an alisis real y complejo. an alisis funcionalpersonal.us.es/lbernal/php/activos/pdf/master.pdf ·...

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Analisis real y complejo.

Analisis Funcional

Master Universitario en Matematica

Avanzada

Luis Bernal Gonzalez

Departamento de Analisis Matematico

Sevilla, febrero de 2012

Disponible en: <http://personal.us.es/lbernal/>

Indice general

1. Teorıa de la medida 3

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Conjuntos medibles y medidas positivas . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Procedimiento de Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Medidas absolutamente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7. Medida de Lebesgue–Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8. Funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10. Integral de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10.1. Integral de funciones medibles no negativas . . . . . . . 22

1.10.2. Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.10.3. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11. Teoremas de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.12. Relacion con la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.13. Completitud de L1(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.14. Medidas signadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.14.1. Medidas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.14.2. Teorema de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.15. Espacios Lp(µ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1

2 Luis Bernal Gonzalez

1.15.1. La norma en el espacio Lp . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.15.2. Aproximacion por funciones escalonadas . . . . . . . . 48

1.16. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.16.1. σ-algebra y medida sobre el espacio producto . . . . . 50

1.16.2. Teoremas de Fubini y de Tonelli . . . . . . . . . . . . . 54

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2. Espacios de funciones analıticas 67

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2. Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2.1. Topologıa compacta-abierta . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3. Espacios de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3.1. Ortonormalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3.2. Espacios de Bergman de regiones acotadas . . . . . . . 77

2.3.3. Funciones subarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.3.4. Operador de composicion . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.4. Funciones analıticas acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.4.1. Productos de Blaschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4.2. Teorema de factorizacion de Riesz . . . . . . . . . . . . 88

2.5. Espacios de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.5.1. Estructura de las funciones de Hp . . . . . . . . . . . . 93

2.5.2. Integrales de Poisson-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5.3. Existencia de lımites radiales . . . . . . . . . . . . . . 100

2.5.4. Espacio de las funciones de valores frontera . . . . . . . 107

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Bibliografıa 115

Capıtulo 1

Teorıa de la medida

1.1. Introduccion

El concepto de medida es una abstraccion de las nociones de longitud,

area y volumen, de indiscutible utilidad en Matematicas, Fısica y otras ramas

de la Ciencia. Sabemos calcular las longitudes, areas y volumenes de ciertas

figuras geometricas, por ejemplo, el area bajo una curva plana, el volumen

encerrado por una superficie, etc. Estos calculos condujeron al concepto de

integral en el sentido de Riemann.

Precisamente, el intento de medir conjuntos arbitrarios de puntos de la

recta real R tiene su origen en la dependencia entre la integrabilidad en el

sentido de Riemann y la continuidad. Se sabıa que una funcion era Riemann-

integrable si “no tenıa muchas discontinuidades”. Esto conducıa a buscar la

definicion de una medida para el conjunto de puntos de discontinuidad de

una funcion, de manera que la condicion de integrabilidad pudiera expresarse

en terminos de tal medida.

A finales del siglo XIX, se llevaron a cabo varios intentos de establecer

una definicion satisfactoria de medida de un conjunto en RN , que coincidiese

3


en los casos elementales con la longitud, area y volumen de un conjunto

(si N = 1, 2, 3 respectivamente). El intento fue debido fundamentalmente a

STOLZ, HARNACK, CANTOR, PEANO, JORDAN Y BOREL.

Fue LEBESGUE, quien, a principios del siglo XX, dio una definicion ade-

cuada de subconjunto medible de RN y de medida sobre tales subconjuntos.

Ademas, proporciono una definicion de funcion integrable que superaba las

carencias de la funcion Riemann-integrable, de modo que la correspondiente

integral generalizaba tambien la de Riemann y era aplicable a una clase mu-

cho mas amplia de funciones. Otra notable ventaja de la integral de Lebesgue

es que se obtienen teoremas muy generales que relacionan la integral del

lımite de una sucesion de funciones medibles (estas son la generalizacion de

las funciones continuas) con el lımite de las integrales de estas.

FRECHET generalizo la teorıa considerando σ-algebras de conjuntos en

espacios abstractos. Finalmente, CARATHEODORY definio axiomaticamente

la medida exterior –introducida por Lebesgue para RN– e introdujo la nocion

de conjunto medible a partir de ella, por un metodo esencialmente analogo al

de Lebesgue. Ası que la integral puede definirse para funciones f : X → R o

bien f : X → C, dondeX es un espacio medible y C es el plano complejo. Mas

tarde, BOCHNER extenderıa el concepto de integral a funciones f : X → E,

donde E es un espacio de Banach. Durante el primer tercio del siglo XX,

RADON y NIKODYM estudiaron el comportamiento, como medida, de la

integral de una funcion no negativa sobre un conjunto medible arbitrario.

El objeto de este tema es dar unas nociones y resultados sobre la teorıa

abstracta de la medida e integracion. No todas las demostraciones seran

dadas, aunque se esbozaran las de los resultados mas interesantes. Esto se

hara tambien en el Capıtulo 2.

TEORIA DE LA MEDIDA 5

1.2. Conjuntos medibles y medidas positivas

Comenzaremos destacando el tipo de familias de subconjuntos de un

conjunto dado a los que se les puede aplicar una medida. Se parte de un

conjunto X = ∅. Se denota por P(X) la familia de todos los subconjuntos

de X.

Si M ⊂ P(X), diremos que M es una σ-algebra sobre X cuando verifica

las tres propiedades siguientes:

1. X ∈ M.

2. A ∈ M ⇒ Ac := X \ A ∈ M.

3. Si An ∈ M para todo n ∈ N := 1, 2, ..., entonces∞∪n=1

An ∈ M.

Al par (X,M) se le llama espacio medible, y a los elementos de M,

conjuntos medibles. Obtenemos facilmente las siguientes consecuencias:

∅ ∈ M.

Si An ∈ M para todo n ∈ N, entonces∞∩n=1

An ∈ M.

Si An ∈ M para todo n ∈ 1, . . . , N, entoncesN∪n=1

An ∈ M y

N∩n=1

An ∈ M.

Si A,B ∈ M, entonces A \B ∈ M.

Como ejemplos triviales, se tiene que ∅, X y P(X) son σ-algebras sobre

X. Es facil ver que si Mii∈I es una familia de σ-algebras sobre X, entonces

su interseccion∩i∈I

Mi es tambien una σ-algebra sobre X.

Si N ⊂ P(X), se llama σ-algebra generada por N , denotada σ(N ), a la

interseccion de todas las σ-algebras M sobre X tal que N ⊂ M. Por tanto,

σ(N ) es la menor σ-algebra que contiene a N .


Ejemplo. Si (X, T ) es un espacio topologico, la σ-algebra de Borel de (X, T )

es B = σ(T ). Sus elementos se llaman conjuntos de Borel, o simplemente

borelianos. Por tanto, los abiertos, los cerrados, los Fσ y los Gδ (recordemos

que un subconjunto de un espacio topologico se dice que es un Fσ si es

union numerable de cerrados, y que es un Gδ si es interseccion numerable

de abiertos) son borelianos. En particular, los intervalos –de todos los tipos–

son borelianos de R.

Sea (X,M) un espacio medible. Por definicion, una medida positiva, o

simplemente una medida, sobre (X,M) es una aplicacion µ : M → [0,+∞]

tal que:

1. µ(∅) = 0.

2. La aplicacion µ es numerablemente aditiva, es decir, si Ann≥1 ⊂ My An ∩ Am = ∅ para todo par m,n con m = n, entonces µ

( ∞∪n=1

An)=

∞∑n=1

µ(An).

A la terna (X,M, µ) se la llama espacio de medida.

La denominacion de los siguientes casos especiales es aplicable tanto a µ

como a (X,M, µ):

Si µ(X) < +∞, µ se dice finita. Si µ(X) = 1, µ es una probabilidad.

Si An∞n=1 ⊂ M es tal que µ(An) < +∞ para todo n ∈ N y X =∞∪n=1

An, µ se dice σ-finita.

Si [A ∈ M, B ⊂ A y µ(A) = 0] implica que B ∈ M, entonces se dice

que µ es completa.

Si S ∈ M, entonces MS := A ∈ M : A ⊂ S es una σ-algebra sobre

S y µ|MSes una medida sobre (S,MS). A la terna (S,MS, µ|MS

) se le

llama espacio de medida inducido.


Ejemplo. Sea X un conjunto y consideremos la aplicacion µ : P(X) →[0,+∞] dada por µ(A) = card(A) si A es finito, y µ(A) = +∞ si A es

infinito. Entonces µ es una medida positiva. Ademas, µ es finita si y solo si

X es finito, y µ es σ-finita si y solo si X es numerable. Diremos que µ es la

medida cardinal sobre X.

En la siguiente proposicion se reunen algunas propiedades operacionales

basicas de las medidas.

Proposicion 1.2.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Se verifica:

1. µ es finitamente aditiva, es decir, si A1, . . . , An ∈ M son dos a dos

disjuntos, entonces µ( N∪n=1

An)=

N∑n=1

µ(An).

2. µ es monotona, es decir, si A,B ∈ M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤µ(B).

3. Si A,B ∈ M con A ⊂ B y µ(A) < +∞ entonces µ(B \ A) = µ(B) −µ(A).

4. Si An∞n=1 ⊂ M, entonces µ( ∞∪n=1

An)≤

∞∑n=1

µ(An).

5. Si An∞n=1 ⊂ M es creciente, es decir, si An ⊂ An+1 para todo n ∈ N,

entonces lımn→∞

µ(An) = µ( ∞∪n=1

An).

6. Si An∞n=1 ⊂ M es decreciente, es decir, si An+1 ⊂ An para todo

n ∈ N y µ(A1) < +∞, entonces lımn→∞

µ(An) = µ( ∞∩n=1

An).

Damos ahora unas definiciones y establecemos algunos convenios, que en

parte han podido ya haber sido usados implıcitamente. Se define la recta real

completa, R, como R = R∪+∞,−∞ = [−∞,+∞], y se le dota de un orden

estricto, <, que extiende el orden de R, de modo que −∞ < x < +∞ para

todo x ∈ R. Las operaciones de suma y producto se extienden parcialmente:


(+∞)+ (+∞) = +∞, (−∞)+ (−∞) = −∞, a+(+∞) = +∞ = (+∞)+ a,

a+ (−∞) = −∞ = (−∞) + a para todo a ∈ R; a · (±∞) = ±∞ = (±∞) · a(resp.) para todo a > 0, y analogamente con el correspondiente cambio de

signo para los numeros a < 0. Ademas, 0 · (±∞) = 0, pero este convenio se

emplea solo en teorıa de la medida, ya que en general esa operacion es una

indeterminacion.

1.3. Medidas exteriores

Un concepto proximo al de medida positiva es el siguiente. Se llama

medida exterior sobre un conjunto X a una aplicacion µ∗ : P(X) → [0,+∞]

nula sobre el conjunto vacıo, monotona y numerablemente subaditiva, es

decir:

1. µ∗(∅) = 0.

2. A ⊂ B ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

3. An∞n=1 ⊂ P(X) ⇒ µ∗( ∞∪n=1

An)≤

∞∑n=1

µ∗(An).

Un ejemplo importante es el de medida exterior de Lebesgue, que recor-

daremos a continuacion. A partir de ella se construira la medida de Lebesgue,

generalizacion adecuada del volumen N -dimensional.

Sean a = (a1, . . . , aN) y b = (b1, . . . , bN) dos puntos de RN tales que

aj ≤ bj para todo j ∈ 1, . . . , N. El conjunto I = [a1, b1]× · · · × [aN , bN ] se

denomina N-rectangulo cerrado o N-intervalo cerrado. Su volumen se define

como vol(I) =N∏j=1

(bj − aj). Si aj = bj para algun j, diremos que I es un

rectangulo degenerado. Es evidente que I es degenerado ⇔ vol(I) = 0. Se

dice que dos rectangulos I, J no se superponen cuando I∩J = ∅, donde porA denotamos el interior de un subconjunto A de RN . Si I1, . . . , Ip son N -

rectangulos que no se superponen, y J es un rectangulo tal que J =p∪

k=1

Ik,


se dice que I1, . . . , Ip es una particion de J . Una particion de J se dice

simple cuando proviene de una particion de cada uno de sus lados.

Proposicion 1.3.1. Si P = I1, . . . , Ip es una particion de un N-rectangulo

J , entonces vol(J) =p∑

k=1

vol(Ik).

La prueba es elemental si P es simple. Si P es una particion arbitraria,

se obtiene de ella una particion simple por prolongaciones de los lados de los

elementos de P , y a cada uno de estos se le aplica el caso anterior. Como

consecuencia, si J, I1, . . . , Ip son N -rectangulos tales que J ⊂p∪

k=1

Ik, entonces

vol(J) ≤p∑

k=1

vol(Ik).

Si A ⊂ RN , la medida exterior de Lebesgue de A se define como

m∗(A) = ınf

∞∑k=1

vol(Ik) : Ik son N-rectangulos cerrados tales que A ⊂∞∪k=1

Ik

.

Usando las observaciones anteriores, es posible probar que m∗ : P(RN) →[0,+∞] es en efecto una medida exterior sobre RN . Puede probarse que no

es numerablemente aditiva, luego no es una medida: en efecto, para N = 1,

basta considerar la igualdad [0, 1] = V ∪ ([0, 1] \ V ), donde V es el llamado

“conjunto de Vitali”, que se definira mas adelante.

Otra propiedad de m∗ es que si I es un N -rectangulo abierto, cerrado,

cerrado-abierto, etc, entonces m∗(I) = vol (I), donde por A entendemos la

clausura de un subconjunto A de RN .

1.4. Procedimiento de Caratheodory

El siguiente resultado general muestra el ası denominado procedimiento

de Caratheodory para generar una medida positiva a partir de una medida

exterior.


Teorema 1.4.1. Sea µ∗ una medida exterior sobre un conjunto X. Consi-

deremos la familia

M = M ⊂ X : µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A \M) ∀A ⊂ X

Entonces M es una σ-algebra sobre X y µ := µ∗|M es una medida completa

sobre M.

La familia M definida anteriormente se denomina la σ-algebra de los

conjuntos medibles-Caratheodory relativos a la medida exterior µ∗.

Demostracion del teorema. Ya que µ∗(∅) = 0, se tiene que ∅ ∈ M. Ya que la

definicion de M es simetrica para M y M c resulta que M c ∈ M si M ∈ M.

En particular, X ∈ M.

Sean ahora M,N ∈ M, y sea A ⊂ X. Tenemos:

µ∗(A) = µ∗(A ∩M) + µ∗(A ∩M c)

= µ∗(A ∩M ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M c ∩N c).

Como M,N ∈ M, resulta que

µ∗(A ∩ (M ∩N)c) = µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c ∩N c)

= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩N c)

= µ∗(A ∩M c ∩N) + µ∗(A ∩M ∩N c) + µ∗(A ∩M c ∩N c),

de donde obtenemos que

µ∗(A) = µ∗(A ∩ (M ∩N)) + µ∗(A ∩ (M ∩N)c),

luegoM∩N ∈ M. Por tanto,M∪N = (M c∩N c)c ∈ M yM \N =M∩N c ∈M. Resulta tambien, por induccion, queM1∪ . . .∪Mp y M1∩ . . .∩Mp estan

en M si M1, . . . ,Mp ∈ M.


Asimismo, se prueba facilmente por induccion que

µ∗(A) =

p∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( p∪j=1

Mj

)c)[1]

para todo A ⊂ X y todo sistema de elementos M1, . . . ,Mp de M dos a dos

disjuntos.

Sean ahora Mn ∈ M con n ∈ N. Para probar que∞∪n=1

Mn ∈ M, pode-

mos suponer que los Mn son dos a dos disjuntos (basta sustituir la sucesion

M1,M2,M3, . . . por la sucesionM1,M2 \M1,M3 \ (M1∪M2), . . . , cuya union

es tambien∞∪n=1

Mn). Por [1], si A ⊂ X, resulta que, para todo n ∈ N,

µ∗(A) =n∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( n∪j=1

Mj

)c)

≥n∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( ∞∪j=1

Mj

)c),

lo que implica que

µ∗(A) ≥∞∑j=1

µ∗(A ∩Mj) + µ∗(A ∩( ∞∪j=1

Mj

)c)

≥ µ∗(A ∩( ∞∪j=1

Mj

))+ µ∗(A ∩

( ∞∪j=1

Mj

)c) ≥ µ∗(A),

donde hemos usado dos veces la subaditividad. Por tanto,

µ∗(A) = µ∗(A ∩( ∞∪j=1

Mj

))+ µ∗(A ∩

( ∞∪j=1

Mj

)c)para todo A ⊂ X,

de donde deducimos que∞∪n=1

Mn ∈ M. Hemos probado que M es una σ-

algebra.

Denotemos µ := µ∗|M. Entonces µ(∅) = µ∗(∅) = 0. En cuanto a la σ-

aditividad de µ, tomemos Mn ∈ M (n ∈ N) dos a dos disjuntos. Haciendo


A =∞∪n=1

Mn en el razonamiento anterior, obtenemos –todas las desigualdades

deben ser igualdades– que

µ( ∞∪n=1

Mn

)=

∞∑n=1

µ(Mn) + µ(∅) =∞∑n=1

µ(Mn).

Resta probar que µ es completa: esto resulta de que siM ⊂ X y µ∗(M) =

0, entonces M ∈ M. A su vez, esto es evidente porque si A ⊂ X, entonces

A ∩ M ⊂ M , luego µ∗(A ∩ M) = 0, ası que µ∗(A) ≤ µ∗(A \ M) + 0 por

sub-aditividad, mientras que µ∗(A) ≥ µ∗(A \M) por monotonıa. 2

1.5. Medida de Lebesgue

La σ-algebra de los conjuntos medibles-Lebesgue MN (en RN) es, por

definicion, la σ-algebra de los conjuntos medibles-Caratheodory generada por

la medida exterior de Lebesgue m∗. La medida de Lebesgue es, por definicion,

la medida m : MN → [0,+∞] dada por m := m∗|MN. Observemos las

siguientes propiedades de la medida de Lebesgue:

m es completa y σ-finita: En efecto, m se elabora mediante un proce-

dimiento de Caratheodory, y RN =∞∪n=1

[−n, n]N , con m([−n, n]N

)=

(2n)N < +∞ para todo n ∈ N.

MN ⊃ BN := la σ-algebra de Borel de RN . En efecto, cada rectangulo

cerrado pertenece a MN . Ahora bien, cada abierto es union numerable

de rectangulos, luego cada abierto esta en MN . Como BN es la menor

σ-algebra que contiene a cada abierto, BN ⊂ MN . En particular, todos

los cerrados, Fσ, Gδ, etc, estan en MN .

m es invariante por traslaciones y homogenea de grado N , es decir, para

todo λ ∈ RN , todo c ∈ R y todo A ∈ MN se tiene m(λ + A) = m(A)

y m(cA) = |c|Nm(A). La prueba se basa en que la propiedad es cierta


para m∗, lo cual, a su vez, se obtiene de la definicion de m∗ y de

que la propiedad es valida para rectangulos. Hemos usado la notacion

λ+ A = λ+ x : x ∈ A, cA = cx : x ∈ A.

Denotemos por ♯ (A) la cardinalidad de un conjuntoA, y por ℵ la cardinalidad

del continuo, es decir, ℵ = ♯ (R). Puede probarse que ♯(BN) = ℵ. Ya que

existen en R conjuntos medibles no numerables de medida de Lebesgue nula

(por ejemplo, el conjunto de Cantor), y ya que m es completa, se deduce que

♯(MN) ≥ ♯(P(RN)) > ℵ, es decir, hay “muchos mas” medibles-Lebesgue que

borelianos en RN .

El siguiente resultado caracteriza los conjuntos medibles-Lebesgue.

Teorema 1.5.1. Sea A ⊂ RN . Son equivalentes:

(a) A ∈ MN .

(b) Para cada ε > 0 existe un subconjunto abierto G ⊂ RN tal que A ⊂ G

y m∗(G \ A) < ε.

(c) A = H \B, donde H es un Gδ y m∗(B) = 0.

(d) Para cada ε > 0 existe un subconjunto cerrado F ⊂ RN tal que F ⊂ A

y m∗(A \ F ) < ε.

(e) A = K ∪ C, donde K es un Fσ y m∗(C) = 0.

Demostracion. (a) ⇒ (b): Partimos de que A ∈ MN . Supongamos que

m(A) < +∞. Por la definicion de m∗, existe una sucesion de rectangulos

cerrados In∞n=1 tal que A ⊂∞∪n=1

In y m(A) + ε2>

∞∑n=1

vol(In). Estirando

levemente los lados de cada uno de los rectangulos In, podemos obtener una

sucesion de rectangulos abiertos Jn (n ∈ N) tales que Jn ⊃ In y m∗(Jn) <

vol(In) +ε

2n+1 .


Llamemos G :=∞∪n=1

Jn. Entonces G es abierto [luego G\A ∈ MN ], A ⊂ G

y, como m(A) < +∞, se tiene que m∗(G\A) = m(G\A) = m(G)−m(A) ≤∞∑n=1

m∗(Jn)−∞∑n=1

vol(In) +ε2<

∑∞n=1

ε2n+1 +

ε2= ε.

Si fuese m(A) = +∞, existirıa una sucesion Aj∞j=1 ⊂ MN tal que

m(Aj) < +∞ para todo j y A =∞∪j=1

Aj. Fijado ε > 0, existe para cada

j ∈ N un abierto Gj tal que Aj ⊂ Gj y m(Gj \ Aj) < ε2j. Sea ahora, por

definicion, G :=∞∪j=1

Gj. Entonces G es abierto, A ⊂ G y G\A ⊂∞∪j=1

(Gj \Aj),

luego m∗(G \ A) = m(G \ A) ≤∞∑j=1

m(Gj \ Aj) <∞∑j=1

ε2j

= ε.

(b) ⇒ (c): Para ε = 1j, elegimos un abierto Gj con A ⊂ Gj tal que

m∗(Gj \ A) < 1/j. Llamemos H :=∞∩j=1

Gj. Entonces H es un Gδ, H ⊃ A

y m∗(H \ A) ≤ m∗(Gj \ A) < 1/j para todo j ∈ N. Por tanto, si llamamos

B := H \ A, resulta que m∗(B) = 0 y A = H \B.

(a) ⇒ (d): Como RN \ A ∈ MN y ya se tenıa [(a) ⇒ (b)], conseguimos

que dado ε > 0 podemos encontrar un abierto G tal que RN \ A ⊂ G y

m(G\ (RN \A)) < ε. En consecuencia, si definimos F := RN \G, resulta que

F es cerrado, F ⊂ A y m∗(A \ F ) = m(A \ F ) = m(G \ (RN \ A)) < ε.

(c) ⇒ (a): Tenemos por hipotesis que A = H \ B, con H un Gδ [luego

H ∈ MN ] y m∗(B) = 0 [luego B ∈ MN ], ası que A ∈ MN .

(e) ⇒ (a): Similar a la implicacion anterior.

(d) ⇒ (e): Similar a la implicacion [(b)⇒ (c)]. 2

Como ejemplo de conjunto que no es medible-Lebesgue, tenemos el con-

junto de Vitali, que describiremos a continuacion.

En el intervalo [0, 1], definimos la relacion de equivalencia:

x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ Q.


Sea V un conjunto –que va a ser nuestro conjunto de Vitali– formado eligiendo

un elemento en cada clase de equivalencia. Sea rn∞n=1 una enumeracion de

los numeros racionales de [−1, 1] (de modo que la aplicacion n ∈ N 7→ rn ∈Q ∩ [−1, 1] es biyectiva), y llamemos Vn := rn + V (usamos la notacion

a + S = a + x : x ∈ S). Veamos que Vn ∩ Vm = ∅ si n = m: en efecto, si

x ∈ Vn∩Vm, entonces existen α, β ∈ V tales que x = rn+α = rm+β. Por tanto

β − α = rn − rm ∈ Q, ası que β ∼ α, lo que implica que β = α y, por tanto

rn = rm. Luego n = m, lo que es una contradiccion. Ademas, [0, 1] ⊂∞∪n=1

Vn.

En efecto, si x ∈ [0, 1], debe estar en alguna clase de equivalencia, luego existe

α ∈ V tal que x ∼ α. Por tanto x − α ∈ Q ∩ [−1, 1], ası que existe n ∈ N

tal que x − α = rn, de donde deducimos que x = α + rn ∈ rn + V = Vn.

En consecuencia, [0, 1] ⊂∞∪n=1

Vn ⊂ [−1, 2]. Si V fuese medible, Vn tambien lo

serıa y m(Vn) = m(V ), luego 1 ≤∞∑n=1

m(V ) ≤ 3. Entonces m(V ) > 0 de la

primera desigualdad, mientras que de la segunda se obtiene que m(V ) = 0, lo

que provoca contradiccion. Por tanto V /∈ M1, como querıamos demostrar.

1.6. Medidas absolutamente continuas

A veces nos encontramos con dos medidas sobre una misma σ-algebra,

que estan relacionadas de forma que una es pequena cuando lo es la otra.

Esto motiva el siguiente concepto. Si (X,M) es un espacio medible y µ, ν

son dos medidas sobre el, decimos que ν es µ-continua o absolutamente

continua respecto de µ, y lo denotaremos como ν ≪ µ, cuando para cada

ε > 0 podemos encontrar un δ > 0 de modo que

[A ∈ M y µ(A) < δ ⇒ ν(A) < ε].

Mas adelante se vera que la integracion genera, de manera natural, medidas

absolutamente continuas. Por el momento, damos una caracterizacion parcial.


Proposicion 1.6.1. Sean µ y ν dos medidas sobre un mismo espacio medible

(X,M), con ν finita. Entonces ν ≪ µ ⇐⇒ [A ∈ M y µ(A) = 0 ⇒ν(A) = 0].

Demostracion. ⇒: Evidente, incluso sin la hipotesis de que ν sea finita.

⇐: Por reduccion al absurdo, supongamos que se verifica la condicion

encerrada entre corchetes, pero tambien que existe ε0 > 0 con la propiedad

de que, para cada δ > 0 existe Aδ ∈ M tal que µ(Aδ) < δ y ν(Aδ) ≥ ε0.

En particular, para cada n ∈ N existe An ∈ M tal que µ(An) < 1/2n y

ν(An) ≥ ε0. Sea A := lım supn→∞

An =∞∩n=1

∞∪k=n

Ak ∈ M. Entonces µ(A) = 0 (se

ha aplicado el Lema de Borel-Cantelli, vease Ejercicio 10) pero, para cada

n, se tiene ν( ∞∪k=n

Ak)≥ ε0, luego, ya que ν es finita y la sucesion de los

Bn :=∞∪k=n

Ak es decreciente, resulta por la Proposicion 1.2.1 que ν(A) =

lımn→∞

ν(Bn) ≥ ε0 > 0, lo que contradice la hipotesis. 2

1.7. Medida de Lebesgue–Stieltjes

Estudiemos ahora la medida de Lebesgue–Stieltjes. Esta tiene su punto

de partida en la consideracion de una distribucion de masa positiva sobre R.

Tal distribucion puede representarse mediante una funcion φ : R → R tal que

φ(x) designe la masa del intervalo (−∞, x]. Entonces φ es creciente y continua

a la derecha. Si en un punto x0 hay localizada una masa positiva, φ no es

continua a la izquierda en x0. La masa de cada intervalo (a, b] es φ(b)−φ(a),y en cada punto x0 se define por φ(x0) − φ(x−0 ). Estas consideraciones nos

llevan a la construccion dada en la siguiente proposicion, cuya prueba se

omite por basarse solo en las definiciones.


Proposicion 1.7.1. Sea φ : R → R creciente y continua a la derecha.

Entonces la aplicacion

A ∈ P(R) 7→ m∗φ(A) := ınf

∞∑k=1

(φ(bk)−φ(ak)) : A ⊂∞∪k=1

(ak, bk]∈ [0,+∞]

es una medida exterior en R.

La medidamφ que se obtiene a partir de m∗φ mediante el procedimiento de

Caratheodory se llama medida de Lebesgue–Stieltjes asociada a φ. Si φ = Id,

obtenemos la medida de Lebesgue. Resulta que la σ-algebra sobre la que

mφ esta definida contiene al conjunto de los borelianos (por contener a los

conjuntos (a, b], luego tambien contiene a los abiertos), pero no coincide en

general con M1.

1.8. Funciones simples

Antes de considerar funciones medibles, nos sera util tratar las funciones

simples con vistas a la integracion.

Notaciones conjuntistas como [f ≤ α], [f ≥ α], [f = α], [f = g] y

ası sucesivamente, donde f, g : X → [−∞,+∞] y α ∈ [−∞,+∞], signi-

fican x ∈ X : f(x) ≤ α, x ∈ X : f(x) ≥ α, x ∈ X : f(x) = α y

x ∈ X : f(x) = g(x), respectivamente.

Recordemos que siX es un conjunto y A ⊂ X, la funcion caracterıstica de

A se define como la funcion χA : X → R dada por χA(x) =

1 si x ∈ A

0 si x ∈ A.

Algunas propiedades elementales son las siguientes, validas para todos los

subconjuntos A,B ⊂ X :

χ∅ ≡ 0 y χX ≡ 1.

χAχB = χA∩B.


[χA = 1] = A y [χA = 0] = X \ A.

χX\A = 1− χA.

Definicion 1.8.1. Diremos que una funcion φ : X → R es simple cuando

φ(X) es un conjunto finito.

Es facil ver que las funciones simples constituyen un espacio vectorial, y

que una funcion φ : X → R es simple si y solo si existen a1, . . . , ap ∈ R y exis-

ten A1, . . . , Ap ⊂ X tales que φ =p∑i=1

aiχAi. Por supuesto, la representacion

p∑i=1

aiχAino es unica, pero puede asociarse a cada funcion simple φ una “re-

presentacion canonica”. A saber, si φ(X) = a1, . . . , ap, donde los ai son

distintos entre sı, entonces φ =p∑i=1

aiχ[φ=ai].

1.9. Funciones medibles

Procedemos seguidamente a definir la clase de funciones sobre las cuales

tiene sentido la integracion respecto de una medida. Pero antes es conveniente

detallar la topologıa que vamos a considerar en [−∞,+∞]. A saber, una base

de entornos de cada punto α ∈ R es (α − δ, α + δ) : δ > 0. Una base de

entornos de +∞ es (c,+∞] : c ∈ R, y una base de entornos de −∞es [−∞, c) : c ∈ R. Por tanto, los abiertos de R son tambien abiertos de

[−∞,+∞]. Esto no es valido para los cerrados, ya que por ejemplo, R es un

cerrado en R pero no lo es en [−∞,+∞].

Definicion 1.9.1. Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [−∞,+∞]

una funcion. Se dice que f es medible cuando f−1(G) ∈ M para cualquier

subconjunto abierto G de [−∞,+∞].

Se prueba sin dificultad que f es medible ⇔ [f < a] ∈ M para todo

a ∈ R ⇔ [f ≤ a] ∈ M para todo a ∈ R ⇔ [f > a] ∈ M para todo a ∈ R

⇔ [f ≥ a] ∈ M para todo a ∈ R.


En particular, supongamos que X ∈ MN (recordemos que MN denota la

familia de los conjuntos medibles-Lebesgue de RN) y que sobre X tenemos

el espacio medible inducido M := A ⊂ X : A ∈ MN. Resulta que, si

f : X → [−∞,+∞] es continua, entonces f es medible.

En el siguiente teorema se enumeran algunas propiedades de las funciones

medibles. Recordemos que f+ y f− denotan, respectivamente, la parte posi-

tiva y la parte negativa de una funcion real f , es decir, f+ = maxf, 0 y

f− = max−f, 0.

Teorema 1.9.1. Sea (X,M) un espacio medible y sean f, g : X → [−∞,+∞]

un par de funciones. Se verifica:

1. Si f es constante, entonces f es medible.

2. Si f y g son medibles, los conjuntos [f < g], [f ≤ g] y [f = g] son

medibles.

3. Si f es medible y S ∈ M, entonces la restriccion f |S : (S,MS) →[−∞,+∞] es medible.

4. Si X =∞∪n=1

An con An ∈ M para todo n ∈ N y cada f |An es medible,

entonces f es medible.

5. Si f y g son medibles, tambien lo son maxf, g, mınf, g, f+, f−,

f 2, 1/f y |f |.

6. Si fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) es una sucesion de funciones medi-

bles, entonces las funciones supn≥1

fn, ınfn≥1

fn, lım supn→∞

fn y lım infn→∞

fn son

medibles.

7. Si f, g : X → R son medibles y λ ∈ R, entonces f + g, λf y f · g son

medibles. Es decir, con las operaciones usuales de funciones, la familia

de las funciones medibles reales es un algebra.


8. Si f es simple, se tiene: f es medible ⇔ [f = a] ∈ M para todo a ∈ R

⇔ f es una combinacion lineal finita de funciones caracterısticas de

conjuntos medibles.

9. Supongamos que las funciones fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) son me-

dibles. Sea A := x ∈ X : ∃ lımn→∞

fn(x). Denotemos por f la funcion

f : x ∈ A 7→ lımn→∞

fn(x) ∈ [−∞,+∞]. Entonces A ∈ M y f es medible.

Demostracion. Se dara solo una idea. Usar que f = f+−f− y |f | = f++f−,

y que f+ = f · χx : f(x)>0 y f− = −f · χx : f(x)<0. Utilizar tambien que

[f < g] =∪q∈Q

([f < q] ∩ [q < g]). Observar asimismo que f · g = (1/2)((f +

g)2 − f 2 − g2). Ademas, si f = supn≥1

fn, entonces [f ≤ a] =∩n∈N

[fn ≤ a]. Por

ultimo, lım supn→∞

fn = ınfnsupk≥n

fk y lım infn→∞

fn = supn

ınfk≥n

fk, y existe lımn→∞

fn(x) si

y solo si lım supn→∞

fn(x) = lım infn→∞

fn(x). 2

Veamos ahora que cada funcion medible se puede aproximar por funciones

simples medibles.

Teorema 1.9.2. (a) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [0,+∞]

medible. Entonces existe una sucesion creciente φn∞n=1 de funciones simples

medibles no negativas tales que lımn→∞

φn(x) = f(x) para todo x ∈ X.

(b) Sea (X,M) un espacio medible y f : X → [−∞,+∞] medible. En-

tonces existe una sucesion φn∞n=1 de funciones simples medibles tales que

lımn→∞

φn(x) = f(x) para todo x ∈ X. Si f es acotada, la convergencia puede

conseguirse uniforme.

Demostracion. Supuesto probado (a), la parte (b) es inmediata. En efecto:

f = f+ − f− con f+, f− : X → [0,+∞] medibles. Entonces existen φn, ψn

(n ∈ N) simples y medibles de X en [0,+∞] tales que φn(x) ↑ f+(x) y

ψn(x) ↑ f−(x) para todo x ∈ X. Luego φn − ψn∞n=1 es una sucesion de

funciones simples y medibles tales que φn(x)− ψn(x) → f(x) (n→ ∞) para


todo x ∈ X. La parte de la convergencia uniforme se deduce de la prueba de

(a), donde se vera la misma propiedad en el caso de f ≥ 0 con f acotada.

Basta observar que si f : X → R es acotada, entonces f = f+ − f− con f+

y f− acotadas.

Probemos (a). Sea f ≥ 0 y medible. Entonces los conjuntos En,i :=

f−1([ i−12n, i2n)) (1 ≤ i ≤ n2n, n ∈ N) y Fn := f−1([n,+∞]) (n ∈ N) son

medibles, al serlo f . Se deduce que, para cada n ∈ N, la funcion

φn :=n2n∑i=1

i− 1

2nχEn,i

+ nχFn

es no negativa, simple y medible.

Fijemos ahora n ∈ N, y x ∈ X. Tenemos:

Si f(x) ≥ n, entonces φn(x) = n ≤ f(x).

Si f(x) < n, entonces existe i ∈ 1, 2, . . . , n2n tal que i−12n

≤ f(x) < i2n,

luego φn(x) =i−12n

≤ f(x).

En ambos casos obtenemos que φn(x) ≤ f(x). Probemos ahora que

φn(x)n≥1 es creciente para cada x ∈ X.

Si f(x) ≥ n+ 1 entonces φn(x) = n ≤ n+ 1 = φn+1(x).

Si n ≤ f(x) < n + 1 entonces φn(x) = n y φn+1(x) = i−12n+1 , donde

i ∈ 1, . . . , (n + 1)2n+1 es tal que i−12n+1 ≤ f(x) < i

2n+1 . Por tanto

n < i2n+1 , luego n2n+1 < i. Se deduce que n2n+1 ≤ i − 1, ası que

φn(x) = n ≤ i−12n+1 = φn+1(x).

Si f(x) < n, se tiene que f(x) < n + 1, luego existe i ∈ 1, . . . , n2ny existe j ∈ 1, . . . , (n + 1)2n+1 tales que i−1

2n≤ f(x) < i

2ny j−1

2n+1 ≤f(x) < j

2n+1 , de donde resulta φn(x) =i−12n

y φn+1(x) =j−12n+1 . Pero de las

desigualdades anteriores obtenemos que i−12n

< j2n+1 , luego 2(i− 1) < j,

ası que 2(i− 1) ≤ j − 1, y por tanto φn(x) =i−12n

≤ j−12n+1 = φn+1(x).


En todos los casos obtenemos que φn(x) ≤ φn+1(x).

Por ultimo, probemos que lımn→∞

φn(x) = f(x) para todo x ∈ X.

Si f(x) = +∞, entonces φn(x) = n para todo n ∈ N, de donde

lımn→∞

φn(x) = f(x).

Si f(x) < +∞, existe n0 ∈ N tal que f(x) < n0, luego, para todo n ≥n0, se tiene que φn(x) =

in−12n

≤ f(x) < in2n

con in ∈ 1, . . . , n2n. Estoimplica que |φn(x)− f(x)| = f(x)−φn(x) <

12n

→ 0. En consecuencia,

φn(x) → f(x) (n→ ∞).

Notemos finalmente que, si f es acotada, el n0 obtenido anteriormente no

depende de x, con lo que tendrıamos que, para todo n ≥ n0, supx∈X

|φn(x) −

f(x)| ≤ 12n

→ 0, de donde obtenemos la convergencia uniforme. 2

1.10. Integral de una funcion

El concepto de integral de una funcion sobre un espacio de medida es

la extension del concepto de integral de Riemann, el cual a su vez abstrae la

idea de area definida por la grafica de una funcion. Comencemos definiendo

la integral de funciones medibles no negativas.

1.10.1. Integral de funciones medibles no negativas

En primer lugar, definimos el concepto para las funciones simples.

Definicion 1.10.1. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida, y

que φ : X → [0,+∞) es una funcion no negativa, simple y medible, digamos

φ =N∑i=1

aiχAicon ai ≥ 0 y Ai ∈ M, i ∈ 1, . . . , N. La integral de φ sobre

X respecto de µ se define como∫X

φdµ :=N∑i=1

aiµ(Ai).


Si E ∈ M, la integral de φ sobre E respecto de µ se define como∫E

φdµ =

∫X

φ · χE dµ =N∑i=1

aiµ(Ai ∩ E).

Notemos que estas definiciones tienen sentido y son independientes de la

expresion de φ. Las propiedades establecidas en la siguiente proposicion son

de facil demostracion.

Proposicion 1.10.1. Sean φ, ψ dos funciones simples medibles y positivas,

y sea λ ≥ 0. Se verifica:

(a)∫X(φ+ ψ) dµ =

∫Xφdµ+

∫Xψ dµ y

∫Xλφdµ = λ

∫Xφdµ.

(b) Si φ ≤ ψ, entonces∫Xφdµ ≤

∫Xψ dµ.

(c) La aplicacion ν : E ∈ M 7→∫Eφdµ ∈ [0,+∞] es una medida positiva.

Inspirados en el teorema de aproximacion de funciones medibles, parece

natural dar la siguiente definicion para funciones no negativas.

Definicion 1.10.2. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida y

que f : X → [0,+∞] es una funcion medible. Se define la integral de f sobre

X respecto de µ como∫X

f dµ = sup

∫X

φdµ : φ simple y medible con 0 ≤ φ ≤ f

.

Si E ∈ M, la integral de f sobre E se define como∫Ef dµ =

∫Xf · χE dµ.

Observemos que∫Xf dµ ∈ [0,+∞] y que la definicion de integral es

coherente con el caso en que f sea simple y medible. Veamos ahora algunas

propiedades elementales.

Proposicion 1.10.2. Sean f, g : X → [0,+∞] medibles y A,B ∈ M, donde

se supone que (X,M, µ) es un espacio de medida. Se verifican las siguientes

propiedades:

(a) Si f ≤ g en X, entonces∫Xf dµ ≤

∫Xg dµ.


(b) Si A ⊂ B entonces∫Af dµ ≤

∫Bf dµ.

(c)∫X(f + g) dµ =

∫Xf dµ+

∫Xg dµ.

(d) Si λ ≥ 0, entonces∫Xλf dµ = λ

∫Xf dµ.

(e) Si o bien f ≡ 0 en A o bien µ(A) = 0, entonces∫Afdµ = 0.

(f) Si µ(B) = 0 entonces∫Xfdµ =

∫X\B f dµ.

1.10.2. Conjuntos de medida nula

La ultima propiedad de la proposicion anterior nos viene a decir que

los conjuntos de medida nula son “despreciables” para la integracion. Ob-

servando esta propiedad, tenemos que si B ∈ M, con µ(B) = 0, y f :

X \ B → [0,+∞] es medible (en el espacio de medida inducido), podrıa

definirse∫Xf dµ :=

∫XF dµ, donde F : X → [0,+∞] es la funcion definida

como F (x) :=

f(x) si x ∈ X \B0 si x ∈ B.

Asimismo, tambien debido a la ultima propiedad, parece importante es-

tudiar mas detenidamente los conjuntos de medida nula en relacion con la

integracion.

Definicion 1.10.3. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y P (·)una propiedad definida sobre los elementos de X. Si A ∈ M, se dice que P

se verifica en casi todo A (ect A) cuando el conjunto N := x ∈ A : P (x) no

se verifica ∈ M y µ(N) = 0.

Por ejemplo, la expresion “f = g ect X” significa que x ∈ X : f(x) =g(x) es medible y que su medida es nula. En tal caso se dice que f y g son

µ-equivalentes.

El siguiente resultado muestra que la medibilidad de una funcion se

mantiene por equivalencia y por convergencia ect.


Proposicion 1.10.3. Supongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida

completo.

(a) Si f, g : X → [−∞,+∞] son tales que f es medible y f = g ect,

entonces g es tambien medible.

(b) Si fn, f : X → [−∞,+∞] (n ∈ N) son tales que cada fn es medible y

lımn→∞

fn(x) = f(x) ect X, entonces f es medible.

Demostracion. (a) Llamemos N := x ∈ X : f(x) = g(x). Hemos de

probar que, dado a ∈ R, el conjunto A := x ∈ X : g(x) < a ∈ M.

Tenemos A = (A ∩ N) ∪ (A ∩ N c) ∈ M, ya que A ∩ N ∈ M porque µ es

completa, y como N c ∈ M y A ∩N c = x ∈ X : f(x) < a ∩N c, se tiene

tambien que A ∩N c es medible.

(b) Llamemos N = x ∈ X : fn(x) 9 f(x). Entonces N ∈ M y µ(N) = 0.

Denotemos g(x) := lım supn→∞

fn(x). Sabemos que g es medible. Por otra parte,

el conjunto x ∈ X : g(x) = f(x) esta contenido en N y µ(N) = 0. Como

µ es completa, el conjunto [g = f ] es medible de medida nula, y por tanto

g = f ect. De (a) se deduce que f es medible. 2

El siguiente resultado auxiliar es interesante por sı mismo y tendra im-

portantes consecuencias.

Lema 1.10.4. [Desigualdad de Chebyshev] Si a ∈ (0,+∞) y f : X →[0,+∞] es medible, entonces

µ([f ≥ a]) ≤ 1

a

∫X

f dµ.

Demostracion. Verificar que a · χ[f≥a] ≤ f e integrar. 2

Corolario 1.10.5. Sean f : X → [0,+∞] una funcion medible y A ∈ M.

Se tiene:

(1) Si∫Af dµ = 0, entonces f = 0 ect A.


(2) Si∫Af dµ < +∞ entonces f < +∞ ect A.

Demostracion. (1) El conjunto N := x ∈ A : f(x) = 0 es medible. Hemos

de probar que µ(N) = 0. Notemos que N = x ∈ A : f(x) > 0 =∞∪n=1

x ∈

A : f(x) ≥ 1n. Por reduccion al absurdo, si fuese µ(N) > 0, existira algun

m ∈ N tal que µ(x ∈ A : f(x) ≥ 1m) > 0. Por la desigualdad de Chebyshev,

se tiene 0 < m ·∫Af dµ. Por tanto

∫Af dµ > 0, lo cual es una contradiccion.

(2) Hemos de probar esta vez que el conjunto medible N := x ∈ A : f(x) =

+∞ cumple µ(N) = 0. Ahora bien, N =∞∩n=1

x ∈ A : f(x) ≥ n. Por

la desigualdad de Chebyshev, µ(x ∈ A : f(x) ≥ n) ≤ 1n

∫Af dµ → 0

(n→ ∞). Entonces, ya que cada conjunto x ∈ A : f(x) ≥ n tiene medida

finita y la interseccion anterior es decreciente, se obtiene de la Proposicion

1.2.1 que µ(N) = lımn→∞

µ(x ∈ A : f(x) ≥ n) = 0. 2

1.10.3. Funciones integrables

Consideramos ahora el caso de una funcion medible general.

Definicion 1.10.4. Consideremos un espacio de medida completo (X,M, µ).

Sean f : X → [−∞,+∞] medible y A ∈ M. Se dice que f es integrable sobre

A cuando ambas integrales∫Af+ dµ y

∫Af− dµ son finitas o, equivalente-

mente, cuando∫A|f | dµ < +∞. En tal caso, se define la integral de f en A

como el numero real∫Af dµ :=

∫Af+ dµ−

∫Af− dµ.

Se denotara por L1A(µ), o bien por L1

µ(A) o L1(µ,A), el conjunto de las

funciones integrables sobre A respecto de µ.

Cuando conviene hacer explıcita la variable de la funcion que se inte-

gra, se denotara la integral de la definicion anterior mediante la expresion∫Af(x) dµ(x) o similar. Esto sera especialmente util cuando tratemos con

medidas producto (ver Seccion 16).


Proposicion 1.10.6. Se verifican las siguientes propiedades:

Si f ∈ L1A(µ), entonces

∫A|f | dµ =

∫Af+ dµ+

∫Af− dµ.

Si f ∈ L1A(µ), entonces f es finita ect A.

Si f es medible y |f | ≤ g en A con g ∈ L1A(µ), entonces f ∈ L1

A(µ).

En particular, las funciones medibles y acotadas son integrables en con-

juntos de medida finita, y las funciones continuas de RN en R son

Lebesgue-integrables en cada subconjunto compacto de RN .

Si f = 0 ect A o si µ(A) = 0, entonces∫Af dµ = 0. En consecuencia,

si f y g son funciones medibles µ-equivalentes, entonces∫Af dµ =∫

Ag dµ.

L1A(µ) es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, g ∈ L1

A(µ) y λ ∈R, entonces f + g y λf ∈ L1

A(µ), y ademas∫A(f + g) dµ =

∫Af dµ+∫

Ag dµ y

∫Aλf dµ = λ

∫Af dµ.

Si f y g son integrables y f ≤ g ect A, entonces∫Af dµ ≤

∫Ag dµ.

Si f ∈ L1A(µ), entonces

∣∣∫Af dµ

∣∣ ≤ ∫A|f | dµ.

Si f ∈ L1X(µ) y

∫Bf dµ = 0 para todo B ∈ M, entonces f = 0 ect X.

Se denotara por L1(µ) la familia de las funciones f : X → [−∞,+∞]

integrables en X, donde se identifican dos funciones f, g cuando son µ-equiva-

lentes; ası que, estrictamente hablando, L1(µ) consta de clases de equivalencia

[es facil probar que la relacion “f = g ect X” es de equivalencia en L1X(µ)].

Por otra parte, λf , f + g tienen sentido para f, g ∈ L1(µ) y λ ∈ R, pues f y

g son finitas ect X.

La proposicion anterior, junto con la desigualdad |f + g| ≤ |f | + |g|,permiten establecer el siguiente teorema.


Teorema 1.10.7. L1(µ) es un espacio vectorial, la aplicacion f ∈ L1(µ) 7→∫Xf dµ ∈ R es una forma lineal en el, y la aplicacion ∥ · ∥1 : f ∈ L1(µ) 7→∫

X|f | dµ ∈ [0,+∞) es una norma.

1.11. Teoremas de convergencia

Existen varios teoremas de convergencia cuyo objetivo es intercambiar

las operaciones de lımite e integracion.

Teorema 1.11.1. [Teorema de convergencia monotona de B. Levi]

Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y fn : X → [−∞,+∞] (n ∈ N)

una sucesion de funciones medibles tales que fn(x) ≤ fn+1(x) para todo n ∈ N

ect x ∈ X. Llamemos f := lımn→∞

fn = supn∈N

fn, definida ect X. Se tiene:

(a) Si fn ≥ 0 para todo n ∈ N, entonces lımn→∞

∫Xfn dµ =

∫Xf dµ.

(b) Si fn ∈ L1(µ) para todo n ∈ N y supn≥1

∫Xfn dµ < +∞, entonces f ∈

L1(µ) y lımn→∞

∫Xfn dµ =

∫Xf dµ.

Demostracion. En cuanto a (b), basta aplicar (a) a la sucesion fn − f1 y

a su lımite f − f1.

Probemos (a). Sea L := x ∈ X : ∃ lımn→∞

fn(x) ∈ [0,+∞]. Entonces L y

X \ L son medibles y µ(X \ L) = 0 y f esta definida en L, es medible y no

negativa. Como µ(X \ L) = 0, podemos suponer que fn → f puntualmente

en todo X, ya que∫Xf dµ =

∫Lf dµ [definiendo f por ejemplo como 0 en

X \L] y lo mismo para las fn. Hemos de probar que lımn→∞

∫Xfn dµ =

∫Xf dµ.

Como fn ≤ fn+1, la sucesion ∫Xfn dµ∞n=1 es tambien creciente, luego su

lımite siempre existe y es igual al supn∈N

∫Xfn dµ. Como fn ≤ sup

jfj = f , la

desigualdad “≤” es evidente.

Probemos “≥”: Fijado n ∈ N, existe una sucesion φn,m∞m=1 de funciones

simples y medibles tales que 0 ≤ φn,m ↑ fn(x) para todo x ∈ X y todo


n ∈ N. Entonces es facil ver que ψn := maxφ1,n, . . . , φn,n es una sucesion

de funciones simples medibles no negativas tales que ψn(x) ↑ f(x) y ψn(x) ≤fn(x) para todo x ∈ X y todo n ∈ N.

Por tanto,∫Xψn(x) dµ ≤

∫Xfn dµ para todo n ∈ N, luego es suficiente

demostrar que∫Xf dµ ≤ lım

n→∞

∫Xψn dµ, para lo cual, a su vez, basta fijar una

funcion simple medible φ con 0 ≤ φ ≤ f y probar que∫X

φdµ ≤ lımn→∞

∫X

ψn dµ. [2]

Probemos primero la desigualdad [2] en el caso en que que φ ≡ c = constante

∈ [0,+∞). Si c = 0, es trivial. Si c > 0, fijemos a ∈ (0, c). Ya que φ ≤ f =

supn∈N

ψn, resulta que para cada x ∈ X, existe n0 ∈ N tal que ψn(x) > a para

todo n ≥ n0. Sea An := [ψn > a]. Entonces la sucesion An∞n=1 es creciente

y X =∞∪n=1

An. Por tanto µ(An) ↑ µ(X). Por otra parte, a · χAn ≤ ψn,

luego a ·µ(An) ≤∫Xψn dµ, de donde deducimos que aµ(X) ≤ lım

n→∞

∫Xψn dµ,

ası que∫Xφdµ = cµ(X) ≤ lım

n→∞

∫Xψn dµ, que es la desigualdad [2] en este

caso.

En el caso general, se tiene que φ =p∑i=1

ci ·χEicon ci ∈ [0,+∞) y Ei ∈ M

dos a dos disjuntos con X =p∪i=1

Ei. Aplicamos entonces el resultado a cada

funcion ci · χEiy obtenemos:∫

X

φdµ =

p∑i=1

∫X

ci · χEidµ =

p∑i=1

∫Ei

φdµ

≤p∑i=1

lımn→∞

∫Ei

ψn dµ = lımn→∞

p∑i=1

∫Ei

ψn dµ = lımn→∞

∫X

ψn dµ,

como querıamos demostrar. 2

Corolario 1.11.2. Sean f, fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) funciones medibles

definidas en un espacio de medida completo (X,M, µ). Se verifica:

(a)∫X

∞∑n=1

fn dµ =∞∑n=1

∫Xfn dµ.


(b) La aplicacion ν : E ∈ M 7→ ν(E) =∫Ef dµ ∈ [0,+∞] es una medida

positiva.

Demostracion. (a) Aplicar el teorema de la convergencia monotona a la

sucesion gn∞n=1 dada por gn :=n∑i=1

fi (n ∈ N).

(b) Aplicar el apartado (a) a las funciones fn := f · χAn (n ∈ N), donde los

An son conjuntos medibles disjuntos. 2

La parte (b) del corolario anterior nos da una manera de generar medidas

a partir de una funcion medible y de otra medida. Ademas, ν(E) = 0 si

µ(E) = 0. Mas adelante (Teorema de Radon-Nikodym) veremos que tales

medidas ν se generan siempre ası.

Teorema 1.11.3. [Lema de Fatou] Sea fn : X → [0,+∞] (n ∈ N) una

sucesion de funciones medibles definidas en un espacio de medida completo

(X,M, µ). Entonces ∫X

lım infn→∞

fn dµ ≤ lım infn→∞

∫X

fn dµ.

Demostracion. Definimos gk := ınffk, fk+1, . . . para cada k ∈ N. Entonces

cada gk es medible y no negativa, la sucesion gkk≥1 es creciente, lımk→∞

gk =

lım infn→∞

fn y gk ≤ fk para todo k ∈ N. Del teorema de la convergencia

monotona se deduce que lımk→∞

∫Xgk dµ =

∫X

lımk→∞

gk dµ =∫Xlım infn→∞

fn dµ. Por

otra parte, lımn→∞

∫Xgn dµ = lım inf

n→∞

∫Xgn dµ ≤ lım inf

n→∞

∫Xfn dµ, pues gn ≤ fn.

De aquı deducimos el resultado. 2

A continuacion, establecemos el que quizas sea el resultado mas impor-

tante de intercambio de las operaciones de lımite e integracion.

Teorema 1.11.4. [Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada]

Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo, y sean f, fn : X → [−∞,+∞]

(n ∈ N) y g : X → [0,+∞] funciones tales que cada fn es medible, |fn| ≤


g ect X (n ∈ N), g ∈ L1X(µ) y f(x) = lım

n→∞fn(x) ect x ∈ X. Entonces

f ∈ L1X(µ) y fn → f en ∥ · ∥1. En particular,∫

X

f dµ = lımn→∞

∫X

fn dµ.

Demostracion. Ya que el conjunto Z := x ∈ X : fn(x) 9 f(x)∪∞∪n=1

[|fn| >

g] es medible y µ(Z) = 0, podemos suponer que todos los lımites y desigual-

dades de la hipotesis son “en todo x ∈ X”.

Tenemos pues que f es medible y |f | ≤ g ∈ L1X(µ), ası que

∫X|f | dµ ≤∫

Xg dµ < +∞, de donde inferimos que f ∈ L1

X(µ).

Probemos ahora que fn → f en la norma ∥ · ∥1 de L1(µ), es decir,

lımn→∞

∫X

|fn − f | dµ = 0. [3]

De aquı se deduce que∫Xf dµ = lım

n→∞

∫Xfn dµ (y la demostracion habra acaba-

do), pues |∫Xfndµ−

∫Xf dµ| = |

∫X(fn − f) dµ| ≤

∫X|fn − f | dµ.

Demostremos pues [3]. En primer lugar, |fn − f | ≤ |fn|+ |f | ≤ 2g, luego

2g − |fn − f | ≥ 0. Por el Lema de Fatou,∫X

lımn→∞

(2g − |fn − f |) dµ ≤ lım infn→∞

∫X

(2g − |fn − f |) dµ.

Si usamos ahora la linealidad de la integral y el hecho de que lım infn→∞

(−αn) =− lım sup

n→∞(αn) (valido para cualquier sucesion αnn≥1 de numeros reales),

resulta que lım supn→∞

∫X|fn− f | dµ ≤ 0. Pero lım inf

n→∞

∫X|fn− f | dµ ≥ 0, porque

|fn − f | ≥ 0 para todo n ∈ N, luego∫X|fn − f | dµ ≥ 0 para todo n ∈ N. De

las dos ultimas desigualdades sobre lım supn→∞

, lım infn→∞

se deduce [3]. 2

Como consecuencia, obtenemos el siguiente resultado de intercambio de

series con integrales.

Teorema 1.11.5. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo y sea fn∞n=1

⊂ L1X(µ) una sucesion tal que

∞∑n=1

∥fn∥1 < +∞. Entonces∞∑n=1

fn(x) converge


absolutamente en casi todo x ∈ X a cierto valor real S(x), la funcion S es

integrable y ∫X

S dµ =∞∑n=1

∫X

fn dµ.

Demostracion. Aplicar el Corolario 1.11.2(a) a las funciones |fn|, despues elCorolario 1.10.5(2) a la funcion

∑∞n=1 |fn|, y a continuacion el teorema de

la convergencia dominada a la sucesion de sumas parciales de la sucesion

fnn≥1. 2

Del teorema de la convergencia dominada podemos tambien deducir que la

integral de una funcion integrable esta casi toda concentrada en un conjunto

de medida finita. Antes necesitamos un lema.

Lema 1.11.6. Si (X,M, µ) es un espacio de medida completo y f ∈ L1µ(X),

entonces f es nula fuera de un conjunto σ-finito.

Demostracion. Observar que [f = 0] =∪∞n=1[|f | ≥ 1/n]. Por la desigualdad

de Chebyshev, µ([|f | ≥ 1/n]) ≤ n∫X|f | dµ < +∞.

Proposicion 1.11.7. Sean (X,M, µ) un espacio de medida completo, ε > 0

y f ∈ L1X(µ). Entonces existe A ∈ M tal que µ(A) < +∞ y

∣∣ ∫Xf dµ −∫

Af dµ

∣∣ < ε.

Demostracion. Por el lema anterior, podemos escribir X = Y ∪∞∪n=1

An, con

f |Y = 0, An∞n=1 una sucesion creciente de conjuntos medibles y µ(An) <

+∞ para todo n ∈ N. Considerar fn := fχAn∞n=1 y aplicar el Teorema

1.11.4. 2

1.12. Relacion con la integral de Riemann

Comentaremos ahora la importante relacion entre la integral de Rie-

mann y la de Lebesgue. Sea [a, b] ⊂ R un intervalo compacto y P = P [a, b]


el conjunto de las particiones P = a = t0 < t1 < · · · < tn = b de [a, b].

Si f : [a, b] → R es una funcion acotada y P es una particion como la ante-

rior, se definen la suma superior de Riemann y la suma inferior de Riemann

de f relativas a P como los numeros U(f, P ) =n∑k=1

sup[tk−1,tk]

f · (tk − tk−1) y

L(f, P ) =n∑k=1

ınf[tk−1,tk]

f · (tk − tk−1), respectivamente.

Definicion 1.12.1. Sea f : [a, b] → R una funcion acotada. Se define la inte-

gral superior de Darboux de f sobre [a, b] como el valor I(f) = ınfU(f, P ) :

P ∈ P. Se define la integral inferior de Darboux de f sobre [a, b] como el

valor I(f) = supL(f, P ) : P ∈ P.

Es evidente que se tiene I(f) ≤ I(f) para cada f acotada.

Definicion 1.12.2. Se dice que una funcion f : [a, b] → R es Riemann-

integrable en [a, b], y escribiremos f ∈ R[a, b], cuando f es acotada e I(f) =

I(f). En tal caso, al valor comun∫ baf(x) dx := I(f) = I(f) se le denomina

integral de Riemann de f en [a, b].

Denotemos por C[a, b] el espacio de las funciones continuas en [a, b] con

valores en R. Recordemos que C[a, b] ⊂ R[a, b]. Ademas, se verifica la ası lla-

mada condicion de integrabilidad de Riemann: Sea f : [a, b] → R. Entonces

f ∈ R[a, b] ⇐⇒ [f es acotada y, para cada ε > 0, existe P ∈ P tal que

U(f, P )− L(f, P ) < ε].

Usando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, puede pro-

barse el siguiente criterio de Lebesgue de Riemann-integrabilidad.

Teorema 1.12.1. Sea f : [a, b] → R, y denotemos D(f) := x ∈ [a, b] : f es

discontinua en x. Entonces f ∈ R[a, b] ⇐⇒ f es acotada y m(D(f)) = 0.

En tal caso, f ∈ L1[a,b](m) y

∫ baf(x) dx =

∫[a,b]

f dm.

Ejemplo. El recıproco de la segunda parte del teorema es falso, por ejemplo,

f ≡ χQ esta en L1[0,1](m) pero no en R[0, 1].


Por otra parte, si f ∈ L1R(m), entonces

∫R f dm = lım

n→∞

∫[−n,n] f dm. En

efecto, basta aplicar a fn := fχ[−n,n]∞n=1 el teorema de la convergencia

dominada. Si ademas f ∈ R[a, b] para cada intervalo [a, b] ⊂ R, se tendra que∫R f dm = lım

n→∞

∫ n−n f(x) dx. Por tanto, en muchos casos, las integrales de

Lebesgue se pueden calcular usando primitivas.

1.13. Completitud de L1(µ)

Nuestro proximo objetivo es demostrar la completitud del espacio nor-

mado L1(µ), es decir, demostrar que L1(µ) es un espacio de Banach. Para

ello necesitamos algunos conceptos.

Definicion 1.13.1. Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de funciones

medibles definidas en un espacio de medida (X,M, µ).

(a) Se dice que fn converge a f casi uniformemente en X cuando, para

cada ε > 0 existe M = M(ε) ∈ M tal que µ(X \ M) < ε y fn → f

uniformemente en M .

(b) Diremos que fn converge a f en medida, con f medible, cuando para

cada α > 0 se tiene que lımn→∞

µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > α) = 0.

(c) Se dice que fn es de Cauchy en medida cuando, para cada α > 0 y cada

ε > 0, existe N = N(α, ε) ∈ N tal que µ(x ∈ X : |fi(x)− fj(x)| > α) < ε

para todo i, j ≥ N .

No es difıcil comprobar que si fn → f casi uniformemente, entonces fn →f ect X (luego f es medible) y fn → f en medida, y esto ultimo implica que

la sucesion fn es de Cauchy en medida. Pero que fn es de Cauchy en

medida no implica la convergencia puntual en casi todo a ninguna funcion.

No obstante, tenemos la siguiente proposicion.


Proposicion 1.13.1. Sea fn : X → R (n ∈ N) una sucesion de Cauchy en

medida. Entonces existen una funcion medible f : X → R y una subsucesion

fn(k)∞k=1 de fn tales que fn(k) → f (k → ∞) casi uniformemente.

Demostracion. Ya que (fn) es de Cauchy, resulta que, para cada k ∈ N,

podemos encontrar un n(k) ∈ N tal que µ(x ∈ X : |fi(x)−fj(x)| > 12k) <

12k

para todo i, j ≥ n(k). Podemos suponer que n(k) es estrictamente

creciente. Definimos Ek := x ∈ X : |fn(k)(x)− fn(k+1)(x)| > 12k para cada

k ∈ N. Entonces µ(Ek) < 12k. Para cada m ∈ N, se define tambien el conjunto

Pm = X \∪k>m

Ek. Tenemos que

µ(X \ Pm) = µ( ∪k>m

Ek)≤

∑k>m

µ(Ek) <∑k>m

1/2k = 1/2m.

Si x ∈ Pm entonces, para i > j ≥ m, resulta que |fn(i)(x) − fn(j)(x)| ≤i−1∑k=j

|fn(k)(x)−fn(k+1)(x)| ≤ 12j−1 , y de aquı se deduce que la sucesion fn(k)(x)k≥1

es de Cauchy uniformemente en Pm, es decir, fijado ε > 0, existe N =

N(ε,m) ∈ N tal que

supx∈Pm, i,j≥N

|fn(i)(x)− fn(j)(x)| ≤ ε. [4]

Sea P :=∞∪m=1

Pm. Entonces µ(X \ Pm) → µ(X \ P ) = 0 y, para cada x ∈ P ,

fn(k)(x) es de Cauchy, luego converge a cierto valor f(x) ∈ R. Definiendo f

como 0 en X \P , resulta que f es medible. Ahora bien, para cada k,m ∈ N se

tiene supx∈Pm

|fn(k)(x) − f(x)| = lımj→∞

supx∈Pm

|fn(k)(x) − fn(j)(x)|, y esta expresion

tiende a 0 por [4]. En consecuencia, fn(k) → f uniformemente en Pm. Pero,

para cada ε > 0 existe un m ∈ N tal que µ(X \ Pm) < ε. En consecuencia,

fn(k) → f casi uniformemente en X. 2

Teorema 1.13.2. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo. Entonces

el espacio L1(µ) es de Banach.


Demostracion. Supongamos que fnn≥1 ⊂ L1(µ) es una sucesion de Cauchy

en la norma ∥ · ∥1. Se ha de probar que existe f ∈ L1(µ) tal que fn → f en

∥ · ∥1.

Probemos primero que fn es de Cauchy en medida. Si no lo fuese,

existirıan ε, α > 0 tales que para cada n existen i, j ≥ n con µ(Ei,j) ≥ ε,

donde Ei,j := x ∈ X : |fi(x)− fj(x)| > α. Entonces ∥fi − fj∥1 =∫X|fi −

fj| dµ ≥∫Ei,j

|fi − fj| dµ ≥ αε, luego fn no serıa de Cauchy en ∥ · ∥1.Esta contradiccion muestra que fn es de Cauchy en medida. Entonces,

por la proposicion anterior, existen una funcion medible f : X → R y una

subsucesion fn(k) ⊂ fn tales que fn(k) → f ect X.

Puesto que |fn(k)(x)| → |f(x)| ect x ∈ X, se obtiene, utilizando el Lema

de Fatou, que ∫X

|f | dµ ≤ lım infn→∞

∥fn(k)∥1 < +∞,

porque la sucesion fn esta acotada en ∥ · ∥1, ya que es de Cauchy en ∥ · ∥1.Por tanto, f ∈ L1(µ).

Fijado h ∈ N, resulta lımk→∞

|fn(k) − fn(h)| = |f − fn(h)| ect X y, otra vez

por el Lema de Fatou, obtenemos

∥f − fn(h)∥1 ≤ lım infk→∞

∥fn(k) − fn(h)∥1.

Ya que fn(k) es tambien de Cauchy en ∥ · ∥1, se deduce que, dado ε > 0,

existe h0 ∈ N tal que ∥fn(k) − fn(h)∥1 < ε para todo k, h ≥ h0. De lo anterior

se infiere que ∥f − fn(h)∥1 ≤ ε para todo h ≥ h0, luego fn(k) → f en ∥ · ∥1 y

fk es de Cauchy en ∥ · ∥1. Ahora bien, en cualquier espacio metrico, si una

sucesion de Cauchy tiene alguna subsucesion convergente, la propia sucesion

es convergente. En consecuencia, fk → f en ∥ · ∥1. 2


1.14. Medidas signadas

Otro instrumento util en la Teorıa de la Medida, que surge de manera

natural cuando se considera la diferencia µ− ν de dos medidas positivas, es

el de las medidas con signo.

Definicion 1.14.1. Sea (X,M) un espacio medible. Se llama medida con

signo, o bien medida signada, sobre (X,M) a una aplicacion µ : M →(−∞,+∞] numerablemente aditiva tal que µ(∅) = 0. La terna (X,M, µ)

se llama espacio de medida con signo. La medida µ se dice que es finita si

µ(X) ∈ R, y se dice que es σ-finita cuando existe An∞n=1 ⊂ M tal que

X =∞∪n=1

An y µ(An) ∈ R para todo n ∈ N.

Por ejemplo, si µ es una medida positiva y f ∈ L1(µ), entonces la apli-

cacion ν : A ∈ M 7→∫Af dµ ∈ R es una medida con signo finita.

Una medida signada µ no tiene por que ser monotona, pero de la aditivi-

dad finita se deduce que, si A,B ∈ M con A ⊂ B y µ(B) < +∞, entonces

µ(A) < +∞. Por ello a una medida signada finita se la llama tambien medida

real. Se llama medida compleja sobre (X,M) a una aplicacion µ : M → C

numerablemente aditiva tal que µ(∅) = 0. Es facil ver que µ es una medida

compleja si y solo si existen dos medidas reales µ1 y µ2 tales que µ = µ1+iµ2.

Podrıa suceder que un conjunto de medida finita tuviese subconjuntos con

medida de valor absoluto arbitrariamente grande. La siguiente proposicion

prueba que, sin embargo, esto no es ası. La notacion A = B ⊔C significa que

A, B y C son conjuntos tales que A = B ∪ C y B ∩ C = ∅.

Proposicion 1.14.1. Sea (X,M, µ) un espacio de medida con signo y E ∈M tal que µ(E) < +∞. Entonces

sup|µ(P )| : P ⊂ E, P ∈ M < +∞.


Demostracion. Para cada A ∈ M, llamaremos S(A) := sup|µ(P )| : P ⊂A, P ∈ M. Hemos de probar que S(E) < +∞.

Por reduccion al absurdo, supongamos que S(E) = +∞. Entonces existe

P ∈ M tal que P ⊂ E y 1+ |µ(E)| ≤ |µ(P )| < +∞. Por tanto |µ(E \P )| =|µ(E)− µ(P )| ≥ 1. De esta forma, obtenemos: E = P ⊔ (E \ P ), µ(P ) ∈ R,

µ(E \ P ) ∈ R y |µ(P )| ≥ 1 ≤ |µ(E \ P )|. Ya que E = P ⊔ (E \ P ), uno de

estos dos subconjuntos, sea T1 (= P o E\P ) cumple S(T1) = +∞. Aplicando

a T1 el mismo razonamiento anterior, obtenemos un conjunto T2 ∈ M tal que

T2 ⊂ T1, +∞ > |µ(T2)| ≥ 2 y S(T2) = +∞. Por induccion, conseguimos una

sucesion de conjuntos Tk∞k=1 ⊂ M tales que Tk+1 ⊂ Tk, S(Tk) = +∞ >

|µ(Tk)| ≥ k para todo k ∈ N. Llamemos A :=∞∪n=1

(Tn \ Tn+1) ∈ M.

Resulta que |µ(A)| =∣∣∣∣ ∞∑n=1

[µ(Tn)− µ(Tn+1)]

∣∣∣∣ = ∣∣ lımn→∞

[µ(T1) − µ(Tn)]∣∣ =

+∞ ya que µ(Tn)∞n=1 no esta acotada. Hemos obtenido una contradiccion

porque A ⊂ E y µ(E) < +∞. 2

A una medida signada µ se le puede asociar de manera natural un par de

medidas positivas, a saber, µ+ := parte positiva de µ y µ− := parte negativa

de µ, definidas, para cada A ∈ M, como µ+(A) = supµ(P ) : P ⊂ A, P ∈M y µ−(A) = − ınfµ(P ) : P ⊂ A, P ∈ M. Esto se expresa en el

siguiente teorema de descomposicion de una medida con signo.

Teorema 1.14.2. [Teorema de descomposicion de Jordan]

Sea (X,M, µ) un espacio de medida con signo. Se verifica:

(a) µ+ y µ− son medidas positivas.

(b) µ− es finita.

(c) Si µ es finita (σ-finita) entonces µ+ es finita (σ-finita, resp.).

(d) µ = µ+ − µ−.


Demostracion. De ser µ(∅) = 0 se deduce que µ+(∅) = 0 = µ−(∅) y que

µ+, µ− ≥ 0. De la proposicion anterior, se obtiene (c).

Probemos la aditividad numerable de µ+. Sean An ∈ M (n ∈ N) dos a

dos disjuntos, y sea A :=∞∪n=1

An.

Si µ+(A) < +∞, entonces µ+(An) < +∞ para todo n y, fijado ε > 0,

existe una sucesion Bnn≥1 ⊂ M tal que Bn ⊂ An y µ(Bn) ≥ µ+(An)− ε2n

para todo n. Como A ⊃∞∪n=1

Bn, resulta que

µ+(A) ≥ µ( ∞∪n=1

Bn

)=

∞∑n=1

µ(Bn) ≥∞∑n=1

µ+(An)− ε,

de donde µ+(A) ≥∞∑n=1

µ+(An). Para la desigualdad opuesta, se considera,

para cada ε > 0, un conjunto B ⊂ A tal que B ∈ M y µ+(A) ≤ ε + µ(B).

Entonces µ+(A) ≤ ε+µ( ∞∪n=1

(B∩An))= ε+

∞∑n=1

µ(B∩An) ≤ ε+∞∑n=1

µ+(An).

Por tanto µ+(A) ≤∞∑n=1

µ+(An).

Si µ+(A) = +∞, entonces para cadaM > 0 existe B ∈ M tal que B ⊂ A

y µ(B) ≥M , lo que implica que

M ≤ µ( ∞∪n=1

(B ∩ An))=

∞∑n=1

µ(B ∩ An) ≤∞∑n=1

µ+(An),

luego∞∑n=1

µ+(An) ≥ M para todo M > 0. En consecuencia,∞∑n=1

µ+(An) =

+∞ = µ+(A).

Analogamente a la primera parte, se obtiene que µ− es numerablemente

aditiva si µ−(X) < +∞. Si probamos que no hay otra posibilidad, tendrıamos

(a) y (b).

Por reduccion al absurdo, supongamos que µ−(X) = +∞. Entonces exis-

tirıa E1 ∈ M tal que R ∋ µ(E1) < −1. Usando la proposicion anterior y la

notacion en su demostracion obtenemos que S(E1) < +∞. Por la definicion


de µ−, resulta que µ−(X \ E1) = +∞, luego existe E2 ∈ M tal que R ∋µ(E2) < −1 y E2 ⊂ X \ E1 (≡ E1 ∩ E2 = ∅). Por induccion, tenemos que

existen En (n ∈ N) medibles disjuntos tales que µ(En) < −1 para todo

n ∈ N. Se deduce que µ( ∞∪n=1

En)=

∞∑n=1

µ(En) = −∞, lo que es absurdo.

Queda probar (d). De lo anterior se deduce que µ+(E)− µ−(E) esta

bien definido para todo E ∈ M. Se trata ahora de demostrar que µ(E) =

µ+(E)− µ−(E), lo cual es evidente si µ(E) = +∞. Si µ(E) < +∞, tambien

µ+(E), µ−(E) < +∞ por la proposicion anterior. Sea P ∈ M tal que P ⊂ E.

Se verifica µ(P ) = µ(E)−µ(E\P ) y −µ−(E) ≤ µ(E\P ) ≤ µ+(E), de donde

se obtiene que µ(P ) ≥ µ(E)−µ+(E) y µ(P ) ≤ µ(E)+µ−(E). Por definicion

de µ+ y µ−, resulta que −µ−(E) ≥ µ(E)−µ+(E) y µ+(E) ≤ µ(E)+µ−(E).

En consecuencia, µ(E) = µ+(E)− µ−(E), como se querıa demostrar. 2

Definicion 1.14.2. Si µ es una medida signada, se llama variacion total de

µ a la medida positiva |µ| := µ+ + µ−.

Es claro que |µ| es finita o σ-finita si µ lo es. Se puede probar que, para

cada medida signada µ y cada A ∈ M, se verifica

|µ|(A) = sup n∑k=1

|µ(Ek)| : A = E1 ⊔ · · · ⊔ En, E1, . . . , En ⊂ M, n ∈ N.

Definicion 1.14.3. Si µ y ν son dos medidas con signo definidas sobre la

misma σ-algebra M, se dice que ν es absolutamente continua respecto de µ,

ν ≪ µ, cuando |ν| ≪ |µ|.

Por tanto, de la Proposicion 1.6.1 obtenemos que si ν es finita, entonces

ν ≪ µ ⇐⇒ [A ∈ M y |µ|(A) = 0 ⇒ |ν|(A) = 0].

Puede demostrarse que, si µ es una medida con signo, entonces µ+, µ−

son las menores medidas positivas tales que µ = µ+ − µ−. Por otra parte, es

obvio que una medida signada µ es una medida positiva ⇐⇒ µ− = 0 ⇐⇒µ = µ+ ⇐⇒ |µ| = µ.


Probemos ahora que cuando µ es σ-finita el espacio base puede descom-

ponerse en dos espacios medibles tales que los subconjuntos medibles de uno

tienen medida positiva o nula, mientras que los del otro tienen medida nega-

tiva o nula. Recordemos que la diferencia simetrica de dos conjuntos A y B

se define como el conjunto A B = (A \B) ∪ (B \ A).

Teorema 1.14.3. [Teorema de descomposicion de Hahn]

Sea (X,M, µ) un espacio de medida σ-finita con signo. Entonces existen A

y B medibles tales que:

(a) X = A ∪B y A ∩B = ∅.

(b) µ(E) ≥ 0 para cada E medible con E ⊂ A, mientras que µ(E) ≤ 0 para

cada E medible con E ⊂ B.

(c) µ+(E) = µ(E ∩ A) y µ−(E) = −µ(E ∩B) para cada E ∈ M.

(d) A y B son esencialmente unicos, es decir, si A, B satisfacen (a),(b),(c),

entonces |µ|(A A) = 0 = |µ|(B B).

Demostracion. Supongamos primero que µ(X) ∈ R. Entonces µ+(X) < +∞,

luego existe una sucesion Ek∞k=1 ⊂ M tales que µ(Ek) ≥ µ+(X)−2−k para

todo k ∈ N. Por tanto

µ+(X) = µ+(Ek)+µ+(X\Ek) ≥ µ(Ek)+µ

+(X\Ek) ≥ µ+(X)− 1

2k+µ+(X\Ek),

de donde µ+(X \ Ek) ≤ 2−k para todo k ∈ N.

Se verifica tambien µ+(Ek) − µ−(Ek) = µ(Ek) ≥ µ+(X) − 2−k, luego

µ−(Ek) ≤ 2−k + µ+(Ek)− µ+(X) ≤ 2−k. Llamemos

A := lım infn→∞

En =∪n≥1

∩k≥n

Ek y B := X \ A = lım supn→∞

Ecn =

∩n≥1

∪k≥n

Eck.

Entonces µ−(A) = 0 = µ+(B), de donde resultan (a) y (b).


Sea ahora E ∈ M. Si P ∈ M y P ⊂ E, se deduce de (a),(b) y la aditividad

de µ que µ(E ∩ B) ≤ µ(P ) ≤ µ(E ∩ A). En efecto, ya que µ(P ∩ B) ≤ 0

y µ((E \ P ) ∩ A) ≥ 0 [por (b)], resulta µ(P ) = µ(P ∩ A) + µ(P ∩ B) ≤µ(E ∩A)−µ((E \P )∩A) ≤ µ(E ∩A), y obtenemos la desigualdad derecha.

La desigualdad izquierda es analoga. De aquı, junto con la definicion de µ+ y

µ− y el hecho de que µ+ ≥ µ y µ− ≤ µ obtenemos (c). En efecto, tenemos

que µ+(E) = supµ(P ) : P ∈ ME ≤ µ(E ∩ A), y µ+(E) ≥ µ+(E ∩ A) ≥µ(E∩A), luego µ+(E) = µ(E∩A). De analoga forma se probarıa la igualdad

µ−(E) = −µ(E ∩B).

Supongamos ahora que A y B son medibles tales que (a), (b) y (c) se

cumplen. Hemos de probar:

µ−(A \ A) = 0 = µ−(A \ A): se deriva de (b).

µ+(B \B) = 0 = µ+(B \ B): se deriva de (b).

µ+(A \ A) = 0: resulta de µ+(A \ A) = µ+(A ∩ B) = µ(A ∩ B ∩ A) =µ(∅) = 0. Hemos usado (c) en la segunda igualdad.

µ+(A \ A) = µ−(B \B) = 0 = µ−(B \ B): resultan, analogamente, del

apartado (c).

Por tanto tenemos (d).

Finalmente, cuando µ es σ-finita, existen conjuntos Xn ∈ M (n ∈ N) dos

a dos disjuntos tales que µ(Xn) ∈ R para todo n y X =∞∪n=1

Xn. A cada Xn

aplicamos el resultado anterior y obtenemos una descomposicion en An, Bn.

Basta tomar ahora A :=∞∪n=1

An y B :=∞∪n=1

Bn. 2

1.14.1. Medidas ortogonales

Presentamos ahora un concepto que es, en cierto modo, opuesto al de

continuidad absoluta.


Definicion 1.14.4. Si α y β son dos medidas con signo sobre un mismo

espacio medible (X,M), se dice que α es singular respecto de β o que α y

β son ortogonales, α ⊥ β, cuando existen A,B ∈ M tales que A ∩ B = ∅,A ∪B = X y |α|(B) = 0 = |β|(A).

Es facil probar que ⊥ es una relacion simetrica. El siguiente teorema

muestra que cada medida con signo σ-finita puede descomponerse en suma

de otras dos, que son respectivamente absolutamente continua y singular

respecto a otra dada.

Teorema 1.14.4. [Teorema de descomposicion de Lebesgue]

Sean µ y ν dos medidas con signo definidas sobre un mismo espacio medible

(X,M), de modo que ν es σ-finita. Entonces existen dos medidas con signo

α, β sobre (X,M) tales que α≪ µ, β ⊥ µ, α ⊥ β y ν = α+ β. Si ademas ν

es positiva, entonces α y β pueden tomarse positivas.

Demostracion. La ultima parte se deduce del propio proceso demostrativo.

Ademas, podemos partir de que ν es finita. El caso general en que ν es σ-

finita se deduce de la forma habitual, descomponiendo X =∞⊔n=1

Xn con Xn

medibles y ν(Xn) ∈ R para todo n, y aplicando a cada Xn el caso de ν finita.

Sea pues ν finita, y supongamos ademas que ν ≥ 0. Sea ω := supν(E) :

E ∈ M, |µ|(E) = 0 < +∞ (porque ν es finita). Entonces para cada k ∈ N

existe Ek ∈ M tal que |µ|(Ek) = 0 y ν(Ek) > ω − 1k. Definimos ahora

B :=∞∪k=1

Ek, A := X \B, α(E) := ν(E ∩ A) y β(E) := ν(E ∩B)

para cada E ∈ M. Es claro que |µ|(B) = 0 y que ν(B) = ω.

Se tiene entonces que α y β son medidas no negativas y finitas, y que

α ⊥ β, β ⊥ µ, y ν = α + β. Por otra parte α ≪ µ. En efecto, de no ser ası,

existirıa E ∈ M tal que |µ|(E) = 0 y α(E) > 0. Sea M := (E ∩ A) ∪ B.

Se verifica que ν(M) = ν(E ∩ A) + ν(B) = α(E) + ω > ω y |µ|(M) =

|µ|(E ∩ A) + |µ|(B) = 0, lo cual contradice la definicion de ω.


Por ultimo, si ν es una medida con signo finita, se considera la descomposi-

cion ν = ν+ − ν− y se aplica a cada medida ν+, ν− la construccion anterior,

de modo que ν+ = α′ + β′ y ν− = α′′ + β′′. Definir entonces α = α′ − α′′ y

β = β′ − β′′. 2

De la Proposicion 1.6.1 y del Corolario 1.11.2 se deduce que si µ es una

medida positiva y completa sobre un espacio de medida (X,M), y f ∈ L1(µ),

entonces la expresion ν(E) :=∫Ef dµ (E ∈ M) define una medida signada

finita tal que ν ≪ µ. Para probarlo, aplıquese el Corolario 1.11.2(b) a f+ y

f−, y probar que |ν|(E) =∫E|f | dµ para todo E ∈ M.

1.14.2. Teorema de Radon-Nikodym

Parece natural ahora plantear el problema inverso, es decir, si cualquier

medida absolutamente continua respecto de otra se genera a partir de esta

por integracion. Para ser mas preciso:

Si ν ≪ µ, ¿existe f ∈ L1(µ) tal que ν(E) =∫Ef dµ para todo E ∈ M?

El siguiente resultado fundamental muestra que la respuesta es afirmativa.

Teorema 1.14.5. [Teorema de Radon-Nikodym] Sea (X,M, µ) un espacio

de medida completo y σ-finito, con µ positiva, y sea ν una medida finita

con signo sobre (X,M) tal que ν ≪ µ. Entonces existe una unica funcion

f ∈ L1(µ) tal que ν(E) =∫Ef dµ para cada E ∈ M.

Nota. De la prueba se deducira que f ≥ 0 si ν ≥ 0. A la funcion f se la

denomina funcion de densidad de ν respecto de µ, o tambien la derivada de

Radon-Nikodym de ν respecto de µ. Se denota f = dν/dµ.

Demostracion del teorema. La unicidad se deduce de la Proposicion 1.10.6.

Probemos la existencia. Considerando ν = ν+ − ν− y X =∞∪k=1

Xk con los Xk

medibles y dos a dos disjuntos tales que µ(Xk) < +∞ para todo k, podemos

partir de que µ y ν son finitas y positivas.


Consideremos la familia F = funciones medibles g : X → [0,+∞] :∫Eg dµ ≤ ν(E) ∀E ∈ M. Es obvio que F ⊂ L1(µ). Es facil probar (usan-

do induccion) que maxα1, . . . , αp ∈ F para cualquier subfamilia finita

α1, . . . , αp ⊂ F . Para cada k ∈ N, tomemos una funcion gk ∈ F tal

que ∥gk∥1 > sup∥g∥1 : g ∈ F − 1/k.

Sea f := lımk→∞

fk, donde fk := maxg1, . . . , gk. Notar que la sucesion

fk es creciente. Del teorema de la convergencia monotona se deduce que

f ∈ F . Ademas, puesto que ∥f∥1 ≥ ∥fk∥1 ≥ ∥gk∥1 para todo k, resulta que

∥f∥1 = sup∥g∥1 : g ∈ F.

Para cada E ∈ M, sabemos que ν(E) ≥∫Ef dµ. Supongamos, por re-

duccion al absurdo, que no se da la igualdad. Entonces existiran ε > 0 y

P ∈ M tales que ν(P ) −∫Pf dµ > εµ(P ). Por tanto, la funcion σ definida

en M mediante σ(E) = ν(E) −∫Efdµ − εµ(E) es una medida con signo

tal que σ(P ) > 0. Por el Teorema de Hahn (Teorema 1.14.3), existe A ∈ Mtal que σ(A) > 0 y todos los subconjuntos medibles de A tienen σ-medida

no negativa, luego debe ser µ(A) > 0, pues si fuera µ(A) = 0, tambien serıa

ν(A) = 0 (luego σ(A) = 0: contradiccion) ya que ν ≪ µ.

Se considera ahora la funcion F := f + εχA. Ya que σ(E ∩ A) ≥ 0 para

todo E ∈ M y∫E\A f dµ ≤ ν(E \ A) (pues f ∈ F), resulta:

∫E

F dµ =

∫E\A

f dµ+

∫E∩A

(f + εχA) dµ

=

∫E\A

f dµ+

∫E∩A

f dµ+ εµ(E ∩ A)

=

∫E\A

f dµ+ ν(E ∩ A)− σ(E ∩ A) ≤ ν(E \ A) + ν(E ∩ A) = ν(E)

para todo E ∈ M, lo que implica que F ∈ F . Pero ∥F∥1 = ∥f∥1 + εµ(A) >

sup∥g∥1 : g ∈ F, lo que nos lleva a contradiccion. 2


1.15. Espacios Lp(µ)

Estudiaremos en esta seccion los espacios Lp(µ) de funciones integrables

de orden p. Es probable que el estudiante conozca estos espacios de cursos

mas elementales, al menos en el caso µ = m = la medida de Lebesgue.

Sea µ una medida completa sobre un espacio medible (X,M). El caso

p = 1 ya ha sido estudiado. Si 1 ≤ p < +∞, se designa por Lp(µ) al conjunto

de las clases de equivalencia [con respecto a la relacion f(x) = g(x) ect

x ∈ X] de funciones medibles f tales que |f |p ∈ L1(µ). Para p = +∞, se

define L∞(µ) como el conjunto de las clases de equivalencia de funciones

medibles esencialmente acotadas, es decir, funciones f para las que existe

alguna constante α ∈ (0,+∞) tal que µ([|f | > α]) = 0.

1.15.1. La norma en el espacio Lp

Es facil ver que Lp(µ) es un espacio vectorial. En efecto, para p = ∞es inmediato, mientras que para 1 ≤ p < +∞ basta usar que |f + g|p ≤2p(|f |p + |g|p).

Definicion 1.15.1. Si f ∈ Lp(µ) con 1 ≤ p < +∞, se define la norma de

f como ∥f∥p := ∥|f |p∥1/p1 =( ∫

X|f |p dµ

)1/p, mientras que si f ∈ L∞(µ), se

define su norma como ∥f∥∞ := ınfα > 0 : µ([|f | > α]) = 0.

Se vera que, en efecto, las aplicaciones anteriores son una norma en cada

espacio Lp, L∞ respectivamente.

En el intervalo [1,+∞] definimos una importante relacion simetrica. A

saber, se dice que dos numeros p, p′ ∈ [1,+∞] son conjugados si 1p+ 1

p′= 1.

En el resultado que viene a continuacion, establecemos la desigualdad

triangular para cada Lp(µ), ası como diversas relaciones entre distintos espa-

cios Lp(µ).


Teorema 1.15.1. (a) [Desigualdad de Holder] Si p y p′ son conjugados,

f ∈ Lp(µ) y g ∈ Lp′(µ), entonces fg ∈ L1(µ) y ∥fg∥1 ≤ ∥f∥p∥g∥p′.

(b) [Desigualdad de Minkowski] Si p ∈ [1,+∞] y f, g ∈ Lp(µ), entonces

∥f + g∥p ≤ ∥f∥p + ∥g∥p.

(c) Si µ es finita y 1 ≤ p < q < +∞, entonces L∞(µ) ⊂ Lq(µ) ⊂ Lp(µ).

Demostracion. (a) El caso p = 1, p′ = +∞ se prueba facilmente. Sea pues

p ∈ (1,+∞), ası que p′ ∈ (1,+∞). Usando derivacion, observamos que, para

cada s ∈ (0, 1), la funcion v : t ∈ (1,+∞) 7→ ts − st + s − 1 ∈ R cumple

v(t) ≤ 0 para todo t > 1. Haciendo s = 1py t = a

b(a > b > 0) obtenemos

que a1p · b

1p′ ≤ a

p+ b

p′para todo a, b ≥ 0 [el caso b = 0 es trivial]. Aplicar

ahora esta desigualdad a los numeros a = |f(x)|p∥f∥pp

, b = |g(x)|p′

∥g∥p′

p′, que son finitos

ect x ∈ X [de nuevo, el caso ∥f∥p = 0 o ∥g∥p′ = 0 es trivial]. Se tiene que f ·ges medible, e integrando y teniendo en cuenta que 1/p+1/p′ = 1, obtenemos

lo deseado.

(b) Los casos p = 1 y p = +∞ se obtienen facilmente. Si p ∈ (1,+∞), se

puede suponer en primer lugar que f, g ≥ 0 [ya que |f + g|p ≤ (|f | + |g|)p y∥F∥p = ∥|F |∥p] y que ∥f + g∥p = 0 [el caso ∥f + g∥p = 0 es trivial].

Denotemos h := (f + g)p−1. Si p′ es el conjugado de p, obtenemos que

∥h∥p′

p′ = ∥f + g∥pp y que∫X(f + g)p dµ =

∫Xfh dµ +

∫Xgh dµ. Aplicando la

desigualdad de Holder a fh y a gh, resulta

∥f + g∥pp ≤ (∥f∥p + ∥g∥p)∥f + g∥pp′p .

Basta multiplicar ahora por ∥f + g∥−p/p′

p .

(c) Supongamos ahora que µ es finita y que 1 ≤ p < q < +∞. Sea f ∈ L∞(µ).

Entonces f es medible y existe α ∈ (0,+∞) tal que |f(x)| ≤ α ect x ∈ X.

Entonces, ect x ∈ X, se tiene |f |q ≤ αqχX ∈ L1(µ) (lo ultimo porque µ es

finita), luego |f |q ∈ L1(µ), ası que f ∈ Lq(µ) y obtenemos L∞ ⊂ Lq.


En cuanto a la segunda contencion, fijemos f ∈ Lq(µ). Entonces f es me-

dible, y se ha de demostrar que ∥f∥pp < +∞. Denotemos α := q/p ∈ (1,+∞),

y sea α′ su conjugado. Por la desigualdad de Holder, ∥f∥pp =∫X|f |p · 1 dµ ≤( ∫

X|f |αp dµ

) 1α ·

( ∫X1α

′dµ

) 1α′ = ∥f∥pq · µ(X)

1α′ < +∞, lo que implica que

∥f∥pp < +∞. Ası que f ∈ Lp(µ). 2

De la desigualdad de Minkowski se deduce facilmente que ∥ · ∥p es una

norma sobre Lp(µ). Ahora, usando tecnicas parecidas a las de la demostracion

del Teorema 1.13.2, podemos probar la generalizacion de este a los espacios

Lp(µ). La prueba se omite.

Teorema 1.15.2. Para cada p ∈ [1,+∞], el espacio Lp(µ) dotado de la

norma ∥ · ∥p es un espacio de Banach.

Por otra parte, en el caso p = 2 (en el que p′ = 2), es facil ver que la

aplicacion (f, g) ∈ L2(µ) × L2(µ) 7→∫Xfg dµ ∈ R es una forma bilineal

simetrica definida positiva, es decir, un producto escalar. Por tanto L2(µ) es

un espacio de Hilbert.

1.15.2. Aproximacion por funciones escalonadas

Finalmente, veremos que cada funcion de Lp(µ) con p < +∞ se puede

aproximar en la norma ∥ · ∥p por funciones simples medibles, que incluso

se anulan fuera de un conjunto de medida finita. Estas son las funciones

escalonadas.

Definicion 1.15.2. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Una funcion es-

calonada sobre dicho espacio es una funcion de la forma f =N∑k=1

αkχEk, con

N ∈ N, αk ∈ R y Ek ∈ M tales que µ(Ek) < +∞ para todo k = 1, . . . , N .

Es facil ver que∫Xf dµ =

N∑k=1

αkµ(Ek) y que para cada p ∈ [1,+∞], el

conjunto S de la funciones escalonadas es un subespacio vectorial de Lp(µ).


Notemos que, en general S no es denso en L∞(µ) si µ no es finita: con-

siderar g ≡ 1 y observar que ∥g− f∥∞ ≥ 1 para toda f ∈ S. Sin embargo, el

resultado es positivo si p < +∞.

Teorema 1.15.3. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo. Para cada

p ∈ [1,+∞) el conjunto S es denso en Lp(µ).

Demostracion. Fijemos f ∈ Lp(µ) y ε > 0. Como |f |p ∈ L1(µ), de la

Proposicion 1.11.7 resulta que existe E1 ∈ M tal que µ(E1) < +∞ y∫X\E1

|f |p dµ < ε/3.

Usando la desigualdad de Chebyshev, obtenemos que lımk→∞

µ(x ∈ E1 :

|f(x)|p > k) = 0. Si ahora tenemos en cuenta que la medida ν(A) :=∫A|f |p dµ cumple ν ≪ µ, resulta que existe m ∈ N tal que

∫E2

|f |p dµ < ε/3,

donde E2 := x ∈ E1 : |f(x)|p > m. Definimos E := E1 \ E2 = x ∈ E1 :

|f(x)|p ≤ m ∈ M. Entonces∫X\E |f |p dµ < 2ε/3.

Aplicando el teorema de aproximacion de funciones medibles (Teorema

1.9.2), podemos encontrar una funcion g ∈ S que se anula fuera de E tal que

|g(x)− f(x)| <(

ε3µ(E)

) 1p para todo x ∈ E (tener en cuenta que f es acotada

en E, luego se puede conseguir una sucesion de funciones simples medibles

que convergen uniformemente a f en E). Por ultimo,∫X

|g − f |p dµ =

∫X\E

|f |p dµ+

∫E

|g − f |p dµ < 2ε

3+ε

3= ε.

Esto implica que ∥g − f∥pp < ε y, en consecuencia, S es denso en Lp(µ). 2

En el caso de la medida de Lebesgue sobre un abierto G de RN , se puede

deducir que las funciones de Lp(G) := Lp(m|G) pueden aproximarse por

funciones continuas con soporte compacto. Diremos que una funcion f : G→R tiene soporte compacto cuando existe un compactoK = K(f) ⊂ G tal que

f(x) = 0 para todo x ∈ G \K. Denotaremos por C0(G) el espacio vectorial

de las funciones continuas f : G→ R con soporte compacto. Es facil ver que

C0(G) es un subespacio vectorial de Lp(G).


Teorema 1.15.4. El conjunto C0(G) es denso en el espacio Lp(G).

Demostracion. Se dara solo una idea de la misma. Por el teorema anterior,

bastarıa aproximar cada funcion f ∈ S por funciones de C0(G). A su vez,

usando el metodo de la prueba del teorema de caracterizacion de los conjuntos

medibles-Lebesgue (Teorema 1.5.1), se puede suponer que f =∑m

i=1 αiχRi,

donde los Ri son N -rectangulos cerrados. Por ultimo, aproximar cada χRi

por una funcion de C0(G). 2

1.16. Medidas producto

Los conceptos y resultados de esta seccion pueden extenderse a un

numero finito N de medidas, pero las ideas basicas quedan suficientemente

claras al estudiar N = 2. Ası que consideraremos dos espacios de medida

positiva (X,A, µ) e (Y,B, ν). Se supone que µ y ν son σ-finitas y completas.

Se pretende construir un espacio de medida sobre X ×Y , definiendo los pro-

ductos A×B y µ×ν. Se estudiara la relacion que existe entre las propiedades

de medibilidad e integrabilidad en el espacio producto y en los espacios de

partida.

1.16.1. σ-algebra y medida sobre el espacio producto

Para definir una σ-algebra sobre X × Y , parece natural exigir que

pertenezcan a ella todos los rectangulos medibles, es decir, todos los conjuntos

E×F con E ∈ A y F ∈ B. La familia E de las uniones finitas de rectangulos

medibles es un algebra (ver definicion en el Ejercicio 11) sobre X × Y , pero

no es una σ-algebra en general. Definimos A×B como la σ-algebra generada

por la familia de rectangulos medibles. Es claro que A× B ⊃ E .

Si Z es un conjunto, una clase monotona sobre Z es una familia C ⊂ Z

de modo que∪∞n=1Cn ∈ C y

∩∞n=1Dn ∈ C para cada sucesion creciente


Cnn≥1 ⊂ C y cada sucesion decreciente Dnn≥1 ⊂ C. Si F ⊂ P(Z), deno-

taremos por M(F) la menor clase monotona que contiene a F . El siguiente

resultado se utilizara mas adelante.

Proposicion 1.16.1. Con las notaciones anteriores, se tiene que M(E) =A× B.

Demostracion. La inclusion “⊂” es clara, pues E ⊂ A × B y toda σ-algebra

es una clase monotona. Si se demuestra que M := M(E) es una σ-algebra,quedara probada la inclusion contraria. Para ello, es suficiente fijar P,Q ∈ My probar que P \Q y P ∪Q pertenecen a M. Definimos τ(P ) := T ⊂ X×Y :

P \T, T \P y P ∪T ∈ M. Es facil probar que τ(P ) es una clase monotona,

y que Q ∈ τ(P ) si y solo si P ∈ τ(Q). Si P ∈ E se tiene que E ⊂ τ(P ), debido

a que las diferencias y la union de dos elementos de E estan tambien en E .Luego M ⊂ τ(P ) cuando P ∈ E . Sea ahora Q ∈ M. Resulta de lo anterior

que, para cada P ∈ E , se verifica que Q ∈ τ(P ) y P ∈ τ(Q). Esto significa

que E ⊂ τ(Q) y, por ser τ(Q) una clase monotona y M = M(E), se deduce

que M ⊂ τ(Q). Pero esto es justamente lo que se querıa probar. 2

A partir de miembros de A×B y de funciones medibles en X × Y pode-

mos obtener, de manera natural, conjuntos medibles y funciones medibles,

respectivamente, en los espacios factores X e Y . Si P ⊂ X × Y , x ∈ X e

y ∈ Y , se definen las secciones de P por Px := t ∈ Y : (x, t) ∈ P y

P y := t ∈ X : (t, y) ∈ P.

Proposicion 1.16.2. Sean P ∈ A × B, x0 ∈ X, y0 ∈ Y , y f una funcion

medible respecto de A× B. Se tiene:

(a) Px0 ∈ B y P y0 ∈ A.

(b) La funcion y 7→ f(x0, y), definida en Y , es B-medible, y la funcion x 7→f(x, y0), definida en X, es A-medible.


Demostracion. En cuanto a (a), es suficiente probar que la familia P de

elementos P de A×B para los que la proposicion es cierta es una σ-algebra

y que cada rectangulo medible pertenece a P . Ambas cosas se prueban sin

dificultad. El apartado (b) resulta facilmente sin mas que considerar que,

para cada α ∈ R, y ∈ Y : f(x0, y) > α = (t, y) ∈ X × Y : f(t, y) > αx0y x ∈ X : f(x, y0) > α = (x, t) ∈ X × Y : f(t, y) > αy0 2

Se trata ahora de definir una medida µ× ν sobre A× B. A esta medida

parece natural exigirle que (µ×ν)(A×B) = µ(A)ν(B) para cada rectangulo

medible A × B. Por otra parte, la medida de un conjunto P ∈ A × B debe

depender de las medidas de sus secciones ν(Px) y µ(Py).

Teorema 1.16.3. Para cada P ∈ A × B, las funciones x ∈ X 7→ ν(Px) y

y ∈ Y 7→ µ(P y) son medibles y∫X

ν(Px) dµ(x) =

∫Y

µ(P y) dν(y).

El valor comun anterior coincide con µ(A)ν(B) si P = A× B con A ∈ A y

B ∈ B.

A la vista de este resultado, es natural definir la medida producto µ× ν :

A× B → [0,+∞] por

(µ× ν)(P ) :=

∫X

ν(Px) dµ(x) =

∫Y

µ(P y) dν(y).

Demostracion del teorema. Por ser µ y ν σ-finitas, existen familias nume-

rables (Xi) e (Yj) de conjuntos medibles tales que los Xi son disjuntos de

µ-medida finita y su union es X, y los Yj son disjuntos de ν-medida finita

y su union es Y . Entonces X × Y se puede descomponer en los rectangulos

medibles disjuntos Xi × Yj. Supongamos probado que para cada par i, j

todos los conjuntos medibles contenidos en Xi × Yj verifican el teorema.

Entonces, si P ∈ A×B, si Pi,j = P ∩ (Xi× Yj), y si Pk =∪i,j≤k Pi,j, resulta


obviamente que cada Pk verifica el teorema, y para demostrar que P tambien

lo verifica es suficiente observar que ν((Pk)x)k≥1 y µ((Pk)y)k≥1 convergen

respectivamente a ν(Px) y µ(P y), y utilizar el teorema de la convergencia

monotona.

Ası pues podemos partir de que µ y ν son finitas. Gracias a la Proposicion

1.16.1, basta probar que la familia P de elementos de A × B que verifican

el teorema es una clase monotona que contiene a E . Si P = A × B es un

rectangulo medible, resulta trivialmente que ν(Px) y µ(P y) son medibles y

que∫Xν(Px) dµ(x) =

∫Yµ(P y) dν(y) = µ(A)ν(B). Puesto que cada elemen-

to de E es union finita de rectangulos medibles disjuntos, se obtiene facilmente

que E ⊂ P . Consideremos ahora una sucesion monotona (Pk) de elementos de

P , y sea P su lımite (es decir, su union si (Pk) es creciente, o su interseccion

si es decreciente). Es claro que las funciones x 7→ ν(Px) e y 7→ µ(P y) son

medibles, por ser, respectivamente, el lımite de las sucesiones monotonas de

funciones medibles ν((Pk)x) y µ((Pk)y) (ver Teorema 1.9.1). Finalmente,

ya que cada Pk ∈ P, se obtiene∫X

ν(Px) dµ(x) = lımk→∞

∫X

ν((Pk)x) dµ(x)

= lımk→∞

∫Y

µ((Pk)y) dν(y) =

∫Y

µ(P y) dν(y),

puesto que podemos aplicar el teorema de la convergencia dominada gracias

a la finitud de µ y ν. Luego P ∈ P y P es una clase monotona. 2

Es facil probar que µ × ν es una medida σ-finita. Pero µ × ν no es,

en general, completa. Por ejemplo, llamemos mN a la medida de Lebesgue

sobre la σ-algebra MN de los conjuntos medibles-Lebesgue de RN . Nos cen-

tramos en el caso N = 1, aunque lo siguiente se extiende facilmente al

caso general. Fijemos un conjunto no medible A ⊂ [0, 1]. Entonces P :=

A× 0 /∈ M1 ×M1 porque P 0 = A /∈ M1. Sin embargo P ⊂ [0, 1]× 0 y

(m1 ×m1)([0, 1]× 0) = 0, ası que m1 ×m1 no es completa. En general, se


tiene que (Rk+l,Mk+l,mk+l) es la complecion (ver Ejercicio 4) del espacio de

medida (Rk×Rl,Mk×Ml,mk×ml). De hecho, la hipotesis de completitud

de la medida se hacıa en la seccion 10 porque simplificaba la prueba de algu-

nas propiedades de la integral, pero no es necesaria en absoluto. Ademas, no

es difıcil probar (usar, por ejemplo, aproximacion por funciones escalonadas)

que si (X,M, µ) es un espacio de medida σ-finito, (X,M, µ) es su comple-

cion y f : X → [−∞,∞], entonces f ∈ L1(µ,X) si y solo si f ∈ L1(µ, X),

y que en tal caso∫Xf dµ =

∫Xf dµ. En particular, esto sera util cuando

integremos respecto de mk+l una funcion Rk+l → [−∞,∞] mediante una

iteracion de integrales sobre Rk y Rl.

1.16.2. Teoremas de Fubini y de Tonelli

Concluimos esta seccion con estos dos utiles resultados. El primero

afirma que la integral de una funcion integrable sobre un producto puede

calcularse iterando en cualquier orden la integral sobre los espacios factores.

El segundo proporciona una condicion suficiente sencilla de integrabilidad

sobre un espacio producto.

Teorema 1.16.4. [Teorema de Fubini] Sea f una funcion medible definida

en casi todo punto del producto X × Y . Se tiene:

(a) Si f ≥ 0, las funciones φ(x) :=∫Yf(x, y) dν(y) y ψ(y) :=

∫Xf(x, y) dµ(x),

definidas en casi todo punto respectivamente en X e Y , son medibles

no negativas y se verifica∫X×Y

f d(µ× ν) =

∫X

φdµ =

∫Y

ψ dν ≤ ∞.

(b) Si f ∈ L1(µ × ν), la funcion y 7→ f(x, y) pertenece a L1(ν) para casi

todo x ∈ X, y la funcion x 7→ f(x, y) pertenece a L1(µ) para casi todo


y ∈ Y . En particular, las funciones φ y ψ estan bien definidas y son

finitas en casi todo punto. Ademas, φ y ψ son integrables y verifican∫X×Y

f d(µ× ν) =

∫X

φ dµ =

∫Y

ψ dν <∞.

Demostracion. De la definicion de medida producto y del Teorema 1.16.3

resulta que (a) se verifica cuando f es la funcion caracterıstica de un conjunto

medible. Es facil probar que tambien se verifica (a) cuando f es una funcion

simple medible. Si ahora f es cualquier funcion medible y no negativa, sea

(ak) una sucesion creciente de funciones simples no negativas que converge

ect a f . Para cada k resulta que la funcion φk definida ect X mediante

φk(x) =∫Yak(x, y) dν(y) es medible y verifica

∫X×Y ak d(µ× ν) =

∫Xφk dµ.

Utilizando el teorema de la convergencia monotona se obtiene que φ es me-

dible por ser el lımite de (φk), y que∫X×Y

f d(µ× ν) = lımk→∞

∫X×Y

ak d(µ× ν) = lımk→∞

∫X

φk dµ =

∫X

φdµ.

Analogamente se prueba que ψ es medible y verifica∫X×Y f d(µ × ν) =∫

Yψ dν. Esto completa la demostracion de (a).

Para probar (b), supongamos que f ∈ L1(µ × ν). Entonces se puede

aplicar (a) a f+ y f−, de donde se obtienen las siguientes igualdades, donde

todos los miembros son finitos:∫X×Y

f+ d(µ× ν) =

∫X

φ1 dµ =

∫Y

ψ1 dν,∫X×Y

f− d(µ× ν) =

∫X

φ2 dµ =

∫Y

ψ2 dν,

siendo φ1 y ψ1 (φ2 y ψ2, resp.) las funciones asociadas a f+ (a f−, resp.).

Esto significa que las cuatro funciones medibles φ1, ψ1, φ2, ψ2 son finitas en

casi todo punto, por lo cual estan definidas, son medibles y finitas en casi

todo punto las diferencias φ1 − φ2 y ψ1 − ψ2, es decir, φ y ψ. Es suficiente

restar las relaciones anteriores para obtener (b). 2


La simple existencia de integrales iteradas no implica su igualdad. Se da

un ejemplo en el Ejercicio 45.

Teorema 1.16.5. [Teorema de Tonelli] Sea f una funcion medible definida

en casi todo punto del producto X × Y . Supongamos que, para casi todo

y ∈ Y , la funcion x 7→ |f(x, y)| pertenece a L1(µ), y que la funcion y 7→∫X|f(x, y)| dµ(x) pertenece a L1(ν). Entonces f ∈ L1(µ× ν).

Demostracion. De los Teoremas 1.9.2 y 1.15.3 y de sus pruebas se deduce

la existencia de una sucesion (φn) de funciones escalonadas tales que 0 ≤φn(x, y) ≤ φn+1(x, y) para todo n ∈ N y todo (x, y) ∈ X × Y , y φn → |f | encasi todoX×Y . En particular, cada φn es integrable. Como f es medible, bas-

ta demostrar que |f | es integrable. A su vez, por el teorema de la convergen-

cia monotona, es suficiente demostrar que supn∈N∫X×Y φn d(µ × ν) < +∞.

Por una parte, tenemos que∫Xφn(x, y) dµ(x) ≤

∫X|f(x, y)| dµ(x). Por otra

parte, si aplicamos el Teorema de Fubini a cada φn y aplicamos las hipotesis

sobre f , obtenemos que∫X×Y φn d(µ × ν) =

∫Y(∫Xφn(x, y) dµ(x)) dν(y) ≤∫

Y(∫X|f(x, y)| dµ(x)) dν(y) < +∞. Esto concluye la demostracion. 2

Por supuesto, un enunciado analogo se obtiene intercambiando las varia-

bles x, y y las medidas µ, ν.

Terminamos estableciendo, sin demostracion, dos resultados de integracion

por cambio de variables en RN . En sus pruebas interviene de una u otra for-

ma el Teorema de Fubini. Por detDh denotaremos el determinante de la

matriz jacobiana o matriz de derivadas parciales de h. En el segundo teore-

ma, se obtiene la integral de una funcion que solo depende radialmente de

sus argumentos.

Teorema 1.16.6. Sean Ω y G dos abiertos de RN , h : G → Ω un difeo-

morfismo de clase C1 y f : Ω → R. Entonces f ∈ L1(mN ,Ω) si y solo si


(f h)|detDh| ∈ L1(mN , G), en cuyo caso∫Ω

f dmN =

∫G

(f h)|detDh| dmN .

Teorema 1.16.7. Para cada x = (x1, . . . , xN) ∈ RN denotamos r(x) =

∥x∥2 = (x21 + · · ·+ x2N)1/2. Sea f : [0,+∞) → R y g := f r. Entonces g es

Lebesgue-integrable en RN si y solo si la funcion t 7→ f(t)tN−1 es Lebesgue-

integrable en [0,+∞), en cuyo caso∫RN

g dmN = n · πN/2

Γ(1 + N2)·∫ +∞

0

f(t)tN−1 dt.

Ejercicios

1. Dar un ejemplo de una σ-algebra M tal que existan dos conjuntos

A,B ∈ M de modo que A ∪B sı sea medible.

2. Si µ es la medida cardinal sobre un conjunto infinito X, demostrar que

existe una sucesion decreciente An∞n=1 ⊂ P(X) tal que∞∩n=1

An = ∅

pero lımn→∞

µ(An) = 0.

3. Demostrar la Proposicion 1.2.1.

4. En este ejercicio se describe la complecion de una medida. Para cada

espacio de medida (X,M, µ), demostrar que existe un espacio de me-

dida completo (X,M, µ) tal que M ⊂ M y µ|M = µ.

Indicacion: Definir M := E ∪N : E ∈ M y existe Z ∈ M tal que

µ(Z) = 0 y N ⊂ Z y µ(E ∪N) := µ(E).

5. Sea (X,M, µ) un espacio de medida. Para cada A ⊂ X se define

µ∗(A) := ınfµ(E) : E ∈ M, A ⊂ E. Probar que µ∗ es una me-

dida exterior sobre X.

6. (a) Para cada ε > 0, hallar un abierto denso G ⊂ R tal que m(G) < ε.


(b) Hallar un conjunto Gδ, sea M , denso en R, tal que m(M) = 0.

7. Demostrar que el conjunto ternario de Cantor C es compacto, no nu-

merable y de medida nula. El conjunto C se forma suprimiendo de [0, 1]

el tercio central abierto (1/3, 2/3), despues, suprimiendo los tercios cen-

trales abiertos de los dos subintervalos que quedan, y ası sucesivamente.

8. Sea (X,M, P ) un espacio de probabilidad donde cada suceso no vacıo

tiene probabilidad positiva. Demostrar que la formula

d(A,B) = P (A B) (A,B ∈ M)

define una distancia en la σ-algebra M de los sucesos.

9. Si (X,M, µ) es un espacio de medida finita, demostrar que

|µ(A)− µ(B)| ≤ µ(A B) para todo A y B ∈ M.

10. [Lema de Borel–Cantelli] (a) Si (X,M, µ) es un espacio de medida y

Ann≥1 ⊂ M es una sucesion tal que∞∑n=1

µ(An) < +∞, demostrar que

µ(lım supn→∞

An) = 0.

(b) Sea µ una medida de probabilidad y Ann≥1 una sucesion de suce-

sos independientes, es decir, para todo p ∈ N y todos los ındices natu-

rales i1, . . . , ip dos a dos distintos, se verifica

µ(Ai1 ∩ . . . ∩ Aip) = µ(Ai1) · · ·µ(Aip).

Si∞∑n=1

µ(An) = +∞, demostrar que µ(lım supn→∞

An) = 1.

Indicacion: Usar que 1− t ≤ e−t para todo t ≥ 0.

11. [Teorema de extension de Hahn] Supongamos queA es un algebra sobre

un conjunto X, es decir, ∅ ∈ A y, siempre que A,B ∈ A, se tiene que

A \B ∈ A y A∪B ∈ A. Sea µ : A → [0,+∞] una medida sobre A, es

decir, µ(∅) = 0 y, siempre que An ∈ A (n = 1, 2, . . . ) y∪∞n=1An ∈ A,


con los An dos a dos disjuntos, se verifica µ(∪∞n=1An) =

∑∞n=1 µ(An).

Demostrar que existe una medida ν sobre (X, σ(A)) tal que ν|A = µ.

Indicacion: Defınase ν : P(X) → [0,+∞] como

ν(A) = ınf∞∑n=1

µ(An) : A ⊂∞∪n=1

An y An ∈ A (n = 1, 2, . . . ),

entendiendose que ınf ∅ = +∞. Probar que ν es una medida exterior so-

bre X cuya restriccion a A coincide con µ. Finalmente, probar que la σ-

algebra asociada a ν construida por el procedimiento de Caratheodory

contiene a A.

12. Sea f : R → R continua tal que trasforma conjuntos medibles-Lebesgue

de medida nula en conjuntos medibles-Lebesgue de medida nula. Probar

que f trasforma conjuntos medibles en medibles.

13. Se define φ : R → R como φ(x) =

0 si x < 0

log(1 + x) si x ≥ 0,y se

considera la medida de Lebesgue–Stieltjes mφ. Calcular mφ(C), donde

C es el conjunto de Cantor.

14. Construyase una funcion f no medible tal que |f | sı es medible.

15. Sea E ⊂ R un subconjunto medible-Lebesgue y f : E → R una funcion

continua ect x ∈ E. Demostrar que f es medible.

16. Pruebese que cada funcion f : R → R creciente es medible.

17. Se considera una base de Hamel aαα∈A de R como espacio vectorial

sobre Q, y se define la funcion f : R → R mediante f(aα) = aα + 1

para cada α ∈ A y f(∑α

λαaα)=

∑α

λαf(aα) para cada combinacion

lineal finita∑α

λαaα de coeficientes racionales λα. Pruebese:

(a) f(x+ y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈ R.


(b) f no es lineal.

(c) f no es medible-Lebesgue.

(d) La grafica de f es densa en R2.

18. Sea µ la medida de Lebesgue sobre X = [0,+∞), y sea, para cada

n ∈ N,

fn(x) :=

2x/n2 si x ≤ n

0 si x > n.

¿Es lımn→∞

∫Xfn dµ =

∫X

lımn→∞

fn dµ?

Idem con X = [0, 1] y

fn(x) :=

2n si x ≤ 2−n

0 si x > 2−n.

19. Sean fn, f : X → R (n ∈ N) funciones medibles, donde (X,M, µ) es

un espacio de medida completa.

(a) Probar que si fn → f casi uniformemente, entonces fn → f ect X

y en medida.

(b) Si fn → f en medida, probar que fn es de Cauchy en medida.

(c) Con el ejemplo X = [0, 1], µ = m y fn definida como fn =

χ[2−kh,2−k(h+1)], con n = 2k + h, k ∈ N y h = 0, 1, . . . , 2k − 1,

verificar que ser de Cauchy en medida no implica convergencia

puntual ect X.

(d) Demostrar que si fn es de Cauchy en medida, existe f medible

tal que fn → f en medida.

20. Consideremos el intervalo [0, 1] con la medida de Lebesgue m. Se define

fn := 2nχ[0,2−n]. Pruebese que fn → 0 puntualmente en casi todo, en


medida y casi uniformemente, pero no converge ni uniformemente ni

en la norma de L1(m).

21. Consideremos la funcion F : [0,+∞) → R dada por

F (x) =

senxx

si x > 0

1 si x = 0.

Demostrar que F ∈ L1m([0,+∞)) y, sin embargo, F es Riemann-integrable

impropiamente en [0,+∞), es decir, F ∈ R[a, b] para todo [a, b] ⊂[0,+∞) y existe lım

R→+∞

∫ R0F (x) dx ∈ R.

22. Calcula, razonadamente, los siguientes lımites de integrales, entendi-

das estas como respecto de la medida de Lebesgue en los intervalos

indicados:

(a) lımn→∞

∫ 1

0arctan(n

xlog x) dx.

(b) lımn→∞

∫ +∞0

arctan(x/n)x√x

dx.

(c) lımn→∞

∫∞1

n1+nx2

e−x2

n dx.

(d) lımn→∞

∫ 1

0

n log(1+√

xn

)

xdx.

(e) lımn→∞

∫ e1

[1−(log x)n]x√x2−1

dx.

(f) lımn→∞

∫ +∞0

(senx)n+1

x(x+1)dx.

(g) lımn→∞

∫ +∞0

11+x2

log(x2+2nx2+n

)dx.

(h) lımn→∞

∫ +∞0

nxn+x2

e−nx dx.

23. Decidir razonadamente si las funciones siguientes son integrables-Lebesgue

o no, en los conjuntos que se indican:

(a) 1−cosxx(1+x2)

en (0,+∞).

(b) x·arctanx1+x2

en [1,+∞).


(c) log(1+x2)

x√1−x2 en (0, 1).

(d) e−x2log x en (0,+∞).

24. Se considera el conjunto N de los numeros naturales y la medida car-

dinal µ(A) = card(A), A ⊂ N. Se pide:

(a) Determinar que funciones f : N → R son integrables.

(b) Probar que la sucesion fk(x) :=

1ksi 1 ≤ x ≤ k

0 si x > kconverge uni-

formemente, pero no converge en L1(µ).

(c) Probar que la sucesion fk(x) :=

1x

si 1 ≤ x ≤ k

0 si x > kconverge uni-

formemente a una funcion no integrable.

25. Existe una teorıa analoga de medidas signadas si se admite que µ toma

valores en [−∞,+∞). No obstante, se podrıa plantear si podemos ad-

mitir que µ tome valores en la recta real extendida. Este ejercicio pre-

tende mostrar la imposibilidad de esto ultimo. En concreto, se pide

probar que una funcion µ : M → [−∞,+∞] definida en una σ-algebra

M no puede ser aditiva si existen P,Q ∈ M tales que µ(P ) = +∞ y

µ(Q) = −∞.

26. Sea fkk≥1 ⊂ Lp(µ) con 1 ≤ p < +∞ tal que∞∑k=1

∥fk∥p < +∞. Probar

que la serie∞∑k=1

fk define una funcion f ∈ Lp(µ) y que ∥f∥p ≤∞∑k=1

∥fk∥p.

27. Si 1 ≤ r < p < s ≤ +∞, probar que Lr(µ) ∩ Ls(µ) ⊂ Lp(µ).

28. Se supone que f ∈ L∞ ∩ Lp para algun p < +∞. Demuestrese que

f ∈ Lq para todo q > p y que ∥f∥q → ∥f∥∞ (q → +∞).

29. Sean µ y ν dos medidas positivas sobre un mismo espacio medible

(X,M), de modo que µ es σ-finita, ν es finita y ν ≪ µ. Pruebese que


existe una funcion integrable g que cumple la siguiente propiedad: f

es ν-integrable si y solo si fg es µ-integrable. En tal caso, resulta que∫Ef dν =

∫Efg dµ para cada E ∈ M.

30. Sea X = [0, 1] con la medida de Lebesguem, y φ la funcion “escalera de

Cantor”, definida como el lımite de la sucesion de funciones continuas

fn (n ≥ 1) determinadas de la siguiente manera. Como f1 tomamos la

funcion valorada como 0, 1 en los puntos 0, 1 respectivamente; f1 vale

1/2 en el intervalo (1/3, 2/3) y es lineal afın en los intervalos [0, 1/3]

y [2/3, 1]. Como f2 tomamos la funcion definida como 1/4, 1/2, 3/4 en

los intervalos (1/9, 2/9), (1/3, 2/3), (7/9, 8/9) respectivamente, y lineal

en los intervalos restantes. De esta forma se procede sucesivamente. Es

facil ver fn = fn+1 en cada intervalo donde fn es constante, que el

lımite puntual φ existe, que fn → φ uniformemente en [0, 1] (luego φ

es continua), que φ es no decreciente (pues cada fn es no decreciente)

y que φ es constante en cada subintervalo del complemento en [0, 1]

del conjunto ternario de Cantor. Sea ν la medida asociada a φ, dada

por ν(A) =∫Aφdm para cada conjunto medible-Lebesgue A ⊂ [0, 1].

Calcular∫Xf dν, con f(x) := x. Indicacion: Usar el ejercicio anterior.

31. Sea (X,M, µ) un espacio de medida con signo. Demostrar que

|µ|(A) = sup n∑k=1

|µ(Ek)| : A = E1⊔· · ·⊔En, E1, . . . , En ⊂ M, n ∈ N

para cada A ∈ M.

32. (a) Sea µ una medida con signo. Demuestrese que µ+ y µ− son singu-

lares entre sı, y que ambas son absolutamente continuas respecto de µ.

(b) Si µ y ν son medidas con signo tales que ν es absolutamente con-

tinua y singular respecto de µ, probar que ν = 0.


33. Sea µ una medida completa sobre un espacio medible (X,M). Sea f ∈L1(µ) y consideremos la medida son signo ν(E) :=

∫Ef dµ (E ∈ M).

Demostrar que |ν|(E) =∫E|f | dµ para cada E ∈ M.

34. Dar un ejemplo de dos medidas positivas µ, ν sobre un mismo espacio

medible (X,M), tales que [µ(A) = 0 ⇒ ν(A) = 0] para todo A ∈ M,

pero ν no sea absolutamente continua respecto de µ.

35. Sean φ : [0, 1] → R la funcion escalera de Cantor, m la medida de

Lebesgue en [0, 1] y mφ la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a φ.

Pruebese que m ⊥ mφ.

36. Sean p ∈ [1,+∞), I = [0, 1] y f ∈ Lp(I). Para cada α > 0 se define

fα : I → R mediante fα(x) =12α

∫(x−α,x+α) f dm. Pruebese que fα es

continua, que ∥fα∥p ≤ ∥f∥p para todo α > 0 y que lımα→0

∥f − fα∥p = 0.

37. Detallar la demostracion del Teorema 1.15.4.

38. Si I es un intervalo de R y p ∈ [1,+∞), demostrar que el espacio Lp(I)

es separable, es decir, contiene algun subconjunto denso y numerable.

39. Demostrar el Teorema de Egoroff, el cual afirma que lo siguiente. Su-

pongamos que (X,M, µ) es un espacio de medida, que µ es finita, que

fn : X → R (n ∈ N) es una sucesion de funciones medibles, y que

f : X → R es una funcion tal que fn(x) → f(x) ect x ∈ X. Entonces

fn → f casi uniformemente. Indicacion: Probar primero que se puede

suponer que fn(x) → f(x) para todo x ∈ X. Para cada n, k ∈ N,

definir En,k =∪i≥nx ∈ X : |fi(x) − f(x)| ≥ 1/k. Observar que∩∞

n=1En,k = ∅ para cada k. Aplicar la Proposicion 1.2.1(6) para probar

que, fijados ε > 0 y k ∈ N, existe n(k) ∈ N con µ(En(k),k) < ε/2k.

Considerar el conjunto F =∪∞n=1En(k),k.


40. Sea (X,M, µ) un espacio de medida completo, p ∈ (0,+∞) y (φn) ⊂Lp(µ). Sea φ ∈ Lp(µ) tal que φn(x) → φ(x) ect x ∈ X y ∥φn∥p →∥φ∥p (n → ∞). Demostrar que ∥φn − φ∥p → 0. Indicacion: Aplicar el

Lema de Fatou a la sucesion (|φn|p + |φ|p + |φn − φ|p).

41. Consideremos la funcion f(x, t) :=1

(1 + x2t2)(1 + y2t2)con y > 0.

(a) Demostrar que∫ 1

0(∫∞0f(x, t) dt) dx =

∫∞0(∫ 1

0f(x, t) dx) dt.

(b) Demostrar que la funcion g(y, t) := arctan tt(1+y2t2)

satisface∫ 1

0(∫∞0g(y, t) dt) dy =

∫∞0(∫ 1

0g(y, t) dy) dt.

(c) Combinando los resultados anteriores, deducir que∫∞0(arctan t

t)2 dt = π log 2.

42. Si f ∈ L1(X,µ) y g ∈ L1(Y, ν), demostrar que la funcion h(x, y) :=

f(x)g(y) es integrable sobre X × Y respecto de la medida producto

µ× ν y que su integral es el producto de las integrales de f y g.

43. Representemos por An el conjunto de los puntos de [0, 1] tales que en

su desarrollo decimal 0, a1a2 . . . an . . . sea an la primera cifra decimal

igual a 1. Se define la aplicacion f : [0, 1]2 → R mediante

f(x, y) =

mn si x ∈ Am, y ∈ An

0 en otro caso.

Demostrar que f es integrable y que su integral vale 100.

44. Demostrar que si cn designa la medida de Lebesgue de la bola unidad

de Rn, entonces cn = cn−1

∫ π/2−π/2 cos

n t dt para todo n ≥ 2. Deducir que

cn = πn/2

Γ(n2+1)

para todo n ≥ 1.


45. Consideremos la medida cardinal µ sobre P(N), ası como la funcion

f : N× N → R dada por

f(x, y) =

2− 2−x si x = y

−2 + 2−x si x = y + 1

0 en otro caso.

Compruebese, mediante el Teorema de Fubini, que f /∈ L1(µ× µ).

46. Se considera la funcion f : R2 → R definida mediante

f(x, y) =

x2−y2x2+y2

si x, y ∈ (0, 1)

0 en otro caso.

Pruebese que f ∈ L1(R2), y calculese∫ ∫

R2 f(x, y) dxdy utilizando el

Teorema de Fubini.

47. Sean (X,M) e (Y,N ) dos espacios medibles, y sea f : X → Y una apli-

cacion medible, es decir, φ−1(N) ∈ M para cada N ∈ N . Supongamos

que µ es una medida sobre (X,M) y que f : Y → [−∞,∞] es una

funcion medible. Definimos la aplicacion φµ : N → [0,+∞] mediante

(φµ)(N) = µ(φ−1(N)).

(a) Demostrar que φµ es una medida sobre (Y,N ). Recibe el nombre

de medida imagen de µ por φ.

(b) Probar que la funcion f φ es medible.

(c) Demostrar que f ∈ L1(φµ) si y solo si f φ ∈ L1(µ), en cuyo caso∫Yf d(φµ) =

∫Xf φ dµ.

48. Se pretende establecer la desigualdad integral de Jensen. Supongamos

que (X,M, µ) es un espacio de probabilidad completo y que I ⊂ R es

un intervalo abierto. Sean f : X → I y φ : I → R dos funciones, de

modo que f ∈ L1(µ), φ es convexa y φ f ∈ L1(µ). Demostrar que

φ

(∫X

f dµ

)≤

∫X

φ f dµ.

Capıtulo 2

Espacios de funciones analıticas

2.1. Introduccion

En este capıtulo, estudiaremos diversos espacios de funciones analıticas

u holomorfas, dotandolos de una estructura lineal y topologica. Al considerar

unos como subespacios de otros, compararemos las diversas convergencias. En

concreto, efectuaremos una recapitulacion de conocimientos sobre el espacio

H(G) de las funciones holomorfas e introduciremos los espacios de Hardy Hp

y los de Bergman Bp del disco unidad. Algunos espacios mas se veran como

ejemplos o ejercicios.

2.2. Funciones holomorfas

Recordemos los conceptos de funcion holomorfa y de funcion analıtica.

Definicion 2.2.1. Sea G ⊂ C un subconjunto abierto del plano complejo,

y sean f : G → C una funcion y a ∈ G. Se dice que f es holomorfa en

a cuando es C-diferenciable en tal punto, es decir, cuando existe f ′(a) :=

lımh→0

f(a+h)−f(a)h

∈ C. Se dice que f es holomorfa en G cuando es holomorfa

67


en cada punto de G. Mediante H(G) se denota la familia de las funciones

holomorfas en G.

Es facil ver que H(G) es un espacio vectorial. De hecho, es un algebra, si

se incorpora la operacion de producto puntual.

Definicion 2.2.2. Sean G ⊂ C un abierto y f : G → C una funcion. Se

dice que f es analıtica en a cuando es desarrollable en serie de potencias en

torno a dicho punto, es decir, existe r > 0 y existe an∞n=0 ⊂ C tales que

B(a, r) ⊂ G y f(z) =∞∑n=0

an(z − a)n para todo z ∈ B(a, r).

En tal caso, tal serie de potencias es unica, existe f (n)(a) ∈ C para todo

n ∈ N y an = f (n)(a)n!

para todo n ≥ 0. Dicha unica serie de potencias se

denomina la serie de Taylor de f en a.

Si f = u + iv : G → C, con u = Re f y v = Im f , se tiene que f

es holomorfa en a ⇐⇒ [u y v son diferenciables en a, y se cumplen las

ası llamadas ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann: ux(a) = vy(a) y

uy(a) = −vx(a)].

Un teorema debido a Cauchy asegura la equivalencia de holomorfıa y

analiticidad, es decir, H(G) = funciones G → C analıticas en G. Otra

propiedad importante es que si f es holomorfa en G, entonces Re f e Im f

son funciones armonicas en G. Recordemos que una funcion h : G → R se

dice armonica cuando es de clase C2 y hxx + hyy = 0 en G. Denotaremos

por Arm(G) el espacio vectorial de las funciones armonicas en el abierto G.

Tanto las funciones holomorfas como las armonicas cumplen la ası denomi-

nada propiedad del valor medio: si f ∈ H(G), u ∈ Arm(G) y B(a, r) ⊂ G,

entonces

f(a) =1

2π

∫ 2π

0

f(a+ reiθ) dθ y u(a) =1

2π

∫ 2π

0

u(a+ reiθ) dθ.

ESPACIOS DE FUNCIONES ANALITICAS 69

Definicion 2.2.3. Se dice que un subconjunto G ⊂ C es una region si es

abierto, conexo y no vacıo. Una region se dice simplemente conexa cuando

no tiene agujeros, es decir, cuando C∞ \G es conexo.

Por C∞ hemos denotado el plano complejo extendido C ∪ ∞, el cualpuede identificarse con la esfera unidad S2 := (x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x22 +

x23 = 1 sin mas que usar la proyeccion estereografica.

En la mayorıa de los casos que consideremos, G va a ser una region. Un

importante resultado de unicidad es el ası llamado principio de prolongacion

analıtica: si G es una region y f, g ∈ H(G), de modo que f(z) = g(z) para

todo z ∈ A, donde A ⊂ G y A′ ∩ G = ∅ [es decir, A tiene algun punto de

acumulacion en G], entonces f = g en toda la region G.

Recordemos que el teorema de la integral de Cauchy asegura que, si G es

una region simplemente conexa, f ∈ H(G) y Γ ⊂ G es una curva cerrada de

Jordan rectificable, entonces∮Γf = 0. La formula de la integral de Cauchy

nos dice que, en las mismas condiciones, f (n)(a) =n!

2πi

∮Γ

f(z)

(z − a)n+1dz para

todo n ≥ 0 y todo a ∈ Int (Γ), el interior geometrico de Γ.

Recordemos tambien el teorema del isomorfismo de Riemann, que afirma

que cada region simplemente conexa G = C es isomorfa al disco unidad

abierto D := z ∈ C : |z| < 1, es decir, existe una funcion f : G → D

holomorfa y biyectiva.

2.2.1. Topologıa compacta-abierta

Recordemos como se dotaba a H(G) de una topologıa natural, llama-

da topologıa de la convergencia uniforme en compactos de G o simplemente

topologıa compacta-abierta. La denotaremos por Tuc.


Partimos de un abierto G ⊂ C. Consideremos el espacio vectorial C(G) :=

funciones G→ C continuas. Los subconjuntos de la forma

V (f,K, ε) := g ∈ C(G) : |g(z)− f(z)| < ε ∀z ∈ K,

donde f ∈ C(G), ε > 0 y K es un compacto contenido en G, constituyen

una base para una topologıa sobre C(G), que es por definicion Tuc. Se verifica

que fnTuc−→n→∞

f ⇐⇒ [para cada compacto K ⊂ G, fn −→n→∞

f uniformemente

en K]. De ahı el nombre de la topologıa.

Recordemos que un espacio vectorial topologico es un espacio vectorial

X sobre K (= R o C) dotado de una topologıa tal que las aplicaciones

(x, y) ∈ X ×X 7→ x + y ∈ X y (λ, x) ∈ K×X 7→ λx ∈ X son continuas.

Un espacio localmente convexo es, por definicion, un espacio topologico cuyo

origen posee una base de entornos formada por conjuntos convexos. Un espa-

cio topologico se dice metrizable cuando su topologıa es inducida por alguna

metrica. Un espacio de Frechet es un espacio localmente convexo, metrizable

y completo. Por ejemplo, C(G) es un espacio de Frechet. Solo detallaremos

la metrizabilidad. Resulta que la aplicacion D : C(G) × C(G) → [0,+∞)

dada por

D(f, g) =∞∑n=1

1

2n∥f − g∥Kn

1 + ∥f − g∥Kn

es una metrica sobre C(G) para la cual este espacio es completo, y ademas

D genera Tuc. Aquı Kn∞n=1 es una sucesion exhaustiva de subconjuntos

compactos de G, es decir, G =∞∪n=1

Kn y Kn ⊂ Kn+1 para todo n ∈ N y, para

cada compacto K ⊂ G,

∥f∥K := max|f(z)| : z ∈ K.

Es evidente que H(G) ⊂ C(G).

Teorema 2.2.1. [Teorema de convergencia de Weierstrass]

Si fn∞n=1 ⊂ H(G) y f : G → C es una funcion tal que fn → f uni-


formemente en compactos de G, entonces f ∈ H(G) y ademas f(k)n → f (k)

(n→ ∞) uniformemente en compactos de G, para todo k ∈ N.

En particular, si sobre H(G) consideramos la topologıa inducida por Tuc,

entonces H(G) es cerrado en C(G), y por tanto es tambien un espacio de

Frechet. Sin embargo, puede probarse que ni C(G) ni H(G) son normables.

La teorıa de la compacidad de familias de funciones analıticas es suma-

mente util y se aplica, entre otras cuestiones, a la demostracion del teorema

del isomorfismo de Riemann, del teorema de Picard y del teorema de analitici-

dad de integrales parametricas con hipotesis bastante generales sobre la curva

de integracion de la funcion integrando. Vamos a recordar algunas ideas y

resultados.

Definicion 2.2.4. Si X es un espacio topologico, un subconjunto A ⊂ X se

llama relativamente compacto cuando A es compacto.

Del mismo modo, una familia F ⊂ C(G) (⊂ H(G), resp.) se dice que es

relativamente compacta cuando FTuces un subconjunto compacto de C(G)

(de H(G), resp.), es decir, cuando de cada sucesion (fn) ⊂ F puede extraerse

alguna subsucesion (fnk) tal que existe f ∈ C(G) (∈ H(G), resp.) de modo

que fnk→ f uniformemente en compactos de G.

En el espacio de las funciones continuas, la compacidad relativa esta ca-

racterizada por el teorema de Ascoli-Arzela, que estableceremos tras las si-

guientes definiciones.

Definicion 2.2.5. Sea F una familia de funciones G→ C, y sea A ⊂ G. Se

dice que F es equicontinua en A si para cada ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal

que, si z, z′ ∈ A, |z − z′| < δ y f ∈ F , entonces |f(z)− f(z′)| < ε.

Definicion 2.2.6. Sea F una familia de funciones G→ C, y sea A ⊂ G. Se

dice que F es uniformemente acotada en A si existe M =MA ∈ (0,+∞) tal

que |f(z)| ≤M para todo z ∈ A y toda funcion f ∈ F .


Teorema 2.2.2. [Teorema de Ascoli–Arzela] Si F ⊂ C(G), entonces Fes relativamente compacta si y solo si para cada compacto K ⊂ G, F es

equicontinua en K y uniformemente acotada en K.

El uso conjunto del Teorema de Ascoli-Arzela y de la formula de la integral

de Cauchy nos conduce al siguiente importante resultado.

Teorema 2.2.3. [Teorema de Montel] Sean G ⊂ C un abierto y F ⊂ H(G).

Entonces la familia F es relativamente compacta si y solo si F es uniforme-

mente acotada en cada subconjunto compacto de G.

Una combinacion del Teorema de Montel y del principio de prolongacion

analıtica prueban lo siguiente.

Teorema 2.2.4. [Teorema de Vitali] Sean G ⊂ C una region y (fn) ⊂ H(G)

una sucesion uniformemente acotada en compactos de G tal que existe S ⊂ G

con S ′ ∩ G = ∅ de modo que (fn) converge puntualmente en S. Entonces

existe una funcion f ∈ H(G) tal que fn → f (n → ∞) uniformemente en

compactos de G.

Consideremos ahora la densidad y la separabilidad. Ya que C(G) es se-

parable y es un espacio metrico, H(G) es tambien separable. Si el conjunto

de los polinomios fuese denso en H(G), el conjunto de los polinomios con

coeficientes racionales serıa un subconjunto denso y numerable de H(G).

Pero, en general, los polinomios no son densos en H(G): tomar, por ejemplo,

G = D \ 0. Una condicion para que se de la densidad del conjunto de los

polinomios, es decir, para que cada funcion holomorfa en una region pueda

aproximarse uniformemente en compactos por polinomios, la proporciona el

siguiente resultado.

Teorema 2.2.5. [Teorema de Aproximacion de Runge]

(a) Sean K ⊂ C un compacto, ε > 0, G un abierto que contiene a K,


f ∈ H(G) y A un conjunto que contiene exactamente un punto de cada com-

ponente conexa de C∞ \ K. Entonces existe una funcion racional R cuyos

polos estan en A tal que |f(z)−R(z)| < ε para todo z ∈ K.

(b) Si G ⊂ C es una region y f ∈ H(G), existe una sucesion (Rn) de fun-

ciones racionales con polos fuera de G tales que Rn → f uniformemente en

compactos en G.

(c) Si G ⊂ C es una region simplemente conexa, el conjunto de los polinomios

es denso en H(G).

2.3. Espacios de Bergman

Seguidamente vamos a estudiar un espacio de funciones analıticas en

una region G ⊂ C, el cual va a tener una topologıa estrictamente mas fuerte

que la inducida por H(G). Ademas, tal topologıa va a venir dada por su

estructura de espacio de Hilbert.

Consideremos el espacio vectorial L2(G) := f : G → C : f es medible-

Lebesgue y∫ ∫

G|f(x + iy)|2 dxdy < +∞. Gracias a la desigualdad de

Cauchy-Schwarz, se tiene que la aplicacion

(f, g) ∈ L2(G)× L2(G) 7→ ⟨f, g⟩ =∫ ∫

G

f(z) · g(z) dxdy ∈ C

esta bien definida. Ademas, si en L2(G) identificamos dos funciones cuan-

do son iguales en casi todo, se prueba facilmente que ⟨·, ·⟩ es una forma

sesquilineal (lineal en la primera variable y anti-lineal en la segunda varia-

ble) hermıtica (es decir, ⟨f, g⟩ = ⟨g, f⟩) definida positiva (esto es, ⟨f, f⟩ ≥ 0

para toda f , y se tiene que ⟨f, f⟩ = 0 si y solo si f = 0). En otras pala-

bras, ⟨·, ·⟩ es un producto escalar y L2(G) es un espacio prehilbertiano. En

particular, la aplicacion

f ∈ L2(G) 7→ ∥f∥2 := ⟨f, f⟩1/2 =( ∫ ∫

G

|f |2 dxdy)1/2 ∈ [0,+∞)


es una norma en L2(G), llamada norma cuadratica, la cual genera la distancia

d(f, g) := ∥f − g∥2, llamada la distancia cuadratica.

Vamos a tratar con las funciones de L2(G) que son analıticas en G. En

tal caso no es necesaria la identificacion de funciones hecha anteriormente en

L2(G), ya que si f y g son funciones continuas en G y f = g ect G, entonces

f ≡ g en G. Aparte de comparar las dos topologıas que surgen, estudiaremos

los sistemas ortonormales, especialmente los formados por polinomios cuando

G es acotada.

Definicion 2.3.1. Se llama espacio de Bergman de G al espacio vectorial

B2(G) := L2(G) ∩H(G).

Otra notacion es L2a(G). Al ser un subespacio vectorial tanto de H(G) co-

mo de L2(G), hereda de manera natural dos topologıas: la de la convergencia

compacta y la de la convergencia cuadratica. Por supuesto, la aplicacion ⟨·, ·⟩anterior es tambien un producto escalar sobre B2(G). El resultado siguiente

muestra la estructura de este espacio.

Teorema 2.3.1. (a) Sean f, fn ∈ B2(G) (n ∈ N) funciones tales que

fn → f (n → ∞) en media cuadratica. Entonces fn → f (n → ∞)

compactamente en G. En particular, la topologıa sobre B2(G) que deri-

va del producto escalar ⟨·, ·⟩ es mas fuerte que la que proviene de H(G).

(b) El par (B2(G), ⟨·, ·⟩) es un espacio de Hilbert.

Para realizar la demostracion de este teorema, necesitamos un lema pre-

vio, que es interesante por sı mismo.

Lema 2.3.2. SeaK ⊂ G un compacto. Entonces existe una constante α(K) ∈(0,+∞) tal que sup

K|f | ≤ α(K)∥f∥2 para toda funcion f ∈ H(G).

Demostracion. Llamemos δ(K) = 12d(K, ∂G) si G = C y δ(K) = 1 si G = C.

Fijemos un punto a ∈ K. Entonces B(a, δ(K)) ⊂ G y en esta bola la funcion


f tiene un desarrollo de Taylor uniformemente convergente, digamos f(z) =∞∑k=0

ak(z−a)k, donde a0 = f(a). Pasando a coordenadas polares, tenemos que

z− a = reiθ (0 ≤ r ≤ δ, 0 ≤ θ ≤ 2π) en dicha bola y, teniendo en cuenta que

el jacobiano de la transformacion de coordenadas polares a cartesianas es r,

resulta que

|f(z)|2 = f(z)f(z) =∞∑k=0

ak(z − a)k∞∑l=0

al(z − a)l =∞∑

k,l=0

akalrk+lei(k−l)θ.

Por tanto

∥f∥22 =∫ ∫

G

|f(z)|2 dxdy ≥∫ ∫

B(a,δ(K))

|f(z)|2 dxdy

=

∫ δ(K)

0

∫ 2π

0

r

∞∑k,l=0

akalrk+lei(k−l)θ drdθ.

En la ultima expresion podemos intercambiar la serie con la integral debido a

la convergencia uniforme de la serie de Taylor en cada bola cerrada contenida

en el disco de convergencia. Ademas, gracias al teorema de Fubini, podemos

integrar iteradamente. Observando, por ultimo, que∫ 2π

0eimθ dθ vale 2π o 0

segun que m = 0 o m ∈ Z \ 0 (respectivamente), obtenemos que

∥f∥22 ≥ 2π

∫ δ(K)

0

∞∑k=0

|ak|2r2k+1 dr = π∞∑k=0

|ak|2δ(K)2k+2

k + 1

≥ πδ(K)2|a0|2 = πδ(K)2|f(a)|2,

de lo cual inferimos que πδ(K)2|f(a)|2 ≤ ∥f∥22. Luego, para todo a ∈ K, se

tiene que |f(a)| ≤ ∥f∥2δ(K)

√π, de donde se deduce lo que queremos, sin mas que

escoger α(K) = 1δ(K)

√π. 2

Demostracion del Teorema 2.3.1. (a) Si f y fn (n ∈ N) son como en el

enunciado, entonces ∥fn − f∥2 → 0. Fijemos un compacto K ⊂ G. Debido

al lema, se tiene que supK

|fn − f | ≤ α(K)∥fn − f∥2 para todo n ∈ N, luego

supK

|fn − f | → 0. En consecuencia, fn → f compactamente en G.

(b) Sea (fn) una sucesion de Cauchy en B2(G) para la distancia cuadratica.

Por el lema, aplicado a fm− fn, tenemos que (fn) es de Cauchy en el espacio


metrico completo H(G), luego existe f ∈ H(G) tal que fn → f compacta-

mente. Por otra parte, (fn) es una sucesion de Cauchy en L2(G), que es

tambien un espacio metrico completo. Entonces existe g ∈ L2(G) tal que

∥fn− g∥2 → 0. Ahora bien, sabemos que existe una subsucesion (fnk) ⊂ (fn)

tal que fnk→ g ect G. Pero fnk

(z) → f(z) para todo z ∈ G. Por la unicidad

del limite puntual, f = g ect G, lo que implica que f ∈ L2(G) ∩ H(G) =

B2(G) y ∥fn−f∥2 = ∥fn−g∥2 → 0. Por tanto fn → f en ∥ ·∥2. Esto prueba

que B2(G) es completo. 2

Ejemplos sencillos muestran que la convergencia cuadratica es estricta-

mente mas fuerte que la convergencia uniforme en compactos, vease la seccion

de Ejercicios.

Apuntamos que B2(G) es separable, pues esta contenido en L2(G), el cual

es separable con la distancia cuadratica.

2.3.1. Ortonormalidad

Recordemos algunos conceptos y resultados sobre ortonormalidad.

Definicion 2.3.2. Supongamos que (X, ⟨·, ·⟩) es un espacio prehilbertiano.

Decimos que una sucesion φn∞n=0 ⊂ X es un sistema ortogonal si ⟨φn, φk⟩ =0 para todo n, k con n = k. Si, ademas, ∥φn∥2 = 1 para todo n ≥ 0 [equi-

valentemente, si ⟨φn, φk⟩ = δn,k para todo n, k], diremos que φn∞n=0 es un

sistema ortonormal. En este caso, si x ∈ X, los numeros ⟨x, φn⟩ se denomi-

nan los coeficientes de Fourier de x relativos a φn, mientras que la serie∞∑n=0

⟨x, φn⟩φn se llama serie de Fourier de x relativa a φn.

Un problema general es si la serie de Fourier de x converge, y si cada

vector x ∈ X es la suma cuadratica de su serie de Fourier, para un sistema

ortonormal dado φn. Todo sistema ortonormal es linealmente independien-

te y, usando el conocido metodo de ortonormalizacion de Gram–Schmidt, se


tiene que, dado un sistema linealmente independiente xn∞n=0 ⊂ X, existe

un unico sistema ortonormal φn∞n=0 tal que:

(a) Para cada n ≥ 0, φn ∈ L(xjnj=0) [por L(A) denotamos el subespacio

vectorial generado por un subconjunto A ⊂ X]. En particular, xn y

φn general el mismo subespacio vectorial.

(b) Para cada n ≥ 0, si φn = αnxn+αn−1xn−1+· · ·+α0x0, entonces αn > 0.

Definicion 2.3.3. Un subconjunto A ⊂ X se dice total cuando L(A) = X,

y se dice que es completo cuando [⟨x, a⟩ = 0 para todo a ∈ A ⇒ x = 0]. Se

dice que un sistema ortonormal φn es una base ortonormal cuando para

todo x ∈ X se tiene que∞∑n=0

⟨x, φn⟩φn = x cuadraticamente.

Recordemos el siguiente importante resultado.

Teorema 2.3.3. Sea φn∞n=0 un sistema ortonormal en un espacio de Hilbert

X. Son equivalentes:

(a) φn es total.

(b) φn es completo.

(c) φn es una base ortonormal.

(d) Para cada x ∈ X se cumple la “identidad de Parseval”∞∑n=0

|⟨x, φn⟩|2 =

∥x∥22.

2.3.2. Espacios de Bergman de regiones acotadas

Volvamos a nuestro espacio de Bergman B2(G), pero ahora en el caso

especial de que la region G es acotada. Es evidente que polinomios ⊂B2(G).


Aplicando el metodo de Gram-Schmidt al sistema libre zn∞n=0, obtene-

mos un unico sistema ortonormal Pnn≥0 de polinomios tales que grado(Pn)

= n para todo n ≥ 0 y sus coeficientes lıderes son positivos. Por el teo-

rema anterior, se tiene que Pnn≥0 es una base ortonormal de B2(G) si y

solo si el conjunto de los polinomios es denso en B2(G), ya que L(Pnn≥0) =

polinomios. Como B2(G) es un espacio de Hilbert separable, siempre tiene

una base ortonormal, pero no es seguro que posea una formada por poli-

nomios. Daremos seguidamente una sencilla condicion suficiente, de caracter

topologico, para que esto ocurra.

Definicion 2.3.4. Un dominio de Caratheodory es una region G ⊂ C simple-

mente conexa y acotada tal que ∂G = ∂G∞, donde G∞ denota la componente

conexa no acotada de C \G.

Por ejemplo D –y en general, cada region de Jordan– es un dominio de

Caratheodory; pero D \ [0, 1] no lo es, aunque es acotada y simplemente

conexa. Una “serpiente exterior” (una figura concebida como el interior de

una serpiente plana infinitamente enroscada alrededor de su huevo –mate-

rializado en el disco unidad cerrado– acercandose cada vez mas a el pero sin

llegar nunca a tocarlo) es un dominio de Caratheodory, pero no es una region

de Jordan porque su frontera divide el plano en tres regiones.

Teorema 2.3.4. [de Farrell y Markushevich] Si G es un dominio de Cara-

theodory, entonces el conjunto de los polinomios es denso en B2(G).

Demostracion. Se basa en una combinacion de los teoremas de aproximacion

de Runge, del isomorfismo de Riemann, de convergencia de Weierstrass y de

convergencia dominada de Lebesgue.

Haremos uso del siguiente hecho. Fijemos cualquier punto z0 ∈ G. En-

tonces existe una sucesion Gn∞1 de regiones de Jordan tal que G ⊂ Gn+1 ⊂Gn+1 ⊂ Gn (n ∈ N) y G es la mayor region Ω tal que z0 ∈ Ω ⊂ Gn para


todo n ∈ N. Ademas, si hn : Gn → G es el unico isomorfismo dado por el

Teorema de Riemann tal que hn(z0) = z0 y h′n(z0) > 0, entonces hn(z) −→ z

(n → ∞) compactamente en G. Luego h′n −→ 1 compactamente en G, por

el teorema de convergencia de Weierstrass.

Fijemos una funcion f ∈ B2(G) y un ε > 0. Queremos hallar un polinomio

P tal que ∥P − f∥2 < 2ε. Denotemos por fn (n ∈ N) la funcion fn : Gn → C

dada por fn(z) := f(hn(z))h′n(z), y porm la medida Lebesgue bidimensional.

Por la formula del cambio de variables, tenemos que, para cada n ∈N,

∫ ∫G|fn|2 dm =

∫ ∫hn(G)

|f |2dm ≤∫ ∫

G|f |2 dm. Por otra parte, dado un

compacto K ⊂ G, fn −→ f uniformemente en K. Luego, por el teorema de

la convergencia dominada,

lım infn→∞

∫ ∫G

|fn|2 dm ≥ lım infn→∞

∫ ∫K

|fn|2 dm =

∫ ∫K

|f |2 dm.

En consecuencia, puesto que lo anterior se cumple para cada compacto K ⊂G y

∫ ∫G|f |2 dm = sup

∫ ∫K|f |2 dm : K compacto ⊂ G, obtenemos∫ ∫

G

|f |2 dm ≤ lım infn→∞

∫ ∫G

|fn|2 dm ≤ lım supn→∞

∫ ∫G

|fn|2 dm ≤∫ ∫

G

|f |2 dm,

luego∫ ∫

G|fn|2 dm −→

∫ ∫G|f |2 dm (n→ ∞). Ya que fn → f puntualmente

en G, podemos aplicar el Ejercicio 40 del Capıtulo 1. Obtenemos que fn → f

en ∥ · ∥2. Por tanto, existe N ∈ N tal que ∥fN − f∥2 < ε.

Finalmente, observemos que G es un compacto, que G ⊂ GN = una region

simplemente conexa, y que fN ∈ H(GN). Por el Teorema de Runge, existe

un polinomio P tal que |P (z) − fN(z)| < εm(G)1/2

para todo z ∈ G. Luego

∥P − f∥2 ≤ ∥fN − f∥2 + ∥P − fN∥2 < 2ε, como se requerıa. 2

Pueden definirse espacios de Bergman mas generales, a saber:

Bp(G) := f ∈ H(G) : ∥f∥p < +∞,

donde ∥f∥p :=( ∫ ∫

G|f(z)|p dxdy

)1/p. Es decir, Bp(G) = H(G)∩Lp(G). Cada

uno de ellos es un espacio de Banach bajo la norma ∥ · ∥p. Otra notacion es


Lpa(G). En el caso G = D, estos espacios se estudian de forma muy comoda,

debido a la existencia de un desarrollo de Taylor valido en todo el disco.

Tiene ciertas ventajas el usar –y ası lo haremos– la medida de Lebesgue

normalizada dA(z) = dxdyπ

. Ası que la norma es

∥f∥p =( ∫ ∫

D|f(z)|p dA(z)

)1/p.

El siguiente resultado muestra la estructura lineal y topologica de Bp(D).

Teorema 2.3.5. Sea p ∈ [1,+∞). Se tiene:

(a) Para todo z ∈ D y toda f ∈ H(D), se verifica |f(z)| ≤ ∥f∥p(1− |z|)2

.

(b) La convergencia en Bp(D) es mas fuerte que la convergencia compacta

en D.

(c) Bp(D) es un espacio de Banach, o equivalentemente, es un subespacio

cerrado en Lp(D).

Demostracion. (a) Fijemos z ∈ D y f ∈ H(D). Gracias al teorema del valor

medio para funciones analıticas, obtenemos que f(z) = 12π

∫ 2π

0f(z + reiθ) dθ

para todo r ∈ (0, 1− |z|), lo que implica que∫ 1−|z|

0

f(z)r dr =1

2π

∫ 1−|z|

0

( ∫ 2π

0

f(z + reiθ)r dθ)dr.

Podemos usar ahora el Teorema de Fubini de integracion iterada, ası como

el cambio de variables (r, θ) 7→ (x, y). Recordemos que el jacobiano de paso

de las variables polares a cartesianas es J(x,yr,θ

) = r. En consecuencia, el

segundo miembro de la igualdad anterior entre integrales se transforma en

12

∫ ∫B(z,1−|z|) f(w) dA(w), mientras que el primer miembro vale f(z) (1−|z|)2

2.

Por tanto f(z) = 1(1−|z|)2

∫ ∫B(z,1−|z|) f(w) dA(w). De aquı y de la desigualdad

de Holder, resulta

|f(z)| ≤ 1

(1− |z|)2

∫ ∫B(z,1−|z|)

|f(w)| dA(w)


≤ 1

(1− |z|)2( ∫ ∫

B(z,1−|z|)|f(w)|p dA(w)

)1/p ≤ ∥f∥p(1− |z|)2

.

(b) Sea K ⊂ D un compacto. Entonces existe r ∈ (0, 1) tal que K ⊂ B(0, r).

Del apartado (a) deducimos que supK

|f | ≤ 1(1−r)2∥f∥p. De aquı se obtiene (b).

(c) Es muy similar a la prueba de la parte (b) del Teorema 2.3.1. 2

Anotemos que si p ∈ (1,+∞) y q es el exponente conjugado de p, entonces

el dual Bp(D)∗ de Bp(D) es isomorfo a Bq(D).

2.3.3. Funciones subarmonicas

En este apartado introducimos una clase importante de funciones auxi-

liares que nos seran utiles para conseguir algunas desigualdades satisfechas

por elementos de nuestros espacios funcionales.

Definicion 2.3.5. Sea G ⊂ C un abierto y v : G→ R una funcion continua.

Decimos que v es subarmonica en G cuando, para cada bola B(a, r) ⊂ G, se

tiene

v(a) ≤ 1

2π

∫ 2π

0

v(a+ reiθ) dθ.

Ya que las funciones armonicas cumplen la propiedad del valor medio,

se tiene que toda funcion armonica es subarmonica. A continuacion, propor-

cionaremos ejemplos no triviales de funciones subarmonicas.

Teorema 2.3.6. Supongamos que G ⊂ C es un abierto, que f ∈ H(G) y que

p ∈ (0,+∞). Entonces las funciones ln+|f | y |f |p son subarmonicas en G.

Demostracion. Es claro que las funciones ln+|f | y |f |p son continuas en

G. Fijemos una bola B(a, r) ⊂ G. Si f(a) = 0, se cumple trivialmente la

desigualdad dada en la definicion de subarmonicidad para v = ln+|f | y

v = |f |p. Ası que podemos suponer que f(a) = 0. Entonces de la formula de

Jensen dada en la Proposicion 2.4.3 (ver mas adelante) inferimos que

ln |f(a)| ≤ 1

2π

∫ 2π

0

ln |f(a+ reiθ)| dθ. [1]


Ya que ln+t ≥ ln t para todo t ≥ 0, obtenemos de [1] que ln+|f(a)| ≤12π

∫ 2π

0ln+|f(a+reiθ)| dθ, porque el primer miembro vale ln |f(a)| si |f(a)| ≥

1, y vale 0 en caso contrario. Esto muestra que ln+|f | es subarmonica. En

cuanto a la subarmonicidad de |f |p, basta aplicar a ambos miembros de [1] la

funcion creciente φ(t) := ept y considerar la desigualdad integral de Jensen

para funciones convexas (ver el Ejercicio 48 del Capıtulo 1). 2

Damos ahora una caracterizacion de la subarmonicidad, aunque solo sera

enunciada la implicacion que necesitaremos mas adelante. El termino “subar-

monica” se inspira en el resultado de este teorema.

Teorema 2.3.7. Sean G ⊂ C un abierto, v : G → R una funcion sub-

armonica, K ⊂ G un subconjunto compacto, y h : K → R una funcion

continua en K tal que h ∈ Arm(K0). Si v ≤ h en ∂K, entonces v ≤ h en

K.

Demostracion. Pongamos v1 := v − h y supongamos, por reduccion al ab-

surdo, que v1(z) > 0 para algun z ∈ K0. Ya que v1 es continua en K, v1

alcanza su maximo m en K; y ya que v1 ≤ 0 en ∂K, el conjunto E := z ∈K : v1(z) = m es un subconjunto compacto no vacıo de K0. Sea z0 ∈ ∂E.

Entonces para algun r > 0 tenemos B(z0, r) ⊂ K0, pero algun subarco de

|z − z0| = r esta en Ec. Por tanto

v1(z0) = m >1

2π

∫ 2π

0

v1(z0 + reiθ) dθ,

y esto significa que v1 no es subarmonica en K0. Pero, por el teorema del

valor medio para funciones armonicas, la funcion v − h es subarmonica en

K0, lo cual es una contradiccion. 2

Corolario 2.3.8. Si v es una funcion subarmonica en D, entonces la funcion

r ∈ [0, 1) 7→ m(r) := 12π

∫ 2π

0v(reiθ) dθ ∈ R es creciente.


Demostracion. Fijemos r1, r2 tales que 0 ≤ r1 < r2 < 1. De acuerdo con el

teorema de Schwarz que da la solucion al problema de Dirichlet, existe una

(unica) funcion continua h : B(0, r2) → R tal que h es armonica en B(0, r2)

y h = v en |z| = r2. Por el teorema anterior, v ≤ h en B(0, r2). Por tanto

m(r1) =1

2π

∫ 2π

0

v(r1eiθ) dθ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

h(r1eiθ) dθ

= h(0) =1

2π

∫ 2π

0

h(r2eiθ) dθ =

1

2π

∫ 2π

0

v(r2eiθ) dθ = m(r2),

como se querıa demostrar. 2

2.3.4. Operador de composicion

Si φ : D → D es una funcion analıtica, es facil ver que la aplicacion Cφ :

f ∈ H(D) 7→ f φ ∈ H(D) esta bien definida y es un operador sobre H(D),

es decir, es lineal y continua. Diremos que Cφ es el operador de composicion

asociado a φ. No es inmediato que Cφ sea un operador sobre Bp(D). Esto es

lo que vamos a demostrar en las siguientes lıneas.

Definicion 2.3.6. Sean f, g ∈ H(D). Se dice que f esta subordinada a g

cuando existe φ : D → D holomorfa tal que φ(0) = 0 y f = g φ.

Usaremos el siguiente resultado, debido a Littlewood, que es importante

por sı mismo. Antes de ello, recordemos que el Lema de Schwarz afirma que

si f : D → D es holomorfa y f(0) = 0, entonces |f(z)| ≤ |z| para todo z ∈ D.

Teorema 2.3.9. [Teorema de subordinacion de Littlewood]

Sean p ∈ (0,+∞) y r ∈ [0, 1). Si f esta subordinada a g, entonces∫ 2π

0

|f(reiθ)|p dθ ≤∫ 2π

0

|g(reiθ)|p dθ.

Demostracion. Por hipotesis, existe φ : D → D tal que φ ∈ H(D), φ(0) = 0

y f = g φ. Fijemos r ∈ (0, 1). Por el Teorema de Schwarz de existencia de


solucion para el problema de Dirichlet en un disco, existe h ∈ C(B(0, r)) ∩Arm(B(0, r)) tal que h||z|=r = |g|p. Ahora bien, resulta que |g(z)|p ≤ h(z)

para todo z ∈ B(0, r) porque, al ser |g| analıtica, se tiene que |g|p es sub-

armonica (Teorema 2.3.6) y podemos aplicar el Teorema 2.3.7. Por el Lema

de Schwarz, φ(B(0, r)) ⊂ B(0, r), luego |f(z)|p = |g(φ(z))|p ≤ h(φ(z)) para

todo z ∈ B(0, r). Ahora bien, h φ ∈ C(B(0, r)) ∩ Arm(B(0, r)), luego, por

la desigualdad anterior y el teorema del valor medio, deducimos

1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|p dθ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

h(φ(reiθ)) dθ = h(φ(0))

= h(0) =1

2π

∫ 2π

0

h(reiθ) dθ =1

2π

∫ 2π

0

|g(reiθ)|p dθ,

como se querıa demostrar. 2

Teorema 2.3.10. Sean φ : D → D holomorfa, p > 0 y f ∈ H(D). Entonces∫ ∫D|f(φ(z))|p dA(z) ≤

(1 + |φ(0)|1− |φ(0)|

)2 ∫ ∫D|f(z)|p dA(z).

En particular, para cada p ∈ [1,+∞), la aplicacion Cφ es un operador sobre

el espacio de Bergman Bp(D), cuya norma ∥Cφ∥ satisface

∥Cφ∥ ≤(1 + |φ(0)|1− |φ(0)|

)2/p.

Demostracion. Para cada a ∈ D, consideremos el automorfismo φa de D dado

por φa(z) =a−z1−az . Notemos que φa(a) = 0 y que φ−1

a = φa. Sea a = φ(0) y

definamos ψ como ψ := φa φ. Entonces ψ ∈ H(D), ψ(D) ⊂ D, ψ(0) = 0 y

φ = φa ψ. Por el teorema de subordinacion de Littlewood, tenemos∫ 2π

0

|f(φ(reiθ))|p dθ =∫ 2π

0

|f φa ψ(reiθ)|p dθ ≤∫ 2π

0

|f φa(reiθ)|p dθ

para cada r ∈ (0, 1). Multiplicando por r cada miembro de la desigualdad

anterior e integrando entre 0 y 1, conseguimos que∫ ∫D|f(φ(z))|p dA(z) ≤

∫ ∫D|f φa(z)|p dA(z).


Cambiamos ahora la variable en la segunda integral. Notemos que el jaco-

biano de φa (= φ−1a ) es |φ′

a(z)|2 =(1−|a|2)2|1−az|4 . Entonces∫ ∫

D|f(φ(z))|p dA(z) ≤ (1− |a|2)2

(1− |a|)4

∫ ∫D|f(z)|p dA(z)

=(1 + |a|1− |a|

)2 ∫ ∫D|f(z)|p dA(z),

como se requerıa. 2

2.4. Funciones analıticas acotadas

A continuacion, estudiaremos el espacio vectorial H∞(D) de la fun-

ciones analıticas y acotadas en D. Es un tipo especial de espacio de Hardy,

que tiene unas connotaciones algo distintas a los espacios de Hardy clasicos

Hp(D), a estudiar mas adelante. Estudiaremos en primer lugar el importante

ejemplo de los productos de Blaschke, que son productos de automorfismos

de D. Seguidamente, factorizaremos una funcion de H∞(D) como producto

de un producto de Blaschke que engloba sus ceros y de otra funcion que no

se anula pero que mantiene la norma.

Observemos primero que para una funcion f : D → C, si denotamos

M(f, r) := supθ

|f(reiθ)| (0 ≤ r < 1), entonces f ∈ H∞(D) ⇐⇒ [f ∈ H(D)

y sup0≤r<1

M(f, r) = lımr→1−

M(f, r) < +∞]. Observemos que el supremo coincide

con el lımite pues la funcion r 7→M(f, r) es creciente debido al principio del

modulo maximo.

Se tiene queH(C) = funciones enteras ( H∞(D) ( H(D). Por ejemplo,

si f(z) = 1z−1

y g(z) = 1z−2

, entonces f ∈ H(D) \ H∞(D) y g ∈ H∞(D) \H(C).

Es facil ver, usando el teorema de convergencia deWeierstrass, queH∞(D)

es un espacio de Banach cuando se le dota de la norma del supremo, dada


por ∥f∥∞ = supz∈D

|f(z)|. De hecho, es un subespacio cerrado del espacio de

Banach (Cb(D), ∥ · ∥∞) de las funciones f : D → C continuas y acotadas. Se

puede probar que H∞(D) no es separable.

2.4.1. Productos de Blaschke

Recordemos que los automorfismos de D son las transformaciones bi-

lineales de la forma eiθ z−a1−az , |a| < 1, θ ∈ R.

Definicion 2.4.1. Un producto de Blaschke finito es o bien una constante

unimodular o bien un producto finito puntual de transformaciones bilineales

del tipo anterior, es decir, una funcion de la forma f(z) = eiθN∏n=1

z−an1−anz , con

θ ∈ R, N ∈ N0 y a1, . . . , aN ∈ D.

Es evidente que f ∈ H∞(D); de hecho, |f(z)| ≤ 1 para todo z ∈ D.

Para pasar a productos de Blaschke infinitos, necesitamos condiciones sobre

el crecimiento de los ceros an y ajustar los coeficientes eiθ en cada factor.

Pero antes de enunciar un resultado que sirve para definir los productos in-

finitos de Blaschke, vamos a recordar en la siguiente proposicion algunas

propiedades sobre convergencia de productos infinitos que usaremos en la

demostracion. Por definicion, si fn : A → C (n ∈ N) es una sucesion de fun-

ciones definidas sobre un mismo subconjunto A de C, se dice que el producto

funcional infinito∞∏n=1

fn converge normalmente en A si el producto numerico

∞∏n=1

(1 + supA |fn − 1|) converge (es decir, si los productos parciales de este

convergen). La segunda parte de la proposicion es una especie de teorema de

convergencia de Weierstrass para productos infinitos.

Proposicion 2.4.1. (a) En las condiciones de la definicion anterior, se tiene

que el producto infinito∞∏n=1

fn converge normalmente en A si y solo si la serie

∞∑n=1

supA |fn − 1| es convergente. Ademas, si tal es el caso, se tiene que los


productos parciales Pn :=n∏k=1

fk (n ∈ N) convergen uniformemente en A a

una funcion f : A→ C. Esta funcion sera denotada por f =∞∏n=1

fn.

(b) Si G ⊂ C es un abierto, fn∞n=1 ⊂ H(G) y∞∏n=1

fn converge normalmente

en cada compacto K ⊂ G, entonces f :=∞∏n=1

fn ∈ H(G). Ademas, si z0 ∈ G,

entonces el orden del cero z0 para f coincide con la suma los ordenes de z0

para las fn, es decir, orden (z0, f) =∞∑n=1

orden (z0, fn).

Teorema 2.4.2. Sean k ∈ N0, α ∈ C con |α| = 1 y an∞n=1 ⊂ D \ 0 una

sucesion tal que∞∑n=1

(1− |an|) < +∞. Entonces el producto funcional infinito

B(z) := αzk∞∏n=1

|an|an

an − z

1− anz(z ∈ D)

define una funcion B ∈ H(D) tal que |B(z)| < 1 para todo z ∈ D. En

particular, B ∈ H∞(D). Ademas, sus ceros son exactamente los puntos an

(con la multiplicidad dada por el numero de veces que cada uno de ellos

aparece en la sucesion), mas el origen si k > 0.

Por definicion, un producto de Blaschke es un producto de Blaschke finito

o bien una funcion B como la descrita en el teorema anterior, asociada a una

sucesion an∞n=1 ⊂ D\0. Por tanto, una constante unimodular es tambien

un producto de Blaschke. A la sucesion vacıa se le asocia, por convenio, el

producto de Blaschke dado por la funcion constante 1.

Demostracion del Teorema 2.4.2. Supongamos probado que, para cada r ∈(0, 1), el producto converge normalmente en B(0, r). En tal caso, convergerıa

normalmente en cada compacto de D. Ya que cada factor esta enH(D) y tiene

como (unico) cero a an, resulta de la proposicion anterior que B ∈ H(D) y que

sus ceros son los especificados en el enunciado. Puesto que cada factor tiene

modulo que menor que 1 en D, lo mismo ocurrirıa con B. Ası que, fijado un


r ∈ (0, 1), basta probar la convergencia normal en B(0, r), lo cual, de nuevo

por la proposicion anterior, equivale a probar que∞∑n=1

sup|z|<r

∣∣∣1− |an|an

an−z1−anz

∣∣∣ <+∞. Para ello, fijemos z con |z| < r y observemos que∣∣∣∣1− |an|

an

an − z

1− anz

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ an + |an|z(1− anz)an

∣∣∣∣ (1− |an|) ≤1 + r

1− r(1− |an|).

Se deduce que la suma de la serie anterior es menor o igual que 1+r1−r

∞∑n=1

(1−

|an|) < +∞, luego nuestra serie tambien converge. 2

2.4.2. Teorema de factorizacion de Riesz

El siguiente resultado, conocido como Formula de Jensen, resultara muy

util para estudiar el comportamiento de los ceros y la factorizacion en los es-

pacios de Hardy. Su prueba se basa en la aplicacion del teorema del valor

medio a una funcion armonica adecuada.

Proposicion 2.4.3. Sea f ∈ H(B(0, r))\0 con f(0) = 0, y sean a1, . . . , aN

sus ceros en B(0, r), donde r ∈ (0,+∞). Entonces

|f(0)|N∏n=1

r

|an|= exp

1

2π

∫ 2π

0

ln |f(reiθ)| dθ.

Si fuese f(0) = 0 con multiplicidad m, la formula serıa la misma salvo que

hay que sustituir en el primer miembro |f(0)| por |c|rm, donde c = lımz→0

f(z)zm

,

y los a1, . . . , aN serıan los ceros no nulos de f .

En el proximo teorema, unido al Teorema 2.4.2, se afirma que una sucesion

an∞n=1 ⊂ D es la sucesion de ceros de alguna funcion analıtica y acotada

en D si solo si se cumple la condicion de convergencia para productos de

Blaschke.

Teorema 2.4.4. Sea f ∈ H∞(D)\0 y sea an∞n=1 la sucesion de ceros de

f , enumerados segun su multiplicidad. Entonces∞∑n=1

(1− |an|) < +∞.


Demostracion. Si hay un numero finito de ceros, no hay nada que probar. Si

hay un numero infinito, debe ser |an| → 1 (por el Principio de Prolongacion

Analıtica), ası que podemos suponer, con un cambio de orden y desplazamien-

to de los ındices si es preciso, que el origen es m-multiple con m ∈ N0 y que

los ceros no nulos cumplen 0 < |a1| ≤ |a2| ≤ · · · . Llamemos c := lımz→0

f(z)zm

∈C \ 0. De acuerdo con la formula de Jensen, tomando logaritmos, tenemos

para todo r ∈ (0, 1) que∑|an|<r

ln r|an| = − ln(|c|rm) + 1

2π

∫ 2π

0ln |f(reiθ)| dθ ≤ − ln(|c|rm) + C,

donde C es una constante finita, debido a que f es acotada.

Fijemos un N ∈ N. Para cada r > |aN | tenemos queN∑n=1

ln r|an| ≤ [primer

miembro de la expresion anterior] ≤ − ln(|c|rm)+C. Haciendo r → 1, resultaN∑n=1

ln 1|an| ≤M = constante ∈ (0,+∞) para todo N ∈ N, lo que implica que

la serie∞∑n=1

ln 1|an| converge. Ya que es una serie de terminos positivos, del

hecho lımt→0

ln(1+t)t

= 1 y del criterio de comparacion por paso al lımite se

deduce que∞∑n=1

(1− |an|) tambien converge. 2

Corolario 2.4.5. Si f ∈ H∞(D) y existe una sucesion an∞n=1 ⊂ ceros def tal que

∞∑n=1

(1− |an|) = +∞ entonces f ≡ 0.

Podemos decir en conclusion que si una funcion f ≡ 0 acotada tiene

infinitos ceros en D, estos deben tender rapidamente a ∂D.

Teorema 2.4.6. [Factorizacion de Riesz en H∞ por productos de Blaschke]

Sean f ∈ H∞(D) \ 0 y B el producto de Blaschke formado con los ceros

de f . Entonces existe g ∈ H∞(D) tal que g(z) = 0 para todo z ∈ D,

∥g∥∞ = ∥f∥∞ y f = g ·B.

Demostracion. Podemos suponer que f tiene infinitos ceros (si tuviese un

numero finito de ceros, la demostracion serıa similar, pero mas sencilla), y


los disponemos en sucesion, teniendo en cuenta sus multiplicidades. Recorde-

mos que el producto B es convergente porque f es acotada. Ya que B tiene

exactamente los mismos ceros que f con las mismas multiplicidades, se tiene

que g := fB∈ H(D), y no se anula en D. Evidentemente, f = g ·B. Sea Bn el

producto de Blaschke finito formado con los n primeros ceros. Como |Bn| < 1

en D, es claro que ∥gn∥∞ ≥ ∥f∥∞ para todo n ∈ N, donde gn := fBn

. Aho-

ra bien, fijado n, se tiene que lım|z|→1

|Bn(z)| = 1. Fijemos momentaneamente

r ∈ (0, 1) y ε ∈ (0, 1). Entonces existe R ∈ (r, 1) tal que |Bn(z)| > 1 − ε si

|z| = R. Por tanto, M(gn, r) ≤ M(gn, R) ≤ ∥f∥∞1−ε , de donde se deduce que

∥gn∥∞ = sup0<r<1

M(gn, r) ≤ ∥f∥∞1−ε para cada ε ∈ (0, 1). Luego ∥gn∥∞ ≤ ∥f∥∞

y, en consecuencia, ∥gn∥∞ = ∥f∥∞.

Por otra parte, como |B| < 1 en D, resulta que ∥g∥∞ ≥ ∥f∥∞. Pero

gn → g puntualmente en D y |gn(z)| ≤ ∥f∥∞ para todo n ∈ N y todo z ∈ D,

ası que |g(z)| ≤ ∥f∥∞ para todo z ∈ D, luego ∥g∥∞ ≤ ∥f∥∞, de donde

deducimos ∥g∥∞ = ∥f∥∞. 2

2.5. Espacios de Hardy

Por ultimo, versaremos sobre los espacios de Hardy sobre el disco

unidad, denotados por Hp(D) o simplemente Hp, donde p ∈ (0,+∞). Cada

espacio de Hardy de orden p se define como el conjunto Hp = f ∈ H(D) :

sup0≤r<1

Mp(f, r) < +∞, donde Mp(f, r) :=(

12π

∫ 2π

0|f(reiθ)|p dθ

)1/p.

A partir de las definiciones y de la desigualdad de Holder, se deduce con

facilidad que H∞ ⊂ Hp ⊂ Hq con 0 < q < p < +∞.

Gracias al Teorema 2.3.6 y al Corolario 2.3.8, se tiene que, para cada f ∈H(D) y cada p ∈ (0,+∞), la funcion r 7→ Mp(f, r) es creciente. Por tanto,

∥f∥p := sup0≤r<1

Mp(f, r) = lımr→1

Mp(f, r). Entonces f ∈ Hp ⇔ ∥f∥p < +∞.


Como veremos en el proximo teorema, para p ≥ 1 se tiene que Hp es, de

hecho, un espacio de Banach. Y si p = 2, es ademas un espacio de Hilbert.

Teorema 2.5.1. (a) Si p ≥ 1, la aplicacion ∥ · ∥p es una norma sobre Hp

que hace de el un espacio de Banach.

(b) Si p ≥ 1, la convergencia en Hp es mas fuerte que la convergencia

uniforme en compactos de D.

(c) Si f(z) =∞∑n=0

anzn ∈ H(D), entonces f ∈ H2 ⇔

∞∑n=0

|an|2 < +∞.

Ademas, ∥f∥2 =( ∞∑n=0

|an|2)1/2

, y H2 es un espacio de Hilbert con el

producto escalar ⟨f, g⟩ :=∞∑n=0

anbn, donde f(z) =∞∑n=0

anzn y g(z) =

∞∑n=0

bnzn.

Demostracion. Fijemos un numero p ∈ [1,+∞), una funcion f ∈ Hp y un

compacto K ⊂ D. Entonces existe r ∈ (0, 1) tal que K ⊂ B(0, r). Escojamos

R ∈ (r, 1) y llamemos Γ a la circunferencia Γ ≡ t = Reiθ, con θ ∈ [0, 2π].

Por la formula de la integral de Cauchy, se tiene que f(z) = 12πi

∮Γf(t)t−z dt

para todo z ∈ K. Entonces, si z ∈ K, se deduce para todo R ∈ (r, 1) que

|f(z)| =∣∣∣∣ 1

2πi

∫ 2π

0

f(Reiθ)Rieiθ

Reiθ − zdθ

∣∣∣∣ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|f(Reiθ)|R− r

dθ =M1(f,R)

R− r≤ ∥f∥pR− r

,

para todo R ∈ (r, 1), donde la ultima desigualdad es valida por la desigualdad

de Holder. Por tanto

supz∈K

|f(z)| ≤ ∥f∥p1− r

. [2]

De aquı se deduce (b), pues si fnn≥1 ⊂ Hp ∋ f y fn → f en Hp, entonces

supz∈K

|fn(z)− f(z)| ≤ ∥fn−f∥p1−r → 0 (n→ ∞) para cada compacto K ⊂ D.

En cuanto a (a), si f, g ∈ Hp y α ∈ C, de la igualdad |αf |p = |α|p|f |p yde la desigualdad

(a+ b)p ≤ 2p(ap + bp) (a, b ≥ 0)


resulta que αf, f + g ∈ Hp y ∥αf∥p = |α| · ∥f∥p. La desigualdad ∥f +

g∥p ≤ ∥f∥p+∥g∥p se obtiene de la desigualdad de Minkowski para integrales.

Ası que Hp es un espacio vectorial y ∥ · ∥p es una norma sobre el.

Queda probar que Hp es completo para la distancia d(f, g) := ∥f − g∥p.Fijemos pues una sucesion de Cauchy (fn) ⊂ Hp para d. Ahora bien, por

la desigualdad [2], aplicada a fm − fn (m,n ∈ N), deducimos que (fn) es de

Cauchy para la metrica que genera la topologıa de H(D), que es un espacio

metrico completo, lo que implica que existe f ∈ H(D) tal que fn → f

compactamente en D. Probemos que f ∈ Hp y que fn → f en Hp. Dado

ε > 0, podemos encontrar un N ∈ N tal que ∥fn − fm∥p < ε para todo

n,m ≥ N . Por tanto, para todo r ∈ [0, 1), y todo m,n ∈ N, se tiene que

Mp(fn − fm, r) < ε. Ya que fn → f uniformemente en |t| = r, podemos

intercambiar lımn→∞

con∫ 2π

0, de donde resulta Mp(f − fm, r) ≤ ε para cada

r ∈ [0, 1) y cada m ≥ N . Haciendo m = N , obtenemos f − fN ∈ Hp, luego

f ∈ Hp. Pero tambien obtenemos (tomando sup0≤r<1

) que ∥f − fm∥p ≤ ε para

todo m ≥ N , ası que fm → f en ∥ · ∥p.

Probemos (c). Un calculo directo, usando que |f(reiθ)|2 = f(reiθ)f(reiθ) =( ∞∑n=0

anrneinθ

)( ∞∑k=0

akrke−ikθ

), prueba queM2(f, r) =

( ∞∑n=0

|an|2r2n)1/2

. Luego

∥f∥22 =∞∑n=0

|an|2, de donde se deduce que f ∈ H2 si y solo si la ultima serie

es convergente. Por el apartado (a), H2 es completo.

Que ⟨·, ·⟩ esta bien definido se ve gracias a la desigualdad de Cauchy-

Schwarz, y es inmediato comprobar que es un producto escalar. Ası que H2

es un espacio de Hilbert. 2

En el caso p ∈ (0, 1), la aplicacion ∥ · ∥p ya no es una norma, pero Hp

sigue siendo un espacio vectorial, y ademas la aplicacion d(f, g) := ∥f − g∥ppes una distancia sobre el. Para demostrarlo, se utiliza que, para todo p ∈ (0, 1)


y todo a, b ≥ 0, se tiene (a+b)p ≤ ap+bp. Puede probarse que dicha distancia

es completa.

2.5.1. Estructura de las funciones de Hp

De modo parecido a como ocurrıa con H∞, podemos “limpiar” cada

funcion Hp de sus ceros sin aumentar la norma. Recordemos que, ya que

sup0≤r<1

∫ 2π

0ln |f(reiθ)| dθ < +∞ para toda funcion f ∈ Hp, los ceros (an) de

una funcion de Hp cumplen∑

(1− |an|) < +∞ [ver la prueba del Teorema

2.4.4], luego el correspondiente producto de Blaschke esta bien definido.

Teorema 2.5.2. [Teorema de Riesz de factorizacion en Hp por productos de

Blaschke] Sean p > 0, f ∈ Hp \ 0 y B el producto de Blaschke formado

con los ceros de f . Entonces existe g ∈ Hp tal que g no se anula, f = g ·By ∥g∥p = ∥f∥p.

Demostracion. La prueba sigue las mismas lıneas del correspondiente teo-

rema para H∞. Ası que mantenemos las notaciones del mismo. Definiendo

g = fB, se tiene que g ∈ H(D) y no se anula en D. Ya que |B| < 1, resulta

que |g| ≥ |f | en D, luego ∥g∥p ≥ ∥f∥p.

Sea ahora gn := fBn

. Fijado n ∈ N, lım|z|→1

|Bn(z)| = 1, luego |Bn(reiθ)| →

1 (r → 1−) uniformemente en θ. Por tanto ∥f∥p = lımr→1

Mp(gn · Bn, r) =

lımr→1

12π

∫ 2π

0|gn(reiθ)|p|Bn(re

iθ)|p dθ1/p

. Ahora bien, fijado ε ∈ (0, 1), existe

algun r0 = r0(ε) ∈ (0, 1) tal que |Bn(reiθ)| > 1 − ε para todo θ ∈ [0, 2π]

y todo r > r0. Luego ∥f∥p ≥ (1 − ε) lımr→1

Mp(gn, r) = (1 − ε)∥gn∥p para

cada ε ∈ (0, 1), de donde inferimos que ∥f∥p ≥ ∥gn∥p para todo n ∈ N.

Pero |gn| ≥ |f | en D porque |Bn| < 1 en D, luego ∥f∥p = ∥gn∥p para cada

n ∈ N. Ahora bien, para cada z ∈ D, |gn(z)| ↑ |g(z)|, y del teorema de la

convergencia monotona se deduce que lımn→∞

Mp(gn, r) = Mp(g, r) para cada

r ∈ (0, 1). Pero Mp(gn, r) ≤ ∥gn∥p = ∥f∥p para todo n ∈ N. Esto implica que


Mp(g, r) ≤ ∥f∥p (r ∈ (0, 1)). Tomando ahora supremos en r ∈ (0, 1), resulta

∥g∥p ≤ ∥f∥p, luego g ∈ Hp y ∥g∥p = ∥f∥p. 2

Sabemos que H∞ ⊂ Hp para cada p > 0. Vamos a ver que, de hecho,

toda funcion de Hp es el cociente de algun par de funciones holomorfas y

acotadas.

Teorema 2.5.3. [de F. y R. Nevanlinna] Sea p > 0 y f ∈ Hp. Entonces

existen φ, ψ ∈ H∞ tales que ψ no se anula en D y f = φ/ψ.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que f ≡ 0.

Tomemos r > 0 tal que f no se anula en |z| = r. Antes de seguir, observemos

que, al ser f ∈ Hp, se tiene que M := sup0≤r<1

12π

∫ 2π

0ln+ |f(reiθ)| dθ < +∞.

Fijemos r ∈ (0, 1) y sean a1, . . . , aN los ceros de f en rD. Gracias a la

formula de Poisson-Jensen (ver Ejercicio 32), se tiene para todo z ∈ rD que

f(z) = gr(z) · exp

1

2π

∫ 2π

0

ln |f(reiθ)| · reiθ + z

reiθ − zdθ

,

donde hemos denotado gr(z) = CN∏n=1

r(an−z)r2−anz , siendo C una constante de

modulo 1. Notemos que gr(z) ∈ H(rD) y que |gr| < 1 en rD. Entonces

podemos escribir en rD que f = φr/ψr, donde

φr(z) := gr(z) · exp− 1

2π

∫ 2π

0

ln− |f(reiθ)| · reiθ + z

reiθ − zdθ

y ψr(z) := exp

− 1

2π

∫ 2π

0

ln+ |f(reiθ)| · reiθ + z

reiθ − zdθ

.

Elijamos ahora una sucesion rk ↑ 1 tal que f(z) = 0 para todo z con

|z| = rk (k ∈ N). Definamos

Φk(z) := φrk(rkz) y Ψk(z) := ψrk(rkz) (z ∈ D, k ∈ N).

Entonces Φk y Ψk ∈ H(D), |Φk| ≤ 1, |Ψk| ≤ 1 en D y f(rkz) = Φk(z)Ψk(z)

para

cada z ∈ D y cada k ∈ N. Ahora bien, por el Teorema de Montel, (Φk)


y (Ψk) son familias relativamente compactas. En consecuencia, existe una

subsucesion (kj) ⊂ N, ası como funciones φ, ψ ∈ H(D), tales que Φkj → φ

y Ψkj → ψ compactamente en D. Necesariamente, |φ| ≤ 1 y |ψ| ≤ 1 en

D. Por otra parte, f(rkjz) → f(z) compactamente en D cuando k → ∞.

Para concluir que f = φψ, basta probar que ψ ≡ 0 [pues del Teorema de

Hurwitz se deducirıa que ψ(z) = 0 para todo z ∈ D]. Para verlo, observemos

que |Ψk(0)| = |ψrk(0)| = exp− 1

2π

∫ 2π

0ln+ |f(rkeiθ)| dθ

≥ e−M = constante

> 0. Como Ψkj → ψ, resulta |ψ(0)| ≥ e−M , luego ψ ≡ 0. 2

2.5.2. Integrales de Poisson-Stieltjes

Recordemos la definicion de nucleo de Poisson del disco unidad. Es

facil verificar las igualdades que aparecen en la misma. Denotemos por T la

circunferencia unidad, es decir, T = z ∈ C : |z| = 1.

Definicion 2.5.1. La funcion nucleo de Poisson se define por las igualdades

Pr(θ) :=+∞∑

n=−∞

r|n|einθ =1− r2

1 + r2 − 2r cos θ= Re

1 + reiθ

1− reiθ(0 ≤ r < 1, θ ∈ R).

Definicion 2.5.2. Sea φ : T → R una funcion tal que φ ∈ L1(T). La

transformada de Poisson o integral de Poisson de φ se define como la funcion

P [φ] : D → R dada por

P [φ](z) :=1

2π

∫ 2π

0

φ(eiθ) · Pr(θ − α) dθ para todo z = reiα ∈ D.

De teoremas conocidos de analiticidad y derivabilidad de integrales de-

pendientes de un parametro, obtenemos que P [φ] ∈ Arm(D) para cada

φ ∈ L1(T). Como caso particular, el Teorema de Schwarz, que resuelve el

Problema de Dirichlet en un disco, afirma que, dada φ ∈ C(T), se tiene que

existe una unica funcion F ∈ C(D)∩Arm(D) tal que F |T = φ, y que F viene


dada por

F (z) =

P [φ](z) si z ∈ D

φ(z) si z ∈ T.

Notemos que, si φ ∈ C(T) y µ(θ) :=∫ θ0φ(eit) dt, entonces µ ∈ C1[0, 2π] (en

particular, µ es de variacion acotada en [0, 2π]) y P [φ](z) = 12π

∫ 2π

0Pr(θ −

α) dµ(θ).

Generalicemos esta idea. Recordemos que una funcion µ : [a, b] → R es

de variacion acotada cuando existeM ∈ (0,+∞) tal que, para toda particion

t0 = a < t1 < · · · < tn = b de [a, b], se tiene quen∑k=1

|µ(tk)− µ(tk−1)| ≤M .

El conjunto de tales funciones se denota por BV [a, b], y es facil ver que es

un espacio vectorial. Recordemos algunas propiedades.


Si µ : [a, b] → R esta en BV [a, b], existen funciones µ1, µ2 : [a, b] → R

crecientes tales que µ = µ1 − µ2. En particular, BV [a, b] es la variedad

lineal generada por las funciones monotonas.

Se cumplen las siguientes relaciones de inclusion: C[a, b] ⊂ BV [a, b],

C[a, b] ⊃ BV [a, b] y C1[a, b] ⊂ BV [a, b].

Si µ ∈ BV [a, b], entonces µ es continua salvo en un conjunto nume-

rable de puntos, donde tiene discontinuidades de salto. Ademas, existe

derivada µ′(θ) ∈ R ect θ ∈ [a, b].

Definicion 2.5.3. Consideremos dos funciones f, g : [a, b] → R. Diremos

que f es Riemann-Stieltjes integrable respecto de g en [a, b] cuando existe

un numero A ∈ R con la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe una

particion P0 = P0(ε) ∈ P [a, b] tal que, para toda P = a = t0 < t1 <

· · · < tN = b ∈ P [a, b] con P ⊃ P0 y todo sistema de puntos ξk ∈ [tk−1, tk]


(k = 1, . . . , N), se tiene∣∣∣∣∣A−N∑k=1

f(ξk)(g(tk)− g(tk−1))

∣∣∣∣∣ < ε.

En tal caso, diremos que A es la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto

de g, y escribiremos∫ baf dg = A.

Es facil probar que el numero A, si existe, es unico. El conjunto de las

funciones que son Riemann-Stieltjes integrables respecto de g en [a, b] sera de-

notado por RSg[a, b].


(a) Si g(x) = x, entonces f ∈ RSg[a, b] ⇔ f ∈ R[a, b]. En tal caso,∫ b

a

f dg =

∫ b

a

f(x) dx.

(b) RSg[a, b] es un espacio vectorial. Especıficamente, si f, h ∈ RSg[a, b] y

α, β ∈ R, entonces αf + βh ∈ RSg[a, b] y∫ b

a

(αf + βh) dg = α

∫ b

a

f dg + β

∫ b

a

h dg.

(c) Si f ∈ RSg[a, b] ∩RSh[a, b] y α, β ∈ R, entonces f ∈ RSαg+βh[a, b] y∫ b

a

f d(αg + βh) = α

∫ b

a

f dg + β

∫ b

a

f dh.

(d) Si c ∈ (a, b) y f ∈ RSg[a, b], entonces f ∈ RSg[a, c] ∩RSg[c, b] y∫ b

a

f dg =

∫ c

a

f dg +

∫ b

c

f dg.

(e) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ BV [a, b], entonces f ∈ RSg[a, b].

(f) Si f ∈ BV [a, b] y g ∈ C[a, b], entonces f ∈ RSg[a, b].


(g) Es valida la formula de integracion por partes. Especıficamente, si f ∈RSg[a, b], entonces g ∈ RSf [a, b] y∫ b

a

g df = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b

a

f dg.

(h) Si f ∈ C[a, b] y g ∈ C1[a, b], entonces existe∫ baf dg =

∫ baf(x)g′(x) dx.

Definicion 2.5.4. Si µ ∈ BV [0, 2π], diremos que la funcion u = P [dµ] :

D → R dada por

u(z) =1

2π

∫ 2π

0

Pr(θ − α) dµ(θ) (z = reiα ∈ D)

es una integral de Poisson-Stieltjes.

En la siguiente proposicion se recuerdan algunas propiedades elementales

del nucleo de Poisson.

Proposicion 2.5.6. Para cada r ∈ (0, 1), la funcion Pr es positiva, par y

2π-periodica en R. Ademas, es estrictamente decreciente en [0, π] y

1

2π

∫ 2π

0

Pr(θ) dθ = 1.

Nos preguntamos cuando una funcion u ∈ Arm(D) es una integral de

Poisson-Stieltjes. La respuesta nos la dara un proximo resultado, el cual nos

dice que esto ocurre cuando las medias integrales de su modulo en circun-

ferencias concentricas estan acotadas. Pero antes necesitaremos el siguiente

lema, cuya prueba no sera dada. Que una familia de funciones fα : [a, b] → R

(α ∈ I) sea “uniformemente de variacion acotada” en [a, b] significa que cada

una de ellas es de variacion acotada en [a, b] pero que, ademas, la constante

“M” de la definicion no depende de α.

Lema 2.5.7. [Principio de seleccion de Helly] Sea µn : [a, b] → R (n ∈ N)

una sucesion uniformemente acotada de funciones uniformemente de variacion


acotada. Entonces existen una subsucesion (µnk) de (µn) y una funcion µ ∈

BV [a, b] tales que µnk→ µ puntualmente en [a, b] y, para cada funcion

φ ∈ C[a, b], se verifica que

lımk→∞

∫ b

a

φ(t) dµnk(t) =

∫ b

a

φ(t) dµ(t).

Teorema 2.5.8. [Caracterizacion de las integrales de Poisson-Stieltjes]

Sea u : D → R una funcion. Son equivalentes:

(a) u es una integral de Poisson-Stieltjes.

(b) Existen u1, u2 ∈ Arm(D) tales que u = u1 − u2 y u1, u2 ≥ 0 en D.

(c) u ∈ Arm(D) y sup0≤r<1

∫ 2π

0|u(reiθ)| dθ < +∞.

Demostracion. (a) ⇒ (b): Por hipotesis, existe µ ∈ BV [0, 2π] tal que u(z) =

12π

∫ 2π

0Pr(θ − α) dµ(θ) para todo z = reiα ∈ D. Ahora bien, existen µ1, µ2 :

[0, 2π] → R crecientes tales que µ = µ1 − µ2. Entonces u = u1 − u2, donde

uj(z) := 12π

∫ 2π

0Pr(θ − α) dµj(θ) (j = 1, 2) son armonicas, y ademas son

mayores o iguales a cero ya que Pr(θ) > 0 para todo θ.

(b) ⇒ (c): Por hipotesis, existen u1, u2 ∈ Arm(D) tales que u1, u2 ≥0 y u = u1 − u2. Por tanto, u ∈ Arm(D). Fijado r ∈ [0, 1), |u(reiθ)| ≤u1(re

iθ) + u2(reiθ) para todo θ ∈ [0, 2π]. Gracias a la propiedad del valor

medio, obtenemos que∫ 2π

0|u(reiθ)| dθ ≤ (u1(0)+u2(0))2π = constante< +∞

para cada r ∈ [0, 1).

(c) ⇒ (a): Sea u ∈ Arm(D) tal que sup0≤r<1

∫ 2π

0|u(reiθ)| dθ =: C < +∞.

Hemos de encontrar una funcion µ ∈ BV [0, 2π] tal que u = P [dµ]. Para cada

r ∈ (0, 1), definimos la funcion µr : [0, 2π] → R mediante

µr(t) :=

∫ t

0

u(reiθ) dθ.


Entonces µr(0) = 0 y, para cada particion 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 2π,

resulta que

n∑j=1

|µr(tj)− µr(tj−1)| ≤∫ 2π

0

|u(reiθ)| dθ ≤ C.

Entonces las funciones µr son uniformemente acotadas y uniformemente de

variacion acotada en [0, 2π]. De acuerdo con el lema anterior, existe una

sucesion creciente (rn) que tiende a 1 tal que µrn(t) → µ(t) para todo t ∈[0, 2π], donde µ ∈ BV [0, 2π]. Ademas, para cada φ ∈ C[0, 2π], se cumple

la igualdad integral dada en dicho lema. Si combinamos este hecho con la

formula de Poisson, obtenemos en definitiva que, para cada z = reiθ ∈ D,

u(z) = lımn→∞

u(rnz) = lımn→∞

1

2π

∫ 2π

0

Pr(θ − t)u(rneit) dt

= lımn→∞

1

2π

∫ 2π

0

Pr(θ − t) dµrn(t) =1

2π

∫ 2π

0

Pr(θ − t) dµ(t) = P [dµ](z),

como se requerıa. 2

De la prueba del teorema anterior se deduce la ası denominada repre-

sentacion integral de Herglotz : toda funcion u ∈ Arm(D) con u ≥ 0 es la

integral de Poisson-Stieltjes de alguna funcion creciente µ.

2.5.3. Existencia de lımites radiales

Utilizando el ultimo teorema demostrado, probaremos la existencia de

lımites radiales finitos f∗(eiθ) en casi todo θ ∈ [0, 2π] para cada f ∈ Hp (0 <

p ≤ +∞). Despues se vera como las correspondientes funciones f∗ tienen

propiedades adecuadas de integrabilidad y sirven para definir las normas en

los Hp.

Teorema 2.5.9. Sean u : D → R una funcion, µ ∈ BV [0, 2π], θ0 ∈ [0, 2π]

y φ ∈ L1(T). Se verifica:


(a) Si u = P [dµ] y existe µ′(θ0) ∈ R, entonces existe el limite radial

lımr→1

u(reiθ0) = µ′(θ0).

(b) Si u ∈ Arm(D) y sup0≤r<1

∫ 2π

0|u(reiθ)| dθ < +∞, entonces u tiene lımite

radial finito =: u∗(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π].

(c) Si u = P [φ], entonces existe u∗(eiθ) = φ(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π].

Demostracion. La parte (b) se deduce de (a) y del Teorema 2.5.8, ya que

una funcion de BV [0, 2π] tiene derivada finita en casi todo θ. La parte (c)

es el caso especial µ(θ) :=∫ θ0φ(eit) dt, pues en tal caso se tiene que µ es de

variacion acotada y existe µ′(θ) = φ(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π].

Probemos (a). Podemos suponer que θ0 = 0, ası que se ha de probar que

lımr→1

u(r) = A := µ′(0). Si utilizamos que 12π

∫ π−π Pr(θ) dθ = 1 y a continuacion

usamos integracion por partes, tenemos que

u(r)− A =1

2π

∫ π

−πPr(θ) dµ(θ)− A =

1

2π

∫ π

−πPr(θ) d(µ(θ)− Aθ)

=1

2π[Pr(θ)(µ(θ)− Aθ)]θ=πθ=−π −

1

2π

∫ π

−π(µ(θ)− Aθ)P ′

r(θ) dθ.

Notemos que 12π[Pr(θ)(µ(θ)− Aθ)]θ=πθ=−π → 0 cuando r → 1.

Para cada δ ∈ (0, π) fijo, resulta que |P ′r(θ)| ≤

2r(1−r2)(1−2r cos δ+r2)2

→ 0 (r → 1)

si 0 < δ ≤ |θ| ≤ π, luego

lımr→1

1

2π

∫δ≤|θ|≤π

P ′r(θ)(µ(θ)− Aθ) dθ = 0.

Esto conlleva que, para cada δ ∈ (0, 2π), u(r) = A + α(δ, r) + I(δ, r), donde

lımr→1

α(δ, r) = 0 e

I(δ, r) := − 1

2π

∫ δ

−δ(µ(θ)−Aθ)P ′

r(θ) dθ =1

π

∫ δ

0

(µ(θ)− µ(−θ)2θ

−A)θ(−P ′

r(θ)) dθ.

Dado ε > 0, escojamos δ ∈ (0, π) tal que∣∣∣µ(θ)−µ(−θ)2θ

− A∣∣∣ ≤ ε para todo θ ∈

(0, δ). Ya que cos θ es decreciente en [0, π], tenemos que Pr(θ) es decreciente


tambien, luego |P ′r(θ)| = −P ′

r(θ) en [0, π]. Y ya que P ′r(θ) es impar en [−π, π],

resulta |P ′r(θ)| = P ′

r(θ) en [−π, 0], luego |θ||P ′r(θ)| = θ(−P ′

r(θ)) en [−π, π].Por tanto, |I(δ, r)| ≤ ε

π

∫ δ0|θ||P ′

r(θ)| dθ ≤ επ

∫ π−π θ(−P

′r(θ)) dθ. Integrando por

partes, obtenemos que

|I(δ, r)| ≤ ε

π

[−θPr(θ)]θ=πθ=−π +

∫ π

−πPr(θ) dθ

=ε

π

2π

−1 + r

1 + r+ 2π

< 2ε.

Resumiendo, u(r) = A + [un termino con valor absoluto < 2ε] + α(δ, r).

Para el ε > 0 y el δ > 0 fijados, tomemos r0 ∈ (0, 1) tal que |α(δ, r)| < ε

para todo r ∈ (r0, 1). Obtenemos finalmente que |u(r) − A| < 3ε para cada

r ∈ (r0, 1), lo que implica que lımr→1

u(r) = A. 2

Vamos a ver que podemos incluso afinar la existencia de limites radiales.

Definicion 2.5.5. Se dice que una funcion f : D → C tiene limite no-

tangencial L en un punto eiθ0 ∈ T cuando

lımz→eiθ0 , z∈Sα(θ0)

f(z) = L

para todo α ∈ (0, π2), donde Sα(θ0) := z ∈ D : | arg(eiθ0 − z)| < α.

Teorema 2.5.10. [Teorema de Fatou del lımite no tangencial]

Si f ∈ H∞, entonces el lımite radial f ∗(eiθ) := lımr→1

f(reiθ) existe ect θ ∈[0, 2π]. Ademas, si θ0 es tal que existe f ∗(eiθ0), entonces f tiene lımite

no-tangencial en eiθ0 y coincide con f ∗(eiθ0).

Demostracion. Ya que f = u + iv es acotada, lo mismo ocurre con u y

v, luego estas funciones cumplen la condicion del apartado (b) del teorema

anterior. Por tanto u∗(eiθ), v∗(eiθ) existen (y son finitas porque f es acotada)

ect θ, luego existe f ∗(eiθ) (y es finita) ect θ ∈ [0, 2π]. Sea ahora t0 = eiθ ∈ T

un punto tal que existe f ∗(t0) =: L (∈ C).

Hemos de probar que, dado α ∈ (0, π2), se tiene f(z) → L (z → t0, z ∈

Sα(θ0)). Mediante una traslacion y una rotacion, podemos suponer que f ∈


H∞(B(1, 1)), de modo que existe lımx→0+

f(x) = L. Si δ ∈ (0, 1), se tiene

δB(1, 1) ⊂ B(1, 1), luego fn(z) := f(z/n)∞n=1 ⊂ H∞(B(1, 1)), ası que (fn)

es una sucesion de funciones holomorfas uniformemente acotadas en B(1, 1).

Ademas, para cada x ∈ (0, 1), la sucesion fn(x)∞n=1 converge (a L ∈ C).

Por el Teorema de Vitali, existe una funcion F ∈ H(B(1, 1)) tal que fn → F

compactamente. Pero fn → L puntualmente en (0, 1), ası que F |(0,1) ≡ L. Por

el Principio de Prolongacion Analıtica, F ≡ L en B(1, 1). Por tanto fn → L

uniformemente en cada compacto de B(1, 1), en particular en

K := z : | arg z| ≤ α ycosα

2≤ |z| ≤ cosα (⊂ B(1, 1)),

donde α ∈ (0, π/2) se ha prefijado.

Fijemos ε > 0. Hemos de probar que lımz→0, z∈Mα

f(z) = L, donde Mα :=

z ∈ B(1, 1) : | arg z| ≤ α. Es decir, se ha de demostrar que existe δ > 0 tal

que, si z ∈ B(0, δ)∩Mα, entonces |f(z)−L| < ε. Ya que f(z/n) → L (n→ ∞)

uniformemente en K, podemos encontrar un n0 ∈ N tal que |f(z) − L| < ε

para todo z ∈∪n≥n0

1nK. Por tanto, basta tomar δ > 0 tal que δ < cosα

n0. 2

Podemos ahora establecer el siguiente resultado auxiliar, que es intere-

sante por sı mismo.

Lema 2.5.11. Si B es un producto de Blaschke con ceros an (n ≥ 1) tales

que∞∑n=1

(1− |an|) < +∞,

entonces existe el lımite radial y no tangencial B∗(eiθ) ect θ ∈ [0, 2π], y

ademas |B∗(eiθ)| = 1 ect θ ∈ [0, 2π].

Demostracion. Gracias a los Teoremas 2.4.2 y 2.5.10, se tiene la primera

parte. Es obvio que |B∗(eiθ)| ≤ 1 en aquellos θ en los que existe B∗(eiθ).

Probemos que |B∗(eiθ)| ≥ 1 ect θ.


Recordemos que la funcion r ∈ [0, 1) 7→ M1(f, r) ∈ R es creciente para

cada f ∈ H(D), luego, si f ∈ H∞, del teorema de la convergencia dominada

de Lebesgue se deduce que, para cada r ∈ [0, 1),∫ 2π

0

|f(reiθ)| dθ ≤ lıms→1

∫ 2π

0

|f(seiθ)| dθ

=

∫ 2π

0

lıms→1

|f(seiθ)| dθ =∫ 2π

0

|f ∗(eiθ)| dθ.

Aplicando este resultado a f = BBn

, donde Bn es el producto de Blaschke

parcial n-esimo, y teniendo en cuenta que |B∗n(e

iθ)| ≡ 1 para todo n ∈ N,

resulta ∫ 2π

0

∣∣∣∣ B(reiθ)

Bn(reiθ)

∣∣∣∣ dθ ≤ ∫ 2π

0

|B∗(eiθ)| dθ.

PeroBn → B (n→ ∞) uniformemente en |z| = r, luego 2π ≤∫ 2π

0|B∗(eiθ)| dθ.

Por reduccion al absurdo, supongamos que existeA ⊂ [0, 2π] medible-Lebesgue

con m(A) > 0 tal que |B∗(eiθ)| < 1 para todo θ ∈ A. Entonces 2π ≤∫A|B∗(eiθ)| dθ +

∫[0,2π]\A |B

∗(eiθ)| dθ < 2π, que es claramente una contradic-

cion. 2

El teorema de representacion de los hermanos Nevanlinna permite de-

ducir propiedades de las funciones de Hp a partir de las correspondientes

propiedades de las funciones de H∞. Por ejemplo, el comportamiento fron-

terizo puede ahora analizarse.

Teorema 2.5.12. Sean p ∈ (0,+∞) y f ∈ Hp. Tenemos:

(a) El limite no tangencial f ∗(eiθ) existe y es finito ect θ.

(b) Si f ≡ 0, entonces ln |f∗| ∈ L1(T).

(c) f ∗ ∈ Lp(T).

(d) Si f ∗(eiθ) = 0 en un subconjunto A ⊂ [0, 2π] con m(A) > 0, entonces

f ≡ 0.


Notese que del apartado (d) se deduce que si f, g ∈ Hp y f ∗ = g∗ en un

conjunto de medida de Lebesgue positiva entonces f ≡ g.

Demostracion del Teorema 2.5.12. El apartado (d) se deduce de (b) por

reduccion al absurdo. Si f ≡ 0, el apartado (a) resulta evidente.

Sea f ∈ Hp \0. Probemos (a) y (b). Debido al teorema de los hermanos

Nevanlinna, existen funciones φ, ψ ∈ H∞ tales que |φ| ≤ 1, |ψ| ≤ 1 y f = φψ.

Al ser acotadas, del Teorema de Fatou se deduce que φ y ψ tienen limites no-

tangenciales finitos φ∗(eiθ) y ψ∗(eiθ) respectivamente ect θ ∈ [0, 2π]. Ahora

bien, gracias al Lema de Fatou, y teniendo en cuenta que el lımr→1

| ln |φ(reiθ)||existe de hecho ect θ ∈ [0, 2π], obtenemos∫ 2π

0

| ln |φ∗(eiθ)|| dθ =∫ 2π

0

lım infr→1

| ln |φ(reiθ)|| dθ

≤ lım infr→1

∫ 2π

0

| ln |φ((reiθ)|| dθ = lım infr→1

−∫ 2π

0

ln |φ(reiθ)| dθ.

Pero la funcion r ∈ [0, 1) 7→∫ 2π

0ln |φ(reiθ)| dθ es creciente, por la Formula

de Jensen. Luego la funcion opuesta r ∈ [0, 1) 7→ −∫ 2π

0ln |φ(reiθ)| dθ <

+∞ (≥ 0) es decreciente a un lımite necesariamente finito. Deducimos que

ln |φ∗| ∈ L1(T) y, analogamente, ln |ψ∗| ∈ L1(T). En particular, ψ∗(eiθ) = 0

ect θ ∈ [0, 2π]. Por tanto, el limite radial (y no-tangencial) f∗(eiθ) existe y

es finito ect θ, y ademas ln |f∗| ∈ L1(T) porque ln |f ∗| = ln |φ∗| − ln |ψ∗|.

En cuanto a (c), apliquemos de nuevo el Lema de Fatou, pero esta vez

a |f∗(eiθ)|p. Teniendo en cuenta que la funcion r 7→∫ 2π

0|f(reiθ)|p dθ es cre-

ciente, resulta que∫ 2π

0

|f ∗(eiθ)|p dθ2π

=

∫ 2π

0

lım infr→1

|f(reiθ)|p dθ2π

≤ lım infr→1

∫ 2π

0

|f(reiθ)|p dθ2π

= sup0≤r<1

Mp(f, r)p = ∥f∥pp < +∞.

Por tanto f∗ ∈ Lp(T), y ademas ∥f ∗∥p ≤ ∥f∥p, donde ∥f ∗∥p :=( ∫ 2π

0|f ∗(eiθ)|p dθ

2π

)1/p.

2


Hemos visto que ∥f ∗∥p ≤ ∥f∥p para f ∈ Hp. De hecho, se da la igualdad

de normas, ası como la convergencia en media cuando r → 1 de f(reiθ) a su

funcion lımite radial.

Teorema 2.5.13. [de la convergencia en media en Hp a valores frontera]

Si p ∈ (0,+∞) y f ∈ Hp, se verifica:

(a) lımr→1

∫ 2π

0|f(reiθ)− f∗(eiθ)|p dθ = 0.

(b) ∥f∥p = ∥f ∗∥p.

Demostracion. La parte (b) se deduce de (a) junto con la desigualdad de

Minkowski.

Probemos primero (a) para p = 2. Si f(z) =∞∑n=0

anzn ∈ H2, entonces

∞∑n=0

|an|2 < +∞. Aplicando el Lema de Fatou, obtenemos, para r ∈ (0, 1),

∫ 2π

0

|f(reiθ)− f∗(eiθ)|2 dθ =∫ 2π

0

lıms→1

|f(reiθ)− f(seiθ)|2 dθ

≤ lım infs→1

∫ 2π

0

|f(reiθ)− f(seiθ)|2 dθ = lım infs→1

∫ 2π

0

∣∣ ∞∑n=0

an(rn − sn)einθ

∣∣2 dθ= lım inf

s→12π

∞∑n=1

|an|2(sn − rn)2 = 2π∞∑n=1

|an|2(1− rn)2 → 0 (r → 1−),

de donde deducimos (a) si p = 2. En la tercera igualdad, hemos usado que

|w|2 = w · w y que∫ 2π

0eikθ dθ = 0 o 2π segun que, respectivamente, k = 0 o

k ∈ Z \ 0.

Sea ahora p ∈ (0,+∞) y f ∈ Hp. Por el teorema de factorizacion por

productos de Blaschke, existe g ∈ Hp sin ceros en D tal que f = B · g,donde B es el producto de Blaschke generado por los ceros de f . Ahora bien,

gp/2 ∈ H2 [por tanto se puede aplicar el apartado (b) a esta funcion] y |B| ≤ 1


(luego |g| ≥ |f |), y por el Lema 2.5.11 se tiene que |B∗| = 1 ect θ. Resulta

entonces que, cuando r → 1,∫ 2π

0

|f(reiθ)|p dθ ≤∫ 2π

0

|g(reiθ)|p dθ →∫ 2π

0

|g∗(eiθ)|p dθ =∫ 2π

0

|f ∗(eiθ)|p dθ,

luego lım supr→1

∫ 2π

0|f(reiθ)|p dθ ≤

∫ 2π

0|f ∗(eiθ)|p dθ. Gracias al Lema de Fa-

tou, obtenemos∫ 2π

0|f ∗(eiθ)|p dθ ≤ lım inf

r→1

∫ 2π

0|f(reiθ)|p dθ, lo que implica que

existe lımr→1

∫ 2π

0|f(reiθ)|p dθ =

∫ 2π

0|f∗(eiθ)|p dθ.

Fijemos, finalmente, una sucesion (rn) ⊂ (0, 1) tal que rn → 1 y aplique-

mos el Ejercicio 40 del Capıtulo 1 a la sucesion φn : [0, 2π] → C dada por

φn(θ) := f(rneiθ) (n ∈ N). Resulta que lım

n→∞

∫ 2π

0|f(rneiθ) − f∗(eiθ)|p dθ =

0 para toda sucesion (rn) como la anterior. Por tanto, lımr→1

∫ 2π

0|f(reiθ) −

f ∗(eiθ)|p dθ = 0. 2

2.5.4. Espacio de las funciones de valores frontera

Para concluir, incluimos sin demostracion algunos resultados impor-

tante. En primer lugar, las funciones deHp son representables como integrales

de Poisson y de Cauchy de sus valores en la frontera.

Teorema 2.5.14. Sean p ∈ [1,+∞] y f ∈ H(D). Entonces f ∈ Hp si y solo

si existe φ ∈ Lp(T) tal que f = P [φ]. En este caso, se verifica que φ = f ∗

en casi todo T. Por tanto, si f ∈ Hp y z ∈ D, se tiene

f(z) =1

2π

∫ 2π

0

f∗(eiθ) Reeiθ + z

eiθ − zdθ.

Ademas, para todo z ∈ D se verifica que

f(z) =1

2πi

∮|t|=1

f ∗(t)

t− zdt.

A continuacion, consideremos el espacio vectorial Hp (0 < p ≤ +∞) de

las funciones valor frontera f∗ asociadas a funciones f de Hp. Recordemos


que Hp ⊂ Lp(T), y que dos elementos de Lp(T) se identifican cuando son

iguales en casi todo t ∈ [0, 2π]. Por los dos teoremas anteriores, se tiene que,

si p ≥ 1, la aplicacion

Φ : φ ∈ Hp 7→ P [φ] ∈ Hp

es un isomorfismo algebraico [es decir, Φ es lineal y biyectiva] e isometri-

co [pues ∥f∥p = ∥f ∗∥p ]. Por tanto, si identificasemos las funciones de Hp

en Lp(T) mediante los coeficientes de Fourier, tendrıamos tambien una ca-

racterizacion de tipo Fourier de las funciones de Hp. Tenemos el siguiente

resultado, donde tambien se establece la separabilidad de Hp y la densidad

de los polinomios en Hp.

Teorema 2.5.15. Sea p ∈ (0,+∞). Se verifica:

(a) Hp es la clausura en Lp(T) del conjunto de los polinomios en eiθ.

(b) El conjunto de los polinomios es denso en Hp.

(c) Hp es separable.

(d) Sea f(z) =∞∑n=0

anzn ∈ H1, y sea

cn(f

∗) := 12π

∫ 2π

0f∗(eiθ)e−inθ dθ

n∈Z

la sucesion de coeficientes de Fourier de la funcion de valores frontera

f ∗. Entonces cn = 0 si n < 0 y cn = an si n ≥ 0.

(e) Si p ∈ [1,+∞], entonces Hp = φ ∈ Lp(T) : cn(φ) = 0 ∀n < 0.

Finalmente, anotamos que, haciendo uso del teorema de subordinacion

de Littlewood (como se hizo con los espacios de Bergman), se puede obtener

el siguiente resultado sobre operadores de composicion en espacios de Hardy.

Teorema 2.5.16. Si p ∈ (0,+∞] y φ ∈ H(D) es tal que φ(D) ⊂ D,

entonces el operador de composicion

Cφ : f 7→ f φ


es un operador sobre Hp, es decir, Cφ(Hp) ⊂ Hp y la aplicacion Cφ : Hp →

Hp es lineal y continua. De hecho, si p ≥ 1 y ∥Cφ∥ es la norma de Cφ

como elemento de L(Hp), entonces

∥Cφ∥ ≤(1 + |φ(0)|1− |φ(0)|

)1/p

.

Ejercicios

1. Demostrar que D(f, g) :=∞∑n=1

12n

∥f−g∥Kn

1+∥f−g∥Kndefine una metrica comple-

ta en C(G), con G ⊂ C abierto y (Kn) una sucesion exhaustiva de

compactos de G. Probar que fnD→

n→∞f si y solo si fn →

n→∞f uniforme-

mente en compactos de G, y que la topologıa que define D en C(G)

coincide con la generada por los conjuntos V (f,K, ε) := g ∈ C(G) :

|g(z) − f(z)| < ε ∀z ∈ K, donde K es un subconjunto compacto de

G, f ∈ C(G) y ε > 0.

2. Sea G una region de C y K ⊂ G un compacto.

(a) Demostrar que ∥ · ∥K es una seminorma en C(G) y en H(G).

(b) Probar que ∥ · ∥K nunca es una norma en C(G).

(c) Si K es infinito, demuestrese que ∥ · ∥K es una norma en H(G).

3. Probar que ni C(G) ni H(G) son normables, donde G ⊂ C es una

region. Es decir, para X = C(G) o H(G), no existe una norma que

genere la topologıa Tuc sobre X. Indicacion: Para H(G), utilizar el

teorema de Runge.

4. Demostrar que, si fn, f ∈ C(G), entonces fn → f (en Tuc) ⇐⇒ [∀a ∈G, ∃ abierto U ⊂ G con a ∈ U tal que fn → f uniformemente en


U ]. Esto justifica que Tuc tambien se denomine la “topologıa de la

convergencia uniforme local”.

5. ¿Es la familia F = f ∈ H(D) : f(0) = 0, f ′(0) = 1 relativamente

compacta en H(D)?

6. Sean a = (an), b = (bn) dos sucesiones en (0,+∞), de modo que an ↑ 1.

Demostrar que la familia

Fa,b := f ∈ H(D) : |f(0)| ≤ 1 y sup|z|=an

|f ′(z)| ≤ bn ∀n ∈ N

es relativamente compacta en H(D).

7. Si F ⊂ H(G) es relativamente compacta, probar que cada familia Fk :=

f (k) : f ∈ F (k ∈ N) es relativamente compacta. ¿Es cierto el

recıproco?

8. Sea G ⊂ C una region y consideremos la familia F = f ∈ H(G) :∫ ∫G|f(x + iy)| dxdy ≤ 1. Demostrar que F es compacta en H(G).

Indicacion: Fijar una bola cerrada B(a, r) ⊂ G, integrar sobre ella,

pasar a coordenadas polares y usar el teorema de valor medio.

9. Si G ⊂ C es una region multiplemente conexa probar que el conjunto

de los polinomios no es denso en H(G).

10. Probar que B2(D) =f(z) =

∞∑k=0

akzk ∈ H(D) :

∞∑k=0

|ak|2k+1

< +∞.

11. Demostrar que B2(C) = 0.

12. Demostrar que la bola unidad de B2(G) para la distancia cuadratica

(es decir, el conjunto U = f ∈ H(G) : ∥f∥2 < 1) es relativamente

compacta en H(G).


13. Consideremos el conjunto A(D) := f ∈ C(D) : f ∈ H(D), denomi-

nado el algebra del disco. Si definimos ∥f∥∞ := supz∈D

|f(z)|, probar que

A(D) [dotado de las operaciones suma (+), producto por escalares (·) yproducto puntual (⊙)], es un algebra de Banach conmutativa, es decir:

(a) (A(D),+, ·) es un espacio vectorial.

(b) (A(D),+,⊙) es un anillo unitario y conmutativo.

(c) (A(D),+, ·, ∥ · ∥∞) es un espacio normado completo.

(d) α · (f ⊙ g) = (α · f)⊙ g = f ⊙ (α · g) ∀α ∈ C y ∀f, g ∈ A(D).

(e) ∥f ⊙ g∥∞ ≤ ∥f∥∞ · ∥g∥∞ ∀f, g ∈ A(D).

14. Probar que, si f ∈ H(D), entonces f ∈ B2(D) ⇔ (1 − |z|2)f ′(z) ∈L2(D).

15. Sean φ : D → D holomorfa con φ(0) = 0, p ∈ [1,+∞) y Cφ : X → X

el operador de composicion asociado a φ, donde X es cualquiera de los

espacios Bp(D) o Hp(D). Probar que ∥Cφ∥ = 1.

16. Construir, para B2(D), una base ortonormal formada por polinomios.

17. Demostrar que el conjunto de los polinomios no es denso en B2(D \[0, 1]). Indicacion: Considerar una determinacion continua de

√z.

18. Demostrar que la sucesion fn(z) = nzn (n ∈ N) converge uniforme-

mente en compactos en D, pero no cuadraticamente. Lo mismo para la

sucesion gn(z) =√n+ 1 zn (n ∈ N).

19. Demostrar quefn(z) =

1−zn1−z

n≥1

⊂ B2(D) y que (fn) converge com-

pactamente en D a una funcion que no esta en B2(D).

20. Demostrar que las funciones fn(z) =√

nπz−n−1 (n = 1, 2, . . .) forman

una base ortonormal para B2(G), donde G = z ∈ C : |z| > 1.


21. Sea f entera con |f(0)| = 1, y llamemos n(r) al numero de ceros,

contando las multiplicidades, de f en B(0, r) (r > 0). Demostrar que

n(r) ≤ lnM(er), donde M(r) = sup|f(z)| : |z| = r.Indicacion: Usar la formula de Jensen.

22. Si φ es un producto de Blaschke finito, demostrar que lım|z|→1

|φ(z)| = 1.

23. Sea (an) la sucesion de ceros de una funcion f ∈ H(D)\0, enumerados

segun su multiplicidad. Demostrar que

∞∑n=1

(1− |an|) < +∞ ⇐⇒ sup0≤r<1

∫ 2π

0

ln |f(reiθ)| dθ < +∞.

Indicacion: Ver los pasos del Teorema 2.4.4.

24. Se define el espacio de Bloch como el conjunto B := f ∈ H(D) :

supz∈D

(1− |z|2)|f ′(z)| < +∞. Demostrar:

(a) B es un espacio de Banach con la norma ∥f∥ = |f(0)| + supz∈D

(1 −

|z|2)|f ′(z)|. Indicacion: Usar la formula de Gauss-Barrow para f(z)−f(0) e integrar radialmente.

(b) Demostrar que H∞ ⊂ B. Indicacion: Usar el lema de Schwarz-Pick,

que afirma que si f ∈ H(D) y f(D) ⊂ D, entonces∣∣∣ f(z)−f(w)1−f(z)f(w)

∣∣∣ ≤ ∣∣ z−w1−zw

∣∣para todo z, w ∈ D.

(c) Probar que la funcion f(z) := logp(1−z) ∈ B\H∞ y que la funcion

g(z) := (logp(1− z))2 ∈ H(D) \ B. Aquı logp denota el valor principal

del logaritmo.

25. Sean f, g ∈ H∞ tales que f(n−1n) = g(n−1

n) para todo n ∈ N. Probar

que f ≡ g.

26. Demostrar que1

1− z∈( ∩0<p<1

Hp)\H1.


27. Si φ : [0, 2π] → [0,+∞) es medible, se define el supremo esencial de

φ como ess supφ = ınfM ∈ (0,+∞) : φ(θ) < M ect θ ∈ [0, 2π]. Sif ∈ H∞, demostrar que ∥f∥∞ = ess sup |f∗|.

28. (a) Probar la identidad de Littlewood-Paley: Si f ∈ H2, entonces

∥f∥22 = |f(0)|2 + 1π

∫ ∫D |f

′(z)|2 ln 1|z|2 dxdy.

(b) Deducir que el producto escalar en H2 viene dado por

⟨f, g⟩ = f(0)g(0) + 1π

∫ ∫D f

′(z)g′(z) ln 1|z|2 dxdy.

Indicacion: Usar la conocida “identidad de polarizacion”,

⟨f, g⟩ = 14(∥f + g∥22 − ∥f − g∥22 + i∥f + ig∥22 − i∥f − ig∥22),

valida en cualquier espacio prehilbertiano sobre C.

29. Sean p > 0 y f ∈ Hp. Denotemos por B el producto de Blaschke

formado con los ceros de f . Demostrar:

(a) Si |z| = r < 1, entonces |f(z)| ≤ ∥f∥p(1−r)

1p.

(b) Existen f1, f2 ∈ Hp tales que f1 y f2 no tienen ceros en D, f =

f1 + f2 y ∥fi∥p ≤ ∥f∥p (i = 1, 2).

(c) [Factorizacion por funciones de H2] Si f ≡ 0, entonces existe

h ∈ H2 que no se anula en D tal que f = B ·h2/p. En consecuencia,

deducir que una funcion F esta en H1 si y solo si existen g, h ∈ H2

tales que F = g · h.

30. Sea f ∈ H(D) con Re f(z) > 0 para todo z ∈ D, y sea g(z) = 1+z1−z .

(a) Probar que, si f(0) = 1, entonces f esta subordinada a g.

(b) Sea p ∈ (0, 1). Probar que g ∈ Hp y que, asimismo, f ∈ Hp.

31. Sea f ∈ H(D) tal que lımr→1

∫ 2π

0| ln |f(reiθ)|| dθ = 0. Demostrar que f

es un producto de Blaschke. Indicacion: Usar el Teorema 2.3.6 y el

Corolario 2.3.8.


32. Demostrar la formula de Poisson-Jensen dada en la prueba del teorema

de los hermanos Nevanlinna (Teorema 2.5.3). Indicacion: Aplicar la

formula de Poisson a la funcion ln |F |, que es armonica en rD y continua

en rD, donde F (z) := f(z) ·N∏n=1

r2−anzr(an−z) .

33. Demostrar el Teorema 2.5.16.

34. Si |an| ≥ 1, para infinitos n ∈ N, demostrar que∞∑n=0

anzn ∈ H1.

Indicacion: Usar el Lema de Riemann-Lebesgue, el cual afirma que

si φ : [0, 2π] → R es una funcion Lebesgue-integrable, entonces

lımn→∞∫ 2π

0φ(x) sen(nx+ a) dx = 0 para todo a ∈ R.

35. Construir una funcion f(z) =∞∑n=0

anzn ∈ H(D) con

∞∑n=0

|an| < +∞ pero

tal que f ′ ∈ H1. Indicacion: Usar el Ejercicio 34.

36. Denotemos por Π+ el semiplano superior abierto z ∈ C : Im z > 0.Sea f ∈ H(Π+) acotada con la propiedad de que existe una sucesion

znn≥1 ⊂ Π+ tal que∞∑n=1

Im zn1 + |zn|2

< +∞ de modo que f(zn) = 0

para todo n ∈ N. Demostrar que f ≡ 0.

Bibliografıa

Existe una abundante bibliografıa introductoria a la teorıa de la medida

y a la teorıa de espacios de funciones analıticas. Los libros que a continuacion

se enumeran constituyen solo una pequena parte. Cada uno de ellos ha si-

do usado en la elaboracion de alguna o algunas secciones de estos apuntes.

Por supuesto, todos contienen mucho mas material adicional, material que

puede ayudar al estudiante tanto a profundizar en la teorıa dada aquı como

a introducirse en temas nuevos.

M. Guzman y B. Rubio, Integracion: Teorıa y Tecnicas, Alhambra,

Madrid, 1979.

A.N.K. Kolmogorov y S.V. Fomin, Elementos de la teorıa de funciones

y del analisis funcional, Mir, Moscu, 1975.

A. Markushevich, Teorıa de las funciones analıticas, 2 vols., Mir, Moscu,

1987.

O.A. Nielsen, An introduction to Integration and Measure Theory, John

Wiley and Sons, New York, 1997.

W. Rudin, Analisis real y complejo, 3a ed., MacGraw-Hill, Madrid,

1988.

K. Zhu,Operator Theory in Function Spaces, Marcel Dekker, New York,

1990.

115

an alisis real y complejo. an alisis funcionalpersonal.us.es/lbernal/php/activos/pdf/master.pdf ·...

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