analyse - ucacimas.uca.ma/hassani/analysefonctionnelle/polycope/poly... · 2020. 3. 19. · x h....

1 Théorèmes : Hahn-Banach et Baire 5 1.1 Théorème de Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Théorème de Hahn-Banach, forme analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Théorème de Hahn-Banach, formes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Espaces de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Théorème de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Corollaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Espaces vectoriels topologiques 15 2.1 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Quelques notions et notations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Quelques notions et notations topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Espaces vectoriels topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 EVT localement convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Théorèmes classiques 30 3.1 Banach-Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Application ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Graphe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Topologies faibles-Espaces réflexifs 38 4.1 Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Topologie faible étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Espaces réflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2
3
Préface Ce polycopie d’analyse fonctionnelle est destiné aux étudiants de licence en mathématiques et applications SMA. Il est rédigé à ma façon toute en gardant le livre de H. Brezis : « Analyse fonctionnelle, Théorie et applications. » à la portée de ma main. Le but de ce cours est de donner des notions et des théorèmes topologiques et algébriques abstraits qui consti- tuent des outils mathématiques essentiels pour entamer les cycles d’études supérieurs. La partie la plus im- portante à mon égard est la construction de la topologie à partir d’une famille de semi normes, je conseille le lecteur de se focaliser sur ce point.
Bibliographie X H. Brézis : Analyse fonctionnelle théorie et applicationsMasson fr Paris 1983 CollectionMathématiques
Appliquées pour la Maîtrise. X Hervé Queffélec, Josette Charles, Mostafa Mbekhta : Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs
Rappels de cours et exercices corrigés. Collection : Sciences Sup, Dunod. X Yves Sonntag : Topologie et analyse fonctionnelle : Cours de Licence avec 240 exercices et problèmes
corrigés 1998. X J. Dieudonné : Éléments d’analyse. T. I -fondements de l’analyse moderne Gauthier-Villars fr Paris 1968. X F. Riesz, B. Nagy : Leçons d’analyse fonctionnelle, Akademiai Kiadohu Budapest 1955 Acadmie des
Sciences de Hongrie. X S. Banach : Théorie des opérations linéaires, Chealsea publishing company. X S. Lang : Analysis II Addison-Wesley publishing company us Massachusetts 1969 Addison-Wesley se-
ries in mathematics. X W. Rudin : Analyse réelle et complexe, édition Masson, 1975 (le monument).
Encore je le dis, la littérature est très riche sur ce sujet. Il suffit de faire une recherche sur le net pour avoir gratuitement des polycopiés (de cours et d’exercices) de différents auteurs répondant à tous les goûts.
Pré-requis La théorie des ensembles (la théorie ZFC, pour les courageux), la topologie générale (définition de topologie, continuité, convergences, compacité...), algèbre (espaces vectoriels, base algébrique, dimension) ... sont très sollicités ans ce cours.
! Avertissements Je tiens à préciser que ce document contient probablement des erreurs de frappes (ce n’est pas grave !) et des erreurs de mathématiques (par contre çà c’est grave !) qui ont échappé à ma vigilance. Ne l’utilisez qu’avec un œil critique et n’hésitez pas à me signaler ces problèmes : [email protected].
Chapitre 1 1.1 Théorème de Hahn-Banach 1.2 Espaces de Baire
Sommaire
Théorème 1.1.1 (Le théorème de Hahn-Banach, forme analytique)
Soient E un R-espace vectoriel, p : E→ R telle que
∀t > 0;∀x ∈ E; p(tx ) = tp(x) et ∀x;y ∈ E; p(x + y)6 p(x) +p(y);
G un sous-espace vectoriel de E et g une forme linéaire sur G satisfaisant
g(x) ≤ p(x); ∀x ∈G:
Alors il existe une forme linéaire f sur E qui prolonge g et qui satisfait
f (x) ≤ p(x); ∀x ∈ E:
La démonstration de ce théorème fait appel au célèbre lemme de ZORN (ce dernier est équivalent à l’axiome du choix) dont nous rappelons l’énoncé. Nous avons besoin de quelque définitions
Définition 1.1.2
Soit A un ensemble muni d’une relation d’ordre (pas nécessairement totale) notée ≤ : On dit qu’un sous-ensemble B⊂ A est totalement ordonné si pour tout couple a;bde B on a soit a≤ b ou b≤ A. Soit B⊂ A; on dit qu’un élément c∈ A est majorant de B si pour tout a∈ A on a : a≤ c. On dit que m ∈ A est un élément maximal de A si pour tout x ∈ A tel que m≤ x⇒ x = m. On dit que A est inductif si tout sous-ensemble totalement ordonné de A admet un majorant.
Lemme 1.1.3 (ZORN)
Tout ensemble ordonné, inductif, non vide, admet un élément maximal.
Remarque 1.1.4. ! Le lemme de Zorn ou ses équivalents (l’axiome du choix en particulier) admet des belles consé- quences parfois qui échappent à notre intuition et donne même des paradoxes : pardoxe de Banach-Tarski. Je renvoi le lecteur au fascicule d’exercices corrigés de ce module pour plus de détails sur les conséquences de ce lemme.
5
1.1. THÉORÈME DE HAHN-BANACH
Preuve (du théorème 1.1.1). Désignons parV l’ensemble des couples(M;’ ); où M est un sous-espace vectoriel de E contenantG, ’ une forme linéaire surM vérifiant ’ (x) ≤ p(x);∀x ∈M et ’ |G = g. On munit V de l’ordre≤ défini par
(M;’ ) ≤ (N; )⇔M ⊂ N et |M = ’:
On montre d’abord queV est inductif pour≤ non vide : D’abord,(g;G) ∈ V . Soit (M i ;’ i )i∈I une famille totalement ordonnée. Si on poseM = ∪i∈I M i ; il est facile de vérifier queM est un sous-espace vectoriel deE; qu’il existe une fonction ’ : M → R qui prolonge chacune des’ i et que’ est linéaire. De plus, pour toutx ∈M , il existe un i ∈ I tel quex ∈M i , ’ |G = g et on a’ (x) = ’ i (x) ≤ p(x). Donc (M;’ ) appartient àV et est dansV la borne supérieure de la famille (M i ;’ i )i∈I . D’après le lemme deZorn , (V ; ≤) admet un élément maximal(M;f ). Il suffit donc de démontrer que cet élément maximal satisfaitM = E pour finir la démonstration. Supposons donc par l’absurde qu’il existe una∈ E \M . On va construire alors un élément(N;’ ) de V qui majore strictement(M;f ). On pose pour celaN = M ⊕R:a, on choisit ∈ R et on définit la forme linéaire’ sur N par ’ (x + ta) = f (x) + t: Il suffit donc de montrer qu’on peut choisir de sorte que l’on aitf (x) + t ≤ p(x + ta); pour tout x deM et tout t ∈ R (ainsi (N;’ ) ∈ V ). La condition précédente est satisfaite pourt = 0 et quel que soitx ∈M: Pour t > 0 cette condition est équivalente à la condition f (
x t ) + ≤ p(
x t +a); et puisque
x t ∈M; équivalente à ≤ p(y +a)− f (y) pour tout y ∈M .
Enfin, pour t < 0; la condition précédente est équivalente àf (−x t ) − ≤ p(−x
t − a); autrement ≥ −p(y − a) + f (y)
pour tout y ∈M puisque−x t ∈M: On choisit donc tel que :
sup y∈M
p(x +a)− f (x);
ce qui est possible si, pour toutx;y ∈M; on a :
f (y)−p(y −a) ≤ p(x +a)− f (x):
Or pour x;y ∈M on a : f (x) + f (y) = f (x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x +a) +p(y −a):
On obtient sup y∈M
f (y)−p(y −a) ≤ inf x∈M
p(x +a)− f (x):
Ce qui prouve l’existence de . Ainsi (N;’ ) ∈ V et (M;f ) < (N;’ ), ce qui contredit que(M;f ) est maximale. D’oùM = E. ut
Applications du théorème de Hahn-Banach (forme analytique)
Dans ce qui suit, on désigne par E′ le dual (topologique) de l’espace vectoriel normé E, i. e. l’espace des formes linéaires continues sur E ; E′ est muni de la norme duale
f E′ := sup x≤1
|f (x)| = sup x≤1
f (x):
Lorsque f ∈ E′ et x ∈ E on notera parfois f ;x au lieu de f (x) ; on dit que ; est le produit scalaire dans la dualité E′;E:
Corollaire 1.1.5
Soit G un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel normé (E; · ) et soit g : G→ R une application linéaire et continue de norme
gG′ := sup x≤1
|g(x)|:
Alors il existe f ∈ E′ qui prolonge g et tel que :
f E′ = gG′ :
UniversitySurf 6/50 Analyse Fonctionnelle
Preuve . Il suffit d’appliquer le théorème précédent avecp(x) := gG′ :x. ut
Corollaire 1.1.6
Pour tout x0 ∈ E il existe f0 ∈ E′ tel que
f0 = x0 et f0;x0 = x02:
Preuve . Il suffit d’appliquer le corollaire précédent avecG = Rx et g(tx0) = tx02 de sorte quegG′ = x0. ut
Corollaire 1.1.7
xE = sup f E′≤1
|f ;x| = max f E′≤1
|f ;x| = max f E′=1
f ;x:
|f ;x| ≤ x:
D’après le corollaire précédent, on sait qu’il existef0 ∈ E′ tel quef0 = x et f0;x = x2: On posef1 = x−1f0 de sorte quef1 = 1 et f1;x = x. ut
Corollaire 1.1.8
Supposons que E est C-espace vectoriel normé. Pour tout x ∈ E \ {0}, on a :
sup f E′≤1
|f (x)|6 xE 6 √ 2 sup f E′≤1
|f (x)|:
|f ;x| ≤ x:
PosonsG = Cx, g : G→ R; tx 7→ 1√ 2 ||x|| <t , p : E→ R+; z 7→ 1√
2 ||z||. On a g estR-linéaire,
||g||G′ def =
sup ||tx ||E=1
|<(t ||x||)| = 1 √ 2
(et donc∀z ∈G; g(z)6 p(z)). D’après le théorème de Hahn-Banach il existe une applicationR-linéaire h : E→ R telle queh(x) = 1√
2 ||x||, h(ix ) = 0
et∀z ∈ E, h(z)6 1√ 2 ||z|| et donc||h||E′ = 1√
2 . Posons
f : E −→ C z 7−→ h(z)− ih(iz):
On a f est applicationClinéaire, ||x|| = √ 2f (x) et∀z ∈ E,
|f (z)| = q
Définition 1.1.9
On appelle hyperplan tout sous ensemble de E de la forme :
H := {x ∈ E : f (x) = }
où f est une forme linéaire sur E; non identiquement nulle et ∈ R: On dit que H est l’hyperplan d’équation [f = ]:
Définition 1.1.10
Soit A;B ∈ P (E): — On dit que l’hyperplan H = [f = ] sépare A et B au sens large si ∀a∈ A, ∀b ∈ B
f (a)6 6 f (b):
— On dit que l’hyperplan H = [f = ] sépare A et B au sens strict si il existe " > 0 tel que ∀a∈ A, ∀b ∈ B
f (a) + " 6 6 f (b)− ":
Proposition 1.1.11
S E est un espace vectoriel normé, alors l’hyperplan d’équation [f = ] est fermé si et seulement si f est continue.
Preuve . Si f est continue alorsH = f −1({ }) est fermé. Réciproquement, supposons queH est fermé. Le complémentaireCH de H dansE est ouvert et non vide (puisque f , 0E′ ). Soit x0 ∈ CH et supposons sans perdre de généralité quef (x0) < . Soit r > 0 tel que
B(x0;r) := {x ∈ E : x − x0 < r } ⊂ CH :
On a f (x) < ; ∀x ∈ B(x0;r):
Supposons qu’il existex1 ∈ B(x0;r) tel quef (x1) > : La boule étant convexe, donc
∀ t ∈ [0;1] : (1− t )x0 + tx1 ∈ B(x0;r);
par suite f ((1 − t )x0 + tx1) , ; ∀ t ∈ [0;1]: Ce qui est faut puisque pourt1;2 = f (x1)−
f (x1)− f (x0) ; on a : f ((1 − t1;2)x0 +
t1;2x1) = : Par suite, f (x0 + rz) < ; ∀z ∈ B(0;1):
Ce qui prouve quef ≤ 1 r ( − f (x0)) et doncf est continue. ut
Théorème 1.1.12 (Théorème De Hahn-Banach, première forme géométrique)
Soit A, B deux sous ensembles convexes de E, non vides et disjoints. Si A est ouvert alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.
La démonstration de ce théorème est basée sur le lemme suivant :
Lemme 1.1.13 Soit C ⊂ E un convexe ouvert non vide et soit x0 ∈ E avec x0 < C: Alors il existe f ∈ E′ tel que
f (x) < f (x0);∀x ∈ C:En particulier l’hyperplan d’équation [f = f (x0)] sépare {x0} et C au sens large.
Preuve . Par translation, on peut toujours supposer que0E ∈ C et considéré la jauge deC qu’on note parpC définie par
PC : E −→ R+ ∪ {+∞} x 7−→ inf{t > 0 ; 1
t x ∈ C} avecinf∅ = +∞:
On montre (en exercice !) que ∀t > 0; ∀x ∈ E; pC(tx )6 tpC(x) <∞, ∀x;y ∈ E; pC(x + y)6 pC(x) +pC(y) et C = {x ∈ E | C(x) < 1}. On poseG := vect(x0) = R :x0 et on considère la forme linéaireg sur G définie par pour toutt ∈ R :
g(tx0) := t:
On a g(x) ≤ pC(x);∀x ∈ G (il suffit de distinguer les cast > 0 et t ≤ 0). Grâce au théorème de Hahn-Banach, forme analytique, il existef une forme linéaire surE, prolongeantg telle quef (x) ≤ pC(x);∀x ∈ E, f (x0) = 1 et f (x) < 1; ∀x ∈ C. ut
Preuve (du théorème 1.1.12). On poseC = A −B. C un convexe (facile),C est ouvert (C = ∪y∈B (A − y)) et 0 < C (car A ∩B= ∅). D’après le lemme 1.1.13 il existef ∈ E′ tel que :f (z) < 0;∀z ∈ C, autrement
f (x) < f (y);∀x ∈ A;∀y ∈ B:
On fixe ∈ R avec sup x∈A
f (x) ≤ ≤ inf y∈B
f (y);
ce qui montre que l’hyperplan d’équation[f = ] sépare au sens largeA et B. ut
Théorème 1.1.14 (Théorème De Hahn-Banach, deuxième forme géométrique)
Soit A, B deux sous ensembles convexes de E, non vides et disjoints. Si A est fermé et B est compact alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens strict.
Preuve . Pour " > 0 tel que les sous ensembles convexes, ouverts et non videsA" := A+B(0;" ) et B" = B+B(0;" ) soient disjoints (cet" existe sinon, il existera des suites("n)n∈N→ 0;(xn)n∈N ∈ A et (yn)n∈N ∈ B telles quexn −yn < 2"n; ce qui nous donnera une suite extraite(y’ (n))n∈N qui converge vers un élémenty ∈ A∩B: D’après le théorème précédent, il existe un hyperplan fermé d’équation[f = ] séparantA" et B" au sens large. Ce qui se traduit par :
f (x + "z) ≤ ≤ f (y + "z); ∀ (x;y) ∈ A ×B;z∈ B(0;1):
Il en résulte que : f (x) + " f ≤ ≤ f (y)− " f ; ∀ (x;y) ∈ A ×B:
De là, on tire que l’hyperplan[f = ] sépare au sens strictA et B. ut
Dans l’exercice suivant, on montre que les hypothèses des théorèmes de Hahn-Banach (forme géométrique 1 et 2) sont optimales.
Exercice1.1.15
Soit E = R[X ] l’espace des polynômes sur R; muni de la norme sup sur [0;1]: Soit
R[X ]+ := {P ∈ E : P(X ) = nX
i=1
et
i=1
1. Montrer que R[X ]+ et R[X ]− sont convexes et disjoints.
2. Montrer qu’il n’existe pas d’hyperplan qui sépare R[X ]+ et R[X ]−:
Corollaire 1.1.16 Soit F ⊂ E un sous-espace vectoriel tel que F , E:Alors il existe f ∈ E′ \ {0E′ } tel que :
f ;x = 0; ∀x ∈ F:
Preuve . Soit x0 ∈ E;x0 < F: On applique le théorème précédent avecA := F et B := {x0}: Il existe f ∈ E′ \ {0E′ } tel que l’hyperplan[f = ] sépare au sens strictF et {x0}: On a :
f ;x < < f ;x0;∀x ∈ F:
Ce qui implique quef ;x = 0;∀x ∈ F; puisque f ;x < ; ∀ ∈ R: ut Remarque 1.1.17. D’après ce corollaire, on conclut qu’un sous-espace vectorielF deE est dense si∀ f ∈ E′ : f |F= 0⇒ f = 0E′ :
Remarque 1.1.18. D’après le théorème de Hahn-Banach, on a : siE est un espace norméE , {0E} alors E′ , {0E′ }, grâce aux corollaires 1.1.6 et 1.1.7. Dans cet exemple, par un exemple classique, on montrer que siE n’est pas un espace normé (n’est pas un evtlc !) cette affirmation n’est plus vraie.
Exemple 1.1.19
Si E = Lp([0;1]); 0 < p < 1; muni de la distance :
d(f ;g) = Z 1
0 |f (t )−g(t )|p dt;
alors E est un espace métrique complet, E , {0E} par contre E′ = {0E′ }: Soit ’ ∈ E′ : Alors ’ : Lp([0;1])→ R est linéaire et continue. Supposons que ’ , 0: On a donc Im(’ ) = R: Par suite, il existe un f0 ∈ E telle que |’ (f0)| ≥ 1:
Soit F la fonction continue définie par : F(x) = Rx 0 |f0(t )|
p dt: Puisque 1 2
F(1) ∈ [0;F(1)];par le théorème
des valeurs intermédiaires, il existe x0 ∈ [0;1] tel que F(x0) = 1 2
F(1) autrement
Z x0
0 |f0(t )|p dt > 0:
Soit g1 = f0 [0;x0] et g2 = f0 ]x0;1]: Alors g1 +g2 = f0 et |f0|p = |g1|p + |g2|p; et de plus on a :
Z 1
1 2
1 2 alors
1 ≤ |’ (f0)| = |’ (g1) + ’ (g2)| ≤ |’ (g1)|+ |’ (g2)| < 1 2 + 1 2 = 1
ce qui absurde.
Supposons |’ (g1)| ≥ 1 2 et posons f1 = 2g1: On a |’ (f1)| ≥ 1 et
Z 1
Z 1
Z 1
0 |f (t )|p dt:
De la même façon, par itération, on conclut fn ∈ E telle que
|’ (fn)| ≥ 1 et d(fn;0) = Z 1
0 |fn(t )|p dt = (2p−1)n
Z 1
0 |f0(t )|p dt:
Comme p < 1 on aura 2p−1 < 1: D’où lim
n→+∞ d(fn;0) = 0:
lim n→+∞
’ (fn) = 0
ce qui absurde puisque |’ (fn)| ≥ 1: Donc ’ = 0: Par conséquent (Lp([0;1]))′ = {0}:
1.2 Espaces de Baire
1.2.1 Théorème de Baire
Définition 1.2.1
Un espace topologique (E;T ) est dit de Baire si pour toute suite d’ouverts ( n)n dense dans E, T
n n est dense dans E i.e.
∀ ( n)n ∈ T N; ∀n ∈ N; n = E
=⇒
\
n n = E:
Remarque 1.2.2. (E;T ) est de Bairesi et seulement si pour toute suite de fermés(Fn)n telle que∀n;
Fn = ∅, on a int (
Proposition 1.2.3
Soit (E;T ) un espace de Baire et (Fn)n∈N une suite de fermés tels que ∪n∈NFn = E. Alors = ∪n∈N
Fn est un ouvert dense dans E:
Preuve . Soit G le ferméE \ (∪n∈N
Fn). Il s’agit de montrer queG est d’intérieur vide.
Pour tout n ∈ N; le ferméG∩Fn est d’intérieur vide carint (G∩Fn) ⊂ G∩
Fn = ∅, et comme(E;T ) est un espace de Baire,
∪n∈N (G∩Fn) = G∩ [∪n∈NFn] = G∩E = G
est d’intérieur vide. ut
Remarque 1.2.4. Si (E;T ) est un espace de Baire non vide, alorsE ne peut pas être réunion dénombrable de fermés d’intérieurs vides.
Théorème 1.2.5 (théorème de Baire)
1. Tout ouvert d’un espace de Baire est de Baire. 2. Tout espace métrique complet est de Baire (théorème de Baire). 3. Tout espace localement compact est de Baire.
Preuve . 1. Soit (E;T ) un espace de Baire, soitA ∈ T (ouvert deE). Soit ( n)n une suites d’ouverts de(A;TA = A ∩ T ) denses dansA (c-à-d n ∈ T et n ⊂ A ⊂ n). Posons = ∩n n (⊂ A). Il suffit de montrer queA ⊂ (la fermeture dansE). PosonsWn = n ∪A
c , on aWn ∈ T et
E ⊂ A ∪ A
A
c ;
= A ∩ : Ainsi A ⊂ :
2. Soit (E;d) un espace métrique complet. Soit( n)n∈N∗ une suite d’ouverts denses dans(E;d). Notons = ∩n n et montrons que = E ce qui est équivalent à montrer que toute boule ouverte non vide rencontre . Soit B(x0;r0) une boule ouverte de centrex0 ∈ E et de rayonr0 > 0. On a B(x0;r0)∩ 1 est un ouvert non vide (car 1 est dense) donc il existex1 ∈ E et r1 ∈]0;1[ tels que la boule ferméeBf (x1;r1) ⊂ B(x0;r0) ∩ 1. Supposons que (x1;r1) · · · (xn;rn) donnés dansE×]0;+∞[ tels queri ∈]0;1n [ et Bf (xi ;ri ) ⊂ B(xi−1;ri−1)∩ i . Puisque n+1 est dense dans E alors il existexn+1 ∈ E et rn+1 ∈]0; 1
n+1 [ tels que
Bf (xn+1;rn+1) ⊂ B(xn;rn)∩ n+1:
On a ainsi construit par récurrence la suite(xn;rn))n dansE×]0;+∞[ telle que pour toutn ∈ N∗; rn < 1 n et Bf (xn;rn) ⊂
\
n∈N∗ Bf (xn;rn) , ∅ par conséquent ∩B(x0;r0)P ∅:
3. Soit (E;T ) un espace localement compact. Soit( n)n∈N∗ une suite d’ouverts denses dans(E;T ). Notons = ∩n n et montrons que = E ce qui est équivalent à montrer que tout ouvertV deE non vide rencontre . En utilisant la densité des n et que(E;T ) est localement compact, nous construisons ar récurrence une suite de
compacts d’intérieurs non vides(Kn)n∈N∗ deE telle que∀n > 1; Kn ⊂ Kn−1 ∩ n et K1 ⊂ V ∩ 1. Ainsi (Kn)n∈N∗ est
une suite de compacts non vides décroissante, donc T
n Kn , ∅. Par conséquent, ∩V , ∅. ut
1.2.2 Corollaires
Corollaire 1.2.6
Preuve . SinonR = S
x∈R {x} est une réunion dénombrable des fermés pour la topologie usuelle associée à la distance
usuelled(x;y) = |x − y|, mais (R;d) est complet donc il est de Baire. Ceci donne en particulier queR = R = ∅ puisque
∀x ∈ R; {x} = ∅. Absurde. ut
1.2. ESPACES DE BAIRE
Corollaire 1.2.7 Tout espace de Banach à base dénombrable est de dimension finie, par exemple on n’a pas de norme sur R[X ] qui le rend complet.
Preuve . Supposons qu’il existe un espace de Banach à base dénombrable est de dimension infinie. Soit donc(en)n∈N∗ une base deE: Pour tout entier naturel n; on pose
Fn := vect(e1;e2; · · · ;en)
Pour tout n ∈ N∗; le sous-espaceFn est de dimension finie donc fermé; de plus Pour toutn ∈ N∗, le sous-espaceFn est d’intérieur vide car si une boule ouverteB(x0;r) est inclue dansFn (avecr > 0), alorsx0 ∈ Fn et x0 + r
2||en+1 || en+1 ∈ Fn
par suiteen+1 ∈ Fn, ce qui est absurde. D’après le théorème de Baire,∪n≥1Fn est d’intérieur vide dansE ce qui est absurde car∪n≥1Fn = E. ut
Définition 1.2.8
1. On dit que A est résiduel si elle contient une intersection dénombrable d’ouverts denses dans E:
2. On dit que A est maigre si elle est contenue dans une réunion dénombrable de fermés de E d’intérieurs vides.
Corollaire 1.2.9 Soient (E;T ) un espace de Baire et (F;d) un espace métrique. On considère une suite (fn)n∈N d’applications continues de E dans F, convergeant simplement vers une application f de E dans F. Alors
f est continue sur une partie dense de E.
C-à-d l’ensemble des points où f sont continues est un résiduel.
Preuve . Pour n;k ∈ N, on pose
Fk;n := \
{x ∈ E : d(fq(x);fp(x))6 1 2k }:
On aFk;n est un fermé deE car l’intersection des fermés est un fermé et l’image réciproque d’un fermé par une fonction continue est fermé. On a aussi, puisquefn converge simplement versf ,
∀k ∈ N; E= [
n∈N Fk;n:
k def =
Posons def =
T k≥∈N k. On a est dense dans(E;T ) puisque ce dernier est de Baire. Montrons quef est continue
sur , pour cela soitx0 ∈ et soit " > 0. Considérons un entierk0 tel que 1 k0
< " 3 et n0 un entier tel quex0 ∈
Fk0;n0 .
d(fp(x);fp(x0))6 d(fp(x);fn0 (x0)) +d(fn0
2 k0
+d(fn0 (x);fn0
1.2. ESPACES DE BAIRE
D’autre part, la continuité defn0 enx0 implique l’existence d’un ouvertW deE contenantx0 tel que
∀x ∈W ; d(fn0 (x);fn0
Exercice1.2.10
1. Montrer que 1Q n’est pas limite simple d’une suite de fonction continues de R dans R. 2. Calculer lim
p→+∞ lim
n→+∞ (cos p !x)2n.
Corollaire 1.2.11 Soit f : R→ R une fonction dérivable sur R. Alors la fonction dérivée f ′ est continue sur un ensemble dense de R.
Preuve . Il suffit de considérer la suite des fonctions
fn : R −→ R x 7−→ n
f (x + 1
n )− f (x)
qui est une suite de fonctions continues qui converge versf ′ et puisqueR est de Baire et métrique, on d’après le corollaire précédent que la fonction dérivéef ′ est continue sur un ensemble dense deR. ut
Chapitre 2 2.1 Espaces vectoriels topologiques 2.2 EVT localement convexe 2.3 Espaces de Fréchet
Sommaire
2.1 Espaces vectoriels topologiques
Dans la suiteK est un corps commutatif (souvent l’un des deux corps C ou R et parfoisQ. (E;+ ;·) désignera un K-espace vectoriel et T une topologie sur E. On prendre aussi comme notation D = {t ∈ K ; |t | 6 1} (D pour disque).
2.1.1 Quelques notions et notations algébriques Soit A et B deux partie des E, a∈ A, t ∈K et ⊂K.
Notation 2.1.1. a+B= {a+b ; b ∈ B}, A +B= {a+b ; a∈ A et b ∈ B}, tA = {ta ; a∈ A} et A = {ta ; t ∈ et a∈ A}.
Définition 2.1.2
On dit que A 1. est un sous espace vectoriel de E si A hérité des lois de compositions de E est un espace vectoriel ce qui équivalent à dire que A , ∅ et vérifie ∀t ∈K, ∀x;y ∈ A, on a tx + y ∈ A. 2. est un sous espace affine de E s’il existe a∈ A tel que A −a est un sous espace vectoriel de E. 3. est convexe si ∀x;y ∈ A, [x;y] def= {tx + (1− t )y ; t ∈ [0;1]} ⊂ A. 4. est équilibrée si ∀t ∈ D , ∀x ∈ A, on a tx ∈ A, i.e. DA = A. 5. absolument convexe s’il est à la fois convexe et équilibrée. 6. absorbe B s’il existe > 0 tel que ∀ ∈K, | |> =⇒ B⊂ A . 7. absorbant si ∀x ∈ E, A absorbe {x}.
Remarque 2.1.3. Tout sous espaces affines est convexe.
La propriété suivante est fondamentale malgré sa simplicité soit en son énoncé soit en sa démonstration. On la rencontre en topologie, en intégration et maintenant en analyse fonctionnelle (en algèbre en réalité). Elle est vraie pour pas mal de familles (topologies, tribus, sous groupes ...)
Proposition 2.1.4
L’intersection quelconque de sous espaces vectoriels (resp. sous espaces affines, resp. de parties convexes, resp. de parties équilibrées, resp. de parties absolument convexes) de E est un sous espace vectoriel (resp. un sous espaces affine, resp. une partie convexe, resp. une partie équilibrée, resp. une partie absolument convexe).
Preuve . Évidentes. ut
2.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES
Remarque 2.1.5. DA est la plus petite partie équilibrée deE contenantA.
La proposition précédente justifie l’existence de « le plus petit truc » contenant une partie A de E et est dit le truc engendré par A avec truc l’une des phrases « sous espace vectoriel », « sous espace affine », « convexe », « équilibré » ou « absolument convexe ». C’est l’intersection (qui est non vide, contient E) des tous « trucs » qui contient A.
Définition 2.1.6 (et notations)
1. Le sous espace vectoriel engendré par A est dit l’enveloppe linéaire de A, il est noté V ectK(A) ou SpanK(A) ou simplement V ect(A), si on ne craint pas la confusion. 2. Le convexe engendré par A est dit l’enveloppe convexe de A, il est noté co(A). 3. L’ensemble absolument convexe engendré par A est dit l’enveloppe absolument convexe de A, il est noté aco(A). 4. Le sous espace affine engendré par A est dit l’enveloppe affine de A, il est noté Aff K(A) ou simplement Aff (A), si on ne craint pas la confusion.
Proposition 2.1.7
co(A) ⊂ aco(A) ⊂ Aff (A) = a+V ect(A −a) ⊂ V ect(A) = Aff (A ∪ {0})
avec a∈ A.
Théorème 2.1.8 Soit x ∈ E
x ∈ V ect(A) ⇐⇒ ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2; · ·;tn ∈K; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A tel que x = t1x1 + · ·+tnxn:
x ∈ aco(A) ⇐⇒ ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2; · ·;tn ∈K; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A tel que
8 >>< >>:
|t1|+ · ·+|tn|6 1:
x ∈ co(A) ⇐⇒ ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2; · ·;tn ∈ [0;1]; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A tel que
8 >>< >>:
x = t1x1 + · ·+tnxn
t1 + · ·+tn = 1:
Preuve . Facile et par une méthode maintenant standard (méthode qu’on a vu en intégration ...). PosonsF = {x ∈ E | ∃n ∈ N∗; ∃t1;t2; · ·;tn ∈ K; ∃x1;x2; · ·;xn ∈ A tel que x = t1x1 + · · +tnxn} puis on montreF est un sous espace vectoriel contenantA ce qui donne queV ect(A) ⊂ F, l’autre inclusion est triviale. Faites la même chose pour les autres implications. ut
Définition 2.1.9
Une application p : E −→ [0;+∞[ est une semi norme si 8 >>< >>:
i )∀t ∈K; ∀x ∈ E; p(tx ) = |t |p(x) ii )∀x;y ∈ E; p(x + y)6 p(x) +p(y):
Elle est une norme si de plus elle vérifie iii ) p(x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Exercice2.1.10
Soit p une semi norme sur E, montrer que B0 def= {x ∈ E ; p(x) < 1} et Bf
def= {x ∈ E ; p(x) 6 1} sont deux parties absorbantes et absolument convexes (équilibrées et convexes).
Définition 2.1.11 (jauge ou fonction de Minkowski)
Soit A une partie de E telle que {t > 0 | x ∈ tA } , ∅ (e.g. A absorbante). On appelle fonction de Minkowski ou la jauge de la partie A dans E la fonction pA définie par
pA : E −→ [0;+∞[ x 7−→ inf{t > 0 | x ∈ tA }
Théorème 2.1.12 Si A est une partie absorbante et absolument convexe alors sa jauge pA est une semi norme telle que
Bo def= {x ∈ E ; p(x) < 1} ⊂ A ⊂ Bf
def= {x ∈ E ; p(x)6 1}
Preuve . Voir TD. ut
2.1.2 Quelques notions et notations topologiques Pour cette sous section je renvoi le lecteur au cours de la topologie générale du semestre S5. Cependant je vous rappelle que la fermeture ou l’adhérence de A noté A est le plus petit fermé de l’espace topologique
(E;T ) contenant A c’est l’intersection de tous les fermé contenant A. L’intérieur de A,noté A ou int E(A), est le
complémentaire dans E de la fermeture du complémentaire de A i.e. A = E \
E \A
c’est le plus grand ouvert
inclut dans A. Dans ce module on utilisera les notions (topologiques) de compacité, d’homéomorphisme, de topologie métri- sable ... une révision du cours de topologie est fort utile.
2.1.3 Espaces vectoriels topologiques
Définition 2.1.13
On dit que (E;+ ; · ;T ) ou simplement (E;T ) est un espace vectoriel topologique (evt pour écrire simple) si les deux fonctions
: E×E −→ E (x;y) 7−→ x + y
et : K×E −→ E (t;y) 7−→ t · y = ty
sont continues en prenant les topologies produits sur les ensembles de départs et en prenant la topologie usuelle sur R.
Proposition 2.1.14
x 7−→ tx +e
est un homéomorphisme. 2. ∀x ∈ E, VE(x) = {x +V ; V ∈ VE(0)} avec VE(x) est l’ensemble des voisinages de x.
3. Soit V ⊂ E, V ∈ VE(0) ⇐⇒ ∀t ∈K∗; tV ∈ VE(0) ⇐⇒ ∃t ∈K∗; tv ∈ VE(0):
4. Soit A ⊂ E, A =
\
V∈VE(0)
(A +V ) :
5. (E;T ) est séparé si et seulement si {0} est fermé.
Preuve . En exercice ut
Théorème 2.1.15
Soit (E;T ) un evt. 1. ∀V ∈ VE(0), V est absorbant. 2. ∀V ∈ VE(0), ∀t ∈ K, ∃W ∈ VE(0) tel que V est un ouvert équilibré et W + tW ⊂ V (t = 1 est le cas le plus important).
Preuve . 1. Soitx ∈ E, on a est continue en(0;x) donc il exister > 0 et W ∈ VE(x) tels querDW = (rD ×W ) ⊂ V , en particulier ∀s> 1
>>< >>:
r t D
sinon:
On trouve queW est un ouvert équilibré contenant0 et W + tW ⊂ V . ut Par récurrence on a le corollaire suivant
Corollaire 2.1.16 Pour tout voisinage V de 0, pour tout entier n ∈ N∗, il existe un ouvert équilibré contenant 0 tel que
+ · ·+| {z } n fois
Proposition 2.1.17
Dans un evt (E;T ), 0 admet une base de voisinages fermés équilibrés.
Preuve . Soit ∈ VE(0). D’après le théorème 2.1.15 il existe un ouvert équilibréW ∈ VE(0) tel queW +W ⊂ donc
W = ∩V∈VE(0) (W +V ) ⊂W +W ⊂ :
Il reste à montrer queW est équilibré, en exercice et voir le TD. ut
Exercice2.1.18 (Voir TD)
1: A équilibré =⇒ A et co(A) sont équilibrés:
2: A équilibré et A ∈ VE(0) =⇒ A est équilibré:
3: A convexe =⇒ A et A sont convexe:
Définition 2.1.19
Soit (E;T ) un evt et A ⊂ E. X A est bornée si et seulement si ∀V ∈ VE(0); ∃t > 0; tA ⊂ V . X A est totalement bornée (ou pré-compacte) si et seulement si ∀V ∈ VE(0); ∃BV ⊂ E tel que BV finie et A ⊂ B+V .
Exercice2.1.20 (Voir TD)
1. A est bornée et B⊂ A =⇒ A et B sont bornées. 2. A est pré-compacte et B⊂ A =⇒ A et B sont pré-compactes. 3. A est compacte =⇒ A est pré-compacte =⇒ A est bornée. 4. A est un sous espace vectoriel de E =⇒ A est un sous espace vectoriel de E.
5. Si A est un sous espace vectoriel de E tel que A , alors A = E.
2.1.4 Applications linéaires continues
Proposition 2.1.21
Soit E et F deux evt et f : E→ F une application linéaire. On a
f est continue sur E ⇐⇒ f est continue en 0:
Preuve . =⇒ ) triviale. ⇐= ) Soit x ∈ E et V ∈ VF(f (x)) donc il existe un voisinageW de0 dansF (evt) tel queV = f (x) +W d’où f −1(V ) = x + f 1(W ) ∈ VE(x), puisquef est continue en0 et doncf 1(W ) ∈ VE(0). ut
Remarque 2.1.22. Soit E et F deux evt etf : E→ F une application linéaire continue. On a
i ) Si F est séparé alors le noyau def Ker (f ) def = f −1({0}) est fermé dansE.
ii ) Si B est une partie bornée (resp. pré-compacte) deE alors f (A) est bornée (resp. pré-compacte) dansF.
Théorème 2.1.23
Soit E un evt et Soit f : E→ R une application telle que ∀x;y ∈ E, ∀t > 0
i ) f (x + y)6 f (x) + f (y) et ii ) f (tx ) = tf (x):
Alors
1) f est continue ⇐⇒ 2) (f < 1) est un ouvert ⇐⇒ 3) (f < 1) ∈ VE(0) ⇐⇒ 4) (f 6 1) ∈ VE(0) ⇐⇒ 5) f continue en 0 ⇐⇒ 6) il existe q : E→ R une application continue en 0 telle que f 6 q sur un voisinage U de 0.
Preuve . On remarque d’abord,f (0) = f (2×0) = 2f (0) doncf (0) = 0, f (y)− f (x) = f (x+(y −x))− f (x)6 f (y −x) et 0 = f (x − x)6 f (x) + f (−x) donc−f (x)6 f (−x). On a 1) =⇒ 2) =⇒ 3) =⇒ 4) et 1) =⇒ 6) sont triviales. 4) =⇒ 5) : Soit V ∈ VR(0) donc il existe" > 0 tel que]− ";" [⊂ V . On a " (f 6 1) = (f 6 " ) ∈ VE(0), soit W ∈ VE(0) équilibré tel queW ⊂ (f 6 " ) et pour tout x ∈ W , on a−x ∈ W donc f (x) 6 " et f (−x) 6 " . Mais 0 = f (x − x) 6 f (x) + f (−x), d’où−f (x)6 " . Ainsi f (x) ∈]− ";" [⊂ V . Donc f est continue en0.
5) =⇒ 1) : Soit x ∈ E et montrons quef est continue enx. Pour cela, soitV ∈ VR(f (x)) donc il existe" > 0 tel que f (x)+" ]−1;1[=]f (x)−";f (x)+" [⊂ V . Or f est continue en0 donc il existeW ∈ VE(0) équilibré tel queW ⊂ f −1(]−";" [). Doncx +W ∈ VE(x) et pour tout y ∈ x +W , on ay − x ∈W et x − y ∈W d’où f (y − x) < " et f (x − y) < " . Mais
|f (y)− f (x)|6 f (y − x)∨ f (x − y) < ";
Ainsi f (y) ∈ V . 6) =⇒ 1) : D’après l’équivalence de1) et5), il suffit de montrer quef est continue en0. Soit V ∈ VR(0) donc il existe " > 0 tel que]− ";" [⊂ V . Par suite il existeW ∈ VE(0) équilibré tel queW ⊂ U ∩q−1(]− ";" [). Soit x ∈W , donc−x ∈W , f (x)6 q(x) < " et−f (x)6 f (−x)6 q(−x) < " . Ainsi f (x) ∈]− ";" [⊂ V .CQFD ut
Théorème 2.1.24
Soit (E;T ) un evt séparé de dimension n sur le corps K = C ou R (et non Q). Soit (e1; · ·;en) une base (algébrique) de E. Alors l’application
h : Kn −→ E (t1; · ·;tn) 7−→
P n i=1 t i ei
est un isomorphisme topologique (une application linéaire qui est une homéomorphisme). En particulier (E;T ) est normable.
Remarque 2.1.25. Si on ne dit pas le contraireKn sera toujours muni de la norme||(t1; · ·;tn)|| =max{|t1|; · ·;|tn|}.
Preuve . On a h est linéaire bijective c-à-d isomorphisme algébrique (car(e1; · ·;en) une base deE). Il reste à montrer queh et h−1 sont continues en0 = 0Kn et 0 = 0E respectivement. X Soit V ∈ VE(0). Montrons queh−1(V ) ∈ VKn (0) : Soit W ∈ VE(0) tel queW est un ouvert équilibré etW + · ·+W| {z }
n fois
⊂ V .
D’autres part, les fonctions i :K→ E; t 7→ tei sont continues pouri = 1 · ·n car i = i avec i :K→K×E; t 7→ (t;ei ), est continue (E est un evt) et i est continue (topologieproduit sur l’ensemble d’arrivé et les fonctions coordonnées sont continues : l’identité et une fonction constante ). En déduit queU =
T n i=1 −1i (W ) ∈ VK(0) et U n = U × · · ×U| {z }
n fois
⊂ h−1(V ). D’où la continuité deh.
X Soit V ∈ VKn (0). Montrons queh(V ) ∈ VE(0) : Soit r > 0 tel queBr = {t ∈Kn ; ||t || < r } = rB1 ⊂ V , il suffit donc de montrer queh(B1) ∈ VE(0). On a S= {t ∈Kn ; ||t || = 1} est une partie compacte deKn carK = C ou R (le casK =Q ne marche pas !) et puisque h est continue etE estséparé, on obtienth(S) est compact et en particulierh(S) est fermé dansE, de plush(0) = 0
donc0 ∈ U def = E \h(S) qui est un ouvert deE. Soit doncW un ouvert équilibré tel que
0 ∈W ⊂ U:
Soit x < h(B1) donc||h−1(x)||> 1 ainsi 1 ||h−1(x)|| h
−1(x) ∈ S ce qui donne
h( 1
x ∈ h(S)
donc 1 ||h−1(x)|| x < W et puisqueW est équilibré et 1
||h−1(x)|| 6 1 on a x < W . Ainsi W ⊂ h(B1) ce qui prouve que h(B1) ∈ VE(0). CQFD La topologieT est engendrée par la norme||x||E = ||h−1(x)||Kn . ut
Corollaire 2.1.26
Soit E un evt séparé sur le corpsK ∈ {R;C}, soit F un sous espace vectoriel de E de dimension finies. Alors F est fermé de E (ici K =Q ne marche pas !).
Preuve . Soit (e1; · ·;en) une base deF et supposons queF n’est pas fermé. Donc il existeen+1 ∈ F tel queen+1 < F. PosonsG = V ectK({e1; · ·;en;en+1}), on a
F G⊂ F et (e1; · ·;en;en+1) est une base deG:
D’après le théorème 2.1.24, la fonction
h : Kn+1 −→ G (t1; · · · ;tn+1) 7−→
P n+1 i=1 t i ei
est un isomorphisme topologique. PuisqueKn × {0} est un fermé deKn+1 alorsF = h(Kn × {0}) est un fermé deG. D’où
F = FG = F∩G = F:
Ce qui est absurde, ainsiF est fermé. ut
Lemme 2.1.27 Soit E un evt et A une partie de E. Soit B une partie bornée de E telle que
∃t ∈K tel que B⊂ A + tB et |t | < 1:
Alors B⊂ V ectK(A).
Preuve . PosonsM = V ectK(A) et rappelons queM = T
V∈VE(0) (M +V ). Soit V ∈ VE(0) donc il existeW un ouvert équilibré tel que0 ∈W ⊂W +W ⊂ V . PuisqueB est bornée, il existe > 0 tel queB ⊂W . Or il existe un entiern0 tel que∀n > n0, on a |tn| = |tn| < (car |t | < 1). D’autre part, on montre par récurrence :∀n ∈ N∗,
B⊂M + tnB:
En effet, l’inclusion est vraie pourn = 1 (par hypothèse etA ⊂ M ). Supposons que l’inclusion est vraie pourn ∈ N∗. Donc
x ∈ B =⇒ x ∈M + tnB =⇒ ∃m ∈M; ∃b ∈ B; x= m+ tnb
=⇒ ∃m;m′ ∈M; ∃b′ ∈ B; x= m+ tnm′ + tn+1b′ car B⊂M + tB
=⇒ x ∈M + tn+1B:
En particulier, B⊂M + tn0B⊂M + tn0 B ⊂M + tn0
W . PuisqueW est équilibrée ett n0 6 1, on trouve
B⊂M +W ⊂ B+V :
Donc B⊂
E est de dimension finie ⇐⇒ 0 admet un voisinage pré-compact.
2.2. EVT LOCALEMENT CONVEXE
Preuve . X (=⇒ ) : Si dimK(E) = n alors il existe(e1; · ; · ;en) une base deE. Considérons l’isomorphisme topologiqueh définie dans le théorème 2.1.24 et le compactB1 = {z ∈Kn ; ||z||6 1} deKn, on aW = h(B1) est compact (carh continue et E séparé) donc pré-compact qui contient le voisinage de0, h({z ∈Kn ; ||z||6 1}) (c’est un ouvert contenant0). Ainsi W est un voisinage de0 pré-compact. X (⇐= ) : Soit K un voisinage pré-compact de0. Soit A une partie finie deE telle que
K ⊂ A + 1 2
D’après le lemme 2.1.27, on a K ⊂M
où M = V ectK(A). Or M est de dimension finie donc, d’après la proposition 2.1.26,M = M (puisqueE est séparé). D’autre part,
x ∈ E =⇒ ∃t > 0; tx ∈ K ⊂M car K est absorbant puisque tout voisinage de0 est absorbant =⇒ x ∈M car M est un sous espace vectoriel:
DoncE ⊂M , ainsi E est de dimension finie. ut
Définition 2.1.29
On dit qu’un evt séparé est localement compact si l’origine admet un voisinage compact.
Proposition 2.1.30
Si E est un evt localement compact alors 0 admet une base de voisinage compacts dénombrable.
Lemme 2.1.31
Soit E un evt et V un voisinage borné de 0. Alors B0 def= { 1n V ; n ∈ N∗} est une base de voisinage de
0.
Preuve . Il suffit d’appliquer le lemme suivant. ut
Preuve . Soit U ∈ VE(0) donc il existe un ouvert équilibréW tel que0 ∈W ⊂ U . Or V est borné donc il existet > 0 tel quetV ⊂W , soit n ∈ N∗ tel que 1
n < t , donc
E est de dimension finie ⇐⇒ E est localement compact.
2.2 EVT localement convexe
Définition 2.2.1
On dit qu’un evt E est localement convexe, on écrit evtlc, si 0 admet une base de voisinages convexes, c’est à dire
∀V ∈ VE(0); ∃W ∈ VE(0); W ⊂ V et W est convexe.
Proposition 2.2.2
Soit E un evtlc. Alors 0 admet une base de voisinages convexes fermés et équilibrés.
Preuve . Soit V ∈ VE(0), donc∃W1 ∈ VE(0) tel queW1 est équilibré estW1 ⊂ W1 + W1 ⊂ V . Or E est localement convexe donc∃W2 ∈ VE(0) tel queW2 est convexe etW2 ⊂ W1. Il existe aussi u voisinages équilibré de0 tel que W3 +W3 ⊂W2. PosonsU = co(W3), on aW3 ⊂W doncW est un voisinage fermé convexe de0. D’autre part,
W3 ⊂W2 =⇒ co(W3) ⊂ co(W2) = W2 =⇒ U = co(W3) ⊂W2 ⊂W1 ⊂W1 +W1 ⊂ V :
ut
Définition 2.2.3
Soit E un K-espace vectoriel (à présent on n’a pas de topologies sur E). Soit P = {pi ; i ∈ I } une famille de semi normes sur E. 1. On dit que la famille P est séparante si ∀x ∈ E \ {0}; ∃p ∈ P ; tel que p(x)neq0. 2. On dit que P est filtrante si ∀p;p′ ∈ P ; ∃q ∈ P ; tel que p 6 q et p′ 6 q.
Remarque 2.2.4. Soit P est une famille de semi normes surE. PosonsJP = {J ⊂ P tel que J est finie} et pour J∈ J , qJ : E→ [0;+∞[ définie parx 7→maxp∈J p(x). Alors bP = {qJ ; J∈ J } est une famille filtrante surE, séparante si P l’est.
Notation 2.2.5. Soit p une semi norme surE, on noteBp l’ensemble{x ∈ E | p(x) < 1} (la boule ouverte unité associée à la semi normep).
Proposition 2.2.6 ( et définition)
Soit E un K-espace vectoriel et P une famille de semi normes sur E. Posons
TE(P ) def=
8 >>>< >>>:
\
:
Alors (E;TE(P )) est un evtlc. Une base de voisinages de 0 pour cette topologie est donnée par
BE(0) =
9 >>>= >>>;
:
Cette topologie est séparé si P est séparante. Définition : TE(P )) est dite la topologie sur E associée à la famille des semi normes P sur E.
Preuve . Facile, il suffit pour établir queTE(P )) est une topologie sueE d’utiliser la même démonstration que celle du même résultat pour les espaces métriques ou normés (voir cours topologie). En suite il faut montrer la continuité de l’addition et de la multiplication externe... ut
\
Proposition 2.2.8
Soit E un K-espace vectoriel, P une famille de semi normes sur E et B⊂ E. Alors B est bornée pour la topologie TE(P ) si et seulement si ∀p ∈ P ; ∃Mp ∈ R; ∀x ∈ B; p(x)6 Mp.
Preuve . En exercice. ut
Soit (E;T ) un evt.
E est localement convexe si et seulement si ∃P une famille de semi normes sur E tq T = TE(P ).
Preuve . (=⇒) : D’après la proposition 2.2.6. (⇐=) : Soit V = {V ∈ VE(0) | V est convexe, fermé et équilibré}. On sait que pour tout voisinageU de0 il existe un élémentV deV tel queV ⊂ U . Pour V ∈ V , soit pV la jauge deV . On sait quepV est une semi norme surE et V = {x ∈ E ; pV (x) 6 1} = (pV 6 1) (voir TD). Considérons maintenant la famille de semi normesP = {pV ; V ∈ V} et montrons queT = TE(P ). X Soit U ∈ T . Soit x ∈ U donc∃V ∈ V , x +V ⊂ U d’où x +BpV ⊂ x +V ⊂ U , ainsi U ∈ TE(P ). On a montrer que
T ⊂ TE(P ):
X Réciproquement, soitU ∈ TE(P ). Soit x ∈ U , donc il existen ∈ N∗, il existed ∈ N∗ et il existeV1; · · · ;Vd ∈ V tels que
x + 1 n
T i=1··n Vi ⊂ U . Mais x + 1
2n T
i=1··n Vi ∈ VE(x) donc il existe x ∈ T tel quex ∈ x ⊂ U , d’où
U = [
Exemple 2.2.10
Soit A un ensemble non vide et F un espace vectoriel normé. Posons E = FA l’espace vectoriel des applications de A dans F. Considérons la famille des semi normes
P = {pa ; a∈ A}
où pa est définie par pa(x) = ||x(a)||F.
La topologie TE(P ) sur E est la topologie de la convergence simple. E = FA muni de cette topologie est un evtlc séparé (en exo).
Exemple 2.2.11
Soit E = C(R;R) muni de la famille des semi normes P = {pn ; n ∈ N∗} avec
pn(x) = sup t∈[−n;n]
|x(t )|:
La topologie associée à P est dite la topologie de la convergence compacte. Emuni de cette topologie est un evtlc métrisable (voir plus loin) et donc séparé.
Exemple 2.2.12
Soit E = C∞(R;R) muni de la famille P = {pn;k ; n;k ∈ N} où
pn;k(f ) def= sup
i=0··n
1 CCCCA:
E muni de la topologie associée à P est un evtlc métrisable (voir plus loin) et donc séparé aussi.
Exemple 2.2.13
Soit E = C∞0 (R;R) = D(R) l’espace des fonctions de classe C∞ à support compact muni de la famille P = {pn ; n ∈ N} où
pn(f ) def= sup
i=0··n sup t∈R |f (i )(t )|:
D(R) muni de la topologie associée à P est un evtlc métrisable (voir plus loin) et donc séparé aussi.
Théorème 2.2.14
Soit E un espace vectoriel muni d’une famille de semi normes P et F un autre espace vectoriel muni d’une famille de semi norme Q. Soit T : E→ F une application linéaire. Alors
i ) T est continue pour les topologies TE = TE(P ) et TF = TF(Q) ⇐⇒ iii ) ∀q ∈ Q; ∃Jq ∈ JP ; ∃mq ∈ N∗; T T
p∈Jq Bp
⊂mqBq
⇐⇒ ii ) ∀q ∈ Q; ∃Jq ∈ JP ; ∃Cq > 0; ∀x ∈ E; q(T (x))6 Cq supp∈Jq p(x).
Preuve . i ) =⇒ ii ) : Soit q ∈ Q, on a Bq = (q < 1) ∈ VF(0) et la continuité deT en 0 implique queT−1(Bq) ∈ VE(0) donc il existenq ∈ N∗ et il existeJq ∈ JP tels que 1
nq
T
ii ) =⇒ iii ) : Soit x ∈ E, soit " > 0 doncy def = 1
supp∈Jq p(x)+" x ∈ T
p∈Jq Bp d’où T (y) ∈mqBq et par conséquent
q(T (x))6 mq
1 CCCCCA;
tendons en suite" vers0+, pour obtenirq(T (x))6 mq supp∈Jq p(x).
2.2. EVT LOCALEMENT CONVEXE
iii ) =⇒ i ) : D’après la proposition 2.1.21, il suffit de montrer queT est continue en0. Pour cela soitV ∈ VF(T (0) = 0),
donc il existen ∈ N∗ et il existeI ∈ JQ tels que1 n
T q∈I Bq ⊂ V . Posonsr =
" max q∈I
q∈I Jq.
PosonsU = 1 nr
T p∈J Bp, on aU ∈ VE(0) (J est finie) et six ∈ U , alors pour toutq ∈ I ,
q(T (x))6 Cq sup p∈Jq
p(x) < Cq
nr 6
1 n
doncT (x) ∈ 1 n
T q∈I Bq ⊂ V . D’où U ⊂ T−1(V ) c-à-dT est continue. ut
Remarque 2.2.15. Si de plusP est filtrante alors
i ) T est continue pour les topologiesTE = TE(P ) et TF = TF(Q) ⇐⇒ iii ) ∀q ∈ Q; ∃pq ∈ P ; ∃mq ∈ N∗; T Bpq
⊂mqBq
⇐⇒ ii ) ∀q ∈ Q; ∃pq ∈ P ; ∃Cq > 0; ∀x ∈ E; q(T (x))6 Cq pq(x).
Théorème 2.2.16
Soit E un R-espace vectoriel et P une famille de semi normes sur E. Soit f : E→ R une application telle que ∀x;y ∈ E, ∀t > 0
i ) f (x + y)6 f (x) + f (y) et f (tx ) = tf (x):
Alors
f est continue avec E muni de la topologie TE = TE(P ) ⇐⇒ ∃J∈ JP ; ∃C > 0; ∀x ∈ E; f (x)6 C supp∈J p(x).
Preuve (On peut aussi utiliser le théorème 2.1.23). (=⇒) : Supposons quef est continue donc elle est continue en0 doncf −1(]−1;1[) ∈ VE(0). Donc il existen ∈ N∗ et il existeJ∈ JP tels que
1 n
p∈J Bp ⊂ f −1(]− 1;1[):
Soit x ∈ E et " > 0 doncy = 1 n("+supJ p(x)) x ∈ 1
n T
f (y) = 1
n(" + supJp(x)) |f (x)| < 1:
Ainsi, en tendant" → 0+, nous obtenonsf (x)6 |f (x)|6 C supp∈J p(x) avecC = n. (⇐=) : Soit x ∈ E et montrons quef est continue enx. Pour cela, soitV ∈ VR(f (x)) donc il existe" > 0 tel que f (x) + " ] − 1;1[=]f (x) − ";f (x) + " [⊂ V . Soit n ∈ N∗ tel que C
n < " et posonsW = x + 1 n
T p∈J Bp. On a W ∈ VE(x) et
pour tout y ∈W ,
f (y)− f (x)6 f (y − x)6 C sup p∈J
p(y − x)6 C n
< ";
de même f (x)− f (y)6 f (x − y)6 C sup
p∈J p(x − y) = C sup
p∈J p(y − x)6
< ":
Ainsi f (W ) ⊂ f (x) + " ]− 1;1[⊂. D’où la continuité def enx. ut
Définition 2.2.17
Soit (I ; 6) un ensemble ordonné, on dit que (I ; 6)est dirigé si ∀i;j ∈ I ; ∃k ∈ I tels que i 6 k et j 6 k.
Exemple 2.2.18
X (N;6) est dirigé. X L’ensemble des voisinages de x muni de l’inclusion est dirigé.
Définition 2.2.19
Soit (I ; 6) un ensemble dirigé et E un espace topologique. 1. Une suite généralisée (famille, net) (xi )i∈I à valeurs dans E est une application de I dans E : I → E; i 7→ xi . 2. On dit que la suite généralisée (xi )i∈I à valeurs dans E converge vers x ∈ E si
∀V ∈ VE(x); ∃i0 ∈ I ; ∀i ∈ I ; i 0 6 i =⇒ xi ∈ V :
On écrit dans ce cas (xi )i∈I → x dans E ou lim i∈I
(xi )i∈I = x dans E.
Théorème 2.2.20
Soit E un evt, (xi )i∈I une suite généralisée à valeurs dans E et x ∈ E. 1. (xi )i∈I → x dans E si et seulement si ∀V ∈ VE(0); ∃i0 ∈ I ; ∀i ∈ I ; i 0 6 i =⇒ xi − x ∈ V ( c-à-d (xi − x)i∈I → 0). 2. Si la topologie sue E est définie par une famille de semi normes P alors (xi )i∈I → x dans E si et seulement si ∀p ∈ P ; (p(xi − x))i∈I → 0 dans R (on revient à R !).
Preuve . En exercice. ut
Proposition 2.2.21
Soit P et Q deux familles de semi normes sur E. Alors
TE(P ) ⊂ TE(Q) ⇐⇒ ∀p ∈ P ; p est continue pour TE(Q):
Preuve . Il suffit d’étudier la continuité de l’application linéairef = idE : (E;TE(P ))→ (E;TE(Q)); x 7→ x... ut
2.3 Espaces de Fréchet
Définition 2.3.1
Soit (E;T ) un espace topologique. On dit qu’il est métrisable s’il existe une distance d sur E telle que
T = Td = {U ⊂ E | ∀x ∈ U; ∃r > 0; Bd(x;r) ⊂ U } :
Où Bd(x;r) = {y ∈ E | d(y;x) < r }.
Remarque 2.3.2. Si (E;T ) est un evt métrisable par une distanced sur E, alors elle est séparé et0 admet une base de voisinages dénombrable :
n Bd(0;1n ) ; n ∈ N∗
(E;T ) est métrisable ⇐⇒ 0 admet une base de voisinages dénombrable.
Preuve . =⇒) : Triviale d’après la remarque précédente. ⇐=) : Admis (Mais pour les courageux voir le polycopié des exercices corrigés). ut
Théorème 2.3.4
Soit (E;T ) un evtlc séparé. Alors
(E;T ) est métrisable ⇐⇒ il existe une suite de semi normes P = {pn ; n ∈ N∗} telle que T = TE(P ).
Dans ce cas on peut choisir une distance invariante par translation.
Preuve . Rappelons queV = {V ∈ VE(0) | V est équilibré, convexe et fermé} est une base de voisinage de0 et notonspV la jauge deV . On sait queT = TE(Q), oùQ = {pV ; V ∈ V}. =⇒) : Soit d une distance dansE telle queT = TE(Q) = Td. Pour n ∈ N∗, soit Wn ∈ V tel queWn ⊂ Bd(0;1n ). Notons
P = n pWn ; n ∈ N∗
o :
TE(P ) ⊂ TE(Q) = T :
Réciproquement, Soitq ∈ Q donc il existeV ∈ V telle queq = pV . Soit nV ∈ N∗ tel queBd(0; 1 nV
) ⊂ V , on obtient Wn ⊂ V et par conséquent,pV 6 pWn c-à-d∃p ∈ P telle queq6 p. D’où q est continue pourTE(Q) ce qui donne
T = TE(Q) ⊂ TE(P ):
On conclut que T = TE(Q) = TE(P ):
⇐=) : Soit une suiteP = {pn ; n ∈ N∗} de semi normes surE telle queT = TE(P ). Posons
d : E×E −→ [0;+∞[ (x;y) 7−→ maxn∈N
h 1 2n (pn(y − x)∧ 1)
i
X d est une distance surE : i: (symétrie)∀x;y ∈ E; ∀n ∈ N; pn(y − x) = pn(x − y), doncd(x;y) = d(y;x) ii: (séparante) Soitx;y ∈ E tels qued(x;y) = 0. Donc ∀n ∈ N; pn(y − x) = 0 et puisqueTE(P ) est séparée,P est séparante doncy = x. Réciproquement, puisque∀n; pn(0) = 0 on ad(x;x) = 0. iii: (transitivité) Soit x;y;z∈ Z , on a pour tout entiern, pn(z− x)6 pn(z− y) +pn(y − x) donc
1 2n (pn(z− x)∧ 1)6 1
2n (pn(z− y)∧ 1) + 1 2n (pn(y − x)∧ 1)6 d(z;y) +d(y;x)
d’où d(z;x)6 d(z;y) +d(y;x). Remarquons qued(y;x) = d(y − x;0) c-à-dd est invariante par translation. X Td ⊂ T : Soit U ∈ Td, soit x ∈ U donc il exister > 0 tel queBd(x;r) ⊂ U . Soit m ∈ N∗ tel que 1
m < r , soit n0 ∈ N tel que 1
2n0 < r et posonsJ= {p0; · · · ;n0}. Soit y ∈ x + 1
m T
i=0··n Bpi donc∀i = 0 · ·n; pi (y − x) < 1 m , en particulier
∀i = 0 · ·n; 1 2i [pi (y − x)∧ 1] < r:
D’autre part, ∀i > n , 1 2i [pi (y − x)∧ 1]6 1
2i < 1 2n0 < r . Ainsi d(y;x) < r , c-à-dy ∈ Bd(x;r) ⊂ U .
D’où x + 1 m
T i=0··n Bpi ⊂ U , ce qui implique queU ∈ T .
X T ⊂ Td : Soit U ∈ T , soit x ∈ U donc il existem ∈ N∗ et il existeJ= n pn1
; · · · ;pnk
m T
i∈J Bp ⊂ U . Posons =max {n1; · · · ;nk} et r = 1
m2 . Soit y ∈ Bd(x;r), donc∀i ∈ N; pi (y−x)∧1 < r2i , en particulier∀j ∈ {n1; · · · ;nk} ; pnj (y−x)∧1 < r2nj 6 r2 = 1
m 6 1. Doncy ∈ x + 1
m T
Bd(x;r) ⊂ U
Définition 2.3.5
Soit (E;T ) un evt. Soit (xn)n∈N une suite de E. On dit que (xn)n∈N est une suite de Cauchy au sens des espaces vectoriels topologiques si
∀V ∈ VE(0); ∃n0 ∈ N; ∀n;m> n0; xm − xn ∈ V :
Définition 2.3.6
Un evt est dit complet au sens des evt si et seulement si Toute suite de Cauchy au sens des evt converge dans E.
Définition 2.3.7
Un espace de Fréchet est evtlc métrisable complet au sens de evt ce qui est équivalent à dire qu’il complet au sens métrique avec une distance qui engendre la topologie invariante par translation.
Exemple 2.3.8
[
Kn+1:
Soit m ∈ N et pm : Ck( ;R); f 7→ pm(f ) = sup
| |6k sup x∈Km
||D f (x)
avec pour = ( 1; · · · ; d) ∈ Nd, | | = 1 + · · ·+ d et D f (x) = @
@ 1x1··@ d xd .
On a (E;Td) est un espace de Fréchet.
Chapitre 3 3.1 Banach-Steinhaus 3.2 Application ouverte 3.3 Graphe fermé
Sommaire
3.1 Banach-Steinhaus
Définition 3.1.1
Soit (E;T ) un espace topologique, on dit que A ⊂ E est maigre s’il existe une suite (An)nßN de fermé telle que
A ⊂ [
An = ∅:
Remarque 3.1.2. Soit (E;T ) un espace topologique. 1. Si (An)nßN est une suite de partie maigre de(E;T ) alors
S n∈NAn est maigre dans(E;T ).
2. Si A ⊂ B⊂ E et B est maigre deE alorsA est maigre.
Définition 3.1.3
Soient E et F deux espaces topologiques. Soit (Ti )i∈I une famille d’applications de E dans F. X On dit que la famille (Ti )i∈I est équicontinue en x ∈ E si
∀V ∈ VF(f (x)); \
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(x):
X On dit que la famille (Ti )i∈I est équicontinue (resp. sur A ⊂ E) si elle est équicontinue en tout point x ∈ E (resp. x ∈ A).
Proposition 3.1.4
Soient E et F deux evt . Soit (Ti )i∈I une famille d’applications linéaires de E dans F. La famille (Ti )i∈I est équicontinue si elle est équicontinue en 0 c-à-d
∀V ∈ VF(0); \
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(0):
Preuve . Facile, semblable à la démonstration de la proposition 2.1.21. ut
30
3.1. BANACH-STEINHAUS
Proposition 3.1.5
Soient E et F deux evt . Soit (Ti )i∈I une famille d’applications linéaires de E dans F équicontinue. Soit B une partie de E bornée. Alors
S i∈I Ti (B) est bornée dans F.
Preuve . Soit V ∈ VF(0). Puisque(Ti )i∈I est équicontinue en0, T
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(0). Soit donct > 0 tel queB ⊂ t T
i∈I T−1i (V ). Ainsi, grâce à la linéarité desTi , ∀i ∈ I ,
Ti (B) ⊂ tV :
i∈I Ti (B) est bornée dansF. ut
Théorème 3.1.6
Soient E et F deux evt . Soit (Ti )i∈I une famille d’applications linéaires continues de E dans F. Notons, pour x ∈ E, (x) = {Ti (x) ; i ∈ I } et A = {x ∈ E (x) est bornée dans F}. Si A n’est pas maigre dans E, alors 1: (Ti )i∈I est équicontinue. 2: A = E.
Preuve . 1: (Ti )i∈I est équicontinue :Soit V ∈ VF(0), soit U ∈ VF(0) équilibré tel que
U +U +U +U ⊂ V :
Posons = T
, puisque lesTi sont continues on a est un fermé deE.
Or ∀x ∈ E
x ∈ A =⇒ (x) est bornée dansF =⇒ ∃t > 0; (x) ⊂ tU =⇒ ∃nN∗; (x) ⊂ nU car U est équilibrée
=⇒ ∃nN∗; ∀i ∈ ITi (x) ⊂ nU ⊂ nU
=⇒ ∃nN∗; ∀i ∈ Ix ∈ nT−1i (U ) car Ti est linéaire
=⇒ x ∈ [
DoncA ⊂ S
, ∅:
Soit ! ∈ , doncW
def = −! + ∈ VE(0).
Soit x ∈W doncx+! ∈ et par suite∀i ∈ I ; Ti (x+! ) ∈ U d’où Ti (x) ∈ −Ti (! )+U , or ! ∈ donc−Ti (! ) ∈ −U = U (car U est équilibrée). Ainsi,
Ti (x) ∈ −Ti (! ) +U ⊂ U +U ⊂ U +U +U +U ⊂ V :
DoncW ⊂ T
i∈I T−1i (V ) ce qui nous donne T
i∈I T−1i (V ) ∈ VE(0). (Ti )i∈I est équicontinue. 2: A = E : Soit x ∈ E, d’après la proposition 3.1.5 on a{x} est borné donc
S i∈I Ti ({x}) = (x) est bornée dansF c-à-d
x ∈ A. ut
Théorème 3.1.7 (théorème de Banach-Steinhaus)
Soit (E;T ) un evt de Baire (e.g. espaces de Fréchet, espaces d Banach ... ) et F un evt. Soit (Ti )i∈I une famille d’applications linéaires continues de E dans F telle que
∀x ∈ E; {Ti (x) ; i ∈ I } est bornée dans F:
Alors (Ti )i∈I est équicontinue.
Preuve . Reprenons les notations du théorème 3.1.6. On aA = E qui n’est pas maigre puisqueE est un espace de Baire. On applique donc le théorème 3.1.6 pour conclure. ut
Corollaire 3.1.8 Soit (E;T ) un evt de Baire et F un evt séparé. Soit (Tn)n∈N une suite d’applications linéaires continues de E dans F telle que
∀x ∈ E; lim n→+∞
Tn(x) existe dans F:
Alors T : E→ F; x 7→ limn→+∞Tn(x) est bien définie linéaire continue.
Preuve . X On a T est bien définie carF est séparé ce qui donne l’unicité de la limite. X On a T est linéaire car lesTn le sont. X On a (x) = {Tn(x) ; n ∈ N} est bornée, en effet soitV ∈ VF(0), soit U ∈ VF(0) équilibré tel queU +U ⊂ V . Soit un entier n0 tel que∀n > n0; Tn(x) ∈ l +U avecl = limn→+∞ Tn(x). Soit > 0 tel quel ∈ U , pour tout k ∈ {0; · · · ;n0},
k > 0 tel que kTk(x) ∈ U . Posonst def = min{ 0; · · · ; n0
;1; }. PuisqueU est équilibré, on a
t {Tn(x) ; n ∈ N} ⊂ V :
X T est continue. En effet, Soit V ∈ VF(0), U ∈ VE(0) équilibré tel queU + U ⊂ V . D’après le théorème de Banach Steinhaus 3.1.7,W =
T n T−1n (U ) ∈ VE(0), soit
Soit x ∈W . Soit n0 ∈ N tel que∀n > n0; Tn(x) ∈ T (x) + U . U est équilibré etx ∈ W implique que−Tn(x) ∈ U . D’où T (x) ∈ U +U ⊂ V . Ce qui nous donneW ⊂ T−1(V ) par suite T est continue en0 et donc continue puisqu’elle est linéaire d’un evt dans un evt. ut
Corollaire 3.1.9 (théorème de Banach-Steinhaus)
Soient E et F deux espace de Banach. Soit (Ti )i∈I une famille d’applications linéaires continues de E dans F:On suppose que
∀x ∈ E; sup i∈I Ti xF <∞:
Alors sup i∈I Ti L(E;F) <∞:
Autrement dit, ∃c∈ R : ∀ i ∈ I ; Ti xF ≤ cxE:
Preuve . D’après le théorème de Banach-Steinhaus 3.1.7,(Ti )i∈I est équicontinue. Donc T
i∈I T−1i (B(0;1)) ∈ VE(0), ainsi il exister > 0 tel queB(0;r) ⊂
T i∈I T−1i (B(0;1)).
Soit x ∈ E et " > 0 donc r "+||x|| x ∈ B(0;r) donc∀i ∈ I , ||Ti (
r "+||x|| x)|| < 1, on obtient∀i ∈ I , ||Ti (x)|| < 1
r (" + ||x||). En tendant " → 0+, on a
∀i ∈ I ; ||Ti (x)||6 1 r ||x||:
ut
Preuve (Une deuxième méthode). Pour tout n ∈ N∗; on pose
Xp := {x ∈ E : ∀ i ∈ I ; Ti xF ≤ p}:
Pour tout p ∈ N∗;Xp est un fermé : En eff et : Soit (xn)n∈N une suite d’éléments deXp telle que(xn)n∈N converge versx:
∀n ∈ N : Ti xnF ≤ p;∀ i ∈ I ;
comme∀ i ∈ I ;Ti est continue, par passage à la limite on trouve que
Ti xF ≤ p;∀ i ∈ I ;
ce qui donne quex ∈ Xp;∀p ∈ N: En plus, puisque
∀x ∈ E; sup i∈I Ti xF <∞;
si p ≥ E(supi∈I Ti xF) + 1; (où E(y) désigne la partie entière dey), alors x ∈ Xp et donc∪i∈I Xp = E: On tire du
lemme de Baire que∃p0 ∈ N telle que Xp0 , ∅:
Soit x0 ∈ E et r > 0 tels queB(x0;r) ⊂ Xp0 : On a :
∀ i ∈ I ;∀z ∈ B(0;1) : Ti (x0) + rTi (z) ≤ p0:
Ainsi ∀ i ∈ I ;∀z ∈ B(0;1) : Ti (z) ≤
1 r (p0 +Ti (x0)):
D’où sup i∈I Ti <∞:
ut
Corollaire 3.1.10 Soient E et F deux espaces de Banach. Soit (Tn)n∈I une famille d’opérateurs linéaires continus de E dans F:On suppose que ∀x ∈ E; la suite (Tnx)n∈N converge vers une limite T x:Alors
1. sup i∈I TnL(E;F) <∞;
2. T ∈ L(E;F); 3. TL(E;F) ≤ limn→+∞ inf TnL(E;F):
Preuve . 1. Résulte directement du théorème de Banach-Steinhaus. Il existec > 0 telle que :
∀n ∈ N;∀x ∈ E;Tnx ≤ cx:
Par passage à la limite, on obtient que :T x ≤ cx;∀x ∈ E: 2. Il est facile de vérifier queT est linéaire ; 3. On a
Tnx ≤ TnL(E;F)x;∀x ∈ E
par passage à la limite, on trouve que :
TL(E;F) ≤ lim n→+∞
Corollaire 3.1.11
Soit G un espace normé et soit B un sous-ensemble de G:On suppose que : ∀ f ∈G′ l’ensemble f (B) est borné dans R. Alors B est borné dans G:
Preuve . On applique le théorème de Banach Steinhaus 3.1.9 avecE = G′, F = R et I = B: Pour chaqueb ∈ B, on pose
Tb(f ) = f (b);∀ f ∈G′
donc ∀ f ∈G′; sup
b∈B |Tb(f )| < +∞:
Il existec > 0 telle que : ∀f ∈G′;∀b ∈ B;|f (b)| ≤ cf :
Donc, d’après le théorème de Hahn Banach,
∀b ∈ B; ||b|| = max ||f ||=1
|f (b)| ≤ c:
Corollaire 3.1.12
Soit G un espace de Banachet soit B′ un sous-ensemble de G′: On suppose que : ∀x ∈G l’ensemble {f (x) : f ∈G′} est borné dans R: Alors B′ est borné dans G′ .
Preuve . On applique le théorème de Banach Steinhaus 3.1.9 avecE = G;F= R et I = B′: Pour chaquef ∈ B′ on pose
Tf (x) = f (x); ∀x ∈G
donc il existec > 0 telle que : ∀x ∈G;∀ f ∈ B′; |f (x)| ≤ cx:
Donc ∀ f ∈ B′; f ≤ c:
ut
Théorème 3.2.1 (théorème de l’application ouverte)
Soit (E;TE) un espace de Fréchet et (F;TF) un evt séparé. Soit T une application linéaire continue de E dans F telle que T (E) n’est pas maigre dans F. Alors 1. T est ouverte c-à-d ∀ ∈ TE; T( ) ∈ TF. 2. T (E) = F. 3. F un espace de Fréchet.
Preuve . Soit P = {pn ; n ∈ N} une suite de semi normes qui engendre la topologieTE (i.e. TE = TE(P )) et soit la distance d(x;y) = maxn
h 1 2n (pn(y − x)∧ 1)
i . On sait queTd = TE = TE(P ) et que(E;d) est complet (donc(E;TE) est un espace
de Baire). 1. En plusieurs étapes :
3.2. APPLICATION OUVERTE
i: ∀V ∈ VE(0);
T (V ) , ∅ : En effet, soitU ∈ VE(0) équilibré tel queU ⊂ V . Soit x ∈ E donc il existet > 0 tel quex ∈ tU (tout voisinage de0 est absorbant). Soitn un entier tel quen > t doncx ∈ n t
n U ⊂ nU (U est équilibré), ainsix ∈ S
n∈N∗ nV . D’où
T (E) ⊂ [
Mais T (E) n’est pas maigre donc
T (V ) , ∅. ii: ∀V ∈ VE(0); T (V ) ∈ VF(0) :
En effet, soitU ∈ VE(0) équilibré tel queU +U ⊂ V . PuisqueU est équilibré, on a−U = U et doncU −U ⊂ V . La linéarité deT nous assure queT (U )−T (U ) ⊂ T (V ) et par conséquent
T (U )−
T (U ) ⊂
car∀A;B⊂ E, A −
B⊂ int (A −B) et A −B⊂ A −B (en exercice, simple !) .
Soit z ∈
T (U ) (qui existe d’après l’étapei )), donc0 = z− z ∈
T (V ). iii: ∀V ∈ VE(0); ∃U ∈ VE(0); T (U ) ⊂ T (V ) :
Soit V ∈ VE(0) donc il exister > 0 tel queBf (0;2r ) ⊂ V et notonsUn = B(0;2−nr ). On a, puisque la distanced est invariante par translation, pour toutn ∈ N, Un+1 ⊂ Un+1 − Un+1 ⊂ Un ⊂ V et U0 −U0 ⊂ V . Soit y ∈ T (U0). Construisons par récurrence une suite(xn;yn)n∈N d’éléments deF×E : y0 = y et puisquey0 ∈ T (U0) alors
h y0 −T (U1)
i ∩T (U0) , ∅ donc il existex0 ∈ U0 tel quey0 −T (x0) ∈ T (U1).
y1 = y0−T (x0) et puisquey1 ∈ T (U1) alors h y1 −T (U2)
i ∩T (U1) , ∅ donc il existex1 ∈ U1 tel quey1−T (x1) ∈ T (U2).
Supposons qu’on a construit, pourn ∈ N∗, (xn;yn) tel queyn ∈ T (Un), xn ∈ Un, yn − T (xn) ∈ T (Un+1) et yn = yn−1 − T (xn−1). Posonsyn+1 = yn −T (xn) ∈ T (Un+1) alors
h yn+1 −T (Un+2)
i ∩T (Un+1) , ∅, donc il existexn+1 ∈ Un+1 tel que
yn+1 −T (xn+1) ∈ T (Un+2):
Ce qui donne(xn+1;yn+1) avec les propriétés voulues.
En utilisant yn = yn−1 −T (xn−1) et en posantsn def =
P n−1 i=0 xi , on a
yn = y −T (sn):
d(sn+p;sn) = d(sn+p − sn;0) = d( n+p−1X
i=n
2r 2n :
Ainsi (sn)n est une suite de Cauchy dans l’espace complet(E;d) donc converge vers un éléments deE. Mais
d(sn;0) = d( n−1X
r 2i 6 2r:
Donc∀n ∈ N∗; sn ∈ Bf (0;2r ) doncs∈ Bf (0;2r ) ⊂ V . On a ainsi la suite(yn)n converge versy −T (s). D’autre part, soit W ∈ VF(0) arbitraire et considérons ∈ VF(0) équilibré tel que + ⊂W . Puisqueyn ∈ T (Un), on obtient [yn − ]∩T (Un) , ∅, il existe donc∃zn ∈ Un tel que yn ∈ T (zn) + . Or d(zn;0)6 r
2n donc(zn)n→ 0 et la continuité deT implique (T (zn))n→ 0 ; Ainsi il existe un entier n0 tel que∀n > n0, T (zn) ∈ . D’où ∀n > n0, yn ∈ + ⊂W . Donc (yn)n converge vers0. Mais F est séparé donc y = T (s) ∈ T (V ). Ainsi
T (U0) ⊂ T (V ):
iv: ∀ ∈ TE; T( ) ∈ TF : Soit y ∈ T ( ), donc il existex ∈ tel quey = T (x) donc(−x + ) ∈ VE(0) et par suiteT (−x + ) = −y +T ( ) ∈ VF(0). Ainsi T ( ) ∈ VF(y). y étant arbitraire dansT ( ) doncT ( ) ∈ TF. ut
3.3. GRAPHE FERMÉ
2. T (E) est un sous espace vectoriel ouvert de F, donc T (E) = F. 3. Pour n ∈ N∗, posons qn : F→ R+; y 7→ infx∈T−1{y} pn(x). On montre que Q = {qn ; n ∈ N} est une suite de semi normes sur F qui engendre TF et on montre que F est complet au sens des evt. Voir TD.
Corollaire 3.2.2
Soient E, F deux espaces de Fréchet et T : E → F linéaire continue surjective. Alors T est une application ouverte.
Preuve . T (E) = F est maigre (c’est un espace de Baire). D’après le théorème de l’application ouverteT est une application ouverte. ut
Corollaire 3.2.3
Soient E, F deux espaces de Fréchet et T : E → F linéaire continue bijective. Alors T−1 est une continue.
Preuve . D’après le corollaire précédent. ut
Corollaire 3.2.4 (théorème de l’application ouverte, cas Banach)
Soient E et F deux espaces de Banach et soit T un opérateur linéaire continu et surjectif de E sur F: Alors il existe une constante c > 0 telle que :
BF(0;c) ⊂ T (BE(0;1)):
Corollaire 3.2.5 Soit E un espace vectoriel muni de deux normes · 1 et · 2: On suppose que E muni de chacune des normes :1 et :2 est un espace de Banach. On suppose de plus qu’il existe une constante c≥ 0 telle que :
x2 ≤ cx1; ∀x ∈ E:
Alors il existe une constante c′ > 0 telle que :
x1 ≤ c′x2; ∀x ∈ E:
Autrement dit les deux normes sont équivalentes.
Preuve . Il suffit d’appliquer le corollaire précédent avec
E = (E; · 1); F = (E; · 2) et T = IdE:
ut
3.3 Graphe fermé
Soit E, F deux ensembles et f : E→ F une application.
Cf = Gf = {(x;f (x) ; x ∈ E)} ⊂ E×F:
Remarque 3.3.2. X Si E et F deux espaces vectoriels etf linéaire, alorsGf est un sous espace vectoriel deE×F. X Si E et F deux espaces topologiques etf continue, alorsGf est un ouvert deE×F muni de la topologie produit.
Théorème 3.3.3 (Théorème des graphes fermés)
Soient E et F deux espaces de Fréchet. Soit T un opérateur linéaire de E dans F.
G(T ) est fermé dans E×F si et seulement si T est continu.
Preuve . ⇐=: Facile. Voir cours topologie ou la remarque précédente. =⇒: Soit p1 : E×F −→ E
(x;y) 7−→ x et p2 : E×F −→ E
(x;y) 7−→ y: Posons
(x;y) 7−→ x:
• On a GT muni de la topologie trace de la topologie produit surE×F est un espace de Fréchet carE×F est de Fréchet (voir TD) et GT est un sous espace fermé deE×F. • On a f bijective puisquef (x;T(x)) = x ( f surjective) etf (x;y) = f (x′;y′) =⇒ x = x′, doncy = T (x) = T (x′) = y′ ainsi (x;y = (x′;y′) (f injective). • On a f est continue puisque c’est une restriction de fonction continuep1. D’après le théorème de l’application ouverteg = f −1 : E → GT ; x 7→ (x;T(x)) est continue. D’oùT = p2 g est continue. ut
Chapitre 4 4.1 Topologie faible 4.2 Topologie faible étoile 4.3 Espaces réflexifs
Sommaire
4.1 Topologie faible
Dans la suite de ce chapitre (E; || · ||E) est un K-espace vectoriel normé avec K = R ou C.
Définition 4.1.1
La topologie sur E induite par sa norme || · || est dite la topologie forte sur E elle est engendrée par la suite finie (en fait une seul semi norme) de semi normes {|| · ||} séparante. La topologie forte sur l’espace normé (E; || · ||E) sera notée b(E;E′) ou T f ort
E .
Définition 4.1.2
À partir de (E; || · ||E), on définit un nouvel espace E′ , l’espace dual (topologique) de (E; || · ||E) par E′ = {f : E→K;K− linéaire continue}.
Proposition 4.1.3
L’espace E′ est un espace de Banach lorsqu’il est muni de la norme :
f E′ = sup x∈E;x,0
|f (x)| x
|f (x)| = sup x∈E;x≤1
|f (x)|:
Remarque 4.1.4. D’après le théorème de Hahn-Banach (en fait un de ses corollaires),
∀x ∈ E; ∃f x R-linéaire continuetel que ||x||E = f x(x) et ||f x ||E′ = 1:
Posonsgx : E→K; t 7→
8 >>< >>:
f x(t ) siK = R f x(t )− if x(it ) siK = C
. On a gx ∈ E′, ||gx ||E′ 6 √ 2 et ||x|| =<(gx(x)).
On considère la famille d’application (pf )f ∈E′
pf : E→ R+ x→ |f (x)|:
38
o est une famille de semi norme séparante sur E.
Preuve . Il est simple de montrer queP est une famille de semi normes (il suffit d’écrire la définition !). Pour montrer qu’elle séparante, on utilise la remarque précédente. ut
Définition 4.1.6 (La topologie faible)
La topologie engendrée par la famille des semi normes P , notée (E;E′) ou T w E , sur E (i.e. (E;E′) =
TE(P )) est appelée la topologie faible sur (E;|| · ||E).
Remarque 4.1.7.
\
f ∈I Vf ; n ∈ N∗ et I est une partie finie deE′
9 >>>= >>>;
est une base de voisinages de0 pour la topologie faible (E;E′).
Où Vf = Bpf (0;1) = {x ∈ E | |f (x)| < 1} :
X (E; (E;E′)) est un evtlc séparé.
Proposition 4.1.8
(E;E′) est la plus petite topologie sur E rendant continue les éléments de E′ .
Preuve . On a∀f ∈ E′, ∀x ∈ E, |f (x)|6 pf (x), donc d’après le théorème 2.2.16,f est (E;E′) continue. Réciproquement, SoitT ′ une topologie surE qui rend continue les éléments deE′. Soit V ∈ (E;E′). Soit x ∈ V donc il existen;m ∈ N∗, il existe f1; · · · ;fm ∈ E′ tel quex + 1
n ∩ m i=1 Vf i ⊂ V .
Or pour tout i = 1 · ·m, f i : (E;T ′)→K est continue enx doncx+ 1 n Vf i = f −1i (BK(f i (x);1n )) est un voisinage dex pour
la topologieT ′. Puisque l’intersection finie de voisinage dex est un voisinage dex, on ax+ 1 n ∩
m i=1 Vf i est un voisinage
dex pour la topologieT ′. Par suite
V est un voisinage dex pour la topologieT ′:
Ainsi V ∈ T ′. CQFD ut
Corollaire 4.1.9
1. Si U est un ouvert faible (c-à-d ∈ (E;E′)) alors U est ouvert fort (i.e. ∈ b(E;E′)). 2. Si F est un fermé faible (c-à-d pour la topologie (E;E′)) alors F est fermé fort (i.e. pour la topologie ∈ b(E;E′)). 3. Si K est un compact fort (c-à-d pour la topologie b(E;E′)) alors K est compact faible (i.e. pour la topologie (E;E′)).
Preuve . 1. Évident, puisque pour toutf ∈ E′, on a(E;b(E;E′))→K est continue par définition deE′, alors (E;E′) ⊂ b(E;E&p

analyse - ucacimas.uca.ma/hassani/analysefonctionnelle/polycope/poly... · 2020. 3. 19. · x h....

Documents