17 · 10 = 170

Treći korak:3 · 4 = 12

Rješenje:170 + 12 = 182

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 7 / 14

Tablica množenja do 20

Što ako su oba broja koja množimo između 10 i 20?

Primjer:

13 · 14

Postupak:

Prvi korak:13 + 4 = 17

Drugi korak:17 · 10 = 170

Treći korak:3 · 4 = 12

Rješenje:170 + 12 = 182

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 7 / 14

Tablica množenja do 20

Što ako su oba broja koja množimo između 10 i 20?

Primjer:

13 · 14Postupak:

Prvi korak:13 + 4 = 17

Drugi korak:17 · 10 = 170

Treći korak:3 · 4 = 12

Rješenje:170 + 12 = 182

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 7 / 14

Tablica množenja do 20

Što ako su oba broja koja množimo između 10 i 20?

Primjer:

13 · 14Postupak:

Prvi korak:13 + 4 = 17

Drugi korak:17 · 10 = 170

Treći korak:3 · 4 = 12

Rješenje:170 + 12 = 182

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 7 / 14

Tablica množenja do 20

Što ako su oba broja koja množimo između 10 i 20?

Primjer:

13 · 14Postupak:

Prvi korak:13 + 4 = 17

Drugi korak:17 · 10 = 170

Treći korak:3 · 4 = 12

Rješenje:170 + 12 = 182

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 7 / 14

Tablica množenja do 20

Što ako su oba broja koja množimo između 10 i 20?

Primjer:

13 · 14Postupak:

Prvi korak:13 + 4 = 17

Drugi korak:17 · 10 = 170

Treći korak:3 · 4 = 12

Rješenje:170 + 12 = 182

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 7 / 14

Tablica množenja do 20

Što ako su oba broja koja množimo između 10 i 20?

Primjer:

13 · 14Postupak:

Prvi korak:13 + 4 = 17

Drugi korak:17 · 10 = 170

Treći korak:3 · 4 = 12

Rješenje:170 + 12 = 182

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 7 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

17 · 15

Postupak:

Prvi korak:17 + 5 = 22

Drugi korak:22 · 10 = 220

Treći korak:7 · 5 = 35

Rješenje:220 + 35 = 255

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 8 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

17 · 15Postupak:

Prvi korak:17 + 5 = 22

Drugi korak:22 · 10 = 220

Treći korak:7 · 5 = 35

Rješenje:220 + 35 = 255

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 8 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

17 · 15Postupak:

Prvi korak:17 + 5 = 22

Drugi korak:22 · 10 = 220

Treći korak:7 · 5 = 35

Rješenje:220 + 35 = 255

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 8 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

17 · 15Postupak:

Prvi korak:17 + 5 = 22

Drugi korak:22 · 10 = 220

Treći korak:7 · 5 = 35

Rješenje:220 + 35 = 255

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 8 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

17 · 15Postupak:

Prvi korak:17 + 5 = 22

Drugi korak:22 · 10 = 220

Treći korak:7 · 5 = 35

Rješenje:220 + 35 = 255

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 8 / 14

Tablica množenja do 20

Primjer:

17 · 15Postupak:

Prvi korak:17 + 5 = 22

Drugi korak:22 · 10 = 220

Treći korak:7 · 5 = 35

Rješenje:220 + 35 = 255

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 8 / 14

Tablica množenja do 20

Množenje dvoznamenkastog broja dvoznamenkastim (oba brojaizmeđu 10 i 20)

Tablica : Množenje do 20 drugi dio

11 12 13 14 15 16 17 18 19

11 121 132 143 154 165 176 187 198 20912 132 144 156 168 180 192 204 216 22813 143 156 169 182 195 208 221 234 24714 154 168 182 196 210 224 238 252 26615 165 180 195 210 225 240 255 270 28516 176 192 208 224 240 256 272 288 30417 187 204 221 238 255 272 289 306 32318 198 216 234 252 270 288 306 324 34219 209 228 247 266 285 304 323 342 361

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 9 / 14

Tablica množenja

Prisjetimo se:

Tablica : Množenje posebnih brojeva

Res 1st number 2nd number15 · 15 = 225 2 = 1 · 2 25 = 5 · 514 · 16 = 224 2 = 1 · 2 24 = 4 · 613 · 17 = 221 2 = 1 · 2 21 = 3 · 712 · 18 = 216 2 = 1 · 2 16 = 2 · 811 · 19 = 209 2 = 1 · 2 09 = 1 · 9

Svi brojevi koji se množe započinju istom prvom znamenkom: 1Uočimo da im je zbroj drugih znamenaka uvijek 10

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 10 / 14

Tablica množenja

Prisjetimo se:

Tablica : Množenje posebnih brojeva

Res 1st number 2nd number15 · 15 = 225 2 = 1 · 2 25 = 5 · 514 · 16 = 224 2 = 1 · 2 24 = 4 · 613 · 17 = 221 2 = 1 · 2 21 = 3 · 712 · 18 = 216 2 = 1 · 2 16 = 2 · 811 · 19 = 209 2 = 1 · 2 09 = 1 · 9

Svi brojevi koji se množe započinju istom prvom znamenkom: 1

Uočimo da im je zbroj drugih znamenaka uvijek 10

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 10 / 14

Tablica množenja

Prisjetimo se:

Tablica : Množenje posebnih brojeva

Res 1st number 2nd number15 · 15 = 225 2 = 1 · 2 25 = 5 · 514 · 16 = 224 2 = 1 · 2 24 = 4 · 613 · 17 = 221 2 = 1 · 2 21 = 3 · 712 · 18 = 216 2 = 1 · 2 16 = 2 · 811 · 19 = 209 2 = 1 · 2 09 = 1 · 9

Svi brojevi koji se množe započinju istom prvom znamenkom: 1Uočimo da im je zbroj drugih znamenaka uvijek 10

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 10 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Primjer:

152 = 15 · 15 = 225

Postupak:

Prvi korak:15 + 5 = 20

Drugi korak:20 · 10 = 200

Treći korak:5 · 5 = 52 = 25

Rješenje:200 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 11 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Primjer:

152 = 15 · 15 = 225Postupak:

Prvi korak:15 + 5 = 20

Drugi korak:20 · 10 = 200

Treći korak:5 · 5 = 52 = 25

Rješenje:200 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 11 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Primjer:

152 = 15 · 15 = 225Postupak:

Prvi korak:15 + 5 = 20

Drugi korak:20 · 10 = 200

Treći korak:5 · 5 = 52 = 25

Rješenje:200 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 11 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Primjer:

152 = 15 · 15 = 225Postupak:

Prvi korak:15 + 5 = 20

Drugi korak:20 · 10 = 200

Treći korak:5 · 5 = 52 = 25

Rješenje:200 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 11 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Primjer:

152 = 15 · 15 = 225Postupak:

Prvi korak:15 + 5 = 20

Drugi korak:20 · 10 = 200

Treći korak:5 · 5 = 52 = 25

Rješenje:200 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 11 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Primjer:

152 = 15 · 15 = 225Postupak:

Prvi korak:15 + 5 = 20

Drugi korak:20 · 10 = 200

Treći korak:5 · 5 = 52 = 25

Rješenje:200 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 11 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Uočimo da se ovdje krije jedna matematička formula:

N2 − d2 = (N − d) · (N + d)

Ta se formula u matematici naziva razlika kvadrata

Zapravo je njezin pravi oblik sljedeći:

N2 = (N + d) · (N − d) + d2

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 12 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Uočimo da se ovdje krije jedna matematička formula:

N2 − d2 = (N − d) · (N + d)

Ta se formula u matematici naziva razlika kvadrata

Zapravo je njezin pravi oblik sljedeći:

N2 = (N + d) · (N − d) + d2

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 12 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Uočimo da se ovdje krije jedna matematička formula:

N2 − d2 = (N − d) · (N + d)

Ta se formula u matematici naziva razlika kvadrata

Zapravo je njezin pravi oblik sljedeći:

N2 = (N + d) · (N − d) + d2

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 12 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Terminologija:

N = Number broj

d = distance udaljenost (od lijepog broja)

U našem primjeru:

N = 15 i d = 5

Stoga je:

152 = (15 + 5) · (15 − 5) + 52 = 20 · 10 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 13 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Terminologija:

N = Number broj

d = distance udaljenost (od lijepog broja)

U našem primjeru:

N = 15 i d = 5

Stoga je:

152 = (15 + 5) · (15 − 5) + 52 = 20 · 10 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 13 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Terminologija:

N = Number broj

d = distance udaljenost (od lijepog broja)

U našem primjeru:

N = 15 i d = 5

Stoga je:

152 = (15 + 5) · (15 − 5) + 52 = 20 · 10 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 13 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Terminologija:

N = Number broj

d = distance udaljenost (od lijepog broja)

U našem primjeru:

N = 15 i d = 5

Stoga je:

152 = (15 + 5) · (15 − 5) + 52 = 20 · 10 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 13 / 14

Tablica množenja do 20 (kvadriranje)

Terminologija:

N = Number broj

d = distance udaljenost (od lijepog broja)

U našem primjeru:

N = 15 i d = 5

Stoga je:

152 = (15 + 5) · (15 − 5) + 52 = 20 · 10 + 25 = 225

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 13 / 14

Hvala na pažnji!

Bojan Pažek (Mental math) MATH IS FUN 11. prosinca 2013. 14 / 14