une visite guidée dans le monde des ondelettes plan introduction au royaume de fourier sft cwt dwt...
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Introduction
Pourquoi une transformée ?
Optimiser la description des signaux pour extraire les informations désirées
Au royaume de Fourier
Toute fonction peut être représentée par une somme de sinusoïdes
Comment on peut le faire M.Fourier?!!!
Limitations :La stationnarité
•Signal déterministe
il peut se décomposer en une somme d'ondes sinusoïdales éternelles
•Signal aléatoire
ses propriétés statistiques (moments) ne varient pas au cours du temps
La non-stationnarité
C’est une « non-propriété » : elle n’est définie que par son contraire!!!!!!!!!!!!!!!!!
La physique et Fourier : limitations
• Caractère globaleExemple : morceau musical
• Interprétation physique difficile
Réalité physique Pas de signal en dehors d’un certain support : zéro statique
FourierZéro dynamiqueInterférence d’une infinité de sinusoïdes Contribution résultante nulle
Signal transitoire
Il est ou le« la »?!!!
Transformée de Fourier à fenêtre ou T. de
Gabor
dvdbtGbvSFTtf
dtebtgtfdttgtfbvSFT
Rbv
vtibv
)(),()(
)()()(*)(),(
2
,
2,
Avec g(t)=e-t²
Interprétation : SFT comme filtrage
f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0
B B B B BB
SF
T
devGFdttgtfbvSFTbvi
bv)(2*
,)()()(*)(),(
temps
fréquenceBanc de filtre uniforme
Ondelettes : classification
Transformées redondantes
transformée continue
trame d’ondelettes
paquet d’ondelttes
Transformées non redondantes
analyse multirésolution :base orthonormée
analyse multirésolution :base bi-orthogonale
paquet d’ondelttes
Transformée en ondelettes continue : cdt. d’admissibilité
• Condition suffisante d’admissibilité pour une ondelette réelle :
0)( dtt
avec aR+, bR
a
bt
atba 1)(,
•Atome de base
Transformée en ondelettes continue
dtttfbaC baf
)()(),( ,*
a
b
abfdt
a
bt
atfbaC f
** 1*)(
1)(),(
Notée généralement CWT
CWT: interprétation comme filtrage
f0 2f0 4f0 8f0
B 2B 4B 8B
CW
T
B
fQ
f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0
SFT
CWT
temps
B B B B BB
SF
T
fréquence
CWT: réelle ou complexe
réelleOndelettes réelles
détection des transitions brutales d’un signal
complexeOndelettes analytique
voir l’évolution temporelle des composantes fréquentielles
DWT :Analyse multirésolution
Signal construit par raffinement successiveApproximation+détail
)2(2)( 2/, ktt jjkj
•Le père : f. d’échelle (t) •La mère: l’ondelette (t)
ktt jjkj 22)( 2/
,
dtttxkja kj )()(),( ,
Coefficients Approximation à l’échelle j
kj
kj
d
dtttxbaW
,
, )()(),(
Coefficients de détail à l’échelle j
kkjjj tkjatxtf )(),()()( , )()( ,, tdtg
kkjkjj
Approximation + détail
f.b.orth f.b.orth
Rappel : bases orthonormales
• uV1, V1V0
Tel que W1 est le complémentaire orthogonale de V1
u
Pv1u
Pw1 uV0
V1
u u 11 wv PPu
Rappel : bases orthonormales
• Soit {v1,v2,…,vn} une base dans l’espace V,tout vecteur (fonction)peut être écrit comme:
j difficile à déterminer sauf pour une base orthonormale
• On peut écrire alors :
j
jjvw
jj vw,
nn
jjj
vvwvvwvvw
vvww
,,,
,
2211
Analyse multirésolution
[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]
Supposons qu’on se donne une fonction f appartenant à L([0,1]), discrétisée sur 8 valeurs :
Analyse multirésolution
On voudrait exploiter une éventuelle corrélation entre valeurs voisinesMoyennant les paires de valeurs voisines
[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]
[2 6.5 13 18]moyenne
[–1 –1.5 –2 –2]
Perte d’information
2+(– 1) = 1, 2 – (– 1) = 3,6.5+(– 1.5) = 5, 6.5 – (– 1.5)= 8 ,………………….
Analyse multirésolution
Résolution Moyenne détail
8421
[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]
[2 6.5 13 18][4.25 15.5]
[9.875]
[–1 –1.5 –2 –2][–2 .25 –2.5]
[–5.625]
[9.875 –5.625 –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2]
moyenne
moyenne
moyenne
différence
différence
différence
[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]
Analyse multirésolutionOn peut considérer la fonction précédente comme une fonction sur [0,1] constante par morceaux sur les intervalles : I3,k = [2-3k, 2-3(k + 1)[, k = 0, . . . , 2-3 - 1. En notant
φ (x) = I0,1(x) et φj,k(x) = φ (2jx - k), la fonction s’écrit :f (x) = 1φ3,0(x) + 3φ3,1(x) + 5φ3,2(x) +8 φ3,3(x) +11φ3,4(x) + · · ·
15φ3,5(x) + 16φ3,6(x) + 20 φ3,7(x).
•On peut re-écrire alors
f (x) = 2 φ2,0(x) + 6.5 φ2,1(x) + 13 φ2,2(x) + 18 φ2,3(x) + · · ·
(-1)ψ2,0(x) + (-1.5) ψ2,1(x) + (-2) ψ2,2(x) + (-2) ψ2,3(x)
où : ψ(x) = I[0,1/2[(x) - I[1/2,1[(x)[9.875 –5.625 –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2]
moyenne
moyenne
moyenne
différence
différence
différence
[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]
V0
V1
V2
V3
(t)
(t)
Analyse multirésolution• V0 le sous-espace vectoriel de L2([0, 1[) engendré par les
fonctions constantes sur [0, 1[
• Vj l’espace vectoriel des fonctions constantes par morceaux sur les intervalles Ij,k, k = 0, 2j – 1
• V0 V1 V2 V3
• Pour chaque Vj, la famille{ φ j,k, k = 0, . . . , 2j - 1} forme une base , et est orthogonale.
• la famille {j,k, k = 0, . . . , 2j - 1} est une base de l’espace vectoriel Wj supplémentaire orthogonal de Vj dans Vj+1.
Analyse multirésolution• une analyse multirésolution de L2(R) est une famille M=VjjZ de sous
espaces vectoriels fermés emboîtés · · · V-2 V-1 V0 V1 V2 · · · , [1] telle que
[2]
jZ, f (x) Vj , f (2x) Vj+1 [3]• Il existe une fonction V0 telle que :
[4]
{k, k Z} est une base “stable” de V0, c’est à dire que :
0et 2
Zjj
Zjj VLV
Zk
k kxxfRLfV )()(:)(20
Vj=Vj+1Wj+1
Algorithme de Mallat
)2(][2)( ktkhtk
(t) dans V0 V1
La clef : équations aux deux échelles
dtkttkh )2()(2][
)2(][2)( ktkgtk
dtkttkg )2()(2][
(t) dans V1
Le père
La mère
avec
avec
)(][2)( ,1, tkht kjk
kj
)(][2)( ,1, tkgt kjk
kj
Algorithme de Mallat: décomposition
• Relation entre l’approximation au niveau j+1 et l’approximation et le détail au niveau j
m
mjkjm
mjkj mkgadmkhaa ]2[et ]2[~
,1,
~
,1,
1-niveau de décomposition
h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n]~ ~
~Haj+1,k
G~
2
2
aj,k
dj,k
~
dtttxkja kj )()(),( ,
)(][2)( ,1, tkht kjk
kj
j<=0
dtttxd kjkj )()( ,,
)(][2)( ,1, tkgt kjk
kj
Algorithme de Mallat: reconstitution
)(,, tdk
kjkj
kkjkj tkjaa )(),( ,,1
Par projection de cette égalité sur j+1,k ,on trouve
2
2
G
H
+aj,k
dj,k
aj+1,k
mkj
mkjkj dmkgtmkha ,,,1 )2()()2(
Analyse multirésolution
h[n]: Reconstruction, filtre passe-bas
g[n]: Reconstruction, filtre passe-haut
h[n]: Decomposition, filtre passe-bas
g[n]: Decomposition, filtre passe-haut
~
~
h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n]~ ~
][)1(]1[ ngnLh n Filtre QMF
Analyse multirésolution
G
H
2
2 G
H
2
2
2
2
G
H
+
2
2
G
H
+
x[n]x[n]
Decomposition Reconstruction
~
~ ~
~
n
high kngnxky ]2[][][~
n
low knhnxky ]2[][][~
k
high kngky ]2[][
k
high kngky ]2[][
Analyse multirésolution: construction
• Choisir une famille de base orthonormée de fonctions d’échelle
• Déterminer le filtre h• Vérifier la convergence de
l’analyse avec l’algo. en cascade
• Définir le filtre g à partir de h et déduire l’ondelette associée à l’aide de l’algorithme en cascade
• Choisir h (passe bas) (orthogonal)
• Algo. en cascade pour vérifier la convergence
• Construire g à partir de h
Remarque : L’analyse est discrète mais l’ondelette et la fonction d’échelle restent continuent
Ondelettes :
Deux degrés de liberté :
• Le choix de Le choix de l’ondelettel’ondelette
• Le Le nombrenombre de niveaux de de niveaux de décompositiondécomposition
Ondelettes : le choix
utile pour la compression , suppression des signaux
dtttm )(•nombre de moments nuls
Le lien entre un polynôme et un signal quelconque : série de Taylor
Tout polynôme d’ordre m MM nombre de moments nuls
Mm
mmtctx
0
)( dj0DWT
Ondelettes : le choix
• Support :quantifie resp. la localisation en
temps et en fréquence
Support compact
Support noncompact
En temps En fréquence
Bande étroite
Bande limitée non étroite
Filtre FIR Filtre IIRDaubechies, Symlets, Coiflets, etc.
Meyer
Ondelettes : le choix
•Régularité•Plus le nombre de moments nuls augmente plus l’ondeltte est régulière
Utile pour obtenir des signaux ou images reconstruits lisses et réguliers
•Meilleurs sont les propriétés de reconstruction
esthétisme
Ondelettes : le choix
• SymétrieUtile pour éviter le déphasage
(filtres à phase linéaire) •Ondelettes orthogonales
+Support compact
O. asymétriques
•Ondelettes biorthogonales
O. symétriques
Ondelettes : propriétés principales et classification
Ondelettes à filtres Ondelettes sans filtres
A support compact A support non compact
réelles complexes
Orthogonales Biortho-gaunales
orthogaunales gaus,
mexh,
morl
cgau, shan, fbsp, cmor
db, haar, sym,coif
bior meyr,dmeyr,btlm
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