analisis de variable real - facultad de ciencias ...victorms/analisis_de_variable_real.pdfg) 4n+1 +...

ANALISIS DE VARIABLE REAL

Vıctor Manuel Sanchez de los Reyes

Departamento de Analisis MatematicoUniversidad Complutense de Madrid

Indice

1. Los numeros reales, sucesiones y series 7

1.1. Los numeros naturales. Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Los numeros enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4. Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1. Expresion decimal de los numeros racionales . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2. Los numeros irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3. Ordenacion. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4. Supremo e ınfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.5. Construcciones con numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.6. El teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.7. Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.8. Lımites superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.9. La propiedad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1. Comparacion de series de terminos positivos . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.3. Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.4. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5.5. Producto de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

2. Funciones, lımites y continuidad 39

2.1. Funciones reales de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Derivacion 51

3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Tecnicas para el calculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Propiedades de las funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1. Maximos y mınimos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3.3. Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor . . . . . . . . . 60

3.3.4. Analisis local de una funcion derivable . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4. Integracion 67

4.1. Calculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3. El teorema fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Aplicaciones de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.1. Longitud de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.2. Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revolucion . . . . . . . 80

4.5.3. Las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5.4. Las funciones logarıtmica y exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5. Sucesiones y series de funciones 85

5.1. Convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4

5.3. Propiedades de la funcion lımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.1. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.2. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.3. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Bibliografıa 97

5

Tema 1

Los numeros reales, sucesiones yseries

1.1. Los numeros naturales. Induccion

Definicion 1.1.1. Los numeros naturales son los numeros 1, 2, 3, . . . y N designa a la

coleccion de todos ellos.

Los axiomas de Peano constituyen una caracterizacion de N:

1. En N hay un elemento distinguido, 1.

2. Para cada n ∈ N esta definido en N de manera unica el siguiente de n, n+, que

verifica n+ 6= 1.

3. n+ = m+ implica que n = m.

4. (Principio de induccion matematica) Si un subconjunto A de N verifica que 1 ∈ Ay, si k ∈ A, resulta tambien que k+ ∈ A, entonces A = N.

Definicion 1.1.2. Para definir la suma en N se procede ası: se fija un elemento arbitrario

n ∈ N y se trata de definir n + m cuando m recorre N. Para ello se define n + 1 = n+

y n + m+ = (n + m)+. De forma analoga, las relaciones n · 1 = n y n ·m+ = n ·m + n

sirven para definir el producto. Por otra parte, n > m significa que n = m+d para algun

d ∈ N, y en estas circunstancias d se designa n−m, y se llama diferencia de n a m.

El principio de induccion nos sirve para establecer que una determinada propiedad

P (n) es verdadera para todo n ∈ N, de la forma siguiente:

1. Comprobamos que P (1) es verdadera.

7

2. Probamos que si P (k) es verdadera, entonces P (k + 1) es verdadera.

En general, fijado n0 ∈ N, podemos establecer que una propiedad P (n) es verdadera

para cada n ≥ n0 cuando se cumple:

1. P (n0) es verdadera.

2. Si P (k) es verdadera (k ≥ n0), entonces P (k + 1) es verdadera.

O bien:

1. P (n0) es verdadera.

2. Si P (i) es verdadera para cada i tal que n0 ≤ i ≤ k, entonces P (k+1) es verdadera.

Definicion 1.1.3. Dado n ∈ N se define el factorial de n como

n! = n(n− 1)(n− 2) · · · 2 · 1.

Definicion 1.1.4. Dados n ∈ N y k ∈ N ∪ {0} con k ≤ n se define el numero combi-

natorio(nk

)como (

n

k

)=

n!

k!(n− k)!

con la convencion 0! = 1.

Los numeros combinatorios tienen las dos propiedades siguientes cuya comprobacion

es inmediata a partir de la definicion anterior:

1.(nk

)=(

nn−k

).

2.(n+1k

)=(nk−1

)+(nk

)con 0 < k ≤ n.

A partir de la propiedad anterior se demuestra por induccion la formula de Newton:

Teorema 1.1.5. Dado n ∈ N se tiene que (a+ b)n =n∑k=0

(nk

)an−kbk.

Ejercicios

1. Calcula la suma de:

a) Los n primeros numeros naturales.

b) Los n primeros numeros impares.

8

c) Los n primeros cubos.

d) Los n primeros cuadrados.

e) Las potencias con exponente p ∈ N de los n primeros numeros naturales.

f ) Las potencias con exponente p ∈ N de los n primeros numeros impares.

2. Prueba por induccion las siguientes igualdades y desigualdades, siendo en todos los

casos n ∈ N:

a) sen x2(senx+ sen 2x+ · · ·+ sennx) = sen nx

2sen (n+1)x

2.

b) sen x2[1 + 2(cos x+ cos 2x+ · · ·+ cosnx)] = sen

(n+ 1

2

)x.

c) sen x2(cosx+ cos 2x+ · · ·+ cosnx) = sen nx

2cos (n+1)x

2.

d) sen x2

[sen x

2+ sen

(1 + 1

2

)x+ · · ·+ sen

(n+ 1

2

)x]

= sen2 (n+1)x2

.

e) 1 + n2≤ 1 + 1

2+ 1

3+ · · ·+ 1

2n≤ n+ 1.

f ) (1 + a)n ≥ 1 + an, siendo a > −1.

g) 22n > n2.

h) 2143· · · 2n

2n−1 >√

2n+ 1.

i)(nk

)xk−

(nk+1

)xk+1 + · · ·+(−1)n−k

(nn

)xn ≥ 0, siendo 0 ≤ x ≤ 1 y k = 0, 1, . . . , n.

j ) n(1 + x)n−1 =(n1

)+(n2

)2x+ · · ·+

(nn

)nxn−1.

k) n(n− 1)(1 + x)n−2 =(n2

)2 +

(n3

)3 · 2x+ · · ·+

(nn

)n(n− 1)xn−2, siendo n ≥ 2.

l)n∑k=1

k2k = 2 + (n− 1)2n+1.

m) 2n ≤ (n+ 1)!.

n) 11·2 + 1

2·3 + · · ·+ 1n(n+1)

= nn+1

.

n) 13

+ 115

+ · · ·+ 14n2−1 = n

2n+1.

3. Demuestra que xn = 1√5

[(1+√5

2

)n−(

1−√5

2

)n]∈ N para todo n ∈ N.

4. Prueba que para todo n ∈ N:

a) 22n + 15n− 1 es multiplo de 9.

b) 5n − 1 es multiplo de 4.

c) 7n − 6n− 1 es multiplo de 36.

d) n5 − n es multiplo de 5.

e) 11n+2 + 122n+1 es multiplo de 133.

f ) 22n+1 + 1 es multiplo de 3.

9

g) 4n+1 + 52n−1 es multiplo de 21.

h) 106n+2 + 103n+1 + 1 es multiplo de 111.

5. Demuestra que cualquier numero de botellas mayor que 7 se puede envasar en bolsas

de 3 y 5 botellas.

1.2. Los numeros enteros y racionales

Se trata ahora de obtener el conjunto Z de los numeros enteros apoyandose en el ya

conocido N. Al par ordenado (a, b) de numeros naturales se asocia el entero positivo a− bsi a > b, 0 si a = b y el entero negativo −(b − a) si a < b. Se observa ası que a pares

distintos puede asociarse el mismo numero entero n. Precisamente, se establece que la

coleccion de tales pares constituye la identidad de n.

Definicion 1.2.1. Las definiciones de suma, producto y ordenacion en Z son las

siguientes:

1. (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d).

2. (a, b) · (c, d) = (ac+ bd, bc+ ad).

3. (a, b) > (c, d) significa que a+ d > b+ c.

Observacion 1.2.2. Estas definiciones coinciden con las de N cuando se trata de ente-

ros positivos y son independientes de la eleccion del par ordenado que representa a cada

numero.

A cada par ordenado (a, b) con b 6= 0 de numeros enteros se asocia la fraccion ab.

Definicion 1.2.3. La suma y el producto de fracciones se define mediante

a

b+c

d=ad+ bc

bd

ya

b

c

d=ac

bd.

La fraccion ab

se llama positiva si ab > 0, siendo positiva la suma y el producto de

fracciones positivas. Que dos fracciones ab

y a′

b′son equivalentes significa que ab′ = a′b. La

coleccion de todas las fracciones que son equivalentes entre sı se llama numero racional,

y el conjunto de todos ellos se designa por Q.

10

Observacion 1.2.4. En las definiciones de suma y producto de dos fracciones la susti-

tucion de un termino por una fraccion equivalente produce un resultado equivalente. Por

esta razon, se establecen con tales definiciones la suma y el producto de numeros racio-

nales. Asimismo, las fracciones equivalentes a una positiva lo son tambien, el numero

correspondiente se llama positivo, y la coleccion de todos ellos se designa por Q+. Que

x ∈ Q+ se denota tambien x > 0.

Por otra parte, si una fraccion ab

es tal que existe un entero n que verifica a = bn,

entonces cualquier fraccion a′

b′equivalente a a

bverifica tambien que a′ = b′n. En estas

circunstancias el numero racional correspondiente se identifica con n, y de esta forma se

puede considerar que Z ⊂ Q. Tambien resulta que las definiciones que se han establecido

en Q coinciden con las de Z cuando se refieren a los elementos de Q que se identifican

con los enteros.

Las propiedades de la suma, el producto y la ordenacion en Q son las siguientes:

1. Propiedad asociativa de la suma: (x+ y) + z = x+ (y + z).

2. Propiedad conmutativa de la suma: x+ y = y + x.

3. x + 0 = x y x + (−x) = 0 (−x se llama opuesto de x, y esta definido por −ab

si ab

representa a x. El numero x + (−y) se designa tambien x − y y es el unico z que

verifica x = y + z).

4. Propiedad asociativa del producto: (xy)z = x(yz).

5. Propiedad conmutativa del producto: xy = yx.

6. x1 = x y xx−1 = 1 si x 6= 0 (x−1 se llama inverso de x, y esta definido por ba

si ab

representa a x. El numero xy−1 con y 6= 0 se designa tambien x : y y es el unico z

tal que x = yz).

7. Propiedad distributiva: x(y + z) = xy + xz.

8. Cada x ∈ Q verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y −x > 0 (el

valor absoluto de x, |x|, se define ası: |0| = 0, y si x 6= 0, |x| es el unico numero

positivo del conjunto {x,−x}).

9. Si x, y > 0, entonces x+ y > 0.

10. Si x, y > 0, entoces xy > 0.

11. (Consecuencia de 8) Dados x, y ∈ Q, se verifica una y solo una de las relaciones

x > y, x = y y x < y (x > y (o y < x) significa x− y > 0).

11

12. (Consecuencia de 9) Propiedad transitiva del orden: si x > y e y > z, entonces

x > z.

13. Si x > y, entonces x+ z > y + z.

14. (Consecuencia de 10) Si x > y y z > 0, entonces xz > yz.

El valor absoluto tiene las siguientes propiedades:

1. |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

2. |xy| = |x||y|.

3. (Consecuencia de 1) |x+ y| ≥ |x| − |y|.

Finalmente, se verifica tambien la llamada propiedad arquimediana: dados x > 0 y

n ∈ N, existe m ∈ N tal que mx > n.

Definicion 1.2.5. Dos conjuntos infinitos tienen el mismo cardinal si se puede establecer

entre ellos una biyeccion. Los conjuntos que tienen el mismo cardinal que N se llaman

numerables.

Ejemplo 1.2.6. Q es numerable.

En efecto, basta con ordenar Q de la siguiente forma:

0

1,1

1,−1

1,1

2,−1

2,2

1,−2

1,1

3,−1

3,3

1,−3

1,1

4,−1

4,2

3,−2

3,3

2,−3

2,4

1,−4

1, · · · .

Ejercicios

1. Establece una biyeccion entre N y el conjunto A = {x ∈ Q : 2 < x < 3}.

2. Demuestra que no existe x ∈ Q tal que x2 = 2.

3. Sean x, y ∈ Q+ tales que√x+√y ∈ Q. Prueba que

√x,√y ∈ Q.

4. Averigua si log4 5 ∈ Q.

1.3. Sucesiones y series

Hay muchos procesos que llevan a asociar a cada n ∈ N un determinado numero xn y

se obtiene ası un objeto x1, x2, x3, . . . , xn, . . . llamado sucesion.

12

La mayor parte de las veces una sucesion se determina mediante una formula para

obtener xn a partir de n. Por ejemplo: xn =(1 + 1

n

)n. Otras veces se indica que numero

es x1 y que formula permite obtener cada uno de los demas a partir del anterior. Por

ejemplo: x1 = 2, xn+1 = 12

(xn + 2

xn

). En general se llama sucesion recurrente a aquella

en la que, a partir de alguno de sus terminos, todos se obtienen mediante una formula

(de recurrencia) que los relaciona con uno o varios terminos precedentes. Es necesario

entonces indicar explıcitamente los primeros terminos y utilizar la formula a partir del

siguiente.

No es necesario enumerar los terminos de una sucesion a partir de 1. Puede hacerse a

partir de n0 ∈ N, a partir de 0, etc.

Definicion 1.3.1. Se dice que una sucesion xn es creciente (estrictamente crecien-

te) si xn ≤ xn+1 (xn < xn+1) para todo n ∈ N y que es decreciente (estrictamente

decreciente) si xn ≥ xn+1 (xn > xn+1) para todo n ∈ N. Todos estos tipos de sucesiones

se denominan sucesiones monotonas.

Definicion 1.3.2. Una sucesion xn esta acotada superiormente (inferiormente)

si existe un numero A tal que xn ≤ A (xn ≥ A) para todo n ∈ N. Se dice entonces

que A es una cota superior (inferior) de la sucesion. Si xn esta acotada superior e

inferiormente se dice que esta acotada.

La observacion de una sucesion creciente y acotada superiormente nos sugiere que

existe un numero x al cual los terminos de la sucesion se acercan cada vez mas, llegando

a estar tan proximos a el como se pueda desear.

Definicion 1.3.3. Se dice que el numero x es el lımite de la sucesion xn o que xnconverge a x y se expresa mediante

lımn→∞

xn = x

si para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n ∈ N con n ≥ n0 se tiene que |xn−x| <ε. Se dice entonces que xn es convergente. Las sucesiones que no son convergentes se

denominan divergentes.

Definicion 1.3.4. Se dice que la sucesion xn tiene lımite +∞ y se expresa mediante

lımn→∞

xn = +∞

si para todo A > 0 existe n0 ∈ N tal que para todo n ∈ N con n ≥ n0 se tiene que xn > A.

Analogamente se define que la sucesion xn tiene lımite −∞.

Definicion 1.3.5. Dada la sucesion an, se dice que s es la suma de la serie∞∑n=1

an si la

sucesion de sumas parciales

sk =k∑

n=1

an

13

con k ∈ N, converge a s. Se dice entonces que dicha serie es convergente. Si la sucesion

de sumas parciales es divergente, se dice que la serie es divergente.

Ejercicios

1. Demuestra que xn = 1n

+ 1n+1

+ 1n+2

+· · ·+ 1n+n

es decreciente y que todos los terminos

de la sucesion son menores que 2.

2. Se considera la sucesion xn dada por x1 = 1 y xn+1 = 13xn + 4. Demuestra que

xn < 6 para todo n ∈ N y que xn es creciente.

3. Sea la sucesion xn dada por x1 = 32

y xn+1 = 2 − 1xn

. Demuestra que 1 ≤ xn ≤ 2

para todo n ∈ N y que xn es decreciente.

4. Determina el lımite de cada una de las sucesiones siguientes:

a) xn = n+100n2+1

.

b) xn = 2n+13n+500

.

c) xn = 1 + 12

+ 13

+ · · ·+ 1n.

d) xn = 2n2+5n−13n3+2n+1

.

e) xn = n3−n2−1100n2+25

.

f ) xn = 3n3+1002n3−100 .

5. Estudia la convergencia de:

a) 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .

b) xn = [1 + (−1)n] 12n

+ [1 + (−1)n+1]n2.

6. Demuestra que las siguientes sucesiones son monotonas, acotadas y no tienen lımite

racional:

a) x1 = 2, xn+1 = 12

(xn + 2

xn

).

b) xn = 10!

+ 11!

+ 12!

+ · · ·+ 1n!

.


a)∞∑n=1

(−1)n.

b)∞∑n=1

1n.

c) La serie geometrica∞∑n=0

atn.

14

d)∞∑n=1

1√n.

e)∞∑n=0

3n+1−2n−3

4n.

8. Demuestra que, dado k ∈ N, todas las sumas parciales de la serie∞∑

n=k+1

1n!

son

menores que 1k!k

.

9. Demuestra que todas las sumas parciales de la serie∞∑n=1

1n2 son menores que 2.

10. Dada la sucesion xn = 1n

+ 1n+1

+ 1n+2

+· · ·+ 1n+n

, calcula los cuatro primeros terminos

de una serie cuyas primeras sumas parciales sean los cuatro primeros terminos de

xn.

1.4. Los numeros reales

1.4.1. Expresion decimal de los numeros racionales

Nos vamos a referir solamente a fracciones pq

tales que 0 < p < q ya que cualquier otra

fraccion es la suma de un entero y una fraccion de ese tipo.

El proceso de las divisiones sucesivas correspondiente a pq

se puede describir ası:

pq

= 10pq

10−1 =(a1 + r1

q

)10−1

= 0.a1 + 10r1q

10−2 = 0.a1 +(a2 + r2

q

)10−2

= 0.a1a2 + 10r2q

10−3 = 0.a1a2 +(a3 + r3

q

)10−3

= 0.a1a2a3 + r3q

10−3 = · · ·

Los restos sucesivos rn son todos menores que el divisor q, por lo cual, o bien se llega a

un resto 0 y el proceso se termina, o bien se tiene que repetir alguno de los restos en las q

primeras divisiones, y a partir de ahı el proceso es periodico. Los cocientes an son enteros

no negativos menores que 10.

Observacion 1.4.1. La aplicacion de este proceso a dos fracciones equivalentes produce

la misma sucesion de cocientes. Esto significa que tal sucesion viene determinada unıvo-

camente por un numero racional.

Por tanto, el proceso de las divisiones sucesivas determina una representacion periodica

0.a1a2 . . . arar+1ar+2 . . . ar+sar+s+1 . . .

15

en la que a partir de alguna posicion un bloque de cifras (perıodo) empieza a repetirse,

es decir, ar+s+1 = ar+1, etc.

Dicha representacion infinita la interpretamos como la serie

∞∑n=1

an10−n

cuya suma parcial n-esima es 0.a1a2 . . . an. Ya que

p

q= 0.a1a2 . . . an +

rnq

10−n

y 0 ≤ rn < q para cada n ∈ N resulta

0 ≤ p

q− 0.a1a2 . . . an < 10−n

y esto prueba que la suma de la serie es pq

cuya representacion decimal es la de partida

salvo que esta tuviera perıodo 9. De aquı se deduce que dos numeros racionales distintos

no pueden tener la misma representacion decimal.

Definicion 1.4.2. El mayor entero menor o igual que x ∈ Q se denomina parte entera

de x, y se designa por [x].

Observacion 1.4.3. Dado x ∈ Q, x − [x] es un numero racional no negativo y menor

que 1.

1.4.2. Los numeros irracionales

Definicion 1.4.4. Las expresiones decimales no periodicas las denominaremos numeros

irracionales.

Ejemplos 1.4.5.

1. Consideremos la sucesion xn del primer apartado del Ejercicio 6 de la seccion an-

terior con lımite irracional x. Ya que x2n converge a 2, se tiene que x2 = 2 debido a

que |x2n − x2| = |xn + x||xn − x| < 4|xn − x|. Por tanto, x =√

2. Usando que

|xn −√

2| = |x2n − 2||xn +

√2|<

1

2n

para todo n ≥ 3 podemos aproximar√

2 con tantas cifras decimales exactas como

se quiera.

2. Al lımite irracional x de la sucesion xn del segundo apartado del Ejercicio 6 de la

seccion anterior se le designa por e. Usando el Ejercicio 8 de la seccion anterior

podemos aproximar e con tantas cifras decimales exactas como queramos.

16

3. La relacion entre la longitud de una circunferencia y la de su diametro es un numero

irracional 3,141592 . . . que se designa por π.

Definicion 1.4.6. Los numeros racionales y los irracionales constituyen el conjunto Rde los numeros reales.

1.4.3. Ordenacion. Intervalos

La ordenacion de R se establece en los siguientes terminos:

Definicion 1.4.7. x > y (o y < x) significa que [x] > [y], o bien [x] = [y] y en la

primera posicion en la que difieren las cifras de las partes decimales es mayor la cifra

correspondiente a x. Que x es positivo significa que x > 0, y R+ designa al conjunto de

los numeros reales positivos. La relacion x ≥ y (o y ≤ x) significa que x > y o bien x = y.

Observacion 1.4.8. Sea x ∈ R con parte decimal 0.a1a2a3 . . .. Las sumas parciales de

la serie [x] +∞∑n=1

an10−n constituyen la sucesion creciente de numeros racionales xn =

[x] + 0.a1a2a3 . . . an la cual esta acotada inferiormente por [x] y superiormente por x, y

ademas converge a x, es decir, x es la suma de dicha serie.

Definicion 1.4.9. Dados a, b ∈ R con a < b se definen los intervalos acotados de

extremos a y b de la siguiente forma:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}

El primero se denomina intervalo abierto, y el segundo, cerrado. El numero positivo

b− a se denomina longitud de cada uno de ellos.

Definicion 1.4.10. Dado a ∈ R se definen los intervalos no acotados de la siguiente

forma:(a,+∞) = {x ∈ R : x > a}[a,+∞) = {x ∈ R : x ≥ a}(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}

(−∞,+∞) = R

Dado n ∈ Z, consideremos el intervalo [n, n + 1). Los diez intervalos disjuntos de la

forma [n+ k 10−1, n+ (k + 1)10−1) con 0 ≤ k ≤ 9 se denominan intervalos de la primera

generacion. Pertenecer al mismo intervalo de la primera generacion significa tener igual

la primera cifra decimal ademas de la parte entera. Cada uno de los intervalos de la

17

primera generacion lo dividimos en diez intervalos de la segunda generacion (los numeros

del mismo intervalo coinciden en las dos primeras cifras decimales) y ası sucesivamente.

Cualquier numero de [n, n+1) esta determinado si se conocen los intervalos de las sucesivas

generaciones a los que pertenece, pues ello equivale a conocer todas las cifras decimales

del mismo.

Observacion 1.4.11. No puede suceder que los intervalos de las sucesivas generaciones

a los que un determinado numero pertenece tengan el mismo extremo derecho desde uno

de ellos en adelante, pues entonces tal numero tiene perıodo 9.

Definicion 1.4.12. Dados A,B conjuntos infinitos, se dice que el cardinal de B es mayor

que el de A si existe una aplicacion inyectiva de A en B y no existe una biyeccion de A

en B.

Ejemplo 1.4.13. El cardinal de cualquier intervalo de numeros reales es mayor que el

de N.

En efecto, sean (a, b) ⊂ R con [a] = [b], ak la primera cifra decimal de a menor que la

correspondiente de b y ai la primera cifra decimal de a con i > k menor que 9. Definimos

una aplicacion inyectiva f de N en (a, b) mediante

f(n) = [a] + 0.a1a2 . . . ai−1 + (ai + 1)10−i + 10−i−1 + 10−i−2 + · · ·+ 10−i−n

con n ∈ N. Si [a] < [b], ai es la primera cifra decimal de a menor que 9.

Y cualquier aplicacion inyectiva f de N en (a, b) no es sobreyectiva ya que basta

considerar un numero de (a, b) que difiera en alguna cifra decimal con f(n) para todo

n ∈ N.

1.4.4. Supremo e ınfimo

Definicion 1.4.14. Sea A ⊂ R, A 6= ∅. Un numero mayor (menor) o igual que cada

elemento de A se llama cota superior (inferior) de A. Cuando A tiene cota superior

(inferior) se dice que esta acotado superiormente (inferiormente). Cuando suceden

ambas cosas se dice que esta acotado.

Si A esta acotado superiormente (inferiormente), puede haber un elemento maximo

(mınimo) que se designa maxA (mınA) y que es mayor (menor) o igual que todos los

demas.

Observacion 1.4.15. No todos los conjuntos acotados tienen maximo y mınimo. Por

ejemplo, (0, 1).

Definicion 1.4.16. Sea A ⊂ R, A 6= ∅. Se definen el supremo y el ınfimo de A

mediante

supA = mın{C ∈ R : x ≤ C ∀x ∈ A}

18

e

ınf A = max{c ∈ R : x ≥ c ∀x ∈ A}.

Observacion 1.4.17. El intervalo [ınf A, supA] contiene a A y cualquier intervalo ce-

rrado contenido en este y distinto de el no contiene a A.

Teorema 1.4.18 (Teorema del supremo (ınfimo)). Sea A ⊂ R, A 6= ∅ y acotado supe-

riormente (inferiormente). Entonces existe supA (ınf A).

Demostracion. Sea s el mınimo entero cota superior de A. Si s ∈ A, entonces s = supA.

En otro caso, [s− 1, s) ∩A 6= ∅. Los demas elementos de A carecen de interes en orden a

obtener el supremo. Consideramos la descomposicion de [s−1, s) en los diez intervalos de

la primera generacion y elegimos de ellos el situado mas a la derecha entre los que tienen

elementos de A. Dividimos este en los diez intervalos de la segunda generacion y elegimos

otra vez el situado mas a la derecha entre los que tienen elementos de A. Ası continuamos

indefinidamente. Los intervalos de las sucesivas generaciones que se han ido encontrando,

o bien definen un numero que pertenece a todos y es claramente supA, o bien desde uno

en adelante todos tienen el mismo extremo derecho, el cual es supA.

La prueba para ınf A se hace con un procedimiento analogo.

Observacion 1.4.19. Los terminos supremo e ınfimo se usan tambien para referirse a

conjuntos A no acotados superiormente (supA = +∞) o inferiormente (ınf A = −∞).

Observacion 1.4.20. El supremo y el ınfimo de una sucesion se designan supn∈N

xn e ınfn∈N

xn

y son, respectivamente, el supremo y el ınfimo del conjunto constituido por los numeros

que son algunos de sus terminos.

Observacion 1.4.21. El supremo de una sucesion creciente es su lımite, al igual que el

ınfimo de una decreciente.

1.4.5. Construcciones con numeros reales

Definicion 1.4.22. Dados x, y ∈ R con partes enteras a0 y b0 y partes decimales 0.a1a2 . . .

y 0.b1b2 . . . respectivamente, se define la suma x+y como el lımite de la sucesion creciente

y acotada superiormente (por ejemplo, por a0 +b0 +2) a0 +b0 +0.a1a2 . . . an+0.b1b2 . . . bn.

Si x+ y = 0, o bien y = −x, se dice que y es el opuesto de x (y x el opuesto de y). La

suma x+ (−y) se expresa tambien de la forma x− y.

Definicion 1.4.23. El valor absoluto de x ∈ R, |x|, se define ası: |0| = 0, y si x 6= 0, |x|es el unico numero positivo del conjunto {x,−x}.

Observacion 1.4.24. Puesto que −(−x) = x, resulta que | − x| = |x|. Por otra parte, la

relacion |x| < ε es equivalente a x < ε y −x < ε, y lo mismo puede decirse de la relacion

|x| ≤ ε.

19

Proposicion 1.4.25.

1. (Desigualdad triangular) Si x, y ∈ R, entonces |x+ y| ≤ |x|+ |y|.

2. Si x, y ∈ R, entonces |x+ y| ≥ |x| − |y|.

3. Toda sucesion convergente esta acotada.

4. Si lımn→∞

xn = x y lımn→∞

yn = y, entonces lımn→∞

(xn + yn) = x+ y y lımn→∞

(−xn) = −x.

Demostracion.

1. Basta usar la observacion anterior y considerar los cuatro casos posibles, es decir,

x, y ≥ 0, y < 0 ≤ x, x < 0 ≤ y y x, y < 0.

2. Sustituyendo en la desigualdad triangular x por x−y y despues y por −y se obtiene

dicha desigualdad.

3. Basta usar la desigualdad triangular.

4. Idem.

Definicion 1.4.26. Dados x, y ∈ R con partes enteras a0 y b0 y partes decimales 0.a1a2 . . .

y 0.b1b2 . . . respectivamente, se define el producto xy como el lımite de la sucesion a0b0 +

a0 0.b1b2 . . . bn + b0 0.a1a2 . . . an + 0.a1a2 . . . an 0.b1b2 . . . bn. Observese que los tres ultimos

sumandos constituyen sucesiones monotonas y acotadas, luego convergentes.

Proposicion 1.4.27.

1. Si x, y ∈ R, entonces |xy| = |x||y|.

2. Si lımn→∞



(xnyn) = xy.

3. Para cada x ∈ R con x 6= 0 existe su inverso x−1 que verifica xx−1 = 1.

4. Si lımn→∞

xn = x 6= 0 y xn 6= 0 para todo ∈ N, entonces lımn→∞

x−1n = x−1.

5. Si lımn→∞

xn = x, lımn→∞

yn = y y xn ≤ yn para todo n ∈ N, entonces x ≤ y.

6. (Metodo del sandwich para calcular el lımite de una sucesion xn) Si yn ≤ xn ≤ znpara todo n ∈ N y lım

n→∞yn = lım

n→∞zn = x, entonces lım

n→∞xn = x. En particular, si

y ≤ xn ≤ z para todo n ∈ N y lımn→∞

xn = x, entonces y ≤ x ≤ z.

20

Demostracion.

1. Trivial.

2. Basta usar que xnyn− xy = xnyn− xyn + xyn− xy, la desigualdad triangular y que

toda sucesion convergente esta acotada.

3. Si a0 y 0.a1a2 . . . son las partes entera y decimal de x, existen δ ∈ Q+ y n0 ∈ Ntales que |a0 + 0.a1a2 . . . an| > δ si n ≥ n0. La sucesion de numeros racionales

(a0 + 0.a1a2 . . . an)−1 con n ≥ n0 es monotona y acotada luego convergente a y. Ya

que las sucesiones xn = a0 + 0.a1a2 . . . an e yn = x−1n con n ≥ n0 convergen a x e

y respectivamente, la sucesion xnyn converge a xy, pero como xnyn = 1 para todo

n ≥ n0 se tiene que xy = 1, es decir, y es el inverso de x.

4. Esto se prueba usando que |xn| > |x|2

a partir de cierto termino lo cual se tiene en

virtud de que ||x| − |y|| ≤ |x− y| con x, y ∈ R.

5. Por reduccion al absurdo.

6. Basta usar 5.

Observacion 1.4.28. Si lımn→∞


yn = y y xn < yn para todo n ∈ N, entonces

no necesariamente x < y. Considerese por ejemplo xn = 1n

e yn = 2n

.

Definicion 1.4.29. Las potencias con exponente entero de x ∈ R se definen ası: x0 = 1,

xn+1 = xnx con n ≥ 0, y x−n = (x−1)n con n ∈ N.

Proposicion 1.4.30.

1. Si x ∈ R y m,n ∈ Z, entonces xn+m = xnxm y (xn)m = xnm.

2. Si x, y > 0 y n ∈ N, entonces x > y si y solo si xn > yn.

3. Si lımn→∞

xn = x, entonces lımn→∞

xmn = xm con m ∈ N.

4. Dados n ∈ N, n ≥ 2, y a > 0 existe un unico x > 0 tal que xn = a, el cual se

designa n√a y se llama raız n-esima de a.

Demostracion.

1. Trivial.

2. Basta usar que xn − yn = (x− y)(xn−1 + xn−2y + · · ·+ yn−1).

21

3. Se obtiene aplicando reiteradamente que el lımite de un producto de sucesiones

convergentes es el producto de sus lımites.

4. Sea A = {x ∈ R+ : xn ≤ a} 6= ∅ ya que lımn→∞

1n

= 0. Tambien A esta acotado

superiormente por 1 si a ≤ 1 o por a si a > 1 con lo que existe supA = x.

Supongamos que xn < a y sea

0 < δ < mın

{1, (a− xn)

((n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2 + · · ·+

(n

n

))−1}.

Usando la formula de Newton se tiene que

(x+ δ)n < xn + δ

((n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2 + · · ·+

(n

n

))< a

lo cual contradice que supA = x. Consideremos ahora cualquier sucesion xm estric-

tamente creciente de numeros positivos y que converja a x. Para cada m ∈ N se

tiene que xm < x y existe algun elemento de A entre xm y x con lo que xm ∈ A y,

por tanto, xn = lımm→∞

xnm ≤ a, es decir, xn = a. La unicidad es consecuencia de la

descomposicion en factores de xn − yn anterior.

Definicion 1.4.31. Las potencias con exponente racional de a > 0 se definen ası: amn =

n√am y a−

mn = (a−1)

mn con m,n ∈ N. Si a > 1, las potencias crecen al hacerlo el exponente

y lımn→∞

an = +∞ y lımn→∞

a−n = 0. Y si a < 1, las potencias decrecen al crecer el exponente

y lımn→∞

an = 0 y lımn→∞

a−n = +∞. Si x tiene parte entera a0 y parte decimal 0.a1a2 . . ., se

define ax como el lımite de la sucesion monotona y acotada aa0+0.a1a2...an. Si ax = y, a x

se le llama logaritmo en base a de y, loga y.

De las construcciones hechas se llega a la siguiente caracterizacion axiomatica de R:

1. R es un conjunto en el que se han definido la suma y el producto de dos elementos,

verificando dichas operaciones las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva

de la suma respecto del producto. Existen elementos neutros (0 para la suma y 1

para el producto), para cada x ∈ R existe −x tal que x+(−x) = 0 (opuesto) y para

cada x 6= 0 existe x−1 tal que xx−1 = 1 (inverso).

2. Cada x ∈ R verifica una y solo una de las relaciones x > 0, x = 0 y −x > 0. Y si

x, y > 0, entonces x+ y, xy > 0.

3. (Propiedad del supremo) Si A ⊂ R, A 6= ∅ y esta acotado, entonces existe supA.

La propiedad arquimediana es una consecuencia de estos axiomas:

22

Proposicion 1.4.32 (Propiedad arquimediana). Dados x, y ∈ R con x > 0, existe n ∈ Ntal que nx > y.

Demostracion. Sea A = {nx : n ∈ N}. Si nx ≤ y para todo n ∈ N, A estarıa acotado

y existirıa supA. Por tanto, existirıa n0 ∈ N tal que supA − x < n0x lo cual es una

contradiccion.

1.4.6. El teorema de Bolzano-Weierstrass

Dos sucesiones an y bn creciente y decreciente respectivamente y tales que an < bn para

todo n ∈ N definen la sucesion de intervalos [an, bn] cada uno de los cuales contiene al

siguiente por lo que se llaman intervalos encajados. Ambas sucesiones son convergentes

a a y b respectivamente por ser monotonas y acotadas, verificandose a ≤ b y siendo a = b

si lımn→∞

(bn − an) = 0. La interseccion de dichos intervalos es [a, b].

Teorema 1.4.33 (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Sea A ⊂ R infinito y acotado. Existe

x ∈ R y una sucesion xn cuyos terminos pertenecen a A y son distintos dos a dos tales

que lımn→∞

xn = x.

Demostracion. Por ser acotado, A ⊂ [a1, b1]. Sea c1 = a1+b12

. Alguno de los intervalos

[a1, c1] y [c1, b1] debe contener infinitos elementos de A. Lo designamos [a2, b2]. Y ası

sucesivamente. Existe un unico x ∈ R que pertenece a todos los intervalos encajados

[an, bn] pues lımn→∞

(bn − an) = 0. Eligiendo en cada intervalo [an, bn] un elemento xn de A

distintos dos a dos obtenemos una sucesion con la propiedad requerida.

Al numero x del teorema anterior se le llama punto de acumulacion de A lo cual

se define de la siguiente forma: x ∈ R es punto de acumulacion de A ⊂ R si para cada

intervalo abierto al que pertenece x tambien pertenece algun elemento de A distinto de x.

1.4.7. Subsucesiones

Definicion 1.4.34. Dada una sucesion estrictamente creciente j(n) de numeros natura-

les, la sucesion yn = xj(n) se llama subsucesion de xn.

Observacion 1.4.35. Si lımn→∞

xn = x ∈ [−∞,+∞], cualquiera de sus subsucesiones tiene

el mismo lımite.

Proposicion 1.4.36. Para cada sucesion acotada xn existe alguna subsucesion conver-

gente.

23

Demostracion. Sea A = {xn : n ∈ N}. Si A es finito, entonces algun elemento de A se

repite infinitas veces como termino y, si se suprimen los demas, la subsucesion resultante

es constante. Si A es infinito, considerando la construccion hecha en la demostracion del

teorema de Bolzano-Weierstrass, elegimos y1 = x1, y2 = xj(2) siendo j(2) > 1 y tal que

y2 ∈ [a2, b2], y3 = xj(3) siendo j(3) > j(2) y tal que y3 ∈ [a3, b3], etc. La subsucesion ynconverge a x.

1.4.8. Lımites superior e inferior

Definicion 1.4.37. Dada una sucesion xn se definen sus lımites superior e inferior

de la siguiente forma:

lım supxn = lımm→∞

supn≥m

xn

y

lım inf xn = lımm→∞

ınfn≥m

xn.

Observacion 1.4.38. Los lımites superior e inferior de xn estan bien definidos pues(supn≥m

xn

)m∈N

e

(ınfn≥m

xn

)m∈N

son sucesiones decreciente y creciente respectivamente.

Proposicion 1.4.39.

1. lım inf xn ≤ lım supxn y si hay igualdad, entonces

lımn→∞

xn = lım supxn = lım inf xn.

2. lım inf xn = − lım sup(−xn).

3. Si xj(n) es una subsucesion de xn, entonces

lım inf xn ≤ lım inf xj(n) ≤ lım supxj(n) ≤ lım supxn.

4. Si A es el conjunto de lımites de subsucesiones de xn, entonces lım supxn = supA

y lım inf xn = ınf A.

5. Si xn ≤ yn con n ∈ N, entonces lım supxn ≤ lım sup yn y lım inf xn ≤ lım inf yn.

6. lım sup(xn + yn) ≤ lım supxn + lım sup yn y resulta la igualdad si alguna de las dos

sucesiones converge.

7. lım inf(xn + yn) ≥ lım inf xn + lım inf yn y resulta la igualdad si alguna de las dos

sucesiones converge.

8. Si lımn→∞

xn = x > 0, entonces lım sup(xnyn) = x lım sup yn.

24

Demostracion.

1. Trivial.

2. Idem.

3. Basta observar que

{xn : n ≥ m} ⊃ {xj(n) : n ≥ m}

para todo m ∈ N.

4. Es consecuencia de que hay subsucesiones de xn que convergen a lım supxn (tanto si

xn esta acotada superiormente como si no) y subsucesiones que convergen a lım inf xn(tanto si xn esta acotada inferiormente como si no).

5. Obvio.

6. La desigualdad se tiene gracias a que xn + yn ≤ supn≥m

xn + supn≥m

yn para todo m ∈ N

y todo n ≥ m. Sea ahora lımn→∞

xn = x y lım sup yn = y. Si y no es finito se obtiene

con facilidad la igualdad. En caso contrario, dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal que

xn + yn < x+ y + ε si n ≥ n0 y existen infinitos terminos de la sucesion xn + yn en

el intervalo (x+ y − ε, x+ y + ε) lo cual prueba la igualdad.

7. Es suficiente utilizar el apartado anterior y que lım inf zn = − lım sup(−zn) para

toda sucesion zn.

8. Supongamos que lım sup yn es finito pues en caso contrario la demostracion se ob-

tiene sin dificultad. Ya que x 6= 0, una subsucesion yj(n) de yn es convergente si y

solo si es convergente xj(n)yj(n). Resulta entonces

lım sup(xnyn) = sup{

lımn→∞

(xj(n)yj(n))}

= sup{x lımn→∞

yj(n)

}= x sup

{lımn→∞

yj(n)

}= x lım sup yn

donde el supremo esta tomado sobre todas las subsucesiones convergentes de yn.

1.4.9. La propiedad de Cauchy

Definicion 1.4.40. Una sucesion xn tiene la propiedad de Cauchy si para todo ε > 0

existe n0 ∈ N tal que para todos m,n ≥ n0 se tiene que |xn − xm| < ε.

25

Proposicion 1.4.41.

1. Las sucesiones convergentes tienen la propiedad de Cauchy.

2. Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy estan acotadas.

3. Las sucesiones que tienen la propiedad de Cauchy son convergentes.

Demostracion.

1. Sea xn una sucesion convergente a x. Basta con usar que xn−xm = xn−x+x−xmy la desigualdad triangular.

2. Sea xn una sucesion con la propiedad de Cauchy. Existe n0 ∈ N tal que para todos

m,n ≥ n0 se tiene que |xn − xm| < 1. Si n ≥ n0, entonces

|xn| ≤ |xn − xn0 |+ |xn0| < 1 + |xn0|

con lo que |xn| ≤ max{|x1|, |x2|, . . . , |xn0−1|, 1 + |xn0 |} para todo n ∈ N.

3. Sea xn una sucesion con la propiedad de Cauchy, luego acotada, con lo que sus

lımites superior e inferior son finitos. Supongamos que lım inf xn < lım supxn y

sea ε = 13(lım supxn − lım inf xn). Para cada n0 ∈ N existen m,n ≥ n0 tales que

xn < lım inf xn + ε y xm > lım supxn − ε por lo que xm − xn > ε lo cual es

contradictorio con que xn tenga la propiedad de Cauchy.

Ejercicios

1. Sea x = 3,14205205205 . . .. Determina la representacion decimal de −x− [−x].

2. Si A ⊂ R, −A designa al conjunto cuyos elementos son los opuestos de los elementos

de A. Demuestra que ınf A+ sup(−A) = 0 siendo A acotado.

3. Dada una sucesion xn, prueba que

supn∈N

xn = lımn→∞

max(x1, x2, . . . , xn)

y que

ınfn∈N

xn = lımn→∞

mın(x1, x2, . . . , xn).

4. Sean A,B ⊂ R con A,B 6= ∅ tales que x ≤ y para todo x ∈ A e y ∈ B. Prueba que

existen supA e ınf B y que supA ≤ ınf B.

26

5. Determina si los siguientes subconjuntos de R estan acotados superior o inferior-

mente y, en caso afirmativo, calcula supremo e/o ınfimo:

a) A = {x ∈ R :√

(x− 3)(2− x) <√

4x2 + 12x+ 11}.

b) B ={n+ 1

m: m,n ∈ N

}.

c) C ={

1n2+1

− 2(2m−1)2 : m,n ∈ N

}.

6. Dados A,B ⊂ R, se define el conjunto C = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}. Prueba que si

A y B estan acotados, entonces C tambien esta acotado y expresa supC e ınf C en

terminos de supA y supB y de ınf A e ınf B respectivamente.

7. Prueba que dada una sucesion xm de numeros positivos tal que lımm→∞

xm = x se tiene

que lımm→∞

n√xm = n

√x con n ∈ N.

8. Prueba que si x 6= 0, entonces lımn→∞

xn = x si y solo si lımn→∞

xnx

= 1.

9. ¿Pueden ser 0 infinitos terminos de una sucesion que converge a un numero distinto

de 0?

10. Calcula los lımites superior e inferior de las siguientes sucesiones:

a) xn =(1 + 1

n

)sen nπ

2+(1− 1

n

)cos nπ

2.

b) 12, 13, 23, 14, 24, 34, · · · , 1

k, 2k, · · · , k−1

k, 1k+1

, · · · .

c) xn = cosn 2nπ3

.

d) xn =n√

1 + 2(−1)nn.

11. Sea xn una sucesion de numeros positivos tal que xn+m ≤ xn + xm para todo

m,n ∈ N. Prueba que la sucesion xnn

es convergente.

12. Sean xn una sucesion acotada e yn = x1+x2+···+xnn

. Prueba que lım sup yn ≤ lım supxny que lım inf xn ≤ lım inf yn.

13. Dado a > 0, demuestra los siguientes resultados:

a) lımn→∞

xn = 0 si y solo si lımn→∞

axn = 1.

b) Si lımn→∞


axn = ax.

c) lımn→∞

xn = 1 si y solo si lımn→∞

loga xn = 0, siendo xn > 0 para todo n ∈ N.

d) Si lımn→∞


loga xn = loga x, siendo xn, x > 0 para todo

n ∈ N.

e) Si lımn→∞



xnyn = xy, siendo xn, x > 0 para

todo n ∈ N.

27

14. Sea xn una sucesion de terminos no nulos con lımn→∞

xn = ±∞. Demuestra que

lımn→∞

(1 +

1

xn

)xn= e.

15. Calcula el lımite de las siguientes sucesiones:

a) xn = n√a siendo a > 0.

b) xn = an siendo a > 0.

c) xn = 10n

n!.

d) xn = n√n.

e) xn = p√n+ 1− p

√n con p ∈ N.

f ) xn =√n2 + n− n.

g) xn = n( n√n+ 1− n

√n).

h) xn = n( n√e− 1).

i) x1 = 13, xn+1 = 1

1+√

1xn−1

.

j ) x1 > 1, xn+1 = 2− 1xn

.

k) x1 = 1, xn+1 =√

2 + xn.

l) xn =(n−1n+3

)n+2.

m) xn =(

1−2n3

5−2n3

)3n2

.

n) xn =(1 + sen 1

n

)n.

n) xn =(cos 1

n

)n.

o) xn =(cos 1

n

)n2

.

p) xn =log(1+ a

n)sen b

n

siendo a, b 6= 0.

q) xn = en!− [en!].

16. Demuestra que si an es una sucesion de numeros positivos verificando que lımn→∞

an+1

an=

λ ∈ R, entonces lımn→∞

n√an = λ. Como aplicacion calcula los lımites de las sucesiones

siguientes:

a) xn = n√n!.

b) xn = n

√1 + 1

2+ 1

3+ · · ·+ 1

n.

17. (Criterio de Stolz) Demuestra que si bn es una sucesion de terminos positivos tal

que la sucesion b1 + b2 + · · ·+ bn no esta acotada y an es cualquier sucesion tal que

lımn→∞

anbn

= λ ∈ R, entonces lımn→∞

a1+a2+···+anb1+b2+···+bn = λ. Como aplicacion calcula los lımites

de las sucesiones siguientes:

28

a) xn = lognn

.

b) xn =1+ 1

2+ 1

3+···+ 1

n

n.

1.5. Series convergentes

Proposicion 1.5.1. Si la serie∞∑n=1

an es convergente, entonces lımn→∞

an = 0.

Demostracion. Ya que la sucesion de sumas parciales verifica la propiedad de Cauchy,

dado ε > 0, existe k0 ∈ N tal que si i, j ≥ k0, con i < j, entonces

∣∣∣∣ j∑n=i+1

an

∣∣∣∣ < ε. Tomando

j = i+ 1 se tiene el resultado.

1.5.1. Comparacion de series de terminos positivos

Proposicion 1.5.2. Si 0 < an ≤ bn para todo n ∈ N y∞∑n=1

bn es convergente, entonces

∞∑n=1

an es tambien convergente.

Demostracion. La sucesion de sumas parciales de∞∑n=1

an es creciente y acotada superior-

mente.

Proposicion 1.5.3. Sean∞∑n=1

an y∞∑n=1

bn dos series de terminos positivos.

1. Si lımn→∞

anbn

= λ > 0, entonces ambas series tienen el mismo caracter, es decir, o

ambas son convergentes o ambas son divergentes.

2. Si lımn→∞

anbn

= 0 y∞∑n=1

bn es convergente, entonces∞∑n=1

an es tambien convergente.

Demostracion.

1. Existe n0 ∈ N tal que λ2bn < an <

3λ2bn para todo n ≥ n0. La Proposicion 1.5.2 nos

da el resultado.

2. Existe n0 ∈ N tal que an < bn para todo n ≥ n0. La Proposicion 1.5.2 nos da el

resultado.

29

1.5.2. Series alternadas

Definicion 1.5.4. Si an es una sucesion de numeros positivos, a las series∞∑n=1

(−1)nan y

∞∑n=1

(−1)n−1an se les llama series alternadas.

Proposicion 1.5.5. Si an es una sucesion decreciente de numeros positivos y convergente

a 0, entonces las series alternadas∞∑n=1

(−1)nan y∞∑n=1

(−1)n−1an son convergentes.

Demostracion. Vamos a considerar la segunda serie alternada. Un razonamiento analogo

puede hacerse con la primera. Basta observar que las subsucesiones s2k−1 y s2k, con k ∈ N,

son decreciente y creciente, respectivamente, y que s2k−1 > s2k para todo k ∈ N, con lo

que la sucesion de intervalos encajados [s2k, s2k−1] tiene como interseccion de todos ellos

un unico numero s (por converger a cero la longitud de los mismos) que es la suma de la

serie.

1.5.3. Convergencia absoluta

Definicion 1.5.6. Se dice que la serie∞∑n=1

an es absolutamente convergente si la serie

∞∑n=1

|an| es convergente.

Observacion 1.5.7. Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente

porque en virtud de la desigualdad triangular tiene la propiedad de Cauchy.

Definicion 1.5.8. Si j : N → N es una biyeccion, se dice que la serie∞∑n=1

aj(n) es una

reordenacion de la serie∞∑n=1

an.

Teorema 1.5.9. Si la serie∞∑n=1

an es absolutamente convergente y tiene suma s, cualquier

reordenacion suya∞∑n=1

aj(n) tiene tambien suma s.

Demostracion. Sean sk y s′k las respectivas sucesiones de sumas parciales de∞∑n=1

an y

∞∑n=1

aj(n). Ya que la serie∞∑n=1

|an| tiene la propiedad de Cauchy, dado ε > 0 existe k0 ∈ N

tal que si i, j ≥ k0, con i < j, entoncesj∑

n=i+1

|an| < ε. Consideramos los subındices

j(1), j(2), . . . , j(k1) hasta que entre ellos esten 1, 2, . . . , k0. Si k > k1, entonces se tiene

|sk − s′k| < ε.

30

Definicion 1.5.10. Se dice que la serie∞∑n=1

an es condicionalmente convergente si

converge pero la serie∞∑n=1

|an| diverge.

Teorema 1.5.11 (Riemann). Si la serie∞∑n=1

an es condicionalmente convergente, entonces

para todo α ∈ R existe una reordenacion suya∞∑n=1

aj(n) cuya suma es α.

Demostracion. Sean∞∑n=1

pn y∞∑n=1

qn las series de los terminos positivos y negativos de

an, respectivamente. Ya que la serie∞∑n=1

an es condicionalmente convergente, ambas son

divergentes.

Dado α ≥ 0 (la demostracion para α < 0 es analoga) tomamos n1 como el primer

natural tal quen1∑n=1

pn > α. Entoncesn1∑n=1

pn−α ≤ pn1 . Ahora tomamos m1 como el primer

natural tal quen1∑n=1

pn +m1∑n=1

qn < α. Por tanto, α −n1∑n=1

pn −m1∑n=1

qn ≤ −qm1 . Continuando

indefinidamente con este procedimiento obtenemos una reordenacion de an

p1, . . . , pn1 , q1, . . . , qm1 , pn1+1, . . . , pn2 , . . .

cuya serie converge a α ya que lımn→∞

an = 0.

1.5.4. Criterios de convergencia

Proposicion 1.5.12 (Criterio de la raız).

1. Si lım sup n√|an| < 1, entonces

∞∑n=1

an es absolutamente convergente.

2. Si lım sup n√|an| > 1, entonces

∞∑n=1

an es divergente.

Demostracion.

1. Sea lım sup n√|an| < t < 1. Existe n0 ∈ N tal que n

√|an| < t si n ≥ n0 con lo que

|an| < tn. Aplicando la Proposicion 1.5.2 se obtiene el resultado.

2. Si lım sup n√|an| > 1, hay infinitos terminos de la sucesion |an| mayores que 1 por

lo que an no converge a 0.

31

Proposicion 1.5.13 (Criterio del cociente).

1. Si lım sup |an+1||an| < 1, entonces

∞∑n=1


2. Si lım inf |an+1||an| > 1, entonces

∞∑n=1

an es divergente.

Demostracion.

1. Sea lım sup |an+1||an| < t < 1. Existe n0 ∈ N tal que |an+1| < t|an| si n ≥ n0 con lo

que |an0+n| < tn|an0| para todo n ∈ N. Aplicando la Proposicion 1.5.2 se obtiene el

resultado.

2. Si lım inf |an+1||an| > 1, existe n0 ∈ N tal que |an+1| > |an| si n ≥ n0 por lo que an no

converge a 0.

Proposicion 1.5.14 (Criterio de Raabe).

1. Si lım inf n(

1− |an+1||an|

)> 1, entonces

∞∑n=1


2. Si lım supn(

1− |an+1||an|

)< 1, entonces

∞∑n=1

|an| es divergente.

Demostracion.

1. Sea lım inf n(

1− |an+1||an|

)> t > 1. Existe n0 ∈ N tal que n|an|−n|an+1| > t|an| para

n ≥ n0. Considerando las desigualdades anteriores para n = n0, n0 + 1, . . . , n0 +m y

sumando primeros miembros por un lado y segundos por el otro se obtiene facilmente

que |an0+1|+|an0+2|+· · ·+|an0+m| < n0

t−1 |an0| para todo m ∈ N con lo que la sucesion

de sumas parciales de la serie∞∑n=1

|an0+n| esta acotada obteniendose el resultado.

2. Existe n0 ∈ N tal que (n− 1)|an| < n|an+1| si n ≥ n0. Aplicando sucesivamente esta

desigualdad se obtiene que |an0+n+1| > (n0 − 1)|an0| 1n0+n

para todo n ∈ N lo cual

nos da el resultado en virtud de la Proposicion 1.5.2.

32

Proposicion 1.5.15 (Criterio de Dirichlet). Si an es una sucesion decreciente de numeros

positivos convergente a 0 y la sucesion de sumas parciales de la serie∞∑n=1

bn esta acotada,

entonces la serie∞∑n=1

anbn es convergente.

Demostracion. Sea C > 0 tal que

∣∣∣∣ k∑n=1

bn

∣∣∣∣ ≤ C para todo k ∈ N. Dados i, j ∈ N con i < j

se tiene que∣∣∣∣∣j∑

n=i+1

anbn

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣−ai+1

i∑n=1

bn +

j−1∑n=i+1

(an − an+1)n∑

m=1

bm + aj

j∑n=1

bn

∣∣∣∣∣ ≤ 2Cai+1.

Ya que la sucesion an converge a 0, la sucesion de sumas parciales de la serie∞∑n=1

anbn

tiene la propiedad de Cauchy.

Proposicion 1.5.16 (Criterio de Abel). Si la serie∞∑n=1

an es convergente y la sucesion bn

es monotona y acotada (luego convergente a b), entonces la serie∞∑n=1

anbn es convergente.

Demostracion. Supongamos que bn es decreciente, luego la sucesion cn = bn − b es decre-

ciente y convergente a 0. Se tiene que∞∑n=1

anbn =∞∑n=1

(ancn + ban) con lo que aplicando el

criterio de Dirichlet se obtiene el resultado. El otro caso es analogo.

1.5.5. Producto de series

Definicion 1.5.17. Dadas dos series∞∑n=0

an y∞∑n=0

bn se define su producto como la serie

∞∑n=0

cn donde cn =n∑k=0

akbn−k.

Proposicion 1.5.18. Si∞∑n=0

an es absolutamente convergente y tiene suma s, y∞∑n=0

bn es

convergente y tiene suma r, entonces la serie producto∞∑n=0

cn tiene suma sr.

Demostracion. Sean sk, rk y tk las sucesiones de sumas parciales de∞∑n=0

an,∞∑n=0

bn y∞∑n=0

cn

respectivamente. Se tiene que tk = skr+k∑i=0

ai(rk−i− r) para todo k ∈ N por lo que basta

33

comprobar que el sumatorio anterior converge a 0. Dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal que

|rk − r| < ε si k ≥ k0. Si k > k0,

k∑i=0

ai(rk−i − r) =

k−k0∑i=0

ai(rk−i − r) +k∑

i=k−k0+1

ai(rk−i − r).

El segundo sumatorio es la suma de k0 sucesiones que convergen a 0 y el valor absoluto

del primero es menor que ε∞∑n=0

|an|. Por tanto,

lım sup

∣∣∣∣∣k∑i=0

ai(rk−i − r)

∣∣∣∣∣ ≤ lım sup

∣∣∣∣∣k−k0∑i=0

ai(rk−i − r)

∣∣∣∣∣ ≤ ε∞∑n=0

|an|

para todo ε > 0.

Ejercicios

1. Calcula la suma de cada una de las series siguientes:

a)∞∑n=0

1−2n3n

.

b)∞∑n=1

1n(n+1)

.

c)∞∑n=1

nan siendo 0 < a < 1.

d)∞∑n=1

1(n+1)

√n+n√n+1

.

e)∞∑n=1

2n−1

(1+2n)(1+2n−1).

f )∞∑n=1

n2+5n+7(n+2)!

.

g)∞∑n=2

4n−1(n+2)(n−1)2 .

h)∞∑n=3

3n2+8n+6(n+2)!

.

i)∞∑n=1

n−1n!(n+2)

.

j )∞∑n=1

n2

3n.

2. (Criterio de condensacion de Cauchy) Demuestra que si an es una sucesion decre-

ciente a 0, entonces las series∞∑n=1

an y∞∑n=1

2na2n tienen el mismo caracter.

34

3. Prueba que si la serie∞∑n=1

an es convergente y la sucesion an es decreciente, entonces

lımn→∞

nan = 0.


a) La serie armonica∞∑n=1

1np

.

b)∞∑n=1

1√n+100

.

c)∞∑n=2

1n(logn)p

.

d)∞∑n=1

1n√n+1

.

e)∞∑n=1

n2

n3+1.

f )∞∑n=1

anna siendo a > 0.

g)∞∑n=1

1(n+1) n

√n.

h)∞∑n=1

n2

n!.

i)∞∑n=1

ann!nn

.

j )∞∑n=1

1·3···(2n−1)2·4···(2n) .

k)∞∑n=1

n!a(a+1)(a+2)···(a+n−1) siendo a > 2.

l) 1− log 2 + 12− log 3

2+ · · ·+ 1

n− log n+1

n+ · · · .

m)∞∑n=1

cosnn

.

n)∞∑n=1

1n

log(1 + 1

n3

).

n)∞∑n=1

1+cos2 nnn

.

o)∞∑n=1

( n√n− 1)n.

p)∞∑n=3

1n log logn

.

q)∞∑n=2

tag ( 2n+14

π)logn

.

35

r)∞∑n=2

sennlogn

.

s)∞∑n=1

sen (n2+1)2πn3 .

5. Reordena la serie∞∑n=1

(−1)n−1 1n

para que sea divergente.

6. Demuestra que∞∑n=1

(−1)n−1 1n

= log 2.

7. Dada una serie convergente∞∑n=1

an de terminos no negativos, prueba que∞∑n=1

√annp

converge si p > 12. Da un contraejemplo para p = 1

2. ¿Es tambien convergente

∞∑n=1

√anan+1?

8. Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las series siguientes:

a)∞∑n=1

an

n!.

b)∞∑n=1

n!an.

c)∞∑n=1

sennn2 .

d)∞∑n=1

(nn+1

)n2

.

e)∞∑n=1

2−(1+ 12+ 1

3+···+ 1

n).

9. Sea A = {nk : k ∈ N} la coleccion de numeros naturales que no tienen la cifra 0 en

su representacion decimal. Prueba que∞∑k=1

1nk

converge y tiene suma menor que 90.

10. Si∞∑n=1

an diverge, demuestra que∞∑n=1

nan tambien diverge.

11. Si∞∑n=1

an converge absolutamente, prueba que las series siguientes tambien:

a)∞∑n=1

a2n.

b)∞∑n=1

an1+an

si an 6= −1 para todo n ∈ N.

c)∞∑n=1

a2n1+a2n

.

36


a)∞∑n=1

n2+1n!

.

b)∞∑n=1

cosn(a+ b

n

)con 0 < a < π

2.

c)∞∑n=1

n2+1nan

con a 6= 0.

d)∞∑n=1

3n

n2+1.

e)∞∑n=1

(n+1n

)−n3

.

f )∞∑n=1

1an+b

con an+ b 6= 0 para todo n ∈ N.

g)∞∑n=1

1n(n+1)(n+2)

.

h)∞∑n=1

1+sen2 ann2 .

i)∞∑n=1

1n

sen 1n.

j )∞∑n=1

√n+1−

√n

n.

k)∞∑n=1

n(n+1)n2+2n

.

l)∞∑n=1

(1n

)n+ 1n .

m)∞∑n=1

13−cos 1/n .

n)∞∑n=1

1n(1+1/2+···+1/n)

.

n)∞∑n=2

1+1/2+···+1/nn3 logn

.

o)∞∑n=2

1(logn)2n

.

p)∞∑n=1

log n+1n

.

q)∞∑n=1

e−√n2+1.

r)∞∑n=2

1(logn)p

.

37

s)∞∑n=1

an√n.

t)∞∑n=1

(−1)n1+1/2+···+1/n

.

u)∞∑n=1

(−1)n(n+1)n!

.

v)∞∑n=1

(n2+1)an

(n+1)!.

w)∞∑n=1

(e1/n

2 − e1/(n2+1))

.

x )∞∑n=1

(−1)n+1nn2+1

.

y)∞∑n=1

(n!)2a2n

(2n)!.

38

Tema 2

Funciones, lımites y continuidad

2.1. Funciones reales de variable real

Definicion 2.1.1. Una funcion f definida en A ⊂ R y que toma valores en B ⊂ R,

f : A −→ B, es una regla que asocia unıvocamente a cada x ∈ A un numero real f(x) ∈ Bque se llama imagen de x. A A se le llama dominio de f y se denota por dom(f). Se

llama rango o recorrido de f al conjunto

rang(f) = f(A) = {y ∈ B : ∃ x ∈ A tal que f(x) = y}.

Finalmente, se llama grafica de f al subconjunto del producto cartesiano A×B formado

por los pares (x, f(x)) con x ∈ A.

Ejemplos 2.1.2.

1. Los terminos de una sucesion an pueden interpretarse como las imagenes de los

numeros naturales mediante una funcion f cuyo dominio es N, es decir, f(n) = anpara cada n ∈ N.

2. La funcion f definida en A ⊂ R tal que f(x) = x para cada x ∈ A se llama

identidad de A. Se tiene que dom(f) = rang(f) = A.

3. Una funcion tal que todas las imagenes son el mismo numero se llama funcion

constante.

Definicion 2.1.3. Se dice que una funcion f : A −→ B es inyectiva si para cualesquiera

x, y ∈ A con x 6= y, entonces f(x) 6= f(y). Y se dice que es sobreyectiva si f(A) = B.

Si f es inyectiva y sobreyectiva, se dice que es biyectiva.

Definicion 2.1.4. Dada una funcion biyectiva f : A −→ B, se define su funcion inversa

f−1 : B −→ A de la siguiente forma: f−1(y) = x siendo f(x) = y.

39

Observacion 2.1.5. Si una funcion f es biyectiva, claramente su inversa tambien lo es

y la inversa de f−1 es f .

Observacion 2.1.6. Las graficas de una funcion y de su inversa son simetricas respecto

de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Observacion 2.1.7. Si la funcion f : A −→ B es inyectiva y no biyectiva, la funcion

f : A −→ f(A) es biyectiva.

Definicion 2.1.8. A dos funciones f : A −→ B y g : B −→ C se asocia una nueva

funcion g◦f : A −→ C llamada la composicion de f con g, y que esta definida mediante

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

para cada x ∈ A. De forma analoga se define una cadena fn ◦ fn−1 ◦ · · · ◦ f2 ◦ f1 de n

funciones. Como caso particular se tienen las iteraciones fn de una funcion f : A −→ A

consistentes en componer f consigo misma n veces.

Definicion 2.1.9. La funcion f : A −→ B esta acotada superiormente si existe

C ∈ R tal que f(x) ≤ C para todo x ∈ A. Y esta acotada inferiormente si existe

c ∈ R tal que f(x) ≥ c para todo x ∈ A. Si f esta acotada superior e inferiormente se

dice que esta acotada. Si existe x0 ∈ A tal que f(x) ≤ f(x0) para todo x ∈ A se dice que

f tiene en x0 un maximo absoluto y que f(x0) es el maximo de f . Analogamente se

define mınimo absoluto.

Definicion 2.1.10. La funcion f : A −→ B tiene en x0 ∈ A un maximo (mınimo)

relativo o local si existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(x0) (f(x) ≥ f(x0)) para cualquier

x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ∩ A.

Las operaciones aritmeticas con funciones que tienen el mismo dominio se definen para

cada x del mismo a traves de la correspondiente operacion aritmetica con las imagenes

de x.

Definicion 2.1.11. La funcion f : A −→ B es concava si

f(λx1 + (1− λ)x2) ≥ λf(x1) + (1− λ)f(x2)

para cualesquiera x1, x2 ∈ A y λ ∈ [0, 1]. Y es convexa si se tiene la desigualdad contra-

ria.

Definicion 2.1.12. Una funcion f se llama periodica si existe T > 0 tal que

f(x+ T ) = f(x)

para cada x y el menor T con esta propiedad se llama periodo.

40

Definicion 2.1.13. La funcion f : A −→ B es creciente (estrictamente creciente) si

f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) < f(x2)) siempre que x1 < x2. Y es decreciente (estrictamente

decreciente) si f(x1) ≥ f(x2) (f(x1) > f(x2)) siempre que x1 < x2. Todas estos tipos

de funciones se denominan funciones monotonas.

Ejercicios

1. Construye una funcion cuyo dominio sea [0, 1] y cuyo recorrido sea [−1, 2].

2. ¿Cuantas funciones se pueden definir con dominio {1, 2, 3} y recorrido {4, 5}?

3. Dibuja la grafica de las siguientes funciones definidas en A, indicando en cada caso

el recorrido:

a) f(x) = |x|, A = [−1, 1].

b) f(x) = x− [x], A = [−2, 3].

4. Sean f : R −→ R una funcion y A,B ⊂ R. Estudia si las igualdades siguientes son

verdaderas o falsas:

a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B).

b) f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B).

c) f(A \B) = f(A) \ f(B).

d) f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B).

e) f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B).

f ) f−1(A \B) = f−1(A) \ f−1(B).

5. Calcula f(A) y f−1(B) en los siguientes casos:

a) f(x) = 3x− 5, A = [−1, 2] y B = [0,+∞).

b) f(x) = −x2, A = (−2, 3] y B = (−4, 1).

6. Estudia si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas:

a) f(x) = xx−1 .

b) f(x) =√x2 + 2.

c) f(x) = x√x2+1

.

7. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) f(x) =√

1− x2.

b) f(x) =√

1−√

1− x2.

41

c) f(x) = 1x−1 + 1

x−2 .

d) f(x) =√1−x√x−2 .

e) f(x) =√

1− x2 +√x2 − 1.

f ) f(x) =√

1−|x|2−|x| .

g) f(x) =√

(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) − 1.

h) f(x) =√

arc sen(x− 1).

i) f(x) = log x2−5x+6x2+4x+6

.

j ) f(x) =√

log 5x−x24

.

8. Determina f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f y g ◦ g en cada uno de los siguientes casos:

a) f(x) = x2 y g(x) = 1x.

b) f(x) =

{1 si x ≥ 0−1 si x < 0

y g(x) = 1x.

c) f(x) =

{0 si x ≤ 0x si x > 0

y g(x) =

{0 si x ≤ 0−x2 si x > 0

9. Sea f(x) = 1x−1 . Calcula f 2(x) y f 3(x).

10. Sea f(x) = x√1+x2

. Calcula fn(x).

11. Halla el intervalo maximo en el que esta definida la funcion f(x) = log log log log x.

12. Calcula la funcion inversa de f(x) = x1−x2 con x ∈ (0, 1).

13. ¿Es posible construir una funcion definida en el intervalo [0, 1] que sea acotada y no

tenga maximo ni mınimo absolutos?

2.2. Lımites

Definicion 2.2.1. Supongamos que f es una funcion definida en un intervalo I y que c

es un numero interior a I, o bien un extremo de I, o bien +∞ si I no esta acotado por

la derecha, o bien −∞ si I no esta acotado por la izquierda.

Se dice que L es el lımite de f cuando x tiende a c, lımx→c

f(x) = L, si cada sucesion

de numeros del dominio de f , distintos de c, cuyo lımite es c se transforma mediante f

en una sucesion que tiene lımite L.

Si c es interior a I o un extremo de I, se dice que L es el lımite lateral por la

derecha de f cuando x tiende a c, lımx→c+

f(x) = L, si cada sucesion de numeros del

42

dominio de f , mayores que c, cuyo lımite es c se transforma mediante f en una sucesion

que tiene lımite L. Analogamente, se dice que L es el lımite lateral por la izquierda

de f cuando x tiende a c, lımx→c−

f(x) = L, si cada sucesion de numeros del dominio de

f , menores que c, cuyo lımite es c se transforma mediante f en una sucesion que tiene

lımite L.

Observacion 2.2.2. Solamente cuando los dos lımites laterales existen y son iguales

resulta que f tiene lımite en c.

Basandose en las propiedades conocidas para lımites de sucesiones se obtienen los dos

siguientes resultados:

Proposicion 2.2.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I tales que

lımx→c

f(x) = L ∈ R y lımx→c

g(x) = L′ ∈ R. Entonces:

1. lımx→c

(f + g)(x) = L+ L′.

2. lımx→c

(fg)(x) = LL′.

3. lımx→c

(fg

)(x) = L

L′si L′ 6= 0.

Observacion 2.2.4. Los casos no contemplados en el resultado anterior se estudian sin

dificultad salvo L = +∞ y L′ = −∞ para la suma, L = 0 y L′ = ±∞ para el producto y

L = L′ = 0 y L = ±∞ y L′ = ±∞ para el cociente, llamados indeterminaciones.

Proposicion 2.2.5.

1. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I. Si existe δ > 0 tal que se

verifica f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ (c− δ, c+ δ) y ambas funciones tienen lımite en

c, entonces lımx→c

f(x) ≤ lımx→c

g(x).

2. (Metodo del sandwich) Sean f , g y h tres funciones definidas en un intervalo I.

Si existe δ > 0 tal que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ (c − δ, c + δ) y ademas

lımx→c

f(x) = lımx→c

h(x) = L, entonces lımx→c

g(x) = L.

Teorema 2.2.6. El numero L es el lımite de f(x) cuando x tiende al numero c si y solo si

se verifica la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe algun δ > 0 tal que |f(x)−L| < ε

cuando 0 < |x− c| < δ.

Demostracion. Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesion xn de numeros dis-

tintos de c que converge a c existe n0 ∈ N tal que 0 < |xn − c| < δ si n ≥ n0 con lo que

f(xn) converge a L.

Recıprocamente, dado ε > 0 basta razonar por reduccion al absurdo considerando

δ = 1n

para todo n ∈ N.

43

Teorema 2.2.7. El numero L es el lımite de f(x) cuando x tiende a +∞ (−∞) si y

solo si se verifica la siguiente propiedad: para cada ε > 0 existe algun A > 0 tal que

|f(x)− L| < ε cuando x > A (x < −A).

Demostracion. Si se verifica esta propiedad, para cualquier sucesion xn convergente a +∞(−∞) existe n0 ∈ N tal que xn > A (xn < −A) si n ≥ n0 con lo que f(xn) converge a L.

Recıprocamente, dado ε > 0 basta razonar por reduccion al absurdo considerando

A = n para todo n ∈ N.

Analogamente se demuestran los dos siguientes resultados:

Teorema 2.2.8. El lımite de f(x) cuando x tiende al numero c es +∞ (−∞) si y

solo si para cada M > 0 existe algun δ > 0 tal que f(x) > M (f(x) < −M) cuando

0 < |x− c| < δ.

Teorema 2.2.9. El lımite de f(x) cuando x tiende a +∞ (−∞) es +∞ (−∞) si y solo

si para cada M > 0 existe algun A > 0 tal que f(x) > M (f(x) < −M) cuando x > A

(x < −A).

Definicion 2.2.10. Una funcion f tiene la propiedad de Cauchy en c si para cada

ε > 0 existe algun δ > 0 tal que |f(x)−f(y)| < ε cuando 0 < |x− c| < δ y 0 < |y− c| < δ.

Teorema 2.2.11. Una funcion f tiene lımite finito cuando x tiende a un numero c si y

solo si f tiene la propiedad de Cauchy en c.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que f tiene la propiedad de Cauchy en c

y sea xn una sucesion de numeros distintos de c que converge a c. La sucesion f(xn)

tiene la propiedad de Cauchy luego converge a un numero L. Si x′n tiene las mismas

caracterısticas que xn, entonces f(x′n) tambien converge a L porque en otro caso la sucesion

x1, x′1, x2, x

′2, x3, x

′3, . . . que tiene las mismas caracterısticas que xn y x′n se transformarıa

mediante f en una sucesion con la propiedad de Cauchy que no puede ser convergente, lo

cual es absurdo.

Para el recıproco basta usar la caracterizacion ε-δ del lımite y la desigualdad triangular.

Proposicion 2.2.12. Para toda funcion monotona f existen los lımites laterales en cual-

quier punto.

Demostracion. Supongamos que f , definida en el intervalo I, es creciente (el caso decre-

ciente es analogo) y que c es un numero interior a I (si c es un extremo la demostracion es

analoga). Se tiene que lımx→c− f(x) = supx<c f(x) y lımx→c+ f(x) = ınfx>c f(x). Veamos

44

la primera igualdad pues la otra se obtiene analogamente. Ese supremo es un numero por-

que el conjunto correspondiente esta acotado superiormente por f(c). Dado ε > 0 existe

x0 < c tal que supx<c

f(x)− ε < f(x0). Basta tomar δ = c− x0.

Ejercicios

1. Prueba que la funcion sen 1x

no tiene lımite en 0 y la funcion x sen 1x

sı lo tiene.

2. Sea la funcion f definida en (0, 1] por

f(x) =

2n(n+ 1)(x− 1

n+1

)si x ∈

[1

n+1, 2n+12n(n+1)

]−2n(n+ 1)

(x− 1

n

)si x ∈

[2n+1

2n(n+1), 1n

]para todo n ∈ N. ¿Tiene f lımite en 0?

3. Halla los lımites siguientes utilizando la correspondiente caracterizacion ε-δ:

a) lımx→1

(3x2 − 2x+ 1).

b) lımx→4

√x+1√x−1 .

c) lımx→−∞

(√x2 + x− x).

d) lımx→+∞

√x+1√x−1 .

e) lımx→1

x(x−1)2 .

4. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→1

xn+1−(n+1)x+n(x−1)2 con n ∈ N.

b) lımx→c

xn−cn−ncn−1(x−c)(x−c)2 con n ∈ N \ {1}.

c) lımx→+∞

√x+√x+√x

√x+1

.

d) lımx→+∞

√x+ 3√x+ 4√x√

2x+1.

e) lımx→4

√1+2x−3√x−2 .

f ) lımx→−8

√1−x−3

2− 3√−x .

g) lımx→c+

√x−√c+√x−c√

x2−c2 .

h) lımx→3

√x+13−2

√x+1

x2−9 .

i) lımx→−2

3√x−6+2x3+8

.

45

j ) lımx→16

4√x−2√x−4 .

k) lımx→8

√9+2x−53√x−2 .

l) lımx→1

(3

1−√x− 2

1− 3√x

).

m) lımx→0

log(1+x)x

.

n) lımx→7

√x+2− 3√x+20

4√x+9−2 .

n) lımx→0

πx cotag πx

2.

o) lımx→+∞

(2x2+32x2+5

)8x2+3

.

p) lımx→0

ex+senx−1log(1+x)

.

5. Siendo m,n ∈ N y a, b > 0 calcula los siguientes lımites:

a) lımx→0

n√1+ax−1x

.

b) lımx→0

n√1+ax− m√1+bxx

.

c) lımx→1

n√x−1m√x−1 .

d) lımx→0

n√1+ax m√1+bx−1

x.

e) lımx→0

n√1+ax+bx2−1x

.

2.3. Continuidad

Definicion 2.3.1. La funcion f es continua en un punto c en el que esta definida

si f(c) = lımx→c

f(x). En caso contrario se dice que f es discontinua en c. Cuando el

lımite existe y es finito pero distinto de f(c) se dice que la discontinuidad es evitable

pues basta cambiar la definicion de f en c poniendo f(c) igual a dicho lımite para que la

discontinuidad desaparezca.

La funcion f es continua por la derecha en un punto c en el que esta definida si

f(c) = lımx→c+

f(x). Analogamente se define la continuidad por la izquierda.

Una funcion que es continua en cada punto del intervalo en el que esta definida se

denomina funcion continua.

Observacion 2.3.2. Si una funcion monotona f esta definida a ambos lados de c, de-

cir que f no es continua en c equivale a decir que lımx→c+

f(x) 6= lımx→c−

f(x). El numero∣∣∣∣ lımx→c+

f(x)− lımx→c−

f(x)

∣∣∣∣ se llama salto de f en c.

46

Basandose en las propiedades conocidas para lımites de sucesiones se obtiene que

la suma, el producto y el cociente de dos funciones continuas en c tambien lo es (si el

denominador no se anula en c). Ademas, si f es continua en c y g es continua en f(c),

entonces g ◦ f es continua en c.

Definicion 2.3.3. La funcion f es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe

algun δ > 0 tal que |f(x)− f(y)| < ε si |x− y| < δ.

Observacion 2.3.4. Si una funcion es uniformemente continua, entonces es continua.

Proposicion 2.3.5. Cualquier sucesion convergente se transforma mediante una funcion

uniformemente continua en una sucesion convergente.

Demostracion. Es suficiente ver que las funciones uniformemente continuas conservan la

propiedad de Cauchy para sucesiones.

Teorema 2.3.6. Si la funcion f es continua en [a, b], entonces es uniformemente conti-

nua.

Demostracion. Supongamos que f no es uniformemente continua. Entonces existe ε > 0

tal que para todo n ∈ N existen xn e yn en el dominio de f tales que |xn − yn| < 1n

y

|f(xn) − f(yn)| ≥ ε. Existe una subsucesion xj(n) convergente a un punto x ∈ [a, b]. La

subsucesion yj(n) tambien converge a x pero f(xj(n)) y f(yj(n)) no pueden tener el mismo

lımite, lo cual es contradictorio con que f sea continua en x.

Proposicion 2.3.7.

1. La funcion f es uniformemente continua en (a, b) si y solo si es continua y tiene

lımite finito en a y en b.

2. Si f : [a,+∞) −→ R es continua y tiene lımite finito en +∞, entonces es unifor-

memente continua.

Demostracion.

1. Si f tiene lımite finito en a y en b, basta con extender con continuidad la definicion

de f a [a, b], dandole en a y en b como valor los respectivos lımites, y aplicar el

teorema anterior.

Si f es uniformemente continua en (a, b) y xn converge a a, entonces f(xn) es con-

vergente. Lo mismo le sucede a cualquier otra sucesion x′n convergente a a. Las

dos sucesiones f(xn) y f(x′n) tienen el mismo lımite (en caso contrario basta con-

siderar la sucesion x1, x′1, x2, x

′2, x3, x

′3, . . .) con lo que lım

x→a+f(x) existe y es finito.

Analogamente se prueba el resultado para b.

47

2. Sean L = lımx→+∞

f(x) y ε > 0. Existe A > a tal que |f(x)− L| < ε4

si x ≥ A, con lo

que si x, y ≥ A, entonces |f(x)− f(y)| < ε2. En [a,A] f es uniformemente continua,

existiendo δ > 0 tal que si |x − y| < δ, entonces |f(x) − f(y)| < ε2. Si |x − y| < δ,

x ∈ [a,A] e y > A, basta usar la desigualdad triangular a traves de f(A).

Teorema 2.3.8 (Teorema de los valores intermedios). Sea f una funcion continua cuyo

dominio es un intervalo I y sean a, b ∈ I tales que f(a) 6= f(b). Si u es un numero

intermedio entre f(a) y f(b), existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = u.

Demostracion. Dividimos [a, b] en dos intervalos cuyo extremo comun es el punto medio.

Si la imagen de este punto es u, ya se ha encontrado el c buscado. Si no, para alguno

de los dos intervalos, que designamos [a1, b1], sucede que u es intermedio entre f(a1) y

f(b1). Continuando el proceso se obtienen dos sucesiones monotonas an y bn convergentes

ambas a un numero c ∈ [a, b]. Ya que f es continua en c, las dos sucesiones f(an) y f(bn)

convergen a f(c) y, por otra parte, al ser u intermedio entre f(an) y f(bn) para cada

n ∈ N, se tiene que f(c) = u con lo que, ademas, c 6= a, b.

Corolario 2.3.9 (Teorema de Bolzano). Sea f una funcion continua cuyo dominio es

un intervalo I y sean a, b ∈ I tales que f(a) · f(b) < 0. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que

f(c) = 0.

Corolario 2.3.10. Una funcion monotona definida en un intervalo es continua si y solo

si el recorrido es tambien un intervalo.

Corolario 2.3.11. Una funcion monotona definida en un intervalo y cuyo recorrido es

tambien un intervalo, si ademas tiene inversa, verifica que ella y su inversa son continuas.

Teorema 2.3.12 (Weierstrass). Dada una funcion f continua y definida en [a, b], existen

c1, c2 ∈ [a, b] tales que f(c1) = supx∈[a,b]

f(x) y f(c2) = ınfx∈[a,b]

f(x).

Demostracion. Veamos primero que supx∈[a,b]

f(x) ∈ R. En caso contrario se puede elegir una

sucesion xn tal que f(xn) > n para todo n ∈ N. Dicha sucesion posee una subsucesion

xj(n) convergente a un numero x ∈ [a, b] en el que f es continua, con lo que f(xj(n)) debe

converger a f(x) lo cual es absurdo. De forma analoga se prueba que ınfx∈[a,b]

f(x) ∈ R.

Ahora, para cada n ∈ N existe xn ∈ [a, b] tal que f(xn) > supx∈[a,b]

f(x) − 1n. De nuevo,

existe una subsucesion xj(n) convergente a un numero c1 ∈ [a, b]. Se tiene que f(c1) no

puede ser ni menor ni mayor que supx∈[a,b]

f(x). Analogamente se encuentra c2.

48

Ejercicios

1. Comprueba que la funcion senx es continua.

2. Estudia la continuidad de las funciones siguientes:

a) f(x) = |x|.

b) f(x) =

{x2−4x−2 si x 6= 2

A si x = 2

c) f(x) =√x− [

√x].

d) f(x) =

{x si x 6∈ Q

1− x si x ∈ Q

e) f(x) =

{x2 si 0 ≤ x ≤ 1

2− x si 1 < x ≤ 2

f ) f(x) = |x|+ |x− 1| − |2x− 1|.

g) f(x) =

{0 si x ∈ (R \Q) ∩ [0, 1]1q

si x = pq∈ Q ∩ [0, 1], irreducible, q > 0

3. Da un ejemplo de una funcion f definida en R que no sea continua en ningun punto

pero que |f | sea continua.

4. Sean f(x) = x+|x|2

y g(x) =

{x si x < 0x2 si x ≥ 0

Estudia la continuidad de f , g, f ◦ g y

g ◦ f .

5. Sea f(x) = 1λx2−2λ+1

con x ∈ [0, 1]. Calcula el conjunto de valores λ que hacen que

f sea continua.

6. Sean f, g : R −→ R funciones continuas tales que f(r) = g(r) para todo r ∈ Q. ¿Es

cierto que f(x) = g(x) para todo x ∈ R?

7. Da un ejemplo de una funcion definida en R:

a) Discontinua en 1n

para todo n ∈ N y continua en los demas puntos.

b) Discontinua en 0 y en 1n

para todo n ∈ N y continua en los demas puntos.

8. Estudia la continuidad uniforme de las funciones siguientes:

a) f(x) = x3 si x ∈ [1, A] y si x ≥ 1.

b) f(x) = sen πx

si x > 0.

c) f(x) = senx2.

d) f(x) =√x.

49

e) f(x) = x2.

f ) f(x) = x sen 1x

si x ∈ (0, 1).

9. Demuestra las afirmaciones siguientes:

a) Existe x ∈ R tal que senx = x− 1.

b) La ecuacion x2x = 1 tiene al menos una solucion en (0, 1].

c) La ecuacion x senx = π4

posee al menos dos soluciones en [0, π].

d) Existe x ∈ R tal que x179 + 1631+x2+sen2 x

= 119.

10. Sea f : R −→ R una funcion continua tal que lımx→+∞

f(x) = +∞ y lımx→−∞

f(x) = −∞.

Prueba que para todo y ∈ R existe x ∈ R tal que f(x) = y.

11. Sea f : [a, b] −→ [a, b] una funcion continua. Prueba que f tiene al menos un punto

fijo, es decir, un punto x ∈ [a, b] tal que f(x) = x.

12. Sea f : [0, 2] −→ R una funcion continua tal que f(0) = f(2). Demuestra que existen

x, y ∈ [0, 2] tales que |x− y| = 1 y f(x) = f(y).

13. Para cada una de las funciones f siguientes encontrar m ∈ Z tal que f tenga algun

cero en el intervalo [m,m+ 1]:

a) f(x) = x3 − x+ 5.

b) f(x) = x4 + 4x3 − 2x+ 2.

c) f(x) = 4x2 − 5x+ 1.

d) f(x) = x5 + 5x4 + 2x+ 1.

14. Sea f : [a, b] −→ Q una funcion continua. ¿Que puede decirse de ella?

15. Sea f : [a, b] −→ R una funcion tal que |f(x) − f(y)| ≤ (x − y)2 para todos

x, y ∈ [a, b]. ¿Esta f acotada?

16. Sean f : [a, b] −→ R una funcion continua y xn una sucesion contenida en [a, b].

Demuestra que la serie∞∑n=1

1√n(f(xn+1)− f(xn)) es convergente.

17. Sea f : [0, 1] −→ R una funcion continua tal que f(0) = f(1). Prueba que existe

x ∈[0, 1

2

]tal que f(x) = f

(x+ 1

2

).

18. Sea f : R −→ R una funcion continua tal que

lımx→−∞

f(x) = lımx→+∞

f(x) = 0.

Demuestra que f esta acotada y que alcanza un maximo o un mınimo. Da un ejemplo

que indique que no necesariamente se tienen por que alcanzar tanto un maximo como

un mınimo.

50

Tema 3

Derivacion

3.1. Definiciones

Definicion 3.1.1. Dada una funcion f definida en un intervalo I y un punto c ∈ I,

definimos la funcion tasa de variacion mediante

τ(h) =f(c+ h)− f(c)

h

con h 6= 0 tal que c+ h ∈ I, o bien

τ(x) =f(x)− f(c)

x− c

con x 6= c y x ∈ I.

Observacion 3.1.2. La tasa de variacion de f en c mide la inclinacion de la recta que

pasa por los puntos de la grafica de f (c, f(c)) y (c+ h, f(c+ h)).


definimos la derivada de f en c como el lımite finito

f ′(c) = lımh→0

f(c+ h)− f(c)

h= lım

x→c

f(x)− f(c)

x− c.

Cuando existe este lımite finito, decimos que f es derivable en c.

Observacion 3.1.4. La derivada de f en c mide la inclinacion de la recta tangente a la

grafica de f en el punto (c, f(c)).

Proposicion 3.1.5. Sean f una funcion definida en un intervalo I y c ∈ I. Si f es

derivable en c, entonces es continua en c.

51

Demostracion. El resultado se deduce de que

lımx→c

(f(x)−f(c)) = lımx→c

(f(x)− f(c)

x− c(x− c)

)= lım

x→c

f(x)− f(c)

x− clımx→c

(x−c) = f ′(c) ·0 = 0.

Observacion 3.1.6. La funcion f(x) = |x| es continua en 0 pero no derivable.

Definicion 3.1.7. Una funcion f que tiene derivada en cada uno de los puntos de su

dominio se llama funcion derivable, y en tal caso f ′ es la funcion con el mismo dominio

que asigna a cada x de el la derivada de f en x. A f ′ se le llama la funcion derivada

(primera) de f .


definimos la derivada lateral por la derecha de f en c como el lımite finito

f ′+(c) = lımh→0+

f(c+ h)− f(c)

h= lım

x→c+

f(x)− f(c)

x− c.

Analogamente se define la derivada lateral por la izquierda de f en c, f ′−(c).

Observacion 3.1.9. Si c es uno de los extremos de I solo tiene sentido una de las dos

derivadas laterales.

Observacion 3.1.10. La derivabilidad de f en c equivale a que las dos derivadas laterales

de f en c existan y sean iguales.

Ejercicios

1. Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la definicion:

a) f(x) =√x.

b) f(x) = senx.

c) f(x) = log x.

d) f(x) = xn con n ∈ N.

e) f(x) = |x|.

2. Estudia para cada una de las funciones siguientes si existe la derivada en 0 y, en

caso negativo, si existen derivadas laterales en 0:

a) f(x) =

{x sen 1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

b) f(x) =

{x2 sen 1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

52

c) f(x) = x|x|.

3. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones definidas en [0, 1]:

a) f verifica que |f(x)− f(y)| ≤ (x− y)2 para todos x, y ∈ [0, 1].

b) f(x) =

{x2 si x ∈ Q0 si x 6∈ Q .

c) f(x) =

{0 si x 6∈ Q1q

si x = pq∈ Q, irreducible, q > 0

4. Sea f una funcion derivable en c tal que f(c) = 0. Prueba que |f | es derivable en c

si y solo si f ′(c) = 0.

5. Determina la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion√x en el punto

correspondiente a x = 12.

6. Sea f una funcion definida en el intervalo abierto I y derivable en a ∈ I.

a) Prueba que el lımite lımh→0

f(a+h)−f(a−h)2h

existe y coincide con f ′(a).

b) Da un ejemplo de una funcion f para la cual exista ese lımite pero que no sea

derivable en a.

3.2. Tecnicas para el calculo de derivadas

Proposicion 3.2.1. Sea f una funcion definida en un intervalo I, monotona y continua

tal que f ′(c) 6= 0 y existe f−1. Entonces f−1 es derivable en f(c) y

(f−1)′(f(c)) =1

f ′(c).

Demostracion. Sea yn una sucesion arbitraria de numeros distintos de f(c) y convergente

a f(c). Se trata de comprobar si converge la sucesion

f−1(yn)− f−1(f(c))

yn − f(c).

Si designamos f−1(yn) por xn, la sucesion anterior se puede expresar ası:

xn − cf(xn)− f(c)

.

Cada termino de la sucesion xn es distinto de c y, por ser f−1 continua, la sucesion xnconverge a c, con lo que

f ′(c) = lımn→∞

f(xn)− f(c)

xn − cobteniendose el resultado.

53

Ejemplo 3.2.2. Sea f(x) = sen x, x ∈(−π

2, π2

). Entonces

(arc senx)′ =1

cos arc senx=

1√1− x2

con x ∈ (−1, 1).

Proposicion 3.2.3. Sean f y g dos funciones definidas en un intervalo I y derivables en

c ∈ I, y λ ∈ R. Entonces:

1. f + g es derivable en c y (f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c).

2. fg es derivable en c y (fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c).

3. La funcion constante λ tiene derivada 0 en cada punto.

4. λf es derivable en c y (λf)′(c) = λf ′(c).

5. Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ I, 1g

es derivable en c y(

1g

)′(c) = − g′(c)

g(c)2.

6. Si g(x) 6= 0 para todo x ∈ I, fg

es derivable en c y(fg

)′(c) = f ′(c)g(c)−f(c)g′(c)

g(c)2.

Demostracion.

1. Es evidente que

lımh→0

(f + g)(c+ h)− (f + g)(c)

h= f ′(c) + g′(c).

2. Usando que

lımh→0

(fg)(c+ h)− (fg)(c)

h=

lımh→0

(f(c+ h)− f(c)

hg(c+ h)

)+ lım

h→0

(f(c)

g(c+ h)− g(c)

h

)y que g es continua en c se obtiene el resultado.

3. Trivial.

4. Basta usar 2 y 3.

5. Se tiene que

lımh→0

1g(c+h)

− 1g(c)

h= − lım

h→0

(1

g(c)g(c+ h)

g(c+ h)− g(c)

h

)= − g

′(c)

g(c)2.

54

6. Basta usar 2 y 5.

Proposicion 3.2.4 (Regla de la cadena). Si f es derivable en c y g es derivable en f(c),

entonces g ◦ f es derivable en c y (g ◦ f)′(c) = g′(f(c))f ′(c).

Demostracion. Supongamos en primer lugar que f(x) 6= f(c) si 0 < |x−c| < δ para cierto

δ > 0. Entonces

lımx→c

g(f(x))− g(f(c))

x− c= lım

x→c

(g(f(x))− g(f(c))

f(x)− f(c)

f(x)− f(c)

x− c

).

Ya que f es continua en c se obtiene el resultado.

Si para todo δ > 0 existe x ∈ (c− δ, c + δ) \ {c} tal que f(x) = f(c), entonces existe

una sucesion xn de numeros distintos de c que converge a c tal que f(xn) = f(c) para

todo n ∈ N. De aquı resulta que f ′(c) = 0. Basta ahora demostrar que (g ◦ f)′(c) = 0. Sea

xn una sucesion de numeros distintos de c convergente a c. Si f(xn) = f(c) para algun

n ∈ N, el cocienteg(f(xn))− g(f(c))

xn − cse anula. En caso contrario, utilizando de nuevo la descomposicion anterior, dicho cociente

converge a g′(f(c))f ′(c) = 0.

Ejercicios

1. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = cos x.

b) f(x) = tag x.

c) f(x) = log |x|.

d) f(x) = ex.

e) f(x) = arc cosx.

f ) f(x) = arc tag x.

g) f(x) = xr con r ∈ R y x > 0.

h) f(x) = (cos x)1/x.

i) f(x) =

{sen2 x cos 1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

j ) f(x) =

{x2 sen 1

x2si x 6= 0

0 si x = 0

55

k) f(x) = 3

√1 + 3

√1 + 3√x.

l) f(x) =√x2 − 3x+ 2.

m) f(x) = sen cos2 x.

2. Estudia la derivabilidad de las funciones siguientes:

a) f(x) = |π2 − x2| sen2 x.

b) f(x) = arc sen cosx.

c) f(x) = |(x− 1)(x− 2)2|.

d) f(x) = | cosx|.

e) f(x) = sen |x|.

3. Calcula derivadas o derivadas laterales para las siguientes funciones:

a) f(x) =

{x∣∣cos π

x

∣∣ si x 6= 00 si x = 0

b) f(x) =

{x

1+e1/xsi x 6= 0

0 si x = 0

c) f(x) = arc sen 2xx2+1

.

4. Calcula λ y µ para que sea derivable la funcion f(x) =

{6

x+2si x ∈ [0, 1]

λx2 + µ si x ∈ (1, 2]

3.3. Propiedades de las funciones derivables

3.3.1. Maximos y mınimos locales

Definicion 3.3.1. Si la funcion f es continua en c por la derecha, se dice que f es

creciente (decreciente) en c por la derecha si existe δ > 0 tal que f(x) > f(c)

(f(x) < f(c)) cuando c < x < c+ δ.

Analogamente, si f es continua en c por la izquierda, se dice que f es creciente

(decreciente) en c por la izquierda si existe δ > 0 tal que f(x) < f(c) (f(x) > f(c))

cuando c− δ < x < c.

Si f es continua en c, se dice que f es creciente (decreciente) en c si crece (decrece)

a ambos lados de c.

Proposicion 3.3.2.

1. Si existe f ′+(c) > 0, entonces f es creciente en c por la derecha.

56

2. Si existe f ′+(c) < 0, entonces f es decreciente en c por la derecha.

3. Si existe f ′−(c) > 0, entonces f es creciente en c por la izquierda.

4. Si existe f ′−(c) < 0, entonces f es decreciente en c por la izquierda.

Demostracion. Basta probar el primer apartado pues el resto se demuestran analogamen-

te. Dado 0 < λ < f ′+(c), existe δ > 0 tal que f(x)−f(c)x−c > λ si c < x < c + δ, con lo que se

obtiene el resultado.

Observacion 3.3.3. Derivada positiva (negativa) es condicion suficiente para crecimiento

(decrecimiento) pero no necesaria. Basta considerar la funcion f(x) = x3 que es creciente

y f ′(0) = 0.

Definicion 3.3.4. Dada una funcion f continua en c, se dice que f tiene en c un maximo

(mınimo) local si existe δ > 0 tal que f(x) ≤ f(c) (f(x) ≥ f(c)) si |x− c| < δ.

Al conjunto de maximos y mınimos locales de f se les llama extremos locales de f .

Como consecuencia de la proposicion anterior se obtiene claramente que:

Proposicion 3.3.5. Si f tiene en c un extremo local y f es derivable en c, entonces

f ′(c) = 0.

3.3.2. El teorema del valor medio

Teorema 3.3.6 (Rolle). Sea f una funcion derivable en un intervalo acotado (a, b) y

continua en sus extremos. Si f(a) = f(b), entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Demostracion. Ya que f es una funcion continua en [a, b], existen c1, c2 ∈ [a, b] tales que

f(c1) = supx∈[a,b]

f(x) y f(c2) = ınfx∈[a,b]

f(x).

Si c1 y c2 son los extremos del intervalo, entonces f es constante y f ′(c) = 0 para todo

c ∈ (a, b).

En otro caso, c1 o c2 pertenece a (a, b) y entonces el maximo o mınimo absoluto es

tambien un extremo local, por lo que al existir la derivada en el esta tiene que ser 0.

Observacion 3.3.7. Geometricamente el teorema de Rolle nos dice que en algun punto

(c, f(c)) de la grafica de f , siendo c intermedio entre a y b, la tangente es horizontal y

paralela, por tanto, al segmento que une los extremos de la grafica.

El siguiente resultado constituye una generalizacion del teorema de Rolle.

57

Teorema 3.3.8 (Valor medio). Sea f una funcion derivable en un intervalo acotado (a, b)

y continua en sus extremos. Existe c ∈ (a, b) tal que f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Demostracion. Basta aplicar el teorema de Rolle a la funcion

Φ(x) = (f(b)− f(a))x− (b− a)f(x).

Observacion 3.3.9. Geometricamente el teorema del valor medio dice que en algun punto

(c, f(c)) de la grafica de f , siendo c intermedio entre a y b, la tangente es paralela al

segmento que une los extremos de la misma.

Y el siguiente resultado generaliza el teorema del valor medio.

Teorema 3.3.10 (Cauchy). Sean f y g funciones derivables en un intervalo acotado (a, b)

y continuas en los extremos. Existe c ∈ (a, b) tal que

g′(c)(f(b)− f(a)) = f ′(c)(g(b)− g(a)).

Demostracion. Basta aplicar el teorema de Rolle a la funcion

Φ(x) = (f(b)− f(a))g(x)− (g(b)− g(a))f(x).

Veamos ahora algunas aplicaciones de estos teoremas.

Proposicion 3.3.11. Si la funcion f tiene derivada positiva (negativa, no negativa, no

positiva) en cada punto de un intervalo I, entonces f es estrictamente creciente (estric-

tamente decreciente, creciente, decreciente) en I.

Demostracion. Basta con probar la primera parte pues las otras se demuestran analoga-

mente.

Sean x, y ∈ I tales que x < y. Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [x, y] se

obtiene algun c ∈ (x, y) tal que f(y)− f(x) = f ′(c)(y−x), deduciendose el resultado.

Proposicion 3.3.12. Si la funcion f es derivable en un intervalo I y |f ′(x)| ≤ M para

todo x ∈ I, entonces f es uniformemente continua.

Demostracion. Dados x, y ∈ I, aplicando el teorema del valor medio se obtiene algun c

intermedio entre x e y tal que |f(x)− f(y)| = |f ′(c)||x− y| ≤M |x− y|, deduciendose el

resultado.

58

Proposicion 3.3.13. Sea una funcion f derivable en algun intervalo (a, a+δ) ((a−δ, a))

y continua en a. Si existe lımx→a+

f ′(x) ( lımx→a−

f ′(x)), entonces tambien existe f ′+(a) (f ′−(a))

y son iguales.

Demostracion. En el primer caso basta aplicar el teorema del valor medio al intervalo

[a, x] para cada x ∈ (a, a+ δ).

El otro caso es analogo.

Observacion 3.3.14. La existencia de f ′+(a) no garantiza la de lımx→a+

f ′(x). Basta consi-

derar la funcion f(x) =

{x2 sen 1

xsi x > 0

0 si x = 0y a = 0.

En el resultado siguiente a ∈ [−∞,+∞].

Teorema 3.3.15 (L’Hopital). Sean f y g dos funciones que verifican las condiciones

siguientes:

1. lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = 0,+∞,−∞.

2. En las proximidades de a son derivables, y g y g′ no se anulan.

3. lımx→a

f ′(x)g′(x)

= λ ∈ [−∞,+∞].

Entonces lımx→a

f(x)g(x)

= λ.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que el lımite comun de la condicion 1 es 0 y

que a ∈ R. La condicion 2 se verifica en alguno de los intervalos (a− δ, a) o (a, a + δ), o

en ambos. Por la condicion 1, si definimos f(a) = g(a) = 0, entonces f y g son continuas

en a. Suponemos que f y g estan definidas en [a, a + δ), y para (a − δ, a] se harıa un

razonamiento analogo.

Fijado x ∈ (a, a+ δ), utilizando el teorema de Cauchy en el intervalo [a, x] se obtiene

c ∈ (a, x) tal que

g′(c)(f(x)− f(a)) = f ′(c)(g(x)− g(a))

es decir,f(x)

g(x)=f ′(c)

g′(c).

Cuando x→ a+, tambien c→ a+, con lo que se tiene el resultado.

Estudiemos ahora el caso a = +∞, y el problema es analogo si a = −∞.

59

Las funciones f y g verifican la condicion 2 en (A,+∞) para cierto A > 0. Hacemos

el cambio de variable x = 1t

y consideramos las funciones F (t) = f(1t

)y G(t) = g

(1t

),

las cuales se encuentran en la situacion del caso anterior para a = 0, obteniendose el

resultado.

Supongamos ahora que el lımite comun de la condicion 1 es +∞ (el caso −∞ se prueba

analogamente) y que a ∈ R. De la misma forma que antes el caso infinito se reduce al

caso finito mediante un cambio de variable.

El problema fundamental ahora es que no podemos definir f y g en a de manera

que sean continuas, y por ello deberemos aplicar el teorema de Cauchy en intervalos a la

derecha o a la izquierda de a y un poco separados de a. Haremos un razonamiento para

la parte derecha de a, y para la parte izquierda se procederıa analogamente.

Suponemos que la condicion 2 se verifica en el intervalo (a, b]. Si x ∈ (a, a+ δ) siendo

δ suficientemente pequeno, se verifica la identidad siguiente:

f(x)

g(x)=f(x)− f(b)

g(x)− g(b)

1− g(b)g(x)

1− f(b)f(x)

ya que los denominadores que aparecen son distintos de 0 por la condicion 1. Aplicando

el teorema de Cauchy al intervalo [x, b] se obtiene c ∈ (x, b) tal que

f(x)− f(b)

g(x)− g(b)=f ′(c)

g′(c)

por lo que la referida identidad se puede tambien escribir ası:

f(x)

g(x)=f ′(c)

g′(c)h(x)

en donde h(x) es el segundo factor del segundo miembro de ella. Ya que lımx→a+

h(x) = 1,

tomando b para que f ′(c)g′(c)

este suficientemente cerca de λ, se obtiene el resultado.

3.3.3. Derivadas de orden superior y el teorema de Taylor

Definicion 3.3.16. Sea f una funcion derivable en todos los puntos de un intervalo I.

Si f ′ es derivable en c ∈ I, es decir, si existe y es finito

lımx→c

f ′(x)− f ′(c)x− c

,

este se designa f ′′(c) y se llama la derivada segunda de f en c. Analogamente se define

la derivada n-esima de f en c, f (n)(c).

60

Teorema 3.3.17 (generalizado de Cauchy). Sean f y g funciones derivables con continui-

dad hasta el orden n− 1 en [a, b] y tales que f (n)(x) y g(n)(x) existen para todo x ∈ (a, b).

Entonces existe c ∈ (a, b) tal que

g(n)(c)

(f(b)−

n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(b− a)k

)= f (n)(c)

(g(b)−

n−1∑k=0

g(k)(a)

k!(b− a)k

).

Demostracion. Basta aplicar el teorema de Cauchy a las funciones

F (x) =n−1∑k=0

f (k)(x)

k!(b− x)k

y

G(x) =n−1∑k=0

g(k)(x)

k!(b− x)k.

Teorema 3.3.18 (Taylor). Sea f una funcion derivable con continuidad hasta el orden

n − 1 en [a, b] y tal que f (n)(x) existe para todo x ∈ (a, b). Entonces existe c ∈ (a, b) tal

que

f(b)−n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(b− a)k =

f (n)(c)

n!(b− a)n.

Demostracion. Basta aplicar el teorema generalizado de Cauchy a f y g(x) = (x−a)n.

Teorema 3.3.19 (Taylor-Young). Sea f una funcion derivable hasta el orden n − 1 en

[a, b] y tal que f (n)(c) existe para cierto c ∈ [a, b]. Entonces el polinomio de Taylor de f

de orden n centrado en c, es decir,

Pn,f,c(x) =n∑k=0

f (k)(c)

k!(x− c)k

es el unico polinomio P (x) de grado menor o igual que n tal que

lımx→c

f(x)− P (x)

(x− c)n= 0.

Demostracion. Por induccion se prueba que el polinomio de Taylor de f de orden n

centrado en c verifica que el lımite del enunciado es nulo. Basta emplear el teorema de

L’Hopital y utilizar que P ′n+1,f,c = Pn,f ′,c.

Para ver la unicidad, supongamos que P y Q son dos polinomios de grado menor o

igual que n que verifican que el lımite del enunciado es nulo. Entonces

P (x)−Q(x) = a0 + a1(x− c) + · · ·+ an(x− c)n.

61

Ya que

lımx→c

P (x)−Q(x)

(x− c)n= lım

x→c

f(x)−Q(x)

(x− c)n− lım

x→c

f(x)− P (x)

(x− c)n= 0

se tiene que

a0 = lımx→c

(P (x)−Q(x)) = lımx→c

(P (x)−Q(x)

(x− c)n(x− c)n

)= 0.

Pero entonces

a1 = lımx→c

P (x)−Q(x)

x− c= lım

x→c

(P (x)−Q(x)

(x− c)n(x− c)n−1

)= 0.

Reiterando este proceso se obtiene que P = Q.

Definicion 3.3.20. Dadas dos funciones f y g definidas en un intervalo I y c ∈ I, se

dice que f(x) = o(g(x)) cuando x→ c si

lımx→c

f(x)

g(x)= 0.

3.3.4. Analisis local de una funcion derivable

Definicion 3.3.21. Se dice que la funcion f es concava en a si existe δ > 0 tal que

f(x) < f(a) + f ′(a)(x− a) si 0 < |x− a| < δ.

Analogamente, se dice que la funcion f es convexa en a si existe δ > 0 tal que

f(x) > f(a) + f ′(a)(x− a) si 0 < |x− a| < δ.

Y f tiene en a un punto de inflexion si existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ,

la diferencia f(x) − [f(a) + f ′(a)(x − a)] es positiva para x > a y negativa para x < a o

viceversa.

Observacion 3.3.22. Concavidad de f en a significa que en las proximidades de a la

grafica de f esta por debajo de la tangente en (a, f(a)), convexidad significa que esta por

encima y punto de inflexion significa que la tangente atraviesa a la grafica.

Proposicion 3.3.23. Sea f una funcion con derivada de orden n en un intervalo I en

cuyo interior esta a y tal que f (n) es continua en a, f (n)(a) 6= 0 y

f ′′(a) = f ′′′(a) = · · · = f (n−1)(a) = 0.

Entonces:

1. Si n es par y f (n)(a) > 0, entonces f es convexa en a, y si ademas f ′(a) = 0,

entonces f tiene en a un mınimo local.

62

2. Si n es par y f (n)(a) < 0, entonces f es concava en a, y si ademas f ′(a) = 0,

entonces f tiene en a un maximo local.

3. Si n es impar, entonces f tiene en a un punto de inflexion.

Demostracion. Aplicando el teorema de Taylor al intervalo de extremos a y x siendo x

cualquier punto de I, se obtiene que

f(x)− [f(a) + f ′(a)(x− a)] =f (n)(c)

n!(x− a)n

para algun c intermedio entre a y x.

Ya que f (n) es continua en a, existe δ > 0 tal que f (n) es positiva en (a− δ, a+ δ) si en

a lo es o negativa en dicho intervalo si en a lo es. Se presentan, pues, cuatro posibilidades

al analizar sif (n)(c)

n!(x− a)n

es positivo o negativo cuando x ∈ (a − δ, a + δ) dependiendo de la paridad de n y del

signo de f (n)(a). Todas ellas se estudian sin dificultad obteniendose el resultado.

Ejercicios

1. Sea f una funcion derivable para x > A tal que lımx→+∞

f ′(x) existe y es finito. Calcula:

a) lımx→+∞

(f(x+ 2)− f(x)).

b) lımx→+∞

f(2x)−f(x)x

.

2. Sea f una funcion definida y continua en [0,+∞) tal que f(0) = 0, f es derivable

en (0,+∞) y f ′ es creciente. Sea g(x) = f(x)x

definida en (0,+∞). Prueba que g es

creciente.

3. Demuestra que el polinomio c0+c1x+c2x2+· · ·+cnxn tiene algun cero en el intervalo

(0, 1) si c0 + 12c1 + 1

3c2 + · · ·+ 1

n+1cn = 0.

4. Calcula los lımites siguientes usando el teorema de L’Hopital:

a) lımx→0

log(1+ax)log(1+bx)

con a, b > 0.

b) lımx→0

n√1+ax−1m√1+bx−1 con a, b > 0.

c) lımx→+∞

xn

excon n ∈ N.

d) lımx→+∞

((x2 + x) log

(1 + 1

x

)− x).

63

e) lımx→0

(1x2− cotag x

x

).

f ) lımx→1

(2− x)tagπx2 .

g) lımx→0+

(log cotag x)tag x.

h) lımx→1

x1

1−x .

i) lımx→0

(cotag x− 1

x

).

j ) lımx→0

(e

11−cos x senx

).

k) lımx→0

(1x− 1

ex−1

).

l) lımx→1

(1

log x− 1

x−1

).

m) lımx→0

x(ex+1)−2(ex−1)x3

.

5. Prueba que si existe f ′′(x), entonces

lımh→0

f(x+ h) + f(x− h)− 2f(x)

h2= f ′′(x).

¿Puede existir este lımite y que no exista f ′′(x)?

6. Demuestra que f ′(x) = 0 para cada x de un intervalo I si y solo si f es constante

en I.

7. Prueba las desigualdades siguientes:

a) x+ 1 ≤ ex para todo x ∈ R.

b) log(x+ 1) < x para todo x > 0.

c) 1− ab< log b

a< b

a− 1 con 0 < a < b.

8. Escribe el polinomio x4 + x3 − 3x2 + 4x− 4 como una suma de potencias de x− 1,

y el polinomio x4 − 11x3 + 43x2 − 60x+ 14 como una suma de potencias de x− 3.

9. Demuestra que:

a) ex =∞∑k=0

xk

k!para todo x ∈ R.

b) log(1 + x) =∞∑k=1

(−1)k−1 xk

kpara todo x ∈ [0, 1].

c) senx =∞∑k=1

(−1)k−1x2k−1

(2k−1)! para todo x ∈ R.

d) cosx =∞∑k=0

(−1)kx2k(2k)!

para todo x ∈ R.

64

e) x < (1 + x) log(1 + x) < x+ x2

2para todo x > 0.

10. Prueba las desigualdades siguientes:

a) 1− x2

2≤ cosx para todo x ∈ R.

b)2n∑k=1

(−1)k+1 xk

k≤ log(x+ 1) ≤

2n+1∑k=1

(−1)k+1 xk

kpara todo x > 0.

11. Comprueba que el error cometido al sustituir sen(ex − 1) por x+ 12x2 es menor que

3 · 10−3 si |x| ≤ 110

.

12. Prueba que el error cometido al sustituir cos2 3x por 1 − 9x2 + 27x4 es menor que

4 · 10−5 si |x| ≤ 110

.

13. Se supone que f(a) = g(a) y que f ′(x) < g′(x) para todo x ∈ [a, b]. Demuestra que

f(x) < g(x) para todo x ∈ (a, b].

14. Sea f continua en [a, b] y con derivada segunda en (a, b). Se supone que en el

segmento que une los extremos de la grafica de f hay algun otro punto de ella.

Demuestra que existe c ∈ (a, b) tal que f ′′(c) = 0.

15. Sea f continua en [a, b]. En (a, b) hay n + 1 puntos en los cuales f toma el mismo

valor. Demuestra que si f tiene derivada n-esima en (a, b), entonces existe c ∈ (a, b)

tal que f (n)(c) = 0.

16. Calcula los lımites siguientes usando el teorema de Taylor-Young:

a) lımx→0

(senx−x)2− 136x6

x8.

b) lımx→0

arc tag x−senxtag x−arc senx .

c) lımx→1

1−x+log x

1−√2x−x2 .

d) lımx→0

senx−x cosx√x2−sen2 x .

17. Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:

a) f(x) = 2xx2+1

.

b) f(x) = cos x− x.

c) f(x) = x2e−x.

18. Dada la funcion

f(x) =

{x4 sen2 1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

demuestra que tiene en 0 un mınimo local, que f ′(0) = f ′′(0) = 0 y que no existe

f ′′′(0).

65

19. Prueba que la funcion f(x) = ax− x3

x2+1es creciente en R si a ≥ 9

8.

20. Determina el rectangulo inscrito en la elipse(xa

)2+(yb

)2= 1 con lados paralelos a

los ejes y que tenga area maxima.

21. Determina el paralelepıpedo de base cuadrada inscrito en una semiesfera de radio 1

que tiene volumen maximo.

22. Representa graficamente las funciones siguientes:

a) f(x) = x3 − 5x2 + 5x− 1.

b) f(x) = x3

(x+1)2.

c) f(x) = (x− 1)3√x2.

d) f(x) = xe1/x.

e) f(x) = −14x2 log x.

f ) f(x) = 1log x

.

Recuerda que si lımx→c+

f(x) = ±∞ o lımx→c−

f(x) = ±∞, se dice que la recta x = c es

una asıntota vertical de la grafica de f , si lımx→+∞

f(x) = L o lımx→−∞

f(x) = L, se

dice que la recta y = L es una asıntota horizontal y la recta y = λx+µ con λ 6= 0

es una asıntota oblicua si lımx→+∞

(f(x)− λx− µ) = 0 o lımx→−∞

(f(x)− λx− µ) = 0.

66

Tema 4

Integracion

4.1. Calculo de primitivas

Definicion 4.1.1. Se dice que la funcion derivable F es una primitiva de la funcion f

si F ′ = f , utilizandose la notacion∫f(x) dx = F (x).

Es trivial probar el resultado siguiente:

Proposicion 4.1.2. La condicion necesaria y suficiente para que dos funciones derivables

sean primitivas de la misma funcion es que su diferencia sea constante.

Observacion 4.1.3. Si conocemos una primitiva F de f , todas las demas se obtienen

sumando a F un numero real arbitrario.

De la derivada de un producto de dos funciones se obtiene facilmente la regla siguiente:

Proposicion 4.1.4. Dadas dos funciones derivables f y g se tiene que∫f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x) dx.

La regla de la cadena es otra herramienta para el calculo de primitivas. Si queremos

hallar una primitiva de f(x), es util a veces hacer un cambio de variable x = ϕ(t) de

tal manera que ϕ y ϕ−1 sean derivables. Si podemos encontrar una primitiva G(t) del

producto g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t), entonces la funcion F (x) = G(ϕ−1(x)) es una primitiva de

f(x).

Ejercicios

1. Calcula las primitivas siguientes:

67

a)∫

1√x−1+

√x+1

dx.

b)∫

11+senx

dx.

c)∫

tag 2 x dx.

d)∫x√

1− x2 dx.

2. Calcula las primitivas siguientes utilizando la regla del producto:

a)∫x2ex dx.

b)∫x cosx dx.

c)∫

arc tag x dx.

d)∫

log |x| dx.

e)∫

arc senx dx.

f )∫ex cosx dx.

g)∫

log3 x dx.

h)∫

log log xx

dx.

i)∫x log2 x dx.

j )∫

x arc senx√1−x2 dx.

k)∫

sen2 x dx.

3. Calcula las primitivas de funciones racionales siguientes:

a)∫

2x2+7x−1x3+x2−x−1 dx.

b)∫

x+4x2+1

dx.

c)∫

x2+x+2x4+2x2+1

dx.

d)∫

2x2+x+1(x+3)(x−1)2 dx.

e)∫

1x4+1

dx.

f )∫

2x−1(x2+2)2

dx.

4. Calcula las primitivas siguientes mediante cambio de variable:

a)∫ √

1− x2 dx.

b)∫ √

x2 + 1 dx.

c)∫x√x+ 1 dx.

d)∫

ex+2e−x

e2x+1dx.

e)∫

senxsenx+cosx

dx.

f )∫

sen3 x cos4 x dx.

68

g)∫

1+cos2 xcosx(1+sen2 x)

dx.

h)∫

1sen2 x cos2 x

dx.

i)∫ 4√x

1+√xdx.

j )∫

1cosx

dx.

5. Calcula las primitivas siguientes:

a)∫

2−senx2+cosx

dx.

b)∫

11+sen2 x

dx.

c)∫

1−r cosx1−2r cosx+r2 dx.

d)∫

11+√x+1

dx.

e)∫

4x+12x+1

dx.

f )∫ √

1−x1−√xdx.

g)∫

cos 2x sen2 x dx.

h)∫

1sen 3x cosx

dx.

i)∫x(

1 + 1√x

)2dx.

j )∫

2+√x+1

(x+1)2−√x+1

dx.

k)∫ √

2x− x2 dx.

l)∫

1√x−x2 dx.

m)∫

sen3 x√cosx

dx.

n)∫

1a2ex+b2e−x

dx.

n)∫x5√

1− x3 dx.

o)∫

1x(x7+1)

dx.

p)∫

cosx log(1 + cosx) dx.

q)∫

x2−3x+3x2−3x+2

dx.

r)∫

3x+5(x2−2x+2)2

dx.

s)∫

1x√x2−1 dx.

t)∫

1x+1

√x+3x−1 dx.

u)∫

12+3 tag x

dx.

v)∫

x2√3x2−x+1

dx.

69

4.2. La integral de Riemann

Sea f : [a, b] −→ R acotada, es decir, |f(x)| ≤M para todo x ∈ [a, b]. A continuacion

vamos a describir un proceso (integracion) que asocia a f un determinado numero (inte-

gral) que, cuando f es continua y positiva en [a, b], es el area del recinto plano determinado

sobre [a, b] por la grafica de f y las rectas x = a y x = b.

Definicion 4.2.1. Dados x1 < x2 < · · · < xr−1 numeros de (a, b), se dice que

P = {a = x0, x1, x2, . . . , xr−1, b = xr}

es una particion del intervalo [a, b]. La norma de P se define como

|P | = max1≤i≤r

{xi − xi−1}.

La coleccion de todas las particiones de [a, b] se designa por P.

A cada P ∈ P asociamos las sumas

S(f, P ) =r∑

k=1

(xk − xk−1) supx∈[xk−1,xk]

f(x)

s(f, P ) =r∑

k=1

(xk − xk−1) ınfx∈[xk−1,xk]

f(x)

y

σ(f, P ) =r∑

k=1

(xk − xk−1)f(tk)

donde tk ∈ [xk−1, xk] para todo 1 ≤ k ≤ r.

Proposicion 4.2.2.

1. Para toda P ∈ P se tiene que

−M(b− a) ≤ s(f, P ) ≤ σ(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤M(b− a).

2. Para todas P, P ′ ∈ P se tiene que s(f, P ) ≤ S(f, P ′).

3. Se tiene que

−M(b− a) ≤ supP∈P

s(f, P ) ≤ ınfP∈P

S(f, P ) ≤M(b− a).

Demostracion.

1. Trivial.

70

2. El resultado se debe a que s(f, P ) ≤ s(f, P ∪ P ′) ≤ S(f, P ∪ P ′) ≤ S(f, P ′) donde

P ∪ P ′ se obtiene anadiendo a P los elementos de P ′ que no le pertenecen.

3. Basta usar los apartados ya probados.

Definicion 4.2.3. Las integrales superior e inferior de f en [a, b] se definen, respec-

tivamente, mediante ∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f = ınfP∈P

S(f, P )

y ∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f = supP∈P

s(f, P ).

Cuando son iguales se dice que f es integrable (Riemann), el valor comun se designa∫ baf(x) dx =

∫ baf y se denomina integral (Riemann) de f en [a, b].

Proposicion 4.2.4. Una funcion f definida en [a, b] y acotada es integrable si y solo si

para todo ε > 0 existe P ∈ P tal que S(f, P )− s(f, P ) < ε.

Demostracion. Supongamos que f es integrable. Dado ε > 0 existe P ′ ∈ P tal que

S(f, P ′) <∫ baf + ε

2. Analogamente existe P ′′ ∈ P tal que s(f, P ′′) >

∫ baf − ε

2. Sea

P = P ′ ∪ P ′′. Entonces∫ b

a

f − ε

2< s(f, P ) ≤ S(f, P ) <

∫ b

a

f +ε

2

con lo que S(f, P )− s(f, P ) < ε.

Recıprocamente, dado ε > 0 existe P ∈ P tal que S(f, P )− s(f, P ) < ε, con lo que∫ b

a

f −∫ b

a

f < ε

para todo ε > 0 y, por tanto, ∫ b

a

f =

∫ b

a

f.

Corolario 4.2.5. Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces es integrable.

Demostracion. Ya que f es uniformemente continua en [a, b], dado ε > 0 existe δ > 0 tal

que |f(x)− f(y)| < ε2(b−a) si |x− y| < δ. Basta entonces elegir P ∈ P tal que |P | < δ para

obtener el resultado.

71

Observacion 4.2.6. Si f : [a, b] −→ R es continua y Pn es una sucesion de particiones

de [a, b] tal que lımn→∞

|Pn| = 0, entonces lımn→∞

(S(f, Pn) − s(f, Pn)) = 0 y, puesto que

s(f, Pn) ≤∫ baf ≤ S(f, Pn) para todo n ∈ N, resulta tambien que la sucesiones S(f, Pn) y

s(f, Pn) (y cualquier σ(f, Pn)) convergen a la integral.

Veamos ahora las propiedades de las funciones integrables:

Proposicion 4.2.7. Sean f y g funciones integrables en [a, b] y λ ∈ R. Entonces se

verifica:

1. f + g es integrable en [a, b] y∫ ba(f + g) =

∫ baf +

∫ bag.

2. λf es integrable en [a, b] y∫ ba(λf) = λ

∫ baf .

3. Si c ∈ (a, b), entonces f es integrable en [a, c] y en [c, b] y∫ baf =

∫ caf +

∫ bcf .

4. Si f ≤ g, entonces∫ baf ≤

∫ bag.

5. |f | es integrable en [a, b] y∣∣∣∫ ba f ∣∣∣ ≤ ∫ ba |f |.

Demostracion.

1. Sea ε > 0. Ya que f y g son integrables existen particiones P, P ′ ∈ P tales que

S(f, P )− s(f, P ) < ε2

y S(g, P ′)− s(g, P ′) < ε2. Tomando P ′′ = P ∪ P ′ se tiene que

S(f + g, P ′′)− s(f + g, P ′′) ≤ S(f, P ′′) + S(g, P ′′)− s(f, P ′′)− s(g, P ′′)≤ S(f, P ) + S(g, P ′)− s(f, P )− s(g, P ′)< ε.

con lo que f + g es integrable. La igualdad integral se obtiene tomando ınfimos y

supremos respectivamente en P en las desigualdades S(f+g, P ) ≤ S(f, P )+S(g, P )

y s(f + g, P ) ≥ s(f, P ) + s(g, P ).

2. La demostracion de esta propiedad es similar a la de la anterior.

3. La primera parte es trivial y la segunda se deduce de la primera propiedad pues f

coincide salvo en c con la suma de sus restricciones a [a, c] y [c, b].

4. Basta con tomar ınfimos en P en la desigualdad S(f, P ) ≤ S(g, P ).

5. La primera parte se debe a que |f | es la composicion de la funcion integrable f con

la funcion continua valor absoluto (ver Ejercicio 2). Utilizando los apartados 2 y

4 se tiene que −∫ baf =

∫ ba(−f) ≤

∫ ba|f | y

∫ baf ≤

∫ ba|f | con lo que se obtiene la

segunda parte.

72

Proposicion 4.2.8. Si f : [a, b] −→ R es continua, entonces∫ baf = (b − a)f(x) para

algun x ∈ [a, b].

Demostracion. Ya que

(b− a) mınx∈[a,b]

f(x) ≤∫ b

a

f ≤ (b− a) maxx∈[a,b]

f(x)

se tiene que∫ baf = (b − a)µ para algun mın

x∈[a,b]f(x) ≤ µ ≤ max

x∈[a,b]f(x). El teorema de los

valores intermedios hace el resto.

Ejercicios

1. Demuestra que una funcion monotona definida en [a, b] es integrable.

2. Demuestra que la composicion de una funcion integrable y una continua es integra-

ble.

3. Demuestra que una funcion acotada cuyo conjunto de puntos de discontinuidad es

finito es integrable.

4. Prueba que la funcion definida en [0, 1] por

f(x) =

{0 si x 6∈ Q1q

si x = pq∈ Q, irreducible, q > 0

es integrable y calcula su integral.

5. Demuestra que la composicion de dos funciones integrables puede ser no integrable.

6. Demuestra que el producto de dos funciones integrables es integrable.

7. Demuestra que si∞∑n=1

an es una serie convergente de elementos de [0, 1] y f es una

funcion integrable en [0, 1], entonces la serie∞∑n=1

∫ an0f es absolutamente convergente.

8. Sea f una funcion integrable en [a, b] no negativa. Prueba que si f es continua en c

y f(c) > 0, entonces∫ baf > 0.

73

4.3. El teorema fundamental del Calculo

Definicion 4.3.1. Sea f : [a, b] −→ R integrable. A la funcion

F (t) =

{0 si t = a∫ t

af(x) dx si a < t ≤ b

se le llama integral indefinida de f en [a, b].

Teorema 4.3.2 (Teorema fundamental del Calculo). Sean f : [a, b] −→ R integrable y F

la integral indefinida de f en [a, b]. Entonces F es una funcion continua y si f es continua

en c ∈ [a, b], F es derivable en c y F ′(c) = f(c).

Demostracion. Ya que

−M(t− a) ≤ F (t) ≤M(t− a)

se tiene que

lımt→a

F (t) = 0

con lo que F es continua en t = a.

Y si a < u < v ≤ b, entonces

|F (v)− F (u)| =∣∣∣∣∫ v

u

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ v

u

|f | ≤M(v − u)

con lo que F es uniformemente continua en (a, b].

Supongamos ahora que f es continua en c ∈ [a, b]. Estudiemos F ′+(c). La otra derivada

lateral se estudia analogamente. Dado ε > 0 existe δ > 0 tal que |f(x) − f(c)| < ε si

|x− c| < δ. Entonces, si 0 < h < δ, se tiene que

∣∣∣∣F (c+ h)− F (c)

h− f(c)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∫ c+hc(f(x)− f(c)) dx

∣∣∣h

≤∫ c+hc|f(x)− f(c)| dx

h< ε

lo cual completa la demostracion.

Corolario 4.3.3 (Regla de Barrow). Sea f una funcion continua definida en [a, b] y sea

F una primitiva de f . Entonces∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Demostracion. Ya que, por el teorema fundamental del Calculo, la integral indefinida de

f es otra primitiva de f , se tiene que ambas difieren en una constante λ = −F (a) con lo

que se tiene el resultado.

74

Ejercicios

1. Demuestra que si f tiene derivada continua de orden n en [a, b], entonces

f(b)−n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(b− a)k =

∫ b

a

f (n)(x)

(n− 1)!(b− x)n−1 dx.

2. Expresa las integrales siguientes como el lımite de una suma y halla los lımites

siguientes mediante la evaluacion de una integral por la regla de Barrow:

a)∫ 1

0ax dx; lım

n→∞n( n√a− 1) con a > 0.

b)∫ 2

1log x dx; lım

n→∞n

√(1 + 1

n

) (1 + 2

n

)· · ·(1 + n

n

).

c)∫ 1

0xp dx; lım

n→∞1p+2p+···+np

np+1 con p ∈ N.

d)∫ 2

1dxx

; lımn→∞

(1

n+1+ 1

n+2+ · · ·+ 1

n+n

).

e)∫ 1

0dxx2+1

; lımn→∞

[n(

1n2+12

+ 1n2+22

+ · · ·+ 1n2+n2

)].

f )∫ 1

0dx√x2+1

; lımn→∞

n∑k=1

1√n2+k2

.

g)∫ 1

0

√x dx; lım

n→∞1+√2+√3+···+

√n

n√n

.

h)∫ 1

0

√1− x2 dx; lım

n→∞

n∑k=1

√n2−k2n2 .

3. Sea f una funcion continua. Prueba que las funciones siguientes son derivables y

calcula sus derivadas:

a) F (t) =∫ 1

tf(x) dx.

b) F (t) =∫ t20f(x) dx.

4. Calcula las integrales siguientes:

a)∫ 2π

0max{senx, cosx} dx.

b)∫ π/20

cos3 x sen3 x1+sen2 x

dx.

c)∫ 2

0x2

(x2+1)3/2dx.

d)∫ 3

−3 |x(x− 1)(x+ 1)(x− 2)| dx.

5. Sean f una funcion continua en R y u y v dos funciones derivables en R. Se define

la funcion g en R como

g(x) =

∫ v(x)

u(x)

f(t) dt.

75

Demuestra que g es derivable en R y que

g′(x) = f(v(x))v′(x)− f(u(x))u′(x).

6. Calcula la derivada de las funciones siguientes:

a) f(x) =∫ x0

et

t4+t2+2dt.

b) f(x) =∫ x2x

dt√t2+1

.

7. Calcula los lımites siguientes:

a) lımx→0+

∫ x20 sen

√t dt

x3.

b) lımx→+∞

(∫ x0 et

2dt)2∫ x

0 e2t2 dt.

8. Calcula el area de la region acotada por la curva y = x3 − x y su tangente en el

punto de abcisa x = −1.

9. Halla el area de la region limitada por la parabola y = −x2 − 2x + 3, su tangente

en el punto (2,−5) y el eje OY .

10. La corona circular centrada en el origen y de radio interior√

2 y radio exterior√

6

se corta con la parabola x = y2. Calcula el area de cada una de las dos regiones que

se forman.

11. Halla λ para que la curva y = λ cosx divida en dos partes de igual area la region

acotada por el eje OX, la recta x = π2

y la curva y = senx.

4.4. Integrales impropias

Ahora vamos a extender la definicion de integral a intervalos no cerrados o no acotados

para funciones no necesariamente acotadas. Las integrales de esta naturaleza se suelen de-

nominar integrales impropias. La funcion f objeto de nuestro estudio sera localmente

integrable en el intervalo I en el que este definida, es decir, integrable en cada intervalo

cerrado y acotado contenido en I.

Definicion 4.4.1. Si I = [a, b) siendo b ∈ R ∪ {+∞}, la integral de f en I de define

como ∫ b−

a

f = lımt→b−

∫ t

a

f

en el supuesto de que este lımite exista (finito o infinito) y se dice que f es integrable

en I o que la integral impropia de f en I es convergente si dicho lımite es finito.

76

Si I = (a, b] siendo a ∈ R ∪ {−∞}, definimos analogamente∫ b

a+f = lım

t→a+

∫ b

t

f.

Si I = (a, b) (acotado o no por ambos lados), se dice que f es integrable si existe c ∈ Ital que f es integrable en (a, c] y en [c, b), y la integral de f en I se define mediante∫ b−

a+f =

∫ c

a+f +

∫ b−

c

f.

Observacion 4.4.2. De las propiedades de la integral se deduce facilmente que si exis-

te algun c con esta propiedad, entonces cualquier punto de (a, b) tambien la tiene, y la

definicion de la integral es independiente del c que se elija.

Veamos ahora algunos criterios de comparacion. Nos referiremos a un intervalo [a, b)

y de forma analoga se puede hacer para (a, b]. El primero de ellos se obtiene facilmente:

Proposicion 4.4.3. Sean f y g definidas en [a, b) tales que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para cada x

de algun intervalo [c, b) con c ∈ [a, b). Entonces, si g es integrable, f tambien lo es, y si

f tiene integral infinita, g tambien.

De este resultado se deducen los dos siguientes:

Proposicion 4.4.4. Sean f y g definidas en [a, b) tales que f(x) ≥ 0, g(x) > 0 y

λ ≤ f(x)

g(x)≤ µ

para cada x de algun intervalo [c, b) con c ∈ [a, b) y λ, µ > 0. Entonces f es integrable si

y solo si g tambien lo es.

Observacion 4.4.5. La tercera de las anteriores condiciones se cumple si

lımx→b−

f(x)

g(x)= L > 0.

Proposicion 4.4.6. Sean f y g definidas en [a, b) tales que f(x) ≥ 0 y g(x) > 0 para

cada x de algun intervalo [c, b) con c ∈ [a, b), y ademas

lımx→b−

f(x)

g(x)= 0.

Entonces, si g es integrable, f tambien lo es, y si f tiene integral infinita, g tambien.

Definicion 4.4.7. La integral impropia de f en I es absolutamente convergente si

la integral impropia de |f | en I es convergente. Si la integral impropia de f en I es

convergente, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente.

77

Proposicion 4.4.8. Si la integral impropia de f en [a, b) es absolutamente convergente,

entonces es convergente y ∣∣∣∣∣∫ b−

a

f

∣∣∣∣∣ ≤∫ b−

a

|f |.

Demostracion. Sea g = f + |f |. Se tiene que 0 ≤ g ≤ 2|f |, luego g es integrable y, por

tanto, tambien lo es f = g − |f |. La desigualdad se obtiene de∣∣∣∣∫ t

a

f

∣∣∣∣ ≤ ∫ t

a

|f |

cuando t→ b−.

Ejercicios

1. Calcula las integrales impropias siguientes:

a)∫ 1

0+log x dx.

b)∫ +∞0

e−x dx.

c)∫ +∞0

xne−x dx con n ∈ N.

d)∫ +∞0

1x2+1

dx.

e)∫ +∞0

e−√x dx.

2. Prueba que:

a)∫ +∞0

2xe−x2dx = 1.

b)∫ +∞1

arc tag xx2

dx = π4

+ log√

2.

c)∫ 1

0+x−2e−1/x dx = 1

e.

d)∫ 1

0+x2 log x dx = −1

9.

3. Determina para cada una de las integrales impropias siguientes si es finita o no, y

calculala cuando sea finita:

a)∫ 2

1+dx

x log x.

b)∫ 1

0+x log x dx.

c)∫ +∞2

log xx

dx.

d)∫ 1−

−1+dx√1−x2 .

e)∫ 2

1+dx√x−1 .

f )∫ +∞2

dxx log2 x

.

78

g)∫ +∞0+

dxx(x+4)

.

h)∫ +∞1

xx4+1

dx.

i)∫ +∞2

dxx2+x−2 .

j )∫ π/2−0

dxcosx

.

k)∫ +∞0+

dxx2+√x.

l)∫ +∞1

dxx(x2+1)

.

m)∫ 1−

−1

√1+x1−x dx.

4. Sean f y g dos funciones definidas en (a, b) tales que las dos integrales impropias∫ baf y

∫ bag son finitas. Muestra con un ejemplo que, en general, la integral impropia∫ b

afg no tiene por que ser finita.

5. Determina si las integrales impropias siguientes son finitas o no:

a)∫ +∞0

e−x senx√x+1

dx.

b)∫ +∞0+

dx√x(ex+1)

.

c)∫ +∞0+

e−(x2+1/x2) dx.

d)∫ +∞0+

cosx√xdx.

e)∫ +∞0

sen3 xex+cosx+1

dx.

f )∫ +∞0+

log(xα+1)x2

dx con α ∈ R.

6. Prueba que si p > 1 las integrales impropias siguientes son absolutamente conver-

gentes:

a)∫ +∞1

senxxp

dx.

b)∫ +∞1

senp 1xdx.

7. Demuestra que la integral impropia∫ +∞

π/2

cosx√x

dx

es condicionalmente convergente.

79

4.5. Aplicaciones de la integral

4.5.1. Longitud de la grafica de una funcion

Definicion 4.5.1. Dada una funcion f definida en [a, b] con derivada continua se define

la longitud de su grafica como

L =

∫ b

a

√(f ′(x))2 + 1 dx.

Observacion 4.5.2. La justificacion de la definicion anterior es la siguiente: Al elegir

P = {a = x0, x1, x2, . . . , xr−1, b = xr} ∈ P

queda determinada una poligonal inscrita en la curva y la suma de las longitudes de los

segmentos que la constituyen es

r∑k=1

√(f(xk)− f(xk−1))2 + (xk − xk−1)2

la cual, aplicando el teorema del valor medio en cada intervalo [xk−1, xk], se transforma

en cierta σ(√

(f ′)2 + 1, P ).

4.5.2. Volumen y superficie lateral de un cuerpo de revolucion

Definicion 4.5.3. Sea f una funcion definida en [a, b] con valores no negativos y derivada

continua. Mediante la rotacion de la grafica de f en torno del segmento de extremos a y b

se genera un cuerpo cuyo volumen V y superficie lateral S se definen del siguiente modo:

V =

∫ b

a

π(f(x))2 dx

y

S =

∫ b

a

2πf(x)√

(f ′(x))2 + 1 dx.

Observacion 4.5.4. La justificacion de la definicion anterior es analoga a la de la lon-

gitud de la grafica de una funcion.

4.5.3. Las funciones trigonometricas

Definicion 4.5.5. El numero π se define como

π = 2

∫ 1

−1

√1− x2 dx.

80

Para x ∈ [−1, 1], el area A(x) del sector limitado por la circunferencia unidad (de

centro el origen y radio 1), el eje OX y el segmento que une el origen con el punto

(x,√

1− x2) es la siguiente:

A(x) =x√

1− x22

+

∫ 1

x

√1− t2 dt.

Definicion 4.5.6. Si x ∈ [0, π], entonces cosx es el unico numero de [−1, 1] tal que

A(cosx) =x

2

y

senx =√

1− cos2 x.

Observacion 4.5.7. La existencia de cosx viene dada por el teorema de los valores

intermedios ya que A es una funcion continua y A(−1) = π2

y A(1) = 0.

Es claro que si x ∈ [π, 2π], entonces senx = − sen(2π − x) y cos x = cos(2π − x), y si

x = 2πk+x′ para algun k ∈ Z y algun x′ ∈ [0, 2π], entonces senx = senx′ y cosx = cosx′.

Las derivadas de las funciones sen y cos se obtienen facilmente:

Proposicion 4.5.8. Si 0 < x < π, entonces

(cosx)′ = − senx

y

(senx)′ = cosx.

Observacion 4.5.9. Es facil demostrar que las derivadas anteriores se tienen para todo

x que no sea multiplo de π, y para estos ultimos basta aplicar la Proposicion 3.3.13.

Las demas funciones trigonometricas (tag , sec, cosec y cotag ) se definen de la manera

habitual.

Restringiendo la funcion sen a[−π

2, π2

]para tener inyectividad se obtiene su funcion

inversa arc sen con dominio [−1, 1]. Analogas funciones se obtienen restringiendo la funcion

cos a [0, π] y la funcion tag a(−π

2, π2

). En este ultimo caso el dominio de la funcion arc tag

es todo R.

4.5.4. Las funciones logarıtmica y exponencial

Definicion 4.5.10. Si x > 0, entonces se define

log x =

∫ x

1

1

tdt.

81

Proposicion 4.5.11. Si x, y > 0, entonces

log xy = log x+ log y.

Demostracion. Dado y > 0, consideramos la funcion f(x) = log xy. Ya que f ′ = log′,

se tiene que log xy = log x + c para cierta constante c. Tomando x = 1 se obtiene que

c = log y lo cual completa la demostracion ya que y era arbitrario.

Facilmente se obtienen los siguientes corolarios:

Corolario 4.5.12. Si n ∈ N y x > 0, entonces

log xn = n log x.

Corolario 4.5.13. Si x, y > 0, entonces

logx

y= log x− log y.

La funcion log es creciente y no esta acotada ni superior ni inferiormente (basta con-

siderar log 2n y log 12n

). Al ser continua, R es el dominio de log−1.

Definicion 4.5.14. La funcion exponencial exp se define como log−1.

Ya que log x se define solo para x > 0, se tiene que expx > 0 para todo x ∈ R.

Ademas, es facil obtener que exp′ = exp y que exp(x+y) = exp x ·exp y para cualesquiera

x, y ∈ R.

Definicion 4.5.15. Si x ∈ R y a > 0, se definen

e = exp 1

ex = expx

y

ax = ex log a.

Es facil comprobar que

1. (ax)y = axy.

2. a1 = a.

3. ax+y = axay.

4. loga x = log xlog a

donde loga x es la funcion inversa de ax.

82

Ejercicios

1. Calcula la longitud de las graficas de las funciones siguientes:

a) f(x) =√

2x con x ∈ [1, 3].

b) f(x) = ex con x ∈ [−1, 2].

c) f(x) = log cosx con x ∈[0, π

4

].

2. Halla la longitud de las siguientes curvas:

a) Una circunferencia de radio r.

b) El arco de la parabola de ecuacion y = x2 comprendido entre los puntos (0, 0)

y (1, 1).

c) El arco de la cicloide parametrizado por c(t) = (r(t− sen t), r(1− cos t)) con

t ∈ [0, 2π].

d) El arco de la curva y2 = x3 determinado por la recta x = 43.

e) El arco de la curva x = 14y2 − 1

2log y entre los puntos de ordenadas 1 y 2.

f ) La astroide x2/3 + y2/3 = a2/3 con a > 0.

3. Calcula el volumen y la superficie de una esfera de radio r.

4. Halla el volumen del cuerpo engendrado por la rotacion en torno al eje OX de las

graficas de las funciones siguientes:

a) f(x) = sen x con x ∈ [0, π].

b) f(x) = e−x con x ∈ [0, a].

c) f(x) = x√

1− x2 con x ∈ [0, 1].

d) f(x) = a cosh xa

con x ∈ [−c, c] y a, c > 0.

5. Calcula el volumen del cuerpo engendrado por la rotacion en torno al eje OX de la

curva a2y2 = ax3 − x4 con a > 0.

6. Halla el volumen del cuerpo engendrado por la rotacion en torno al eje OY de la

figura limitada por la curva y = senx, con 0 ≤ x ≤ π2, el eje OY y la recta y = 1.

7. Calcula el area de la superficie engendrada al girar en torno al eje OX las graficas

de las funciones siguientes:

a) f(x) = tag x con x ∈[0, π

4

].

b) f(x) = x2

2con x ∈ [1, 2].

83

8. Halla el area del elipsoide formado al girar alrededor del eje OX la elipse x2

a2+ y2

b2= 1

con a > b > 0.

9. Calcula el area de la superficie generada al girar alrededor del eje OX la porcion de

la parabola y2 = x+ 4 determinada por la recta x = 2.

84

Tema 5

Sucesiones y series de funciones

5.1. Convergencia puntual

Definicion 5.1.1. Cuando a cada n ∈ N se asocia una funcion fn y todas ellas tienen

el mismo dominio, que suele ser un intervalo I, tenemos una sucesion de funciones

definida en I que notaremos por fn o fn(x).

Si P = {x ∈ I : fn(x) es una sucesion convergente}, se dice que la sucesion fn con-

verge en P . De forma natural definimos en P la funcion f como

f(x) = lımn→∞

fn(x)

denominada lımite puntual de fn en P , diciendose que fn converge a f en P .

La serie de funciones∞∑n=1

fn(x) se define como la sucesion de funciones sumas

parciales cuyo lımite puntual se denomina suma de la serie.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia puntual de las sucesiones de funciones siguientes:

a) fn(x) = xn con x ≥ 0.

b) fn(x) =

nx si 0 ≤ x ≤ 1/n

2− nx si 1/n < x ≤ 2/n0 si 2/n < x ≤ 1

2. Estudia la convergencia puntual de las series de funciones siguientes:

a)∞∑n=2

( n√x− n+1

√x) con x ≥ 0.

b)∞∑n=0

x(x+1)n

con x ∈ [0, 1].

85

5.2. Convergencia uniforme

Definicion 5.2.1. La sucesion de funciones fn converge uniformemente a f en P si

para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |fn(x)− f(x)| < ε para todo n ≥ n0 y todo x ∈ P .

Observacion 5.2.2. Conviene observar que en la definicion anterior y a diferencia de la

convergencia puntual, n0 no depende del x ∈ P que elijamos.

Definicion 5.2.3. La sucesion de funciones fn tiene la propiedad de Cauchy unifor-

me en P si para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |fn(x) − fm(x)| < ε para cualesquiera

m,n ≥ n0 y todo x ∈ P .

Observacion 5.2.4. Es evidente que la propiedad de Cauchy uniforme es equivalente a

la convergencia uniforme. La existencia de la funcion lımite f esta garantizada ya que

para cada x ∈ P la sucesion numerica fn(x) converge por tener la propiedad de Cauchy y

su lımite es f(x).

Es trivial probar que

Proposicion 5.2.5. La sucesion de los terminos de una serie de funciones uniformemente

convergente converge uniformemente a la funcion nula.

Veamos ahora algunos criterios de convergencia uniforme:

Proposicion 5.2.6 (Criterio de Dini). Sea fn una sucesion de funciones continuas que

converge en cada punto de [a, b] a una funcion continua f . Si fn(x) ≤ fn+1(x), o bien

fn+1(x) ≤ fn(x), para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N, entonces la convergencia de fn a f es

uniforme.

Demostracion. Supongamos que fn(x) ≤ fn+1(x) para todo x ∈ [a, b] y todo n ∈ N. En

el otro caso el razonamiento es analogo.

Para cada x ∈ [a, b] existe n0(x) ∈ N tal que 0 ≤ f(x) − fn(x) < ε si n ≥ n0(x). Al

ser continua en x la funcion f − fn0(x) existe un intervalo abierto Ix de centro x tal que

0 ≤ f(t)−fn0(x)(t) < ε si t ∈ Ix∩ [a, b]. La coleccion de intervalos abiertos {Ix : x ∈ [a, b]}cubre a [a, b] pero basta para ello una subcoleccion finita {Ix1 , Ix2 , . . . , Ixh}. Tomando

n0 = max{n0(x1), n0(x2), . . . , n0(xh)} se obtiene el resultado pues fijado t ∈ [a, b] y n ≥ n0,

existe 1 ≤ j ≤ h tal que t ∈ Ixj con lo que

0 ≤ f(t)− fn(t) ≤ f(t)− fn0(xj)(t) < ε.

86

Proposicion 5.2.7 (Criterio de Weierstrass). Sean fn una sucesion de funciones definidas

en P y µn una sucesion de numeros positivos que verifica que |fn(x)| ≤ µn para todo

x ∈ P y la serie∞∑n=1

µn es convergente. Entonces las series∞∑n=1

fn y∞∑n=1

|fn| convergen

uniformemente en P .

Demostracion. Ya que para todo x ∈ P se tiene que∞∑n=1

|fn(x)| ≤∞∑n=1

µn, hay convergencia

absoluta en cada punto de P .

La propiedad de Cauchy de∞∑n=1

µn y la desigualdad triangular nos dan la propiedad

de Cauchy uniforme para∞∑n=1

fn y∞∑n=1

|fn|.

Proposicion 5.2.8 (Criterio de Dirichlet). Sean fn y gn dos sucesiones de funciones

definidas en P tales que para cada x ∈ P , fn(x) es una sucesion de numeros positivos

decreciente a 0 siendo uniforme la convergencia de fn a 0 en P y existe C ∈ R tal que

|g1(x) + g2(x) + · · ·+ gn(x)| ≤ C

para todo n ∈ N y todo x ∈ P . Entonces la serie∞∑n=1

fngn converge uniformemente en P .

Demostracion. Probemos que se cumple la propiedad de Cauchy uniforme en P . Desig-

namos Gn a la suma g1 + g2 + · · ·+ gn. Dados 1 < q ≤ p se tiene que

|fqgq + · · ·+ fpgp| = |fq(Gq −Gq−1) + · · ·+ fp(Gp −Gp−1)|= | − fqGq−1 + (fq − fq+1)Gq + · · ·+ (fp−1 − fp)Gp−1 + fpGp|≤ 2Cfq.

La convergencia uniforme de fn a 0 en P nos da el resultado.

Proposicion 5.2.9 (Criterio de Abel). Sean la sucesion de funciones fn tal que fn(x)

decrece para cada x ∈ P y existe C ∈ R tal que |fn(x)| ≤ C para todo n ∈ N y todo

x ∈ P , y la serie de funciones∞∑n=1

gn convergente uniformemente en P . Entonces la serie

∞∑n=1

fngn converge uniformemente en P .

Demostracion. Procediendo de la misma forma que en la demostracion del criterio de

87

Dirichlet y siendo G la suma de la serie∞∑n=1

gn tenemos que

|fqgq + · · ·+ fpgp| = | − fqGq−1 + (fq − fq+1)Gq + · · ·+ (fp−1 − fp)Gp−1 + fpGp|

= | − fq(Gq−1 −G) +

p−1∑k=q

(fk − fk+1)(Gk −G) + fp(Gp −G)|

≤ |fq||Gq−1 −G|+p−1∑k=q

(fk − fk+1)|Gk −G|+ |fp||Gp −G|.

La convergencia uniforme deGn aG y la acotacion de las fn por C nos dan el resultado.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes:

a) fn(x) = nx(1− x)n.

b) fn(x) = 1− xn.

c) fn(x) = sen xn.

d) fn(x) = xne−x/n con x ≥ 0.

e) fn(x) =

{0 si 0 ≤ x < 1 + 1

n2

xn+1si x ≥ 1 + 1

n

f ) fn(x) =

{xn + 1 si 0 ≤ x ≤ n

√2

3 si x > n√

2

g) fn(x) =

{nx si 0 ≤ x ≤ 1

n1nx

si x > 1n

h) fn(x) = 2n2x(n2x2+1) log(n+1)

.

i) fn(x) =

n2x si 0 ≤ x ≤ 1

2n

n2(1n− x)

si 12n< x < 1

n

0 si 1n≤ x ≤ 1

j ) fn(x) = log(n3x2+1)n2 con x ∈ [0, 1].

2. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes:

a)∞∑n=0

xn con x ∈ [0, 1).

b)∞∑n=1

sen2 nxn2 .

3. Prueba que si fn converge uniformemente a f y gn converge uniformemente a g, el

producto fngn puede no converger uniformemente a fg.

88

4. Demuestra que una sucesion de funciones acotadas puede converger a una funcion

no acotada. ¿Y si la convergencia es uniforme?

5. ¿Existe una sucesion de funciones discontinuas que converja uniformemente a una

funcion continua?

6. Estudia la convergencia puntual y uniforme de la sucesion de funciones

fn(x) = f

(x+

1

n

)siendo f : R −→ R una funcion uniformemente continua.

5.3. Propiedades de la funcion lımite

5.3.1. Continuidad

Teorema 5.3.1. Sean fn una sucesion de funciones que converge uniformemente en P a

una funcion f y x0 un punto de acumulacion de P tal que cada fn tiene lımite finito λnen x0. Entonces:

lımn→∞

lımx→x0

fn(x) = lımx→x0

lımn→∞

fn(x).

Demostracion. Hay que probar que

lımn→∞

λn = lımx→x0

f(x).

Ya que

|λp − λq| ≤ |λp − fp(x)|+ |fp(x)− fq(x)|+ |fq(x)− λq|para cualesquiera p, q ∈ N y x ∈ P , se tiene que λn tiene la propiedad de Cauchy y

converge a λ ∈ R. Y como

|f(x)− λ| ≤ |f(x)− fn(x)|+ |fn(x)− λn|+ |λn − λ|

para cualesquiera n ∈ N y x ∈ P , se tiene que

λ = lımx→x0

f(x)

como querıamos probar.

Suponiendo en el teorema anterior que x0 ∈ P se obtienen las consecuencias siguientes:

Corolario 5.3.2. Si fn es una sucesion de funciones continuas que converge uniforme-

mente a una funcion f , entonces f es continua.

Corolario 5.3.3. Si∞∑n=1

fn es una serie de funciones continuas que converge uniforme-

mente a una funcion f , entonces f es continua.

89

5.3.2. Derivacion

Teorema 5.3.4. Sea fn una sucesion de funciones derivables en [a, b] tal que fn(t) con-

verge para algun t ∈ [a, b] y f ′n converge uniformemente en [a, b]. Entonces fn converge

uniformemente en [a, b] a una funcion derivable f y

f ′(x) = lımn→∞

f ′n(x)

para todo x ∈ [a, b].

Demostracion. Dados p, q ∈ N y x ∈ [a, b], aplicando el teorema del valor medio se tiene

que

|fp(x)−fq(x)| ≤ |x−t||f ′p(c)−f ′q(c)|+ |fp(t)−fq(t)| ≤ (b−a)|f ′p(c)−f ′q(c)|+ |fp(t)−fq(t)|

para algun c intermedio entre x y t, con lo que fn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en

[a, b] (por tenerla f ′n y por tener fn(t) la propiedad de Cauchy) y converge uniformemente

en este intervalo a una funcion f .

Ahora debemos comprobar que para todo x0 ∈ [a, b] se tiene que

lımn→∞

f ′n(x0) = lımx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0o equivalentemente que

lımn→∞

lımx→x0

fn(x)− fn(x0)

x− x0= lım

x→x0lımn→∞

fn(x)− fn(x0)

x− x0.

Para ello basta comprobar que la sucesion de funciones

ϕn(x) =fn(x)− fn(x0)

x− x0converge uniformemente en P = [a, b] \ {x0}. En efecto, dados p, q ∈ N y aplicando el

teorema del valor medio a la funcion fp−fq en el intervalo de extremos x y x0, obtenemos

algun c intermedio tal que

ϕp(x)− ϕq(x) = f ′p(c)− f ′q(c)

con lo que ϕn tiene la propiedad de Cauchy uniforme en P al tenerla f ′n en [a, b].

5.3.3. Integracion

Teorema 5.3.5. Sea fn una sucesion de funciones integrables en [a, b] que converge uni-

formemente a f . Entonces f es tambien integrable y∫ b

a

f(x) dx = lımn→∞

∫ b

a

fn(x) dx.

90

Demostracion. Designemos λn =∫ bafn(x) dx. Ya que

|λp − λq| ≤∫ b

a

|fp(x)− fq(x)| dx

para cualesquiera p, q ∈ N, se tiene que λn tiene la propiedad de Cauchy (por tener fnla propiedad de Cauchy uniforme) y converge a λ ∈ R. Ahora, para todo n ∈ N y toda

P ∈ P se tiene que

|S(f, P )− λ| ≤ |S(f, P )− S(fn, P )|+ |S(fn, P )− λn|+ |λn − λ|

teniendose la misma desigualdad para las sumas inferiores, con lo que queda probado el

resultado.

Ejercicios

1. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las sucesiones de funciones siguientes:

a) fn(x) = n√x con x ≥ 0.

b) fn(x) =

{1− nx si 0 ≤ x < 1

n

0 si 1n≤ x ≤ 1

c) fn(x) = 1−x2n1+x2n

.

d) fn(x) = xn

xn+1con x ∈ [0, 1].

e) fn(x) = 1nx2+1

.

f ) fn(x) = nx−1(1+x logn)(1+nx2 logn)

con x ∈ [0, 1].

2. Estudia la convergencia puntual y uniforme de las series de funciones siguientes:

a)∞∑n=1

senx(1+senx)n

con x ∈ [0, π].

b)∞∑n=1

x2

(x2+1)n.

c)∞∑n=1

x((n−1)x+1)(nx+1)

con x ≥ 0.

3. Demuestra que la serie∞∑n=1

(−1)n−1 x2n−1

2n−1 converge uniformemente en [0, 1], y sea f(x)

su suma. Prueba que f ′(x) =∞∑n=0

(−1)nx2n = 1x2+1

para cada x ∈ [0, 1). Calcula f(x)

si 0 ≤ x < 1 y demuestra que f(1) = π4.

4. Prueba que la sucesion fn(x) = 1n

arc tag xn converge uniformemente en R a una

funcion f derivable para x = 1, pero f ′(1) 6= lımn→∞

f ′n(1).

91

5. Sea f(x) =∞∑n=1

arc tag xn2 con x ∈ R. ¿Se puede asegurar que f es derivable y que

f ′ se obtiene derivando termino a termino esta serie?

6. Una sucesion de funciones uniformemente continuas converge uniformemente a una

funcion f . ¿Puede ser f no uniformemente continua?

7. Demuestra que la funcion f(x) =∞∑n=1

sennxn3 con x ∈ R tiene derivada continua.

8. Dada la sucesion de funciones fn(x) = 2nx+sen6 nxn

, estudia convergencia puntual y

uniforme y calcula lımn→∞

∫ π0fn(x) dx.

9. Da un ejemplo de una sucesion de funciones integrables en un intervalo tal que su

lımite puntual no sea integrable.

10. Dada la sucesion de funciones fn(x) = xn − x2n:

a) Estudia su convergencia puntual y uniforme en [0, 1] y en[0, 1

2

].

b) Estudia si la serie∞∑n=1

fn(x) converge puntualmente a una funcion f en [0, 1].

En caso afirmativo calcula f y estudia si dicha convergencia es uniforme.

c) Estudia la derivabilidad de f en [0, 1) y si f ′(x) =∞∑n=1

f ′n(x).

5.4. Series de potencias

Definicion 5.4.1. Una serie de potencias centrada en a ∈ R es una serie de funciones

del tipo∞∑n=0

an(x− a)n

donde a los numeros an se les llama coeficientes de la serie.

Observacion 5.4.2. El tratamiento de una serie de potencias es independiente del valor

de a con lo que consideraremos a = 0.

Proposicion 5.4.3. Dada la serie de potencias∞∑n=0

anxn, sea α = lım sup n

√|an| y ρ = 1

α

(llamado radio de convergencia) si α > 0. Entonces la serie converge absolutamente

para todo x ∈ R si α = 0, converge absolutamente para x ∈ (−ρ, ρ) y diverge fuera de

[−ρ, ρ] si α > 0, y converge solo para x = 0 si α = +∞. En los dos primeros casos (−ρ, ρ)

o R se llama intervalo de convergencia de la serie, y esta converge uniformemente en cada

intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia.

92

Demostracion. Para la primera parte basta usar el criterio de la raız. Y la segunda parte

se obtiene aplicando el criterio de Weierstrass a los intervalos de la forma [−t, t] contenidos

en el intervalo de convergencia.

En cuanto a los extremos del intervalo de convergencia se tiene el siguiente resultado

para el extremo derecho (para el izquierdo se tiene uno analogo):

Proposicion 5.4.4. Si la serie de potencias∞∑n=0

anxn tiene intervalo de convergencia

(−ρ, ρ) y converge en ρ, entonces converge uniformemente en [0, ρ], definiendo en dicho

intervalo una funcion suma continua.

Demostracion. Basta reescribir la serie de la forma

∞∑n=0

anρn

(x

ρ

)ny aplicar el criterio de Abel.

Una serie de potencias define una funcion cuyo dominio es el intervalo de convergencia.

Estudiemos las propiedades de dicha funcion:

Proposicion 5.4.5. Sean I el intervalo de convergencia de la serie de potencias∞∑n=0

anxn

y f(x) su suma. Entonces f es una funcion derivable (y por tanto continua) y f ′ es la

suma de la serie de las derivadas, es decir,

f ′(x) =∞∑n=1

nanxn−1

con x ∈ I.

Demostracion. Usando el apartado 8 de la Proposicion 1.4.39 se obtiene que la serie de

las derivadas tiene le mismo intervalo de convergencia que la serie de potencias original.

Aplicando el Teorema 5.3.4 se obtiene el resultado.

Derivando sucesivamente se obtiene que

f (r)(x) =∞∑n=r

n(n− 1)(n− 2) · · · (n− r + 1)anxn−r

con r ∈ N y x ∈ I, con lo que

f (r)(0) = r!ar

93

y ya que f(0) = a0 se tiene que

f(x) =∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn

para todo x ∈ I. Y si f es la suma de una serie de potencias de x− a se obtiene que

f(x) =∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n.

Acabamos de comprobar que las funciones que se obtienen como sumas de series de

potencias tienen infinitas derivadas en su intervalo de convergencia. ¿Y si f tiene infinitas

derivadas en un intervalo I de centro a, existe una serie de potencias de x−a que converja

en algun intervalo J ⊂ I de centro a y cuya suma coincida con f en J? Cuando la respuesta

es afirmativa, se dice que f es desarrollable en serie de potencias de x− a y la serie

correspondiente se llama desarrollo de Taylor o serie de Taylor en torno de a para

la funcion f . Si tal serie existe, no puede ser otra que

f(x) =∞∑n=0

f (n)(a)

n!(x− a)n.

Teorema 5.4.6. Si una funcion f tiene derivadas de cualquier orden en el intervalo

acotado (a − δ, a + δ) y |f (n)(x)| ≤ M para cada n ∈ N y cada x de dicho intervalo,

entonces

f(x) =∞∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k

si |x− a| < δ.

Demostracion. Dado x ∈ (a−δ, a+δ), aplicando el teorema de Taylor al intervalo cerrado

y acotado de extremos x y a, se tiene que

lımn→∞

∣∣∣∣∣f(x)−n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k

∣∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣f (n)(cn)

n!(x− a)n

∣∣∣∣ ≤ lımn→∞

Mδn

n!= 0

con cn intermedio entre x y a para cada n ∈ N.

Ejercicios

1. Determina el intervalo de convergencia de cada una de las series de potencias si-

guientes y, en su caso, analiza si hay convergencia en sus extremos:

a)∞∑n=1

2n

nxn.

94

b)∞∑n=0

n!xn.

c)∞∑n=1

(1 + 1

2+ · · ·+ 1

n

)xn.

d)∞∑n=2

(log n)xn.

e)∞∑n=1

(1+ 1n)

n

n!xn.

f )∞∑n=1

1·3·5···(2n−1)2·4·6···(2n+2)

xn.

2. Se considera la serie de potencias∞∑n=0

(−1)nx2n4n(n!)2

. Demuestra que su radio de conver-

gencia es ∞. Si se denota por f a la funcion suma de esta serie, prueba que, para

cada x ∈ R, xf ′′(x) + f ′(x) + xf(x) = 0.

3. Suma las series:

a)∞∑n=1

1n(n+1)2n

.

b)∞∑n=1

3n2+4n+53n

.

4. Calcula la derivada decima de la funcion f(x) = x6ex en x = 0.

5. Dada una serie de potencias∞∑n=0

anxn tal que existen numeros reales α y β de modo

que an + αan−1 + βan−2 = 0 para cada n ≥ 2:

a) Demuestra que esta serie tiene radio de convergencia no nulo.

b) Demuestra que si x es un numero real en el que la serie es convergente, la suma

de la serie, S(x), verifica que (1 + αx+ βx2)S(x) = a0 + (αa0 + a1)x.

6. Desarrolla en serie de potencias de x las siguientes funciones:

a) f(x) = log√

1+x1−x .

b) f(x) = 2xx4+1

.

c) f(x) = arc tag 1−x21+x2

.

d) f(x) = x2

(x−1)(2−x)2 .

e) f(x) = log(1−x)x−1 .

7. Estudia si f(x) =

{senxx

si x 6= 01 si x = 0

es desarrollable en serie de potencias de x.

95

8. Determina la solucion de la ecuacion diferencial f ′′(x) +xf ′(x) + f(x) = 0 en forma

de serie de potencias, sujeta a las condiciones iniciales f(0) = 0 y f ′(0) = 1.

9. Determina los radios de convergencia y las funciones suma de las siguientes series

de potencias:

a)∞∑n=1

x2n

2n.

b)∞∑n=2

(−1)nxnn(n−1) .

c)∞∑n=1

(−1)n2nx2n+1

(2n+1)!.

d)∞∑n=1

(−1)nxn2n(n+1)

.

e)∞∑n=1

(n3 + 1)xn−1.

96

Bibliografıa

[GST] F. Galindo, J. Sanz y L.A. Tristan, Guıa Practica de Calculo Infinitesimal en una

Variable Real, Thomson (2003).

[GR1] M. de Guzman y B. Rubio, Problemas, Conceptos y Metodos del Analisis Ma-

tematico, volumen 1, numeros reales, sucesiones y series, Piramide (1991).


tematico, volumen 2, funciones, integrales, derivadas, Piramide (1992).


tematico, volumen 3, sucesiones y series de funciones, numeros complejos, DERI-

VE, aplicaciones, Piramide (1993).

97

analisis de variable real - facultad de ciencias ...victorms/analisis_de_variable_real.pdfg) 4n+1 +...

Documents