valor absoluto e intervalos (1)
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@ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS 1
VALOR ABSOLUTO• VALOR ABSOLUTO.
• Los números irracionales, como √2 , junto con los números racionales, como 4 / 7, forman el conjunto de los números REALES ( R )
• El valor absoluto de un número real, x , se designa |x|, y coincide con el número si es positivo o 0, y con su opuesto si es negativo.
• Ejemplos:
• |2| = 2• |-3| = 3• | -3/4| = ¾• |- √2| = √2 • |√-2| = No existe, puesto que √-2 no es un número real.
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El valor absoluto de un número real es un concepto de frecuente utilización en cálculo.
Si x es un número real, su valor absoluto |x| se define así:
x si x 0x =
-x si x 0
Números reales
Valor absoluto
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Propiedades del valor absoluto
1. |xy| = |x| |y|
2. |x/y| = |x| / |y|
3. |x+y| ≤ |x| + |y|
4. |x-y| ≥ | |x| -|y| |
5. |x| < a -a < x < a
6. |x| > a x <-a ó x >a
7. |x|= 2x
Números reales
Matemática Básica(Ing.) 4
Números enteros (Z)Números enteros (Z)
Números Reales (R)Números Reales (R)
Números irracionales (Q´= I)Números irracionales (Q´= I)
Números Enteros
negativos Z-
Números Enteros
negativos Z-
Cero (0)Cero (0)
Números Enteros
positivos Z+
Números Enteros
positivos Z+
= N
Diagrama de los Conjuntos Numéricos
Números racionales (Q)Números racionales (Q)
0, nn
m
Matemática Básica(Ing.) 5
Identifique e indique cuál de los siguientes números es Q o I
6887729357320508075,13
8979323841415926535,3
3,0...33333,031
0,754
3
Si el número es racionalentonces su parte decimalcorrespondiente es finita o se repite periódicamente.
Si es Irracional tiene una expresión decimal infinitay no periódica.
Ejercicio:
Matemática Básica(Ing.) 6
Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real, de ahí que a dicha recta suela llamársele recta real o eje real.
La recta numérica real (R)
- -3 -2 -1 0 1 2 3
3 2
Recta numérica
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Propiedades del valor absoluto
1. |xy| = |x| |y|
2. |x/y| = |x| / |y|
3. |x+y| ≤ |x| + |y|
4. |x-y| ≥ | |x| -|y| |
5. |x| < a -a < x < a
6. |x| > a x <-a ó x >a
7. |x|= 2x
Números reales
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(a,b)
[a,b]
(a,b]
[a,b)
a b
a b
a b
a b
Números reales
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Definición de intervalos no acotados o semirrectas:
Si a R definimos
(a, ∞) = { x Є R / x > a }
[a, ∞) = { x Є R / x ≥ a }
(-∞, a) = { x Є R / x < a }
(-∞, a] = { x Є R / x ≤ a }
Luego se puede escribir R = (-∞, ∞)
Números reales
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Definición de conjuntos acotados
1) Un subconjunto A de R se dice que está acotado superiormente si para cualquier x de A se cumple x ≤ M, para algún M R. Se dice que M es una cota superior de A.
2) Un subconjunto A de R se dice que está acotado inferiormente si para cualquier x de A se cumple m ≤ x, para algún m R. Se dice que m es una cota inferior de A.
3) Un subconjunto A de R se dice que está acotado si para cualquier x de A se cumple |x| ≤ M, para algún M R. Se dice que M es una cota de A.
4) Luego A está acotado sí y sólo sí lo está superior e inferiormente.
Números reales
Matemática Básica(Ing.) 11
Es un subconjunto de números reales sin huecos en su interior.
Intervalos acotados de números reales:Sean a y b números reales con a < b.
Notación de intervalo
Tipo de intervalo
Notación de desigualdades
Gráfica
Los números a y b son extremos de cada intervalo.
ba, Cerrado bxa a b
ba; Abierto bxa a b
ba; abierto Semi bxa a b
ba; abierto Semi bxa a b
Intervalo
Matemática Básica(Ing.) 12
Intervalos NO acotados de números reales:Sean a y b números reales.
Notación de intervalo
Tipo de intervalo
Notación de desigualdades
Gráfica
Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.
;a Cerrado ax
;a Abierto
Cerrado bx b;
Abierto bx
a
b;
ax a
b
b
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