stk352 analisis deret waktu model deret waktu tidak stasioner · analisis deret waktu model deret...

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 1 / 20

STK352

Analisis Deret Waktu

Model Deret Waktu Tidak StasionerPertemuan 7

Farid Mochamad AfendiDepartemen Statistika IPB

23 April 2008

contents

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 2 / 20

REVIEW KESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

REVIEW KESTASIONERAN

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 3 / 20

Review Kestasioneran

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 20

Mengacu kepada konsep weak stationarity, ∀t, k, s ≥ 1, suatuseries {Zt} dikatakan stasioner bila:

Review Kestasioneran

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 20

Mengacu kepada konsep weak stationarity, ∀t, k, s ≥ 1, suatuseries {Zt} dikatakan stasioner bila:

■ E(Zt) = E(Zt−k)

Review Kestasioneran

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 20

Mengacu kepada konsep weak stationarity, ∀t, k, s ≥ 1, suatuseries {Zt} dikatakan stasioner bila:

■ E(Zt) = E(Zt−k)■ V ar(Zt) = V ar(Zt−k)

Review Kestasioneran

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 4 / 20

Mengacu kepada konsep weak stationarity, ∀t, k, s ≥ 1, suatuseries {Zt} dikatakan stasioner bila:

■ E(Zt) = E(Zt−k)■ V ar(Zt) = V ar(Zt−k)■ Cov(Zt, Zs) = Cov(Zt−k, Zs−k)

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 20

■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 20

■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at

■ Gambaran series tersebut adalah sebagai berikut

Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 20

■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at

■ Gambaran series tersebut adalah sebagai berikut

Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at

■ Bila a dipahami sebagai besarnya ’langkah’ maju ataumundur pada periode t, maka Zt adalah posisi ’randomwalker’ pada periode t.

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 20

■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at

■ Gambaran series tersebut adalah sebagai berikut

Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at

■ Bila a dipahami sebagai besarnya ’langkah’ maju ataumundur pada periode t, maka Zt adalah posisi ’randomwalker’ pada periode t.

■ E(Zt) = µt = 0; ∀t

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 20

■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at

■ Gambaran series tersebut adalah sebagai berikut

Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at

■ Bila a dipahami sebagai besarnya ’langkah’ maju ataumundur pada periode t, maka Zt adalah posisi ’randomwalker’ pada periode t.

■ E(Zt) = µt = 0; ∀t

■ V ar(Zt) = tσ2

a; ∀t

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 20

■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at

■ Gambaran series tersebut adalah sebagai berikut

Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at

■ Bila a dipahami sebagai besarnya ’langkah’ maju ataumundur pada periode t, maka Zt adalah posisi ’randomwalker’ pada periode t.

■ E(Zt) = µt = 0; ∀t

■ V ar(Zt) = tσ2

a; ∀t

■ Cov(Zt, Zs) = tσ2

a; untuk 1 ≤ t ≤ s

Contoh Series Nonstasioner

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 5 / 20

■ Perhatikan series Zt = Zt−1 + at

■ Gambaran series tersebut adalah sebagai berikut

Z1 = a1

Z2 = a1 + a2

...

Zt = a1 + a2 + . . . + at

■ Bila a dipahami sebagai besarnya ’langkah’ maju ataumundur pada periode t, maka Zt adalah posisi ’randomwalker’ pada periode t.

■ E(Zt) = µt = 0; ∀t

■ V ar(Zt) = tσ2

a; ∀t

■ Cov(Zt, Zs) = tσ2

a; untuk 1 ≤ t ≤ s

■ Corr(Zt, Zs) =√

ts; untuk 1 ≤ t ≤ s

Plot Series Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 6 / 20

Gambar 1: Ilustrasi Random Walk

Plot Autokorelasi Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN

Review KestasioneranContoh SeriesNonstasionerPlot Series RandomWalkPlot AutokorelasiRandom Walk

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 7 / 20

Gambar 2: Autokorelasi Random Walk

DIFFERENCING

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 8 / 20

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 20

■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 20

■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

◆ Pembedaan lag 1: Ut = Zt − Zt−1

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 20

■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

◆ Pembedaan lag 1: Ut = Zt − Zt−1

◆ Pembedaan lag 2: Vt = Zt − Zt−2

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 20

■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

◆ Pembedaan lag 1: Ut = Zt − Zt−1

◆ Pembedaan lag 2: Vt = Zt − Zt−2

■ Proses pembedaan ini dapat dituliskan:

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 20

■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

◆ Pembedaan lag 1: Ut = Zt − Zt−1

◆ Pembedaan lag 2: Vt = Zt − Zt−2

■ Proses pembedaan ini dapat dituliskan:

◆ pembedaan sekali: Ut = ▽Zt = Zt − Zt−1

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 20

■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

◆ Pembedaan lag 1: Ut = Zt − Zt−1

◆ Pembedaan lag 2: Vt = Zt − Zt−2

■ Proses pembedaan ini dapat dituliskan:

◆ pembedaan sekali: Ut = ▽Zt = Zt − Zt−1

◆ pembedaan dua kali: Wt = ▽2Zt = ▽Ut = Ut − Ut−1

Konsep Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 9 / 20

■ Ketidakstasioneran data pada rataannya dapat diatasidengan proses differencing (pembedaan), yaitu prosesmenyelisihkan data dengan data sebelumnya.

◆ Pembedaan lag 1: Ut = Zt − Zt−1

◆ Pembedaan lag 2: Vt = Zt − Zt−2

■ Proses pembedaan ini dapat dituliskan:

◆ pembedaan sekali: Ut = ▽Zt = Zt − Zt−1

◆ pembedaan dua kali: Wt = ▽2Zt = ▽Ut = Ut − Ut−1

■ Perhatikan bahwa Vt 6= Wt

Penerapan Differencing pada Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 20

■ Untuk proses Random Walk, pembedaan sekali telahmengatasi ketidakstasioneran

Wt = Zt − Zt−1

= Zt−1 + at − Zt−1

= at

Penerapan Differencing pada Random Walk

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 10 / 20

■ Untuk proses Random Walk, pembedaan sekali telahmengatasi ketidakstasioneran

Wt = Zt − Zt−1

= Zt−1 + at − Zt−1

= at

■ Secara umum, pembedaan yang diperlukan maksimal hanya2 kali.

Random Walk Setelah Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 11 / 20

Gambar 3: Random Walk Setelah Differencing Lag 1

Autokorelasi Random Walk Setelah Differencing

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

Konsep Differencing

Penerapan Differencing

pada Random Walk

Random Walk SetelahDifferencing

Autokorelasi RandomWalk SetelahDifferencing

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 12 / 20

Gambar 4: Autokorelasi Random Walk Setelah Differencing Lag1

MODEL ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 13 / 20

Model ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 20

■ Series {Zt} mengikuti model integrated

autoregressive-moving average bila hasil pembedaan ke-dWt = ▽dZt merupakan proses ARMA yang stasioner.

Model ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 20

■ Series {Zt} mengikuti model integrated

autoregressive-moving average bila hasil pembedaan ke-dWt = ▽dZt merupakan proses ARMA yang stasioner.

■ Dengan kata lain, jika Wt adalah ARMA(p, q), maka Zt

adalah ARIMA(p, d, q).

Model ARIMA

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 14 / 20

■ Series {Zt} mengikuti model integrated

autoregressive-moving average bila hasil pembedaan ke-dWt = ▽dZt merupakan proses ARMA yang stasioner.

■ Dengan kata lain, jika Wt adalah ARMA(p, q), maka Zt

adalah ARIMA(p, d, q).■ Untuk ARIMA(p, 1, q) dengan Wt = Zt − Zt−1

Wt =φ1Wt−1 + φ2Wt−2 + . . . + φpWt−p

+ at − θ1at−1 − θ2at−2 − θqat−q

Model ARIMA lanjutan

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 15 / 20

■ Penulisan model ini untuk series semula:

Zt − Zt−1 =φ1(Zt−1 − Zt−2) + φ2(Zt−2 − Zt−3) + . . .

+ φp(Zt−p − Zt−p−1)

+ at − θ1at−1 − θ2at−2 − θqat−q

Zt =(1 + φ1)Zt−1 + (φ2 − φ1)Zt−2

+ (φ3 − φ2)Zt−3 + . . . + (φp − φp−1)Zt−p

+ at − θ1at−1 − θ2at−2 − θqat−q

Model IMA(d, q)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 20

■ Bila proses tersebut tidak memuat komponenautoregressive, maka dinamakan integrated moving average

IMA(d, q);

Model IMA(d, q)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 16 / 20

■ Bila proses tersebut tidak memuat komponenautoregressive, maka dinamakan integrated moving average

IMA(d, q);■ Sebagai ilustrasi, untuk IMA(1,1):

Wt = at − θat−1

Zt − Zt−1 = at − θat−1

Zt = Zt−1 + at − θat−1

Model ARI(p, d)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 20

■ sementara bila komponen moving average yang tidak ada,maka dinamakan autoregressive integrated ARI(p, d).

Model ARI(p, d)

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

Model ARIMA

Model IMA(d, q)

Model ARI(p, d)

TRANSFORMASI

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 17 / 20

■ sementara bila komponen moving average yang tidak ada,maka dinamakan autoregressive integrated ARI(p, d).

■ Untuk ARI(1,1):

Wt = φWt−1 + at

Zt − Zt−1 = φ(Zt−1 − Zt−2) + at

Zt = Zt−1 + φZt−1 − φZt−2 + at

Zt = (1 + φ)Zt−1 − φZt−2 + at

TRANSFORMASI

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 18 / 20

Transformasi Data

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 20

■ Terkadang, series data tidak stasioner dalam ragamnya.

Transformasi Data

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 20

■ Terkadang, series data tidak stasioner dalam ragamnya.■ Hal ini dapat diatasi dengan transformasi data, seperti

dengan logaritma atau dengan Transformasi Box-Cox.

Transformasi Data

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 19 / 20

■ Terkadang, series data tidak stasioner dalam ragamnya.■ Hal ini dapat diatasi dengan transformasi data, seperti

dengan logaritma atau dengan Transformasi Box-Cox.■ Bila data juga tidak stasioner dalam rataan, proses

transformasi dilakukan sebelum proses pembedaan.

contents

REVIEWKESTASIONERAN

DIFFERENCING

MODEL ARIMA

TRANSFORMASI

Transformasi Data

c© Farid Mochamad Afendi 2008 Powered by Powerdot of LATEX – 20 / 20

TERIMA KASIH