��the significant-digit phenomenon or benford s law

XI Esc. Prob. & Estad. CIMAT 2012Clase 3

Ted Hill

Internet base de datos

http://www.benfordonline.net/

Internet libro de la teoría de Benford

http://www.i-journals.org/ps/viewissue.php?id=11/ Vol 8, pp 1-126

La Ley de Benford para Secuencias Deterministas

Esquema de Clase 3

1. Secuencias clásicas (Fibonacci, n!, etc)

2. Evidencia empírica (calculadora simbólica inversa)

3. Procesos exponenciales

4. Procesos super-exponenciales

5. El Método de Newton obedece a la LB

6. Aplic. a las pruebas de diagnóstico, errores de redondeo

7. Problemas Abiertos

Ejemplo 2 Otra Vez

Comience con cualquier número positivo, y en

repetidas ocasiones se multiplican por 2.

Entonces, se empieza con 5,

5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, …

¿Qué proporción de la secuencia comienza con un 1?

R. Exactamente

La misma respuesta si se comienza con 7, o con 3 y se

multiplica repetidamente, etc por 5, pero no por 10

10log 2 30.1%

Ejemplos de Datos Deterministas

1 0

Ej. 1 1,1,2,3,5,8,

las tres son sec

Los números

uencias de B

Ej. 2

enfor

de Fibon

acci!

2

(1 )

dn

n

n n

n

x r x

0 11 2

2

Ej. 3

Ej. 4 La solución de la ecuación diferencial

, , , ... es una secuencia de Benford

cada componente es una secuen

1

0 1 1

1

cia de Benford

1 1

n n

n

x x xx x

0sin , (0) es una fun c i ón de Benf ord

xx e x x x

Algunas Secuencias Clásicas

D1 (n!) (2n) (Fn) Benford

1 0.293 0.292 0.301 0.30103

2 0.176 0.180 0.176 0.17609

3 0.124 0.126 0.126 0.12493

4 0.102 0.098 0.096 0.09691

5 0.087 0.081 0.079 0.07918

6 0.069 0.068 0.067 0.06694

7 0.051 0.057 0.057 0.05799

8 0.051 0.053 0.053 0.05115

9 0.047 0.045 0.045 0.04575

Los primeros 1000 números enteros positivos

Calculadora Simbólica Inversa .865255979… = ?

Math World – “En la base de datos de Plouffe [actualmente más de

3,7 mil millones de entradas], el 30% comienzan con el dígito 1. "

LB para Secuencias y Funciones

es la (decimal)

: [1,

Recuerd e.g.

10) función mant (2,013) (0

is.02013) 2.01

a.3

e SS S

1 2 3Una , , , es si

# : lim log 1 10

Una :[0, )

Benford

Benfores si

0 : lim log

d

1 10

i

n

T

secuencia

funci

x x x

i n S x tt t

n

f

x T S f x tt t

T

ón

Secuencias de Crecimiento Exponencial

2

10

, ( ), ( ( )), ... es Ben

Sea ( ) (1 ( )) una de con ( ) 0

y 1. Entonces

(suficientemente grande)

ford p

ara todas

si y sólo si log es

T. 1

irracio

0.

l

na

T x x f

x T x T T x x

x C f

.

2

Iteraciones de ( ) 2 son Benford.

Iteraciones de (

Ej.

Ej.

Ej.

) 2 son Benford.

Iteraciones de ( ) 10 lo soo nn

x

T x x

T x x x e

T x x

Las Iteraciones de T(x)=2x

Iteraciones deIteraciones de

Secuencias Super-Exponencial

, ( ), ( ( )),

Se

...

a un mapa con un punto superatractivo

de orden finito , entonces

para casi todos los suficientemente grandes,

pe

T.11

ro e

es Be

xiste

.

número infi

n

u

ford

n ni

x

C

T

T

x T x

x

T

to de puntos excepcionales

2 2

2

( ) o 10 ( iteraciones son Benford)

( ) 1 (iteraciones son Benford)

polinomios, funciones exponenciales y de potencia...

(iteraciones so

Ej.

Ej.

n Benford)

E (

Ej.

j.

T x x x

T x x

T

) (iteraciones son Benfo do ).n rx x

Las iteraciones de T(x) = x2

LB en Ecuaciones Diferenciales Parciales

2

2

2

2( , ) exp( )

E

Solución 1:

Benford en y

Solución 2

S

( , )

La ecuación

(:

Benford en ni

2 ))

NO ES

del calor

w x t A a t x B

w x t A x at B

w w

t x

x t

x t

Prueba “Dentro-Benford, Fuera-Benford" para Diagnósticar los Modelos

Ecuaciones

diferenciales,

los flujos de la

red, PL, etc.

Entrada Salida

e.g., 2010 Datos del

censo

e.g., 2100

Predicción de censo

Prueba parcial negativa

Modelo Matemático

El Método de Newton Obedece LB'

'

* * *

0 0

*

( ) Sea ( ) si ( ) 0. Entonces

( )

( ) para cerca , donde ( ) 0.

Sea : una función real an

Método de New

alítica ,

no-lineal, y

t

T. 12.

on

(

n

f xT x x f x

f x

T x x x x f x

f I

f x

*

*

0

*

*

1

) 0. Entonces

i) sea una sola raíz de

para casi todos cerca de

ii) sea una raíz

( ) ( ) and ( ) son Benford

2,

(

n n n

x f

x x

x de multiplicid

x x x x

ad

*

0vale para todos .

)

x x

Errores de Redondeo en Algoritmos

1

.1

1

10110 9

Sean el error absoluto

la mantisa en el momento de parar

error relativo

Si , son independientes, ( )

Si es uniforme , 2.558

pero si rea

,1

XY

Y

dtt

X

Y

R

X Y ER EX E

Y U ER EX

Y

2

1

log10

.1

l es Benford, 3.909

y la media de la

subestimación del error es más de un tercio

dtt

ER EX

Estimación Aproximada

Knuth (1997) "Si los dígitos iniciales tienden a ser pequeñas ..., el

error relativo debido al redondeo es por lo general ... más de lo

esperado.“

Aplicaciones en la Informática

Ej. 1 Análisis de los errores de redondeo

(Hamming, Knuth, Berger-H).

Ej. 2 Análisis de errores de overflow / underflow

(Feldstein, Goodman & Turner)

Ej. 3 Diseño de computadoras (Barlow y Bareiss; Schatte)

Ej. 4 Codificación basada en la entropía

(Abdallah, Heileman y Pérez González)

Ej. 5 Idiomas libres de contexto (Ravikumar)

Problemas Abiertos

1. ¿Cuál sería la velocidad de convergencia de Benford?

2. ¿Existe una teoría general para ecuaciones diferenciales parciales?

3. ¿Existe una teoría unificada de Benford (para secuencias,

ec

2

0

uaciones diferenciales, y variables aleatorias)?

4. ¿Son iteraciones de ( ) 1 con 1, Benford?

i.e., ¿es 1,2,5,26, ... una secuencia Benford - si o no?

T x x x

Newcomb 1881

Figs

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