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AMPLIACIÓN DEL ESPACIO DE TRABAJO DE UNA
PLATAFORMA STEWART PARA APLICACIONES CON
GRADOS DE LIBERTAD REDUNDANTES
Nicolás Andrés Ordoñez Apraez.
Asesor: Carlos Francisco Rodríguez
Universidad de los Andes, Colombia
Tabla de contenido
1. INTRODUCCIÓN 2
2. PLANTEAMIENTO DE LA FORMULACIÓN DE MOVIMIENTO 6
2.1 PSEUDO-INVERSA 8 2.2. FORMULACIÓN INICIAL 9 2.3 DESACOPLAMIENTO 9
3. ELECCIÓN DE ÍNDICE Y OPTIMIZACIÓN 12
3.1 METODOLOGÍA DE SELECCIÓN DEL ÍNDICE 13
4. OPTIMIZACIÓN SIN PROYECCIÓN EN LA NULIDAD. 16
5. METODOLOGÍA DE PRUEBA 19
5.1 CASO DE PRUEBA N°1. 20 5.2 CASO DE PRUEBA N°2 21 5.3 CASO DE PRUEBA N°3 22
6. ESTABILIDAD DEL ALGORÍTMO 24
6.1 SELECCIÓN DE LA GANANCIA. 24 6.2. VARIACIÓN DE LAS CONDICIONES INICIALES. 24
7. CONCLUSIONES 26
8. REFERENCIAS: 27
ANEXO 1. 29
ANEXO 2. 32
1. INTRODUCCIÓN
En este proyecto se presenta una estrategia de optimización para ampliar el espacio de
trabajo de una plataforma Stewart en aplicaciones con grados de libertad redundantes.
Partiendo de la plataforma Stewart como un elemento con seis variables de entrada
controlables y seis salidas de movimiento posibles (tres traslaciones y tres rotaciones),
existen algunas aplicaciones en donde el movimiento de salida, requiere menos grados
de libertad que los disponibles en la plataforma. La estrategia planteada usa los grados
adicionales para desarrollar dos etapas. Primero, se evalúan índices de desempeño que
definen la proximidad a los limites articulares dada una pose de la plataforma.
Posteriormente, a partir de cada pose, la plataforma es reconfigurada manteniendo los
valores de movimiento en la salida que son requeridos por la aplicación, mientras que
se varían los redundantes para lograr la minimización del índice.
El proceso anterior es desarrollado con dos diferentes metodologías: la primera de
ellas, usa algoritmos de optimización genéticos (búsqueda global), adjunto con
optimización no lineal sin restricciones usando el método Nelder-Mead (búsqueda
local). Esta resulta ser apropiada para computaciones “offline”. Una segunda
metodología se de desarrolla con base en la adaptación de la teoría de robots seriales
redundantes.
En robots seriales, el uso de grados de libertad redundantes ha sido un tema de alto
interés tanto académico como industrial, dado el potencial de aplicaciones que no
requieren los seis grados de libertad contenidos en los manipuladores comunes. Estos
grados de libertad adicionales pueden ser utilizados para lograr tareas secundarias que
mejoran el desempeño del manipulador. Paralelamente, la implementación de
aplicaciones con uso de manipuladores paralelos mostrados inicialmente por
Chirstopher Wren en 1645 [1], han ganado atractivo para muchas aplicaciones
comerciales en las ultimas décadas.
Fue a mediados de los 90, que se aplicaron sobre maquinaria para herramientas,
posicionamiento de telescopios e inclusive empacado de alimentos a nivel industrial.
No obstante el rendimiento no fue el esperado, como consecuencia de que las cadenas
cinemáticas cerradas, no han sido estudiadas en el mismo nivel que las arquitecturas
seriales. En las últimas dos décadas numerosas compañías se han centrado en el
desarrollo de sistemas de movimiento de realidad virtual, en el cual el sector de los
manipuladores paralelos han encontrado quizás su sector mas exitoso [8].
Un simulador dinámico es un dispositivo que integra la generación de movimiento de
mecanismos con características de la realidad virtual, como sonido y sistemas de
visualización, para recrear una experiencia virtual. La gran mayoría de los desarrollos
en simuladores se dirigen sobre la industria aérea y de vehículos automotores, en
donde, es fundamental el reconocimiento de instrumentos y manipulación de los
controles del vehículo. En estas aplicaciones la recreación de alta fidelidad del
movimiento no asegura la transferencia de conocimiento en el entrenamiento del
piloto.
Sin embargo existen aplicaciones como las embarcaciones fluviales en donde se
generan estímulos a pasajeros que no tienen el control del vehículo, por lo cual no son
capaces de anticipar la dinámica que se producirá en un tiempo posterior [3]. De esta
manera la recreación de la dinámica de la embarcación se convierte en un importante
característica del simulador, con el fin de lograr la transferencia de conocimiento
durante el entrenamiento.
Estudios anteriores se centran en algoritmos clásicos whashout y otros en la
percepción sensorial del movimiento mediante el sistema vestibular (human center
algorithm)[3]. El problema se parte en dos etapas de adquisición, una etapa objetiva
en donde un estimulo físico sobre una persona es transformado en un estado
determinado por las señales sensoriales del cuerpo; y una segunda etapa subjetiva en
donde señales nerviosas pueden alterar y reinterpretar la percepción del movimiento,
alterando los estados producidos por los estímulos físicos.
A partir de los algoritmos de percepción del movimiento, y de las características de
los vehículos a simular, se ha invertido un gran esfuerzo en generar síntesis estructural
de robots con menos de seis grados de libertad. Esto es motivado por el hecho que las
características del movimiento favorecen algunos grados de libertad, y los restantes
se ven suprimidos. Por ejemplo en las aplicaciones de vehículos se requieren menos
grados de libertad, como los automóviles terrestres en donde se favorecen cinco
grados de libertad principalmente, o más aun en embarcaciones fluviales donde solo
es necesaria la actuación de tres grados de libertad para generar la percepción del
movimiento.
Sin embargo es necesario notar que las estructuras diseñadas con menos de seis
grados de libertad solo logran obtener los grados de libertad requeridos en teoría, y en
muchos de los casos restricciones geométricas estrictas deben ser cumplidas para
obtener el numero exacto de grados de libertad. No obstante, en algunas ocasiones
estas restricciones son imposibles de satisfacer en la práctica y como consecuencia el
manipulador mostrara movimientos parásitos [1]. Puede resultar un gran problema el
determinar sus cotas máximas de movimiento para una síntesis de mecanismo dada.
Análogamente, una gran motivación para el desarrollo de manipuladores con menos
de seis grados de libertad se debe a que se tienen menos actuadores. Con lo cual su
costo disminuye y el esquema de control se simplifica.
Por otro lado el uso de un manipulador de seis grados de libertad en aplicaciones que
no requieran el total de los movimientos, llevan a la existencia de grados de libertad
redundantes. Esto se puede definir como un manipulador que posee más grados de
libertad que los que realmente necesita para cumplir una tarea específica.
Alternativamente la redundancia puede verse como un número mayor de uniones
actuadas para generar el movimiento deseado sobre la plataforma objetivo.
En manipuladores paralelos la actuación de grados de libertad redundantes se puede
generar con el remplazo de uniones pasivas, por activas o agregando extremidades en
la estructura del manipulador.
Con respecto a tareas especificas los grados de libertad redundantes se actúan para
mejorar la calidad del control sobre el manipulador, optimizando características
requeridas por la aplicación, como es el manejo del espacio de trabajo (evadir los
limites físicos del manipulador), o en el problema de generación de trayectorias en
donde se pueden manejar las singularidades para lograr trayectorias libres de ellas
[15],[6] y para resolver la cinemática directa del manipulador.
Trabajos anteriores plantean el desarrollo de plataformas paralelas con actuación de
redundancia, donde se caracteriza el uso de robots para herramientas con 5 grados de
libertad [15], ya que no es necesaria la rotación alrededor del eje normal a la
plataforma móvil. Por tal motivo se propone un algoritmo para una plataforma de seis
grados de libertad, en el cual se actúe el grado redundante optimizando trayectorias
que pertenezcan al espacio de trabajo y además sean libres de singularidades,
cumpliendo con índices de desempeño diseñados para la evaluación del algoritmo.
También se emplean la redundancia de manipuladores para la minimización del
torque [7]. Con base al espacio nulo de aceleraciones en las juntas y con una
minimización de mínimos cuadrados, se encuentra el rango de torque que tendera a
permanecer dentro de un límite predeterminado.
Continuamente se han desarrollado trabajos sobre plataformas planares de 3 grados de
libertad en donde la redundancia es utilizada para resolver problemas de calibración
en la cinemática directa del manipulador, con el uso de controladores switcheados
para extremidades en fuerza y posición. De esta manera se logra evadir ángulos
críticos del mecanismo y se obtiene una minimización de errores en el seguimiento de
contornos, que además lograran un aumento en la rigidez y mayor espacio de trabajo
en cuanto a orientación del manipulador. En [5] Se comparan la actuación de un grado
redundante con respecto a los tres grados de libertad iniciales.
En el campo de los manipuladores seriales se ha hecho uso de un grado de
redundancia para la modificación de trayectorias en real-time, en la evasión de
obstáculos móviles cercanos al manipulador [4].
Finalmente, como se ha planteado a través de la introducción, este trabajo se centrara
en generar una metodología de movimiento basada en el uso de grados de libertad
redundantes para la ampliación del espacio de trabajo de una plataforma Stewart. En
este trabajo se introducirán casos de aplicaciones sobre las cuales se comparan las dos
metodologías de movimiento.
2. PLANTEAMIENTO DE LA FORMULACIÓN
DE MOVIMIENTO
A partir de las investigaciones desarrolladas sobre manipuladores seriales, se pretende
generar una formulación para los manipuladores paralelos. En primera instancia
partimos de la relación diferencial que existe entre la derivada del vector de estados
de la plataforma móvil , en el cual podemos encontrar tanto orientaciones como
posiciones de la misma, con respecto a la velocidad articular de cada una de las
uniones , mediante la matriz Jacobiana del manipulador.
Para la existencia de la redundancia la matriz Jacobiana de dimensiones ,
debe tener menor numero de filas con respecto a las columnas, por lo que , es
decir que las dimensiones del vector articular van a ser mayores que las del vector de
estados de la plataforma móvil.
Figura 2: Mapeo de la matriz Jacobiana
En la Figura 2, se presenta, el mapeo del Jacobiano en términos de los subespacios
generados por los vectores columnas del Jacobiano (rango ), resultan en las
velocidades de la plataforma móvil, para una posición dada del manipulador. Por otro
lado el subespacio generado por la nulidad de la matriz Jacobiana , resulta en
velocidades nulas de la plataforma móvil con la degeneración del Jacobiano en la
singularidad.
Haciendo uso del hecho de que existe la nulidad dada la redundancia , se
puede hacer un uso sistemático de la solución para manejar los grados restantes al
manipulador. Sea , una solución del sistema lineal . Y una matriz de
, que cumple con:
De esta manera el vector de velocidades articulares se pueden escribir como:
Dadas las características de la matriz ,
De esta manera, es posible determinar una matriz P, que proyecte la nulidad del
Jacobiano sin afectar la solución final del manipulador. Como consecuencia de que
, para todo elegido arbitrariamente, afectando de esta manera únicamente
el movimiento interno del manipulador, aprovechando la redundancia.
2.1 Pseudo-Inversa
A partir del sistema lineal se requiere solucionar la cinemática inversa diferencial del
manipulador, dadas las características de dimensión de la matriz Jacbobiana, no es
posible generar una inversión directa de la matriz, por lo que mediante una
minimización en la norma del vector de velocidades articulares se puede encontrar
que la solución:
Satisface el sistema lineal, resultando en la matriz pseudo-inversa derecha.
Sin embargo si se quiere hacer uso de la existencia de la nulidad en el Jacobiano, es
posible determinar la solución del sistema lineal con el uso de la matriz P, con lo que
se minimiza la norma del vector , y de esta manera encontrar la proyección
sobre la nulidad. De esta manera se tiene que la solución del sistema lineal es:
En donde se presentan dos términos, el primero de ellos determinado para disminuir la
norma de las velocidades articulares, mientras que el segundo resulta ser la
proyección del vector , en el espacio nulo del Jacobiano ( ). Determinando así
la matriz .
Como consecuencia de esto se pueden generar movimientos internos del manipulador
sin afectar la configuración deseada final. Mas aún esta formulación permite generar
reconfiguraciones cuando se requieren posiciones estáticas en el efector final.
Una elección favorable para la reconfiguración del movimiento interno de . Se basa
en la escogencia del gradiente de una función para optimizar el espacio de trabajo,
mejorar la manipulabilidad entre otros.
2.2. Formulación inicial
A partir de la revisión de las formulaciones en los manipuladores seriales, se plantea
una primera solución en la optimización del movimiento.
Donde la matriz es una matriz de identidad superior de la manera:
Así es posible desacoplar los grados de libertad de interés y los grados de libertad
redundantes, desarticulando el vector de estados de la plataforma móvil ( ), en dos
componentes, el primero de ellos correspondería a los r grados de libertad
controlables del manipulador ( ), y el segundo componente compuesto por los n-r
grados de libertad redundantes en el movimiento del manipulador.
Conociendo la relación entre el espacio articular y el espacio operacional en los
manipuladores paralelos, mas en especial sobre la plataforma Stewart.
Es posible realizar un cambio del espacio operacional al articular (el cual
convenientemente es la variable de control) en la formulación,
Dado que en la plataforma Stewart tiene como caso particular , la
formulación únicamente depende de la matriz Jacobiana en función de los grados de
libertad de la plataforma móvil ( . Finalmente pre-multiplicando la expresión
anterior por la matriz Jacobiana, se tiene:
De manera comparativa con la formulación presentada en los manipuladores seriales,
se puede ver el desacoplamiento entre los grados de libertad redundantes, donde la
matriz , proyectara los movimientos deseados por el gradiente sobre el
espacio nulo de los grados de libertad controlados.
2.3 Desacoplamiento
Como una primera revisión de la formulación se prueba el desacoplamiento. Para esto
se fijaron los grados de libertad controlables y se varían de manera arbitraria los
grados de libertad redundantes.
En este caso se toma como grados de libertad controlables la posición del centro de
masa de la plataforma móvil. Descrita por:
Mientras que la orientación representara los grados de libertad redundantes o de
movimiento libre. Estos últimos serán afectados por la variación del gradiente ( ).
Figura 3: Posición del centro de masa
Figura 4. Orientación de la plataforma móvil
En la Figura 3, se muestran la posición del centro de masa, el cual sigue la trayectoria
deseada en cada uno de los tres grados de libertad, mientras que los grados de libertad
redundantes (orientación), toman valores arbitrarios, como consecuencia de la
variación del gradiente. Sin embargo estos cambios no alteran los tres grados de
posición de interés, por lo que la plataforma se reorienta independientemente de la
posición. Este a pesar de ser un caso evidente en una plataforma Stewart demuestra el
desacoplamiento de los grados de libertad en la formulación.
3. ELECCIÓN DE ÍNDICE Y OPTIMIZACIÓN
A partir de la formulación planteada en la Sección 5, surge la posibilidad de obtener
un gradiente arbitrario de manera similar a la usada en los manipuladores seriales:
Es importante notar que la función gradiente esta expresada en el espacio articular.
Para llevar a cabo la elección de la función de se estudiaron cuatro índices que
minimizan la distancia de cada una de las extremidades al punto medio de la carrera
total.
Estos índices surgen de la representación de “resortes virtuales” sobre cada una de las
extremidades del manipulador. Es decir virtualmente se asume que existe un resorte
desde un punto fijo en la base del actuador hasta el punto medio del émbolo, siendo
esta la posición de equilibrio.
Figura 5. Representación de un resorte
virtual
Donde representa la longitud de cada uno de los actuadores, es el valor medio del
total del recorrido posible, es el valor de máxima extensión y el valor de
mínima extensión.
1.26
1.46
1.06
Tabla 1. Características de los actuadores (unidades en metros)
A partir de la interpretación del resorte virtual, una posible analogía en la que se
puede entender el origen de cada uno de los índices resulta en asociar la “energía
virtual total”, la “fuerza virtual total” y la “máxima fuerza virtual” de todas las
extremidades con los índices A,B, C respectivamente; el índice D, corresponde a una
variación del índice A, en el que el exponente pondera fuertemente las extremidades
que se encuentran lejos del punto medio.
3.1 Metodología de selección del índice
Para la selección del índice de evaluación, se plantea un ejemplo, en el cual se define
una trayectoria del centro de masa (ver Figura 4), convirtiendo de esta manera X,Y y Z
en tres grados controlables; contrario a esto, las tres rotaciones se liberan actuando
como grados de libertad redundantes.
Figura 6: Trayectoria del centro de masa
En la Figura 6 se presenta una trayectoria con orientación fija en cero (curva azul) y
una trayectoria en la cual se reorienta la plataforma (curva roja). Cabe recalcar que al
reorientar la plataforma se amplia el espacio de trabajo logrando mayor capacidad de
movimiento representado en una trayectoria mas extensa.
Definida una tasa de muestreo discreta , sobre la trayectoria, es posible evaluar cada
uno de los índices en un instante de tiempo , como consecuencia de depender
únicamente del estado de las variables articulares. De esta manera es posible:
-0.4-0.2
00.2
0.4 -0.4-0.2
00.20.9
0.95
1
1.05
1.1
1.15
Pos Y [m]Pos X [m]
Po
s Z
[m
]
Reorientando
Orientación fija
1. Evaluar el índice en cada instante de tiempo sobre una trayectoria definida con
tasa de muestreo . Cuando se tienen los tres grados de libertad
correspondientes a la orientación iguales a cero.
2. Reconfigurar la orientación de la plataforma de tal manera que el índice en
evaluación sea minimizado para cada instante de tiempo sobre la trayectoria
definida.
De esta manera es posible comparar el resultado de los dos procedimientos anteriores
para cada uno de los índices con en el correspondiente resultado en el espacio
articular.
Figura 7: Máxima distancia al centro de una de las extremidades
En la Figura 7, se presenta la comparación de la máxima longitud alcanzada por uno
de los actuadores al tener una orientación fija; con respecto a reorientar la plataforma
hasta lograr minimizar cada uno de los cuatro índices en cada instante de la
trayectoria definida en la Figura 6.
Se puede validar que sobre los índices A y B no es posible ampliar el espacio de
trabajo, contrario a esto presentan longitudes máximas mayores comparadas con la
lograda al fijar la orientación. Este es el resultado de que en el definición del índice se
pondera la configuración de las seis extremidades como un promedio equitativo,
dando posibilidad a poses del mecanismo en donde algunas de las extremidades se
encuentran cerca de los extremos límite superior, mientras que sus pares se
encuentran cercanas al centro. Obteniendo como resultado un promedio bajo y por
tanto un bajo índice. (ver Anexo 1 Figuras 19 y 20)
Un caso contrario de los índices A y B, se presenta en los índices C y D, en donde la
ponderación castiga fuertemente las extremidades lejanas al centro, como es el caso
del índice D al tener un exponente de grado 6. Mejorando de esta manera tanto el
índice en evaluación como el estado de las variables articulares.
0,15
0,25
0,35
0,45
Máxima distancia al centro de la iésima extremidad
Orientación fija Índice A Índice B Índice C Índice D
Finalmente la elección del índice se realiza sobre el Índice D, por tener un gradiente
explícito y generar movimientos continuos y suaves en el tiempo a cada una de las
extremidades. (Ver Anexo1 Figura 22)
4. OPTIMIZACIÓN SIN PROYECCIÓN EN LA
NULIDAD.
Como primera aproximación se realiza la optimización de una pose inicial. En este
caso no se hace una proyección en la nulidad de los grados de libertad controlables, es
decir se permite movimiento en los seis grados de libertad para llegar a la posición
que minimiza el índice .
Las condiciones iniciales para la simulación fueron:
Figura 8. Posición del centro de masa
Figura 9. Orientación de la plataforma móvil
En las Figuras 8, y 9 se puede apreciar como se permite que el algoritmo mueva cada
uno de los grados de libertad al eliminar la proyección en el espacio nulo de los
grados de libertad controlables, esto resulta de remplazar la matriz por la
identidad.
De igual forma se puede apreciar en las figuras 10 y 11, como es el comportamiento
de cada uno de los elementos del vector gradiente a través del tiempo y como su
comportamiento se ve representado en el índice de desempeño sobre el cual se llega a
la minimización.
Figura 10. Elementos del gradiente en el tiempo ( )
Figura 11. Índice en el tiempo ( )
5. METODOLOGÍA DE PRUEBA
Para estudiar el comportamiento de la formulación en el tiempo, se plantean tres casos
de prueba en los que se sigue la siguiente metodología.
1. Elección del índice de desempeño. (Para todos los casos corresponde al Índice
D).
2. Definición de una trayectoria sobre los grados de libertad controlables.
3. Definición de los grados de libertad redundantes o de libre movimiento.
4. Optimización numérica basada en la trayectoria definida en el numeral 2.
5. Comparación de la optimización numérica respecto a la formulación usando la
proyección en la nulidad.
Es importante aclarar que optimización numérica se realiza con base en dos pasos:
El primero de ellos implementa una optimización con algoritmos genéticos sobre un
rango determinado.
Sujeto a
Y posteriormente se aplica una minimización local usando optimización no-lineal sin
restricciones (Nelder-Mead Simplex).
De esta manera para cada una de las poses de una trayectoria muestreada a una tasa
. Se realiza una minimización del índice de desempeño teniendo en cuenta que en el
vector de estados , los grados de libertad definidos como controlables
se mantienen constantes para un tiempo ( ; mientras que los grados redundantes
pueden ser barridos en el espectro definido.
Un ejemplo de esta implementación resulta de generar la trayectoria en la Figura 4 de
la cual están definidos en el tiempo cada intervalo de ( . Y la
minimización se realiza a partir de modificar algorítmicamente los valores de
, hasta minimizar .
Por otro lado la implementación del algoritmo planteado en este artículo está
representado por:
A continuación se mostraran tres casos de prueba en los cuales se varían los grados de
libertad controlables y redundantes para unas trayectorias definidas. En estas
secciones se compara el resultado de la minimización del índice de desempeño
siguiendo la metodología de prueba. Se presentaran tres índices:
IndNormal: Corresponde al índice sin actuación de los grados redundantes
IndOptNum: Corresponde al índice con optimización numérica basada en
algoritmos genéticos y minimización local.
IndConGrad: Corresponde al índice de seguir la formulación presentada en
este artículo.
5.1 Caso de prueba N°1.
Para el primer caso de prueba se sigue el protocolo realizado en la sección 3. En este
caso la posición del centro de masa está definida en el tiempo, y la
orientación se libera como grados de libertad redundantes.
Figura 12: Comparación de índices para el caso de prueba 1.
Figura 13: Evolución de los grados de libertad objetivo y redundantes en el tiempo.
En este caso es posible apreciar como los grados de libertad objetivo (posición del
centro de masa), no son afectadas por la evolución del algoritmo. Únicamente la re-
orientación de los grados de libertad redundantes genera una evolución de estos en la
dirección del gradiente del índice D.
5.2 Caso de prueba N°2
En este caso se genera una elección de grados de libertad controlables basados en el
vector , mientras que las posiciones del centro de masa componen
los grados de libertad redundantes.
Tiempo [s]1 2 3 4
Índic
e
# 10-3
0
0.5
1
1.5Índice
IndOptNumIndConGradIndNormal
Tiempo [s]3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
Índic
e
# 10-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3Índice (Zoom)
IndOptNumIndConGradIndNormal
0 1 2 3 4
PO
SIC
IÓN
CE
NT
RO
DE
MA
SA
[m
]
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2POSICIÓN CENTRO DE MASA
XYZ
0 1 2 3 4
Áng
ulo
s [d
eg
]
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4ORIENTACIÓN
RxnRynRzn
Figura 14: Comparación de índices para el caso de prueba 2.
5.3 Caso de prueba N°3
En este caso se genera una elección de grados de libertad controlables basados en el
vector , mientras que las posiciones del centro de masa componen
los grados de libertad redundantes, combinando de esta manera translaciones y
rotaciones en el vector de grados de libertad tanto controlables como redundantes.
Figura 15: Comparación de índices para el caso de prueba 3.
Tiempo [s]0 1 2 3 4
Índic
e# 10
-3
0
0.5
1
1.5Índice
IndOptNumIndConGradIndNormal
Tiempo [s]3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
Índic
e
# 10-3
0
0.5
1
1.5Índice (Zoom)
IndOptNumIndConGradIndNormal
Tiempo [s]0 1 2 3 4
Índic
e
# 10-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Índice
IndOptNumIndConGradIndNormal
Tiempo [s]3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
Índic
e
# 10-3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6Índice (Zoom)
IndOptNumIndConGradIndNormal
Para cada uno de los casos anteriores se puede determinar que comparando los tres
índices bajo diferentes condiciones, el resultado de ejecutar una formulación usando
la dirección del gradiente del índice (IndConGrad), se logra aumentar el espacio de
trabajo respecto a la no actuación de los grados de libertad redundantes (IndNormal).
Encontrar en el anexo la evolución en el tiempo de los grados de libertad redundantes
para cada uno de los casos.
6. ESTABILIDAD DEL ALGORÍTMO
Para evaluar la estabilidad del algoritmo se realizan dos procedimientos sobre el caso
de prueba presentado en la sección 5.1.
6.1 Selección de la ganancia.
Dada la definición del índice D, es necesario evaluar como la variación de la ganancia
, afecta en la convergencia del algoritmo. Para llevar esto a cabo se evaluó en un
instante de tiempo la evolución de los grados de libertad redundantes (X y Y). De esta
manera conociendo previamente los valores óptimos que minimizan el índice en el
instante de tiempo 2.5seg, se puede observar como varia la evolución respecto al
aumento de la ganancia que afecta directamente el avance en la dirección del
gradiente.
Figura 16. Evolución de los grados de libertad redundantes para diferentes valores de
ganancia.
También cabe aclarar que al tener una estabilidad en la convergencia del algoritmo
para diferentes valores de se puede seleccionar el valor de la ganancia tal que
minimice el número de iteraciones para llegar a la convergencia.
6.2. Variación de las condiciones iniciales. En la sección anterior se evaluó la influencia de la ganancia para condiciones iniciales
fijas, como se presenta en la Figura 17. En donde se ve la evolución de los grados de
libertad redundantes con condición inicial arbitraria, es posible también apreciar que
en el espacio articular se logra la estabilización saliendo de los límites físicos del
manipulador (indicador rojo).
Figura 17. Evolución de los grados de libertad redundantes y su
representación en el espacio articular.
Ahora supóngase que las condiciones iniciales cambian para el mismo instante de
tiempo, como se muestra en la Figura 18. Sin embargo el valor final de convergencia
es el mismo.
Figura 18. Evolución de los grados de libertad redundantes con diferentes condiciones
iniciales.
7. CONCLUSIONES
Siguiendo la metodología propuesta en este trabajo, es posible evidenciar el potencial
de aplicaciones que requieren menos grados de libertad que los disponibles en el
manipulador.
La metodología planteada, demuestra que al usar los grados de libertad no requeridos
por la aplicación en tareas secundarias, se pueden alcanzar mejoras en el desempeño
del manipulador en diferentes configuraciones. Este desempeño se ve reflejado en el
aumento del espacio de operación de las variables de salida del manipulador en una
trayectoria definida.
Adicionalmente esta propuesta abre la posibilidad de implementar de manera
experimental y en línea, el algoritmo de movimiento sobre un hardware comercial.
Las características de estabilidad y rápida convergencia lo hacen ser un candidato de
fácil implementación sobre un manipulador y una aplicación que cumpla con las
características mostradas en este trabajo.
8. REFERENCIAS:
[1] Merlet. J. and Daney D. Appropriate Design of Parallel Manipulators. INRIA
Sophia-Antipolis.2004
[2] J.-P. Merlet, Redundant parallel manipulators, Lab. Rob. Autom. 8 (1) (1996) 17–
24
[3] Rodriguez, C.F, & Ochoa Lleras,N (2008). Motion simulation base on human
vestibular sensors. Dynamic Systems and Control Conference. Ann Arbor, MI:
ASME.
[4]Puiu. D. & Moldoveanu, F. Real-time Collision Avoidance for Redundant
Manipulators. 6th IEEE International Symposium on Applied Computational
Intelligence and Informatics. May 19–21, 2011
[5] Wang, J. Dynamics and control of a planar 3-DOF parallel manipulator
with actuation redundancy. Institute of Manufacturing Engineering, Department of
Precision Instruments, Tsinghua University, Beijing 100084, PR China
[6]Liu ,G. Analysis and Control of Redundant Parallel Manipulators. Proceedings of
the 2001 IEEE International Conference on Robotics & Automation Seoul, Korea.
May 21-26, 2001
[7] Hollebach. J. Redundancy Reolution of Manipulators Through Torque
Optimization. 1986. Massachusset Institute of Technology.
[8] Merlet. J. P. Parallel Robots. Second Editon. Solid Mechanics and its applications
Volume 128. Springer pp 62-68.
[9] Lenarcic. J. Advanves in robot kinematics. Motion in Man and Machine. Springer.
Pp 53- 58
[10] Gosselin, C., 1988, Kinematic Analysis Optimization and Programming of
Parallel Robotic Manipulators, PhD Thesis, McGill University, Montréal, Canada.
[11] Carretero, J.A. and Pond, G.T., 2006, “Quantitative dexterous workspace
comparison,” In ARK, Ljubljana, Slovenia
[12] Merlet, J.-P., 1998, “Efficient estimation of the extremal articular forces of a
parallel manipulator in a translation workspace,”
[13] Alizade, R.I. and Bayram, C., 2004, “Structural synthesis of parallel
manipulators,” Mechanism and Machine Theory
[14] Angeles, J., 2005, “The degree of freedom of parallel robots: a group-theoretic
approach,” In IEEE International Conference on Robotics and Automation,
Barcelona, Spain
[15] J-P. Merlet, M-W. Perng, D. Daney, "Optimal trajectory planning of a 5-axis
machine tool based on a 6-axis parallel manipulator." In 7th International Symposium
on Advances in Robot Kinematics (ARK), pp. 315-322, Piran, 25-29 June 2000
ANEXO 1. Longitud de los actuadores en el tiempo para una optimización reorientando la plataforma móvil.
(Orientación libre: Longitud de los actuadores cuando se fija la orientación de la plataforma a 0 rad en
los 3 GDL correspondientes.; Orientación fija: Longitud de los actuadores cuando se reorienta la
plataforma móvil minimizando el índice respectivo).
Figura 19: Evolución en el tiempo al minimizar el Índice A.
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 1
Lo
ng
itu
d [m
]
Orientación Fija
Orientación Libre
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 2
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 3
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 4
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 5
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 6
Lo
ng
itu
d [m
]
Figura 20: Evolución en el tiempo al minimizar el Índice B.
Figura 21: Evolución en el tiempo al minimizar el Índice C.
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 1
Lo
ng
itu
d [m
]
Orientación Fija
Orientación Libre
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 2
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 3
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 4
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 5
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 6
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
0
0.2
ACT 1
Lo
ng
itu
d [m
]
Orientación Fija
Orientación Libre
2 3 4
-0.2
0
0.2
ACT 2
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
0
0.2
ACT 3
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
0
0.2
ACT 4
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
0
0.2
ACT 5
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
0
0.2
ACT 6
Lo
ng
itu
d [m
]
Figura 22: Evolución en el tiempo al minimizar el Índice D.
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 1
Lo
ng
itu
d [m
]
Orientación Fija
Orientación Libre
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 2
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 3
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 4
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 5
Lo
ng
itu
d [m
]
2 3 4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
ACT 6
Lo
ng
itu
d [m
]
ANEXO 2.
Evolución en el tiempo de los grados de libertad redundantes para cada uno de los
casos de la sección 5. Se comparan la evolución correspondiente a la optimización
numérica basada en algoritmos genéticos y minimización local, con respecto a la
formulación presentada en este artículo.
Figura 23: Evolución de los grados de libertad para el Caso de prueba N°1.
Figura 24: Evolución de los grados de libertad para el Caso de prueba N°2.
0 1 2 3 4-8
-6
-4
-2
0
2
4
6ORIENTACIÓN
An
gu
los [d
eg
]
Rx-OptNumerica
Rx-ConGradiente
0 1 2 3 4-15
-10
-5
0
5
10ORIENTACIÓN
An
gu
los [d
eg
]
Ry-OptNumerica
Ry-ConGradiente
0 1 2 3 4-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5ORIENTACIÓN
An
gu
los [d
eg
]
Rz-OptNumerica
Rz-ConGradiente
0 1 2 3 4-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25POSICION CENTRO DE MASA
PO
SIC
IÓN
CM
"X
"
X-OptNumerica
X-ConGradiente
0 1 2 3 4-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2POSICION CENTRO DE MASA
PO
SIC
IÓN
CM
"Y
"
Y-OptNumerica
Y-ConGradiente
0 1 2 3 4-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
-15 ORIENTACIÓN
An
gu
los [d
eg
]
Rz-OptNumerica
Rz-ConGradiente
Figura 25: Evolución de los grados de libertad para el Caso de prueba N°3.
0 2 4-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25POSICION CENTRO DE MASA
PO
SIC
IÓN
CM
"X
"
X-OptNumerica
X-ConGradiente
0 2 4-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2POSICION CENTRO DE MASA
PO
SIC
IÓN
CM
"Y
"
Y-OptNumerica
Y-ConGradiente
0 2 4-10
-5
0
5
10ORIENTACIÓN
An
gu
los [d
eg
]
Rz-OptNumerica
Rz-ConGradiente