ANALISA NUMERIKTAMTOYO, M.T

1. Pengantar Analisa Numerik2. Akar-akar Persamaan Non Linier3. Sistem Persamaan Aljabar Linier4. Interpolasi5. Regresi (Curve Fiting)6. Defferensial7. Integral8. Persamaan Deferensial Biasa

Reff:Steven C. Chapra, Raymond P. Canale”Numerical Methods for Engineers”, McGraw Hill,

PENGANTAR

Kerap kali banyak permasalahan engineering tidak dapat diselesaikan secara analitis/matematis.

Contoh :• Menghitung integral• Mencari akar-akar persamaan Non-Linier.• Menentukan persamaan polinomial yang paling mewakili

dari sejumlah data yang besar (masalah Estimasi).• dll

Mengitung integral

takonscdxx

cxL tan.....................

)sin(10

10

Mencari akar persamaan

xexy 2

Akar persamaan

Masalah estimasi

Fungsi estimasi

Metode NumerikTeknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat deselesaikan dengan operasi aritmatika sederhana.

Analisa NumerikAnalisa terhadap beberapa metode numerik yang digunakan dalam menyelesaikan masalah sehingga diperoleh metode yang lebih baik.

Solusi Analitik Vs. Solusi Numerik• Penyelesaian masalah secara analitik memberikan hasil

eksak/pasti.• Penyelesaian masalah secara numerik memberikan hasil

pendekatan.• Seringkali permasalahan tidak bisa diselesaikan secara analitis,

sehingga diperlukan metoda lain yaitu metode Numerik.

Contoh-1 :Seorang penerjun dengan massa 68.100gr meloncat dari sebuah pesawat terbang. Hitung kecepatanya setelah 2, 4, 6, 8, 10 detik kemudian, jika diketahui koefisien gesekan udara 12.500 gr/det dan percepatan grafitasi adalah 980 cm/det2..

Model Matematika

Hukum Newton:

maF

dt

dva

dt

dvmF

FU

FD

Gerak Penerjun Bebas :

UD FFF

mgFD cvFU

cvmgdt

dvm

vm

cg

dt

dv

Solusi Analitik Solusi Numerik

tetv )100.68/500.12(1500.12

100.68980)(

5,640.11500.12

100.68980)2( 2)100.68/500.12( ev

t v(t)-Analitik V(t)-Numerik

0 0,0 0,0

2 1.640,5 1.960,0

4 2.776,9 3.200,5

6 3.564,2 3.985,6

8 4.109,5 4.482,5

10 4.487,3 4.796,9

∞ 5.339,0 5.339,0

ii

ii

tt

tvtv

t

v

dt

dv

1

1 )()(

vm

cg

dt

dv

tmcec

gmtv )/(1)(

)()()(

1

1i

ii

ii tvm

cg

tt

tvtv

)()()()( 11 iiiii tttvm

cgtvtv

0,960.1)2()0(100.68

500.129800)2(

v

0)(....0 tvdant

dtvm

cgdv )(

Analitik Vs Numerik

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 2 4 6 8 10 12

t

v(t)Analitik

Numerik

Perbandingan Perhitungan secara Analitik dengan Metode Numerik

Seberapa besar peredaan/kesalahan dapat ditolerir..?

Aproksimasi & Kesalahan (Galat)

Angka SignifikanBanyaknya digit tertentu yang dapat dipakai dengan meyakinkan.

0,00001845 0,0001845 0,001845 mempunyai 4 angka signifikan4,53 x 104 mempunyai 3 angka signifikan4,530 x 104 mempunyai 4 angka signifikan4,5300 x 104 mempunyai 5 angka signifikan

Definisi KesalahanKesalahan numerik timbul dari penggunaan aproksimasi untukmenyatakan operasi dan besaran matematika yang eksak/pasti.

Harga Sebenarnya = Aproksimasi + Kesalahan

Kesalahan (Et) :

Et = Harga Sebenarnya - Aproksimasi

Kesalahan Relatif Persen Sebenarnya (et)

et = (Kesalahan / Harga Sebenarnya ) * 100 %

Contoh-2 :Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cmHasil pengukuran sebuah paku = 9 cmJika nilai sebenarnya berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, HitungKesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuran diatas.

Kesalahan:

Jembatan : Et = 10.000 – 9.999= 1 cm

Paku : Et = 10 – 9 = 1 cm

Kesalahan relatif:Jembatan : et = 1/10.000 * 100%= 0,01%Paku : et = 1/10 * 100% = 10%

Kesimpulan :“Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku”

Kesalahan Relatif Persen Aproksimasi (ea)

ea = (Kesalahan Aproksimasi / Aproksimasi ) * 100 % = (Aproksimasi sekarang - Aproksimasi sebelumnya) /

Aproksimasi sekarang * 100 %

Pada proses iterasi, iterasi dihentikan jika telah memenuhi kondisi

|ea| < es

Dimana es = tingkat kesalahan yang masih dapat diterima

Hubungan es dengan angka signifikan

es = (0,5 * 102-n) %

Contoh : (Taksiran Kesalahan Metode Iterasi):

Dalam matematika fungsi-fungsi dapat dinyatakan dalam deret tak hingga. Jadi, jika lebih banyak suku ditambahkan kedalam deret maka aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik. Misal ingin menaksir nilai ex, dengan x=0,5 mengunakan pendekatan deret, menggunakan 3 angka signifikan (e0,5 = 1.648721271)

...!4!3!2

1432

xxx

xex

Taksiran ke-1

1xe

15,0 e %3,39%100*648721271,1

1648721271,1

te

Taksiran ke-2

xex 1

5,15,015,0 e %02,9%100*648721271,1

5,1648721271,1

te

Kesalahan Pembulatan (round-off error)Kesalahan yang terjadi karena komputer hanya dapat menyatakan

besaran-besaran dalam sejumlah digit terbatas.

Contoh : (Pengaruh Kesalahan Pembulatan pada Kasus Penerjun):

waktuKecepatan (Angka signifikan)

3 4 5 6

0 0 0 0,0 0,0

2 1.960 1.960 1.960,0 1.960,00

4 3.200 3.200 3.200,4 3.200,46

6 3.980 3.985 3.985,5 3.985,54

8 4.470 4.482 4.482,3 4.482,41

10 4.480 4.796 4.796,8 4.796,88

12 4.980 4.995 4.995,8 4.995,91

Kesalahan Pemotongan (truncation error)Kesalahan yang terjadi dari kenyataan bahwa metode numerik

memberlakukan suatu aproksimasi untuk menyatakan pengoperationdan besaran-besaran matematika yang pasti.

Theorema Taylor : Jika f(x) mempunyai n+1 turunan kontinyu pada interval [a,b], untuk n ≥ 0 dan x, x0 [a,b], maka :

)()()( 1 xRxpxf nn

Deret Taylor

)(!

)(.....)(

!1

)()()( 0

00

100 xf

n

xxxf

xxxfxp n

n

n

)()!1(

)()( 1

10

1

nn

n fn

xxxR

dimana :

, untuk antara x0 dan x

• Deret taylor menjadi konsep dasar dalam pengembangan metode numerik.• Beberapa metode aproksimasi merupakan pemenggalan dari deret ini.• Deret Taylor merupakan model aproksimasiterhadap suatu fungsi f(x).• Deret Taylor menyediakan sarana untuk memprediksi nilai fungsi pada satu

titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunan-turunanya pada titik lain.

Contoh : Diketahui f(x) = ln(x), Tentukan fungsi aproksimasi linier p1(x) dan kuadratik p2(x) pada x0=1.Gunakan p1(x) dan p2(x) untuk menghitung ln(1.5) = ?

Contoh : (Pendekatan Deret Tailor dari suatu Polinomial):

Tentukan deret tailor orde ke 0 s/d 4 fungsi berikutf(x) = -0,1x4 - 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2

pada x=0, untuk memprediksi nilai fungsi pada x=1 ( f(x=1) = ? )

Turunan suatu fungsi secara numerik diaproksimasi dengan menggunakan deret Taylor. Ada 3 aproksimasi yang bisa digunakan:

)()()(

)( 1' hOh

xfxfxf iii

Deferensial Numerik

1. Aproksimasi Beda Terbagi Hingga Maju Pertama (Orde O(h))

)()()(

)( 1' hOh

xfxfxf iii

)(2

)()()( 211' hO

h

xfxfxf iii

2. Aproksimasi Beda Terbagi Hingga Mundur Pertama (Orde O(h))

3. Aproksimasi Beda Terbagi Hingga Terpusat Pertama (Orde O(h2))

Contoh-1:Taksirlah turunan pertama fungsi f(x) dibawah ini dengan aproksimasi beda maju, mundur dan aproksimasi beda terpusat.

f(x) = -0,1x4 + 0,15x3 – 0,5x2 – 0,25x + 1,2

Pada x=0.5, dengan ukuran langkah h=0.5Hitung juga untuk h=0.25

Contoh-2:Jarak suatu perjalanan dari kota A ke kota B dinyatakan oleh fungsi D(t)

terhadap t, yang dinyatakan dalam tabel dibawah.

a. Tentukan kecepatan pada t=10, yaitu V(10) turunan numerik Aproksimasi beda terbagi pusat orde (h2).

b. Jika jarak dinyatakan dengan persamaan D(t) = -70 + 7t + 70 e(-t/10)

Tentukan kecepatan pada t=10, yaitu V(10)c. Bandingkan jawab a dan b

t 8 9 10 11 12

D(t) 17.453 21.460 25.752 30.301 35.084