trocadores de calor - professor paul
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8/6/2019 Trocadores de Calor - Professor Paul
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Universidade Federal do ParanDepartamento de Engenharia Qumica
TPICOS DOS CONHECIMENTOS BSICOSNO ESTUDODE TROCADORES DE CALOR
..
Capa: http://www.apv.com/us/eng/products/heatexchangers/Heat+exchangers.htm
Prof. Paul Fernand Milcent
Primeira edio: Segundo semestre de 2007.Primeira tiragem: 70 exemplares.
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SUMRIO
DETERMINAO DO COEFICIENTE GLOBAL 01Transferncia de calor por conduo 02Transferncia de calor por conveco 04Deduo do coeficiente global de transferncia de calor para tubo 04Deduo do coeficiente global de transferncia de calor para parede plana 06Coeficiente global de transferncia de calor para parede plana bimetlica 07Fator de incrustao (fouling) 07Deduo do coeficiente global de transferncia de calor para parede plana
com sujeira em ambas as faces1 08Magnitude do coeficiente de transferncia e sua influncia no coeficienteglobal 09Exemplo A 09Exemplo B 10Superfcies estendidas 10Deduo do coeficiente global de troca trmica para trocadores comsuperfcies estendidas. 10Expresso do coeficiente global de troca trmica para uma superfcie tubular
aletada em ambas as faces 13Deduo do coeficiente global de troca trmica para trocadores de caloraletados e incrustados em ambas as faces das paredes; superfcie tubular. 13Considerao final 15Exerccio C 16
DIFERENA DE TEMPERATURA REPRESENTATIVA EMESCOAMENTOS EM PARALELO OU EM CONTRACORRENTE PUROSPerfis de temperatura 17
Perfis de temperatura para escoamento em paralelo e contracorrente puros 19Diferena de temperatura representativa para escoamento em paralelo 20Exerccio D 24Consideraes adicionais 26Exerccio E 27Casos especiais 27
1A natureza nos d a capacidade de sermos virtuosos. Tal capacidade seaperfeioa pelo hbito.
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
DETERMINAO DO COEFICIENTEGLOBAL2
Nos trocadores de calor convencionais, uma parede separa dois fluidos. Em taiscasos temos transferncia de calor por conveco nos dois lados da parede etransferncia de calor por conduo pelo seu interior.Esquematizemos um trecho de parede de um trocador, considerando que a regiomais quente a regio interna:
Na figura acima chamamos:
q = taxa de transferncia de calorT = temperaturaA = rea da face
Os ndices empregados significam:
i = internoe = externok = conduo pela parede
b = bulk, no seio do fluido
2Toda arte e toda investigao, bem como toda ao e toda escolha, visam a umbem qualquer; e por isso foi dito, no sem razo, que o bem aquilo a que ascoisas tendem.
3
qk
TiTib
i
qe
Teb
Te
Ai
Ae
condu oconvecointerno
convecoexterno
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Quando temos mais de uma etapa de transferncia de calor envolvida, instrumento facilitador dos clculos empregar-se um coeficiente de transfernciadito global ou integral. A frmula que permite calcular tal coeficiente varia com as
caractersticas do problema envolvido, porm a equao deduzida de modo quesempre seja verdadeira a expresso:
TAUqTOTAL =
Onde:
qTOTAL = calor total transferidoU = coeficiente global de transferncia de calor, tal como definido
A = rea de troca de referncia, empregada na deduo de UT = diferena de temperatura representativa entre o fluido quente e o fluido frio
A forma da expresso do coeficiente global depende da forma das expresses dastaxas de transferncia para cada um dos mecanismos envolvidos.
Transferncia de calor por conduo3
Consideremos que: a transferncia de calor se d por um tubo; unidirecional pelo
raio; regime permanente; sem gerao de calor na parede. Sob tais condies seemprega a lei de Fourier:
dr
dTkAqk =
Onde
qk = taxa de transferncia de calor por conduok = um coeficiente de transferncia por conduo (condutividade trmica)r = raio do tubo
Observe que a transferncia de calor ocorre da regio de maior temperatura para ade menos temperatura. Desta forma, dT negativo. Observe tambm que a reanormal ao sentido do escoamento de calor depende do raio.
3Se h somente um fim absoluto, ser esse o que estamos procurando; e se h maisde um, o mais absoluto de todos ser o que estamos buscando.
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ri
re
Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Efetuando a simplificao de que a condutividade trmica constante com atemperatura, podemos encontrar a expresso finita da taxa de transferncia de calor
por conduo atravs de um tubo.
dr
dTrLkqk )2( =
Onde L o comprimento total do tubo4
=e
i
e
i
k dTLkr
drq 2
( )TiTeLkri
reqk =
2ln
( )rireTiTeLkqk
ln
)(2
4Chamamos de absoluto e incondicional aquilo que sempre desejvel em simesmo e nunca no interesse de outra coisa.
5
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Transferncia de calor por conveco
O coeficiente de transferncia de calor por conveco definido de modo que a
expresso abaixo seja verdadeira:
ThAqCONVECO =
Onde
qCONVECO = taxa de transferncia de calor por convecoh = coeficiente de transferncia de calor por conveco
Desta forma, para cada uma das faces, as expresses so:
)( iibiii TTAhq =
)( ebeeee TTAhq =
O sinal das expresses trocado caso o calor siga sentido inverso.
Deduo do coeficiente global de transferncia de calor para tubo5
A diferena de temperatura total entre o fluido quente e o frio igual a somatriadas diferenas de temperatura em cada setor do sistema considerado:
= PARCIAISTOTAL TT
Assim
)()()( TebTeTeTiTiTibTTOTAL ++=
J vimos tambm que
JJ
TOTALTOTAL UA
qT =
5A finalidade da vida poltica o melhor dos fins e o principal empenho dapoltica fazer com que os cidados sejam bons e capazes de nobres aes.
6
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Onde:
UJ = coeficiente global de troca trmica empregando uma dada rea de referncia
AJ = rea de refernciaAssociando estas duas ltimas equaes com aquelas das transferncias de calor
por conduo e conveco, obtemos:6
)heAe
qe
Lkri
reqk
hiAi
qi
UA
qT
JJ
TOTALTOTAL ++==
2
ln
Mas o regime permanente. No h acmulo de calor em nenhum setor do sistemaconsiderado. Desta forma, a taxa de transferncia de calor a mesma em cada setore igual a taxa global de transferncia. Simplificando portanto temos:
)heAeLk
rire
hiAiUA JJ
1
2
ln11++=
Em geral, a rea adotada como referncia a rea externa dos tubos
LrAeA eJ 2==
A expresso do coeficiente global de transferncia de calor ento se torna:
( )Lrh
Lr
Lkri
reLr
Lrh
Lr
U ee
ee
ii
e
e
2
2
2
ln2
2
21++=
( )e
e
ii
e
e hkri
rer
rh
r
U
1ln1++=
Deduo do coeficiente global de transferncia de calor para parede plana7
6Parece que o homem verdadeiramente poltico aquele que estudou a virtude
acima de todas as coisas, visto que ele deseja tornar os cidados, homens bons eobedientes s leis.7Tornamo-nos virtuosos praticando a virtude.
7
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Para a expresso da taxa de transferncia de calor por conduo, partimos da lei deFourier:
dx
dTkAqk =
Onde x a espessura da parede
Numa parede plana no aletada, a rea de transferncia uma constante. A rea detransferncia interna igual a rea de transferncia externa. A equao acimaquando integrada, assume a forma:
x
TiTekAqk
)( =
As expresses para a transferncia de calor por conveco permanecem as mesmas.
)( iibii TTAhq =
)( ebeee TTAhq =
A metodologia da deduo igualmente no se altera.
)()()( TebTeTeTiTiTibTTOTAL ++=
heA
qe
kA
xq
hiA
qi
AU
q kTOTAL ++=
hek
x
hiU
111++=
Coeficiente global de transferncia de calor para parede plana bimetlica8
8Os legisladores tornam bons os cidados por meio de hbitos que lhes incutem.
8
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Normalmente a parede de um trocador de calor constituda por um s material.Pode ser oportuno no entanto, que se empregue uma parede bimetlica, cada uma
mais adequada a ficar em contato com o fluido existente em um dado lado daparede. De forma anloga pode ser tecnicamente interessante revestir uma paredemetlica com uma cobertura plstica, por exemplo, para evitar corroso.Cada camada apresentar uma resistncia passagem do calor por conduo. Cadauma delas ter uma determinada condutividade trmica. Se pode deduzir que emtais casos, a expresso do coeficiente global de transferncia de calor toma aforma:
hek
x
k
x
hiU
111
2
2
1
1 +++=
Fator de incrustao (fouling)
Quando o trocador de calor vem de fbrica de se esperar que suas superfciestenham camada oxidada fina, leo e outros empecilhos transferncia de calor queno existiriam se a superfcie metlica fosse lisa e limpa.Como veremos posteriormente nesta disciplina, quando o trocador entra emoperao, a camada de impurezas diversas aumenta com o tempo, aumentando aresistncia passagem do calor. Com o aumento da espessura das pelculasresistivas, a taxa de transferncia de calor vai gradualmente diminuindo e adiferena de temperatura entre os fluidos aumentando. O trocador de calor vai setornando ineficiente. Se a resistncia adicional no for considerada; se o trocadorno for algo superdimensionado, este nunca trabalhar dentro das especificaesdesejadas. O superdimensionamento feito de forma arbitrria de modo que hajaum tempo razovel de operao entre as paradas para limpeza e manuteno.A literatura especializada traz resistncias de incrustao (fatores de incrustaosugeridos) ( Ri) A tabela abaixo traz exemplos de valores sugeridos para este
parmetro.
FLUIDO R i (m2K/W)gua de alimentao de caldeira tratada 0,0002
Lquidos refrigerantes 0,0002leo combustvel 0,0009
gua de rio 0,0002 a 0,001Como vimos, a resistncia da incrustao (fator de incrustao) uma resistncia
passagem de calor, dada por exemplo em m2.K/W
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Para efeitos deduo do coeficiente global, a resistncia da incrustao funcionacomo o inverso de um coeficiente de transferncia de calor por conveco. Istoapesar do fato de sabermos que o mecanismo provvel de transferncia de calor
pela sujeira ser o de conduo. Desta forma:
hsRi
1=
SSS TAhq =
Onde
qS = taxa de transferncia de calor pela incrustaoA = rea original antes da incrustao ( observe que a rea de transferncia aps aincrustao varivel e no conhecida)hS = coeficiente de incrustao (scale coefficient) W/m2.oCTS = diferena de temperatura atravs da incrustao
Deduo do coeficiente global de transferncia de calor para parede planacom sujeira em ambas as faces9
As equaes de transferncia so:
)( siibii TTAhq =
)( iSiSiSi TTAhq =
x
TiTe
kAqk)(
=
)( SeeSeSe TTAhq =
)( ebSeee TTAhq =
A metodologia da deduo no se altera.
9A natureza nos d a capacidade de sermos virtuosos. Tal capacidade seaperfeioa pelo hbito.
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
)()()()()( TebTseTseTeTeTiTiTsiTsiTibTTOTAL ++++=
Ah
q
Ah
q
kA
xq
Ah
q
Ah
q
AU
q
E
E
SE
SEK
SI
SI
I
ITOTAL
++++=
ESESII hhk
x
hhU
11111++++=
E
IEII
I h
R
k
xR
hU
111++++=
Magnitude do coeficiente de transferncia e sua influncia no coeficienteglobal10
A tabela abaixo d uma idia da ordem de magnitude dos coeficientes detransferncia de calor para escoamentos sem mudana de fase.
h (W/m2.K )
conveco natural de gases 5 a 25gases escoando 10 a 250lquidos no metlicos escoando 100 a 10.000
Pela tabela acima observa-se que o coeficiente de transferncia de calor paralquidos muito maior do que para gases.Exemplo A - Determine o coeficiente global de transferncia de calor paratransferncia lquido-lquido atravs de placa plana de ao de espessura de 3mm.
Dados: hi = 1800 W/m2.K ; he = 1250 W/m2.K ; Rii = 0,0002 m2.K/W ;Rie = 0 ; k = 50 W/m.K. ( resposta: 617 W/m2.K )
Resolvendo o exemplo A, voc observar que a resistncia transferncia de calorimposta pela parede bem baixa. Isto explica o fato de que alguns autoreseventualmente a desprezem nos clculos.
10Esse o propsito de todos os legisladores e quem no consegue alcanar talmeta, falha no desempenho de sua misso e exatamente neste ponto que reside adiferena entre a boa e a m constituio.
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Exemplo B - Resolva o exemplo anterior, substituindo um dos lquidos escoandopor um gs. Dado: he = 50 W/m2.K (resposta: 48 W/m2.K )
Com este exemplo voc observou a forte influncia do coeficiente do gs nareduo do coeficiente global
Pode-se contornar tal inconveniente, aumentando a rea de troca no lado do gscom a adio de aletas. Observe que a expresso da taxa de transferncia de calor
por conduo para o lado do gs :
GGGG TAhq = ..
Assim um valor baixo de hG pode ser compensado por um aumento de AG.
Superfcies estendidas11
Pelo visto acima, um trocador de calor aletado pode ser usado quando um dosfluidos um gs e/ou para torn-lo mais compacto. O material de construo daaleta deve ter condutividade trmica alta para minimizar a diferena de temperaturaexistente entre sua base e sua extremidade. A aleta dita plana caso esteja fixadanuma superfcie plana. dita anular se fixa numa superfcie tubular. A princpio,
uma dada superfcie pode ser aletada em ambas as faces. As aletas podem ser dosmais diferentes formatos. Como exemplo, o radiador de automvel um trocadorde calor aletado compacto. Igualmente so aletados o motor da motocicleta e ostubos do sistema de ar condicionado.
Deduo do coeficiente global de troca trmica para trocadores comsuperfcies estendidas.
Consideremos a ttulo de exemplo uma parede plana estendida com aletas
longitudinais retas de altura L e seo transversal constante.
11 pela ao que se gera ou se destroi uma virtude.
12
AU AF
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L
Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Onde:12
Au = superfcie total no aletada.Af = superfcie total das aletas (fin).Tb = temperatura no seio do fluido envolvente.T = temperatura da parede. Devido a alta condutividade dos metais, espera-se que
esta temperatura seja aproximadamente a mesma na parede e na aleta.h = coeficiente de transferncia de calor por conveco, caso o calor se transferissetotalmente em direo normal parede. Coeficiente para superfcie no aletada.q = calor transferido.L = altura da aleta. = espessura da aleta.
Desta forma,
BTTT =q total = q transferido pelas aletas + q transferido pela parte no aletada
Para levar em conta o escoamento no inteiramente normal do calor, definamosuma eficincia da aleta:
F = eficincia da aleta.
12Alguns homens se tornam temperantes e amveis, outros intemperantes eirascveis, portando-se de um ou de outro modo nas mesmas circunstncias.
13
Tb
h
T
q
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Assim temos:13
ThAThAq UUFFF +=
e consideraremos
hhh UF ==
Chamando
A = rea total
fcil ver que
FU AAA =
Podemos ento escrever
+=+=A
AA
A
ATAhAAThq FF
FUFF )(
( )
=
A
ATAhq FF11
O termo entre colchetes pode ser chamado de eficincia global da superfciealetada.(O). A expresso da transferncia de calor por conveco a partir de umasuperfcie aletada fica ento:
TAhq O = ...
A princpio a eficincia da aleta depende de sua forma e a eficincia global, dotamanho desta aleta e do nmero de aletas em relao a superfcie coberta.Equaes que exprimem a eficincia de aletas de formatos mais comuns,
provavelmente podem ser encontradas em livros de transferncia de calor. Vide porexemplo, o de Incropera e Dewitt. Grficos para uso simplificado tambm estodisponveis. Para a aleta em questo, a seguinte expresso vlida:
13Para explicar as coisas invisveis, devemos recorrer evidncia das coisassensveis.
14
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
( )
Lm
LmF
.
.tanh=
Fk
hm
.
.2
=
Onde
tanh( ) = tangente hiperblica.kF = condutividade trmica da aleta.
Expresso do coeficiente global de troca trmica para uma superfcie tubularaletada em ambas as faces14
Pelo que acabamos de ver, a expresso abaixo pode ser deduzida.
)IIOIEEOEJJ AhLk
rire
AhAUq
T
1
2
ln11++==
Deduo do coeficiente global de troca trmica para trocadores de caloraletados e incrustados em ambas as faces das paredes; superfcie tubular.
As equaes de transferncia so:
( )SIBIIIOII TTAhq =
( )ISIISIOISI TTAhq =
I
E
EIK
rr
TTkLq
ln
).(...2 =
( )SEEESEOESE TTAhq =
14O homem que tem medo de tudo e de tudo foge, no enfrentando nada, torna-seum covarde; e de outro lado, o homem que no teme absolutamente nada eenfrenta todos os perigos, torna-se temerrio.
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qi qsi qk qse qe
Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
( )BESEEEOEE TTAhq = 15
A diferena de temperatura total a soma das diferenas de temperatura parciais.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]BISISIIIEESESEBE TTTTTTTTTTT ++++=
Substituindo:
++==ISIOI
SI
IIOI
I
JJ
total
Ah
q
Ah
q
UA
qT
15As virtudes so destrudas pelo excesso e pela deficincia e preservadas pelamediania.
16
Tbi Tsi Ti Te Tse Tbe
Ai Ae
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
EEOE
E
ESEOE
SEI
EK
Ah
q
Ah
q
kL
rr
q
++
+...2
ln
Mas o calor transferido o mesmo em cada setor e igual ao calor total transferido.
EEOEEOE
IEI
E
IOI
II
IIOIJJ AhA
R
kL
rr
A
R
AhUA
1
...2
ln11
++
++=
A rea de referncia normalmente a rea externa.
16
EOEOE
IEI
EE
IOI
IIE
IIOI
E
E h
R
kL
rrA
A
RA
Ah
A
U
1
...2
ln1
++
++=
EOEOE
IEI
EE
IOI
IIE
IIOI
E
E h
R
k
rrr
r
Rr
rh
r
U
1ln
1
++
++=
Considerao final
Eventualmente o coeficiente global no ser calculado formalmente na resoluode um dado problema de engenharia. possvel o emprego de coeficientesaproximados, baseados em experincia anterior.
Exerccio C - Para auto avaliao de seu aprendizado, deduza as expresses docoeficiente global de transferncia de calor apresentadas at aqui, com um mnimode consulta ao texto.17
16 habituando-nos a desprezar e enfrentar coisas temveis, que nos tornamoscorajosos e quando nos tornamos corajosos que somos mais capazes de fazer
frente a elas.17O prazer ou a dor que sobrevm aos atos, devem ser tomados como sinaisindicativos de nossas disposies morais.
17
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
prof. Paul Fernand Milcent, em 29/09/2007.
As notas de rodap so algumas poucas idias extradas da obra tica aNicmaco de Aristteles (384 a.C. - 322 a.C). Editora Martin Claret, 2006. Estelivro facilmente adquirido e comercializado num preo bem acessvel.
Se dirigir no beba. Se beber, no dirija.
18
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
DIFERENA DE TEMPERATURAREPRESENTATIVA EM ESCOAMENTOS
EM PARALELO OU EMCONTRACORRENTE PUROS.18
A diferena de temperatura representativa, entre o fluido quente e o fluido frio, aquela que torna verdadeira a expresso:
MTUAq = ..
Onde:
TM = diferena de temperatura representativa
Vejamos a ttulo de esclarecimento, alguns casos especficos:
Perfis de temperatura
Podemos estar trabalhando com um trocador de calor que realiza uma operaounitria de evaporao. De um lado da parede est a soluo que evapora emtemperatura constante. De outro temos o fluido de aquecimento que pode ser vaporsaturado condensante. Caso tracemos um grfico, colocando na ordenada atemperatura e na abcissa o comprimento da superfcie de troca, obteremos oseguinte perfil:
18Devemos tornar-nos virtuosos praticando atos virtuosos.
19
T
L ou A
T
Fluido uente
Fluido frio
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T T
Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Neste caso a diferena de temperatura entre o fluido quente e o fluido frio umaconstante. Este valor constante obviamente a diferena de temperatura
representativa.Consideremos agora um tanque agitado com serpentina, operando em regimecontnuo. Dentro do tanque h uma soluo quente. Pela serpentina passa o fluidode resfriamento. Se traarmos o perfil de temperatura, obteremos agora:
O fluido frio se aquece ao circular pela serpentina. fcil observar que neste casoa diferena de temperatura entre o fluido quente e o fluido frio no permanececonstante. Vrios outros casos podem ser observados, onde a diferena detemperatura no permanece constante.19
19Como praticamos atos virtuosos, j temos a virtude dentro de ns, pelo menosem potncia.
20
T
L ou A
Fluido uente
Fluido frio
T
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Perfis de temperatura para escoamento em paralelo e contracorrente puros.20
Para contextualizar, representemos junto ao perfil, um esquema de um trocador de
calor de duplo tubo.
20 pela prtica de atos justos que o homem se torna justo.
21
contracorrente
paralelo
T
L
T
L
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Pelo exposto necessrio determinar-se uma diferena de temperatura querepresente adequadamente o fenmeno observado. Isto efetuado atravs dededuo formal.
Diferena de temperatura representativa para escoamento em paralelo.21
A deduo efetuada com o auxlio dos seguintes esquema e notao:
Onde:
A = rea de troca trmicaT = temperaturaq = taxa de transferncia de calor (velocidade de transferncia de calor)a e b = extremidades do trocador de calor1 e 2 = entrada e sada dos fluidosh e c = indica os fluidos quente e frio
Desta forma, no escoamento em paralelo, os dois fluidos entram pela mesmaextremidade. O fluido quente se resfria. O fluido frio recebe calor. A diferena detemperatura entre o fluido quente e o fluido frio vai se reduzindo na medida que se
21 pela prtica de atos temperantes que o homem se torna temperante.
22
TaT
dq
Tb
dTh
dTc
AdA
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
avana do ponto de entrada at o ponto de sada dos fluidos. Num elemento de readA do trocador de calor, ocorre a transferncia de uma pequena quantidade de calordq. O fluido quente tem sua temperatura diminuda numa pequena quantidade dTh.
O fluido frio tem sua temperatura aumentada em dTc.Na deduo a seguir, se considera o trocador de calor perfeitamente isolado. Isto ,o calor cedido pelo fluido quente totalmente transferido e aproveitado pelo fluidofrio; no h perdas. Considera-se tambm possvel o trabalho com uma capacidadecalorfica a presso constante mdia e um coeficiente global de transferncia decalor mdio.A quantidade de calor cedida ou recebida por cada fluido dada por:22
HHH dTcpmdq*
=
CCC dTcpmdq*
=
Onde:
=
*
m
vazo mssica (Kg/s)
cp = capacidade calorfica (J/Kg.OC)
Neste ponto podemos definir:
cpmC .*
=
Onde C pode ser denominado como taxa de capacidade calorfica (W/oC). Indica
a quantidade de calor transferida por grau. Empregando esta definio, as equaesacima tomam a forma:
HHdTCdq = (equao B)
CCdTCdq = (equao C)
Mas o calor cedido ou recebido igual ao calor transferido:
22Sem essa prtica ningum tem sequer a possibilidade de tornar-se bom.
23
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
TdAUdq = .. (equao D)
Onde T a diferena de temperatura local; numa determinada posio.
CH TTT = (equao A)
Pode-se comprovar que:
( ) ( ) CHCH dTdTTTdTd ==
Associando equao acima, as expresses (B) e (C):
( )
+==
CHCH CCdq
C
dq
C
dqTd
11
Podemos agora substituir dq pela expresso (D):
( )
+=
CH CCTdAUTd
11..
O nosso desejo no entanto obter uma equao que nos d em termos finitos adiferena de temperatura representativa para o caso (escoamento em paralelo)Integremos ento a expresso acima, de uma extremidade at a outra.23
( )
+=
B
A
B
ACH
dACC
UT
Td 11
+=
CHA
B
CCUA
T
T 11ln (equao E)
23Porm a maioria das pessoas no procede assim. Refugiam-se na teoria epensam que esto sendo filsofos e dessa forma se tornaro bons, de certo modoparecendo com enfermos que escutassem atentamente os seus mdicos, mas nada
fizessem do que estes lhes houvessem prescrito. Assim como a sade destes ltimosno pode restabelecer-se com esse tipo de tratamento, a alma dos primeiros no
se tornar melhor com um tal curso de filosofia.
24
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Tpicos dos conhecimentos bsicos no estudo de trocadores de calor
Mas tambm em termos finitos, as equaes (B) e (C) ficam expressas:24
( )12 HHH TTCq =( )12 CCC TTCq =
Substituindo em (E):
+
=
q
TT
q
TTUA
T
T CCHH
A
B 1212ln
( ) ( )[ ]1122ln CHHCA
B TTTTq
UA
T
T+
=
[ ]ABA
B TTq
UA
T
T=
ln
Reordenando:
=
A
B
AB
T
T
TTUAq
ln
Como visto inicialmente, queremos a expresso de uma temperatura representativatal, que torne verdadeira a expresso:
MTUAq = ..
Por comparao, vemos que neste caso - escoamento em paralelo puro - aexpresso :
24Somos chamados bons ou maus por nossas virtudes e vcios.
25
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=
A
B
ABM
TT
TTT
ln
O termo em colchetes uma mdia logartmica. Assim esta importante expressoda diferena de temperatura representativa denominada Diferena deTemperatura Mdia Logartmica (DTML). Em ingls a sigla LMTD(Logarithmic Mean Temperature Difference).Observao importante: Um ponto no qual os estudantes costumam errar o
computo das diferenas. Observe que TA e TB so as diferenas de temperaturaentre o fluido quente e o fluido frio nos extremos do trocador de calor.
Exerccio D - Comprovar que a DTML tambm a diferena de temperaturaapropriada para o escoamento em contracorrente puro.25
Indicativos para a resoluo: A figura anloga aquela para o escoamento emparalelo.
O que se altera na deduo so alguns sinais. Adotando como positivo o sentido daesquerda para a direita, a equao (C) toma a forma:
CCdTCdq = (equao C)
Desta forma d(T) expresso como:
( )
=+= CHCH CCdqCdq
C
dq
Td
11
( )
=
CH CCTdAUTd
11..
25Um homem no louvado (ou censurado) por sentir medo ou clera, nem censurado por simplesmente estar encolerizado mas sim por estar encolerizado decerta maneira (por agir com clera).
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Aps a integrao a equao se torna:26
=
CHA
B
CCUA
T
T 11ln (equao E)
Sendo 1 e 2 os sub ndices indicativos das extremidades do trocador de calor, emtermos finitos, a equao (C) fica expressa:
( )12 CCC TTCq =
Substituindo as expresses das taxas de capacidade calorfica em (E):
+
=
q
TT
q
TTUA
T
T CCHH
A
B 1212ln
26Para as aes tambm existe excesso, carncia e um meio termo.
27
Ta
dq
Tb
dTh
dTc
AdA
T
-
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O que leva mesma expresso da diferena de temperatura representativa(DTML).
Consideraes adicionais
27
Se convencionarmos os sub ndices 1 e 2 como indicativos das condies deentrada e sada das correntes teremos, para escoamento em contracorrente:
Neste caso, TA=TH1-TC2 e TB=TH2-TC1
J para escoamento em paralelo:
Agora, TA=TH1-TC1 e TB=TH2-TC2
O escoamento em contracorrente fornece a mxima diferena de temperaturarepresentativa para a transferncia de calor. Para as mesmas temperaturas deentrada e sada, a diferena de temperatura representativa para escoamento emcontracorrente maior que aquela para escoamento em paralelo.
No escoamento em paralelo, as temperaturas de sada teoricamente se igualam comum comprimento infinito do trocador de calor.
No escoamento em contracorrente, a temperatura de sada do fluido frio pode sermaior que a temperatura de sada do fluido quente, como ilustramos abaixo:
27Em essncia a virtude uma mediania.
28
TH1
TC2
TH2
TC1
TH1
TC1
TH2
TC2
TH1
TC2
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No entanto as linhas indicativas das temperaturas nunca podem se cruzar. Istosignificaria que o fluido quente passaria a ser o fluido frio no interior do trocadorde calor e vice versa.As linhas indicativas das temperaturas so cncavas ou convexas caso a taxa decapacidade calorfica do fluido quente seja maior ou menor que a taxa decapacidade calorfica do fluido frio.
Exerccio E - Um fluido quente entra em um trocador de calor a 80oC e sai a 60oC.O fluido frio entra a 35oC e sai a 50oC. Determine a diferena de temperaturarepresentativa para: (a) Escoamento em paralelo.(Resp. 23,3oC) (b) Escoamentoem contracorrente.(Resp. 27,4oC)Com o exemplo acima voc observou que a diferena de temperaturarepresentativa em escoamento em contracorrente maior que a diferena detemperatura representativa no escoamento em paralelo, desde que as temperaturasde entrada e sada permaneam as mesmas. Caso as demais variveis igualmenteno se alterem, a rea de troca trmica de um trocador de calor em contracorrenteser menor que aquela de um trocador de calor com escoamento em paralelo.28
Casos especiais
Se a temperatura de apenas um dos fluidos for varivel e a do segundo fluidopermanecer constante, pode-se empregar a diferena de temperatura mdialogartmica ou mesmo a diferena de temperatura mdia aritmtica.Caso as taxas de capacidade calorfica dos fluidos sejam iguais:
HC CC =
Sempre valero as expresses: CC TCq = HH TCq =
28As pessoas que esto nos extremos, tendem a julgar que esto no meio termo.
29
TH2
TC1
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Considerando que o calor cedido pelo fluido quente igual ao calor recebido pelofluido frio e substituindo temos:29
HC Tq
Tq =
HC TT =
De modo que neste caso as diferenas de temperatura extremas so iguais. Estaser a diferena de temperatura representativa.
MBA TTT ==
Observe que a tentativa de usar a expresso da DTML neste caso resultar emindeterminao.
01lnln ==
B
AT
T = DTMLT
prof. Paul Fernand Milcent, em 03/10/2007.
As notas de rodap so algumas poucas idias extradas da obra tica aNicmaco de Aristteles (384 a.C. - 322 a.C). Editora Martin Claret, 2006. Estelivro facilmente adquirido e comercializado num preo bem acessvel.
Se dirigir no beba. Se beber, no dirija.
29Se as virtudes residem em potncia no ser humano, igualmente os vcios.
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