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Submitted on 26 Jun 2012

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Analyzing individual-based models of microbial systemsNabil Mabrouk

To cite this version:Nabil Mabrouk. Analyzing individual-based models of microbial systems. Bio-Informatique, Biolo-gie Systémique [q-bio.QM]. Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2010. Français. �NNT :2010CLF22008�. �tel-00712153�

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♣♦s✐t✐♦♥ (x, y)✱ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♠❛ss (m) ❛♥❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡ (r)✭t❛❜❧❡

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(s(i, j)) ❛♥❞ ❛ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡ (rs(i, j))✳ ❚❤❡ ❧❛t❡r ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ s✉♠ ♦❢

✉♣t❛❦❡ r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛t❝❤ ✭t❛❜❧❡ ✷✳✶✮✳

✷✳✸✳✶✳✸ Pr♦❝❡ss ❖✈❡r✈✐❡✇ ❛♥❞ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ✈✐rt✉❛❧ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ✐♥✐t✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ s✐♥❣❧❡ ❝❡❧❧ ✐♥ t❤❡

❝❡♥t❡r ♦❢ sq✉❛r❡❞ ❞♦♠❛✐♥✳ ❲❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❤♦❧❞s ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ st♦❝❦ ♦❢ ❛

✷✳✸✳ ▼♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✶✺

❱❛r✐❛❜❧❡ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥

❇❛❝t❡r✐✉♠ st❛t❡ x✱ y ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢

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❚❛❜❧❡ ✷✳✶✿ ❙t❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧

P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❯♥✐t ❱❛❧✉❡

s0 ■♥✐t✐❛❧ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ kg/m2 1.0

N0 ■♥✐t✐❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s 1

m0 ■♥✐t✐❛❧ ♠❛ss ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ kg 10−9

❚❛❜❧❡ ✷✳✷✿ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ✐♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥

❞✐✛✉s✐✈❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥s✉♠❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ■♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧✱ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❜❛❝t❡r✐❛❧

❝❡❧❧ ❣r♦✇s ❜② ✉♣t❛❦✐♥❣ s✉❜str❛t❡ ❢r♦♠ ✐ts ❧♦❝❛❧ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❛t ❛ r❛t❡ t❤❛t ❞❡♣❡♥❞s

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t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❜❡❝♦♠❡s ❤✐❣❤❡r t❤❛♥ ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡✱ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❞✐✈✐❞❡s ✐♥t♦ t✇♦

✐❞❡♥t✐❝❛❧ ❛❞❥❛❝❡♥t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳

✷✳✸✳✷ ❉❡s✐❣♥ ❈♦♥❝❡♣ts

• ❊♠❡r❣❡♥❝❡✿ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❡♠❡r❣❡s ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ✐♥t❡r✲

❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛♥❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛♥❞ t❤❡✐r ❡♥✈✐r♦♥✲

♠❡♥t✳

• ■♥t❡r❛❝t✐♦♥✿ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥t❡r❛❝t ✇✐t❤ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ❜② ✉♣✲t❛❦✐♥❣ s✉❜✲

str❛t❡✳ ❚❤❡② ❝♦♠♣❡t❡ ✇✐t❤ ❡❛❝❤ ♦t❤❡rs ❢♦r s✉❜str❛t❡ ❛♥❞ ❢♦r s♣❛❝❡✳

• ❙t♦❝❤❛st✐❝✐t②✿ t❤❡ ♦♥❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss t❤❛t ✇❡ ✐♥❝❧✉❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s

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✷✳✸✳✸ ❉❡t❛✐❧s

✷✳✸✳✸✳✶ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥

❲❡ ✐♥✐t✐❛❧✐③❡ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ ❛ s✐♥❣❧❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ N0 = 1 ❧♦❝❛t❡❞ ❛t t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡

❞♦♠❛✐♥ x0 = L/2, y0 = L/2 ❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ ♠❛ss m0✳ ■♥✐t✐❛❧❧②✱ t❤❡ s✉❜str❛t❡

✐s ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦✈❡r t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✐s s0❢♦r ❛❧❧ s♣❛t✐❛❧ ♣❛t❝❤❡s (i, j)✳

✶✻

❈❤❛♣t❡r ✷✳ ▼✐❝r♦❜✐❛❧ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤✿ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❛♥

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

✷✳✸✳✸✳✷ ❙✉❜♠♦❞❡❧s

• ❇❛❝t❡r✐❛ ❣r♦✇t❤ ♠♦❞❡❧✿ ❣r♦✇t❤ ✐s ♠♦❞❡❧❡❞ ❜② ❛❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉✲

❛❧s ♠❛ss t♦ ✐♥❝r❡❛s❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② t♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♥✉tr✐❡♥t ✉♣t❛❦❡ r❛t❡✳ ❆s

t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❤❛s t♦ ❜❡ t❛❦❡♥ ✉♣ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❝❡❧❧✬s s✉r❢❛❝❡✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✲

✇❛r❞ t♦ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✉♣t❛❦❡ ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ s✉r❢❛❝❡ ❛r❡❛ ❬❇✉tt♦♥ ✶✾✾✸❪

❬❑r❡❢t ✶✾✾✽❪✳ ❚❤❡ ❝❤❛♥❣❡s ♦❢ s✉r❢❛❝❡✲t♦✲✈♦❧✉♠❡ r❛t✐♦ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❝❡❧❧ ❝②❝❧❡

✇♦✉❧❞ r❡s✉❧t ✐♥ ♥♦♥✲❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧✬s ❣r♦✇t❤ ❝✉r✈❡ ✐❢ ✉♣t❛❦❡ ❧✐♠✐ts

❣r♦✇t❤ ❬❑r❡❢t ✶✾✾✽❪✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛❢t❡r ❛ ❧♦♥❣ ❝♦♥tr♦✈❡rs②✱ ✐t ✐s ♥♦✇ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❛s✲

s✉♠❡❞ t❤❛t t❤❡ ❣r♦✇t❤ ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ❝❡❧❧ ❞♦❡s ♥♦t ❞❡✈✐❛t❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t❧② ❢r♦♠ t❤❡

❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❣r♦✇t❤ ❧❛✇ ❬❑♦❝❤ ✶✾✾✸❪✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧

✉♣t❛❦❡s s✉❜str❛t❡ ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧❧② t♦ ✐ts ♠❛ss ❛♥❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ▼♦♥♦❞ ❣r♦✇t❤

❦✐♥❡t✐❝✳ ❚❤❡ ♥❡t ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧ ✐s t❤❡♥ ❣✐✈❡♥ ❜②✿

dm

dt= mµmax

s

s+ ks✭✷✳✷✮

✇❤❡r❡ m ✐s t❤❡ ♠❛s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✱ s ✐s t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡

s♣❛t✐❛❧ ♣❛t❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❝❡❧❧ ♣♦s✐t✐♦♥✱ µmax ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❣r♦✇t❤

r❛t❡✱ ks ✐s t❤❡ ❛✣♥✐t② ❢❛❝t♦r ♦r t❤❡ ❤❛❧❢✲s❛t✉r❛t✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t ❛s ks ❝♦rr❡s♣♦♥❞s

t♦ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐s

µmax/2✳

• ❇❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥✿ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ✇❛② t♦ ♠♦❞❡❧ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ✇✐t❤

❛♥② ♣r❡t❡♥s❡ t♦ r❡❛❧✐t② ✐s t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧ ❞✐✈✐❞❡ ♦♥❝❡ ✐ts ♠❛ss

r❡❛❝❤❡s ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ✈❛❧✉❡ ✭❞❡♥♦t❡❞ mdc✮✳ ❚❤❡ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧ ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ t✇♦

❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❡❛❝❤ ❤❛✈✐♥❣ ❛ ♠❛ss ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ♠❛ss ♦❢ t❤❡

♠♦t❤❡r ❝❡❧❧✳ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ✐s ♣❧❛❝❡❞ ❛t t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t❤❡r

❝❡❧❧ ✇❤✐❧❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡ ✐s ♣❧❛❝❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ✐♥ ❛♥ ❛❞❥❛❝❡♥t ♣♦s✐t✐♦♥✳

• ❙❤♦✈✐♥❣ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧✿ ❛❞❥❛❝❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ♠❛② ♦✈❡r❧❛♣ ✇❤❡♥ t❤❡✐r s✐③❡

✐♥❝r❡❛s❡ ♦r ❛❢t❡r ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥t✳ ❚❤❡ ♦✈❡r❧❛♣ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐s r❡❧❛①❡❞ ✉s✐♥❣

❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❤❛t ♠✐♠✐❝s ❛ s❤♦✈✐♥❣ ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❛❞❛♣t❡❞ ❢r♦♠ ❬❑r❡❢t ✶✾✾✽❪✳ ■❢

❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✇✐t❤ r❛❞✐✉s a ✐s ♦✈❡r❧❛♣♣❡❞ ✇✐t❤ n ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝❡❧❧s✱ ✐t ✐s ❞✐s♣❧❛❝❡❞

✇✐t❤ ❛ s❤♦✈✐♥❣ ✈❡❝t♦r d ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛❞❛♣t❡❞ ❢r♦♠

❬❑r❡❢t ✷✵✵✶❪✿

d =∑

k=1:n

a+ ak − dk2

uk ✭✷✳✸✮

ak ✐s t❤❡ r❛❞✐✉s ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r ❝❡❧❧ k✱ dk ✐s t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡

❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ t♦ t❤❡ ❝❡♥t❡r t❤❡ kth ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝❡❧❧ ❛♥❞ uk ✐s ❛

✈❡❝t♦r ❞✐r❡❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦r ❜❛❝t❡r✐✉♠ k t♦✇❛r❞s t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢

t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❛ ✉♥✐t❛r② ♥♦r♠✳

• ▲♦❝❛❧ r❡❛❝t✐♦♥ r❛t❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❛ ♣❛t❝❤

❝♦♥s✉♠❡s ❛♥ ❛♠♦✉♥t ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛t❝❤✳ ■❢ ❛ ♣❛t❝❤

✷✳✹✳ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✶✼

❝♦♥t❛✐♥s ♠♦r❡ t❤❛♥ ♦♥❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✱ t❤❡♥ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ♣❛t❝❤ r❡❛❝t✐♦♥ r❛t❡

❜② s✉♠♠✐♥❣ t❤❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛t❝❤✿

rs(i, j) =1

∆A

Nk∑

k=1

(

dm

dt

)

k

✭✷✳✹✮

✇❤❡r❡ ∆A ✐s t❤❡ ❛r❡❛ ♦❢ t❤❡ ♣❛t❝❤✱ Nk t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✇✐t❤✐♥ t❤❡

♣❛t❝❤

• ❙✉❜str❛t❡ ♠❛ss ❜❛❧❛♥❝❡✿ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ s✉❜str❛t❡ ✐s ♣r♦✈✐❞❡❞ t♦ t❤❡

❞♦♠❛✐♥ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❜② ✜①✐♥❣ ❛ ❝♦♥st❛♥t ❧❡✈❡❧ ♦❢ s✉❜str❛t❡ ❛t t❤❡

❜♦✉♥❞❛r②✳ ■♥s✐❞❡ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✱ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ s✉❜str❛t❡ ✐s tr❛♥s♣♦rt❡❞

❜② ❞✐✛✉s✐♦♥✳ ❚❤❡ s✉❜str❛t❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜②

s♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✿

∂s

∂t= Ds∇

2s− rs ✭✷✳✺✮

✇❤❡r❡ Ds ✐s t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ❛♥❞ rs t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ r❛t❡✳

❊q✉❛t✐♦♥ ❡q✿s✉❜str❛t❡ ✐s ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s

s(x, t, t = 0) = s0 ❛♥❞ ✐♠♣♦s❡❞ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ sbound ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞✲

❛r②✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✺ ❝❛♥♥♦t ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧② ❜✉t r❛t❤❡r ✐s ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ✇✐t❤

r❡s♣❡❝t t♦ t✐♠❡ ❛♥❞ s♣❛❝❡ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡t ♦❢ ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s✿

st+dt(i, j) = st(i, j) +dtD

∆l2[st(i− 1, j) + st(i+ 1, j) + ✭✷✳✻✮

+st(i, j − 1) + st(i, j + 1)− 4st(i, j)]− dtr(i, j)

✇❤❡r❡ i, j ❛r❡ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛❧ ♣❛t❝❤❡s✱ st(i, j) ❛♥❞ st+dt(i, j)

❛r❡ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛t❝❤ (i, j) ❛t t✐♠❡ t ❛♥❞ t + dt

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ❣✐✈❡s t❤❡ ♥❡✇ s♣❛t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ s✉❜str❛t❡ ❛s ❛

❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡s ✐♥

t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s t✐♠❡✲st❡♣✳

✷✳✸✳✹ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❯♥❧❡ss ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♣❡❝✐✜❡❞ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ r❡♣♦rt❡❞

✐♥ t❛❜❧❡ ✷✳✸

✷✳✹ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ s✐♠✉❧❛t✐♦♥

❲❡ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ❝♦❧♦♥② s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r t✇♦ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤ r❡❣✐♠❡s✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡

✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❛♥❞ t❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡s✳ ❚❤❡ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡

✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ ❣r♦✇t❤ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ✐s ❧✐♠✐t❡❞ ❜② t❤❡✐r ❣r♦✇t❤

✶✽

❈❤❛♣t❡r ✷✳ ▼✐❝r♦❜✐❛❧ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤✿ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❛♥

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❯♥✐t ❱❛❧✉❡

❙♣❛t✐❛❧ ❞♦♠❛✐♥ ✲ µm ① µm 201 ① 201

∆x ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ µm 5

∆t ❚✐♠❡ st❡♣ s variable

µmax ▼❛①✐♠✉♠ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ s−1 10−4

ks ❆✣♥✐t② ❢❛❝t♦r kg/m2 0.01

Ds ❙✉❜str❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t m2/s variable

Sbound ■♠♣♦s❡❞ ❜♦✉♥❞❛r② s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ kg/m2 1.0

md ▼❛ss ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛t ❞✐✈✐s♦♥ kg 2.0 10−9

ρ ❛r❡❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ kg/m2 290.0

❚❛❜❧❡ ✷✳✸✿ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❚❤❡ s✉❜str❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✐s

✈❛r✐❡❞ t♦ s✇✐t❝❤ ❢r♦♠ t❤❡ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❛♥❞ t❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❝❛s❡s✳ ❚❤❡

t✐♠❡✲st❡♣ ✐s ❛❞❛♣t❡❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② t♦ ❡♥s✉r❡ t❤❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❊✉❧❡r

t✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ s❝❤❡♠❡ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ♠❛ss ❜❛❧❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥

♣❛r❛♠❡t❡rs r❛t❤❡r t❤❛♥ ❜② t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t②✳ ■♥ t❤✐s r❡❣✐♠❡✱ t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ✐s

tr❛♥s♣♦rt❡❞ ❛t ❛ s✉✣❝✐❡♥t r❛t❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ t♦ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥s

♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✳ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ t❤✐s r❡❣✐♠❡ ✇❡ s❡t t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥ r❛t❡ t♦ ❛

r❡❧❛t✐✈❡❧② ❤✐❣❤ ✈❛❧✉❡ Ds = 10−10m2/s✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐♥ t❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡✱

t❤❡ ❣r♦✇t❤ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐s ❧✐♠✐t❡❞ ❜② t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t②✳ ■♥ t❤✐s r❡❣✐♠❡✱ t❤❡

❜❛❝t❡r✐❛ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❧♦✇ ♥✉tr✐❡♥t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡✐r ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ✐s ♠✉❝❤ ❧♦✇❡r

t❤❛♥ t❤❡✐r ♠❛①✐♠✉♠ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ✭❣✐✈❡♥ ❜② µmax✮✳ ❚❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡ ❝❛♥

❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s❡tt✐♥❣ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ r❛t❡ t♦ ❛ ❧♦✇ ✈❛❧✉❡ ✭Ds = 10−12m2/s ✐♥

♦✉r ❝❛s❡✮✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✷ ❛♥❞ ✜❣✉r❡ ✷✳✸ s❤♦✇ t❤❡ t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ♦❢

t❤❡ ❝♦❧♦♥② s✐♠✉❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❢♦r ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❛♥ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡s

r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡ t❤❡ ❢♦r♠❡❞ ❝♦❧♦♥② ❤❛s ❛

r❡❣✉❧❛r r♦✉♥❞❡❞ s❤❛♣❡ ✇❤✐❧❡ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡

❝♦❧♦♥② ✐s ✐rr❡❣✉❧❛r ❛♥❞ s❤♦✇s t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✬✜♥❣❡rs✬✳ ❈❡❧❧s t❤❛t ❛r❡ ❝❧♦s❡r t♦ t❤❡

❜♦✉♥❞❛r② t❤❛♥ t❤❡✐r ♥❡✐❣❤❜♦rs ❡✐t❤❡r ❞✉❡ t♦ st♦❝❤❛st✐❝ ♣♦s✐t✐♦♥✐♥❣ ♦❢ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s

❛❢t❡r ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥t ♦r ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s❤♦✈✐♥❣ ❡❛❝❤ ♦t❤❡rs ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠♣❡t✐t✐✈❡

❛❞✈❛♥t❛❣❡ ❛s t❤❡② ❛r❡ ❧✐❦❡❧② t♦ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❛ ❤✐❣❤❡r s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ t❤❛♥

t❤❡✐r ♥❡✐❣❤❜♦rs ❛♥❞ t❤✉s ❣r♦✇ ❛t ❛ ❤✐❣❤❡r r❛t❡✳ ■t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡

s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ✐s ♥♦t ❝♦❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❜✉t ✐s ❛♥ ❡♠❡r❣❡♥t

♣♦♣✉❧❛t✐♦♥✲❧❡✈❡❧ ♣r♦♣❡rt②✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥s ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ✇❤❡t❤❡r

t❤❡s❡ ♣❛tt❡r♥s ❝❛♥ ❜❡ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ♣r♦♣♦s❡❞ ❜②

✐♥ ❬❊❜❡r❧ ✷✵✵✶❪✳

✷✳✺ ❆❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧

❊❜❡r❧ ❡t ❛❧✳ ❬❊❜❡r❧ ✷✵✵✶❪ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♠♦❞❡❧ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡

❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠s✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ r❡♣r❡s❡♥ts

✷✳✺✳ ❆❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ✶✾

✭❛✮ ■❇▼ time = 0h ✭❜✮ ■❇▼ time = 10h

✭❝✮ ■❇▼ time = 20h

❋✐❣✉r❡ ✷✳✷✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ♣❛tt❡r♥ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ■❇▼ ✐♥ t❤❡

❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞ r❡❣✐♠❡✬✳ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✉❝t❡❞ ✇✐t❤ Ds = 10−10m2/s

❛♥❞ dt = 0.05s✳ ❚❤❡ ❣r❛② s❝❛❧❡ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✭❉❛r❦ ❣r❛②✿

s = 1.0kg/m2✱ ✇❤✐t❡✿ s = 0✮

✷✵

❈❤❛♣t❡r ✷✳ ▼✐❝r♦❜✐❛❧ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤✿ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❛♥

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

✭❛✮ ■❇▼ time = 0h ✭❜✮ ■❇▼ time = 10h

✭❝✮ ■❇▼ time = 20h

❋✐❣✉r❡ ✷✳✸✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ♣❛tt❡r♥ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ■❇▼ ✐♥ t❤❡

❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞ r❡❣✐♠❡✬✳ ❙✐♠✉❧❛t✐♦♥ ❝♦♥❞✉❝t❡❞ ✇✐t❤ Ds = 10−12m2/s

❛♥❞ dt = 0.5s✳ ❚❤❡ ❣r❛② s❝❛❧❡ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥✭❉❛r❦ ❣r❛②✿

s = 1.0kg/m2✱ ✇❤✐t❡✿ s = 0✮

✷✳✺✳ ❆❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ ✷✶

t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛♥❞ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ✇✐t❤ t✇♦ ❞❡♥s✐t② ✜❡❧❞s ❞❡♥♦t❡❞ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② s(x, y)

❛♥❞ cb(x, y)✳

❈♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ■❇▼ t❤❛t ✇❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛❜♦✈❡✱ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

t❤❛t ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♥♦✲

t✐♦♥ ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠♦❞❡❧ ✐♠♣❧✐❡s t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈✐❞❡

❛ ♠❛❝r♦s❝❛❧❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ■♥ ❛ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✐s ❜✐♦♠❛ss ❞❡♥s✐t② ✜❡❧❞ ✇❤✐❝❤ ❞❡t❡r♠✐♥❡s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞

♠❛ss ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ ❛♥② ❧♦❝❛t✐♦♥ x, y ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳

❚❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ❢♦r t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❤❛s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠✿

∂cb∂t

= ∇2(Dbcb) + rbcb ✭✷✳✼✮

❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜✐♦♠❛ss ❛♥❞

t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❢♦r t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❜✐♦♠❛ss✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ❡①♣r❡ss❡s ❤♦✇ t❤❡ ♠❛ss

♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐s r❡❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦✈❡r ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ♣❛t❝❤❡s✳ ❚❤✐s t❡r♠ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ r♦✉❣❤

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛t t❤❡ ♠❛❝r♦✲❧❡✈❡❧ ♦❢ t❤❡ s❤♦✈✐♥❣ ♣r♦❝❡ss ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤❡ ■❇▼✳ ❚❤❡

❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ t❛❦❡s ♣❧❛❝❡ ♦♥❧②

✐❢ t❤❡ ❜✐♦♠❛ss ❞❡♥s✐t② ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❛ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ✇❤✐❝❤ ❡st❛❜❧✐s❤❡s ❛♥

✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❬❊❜❡r❧ ✷✵✵✶❪✳ ❊❧❜❡r❧ ❡t ❛❧✳ ❬❊❜❡r❧ ✷✵✵✶❪ ♣r♦♣♦s❡❞ ❛ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t

❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r Db t❤❛t s❛t✐s✜❡s t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥

t❛❦❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❣❡♥❡r✐❝ ❢♦r♠✿

Db = D0

cαb(Cbmax − cb)β

✭✷✳✽✮

✇✐t❤ α, β > 1 ❛♥❞ D0 t❤r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ Cbmax t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢

❜✐♦♠❛ss✳ ❚❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡ ❜✐♦♠❛ss ❞✐✛✉s✐✈✐t②

✈❛♥✐s❤❡s ❛s cb ❜❡❝♦♠❡s s♠❛❧❧ ❜✉t ✐♥❝r❡❛s❡s ❛s cb ❣r♦✇s ❞✉❡ t♦ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡✳

❊q✉❛t✐♦♥ ✷✳✼ ✐s ❝♦✉♣❧❡❞ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡✿

∂s

∂t= Ds∇

2s− rb ✭✷✳✾✮

✇❤❡r❡ s ✐s t❤❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ♦❢ s✉❜str❛t❡✱ Ds t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡

❛♥❞ rb t❤❡ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡✳ ❆ss✉♠✐♥❣ ❛ ▼♦♥♦❞ ❦✐♥❡t✐❝ ❛s ✐♥ t❤❡ ■❇▼✱ t❤❡

s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

rb = µmaxs

s+ kscb ✭✷✳✶✵✮

✇❤❡r❡ µmax ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ks t❤❡ ❤❛❧❢✲

s❛t✉r❛t✐♦♥ ▼♦♥♦❞ ❝♦♥st❛♥t✳ ❆❞❞✐t✐♦♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ s❛♠❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛♥❞ ✐♥✐t✐❛❧

❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❛s t❤♦s❡ t❤❛t ✇❡ ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ✭✜①❡❞ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ♦❢

s✉❜str❛t❡ ❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❛♥❞ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥✐t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉❜str❛t❡✮✳ ❋♦r t❤❡

❜✐♦♠❛ss ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ♣❡r✐♦❞✐❝ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥❞ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧

✷✷

❈❤❛♣t❡r ✷✳ ▼✐❝r♦❜✐❛❧ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤✿ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ❛♥

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❯♥✐t ❱❛❧✉❡

❙♣❛t✐❛❧ ❞♦♠❛✐♥ µm ① µm 201 ① 201

∆l µm 5

∆t s ✈❛r✐❛❜❧❡

µmax ▼❛①✐♠✉♠ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s−1 10−4

ks ❆✣♥✐t② ❢❛❝t♦r kg/m2 0.01

Ds ❙✉❜str❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t m2/s ✈❛r✐❛❜❧❡

Cbmax ▼❛①✐♠✉♠ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜✐♦♠❛ss m2/s 10−12

α ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss 4.0

β ❞✐♠❡♥s✐♦♥❧❡ss 4.0

D0 m2/s ✈❛r✐❛❜❧❡

❚❛❜❧❡ ✷✳✹✿ ❉✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

s❡❡❞ ♦❢ ❜✐♦♠❛ss ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ♣❛t❝❤ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❛r❡ r❡♣♦rt❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✷✳✹✳

✷✳✻ ❈♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥

♠♦❞❡❧

❲❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ♦❢ ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s ❢♦r t❤❡ t✇♦ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤

r❡❣✐♠❡s✳ ❚❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ♣r♦♣♦s❡❞ ✐♥ ❬❊❜❡r❧ ✷✵✵✶❪ ✐s ♥♦t ❞❡r✐✈❡❞ r✐❣✲

♦r♦✉s❧② ❢r♦♠ t❤❡ ♠✐❝r♦s❝❛❧❡ ❞②♥❛♠✐❝ t❤❛t ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ■❇▼✳ ■t ✉s❡s ❛♥

❛❞✲❤♦❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ ♠✐❝r♦s❝❛❧❡ ♣r♦❝❡ss❡s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t

❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜✐♦♠❛ss ❞✐✛✉s✐♦♥✳ ❚❤✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ r❡q✉✐r❡s ❢♦✉r ♣❛r❛♠❡t❡rs α✱ β✱

D0 ❛♥❞ Cbmax ❛♥❞ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐✣❝✉❧t✐❡s t❤❛t ❛r✐s❡s ✇❤❡♥ ✇❡ ❛tt❡♠♣t t♦ ❝♦♠♣❛r❡

t❤❡ ❉❘▼ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ✐s t♦ ❛ss✐❣♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ✈❛❧✉❡s t♦ t❤❡s❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❚❤❡

♣❛r❛♠❡t❡r Cbmax ✭t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜✐♦♠❛ss✮ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ t❤❡

■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❜② t❛❦✐♥❣ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♠❡❛s✉r❡❞ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜✐♦♠❛ss✳ ❋♦r

t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs α ❛♥❞ β ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ✈❛❧✉❡s s✉❣❣❡st❡❞ ❜② ❊❜❡r❧ ❡t ❛❧✳ ❬❊❜❡r❧ ✷✵✵✶❪✳

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r D0✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❜✐♦♠❛ss ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ✐s

❝❛❧✐❜r❛t❡❞ ✭♠❛♥✉❛❧❧②✮ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❜❡st ✜t ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② ❜♦t❤

♠♦❞❡❧s✳ ❆ ❤✐❣❤ ✈❛❧✉❡ ♦❢ D0 ②✐❡❧❞s ❛ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥② t❤❛t ❡①♣❛♥❞s ❢❛st❡r t❤❛♥ ✐♥

t❤❡ ■❇▼✳

❋✐❣✉r❡ ✷✳✹ ❝♦♠♣❛r❡s t❤❡ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡

❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡✳ ❇♦t❤ ♠♦❞❡❧s ②✐❡❧❞

r♦✉♥❞❡❞ s❤❛♣❡❞ ❝♦❧♦♥✐❡s t❤❛t ❡①♣❛♥❞ ❡q✉❛❧❧② ✐♥ ❛❧❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥

t❤❡ ❝♦❧♦♥② s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛r❡ ❞✉❡ t♦ t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ♣♦s✐t✐♦♥✐♥❣ t❤❡ ♥❡✇❜♦r♥

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ s❝❛❧❡ ♦❢ t❤❡s❡ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐s r❡❧❛t✐✈❡❧② s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦

t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥②✱ ❛♥❞ ❛ s♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ❡①tr❛❝t t❤❡

✷✳✼✳ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✷✸

❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❧✐♠✐t ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧✳

❲❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬

r❡❣✐♠❡✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❤❡t❡r♦❣❡♥❡✐t✐❡s ✐♥ t❤❡

s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② ❣r♦✇ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t r❛t❡ ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡✐r

❧♦❝❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥②✳ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t t❤❡ ❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② t❡♥❞ t♦ ❤❛✈❡

❤✐❣❤ ❣r♦✇t❤ r❛t❡s ✐♥ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡

❝♦❧♦♥②✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✺ ❝♦♠♣❛r❡s s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥② ♣❛tt❡r♥s✳ ❚❤❡ ■❇▼

♣❛tt❡r♥ ✐s ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r ✷✵ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s r✉♥ ✇✐t❤ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞

❞✐✛❡r❡♥t s❡❡❞s ❢♦r t❤❡ r❛♥❞♦♠ ♥✉♠❜❡r ❣❡♥❡r❛t♦r✳ ■♥ t❤❡ ❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❡①♣❛♥❞s ❢♦r♠✐♥❣ ✜♥❣❡rs t❤❛t ❛r❡ ❞✐r❡❝t❡❞ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❝❧♦s❡st ❞✐st❛♥❝❡s t♦

t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✇❤❡r❡ t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❤✐❣❤❡st✳ ❲❤✐❧❡

✬✜♥❣❡rs✬ ❛r❡ ❛❧s♦ ❢♦r♠❡❞ ✐♥ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s✱ t❤❡② ❛r❡ ♥♦t ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ t❤❡

❛✈❡r❛❣❡ ♣❛tt❡r♥ ❛♥❞ ❛r❡ ♥♦t ❧✐❦❡❧② t♦ ❜❡ ❞✐r❡❝t❡❞ t♦✇❛r❞s ❛♥② ♣r❡❢❡r❡♥t✐❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥✳

❚❤❡② s❡❡♠s t♦ ♦❝❝✉r ❛t r❛♥❞♦♠ ❛♥❞ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♣❛tt❡r♥ s❤♦✇s ❛ r♦✉♥❞✲s❤❛♣❡❞

❝♦❧♦♥②✳ ❚❤❡ ❝❧♦s❡st ❞✐st❛♥❝❡ t♦ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② t❤❡ ♦♥❡ ✇✐t❤ t❤❡

st❡❡♣❡st ♥✉tr✐❡♥t ❣r❛❞✐❡♥t ❛s t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐s ❤❡t❡r♦❣❡♥❡♦✉s ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡

❛✛❡❝t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✐rr❡❣✉❧❛r s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥②✳

❲❡ ❛ss❡ss❡❞ t❤❡ s❡♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ❉❘▼ ♣❛tt❡r♥ t♦ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r

D0✳ ❋✐❣✉r❡ ✷✳✻ s❤♦✇s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♣❛tt❡r♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛t ❛♥ ✐♥t❡r♠❡❞✐❛t❡

t✐♠❡ t = 71h ❛♥❞ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ❉❘▼ ❢♦r t❤r❡❡ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r

D0✳ ❚❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡s ♦❢ D0 ✐♥❝r❡❛s❡s t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❛♥❞ r❡❞✉❝❡❞ ✐t ❛r❡❛❧ ❜✐♦♠❛ss

❞❡♥s✐t② ✭✈❡rt✐❝❛❧ ❛①✐s✮✳ ❚❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❤♦✇❡✈❡r st✐❧❧ ❤❛✈❡ t❤❡ st❛r✲❧✐❦❡ s❤❛♣❡

✇✐t❤ ✜♥❣❡rs ❞✐r❡❝t❡❞ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❝❧♦s❡st ❜♦✉♥❞❛r②✳

✷✳✼ ❉✐s❝✉ss✐♦♥

■❇▼ ❛♥❞ ❉❘▼ ❛r❡ t✇♦ ❝♦♠♠♦♥❧② ✉s❡❞ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❢♦r s✐♠✉❧❛t✐♥❣ ♠✐❝r♦✲

❜✐❛❧ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t❤❡s❡ t✇♦ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s

❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❛ s✐♠♣❧❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ ♠♦♥♦✲s♣❡❝✐❡s ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇✐♥❣ ♦♥ ❛ ❞✐✛✉s✐✈❡ s✉❜✲

str❛t❡✳ ❇♦t❤ ♠♦❞❡❧s ②✐❡❧❞ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡

❜✉t s❤♦✇ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡✳ ❲❤✐❧❡ ✱ ✐♥t

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❝♦♥❞✉❝t❡❞ ✇✐t❤ D0 = 10−14 m2/s

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❋✐❣✉r❡ ✷✳✺✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ♣❛tt❡r♥ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ ❜② t❤❡

❞✐✛✉s✐♦♥✲r❡❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞ r❡❣✐♠❡✬✳ ❉❘▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥

❝♦♥❞✉❝t❡❞ ✇✐t❤ D0 = 10−16 m2/s

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✭❛✮ ■❇▼ time = 71h ✭❜✮ ❉❘ time = 71h✱ D0 = 10−14

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−16

❋✐❣✉r❡ ✷✳✻✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♣❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ✭❛✮ ❛♥❞ t❤❡

♣❛tt❡r♥ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ ❉❘▼ ✭❜✮✲✭❞✮ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ D0

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❜♦✉♥❞❛r②✳ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❉❘▼s ✐s t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧

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❛♥❞ ❞❡❛t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❬❉✐❡❝❦♠❛♥♥ ✶✾✾✾❪✳ ❚❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✐t❡r❛t❡ ♦✈❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

st❡♣s✿

✶✳ ❙❡t t❤❡ t✐♠❡ t♦ t = 0

✷✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡❛t❤ r❛t❡s bi(p) ❛♥❞ di ♦❢ ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i = 1..n

✇❤❡r❡ p ✐s t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❛t t✐♠❡ t

✸✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ s✉♠s rb =∑n

i=1bi(p) ❛♥❞ rd =

∑ni=1

di✳ ❚❤❡ r❛t❡ ❛t ✇❤✐❝❤ ❛♥

❡✈❡♥t ✭❞✐✈✐s✐♦♥ ♦r ❞❡❛t❤✮ ♦❝❝✉rs ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② r(t) = rb(t) + rd(t)

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✻✳ ❈❤♦♦s❡ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ k ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② bk/rb ✭✐❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐s ❞✐✈✐s✐♦♥✮ ♦r

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• ❊♠❡r❣❡♥❝❡✿ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❡♠❡r❣❡s ❢r♦♠ t❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞

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✸✷

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✸✳✶✳✸✳✷ ❙✉❜♠♦❞❡❧s

• ❉✐✈✐s✐♦♥✿ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

i ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ xi ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♥❡✇ ❝❡❧❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

B(xi, x′) = [b1 − b′1ploc(xi)]K

(

||xi − x′||

wb

)

✭✸✳✶✮

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs b1 ❛♥❞ b′1 ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲

❞❡♣❡♥❞❛♥t ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ t❡r♠ ploc(xi) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥✲

s✐t② ✭❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ❜❡❧♦✇✮ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ xi✳

K(||xi−x′||/wb) ✐s ❛ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✭✇❡ ❝❛❧❧ ✐t ❛❧s♦ ❜✐rt❤ ♦r ❞✐✈✐s✐♦♥ ❦❡r♥❡❧✮✳

❚❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ❣✐✈❡s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✲

✉❛❧ ❞✐s♣❡rs❡s ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s❧② ❛❢t❡r t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥t t♦ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ x′✳ ❋♦r

s✐♠♣❧✐❝✐t② ✇❡ ✉s❡ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧✳ ■♥ s♦♠❡ ✇❛②✱ t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥

❦❡r♥❡❧ tr❛♥s❧❛t❡s t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❤❛t ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ✐♥

t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡✐r ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧s✳

• ❈❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②✿ ✐♥ ❛ s②st❡♠ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ N ✐♥❞✐✲

✈✐❞✉❛❧s✱ ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❤❛s ❛t ♠❛①✐♠✉♠ N − 1 ♥❡✐❣❤❜♦rs✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛s ✇❡

s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♣❡r❝❡✐✈❡ ♦♥❧② t❤❡✐r ❧♦❝❛❧ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❧✐❦❡❧②

t♦ ❜❡ ❛✛❡❝t❡❞ ♦♥❧② ❜② t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❡✐r ✐♠♠❡❞✐❛t❡ s✉rr♦✉♥❞✐♥❣

❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤✐s ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✇❡

✉s❡ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧✱ ❞❡♥♦t❡❞ K(||xi − xj ||/wd)✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥

❦❡r♥❡❧ ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ✐♥ xj t♦ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥✲

s✐t② ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ✐♥ xi✳ ❚❤❡ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✐s t❤❡♥

❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥✿

ploc(x) =

j=n∑

j=0,j 6=i

K

(

||xi − xj ||

wd

)

✭✸✳✷✮

• ❉❡❛t❤ ♣r♦❝❡ss✿ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❞✐❡ ❛t ❛ ❝♦♥st❛♥t r❛t❡ d1✳

❚❤❡ ❞❡❛t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ ✐s s✉♣♣♦s❡❞ t♦ ❜❡

✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳

✸✳✶✳✹ P❛r❛♠❡t❡rs

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✶✳

✸✳✶✳ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ✸✸

P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❱❛❧✉❡ ❯♥✐t

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b′1 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❛♥t ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ variable h−1µm2/#

d1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.1 h−1

wb ❙✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ 5 µm

wd ❙✐❞❡ ♦❢ t❤❡ sq✉❛r❡❞ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ 5 µm

❚❛❜❧❡ ✸✳✶✿ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ✭❚❤❡ # s②♠❜♦❧ ❞❡♥♦t❡s ❢♦r t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥ t❤❡

♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✮

✸✳✶✳✺ ▼♦❞❡❧ ♦✉t♣✉ts

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦✉t♣✉t ✐s ❛ ❧✐st ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤❡ ❧✐st

❞❡✜♥❡s t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❛♥❞ ❝❤❛♥❣❡s ✇❤❡♥ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❡✈❡♥t ✭❞✐✈✐s✐♦♥ ♦r ❞❡❛t❤✮

♦❝❝✉rs✳ ❲❡ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡s❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❜② ♠❡❛s✉r✐♥❣ t✇♦ st❛t✐st✐❝❛❧ q✉❛♥t✐t✐❡s

❞❡✜♥✐♥❣ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥ts✿

• t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✱ ❞❡♥♦t❡❞ N(t) ✭♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❞✐✲

✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡ ❛r❡❛ L2 ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✮

• t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡♥♦t❡❞ C(ξ, p) ❛♥❞ ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❞❡♥s✐t②

♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ = (ξ1, ξ2)✳

✸✳✶✳✻ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ■❇▼

❲❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❛ss❡ss t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ s✐♠♣❧✐❢②✐♥❣ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❡①t❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s

♦♥ t❤❡ s❤❛♣❡ ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ■♥ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ■❇▼ t❤❛t ✇❡ ♣r❡s❡♥t❡❞

♣r❡✈✐♦✉s❧② ✭s❡❡ ❝❤❛♣t❡r ✷✮ ✇❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛s ❞✐s❝s s❤♦✈✐♥❣ ❡❛❝❤ ♦t❤❡rs

❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ✈❛r✐❛❜❧❡ s✐③❡s✳ ❚❤✐s ✐s s✐♠♣❧✐✜❡❞ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r

❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ♣❛rt✐❝❧❡s ✇✐t❤♦✉t ❛ s♣❛t✐❛❧ ❡①t❡♥t✳ ❇② t❛❦✐♥❣

t❤✐s s✐♠♣❧✐❢②✐♥❣ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ✇❡ ❛❧s♦ ♥❡❣❧❡❝t t❤❡ ♣r♦❝❡ss❡s ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ s♣❛t✐❛❧

❡①t❡♥t ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❧✐❦❡ t❤❡ s❤♦✈✐♥❣ ♣r♦❝❡ss✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t❧② ✐♥ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼

t❤❡ ♦♥❧② ♠❡❝❤❛♥✐s♠ t❤❛t ♠❛❦❡s t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② t♦ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐s t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢

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♠♦❞❡❧ ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❣r♦✇ ❜② ✉♣t❛❦✐♥❣ ❛ ♥✉tr✐❡♥t ✇❤✐❝❤ ❞②♥❛♠✐❝s

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❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ■❇▼ ✐s ❛ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

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✸✹

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ■❇▼ ❢♦r ❝♦❧♦♥②

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❋✐❣✉r❡s ✸✳✶ ❛♥❞ ✸✳✷ s❤♦✇ ❝♦❧♦♥② ♣❛tt❡r♥s s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡

♦❢ ❛ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ ❛♥❞ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡s✳ ❲❡ s✇✐t❝❤ ❢r♦♠ t❤❡ ✬r❡❛❝t✐♦♥✲

❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡ t♦ t❤❡ ✬❞✐✛✉s✐♦♥✲❧✐♠✐t❡❞✬ r❡❣✐♠❡ ❜② ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❞✐✛✉s✐♦♥

❢❛❝t♦r ✐♥ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❜② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t

❣r♦✇t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r b′1 ✐♥ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s

s❤♦✇s s✐♠✐❧❛r✐t✐❡s ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s✳ ❋✐rst t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧ r❡♣r♦❞✉❝❡s q✉✐❡t ✇❡❧❧

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♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❛r❡ ❤♦✇❡✈❡r ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞

❜② ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s✳ ■♥ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛r❡ t✐❣❤t❧② ♣❛❝❦❡❞ ✇❤❡r❡ ❛s

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s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ♣✉s❤✐♥❣ ♣r♦❝❡ss ✭s❤♦✈✐♥❣ ♣r♦❝❡ss✮ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡

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❝♦❧♦♥② s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ■❇▼ ❛♥❞ r❡❧❛① ♦✈❡r❧❛♣♣✐♥❣ ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝❡❧❧s✳

■♥ t❤❡ ❞❡t❛✐❧❡❞ ■❇▼ t❤❡ ❝❡❧❧s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② s❤♦✈❡ ❡❛❝❤ ♦t❤❡rs ❛♥❞ t❤❡✐r ♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥

s❧✐❣❤t❧② ♠♦❞✐✜❡❞ ❛❢t❡r ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ✇❤✐❧❡ ✐♥ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

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✐♥❝r❡❛s❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r ❢♦r s✐♠♣❧✐❝✐t② ✇❡ ❞♦ ♥♦t ✐♥❝❧✉❞❡ t❤✐s ❡✛❡❝t ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❛t t❤❡

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❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛t ❞✐st❛♥❝❡s s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ dξ✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ❝❛♥

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❋✐❣✉r❡ ✸✳✸ s❤♦✇s t✇♦ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ ❛♥ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ❚❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s

s❤♦✇ ❞✐✛❡r❡♥t s❤❛♣❡s✳ ❚❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ ✜rst s❡❡♠s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥✐❢♦r♠❧② ✇❤❡r❡

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✸✽

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dt= (b1 − d1)N − b′1

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dN

dt= (b1 − d1)N − b′1N

2 ✭✸✳✹✮

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t❤❡✐r ❧♦❝❛❧ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♣r♦✲

❝❡ss❡s ✭❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡❛t❤✮ t❤❛t ❛✛❡❝t t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧

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dC(ξ)

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(

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division

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−2b′1

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K

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❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ❝❛♥ ❜❡ ♠♦❞✐✜❡❞ ❜② t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r k ❧♦❝❛t❡❞ ❛t

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♦❝❝✉r t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j✳ ❲❡ t❛❦❡ t❤✐s ✐♥ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ t❡r♠s

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❉✐❡❝❦♠❛♥♥ ❛♥❞ ▲❛✇ ❬❉✐❡❝❦♠❛♥♥ ✷✵✵✵❪ ♣r♦♣♦s❡❞ t♦ tr✉♥❝❛t❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❤✐❡r❛r❝❤②

❜② ❡①♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ t❤✐r❞ ♠♦♠❡♥t ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❞ ✜rst ♠♦♠❡♥t✳ ❙✉❝❤

❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ ♠♦♠❡♥t ❝❧♦s✉r❡s ❛♥❞ s❤♦✉❧❞ s❛t✐s❢② ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❞❡✲

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✐s ♦❢t❡♥ ❛ss❡ss❡❞ ❜② ❝♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✲

✐♥❣ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❬❉✐❡❝❦♠❛♥♥ ✷✵✵✵❪✳ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

❝❧♦s✉r❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ❡①♣r❡ss❡s t❤❡ t❤✐r❞ ♠♦♠❡♥t ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❞

✜rst ♠♦♠❡♥ts✿

T (ξ, ξ′) =C(ξ)C(ξ′)

N✭✸✳✽✮

✸✳✶✳✽ ❙♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

❚❤❡ s②st❡♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ✸✳✸✱ ✸✳✼ ❛♥❞ ✸✳✽ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ❛ss✉♠✐♥❣ ♣❡r✐♦❞✐❝

❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥❞ t❛❦✐♥❣ ❛s ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❡♥s✐t② N(t = 0)

♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥✐❢♦r♠❧② ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s ❛♥ ✐♥✐t✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❞❡♥s✐t②

❢✉♥❝t✐♦♥ C(ξ, t = 0) = N2✳ ❚❤❡ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ s♦❧✈❡❞ ✐♥ t❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

♦r ✐♥ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ✐s♦tr♦♣② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ t❤❡ r❛❞✐❛❧

s②♠♠❡tr② ♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ♣r♦❝❡ss❡s✮✳ ❋♦r t❤❡ r❛❞✐❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s r❡❢❡r

t♦ t❤❡ ❆♥♥❡①❡ ❆ ♦❢ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✳ ❲❡ ♣r❡s❡♥t ❤❡r❡ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❢♦r s♦❧✈✐♥❣ t❤❡

♠♦♠❡♥t ❞②♥❛♠✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳

✹✹

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ■❇▼ ❢♦r ❝♦❧♦♥②

❣r♦✇t❤

❋✐❣✉r❡ ✸✳✻✿ ❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ s❡♣❛r❛t✐♥❣ t✇♦ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s

❚❤❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛r❡ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥ts

N(t) ❛♥❞ C(ξ, t)✳ ❚❤❡ ✜rst ♠♦♠❡♥t N(t) ✐s ❛ r❡❛❧ ✈❛❧✉❡ ✭❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✮✳ ❚❤❡

s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t C(ξ, t) ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t ❣✐✈❡s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s

s❡♣❛r❛t❡❞ ❜② ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ = (ξ1, ξ2)✳ ❚♦ s♦❧✈❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❞②♥❛♠✐❝ ♠♦❞❡❧

✇❡ st❛rt ❜② ❞✐s❝r❡t✐③✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸ ❛♥❞ ✸✳✼ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ s♣❛❝❡ ❛♥❞ t✐♠❡✳

• ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ❲❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t❤❡ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ = (ξ1, ξ2) ✐♥t♦

ξ(i, j) = (ξ1(i), ξ2(j)) ✇✐t❤ i, j = −(n − 1)/2✳✳(n − 1)/2 ✭s❡❡ ✜❣✉r❡ ✸✳✻✮✳ ❚❤❡

❢✉♥❝t✐♦♥ C(ξ, t) ✐s ❡✈❛❧✉❛t❡❞ ♦♥❧② ✐♥ t❤❡s❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠

♦❢ ❛ n× n sq✉❛r❡ ♠❛tr✐① C(i, j, t) ✇✐t❤ i, j = −(n− 1)/2✳✳(n− 1)/2

❋♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ t❡r♠s ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥s ✸✳✸ ❛♥❞ ✸✳✼ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦

❞✐s❝r❡t✐③❡ t❤❡ ❦❡r♥❡❧s K(||ξ||/wb) ❛♥❞ K(||ξ||/wbd)✳ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ s♣❛t✐❛❧

r❡s♦❧✉t✐♦♥ dξ✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ dξ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡

✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧s✳ ❆s t❤❡s❡ ❦❡r♥❡❧s ❞❡✜♥❡ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡

♦✈❡r ✇❤✐❝❤ ❧♦❝❛❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s t❛❦❡ ♣❧❛❝❡✱ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ dξ s❤♦✉❧❞ ❜❡

s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❦❡r♥❡❧s✳ ❆ t②♣✐❝❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❞✐s❝r❡t✐③❡

●❛✉ss✐❛♥ ❦❡r♥❡❧s ✐s dξ = ((min(wb, wd)/5,min(wb, wd)/5) ✇❤❡r❡ min(wb, wd)

✐s s♠❛❧❧❡st ✈❛❧✉❡ ❜❡t✇❡❡♥ wb ❛♥❞ wd✳ ■♥ t❤✐s ✇♦r❦ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐❞❡♥t✐❝❛❧

✉♥✐❢♦r♠ ❦❡r♥❡❧s ✭s❡❡ ✜❣✉r❡ ✸✳✼✮✳

• ❚✐♠❡ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ❲❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸ ❛♥❞ ✸✳✼

✉s✐♥❣ ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❊✉❧❡r s❝❤❡♠❡ ✇✐t❤ ❛ t✐♠❡ st❡♣ ∆t = 1

✸✳✷✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✹✺

❋✐❣✉r❡ ✸✳✼✿ ❉✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧s K(||ξ||/wb) ❛♥❞

K(||ξ||/wd)✳ ❇♦t❤ ❦❡r♥❡❧s ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠ ✇✐t❤ ❛ ✇✐♥❞♦✇ ✇✐❞t❤ wb = wd = h = 5dξ

❚❤❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ s②st❡♠ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ n2 + 1 ❛❧❣❡❜r❛✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤❡r❡ t❤❡ ✉♥✲

❦♥♦✇♥s ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s N ❛♥❞ t❤❡ n2 ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① C(ξ)✳

✸✳✷ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠♣❧✐✲

✜❡❞ ■❇▼

❲❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ♦r t❤❡

❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ✭b′1 = 0✮ ❛♥❞ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❛♥t ❣r♦✇t❤ ✭b′1 > 0✮✳

✸✳✷✳✶ ❉❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ♠♦❞❡❧ ✭b′1 = 0✮

❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❤❛s ♥♦

✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✸✳✸✳

❇② s❡tt✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❣r♦✇t❤ ♣❛r❛♠❡t❡r t♦ ③❡r♦ b′1 = 0 t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥

s✐♠♣❧✐✜❡s t♦ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♥♦♥ s♣❛t✐❛❧ ♠❡❛♥ ✜❡❧❞ ❡q✉❛t✐♦♥✿

dN

dt= b1N − d1N ✭✸✳✾✮

❆s ✇❡ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t b1 = d1✱ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐s ❝♦♥st❛♥t ✭✐❢

N0 ✐s t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✱ t❤❛♥ N(t) = N0✮✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✵ ❝♦♠♣❛r❡s t❤❡

❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② ❜♦t❤ ♠♦❞❡❧s ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ b′1 = 0 ❛♥❞ s❤♦✇s

✹✻

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ■❇▼ ❢♦r ❝♦❧♦♥②

❣r♦✇t❤

✭❛✮ ❚✐♠❡❂✵ ✭❜✮ ❚✐♠❡❂✺✵

✭❝✮ ❚✐♠❡❂✶✵✵

❋✐❣✉r❡ ✸✳✽✿ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r b1 = d1 = 0.1✱

b′1 = 0.0

✸✳✷✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✹✼

❋✐❣✉r❡ ✸✳✾✿ ❘❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❢♦r b1 = d1 = 0.1✱

b′1 = 0.0

t❤❛t t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s r❡♠❛✐♥s ❝♦♥st❛♥t ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞

t❤❛t ✐t ✢✉❝t✉❛t❡s ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✈❛❧✉❡ ✐♥ t❤❡ ■❇▼✳

❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ■❇▼ ❡♥❝♦♠♣❛ss ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛❜♦✉t t❤❡ s♣❛t✐❛❧

♣❛tt❡r♥✳ ❆s ✇❡ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞

✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧s ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦ ♣r♦❞✉❝❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s✳

❋✐❣✉r❡ ✸✳✽ s❤♦✇s ❛♥ ✐❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ♣❛tt❡r♥s✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ ✜❣✉r❡ ✸✳✽✭❛✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦✇❛r❞s ❛♥❞ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥s ✭✜❣✉r❡ ✸✳✽✭❜✮✮✳

❚❤❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ ✜❣✉r❡ ✸✳✽✭❜✮ ❛♥❞ ✸✳✽✭❝✮ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ✐s ❞②♥❛♠✐❝ ❛♥❞

t❤❛t ❛❣❣r❡❣❛t❡s ❝❤❛♥❣❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s❧② ✐♥ s✐③❡ ❛♥❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ❞✉❡ t♦ t❤❡ st♦❝❤❛st✐❝ ❞✐✲

✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts✳ ❚❤✐s s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐❧❧✉str❛t❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❧✐♠✐t❛t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ■❇▼ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤❡ ❡❝♦❧♦❣✐❝❛❧ s✐❣♥❛❧ ✐s ♦❢t❡♥ ❜❧✉rr❡❞ ❜② st♦❝❤❛st✐❝ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s✳

❚❤✉s ❝❤❡❝❦✐♥❣ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦r ✐ts ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ❛ ♥♦♥ tr✐✈✐❛❧ t❛s❦✳

❲❡ ✉s❡ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❛ ♠❡❛s✉r❡ t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞

♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ♠❡❛s✉r✐♥❣ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛

❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ ❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✱ t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠ ♦❢ ❛

♠❛tr✐①✳ ❚❤❡ ♠❛tr✐① ✐s r❛❞✐❛❧❧② s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦

t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ s♠❛❧❧❡r t❤❛♥ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ dξ✳

❋✐❣✉r❡ ✸✳✾ s❤♦✇s t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❡①tr❛❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ r♦✇

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✹✽

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❣r♦✇t❤

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✵✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣

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✇❤❡♥ ♣❛tt❡r♥ st❛rt t♦ ❢♦r♠✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♣❡❛❦❡❞ ❛t s♠❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❡

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t✐♠❡ ❂ 50 ❛♥❞ 90✮ ❛♥❞ ✈❛r② s❧✐❣❤t❧② ❞✉❡ t♦ r❛♥❞♦♠ ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s✳

▼♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛tt❡♠♣ts t♦ ❝❛♣t✉r❡ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦r✲

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♠❛✐♥ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ s✐♠✉❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼✳

✸✳✷✳✷ ❉❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❛♥t ❞✐✈✐s✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✭b′1 > 0✮

■♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞✐✈✐s✐♦♥ ♠♦❞❡❧✱ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐s r❡✲

❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ✐s t❤❡♥ ❡①♣❡❝t❡❞ t♦ ❤❛✈❡ ❛♥

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t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♥♦♥ s♣❛t✐❛❧ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ♠♦❞❡❧ ❛s ❛

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♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ❧✐♠✐t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

dN

dt= (b1 − d1)N − b′1N

2 ✭✸✳✶✵✮

✸✳✸✳ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✹✾

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✶✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲

❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ r❡s✉❧ts ❛r❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✈❡r ✺ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s

❚❤❡ st❛t✐♦♥❛r② s♦❧✉t✐♦♥s ❛r❡ N∗ = 0 ♦r N∗ = (b1 − d1)/b′1✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✐❢ b1 = d1

t❤❛♥ N∗ = 0✳ ❋♦r t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦❞❡❧ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r

t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ b1 > d1 ❛♥❞ b′1 > 0✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✶ ❝♦♠♣❛r❡s t❤❡ t✐♠❡ ❝♦✉rs❡ ♦❢ t❤❡

❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❢♦r b1 = 0.1✱ d1 = 0.05

❛♥❞ b′1 = 0.2✳ ❚❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ st❛t✐♦♥❛r② s♦❧✉t✐♦♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦♥ s♣❛t✐❛❧

♠♦❞❡❧ ✐s N∗ = 0.25✳ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✷ s❤♦✇s t❤❛t ❜♦t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧s

②✐❡❧❞s ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❛t ②✐❡❧❞❡❞ ❜②

t❤❡ ♥♦♥ s♣❛t✐❛❧ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s r❡❞✉❝❡s t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✸ s❤♦✇s t❤❡ t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❡♥tr❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❈❛rt❡s✐❛♥

♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❝❛♣t✉r❡s ✇❡❧❧ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧

♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ s✐♠✉❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼✳

✸✳✸ ❉✐s❝✉ss✐♦♥

❖✉r r❡s✉❧ts ♦♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞✐✈✐s✐♦♥✲❞❡❛t❤ ♠♦❞❡❧ ❝♦♥✜r♠ t❤❛t ♠♦♠❡♥t

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❝❛♣t✉r❡ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛✈❡r❛❣❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ st♦❝❤❛st✐❝ ■❇▼s✳

■❇▼s ✉s❡❞ ✐♥ ♠✐❝r♦❜✐♦❧♦❣② ❛r❡ ♦❢t❡♥ ❝♦♠♣❧❡① ❛♥❞ ✐♥❝❧✉❞❡ s❡✈❡r❛❧ ❞❡t❛✐❧s ❛❜♦✉t t❤❡

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❛r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ✇✐t❤ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧s✳ ❚❤❡r❡ ❛r❡

❝❡rt❛✐♥❧② r❡s❡❛r❝❤ q✉❡st✐♦♥s t❤❛t r❡q✉✐r❡ s✉❝❤ ❛ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ❞❡t❛✐❧s✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❞❡t❛✐❧❡❞

■❇▼ ♠❛② ❜❡ ♥❡❡❞❡❞ ❢♦r s✐♠✉❧❛t✐♥❣ t❤❡ ✜♥❡ s❝❛❧❡ str✉❝t✉r❡ ♦❢ ❜✐♦✜❧♠s ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♥❣

✺✵

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ■❇▼ ❢♦r ❝♦❧♦♥②

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❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✷✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✿ b1 = 0.1✱ b′1 = 0.2

❛♥❞ d1 = 0.05

❋✐❣✉r❡ ✸✳✶✸✿ ❋✐rst ♣♦✐♥t ✭❛t ❞✐st❛♥❝❡ ✵✮ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✿ b1 =

0.1✱ b′1 = 0.2 ❛♥❞ d1 = 0.05

✸✳✸✳ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✺✶

♣❤②s✐❝❛❧ ❛♥❞ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐❢ t❤❡ ❢♦❝✉s ✐s ♦♥ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ❤♦✇

s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ❛✛❡❝t t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ s♣❡❝✐❡s✱ t❤❡

❞❡t❛✐❧❡❞ ■❇▼ ❝❛♥ ❜❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s ❧❡ss r❡❛❧✐st✐❝ ✜♥❡ s❝❛❧❡ str✉❝t✉r❡s ❜✉t

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t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠❛② ♣r♦✈✐❞❡ ❛ r❡❢❡r❡♥❝❡ t♦ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ■❇▼ r❡s✉❧ts ❝❛♥ ❜❡

❝♦♠♣❛r❡❞✳ ❚❤✐r❞✱ s❡✈❡r❛❧ q✉❡st✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥ ❡❝♦❧♦❣② ❛r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦

❛♥s✇❡r ♦♥ t❤❡ s♦❧❡ ❜❛s✐s ♦❢ st♦❝❤❛st✐❝ s✐♠✉❧❛t✐♦♥✳ ❊①❛♠♣❧❡ ✐♥❝❧✉❞❡s t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐✲

③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦♥❣✲r✉♥ ♣❛tt❡r♥s ❛♥❞ t❤❡ ✐❞❡♥t✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ st❛t✐♦♥♥❛r② st❛t❡s✳ ❋✐♥❛❧❧②✱

■❇▼ ♦❢t❡♥ ❤❛✈❡ ❛ ❧❛r❣❡ ♣❛r❛♠❡t❡r st❛t❡ s♣❛❝❡ t❤❛t ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ s❛♠♣❧❡❞ ❛♥❞ ✐t ✐s

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❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ✐s ♦❢t❡♥ ❡①♣r❡ss❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦❢ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❞❡♥s✐t✐❡s

✇❡✐❣❤t❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧✿

∫

K

(

||ξ||

wd

)

C(ξ)dξ ✭✸✳✶✶✮

❍♦✇❡✈❡r ✐♥ t❤❡ ■❇▼ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐s ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ❚❤✉s ✐❢

t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t ✈❛r✐❡s ✇✐t❤✐♥ ❛ ✇✐❞❡ r❛♥❣❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♠❛② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❧♦❝❛❧

❞❡♥s✐t✐❡s t❤❛t ❛r❡ ✈❡r② ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡✳ ❚❤✐s ♠❛② ❝❛✉s❡ t❤❡ ❢❛✐❧✉r❡ ♦❢ t❤❡

♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✐♥ ❝❛♣t✉r✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ❞②♥❛♠✐❝ ❛s ✇✐❧❧ ❜❡ ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥

❝❤❛♣t❡r ✻

✺✷

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ■❇▼ ❢♦r ❝♦❧♦♥②

❣r♦✇t❤

❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ❛ss❡ss♠❡♥t ♦❢ t❤❡ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠❛❞❡ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t

♠♦❞❡❧ ❛r❡ ♦❢t❡♥ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❜② ❝♦♠♣❛r✐♥❣ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ s✐♠✉❧❛✲

t✐♦♥s✳ ❚❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ❛r❡ r✉♥ ❢♦r ♣❛rt✐❝✉❧❛r s❡t ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛♥❞ ✐t ✐s ♥♦t ❝❧❡❛r

✇❤❡t❤❡r ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦✈❡r ❛ s♠❛❧❧ s❡t ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✐s s✉✣❝✐❡♥t t♦

❛ss❡ss t❤❡ q✉❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳

✸✳✹ ❆♥♥❡①❡ ❆✿ ❡①♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✐♥ r❛❞✐❛❧

❝♦♦r❞✐♥❛t❡s

❙♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦♠❡♥t ✐♥✈♦❧✈❡s t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t✇♦✲

❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥s ❤❛✈✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✿

(C ⋆m)(ξ) =

∫

ξ′C(ξ + ξ′)m(ξ′)dξ′ ✭✸✳✶✷✮

❆s ξ ❛♥❞ ξ′ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ✇❤✐❝❤✱ ✇❤❡♥ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ❈❛rt❡s✐❛♥

❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇r✐t❡ ✿ ξ = (ξ1, ξ2) ❛♥❞ ξ′ = (ξ′1, ξ′2)✮✱ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ ♦✈❡r t❤❡ ξ

′ ✐s ❛ ❞♦✉❜❧❡✲

✐♥t❡❣r❛❧✿

(C ⋆m)(ξ1, ξ2) =

∫

ξ′1

∫

ξ′2

C(ξ1 + ξ′1, ξ2 + ξ′2)m(ξ′1, ξ′2)dξ

′1dξ

′2 ✭✸✳✶✸✮

❚❤❡ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛❧s♦ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ♣♦❧❛r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛s✿

(C ⋆m)(r) =

∫

r′

∫

θC(r′)m(R(r, r′, θ))r′dr′dθ ✭✸✳✶✹✮

✇❤❡r❡ R(r, r′, θ) = (r2 + r′2 − 2rr′ cos θ)1/2

❈❤❛♣t❡r ✹

▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛

s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤

❞❡t❛❝❤♠❡♥t

❈♦♥t❡♥ts

✹✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸

✹✳✷ ❆ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

✹✳✷✳✶ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻

✹✳✸ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻

✹✳✹ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼

✹✳✺ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ t❤❡ ■❇▼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶

✹✳✻ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✷

✹✳✶ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❞❡r✐✈❡ ❛ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♥❣ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ✭■❇▼✮ ♦❢ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠s ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t✳ ❚❤❡ ■❇▼ ✐s ❜❛s✐✲

❝❛❧❧② ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❣r♦✇t❤ ■❇▼ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✸ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ❛

♠✉❧t✐✲❝♦❧♦♥✐❡s s②st❡♠ ❛♥❞ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ ❛ ❜✐♦✜❧♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✳ ❖✉r ❛✐♠ ✐s ✜rst

t♦ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ✉♥❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t ❞✐✈✐✲

s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❲❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡s❡ ♣❛tt❡r♥s ✉s✐♥❣ t❤❡ ✜rst ❛♥❞

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❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡s❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ❞❡s❝r✐♣t♦rs ✉s✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✲

✐♠❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ r❡s✉❧t ♦❢ t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦♠❡♥t

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♣r♦♣♦s❡ t♦ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ✇❤❡♥ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ r❛♥❣❡s ♦❢

t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧s ❛r❡ ✈❛r✐❡❞✳ ❲❡ ❞❡r✐✈❡ ❛ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

♠♦❞❡❧ ✐♥ t❤❡ t❤✐r❞ s❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❤❛♣t❡r✳ ❋✐♥❛❧❧② ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧

✺✹

❈❤❛♣t❡r ✹✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤

❞❡t❛❝❤♠❡♥t

❋✐❣✉r❡ ✹✳✶✿ ❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ str✉❝t✉r❡ ✐♥ ❛ ❞❡✈❡❧♦♣✐♥❣ ❜✐♦✜❧♠ ❛s r❡✈❡❛❧❡❞ ❜② ❛❞✈❛♥❝❡❞

♠✐❝r♦s❝♦♣② t❡❝❤♥✐q✉❡s ✭❈❙▲▼✮ ❬❚♦❧❦❡r✲◆✐❡❧s❡♥ ✷✵✵✵❪✳ ❚❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠❡❞

✇✐t❤ ❛ s♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ❛❞s♦r❜❡❞ ♦♥ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✭❧❡❢t✮ ❡✈♦❧✈❡s t♦✇❛r❞ ❛ ♠✉❧t✐✲

❝♦❧♦♥✐❡s ♣❛tt❡r♥ ✭♠✐❞❞❧❡ ❛♥❞ r✐❣❤t✮

❛♥❞ t❤❡ ■❇▼ ✐♥ t❤❡ ❢♦✉rt❤ s❡❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ss❡ss t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ♦❢ t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♠♦❞❡❧

✐♥ r❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ♠❛✐♥ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥s✳

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❇❛❝t❡r✐❛ ❛tt❛❝❤ t♦ ❤②❞r❛t❡❞ s✉r❢❛❝❡s ❛♥❞ ❞❡✈❡❧♦♣ ❜✐♦✜❧♠s✳ ❇✐♦✜❧♠s ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t

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❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ♦♥ ❛ s✉r❢❛❝❡✳ ❚❤r♦✉❣❤ ❜✐♥❛r② ✜ss✐♦♥ ❛♥❞ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ♦t❤❡r ♠❡❝❤❛♥✐s♠s

✐♥❝❧✉❞✐♥❣ s✉r❢❛❝❡ ♠✐❣r❛t✐♦♥✱ ❡①♦♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦❧♦✲

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❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❜✐♦✜❧♠ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ✭✉♥❞❡r s♣❡❝✐✜❝ ❧❛❜♦r❛t♦r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✮

✇❤❡r❡ ❛ s♠❛❧❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ❞❡✈❡❧♦♣ ✐♥t♦ ❛ ♠✉❧t✐✲❝♦❧♦♥✐❡s ❜✐♦✜❧♠✳

❚❤❡ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠✐❝r♦♦r❣❛♥✐s♠s ♦♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐③❡❞ s✉r❢❛❝❡ ♠❛② ❜❡ r❡✲

str✐❝t❡❞ ❜② ♥✉tr✐❡♥t ❛✈❛✐❧❛❜✐❧✐t② ✭tr❡❛t❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✷ ❛♥❞ ✸✮ ❛♥❞✴♦r ❝♦✉♥t❡r❜❛❧✲

❛♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✳ ❚❤❡ t❡r♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❤❡r❡ r❡❢❡rs t♦ ❞✐✛❡r✲

❡♥t ♠❡❝❤❛♥✐s♠s ❜② ✇❤✐❝❤ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ tr❛♥s♣♦rt❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ✭❛tt❛❝❤❡❞✮

❜✐♦✜❧♠ t♦ t❤❡ s✉rr♦✉♥❞✐♥❣ ✢✉✐❞ ♣❤❛s❡✳ ❉✐✛❡r❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s ❛r❡ r❡s♣♦♥s✐❜❧❡ ❢♦r

❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❜✐♦♠❛ss ❢r♦♠ ❜✐♦✜❧♠s ❛♥❞ ❢♦✉r ❝❛t❡❣♦r✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡❞

❬▼♦r❣❡♥r♦t❤ ✷✵✵✵❪❬❙t❡✇❛rt ✶✾✾✸❪✿ ✭✶✮ ❛❜r❛s✐♦♥✱ ✭✷✮ ❡r♦s✐♦♥✱ ✭✸✮ s❧♦✉❣❤✐♥❣ ❛♥❞ ✭✹✮

♣r❡❞❛t♦r ❣r❛③✐♥❣✳ ❆❜r❛s✐♦♥ ❛♥❞ ❡r♦s✐♦♥ ❜♦t❤ r❡❢❡r t♦ t❤❡ r❡♠♦✈❛❧ ♦❢ s♠❛❧❧ ❣r♦✉♣s

♦❢ ❝❡❧❧s ❢r♦♠ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ❜✐♦✜❧♠ ✇❤✐❧❡ s❧♦✉❣❤✐♥❣ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢

r❡❧❛t✐✈❡❧② ❧❛r❣❡ ♣♦rt✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❜✐♦✜❧♠ ❬▼♦r❣❡♥r♦t❤ ✷✵✵✵❪✳

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢ ❜✐♦✜❧♠ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ✉♥❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t

❣r♦✇t❤ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ❜❛s✐❝❛❧❧② ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼

t❤❛t ✇❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✸ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ ♠♦❞✐✜❝❛t✐♦♥s✿

✹✳✷✳ ❆ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ✺✺

• ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐s ❜❛❧❛♥❝❡❞ ❡①❝❧✉s✐✈❡❧② ❜②

t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss r❛t❤❡r t❤❛♥ ❜② t❤❡ ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t✳ ❚❤✉s

✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x = (x1, x2) ❞✐✈✐❞❡s ❛t ❛

❝♦♥st❛♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r❛t❡ b1✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x ♣r♦❞✉❝❡s

❛ ♥❡✇ ❜♦r♥ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

B(x, x′) = b1K

(

||x− x′||

wb

)

✭✹✳✶✮

✇❤❡r❡ K(||x − x′||/wb) ✐s ❛ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧✳ ❆s ✐♥ ❝❤❛♣t❡r ✸ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❢♦r

s✐♠♣❧✐❝✐t② ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❦❡r♥❡❧ ❞❡✜♥❡❞ ❜②✿

K

(

||x− x′||

wb

)

=

{

1/wb ✐❢ ||x− x′|| < wb

0 ❡❧s❡✭✹✳✷✮

• ✇❡ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss ❛s ❛ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss ✇❤❡r❡ t❤❡

r❡♠♦✈❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② D(x) ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x ✐♥❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡

✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤❡ r❡♠♦✈❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② D(x) ✐s

❣✐✈❡♥ ❜②✿

D(x) = d1 + d′1ploc(x,wd) ✭✹✳✸✮

d1 ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❞❡❛t❤ r❛t❡ ❛♥❞ d′1 ✐s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡✳

ploc(x,wd) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ x ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❛

✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧K(||x−x′||/wd) ✇✐t❤ s✐③❡ wd✳ ❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧

♠❡❛s✉r❡s ❤♦✇ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x ♣❡r❝❡✐✈❡s t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x′✳ ❲❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❞❡♥s✐t② ✐❢ x ❜② s✉♠♠✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t

♦❢ ❛❧❧ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs✿

ploc(x,wd) =

N∑

i=1

K

(

||x− xi||

wd

)

✭✹✳✹✮

❚❤❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ ❛t

❛ ❝❡rt❛✐♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧✳ ❚❛❦✐♥❣ ❧❛r❣❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧s

✇♦✉❧❞ ②✐❡❧❞ ❛ r❛♣✐❞ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥② ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ♥❡✇❧② ❞✐✈✐❞❡❞ ❝❡❧❧s ❞✐s♣❡rs❡

♦✈❡r ❧❛r❣❡ ❞✐st❛♥❝❡s✳ ❋♦r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✱ ❛ s♠❛❧❧ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞

❛s ❛ ♣r♦①② t♦ ♠♦❞❡❧ s♠❛❧❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢r❛❣♠❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛s ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s❡♣❛r❛t❡❞

✇✐t❤ ❛ s❤♦rt ❞✐st❛♥❝❡ ✭✇✐t❤ t❤❡ ♦r❞❡r ♦❢ t❤❡ r❛❞✐✐ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧✮ ❛r❡

❧✐❦❡❧② t♦ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ t❤❡ s❛♠❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ploc ❛♥❞ ✇♦✉❧❞ ❞❡t❛❝❤ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡

♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳

✺✻

❈❤❛♣t❡r ✹✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ❜✐♦✜❧♠ ■❇▼ ✇✐t❤

❞❡t❛❝❤♠❡♥t

P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❱❛❧✉❡

L ❉♦♠❛✐♥ s✐③❡ 201× 201

∆L ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ 1

b1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ 0.12

d1 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.02

d′1 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.4

wb ❙✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ ✈❛r✐❛❜❧❡

wd ❙✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✈❛r✐❛❜❧❡

❚❛❜❧❡ ✹✳✶✿ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❚❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t t❤❡ ❜✐♦✜❧♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭♦r r❛t❡✮ ✐♥❝r❡❛s❡s ✇✐t❤

t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✭♦r ❜✐♦✜❧♠ t❤✐❝❦♥❡ss ✐♥ s♦♠❡ ♠♦❞❡❧s✮

✐s ❡♥❝♦✉♥t❡r❡❞ ✐♥ ♠❛♥② ❜✐♦✜❧♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♠♦❞❡❧s✳ ■♠♣❧✐❝✐t❧② ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡

❜✐♦✜❧♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ✐♥❝r❡❛s❡s ✇❤❡♥ t❤❡ ❜✐♦✜❧♠ ❣r♦✇s ✐♥ t❤❡ ✈❡rt✐❝❛❧ ❞✐♠❡♥s✐♦♥

✭t❤♦✉❣❤ ♥♦t ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❡①♣❧✐❝✐t✐❧② ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧✮ ❞✉❡ t♦ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡❞ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝

s❤❡❛r str❡ss✳

❚❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❜✐rt❤ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧s ♠❛② ❤❛✈❡ ❛♥ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ s②st❡♠

❞②♥❛♠✐❝s ❬❍❡r♥à♥❞❡③✲●❛r❝✐à ✷✵✵✹❪❬❇✐r❝❤ ✷✵✵✻❪✳ ❲✐t❤ r❡❣❛r❞ t♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t

♣r♦❝❡ss❡s✱ t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❦❡r♥❡❧ ❡♠❜♦❞✐❡s t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t ❛❧❧ t❤❡ ✐♥❞✐✲

✈✐❞✉❛❧s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❦❡r♥❡❧ ✇✐♥❞♦✇ ❤❛✈❡ ❛♥ ❡q✉❛❧ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✳ ❆

●❛✉ss✐❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✇♦✉❧❞ ❣✐✈❡ ❛ ❤✐❣❤❡r ✇❡✐❣❤t t♦ t❤❡ ❝❧♦s❡st ♥❡✐❣❤❜♦rs✳ ❚❤✐s

♠❛② ❤❛✈❡ ❛♥ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ♣❛tt❡r♥s ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥

❞❡♥s✐t②✳ ❲❡ ❞✐s❝✉ss t❤✐s ❜r✐❡✢② ✐♥ t❤❡ ❧❛st s❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣❛♣❡r✳

✹✳✷✳✶ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✹✳✷✳✶✳

✹✳✸ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ r❡s✉❧ts

❚♦ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ ✇❡ st❛rt ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✲

✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ❧✐♠✐t✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❛❧❧ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛✈❡r❛❣❡

❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❚❤✐s ❧✐♠✐t ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② s❡tt✐♥❣ t❤❡ ❜✐rt❤ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ s✐③❡s

t♦ r❡❧❛t✐✈❡❧② ❧❛r❣❡ ✈❛❧✉❡s✳ ❆ ❧❛r❣❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ ✇♦✉❧❞ ♠❡❛♥ t❤❛t t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s

❞✐✈✐❞❡ ❛♥❞ ❞✐s♣❡rs❡ ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s❧② ♦✈❡r ❛ ❧❛r❣❡ ❞✐st❛♥❝❡✳ ❚❤✐s t❡♥❞s t♦ ♣r❡✈❡♥t t❤❡

❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❛❣❣r❡❣❛t❡s✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ t❤✐s ❝❛s❡✱ ✇❡ ♣r♦❣r❡ss✐✈❡❧② r❡❞✉❝❡ t❤❡ s✐③❡

♦❢ t❤❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ ❛♥❞ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ❡♠❡r❣❡♥t s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✳ ❋✐❣✉r❡

✹✳✷ s❤♦✇s t❤❡ ✭q✉❛s✐✮ st❛t✐♦♥❛r② s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❢♦r ❛ ❧❛r❣❡

❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ ✭wb = 19✮ ❛♥❞ ❞✐✛❡r❡♥t s✐③❡s ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✭wd = 3 ❛♥❞

wd = 19✮✳ ❆ ❧❛r❣❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ s❡❡♠s t♦ ♣r❡✈❡♥t ❝♦❧♦♥② ❢♦r♠❛t✐♦♥ ②✐❡❧❞✲

✐♥❣ ❛ P♦✐ss♦♥✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛r❡ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ♦✈❡r t❤❡

✹✳✹✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✺✼

❞♦♠❛✐♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❢♦r s♠❛❧❧ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧s ✭✜❣✉r❡ ✹✳✸✮ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢

❝♦❧♦♥✐❡s s♣❛❝❡❞ ✇✐t❤ ❛ r❡❣✉❧❛r ❞✐st❛♥❝❡✳ ❚❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s ❝♦rr❡✲

s♣♦♥❞s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐✈❡❧② t♦ t❤❡ r❛❞✐✐ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡

✹✳✹ s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② ♣❛tt❡r♥s ❢♦r ❛ s♠❛❧❧ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ wb = 3 ❛♥❞ t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t

❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧s wd = 19 ❛♥❞ wd = 31✳ ❚❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤✲

♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ ✐♥❞✉❝❡❞ ❛♥ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❡ s♣❛❝✐♥❣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ❚❤❡ ♣❛tt❡r♥

♦❢ ✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥ ✜❣✉r❡ ✹✳✹ ✐s ❛ t②♣✐❝❛❧ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ s②st❡♠✲❧❡✈❡❧ ❜❡❤❛✈✐♦r t❤❛t

❡♠❡r❣❡s ♦✉t ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♣❛tt❡r♥ ♠✐♥✐♠✐③❡s t❤❡ ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ❜❡✲

t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s ✇✐t❤ r❡❣❛r❞ t♦ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✳ ■❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s ✇❡r❡ t♦♦ ❝❧♦s❡ t♦ ❡❛❝❤

♦t❤❡r✱ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ ❡❛❝❤ ❝♦❧♦♥② ✇♦✉❧❞ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❛ ❤✐❣❤❡r ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② t❤❛♥

t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ✐❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s ✇❡r❡ ✐s♦❧❛t❡❞✳ ❇② ❦❡❡♣✐♥❣ ❛ ❞✐st❛♥❝❡

❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐✈❡❧② t♦ t❤❡ r❛❞✐✐ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤✲

♠❡♥t ❦❡r♥❡❧✱ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✇✐t❤✐♥ ❡❛❝❤ ❝♦❧♦♥② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ♦♥❧② t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡✐r

♥❡✐❣❤❜♦rs ✐♥ t❤❡ ❝♦❧♦♥②✳

✹✳✹ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

❲❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛♥❞

t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡ ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r❡

t❤❡ r❡s✉❧ts ✇✐t❤ t❤♦s❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ♦♥ t❤❡ ■❇▼ ♣❛tt❡r♥s✳ ❚❤❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ♦❢ t❤❡

♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛r❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s N ✭t❤❡ ✜rst s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥t✮

❛♥❞ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ C(ξ) ✭t❤❡ s❡❝♦♥❞ s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥t✮ ✇❤❡r❡ ξ =

(ξ1, ξ2) ✐s ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡✳ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡s❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

dN

dt= b1N − d1N − d′1

∫

K

(

||ξ||

wd

)

C(ξ)dξ ✭✹✳✺✮

❚❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ t❡r♠s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✭❘❍❙✮ ❛r❡ r❡❧❛t✐✈❡ t♦ t❤❡

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t❤❡ ❘❍❙ ✐s t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✳ ❚❤❡

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K(||ξ||/wd)✳ ◆♦t❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧✱ wd✱ ✐s ❡q✉❛❧

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dN

dt= (b1 − d1)N − d′1N

2 ✭✹✳✻✮

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✺✽

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✭❛✮ wd = 3

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✈❛r✐❛❜❧❡

✻✵

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✭❛✮ wd = 19 ✭❜✮ wd = 31

❋✐❣✉r❡ ✹✳✹✿ ✭◗✉❛s✐✮ st❛t✐♦♥❛r② s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❢♦r wb = 3 ❛♥❞

❧❛r❣❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧s

dC(ξ)

dt= 2b1NK

(

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wb

)

+ 2b1

∫

K

(

||ξ′||

wb

)

C(ξ + ξ′)dξ′ ✭✹✳✼✮

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(

||ξ||

wd

)

C(ξ)− d′1

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

T (ξ, ξ′′)dξ′′ −

− d′1

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

T (−ξ, ξ′′)dξ′′

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♥❡✇ ♣❛✐rs ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ t❤r♦✉❣❤ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥ts ❛♥❞ ❛r❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s

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❧❛st t❤r❡❡ t❡r♠s ❛r❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❛s ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡❧✐♠✐♥❛t❡s ♣❛✐rs✳ ❋♦❧❧♦✇✐♥❣ ✐s ❛ ♠♦r❡

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✇❤✐❝❤ ❛❧s♦ ❢♦r♠ ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r (j, i) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳

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♦♥ t❤❡ ♥❡✇ ♣❛✐r t❤❛t t❤❡ ♦✛s♣r✐♥❣ ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ❢♦r♠s ✇✐t❤ ❛♥❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ+ξ′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ r❛t❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t

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❢❛❝t♦rs ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′ ♦❢ ♦✛s♣r✐♥❣ ❞✐s♣❡rs❛❧ ②✐❡❧❞s

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• t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ij ♣❛✐rs t❤❛t ❛r❡ ❧♦st ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t

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• t❤❡ ❢♦✉rt❤ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ ❞❡❛t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r ij ❜②

❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ♦♥ t❤❡ ❞❡❛t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i✳

• t❤❡ ✜❢t❤ ❛♥❞ s✐①t❤ t❡r♠s ❝♦rr❡❝t t❤❡ ❞❡❛t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r ij

❜② ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✭♦t❤❡r t❤❛♥ j✮ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠ i✳

❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤✐s tr✐♣❧❡t ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ tr✐♣❧❡ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥

T (ξ, ξ′′) ❛♥❞ T (−ξ, ξ′′) ❲❡ ♠✉❧t✐♣❧② ❜② t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❛t

❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t❡ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ✭♦r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′′✮✳

❚❤❡ s②st❡♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ✹✳✺ ❛♥❞ ✹✳✼ ✐♥✈♦❧✈❡s t❤❡ t❤✐r❞ s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥t

T (ξ, ξ′)✳ ❚♦ ❝❧♦s❡ t❤✐s s②st❡♠ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❡①♣r❡ss t❤❡ t❤✐r❞ ♠♦♠❡♥t ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥

♦❢ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥ts✳ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❧♦s✉r❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s

❬❉✐❡❝❦♠❛♥♥ ✷✵✵✵❪✿

T (ξ, ξ′) =C(ξ)C(ξ′)C(ξ′ − ξ)

N3✭✹✳✽✮

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❝❛♥ ❤❛✈❡ ❛ s✐❣♥✐✜❝❛♥t ✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ s✐♠✉❧❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥✳ ❚❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ✐s ❣✉✐❞❡❞ ❜②

t❤❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛tt❡r♥s✳ ❆ ❣♦♦❞

❝❧♦s✉r❡ ✐s t❤❡ ♦♥❡ t❤❛t ❛❧❧♦✇s t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ t♦ ❝❛♣t✉r❡ t❤❡ ♠❛✐♥ ❢❡❛t✉r❡s ♦❢ t❤❡

♣❛tt❡r♥s ❛♥❞ ❞②♥❛♠✐❝s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧✳

❲❡ s♦❧✈❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ✹✳✺✱ ✹✳✼✱ ✹✳✽ ❛♥❞ ❄❄✱ ❛s

❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❤❛♣t❡r✱ ❜② ❞✐s❝r❡t✐③✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ✇✐t❤ ❛

s♣❛t✐❛❧ r❡s♦❧✉t✐♦♥ dξ = (dξ1, dξ2) ❛♥❞ t✐♠❡ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t t✐♠❡ st❡♣ ∆t✳ ❲❡ ✉s❡ ❛♥

❡①♣❧✐❝✐t ❊✉❧❡r s❝❤❡♠❡ ❢♦r ❞❡s❝r✐t✐③✐♥❣ t❤❡ t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t❛♥t ❛❧❣❡❜r❛✐❝

s②st❡♠ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ n2x + 1 ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✇❤❡r❡ nx ✐s t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ C(ξ)

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✐♥st❛♥t t+∆t ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ N ❛♥❞ C ❛t t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ✐♥st❛♥t t✳

✹✳✺ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ t❤❡ ■❇▼

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■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ✭✜❣✉r❡ ✹✳✺✮ ❛♥❞ t❤❡ st❛t✐♦♥❛r② r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥

❢✉♥❝t✐♦♥ ✭✜❣✉r❡ ✹✳✻✮✳ ❋♦r ❛ ❧❛r❣❡ ❜✐rt❤ ❦❡r♥❡❧ wb = 19✱ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t

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❝♦♥st❛♥t t✐♠❡ st❡♣✱ ❞❡♥♦t❡❞ ∆t = 1s✳ ❆ s♣❛t✐❛❧ ♣❛t❝❤ ❤❛s ❛ s✐③❡ ♦❢ 5 × 5 µm ❛♥❞

t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❞♦♠❛✐♥ ❝♦♥t❛✐♥s 400 × 400 ♣❛t❝❤❡s ✭s♣❛t✐❛❧ ❞♦♠❛✐♥ s✐❞❡ l = 2000µm✮✳

❇❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ❤❛✈❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❞✐❛♠❡t❡rs (∼ 2µm) ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡✐r ♠❛ss❡s✳

✺✳✷✳✹ Pr♦❝❡ss ♦✈❡r✈✐❡✇ ❛♥❞ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣

■♥ t❤❡ ■❇▼✱ ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦✈❡ st♦❝❤❛st✐❝❛❧❧② ❛❧♦♥❣ ❛ ✷✲❉ s✉r❢❛❝❡ ✇❤✐❧❡ ❝♦♥s✉♠✐♥❣

s✉❜str❛t❡✱ ❣r♦✇✐♥❣ ❛♥❞ r❡♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❜② ❜✐♥❛r② ✜ss✐♦♥ ❛♥❞ ❡①❝r❡t✐♥❣ ❛ ♣r♦❞✉❝t✳ ❇❛❝✲

✺✳✷✳ ▼♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✼✶

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❝✉❧❛t❡❞ ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛t❝❤✳

✺✳✷✳✺ ❉❡s✐❣♥ ❈♦♥❝❡♣ts

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• ❙❡♥s✐♥❣✿ ✐♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧✱ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ s❡♥s❡s t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❛♥❞ ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥❝❡♥✲

tr❛t✐♦♥ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛t❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✐ts ♣♦s✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥✲

tr❛t✐♦♥ ❛✛❡❝ts t❤❡ ❣r♦✇t❤ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥❝❡♥✲

tr❛t✐♦♥ ❛✛❡❝ts t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳

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❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥t ❛r❡ t❤❡ ♦♥❧② st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss❡s t❤❛t ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡

■❇▼✳

• ❖❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ ❛t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ t❤❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❢♦r ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣❛t❝❤❡s ❛r❡

r❡❝♦r❞❡❞✳

✺✳✷✳✻ ❙✉❜♠♦❞❡❧s

✺✳✷✳✻✳✶ ❇❛❝t❡r✐❛ ❣r♦✇t❤

❲❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡ (r(t)) ♦❢ ❛ ❝❡❧❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ (x, y)

❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❛ ♠❛ss m ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▼♦♥♦❞✲❧✐❦❡ ❦✐♥❡t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✿

r(t) = µmaxms(i, j, t)

s(i, j, t) + ks✭✺✳✶✮

❲❤❡r❡ s(i, j, t) ✐s t❤❡ s✉❜str❛t❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❛t ♣❛t❝❤ ✭i, j) ✇✐t❤ i = floor(x/∆l)

❛♥❞ j = floor(y/∆l) ❛♥❞ µmax ❛♥❞ ks ❛r❡ ▼♦♥♦❞ ❦✐♥❡t✐❝ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❚❤❡ ❣r♦✇t❤

r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

dm

dt= Ybr(t) ✭✺✳✷✮

❲❤❡r❡ Y b ✐s t❤❡ ❜✐♦♠❛ss ②✐❡❧❞ ✭❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ ♠❛ss ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣❡r ♠❛ss ♦❢ ❝♦♥✲

s✉♠❡❞ s✉❜str❛t❡✮✳ ❚❤❡ t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐s ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ✉s✐♥❣ ❛♥ ❊✉❧❡r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡

❛♥❞ t❤❡ ♥❡✇ ♠❛ss ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜②✿

m(t+∆t) = m(t) + ∆tYbr(t) ✭✺✳✸✮

❲✐t❤ ∆t t❤❡ t✐♠❡ st❡♣✳ ❚❤❡ ♣r♦❞✉❝t ❡①❝r❡t✐♦♥ r❛t❡ rp(t) ♦❢ t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

rp(t) = Ypr(t) ✭✺✳✹✮

✺✳✷✳ ▼♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✼✸

✺✳✷✳✻✳✷ ❙✉❜str❛t❡ ❯♣t❛❦❡ r❛t❡s

❋♦r ❡❛❝❤ ♣❛t❝❤ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❛ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡ rs(t, i, j) ❜② s✉♠♠✐♥❣ t❤❡ ✐♥❞✐✲

✈✐❞✉❛❧ s✉❜str❛t❡ ✉♣t❛❦❡ r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛t❝❤✿

rs(t, i, j) =1

∆l2

∑

k

rk(t) ✭✺✳✺✮

✇❤❡r❡ k ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝❡❧❧s ✐♥ ♣❛t❝❤ i, j✳

✺✳✷✳✻✳✸ ❇❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥

■❢ t❤❡ ♠❛ss ♦❢ ❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✭❛ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧✮ ❜❡❝♦♠❡s ❣r❡❛t❡r t❤❛♥ t✇✐❝❡ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧

♠❛ss ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ (2m0 ≤ m) ✐t ❞✐✈✐❞❡s ✐♥t♦ t✇♦ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❡❛❝❤ ✇✐t❤ ❛ ♠❛ss

m/2✳ ❚❤❡ ✜rst ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ t❛❦❡s t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t❤❡r ❝❡❧❧ ✇❤✐❧❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞

❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ ✐s ♣❧❛❝❡❞ r❛♥❞♦♠❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ❞ ✭❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝❡♥t❡rs ♦❢

❜♦t❤ ❝❡❧❧s✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❞✐❛♠❡t❡r ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ✭❜♦t❤ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s

❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ ❞✐❛♠❡t❡r✮✳

✺✳✷✳✻✳✹ ❇❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t②

❚❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧s ✐s ♠♦❞❡❧❡❞ ❛s ❛ ❇r♦✇♥✐❛♥ ♠♦t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✇✐t❤ ❛♥ ❛♣♣❛r❡♥t

❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r (Df) ✇❤✐❝❤ ✐s s♣❡❝✐✜❝ t♦ ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ❜❛❝t❡r✐✉♠

❧♦❝❛t❡❞ ❛t x, y ❛t t✐♠❡ t✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛t t❤❡ ✐♥st❛♥t t+∆t ✐s ❣✐✈❡♥

❜②✿

x(t+∆t) = x(t) +√

2Df (x, y)∆tN(0, 1) ✭✺✳✻✮

y(t+∆t) = y(t) +√

2Df (x, y)∆tN(0, 1)

✇❤❡r❡ N(0, 1) ❞r❛✇s ❛ ♥✉♠❜❡r ❢r♦♠ ❛ ❝❡♥t❡r❡❞ ♥♦r♠❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ st❛♥❞❛r❞

❞❡✈✐❛t✐♦♥ 1 ✭❣❡♥❡r❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ▼❡rs❡♥♥❡ ❚✇✐st❡r ♣s❡✉❞♦✲r❛♥❞♦♠ ♥✉♠❜❡r ❣❡♥❡r✲

❛t♦r✮✳ ❆s ✇❡ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t② ✇❛s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t✱

✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r (Df ) ❛s ❛ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t

❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ♣❛t❝❤ (i, j)✳ ❲❡ ✉s❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥✿

Df = Dfmax1

1 + βp(i, j, t)✭✺✳✼✮

❲❤❡r❡ Dfmax ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠✱ β ✐s ❛ ❜✐♥❞✐♥❣

❛✣♥✐t② ❢❛❝t♦r ❛♥❞ p(i, j, t) ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❛t ♣❛t❝❤ (i, j)✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠✲

❡t❡r β r✉❧❡s t❤❡ s❡♥s✐t✐✈✐t② ♦❢ Df t♦ t❤❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ p(i, j, t) ❛s s❤♦✇♥ ❜② ✜❣✉r❡

✺✳✸✳

✼✹

❈❤❛♣t❡r ✺✳ ❆ ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤

♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

❋✐❣✉r❡ ✺✳✸✿ ▼♦t✐❧✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t

✈❛❧✉❡s ♦❢ β

✺✳✷✳ ▼♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ✼✺

✺✳✷✳✻✳✺ ❇❛❝t❡r✐❛ s❤♦✈✐♥❣

❇❛❝t❡r✐❛ s❤♦✈❡ ❡❛❝❤ ♦t❤❡r ✇❤❡♥ t❤❡② ♦✈❡r❧❛♣✳ ■❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✇✐t❤ r❛❞✐✉s a ✐s ♦✈❡r✲

❧❛♣♣❡❞ ✇✐t❤ n ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝❡❧❧s✱ ✐t ✐s ❞✐s♣❧❛❝❡❞ ✇✐t❤ ❛ s❤♦✈✐♥❣ ✈❡❝t♦r d ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞

✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛❞❛♣t❡❞ ❢r♦♠ ❬❑r❡❢t ✷✵✵✶❪✿

d =∑

k=1:n

a+ ak − dk2

uk ✭✺✳✽✮

ak ✐s t❤❡ r❛❞✐✉s ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r ❝❡❧❧ k✱ dk ✐s t❤❡ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡

❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ t♦ t❤❡ ❝❡♥t❡r t❤❡ kth ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ❝❡❧❧ ❛♥❞ uk ✐s ❛ ✈❡❝t♦r

❞✐r❡❝t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦r ❜❛❝t❡r✐✉♠ k t♦✇❛r❞s t❤❡ ❝❡♥t❡r ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠

❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❛ ✉♥✐t❛r② ♥♦r♠✳

✺✳✷✳✻✳✻ ❙✉❜str❛t❡ ❛♥❞ ❡①❝r❡t❡❞ ♣r♦❞✉❝t ♠❛ss ❜❛❧❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥

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Dp ❉✐✛✉s✐♦♥ ❝♦♥st❛♥t ❢♦r t❤❡ ♣r♦❞✉❝t (m2/s) 10−16 ✭✯✮

Dfmax ▼❛①✐♠✉♠ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❢❛❝t♦r ❢♦r t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ (m2/s) 10−12 ✭✯✯✮

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ks ❆✣♥✐t② ❝♦♥st❛♥t kgsubstrate/m2) 0.01 ✭✯✯✮

Yp Pr♦❞✉❝t ②✐❡❧❞ kgbiomass/kgsubstrate 0.1 ✭✯✮

❚❛❜❧❡ ✺✳✷✿ ❚❛❜❧❡ ✷ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❙♦✉r❝❡✿ ✭✯✮❆ss✉♠❡❞ ✲

✭✯✯✮❆❞❛♣t❡❞ ❢r♦♠ ❬P✐❝✐♦r❡❛♥✉ ✷✵✵✼❪

P❛r❛♠❡t❡r ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❯♥✐ts ❱❛❧✉❡

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N0 ■♥✐t✐❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s − ✶✵✵

m0 ■♥✐t✐❛❧ ♠❛ss ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ kg 10−15

❚❛❜❧❡ ✺✳✸✿ ■♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧

✺✳✷✳✻✳✼ ■❇▼ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❯♥❧❡ss ❡①♣❧✐❝✐t❧② s♣❡❝✐✜❡❞✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❛❜❧❡ ✺✳✷ ❢♦r t❤❡

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧✳

✺✳✷✳✻✳✽ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥

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❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♠♦t✐❧❡ ❝❡❧❧s ✐♥t♦ ♠✐❝r♦❝♦❧♦♥✐❡s ✇❤❡♥ t❤❡✐r

♠♦t✐❧✐t② ✐♥ r❡❞✉❝❡❞ ❜② ❛ s❡❧❢✲❡①❝r❡t❡❞ ♣♦❧②♠❡r✳

✻✳✶✳✶✳✷ ❙t❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s

❚❤❡ s②st❡♠ ❝♦♥t❛✐♥s t✇♦ t②♣❡s ♦❢ ❞✐s❝r❡t❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✿ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r✐❝

♣❛rt✐❝❧❡s✳ ❊❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✭❜❛❝t❡r✐✉♠ ♦r ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡✮ ✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② ❛

❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♣♦s✐t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ t✇♦✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❞♦♠❛✐♥✳

✻✳✶✳✶✳✸ ❖✈❡r✈✐❡✇

❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ♣♦♣✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❞✐s❝r❡t❡✱ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ✐♥❤❛❜✐t✐♥❣

❛ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❚❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✉♥❞❡r❣♦ ❢♦✉r st♦❝❤❛st✐❝

♣r♦❝❡ss❡s✿ t❤❡② ♠♦✈❡ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞♦♠❛✐♥✱ ❡①❝r❡t❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✱ ❞✐✈✐❞❡

✐♥t♦ t✇♦ ✐❞❡♥t✐❝❛❧ ❝❡❧❧s ❛♥❞ ❣❡t ❞❡t❛❝❤❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞♦♠❛✐♥ ✐s

✐♥✐t✐❛❧❧② ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❜✉t t❤❡ ♣r♦❣r❡ss✐✈❡ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞ ♣♦❧②♠❡r✐❝

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❛❧s♦ ❞❡t❛❝❤ ❢r♦♠ t❤❡ s②st❡♠ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡✐r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ❛❧s♦ ✐♥❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡

✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡rs✳

✻✳✶✳✶✳✹ ❙❝❤❡❞✉❧✐♥❣

❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ✐s ❣♦✈❡r♥❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡✈❡♥ts✿

✻✳✶✳ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✽✾

• ❉✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧

• Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡

• ❉❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧

• ❉❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡

• ▼♦t✐❧✐t② ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧

❲❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❡❞ t❤❡ ■❇▼ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s t✐♠❡✳ ❚♦ s✐♠✉❧❛t❡ t❤❡ t❡♠♣♦r❛❧

❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ s♣❡❝✐❢② ✇❤❡♥ t❤❡ ♥❡①t ❡✈❡♥t ✇✐❧❧ ♦❝❝✉r✱ ✇❤❛t

❦✐♥❞ ♦❢ ❡✈❡♥t ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✇✐❧❧ ❜❡ ❝♦♥❝❡r♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❡✈❡♥t✳ ❲❡ ✉s❡

❛ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❛❞❛♣t❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♦❢ ●✐❧❧❡s♣✐❡ ❬●■❧❧❡s♣✐❡ ✶✾✼✻❪ t♦ s✐♠✉❧❛t❡ t❤❡

❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✳ ❚❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ②✐❡❧❞s ❛♥ ❛s②♥❝❤r♦♥♦✉s r❛♥❞♦♠ ❡①❡❝✉t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ❡✈❡♥ts ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ♦♥❡ ❡✈❡♥t ♦❝❝✉rs ❛t ❛ t✐♠❡✳ ■t ✐t❡r❛t❡s ♦✈❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

st❡♣s✿

✶✳ ❙❡t t❤❡ t✐♠❡ t♦ t = 0

✷✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡✿

✭❛✮ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛

✭❜✮ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r

✭❝✮ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛

✸✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ s✉♠s r1✱ r2 ❛♥❞ r3 ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ s✉♠s ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✲

✉❛❧ r❛t❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✱ ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t②✳

✹✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ s✉♠s r4 ❛♥❞ r5 ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ s✉♠ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡s ♦❢ ♣♦❧②♠❡r

✺✳ ❈❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ♦✈❡r❛❧❧ r❛t❡ ♦❢ ❡✈❡♥ts ✿ r = r1 + r2 + r3 + r4 + r5

✻✳ ❈❤♦♦s❡ t❤❡ ✇❛✐t✐♥❣ t✐♠❡ τ ❢♦r t❤❡ ♥❡①t ❡✈❡♥t t♦ ♦❝❝✉r ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ τ = −1

r lnλ

✇❤❡r❡ 0 < λ ≤ 1 ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ r❛♥❞♦♠ ♥✉♠❜❡r

✼✳ ❈❤♦♦s❡ ❛♥ ❡✈❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s✿

✭❛✮ ❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r1/r

✭❜✮ ❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r2/r

✭❝✮ ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐❛ ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r3/r

✭❞✮ ❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r4/r

✭❡✮ ❛ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r5/r

✽✳ ❙❡❧❡❝t ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✿

✾✵ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

✭❛✮ ■❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐s ❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ♣♦❧②♠❡r t❤❛♥ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ✐s

s❡❧❡❝t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r2j/r ✇❤❡r❡ r2j ✐s t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ♦❢ t❤❡

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j

✭❜✮ ■❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐s ❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ t❤❛♥ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐s s❡❧❡❝t❡❞

✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r1i/r ✇❤❡r❡ r1i ✐s t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

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✭❝✮ ■❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐s ❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r t❤❛♥ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐s s❡❧❡❝t❡❞ ✇✐t❤

❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r4i/r ✇❤❡r❡ r4i ✐s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♦❢

t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i

✭❞✮ ■❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐s ❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ t❤❛♥ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐s s❡❧❡❝t❡❞

✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r3i/r ✇❤❡r❡ r3i ✐s t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i

✭❡✮ ■❢ t❤❡ ❡✈❡♥t ✐s ❛ ❞✐s♣❧❛❝❡♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ t❤❛♥ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐s s❡❧❡❝t❡❞

✇✐t❤ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② r5i/r ✇❤❡r❡ r5i ✐s t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i

✾✳ P❡r❢♦r♠ t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ❡✈❡♥t ♦♥ t❤❡ s❡❧❡❝t❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

✶✵✳ ❯♣❞❛t❡ t✐♠❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t = t+ τ

✶✶✳ ❈♦♥t✐♥✉❡ ❢r♦♠ st❡♣ ✷ ✉♥t✐❧ t < tend

✻✳✶✳✷ ❉❡t❛✐❧s

✻✳✶✳✷✳✶ ❙✉❜♠♦❞❡❧s

• ❉✐✈✐s✐♦♥✿ ❲❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠

i ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ xi ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♥❡✇ ❝❡❧❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

Bb(xi, x′) = b1K

(

||xi − x′||

wb

)

✭✻✳✶✮

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r b1 ✐s ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞

K(||xi − x′||/wb) ✐s ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✇✐t❤ ❛ ✇✐♥❞♦✇ s✐❞❡ wb✳ ❚❤❡

❣❡♥❡r❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ t❤✐s ❦❡r♥❡❧ ❢♦r ❛ ✇✐♥❞♦✇ s✐❞❡ w ❣✐✈❡♥ ❜②✿

K

(

||x− x′||

w

)

=

{

1/w ✐❢ ||x− x′|| < w

0 ❡❧s❡✭✻✳✷✮

❚❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ❣✐✈❡s t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

❞✐s♣❡rs❡s ✐♥st❛♥t❛♥❡♦✉s❧② ❛❢t❡r t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥t t♦ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ x′✳ ❚❤✐s

♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ||xi − x′|| ❛♥❞ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥

❦❡r♥❡❧ wb✳

• P♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✿ ❲❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡

t❤❛t ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ xi ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♥❡✇ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡

✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

✻✳✶✳ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✾✶

Bp(xi, x′) = b2K

(

||xi − x′||

wb

)

✭✻✳✸✮

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r b2 ✐s ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡✳ ❲❡ ✉s❡

t❤❡ s❛♠❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ❛s ❢♦r t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥✳

• ❇❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✿ ❲❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡

t❤❛t ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ xi ❞❡t❛❝❤❡s ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥

♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ xi ❞❡♥♦t❡❞ ploc(xi)✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

Db(xi) = [d1 + d′1ploc(xi)] ✭✻✳✹✮

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs d1 ❛♥❞ d′1 ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲

❞❡♣❡♥❞❛♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ t❡r♠ ploc(xi) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②

✭❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ❜❡❧♦✇✮ ❛s ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ xi✳

• P♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✿ ❲❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡

t❤❛t ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ✐♥ ♣♦s✐t✐♦♥ xj ❞❡t❛❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❝♦♥❝❡♥✲

tr❛t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ xj ❞❡♥♦t❡❞ ploc(xj)✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s ❣✐✈❡♥

❜②✿

Dp(xj) = [d2 + d′2(ploc(xj))] ✭✻✳✺✮

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs d2 ❛♥❞ d′2 ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲

❞❡♣❡♥❞❛♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❚❤❡ t❡r♠ ploc(xi) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②

✭❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s ❜❡❧♦✇✮ ❛s ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ xj ✳

• ❈❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②✿ ❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❛

♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ xj t♦ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜②

❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✭❜❛❝t❡r✐❛ ♦r ♣♦❧②♠❡r✮ i ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ xi ✐s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥t❡r❛❝✲

t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||xi − xj ||/wd)✳ ❚❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ xi ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ❜② s✉♠♠✐♥❣ t❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ♦❢ ❛❧❧ t❤❡

♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✿

ploc(xi) =

j=np∑

j=0

K

(

||xi − xj ||

wd

)

✭✻✳✻✮

■❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐♥ xi ✐s ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐ts ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ♣❡r❝❡✐✈❡❞

❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✐s ♥♦t ❝♦✉♥t❡❞✳

• ❇❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t②✿ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐♥

xi ♠♦✈❡s t♦ ❛ ♣♦s✐t✐♦♥ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

M(xi, x′) = [m1 −m2ploc(xi)]K

(

||xi − x′||

wm

)

✭✻✳✼✮

✾✷ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

❲❤❡r❡ m1 ❛♥❞ m2 ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②

❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡s ❛♥❞ K(||xi − x′||/wm) ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧✳

✻✳✶✳✷✳✷ ■♥✐t✐❛❧✐③❛t✐♦♥

❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ nb(t = 0) = 1000 ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧s ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥✐❢♦r♠❧②

♦✈❡r t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ■♥✐t✐❛❧❧② t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✭np(t = 0) =

0✮

✻✳✶✳✷✳✸ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❚❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✻✳✸✳ ❯♥❧❡ss ❡①♣❧✐❝✲

✐t❧② s♣❡❝✐✜❡❞✱ ✇❡ ✉s❡ t❤❡ ❞❡❢❛✉❧t ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❛❧✉❡s ✐♥ t❛❜❧❡ ✻✳✸✳

✻✳✷ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

❲❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❞❡✈❡❧♦♣ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡

❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ♠♦✲

♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳

✻✳✷✳✶ ❋✐rst ♠♦♠❡♥t ❞②♥❛♠✐❝s

❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✜rst ♠♦♠❡♥t ✭❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r✮ ✐s ❣✐✈❡♥

❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s✿

dNb

dt= (b1 − d1)Nb − d′1

∫

Cbp(ξ)K

(

||ξ||

wd

)

dξ ✭✻✳✽✮

dNp

dt= b2Nb − d2Np − d′2

∫

Cpp(ξ)K

(

||ξ||

wd

)

dξ ✭✻✳✾✮

❊q✉❛t✐♦♥s ✻✳✽ ❛♥❞ ✻✳✾ ❞❡s❝r✐❜❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t②

♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ Nb ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r Np✳ ❚❤❡ ✐♥t❡❣r❛❧ t❡r♠s ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛r❡ t❤❡

♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✳ ❚❤❡② ✐♥✈♦❧✈❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②

t❤❡ ♣❛✐r ❞❡♥s✐t✐❡s Cbp(ξ) ❛♥❞ Cpp(ξ) ❛♥❞ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ||/wd)✳ ❚❤❡s❡

t❡r♠s ❡♥❝♦♠♣❛ss t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢

❜❛❝t❡r✐❛✱ ❛s ❣✐✈❡♥ ❜② Cbp(ξ)✱ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡✱ ❛s

❣✐✈❡♥ ❜② Cpp(ξ)✱ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ||/wd)✳ ◆♦t❡ t❤❛t

✐❢ t❤❡ s✐③❡ wd ♦❢ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ t❤❛♥

❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡✮ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡s ❡q✉❛❧❧② t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❛❧❧

t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤✐s r❡❞✉❝❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✻✳✽ ❛♥❞ ✻✳✾ t♦ t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ s②st❡♠✿

dNb

dt= (b1 − d1)Nb − d′1NbNp ✭✻✳✶✵✮

dNp

dt= b2Nb − d2Np − d′2NpNp ✭✻✳✶✶✮

✻✳✷✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✾✸

❚❤❡ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ❡q✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛❧

❝❡❧❧s ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ❝❡❧❧s✮ ❛r❡ ♥♦t ❝♦rr❡❧❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❢♦❝❛❧ ❜❛❝t❡r✐✉♠

✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛ ❢♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✮ ✇✐t❤ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛

✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦❝❛❧ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐s ❡q✉❛❧ t♦ t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡

❞❡♥s✐t✐❡s NbNp ✭r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② NpNp✮✳ ❙♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞ s♠❛❧❧ ✐♥t❡r❛❝✲

t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ♠❛② ❝❛✉s❡ ❛ ❞❡♣❛rt✉r❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ s②st❡♠ ❢♦r♠❡❞

✇✐t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ✻✳✽ ❛♥❞ ✻✳✾ ✐s ♥♦t ❝❧♦s❡❞ ❛♥❞ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦✉♣❧❡❞ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢

Cbp(ξ) ❛♥❞ Cpp(ξ)✳

✻✳✷✳✷ ❙❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ❞②♥❛♠✐❝s

❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s Cbb(ξ)✱ Cbp(ξ) ❛♥❞ Cpp(ξ) ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ s♣❛t✐❛❧

♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✳ ❚❤❡② ♠❡❛s✉r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡

❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ♣❛✐rs ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t✇♦ ❜❛❝t❡r✐❛✱ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡

♦r t✇♦ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛t ❞✐✛❡r❡♥t ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡s❡

❢✉♥❝t✐♦♥s ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ ✜✈❡ ♣r♦❝❡ss❡s✿ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥✱ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝

♣❛rt✐❝❧❡s✱ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✱ ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳

✻✳✷✳✷✳✶ ❉②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲❜❛❝t❡r✐❛ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲❜❛❝t❡r✐❛ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Cbb(ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

dCbb(ξ)

dt=

(

dCbb(ξ)

dt

)

division

+

(

dCbb(ξ)

dt

)

detachment

+

(

dCbb(ξ)

dt

)

motility

✭✻✳✶✷✮

❚❤❡ t❡r♠s ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❞❡♥♦t❡s ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤r❡❡ ♣r♦❝❡ss❡s t❤❛t

♠❛② ♠♦❞✐❢② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣❛tt❡r♥ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥✱ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t

❛♥❞ ♠♦t✐❧✐t② ❡✈❡♥ts✳ ❚❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥ts ♦♥ Cbb(ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❡q✉❛t✐♦♥✿

(

dCbb(ξ)

dt

)

division

= +2b1NbK

(

||ξ||

wb

)

+2b1

∫

Cbb(ξ + ξ′)K

(

||ξ′||

wb

)

dξ′ ✭✻✳✶✸✮

• ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠

i ♣r♦❞✉❝✐♥❣ ❛ ♥❡✇ ❝❡❧❧ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤✐s ❡✈❡♥t ②✐❡❧❞s ❛

♥❡✇ ♣❛✐r ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤❡ r❛t❡ ❛t ✇❤✐❝❤

s✉❝❤ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥ts ♦❝❝✉r ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❛✈❡r❛❣❡

❜❛❝t❡r✐❛ Nb ❜② t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ b1✳ ❚❤❡♥ ✇❡ ♠✉❧t✐♣❧② ❜② t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②

K(||ξ||/wb) t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ❝❡❧❧s ❛r❡ ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❢r♦♠ t❤❡

♣❛r❡♥t ❝❡❧❧✳ ❚❤❡ ❢❛❝t♦r 2 ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ❝❡❧❧s ❛t ❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡

−ξ ✇❤✐❝❤ ❛❧s♦ ❢♦r♠ ❛ ♥❡✇ ♣❛r (j, i) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳

✾✹ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

• ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❢♦❝✉s❡s ♦♥ t❤❡ ♥❡✇ ♣❛✐r t❤❛t t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ ♦❢ ❛ ♣❛r❡♥t

❜❛❝t❡r✐✉♠ i ❢♦r♠ ✇✐t❤ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡

❞❡♥s✐t② ♦❢ (i, j) ♣❛✐rs ✐s Cbb(ξ + ξ) ❛♥❞ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ✐s b1✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣

t❤❡s❡ t✇♦ ❢❛❝t♦rs ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② K(||ξ′||/wb) t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ❝❡❧❧s

✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′ ❢r♦♠ i ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′

❣✐✈❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳ ❲❡ ❛❧s♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ t❤❛t ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t

❝❛♥ ♦❝❝✉r t♦ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❜② ❛ ❢❛❝t♦r 2✳

❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbb(ξ)

✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

(

dCbb(ξ)

dt

)

detachment

= −2d1Cbb(ξ)

−2d′1

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

Tbbp(ξ, ξ′′)dξ′′ ✭✻✳✶✹✮

• ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧ i

✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j)✳ ❙✉❝❤ ❡✈❡♥ts ♦❝❝✉r ❛t ❛ r❛t❡ d1✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ d1 ❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t②

Cbb(ξ) ♦❢ (i, j) ♣❛✐rs ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❣✐✈❡s t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ❞❡❝r❡❛s❡ ✐♥ t❤❛t ❞❡♥s✐t②✳

❚❤❡ ❢❛❝t♦r 2 ❛❝❝♦✉♥ts t❤❛t ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t ❝❛♥ ♦❝❝✉r ❢♦r t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j✳

• ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ✐s t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t t❡r♠ t❤❛t ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r

t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚❤❡

❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ♦❢ t❤❡ (i, j) ♣❛✐r ❝❛♥ r❡s✉❧t ❢r♦♠ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢

♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ k ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠ i✳ ❙✉❝❤ tr✐♣❧❡t ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ♦❝❝✉rs

❛t ❛ ❞❡♥s✐t② Tbbp(ξ, ξ′′)✳ ❚❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s k

s✐t✉❛t❡❞ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t ❞✐st❛♥❝❡s ξ′′ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡❧❧ i ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ✇❡✐❣❤t✐♥❣ t❤❡

tr✐♣❧❡t ❞❡♥s✐t② ✇✐t❤ K(||ξ′′||/wd) ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❞✐st❛♥❝❡s

ξ′′✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲

❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ d′1 ❣✐✈❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳ ❚❤❡

❢❛❝t♦r 2 ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t t❤❛t ❝❛♥ ♦❝❝✉r ❢♦r t❤❡ ❝❡❧❧ j ✐♥ t❤❡

t❤❡ ♣❛✐r (i, j)✳

❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbb(ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❡q✉❛t✐♦♥✿

(

dCbb(ξ)

dt

)

motility

= −2m1Cbb(ξ) ✭✻✳✶✺✮

+2m1

∫

K

(

||ξ′||

wm

)

Cbb(ξ + ξ′)dξ′

+2m2

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

Tbbp(ξ, ξ′′)dξ′′

−2m2

∫ ∫

K

(

||ξ′||

wm

)

K

(

||ξ′′||

wd

)

Tbbp(ξ + ξ′, ξ′′)dξ′dξ′′

✻✳✷✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✾✺

• ❲❤❡♥ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ♠♦✈❡s✱ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐r (i, j) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✐s ❞❡str♦②❡❞✳

❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤✐s ♣r♦❝❡ss ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣

t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ ♦❢ m1 ❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs Cbb(ξ) ♦❢

t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐r ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✳

• ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ ❛ ♥❡✇ (i, j) ♣❛✐r ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐s ❝r❡❛t❡❞ ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✇❤❡♥ t❤❡

❝❡❧❧ i ❛t ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ+ ξ′ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡❧❧ j ♠♦✈❡s ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′✳ ❚❤✐s

❡✛❡❝t ✐s ❝❛♣t✉r❡❞ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡✐❣❤ts t❤❡ ❞❡♥s✐t② Cbb(ξ + ξ′)

♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐r ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧ UK(||ξ′||/wm) ❛♥❞

✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ♠♦t✐❧✐t② ❞✐st❛♥❝❡s ξ′✳

• ❚❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ ✜rst t❡r♠ ❜② ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣r❡s❡♥❝❡

♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ❝❡❧❧ ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j) ♦r✐❣✐♥❛❧❧②

❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j) ✐s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡

♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ k ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② tr✐♣❧❡t

❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t✇♦ ❝❡❧❧s s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ❛t

❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠ i ✐s Tbbp(ξ, ξ′′)✳ ❲❡✐❣❤t✐♥❣ t❤✐s ❞❡♥s✐t② ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥

❦❡r♥❡❧ K(||ξ′′||/wd) ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′′ ❣✐✈❡s t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠✳

❚❤❡ ❢❛❝t♦r ✷ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t t❤❛t ❝❛♥ ♦❝❝✉r ❢♦r t❤❡ ❝❡❧❧ j✳

• ❚❤❡ ❧❛st t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❜② ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r ♠♦t✐❧✐t② r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ❝❡❧❧ i ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ+ ξ′ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡❧❧ j ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛

♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ k ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②✲

♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s k ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ tr✐♣❧❡t ❞❡♥s✐t② Tbbp(ξ + ξ′, ξ′′)

❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ′′||/wd) ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′′✳

❚❤❡ r❡s✉❧t ✐s t❤❡♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧ K(||ξ′||/wm)✱ ✐♥t❡❣r❛t❡❞

♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′ ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ m2✳

t❤❡ ❢❛❝t♦r ✷ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❡✈❡♥t t❤❛t ♠❛② ❜❡ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❝❡❧❧

j ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j)✳

✻✳✷✳✷✳✷ ❉②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡

ξ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜✉② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿

dCpp(ξ)

dt=

(

dCpp(ξ)

dt

)

production

+

(

dCpp(ξ)

dt

)

detachment

✭✻✳✶✻✮

❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r

♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❡✈❡♥ts ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❢♦r ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts ✳ P♦❧②♠❡r

♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❡✈❡♥ts ❝♦♥tr✐❜✉t❡ t♦ t❤❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ♣♦s✐t✐✈❡❧② t♦ Cpp(ξ) ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿

(

dCpp(ξ)

dt

)

production

= +2b2

∫

K

(

||ξ′||

wb

)

Cbp(ξ + ξ′)dξ′ ✭✻✳✶✼✮

✾✻ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

• t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞✲s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♥❡✇ ♣❛✐rs ♦❢ ♣♦❧②♠❡rs t❤❛t ❛r❡ ❢♦r♠❡❞ ✇❤❡♥

t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛❧ ❝❡❧❧ i s✐t✉❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ❢r♦♠ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j

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✐s Cbp(ξ + ξ′) ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ♥❡✇❧② ❢♦r♠❡❞ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡s ✐s

❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′ ❢r♦♠ t❤❡ ❝❡❧❧ i ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② K(||ξ′||/wb)✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣

t❤❡s❡ t✇♦ ❢❛❝t♦rs ✇✐t❤ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ b2 ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧

♣♦ss✐❜❧❡ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′ ❣✐✈❡s t❤❡ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ♣♦❧②♠❡r t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cpp(ξ) ✐s ❣✐✈❡♥

❜②✿

(

dCpp(ξ)

dt

)

detachment

= −2d2Cpp(ξ)

−2d′2Cpp(ξ)K

(

||ξ||

wd

)

−2d′2

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

Tppp(ξ, ξ′′)dξ′′ ✭✻✳✶✽✮

• ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ tr❛♥s❧❛t❡s t❤❡ ❞❡str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♣❛✐r ♦❢

♣♦❧②♠❡r (i, j) ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s i ♦r j ❞❡t❛❝❤✳

• ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ j ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j) ♦♥

t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ i✳ ❚❤✐s ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡

❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs Cpp(ξ) ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ||/wd)✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ ❜②

d′2 ❣✐✈❡s t❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣r♦❝❡ss✳

• ❚❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s k t❤❛t ❛r❡ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ ❛

♣❛rt✐❝❧❡ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j)✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤✐s ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s

❣✐✈❡♥ ❜② Tppp(ξ, ξ′′)✳ ❲❤❡r❡ ξ′′ ✐s t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡s k ❛♥❞ i✳

❚❤✐s ❞❡♥s✐t② ✐s ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ′′||/wd) ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞

❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡✳ ■♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′′

❣✐✈❡s t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠✳

❚❤❡ ❢❛❝t♦r 2 ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✶✽ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ❛♥❛❧♦❣♦✉s ❞❡t❛❝❤✲

♠❡♥t ❡✈❡♥ts t❤❛t ♠❛② ❜❡ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣❛rt✐❝❧❡ j ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r i, j✳

✻✳✷✳✷✳✸ ❉②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥

❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Cbp(ξ) ✐s ♠♦r❡ ❝♦♠✲

♣❧❡①✳ ❆❧❧ ♣r♦❝❡ss❡s ❛✛❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ❝♦♥tr✐❜✉t❡s t♦ t❤✐s ❞②✲

♥❛♠✐❝ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❤♦✇♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿

✻✳✷✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✾✼

dCbp(ξ)

dt= +

(

dCbp(ξ)

dt

)

division

+

(

dCbp(ξ)

dt

)

production

+

(

dCbp(ξ)

dt

)

detachment bact

+

(

dCbp(ξ)

dt

)

detachment poly

+

(

dCbp(ξ)

dt

)

motility

✭✻✳✶✾✮

❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbp(ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿(

dCbp(ξ)

dt

)

division

= +b1

∫

K

(

||ξ′||

wb

)

Cbp(ξ + ξ′)dξ′ ✭✻✳✷✵✮

• t❤❡ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r t❤❛t

❛ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧ k r❡s✉❧t❛♥t ❢r♦♠ t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛ ♣❛r❡♥t ❝❡❧❧ i ❢♦r♠s ✇✐t❤ ❛

♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ+ξ′ ❢r♦♠ i✳ ❚❤❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ❜❛❝t❡r✐❛

❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ✐s b1✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ (i, j) ♣❛✐rs ✐s Cbp(ξ+ξ′) ❛♥❞ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞❡♥s✐t②

♦❢ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ′ ✐s K(||ξ′||/wb)✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ ❢❛❝t♦rs ❛♥❞

✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′ ❣✐✈❡s t❤❡ t❡r♠ ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡✳

❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ Cbp(ξ) ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②

t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿

(

dCbp(ξ)

dt

)

production

= +b2NbK

(

||ξ||

wb

)

+b2

∫

K

(

||ξ′||

wb

)

Cbb(ξ + ξ′)dξ′ ✭✻✳✷✶✮

• ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♥❡✇ ♣❛✐rs (k, j) ❢♦r♠❡❞ ❜② ❛

❜❛❝t❡r✐✉♠ k ❛♥❞ ❛ ♣r♦❞✉❝❡❞ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ j ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤❡

♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ ✐s b2Nb ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ s❡❧❢✲♣r♦❞✉❝❡❞ ♣♦❧②♠❡r

♣❛rt✐❝❧❡s ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❢r♦♠ ❛ ❢♦❝❛❧ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ✐s K(||ξ||/wb)✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣

t❤❡s❡ ❢❛❝t♦rs ❣✐✈❡s t❤❡ ✜rst t❡r♠✳

• ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ✇❡ ❢♦❝✉s ♦♥ ♣❛✐rs (i, j) ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t✇♦ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛t ❛

❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′✳ ■❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ i ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ k ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ′

t❤❛♥ ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r ❜❛❝t❡r✐❛ ♣♦❧②♠❡r (j, k) ✐s ❢♦r♠❡❞ ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢

♣❛✐rs (i, j) ✐s Cbb(ξ+ξ′) ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ ♣r♦❞✉❝❡❞

❜② t❤❡ ❝❡❧❧ i ✐s ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′ ✐s K(||ξ′||/wb)✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡s❡ t✇♦

❢❛❝t♦rs ❜② t❤❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧

❞✐st❛♥❝❡s ξ′ ❣✐✈❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳

✾✽ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

❚❤❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s ✐s ❣✐✈❡♥ r❡s♣❡❝✲

t✐✈❡❧② ❜② t❤❡ t✇♦ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❤❛✈❡ ❛ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ str✉❝t✉r❡✿

(

dCbp(ξ)

dt

)

detachment bact

= −d1Cbp(ξ)

−d′1

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

Tbpp(ξ, ξ′′)dξ′′

−d′1K

(

||ξ||

wd

)

Cbp(ξ) ✭✻✳✷✷✮

(

dCbp(ξ)

dt

)

detachment poly

= −d2Cbp(ξ)

−d′2

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

Tbpp(ξ, ξ + ξ′′)dξ′′ ✭✻✳✷✸✮

❚❤❡ ✜rst t✇♦ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❜♦t❤ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡✿

• t❤❡ ✜rst t❡r♠ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡✲

t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✭❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✷✷✮ ♦r ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✭❡q✉❛✲

t✐♦♥ ✻✳✷✸✮✳

• t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ t❛❦❡s ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ❞❡♣❡♥❞❡♥t

❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✭❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✷✷✮ ♦r ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✭❡q✉❛t✐♦♥

✻✳✷✸✮✳ ❋♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s t❡r♠ tr✐♣❧❡ts ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❛

♣❛✐r ❜❛❝t❡r✐✉♠✲♣♦❧②♠❡r (i, j) ❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ k ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳

■♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✷✷ ✇❡ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r k ♦♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠

❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ ✉s❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ tr✐♣❧❡t Tbpp(ξ, ξ′′) ✇❤✐❧❡ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✷✸ ✇❡

❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r k ♦♥ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝

♣❛rt✐❝❧❡ j ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r ✭✐✱❥✮ ❛♥❞ ✉s❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ tr✐♣❧❡t Tbpp(ξ, ξ + ξ′′)✳

• t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✷✷ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢

t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ♣❛rt✐❝❧❡ j ✐♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r (i, j) ♦♥ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t

r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i✳

❋✐♥❛❧❧② t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❝❡ss ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛❧s♦ ❝♦♥tr✐❜✉t❡s t♦ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢

t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ Cbp(ξ) ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥✿

✻✳✷✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✾✾

(

dCbp(ξ)

dt

)

motility

= −m1Cbp(ξ)

+m1

∫

K

(

||ξ′||

wm

)

Cbp(ξ + ξ′)dξ′

+m2

∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

Tbpp(ξ, ξ′′)dξ′′

−m2

∫ ∫

K

(

||ξ′′||

wd

)

K

(

||ξ′||

wm

)

Tbpp(ξ + ξ′, ξ′′)dξ′dξ′′

+m2Cbp(ξ)K

(

||ξ||

wd

)

−m2

∫

K

(

||ξ′||

wm

)

K

(

||ξ + ξ′||

wd

)

Cbp(ξ + ξ′)dξ′ ✭✻✳✷✹✮

• ❲❤❡♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i✱ ✐♥ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r (i, j) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ✱ ♠♦✈❡s✱

t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐r (i, j) ✐s ❞❡str♦②❡❞✳ ❚❤✐s ✐s ❛❝❝♦✉♥t❡❞ ❢♦r ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst t❡r♠✳

• ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ✇❤❡♥ ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r (i, j) ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✐s t❤❡

❜❛❝t❡r✐✉♠ ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ j ♠♦✈❡s

✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′✳ ❚❤✐s ♣r♦❝❡ss ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❜② t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠✳

• ❚❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ ✜rst t❡r♠ ❜② ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ♣r❡s❡♥❝❡

♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✐♥ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠✲

♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r (i, j) ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ i ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r (i, j)

✐s r❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ k ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠

i✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t② tr✐♣❧❡t ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛✐r (i, j) s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ

❛♥❞ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠ i ✐s Tbpp(ξ, ξ′′)✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤✐s

❞❡♥s✐t② ❜② t❤❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ m2✱ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❜②

t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ′′||/wd) ❛♥❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′′ ❣✐✈❡s

t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠✳

• ❚❤❡ ❢♦✉rt❤ t❡r♥ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❜② ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r ♠♦t✐❧✐t② r❡❞✉❝t✐♦♥

♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ i ♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ❢r♦♠ t❤❡ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛r✲

t✐❝❧❡ j ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ k ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′ ❢r♦♠ i✳

❚❤❡ ❝✉♠✉❧❛t✐✈❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s k ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣

t❤❡ tr✐♣❧❡t ❞❡♥s✐t② Tbpp(ξ + ξ′, ξ′′) ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ U(||ξ′′||/wd) ❛♥❞

✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′′✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t ✐s t❤❡♥ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦t✐❧✲

✐t② ❦❡r♥❡❧ K(||ξ′||/wm)✱ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′ ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡

❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ m2✳

• ❚❤❡ ✜❢t❤ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐♥ t❤❡

❜❛❝t❡r✐✉♠✲♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r (i, j) ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ♦♥ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ i✳ ❚❤❡ ❞❡♥s✐t②

♦❢ ♣❛✐rs (i, j) ✐s Cbp(ξ)✳ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ K(||ξ||/wd) ❛♥❞

♠✉❧t✐♣❧✐❡❞ ❜② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ m2 ②✐❡❧❞s t❤❡

✜❢t❤ t❡r♠

✶✵✵ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

• ❚❤❡ s✐①t❤ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ♣♦❧②♠❡r ♣❛✐r

♦r✐❣✐♥❛❧❧② ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ②✐❡❧❞s ❛ ♥❡✇ ♣❛✐r ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ ❛❢t❡r t❤❡

❜❛❝t❡r✐✉♠ ❤❛s ♠♦✈❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′✳ ❚❤❡ s✐①t❤ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t

♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡ ✐♥ t❤✐s ♣❛✐r ♦♥ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠✳ ❚❤❡

❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣❛✐rs ✐s Cbp(ξ + ξ) t❤❛t ✇❡ ✇❡✐❣❤t ❜② t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥

❦❡r♥❡❧ K(||ξ + ξ′||/wd)✳ ▼✉❧t✐♣❧②✐♥❣ ❜② K(||ξ′||/wm) ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡

♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t♦ ♠♦✈❡ ✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′ ❛♥❞ t❤❡ ♣❡r ❝❛♣✐t❛ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t

♠♦t✐❧✐t② r❛t❡s t❤❛♥ ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ♦✈❡r ❛❧❧ ❞✐st❛♥❝❡s ξ′ ②✐❡❧❞s t❤❡ s✐①t❤ t❡r♠✳

✻✳✷✳✸ ❈❧♦s✉r❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❤✐❡r❛r❝❤②

❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✜rst ♠♦♠❡♥t ✐♥✈♦❧✈❡s s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t t❡r♠s ❛♥❞ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝

♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ✐♥✈♦❧✈❡s t❤❡ t❤✐r❞ ♠♦♠❡♥t t❡r♠s✳ ❚♦ tr✉♥❝❛t❡ t❤❡ ❤✐❡r❛r❝❤②

♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ✇❡ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ tr✐♣❧❡t ♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ♥♦t ❝♦rr❡❧❛t❡❞

❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t t❡r♠s✳ ❚❤✐s ②✐❡❧❞s t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❧♦s✉r❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✿

Tppp(ξ, ξ′′) =

Cpp(ξ)Cpp(ξ′′)

Np✭✻✳✷✺✮

Tbpp(ξ, ξ′′) =

Cbp(ξ)Cbp(ξ′′)

Nb✭✻✳✷✻✮

Tbbp(ξ, ξ′′) =

Cbb(ξ)Cbp(ξ′′)

Nb✭✻✳✷✼✮

✻✳✷✳✹ ❙♦❧✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧

❚❤❡ st❛t❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛r❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ (Nb)

❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r (Np) ❛♥❞ t❤❡ t❤r❡❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s Cbb(ξ)✱ Cpp(ξ) ❛♥❞ Cbp(ξ)✳

❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛r❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ✇✐t❤ r❡❣❛r❞s t♦ s♣❛❝❡ ✇✐t❤ s♣❛t✐❛❧ r❡s✲

♦❧✉t✐♦♥ dξ = (dξ1, dξ2) ❛♥❞ t❤❡② ❛r❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥t♦ t❤r❡❡ ♠❛tr✐❝❡s✳ ❲❡ ❞✐s❝r❡t✐③❡

t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛♥ ❊✉❧❡r ❡①♣❧✐❝✐t s❝❤❡♠❡ ❛♥❞ ✇❡ ✉s❡ ❛ ✜①❡❞ t✐♠❡ st❡♣

∆t = 0.1✳

✻✳✸ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥

■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❆❧❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs t❛❦❡

t❤❡ ✈❛❧✉❡s ❧✐st❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✻✳✶ ✉♥❧❡ss ♦t❤❡r✇✐s❡ st❛t❡❞✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ♣❛rt ✇❡ t✉r♥ ♦✛

❛❧❧ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s ❛♥❞ ❛ss❡ss ❤♦✇ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②

❛✛❡❝ts t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦♠♦t❡s t❤❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡

❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣r❡✈❡♥ts ❝♦❧♦♥② ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❛rt ✇❡ t✉r♥ ♦♥ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t②

❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s❧②

♦❜t❛✐♥❡❞ ♦♥❡s✳ ❲❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ♠♦t✐❧✐t② ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♣r♦❞✉❝❡❞ ♣♦❧②♠❡r

♣r♦♠♦t❡s ❝♦❧♦♥② ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ t✉r♥ ♦♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t

♣r♦❝❡ss❡s✳ ❚❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ ✐♥❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②

✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✶

P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❱❛❧✉❡

L ❉♦♠❛✐♥ s✐③❡ 101× 101

∆L ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ 1

b1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ 0.1

b2 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ r❛t❡ 0.1

d1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.1

d2 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.1

d′1 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.0

d′2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣♦❧②♠❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.0

m1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 1.0

m2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 2.0

wb ❯♥✐❢♦r♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ 5

wd ❯♥✐❢♦r♠ ■♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ 5

wm ❯♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ 5

❚❛❜❧❡ ✻✳✶✿ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

♦❢ ♣♦❧②♠❡r✳ ❲❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❤♦✇ t❤✐s ♣r♦❝❡ss ❛✛❡❝t t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠❡❞

❜② ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②✳ ❆❧❧ ❛❧♦♥❣ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥

♦❢ t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ r❡s✉❧ts ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ❛ss❡ss t❤❡ ✈❛❧✐❞✐t② ♦❢ t❤❡

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠❛❞❡ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤✳

❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦❞❡❧

■♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s (m2 = 0✱ d′1 = 0✱ d′2 = 0) t❤❡

s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❤❛s ♥♦ ❡✛❡❝t ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r✳ ❋♦r

❛ s②st❡♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ✐♠♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ (m1 = 0) s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r♠s ❛s ❛ r❡s✉❧t

♦❢ t❤❡ s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s✳ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✶ s❤♦✇s t✇♦ s♥❛♣s❤♦ts

♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡s ♦❢ s❤♦rt✲r❛♥❣❡ (wb/L ∼ 0.05) ❛♥❞ ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡

❞✐s♣❡rs✐♦♥ (wb/L ∼ 0.1) ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ✭L ✐s t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ s✐③❡✮✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥

♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐s ❧❡ss ♠❛r❦❡❞ ❢♦r ❧❛r❣❡r ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❞✐s♣❡rs✐♦♥✳ ❚❤✐s r❡s✉❧t ✐s ✇❡❧❧

❝❛♣t✉r❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✻✳✷✳ ❋♦r

❧♦✇ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥❝r❡❛s❡s ❛t

s❤♦rt ❞✐st❛♥❝❡s s✉❣❣❡st✐♥❣ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ❜❛❝t❡r✐❛✲❜❛❝t❡r✐❛ ❛❣❣r❡❣❛t✐♦♥ ❛t t❤❡s❡

❞✐st❛♥❝❡s✳ ▲❛r❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥ r❛♥❣❡ ②✐❡❧❞s ♣❛✐rs ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t t❛❦❡s ✈❛❧✉❡s ❝❧♦s❡

t♦ ✶✱ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♣❛tt❡r♥✳ ❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❝❛♣t✉r❡s ✇❡❧❧ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝

♦❢ t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

◆♦✇ ❤♦✇ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ♠♦t✐❧✐t② ❛✛❡❝ts t❤❡ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥

②✐❡❧❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s❤♦rt r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥❄ ❋✐❣✉r❡ ✻✳✸ s❤♦✇s s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡

s✐♠✉❧❛t❡❞ s②st❡♠ ✇❤❡♥ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐s ❛❞❞❡❞✳ ❚❤❡

♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ✐s ✈❛r✐❡❞ ❜② ✈❛r②✐♥❣ t❤❡ s✐③❡ wm ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧✳ ■♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡

♠♦t✐❧✐t② r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐s♣❡rs❡ ❞❛✉❣❤t❡r ❝❡❧❧s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣❛r❡♥ts ♣r❡✈❡♥t✐♥❣

✶✵✷ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

✭❛✮ wb = 5

✭❜✮ wb = 11

❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ t = 100 ❢♦r t❤❡

❝❛s❡ ♦❢ ✐♠♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ m1 = 0.0✳ (a) s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥✱ (b) ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡

❞✐s♣❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱

d′1 = d′2 = m2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮

✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✸

✭❛✮ wb = 5

✭❜✮ wb = 11

❋✐❣✉r❡ ✻✳✷✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡

■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ t = 100 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ✐♠♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

m1 = 0.0✳ (a) s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥✱ (b) ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ❞✐s♣❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡

♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1 ✭♥♦ ♣♦❧②♠❡r✮✱ d′1 = d′2 = m2 = 0.0

✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮

✶✵✹ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

✭❛✮ sm = 3

✭❜✮ sm = 15

❋✐❣✉r❡ ✻✳✸✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ t = 150 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡

♦❢ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ m1 = 0.0✳ (a) s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✱ (b) ❧♦♥❣✲

r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱

d′1 = d′2 = m2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮ ❛♥❞ wb = 5

✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✺

t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ■♥ ❡ss❡♥❝❡✱ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ❛❝ts ❛s t❤❡ ❞✐s♣❡rs❛❧ ❦❡r♥❡❧ ❛♥❞

t❡♥❞ t♦ ♠✐① t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ②✐❡❧❞✐♥❣ ✉♥✐❢♦r♠ ♣❛tt❡r♥s✳ ❚❤✐s ✐s ❛❧s♦ ❞❡♠♦♥str❛t❡❞ ❜②

t❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ✜❣✉r❡ ✻✳✹✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡

■❇▼ ❛♥❞ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧s t❛❦❡ ✈❛❧✉❡s ❝❧♦s❡ t♦ ✶ ❢♦r ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t② ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣

❛ ✉♥✐❢♦r♠ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✳ ❲❡ s❤♦✇ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ t❤❛t ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②

♣❧❛②s t❤❡ ✐♥✈❡rs❡ r♦❧❡ ❛♥❞ ♣r♦♠♦t❡s ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r♠❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢

❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②

❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t②

■♥ t❤❡ ■❇▼✱ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❝❡ss ✐s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② ❡q✉❛t✐♦♥ ✻✳✼✳

❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ♠♦✈❡s t♦ ❛♥② ♦t❤❡r ♣♦s✐t✐♦♥

✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② m1 −m2ploc(x) ✇❤❡r❡ ploc(x) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢

♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ✐♥ ❧♦❝❛t✐♦♥ x✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②

♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✐s ♥♦t ❜♦✉♥❞❡❞ ❛s ❛ ❜❛❝t❡r✐✉♠ ❝❛♥ ❤②♣♦t❤❡t✐❝❛❧❧② ❤❛✈❡ ❛♥② ♥✉♠❜❡r ♦❢

♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛✈♦✐❞ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ✇❡ ✜① ❛

t❤r❡s❤♦❧❞ ❢♦r t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛❜♦✈❡ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②

✐s s❡t t♦ ③❡r♦✳ ❚❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ m1/m2✳ ❲❤✐❧❡ ✐♥ t❤❡ ■❇▼ t❤❡

❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✢✉❝t✉❛t❡s ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t

st♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss❡s✱ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ r❡❧✐❡s ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ✈❛❧✉❡

♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ✇❤✐❝❤ ✐s✱ ❢♦r t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✉s❡❞ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱

❛❧✇❛②s ❜❡❧♦✇ t❤❡ t❤r❡s❤♦❧❞ ✈❛❧✉❡ m1/m2✳

❋✐❣✉r❡ ✻✳✺ s❤♦✇s s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ m2✳

■♥ t❤❡ ■❇▼✱ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ m2 ♣r♦♠♦t❡s t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ❞✉❡

t♦ t❤❡ ❞❡❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢r♦♠

✜❣✉r❡ ✻✳✻ s❤♦✇✐♥❣ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐rs ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭❛t t✐♠❡ t = 400✮ s✐♠✉❧❛t❡❞

✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ ✇✐t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♣❡❛❦❡❞ ❛t

s❤♦rt ❞✐st❛♥❝❡ ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ m2✳ ❙✉r♣r✐s✐♥❣❧②✱ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤

t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❧❛t❡r ❢❛✐❧ ✐♥ ❝❛♣t✉r✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s

✭✜❣✉r❡ ✻✳✻✭❜✮✮✳ ❚❤❡ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ r❡♠❛✐♥s

❝❧♦s❡ t♦ ✶ ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ♣❛tt❡r♥✳ ❚♦ ❡①♣❧❛✐♥ t❤✐s ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇❡ ❡①tr❛❝t❡❞ t❤❡

t✐♠❡ ❝♦✉rs❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t✐❡s ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ ■❇▼

❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥ t❤❡ ■❇▼

❞✐✛❡r ❢r♦♠ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ t♦ ❛♥♦t❤❡r ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

❛♥❞ ✐ts ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✳ ❆t ❡❛❝❤ t✐♠❡ st❡♣ ✇❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t②

♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛♥❞ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ■♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t

♠♦❞❡❧✱ ♦♥❧② t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r✐❝ ❞❡♥s✐t② ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ❛♥❞ ✐s

❣✐✈❡♥ ❜②✿

ploc =

∫

K

(

||ξ||

wd

)

Cbp(ξ)dξ ✭✻✳✷✽✮

❋✐❣✉r❡ ✻✳✼ ❝♦♠♣❛r❡s t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❛♥❞ ♠❛①✐♠✉♠ ✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥✲

s✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢

✶✵✻ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

✭❛✮ sm = 3

✭❜✮ sm = 151

❋✐❣✉r❡ ✻✳✹✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼

❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ t = 150 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ m1 = 1.0 (a)

s❤♦rt✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✱ (b) ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ ♠♦t✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡

b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = m2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss❡s✮

❛♥❞ wb = 5

✻✳✸✳ ❘❡s✉❧ts ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✶✵✼

✭❛✮ m2 = 1.0

✭❜✮ m2 = 2.0

❋✐❣✉r❡ ✻✳✺✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ t = 400 ❢♦r t❤❡

❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡

b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✮ ❛♥❞

wb = 5✱ wm = 15✱ wd = 5

✶✵✽ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

✭❛✮ m2 = 1.0

✭❜✮ m2 = 2.0

❋✐❣✉r❡ ✻✳✻✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼

❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ t = 400 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡

❜❛❝t❡r✐❛✳ ❚❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱ b2 = d2 = 0.1✱

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❋✐❣✉r❡ ✻✳✼✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛s ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ❜❛❝t❡r✐❛

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❛♥❞ wb = 5✱ wm = 15✱ wd = 5

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s♣♦♥❞s t♦ wm = 5 ❛♥❞ ❧♦♥❣✲r❛♥❣❡ t♦ wm = 15✳ ❖t❤❡r ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = d1 = 0.1✱

b2 = d2 = 0.1✱ d′1 = d′2 = 0.0 ✭♥♦ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✮✱ m2 = 2.0✱ wb = 5

❛♥❞ wd = 5

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✜①❡❞ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t r❛t❡ ✭d1 = d2 = 0.1 ❛♥❞ d′1 = d′2 = 0✮✳ ◆♦✇ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡

t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛♥❞ ❜❛❝t❡r✐❛ ✐♥❝r❡❛s❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦❝❛❧

❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ❜❛❝t❡r✐❛ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ❡♥❝❧♦s❡❞ ✇✐t❤✐♥ ❝♦❧♦♥✐❡s

✇✐❧❧ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ❤✐❣❤❡r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s t❤❛t t❤❡✐r ❞✐s♣❡rs❡❞ ❝♦✉♥t❡r♣❛rts✳ ❋✐❣✉r❡

✻✳✾ s❤♦✇s ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ❢♦r t✇♦ ❞✐✛❡r❡♥t ✈❛❧✉❡s ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t

❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s d′1 = d′2 = 0.05 ❛♥❞ d′1 = d′2 = 0.1✳ ■♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡

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✭❛✮ d1 = d′2 = 0.05

✭❜✮ d′1 = d′2 = 0.1

❋✐❣✉r❡ ✻✳✾✿ ■❇▼ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛t t✐♠❡ t = 400 ❢♦r t❤❡ ❝❛s❡

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m2 = 2.0✱wb = 5✱ wm = 15 ❛♥❞ wd = 5

✻✳✹✳ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✶✶✸

✭❛✮ d1 = d′2 = 0.05

✭❜✮ d1 = d′2 = 0.1

❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✵✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❛❞✐❛❧ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼

❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛t t✐♠❡ t = 400✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧s ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡✿b1 = b2 = 0.12✱

d1 = d2 = 0.1✱ m1 = 1.0✱ m2 = 2.0✱wb = 5✱ wm = 15 ❛♥❞ wd = 5

✶✶✹ ❈❤❛♣t❡r ✻✳ ▼♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛ ■❇▼

✭❛✮ d1 = d′2 = 0.05

✭❜✮ d1 = d′2 = 0.1

❋✐❣✉r❡ ✻✳✶✶✿ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ t✐♠❡ ❝♦✉rs❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t✐❡s ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ Nb ❛♥❞

♣♦❧②♠❡r Np ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧s ♣❛r❛♠❡t❡rs

❛r❡✿b1 = b2 = 0.12✱ d1 = d2 = 0.1✱ m1 = 1.0✱ m2 = 2.0✱wb = 5✱ wm = 15 ❛♥❞ wd = 5

✻✳✹✳ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✶✶✺

❞❡♥s✐t② ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s r❡♠❛✐♥ ❜❡❧♦✇ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞✱

✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❧♦❝❛❧ ♣♦❧②♠❡r ❞❡♥s✐t✐❡s ✇♦✉❧❞ ❤❛✈❡ ♣✉s❤❡❞ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥✲

s✐t② ❛❜♦✈❡ t❤❡ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ t❤r❡s❤♦❧❞ ✇❤✐❝❤ ✐♥✐t✐❛t❡❞ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s✳

❚❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❞♦ ♥♦t ❝❛♣t✉r❡ t❤✐s ♣r♦❝❡ss✱ ❛s t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢ t❤❡ ♠♦♠❡♥ts ✐s

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❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ ❤♦✇ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞❡♥✲

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❋✐♥❛❧❧②✱ t❤❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦❢ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❛♥❞ ❜❛❝t❡r✐❛

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✐♥❝r❡❛s❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣♦❧②♠❡r ❡①♣❡r✐❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤✉s

❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ♣❛r❛♠❡t❡rs ❝♦❧♦♥✐❡s

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❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡

♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢ ❛

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✼✳✹ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✾

❲❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❢✉rt❤❡r s✐♠♣❧✐❢② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧ ✭■❇▼✮ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡

♣r❡✈✐♦✉s ❝❤❛♣t❡r ❛♥❞ ❞✐s❝✉ss ✐ts ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧s✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥

s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♠♦t✐❧✐t② ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❞❡♣❡♥❞ ♥♦✇ ❞✐r❡❝t❧② ♦♥

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❞♦ ♥♦t ❝♦♥s✐❞❡r ♣♦❧②♠❡r ❞②♥❛♠✐❝ ✐♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✳

❚❤❡ ❝❤❛♣t❡r ✐s ♦r❣❛♥✐③❡❞ ✐♥ ❢♦✉r s❡❝t✐♦♥s✿ ✐♥ t❤❡ ✜rst s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡

s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼

❛♥❞ ❝♦♠♣❛r❡ t❤❡s❡ ♣❛tt❡r♥s q✉❛❧✐t❛t✐✈❡❧② t♦ ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ♣❛tt❡r♥s ❛♥❞ t♦

t❤❡ ♣❛tt❡r♥ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ✭❝❤❛♣t❡r ✻✮✳ ❋✐♥❛❧❧② ✇❡

❞✐s❝✉ss t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ✉s✐♥❣ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛ss❡ss t❤❡ t❡❝❤♥✐❝❛❧

❞✐✣❝✉❧t✐❡s ✐♥ s♦❧✈✐♥❣ ♠♦♠❡♥t ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ♠♦t✐❧✐t②✳

✼✳✶ ❙✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ❢♦r ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❞❡♥s✐t②✲

❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

❚❤❡ ■❇▼ t❤❛t ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥

❝❤❛♣t❡r ✹ t❤❛t ✐♥❝❧✉❞❡s ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦

t❤❡s❡ ♣r♦❝❡ss❡s ✱ ✇❡ ✐♥❝❧✉❞❡ ❛ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❝❡ss✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t❛♥t

■❇▼ ❝♦♥s✐❞❡rs t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤r❡❡ ♣r♦❝❡ss❡s✿

✶✶✽

❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢

❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

• ❉✐✈✐s✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✿ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ ❧♦❝❛t✐♦♥ x = (x1, x2) ❤❛s ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭♣❡r

✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡✮ B(x, x′) t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ❛ ♥❡✇❜♦r♥ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x′ ❣✐✈❡♥ ❜②✿

B(x, x′) = b1 ✭✼✳✶✮

✇❤❡r❡ b1 ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡✳

• ❉❡t❛❝❤♠❡♥t ♣r♦❝❡ss✿ ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ ❧♦❝❛t✐♦♥ x ❞❡t❛❝❤❡s ✇✐t❤ ❛ ❞❡♥s✐t②✲

❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② D(x) ❣✐✈❡♥ ❜②✿

D(x) = d1 + d′1plocd (x) ✭✼✳✷✮

✇❤❡r❡ d1 ❛♥❞ d′1 ❛r❡ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡✲

t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡s ❛♥❞ plocd (x) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x✳

plocd (x) ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ✐♠♣❛❝t ♦❢ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r✐♥❣ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♦♥ t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t

♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x✳ ❲❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t❤✐s ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ✉s✐♥❣ t❤❡

❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ K(||x− x′||/wd) ❣✐✈❡♥ ❜②✿

K(||x− x′||

wd=

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1/wd ✐❢ ||x− x′|| < wd

0 ❡❧s❡✭✼✳✸✮

• ▼♦t✐❧✐t②✿ ✇❡ ♠♦❞❡❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ♠♦t✐❧✐t② ❛s ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣r♦❝❡ss s✉❝❤

t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ ❢♦r ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❧♦❝❛t❡❞ ✐♥ x t♦ ♠♦✈❡ t♦

❛ ❧♦❝❛t✐♦♥ x′ ❞❡❝r❡❛s❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥

x✳ ❚❤✉s✱ ✐♥ t❤✐s ♠♦❞❡❧ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r ♦❢ ❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ t❡♥❞ t♦ r❡❞✉❝❡s ✐ts

♠♦t✐❧✐t② ❛♥❞ ✐♥❝r❡❛s❡ ✐ts ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡ ♦❢

❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ t♦ ♠♦✈❡ ❢r♦♠ x t♦ x′ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

M(x, x′) = [m1 −m2ploc(x,wv)]K((x− x′)/wm) ✭✼✳✹✮

✇❤❡r❡ m1 ❛♥❞ m2 ❛r❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② t❤❡ ❞❡♥s✐t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❞❡♥s✐t②

❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ploc(x,wv) ✐s t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❜❛❝t❡r✐❛ ♣❡r✲

❝❡✐✈❡❞ ❜② ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x ❛♥❞ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ ❛ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧

✇✐t❤ ❛ s✐③❡ wv ❛♥❞ m(x−x′)✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ [m1−m2ploc(x,wv)] ❝♦rr❡s♣♦♥❞s

t♦ t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✭♣❡r ✉♥✐t ♦❢ t✐♠❡✮ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x✳ ❚❤✐s ❡①✲

♣r❡ss✐♦♥ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳ ■❢ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣❡r❝❡✐✈❡❞ ❞❡♥s✐t② ploc(x,wv) ✐s ❤✐❣❤❡r

t❤❛t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ m1/m2 t❤❛♥ t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✐♥ x ✐s

s❡t t♦ ③❡r♦✳

❆ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s ✐♥✐t✐❛❧✐③❡❞ ✇✐t❤ ❛ ♥✉♠❜❡r N0 ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝❡❧❧s ✉♥✐❢♦r♠❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞

♦✈❡r t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ✐♥ t❛❜❧❡ ✼✳✶✳

✼✳✷✳ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❧♦r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼ ✶✶✾

P❛r❛♠❡t❡rs ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❱❛❧✉❡

L ❉♦♠❛✐♥ s✐③❡ 201× 201

∆L ❙♣❛t✐❛❧ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ 1

b1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❜❛❝t❡r✐❛ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ 0.1

d1 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.0

d2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❞❡t❛❝❤♠❡♥t r❛t❡ 0.4

m1 ❉❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 0.0 ♦r 1.0

m2 ❉❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❛t❡ 0.0 ♦r 3.0

wb ❯♥✐❢♦r♠ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ♣♦❧②♠❡r ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡

wd ❯♥✐❢♦r♠ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡

wv ❯♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ s✐❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡

wm ❯♥✐❢♦r♠ ♠♦t✐❧✐t② ❦❡r♥❡❧ ✈❛r✐❛❜❧❡

❚❛❜❧❡ ✼✳✶✿ ▼♦❞❡❧ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❆ ♠❛❥♦r ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ♦❢ t❤✐s s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s

❝❤❛♣t❡r ✭❈❤❛♣t❡r ✻✮ ✐s t❤❛t t❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t✐❡s ❞❡♣❡♥❞ ♦♥

t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s t❤❡♠s❡❧✈❡s r❛t❤❡r t❤❛♥ ♦♥ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞

♣r♦❞✉❝t✳ ❚❤❡ ✐♠♣❧✐❝✐t ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ❜❡❤✐♥❞ t❤✐s s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s t❤❛t t❤❡ ❡①❝r❡t❡❞

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❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ✐♥❞✉❝❡s ✭❛♥❞✴♦r r❡s✉❧ts ❢r♦♠✮ t❤❡ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

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✼✳✷ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❧♦r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ■❇▼

❚❤♦✉❣❤ s✐♠♣❧❡✱ t❤❡ ■❇▼ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ ②✐❡❧❞s ❛ ❞✐✈❡rs✐t② ♦❢ ♣❛tt❡r♥s r❛♥❣✐♥❣

❢r♦♠ ✉♥✐❢♦r♠ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s t♦ ✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥② ❛♥❞ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡

♣❛tt❡r♥s✳ ■♥ ❛ r❡❝❡♥t ♣❛♣❡r ❳❛✈✐❡r ❡t ❛❧✳ ❬❳❛✈✐❡r ✷✵✵✾❪ s❤♦✇❡❞ t❤❛t s✐♠✐❧❛r ♣❛tt❡r♥s

❛r✐s❡ ✐♥ ❧❛❜♦r❛t♦r② ❝✉❧t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠✐♥❣ str❛✐♥ P✳ ❛❡r✉❣✐♥♦s❛ ✭✜❣✉r❡ ✼✳✶✮✳

❚❤❡② ❡①♣❧❛✐♥❡❞ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ ♣❛tt❡r♥s ❜② s❝❛❧❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s ❜❡✲

t✇❡❡♥ ♥✉tr✐❡♥t ❝♦♠♣❡t✐t✐♦♥ ❛♥❞ ♠❡❝❤❛♥✐❝❛❧ ♣✉s❤✐♥❣✳ ❆t ❧♦✇ ♥✉tr✐❡♥t ❞❡♥s✐t✐❡s t❤❡

❜❛❝t❡r✐❛ ❢♦r♠❡❞ ✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥✐❡s✳ ❚❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ♥✉tr✐❡♥t ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ✐♥❞✉❝❡❞

❛ tr❛♥s✐t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s t❤❡♥ t♦ t❤❡ ❞❡♥s❡ ❜✐♦✜❧♠ ♣❛tt❡r♥✳

❖✉r s✐♠♣❧✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ r❡♣r♦❞✉❝❡ s✐♠✐❧❛r tr❛♥s✐t✐♦♥s ❢r♦♠ t❤❡ ✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥②

♣❛tt❡r♥ t♦ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥✱ ❛s ✐❧❧✉str❛t❡❞ ✐♥ ✜❣✉r❡s ✼✳✷ ❛♥❞ ✼✳✸✱ ❡✐t❤❡r

❜② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ♣r♦❣r❡ss✐✈❡❧② t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ r❛t❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✭✜❣✉r❡ ✼✳✸✮ ♦r ❜②

✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♣❛r❛♠❡t❡r m2✳ ❲❡ ✐❞❡♥t✐❢② ❜❛❝t❡r✐❛

♠♦t✐❧✐t② ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛s t✇♦ ♣♦t❡♥t✐❛❧ ♣r♦❝❡ss❡s t❤❛t ♠❛② ②✐❡❧❞ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡

♣❛tt❡r♥s✳

❋✐❣✉r❡ ✼✳✹ s❤♦✇s t❤❡ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ♠♦❞❡❧ ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦

t❤♦s❡ t❤❛t ♠❛② ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ■❇▼ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r

✶✷✵

❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢

❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

❋✐❣✉r❡ ✼✳✶✿ ❬❳❛✈✐❡r ✷✵✵✾❪

✭❈❤❛♣t❡r ✻✮✳ ❚❤❡s❡ r❡s✉❧ts t❤❛t t❤❡ ❡①♣❧✐❝✐t ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ♠❛② ♥♦t

❜❡ ♥❡❝❡ss❛r② ❢♦r t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥s✳

■♥ ♦r❞❡r t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ ❤♦✇ t❤❡s❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ❢♦r♠ ✐♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧ ✇❡

♣r♦♣♦s❡ t♦ ❡①❛♠✐♥❡ ✐♥ ❞❡t❛✐❧s ❛♥ ■❇▼ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ t❤r♦✉❣❤ ♣❛tt❡r♥ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❛♥❞

♠❡❛s✉r✐♥❣ s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥ts✳ ❋✐❣✉r❡ ✼✳✺ s❤♦✇s t❤❡ s♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥✳ ❚❤❡ s✐♠✉❧❛t✐♦♥ ✐s ✐♥✐t✐❛t❡❞ ✇✐t❤ n0 = 100 ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s

❞✐str✐❜✉t❡❞ ✉♥✐❢♦r♠❧②✳ ❚❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❞✐✈✐❞❡ ❛♥❞ ❞✐s♣❡rs❡ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❧❛r❣❡ ♠♦t✐❧✐t②

❦❡r♥❡❧✳ ❆s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥❝r❡❛s❡s ✐♥ t❤❡ s②st❡♠s t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❞❡❝r❡❛s❡s ♣r♦❣r❡ss✐✈❡❧② ❛♥❞ ❝♦❧♦♥✐❡s st❛rt t♦ ❢♦r♠✳ ❚❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢

❝♦❧♦♥✐❡s ✐♥ ♥♦t ❞✉❡ t♦ t❤❡ t♦t❛❧ ✐♠♠♦❜✐❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❜✉t r❛t❤❡r t♦ ❧♦❝❛❧

❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❜❡t✇❡❡♥ ❞✐✈✐s✐♦♥ ✇❤✐❝❤ t❡♥❞ t♦ ♣r♦♠♦t❡ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❛❝❝✉♠✉❧❛t✐♦♥ ❞✉❡ t♦

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❋✐❣✉r❡ ✼✳✽ r❡♣♦rts t❤❡ t✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛♥❞

s❤♦✇s ❛ r❛♣✐❞ ✜rst ♣❤❛s❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ✐♥❝r❡❛s❡s ❜❡❢♦r❡ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣

t♦✇❛r❞s ❛♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ✈❛❧✉❡ (0.25)✳ ❚❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s

②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ✐s ❧♦✇❡r t❤❛♥ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛♥✲✜❡❧❞ ♠♦❞❡❧

(0.35) ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡t❛❝❤ ❛t ❛ ❤✐❣❤❡r r❛t❡ t❤❛♥ ✇❤❛t

✇♦✉❧❞ ❜❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥② s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥✳

✼✳✸ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧

❲❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ✜rst s♣❛t✐❛❧ ♠♦♠❡♥t ✭❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t②

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❧♦❝❛t✐♦♥ x t♦ ❛ ❧♦❝❛t✐♦♥ x′ ❤❛s ♥♦ ✐♠♣❛❝t ♦♥ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳ ❚❤❡

❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ✜rst ♠♦♠❡♥t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

✼✳✸✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✶✷✶

✭❛✮ b1 = 0.10 ✭❜✮ b1 = 0.13

✭❝✮ b1 = 0.15

❋✐❣✉r❡ ✼✳✷✿ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤

❡①tr❛❝❡❧❧✉❧❛r ♣r♦❞✉❝t

✶✷✷

❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢

❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

✭❛✮ m2 = 3.0 ✭❜✮ m2 = 2.0

✭❝✮ m2 = 4.0

❋✐❣✉r❡ ✼✳✸✿ ❊①❛♠♣❧❡s ♦❢ ♣❛tt❡r♥s ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ❛♥❞ t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤

❡①tr❛❝❡❧❧✉❧❛r ♣r♦❞✉❝t

✼✳✸✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✶✷✸

✭❛✮ ✭❜✮

✭❝✮

❋✐❣✉r❡ ✼✳✹✿ P❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ✇✐t❤ ♣r♦❞✉❝t ❞②♥❛♠✐❝ ✭❜❛❝t❡r✐❛✿ r❡❞ ❛♥❞

♣♦❧②♠❡r✐❝ ♣❛rt✐❝❧❡s✿ ❜❧✉❡✮

✶✷✹

❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢

❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

✭❛✮ t = 0 ✭❜✮ t = 20

✭❝✮ t = 40 ✭❞✮ t = 60

✭❡✮ t = 80 ✭❢✮ t = 740

❋✐❣✉r❡ ✼✳✺✿ ❙♥❛♣s❤♦ts ♦❢ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ②✐❡❧❞❡❞ ❜② t❤❡ ■❇▼ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t t✐♠❡s✳

❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❛r❡ b1 = 0.15✱ wb = 3✱ wd = 19✱ wm = 31✱ wv = 19✱ m1 = 1.0 ❛♥❞

m2 = 3.0

✼✳✸✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✶✷✺

✭❛✮ t = 40

✭❜✮ t = 80

✭❝✮ t = 740

❋✐❣✉r❡ ✼✳✻✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛rt❡s✐❛♥ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡✲

t❡rs ❛r❡ b1 = 0.15✱ wb = 3✱ wd = 19✱ wm = 31✱ wv = 19✱ m1 = 1.0 ❛♥❞ m2 = 3.0

✶✷✻

❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢

❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

✭❛✮ t = 40

✭❜✮ t = 80

✭❝✮ t = 740

❋✐❣✉r❡ ✼✳✼✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✬r❛❞✐❛❧✬ ♣❛✐r ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs

❛r❡ b1 = 0.15✱ wb = 3✱ wd = 19✱ wm = 31✱ wv = 19✱ m1 = 1.0 ❛♥❞ m2 = 3.0

✼✳✸✳ ❉❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧ ✶✷✼

❋✐❣✉r❡ ✼✳✽✿ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ ❛✈❡r❛❣❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ N

dN

dt= b1N − d1N − d′1

∫

C(ξ)K

(

||ξ||

wd

)

dξ ✭✼✳✺✮

◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ✐s ♥♦t ✐♥✈♦❧✈❡❞ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✼✳✺ ❛s t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ ❛♥ ✐♥❞✐✲

✈✐❞✉❛❧ ❢r♦♠ ♦♥❡ ♣♦s✐t✐♦♥ t♦ ❛♥♦t❤❡r ❞♦❡s ♥♦t ❛✛❡❝t t❤❡ t♦t❛❧ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s✳

❍♦✇❡✈❡r✱ ♠♦t✐❧✐t② ♠❛② ❛✛❡❝ts t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✐♥❞✐r❡❝t❧② ❜② ♠♦❞✲

✐❢②✐♥❣ t❤❡ s♣❛t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛♥❞ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧② t❤❡✐r ❞❡t❛❝❤♠❡♥t

r❛t❡s✳

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ♠❡❛s✉r❡s t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s s❡♣❛r❛t❡❞ ✇✐t❤

❛ ✈❡❝t♦r✐❛❧ ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤✐s ❞❡♥s✐t② ✐s ❛✛❡❝t❡❞ ❜② ❞✐✈✐s✐♦♥✱ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❛♥❞ ♠♦t✐❧✐t②

❡✈❡♥ts✿

dC(ξ)

dt=

(

dC(ξ)

dt

)

division

+

(

dC(ξ)

dt

)

detachment

+

(

dC(ξ)

dt

)

motility

✭✼✳✻✮

❚❤❡ ✜rst t✇♦ t❡r♠s ♦♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ❤❛✈❡ ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❞❡t❛✐❧❡❞ ✐♥ ❝❤❛♣t❡r

✹✳ ❚❤❡ ✜rst t❡r♠❡ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♥❡t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ C(ξ) ❞✉❡ t♦ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❡✈❡♥ts ✇❤✐❧❡

t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♥❡t ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ C(ξ) ❞✉❡ t♦ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❡✈❡♥ts✳

❚❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥ ✼✳✻ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ♥❡t ✈❛r✐❛t✐♦♥

♦❢ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ♣❛✐rs ❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ✳ ❚❤✐s t❡r♠ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿

✶✷✽

❈❤❛♣t❡r ✼✳ ❊①♣❧♦r✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s ✐♥ ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ■❇▼ ♦❢

❛ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❜✐♦✜❧♠ ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛

(

dC(ξ)

dt

)

motility

= ✭✼✳✼✮

− m1C(ξ) +m2K

(

||ξ||

wv

)

C(ξ) ✭✼✳✽✮

+ m2

∫

K

(

||ξ′′||

wv

)

T (ξ, ξ′′)dξ′′

+ m1

∫

K

(

||ξ′||

wm

)

Cbb(ξ + ξ′)dξ′

− m2

∫ ∫

K

(

||ξ′||

wm

)

K

(

||ξ′′||

wv

)

T (ξ + ξ′, ξ′′)dξ′dξ′′

− m2

∫

K

(

||ξ + ξ′||

wv

)

K

(

||ξ′||

wm

)

C(ξ + ξ′)dξ′

❚❤❡ r✐❣❤t✲❤❛♥❞ s✐❞❡ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ✺ t❡r♠s✿

• t❤❡ ✜rst t❡r♠ ❞❡♥♦t❡s ❢♦r t❤❡ ♣❛✐rs ij ❧♦st ❞✉❡ t♦ t❤❡ ♠✐❣r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

i

• t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ ✜rst t❡r♠ ❜② ❛❞❞✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

j ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ♣❛✐r ij ♦♥ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i

• t❤❡ t❤✐r❞ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢ ❛ ❢♦❝❛❧ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ♦♥

t❤❡ ✐ts ♠♦t✐❧✐t② ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❞❡♥s✐t② ♦❢

tr✐♣❧❡t ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♣❛✐r ij ❛♥❞ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r k ❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ′′

• t❤❡ ❢♦✉rt❤ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥ts ❢♦r ♣❛✐rs ij ❝r❡❛t❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i ♦r✐❣✐♥❛❧❧②

❧♦❝❛t❡❞ ❛t ❛ ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ❢r♦♠ j ♠♦✈❡s ✇✐t❤ ❛ ❞✐st❛♥❝❡ −ξ′✳

• t❤❡ ✜❢t❤ t❡r♠ ❝♦rr❡❝ts t❤❡ ❢♦✉rt❤ t❡r♠ ❜② ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ♥❡✐❣❤❜♦rs ♦❢

i ✭♦t❤❡r t❤❛♥ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ♦♥ ✐ts ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❜❛❜✐❧✐t②

• ✜♥❛❧❧② t❤❡ s✐①t❤ t❡r♠ ❛❝❝♦✉♥t ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ j ✐♥ t❤❡ ♣❛✐r ij

❛t ❞✐st❛♥❝❡ ξ + ξ′ ♦♥ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ i

❲❡ ❛tt❡♠♣t t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧ ❛s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❤❛♣t❡r ❜② ❞✐s❝r❡t✐③✐♥❣

t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡s ξ ✇✐t❤ ❛ s♣❛t✐❛❧ st❡♣ dξ = (dξ1, dξ2) ❛♥❞ t✐♠❡ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t t✐♠❡st❡♣

∆t = 1 ✉s✐♥❣ ❛♥ ❡①♣❧✐❝✐t ❊✉❧❡r s❝❤❡♠❡✳ ❍♦✇❡✈❡r t❤❡ r❡s✉❧t❛♥t ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ s②st❡♠

❞✐✈❡r❣❡❞ ❛❢t❡r ❢❡✇ st❡♣s✳ ❚❤❡ ❞❡❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ t✐♠❡ st❡♣ t♦ 0.1 ❛♥❞ t♦ 0.01 ❞✐❞ ♥♦t

♣r❡✈❡♥t t❤❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ♥♦r ❞✐❞ t❤❡ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❘✉♥❣❡✲❑✉tt❛

s❝❤❡♠❡ ✭❘❑✹✮✳ ❲❡ ♣r❡s✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐✣❝✉❧t② ✐♥ s♦❧✈✐♥❣ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ❞✉❡ t♦ t❤❡

r❛♣✐❞ ❞②♥❛♠✐❝ ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ✐♥ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❞②♥❛♠✐❝

❢r♦♠ ♦♥❡ s✐❞❡ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐s❝r❡♣❛♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s❝❛❧❡ ♦✈❡r ✇❤✐❝❤ ♠♦t✐❧✐t② ❛♥❞ ❜✐rt❤

♦❝❝✉rs ♣❧❛②✳

✼✳✹✳ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ✶✷✾

✼✳✹ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ❛♥❞ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥

■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣♦❧②♠❡r ❞②♥❛♠✐❝ ✭■❇▼ ♦❢

❝❤❛♣t❡r ✻✮ st✐❧❧ ❛❧❧♦✇ t❤❡ ♦❜t❛✐♥♠❡♥t ♦❢ ❞✐✈❡rs✐t② ♦❢ ♣❛tt❡r♥s ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲

❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥ t❤❛t ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ ❧❛❜♦r❛t♦r② ❜✐♦✜❧♠ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts✳ ■♥ ❛ s②st❡♠

❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ❛ ❞❡♥s✐t②✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧❡ ❜❛❝t❡r✐❛✱ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s t❡♥❞ t♦ ❞✐s♣❡rs❡

❛♥❞ ♣r♦❞✉❝❡ ♥♦ s♣❛t✐❛❧ str✉❝t✉r❡✳ ❖✉r ♠♦❞❡❧ s✉❣❣❡st t❤❛t t❤❡ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❝♦❧♦♥✐❡s

✐♥ s✉❝❤ s②st❡♠ ♠❛② r❡s✉❧t ❢r♦♠ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② r❡❞✉❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✳ ❚❤❡

s♣❛t✐❛❧ ♣❛tt❡r♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s s❡❡♠s t♦ ❜❡ ✐♥✢✉❡♥❝❡❞ ❜② ❧♦❝❛❧ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❜❡t✇❡❡♥

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✬❡♥t❡r✐♥❣✬ t❤❡ ❝♦❧♦♥② t❤r♦✉❣❤ ♠✐❣r❛t✐♦♥ ♦r ❞✐✈✐s✐♦♥ ❛♥❞ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ✬❧❡❛✈✲

✐♥❣✬ t❤❡ ❝♦❧♦♥② t❤r♦✉❣❤ ♠✐❣r❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t✳ ■♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ♠♦t✐❧✐t② t❤❡

②✐❡❧❞❡❞ ♣❛tt❡r♥ ✐s ❢♦r♠❡❞ ✇✐t❤ ✐s♦❧❛t❡❞ ❝♦❧♦♥②✳ ❍♦✇❡✈❡r ✇❤❡♥ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t

♠♦t✐❧✐t② ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❡ ❝♦❧♦♥✐❡s ♠❛② ❝♦♥♥❡❝t ②✐❡❧❞✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥s✳

❚❤❡ ❞❡t❛❝❤♠❡♥t ❦❡r♥❡❧ s❡❡♠s t♦ ♣❧❛② ❛ r♦❧❡ ✐♥ ♠❛✐♥t❛✐♥✐♥❣ t❤❡ str✐♣s ♦❢ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤

s❡♣❛r❛t❡❞✳ ❚❤✐s str✉❝t✉r❡ ②✐❡❧❞❡❞ ❛ ❝❛rt❡s✐❛♥ ❝♦rr❡❧❛t✐♦♥ ♠❛tr✐① ✇✐t❤ ❛ ♣❡❛❦ ✐♥ t❤❡

❝❡♥t❡r ✭✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ t❤❡ t❡♥❞❡♥❝② ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ t♦ ❛❣❣r❡❣❛t❡ ❞✉❡ t♦ t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥

♦❢ t❤❡✐r ♠♦t✐❧✐t②✮ ❛♥❞ ❛ ✇❛✈② str✉❝t✉r❡ ❞✉❡ t♦ t❤❡ ❧❛❜②r✐♥t❤✲❧✐❦❡ ♣❛tt❡r♥✳

❚❤❡r❡ ❛r❡ ❢❡✇ ❛tt❡♠♣ts ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ♦❢ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♥❣ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞✲

❡❧s ✇✐t❤ ❞❡♥s✐t②✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠♦t✐❧✐t② ✉s✐♥❣ ♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧s✳ ▼✉rr❡❧❧ ❛♥❞ ▲❛✇

❬▼✉rr❡❧❧ ✷✵✵✵❪ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❛♥ ■❇▼ ♦❢ ❇❡❡t❧❡s ♠✐❣r❛t✐♦♥ ✐♥ ❛ ❢r❛❣♠❡♥t❡❞ ✇♦♦❞❧❛♥❞✳

❚❤❡② ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛ ✜①❡❞ ❧❛♥❞s❝❛♣❡ ♣❛tt❡r♥ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ❜❡❡t❧❡s ❛r❡ ❛ttr❛❝t❡❞

❜② t❤❡ ❧♦❝❛t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ✇♦♦❞❧❛♥❞✳ ■♥ t❤❡✐r ♠♦❞❡❧✱ ▼✉rr❡❧❧ ❛♥❞ ▲❛✇ ❝♦♥✲

s✐❞❡r❡❞ ♦♥❧② t❤❡ ♠♦t✐❧✐t② ♣r♦❝❡ss✭♥♦ ❜✐rt❤ ❛♥❞ ❞❡❛t❤ ♣r♦❝❡ss❡s✮✳ ■♥ t❤❡✐r ♣❛♣❡r✱ t❤❡

s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ♠✐❣r❛t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✇❛s r❡❧❛t✐✈❡❧② s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✳

❚❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧ ✭t❤❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♦❢ K(||ξ||/wv) ✐♥ ♦✉r ✇♦r❦✮ ✐s ♥♦t s♣❡❝✐✜❡❞

❡①♣❧✐❝✐t❧② ✐♥ t❤❡✐r ✇♦r❦ ❛s t❤❡② ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♦❝❝✉r ❡①❝❧✉s✐✈❡❧② ✇❤❡♥ ❛♥

✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❡♥t❡rs ❛ ✇♦♦❞❧❛♥❞ ♣❛t❝❤✳ ■♠♣❧✐❝✐t❧②✱ t❤❡② ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❦❡r♥❡❧

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dξ ✐♥ ♦✉r ✇♦r❦✮✳ ❚❤♦✉❣❤ s✐♠♣❧❡r t❤❛♥ ♦✉r ♠♦❞❡❧✱ ▼✉rr❡❧❧ ❛♥❞ ▲❛✇ ❤✐❣❤❧✐❣❤t❡❞

t❤❛t t❤❡r❡ ♠❛② ❜❡ ♣r❛❝t✐❝❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝❛❧

s②st❡♠ ❞✉❡✱ ✐♥ t❤❡✐r ✇♦r❦✱ t♦ t❤❡ ❞✐s❝r❡♣❛♥❝② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ s❝❛❧❡ ♦❢ ♠♦✈❡♠❡♥t ❛♥❞

t❤❡ s♣❛❝❡ s❝❛❧❡ ♦❢ t❤❡ ✇♦♦❞❧❛♥❞ ♣❛tt❡r♥s✳

■♥ t❤✐s ✇♦r❦ ✇❡ ♠❡❡t ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ ❞✐✣❝✉❧t✐❡s ✐♥ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡

♠♦♠❡♥t ♠♦❞❡❧✳ ❲❡ ♣r❡s✉♠❡ t❤❛t ✐♥ ♣❛rt t❤❡ ✐♥st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♦✉r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s❝❤❡♠❡ ✐s

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❈♦♥t❡♥ts

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❚❤✐s t❤❡s✐s t❛❦❡s ♣❧❛❝❡ ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ t❤❡ ❞❡❜❛t❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝♦♠♣❧❡① ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧

❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧s ✭■❇▼s✮ ❛♥❞ ♠♦r❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ❛ ❧♦✇

♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❛r✐❛❜❧❡s✳ ❚❤❡ ✉s❡ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧✲❜❛s❡❞ ♠♦❞❡❧s ✭■❇▼s✮ ✐♥ ♠✐❝r♦❜✐❛❧ ❡❝♦❧✲

♦❣② ❤❛s ❜❡❡♥ ❣r♦✇✐♥❣ r❛♣✐❞❧② ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❧❛st t✇♦ ❞❡❝❛❞❡s✱ ❡♥❝♦✉r❛❣❡❞ ❜② t❤❡ ❢❛st

✐♥❝r❡❛s❡ ✐♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ♣♦✇❡r ❛♥❞ ❛❞✈❛♥❝❡s ✐♥ ❧❛❜♦r❛t♦r② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳

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✐♥✈❡st✐❣❛t❡ ❤♦✇ s②st❡♠✲❧❡✈❡❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s ❡♠❡r❣❡ ♦✉t ♦❢ ❧♦❝❛❧ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r

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