analyse université

7/29/2019 analyse universit

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U N I V E R S I T S F R A N C O P H O N E S

H U P E L F - U n E F

ANALYSEPREMIER CYCLEU N I V E R S I T A I R EEdmond FEDIDAMamadou SANGHARE

El Hadji Cheickh M'bak D I O P

EDICEF/AUPELF


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U N IV E R S IT E S F R A N C O P H O N E S

H U P E L F - U H E F

ANALYSE1er CYCLE UNIVERSITAIREEdmond FEDIDAProfesseur l'Universit d'AbidjanProfesseur la Facult des SciencesU.C.A.D., Dakar

Mamadou SANGHAREM atre de confrences la Facult des SciencesU.C.A.D., DakarEl Hadji Cheikh M'back DIOPM atre-Assistant la Facu lt des SciencesU.C.A.D., Dakar

EDICEF5 8 , rue Jean-Bleuzen921 78 VAN VES Cedex


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La collection Universits FrancophonesLa diffusion de l'information scientifique et technique est un facteuressentiel du dveloppement. Aussi ds 1988, l'agence francophone pourl'enseignement suprieur et la recherche (AUPELF-UREF), mandate parles sommets francophones pour produire et diffuser revues et livres scien-tifiques, a cr la collection Universits francophones.Lieu d'expression de la commuaut scientifique de la langue fran-aise, Universits francophones vise instaurer une collaboration entreenseignants et chercheurs francophones en publiant des ouvrages, codi-ts avec des diteurs francophones, et largement diffuss dans les pays duSud, grce une politique tarifaire prfrentielle.

Com position de la collection : Les manuels : cette srie didactique est le cur de la collection. Elles'adresse un public de deuxime et troisime cycles universitaires etvise constituer une bibliothque de rfrence couvrant les principalesdisciplines l'universit. Sciences en marche : cette srie se com pose de monographies qui font lasynthse des travaux d e recherche en cou rs. Actualit scientifique : dans cette srie son t publis les actes de colloquesorganiss par les rseaux thmatiques de recherche de l'UREF. Prospectives francophones : s'inscrivent dans cette srie des ouvragesde rflexion donnant l'clairage de la francophonie sur les grandes ques-tions contemporaines. Enfin, les sries Actualits bibliographiques et Actualits linguistiquesfrancophones accueillent lexiques et rpertoires.

No tre collection, en proposant u ne ap proche plurielle et singulire dela science, adapte aux ralits multiples de la Francophonie, contribueefficacement promouvoir la recherche dans l'espace francophone et leplurilinguisme dans la recherche internationale.Professeur Michel Guilloudirecteur gnral de l'AUPELF

Recteur de l'UREFDiffusion :HACHETTE DIFFUSION INTERNATIONALE ou ELLIPSES selon pays

EDICEF, 1996ISBN 2-85-069839-3ISSN 0993-3948En application de la loi du 11 mars 1957, il est interdit de reproduire intgralementou partiellement le prsent ouvrage sans autorisation de l'diteur ou du Centre franaisde l'exploitation du droit de copie (3, rue Hautefeuille - 75 006 Paris).Cette reproduction par quelque procd que ce soit, constituerait une contrefaonsanctionne par les articles 425 et suivants du Code Pnal.


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Avant-ProposCe livre d'analyse est le pendant naturel du livre du Professeur SaliouTouR dit chez EDICEF, et consacr au cours d'Algbre du 1 er cycleuniversitaire.Cependant, le programme d'Analyse du premier cycle tant grossomodo le double de celui d'Algbre, le prsent ouvrage ne couvre quele cours de premire anne et un peu au del, afin de prsenter auxtudiants un ouvrage abordable et peu volumineux.Ce livre s'adresse, par ses diffrents niveaux de lecture, aussi bienaux tudiants de premier cycle, en sciences exactes ou en sciences exp-rimentales, qu'aux tudiants des classes de Mathmatiques Suprieures.Avec ses volets consacrs successivement au cours, aux exercices etaux problmes de synthse, nous esprons faire de cet ouvrage unoutilde travail assez complet, principalement pour les tudiants d'Universitsafricaines qui manquent souvent de livres de cours et d'exercices.Le contenu du volume couvre largement le programme de premireanne du premier cycle, avec des complments importants sur la conti-nuit et la convergence uniforme, les fonctions implicites, les fonctionsde plusieurs variables et les proprits mtriques des arcs de courbes.En outre chaque chapitre se termine sur une rubrique retenir quiregroupe, sous forme de rsum, les principaux rsultats qu'il faut effec-tivement retenir avant de passer au chapitre suivant.Le choix des exercices couvre plusieurs objectifs : aider le lecteur valuer ses connaissances et les mettre enuvre, tablir des rsultats nouveaux qui compltent le cours, appliquer les concepts mathm atiques tudis, la physique, lachimie, la mcanique, etc.

Les problmes de synthse, prsents lafindes chapitres, permettrontaux lecteurs de tester l'ensemble de leurs connaissances en vue des exa-mens.Enfin, nous avons ajout un index historique qui regroupe succinc-tement les biographies des diffrents mathmaticiens, dont les noms ap-paraissent dans cet ouvrage. Nous pensons en effet que l'histoire desmathmatiques ne peut qu'enrichir et humaniser les concepts math-matiques abords par les tudiants. On pourra, dans un premier ter


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repo rter la lecture du ch apitre 1 essentiellem ent consacr aux fonde-ments, et aborder directement le chapitre 2.Les commentaires, critiques et suggestions ventuelles de la part denos lecteurs seront les bienvenus.Nous remercions Mademoiselle Ndeye CoDOU N D I A Y E qui a ralisla saisie du texte.

Les auteurs


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SommaireC h a p i t r e 1 . T h o r i e l m e n t a i r e d e s e n s e m b l e sC o n s t r u c t i o n d e ?. 7

1.1. lm ents de la thorie des ensem bles 71.2. C on stru cti on de l'ensem ble des nom bres rels I?. 91.3. Re lation d'ord re dans 3. 121.4. Den sit de ~ dan s ?.. Ax iome d'Arch im de 14C h a p i t r e 2 . L i m i t e e t c o n t i n u i t 1 72.0. Introd uctio n 172.1. Sous ensem bles born s de 7.. Interv alles de ?. 172.2. Limites 202.3. Ap plication aux suites 332.4. Suites de Ca uchy 352 .5 . R E T E N I R . . . " 372.6. Exercices 372.7. Co ntinu it en un point 392.8. Propr its des fonctions continues sur un intervalle . . . . 402.9. C on tinu it uniform e, convergence uniforme 422 .1 0. R E T E N I R 482.11. Exercices et problm es 48

C h a p i t r e 3 : D i f f e r e n t i a t i o n 5 73.0. Introd uctio n 573.1. Tang ente en un point d 'une courbe plane 573.2. Drive en un po in t. Diffrentielle 613.3. Pro prit s des fonctions drivables 633.4. Thorme de Rolle, thorme des Accroissements finis. . . 683.5. Applications 713.6. Th orm e des fonctions inverses 763.7. Su ites de fonction s diffrentiables 833 .8 . R E T E N I R 863.9. Exercices et probl m es 86C h a p i t r e 4 : A p p r o x i m a t i o n p o l y n m i a l e d ' u n ef o n c t i o n 8 94.0. Introduction 894.1. Approximation polynmiale sur [a.b] 894.2. Approximation polynmiale au voisinaged'un point X,. Polynm e de Taylor 904.3. Form ule de Tavlor 93


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4.4. Dv eloppem ents limits 954.5. RETENIR 1114.6. Exercices et pro blm es 111Ch ap i tre 5 : Fo nct io ns de p lus i eu rs var iables 1155.1. Ra pp els et gnralits 1155.2. Fon ction s de plus ieurs variables 1195.3. Drives partielles 1205.4. Diffrentielle d 'un e fonction de plusieurs variables . . . . 1225.5. Diffrentielles et drives pa rtiell es 1245.6. Diffrentielle d' un e fonction com pos e 1295.7. Formule des accroissements finis.Th orm e de Schwartz 1325.8. Fo ncti on s im plicites - Form es diffrentielles 1375.9 . R ET E N IR 1435.10 Exercices et pro blm es 145

C h a p i t r e 6 . I n t g r a l e a u s e n s d e R i e m a n n 1 4 76.1. Intgrale d'une fonction borne dfiniesur un segment : dfinitions et pro pri ts 1476.2. Exe m ples fon dam enta ux de fonctions integrables 1556.3. Primitives 1616.4. Form ules de la m oye nne 1656.5. Ch ang em ent de variable - Intg ration par parties 1676.6. Techniques d'int gratio ns 1686.7. Exercices et pro blm es 174

C h a p i t r e 7 . Fo n c t i o n s v e c t o r i e l l e s 1 8 17.1. Rappels 1817.2. Dfinition - Ex em ples 1827.3. Limite, continuit et drivabilitd'u ne fonction vectorielle 1837.4. Drives d'ordre suprieu r. D velo ppe m ents lim its . . . 1887.5. tude des courbes rgulires de l'espace euclidien deu x ou trois dim ensio ns 1907.6. Co urbes para m tre s planes 1967.7. Co urbe s en coordonnes polaires 2017 .8 . R ET EN I R 2067.9. Exercices et prob lm es 208

C ha pi tre 8 . q ua t ion s d i f f renti e l le s 2118.0. Intro du ctio n 2118.1. Fonction s valeurs dans C 2128.2. Equations diffrentielles du premier ordre. qu ati on s diffrentielles linaires du prem ier ordre 2158.3. quations diffrentielles linaire du second ordre coefficients co ns ta nt s 2248.4 . R E T EN IR 2308.5 Exe rcices et pro bl m es 230Index historique 235Index terminologique 237


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C h a p i t r e 1 : THORIELMENTAIREDES ENSEMBLESCONSTRUCTIONDE

1.1. lments de la thoriedes ensemblesENSEMBLE ET APPARTENANCE1.1.1. DfinitionOn appelle ensemble une collection d'objets: ces objets sont les l-ments de l'ensemble.

1.1.2. E x e mp l e s1) Les ent iers 0 ,1 , 2 . 3 ,4. forment unensemble appel l 'ensembledes entiers naturels et not FI.2) Les entiers - 4, - 3 , -2 , - 1 . - 1 , 2 . 3 . 4 , forment l 'ensembledes entiers rationnels que l'onnote Z.3) Ondsigne par Q l 'ensemble des nombres rat ionnels | , I . | .. 1 0 i i l . . .1 8 ' U ' ' * 2 "Soit E un ensemble. Pour dire qu'un objet x est un lment deE, oncrit x E et on lit x appartient E, et pour dire que x n'est pasun objet deE on crit x $ E et on lit x n'appartient pas E .Un ensemble est vide s'il n'a aucun lment; l'ensemble vide estnot 0.Inclusion Soient E et F deux ensembles. Onditque E est inclusdans F et on note E C F ouF D E si tout lment de E est lmentde F. On dira alors queE est un sous-ensemble de F ou queE est unepartie deF.E = F si E C F et F CE.


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Thorie lmentaire des ensemblesOPRATIONS LMENTAIRES SUR LES E N S E M B L E SIntersection Soient E et F deux ensembles. Leur intersectionest l 'ensemble des lments qui appart iennent s imultanment et F : cet ensemble se note E O F. Si F n F = 0 on dit que E ex F sontdisjoints.

Runion La runion des ensembles F et F est l 'ensemble deslments qui appart iennent F ou F: cet ensemble se note F U F.Complmentaire Soit A une partie d'un ensemble F. On appellecomplmentaire de .4 par r appor t F. l 'ensemble des lments de F quin 'appar t iennent pas .4 : on note cet ensemble CE.4.Proprits des oprations lmentaires

PropositionSoient .4. B et C trois parties d'un mme ensemble F. Alors :1) A n S = 5(1.42) AUS = BUA3) (Ans) ne = An(snC)4) (AUS)UC = AU(SUC)5) A n (S u C) = (A n B) u (5 n C)6) A U (S n C) = (A U B) n (A U C)7) C(.4fl) = C.4UC58) C ( A U B ) = CEAnCEB

Dmonstration1 ) x G A n 5 si et seulement si ,r G A et x G B. donc x G A n S si etseulement si x G B et x G A. c'est--dire si et seulement si .r G B n A.2) x G AU B si et seulement si x G A ou x G B. donc x G AU B siet seulement si x G B ou .r G A. ce qui revient dire que x G AU B siet seulement si x G B U A.3) x G (A n B) n C si et seulement si .r G A n B et x G C ce quiquivaut .r G A et x G S et x E C.De mme - G A n (B n C) si et seulement si x G A et j - 6 5 (1 f etcela quivaut x A et x B et x G C.4) a.- G (AU B) U C si et seulement si x G AU B ou x G C. donc si etseulement si x G A ou x G B ou J- G C. D'aut re par t J G AU (B U C) siet seulement si x G A ou - G B ou ,r G C.5) r e A n (B U C) si et seulement si x G A et x G B U C. Ainsix G A n (B n C) si et seulement si (f G A et x G B) ou ( x G A et f )ce qui quivaut x G A n B ou ,r G A n C.6) . 4 U ( f l i i C) quivaut x G A ou x G (B n C) et cette dernirerelation quivaut ( . 4 U B e t i . 4 U C ) .


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Construction de l'ensemble des nombres rels _-. 97) x CE A U CEB quivaut f^ CE A et x gCEB. Autrement ditx gCE A U CEB quivaut : x G .4 etx G B. Donc x g CE A U CEB si

et seulement six CE (A fi B).8) Posons A'=Cjr.4 et B1 =CEB. On a.d'aprs 7). CE(A ' ilB') =CEA1 U CEB' D ' O : ,4 ' nB' = CE(A U B).

1.2. Construction de l'ensembledes nombres relsM.

1.2.1. DfinitionOn dit qu 'un e suite (f ).-; d'lm ents de ~converge vers un lmenta de ~ sipour tout s G I et >0.il existe T?O G I7 tel que l'ingalitn > TQ e n t r a n e \xn a\ < t.D F I N I T I O N

Une suite (xn)n^-_: d'lments de ~ est dite de Cauchy si. quel quesoit s G ~ et > 0. il existe noG I1tel que les ingalits p >no etq > no entranent \x p xq\ < z.1.2.2. Propos i t ion

T o u t e s u i t e (xn) d ' l m e n t s d e ~. c o n v e r g e a n t d a n s ~es t de Cauchy.Dmonstration S u p p o s o n s q u e (xn) c onve rge ve r s aG ^ et soi t s> 0.( G 3) II e x i s t e no telque l ' i n ga l i t n> n o e n t r a n e \xn a\ < %. Soi tp . qG IT t e l s que p>noetq> no- Alors

L q \ _ xP - a \x a - a 21.2.3. Proposi t ion

T o u t e s u i t e deC a u c h y d ' l m e n t s de 3 est b o r n e .Dmonstration Soit (xn)n^- une su i t e deC a u c h y . (xn G3 ) . Il exis teno G IT t e l que pour t ou t nG I T . l ' inga l i t n>no e n t ra ne \xn x 0\ < 1.

O n a d o n c , p o u r n> no- xno 1 < xn


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10 Thorie lmentaire des ensemblesDmonstraiwn Soit M G Qe t M > 0, tel que \yn\ < M pour toutn G l'. tant donn s > 0 et s G Q. il existe no G H tel que l'ingalitn > n 0 entrane |x n | < - ^ ^ - . Donc pour tout n > n 0 , on a \x nyn | < ^1.2.5. Proposition

Si les suites (a;n) et (j/n) d'lments de Q sont de Cauchy, alors lessuites (xn + yn), {xn yn) et (x nyn) sont de Cauchy.Dmonstration Soit M G Q tel que |zn | < A/o et \yn\ < Mo pourtou t n G F!. Le no m bre s G Q (e > 0) tant donn, il existe des entiersnaturels no et ni tels que pour p. q G N les ingalits p > no et q> noentranent \x p xq\ < n]^ 0 et les ingalits p > ni et g > ni entranentl i /p - /g l < 27+2

Posons H2 = Max (no. i ) et soient p, q G I! tels que p > ni et q >no-On a alors2e\{xp + yp) - {xq +yq)\ < \xP-Xq\ + \y p-yq\ < 2M '+2 < c-2e\{xp - yP) - {xq - yg)\ < \xp - xg\ + \y P-yq\< 2M + 2 < s

< \xp\ \yP - yq\ + \y q\ \x P - xq\


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Construction de 'ensemble des nombres rels M 11(x n) + {yn) = (x + yn), {xn) (yn) = [x nyn).Il est clair que la sui te stat ionnaire (xn) o xn = 1 pour tout n Nest lment unit de cet anneau. Posons fo l 'ensemble des suites denombres rationnels convergeant vers 0.foest un idal de " d 'aprs laproposition 1.2.4.

1.2.7- Propositionfo est un idal maximal de l 'anneau


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12 Thorie lmentaire des ensembles

1 1 1 1 1 + ( 5 + 1 ) ! , 1 qqV7TTdonc \ip xq\ < pour p>q>n>lce quiprouve quex = (xn)est une suite de Cauchy c'est--dire un lment dec. Montrons que lenombre rel ~x qui est la classe de (x) modulo fo n'appartient pas '"_.Aut rement dit que (xn) ne converge pas vers unlment de Q_.Supposons le contraire et so ient s G R ' e t i l ! * tels que lim xn =

nf + oo-. De l ' ingalit 0 < xr xq < - pour p > q> 1, on dduit, en faisant

s 1tendre p vers l ' infini, l ' ingalit suivante; (1) 0 < x < . car lat qq\suite (xn) tant strictement croissante, on a xm < lim x ~ - pourt o u t m6 I1.On prend q > t. comme xq est un lment de ~. on peut crire - . r = 4 .oc?G ^ . (1 ) s ' c r i t donc 0 < < :. d'o 0 < d < - < .' ? q\ ~ qq\ ~ q ~ 2Ce qui est impossible. Donc le nombre e de I?,. classe modulo '/io de lasuite xn = 1 + T + - ' - + ^ T n'appartient pas Q, on dit que e est irrationnel.

1.3. Relation d'ordre dans IRNous allons munir F. d'une relation d'ordre compatible avec sa struc-ture de corps et qui prolonge l 'ordre naturel de ^.Soit (xn) un lment dec. On dit (xn) est strictement positif s'ilexiste i? S , i > 0 et s'il existe no G H tels que l 'ingalit n > noimplique xn > 3 . On dit que (xn) est strictement ngatif si (xn) eststr ictement positif. On note lim xn 0, donc


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Relation d'ordre dans ir. 13Soit (x) G i f te l que (xn) G if ; Cl i f l . Alors

(VQ > 0), (Q G 2)(Vn e V.)(3mi >n)(3m2 >n)(xmi 0 (e G v ) . C o m m e (xn) est de Cauchy. il existe n0 G H telque les ingalits n > no et q >U Q ent ra nent xq ^ < "n < 9 + ^.Soient mi > o et m > no tels quexm < ~ et ^ < ,rm 2 . On aalors :

donc pour n > no on a : s < xn < e.Il en rsulte que lim xn = 0 c'est--dire (xn) G ifo- D'o if =n v-j-ocif ; U iT U if0. On note if+ = if U if0 et if_ = if U ^b 1.3.2. Proposition

Si x = (xn) G if+ et y = (yn) G if+. alors x + y G if+ et xy 0, G Q> et ni G H . il existe~) >0. -) G v; et ni G N tels que pour n > sup (ni, 2) on ait xn > 3et2/n > -). Do nc, p our n > sup (ni, n 2) o n a : i + j / > /? + -) et r i /n > ^ .Ce qui entrane ar + yG ^+ et xy G if+.Si x G #0 et / G if;, alors il existe 3 > 0, ,J G 3>, et il existe n0 G Ntels que l 'ingalit n > no entrane yn > : comme lim xn = 0, ilnf+ 00

existe ni F tel que l ' ingalit n > ni entrane < xn < , Donc3 . pour n > s u p ( n o , n i ) on a : xn + yn > - - + = -.D'o x + y G + . D 'au t re pa r t on a lim xyn = 0. D'o xy G %nf + oc

1.3.3. PropositionSoient ^ = (xn) et y = (yn) deux lments de if. Si x et y sontquivalentes modulo ^0 et x G if+ alors y G if+.

Dmonstration y x G ifo C if+ et x G if+ impliquent j / = (y x)+x GR E M A R Q U E

II rsulte de la proposition 1.3.2 que si x G


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14 Thorie lmentaire des ensemblesy' G. 1, on dit que x' est un nombre rel str ictement ngatif. Ilest clairque si x G ^ o , alors 0 est lenombre rel non nul. Onnote :

WL+ =


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Densit de Q dans S Axiome d'Archimde 15Dmonsimiwn Soit (xn) un lment de ^reprsentant a. La suite(x n) tant borne dans Q\ il existe M = - G IR et M >0 (pG l'i etq G II*) tel que q\x n\ < Mpour tout n G N. Comme (M r n ) n est unesuite de rationnels positifs ou nuls, sa classe savoir M - a est positifou nul dans S. On a donc - > a, d'o p >a, car p > -.En prenantm = p + l . o n a m > a .Corollaire 1 Pour tout nombre rels a, b avec a > 0, il existe unentier p tel que pa > 6.Dmonstration II existe un entier p tel que p> -. donc pa > .aCorollaire 2 Pour tout rel e >0. il existe un rationnel a >0 telque 0 < Q < 5.Dmonstration II existe p G F* tel que pe > 1. donc, en posant Q = 1.on a 0 < - 0, il existe un entier punique satisfaisant :p e < x < (p+ l)e

Dmonstration II rsulte du corollaire 1 du thorme 1.4.1 qu'il existeun entier n tel que m > \x\. soit ne < x < ne. L'ensemble B = {m G"Z I ine < x}est donc non vide, car n B, et est major par n. Soit ple plus grand lment de B. On a pe < x < (p+ l)s. Soit p' autre entiervrifiant p'e < x < (p ' + l)e. On a alors les ingalits : p'e < x < (p+ l)eet pe < x < (p' + l)e qui entranent les ingalits p' < pet p < p', d'o1.4.3. Dfinition

Soit x G 5. On appelle partie entire dex l'unique entier p G Z telque p < x < p + 1. On notep = E (x) ou p=[x].

1.4.4. Proposition (Thorme de densit de Q dans IR)Soient x et y deux nombres rels tels que x < y, il existe r G 5 telque x < r < y.

Dmonstration Soit q G IJ" tel que q(y - x) > 1 et soit p l'uniqueentier satisfaisant : p - < x < (p + 1) -. On a alors


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16 Thorie lmentaire des ensemblesx < et q ( y ) > 1. ce qui entrane x < et y > .

q \ q) q qd'o x < < y. Il suffit de pren dre ; = .q qCorollaire II existe entre deux rels distincts une infinit de nombresrat ionnels.1.4.5. Propos i t i on

Entre deux rationnels distincts il existe un irrationnel.Dmonstration Soient x et y deux rat ionnels, x < y. et soit s unnombre irrationnel strictement positif (par exemple s = e). Il existe unentier q U." tel que q(y x) > s. On a alors

x < x ~\ < y et "H est irrationnel.q q1.4.6. Dfinition

On dit qu'une partie .4 de S est dense dans 3. si entre deux lmentsdistin cts qu elconqu es dan s 31, il existe un lm ent de A. Ainsi Q et O?.~sont denses dans ?..


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Chapi t re 2 : LIMITE ETCONTINUITIntroductionLe concept fondamental de l 'analyse est le concept d'approximation :soit un nombre rel strictement positif. On dit que le rel x est uneapproximat ion de XQ e prs si \x xo\ < s. Si est assez petit (selon laprcision souhaite), on dira alors que x est voisin de .ro et on notera x ~.ro. Pour obtenir des noncs mathmatiques, il faut toujours indiquer quelle prcision unnombre est voisin d'un autre. De mme on dira qu'unsous ensemble S de 3r. est arbitrairement voisin d'un rel xo- si pour touts > 0 il existe x G 5. qui approxime io - prs.

Soit une fonction relle de la variable relle / : 5 > ?. o 5 est unsous-ensemble de ?. arbitrairement voisin de XQ . Peut-on approcher lenombre f(x) pour x S et voisin de xo"? La premire ide est de direque si x ~ XQ alors f(x) ~ / o / une constante relle. Cela revient approcher la fonction / par une constante : ce qui conduit au conceptde limite de / au point Xo- Si / est dfinie en xo et / = / ( . ro)- o na alors la not ion de continuit de / en .ro- Dans les autres chapitreson cherchera amliorer l 'approximation de / par une fonction affine(notion de drive), ouune fonction polynme (dveloppements l imits).La dfinition de la continuit, exprime en termes de proprits du

systme des nombres rels, a t formule pour la premire fois par lemathmaticien franais Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Sa dfini-tion, encore utilise de nos jours , est plus facilement explicite grce auconcept de l imite que nous abordons d abord dans la premire partie dece chapitre.

2 .1 . S o u s - e n s e m b l e s b o r n s de IRIn te rva l l e s de IR2.1.1. Dfinit ion

l n sous ensemble E de _-. est dit major (respectivement minor) s'ilexiste un nombre rel .4 tel que :V* G E. x < A (resp. x > A)

A s'appelle un majorant (resp. un minorant ) de E ; E est dit born s'ilest major et minor.


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18 Limite et continuit2.1.2. Dfinit ion

Soit E C 3*.; une borne suprieure de E est un majorant M de telque, pour tout majorant A de E, on a A > A/\De mme une borne infrieure de est un minorant m de E tel que.a < m pour tout minorant a de F.2.1 .3 . R e m a r q u e

Si E admet une borne suprieure M (resp une borne infrieure m),alors M (resp m) est unique.En effet, soit M' une autre borne suprieure, comme M est un ma-jorant. M > M', comme M' est un majorant. M' > M d'o M = M'.On dmontre de la mme manire l'unicit de m. On notera alors:M = sup E ; m = inf E.La dfinition 2.1.2 est quivalente la dfinition suivante.

2.1.4. DfinitionSoit E C JR. M est la borne suprieure de E si et seulement sii) Vz G E, x < Mii) Vs > 0,3a- G E . z > M -s.De mme m est la borne infrieure de E si et s eulem ent si :i) V.T G E, x > mii) Ve > 0, 3x G E. x < m + e.

2.1.5 . Dfinit ionSoit / : E C ?- 5- une fonction. On dira que / est majore (resp.minore) sur E. si f{E) est major (resp. minor) dans ?,.La borne suprieure M (resp. la borne infrieure m) de / sur E estla borne suprieure (resp. la borne infrieure) de f(E). si elle existe.Notation: M = sup f(x) : m = inf f(x).

2.1 .6 . Exem ples1) L'ensemble des entiers positifs n'est pas major (proposition 2.1.8),par contre il est minor et 0 est sa borne infrieure.2) E = {x G S . x > 0 et x2 < 2} est borne: 0 = inf , et y/2 =sup E. On remarque que la borne suprieure A/2 n'appartient pas E.3) E = {1. ^, | , . . . } est born. 1 est a borne suprieure et 0est la borne infrieure qui n'appartient pas E.


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Sous-ensembles borns de M. Intervalles de M 192.1.7. Proprit fondamentale

L'ensemble des nombres rels possde une proprit fondamentale,que ne vrifie pas l 'ensemble des nombres rationnels, et qu 'on admet t r adans la suite : tou t sous-ensemble non vide de M major adm et une borne sup-rieure; tout sous-ensemble non vide de M minor admet une borne inf-r ieure.Co m me ap plication de la prop rit 2.1.7, on a la proposition suivante :

2.1.8. PropositionL'ensemble N des entiers naturels n'est pas major dans M. En par -ticulier si a G S est tel que :Vn M*, 0 < a < - , alors a= 0n

Dmonstration Supposons qu'il existe unnombre rel bmajoran t H.On aura b > n pour tout n G N. D'aprs 2.1.7, N admet une bornesuprieure M > 0 comme 1 > 0, on a M < M + 1.Donc M 1 < M et M 1 n'est pas un majorant ; donc il existen 0 G N tel que M- 1 < n0 ; d'o M < 1 + no- Comme 1 + n 0 G N; on ala contradict ion. Soit a g S tel que 0 < a < ~ pour tout n G N*; si a ^ 0, alorsn < pour tout n G N*. Ce qui est impossible d'aprs ce qui prcde.En particulier si a G P.+ est tel que pour tout > 0, a < e, alorsa = 0. Nous aurons utiliser ce rsultat maintes reprises par la sui te.

2.1.9. DfinitionUn intervalle / de M est une par t ie de M ayant l 'une des formessuivantes :[a , b] = {x S/a < x


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20 Limite et continuitDmonstration Supposons / ^ 0. La condition (1) est videmmentncessaire d'aprs 2.1.9 ; elle est suffisante ; en effet si / n'est ni major,ni minor, pour tout x 6 S, il existe a. 6. G / tels que a < x < b, doncd'aprs (1) x G / et I S. Si / est major et non minor, soit 6 = sup /;pour tout x < b il existe alors a.c G /, tels que a < x < c < b. doncx G /, et / ne peut tre que ] oc, 6] ou ] oc, &[.

Par un raisonnement analogue on montre que si I est minor et nonmajor / =]a, +oc[ ou [a. +oc[. o a = inf I.Si / est major et minor le mme argument montre que I a l'unedes formes suivantes : [a, 6]: ]a. b[\ ]a. b]: [a. b[ avec a = inf J, b = sup /.2.1.11. Extrmi ts e t po in t s in t r ieurs d 'un in te rva l le2.1.11.1. Dfinition

Soit I un intervalle de ?.. On appelle extrmits de I. inf J et sup/,quand ils existent.Un point xo G / est un point intrieur de I si et seulement si :03a > 0 tel que ]XQ a, XQ + o[C /. On note / l'ensemble des points0intrieurs de I. On dira que I est ouvert si et seulement si : / = I.

2 . 1 . 1 1 . 2 . P r o p r i t sOn tablit facilement les proprits suivantes :1) Les extrmits de /. quand elles appartiennent /. ne sont pasdes points intrieurs de /.

0 02) Soient I et J deux intervalles de R. Si / C J. alors I C J-03) Si / est un intervalle de S, il en est de mme de I.

04) 1 = 1 (les extrmits de J).

2.2. Limites2.2.1. DfinitionOn appelle voisinage d'un point Xo de S de rayon a > 0. et on noteVa(xo), l'intervalle ouvert centr en Xo : ]xo a,Xo + [ .

2.2.2. DfinitionSoit S un sous ensemble non vide de IR et xo G IR- On dira que S estarbitrairement voisin de xo, et on notera S ~ XQ , si pour tout e > 0, ilexiste j G 5 tel que \x xo| < En d'autres termes :S ~a:o.-Va > 0. Sa = S n


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Lmites 21Sa s'appelle la trace dans S du voisinage \'a(xo)2.2.3. Remarques1) S est arbitrairement voisin de chacun de ses points. Un pointx G S tel qu "il existe Va (x). vrifiant 1 'a (x) O S = {x} s'appelle un pointisol de S.

2) Si S ~ XQ , XO G S, tout sous ensemble S' de S n 'est pas ncessai-rement arbitrairement voisin de xo- Par contre si S' est a trace dans Sd'un voisinage de XQ , alors 5' ~ Jo-2.2.4. DfinitionSoient xo G >, S une par t ie de S arbi trairement voisine de xo. et/ : S > ?.. une application. Soit / G ?.. On dira que f(x) a pour limite /quand x tend vers XQ , en restant dans S, si et seulement si :

VIn o 3Y&ou en faisant intervenir

Vf> 0. 38 > 0 .

( role s(\x

) tel que / (5 n Vs(xo)) Crayons des voisinages :- .roi < S, et x G 5=>|/(-c) -

(/

' 1

)

Ce qu'on notera par :lim f(x) = / ou f(x) > l quand x > Jo

en omet tant S, si le contexte ne laisse pas d'ambigut ce sujet.

2.2.5. Remarques1) Dans la dfinition 2.2.4 \'S{1 ) est en premier lieu spcifi : Vs(xo)pouvant alors dpendre de Ve(l).2) La notion de limite de f en xo dpend de l'ensemble S. Toutefois :2.2.6. Proposition

Soit / : 5 c - > ? . . 5 ~ O ^ Soit S1 un sous-ensemble de S. tel que5 ' ~ xo silim fix) = / et lim fix) mxS xeS'alors I = m. Enparticulier si / admet une limite en xo, cette limite estunique.

Dmonstrationl i m o f(x) = l = > V f > 0 , 36, > 0 : | ^ ~ J ' < Sl = > \f(x) - l \ < \


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2 2 Limite et continuitde mme

un / (*) = m => 352 > 0 : ^ " ^ '| < |/-f(x)\ + \f{x) -m\ < |+| = e

ainsi \l -m\ 0. Donc \l-m | =0 (Proposition 2.1.8)et / = m.2.2.7. PropositionSot /:Scl-tS,O,S"oet S Q =5n]a?o -a,x0 + a[.a >0 . A l o r s :

lim f(x)=l


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Limites 23La rciproque n :est pas vraie en gnral. En effet soit la fonctionf : M > P. dfinie par :

aVors pour tout q G v , l ini f(x) = 1, a7ors que lim f(x) n'existe pas. Eni 0. D 'o l im / (a -) n'existepas . car el/e serait gale 1 d'aprs a proposition 2.2.6.3) Soient: S+ = {x GS. x > x0), S~ = {i S. i < x0}. SiJ im f(x) l\ on dira que ly est la limite droite de f(x) en XQ. eton crira: lim f(x)=l\.x-t-r +

De mme si lim f(x) l?, on dira que lo est a limite gauche deXt-XQf(x) en xo et on crira: lim f(x)= lo .lim fix) existe h et /2 existent etl\ = l->.

X- XQ

4) Si f(x) = c pour tout xG 3 , l im fix) =c pour tout ^o de IR.l-+r0Si f(x) xpour tout xG S, lim f(x)=o pour tout XQ de ?..

5 j II arrive en gnral que a limite droite en XQ soit diffrente de lalimite gauche de xo, les deux imites tan t elles-mm es diffrentes dea valeur de a fonction en xo- Soit f : ] 1,1[S telle que :( x + 1. - 1 0 +

6J Si l im /(.r) = /, aiors i] existe k> 0 et un voisinage V(xo) de XQ .tels q u e : Vx G l " ( ^ 0 ) n 5 , | / ( a : ) | 0 tel que si \x xo\ < S, x S,\f(x)-l\


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2 4 Limite et continuit2.2.9 . Lim ite en +oc et cc

Soit 5 ?.. contenant des nombres positifs aussi grands que l'onveut, c 'est--dire: pour tout A>0. il existe x G S tel que x > .4. Onnotera SSoit / : S I -> ?.. On veut dfinir la l imite de f(x) q u a n d x devienttrs grand en restant dans 5(on crira x +oc, xG S). On suppose que

tous les lments de5sont strictement positifs. Soit Si = { . x S}.alors S~ +OC entrane Si~ 0.

Posons * = et g(X) = / ( ) = f(x). lim g(X) = / quivautx V A / A'-> : Vs > 0 . 3 J > 0. (0 < X< S,X e Si) => \g(X) - l\ < ~.

g(-) -ou encore en posant A" =

Vs> 0. 3.4= ^ > 0. (x > A.xeS) ^ \f(x) - l\ =0d'o :2.2.9.1. Dfinitionlim f(x)= si et seulement si:

V >0 . 3 . 4 > 0 . x > A e t xG S => \f(x) - l \ < s .Remarque : On peut tendre la dfinition 2.2.9.1 une fonction

< s.

mme si 5contient des nombres ngatifs ou nuls. En effet par un raison-nement analogue 2.2.7. en considrant SA [A.+oc[C\S. A> 0. onmontrera facilement que :lim f(x) =l> lim f(x)=1. (1)X + + SO xt + ac

Aut rement dit la l imite de f(x) quand x +oc ne dpend que desvaleurs de f(x) pour x assez g ra nd . i S .De mm e, soit S ?. . poson s S' ={ x, x S}. On dira que 5 ~ccsi et seulement si 5' ~ +DC.

2.2.9.2. DfinitionSoit /:55.->?..5 De. Posons X= -x et g(X) - f(-x)

lim f(x) = 1 O limg(X) = /.x->--=o A-f +cicx5 AS'Par unmme raisonnement que dans 2.2.9.1 onobtient :


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Limites 252.2.9.3. Dfinition

lim f(x) = /. si et seulement si :pour tout ; >0. il existe .4 > 0. tel que six P " .Nota t i on : Si f{n) = .rn. onnotera (/ o )[k) = J^-(A-) = xk. o2.2.10.2. R e m a r q u e s

1) Si y :I1" IT* est strictement croissante alors y>(n) > n pourtout n.F a i s o n s unr a i s o n n e m e n t pa r r c u r r e n c e :P o u r n =1.y(l) >1 ; s u p p o s o n s y(n) > n. d a n s ce c a s :sp[n +1) >y(n)>n=>y(n + l)>n +l. D'o. Vn e I1" . s(n) > n.2) pour tout A~?.~ +, il existe no I1" tel que no > .4 . D'aprs 2.2.9.X"


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26 Limite et continuit2.2.10.3. Dfinition

Soit (x) une suite de nombres rels dfinie par l'application / : IT* S. Ondira que la suite (xn) admet une limite l quand n devient grandet on crira :lim xn = l, si et seulement si. lim f(n) = /.n *- + oo n- + oc S u *

2.2.10.4. RemarqueAinsi d'aprs 2.2.9.1. lim xn = / si et seulement si :n i- + cc

Ve > 0, 3.4 > 0 : si n > A. on a |.rn - l\


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Limites 272.2.11. Proprits fondamentales2 . 2 . 1 1 . 1 . P r o p o s i t i o n :

Soient S l , r 0 G M, tel que S~ x0, f : S-> M et g : S-> M, tellesque : Jim f[x)=/ et Jtim g(x) = malors : Um (/ +g)(x) =Jim ( / ( i ) +g(x)) = l+ m.Dmonstration Soit s> 0 ; c o m m e lim f(x) =l,36i > 0:

De mme 3S2 > 0 : V J 5. (|a; - x o |


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28 Limite et continuitd'o

\f(x)g(x) - lm \ = \f(x)g(x) - f(x)m + f(x)m - lm\ ?.. 5 : S C R > IF-, 0 ?- 5" ~ XQ et A S.

Si lim / ( . r ) = /, alors lim \f(x) = A/.2.2.11.5. Exemple

Soient P(x) un polynme en x, et x> ?.. on a: lim -P(.r) = P(o,"o).En effet P(x) = a n i " + an_ix n~ l + + a\X + Q O a,- 7. p o u rt o u t p. 0 < p < n.

l im xp = xZ (p ro p o s i t io n 2 .2 .1 1 .3 )r-Uoet

d'olim apxp = apxpQ (corollaire 2.2.11.4)X Xo

lim P(x) = P(x0) (proposition 2.2.11.1)2.2.11.6. Remarque

Soient f : S C J?- > ?.. x0 ?.. S - Si lim / ( . r ) =1.pour s = 2 . J7

- ro | < S. | / ( i ) -

1/( )1 - i'

e x i s t e'l0D e m m e s o i t Sn = \/2e : si \x\ < S2

x 2 Sialors | cos x l\ 0.Dmonstration Supposons / < 0 ; soit e = .36 > 0 tel quex e]x0 - S , x0 + S [ C \ S entrane f(x) E]l- J+^[.l + y = - < 0 implique f(x) < 0 V* e ] ^ 0 - , 0 + [ l~l S", ce qui estcontraire l 'hypothse.Corollaire Soit 5 ~ X Q et soient / : S E. et 5 : S > S deuxfonctions sur 5 telles que /(a1) < g(x), Va; G 5. Si lim f(x) = I etlim 5(2;) = m, alors / < m.x v r0Dmonstration La fonction = g f tant positive sur 5, la propo-sition prcdente entrane lim p = m l > 0. D"o le rsul tat .

rtro2.2.11.11. RemarqueSoient S S, r0 e , S ~ O , / : S -^ 1. j : 5 -+ 1, et /1 : 5 -> 5,telles que f(x) < h{x) < g(x), pour x G Sa, (Sa - Va(x0) C\S), silim g(x) = lim (x) = l. a lo r s : lim h(x) = l.r >r 0 x v r 0 r-*r0

D m o n s t r a t i o n S o i t e > 0.3S > 0, (\x - x o \ < S = > | / ( a r ) - /| < - Je t ( | J - x o | < S => | < / ( J ) - / | 0 tel que.si \x fO| < i et i G S. on a \f(x) - yo\ < S. D'o \x - XQ \ < Si =>\ ( n ) ) i \2.2.11.14. Proposition

Soit / : S > 3 1 . et soit X Q G -?. tel que 5 ~xo-Alors lim f(x) = Isi et seulement si pour toute suite ( x ) d'lments

de 5 convergeant vers .to. la suite f(xn) converge vers /.Dmonstration Supposons que lim f(x) = / et soit g = V 5 unesuite telle que lim g(n) = X Q -

On a: lim / [g(n)] = 1 c'est--dire lim f(x ) = l. (2.2.11.13)Rciproquement supposons que pour toute suite (xn) convergeantvers x0. la suite (f(xn)) converge vers /. Dmontrons (par l 'absurde) quelim f(x) =1.Supposons le contraire. Alors 3e > 0 tel que pour tout n G I1" il

e x i s t e x n S t e l q u e \ x n - x o \ < - e t \ f ( x n ) l\ > s . L a s u i t e ( x n )nainsi construite converge vers X Q . alors que la suite (f(xn)) ne convergepas vers /. ce qui contredit l 'hypothse.2.2.11.15. Exemples

1) Soit f(x) = sin . x G 3-. { 0 } . Montrons que f(x) n'a pas deximite en 0.Soie n t les su i t e s (xn). (yn) t e l les que xn et yn = .l im x = 0 et lim yn = 0.

or f(xn ) = sin m: = 0 = > limf(yn ) = sin(2n7T + ) = 1 => lim

d ' a p r s 2 . 2 . 1 1 . 1 4 . f(x) n'a pas de l i m i t e en 0.2) Soit f(x) = x sin - , x 6 ?. - {0} . Montrons que limf(x) = 0.

Comme f(x) est paire on peut se restreindre 31+ {0}. Or- 1 < sin - < 1 = > -x < x sin - < x. (x > 0)x x

d'o d'aprs la proposition 2.2.11.11 limx sin = 0.x - ^ - 0 X


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Application aux suites 332.3. Application aux suites

En appliquant les rsultats du 2.2 aux suites, on obtient :2.3.1. PropositionSoit (in) une suite convergente de limite /. alors:a) / est unique.b) 3k > 0. 3n0 > 0 : n > n0 => \xn \ < k.c) Si / 0. 3n0 > 0 : n > n0 => x 0.

2.3.2. PropositionSoient (xn) et (yn) deux suites convergentes de limites respectives /et m. Dans ce cas :

lim (xn + yn) = l + m : lim (xnyn) = Im /lim (\xn) = XI : lim = si m ^ 0.r!-> + cc n- f + cc yn m

2.3.3. PropositionS o i e n t (r) , (y) et (c) t ro i s su i tes te l les que: 3o > 0. tel que p o u rn > no:x n < zn 1.Une suite (xn) est dite dcroissanie si ! > xn+i pour tout n > 1.Une suite est appele monoione si elle est croissante ou dcroissante.Les suites monotones sont agrables tudier, car leur convergenceou leur divergence est facile dterminer. En fait on a:

2.3.4.2. PropositionUne suite monotone converge si et seulement si elle est borne.

Demonstration D aprs la proposition 2.3.1 toute suite convergenteest borne.Rciproquement soit (xn) une suite monotone borne. Supposons(xn) croissante. (xn) borne quivaut dire que le sous-ensemble E ={x\, 2*2 xn... . } est major et minor. Soit L = sup E. Alors pourtout n. xn < L.


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34 Lmite et continuitD'aprs la dfinition de supE, pour tout e > 0, il existe un entiern0 tel que xno > L - e. C o m m e la suite est croissante, pour tout entiern > n0, x > L - e. D'o \xn - L\ = L - xn < e pour n > n0 et parsuite la suite (xn) converge vers L.Un raisonnement analogue s 'applique dans le cas o (xn ) est dcrois-sante en uti l isant / = inf E.

2.3.4.3. RemarqueToute suite borne n 'est pas convergente comme le montre l'exemplexn = (1)". Toutefois de toute suite borne on peut extraire une suiteconvergente.

2.3 .4 .4 . Thorme (Bolzano-Weierstrass)De toute suite borne, on peut extraire une suite convergente.

Dmonstration Soi t u n e s u i t e [xn).xn G [a,b],a < b, p o s o n s A n ={ x n , x n + 1 , - - - } , neN*. Ai DA2 DA3D...An D A n + i An tant born, soit bn inf An ; on a bn < 6 n + i , Vn > 1 ; la suite(b n) tant croissante et majore, a une l imite L.C o m m e bn inf An, Ve > 0,Vn,3?T > n tel que xm < bn + s etxm > bnAinsi pour s = 1, 3ni > 1, xni < b\ +1

pour s = -, 3n2 > 2nY > m tel que xnn < b2n i + ~ni nipour s = -, 3n3 > 2n2 > n2 tel que x3 < 62n2 + ,2 n 2 2n2pour s = -, 3nk+ i > 1nk > nk tel que xn < b2n k +2nk ^

L'application k > nk est str ictement croissante.Comme I im6 n = L, on a :

Ve > 0 . 3 n 0 tel que, n > n0 => \bn - L\ < -Soit ko tel que < -, et ki > no- Soit ko = sup(fco, ^1) ; pour k > k2,on a :

nk - L\ < \xnk - b2nk\ + \b 2nk ~ L\1< + '-, car 2nk > nk > k > k2 >n0e l i l ecar"k ' - 2 2' 2n fc /I- i-2 2'

Par suite (xk) est une suite extraite de [xn). convergeant vers L.


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Suites de Cauchy 352.4. Su ites de Cauchy

Une classe importante de suites convergentes dans IR est constituepar les suites de Cauchy. En fait la proprit pour une suite d 'tre deCauchy caractrise les suites convergentes dans M.2.4 .1 . Dfinition

Une suite (xn) dans IR est dite une suite de Cauchy si et seulement si :Ve > 0 , 3 n o (s ), "o(e) G H*, tel que si p, q > n0, alors \xp - xq\ < s.

2.4.2. Proprits des suites de Cauchy2.4.2.1. Toute suite (xn) convergente est une suite de Cauchy

En effet si lim xn = l. Soit e > 0, 3no(e) G N* tel que si p, q > n0T f -f-OCon a : xp-l\ < - et | i , - / | < '-D'o:

s tant quelconque, (xn) est une suite de Cauchy.2.4.2.2. Une suite de Cauchy est borne dans M

Si (xn) est une suite de Cauchy, alors pour s = 1, 3 n o ( l ) G N* telque si n > no. on a \xn x0\ < 1.D'o \xn\ < \x0\ + 1 pour tout n > no.S i A/ = s u p ( | x i | , | K 2 | , , | z n o | . k n o l + l)i a l o r s \xn\ < M, "in e IT*.

2.4.2.3. Si une suite de Cauchy (xn) admet une suite extraite(xnk) convergente vers un point l, alors (xn) converge vers /Soit (xn) est une suite de Cauchy : soit > 0, 3no() G H* tel que, sip,q > n0 alors : \xp - xq\ < -.Supposons que lim xn, = l: 3ko(s) G N* tel que, si k > ko,

fcv + coxnk 'I < Soit k\ = sup (o , ko) alors pour n > ki on a :

donc lim 2-n = /.n f + 0OLes rsultats ci-dessous nous permettent d 'noncer l ' important critrede Cauchy pour la convergence des suites de IR.


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36 Lmite et continuit2.4.3. Thorme (critre deconvergence deCauchy)

Une suite de nombres rels (xn) est convergente si et seulement sielle est une suite de Cauchy.Preuve: si (x) est convergente, d'aprs 2.4.2.1. (xn) est de Cauchy.Rciproquement si [xn)est une suite deCauchy. elle est borned'aprs 2.4.2.2.Mais d'aprs le thorme de Bolzano-Weierstrass. de la suite (x). onpeut extraire une sous-suite (xnk) convergente. Donc d'aprs 2.4.2.3. lasuite (x) converge vers la mme limite que la suite (xnit).

2.4.4. ExempleS o i f la s u i t e (xn) d f i n i e p a r :

xi = 1. x2 = 2. ,xn = - ( x n _ 2 + , , - I ) pour n > 2.Cette suite n'est pas une sui te monotone. Il est facile de voir que

x n - x n + i\ = - \ x n - x n - i \ : d ' o \ x n - x n + 1 \

\X n

n " - n 1 | - ^ " " | " - n - - i - t - i O n - 1

D o n c si m > r? > r?o. on a< | xn Tn-l-ll + l^rl + l Xn+7 ~ \ ~ ' ' ' ~ \ ~ \Xm+1~ ?m\1 1 1

9 + + om-n-l ) 9n-2 - 9no-2

Par suite pour 5>0 donn, no est tel que ~ < -.Pour m> n > no on a |xm J : | < t. La suite ( jn) est donc unesuite de Cauchy. D'aprs le thorme 2.4.3. (xn) converge vers xo E 3LDe larelation de rcurrence, il rsulte quexo= ^(^o +-co), ce qui nedonne aucune information sur xo.Pour calculer xo- on peut considrer la suite d'ordre impaire extraited e ( x n ) .J r 1 = l . X 3 = l + i . . . . x a n + 1 = l+ i + - . . + ^ r .

d ' o J 2 n + 1 = l + - ( l + - - ( - . . . + ; p i - r )


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.4 retenir 374 4Et lim X2n + i = - D aprs 2.4.2.3. lim xn = -,H-- + DC 3 r- > + ?C 3

2 . 5 . R E T E N I R Soit / : 5 _-. - _-. j 0 _-.. (5 ~ r0)lim /(.r) = / V- > 0. 36 > 0 : Vi G 5. \x-xo\ < S=> \f(x)-l\ < s.x > x 0

On notera lim f(x) = / ou lim/ = /.x yxo J"o/ est unique et il existe un voisinage \'a(xo) de xo tel que / est borndans \'a(xo) n 5.Si / 0. il existe l"a(.ro) tel que / ne s'annule pas sur \'a(xo) (15 etgarde le mme signe que / sur cet ensemble.Sous rserve que les oprations soient dfinies, on a :l im( / + g) = lim/ + limgXo Xo Xo

\im(fg) = (lim/) (lim/)( / ) (X 0 Xol i m /hm - =xo \g Une suite monotone converge si et seulement si elle est borne. Une suite de nombres rels est convergente si. et seulement si. elleest de Cauchv.2.6. Exercices

1) Trouver les limites des fonctions suivantes en justifiant dans chaquecas les calculs2 o

1.1) l i l ~ 1x~ + a + a-x\1.2) lim et limX-S-0+ X x - i - 0 - X(X + h y x1.3) hm = ; ./wo h2) En utilisant lim = 1. trouver les limites des fonctions sui-x - i - 0 X

vantes :


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3 8 Limite et continuitsin2a; . ,. sinx sin3.c2.1) hm 2.2) hmi-t-o sinj x-t-o xsinz sin5z - sin3z2.3) u m - 2.4) hmro sinz zo

3) Montrer que lim' M x>o4) Soit g une fonction borne sur 5 C M et / : 5 IR -> IR telle quelim f{x) = 0X^+2^0Montrer que: lim f(x)g(x) 0.5) Pour tout x G M, montrer que lim existe, et trouver lan-f + oo 1 + nilimite.6) (i) Soit b > 1, en crivant 6 = 1 + c, c > 0, montrer que pour toutnombre rel B positif, il existe un entier n0, tel que si n > rc0, bn > B.(ii) Soit 0 < x < 1. Montrer que lim zn = 0.n-v+ oo(iii) tudier le cas (ii) quand 1 < x < 0.7) Pour quelles valeurs de x la limite suivante existe-t-elle :

xnfix) = lim ? Donner dans ce cas les valeurs de f(x).rw + oo 1 + x"Xn - 18) Pour x 1, montrer que fix) = lim existe.

Calculer : /( I) , /( I) , /(2) . Que peut-on dire de lim f(x) et lim fix)? I-*l X 19) tudier les suites suivantes, et trouver les limites quand la suiteconverge.

n n+1 _. n n2 + 11) 2)) zn 2) znn+1 n n+13) xn = cos 4) xn = ^5) x\ = y/2 et pour n > 1, = \Ji + zn_i

10) Soient (6rn) une suite croissante et {Vn) une suite dcroissantetelles que lim(Vrn Un) = 0. On dira alors que les deux suites sontadjacentes.i) Montrer que la suite Wn = Vn l'n est dcroissante et en dduireque Vn Un > 0 pour tout n.11) Montrer que les suites (Un) et (Vn) sont convergentes et ont mmelimite.


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Continuit en un point 3Application Montrer que la suite Un = - + -f + est1! 2! ni

convergente (on considrera la suite Vn Un -\ -.)

2.7. Continuit en un point2.7.1. Dfinition

Soit f : Sm. M,xoe S,On dit que / est continue en XQ , si et seulement si:

lim fix) existe.T-*T0xS2.7.2. Remarque

Si cette limite existe elle ne peut tre que f{xo); d'o:f continue en xo & lim f(x) = f(xo).

xSII rsulte desproprits fondamentales sur les limites tablies au 2les propositions suivantes :2.7.3. Proposition

Soit S un sous-ensemble de M. XQ 6 S et /, g : S Y M continues enxo, alors f + g. A/, fg, si g{xo) ^ 0. sont continues en XQ .92.7A. Proposition

Soit / : 5 M -> M, x0 5, et g : T M -> S avec f(S) T ;si / est continue en xoet g est continue en yo = f{xo), alors g of estcontinue en XQ .2.7.5. Proposition

Soit f : S R R, x0 S. f est continue en x0 si, et seulementsi, pour toute suite (xn) convergeant vers x0, la suite (f{xn)) convergevers f(x0).2.7.6. Exemples

f(x) = x est continue en tout point de M, fix) = est continue pour tout i ^ O ,x


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4 0 Lmite et continuit,, . i s i n - ^ O , _ /( , r ) = < .r esf continue sur _-.. loute traction

(O = 0-P(.r)rationnelle est continue en tout point XQ de _-., tei que Q(XQ) ^ 0.Q ( )

2.8. Proprits des fonctions continues sur unintervalleLorsque le sous-ensemble S de ?_ est un intervalle, on peut tablird'importantes proprits des fonctions continues.

2.8.1. ThormeSoit / : / C 7. -> ?.. o / est unintervalle de ?. : si / est continue entout point de /. alors / ( / ) est un intervalle de ?..En bref, l ' image par une application continue d'un intervalle est

un intervalle. Ce rsultat porte aussi le nom de thorme des valeursintermdiaires.Dmonsiraiion D aprs la proposit ion 2.1.10. /( /) est un intervalle siet seulement si :

V/Lyi G / ( / ) . y\ < /2 => [/i.i/2] C /( / ) .Soit -. tel que i/i < - < i/o- Comme y\. y? G f(I)- il existe x\. x? G Itels que yx = / ( . r i ) et y2 = f(x2)-Supposons xi < xn (on fera un raisonnement analogue si x\ > xo)-Soit c nla suite (xn) converge vers c. car | x n c\ = c xn < .n

De f(xn) < et lim f(xn) = f(c) ( / continue enc ) on conclut :/ ( c ) < -. et par suite c ,r2.

C o m m e c est la borne suprieure de C6. pour tout x G]c. I J ./ ( r ) > -, => lim f(x) = / ( c ) > - (/ continue en c). D'o /(c) = -,.

.r-t-c+


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Proprits des fonctions continues sur un intervalle 412.8.2. Corollaire

Soit / : [a.b] y I?. con t inue sur [a.b]: si f(a)f(b) < 0. il exis te aum o i n s unpoint x G]a. b[. f(c) = 0.Lorsque l'intervalle I est f e rm et b o r n c'est--dire de la fo rme / =[a.b]. a Ao. cequi est absurde puisque lim ru- =+3C. Donc / est borne sur [a. 6].k-^ + cc

S o i t Q = sup f(x). D o n c p o u r t o u t n G I1* il e x i s t e ; G [a.b]. r[a b]/ ( ; ) > n - i et / ( ; ) < a . D ' o Vn GP". | / ( C , 7 ) - Q | < (3)

l a su i t e (;) t a n t b o r n e , il e x i s t e u n e s u i t e e x t r a i t e (zk) qui c o n v e r g evers / G [a.b].C o m m e / es t con t inue en /et znk y l. a lo r s / ( r n f c ) > / ( / ) . D ' a p r s ( 3 ) .la su i te f(z) converge ver s Q .C o m m e f(znk ) estune su i t e ex t r a i t e de l a su i t e f(zn). j{znk) c o n v e r g eauss i vers Q.De l ' un ic i t de la l i m i t e , il r su l t e que Q = / ( / ) .P o u r d m o n t r e r q u e / a t t e i n t sa borne in f r i eu re , on p e u t a p p l i q u e rle r a i s o n n e m e n t p r c d e n t la f o n c t i o n ( / ) .


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42 Limite et continuit2.8.4. Remarque

Les proprits nonces dans les thormes 2.8.1 et 2.8.3 peuvent trevrifies par une fonction sur un intervalle, sans que celle-ci soit continuesur cet intervalle, comme le montre l'exemple suivant :f : [0,2] ->M dfinie par:

/(*) = !K ' \ x - l Kx 0, tel que Vn G N*, dans le dcoupage de [a, b] en sous-intervallesde longueur -~ , il existe au moins un sous-intervalle [xn,yn] tel queui(f,[xn,yn]) > 0-Donc 3e0 >0, et deux suites (xn) et (yn) de [a, 6], tel que si n 6 F?*

Vn - Vn\ < - et !/(*) - f{yn)\ > e0. (1)


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Continuit uniforme Convergence uniforme 43La suite (xn) tant dans [a, b], d'aprs le thorme de Bolzano-Weier-strass (2.3.4.4) il existe une suite extraite (xnk) de (xn) qui converge versle [a, b].D'aprs (1) la sous-suite (ynk) converge aussi vers /. Comme / estcontinue au point /, les suites (/(xnj) et {f{ynk)) convergent vers /(/)et donc pour k assez grand

Ce qui contredit la seconde ingalit de (1).Le thorme 2.9.1.3 peut aussi s'noncer de la faon suivante:

2.9.1.4. ThormeSoit / : [a,b] -> M continue sur [a,b]. Pour tout s > 0, il existeS (s) > 0, ne dpendant que de s, tel que pour tous x et x' de [a, 6]vrifiant \x - x'\ < 5, on ait :\f(x) - f(x')\ < e.

D'o la dfinition suivante :2.9.1.5. Dfinition

Soit / : / C M M, / intervalle de M. Ondira que / est uniformmentcontinue sur / si et seulement si :Vs > 0, 3S{e) > 0, tel que Va:, x' e I,\x - x'\ \f(x) - f(x')\ < s.2.9.1.6. Remarques

1) Les thormes 2.9.1.3 ou 2.9.1.4 expriment que toute fonctioncontinue sur un segment [a,b] est uniformment continue sur [a,b].Soit / : / C M M, I intervalle de M. Pour montrer que / n'est pasuniformment continue sur /, il suffit de montrer qu'il existe eo > 0, etdeux suites (xn) et (yn) de / tels que pour tout n G N*

xn-yn\< - et \f(xn)-f{yn)\ > e0.n2) Exemplesa) f[x) = 2x est uniformment continue sur M.En effet \f(x) - f(y)\ = 2\x - y\. Pour s > 0, il suffit de prendre

b) fix) = n'est pas uniformment continue sur ]0, +oo[.xEn effet, soit e0 = - et (xn) et (y) lessuites de]0, +oo[ dfinies par :

x = et yn = -, n G N *n +1 n


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4 4 Limite et continuiton a :

Donc d'aprs 2.9.1.6. 1) f(x) = - n'est pas uniformment continuexsur ]0 ,+oc[ .On pourra montrer t i t re d exercices quepour tout nombre a > 0.f(x) = - est uniformment continue sur [a.+Dc[.x2.9.2. Suites de fonctions. Convergence uniforme2.9.2.1. Dfinition

Soit (/) une suite de fonctions dfinies sur un ensemble D C ?.. valeurs dans ?.. On dira que la suite (/) converge sur D. vers une fonc-tion /. si pour chaque x D. la suite de nombre rels (fn(x)) convergevers f(x). La fonction / s 'appel le la l imite sur D de la suite (/) et onnote / = lim (/) sur DOU

2 . 9 . 2 . 2 . E x e m p l e s1) La suite (fn ) dfinie par fn(x) = ^ converge sur ?. \rer.s la fonctionnulle x f(x) = 0 pour tout x 6 ?..2) Soit D = [0.1] ; a suite (/ ) dfinie sur D par / (x ) = xn , convergesur D vers la fonction f dfinie par :

1 SI X = 1'1 ,X" ~r 71 X3) D = ?.. la suite (/ ) dfinie par f(x) = . converge sur Dvers la fonction f : x x pour tout x G .A.

4) D = ?. la suite (/) dfinie par fn{x) = converge surn> vers ia fonction nulle.La dfinition 2.9.2.1 est quivalente la dfinit ion suivante:2.9.2.3. Dfinition

Une suite (/) de fonctions sur D C ?.. converge vers une fonction /sur D. si et seulement si :


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Continuit uniforme Convergence uniforme 4 5Pour tout > 0, et pour tout x D. il existe un entier naturel(s.x) dpendant de x et de s tel quepour tout entier n > no(s.x)

on a :on dit alors que (/ \fn(x)-f(x)\ 0, le graphe de fk sur D. pour k assez grand, soit compris entre lesgraphes de f e et f + e.

/ - eFIGURE: 2.2

Cette proprit est prcise par la dfinition suivante:2.9.2.5. Dfinition

Une suite (/) de fonctions sur D C ?- valeurs dans 3, convergeuniformment sur D. vers une fonction / si et seulement si :Pour tout s > 0. il existe unentier naturel no(s) (dpendant unique-ment de c). tel que tout entier n > no et tout x GD on a :

2.9.2.6. RemarquesSi (/) converge uniformment sur D vers / , alors (/) convergesimplement sur D vers / . La rciproque n'est pas vraie en gnral comme


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46 Limite et continuiton levoit sur les exemples 2.9.2.2,1), 2.9.2.2,2) et 2.9.2.2,3), en utilisantla proposition suivante :2.9.2.7. Proposition

Soit (/n) une suite de fonctions convergeant simplement vers / surD. (fn) ne converge pas uniformment sur D vers /, si et seulement si :il existe o > 0, une suite extraite (fnk) de (fn), et une suite (xk) de Dtelles que : \fnk{xk) - f(xk)\ > o pour tout k N .Preuve D'aprs la dfinition 2.9.2.5, (/) ne converge pas uniform-ment vers / sur D, si et seulement si : ilexiste e0 > 0, telque pour toutentier no, il existe un entier n >no et xno G D tels que :

\fn(Xn0) - / ( -Cno) l > 0 Ainsi pour n 1. il existe ni > 1 et x\ E D tel quePour n = sup(2 , 2n i ) , il existe n- > n et x-2 ED tel que\fna(x2)-f{x2)\>eo.On construit ainsi une suite (fnk) ext ra i te de (fn) et une suitede D telles que : \ f n k ( x k ) - f ( x k ) \ > s 0 .

Rciproquement il est clair que si la condit ion \fnk{x k) f(xk)\ > Sopour tout k E N est vrifie, la convergence n'est pas uniforme.2 . 9 . 2 . 8 . E x e m p l e s

1) Pour 'exemple 2.9.2.2, 1) si on prend So = -, nk = k et xk = k,alors fk{xk) = 1 et \fk(x k) - f{xk)\ = |1 - 0| = 1 > - .

Donc a suite (fn) de 'exemple 2) ne converge pas uniformm ent surM, vers a fonction f, f{x) = 0 , 1 .2) Pour l'exemple 2.9.2.2,2), si on prend e0 = , nk = k et xk =r

2 ) > aors

donc la convergence n'est pas uniforme.3) Pour l'exemple 2.9.2.2,3) si on prend e0 = l, nk = k, k >1xk = k alors \fk(xk) - f(xk)\ = A > 1.par sui te la convergence n'est pas uniforme.


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Continuit uniforme Convergence uniforme 474) Par contre pour l'exemple 2.9.2.2,4) on a

\fn(x) - f(x)\ < ^ VzeE.Donc pour tout s > 0, si on choisit o tel que < s, alors pournon > n0 \fn{x)-f{x)\ n0 \fn{x) - f(x)\ < -\/x G D.O

Soit XQ E D. Comme fno est continue en XQ , 3a > 0 : \x x\ < a =$\fno(x) - fno(x)\ < 6-.Soit maintenant x D tel que \x xo\ < a ; on a alors

\f(x) - f(xo)\ < \f(x) - / n o ( * ) | + |/no(ar) - / 0 ( : O ) | + \fno(x) - f(xo)\

/ est donc continue en XQ . JO tant un point arbitraire de D, il en rsulteque / est continue sur D.2.9.2.10. Remarque

La convergence uniforme d'une suite de fonctions continues est unecondition suffisante, mais non ncessaire, pour assurer la continuit dela fonction limite. Ainsi dans les exemples 2.9.2.2.1 et 2.9.2.2.3 les suitesde fonctions continues ne convergent pas uniformment, alors que leurslimites sont continues.


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48 Limite et continuit2 .1 0 . RETEN IR

S o i t / : 5 C - - . - > ? - .f(S)[a.b]

i)n)iii

Si 5 est un intervalle, et / estest un intervalle.S i S = [ a . b ] . a < b . a . b e 2 .alors :f([a, b]) est borne./ atteint sa borne suprieure

continue en tout point de S. alorse t / est continue en tout point de

M et sa borne infrieure m.) pour tout y G [m . M ], l'quation

admet au moins une solution dansiv

nue.) / est uniformment continue

= ya . b ]sur

La limite uniforme d'une suite de

en x

[ a . b ] .fonctions continues, est conti-

2.11. Exercices et problmes1) Les suites suivantes sont-elles convergentes:

( -1)"a) xn = -n. Vn > 0.n + 2 -b) xn = ~ oP est un polvnme de degr p et Q un polvnmeQ(n)de degr q. xn est dfini po ur ? assez gr an d .c) U n = t2) Soient ([ ') , l ; ; . et (! '):: deux suites de nombres rels tellesque la suite [UnVniney,* converge. Les suites (r n ) e ; ; . et (V "n)ne;-. sontelles convergentes?3) Soient (fT) e-> et {V)ne:'r deux suites de nombres rels. Onsuppose queUn est borne et que lim V 0. La suite (l'n^'n)n':'nt + ozadmet-elle une limite quand n tend vers +DC.4) Soit (f) e ;;. une suite de nombres rels strictement positif. Onsuppose que lim - L > 0. Soit s tel que 0 < s < L.Montrer qu'il existe a > 0. b > 0 et k G I tels que :

n > k => A(L - e)n < xn < B(L + s)n


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Exercices et problmes 49En dduire que lim ^/i~ = L.5) Soient ai et 61 deux nombres rels tels que 0 < ai < 61. Onconsidre les suites (an)ng;; et (&n)ng:> dfinies par:

0,1+1 = ydnbn et 6 n + 1 = -{an +bn).a ) M o n t r e r pa r r c u r r e n c e que Vn. an et ( 6 n ) n g ; > c o n v e r g e n t v e r s lam m e l i m i t e .6 ) So i t ( u n ) n > i une s u i t e de n o m b r e s r e l s d f i n i e s par: u\ = 2.

2 u n - i " . _un = pour n > 2.Un-l+3

a) Montrer que un > 2. Vn G P".b) Montrer que les un sont alternativement ngatifs et positifs.c) tablir que chacune des suites partielles (unp) et (uop+i) est mo-notone et montrer que ces suites partielles convergent.d) La suite (un)n>i est-e'le convergente97) a) Soient deux suites (jn)ng:;* et (j/)e;>. On suppose que lasuite (yn)ne::' est croissante et tend vers +yz.Montrer que si lim existe, il en est de mme pour l'exis-

tence de lim et de plus on a :lim = lim (thorme de Stolz).n- + c (/ n-> +^ yn - yn + 1

b) Appliquer ce rsultat l'tude de la suite r si lansuite on admet une l imite.8) E(x) dsignant la partie entire de x. soit la fonction

a) Montrer que / est priodique de priode gale 2.b) Montrer que / est continue sur I?. Z.c) Montrer que / est discontinue en tout point A- G Z.d) Faire la reprsentation graphique de / .9) Soit h : 7- -> ^

, , , i l si x G ~x i->- h(x) = < 0 sinon.


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5 0 Limite et continuith est-elle continue?

10) Soit g : 3 . - - R

Montrer que / est continue au point X Q = \ et est discontinue entout autre point x distinct de \.11) La fonction g : S > S

, I x2 sin si x -i 0r M- 5(ar) = < a-3[ 0 si x = 0est-elle continue?

12) Une application / : / E, dfinie sur un intervalle / de X, estdite lipschitzienne s'il existe k > 0 tel que :

Montrer qu'une application lipschitzienne est uniformment continue.13) Soit a 5 , o ^ 5 - E{u) dsignant la partie entire de u, onconsidre l 'app lica tion / : S > F.

x > x aE -

a) Dterminer les points de discontinuit de / .b) Soit / la restriction de / Q . Faire une reprsentation graphiquede /. Montrer que / est injective.c) On note J = f(Q). L'applicat ion f~ l : J > Q est-elle continue?14) Soit / : [a , b ] [a, 6] une application continue. On suppose qu'i lexiste k G M. 0 < k < 1, tel que :

Soit c G [a, 6]. On considre la suite (xn)n^ dfinie par :x 0 = c, x n + i = f ( x n ) . V n G r ? .

a) Montrer que |x n + i xn\ < k" \x\ b) Montrer que {xn)n^ est une suite Cauchy.c) En dduire qu'il existe un unique point x G [a, 6] qui vrifie l'galit/ (* ) = * .


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Exercices et problmes 5 115) Soit P{x) un polynme de degr n,

P{x) = axn + . . . + O0.tel que aoan < 0.Montrer qu'il existe au moins XQ G ffi^j. el que /(zo) = 0.

16) Soit f(x) = tgx, on & f J = 1 et / ( - ) = - 1 alors q u'iln 'exis te pas de [ f i^ 1 ] tel que f(x) 0. Expliquer pourquoi cersultat ne contredit pas le thorme des valeurs intermdiaires.

17 ) Soit / : [0,+oo[> M une fonction con tinu e. On sup pos e quelim /( * ) = / .

a) Montrer que / est borne.b) Si de plus / < /[0), dmontrer l 'existence d'un point de c G [0, +o o[o / a t te int son maximum.18) Soient a > 0 et c > 1, tels que 0 < a < c. En considrant lafonction /(z) = z " , n > 0, montrer qu'il existe b G]0,1[ tel que f(b) = a.En dduire que pour tout n G N* , et a G M^. il existe un unique relb > 0, tel que bn a. Si n est impair et a < 0, montrer qu'il existe un

unique rel 6 < 0 tel que 6" = a.19) On dit qu'une racine relle d 'un polynme f(x) a t isole, si ontrouve un intervalle [a,b] ne contenant que cette racine et pas d'autres.En vous aidant du thorme des valeurs intermdiaires, isoler lesracines relles des polynmes suivants, chacun ayant exactement quatreracines.(i) ix A - 2x3 - 3 6 z 2 + 36ar - 8 = 0(ii) 2x4 - 14ar + Hx-l = 0.20 ) i) S oit / : [0,1] - M, con tinue sur [0,1] telle que 0 < f(x) < 1,pour tout a: G [0, l|.Montrer qu'il existe au moins un point c, tel que /(c) = c (appliquerle thorme des valeurs intermdiaires la fonction g(x) f(x) x).ii) Soit / : [a, b] - M, continue sur [a, b] telle que fia) < a et f(b) > b.Montrer qu'il existe un point XQ G [a, b], tel que /(zo) = zo-21) Soit l'ensemble des fonctions dfinies sur [1,1], qui vrifientla relation : x2 + f(x)2 = i, V i e [-1,1]a) Trouver deux fonctions /o et f\ appar tenant $ et qui sont conti-nues sur [1, 1].b) Trouver une fonction g G S qui s it non continue.c) Montrer que toute fonction / G S e s t continue aux points +1et - 1 .d) Soit h G 5 une fonction continue sur [1,1]. Montrer que h(0) > 0implique h(x) > 0 pour tou t z G [ - 1 , ! ]


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5 2 Limite et continuite) En dduire que les seuls lments de - 5 qui sont continus sur [1. 1],sont les deux fonctions trouves la question a).2 2 ) Soit / : [ a i ] c S - t 5 . , on d ira que / est convexe sur [a. b ) si etseulement si V.r. x' G [a. 6 ] , Vi G [0.1] on a:

f(fx+(l- t)x') < tf(x) + (1 - t)f{x'). Pour x0 ]a. 6[, on considre lafonction: ^ ( ^ r ^ - ^ ) .X XQ

i) Montrer que Xo est croissante sur / {xo}.ii) En ddu ire que lim ro(x ) et lim y> ro (j) existent, et

lim .iii) En dduire que / est continue en tout point de ]a.b[.23) On considre les suites (/) dfinies sur D = (x ^?.:x > 0) valeu rs dan s IF. par les formules suiv an tes :

a ) b) c) ^ - d ) - e - " .1 + xn n + x " 1 + x2n ntudier la convergence simple et la convergence uniforme de cessuites.24) Soit (/) une suite dcroissante de fonctions continues sur unensemble D C IF. valeurs dans 7. :

/ ( - c ) > M x ) > > f n ( x ) > fn + i { x ) > p o u r t o u t x G D .i) Si lim fn(c) = 0. pour c D. Montrer que pour tout s > 0. il

D- + + 3Cexiste m I! et un voisinage [" de c, tels que si n > m et x G [* (~1 D.alors fn(x) < e.ii) En dduire la proprit suivante due Ulisse Dini. Si une suitemonotone de fonctions continues converge en chaque point d'un intervalle[a. 6 ] de 5. vers une fonction / continue, alors la convergence est uniformesur [a.b].25) Dmontrer le rsultat suivant d Georges Plya. Soit (/ n ) unesuite de fonctions dfinies sur un intervalle I[a. b ] de 3 1 valeurs dans ?..On suppose que : pour tout n G I T , fn est une fonction dcroissante sur /. la suite (fn) converge ponctuellement sur / vers une fonction f(x)continue sur / .Montrer que la convergence est alors uniforme sur I (on ne supposepas que les / sont continues).


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Exercices et problmes 53Problme

26) Approximation uniforme d'une fonction continue parune suite de polynmesSoient m, n deux entiers tels que 0 < m < n. Onpose :

nm xm(l-x)n~m. m m\(n1) Montrer que les polynmes In,m{x) vrifient les proprits sui-vantes :( 1 )

n(2) ^ mltm(x) = nx.m = 0n

Si / : [0,1] _-_ le polynme de Bernstein de degr < n associ /est :

L'objet de ceproblme est de dmontrer que si / est continue sur [0, 1]la suite des polynmes Bn(x) converge uniformment sur / vers / . Onsuppose donc que / est continue sur [0, 1].2) Montrer que : V > 0. 36 = S (s) >0. tel que :

| J I - x2\


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5 4 Limite et continuitMontrer que :

nr m l 2 T r(n.r m )2

En dduire, en utilisant la relation (3) de 1) que:IE l < 2 | - 2n62

3.3) En utilisant 3.1 et 3.2 montrer que \f(x) - B(x)\ < e si n >M-:2 pour tout x G [0,1].3.4) En dduire le thorme d'approximation de Weierstrass: toutefonction con tinue sur un in terva lle ferm et born de IR, est lim ite uni-forme d'une suite de polynmes.27) Soit (/) une suite de fonctions dfinies sur une intervalle /. On

dira que (fn) est uniformment de Cauchy sur /, siVe> 0 , 3n0 G N, t el que , V n ,m > n 0 , Va? G / , | / m ( x ) - fn(x)\ < e.Montrer que fn converge uniformment si et seulement si elle est unifor-mment de Cauchy.

28) 1) Soit h :]0, +oo[ IR une fonction qui vrifie la relationh(xy) = h(x)

Montrer que h est identiquement nulle.2) Soit h : [0,+oo[ IR une fonction non identiquement nulle quivrifie la relation (*) de 1).a) Montrer que h est con tinue sur ]0, +0 0[ si et seulem ent si elle estcontinue au point x = 1.b) Montrer que /i(l) = 0 et que si x > 0, et r G Q, alors h(x r) =rh(x).

Indicat ion On montrera le rsul tat d 'abord si r G Z, puis l 'on tablirale rsultat sir = - G Q , en rem arqua nt que x = (x~)q.

c) Montrer que s'il existe un intervalle ouvert non vide / tel queh(x) > 0 pour tout x G I, alors h est strictement croissante et continue.d) Montrer que si h est cont inue a lo rs o n a : / i ( i ) > 0 si x > 1, eth(x) < 0 si x < 1.


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Exercices et problmes 5 5c) Soit b > 1. Montre qu'il existe au plus une fonction continue h sur]0. +oc[ vrifiant (*) et telle que h(b) = 1.29) Soit [a. 6] un intervalle de ?, c un point de [a,b]. Soient

/ i : [ a , c ] * R et / 2 : [ C , & ] _ Rxi > a\x + i3i xi > a2x + ( 3 ?

deux applications affines telles que /i(c) = f(c).Soit l 'app licatio n / : [a, b ] > K.

SI X -^ C

a) Soit u [a,c]. v [c, 6]. Mon tre r q u e\f[u) - f(v)\ < max(|Qi| , |Q 2 |) \ U - v\

et en dduire que / est lipschitzienne (voir exercice 12).b) On dit qu'une application continue / : [a.b] > M est affine parmorceaux s'il existe une subdivision a XQ < x\ < ... < xn = b telleque la restriction / , de / chaq ue intervalle [x l: +i] soit une applicationaffine. Montrer que si / est une application affine par morceaux, alorselle est lipschitzienne.c) Soit g : [a.b] F: une a pplication continu e.En utilisa nt le fait que / est uniformm ent continue, prou ver q ue :Vn > 0. n e M, il existe une fonction affine par morceaux ~ p n telle que :

\f(x)-


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56 Limite et continuit3) Si / T f>([a. 6]). m on tre r qu 'il existe une su ite ( P n ) n g ; ; de subdi-vision de [a.b] telle que \'~(f) = l i m p ( / ) .4) M on trer que si / est cro issan te, alors / G \ ([a. ]) et \'(f) =f(b) /(a). En est-i l ainsi si / est dcroissante?5) Montrer que si / est lipschitzienne de rapport m. alors

/G U( [a .&] )e t Y f < fm(b-a).6) M on trer que la fonction / : [0. 1] > ?.

n'est pas variation borne sur [0.1]. Montrer que la fonction g : x >xf(x) est continue mais n'est pas variation borne.7) M on trer que si / G Vb([a.b]) alors \f(x)\ < f(a) + V(f) V J G [0.6].8) M on trer que si / G U([a.& ]) et r G r b([a.6]). alors / 5 G r 6 ( [ a .6 ] ) .En est-il de mm e po ur le quotient .9) a) Soit / G \'b([a.b]). On considre sur [a.b] la fonction / dfiniepar fi(x) = \'f[a.x], f(a) 0. Montrer f\ est croissante.b) soit fn : x > /si-r) = /i("f) /(-i1) montrer que / est croissante.c) Dduire de a) et b) le rsultat suivant :

Th or m e Soit / : [a. 6] >!?. une application : / est variation bornesi et seulement si / est la diffrence de deux fonctions croissantes.


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Chapi t re 3 : DIFFERENTIATIONIntroduction

Le concept central du calcul diffrentiel est la notion de drive, quitrouve son origine dans un problme de gomtr ie : dterminer la tan-gente en unpoint d'une courbe.Le problme s'est impos Fermt, mathmaticien franais, qui cher-chait dterminer les maximums et les minimums de certaines fonctions.Il s'est alors aperu qu'en ces points, les fonctions ont des tangentes hori-zontales. D'o la recherche de telles tangentes, et d'une manire gnralela recherche d'une tangente en un point quelconque d'une courbe. Ce pro-blme fut rsolu au XVIIe sicle par Newton et Leibniz en int roduisantla notion de pente en un point d'une courbe, qui. dans le cas o lacourbe est donne par une quation y = f(x). dfinit la drive de / ence point. La notion de drive permet d'amliorer le problme d'approxi-mation abord dans le chapitre 2. en approchant une fonction / par unefonction affine auvoisinage de XQ . X > ax + b telle que axo + b = f(xo)'-c'est--dire une fonction affine de la forme x > a(x x0) + f(xo). lemeilleur choix s obtient en prenant , a gal la drive de / en XQ . Onabordera la dfinition de la drive, par t i r de la notion de t a n g e n t e :ce qui est plus parlant et plus conforme au point de vue historique.Le concept de drive est peut tre le plus fabuleux des math-

mat iques : ses applications se t rouvent tout autour de nous dans notrevie quotidienne: vitesse d'un avion ou d'une voiture: partout o il y amouvement sans choc. Il permet de transformer certains problmes en cequ'il y a de plus simple: les fonctions linaires, les problmes linaires,ceux que l 'on sait rsoudre.

3.1. Tangente en un pointd'une courbe planeSoit & le plan affine rapport unrepre or thonorm (O.T.J). Soit) 7 ? o = ( x o . y o ) G y .

O n d i r a q u ' u n p o i n t m {x.y) de ? a p p r o c h e m o s p r s si lal o n g u e u r du v e c t e u r rnorti. n o t e | | m 7 ^ | | est in fr ieure . so i t :- x0)2


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5 8 DifferentiationSi 5 est un sous-ensemble de 2?. On dira que 5 est arbitrairementvoisin de mo et on no te r a S ~ m o, si et seulement si :

Ve > 0, 3m e S. tel que, ||m"nfc|| < s.3.1.1. Dfinition

Soit / : 5 c 2? > 3 , m o et S ~ m o. Le symbolelim firn) = A. A M signifie :m-*m0mes

Ve >. 3 Q > 0. tel que, | |m7#| | < Q => \f[m) - A| < s.On dira que /(m) tend vers A quand m tend vers mo en restant dans S.3.1.2. Remarque

De a double ingalit:< s u p ( | a | , | 6 | ) 0. 36 > 0. tel que.A-K)| / i | < J = > . | , 0 ( / i ) | < . D'o:

-;h 0 tel que si 0 f(xo)> f(xo + h) (2)Alors que si f'(xo) > 0. il existe S > 0 tel que si 0 < h < S. on a :

f(xo-h)


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Proprits des fonctions drivables 653.3.4. Drive gauche et drive droite

On dira qu'une fonction / dfinie sur un intervalle ]a, xo] (resp. [XQ. b[)est derivable gauche (resp. droite) en XQ . si et seulement si.. f(xo + h)-f(zo) f(xo + h)-f(xo) .h m j - existe resp. hm { - existe) ./i-+o h h-*o hh0

Cette l imite, note f'g(xo) (resp. f'd(xo)), s'appelle la drive gauche(resp. la drive droite) de / en XQ . D ans ce cas les demi-droi tes d 'qua-t ions y = f(xo) + f'g(xo){x-xo),et y = f(xo) + fd{xo)(x-xo). s'appellentrespectivement la demi-tangente gauche et la demi-tangente droiteau point ino = (xo. f(xo))- D'aprs la dfinition de la limite/ est derivable en XQ f'g(xo) e t f'd(xo) existentde drive f'(xo) et sont gales

Par contre f'g(xo) et f'd(xo) peuvent exister sans que f'(xo) existe.Exemples.Pour f(x) = \x\. f'M = 1 et /(0) = - 1 . x 0 < x< 1- - f'g(l) = 1. m ais f'd(l) n'existe pas.3.3.4.1. Drives d'ordre suprieurSi f'(x) existe dans un voisinage ouvert \'a{xo) de XQ . on aura une

fonction note /' de \'a(^o) dfinie dans !?.. par:f :Va

Si /' est derivable en XQ , sa drive note f"(xo) est appele la drive seconde de / en xo-En i trant ce processus, on dfinira la drived 'ordre p de / en ^o note f^(xo).L'existence de /^(xo). suppose celle de / ' ' ' ' ' (aro) dans un voisinagede XQ pour t = 1.2 p 1.Soit / : / C ?. - 3. (/ intervalle de ~?,). On dit que / est de classe C sur / si / est continue sur /. On dit que / est de classe Cp sur / (p > 1) si / ' p ' est dfinie etcontinue sur /. On dit que / est de classe Cx sur / si pour tout p G H, / est declasse Cr sur /.


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6 6 Differentiation3.3.5. Oprations algbriquessur les fonctions drivables3.3.5.1.

Il rsulte immdiatement de la remarque 3.2.2.1 quesi / et g sontdrivables en xo, et si est un rel, alors A/ et f + g sont drivables enxo : lesdrives sont respectivement \f'{x0) et f(x0) + g'(x0).3.3.5.2.

Si / etg sont drivables enXQ alors fg est drivables en xo et l'ona :

(1 )(fg)'(x0) = f(xo)g'(x0) + f'(xo)g(xo) (1)

fg est di f feren t ia te en XQ et l'ona :d(fg)(x0) = f(xo)dg(xo)+g{xo)df(xo)

Preuve Les hypothses entranenthf'(x0)+s1(h)h. = o

g(x0 +h)= g{x0) s 2 ( h ) h . l i m 5 - > ( / ) = 0/ od ' o :

(fg)(xo + h) = (fg)(x0) +(f(xo)g /(x o) + f'(xo)g(xo)) ho

= f(xo)s2(h)+g(xo)e 1(h i +f2+ f'(xo)g'(xQ )h hg'(xo)si(h).Par suite lim s(h) =0. De 3.3.5.1 et 3.3.5.2 on conclut que l 'ensemble desh-tOfonctions drivables en xoest une sous-algbre de l 'algbre des fonctionscontinues en ^o-3.3.5.3.

Si / est derivable en xoet sif(xo) 0. / tant continue enXQ. ilexiste un voisinage \'a(xo) =]xo a . X Q + Q [. tel que pour tout x G \ ' Q ( J * ) .f(x) ^ 0 : alors est dfinie sur \'a(xo). derivable en xo. et sadriveest :

/ ( xo )a


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Proprits des fonctions drivables 6 7(1) est diffrentiable en o et l 'on a:

Preuvei i - 1 f(x)-f(x0)x - x0 f(x)f(x0) x - x0

il rsulte des thormes sur les limites que :i

x 9 x0.

ilimx->r0 X XQ f'(xo)f(xo)23.3.6. Drive d'une fonction compose

Soit / une fonction derivable en xo et g une fonction derivable eni/o = (XQ). g tant dfinie dans un voisinage Vyo de i/o- et / tantcontinue en XQ . il existe un voisinage VXo de xo, tel que f{VXo) C i'yo.l a fonction go / est dfinie sur le voisinage \'Io. derivable en X Q etsa drive est :

g f(g f)'(xo)

est diffrentiabled(g f)(xO) =

= g'en ddg

( / ( c o ) ) /'('o).o et l'on a :(/(co)) od/M-

(1 )

ou s'il n y a p a s d'ambigut sur XQ . d(g of) g o d / .Preuve D "aprs la dfinition de la drive :

(1 )

d')

f ( x ) - f(x0) = [ f ( x 0 ) +S l ( x ) ( x -g ( y ) - g(yo) = g ' ( y o ) + s 2 ( y ) ( y - yo)}

( 2 )( 3 )

avec lim Si(x) = 0 et lim s->(y) = 0.x-yro y-yoP o s o n s y f(x) p o u r x \'To d a n s ce c a s : de (2) et (3) on t i r e :9(f(x)) - g(f(x0)) = W (f(xo)) +52 (f(x))] [/'(.r0) + i(x)] (x - x0)

= W (f(xo)) f'(xo)} (x - xo) + sa{x)(x - xo)o s3(x) = g1 [f(xo)s 1(x) + 2(f(x)][f'(x0) + i ( i ) ] et lim s3(x) = 0.ca r lim ( J - ) = 0 et lim S2(f(x)) = 0.


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68 Differentiation3.3.7. Remarque

Si z g(y) est une fonction differentiate, notons *y = f(x) le chan-gement de variable o / est une fonction differentiate. La formule (1')peut s'crire sous la forme.

(2)En effet

d*g = d\g(f(x))] =g{f(x))'dx.*dg = *{g'{y)dy) = *g'{y) *dy

= *g'{y)d*y(dy tant la diffrentielle de l'application identique y > y). Donc

*d


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Thorme de Rolle. Thorme des accroissements finis 69[a, b]. D'aprs le thorme 2.8.3. / atteint en un point c de [a, b] sa bornesuprieure, avec ncessairement /(c) > 0.

Par suite c ?. une application. Si / est continue0sur / et derivable sur /. alors :

Va, 6 G / . 3 c e ] a , 6 [ . tel que : f(b)-f(a)=f'{c)(b-a)Preuve On construit une fonction continue sur / et derivable sur /.telle que -p(a) = (b) = 0. Soit y = T(x) l'quation de la droite Apassantpar les points (a.f(a)) et (b , f(b)) de la forme y = ^f(a). Considrons b-a (x - a) +

( x ) = f ( x ) - T ( x ) = f ( x ) - f(a) - f{b) f ( a ) ( x - a).b aD'aprs les hypothses, y est continue sur / et derivable sur /. et puisquey-(a) = y-(b) = 0, il existe c]a. b[ tel que :

0 = /(c) = /'(c) - 4b a L Interprtation gomtrique Si les hypothses du thorme 3.4.2. sont vrifies, alors pour tous points


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70 Differentiationa , bd e /, le g r a p h e d e la r e s t r i c t i o n d e / ]a,b[ a d m e t a u m o i n s u n et a n g e n t e p a r a l l l e l a d r o i t e j o i g n a n t l e s p o i n t s A = ( a . f ( a ) ) et B =( & , / ( & ) ) ( F i g . 3 . 4 . 2 ) .

x cF I G U R E : 3.4.2

Le thorme 3.4.2 peut tre gnralis deux fonctions de la faonsuivante:3.4.3. Thorme de Cauchy

Soit / un intervalle de E. /, g : / C 5- > 2 . Si / et g sont continues0sur / et drivables sur / alorsV a . 6 G /. 3 c e]a.b[, t e l q u e :f'(cMb)-g(a)] = g'(c)[f(b)-f(a)] (1)

Preuve si g(b) = g{a). d'aprs le thorme de Rolle, il existe c ]a. b [ . telque g'(c) 0 et (1) est alors vrifie. si g(b) ^ g(a). considrons la fonction

= f(x) - f(a) - - g ( a ( g { x ) - g(a)) . vrifie les hypothses du thorme de Rolle ; donc il existe c]a. b [ , telq u e :


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Applications 713.5. Applications3.5.1. Fonctions monotones

P r o p o s i t i o n Soit / un i n t e r v a l l e non v id e de ? . . / : / C ?. ) I?.0une fonction continue sur / et derivable sur / :0(i) si f'(x) = 0 sur /. alors / est constante sur /;0(ii) si f'(x) > 0 sur /. alors / est strictement croissante sur /:

0(iii) si f'{x) > 0 sur /. alors / est croissante sur /:0(iv) si f'(x) < 0 sur /. alors / est strictement dcroissante sur /:0(v) si f'(x) < 0 sur /. alors / est dcroissante sur /.La dmonstration, facile, est laisse au lecteur (on appliquera le tho-rme des accroissements finis).

3.5.2. Calculs d'approximationsLe thorme des accroissements finis peut tre appliqu pour calculerune valeur approximative d'une fonction en un point, et estimer Terreurainsi commise.Exemple. Calculer ^105.

On applique le thorme des accroissements finis la fonction f(x) =y/x entre les points a = 100 et b = 105 : on a :\/I5 - \/0 = -^= 1 0 0 < c < 1 0 5

de 10 < y/c < x/OS < V2 = 11 on tire :

et 10. 22 < vT5 < 10.25.On peut encore amliorer cet encadrement : en effet de \/lO5 < 10. 25on tire que y/c < 10. 25 donc

d'o 10.243 < \/5 < 10.250


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72 Differentiation3.5.3. Localisation des racines d'une fonction

Soient deux fonctions / et g telles que f'(x) = g(x). Alors entre deuxracines de / il existe au moins une racine de g ( thorme de Rolle) . Ainsisi g(x) = cos x et f(x) = s i n r . on dduit qu'entre deux racines de sin.ril existe au moins une racine de c o s i . M a i s de g'(x) = sin x = f(x),on conclut qu'entre deux racines de C O S , il existe au moins une racinede sinr. D'o les racines de cos x et sin,r alternent dans ?..3.5.4. Rgles de l'Hpital

Les deux thormes qui suivent sont trs utiles pour valuer certaines0 oclimites, et en particulier tudier les ind te rmina t ions de la forme - . 0 DCet 0 x x .3 . 5 . 4 . 1 . Thorme (rgle de l 'Hpital pour )

Soient deux fonctions f(x) et g(x) continues sur [a.b] et drivabless u r ]a,b[, te l les que g'(x) ^ 0 p o u r t o u t x ]a.b[, et f(a) = g(a) = 0.Dans ce cas :si lim / 'g1 (x)(*) = .4. alors lim /(r )fl(*) = .4

Preuve On suppose tout d 'abord D C < A < + o c .f'(xP o u r t o u t s > 0. il ex i s t e XQ . tel que -A < s, p o u r a < x 0. Il existe ,ro tel queSoit D(x, XQ) dfini par :

pour a < j < x0 (1).

=g{x) g(x) -g(x0)D{x,x0)

o D(x, XQ ) = 1 - g(jp)1 - et lim D(x,xo) = 1.D ' a p r s le t h o r m e de C a u c h y a p p l i q u [ j . r o ] , il ex i s t e un p o i n tc }x, xo[ tel que :

g'(c) g'(c)l 'galit (*) implique qu'il existe -) > 0 tel que pour tout x ]a.a + -)[.\D{x,xo)-l

- . 49(*)

< s. Il en rsulte que pour tout x ]a, a + -j[, on a

9'(c)f'(c)9'(c)

\D(x.xo)-l\ ^-j-i- > .9{*) ~ g'(c) 2 23.5.4.3. Remarques

1) Les thormes 3.5.4.1 et 3.5.4.2 sont encore valables si lim -- =.4 ainsi que dans les cas o = - x ou t = +x.

/(*")2) La condition lim -- = .4 est une condition suffisante pour quer-m g (X)lim = .4, mais ce n'est pas une condition ncessaire.

Exemple. Soit f(x) = x2sin- pour x ^ 0 et /(0) = 0. et g(x) = x.On a lim 44 = 0.r-vO g(x)alors que n'a pas de l imite quand x > 0.


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74 Differentiation3 .5 .4 .4 . Exemples

e e e1) lim = lim = lim =r- + :c x- r - f + cc ' X r-^ + cc 2d e m m e lim = +oc. n G 1 ".2) lim lim ^ = lim = 0.3) lim xn\o%x= lim 1 ^ r = lim = 0 = lim = 0.

3.5.5. Convexit des graphesLe plan 3P tant rapport un repre orthogonal (0.7. ]). on diraqu'un point \I\ d'ordonne yi est au dessus d'un point Mo d'ordonnei/o si /i > /o-Soit .4 un sous-ensemble de J". On dira qu'un point .1/ d'abscissex\i est au-dessus de A (resp. au-dessous de -4). si .4 contient des pointsd'abscisse x\ et si Mest au dessus (resp. au-dessous) de tout point de.4 d'abscisse x\[.

3.5.5.1. DfinitionUne fonction / dfinie sur [a.b] est dite convexe, si pour tout couplede points Mi. M? d'abscisses .ri. fo du graphe de /, tout point M dugraphe de / d'abscisse x G [ J . I ] , est au-dessous du segment [A/iJl/o].

a x, h b xFIGURE: 3.5.5.1

3.5.5.2. Remarqueil est facile de mon trer que a dfinition 3.5.5.1 est quivalente : fest convexe sur [a.b] si pour tout couple de nombres rels x\ et X2 de


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Applications 75[a . ], et tou t rel A tel que 0 < X < I. on a :

/ ( A n + (1 - X)x 2) < A / ( n ) + (1 - A)/(x 2). (1)( i j est dite ingalit de convexit.3.5.5.3. Dfinition

Une partie A de 3? est dite convexe si elle contient tout segment [PQ]dont elle contient les extrmits P etQ.3.5.5.4. Remarque

On pourra aisment dmontrer, titre d'exercice, qu'une fonction/ est convexe si et seulement si l'ensemble A des points de ^ situsau-dessus du graphe de / est convexe.Dans le cas o / est derivable, on a le rsultat suivant :

3.5.5.5. ThormeSoi t / est une f o n c t i o n c o n t i n u e sur [a.b] et d e r i v a b l e sur ]a,b[. Si

/ ' est c r o i s s a n t e sur ]a. b[. a l o r s / est c o n v e x e sur [a, 6 ] . R c i p r o q u e m e n tsi / est c o n v e x e sur [a, 6] et d e r i v a b l e sur }a,b[. a l o r s / ' est c r o i s s a n t esu r ]a, b[.Preuve S o i e n t x et y d e u x p o i n t s de [a.b], avec x < y et soi t z = ay +(1 a)x , avec 0 < a < 1. On v e u t m o n t r e r q u e f(z) < Q / ( / ) + ( 1 Q)J(X),o u , ce qui r e v i e n t au m m e , que :

(l-a)[f(z)-f(x)]


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76 Differentiation3.5.5.6. Remarque

On peut montrer que le graphe de toute fonction convexe, derivable,est au-dessus de chacune de ses tangentes.E n e f f e t l ' q u a t i o n d e l a t a n g e n t e a u p o i n t ( x o . f ( x o ) ) e s t : y =f'(xo)(x-xo) + f(xo).On veut montrer que

f(x) - f(x0) - {x - xo)f'(xo) >0.D'aprs le thorme des accroissements finis, on a:

f(x) f(xo) = (x xo)f'(c) o c est compris entre xoet x.L'ingalit dmontrer est alors :(x-xo)(f'(c)-f'(xo))>O.

Elle rsulte du fait que / ' est croissante.

3.6. Thorme des fonctions inversesSoit / : 5 C5. -> F- Atout point y /(S) on associeey = {x e S, f(x) = y}.

Si pour tout y f(S), ey = {x}, on dfinit alors une application

y i - > x tel que ey = {x}7? s'appelle la fonction inverse ou rciproque de/. Le problme des fonc-tions inverses est de trouver les conditions suffisantes sur /, pour assurerl'existence de < p et dire quand p est continue (resp. derivable) si / estcontinue (resp. derivable).En gnral ce problme n'admet pas de solution globale, comme lemontre l'exemple de la fonction/ : S. -> E

qui n'est pas inversible sur E tout entier mais seulement sur E+ ou ?._.3.6.1. Thorme

Soit / une fonction numrique, de domaine de dfinition Dj C M.vrifiant dans un intervalle / (/ CDj) les conditions suivantes :1) /est continue sur I


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Thorme des fonctions inverses 7 72) / est str ictement monotone sur / .Il existe, alors, une fonction unique p telle que :Dtp = / ( / ) = J est un intervalle,f{p(y)) = y pour y J.

p est continue et str ictement monotone (dans le mme sens de monotonieque /) sur J.

X\ eton a f(x2) > f(xi). ou bien a?2 < Xi et on a /(r2) < f(xi)- En posantri = {y)


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7 8 Differentiationd'o

\y - yol < 7 => b(y) - (yo)! < < i-iv) Onsuppose que f'(xo) existe en o / et f'(xo) ^ 0. Soity0 = /(j0) oro = 9(yo), ncherche la limite, sielle existe, du

rapport -^-^ ~ - quand k - 0. Si kest assez petit, y0 +frestu n e v a l e u r p r i s e p a r /. O n p o s e h= { y 0 + k) * p ( y o ) - A l o r s x 0 = { y )e t < p ( y o + k) - x o + h = > f(xo + h) =yo + k. D ' o k= f{xo + h ) - f ( x 0 ) .

s i h > 0 on ak > 0 (/est continue en Q )s i /e > 0 on ah> 0 ( est continue en j/o)

p a r suite

0 )3.6.2. Exemple

Soit f(x) x3 2x + 1. La restriction de / l'intervalle \f\, admet unefonction rciproque Calculons $'(0) et


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Thorme des fonctions inverses 79(3) tg (Arctg .r) = x: - - < Arctg x < - .

De plus. Arcsin. Arceos sont drivables sur ] 1.1[ et Arctg sur 3-..1 - . T2

1(4) (Arcsin x)'=-_==. V I G ] - 1 . 1 [ .v(5) (Arceosx)' = -

(6) (Arctgx)' - 7. Vx e}- oc.+x[.D'o les courbes reprsentatives:

-7C/2 0

V =sin A

FIGURE: 3.6.3.1A

71/2 -Y

= Arc sin x

-1

V = COS X

F I G U R E : 3 . 6 . 3 . 1 C F I G U R E : 3.6.3.ID


82/244

80 Differentiation

y = Arc tgx

F I G U R E : 3 . 6 . 3 . 1 E F I G U R E : 3.6.3.IFDmonstration Faisons la dmonstration pour la fonction sinus. Lafonction sinus est continue sur [%. T,] et strictement croissante sur[~. ~]sa drive, cosx, tant strictement positive sur ] f. ^[ (Proposition3.5.1). D'aprs le thorme 3.6.1, elle admet une fonction rciproquenote Arcsin. dfinie, continue et strictement croissante sur l'intervallesin([-f, \]) = [-1,1] et vrifiant :

sin (Arcsin x) = x pour x 6 [1.1],Arcsin (sin y) = y

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