analízis lépésről lépésre
TRANSCRIPT
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Analízis lépésről - lépésre
interaktív tananyag
Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna
Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna
iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tartalom
Előszó ................................................................................................................................................ vi 1. Sorozatok ........................................................................................................................................ 1
1. Definíció, alapfogalmak ........................................................................................................ 1 2. Konvergens, divergens sorozatok ....................................................................................... 10 3. Nevezetes sorozatok határértékei ........................................................................................ 17 4. Műveletek konvergens sorozatokkal ................................................................................... 20 5. Kritikus határértékek, rendőr-elv ........................................................................................ 21 6. Egy pénzügyi alkalmazás .................................................................................................... 23 7. Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témaköréből ............................................... 24
7.1. Monotonitás, korlátosság ........................................................................................ 24 7.1.1. 1. feladat ..................................................................................................... 24 7.1.2. 2. feladat ..................................................................................................... 27 7.1.3. 3. feladat ..................................................................................................... 29 7.1.4. 4. feladat ..................................................................................................... 30
7.2. Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke ........................................... 32 7.2.1. 1. feladat ..................................................................................................... 33 7.2.2. 2. feladat ..................................................................................................... 35 7.2.3. 3. feladat ..................................................................................................... 36 7.2.4. 4. feladat ..................................................................................................... 37 7.2.5. összefoglalás .............................................................................................. 38 7.2.6. 5. feladat ..................................................................................................... 38 7.2.7. 6. feladat ..................................................................................................... 39 7.2.8. 7. feladat ..................................................................................................... 40
7.3. A qn sorozat határértékére visszavezethető feladatok ............................................. 41 7.3.1. 1. feladat ..................................................................................................... 41 7.3.2. 2. feladat ..................................................................................................... 43 7.3.3. 3. feladat ..................................................................................................... 44 7.3.4. 4. feladat ..................................................................................................... 45 7.3.5. 5. feladat ..................................................................................................... 46
7.4. Néhány "∞-∞" típusú kritikus határérték kiszámítása ........................................... 47 7.4.1. 1. feladat ..................................................................................................... 47 7.4.2. 2. feladat ..................................................................................................... 48 7.4.3. 3. feladat ..................................................................................................... 49
7.5. Az (1+1/n)n sorozat határértékére visszavezethető határértékszámítási feladatok . 50 7.5.1. 1. feladat ..................................................................................................... 50 7.5.2. 2. feladat ..................................................................................................... 51 7.5.3. 3. feladat ..................................................................................................... 53 7.5.4. 4. feladat ..................................................................................................... 54 7.5.5. 5. feladat ..................................................................................................... 55 7.5.6. 6. feladat ..................................................................................................... 56
7.6. Feladatok önálló megoldásra ................................................................................. 57 8. Függelék -- Számhalmazok ................................................................................................. 58
2. Sorok ............................................................................................................................................. 62 1. Sorok, bevezető példák ....................................................................................................... 62 2. A sor matematikai fogalma ................................................................................................. 64 3. A mértani sor ....................................................................................................................... 65 4. Konvergencia kritériumok .................................................................................................. 67 5. Egyéb sorokra vonatkozó összefüggések ............................................................................ 69 6. Szemléltetés ........................................................................................................................ 70 7. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................... 71
3. Függvények .................................................................................................................................. 73 1. Függvény definíciója ........................................................................................................... 73
1.1. Az értelmezési tartomány ....................................................................................... 74 2. Függvénytulajdonságok ...................................................................................................... 76
2.1. Zérushely ................................................................................................................ 76 2.2. Paritás ..................................................................................................................... 76
Analízis lépésről - lépésre
iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.3. Periodikusság .......................................................................................................... 79 2.4. Monotonitás ............................................................................................................ 80 2.5. Korlátosság ............................................................................................................. 82 2.6. Szélsőérték .............................................................................................................. 84 2.7. Konvexitás .............................................................................................................. 85
3. Elemi függvények és függvénytranszformációk ................................................................. 87 4. Összetett függvények .......................................................................................................... 93 5. Inverz függvények ............................................................................................................... 96 6. Néhány további függvény ................................................................................................... 97 7. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 100
4. Függvény határértéke, folytonosság .......................................................................................... 101 1. Függvény határértéke ........................................................................................................ 101 2. A határérték típusai ........................................................................................................... 104
2.1. Véges helyen vett végtelen határérték .................................................................. 104 2.2. Végtelenben vett végtelen határérték .................................................................... 106 2.3. Végtelenben vett véges határérték ........................................................................ 109 2.4. Véges helyen vett véges határérték ....................................................................... 111 2.5. Mikor nem létezik a határérték? ........................................................................... 113
3. Nevezetes függvény határértékek ...................................................................................... 115 4. Folytonosság ..................................................................................................................... 118
4.1. Függvény pontban való folytonossága ................................................................. 118 4.2. Féloldali folytonosság ........................................................................................... 119 4.3. Intervallumon folytonos függvények .................................................................... 119 4.4. Folytonos függvények tulajdonságai .................................................................... 125 4.5. Szakadási helyek fajtái ......................................................................................... 127
5. A határérték és a folytonosság feladatokban ..................................................................... 128 5.1. Szemléleten alapuló feladatmegoldás ................................................................... 129 5.2. Algebrai átalakításokon alapuló feladatmegoldás ................................................ 134 5.3. Maple gyakorló panel a határérték meghatározására ............................................ 135
6. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 135 5. Differenciálszámítás ................................................................................................................... 137
1. A differenciálszámítás elemei ........................................................................................... 137 1.1. Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény ............................ 137 1.2. Differenciálhatóság és folytonosság ..................................................................... 142 1.3. Differenciálási szabályok ...................................................................................... 143 1.4. Maple ellenőrző panel a deriváláshoz ................................................................... 144 1.5. Maple gyakorló panel a deriváláshoz ................................................................... 144 1.6. Középérték tételek ................................................................................................ 145 1.7. Kidolgozott feladatok ........................................................................................... 147
2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 151 6. A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................................... 152
1. Alkalmazások .................................................................................................................... 152 1.1. Monotonitás .......................................................................................................... 152 1.2. Szélsőérték ............................................................................................................ 152 1.3. Konvexitás, inflexiós hely .................................................................................... 154 1.4. Függvényvizsgálat ................................................................................................ 154 1.5. Példák függvényvizsgálatra .................................................................................. 155 1.6. Érintő .................................................................................................................... 169 1.7. Közelítés ............................................................................................................... 170 1.8. Gazdasági feladatok megoldása ............................................................................ 172
2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 177 7. Integrálszámítás ......................................................................................................................... 178
1. Definíciók, az integrálás és deriválás kapcsolata .............................................................. 178 2. Integrálási típusok ............................................................................................................. 180 3. Maple gyakorló-ellenőrző panel az integráláshoz ............................................................. 182 4. Határozott integrál ............................................................................................................. 182 5. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 185
8. Az integrálszámítás alkalmazásai ............................................................................................... 187 1. Az integrálás alkalmazásai ................................................................................................ 187
1.1. Newton-Leibniz-formula ..................................................................................... 187
Analízis lépésről - lépésre
v Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.2. Függvénygörbék közti terület .............................................................................. 188 1.3. Függvény átlaga ................................................................................................... 191 1.4. Görbe ívhossza .................................................................................................... 192 1.5. Forgástest térfogata, palástjának felszíne ............................................................ 193 1.6. Súlypont ............................................................................................................... 195
2. Megoldásra javasolt feladatok ........................................................................................... 196 9. Kétváltozós függvények I. .......................................................................................................... 198
1. Bevezetés .......................................................................................................................... 198 2. Kétváltozós függvények definíciója, szemléltetése ........................................................... 198 3. Értelmezési tartomány ....................................................................................................... 204 4. Határérték .......................................................................................................................... 210 5. Parciális deriváltak ............................................................................................................ 212 6. Iránymenti derivált ............................................................................................................ 215 7. Megoldott feladatok .......................................................................................................... 217 8. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 218
10. Kétváltozós függvények II. ....................................................................................................... 220 1. Szélsőérték ........................................................................................................................ 220
1.1. Fogalmak .............................................................................................................. 220 1.2. Szükséges feltétel ................................................................................................. 220 1.3. Elégséges feltétel .................................................................................................. 224
2. Érintősík ............................................................................................................................ 230 3. Megoldott feladatok .......................................................................................................... 233 4. Feladatok önálló megoldásra ............................................................................................. 235
Irodalomjegyzék ............................................................................................................................. 236
vi Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Előszó
"Én nem csak azért szeretem a matematikát, mert alkalmazni lehet a technikában, hanem fõleg azért, mert szép.
Mert játékos kedvét is belevitte az ember, és a legnagyobb játékra is képes: megfoghatóvá tudja tenni a
végtelent. Végtelenségrõl, ideákról hiteles mondanivalói vannak. És mégis annyira emberi, korántsem az a
bizonyos kétszerkettõ: magán viseli az emberi alkotások soha le nem zárt jellegét." Péter Rózsa
Tapasztalatunk szerint a felsőoktatásban tanuló hallgatók számára a matematikai tanulmányaik során az első
féléves analízis a legnehezebben legyőzhető akadály. Ennek oka véleményünk szerint az új oktatási szinthez
való alkalmazkodáson kívül az, hogy a végtelen fogalma oly sokszor és különböző formában felbukkan a
tananyagban. Az "Analízis lépésről - lépésre" című tananyag főleg a több éve - sokszor több évtizede -
érettségizett levelező hallgatóknak szól, akiknek szükséges apró lépésekre bontani a matematikai
gondolatmeneteket és fel kell idézni a rég elfeledett matematikai fogalmakat is. Reméljük, hogy ez a tananyag
sok hallgató életét teszi könnyebbé, és ahogy Péter Rózsa matematikus szép bevezető idézetében olvashatjuk,
sikerül megfoghatóvá tenni a végtelent.
Tananyagunk Maple programmal készült. A rövid elméleti összefoglalók után a kidolgozott feladatokra
általában két különböző megoldást mutatunk. Az egyik a hagyományos utat választja, a másik azt mutatja meg,
hogy Maple utasítások segítségével hogyan kapjuk meg az eredményt. Sok animációval, szemléltetéssel
szeretnénk az elmélet meértését és a feladatmegoldást segíteni. Minden fejezet végén önálló megoldásra javasolt
feladatokat is közlünk. A nagyon részletesen kidolgozott, sokszor az általános iskolai ismeretekig visszanyúló
feladatmegoldások kifejezetten a több éve végzett levelező szakos hallgatóknak szólnak. Ezek a feladatok
főként az első fejezetben találhatók, itt ismételjük át a legfontosabb matematikai fogalmakat és ööszefüggéseket,
a későbbiekben a részletezés ilyen mélységeire már nincs szükség.
Kaposvár, 2014
1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1. fejezet - Sorozatok
1. Definíció, alapfogalmak
Eddigi tanulmányainkra visszaemlékezve általában a sorozatokról a számtani és a mértani sorozat jut az
eszünkbe. A sorozatok azonban ennél a két típusnál sokkal változatosabbak lehetnek. A sorozatok általános
definíciója a következő:
Definíció:
A sorozat egy olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív természetes számok halmaza ,
értékkészlete pedig a valós számok egy részhalmaza.
Sorozatok
2 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Természetesen a fenti ábrán az értelmezési tartománynak és az értékkészletnek is csak egy részhalmaza látható.
A hozzárendelés szabálya például lehet az ábra alapján az, hogy minden pozitív természetes számhoz a
négyzetét rendeljük.
Ha képletben írjuk fel: a1=1 a2=4 a3=9 a4=16 ... an=n2
Látható, hogy az értelmezési tartomány elemei, a pozitív egész számok az alsó indexben, a hozzárendelt értékek,
az értékkészlet elemei pedig az egyenlőségjel után vannak.
A fenti halmazábrával bonyolult a sorozatokat szemléltetni. A szokásos ábrázolás, szemléltetés számegyenesen
és koordináta -rendszerben történik. Minden sorozatnak végtelen sok tagja van, de ábrázolni természetesen csak
véges sokat tudunk.
Ábrázoljuk a fenti sorozatot a számegyenesen:
A sorozatokat Maple programban is ábrázolhatjuk számegyenesen és koordináta-rendszerben is.
[ > pointplot({seq([n2, 0], n = 1 .. 10)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12)
Sorozatok
3 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > pointplot({seq([n, n2], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle, symbolsize = 12);
Sorozat megadása:
Hogyan adhatunk meg egy sorozatot?
1.képlettel
Sorozatok
4 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, például: ,
an = 5 + 2 n , például: a3 = 5 + 2 ⋅ 3 =11 , a80 = 5 + 2 ⋅ 80 = 165
Ha képlettel adunk meg egy sorozatot bármely elemét gyorsan ki tudjuk számolni úgy, hogy n helyére a sorozat
sorszámát helyettesítjük. Nem ütközik sokkal nagyobb nehézségbe a sorozat 100. elemének kiszámolása, mint
az 1. Ugyanezt nem mondhatjuk el, ha a sorozatot rekurzióval adjuk meg.
2.rekurzióval
A rekurzióval való megadás úgy történik, hogy megadjuk a sorozat első elemét, vagy néhány első elemét, ezután
még egy képzési szabályt is megadunk arról, hogy egy sorozatelem hogyan, milyen műveletekkel képezhető az
előző elemből, vagy elemekből. Legyen például a sorozat első eleme a1 = 5 , és a további elemek képzési
szabálya an = an-1 + 2 , n = 2, 3, ... , vagyis a sorozat minden elemét (az elsőt kivéve) úgy kapjuk meg, hogy az
előző elemhez hozzáadunk 2-t. Ekkor a2 = a1+ 2 =5+2=7, a3 = a2+ 2 = 7+2= 9 , ezzel a módszerrel a nagyobb
indexű tagok kiszámítása hosszú ideig tart.
A legismertebb rekurzív sorozat a Fibonacci-sorozat. Képzési szabálya a következő: a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2,
n > 2
A sorozat első és második eleme 1, minden további elemet úgy kapunk meg, hogy összeadjuk a sorozat előző
két elemét. A Fibonacci-sorozathoz nagyon sok érdekesség kapcsolódik. Egészen hihetetlen, hogy hány helyen
fordul elő a természetben, alkalmazzák szabályait építészek, képzőművészek, költők, zeneszerzők. Még a tőzsde
árfolyammozgásainak leírására is használják, bár ez az alkalmazás sokak által vitatható.
A rekurzív sorozatokkal az a probléma, hogyha pl. a 100. elemét szeretném kiszámítani, akkor minden elemét
meg kell határozni egészen a 99.-ig. Nem lehetséges az 1. pontbeli képlethez hasonló, csak n-től függő képletet
megadni a rekurzív sorozatokra is? A matematikának külön fejezete foglalkozik a rekurzív sorozatok explicit
képletének megadásával. Milyen típusú sorozatokhoz tudunk megadni képletet, és ha lehetséges a megadás
hogyan?
3. Szöveges utasítással
Ha így adunk meg egy sorozatot nagyon fontos, hogy vigyázzunk a pontos fogalmazásra, hogy egyértelműen
reprodukálható legyen az általunk megadott sorozat. A világ bármely pontján, a különböző előképzettséggel
rendelkező emberek mind ugyanarra a sorozatra gondoljanak, ha hallják a megfogalmazásunkat. Mikor
használjuk ezt a módszert? Ha más módszer nem alkalmas a sorozat megadására, például a sorozat n. eleme
legyen a π n. jegye. Erre valóban nem alkothatunk sem képletet, sem rekurziót.
4. A sorozat néhány elemének felsorolásával
Például a felsorolt elemek legyenek az 5, 7, 9, 11, 13, ... . Ekkor észrevehetjük, hogy a an = 2 n + 3 alkalmas
képzési szabály. Ennek a megadási módnak az a veszélye, hogy a folytatás nem mindig egyértelmű.
5. A függvény értelmezési tartományának leszűkítésével
Legyen például a függvény az . Az f(x) függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza,
kivéve a 0-t, ha az értelmezési tartományt leszűkítjük a pozitív természetes számok halmazára az
sorozatot kapjuk. Ábrázoljuk a függvényt és a sorozatot egy koordináta-rendszerben:
[ >
[ >
Sorozatok
5 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ >
[ > plot([l, f], n = -10 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2]);
A következő példa ugyanerre a megadási módra az függvény és az sorozat.
Az első ábrán csak a sorozat, a másodikon a sorozat és a függvény együtt látható
[ >
Sorozatok
6 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ >
[ >
[ > plot([l, f], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2]);
Sorozatok
7 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A sorozatok legfontosabb tulajdonságai:
Korlátosság:
Az an sorozat felülről korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra.
Megadható egy valós szám, az úgynevezett felső korlát (K), amelynél minden sorozatelem kisebb, vagy egyenlő
(más szóval nem nagyobb).
Az an sorozat alulról korlátos, ha van olyan szám, hogy minden -ra.
Megadható egy valós szám, az úgynevezett alsó korlát (k), amelynél minden sorozatelem nagyobb, vagy
egyenlő (más szóval nem kisebb).
Az an sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos.
A sorozatelemek a két - alsó és felső - korlát között "mozoghatnak".
A következőkben néhány sorozatot szemléltetünk korlátaikkal együtt, ha vannak.
A sorozat felülről korlátos,
alulról nem Felső korlát: K
= 1
A sorozat alulról korlátos,
felülről nem Alsó korlát: k
= 3
A sorozat korlátos Alsó
korlát k = 2 , felső korlát
K = 2, 25
A sorozat sem alulról, sem
felülről nem korlátos
Sorozatok
8 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Monotonitás:
Az an sorozat szigorúan monoton nő, ha an < an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem nagyobb az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an > 0 egyenlőtlenségnek kell
teljesülni.
Az an sorozat monoton nő, ha an ≤ an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem nagyobb, vagy egyenlő az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an ≥ 0
egyenlőtlenségnek kell teljesülni.
Az an sorozat szigorúan monoton csökken, ha az an > an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem kisebb az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an < 0 egyenlőtlenségnek kell
teljesülni.
Az an sorozat monoton csökken, ha an≥ an+1 minden -ra.
Minden sorozat elem kisebb, vagy egyenlő az őt megelőzőnél. Számításokban gyakran az an+1 - an ≤ 0
egyenlőtlenségnek kell teljesülni.
A korlátosság példáit tartalmazó táblázat első cellájában a sorozat szigorúan monoton csökken, a másodikban
szigorúan monoton nő, a harmadikban újra szigorúan monoton csökken, a negyedik cella példája nem monoton.
Példa:
Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából?
Monotonitás vizsgálata:
Mielőtt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány első elemét!
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken. (Vigyázat! Az első néhány elem kiszámítása nem mindig alkalmas
a helyes sejtés megfogalmazására. Egyes sorozatok néhány első eleme monoton nő, de lehetséges, hogy a
további elemek monoton csökkennek.)
Számítsuk ki az an+1 - an különbséget, ha negatív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést.
Sorozatok
9 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
an+1 - an=
, mert a számláló negatív és a nevező pozitív.
Tehát a sorozat szigorúan monoton csökken. Ha egy sorozat szigorúan monoton csökken, az első eleme, vagy
bármely annál nagyobb szám alkalmas lesz felső korlátnak, legyen pl. a felső korlát K = 0, 6 . Hogyan
határozzuk meg az alsó korlátot? Számítsuk ki a sorozat egy nagy indexű tagját, abból talán megsejthetjük az
alsó korlátot.
, ha nagyon szoros alsó korlátot akarunk megadni, úgy tűnik, hogy az 1/2 alkalmas lesz, ezt be
kellene bizonyítani. Van most egy egyszerűbb módszer is. Látjuk, hogy a sorozat minden tagja pozitív, így a k =
0 biztosan jó lesz alsó korlátnak, és ez nyilvánvaló, bizonyítanunk sem kell.
Nézzük végig a fenti gondolatmenetünket a Maple utasításokkal:
[ >
[ > a(1) # A sorozat 1. elemének kiszámítása
[ > evalf(a(1(,3) # A sorozat elemeit tizedestörtté alakítjuk, mert így könnyebben össze tudjuk hasonlítani a
tagokat, és sejtést tudunk megfogalmazni a sorozat monotonitására.
Hasonlóan további elemeket is kiszámítunk és tizedestörtté alakítunk.
Sejtés: A sorozat szigorúan monoton csökken.
[ > a(n+1) # A sorozat n+1. eleme
[ > a(n+1)-a(n) # Az n+1. és az n. elem különbsége
[ > simplify(a(n+1)-a(n)) # A különbség lehető legegyszerűbb alakra hozása
[ > solve(a(n+1)-a(n) < 0, [n]) # Megvizsgáljuk, hogy a sorozat szigorúan monoton csökkenő-e? Ez azt jelenti,
hogy n-re megoldjuk az a(n+1)-a(n)<0 egyenlőtlenséget
[ > s := solve({n > 0, a(n+1)-a(n) < 0}, [n]) # Azt kaptuk, hogy minden pozitív n-re teljesül az egyenlőtlenség,
tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken. Ezért a felső korlát a sorozat első eleme lesz.
[ > a(1000) # A felső korlátot a sorozat elég nagy indexű eleme segít megsejteni.
[ > # Megnézzük, hogy sejtésünk
helyénvaló-e?
Igen, minden pozitív n-re igaz a fenti egyenlőtlenség, tehát valóban jó alsó korlát az 1/2.
[ > l : = [[n, a(n)], $n = 1 .. 10)]; # A sorozat első tíz elemének kiszámítása:
[ > plot([l, k, K], n = 0 .. 10, style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle,
symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0 .. 10, 0 .. 1]); # Szemléltetés a koordináta-rendszerben az alsó
és felső korláttal együtt.
Sorozatok
10 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2. Konvergens, divergens sorozatok
A konvergencia és a divergencia a sorozatokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmak. Egyes sorozatok szép nagy,
egyenletes léptekkel gyalogolnak a +∞, vagy a -∞ felé, míg mások egy, vagy több pontba "sűrűsödnek".
Vizsgáljuk először ezeket a néhány pont köré besűrűsödő sorozatokat. Hogy tudjuk ezt a szemléletes képet
matematikailag pontosan megfogni? Először meghatározzuk a környezet fogalmát:
Környezet
Az "a" pont ε > 0 sugarú környezete az ]a- ε,a+ ε[ nyílt intervallum, ahol ε tetszőleges pozitív, valós szám.
Torlódási pont
Az an sorozat torlódási pontja "a", ha a tetszőleges ε > 0 környezetén belül a sorozatnak végtelen (∞) sok eleme
van. Nagyon fontos kihangsúlyozni, hogy a definíció bármilyen kis ε sugarú környezet esetében igaz, és a
kérdés ekkor érdekes igazán.
A következő táblázatban három sorozatot szemléltetünk, amelyeknek rendre 1, 2 illetve 3 torlódási pontjuk van.
A szemléltetés nem egy egyszerű ábra, hanem animáció. Maple-ben a képre kattintva megjelenik az animáció
menü, ahol, ha az FPS: utáni számot kicsire 1, vagy 2 értékre állítjuk az animáció lassabb lesz, és jobban meg
tudjuk figyelni a sorozatok viselkedését. A harmadik sorozat esetében úgy tűnik, hogy csak három elemet
ábrázolunk, ez azért látszik így, mert ez a három elem (-1, 0, 1) ismétlődik, mindegyik végtelen sokszor.
A sorozatnak egy torlódási pontja A sorozatnak két torlódási pontja A sorozatnak három torlódási pontja
Sorozatok
11 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
van és az a 0. van a 2 és a - 2. van a - 1, 0, és az 1.
Konvergencia
Konvergens csak az a sorozat lehet, ami egyetlen pontba "sűrűsödik", nem lehet több torlódási pontja. Ekkor a
torlódási pontot a sorozat határértékének nevezzük.
Ha a határérték bármilyen kicsi ε > 0 sugarú környezetét vesszük, a sorozatelemek egyszercsak beugranak ebbe
a környezetbe és utána mindig benn is maradnak. Legyen a sorozatnak N db eleme a környezeten kívül. Ekkor
az utolsó elem, ami még nincs a megadott környezetben az aN . Pontosabban ezt így fogalmazhatjuk meg: a
sorozat konvergens és határértéke "a", ha bármely pozitív ε- hoz található egy N ( ε - tól függő) küszöbindex,
hogy ha a sorozat N-nél nagyobb sorszámú elemeit tekintjük, akkor azok a határértékhez, "a"-hoz ε -nál
közelebb lesznek. (A konvergencia 1. definíciója)
Matematikai jelekkel így írható fel a definíció: Az an sorozat konvergens és határértéke "a", ha
(A jelek magyarázata: "∀ " , az ún. univerzális kvantor, jelentése minden, bármely. "∃ " , egzisztenciális kvantor,
jelentése van olyan, létezik) A fenit megfogalmazással ekvivalens definíció a következő: Az an sorozat
konvergens és határértéke "a", ha "a" bármilyen "kis" ε > 0 sugarú, ]a- ε,a+ ε[ környezetén kívül a sorozatnak
véges sok eleme van. (A konvergencia 2. definíciója)
Jelölések: vagy,
Tekintsük újra az sorozatot. Mi lehet a sorozat határértéke? A monotonitás vizsgálatnál
kiszámoltuk a sorozat 1000. elemét, ami elég közel van az 1/2-hez. Nézzük meg, hogy az 1/2 jó lesz-e
határértéknek? Legyen először ε = 0,05. Számítsuk ki, hogy a sorozat hány eleme lesz az 1/2- nek az ε = 0,05
sugarú környezetén kívül, illetve hányadik elemtől lesznek a sorozatelemek a megadott környezetben?
Sorozatok
12 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az abszolútérték "elhagyható", mert pozitív számot tartalmaz. < 0,05
Vegyük mindkét oldal reciprokát, ekkor az egyenlőtlenség iránya megfordul. 2 ⋅ (2n + 3) > 20 ⇒ 4n + 6 > 20 ⇒
4n > 14 ⇒ n > 3,5
Tehát n = 4, 5, ... adódott, vagyis a sorozatelemek a 4. elemtől kezdve vannak az 1/2 -nek az ε = 0,05 sugarú
környezetében. Ezért a küszöbindex N = 3, a sorozatnak csak az első három eleme van a megadott
intervallumon kívül. Általában N, a küszöbszám az egyenlőtlenség megoldása során kapott eredmény egész
része. Ugyanezt az egyenlőtlenséget ε = 0,01, ε = 0,001 esetében is oldjuk meg. A kapott küszöbszámok rendre
N = 23, N = 248. Az alábbiakban a Maple utasításokkal történő számolást, majd a kapott eredmények
szemléltetését láthatjuk.
[ > e : = | a(n) - 0.5 |# Az egyenlőtlenség bal oldalának felírása
[ > f := simplify(e) # Az egyenlőtlenség bal oldalának leegyszerűsítése
[ > solve({(e < 0.5 and n > 0)}, n); # a megoldás 0,05-re
[ > solve({ e < 0.01 and n > 0 },n); a #megoldás 0,01-re
[ > solve({ e < 0.001 and n > 0 },n); a #megoldás 0,001-re
[ > # Az egyenlőtlenség általános
megoldása
[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.05])
[ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,05 sugarú környezet esetén
[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.01])
[ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,01 sugarú környezet esetén
[ > érték := eval(küszöb, [ε = 0.001])
[ > N := floor(érték) # a küszöbszám megadása 0,001 sugarú környezet esetén
Sorozatok
13 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A Maple limit utasítása megadja a sorozat határértékét:
[ >
Divergencia
A nem konvergens sorozatokat divergens sorozatoknak nevezzük.
A divergens sorozatok is többfélék lehetnek.
A divergens sorozatok típusai:
• + végtelenhez tartó sorozatok (→ + ∞)
• - végtelenhez tartó sorozatok (→ - ∞)
• oszcillálva ("ide-oda ugrálva") divergens sorozatok
Akkor tart a +∞-hez egy sorozat, ha bármilyen (nagy) M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem,
ami ennél a számnál nagyobb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem nagyobb lesz M-nél. Az utolsó
elem, ami még nem nagyobb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy,
hogy an > M, ha n > N
Sorozatok
14 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Akkor tart a - ∞-hez egy sorozat, ha bármilyen M számot adunk meg, mindig található egy sorozatelem, ami
ennél a számnál kisebb lesz és onnantól kezdve az összes sorozatelem kisebb lesz M-nél. Az utolsó elem, ami
még nem kisebb M-nél az N. elem. Matematikai jelekkel leírva: an → - ∞, ha ∀ M-hez ∃ N úgy, hogy an < M,
ha n > N
Jelölés:
oszcillálva divergens,
korlátos sorozat oszcillálva divergens, nem
korlátos sorozat
Mit mond a Maple limit utasítása divergens sorozatok esetén?
[ > limit(n2, n = infinity) ; # +∞-hez tartó sorozat
[ > limit(-2⋅ n+1, n = infinity); # -∞-hez tartó sorozat
[ > limit((-1)n⋅ n, n = infinity); # oszcillálva divergens sorozat
Néhány példa különböző tulajdonságú sorozatokra:
A fenti példákat nézzük meg Maple-ben szemléltetve is. Az első oszlopban számegyenesen ábrázoltuk a
sorozatokat animálva, a második oszlopban koordináta - rendszerben ábrázoltunk, a harmadik oszlopban
összefoglaltuk a legfontosabb tulajdonságokat:
Sorozatok
15 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Alulról korlátos k = 1, monoton
növekvő, nincs torlódási pontja,
divergens,
limit(1/n, n = infinity) = 0
Korlátos k = -1, K = 1/2, nem
monoton, torlódási pontja 0,
konvergens, határértéke 0
Korlátos k = -1, K = 1, nem
monoton, torlódási pontjai:-1, 0, 1,
oszcillálva divergens
Nem korlátos, nem monoton, nincs
torlódási pontja, oszcillálva
divergens
Sorozatok
16 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Felülről korlátos K = -1, monoton
csökkenő, torlódási pontja nincs,
divergens
Korlátos k = -2, K = 2, nem
monoton, torlódási pontjai: -2, 2,
oszcillálva divergens
Korlátos k = -1, K = 1, nem
monoton, torlódási pontjai: -1, 1,
oszcillálva divergens
Észrevehetjük, hogy a példaként szereplő sorozatokban többször előfordul a (-1)n és a (-1)(n+1) kifejezés. n
értékétől függően ezeknek a kifejezéseknek a számértéke, - 1, és +1 felváltva. Ezért szerepük a váltakozó előjel
biztosítása. Ha (-1)n -nel szorozzuk meg a képletet, akkor a sorozat első eleme negatív lesz, a második pozitív és
így tovább, minden páratlan sorszámú elem negatív és minden páros sorszámú pozitív. Ha (-1)(n+1)-nel szorozzuk
meg a sorozat képletét, akkor a páratlan sorszámú elemek lesznek pozitív előjelűek és a páros sorszámú elemek
negatívok. A divergens sorozatok határértékét az előbb már megnéztük a Maple limit utasításával. Most nézzük
meg a táblázatban szereplő konvergens sorozatok határértékét:
[ >
[ >
A fenti táblázatban szerepelnek monoton és nem monoton, korlátos és nem korlátos, konvergens és divergens
sorozatok. Tegyünk rendet, vizsgáljuk meg, hogy ezek a sorozat tulajdonságok milyen kapcsolatban vannak
egymással.
A konvergencia, a monotonitás és a korlátosság kapcsolata
Tétel: Ha az an sorozat konvergens, akkor korlátos. A bizonyítás vázlatosan a következőképpen szól. Ha egy
sorozat konvergens, akkor a konvergencia 2. definíciója értelmében a határérték tetszőleges ε sugarú
környezetén kívül a sorozatnak véges sok eleme van. Az 1. definíció azt mondja, hogy pontosan N db elem van
az ε sugarú környezeten kívül. De a véges sok elem között mindig van legnagyobb és legkisebb, ami alkalmas
felső ill. alsó korlátnak. Előfordulhat az is , hogy a sorozatnak a környezeten kívül egyáltalán nincs eleme, vagy
csak a + ε - nál nagyobb, vagy a - ε -nál kisebb eleme nincs. Ezért a felső korlát K = maximum{a1, a2, ...aN, a +
ε}, az alsó korlát k = minimum{a1, a2, ...aN, a - ε}. Az ábra egy olyan esetet mutat, ahol a sorozatnak a N db ε
sugarú környezeten kívüli elemei között van a + ε -nál nagyobb, és a - ε -nál kisebb eleme is.
Sorozatok
17 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha az an sorozat korlátos, akkor nem szükségképpen konvergens. Ilyen sorozatok például a táblázat dn, gn, hn
sorozatai. Ezt úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a korlátosság a konvergencia szükséges, de nem elégséges
feltétele.
an konvergens ⇒ an korlátos
an korlátos ⇏ an konvergens
Halmaz ábrával:
Tudunk-e a konvergenciára elégséges feltételt megfogalmazni? Igen, ez a következő tétel, amit bizonyítás nélkül
közlünk:
Tétel: Ha az an sorozat korlátos és monoton, akkor konvergens.
DE!
Ha az an sorozat konvergens, akkor nem szükségképpen korlátos és monoton. Ilyen például a cn sorozat, ami
konvergens, de nem monoton.
Ezért: A korlátosság és monotonitás a konvergencia elégséges, de nem szükséges feltétele.
an konvergens ⇏ an korlátos és monoton
an korlátos és monoton ⇒ an konvergens
Halmaz ábrával:
3. Nevezetes sorozatok határértékei
A következőkben néhány nevezetes sorozat határértékét vizsgáljuk meg. Az an=1/n sorozat már többször
előfordult, tudjuk, hogy határértéke 0.
Sorozatok
18 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A második nevezetes sorozat a qn sorozat. Ez különböző alapok esetében másképpen viselkedik. Az alábbi
táblázatban láthatjuk a lényegesen különböző eseteket.
összefoglalva:
Különben osszillálva divergens a sorozat.
Ezután tekintsük az sorozatot, mivel n értéke páros és páratlan szám is lehet fontos az a > 0 kikötés (páros
gyök alatt negatív szám nem állhat!). (A sorozat határértékét különböző a értékekre úgy is megsejthetjük, hogy a
számológépünkbe beírunk egy tetszőleges pozitív számot, és elkezdjük "nyomogatni" a gyök billentyűt. Ha
sokszor megismételjük a gyökvonás műveletet, akármilyen nagy, vagy akármilyan kicsi számból is indultunk ki
egyszer 1 érték adódik, ami azt jelenti, hogy a sorozat elemek a számológép pontosságánál már jobban
megközelítik az 1-et.)
Szemléltessük ezt a sorozatot is néhány a érték esetében.
Láthatjuk és bebizonyítható, hogy az sorozat határértéke minden pozitív n -re 1. Ha n > 1 , akkor a sorozat
szigorúan monoton csökkenve tart 1-hez, ha n < 1 , akkor szigorúan monoton növekedve, n = 1 esetén a sorozat
természetesen a konstans 1 sorozat lesz.
A következő nevezetes sorozat az , láthatjuk, hogy itt a gyökkitevőn kívül a gyök alatti mennyiség sem
állandó, hanem a változó n érték. Mivel n mindig pozitív a gyök alatti mennyiségre nem kell kikötést tennünk,
csak a gyökkitevő miatt kell n > 1 -re vizsgálnunk a sorozatot, mivel a legkisebb gyökkitevő a 2, más szóval a
négyzetgyök. Először kiszámítjuk a sorozat határértékét, majd megnézzük a századik elem közelítő értékét 20
tizedes jegyig, végül ábrázoljuk a sorozat néhány elemét:
[ >
[ >
Sorozatok
19 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > Közelítés := evalf(c, 20)
[ >
A sorozat szigorúan monoton csökken az első két elemet kivéve, határértéke 1. Tehát a 4. nevezetes sorozat
határértéke:
A következő nevezetes sorozat egy olyan hatvány, ahol az alap és a kitevő is változik. A pénzügyi
számításokban is előfordul, ahogy egy további fejezetben látni fogjuk.
A sorozat:
Számoljuk ki a sorozat néhány elemét:
...
[ >
[ > közelítés : = evalf (b, 20);
[ >
Sorozatok
20 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A határértékre most "nem szám" adódott, hanem azt írta ki a program, hogy e. Mi az e szám és mennyi az
értéke? Az e egy irracionális szám (végtelen nem szakaszos tizedestört), ezért csak közelítő értékét tudjuk
megadni, ezt számolta ki a program 20 tizedesig. Milyen irracionális számokat ismerünk még? A π, a
biztosan mindenkinek eszébe jut.
Ha egy kicsit megváltoztatjuk a sorozatot és a zárójelben szereplő tört számlálója tetszőleges való szám lesz a
határérték így változik:
, ahol
4. Műveletek konvergens sorozatokkal
Az előbbi részben öt nevezetes sorozat határértékével ismerkedtünk meg, de nyilvánvaló, hogy nem csak ennek
az öt sorozatnak a határértékére vagyunk kíváncsiak. Hogyan tudjuk más sorozatok határértékeit meghatározni
ezekre a nevezetes sorozatokra építve? Erre ad választ a műveletek konvergens sorozatokkal fejezet. Ha adott
két konvergens sorozat an és bn és ismerjük mindkettő határértékét, vagyis tudjuk, hogy és
, akkor sorozatok is konvergensek és
Sorozatok
21 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, ahol b ≠ 0 és bn ≠ 0
, ahol c konstans és a > 0
, ahol a > 0
Mit jelent ez? Nézzünk meg néhány példát.
Mit alkalmaztunk? A 2. műveleti azonosságot:
Mit alkalmaztunk? A 3. műveleti azonosságot:
A fenti két művelet egy más utáni alkalmazásával azt kapjuk, hogy ha egy számot n tetszőleges pozitív egész
kitevős hatványával elosztjuk, akkor 0-hoz taró sorozatot kapunk, képletben: , ahol , és
További részletesen kidolgozott feladatok a tananyag 2. fejezetében találhatók.
5. Kritikus határértékek, rendőr-elv
Ez előző pontban megismert műveleti szabályok mindig alkalmazhatók sorozatok határértékének kiszámítására?
Sajnos nem, vannak ún. kritikus határértékek, ekkor mindig valami "trükköt " kell alkalmazni a határérték
kiszámítására a műveleti szabályok egyszerű alkalmazásával nem érünk célba. Melyek ezek a kritikus
határértékek? És mit értünk azalatt pontosan, hogy kritikus határérték?
Ha egy tört számlálója és nevezője is 0-hoz tart, hova tart a tört? Ez az egyik leggyakrabban előforduló kritikus
határérték. A műveleti szabály azért sem alkalmazható, mert az említett hányadost nem tudjuk értelmezni, de ha
megnézünk néhány ilyen példát láthatjuk, hogy a hányados sorozat határértéke bármi lehet.
Az első példában a számláló , a nevező , mindkettő (a számláló és a nevező is) 0-hoz tart, ha n tart ∞-
hez. Ha felhasználjuk a törtek osztásának szabályát (a számlálót az osztó reciprokával szorozzuk), akkor n
adódik, tehát a határérték ∞.
A következő példában cseréljük meg a tört számlálóját és nevezőjét. Ekkor is igaz, hogy a tört számlálója és
nevezője is a 0-hoz tart, de az eredmény most , aminek a határértéke 0.
Sorozatok
22 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Végül nézzünk egy olyan példát, ahol a számláló és a nevező is 0-hoz tart, a hányados pedig egy véges
számhoz, mondjuk 2-höz.
Láthatjuk, hogy mi is a probléma ezzel a határérték típussal, nem tudjuk megmondani, hogy mi lesz a hányados
határértéke, mert a konkrét sorozatoktól függően bármi lehet. A többi kritikus határérték esetében is ez okozza a
gondot, az eredmény lehet akármi, 0, ∞, tetszőleges valós szám.
összefoglalva a kritikus határértékek:
Ha és , akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani.
Ha és , akkor sorozat határértékéről nem tudunk semmit sem mondani.
A következőben még egy módszert ismertetünk egy sorozat határértékének kiszámítására, ez a
Rendőr-elv
Adott három sorozat an, bn és cn , és tudjuk, hogy b1 az a1 és c1 között helyezkedik el a számegyenesen, vagyis a1
≤ b1 ≤ c1, hasonlóan a2 ≤ b2 ≤ c2, és így tovább minden n-re. Továbbá a bn-et közrefogó két sorozat an és cn
határértéke megegyezik, és ez a közös határérték A , akkor bn sorozatnak "sincs más választása, kénytelen lesz"
A -hoz konvergálni.
Matematikai jelőlésekkel:
Adott három sorozat an, bn és cn
Egy sorozat határértékét rendőr-elvvel meghatározni azért nem könnyű, mert kell keresnünk egy, a
sorozatunknál elemenként nagyobb és egy, elemenként kisebb sorozatot és még annak is teljesülnie kell, hogy a
két sorozatnak ugyanaz legyen a határértéke.
Nézzünk egy példát!
Számítsuk ki a határértéket! A számláló és a nevező is ∞-hez tart, ez egy "kritikus" határérték.
Sorozatok
23 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Találtunk a sorozatunkhoz elemenként kisebb és nagyobb sorozatot. Most már csak azt kell megnézni, hogy mi
a két közrefogó sorozat határértéke. Tudjuk a 2. nevezetes sorozat határértékét:
, ezért , így a keresett határérték
Szemléltessük eredményünket, ábrázoljuk a három sorozat néhány elemét koordináta - rendszerben:
[ >
[ >
[ >
[ >
6. Egy pénzügyi alkalmazás
Pénzügyi számítások során gyakran találkozunk sorozatokkal, de ez általában egy sorozat néhány értékének
kiszámítása. Például a kamatoskamat számításnál, hitel törlesztőrészletének, betét értékének meghatározásánál.
Ezekben a feladatokban a sorozat néhány elemét, vagy néhány elemének összegét kell kiszámítanunk.
Határértéket, a sorozat viselkedését a végtelenben általában nem vizsgáljuk, pedig a matematikai analízis
szempontjából ez lenne az érdekes. Mégis találhatunk olyan pénzügyi példát, ahol a határérték számításra is
szükségünk van.
Sorozatok
24 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az e-hez és e hatványaihoz tartó nevezetes sorozat "pénzügyes " háttere:
"Az e talán nem mindenkinek tűnik annyira "természetesnek ". Nevét onnan kapta, hogy többek között olyan
alapvető életfolyamatok modellezésében is találkozhatunk vele, mint a növekedés és a fogyás. Nem is beszélve
arról a szintén alapvető dologról, amely (Erdőst leszámítva) gyakran foglalkoztatja az embereket nevezetesen a
pénzről. Az e központi szerepet játszik a kamatos kamat számításánál. Tegyük fel, hogy 1 dollárt teszünk egy
olyan bankba, ami 100% tőkésített kamatot ígér egy évre. Egy másik pénzintézet a tőkésítést fél évre vállalja.
Utóbbi esetben jobban járunk, mivel a hat hónap letelte után a befektetett összeg 50%-ának megfelelő kamatot
kapunk, azaz 50 centet. Év végére persze már a kamat is kamatozik, így tizenkét hónap elteltével a teljes összeg
2 dollár 25 centre nő. Na és mi van akkor, ha az évi 100%-os kamat negyedéves bontásban értendő? Egy év után
ebben az esetben már 2 dollár 44 centünk lesz. Ha pedig évente nyolcszor számolunk kamatot, 2 dollár 57 centet
tehetünk zsebre. Végül mi történik, ha a túlságosan is nagylelkű Erdős Bank folyamatosan kínálja az évi 100%
kamatot? Vajon Erdős szavaival élve "végtelenül gazdagok " lennénk-e 12 hónap elteltével? Nem egészen. Az
összeg, amelyre ily módon szert tehetünk, nem lenne több, mint e, vagyis 2,718� - dollár. " Paul Hoffman: A
PRÍM ember ERDőS PÁL kalandjai a matematika végtelenjében
Számoljunk végig egy olyan példát, ahol a kamat hozzáadása a tőkéhez (tőkésítés) nem év végén történik,
hanem félévente, negyedévente, stb.:
Számoljuk ki 1 Ft felnövekedett értékét, ha az éves kamatláb 12% és a tőkésítés arányos kamatlábakkal
félévente, negyedévente, havonta, illetve naponta történik.
Félévente: , vagyis a növekedés 12,36%
Negyedévente: , vagyis a növekedés 12,55%
Havonta: azaz , vagyis a növekedés 12,68%
Naponta: az arányos kamatláb ekkor ,azaz , a növekedés 12,70%
Folytonos kamatozás esetén: , ahol m az évi tőkésítések száma, i pedig a kamat,
, ami közelítőleg 12,75%-os növekedés.
A folytonos kamatozásnál nyert érték a különböző kamatozási folyamatok felső határa. Ha nem 1 Ft, hanem C0;
és nem egy év, hanem n szerepelt volna a példában, akkor az éves kamattényezőt még n-dik hatványra kellene
emelni és a C0-lal szorozni.
7. Részletesen kidolgozott feladatok a sorozatok témaköréből
7.1. Monotonitás, korlátosság
7.1.1. 1. feladat
Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából?
Monotonitás vizsgálata:
Sorozatok
25 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Mielőtt a bizonyításhoz kezdünk, számítsuk ki a sorozat néhány első elemét!
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton nő
Számítsuk ki az an+1 - an különbséget, ha pozitív eredményt kapunk, akkor bebizonyítottuk a sejtést.
an+1 felírása: az an képletébe n helyére (n+1)-et írunk, fontos, hogy mindig tegyük zárójelbe! (A zárójel néha
elhagyható, de ha nem vagyunk benne biztosak, hogy mikor, azt javaslom, mindig írjunk zárójelet, mert akkor
biztos nem követünk el hibát.)
A fenti sorban felbontottuk a zárójeleket és összevontunk. Ezután közös nevezőre hozzuk a két törtet, mivel a
nevezőknek nincs közös tényezője (a legnagyobb közös osztójuk 1) a közös nevező a két nevező szorzata lesz:
Látható, hogy a közös nevezőre hozás mindkét törtnél lényegében törtbővítés volt. Az első tört számlálóját és
nevezőjét is megszoroztuk n + 3 -mal, a második törtet n + 4 -gyel bővítettük. Most közös a nevező, ezért a
kifejezésünket egy törtként is felírhatjuk, majd a számlálóban felbontjuk a zárójeleket, ezután összevonunk. A
nevezőben soha ne végezzük el a szorzást!
A nevező második tagjánál vigyázzunk, a zárójel előtt negatív előjel van, ez azt jelenti, hogy ha felbontjuk a
zárójelet minden tag ellentétes előjelű lesz.
A számláló összevonása után kapott tört előjelét már könnyen megvizsgálhatjuk. A számláló 5, ez pozitív, a
nevezőben n+4 > 0 és n+3 > 0, mert n > 0, ezért a szorzatuk is, így a nevező is pozitív. Ha egy tört számlálója és
nevezője is pozitív, akkor a tört is az, tehát bebizonyítottuk az állítást, a sejtés igaz, a sorozat szigorúan monoton
nő.
Korlátosság vizsgálata:
Ha egy sorozat szigorúan monoton nő, vagy monoton nő, akkor első eleme mindig alkalmas alsó korlátnak, k =
a1 A felső korlát keresése előtt célszerû kiszámítani a sorozat határértékét.
A sorozat szigorúan monoton növekedve tart 2-höz. Ezért a 2 (de bármely 2-nél nagyobb szám is) alkalmas lesz
felső korlátnak. Nézzük meg, hogy valóban igaz-e, hogy minden sorozat elem (ehhez a sorozat általános
elemével kell elvégezni a vizsgálatot) kisebb, mint 2.
Sorozatok
26 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Vonjunk ki az egyenlőtlenség mindkét oldalából kettőt, majd hozzuk a bal oldali kifejezést közös nevezőre:
Vigyázat, negatív előjel a zárójel előtt!!!
Igaz egyenlőtlenséget kaptunk, mert a bal oldali tört számlálója negatív (-5), nevezője pozitív, mert n > 0, így a
tört is negatív. Tehát a sorozat egy felső korlátjának K = 2 valóban megfelel.
összefoglalva: sorozatunk szigorúan monoton nő és korlátos, alsó korlátja k = a1=3/4, felső korlátja K = 2,
konvergens, határértéke is 2. (Az alábbi ábra azt mutatja, hogy a sorozatok korlátaikkal együtt Excel
programban is szemléltethetők.)
Most nézzük meg, hogy ugyanennek a feladatnak a megoldásában, hogyan segítenek a Maple utasítások?
[ > restart
[ > with(plots):
[ > a(n):=(2*n+1)/(n+3)
[ > a(1)
[ > a(2)
[ > a(3)
[ > a(n+1)
[ > a(n+1)-a(n)
[ > simplify(a(n+1)-a(n))
[ > solve({n > 0, a(n+1)-a(n) > 0}, [n])
[ > k := a(1)
Sorozatok
27 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > limit(a(n), n = infinity)
[ > K := limit(a(n), n = infinity)
[ > l := [`$`([n, a(n)], n = 1 .. 10)]
[ > plot([l, k, K], n = 0 .. 10, style = [point, line, line], color = [blue, red, green], symbol = solidcircle,
symbolsize = 20, thickness = [4, 2, 2], view = [0 .. 10, 0 .. 2])
7.1.2. 2. feladat
Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából?
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökkenő
Sorozatok
28 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Milyen előjelű a kapott tört? Számlálója negatív (-8), de vajon a nevező előjele mi lesz? Mindkét szorzótényező
negatív a nevezőben, mert n > 0, azért szorzatuk pozitív. A tört negatív lesz, mert a számlálója és a nevezője
különböző előjelű.
ezért a sorozat szigorúan monoton csökken.
Korlátosság vizsgálata:
Minden szigorúan monoton csökkenő és monoton csökkenő sorozat első eleme alkalmas lesz felső korlátnak,
K = a1 = 6
Az alsó korlát kiszámítása előtt nézzük meg a határértéket:
Alsó korlátnak megfelelő lesz a -2, vagy bármely nála kisebb szám. Az alsó korlátnál minden sorozatelemnek
nagyobbnak kell lennie, ezért a következő egyenlőtlenségnek kell teljesülnie:
an > - 2
Az egyenlőtlenség igaz, mert a számláló és a nevező is negatív, ezért a tört pozitív. A sorozat szigorúan
monoton csökken, felső korlátja 2, alsó korlátja -2, tehát korlátos a sorozat, és így konvergens is, határértéke -2.
Ezt a feladatot is végigkísérhetjük Maple-ben az előző feladatnál felsorolt utasításokkal. A kapott ábra:
Sorozatok
29 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.1.3. 3. feladat
Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából?
n ≠ 5
Kikötést kell tennünk, mert a nevező nem lehet 0. Miért nem tettünk kikötést az előző feladatokban, hiszen ott is
tört tagú sorozataink voltak? Ha tettünk volna kikötést ez az első feladatban n ≠ -3, a másodikban n ≠ 0,5 lett
volna, de ezek az n értékek a sorozatoknál sohasem fordulnak elő, mert az n csak pozitív, egész szám lehet.
Monotonitás vizsgálata:
a5 nincs értelmezve
Mit mondhatunk ennek a sorozatnak a monotonitásáról, először csökken, majd felugrik egy nagyot, és újra
csökkenni kezd. Ha valaki csak az első három tagot számolja ki az a sejtése támadhat, hogy ez a sorozat
szigorúan monoton csökkenő. Nézzük meg, hogy a szokásos számolásból kiderül-e a sorozat „renitens
viselkedése”, s ha igen hogyan tudjuk észrevenni.
Sorozatok
30 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Vizsgáljuk meg a kapott tört előjelét, a számláló mindig negatív, tehát a tört előjelét a nevező fogja
meghatározni. Ha n < 4 mindkét tényező negatív, a nevező pozitív, a tört negatív, tehát 4-nél kisebb n-ekre a
sorozat szigorúan monoton csökken. Ha n > 5, akkor mindkét tényező pozitív, szorzatuk pozitív, a tört negatív,
ekkor is szigorúan monoton csökken a sorozat. A fenti törtből a sorozat 4 és 5 közötti viselkedésére nem kapunk
választ, ki kell számítanunk a megfelelő sorozatelemeket (amelyiket lehet).
Mondhatjuk azt, hogy a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, általában is elmondhatjuk, hogy a sorozat
viselkedése „nagy” n-ekre érdekel bennünket, a sorozat elején néhány „nem jól viselkedő taggal” nem kell
törődnünk.
Korlátosság vizsgálata:
Hasonlóan az előzőekhez gyakorlásként meg lehet határozni a határértéket, a felső korlát K = 7, az alsó korlát k
= -5 lesz. összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, ha n > 5, felső korlátja K = 7, az alsó korlátja k =
-5, tehát korlátos, ezért konvergens is, határértéke 1.
A megoldás lépései Maple utasításokkal is végigvihetők. A kapott grafikon a korlátokkal:
7.1.4. 4. feladat
Mit mondhatunk a következő sorozatról monotonitás és korlátosság szempontjából?
an = - 2 n + 5
Sorozatok
31 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Monotonitás vizsgálata:
a1 = - 2 ⋅ 1 + 5 = 3
a2 = - 2 ⋅ 2 + 5 = 1
a3 = - 2 ⋅ 3 + 5 = -1
Sejtés: a sorozat szigorúan monoton csökken.
Bizonyítás:
an+1 - an = ( -2(n + 1) + 5) - ( -2n + 5) = -2n -2 + 5 +2n - 5 = -2 < 0
Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökken.
Korlátosság vizsgálata:
Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő a sorozat első eleme alkalmas lesz felső korlátnak,
K = a1 = 3
A sorozat alulról nem korlátos.
Bizonyítás indirekt:
Tegyük fel, hogy van egy m szám, ami alkalmas alsó korlátnak, vagyis a sorozatnak nincs m-nél kisebb eleme.
Ezt képletben a következőképpen írhatjuk fel:
an > m minden n ∈ ℕ+ esetén
-2n + 5 ≥ m
-2n ≥ m - 5
Vigyázat! Negatív számmal való osztás, az egyenlőtlenség irány megfordul!
A kapott végeredmény nyilvánvaló lehetetlenség, hiszen n bármilyen nagy pozitív természetes szám lehet. Az
ellentmondást csak úgy oldhatjuk fel, hogy eredeti állításunk hamis volt, vagyis a sorozatnak nincs alsó korlátja.
összefoglalva a sorozat szigorúan monoton csökken, felülről korlátos, felső korlátja K = a1 = 3 , alulról nem
korlátos.
Maple-ben:
[ > a(n):=-2*n+5
Sorozatok
32 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > a(1)
[ > a(2)
[ > a(3)
[ > a(n+1)-a(n)
[ > limit(a(n), n = infinity)
[ > solve({a(n)-m >= 0}, [n])
[ > K := a(1)
[ > l := [`$`([n, a(n)], n = 1 .. 10)]
[ > plot([l, K], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2], view = [0 .. 10, -16 .. 4])
7.2. Két (egyváltozós) polinom hányadosának határértéke
Az an = 1/n sorozat határértékére visszavezethető feladatok
A polinomok határértéke mindig ±∞ , ha n → ∞ , tehát ha két polinom hányadosának határértékét szeretnénk
kiszámítani, az mindig egy ± ∞ / ± ∞ típusú kritikus határérték. Ezért ki kell találni valami olyan módszert,
amivel azonos átalakítások segítségével addig formáljuk a kifejezéseket, amíg a határérték már nem lesz
kritikus.
Mi a polinom? Egy változó, jelen esetben „n” hatványai számokkal szorozva és összeadva, csökkenő hatványok
szerint rendezve. Pl.:
4n3 + 5n2 - 2n + 11, ez n változó harmadfokú egyváltozós polinomja.
A definíció szerint összeadásnak kell szerepelni a hatványok között, a fenti példában azonban van egy kivonás
is. Okoz-e ez problémát? Nem, mert a polinom
Sorozatok
33 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4n3 + 5n2 + (- 2)⋅ n + 11 formába is írható.
Az „n” hatványok előtti szám-szorzókat együtthatóknak szoktuk nevezni.
A legnagyobb kitevőjű hatvány előtti együttható a főegyüttható.
7.2.1. 1. feladat
Számítsuk ki a következő határértéket:
Láthatjuk, hogy a számlálóban és a nevezőben is elsőfokú polinom van (n = n1). A számlálót és a nevezőt is
elosztjuk tagonként �n�-nel. Megtehetjük-e ezt anélkül, hogy megváltozna a tört értéke? Ez azonos átalakítás,
nevezetesen tört egyszerûsítés, hasonlóan
átalakításhoz, (ahol a törtet 3-mal egyszerűsítettük) tehát a tört értéke nem változik.
Tudjuk, hogy , vagy másképp , ha
Ezután a szürke keretben levő műveleti azonosságokat alkalmazzuk:
A 2. azonosságot használtuk fel:
Sorozatok
34 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A számláló határértékére az 1. azonosság alkalmazható (kivonás), a számláló határértéke:
an = 2 (konstans 2 sorozat: 2, 2, 2, � ),
a = 2, b = 0, 2 – 0 = 2
A nevező határértékére szintén az 1. azonosság alkalmazható (összeadás), a nevező határértéke:
, bn = 5
a = 0, b = 5, 0 + 5 = 5
A tört határértékéhez már csak a 4. azonosságot kell felhasználni, és adódik, hogy ha a számláló határértéke 2, a
nevezőé pedig 5, akkor a tört határértéke 2 / 5 lesz.
Tehát:
Maple-ben a limit utasítás azonnal megadja a sorozat határértékét.
[ >
[ >
[ > plot([l, h], n = 0 .. 10, style = [point, line], color = [blue, red], symbol = solidcircle, symbolsize = 20,
thickness = [4, 2], view = [0 .. 10, 0 .. .5])
Sorozatok
35 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.2.2. 2. feladat
Számítsuk ki a következő határértéket:
A számláló és a nevező fokszáma megegyezik, mindkettő másodfokú polinom. A legnagyobb kitevőjû hatvány
az n2, ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezőt is. A következő adódik:
Az egyszerűsítések után:
a szürke táblázat 2. és 3. azonosságát alkalmaztuk.
Sorozatok
36 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Általánosan is elmondhatjuk, hogy a (a számlálóban c egy állandó szám, a nevezőben n pozitív, egész
kitevőjû hatványa az (nk) típusú határérték mindig 0.
Az előző feladatban megnéztük, hogy és ugyanígy igazolható az is, hogy
Ezután az 1. és 4. azonosság alkalmazásával adódik, hogy a határérték
A szemléltetést a Maple segítségével végezzük el. Az ábrára pillantva, észrevehetjük, hogy a sorozat csak a 2.
elemtől kezdődően szigorúan monoton növekvő és azt is, hogy ennek a sorozatnak a konvergenciája sokkal
„lassúbb” az előzőnél. Ott már a 10. elem 0,05-nél kevesebbel tér el a határértéktől, itt még a 20. elem eltérése is
csaknem 10-szer annyi (0,5).
7.2.3. 3. feladat
A következőben egy olyan tört határértékét számítsuk ki, ahol a számláló fokszáma nagyobb a nevező
fokszámánál:
Sorozatok
37 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Magyarázat: A legnagyobb hatvány n3, tehát ezzel osztjuk el a számlálót és a nevezőt is. Felhasználva az ismert
azonosságokat azt kapjuk, hogy a számláló 1-hez, a nevező 0-hoz tart. A �nem kritikus határértékek� között
felsoroltuk a szám/0 típusú határértéket, ami végtelen. Azt, hogy +, vagy � végtelent kapunk-e a számlálóban és
a nevezőben is a legnagyobb kitevőjû tagok előjele határozza meg. Ez a számlálóban az n3, a nevezőben a 3 n2,
mivel mindkettő pozitív szám, az eredmény +∞ lesz.
...
7.2.4. 4. feladat
Számítsuk ki a következő határértéket, a számláló fokszáma most legyen kisebb a nevező fokszámánál:
Sorozatok
38 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.2.5. összefoglalás
7.2.6. 5. feladat
Mit tegyünk, ha gyök is szerepel a feladatban? Először azt az esetet vizsgáljuk, amikor csak a nevezőben, vagy
csak a számlálóban van gyök. n > 1 kikötést azért kell megtennünk, hogy a nevezőben ne legyen a gyök alatt
negatív szám.
, mert 2n > 0.
Magyarázat: A számlálóban levő kifejezést bevisszük a gyök alá. Gyök alá úgy viszünk be egy (nem negatív)
kifejezést, hogy négyzetre emeljük. (Általában, ha n. gyök alá visszük be, akkor n. hatványra emeljük.)
Sorozatok
39 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.2.7. 6. feladat
Ha a számláló és a nevező is azonos kitevőjű gyök alatt van. Ekkor közös gyök alá visszük és a gyök alatt a két
polinom hányadosára vonatkozó szabály szerint járunk el.
Felhasznált azonosság:
Sorozatok
40 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.2.8. 7. feladat
Ha a számláló és a nevező gyökének fokszáma különböző, Azért, hogy a feladat nevezője ne legyen 0, az n > 1
kikötést kell tennünk.
A felhasznált azonosságok:
Azt is mondhatjuk, hogy a számláló fokszáma (a legnagyobb kitevőjű hatványának fokszáma) 3/2, harmadik
hatvány a második gyök alatt, a nevező fokszáma (a legnagyobb kitevőjű hatványának fokszáma) 2/3 , második
hatvány a harmadik gyök alatt. Mivel a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, a határérték ∞.
Sorozatok
41 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.3. A qn sorozat határértékére visszavezethető feladatok
A feladatok megoldása során gyakran felhasználjuk a középiskolában tanult hatványozás azonosságokat.
7.3.1. 1. feladat
Számítsuk ki a következő határértéket:
Ebben a feladatban egy olyan törtet vizsgálunk, amelynek a nevezője egytagú (nincs a tört nevezőjében
összeadás, kivonás) Az azonosságokat ebben a leckében kicsit szokatlan módon �visszafelé� alkalmazzuk.
Mindenki előtt ismert, hogy két azonos nevezőjû törtet így adunk össze:
, vagy betűkkel:
Sorozatok
42 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
„Fordítva” alkalmazva ez azt jelenti, hogy ha egy tört számlálójában összeg van, akkor két azonos nevezőjű tört
összegévé bontható.
, feladatunkban:
Most nézzük az összeg két tagját külön, hogyan alakíthatók tovább. Az első tag számlálójában az 1. hatványozás
azonosságot alkalmazzuk, ezt is „fordítva” jobbról balra olvassuk most: összeget látunk a kitevőben és azt
azonos alapú hatványok szorzatává alakítjuk.
Ezután 3n -nel egyszerûsítünk és megkapjuk az összeg első tagját, ami 9. A második tag átalakítása: Tudjuk,
hogy 1 minden hatványa 1, vagyis 1n = 1 bármely n-re. Így
Az utóbbi egyenlőség a hatványozás 5. azonosságát használta fel (jobbról balra ��visszafelé�) Foglaljuk össze
az átalakításokat és számoljuk ki a határértéket:
A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy mert az alap abszolút értéke kisebb egynél,
azaz számokkal és jelekkel:
Az ábrán nyomon követhető a "villámgyors" konvergencia.
Sorozatok
43 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.3.2. 2. feladat
Most egy olyan határértéket számítsunk ki, ahol a nevező többtagú és a hatványalapok is különbözők:
Először alkalmazzuk az 1. és 2. hatványozás azonosságot:
Próbáljuk a tagokat külön alakítani. A számláló 1. tagja
Mit használtunk itt fel? Az egész számok törtekkel való szorzásának szabályát.
Általánosan ezt így is írhatjuk:
a számlálót az egész számmal megszorozzuk, a nevező változatlan marad.
A számláló 2. tagja: 4⋅ 3n⋅ 32 = 4⋅ 32⋅ 3n = 4⋅ 9⋅ 3n = 36⋅ 3n
Mit használtunk fel? A szorzás tényezői tetszés szerint felcserélhetők. Idegen szóval a szorzás kommutatív:
a⋅ b = b⋅ a
természetesen nemcsak két, hanem több tényezőre is igaz, hogy a tényezők tetszés szerinti sorrendbe írhatók. Mi
a feladatban 3 tényezőre alkalmaztuk a kommutativitást.
Hasonlóan alakítható a nevező 2. tagja is: 5⋅ 2n⋅ 2 = 5⋅ 2⋅ 2n = 10⋅ 2n
Gyakori hiba, hogy az eredmény 20n. Ez miért nem jó? Az n. hatvány csak a 2 alapra vonatkozik a 10-re nem.
10⋅ 2n≠20n 10n⋅ 2n = (10⋅ 2)n = 20n
Hol tartunk most a fenti átalakítások után?
A hatványalapok közül (2, 3) válasszuk ki a nagyobb abszolút értékût, ez (3) és annak n. hatványával (3 ) osszuk
el tagonként a számlálót és a nevezőt is:
Az 5. hatványozás azonosság és a lehetséges egyszerűsítések után a következő adódik:
Sorozatok
44 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy , mert az alap
Szép példát látunk egy nem monoton sorozatra.
7.3.3. 3. feladat
Számítsuk ki a következő határértéket, az újdonság ebben a feladatban az előzőekhez képest, hogy az egyik
kitevőben szorzat van.
Ez a számláló 1. tagja a 22n. Hogyan alakítjuk át?
Az átalakításhoz a 3. hatványozás azonosságot használtuk fel.
1. megjegyzés: ha a kitevőben a 2 és az n között nincs műveleti jel, ez mindig szorzást jelent, 2n = 2⋅ n
2. megjegyzés:
és is helyes átalakítás, de most a 2. számunkra a célravezető.
A további átalakítások az 1. és 2. hatványozás azonosság szerint az előző feladatoknál ismertetett módon
végezhetők el.
Sorozatok
45 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Kiválasztjuk a legnagyobb abszolút értékû hatványalapot, ez most 4, 4n -nel osztjuk el a számláló és a nevező
minden tagját. A nevező harmadik tagját így alakítjuk át:
Az osztások, az 5. hatványozás azonosság és a fenti átalakítás alkalmazása után kapjuk:
A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy
mert mindhárom alap abszolút értéke egynél kisebb szám.
7.3.4. 4. feladat
Eddig nem használtuk még a 4. hatványozás azonosságot és nem vizsgáltunk negatív alapot sem. Nézzünk most
egy olyan feladatot, ami ezeket is tartalmazza.
A számláló 2. tagjában alkalmazzuk a 4. hatványozás azonosságot:
2n⋅ 5n = (2⋅ 5)n = 10n
Sorozatok
46 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A legnagyobb abszolút értékű hatványalap most a 10, ezzel osztjuk a tört számlálóját és nevezőjét,
természetesen most is felhasználjuk az 5. hatványozás azonosságot.
A határérték kiszámításánál azt használtuk fel, hogy , mert mindkét alap abszolút
értéke egynél kisebb szám.
7.3.5. 5. feladat
Változtassuk meg a feladatot úgy, hogy a legnagyobb abszolút értékű alap csak a nevezőben szerepeljen, a
számlálóba 10 helyett írjunk egy kisebb számot, például 5-öt.
A határérték számításnál azt kaptuk, hogy a tört számlálója 3-hoz, nevezője 0-hoz tart. Ezt a matematikailag
„csúnya” felírást idézőjelbe tettem a 0-val való osztás miatt, de a határérték számítás elméletéből tudjuk, hogy
ez nem ún. „kritikus határérték”, hanem tudjuk, hogy a sorozat a ∞-be tart. Hogyan tudjuk eldönteni, hogy +,
vagy – végtelen lesz-e a határérték? A számlálóban és a nevezőben is el kell dönteni, hogy melyik tag a
legnagyobb. Ez a számlálóban és a nevezőben is a 2. tag. Ezek egyikének előjele pozitív, (számlálóban a 3), a
másiké negatív (a nevező 2. tagja), így hányadosuk negatív lesz, ezért a határérték -∞.
Sorozatok
47 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha a 20. tagot kiszámoljuk az már -752,132, a sorozat gyorsan "vágtat" a -∞ felé.
7.4. Néhány "∞-∞" típusú kritikus határérték kiszámítása
7.4.1. 1. feladat
Számítsuk ki a következő határértéket:
Ha n → ∞, akkor n + 3 → ∞és , hasonlóan , tehát valóban a felírt kifejezés határértéke
"∞ - ∞" típusú kritikus határérték.
Ha egy kifejezést 1-gyel szorzunk, az értéke nem változik. Minden olyan tört értéke 1, amelynek a számlálója és
nevezője megegyezik
Emlékezzünk az azonosságra is.
Szorozzuk meg a kifejezést 1-gyel, amit formában írunk fel.
Törtet egész számmal úgy szorzunk, hogy az egész számot a tört számlálójával összeszorozzuk, a nevezőt
változatlanul leírjuk, ugyanígy járunk el tetszőleges egész és törtkifejezésekkel is.
Sorozatok
48 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Felhasználtuk az átalakítás során a azonosságot, a összefüggést, ami minden a≥0
esetére igaz.
A következő lépésnél vigyázzunk a zárójelfelbontásra különösen, ha a zárójel előtt negatív előjel áll! A
folytatás:
Miért lett 0 a határérték? A számláló 4, a nevező határértéke +∞, a „nem kritikus határértékek között felsoroltuk,
hogy a
Lassan konvergál a sorozat a 0-hoz, még 20. tagnál is legalább 0,4 az eltérés a határértéktől.
7.4.2. 2. feladat
Nem mindig lesz a számlálóban állandó szám az átalakítás után. Nézzünk erre is egy példát:
Eddig a szokásos átalakításokat végeztük el. A határértéket "∞-∞" típusú kritikus határértékből típusú,
szintén kritikus határértékké alakítottuk.
Most osszuk el a számlálót és a nevezőt is n -tel. A gyök alá n-et négyzetre emelve n2 formában vigyük be.
Sorozatok
49 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Nagyon gyorsan konvergál a sorozat 1-hez, már a 3. tagnál az ábrán szinte alig látható az 1-től való eltérés.
7.4.3. 3. feladat
Nézzünk még egy az előzőhöz hasonló példát:
Eddig a szokásos átalakításokat végeztük el. A határértéket "∞-∞" típusú kritikus határértékből típusú,
szintén kritikus határértékké alakítottuk. Most osszuk el a számlálót és a nevezőt is n2 -tel. A gyök alá n2-et
négyzetre emelve (n2)2 = n4 formában vigyük be.
A számláló 1-hez a nevező 0-hoz tart, az idézőjelbe tett osztásnak a számok körében nincs értelme, de mint
határérték létezik és nem is kritikus, értéke ∞, mégpedig +∞, mert a nevező pozitív, ahogy a számláló nagyobbik
tagja is az.
Sorozatok
50 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.5. Az (1+1/n)n sorozat határértékére visszavezethető határértékszámítási feladatok
7.5.1. 1. feladat
Számítsuk ki a következő határértéket:
Először a zárójelben levő kifejezést
alakra kell hoznunk.
Az átalakításhoz a következőket használjuk fel: a + (-b) = a - b, vagy számokkal: 10 + (-3) = 10 - 3 , ha egy
kifejezéshez (vagy számhoz) egy negatív kifejezést (vagy számot) hozzáadunk, az ugyanazt eredményezi,
mintha a hozzáadott értéket kivontuk volna.
Törtet egész számmal úgy osztunk, hogy ha lehetséges elosztjuk a számlálót az egész számmal, ha nem a
nevezőt szorozzuk meg vele. Ugyanígy végezzük el az említett műveletet algebrai kifejezésekre is. Algebrai
kifejezéseknél általában a 2. módszer alkalmazható, ezért a számpélda és a „betűs” példa is arra vonatkozik.
,
Hogyan lehet eldönteni a felírásból, hogy törtet osztunk egész számmal, vagy egész számot törttel? Az
egyenlőségjel helye mutatja meg. A kétféle felírást tilos összekeverni, mert egész más eredményre vezet.
Nézzünk mindkettőre ugyanazokkal a számokkal 1-1 példát és hasonlítsuk össze az eredményt:
Egész számot törttel osztunk:
Sorozatok
51 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Törtet osztunk egész számmal:
A fentieket alkalmazva adódik, hogy
Az átalakításból látható, hogy , és így
(Az utóbbi két átalakítás már nem tartozik szorosan a feladat megoldásához, csak „cifrázat”, hogy
hányféleképpen is írható fel egy negatív törtkitevőjű hatvány.)
7.5.2. 2. feladat
n > 1
Az alap átalakításánál kétféle gondolatmenet szerint is eljárhatunk.
1. Hasonlóan, mint a 2 polinom hányadosának határérték számításánál, vagyis a számlálót és a nevezőt is osszuk
el n-nel.
2. A számlálóban és a nevezőben is emeljünk ki n-et, majd egyszerűsítsünk vele.
Sorozatok
52 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A kiemelés helyességéről mindig úgy tudunk megbizonyosodni, hogy �visszaszorozzuk�. Ez például a tört
számlálója esetén így néz ki:
Az eredmény nyilván mindkét esetben ugyanaz lesz, különben „nagy baj” lenne. A második eljárás vihető
tovább a későbbi, bonyolultabb feladatokra.
A kitevőben összeg van, ezért az 1. hatványozás azonosságot kell alkalmaznunk.
Itt álljunk meg egy pillanatra. Nézzük meg a határértékeket külön-külön. Az első tört számlálójának és
nevezőjének határértékei a nevezetes határértékek alapján:
A második tört esetében nagyon vigyázzunk, gyakori hiba itt is e-t belekeverni a határérték számításba. Pedig
ezek a határértékek teljesen mások. A kitevő itt konkrét szám. Ekkor meg kell nézni, hogy hova tart az alap.
Jelen esetben ez a számláló és nevező esetén is 1. És ezt kell a megfelelő hatványra emelni, mivel 12 = 1 , ezért a
számláló és nevező határértéke is egy. Tehát még egyszer; csak akkor lesz a határérték az e megfelelő hatványa,
ha a kitevőben �n� (vagy n is) szerepel és nem (csak) konkrét szám.
Sorozatok
53 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.5.3. 3. feladat
n < 1
A zárójelben levő tört számlálójából és nevezőjéből is emeljünk ki 2n-et. A kitevőt írjuk
n - 3 = n + ( -3) alakba és alkalmazzuk rá az első hatványozás azonosságot.
A kitevőben levő különbségre alkalmazhattuk volna a 2. hatványozás azonosságot is, de akkor dupla emeletes
törtet kellett volna írni, ami szintén jó, csak szokatlanabb.
2n kiemelése például a számlálóból: 1 + 2n = 2n ȥ(? + ?) mit írjak az 1. kérdőjel helyére, mivel kell megszorozni
a 2n-et, hogy 1-et kapjak?
A reciprokával -nel, tehát ez kerül az első kérdőjel helyére. És mivel tudjuk helyettesíteni a második
kérdőjelet? Mivel kell megszoroznunk 2n-et, hogy 2n-et kapjunk? Természetesen a válasz 1. Tehát a kiemelés
eredménye:
Hasonlóképpen járunk el a nevezőben is.
Sorozatok
54 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Végül a 4. hatványozás azonosság és az előző feladatból ismert átalakítások után adódik az eredmény. A
konkrét szám (nem n) kitevőjű hatványokat nem szükséges a 4. hatványozás azonosság szerint felbontani, elég
megnézni az alap határértékét (ez most 1) és a megfelelő hatványra (-3) emelni, ami eredményül 1-et ad.
7.5.4. 4. feladat
A számlálóból 2n-et, a nevezőből 3n-et emelünk ki, hogy "1+ valamilyen kifejezés" legyen a számlálóban és a
nevezőben is. Ezután n-nel lehet egyszerûsíteni, de a szorzó ott marad.
Az utolsó lépésben a 3. hatványozás azonosságot is alkalmaztuk a teljes kifejezésre. Ezután a 4. és 5.
hatványozás azonosság alkalmazása következik és a már ismert emeletes törtté alakítás a belső zárójelben levő
kifejezésekre. Így el is érjük, hogy kialakulnak a nevezetes határértékre jellemző „mintázatok”.
A határértéken kívül felhasználtuk a nevezetes határértéket is, mert az alap
egynél kisebb.
Sorozatok
55 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.5.5. 5. feladat
A számlálóból 4n-et, a nevezőből 3n-et emelünk ki. Az egyszerűsítés és a hatványozás azonosságok elvégzése
után adódik. A kitevő átalakítása a törtkitevőjű hatvány definíciója alapján történik, itt az szerint.
(Az „a” betű most a teljes zárójeles kifejezést helyettesíti.)
A határértéken kívül felhasználtuk a nevezetes határértéket is, a határérték azért
+∞, mert az alap egynél nagyobb.
Sorozatok
56 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.5.6. 6. feladat
Utoljára nézzünk meg egy „renitens példányt”, egy oszcillálva divergens sorozatot. Az előzőekben részletezett
átalakításokat végezzük itt is el.
Mivel a sorozat páros indexű és páratlan indexű tagjainak más a határértéke, ezért a sorozat divergens.
Ha n páros a határérték:
Ha n páratlan:
Sorozatok
57 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7.6. Feladatok önálló megoldásra
1. Vizsgálja meg monotonitás, korlátosság szempontjából a következő sorozatot! Konvergens-e? Ha igen, adja
meg a határértékét! Adjon meg küszöbszámot, ha ε= 10-2 !
2. Konvergensek-e az alábbi sorozatok? Ha igen, adja meg a határértéküket!
Sorozatok
58 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3. Vizsgálja meg korlátosság szempontjából a következő sorozatokat!
8. Függelék -- Számhalmazok
A természetes számok halmaza
Az ember történelme során először a természetes számok halmazával ismerkedett meg. Este beterelte az
állatokat a karámba és közben megszámolta őket. Vajon ugyanannyi van, mit reggel?
Tehát a természetes számok halmaza 0, 1, 2, 3, 4, 5, �Jele: ℕ, a naturalis latin szóból származik, ami
természetest jelent, bár gondolhatunk a natur angol szóra is. Az N első, vagy középső szárát általában duplán
szokták megrajzolni. A 0 számra érdemes külön kitérni, mert ez a középkorban sok vitát szült, az emberek
nagyon nehezen tudták elfogadni. �A nulla semmi, és mégis megtízszerezi az előtte álló számot. Ez volt az, ami
sehogy sem fért az emberek fejébe.� (Forrás: B.L. van der Waerden, Egy tudomány ébredése Egyiptomi,
babiloni és görög matematika Gondolat Budapest 1977) Ha a természetes számokat szemléltetni akarjuk,
elhelyezhetjük őket egy félegyenesen, különálló, diszkrét pontok, egymástól 1 távolságra.
Sorozatok
59 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha alapműveleteket (összeadás, kivonás, szorzás, osztás) kezdünk végezni a természetes számokkal,
észrevehetjük, hogy bármely két természetes szám összege és szorzata is természetes szám lesz, de ez nem igaz
a kivonásra (pl. 3-5 kivonás eredmény nem természetes szám). Ezt a matematikusok úgy mondják, hogy a
természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve, de nem zárt a kivonásra.
Az egész számok halmaza
Ha bevezetjük azokat a számokat, amiket két természetes szám különbségeként kaphatunk, eljutunk az egész
számokhoz …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3… Az egész számok halmazának jele: ℞ , a német Zahl szó kezdőbetűje. Az
egész számok halmaza tartalmazza a természetes számokat, annak kibővítése, halmaz jelöléssel: . Ha
szemléltetni szeretnénk az egész számokat, egy egyenest kell rajzolnunk, és azon lesznek egymástól 1
távolságra az egész számokat jelképező diszkrét pontok. Ha megvizsgáljuk a műveleteket az egész számok
körében, akkor azt tapasztaljuk, hogy a természetes számoknál fennálló zártságot nem rontottuk el (tehát az
egész számok halmaza zárt az összeadásra, szorzásra és a kivonásra nézve) és sikerült a kivonásra is zárttá
tennünk a halmazt. De itt a 4. alapművelet, az osztás. Sajnos az osztásra nézve nem zárt az egész számok
halmaza, pl 2:7 nem egész.
Quentin Massys A pénzváltó és felesége (1514) Olaj, fa, 71 x 68 cm Louvre, Párizs.
A racionális számok halmaza
Bővítsük a halmazt újra. Vezessük be a két egész szám hányadosaként kapott számokat is. Így eljutunk a
racionális számokhoz. A pontos definíció így szól : Racionális számok a p/q alakú számok, ahol p, q ∈ ℞ és q ≠
0 .
De miért nem lehet, a nevező, más szóval az osztó 0? Ritkán tudják megválaszolni ezt a kérdést. Gondoljunk
bele, hogy mit jelent az osztás, például nézzük a következőt: 35 : 7 = 5 , az osztás �próbája� a szorzás, ezért
5⋅ 7 = 35 . Most alkalmazzuk ugyanezt a gondolatmenetet a 0-val való osztásra. 3:0 = ? , először mondjuk
legyen a kérdőjel helyén 0, ekkor a �próbát� elvégezve *(0, 0) = 3 adódik, ami nyilvánvalóan hamis állítás. Ha
a kérdőjel helyére más számot írunk, akkor ez a más szám szorozva 0-val 3-mat kellene hogy adjon, ugye ez
sohasem teljesülhet? Tehát sikerült megértenünk, hogy a 0-val való osztást kizárni a mûveletek közül nem a
matematikusok szőrszálhasogatása, hanem ésszerû döntés.
A racionális számok jele ℚ. A hányados quotient angol szóból, vagy a latin quotiens hányszor szóból származik.
Most már elmondhatjuk, hogy sikerült egy olyan számhalmazt találni, ami a 4 alapmûveletre nézve (összeadás,
kivonás, szorzás, osztás) zárt. A racionális számok halmaza tartalmazza az egész számokat, annak kibővítése,
halmaz jelöléssel: ℞ ⊆ ℚ (! keresni jobb jelölést). Vajon van-e olyan mûvelet, ami kivezet a racionális számok
halmazából is? Bizony van. A középiskolából általában a következő mondatok tûnnek ismerősnek. A √2 nem
racionális szám, ezt általában bizonyítani is szokták. Vannak olyan pozitív egész számok, amelyek gyöke nem
racionális, ezeket irracionális számoknak nevezzük. A π is irracionális szám. Hogy is van ez pontosan? Ahhoz,
hogy a racionális és irracionális számok fogalmát teljesen rendbe tegyük, vizsgáljuk meg a számok tizedes tört
alakját.
Hogyan kapjuk meg egy p /q alakú közönséges tört tizedes tört alakját? Úgy, hogy p-t (a számlálót) elosztjuk q-
val (a nevezővel). Nézzünk erre néhány példát:
Sorozatok
60 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Mit mondhatunk a fenti példák alapján a racionális számok tizedes tört alakjáról? Ha az osztás során előfordul 0
maradék, a tizedes tört véges, ha nem fordul elő 0 maradék, akkor végtelen. A második példában a 7-tel való
osztásnál hány különböző maradék lehet? Legfeljebb 6 féle (1, 2, 3, 4, 5, 6), �legrosszabb� esetben a 6
maradék elő is fordul. Ezt látjuk a második osztásnál, ezért a kapott tizedes törtben a 6 hosszúságú szakasz
(428571) ismétlődik. A harmadik példánál a tizedes vessző után egy 8-as jön, majd az ismétlődő maradékok
miatt csupa hármas következik, az ismétlődő szakasz itt 1 hosszúságú. Tehát a racionális számok tizedes tört
alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Azt is meg tudjuk mondani a nevező (osztó) ismeretében,
hogy mikor lesz az osztás végeredmény véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ha a nevező prímtényezős
felbontásában csak 2-es és 5-ös számok szerepelnek, az osztás végeredmény véges, hiszen a tört bővítésével a
nevezőben 10 hatványt kaphatunk. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-től és 5-től különböző
számok vannak, akkor a tizedes tört végtelen, ún. tiszta szakaszos, ha a nevező felbontásában 2, vagy 5
valamelyike, vagy mindegyike előfordul, de más tényezők is vannak, akkor a tizedes tört szintén végtelen, de
ún. vegyes szakaszos. Azért vegyes szakaszos, mert nem csak az ismétlődő számok szerepelnek benne, hanem
az elején ott van néhány más szám (kakukktojás) is. Ez látható a 3. példában. Miért pont azok a számok lesznek
véges tizedes törtek, amelyeket 2 és 5 hatványt tartalmazó nevezőjû törtekből kapunk? Ennek az oka, hogy 10-
es számrendszerben számolunk. A 3-as számrendszerben az 1 / 3 és minden olyan szám, amelynek nevezőjében
csak 3 hatványok vannak, véges tizedes tört lesz.
Az irracionális számok
Tehát összefoglalva a racionális számok tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. El
tudunk képzelni más tizedes törteket is? Igen, végtelen nem szakaszosakat, ezek lesznek az irracionális számok.
Nézzünk egy példát: 0,10110011100011110000�..és így tovább. Mivel egyre hosszabb 0 és 1 sorozatot
tartalmaz a tizedes tört, nem találunk benne ismétlődő szakaszt. A fenti példához nagyon sok hasonló tizedes
törtet tudnánk alkotni, bár ezek szakaszt nem tartalmaznak, mégis valamilyen szabályosság szerint építettük fel
őket. A √2 , a π és a későbbiekben előforduló e szám is irracionális, de ezekben semmi szabályosság, mintázat
Sorozatok
61 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
nem fedezhető fel. Ezeket a számokat teljes egészében soha nem tudjuk megismerni, de az egyre gyorsabb
számítógépek egyre több jegyüket tudják kiszámítani. Az irracionális számok, különösképpen a π misztikája
zeneszerzők, költők, írók fantáziáját is megmozgatta. Érdekes böngészés az Interneten, milyen mûalkotások
születtek a π-vel kapcsolatosan, hány jegye ismert? Az irracionális számok jelölésére a Q*-ot vezették be. Az
irracionális számhalmaz a felsoroltak közül az egyetlen, ami nem fogható fel úgy, mint az előző számhalmazok
bővítése. Az irracionális és a racionális számok halmazának nincs közös eleme, ℚ⋂ℚ* = ∅ . Az ábrán néhány
nevezetes geometriai példát is látunk, ahol a számolás eredményeként irracionális számok adódnak.
62 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2. fejezet - Sorok
1. Sorok, bevezető példák
Akhilleusz és a teknős
A teknős versenyfutásra hívja ki a fürgelábú Akhilleuszt, aki nála tízszer gyorsabb; a hős elfogadja a kihívást, s
ellenfelének 1 stadion előnyt ad. Mire Akhilleusz elér arra a pontra, ahonnan ellenfele indult, addig az is
megtesz egy tized stadion távolságot, valamennyi előnye tehát marad. Akhilleusz villámgyorsan lefutja ezt is �
ám a teknős újfent előrébb iszkol, ezúttal egy század stadionnyit. Mire Akhilleusz ledolgozza hátrányát, a teknős
még mindig előtte marad: egy ezred stadion távolságra. És ez így megy a végtelenségig, a teknős előnye
folyamatosan csökken, de soha nem fogy el: álljon ellenfele bármilyen jó futó hírében, képtelen őt megelőzni.
Józan eszünk azt mondatja velünk, hogy ez lehetetlen. 1 stadion = 184,8 m ókori mértékegység, az egyszerűbb
számolás kedvééert legyen a teknős előnye 100 m, Akhilleusz sebessége 5 m/s, a teknős sebessége ennek tized
része 0,5 m/s. Azt gondolom, hogy ezzel a feltételezéssel nagyon méltányosak voltunk a teknőshöz. Tegyük fel
továbbá, hogy Akhilleusz t idő alatt éri utol a teknőst. Ekkor a következő egyenletet írhatjuk fel:
5⋅ t=0.5⋅ t+100
4.5⋅ t=100
Nézzük ugyanezt a számolást Maple-ben, és ábrázoljuk a két versenyző út - idő függvényét:
[ > utolér : = solve(0.5⋅ t+100-5⋅ t, t)
utolér := 22.22222222
Sorok
63 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot([5⋅ x, 0.5⋅ x+100], x = 0 .. 24, y = 0 .. 120)
Tehát azt kaptuk, hogy az indulás után 200/9 másodperc múlva, azaz tíz jegyre kerekítve 22,22222222 s múlva
éri utol Akhilleusz a teknőst, és nem soha, ahogy a bevezető szöveg sugallja. Hogyan tudjuk feloldani az
ellentmondást?
Nézzünk egy másik bevezető példát. Tekintsünk egy egységnyi oldalú négyzetet. Az ábrára kattintva Maple-ben
ki tudjuk színezni. Először egy 1/2 területű téglalapot, majd egy fele akkor 1/4 területű négyzetet, majd újra egy
téglalapot kapunk, amelynek 1/8-ad a területe, és így tovább.
A területek összege a következő lesz:
Sorok
64 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2. A sor matematikai fogalma
Számsornak a következő végtelen tagú összeget nevezzük:
Ezután definiáljuk a számsor részletösszegeit:
a sor első részletösszege
a sor második részletösszege
...
a sor n. részletösszege
A részletösszegek számsorozatot alkotnak.
A számsort konvergensnek nevezzük, ha a részletösszegek sorozatának véges határértéke létezik.
Fontos megkülönböztetnünk a következő két sorban levő összeget:
Sorok
65 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
a sor n. részletösszege, n bármilyen nagy szám lehet, de véges. Tehát ez egy véges tagú
összeg.
a sor összege, a végtelen tagú összeg. Ez az összeg lehet véges, vagy végtelen, a
részletösszegek sorozatának határértékétől függően.
A sorok definíciója kapcsán két sorozattal találkozunk a tagok és a részletösszegek sorozatával. A következő
ábra ezt szemlélteti egy véges összegű sor esetén. a1, a2, a3, ... aan a sor tagjainak sorozatát alkotják, S1, S2, S3, ...
Sn a részletösszegek sorozata és S a végtelen tagú összeg jele.
3. A mértani sor
Most vizsgáljunk meg néhány sort, hogyan tudjuk kiszámítani a sorösszeget, hogyan lehet eldönteni, hogy a sor
konvergens, vagy divergens. Tekintsük először a mértani sort. Középiskolai tanulmányokból a mértani sorozat
jól ismert. Ebben a sorozatban az egymást követő tagok hányadosa állandó. Ha felírjuk a mértani sorozat
összegét, de az n. tagnál nem hagyjuk abba az összegzést, hanem a végtelenségig folytatjuk, akkor kapjuk a
mértani sort.
Mértani sor:
A mértani sor részletösszegei:
...
Az n. részletösszeget zárt formában fel tudjuk írni, ha felhasználjuk a mértani sorozat jól ismert összegképletét:
A sorozatok fejezetben tanulmányoztuk a qn sorozatot és különböző q-k esetén felírtuk a határértéküket. Idézzük
fel:
Különben osszillálva divergens a sorozat
Mivel az összegképletből következik, hogy q ≠ 1 , ezért látható, hogy csak akkor lesz véges határértéke az n.
részletösszegnek, Sn -nek, ha |q| < 1 .
Sorok
66 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ekkor a keresett határérték, más szóval a mértani sor összege:
ezt úgy is mondhatjuk, hogy a mértani sor konvergens. Ha , akkor a mértani sor divergens.
Szorosan kapcsolódik a mértani sorok témájához a racionális számok tizedestört alakja. A középiskolai
tanulmányok során itt általában maradt egy hiány, ezt fogjuk most pótolni.
Racionális számok tizedestört alakja:
Hogyan kapjuk meg egy p/q alakú közönséges tört tizedes tört alakját? Úgy, hogy p-t (a számlálót) elosztjuk q-
val (a nevezővel). Nézzünk erre néhány példát:
Mit mondhatunk a fenti példák alapján a racionális számok tizedes tört alakjáról? Ha az osztás során előfordul 0
maradék, a tizedes tört véges, ha nem fordul elő 0 maradék, akkor végtelen. A második példában a 7-tel való
osztásnál hány különböző maradék lehet? Legfeljebb 6 féle (1, 2, 3, 4, 5, 6), „legrosszabb” esetben a 6
különböző maradék elő is fordul. Ezt látjuk a második osztásnál, ezért a kapott tizedes törtben a 6 hosszúságú
szakasz (428571) ismétlődik. A harmadik példánál a tizedes vessző után egy 8-as jön, majd az ismétlődő
maradékok miatt csupa hármas következik, az ismétlődő szakasz itt 1 hosszúságú. Tehát a racionális számok
tizedes tört alakja véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Azt is meg tudjuk mondani a nevező (osztó)
ismeretében, hogy mikor lesz az osztás végeredmény véges, vagy végtelen szakaszos tizedes tört. Ha a nevező
prímtényezős felbontásában csak 2-es és 5-ös számok szerepelnek, az osztás végeredmény véges, hiszen a tört
bővítésével a nevezőben 10 hatványt kaphatunk. Ha a nevező prímtényezős felbontásában csak 2-től és 5-től
különböző számok vannak, akkor a tizedes tört végtelen, ún. tiszta szakaszos, ha a nevező felbontásában 2, vagy
5 valamelyike, vagy mindegyike előfordul, de ha más tényezők is vannak, akkor a tizedes tört szintén végtelen,
de ún. vegyes szakaszos. Azért vegyes szakaszos, mert nem csak az ismétlődő számok szerepelnek benne,
hanem az elején ott van néhány más szám (kakukktojás) is. Ez látható a 3. példában.
Miért pont azok a számok lesznek véges tizedes törtek, amelyeket 2 és 5 hatványt tartalmazó nevezőjű törtekből
kapunk? Ennek az oka, hogy 10-es számrendszerben számolunk. A 3-as számrendszerben az 1/3 és minden
olyan szám, amelynek nevezőjében csak 3 hatványok vannak, véges tizedes tört lesz. Most vizsgáljuk meg
ugyanezt a kérdést "visszafelé". Könnyen belátható, hogy egy véges tizedestört közönséges tört alakra hozható,
ha a törtet bővítjük úgy, hogy a nevező 10 hatvány legyen. Például:
De hogy látható be, hogy a végtelen szakaszos tizedestört mindig alakú, racionális számot ad.
Így megkaptuk azt a közönséges törtet, amiből osztással a példa
tizedestörtje adódik. Ezt számológéppel könnyen ellenőrizhetjük, ha elosztjuk a tört számlálóját a nevezőjével.
Sorok
67 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Vigyázzuk arra, hogy ha mértani sor összegét számoljuk soha ne felejtsük el ellenőrizni, hogy a mértani sor
hányadosa |q| < 1 legyen.
Hogy számolja ki a Maple a sorösszeget?
[ > # a Maple kiszámolja a sorösszeget
[ > evalf(a, 10) # Megkapjuk a tört 10 tizedesre kerekített értékét, az eredmény: 0.7878787879
Az evalf utasítás 10 számjegyre kerekítve adta meg az eredményt, ezért 9 az utolsó jegy.
Határozzuk meg a következő sor összegét:
Először írjuk fel a sorozat néhány tagját:
Észrevehetjük, hogy ez egy hányadosú mértani sor, melynek első eleme , mivel |q| < 1
alkalmazhatjuk a mértani sor összegképletét:
Mi történne akkor, ha elfeledkeznénk a |q| < 1 feltételről és automatikusan alkalmaznánk a mértani sor képletét.
Legyen a sor az S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 ... sor, ez egy |q| = -1 hányadosú, a1 = 1 kezdőértékű mértani sor. Az
összegképlet alapján Most tekintsük a részletösszegek sorozatát: S1=1, S2 = 1 - 1 = 0, S3
= 1 - 1 + 1 = 1 S4 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0, előbb-utóbb észreveszzük, hogy a részletösszegek sorozata az 1, 0, 1, 0, 1,
... oszcillálva divergens sorozat. Tehát, ha nem teljesül a |q| < 1 feltétel, az összegképlet alkalmazása hamis
eredményre vezet.
4. Konvergencia kritériumok
Ha a sorunk nem mértani, hogyan tudjuk eldönteni, hogy konvergens-e ?
Konvergencia szükséges (de nem elégséges) feltétele:
Ha S konvergens ⇒ (A sor konvergenciájának szükséges, de nem elégséges feltétele a tagok
sorozatának 0 határértéke.) Ha egy sor konvergens, akkor a tagok sorozatának határértéke 0, de ha a tagok
sorozatának határértéke 0, abból nem következik a sor konvergenciája. Nézzünk egy példát. Tekintsük az
úgynevezett harmonikus sort: esetén de a sor mégsem konvergens.
Itt a sort alulról becsültük, és a kapott sor ∞-hez tart, akkor a nála nagyobb, vagy egyenlő tagokból álló sor is a
végtelenbe tart.
A harmonikus sor divergenciája a Maple-ben:
[ > a := sum(1/k, k = 1 .. infinity);
Tehát, ha egy sor tagjainak határértéke a ∞-ben 0, az még nem jelenti azt, hogy a sor konvergens, de ha a tagok
sorozata nem tart 0-hoz akkor a sor biztosan nem konvergens. Egy ilyen sorra is nézzünk meg egy példát:
Sorok
68 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
⇒ a sor nem konvergens
[ >
A feladat megoldás során, tehát először mindig nézzük meg, hogy a sor tagjainak mi a határértéke, ha nem 0,
már nem kell tovább foglalkozni a sorral, mert biztosan nem konvergens, ha 0, akkor további vizsgálódásra van
szükség, mert lehet, hogy a sor konvergens, de az is lehet, hogy nem. Ebben az esetben a konvergencia
eldöntésében segítenek a különböző kritériumok.
Minoráns kritérium
Ha divergens és bn≥an minden n-re, akkor is divergens.
Szavakban megfogalmazva: Ha a sorunknál találunk egy tagonként nem nagyobb (kisebb, vagy egyenlő) sort és
az divergens, akkor a vizsgálatunkra kijelölt sor is divergens lesz. A minoráns kritériumot a harmonikus sor
divergenciájának bizonyításánál használtuk fel.
Majoráns kritérium
Ha konvergens és bn≤an minden n-re, akkor is konvergens.
Szavakban megfogalmazva: Ha a sorunknál találunk egy tagonként nem kisebb (nagyobb, vagy egyenlő) sort és
az konvergens, akkor a vizsgálatunkra kijelölt sor is konvergens lesz.
Egy példa a majoráns kritériumra. Döntsük el, hogy a következő sor konvergens, vagy divergens:
Alulról becsüljük az n faktoriálist.
Mivel a faktoriálisok reciprokai alkotják a sorozatot, ezést a 2 hatványokat helyettesítve felső becslést kapunk.
A majoráló sor, mértani, összege az ismert képlettel könnyen adódik.
Most azt nem tudtuk meg, hogy a kérdéses sor összege pontosan mennyi, de tudjuk, hogy a sor konvergens, és
összege nem lehet több, mit 3. Mit mond erről a Maple?
[ > a := sum(1/k!, k = 0 .. infinity);
A sor összege e, a természetes alapú logaritmus alapszáma, ami (a közelítő értéket is kiírathatjuk az evalf
utasítással) valóban kisebb, mint 3. Tananyagunk kereteit ez a számolás meghaladja, így elhisszük a Maple
eredményét. További kritériumok is rendelkezésünkre állnak a sorok konvergenciájának vizsgálatához.
Gyökkritérium: sor
konvergens, ha
divergens, ha
Sorok
69 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
ezzel a módszerrel nem lehet eldönteni a konvergenciát, ha
Példa a gyökkritériumra. Döntsük el, hogy konvergens-e a következő sor?
, mert , ha n→∞. Tehát a sor konvergens.
Hányadoskritérium: sor
konvergens, ha
divergens, ha
ezzel a módszerrel nem lehet eldönteni a konvergenciát, ha
Példa a hányadoskritériumra: Döntsük el, hogy konvergens-e a következő sor?
, ha n→∞. Tehát a sor konvergens.
5. Egyéb sorokra vonatkozó összefüggések
Egy érdekes sor a teleszkópikus sor:
Átalakítjuk az n. tagot:
Az átalakítást alkalmazzuk minden tagra, látható, hogy minden kapott tört szerepel egyaránt pozitív és negatív
előjellel is, kivéve az első és az utolsó tagot:
, ha n n→∞
[ > b := Sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. 10) # Nagy betűvel kezdődő utasítás (Sum) esetén megismétli szumma jellel a
kérést
[ > b := sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. 10) # A sor első 10 tagját adja össze
[ > b := sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. 100) # A sor 100 tagját adja össze
[ > a := sum(1/(k*(k+1)), k = 1 .. infinity) # Kiszámolja a sor összeget
Sorok
70 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A váltakozó előjelű sorokat alternáló soroknak is nevezük. Emlékezzünk vissza, általában nem igaz, hogy ha a
sor tagjainak sorozata 0-hoz tart, akkor a sor konvergens. Erre láttuk ellenpéldának a harmonikus sort. A
váltakozó előjelű sorokra igaz a következő tétel:
Leibniz tétel: A váltakozó előjelű sor konvergens, ha tagjainak abszolút értéke monoton csökkenve 0-hoz tart. A
hiba (a pontos sor összegtől való eltérés) nem nagyobb, mint az első elhagyott tag abszolút értéke:
Számoljuk ki, hogy mekkora hibát követünk el a sorösszeg kiszámításáben, ha az első 5 tagot adjuk össze.
[ >
[ >
[ > c := evalf(a, 10);
[ > d := abs(c-b);
Pozitív tagú sorok
Ha an>0 minden n-re, akkor az részletösszegei monoton nőnek, ezért, ha a pozitív tagú sor korlátos,
akkor konvergens is.
Abszolút konvergensnek nevezünk egy sort, ha a sor tagjainak abszolút értékeiből képezett sor is konvergens.
Példa abszolút konvergens sorra:
Feltételesen konvergensnek nevezünk egy sort, ha a sor konvergens, de nem abszolút konvergens. Feltételesen
konvergens sorra példa a váltakozó előjelű harmonikus sor.
6. Szemléltetés
A Maple-ben a harmonikus sort a következő rövid programokkal is szemléltethetjük. Az első animációban a
számegyenesen ábrázoljuk a sor részletösszegeit, a másodikban a koordináta-rendszerben. A harmadikban
koordináta-rendszerben, ill. számegyenesen együtt ábrázoljuk a sor tagjait és részletösszegeit. Pirossal a sor
tagjai jelennek meg, kékkel pedig a részletösszegek.
[ > a := 0:
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p : =pointplot({seq([a, 0], n=1..10)}, color=red, symbol=solidcircle,
symbolsize=12): d:=display({p,q}, scaling=constrained): q:=textplot([2,0.5,a]): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
[ > a := 0:
Sorok
71 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle,
symbolsize = 12): q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,q},scaling=constrained): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
[ > a := 0:
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([a, 0], n = 1 .. 11)}, color = blue, symbol = solidcircle,
symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([1/i, 0], n = 1 .. 11)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12):
q:=textplot([2,0.5,a]): f:=textplot([0.5,0.5,1/i]): d:=display({p,e,q,f},scaling=constrained): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
[ > a := 0:
[ > K := NULL:
[ > for i from 1 to 10 do a:=a+1/i: p:=pointplot({seq([i, a], n = 1 .. 30)}, color = blue, symbol = solidcircle,
symbolsize = 12): e:=pointplot({seq([i, 1/i], n = 1 .. 30)}, color = red, symbol = solidcircle, symbolsize = 12):
q:=textplot([i,2.5,convert(a,string)]): d:=display({p,e,q},scaling=constrained): K:=K,d: od:
display([K],insequence=true);
7. Feladatok önálló megoldásra
Döntsük el a következő sorokról, hogy konvergensek, vagy divergensek. Ha lehet határozzuk meg a sor összeget
(mértani sor, és teleszkópikus sor esetén).
Sorok
72 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
73 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3. fejezet - Függvények
1. Függvény definíciója
Függvény definíciója
Adott két halmaz A és B. Az f hozzárendelés függvény, ha az A halmaz minden eleméhez hozzárendeli a B
halmaz egyetlen elemét.
Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A B halmaz az értékkészlet. A következő hozzárendelések
példákat mutatnak függvényekre és olyan hozzárendelésekre, amelyekben nem teljesül a függvény
definíciójának egyik, vagy másik feltétele.
Egy - több hozzárendelés
Nem függvény, mert az A
halmaz elemeihez a B
halmaznak nem egyetlen
elemét rendeltük.
Több - egy hozzárendelés
Függvény Nem függvény, mert az A
halmaz nem minden
eleméhez rendeltünk
hozzá elemet a B
halmazból.
Egy-egy értelmû, vagy
más szóval kölcsönösen
egyértelmû hozzárendelés
Függvény
...
A függvény jelölésére általában kis betűket használunk: f, g, h, ...Az f függvény értelmezési tartományának D f ,
értékkészletének Rf a jelölése. A függvény megadása többféle módon történhet:
, a továbbiakban leginkább ezt a jelölést használjuk
, a függvény síkbeli derékszögű Descartes koordináta - rendszerben ábrázolt grafikonjának
egyenlete.
x szokásos elnevezése független változó, y, vagy f(x) a függvény érték.
Az alábbi grafikonokat vizsgáljuk meg, lehetnek-e függvény képei (ill. egy függvény képeinek részei)?
Függvények
74 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.1. Az értelmezési tartomány
Két lehetőség van:
1. A függvény megadásával együtt az értelmezési tartományt is megadják, ekkor nincs dolgunk az értelmezési
tartomány meghatározásával.
2. A függvénynek csak a hozzárendelési utasítását adják meg. Ekkor az értelmezési a független változóknak az a
legbővebb halmaza, ahol a függvény értelmezhető. Jelölés: D[f] (Az értelmezési tartományt meghatározását
egyszerûen úgy is szoktuk fogalmazni, hogy megtesszük a szükséges �kikötéseket�.) A legfontosabb függvény
típusok, ahol kikötést kell tenni:
A nullával való osztásnak nincs értelme, a tört nevezője nem lehet 0.
Példa: Kikötés:
A páros gyökkitevő alatt csak nem negatív szám állhat.
Példa:
Kikötés:
Függvények
75 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ >
[ > solve(|x|-3) ≥ 0)
Csak pozitív számnak vehetjük a logaritmusát.
Példa:
[ > plot ( [ln (1-x2) ], x = -1.5 .. 1.5, y = -8 .. 0 )
[ > solve( 1 - x2 > 0)
Függvények
76 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Figyelem! Minden függvényekkel kapcsolatos feladatnál, ha a feladat nem adja meg az értelmezési tartományt,
az első dolgunk meghatározni azt, vagyis a szükséges kikötéseket megtenni, akár kérdezi ezt a feladat, akár
nem.
Mikor kell kikötést tenni? Ha a függvény képlete tartalmaz osztást, páros gyököt, vagy/és logaritmust. (A tgx és
a ctgx függvények a sinx és cosx függvények hányadosai, osztást tartalmaznak, tehát a tgx és ctgx függvények
esetén is kikötést kell tennünk.)
2. Függvénytulajdonságok
2.1. Zérushely
Azon amelyre
Szemléletesen: ahol a függvény az x tengelyt metszi.
Határozzuk meg a következő függvény zérushelyét:
Szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla.
[ > plot( [ (x-3) ⋅ ln ( x )] , x = 0 .. 5, y = -1 .. 9)
[ > solve ( ( x-3 ) ⋅ ln ( x ) = 0)
2.2. Paritás
Definíció:
Az f(x) függvényt párosnak nevezzük, ha f(-x) = f(x) minden esetén. Geometriailag ez azt jelenti, hogy
a függvény az y tengelyre tengelyesen szimmetrikus.
Az f(x) függvényt páratlannak nevezzük ,ha f(-x) = -f(x) minden esetén. Geometriailag ez azt jelenti,
hogy a függvény az origóra középpontosan szimmetrikus.
Ha egy függvényre a fent leírtak egyike sem áll fenn, akkor azt mondjuk róla, hogy se nem páros se nem
páratlan. Az elnevezés onnan származik, hogy minden páros hatvány függvény páros és minden páratlan
Függvények
77 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
hatványfüggvény páratlan. (Ábrák a hatványfüggvényekről, a különböző függvény típusoknál láthatók.) A
trigonometrikus függvények közül a cos(x) függvény páros a többi páratlan.
Példák:
Az függvény páros.
[ >
[ >
A függvény páratlan.
[ >
Függvények
78 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A következő függvény se nem páros, se nem páratlan.
[ >
Hogyan tudjuk eldönteni ábrázolás nélkül számolással, hogy egy függvény páros, vagy páratlan?
Helyettesítsünk a függvény képletébe x helyett -x-et, majd egyszerűsítsük le a képletet amennyire lehet, és
ezután nézzük meg, hogy visszakaptuk-e az eredeti függvényt, vagy a -1-szeresét.
, ezért a függvény páros.
és , ezért a függvény se
nem páros, se nem páratlan.
Függvények
79 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.3. Periodikusság
Definíció:
Az f(x) függvényt peridikusnak nevezzük, ha van olyan p valós szám, amelyre f(x+p) = f(x). Az ilyen
tulajdonságú valós számok között a legkisebbet a függvény periódusának nevezzük.
Példa:
periódusa 2π
[ >
periódusa 2π
[ >
Függvények
80 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
periódusa π
[ >
periódusa
[ >
Általában is igaz, hogy függvény periódusa
2.4. Monotonitás
Definíció:
Az f(x) függvényről azt mondjuk , hogy
Függvények
81 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
szigorúan monoton csökken, ha f(x1)> f(x2)
monoton csökken, ha f(x1)≥ f(x2)
szigorúan monoton nő, ha f(x1)< f(x2)
monoton nő, ha f(x1)≤ f(x2) az értelmezési tartomány bármely x1 és x2 x1 < x2 elemeire.
Példa:
Az függvény
[ >
a ]-∞, -2] intervallumon szigorúan monoton csökken,
a [-2, 0] intervallumon szigorúan monoton nő,
a [0, 2] intervallumon szigorúan monoton csökken,
a [2, ∞[ intervallumon szigorúan monoton nő.
A constans függvényt egyszerre mondjuk csökkenőnek és növekedőnek.
[ >
Függvények
82 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.5. Korlátosság
Definíció:
Az f(x) függvényt alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan k szám, amelyre f(x)≥k .
Az f(x) függvényt felülről korlátosnak nevezzük, ha van olyan K szám, amelyre f(x)≤K .
A függvényt korlátosnak nevezzük, ha alulról is és felülről is korlátos.
Példa:
Az függvény alulról korlátos. Alsó korlát pl. k = -3 vagy -2,5. Alsó korlátnak bármilyen -
2,25-nél nem nagyobb szám alkalmas. Más szóval, ha találunk egy alsó korlátot, akkor bármilyen nála kisebb
szám is jó lesz alsó korlátnak. Végtelen sok alsó korlát van. A legnagyobb alsó korlátot, ha létezik a függvény
alsó határának, idegen szóval infimumának nevezzük. Ebben az esetben a függvény alsó határát, a függvény
képletének teljes négyzetté kiegészítésével kaphatjuk meg:
[ >
Függvények
83 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az f(x) = -2 |x + 3| + 4 függvény felülről korlátos. Felső korlát például K = 5 vagy K = 4. Ha egy függvénynek
megtaláljuk egy felső korlátját, bármely annál nagyob szám alkalmas lesz felső korlátnak. A legkisebb felső
korlátot, ha létezik felső határnak, idegen szóval szupremumnak nevezzük.
[ >
A függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1.
[ > függvény korlátos. Korlátok például -3 és 1.
Függvények
84 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2.6. Szélsőérték
1) Lokális (helyi)
a) minimum
Az f(x) függvény lokális (helyi) minimumát az x1 helyen veszi fel, és minimum értéke f(x1), ha x1-nek van olyan
ε sugarú környezete, hogy a f(x1) ≤ f(x), ha x az x1 ε sugarú környezetében van. Matematikai jelölésekkel: ∃ ε >
0, hogy f(x1) ≤ f(x), ∀ x ∈ ] x1 -ε,x1 +ε [ esetén.
Hasonlat: „A szűkebb környezetéből negatív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legrosszabb matematikusa,
a helyi úszóbajnokság utolsó helyezettje, stb.”
b) maximum
Az f(x) függvény lokális (helyi) maximumát az x1 helyen veszi fel és maximum értéke f(x1), ha x1-nek van olyan
ε sugarú környezete, hogy a f(x1) ≥ f(x), ha x az x1 ε sugarú környezetében van. Matematikai jelölésekkel: ∃ ε >
0, hogy f(x1) ≥ f(x), ∀ x ∈ ] x1 -ε, x1 +ε [ esetén.
Hasonlat: „A szűkebb környezetéből pozitív értelemben emelkedik ki; az évfolyam legjobb matematikusa, a
helyi úszóbajnokság első helyezettje, a falusi szépségkirálynő, stb.”
2) Globális (abszolút)
a) minimum
Az f(x) függvény globális (abszolút) minimumát az x1 helyen veszi fel, és minimum értéke fx1), ha f(x1) ≤ f(x)
minden x ∈ Df esetén.
Hasonlat: „A világ legbénább embere az adott területen.:)”
b) maximum
Függvények
85 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az f(x) függvény globális (abszolút) maximumát az x1 helyen veszi fel, és maximum értéke f(x1), ha f(x1) ≥
f(x) minden x ∈ Df esetén.
Hasonlat: „Az adott terület világbajnoka.”
Tegyük fel, hogy az ábrán vázolt függvényre igaz a következő két határérték: és
, akkor az ábrán vázolt függvénynek nincs abszolút minimuma, lokális minimuma x2-ben,
lokális maximuma x1-ben és x3-ban van, de x1 egyben globális maximum hely is.
2.7. Konvexitás
Szemléletes definíciók
Egy függvény akkor konvex, ha érintője mindenütt a függvénygörbe alatt halad.
Egy függvény akkor konkáv, ha érintője mindenütt a függvénygörbe felett halad.
Másik megfogalmazás és szemléltetés:
Az f függvény az értelmezési tartományának egy intervallumában konvex (konkáv), ha az intervallum bármely
x1 < x2 értékeinél fennáll, hogy a függvény grafikonja az (x1; f(x1)) és az (x2; f(x2)) pontokat összekötő szakasz
alatt (felett) halad.
Függvények
86 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az f függvénynek inflexiós pontja van az értelmezési tartományának egy x0 helyén, ha létezik az értelmezési
tartománynak olyan ]a; b[ (a < x0 < b) intervalluma, hogy f az ]a; x0]-ban konvex (konkáv), az [x0; b[-ben
konkáv (konvex). Szemléletesen: Az inflexiós pontban (x0) a függvény konvexből konkávba, vagy konkávból
konvexbe �billen át�.
Egy vicces ábra a konvexitás szemléltetésére: Forrás: http://cheezburger.com/1092644096
De a jól ismert Smile-k is a konvex, konkáv görbékre utalhatnak:
Függvények
87 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3. Elemi függvények és függvénytranszformációk
Az elemi függvények az f (x) = x , f (x) =ax és az f (x) = sin (x) függvényekből származtathatók, képlettel
megadhatók és véges számú �
• konstanssal való szorzás, �
• összeadás,
• szorzás,
• osztás, �
• inverz függvény képzése, �
• összetett függvény
képzése mûveletek alkalmazásával felírhatók.
...
Elemi alapfüggvényeknek nevezzük a
• hatványfüggvényeket, xn �
• exponenciális függvényeket, ax �
• trigonometrikus függvényeket, sin(x) , cos(x) , tan(x)
• és ezek inverzeit.
Az összetett és inverz függvény képzéséről a későbbiekben lesz szó.
Először nézzünk néhány elemi alapfüggvényt. Ezeket a függvényeket az alább látható ablakban lehet
tanulmányozni. Az ablak az elemi alapfüggvények nevû gomb megnyomásával hozható elő. Az ablak bal oldali
képe mutatja a legördülő listát, ahonnan a függvényeket választhatjuk. A számunkra szükségesnél a listában
több függvény található. A bennünket érdeklő függvények: sin (x), cos (x), tan (x) = tg (x), cot (x) = ctg (x), exp
(x) = ex , ln(x) = loge(x) , log10(x) = lg(x) = log10(x) , abs(x) = |x| , sqrt(x) = Azonkívül, hogy ezeknek a
függvényeknek a képét megnézhetjük, a függvények transzformációit is tanulmányozhatjuk.
A következő táblázat összefoglalja a függvény transzformációkat.
Függvények
88 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Nézzünk minden transzformációra egy-egy animációt:
A felső (zöld) táblázat első sorában levő két eltolást az x2 függvényre alkalmazzuk. Sorban (x + a)2 , x2 + a
beírásával a megfelelő utasításba. Az animáció úgy indul csak el, ha a grafikont kijelöljük (rákattintunk). Ekkor
megjelenik az animációt irányító panel. Lassítsuk le az animáció futását, ekkor jobban tudjuk tanulmányozni a
változást.
[ >
[ >
Függvények
89 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A második és harmadik sor transzformációit alkalmazzuk a sin(x) függvényre. Először sin(c x) , majd c sin(x)
képletû függvényeket animáljuk.
[ > animate(plot, [sin(c⋅ x), x = -4⋅ Pi .. 4⋅ Pi], c = -3 .. 3)
Azt is észrevehetjük, hogyha c értéke negatívból pozitívba vált, a függvény y tengelyre való tükrözése is
megtörténik, ahogy a táblázat harmadik sorában látjuk.
[ > animate(plot, [c⋅ sin(x), x = -4⋅ Pi .. 4⋅ Pi], c = -2 .. 2)
Függvények
90 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Most nézzük meg ugyanezt egy táblázatban különböző c értékekhez rendelve.
Itt is megfigyelhetjük a tükrözést, de most az x tengelyre. Meg tudjuk-e különböztetni a két különböző x és y
tengelyre történő tükrözést a sin (x) függvény esetén? Nem, mert a sin (x) páratlan függvény és ezért sin (-x) = -
sin (x) . Keressünk egy olyan függvényt, ahol a kétféle tükrözést eredményező transzformáció különböző lesz.
Legyen a függvény pl. |x - 3|
Függvények
91 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot([|x-3|, -|x-3|, |-x-3|], x = -8 .. 8, y = -4 .. 4, color = [blue, red, yellow])
Polinomok alakú függvényeket polinomoknak (vagy racionális
egész függvényeknek) nevezzük, ahol n természetes szám és an≠ 0 , valós szám.
Ekkor a polinom n-ed fokú. Az an , an-1 , ... a1 , a0 számok is valósak, ezek a polinom együtthatói, az együtthatók
között természetesen 0-k is lehetnek. Az elsőfokú polinomot lineáris függvénynek is nevezzük. Polinomok
például 3⋅ x2-2⋅ x+4, 5⋅ x6-2⋅ x3+1.
Ne felejtsük el beírni a szorzás és hatványozás jelét, ahogy a képen is látható. Feladat: Írjuk be a páros és
páratlan kitevőjû hatványfüggvényeket és soroljuk fel a tulajdonságaikat. Miben különböznek egymástól?
Függvények
92 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Két polinom hányadosát racionális törtfüggvénynek nevezzük. a következő gombbal egy olyan ablak hívható
elő, amelybe különböző racionális törtfüggvények képletét írhatjuk be, ezután megkapjuk a függvények képét és
így tanulmányozhatjuk őket.
Függvények
93 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4. Összetett függvények
A következő ábra azt szemlélteti, hogy összetett függvényt szemléletesen úgy kaphatunk, hogy két függvény
egymásutánját egyetlen függvénnyé kapcsolunk össze:
Forrás: http://mathinsight.org/function_machine_composition
Ha visszatérünk a függvény definíciójához, halmazokkal a következőképpen tudjuk szemléltetni az összetett
függvényt:
Függvények
94 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha g(x) = 2 x + 1 és f(x) = x2 , akkor
Az összetett függvény értelmezési tartománya:
Legyen most g (x) = sin (x) f (x) = log2(x) ekkor f (g (x) ) = log2(sin(x)) . Számítsuk ki az értékét!
Első lépésben a belső függvény értékét határozzuk meg, , ezután a kapott érték kettes alapú
logaritmusát kellene meghatároznunk, de mivel negatív értéket kaptunk, ennek nincs logaritmusa. Hogyan
tudjuk meghatározni az összetett függvény értelmezési tartományát úgy, hogy a fenti probléma ne forduljon elő?
A g függvény értelmezési tartományának az a részhalmaza lehet csak az összetett függvény értelmezési
tartománya, amelyhez tartozó g szerinti függvény értékek az f függvény értelmezési tartományába esnek. A fenti
esetben sin (x) > 0, vagyis 2 k π < x < π + 2 k π halmaz lesz az összetett függvény értelmezési tartománya. A
kapott összetett függvényt az alábbi ábra mutatja. A belső függvény értékkészletét az x tengelyre vetítve a piros
AB szakasz mutatja. Az is látható, hogy az összetett függvény csak ott van értelmezve, ahol a szinusz függvény
pozitív értékeket vesz fel.
A következő példa azt mutatja, hogy az összetett függvényeknél a külső és belső függvényt nem cserélhetjük
fel. Először az összetett függvény legyen , másodszor
Függvények
95 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot( [ 1/ (sin (x))], x = -7 .. 7, y = -10 .. 10, discont = true)
[ > plot( sin(1/x), x = -.5 .. .5)
Összetett függvények gyakorló paneljei a Maple-ben:
Függvények
96 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5. Inverz függvények
Az f függvény inverzének nevezzük és f-1 -gyel jelöljük azt a függvényt, amely minden valós "a" számhoz (mely
az f függvény értékkészletéhez tartozik), azt a "b" számot rendeli, melyhez az f az "a"-t rendelte, vagyis ha f (b)
= a , akkor f-1(a) = b . Az f-1 függvény értelmezési tartománya az f függvény értékkészlete, és az f-1 függvény
értékkészlete az f értelmezési tartománya.
és
Csak kölcsönösen egyértelmû függvénynek lehet inverze. Ha egy függvény nem kölcsönösen egyértelmû, akkor
értelmezési tartományát leszûkítjük a legbővebb kölcsönösen egyértelmû tartományra. A táblázat első
példájában az f(x) = x2 függvény nem kölcsönösen egyértelmû, ezért az értelmezési tartományt le kellett
szûkíteni a nem negatív számok halmazára. Ha a függvény képét tükrözzük az y = x egyenesre a függvény
képének inverzét kapjuk. Ha az (a, b) pont rajta van egy függvény grafikonján, akkor a (b, a) pont a függvény
inverzének grafikonján lesz rajta.
Függvények
97 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Hogyan kapjuk meg az inverz függvény képletét? Tekintsük például az függvényt. Használjuk az
jelölést! Cseréljük fel az x és y betûket (most történik a képletben, ami geometriailag a függvény képének
tükrözése az y = x egyenesre), , majd fejezzük ki y-t. Vegyük mindkét oldal e alapú logaritmusát:
⇒ . A vagy e alapra alkalmazva a , azonosságot használtuk fel.
6. Néhány további függvény
Hatványfüggvények
Az alábbi ábrán közös koordináta - rendszerben ábrázoltuk a hatványfüggvényeket, nevezetesen: x , x2 , x3 , x4
függvényeket. Az ábrán jól látható, hogy minden hatványfüggvénynek két közös pontja van a (0,0) és az (1,1)
pontok. A páratlan kitevőjû hatványok grafikonjai átmennek a (-1,-1) ponton, míg a párosak a (-1,1) ponton. A
]0, 1[ intervallumon a nagyobb kitevőjû hatványok értéke kisebb, azaz x4<x3<x2<x , az ]1, +∞[ -ben az
egyenlőtlenségek megfordulnak.
[ >
Egészrész függvény f(x) = [x]
Minden számhoz a nála nem nagyobb (kisebb, vagy egyenlő) egész számot rendeli. Nyilvánvaló, hogy minden
egész szám egész része önmaga, a pozitív törtek egész részének kiszámítása sem szokott gondot okozni [3.2] =
3 , vagy [9.9] = 9 , de mennyi az [-2.3] ? Mit is mond az egészrész definíciója? Minden számhoz a nála nem
nagyobb egész számot rendeljük, ezért [-2.3] = -3 . az egészrész függvény úgynevezett lépcsős függvény. A
grafikonon látható szakaszok bal végpontja hozzátartozik a függvény képéhez, a jobb végpont nem.
[ > plot(floor(x), x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, discont = [showremovable]);
Függvények
98 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Törtrész függvény f(x) = {x} and {x} = x + [-x] . Egy szám törtészét úgy kapjuk meg, ha a számból kivonjuk az
egészrészét. Az alább látható grafikonon a szakaszok bal végpontja hozzátartozik a grafikonhoz a jobb végpont
nem.
[ > plot(x-floor(x), x = -3 .. 3, y = -3 .. 3, discont = true);
Érdekességképpen nézzük meg az x2 és a 2⋅ sin(x) függvények egészrészét és törtrészét:
[ x2] { x2} [2⋅ sin(x)] {2⋅ sin(x)}
Előjel függvény (szignum függvény) f(x) = sgn(x) Pozitív számok szignuma 1, negatív számoké -1, a 0 szám
szignuma 0.
Függvények
99 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(signum(x), x = -3 .. 3, y = -2 .. 2, discont = true);
Nézzük meg néhány példán, hogyan szemlélteti a szignum a függvények előjelét? Ha alaposabban megnézzük a
grafikonokat látszik a függvények zérushelyénél a zöld pont, ott a szignum függvény mindig 0.
sgn ((x-3)⋅ (x+2)) sgn (0.25⋅ x⋅ (x-3)⋅ (x+4)) sgn (sin (x))
Függvények reciprokának ábrázolása: Ha ismerünk egy függvényt könnyen felvázolhatjuk a reciprokának
grafikonját. Ahol a függvényérték 1, vagy -1, az a pont a függvény és reciprok függvény grafikonjának közös
pontja lesz. Ahol a függvénynek zérushelye van a reciprok függvénynek szakadása lesz. Minél nagyobb az
eredeti függvény függvényértéke, annál kisebb lesz a reciprok függvény értéke és fordítva.
Függvények
100 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7. Feladatok önálló megoldásra
1. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tarományát!
2. Számítsuk ki a felsorolt függvények zérushelyét!
3. Melyik függvény páros, vagy páratlan a felsoroltak közül?
4. Ábrázolja az f(x) függvényt és inverzét! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket!
5. Ábrázolja az f(x) függvényt! Adja meg az értelmezési tartományát és értékkészletét! Adja meg az f(x)
függvény inverzét és ábrázolja!
6. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja
meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x)
összetett függvényt!
7. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja
meg az f(x) függvény inverzét! Páros-e ez a függvény? Írja fel, hogy mely függvényekből alkottuk meg az f(x)
összetett függvényt!
8. Ábrázolja az f(x) függvényt és a reciprokát! Adja meg az értelmezési tartományukat és értékkészletüket! Adja
meg az f(x) függvény inverzét és ábrázolja!
9. Képezzük a következő összetett függvényeket: h(g(x)) , g(h(x)) ,
f(g(x)) , f(h(x)) ! Mit mondhatunk az értelmezési tartományokról?
101 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4. fejezet - Függvény határértéke, folytonosság
forrás: http://dannbislondon.blogr.ws/files/CIMG2098-UK-London-TowerBridge_01.jpg
1. Függvény határértéke
Az előző fejezetekben megismerhettük a sorozat határértékének fogalmát, több módszert is láttunk a határérték
meghatározására. Mivel a sorozatok is "speciális" függvényeknek tekinthetők, így általában a függvények
határértékének egyik fajta definíciója is a sorozatoknál tanultakra vezethető vissza ( Heine-féle definíció).
A függvény határértékének kétféle - Heine-féle és Cauchy-féle - definícióját ismerjük. Definiáljuk ezekhez a
környezet fogalmát: Az x0 pont környezetén értjük a ]x0-δ;x0+δ[ intervallumot, ahol δ tetszőleges pozitív számot
jelöl:
Feltesszük, hogy a függvények az x0 környezetében értelmezve vannak, akkor az x0 pontban így értelmezzük a
határértéket:
Heine-féle definíció:
Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvénynek az x0 pontban a határértéke +∞ ill. -∞ ,ha valahányszor xn → x0 , xn
≠ x0 sorozat esetén a függvényértékek sorozata mindannyiszor +∞ ill. -∞ -be divergál, azaz f(xn)→ + ∞ ill - ∞ .
Jelölésben:
A fenti definícióból látható, hogy a határérték egyértelműen meghatározott, hiszen a sorozatokra vonatkozó
unicitás-tétel igaz rá, mivel a definíciót a sorozatoknál tanultakra vezettük vissza. (Az unicitás-tétel a sorozatok
határértékének egyértelműségét mondja ki.)
Szemléletesen azt jelenti, hogy ha �ballagunk� az x tengelyen xx0 felé, közben az f(x) függvény értékei az A
szám felé tartanak:
Függvény határértéke, folytonosság
102 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az ábrán azt jelenti, hogy ha x→16 , akkor a függvényértékek 4-hez közelítenek, akár bal oldalról, akár jobb
oldalról nézzük.
[ > f : = x→ log 2 (x)
[ > hely : = tickmarks = [[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20], [-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6]]
[ > gorbe : = plot(f(x), x = .1 .. 5, discont = true, hely, thickness = 3); gorbe
[ > rajzokbal := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x
= .1 .. 4, .1)]:
[ > display(rajzokbal, insequence = true)
Függvény határértéke, folytonosság
103 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A Maple animáció balról közeledve mutatja a pontbeli határértéket.
[ > rajzokjobb := [seq(display([pointplot([x, f(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x
= 5 .. 4, -.1)]:
[ > display(rajzokjobb, insequence = true)
A Maple animáció jobbról közeledve mutatja a pontbeli határértéket.
Megadjuk a másik, Cauchy-féle definíciót is:
Az f(x) függvénynek az x0 -ban létezik a határértéke, ha megadható olyan A valós szám, hogy bármely ε > 0-hoz
van olyan δ , hogy ha , x≠x0 akkor . ( δ, ε kicsi, valós, pozitív számokat jelölnek)
(Ez az ún környezetes definíció.)
Szemléletesen:
Függvény határértéke, folytonosság
104 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A hely kis megváltozása a függvényértékek kicsiny változását vonja maga után. Másképpen: f (x) tetszőlegesen
közel kerül A -hoz ( ) , ha x elég közel van x0 -hoz ( ) .
Bizonyítható, hogy a két definíció ekvivalens. Ettől most eltekintünk. A megadott definíciók pontbeli
határértékre vonatkoznak.
2. A határérték típusai
Végtelen határértékek:
Itt is kétféle definíciót adunk meg:
Heine-féle definíció:
Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvénynek az x0 pontban a határértéke +∞ ill. -∞ ,ha valahányszor xn → x0 , xn
≠ x0 sorozat esetén a függvényértékek sorozata mindannyiszor +∞ ill. -∞ -be divergál, azaz f(xn)→ + ∞ ill - ∞ .
Jelölésben: , vagy
Cauchy-féle definíció:
Az f (x) függvénynek az x0 -ban a határértéke +∞ ill. -∞ , ha bármely M számhoz van olyan 0 < δ ( x0, M), hogy
ha , x≠x0 akkor f (x) ≥ M, ill. f (x) ≤ teljesül. ( δ kicsi, valós számot jelöl, M abszolút értékben
"nagy" számot jelent)
A két definíció ekvivalens.
Hasonlóan definiálhatók a féloldali határértékek is.
2.1. Véges helyen vett végtelen határérték
Így viselkedik például az x=0 pontban az függvény:
Függvény határértéke, folytonosság
105 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ >
[ > ngorbe := plot(n, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); ngorbe
, illetve
A 0 hely bal és jobb oldali határértéke egyaránt plusz végtelen. Minél közelebb "megyünk" a 0-hoz, a függvény
értékei egyre nagyobbak lesznek. Tehát véges helyen végtelen a határértéke a függvénynek.
Így viselkedik például az x0 = 0 pontban az függvény:
[ >
[ > hgorbe := plot(h, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); hgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
106 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
, illetve
A 0 helyen a baloldali határérték mínusz, a jobb oldali határérték plusz végtelen. Láthatjuk, hogy nem mindegy
melyik oldalról közelítjük a 0-t: balról egyre kisebbek lesznek a függvény értékei, míg jobbról közeledve nőnek.
Tehát véges helyen végtelen határértékkel találkozunk.
2.2. Végtelenben vett végtelen határérték
Így viselkedik például a +∞-ben az f (x) = 2 | x - 3 | + 5 függvény:
[ > ab := -2*abs(x-3)+5
[ > abgorbe := plot(ab, x = -1 .. 15, discont = true, thickness = 3); abgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
107 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Azt látjuk, hogy minél „messzebb” megyünk az x tengelyen pozitív irányban, a függvény értékei egyre
mélyebbre esnek, egyre kisebb értékeket vesznek fel.
Így viselkedik például a -∞-ben az függvény:
[ >
[ > gygorbe := plot(gy, x = -31 .. 2, discont = true, thickness = 3); gygorbe
Azt látjuk, hogy ha az x tengelyen a -∞-be ballagunk (távolodunk az origótól), a függvény értékei nőnek, azaz a
mínusz végtelenben vett függvény határárérték plusz végtelen lesz.
Így viselkedik például a -∞-ben az függvény:
[ >
[ > gngorbe := plot(gn, x = -18 .. 6, discont = true, thickness = 3); gngorbe
Függvény határértéke, folytonosság
108 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Azt látjuk, hogy minél �messzebb� megyünk az x tengelyen negatív irányban, azaz ballagunk a mínusz
végtelen felé, a függvény értékei egyre mélyebbre mennek, egyre kisebb értéket vesznek fel. A mínusz
végtelenben tehát a függvény értékek is mínusz végtelenbe tartanak.
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > epgorbe := plot(ep, x = -8 .. 16, discont = true, thickness = 3); epgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
109 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Azt látjuk, hogy minél „messzebb” megyünk az x tengelyen a függvény értékei egyre magasabbra törnek, egyre
nagyobb értéket vesznek fel. A plusz végtelenben a függvény határértéke is plusz végtelen.
2.3. Végtelenben vett véges határérték
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > epgorbe := plot(ep, x = -8 .. 4, discont = true, thickness = 3); epgorbe
A mínusz végtelenben a függvény grafikonja nagyon közel megy az y=-6 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri
el.
Így viselkedik például a -∞-ben az függvény:
[ >
[ > egorbe := plot(e, x = -10 .. 5, 0 .. 6, discont = true, thickness = 3); egorbe
Függvény határértéke, folytonosság
110 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A függvény a mínusz végtelenben nagyon közel megy az y = 2 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, de
ugyanez elmondható a plusz végtelenben is, hiszen láthatjuk, hogy a függvény az y tengelyre szimmetrikus.
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > engorbe := plot(en, x = -5 .. 15, -6 .. 0, discont = true, thickness = 3); engorbe
Függvény határértéke, folytonosság
111 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A függvény a plusz végtelenben folyamatosan közelít az y= - 4 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el,
hasonlóan igaz ez a mínusz végtelenben is.
Így viselkedik például a ∞-ben az függvény:
[ >
[ > hegorbe := plot(he, x = -5 .. 15, -4 .. 0, discont = true, thickness = 3); hegorbe
A függvény a plusz végtelenben nagyon közel megy az y=-3 egyenletű egyeneshez, de sohasem éri el, a
függvényértékek -3-hoz tartanak.
2.4. Véges helyen vett véges határérték
Legyen f (x) = x2, x ∈ ℜ, a vizsgálandó függvény. Határozzuk meg a határértékét az x=2 helyen:
[ > n : = x2
[ > ngorbe := plot(n, x = -4 .. 4, 0 .. 16, discont = true, thickness = 3, color = red); ngorbe
Függvény határértéke, folytonosság
112 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
...
A Heine-féle sorozatos definíció alapján mondhatjuk a következőket: Pl.
Vizsgáljuk meg, hogy ekkor hova tart a megfelelő függvényértékek sorozata:
. Ha , akkor
. Ha , akkor
. A határérték környezeti tulajdonság („Nem érdekel, hogy
mit csinál a függvény x = a-ban, csak a környezetében.”) Tehát
Függvény határértéke, folytonosság
113 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A fenti 3 függvény f (x), g (x), h (x) az x0 = 2 pont környezetében teljesen ugyanúgy viselkedik, eltérés közöttük
kizárólag az x0 = 2 pontbeli viselkedésükben van.
Az f (x) függvény minden valós számra értelmezve van, tehát 2-ben is, a 2-beli érték �szépen belesimul� a
függvény megfelelő értékeinek sorába.
A g (x) értelmezési tartományából hiányzik a 2, tehát g (x) 2-ben nincs értelmezve (�lyukas�).
A h (x) függvény ugyan szintén minden valós számra értelmezve van, mint az f (x), de a h (x) 2-beli értéke
�renitens�, kilóg a sorból, �kitéptük� a 2-beli értékét és áttettük máshova, 4-ből 6-ba.
2.5. Mikor nem létezik a határérték?
Nézzük az f (x) = sin (x) függvényt!
[ > s := sin(x)
[ > sgorbe := plot(s, x = -4*Pi .. 4*Pi, -1.5 .. 1.5, discont = true, thickness = 3); sgorbe
f (x) = sin (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan xn→ ∞, hogy f (xn)→0 és van olyan
xn→ ∞ , hogy f (xn)→1 , és bármilyen -1≤A≤1 számot adunk meg mindig találunk olyan végtelenbe tartó
sorozatot, amelyhez tartozó függvényérték sorozat A-hoz tart.
Függvény határértéke, folytonosság
114 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Nézzük az f (x) = cos (x) függvényt!
[ > c := cos(x);
[ > cgorbe := plot(c, x = -4*Pi .. 4*Pi, -1.5 .. 1.5, discont = true, thickness = 3); cgorbe
f (x) = cos (x) esetén nem létezik, de Mert van olyan xn→ ∞, hogy f (xn)→0 és van olyan
xn→ ∞ , hogy f (xn)→1 , és bármilyen -1≤A≤1 számot adunk meg mindig találunk olyan végtelenbe tartó
sorozatot, amelyhez tartozó függvényérték sorozat A-hoz tart.
Tekintsük az f (x) = { x } = x - [ x ] törtrész függvényt!
[ > er := floor(x)
[ > trgorbe := plot(tr, x = -7 .. 7, discont = true, thickness = 3); trgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
115 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
{ x } = x - [ x ], Egy szám törtrészét úgy kapjuk meg, hogy a számból kivonjuk az egészrészét. Egy szám
egészrésze a nála nem nagyobb (kisebb vagy egyenlő) egész szám. Törtrész jelölése: {x} Egészrész jelölése: [x]
Azaz az x=1 helyen nem létezik a határérték! Nem megszüntethető szakadás
van!
3. Nevezetes függvény határértékek
[ >
[ > h1gorbe := plot(h1, x = -.5 .. .5, discont = true, thickness = 3); h1gorbe
Láthatjuk, hogy a függvényértékek 0-hoz közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-
hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha a 0-t is felvennék.
[ >
[ > h2gorbe := plot(h2, x = -.5 .. .5, discont = true, thickness = 3); h2gorbe
Függvény határértéke, folytonosság
116 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Láthatjuk, hogy a függvényértékek 1-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-
hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az 1-t is felvennék.
[ >
[ > h3gorbe := plot(h3, x = -.5 .. .5, discont = true, thickness = 3); h3gorbe
Láthatjuk, hogy a függvényértékek e-hez közelítenek akár jobbról, akár balról közelítünk az x tengelyen a 0-
hoz, ugyan a függvény nincs értelmezve a 0 helyen mégis "úgy látszik", mintha az e-t is felvennék. Itt
elfogadjuk, hogy a határérték az e szám, mivel tudjuk, hogy az értéke 2,72 "körül" van, a pontos értékét nem
tudjuk meghatározni, nem írható fel két egész szám hányadosaként (ún transzcendens szám).
Függvény határértéke, folytonosság
117 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Bizonyítás: Geometriai személet alapján röviden:
Ha x> 0 vegyük a reciprokát,ekkor a reláció megfordul:
az egyenlőtlenséget sin(x)-szel szorozva: , ha x → 0, akkor cos(x)→ 1, ezért a rendőr-elv
miatt
A bizonyítás hasonló x<0 esetén is. Függvény ábrázolással:
Az előző függvény határ érték általánosítása. Rövid bizonyítás: ha x→0, akkor kx→0. Legyen kx=X, ekkor
Függvény határértéke, folytonosság
118 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A fenti négy nevezetes függvény határértéket jól ismerjük, mert ha speciálisan xn = n ,akkor a sorozatoknál
megismert nevezetes határértékekhez jutunk.
[ >
4. Folytonosság
4.1. Függvény pontban való folytonossága
Szintén kétféle definíciót mondunk ki, ezek közül a Heine-féle a sorozatok határérték fogalmára támaszkodik.
Heine-féle definíció:
Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvény az x0 pontban folytonos, ha minden olyan xn sorozatra, amely xn→x0 , xn
≠ x0 , a függvényértékek sorozata f(x0) -hoz konvergál, azaz f(xn) → f(x0) .
Jelölésben:
Cauchy-féle definíció:
Az f (x) függvény az x0 -ban folytonos, , ha bármely ε > 0 -hoz van olyan δ (ε, x0 ) > 0 , hogy ha | x - x0| < δ, x≠
x0 , akkor | f (x) - f (x0) | <ε . ( ε, δ kicsiny valós számokat jelölnek, δ függ ε-tól és x0 -tól )
A két definíció ekvivalens. A bizonyítástól eltekintünk.
A Heine-féle definícióból, a számsorozatokra megismert tételekből és a folytonosság definíciójából adódnak a
következő állítások:
Függvény határértéke, folytonosság
119 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha f (x)≥0 és létezik, akkor
Ha és létezik, akkor
Ha a függvények folytonosak az adott pontban, akkor az összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos, és ha
, akkor
Hasonlóan, ha a függvények folytonosak az adott pontban, akkor a hányadosuk is az, feltéve ha a nevezőben
lévő függvény nem 0 x0-ban.
Ha f (x) ≥ g (x) az x0 hely valamely környezetében és a és határértékek léteznek, akkor
Az f (x) függvénynek x0-ban akkor és csak akkor létezik a határértéke, ha {f (xn)} sorozat konvergál,
valahányszor xn→x0, x0≠x0
Az f (x) függvény x0 -ban akkor és csak akkor folytonos, ha létezik a határértéke és
4.2. Féloldali folytonosság
Ugyanúgy megadjuk a kétféle definíciót:
Heine-féle definíció:
Akkor mondjuk, hogy az f (x) függvény az x0 pontban balról (ill. jobbról) folytonos, ha minden olyan xn
sorozatra, amely xn→x0 , xn ≠ x0 , és tagjaira xn<x0 (xn>x0) a függvényértékek sorozata f(x0) -hoz konvergál, azaz
f(xn) → f(x0) .
Jelölésben: ill.
Cauchy-féle definíció:
Az f (x) függvény az x0 -ban balról (ill. jobbról) folytonos, , ha bármely ε > 0 -hoz van olyan 0 < δ (ε, x0 ) , hogy
ha x< x0 (ill. x0<x) és | x - x0| < δ, akkor | f (x) - f (x0) | <ε . ( ε, δ kicsiny valós számokat jelölnek, δ függ ε-tól és
x0 -tól ).
Tétel:
Az f(x) függvény az x0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha x0-ban balról is és jobbról is folytonos.
Tehát 3 pontban foglalhatjuk össze, hogy mikor mondjuk, hogy az adott pontban folytonos-e a függvény: �
• értelmezve legyen az adott pontban �
létezzen a határértéke az adott pontban (azaz van bal és jobb oldali határértéke és ezek egyenlők) �
a határérték megegyezik a függvény adott pontbeli helyettesítési értékével .
4.3. Intervallumon folytonos függvények
Definíció:
Függvény határértéke, folytonosság
120 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az f (x) függvényt egy nyitott intervallumon folytonosnak nevezünk, ha az intervallum bármely pontjában
folytonos (azaz minden pontjában folytonos).
Definíció:
Az f(x) függvényt egy zárt intervallumon folytonosnak nevezünk, ha az intervallum bármely belső pontjában
folytonos, a balvégpontban jobbról és a jobbvégpontban balról folytonos.
Definíció:
Az f (x) függvényt egy ℑ intervallumon (ami lehet nyitott vagy zárt) egyenletesen folytonosnak nevezünk, ha
bármely ε > 0 -hoz van olyan δ (ε) > 0 , amely csak ε-tól függ, de a helytől nem (!), hogy valahányszor |x - x*| <
δ x, x*∈ℑ , akkor |f(x) - f(x*)| < ε .
Folytonos függvények fokozatos-változás tulajdonsága:
A folytonos függvények egy nagyon fontos tulajdonságát fejezi ki, nevezetesen, hogy a függvényértékei csak
fokozatosan változhatnak, nem lehet �ugrás� egy folytonossági pontban.
Tételként így szól:
Ha f (x) folytonos x0 -ban és k < f(x0) < K , akkor van az x0 -nak olyan környezete, amelybe eső minden x pontra
k < f(x) < K teljesül.
Összetett függvény fogalma:
Legyen f (x) és g (x) két adott függvény. Az f (g (x)) összetett függvényen értjük azt a függvényt, amelynek
értelmezési tartománya g (x) értelmezési tartományának az a része, ahol olyan értéket vesz fel, ahol f (x)
értelmezve van. Az f(g(x)) összetett függvény hozzárendelési utasítása a következő: az x0 helyen az összetett
függvény értéke az f (x) függvénynek a g(x0) helyen felvett értéke. Az f (x) függvényt külső, a g (x) függvényt
belső függvénynek nevezzük.
Összetett függvény meghatározását segíti a gépek összekapcsolásával alkotott szabály
Tétel:
Az f (g (x)) összetett függvény folytonos az x0 helyen, ha a g (x) függvény folytonos x0 -ban és az f (x) külső
függvény folytonos g(x0) -ban.
Műveletek folytonos függvényekkel: (tétel)
Ha két függvény folytonos az x0 pontban, akkor összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos az x0 pontban.
Hányadosuk is folytonos, ha a nevezőben lévő függvény az x0 pontban nullától különböző.
Függvény határértéke, folytonosság
121 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az f (x) = c és az f (x) = x függvények mindenütt folytonosak.
Racionális egész függvénynek nevezünk egy olyan függvényt, amely a független változóból (legyen ez ) és
valós számokból véges sok összeadás (kivonás) és szorzás műveletekkel lett képezve. Általános alakjuk:
, ahol an≠0. Ezt n-ed fokú polinomnak is nevezzük.
A racionális egész függvények mindenütt folytonosak.
A racionális törtfüggvény olyan függvény, amely két polinom hányadosaként áll elő. Általános alakjuk:
Bármely racionális törtfüggvény a nevező zérus helyeit kivéve mindenütt folytonos.
Racionális függvényeknek nevezzük a racionális egész és racionális törtfüggvények összességét.
Irracionális függvényeknek nevezzük azokat a függvényeket, amelyek a független változóból (legyen ez x ) és
valós számokból véges sok összeadás (kivonás) és szorzás, osztás és egész kitevős gyökvonás műveletekkel
állíthatók elő.
A racionális és irracionális függvényeket együtt algebrai függvényeknek nevezzük.
Trigonometrikus függvények:
A szinusz és koszinusz függvények mindenütt folytonosak.
[ > s := sin(x)
[ > sgorbe := plot(s, x = -4*Pi .. 4*Pi, thickness = 3); sgorbe
[ > c := cos(x)
[ > cgorbe := plot(c, x = -4*Pi .. 4*Pi, thickness = 3); cgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
122 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > g := tan(x)
[ > tgorbe := plot(tg, x = -4*Pi .. 4*Pi, discont = true, thickness = 3); tgorbe
A tangens függvény az helyek kivételével mindenütt folytonos.
Exponenciális függvény
Az exponenciális függvény mindenütt folytonos.
[ > k := 2^x
[ > kgorbe := plot(k, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); kgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
123 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > ke := (1/2)^x
[ > kegorbe := plot(ke, x = -5 .. 5, discont = true, thickness = 3); kegorbe
Logaritmus függvény
A logaritmus függvény az értelmezési tartományán mindenütt folytonos.
[ > l2 := log[2](x)
[ > l2gorbe := plot(l2, x = 0 .. 39, discont = true, thickness = 3); l2gorbe
Függvény határértéke, folytonosság
124 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > ld2 := log[1/2](x)
[ > ld2gorbe := plot(ld2, x = 0.1e-1 .. 39, discont = true, thickness = 3); ld2gorbe
[ > l3 := log[3](x)
[ > l3gorbe := plot(l3, x = 0 .. 39, discont = true, thickness = 3); l3gorbe
Függvény határértéke, folytonosság
125 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > ld3 := log[1/3](x)
[ > ld3gorbe := plot(ld3, x = 0 .. 39, discont = true, thickness = 3); ld3gorbe
Az irracionális kitevőjű hatványfüggvényt, az exponenciális, a logaritmus, a trigonometrikus függvényeket és
ezekből összetett függvényeket közös néven transzcendens függvényeknek nevezzük.
Az elemi függvények körébe az algebrai és a transzcendens függvények tartoznak.
4.4. Folytonos függvények tulajdonságai
Véges zárt intervallumon folytonos függvények tulajdonságai:
Tétel:
Véges zárt intervallumon folytonos függvény korlátos ezen az intervallumon.
Függvény határértéke, folytonosság
126 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x)
[ > korlgorbe := plot(korl, x = -3 .. 6, thickness = 3); korlgorbe
Tétel:
Véges zárt intervallumon folytonos függvény felveszi szélső értékeit.
[ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x)
[ > korlgorbe := plot(korl, x = -3 .. 6, thickness = 3); korlgorbe
A függvénynek két minimuma és két maximuma van az adott intervallumon, fel is veszi, ott értelmezve van.
Tétel:
Véges zárt intervallumon folytonos függvény ezen az intervallumon egyenletesen is folytonos.
Függvény határértéke, folytonosság
127 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tétel:
Véges zárt intervallumon folytonos függvény minden a minimuma és maximuma közé eső értéket felvesz ezen
az intervallumon. Sőt lesz egy olyan hely, ahol azt először és egy olyan hely, ahol azt utoljára veszi fel.
[ > korl := (x-3)*(x+2)*(x-5)*(1+x)
[ > korlgorbe := plot(korl, x = -3 .. 6, thickness = 3); korlgorbe
Tétel:
Egy intervallumon folytonos függvény ezen intervallum bármely két pontjában felvett értékei közé eső bármely
értéket felvesz e két hely között. Azaz megvan a Bolzano-Darboux féle tulajdonsága. Sőt e két hely között lesz
egy első és egy utolsó olyan pont, ahol a függvény ezt a teszőleges közbülső értéket felveszi. Ezt úgy mondjuk,
hogy bármely folytonos függvény rendelkezik az első és utolsó elérés tulajdonsággal is.
Ez a függőhíd mindenütt folytonos, minden gond nélkül végigsétálhatunk rajta
4.5. Szakadási helyek fajtái
Definíció: Megszüntethető szakadási helye van az f (x) függvénynek x0 -ban, ha itt létezik a határértéke, de az
nem egyezik meg az f(x0) helyettesítési értékkel, vagy ha függvény nincs is értelmezve x0 -ban. (
vagy f(x0) nincs értelmezve).
Függvény határértéke, folytonosság
128 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A képen látható hídnak szakadása van,amit ügyesen megjavíthatnak a munkások. Ezek után gond nélkül végig
sétálhatunk rajta.
definíció:
Elsőfajú szakadási helye van az f (x) függvénynek x0 -ban, ha létezik a jobb- és baloldali határértéke, de ezek
különbözők; azaz
definíció:
Másodfajú szakadási helye van az f (x) függvénynek x0-ban, ha vagy a jobb-, vagy a baloldali, vagy egyik
féloldali határértéke sem létezik. (nem megszüntethető szakadás, ld. az alábbi képen)
Nem megszüntethető szakadás
http://www.mommo.hu/media/A_Tacoma-_hid_osszeomlasa_1940ben
Az eredeti Tacoma-híd ismert volt lengéseiről, himbálódzásáról. Az 5939 láb hosszú hidat 1940 július 1-én
adták át. A híd Tacomát és Gig Harbort kapcsolta össze. A hídavatás után 4 hónappal, 1940 november 7-én 42
mérföld/óra sebességű szélvihar támadt a híd környezetében. A szél által keltett lengéshullámok egyik oldaltól a
másikig oda-vissza haladtak egyre erősebbé válva, s a híd leszakadásához vezettek. A katasztrófa a híd
szerkezetére vezethető vissza.10 évvel később épült meg az új híd, mely 40 lábbal hosszabb, mint az első volt.
Az első és másodfajú szakadási helyeket nem megszüntethető szakadási helyeknek nevezzük.
...
5. A határérték és a folytonosság feladatokban
Függvény határértéke, folytonosság
129 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.1. Szemléleten alapuló feladatmegoldás
A következő utasítással adott a függvény: Ábrázolja, majd válaszoljon a következő
kérdésekre!
Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos?
Megoldás:
[ >
[ > fgorbe := plot(f, x = -5 .. 7, discont = true, thickness = 3); fgorbe
Az x=0 helyen nem megszüntethető szakadása van, ott nem folytonos, másutt viszont igen.
Vizsgálja meg a következő függvényt is: az adott helyeken! Hol van szakadása és az
milyen típusú? Hol folytonos?
Megoldás:
Függvény határértéke, folytonosság
130 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > ggorbe := plot(g, x = -5 .. 7, discont = true, thickness = 3); ggorbe
Nem megszüntethető szakadása van az x=-2 és x=2 helyeken. E helyeken nem folytonos, másutt igen.
A következő utasítással adott a függvény: Ábrázolja, majd válaszoljon a
következő kérdésekre!
Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos?
Megoldás:
[ >
[ > hgorbe := plot(h, x = -5 .. 7, discont = true, thickness = 3); hgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
131 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A függvény alakja egy töröttvonal, nincs szakadása, az értelmezési tartományán mindenütt folytonos.
A következő utasítással adott a függvény: Ábrázolja, majd válaszoljon a
következő kérdésekre!
Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos?
Megoldás:
[ >
[ > kgorbe := plot(k, x = -3 .. 7, discont = true, thickness = 3); kgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
132 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A függvénynek az x=0 helyen nem megszüntethető szakadása van, itt nem folytonos, másutt igen az értelmezési
tartományán belül.
A következő utasítással adott a függvény: Ábrázolja, majd válaszoljon a
következő kérdésekre!
Hol van szakadása és az milyen típusú? Hol folytonos?
Megoldás:
[ >
[ > kgorbe := plot(k, x = -3 .. 7, discont = true, thickness = 3); kgorbe
Függvény határértéke, folytonosság
133 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az x=1 helyen nem megszüntethető szakadása van a függvénynek, itt nem is folytonos; másutt igen, az
értelmezési tartományán.
Határérték és folytonosság szemléltetése
Baloldali határérték számítása
Jobboldali határérték számítása
Mivel a bal és jobb oldali határérték nem egyenlő ezért a nem létezik. Így nem lehet
folytonos sem.
Függvény határértéke, folytonosság
134 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5.2. Algebrai átalakításokon alapuló feladatmegoldás
F1:
Megoldás:
A feladat megoldása a nevezetes határérték alkalmazásán alapul. Kialakítjuk a nevezetes
határértéket, bővítéssel: lesz az egyszerűsítések elvégzése
után.
F2: Határozza meg a következő határértékeket!
F3: Határozza meg a következő határértékeket!
Függvény határértéke, folytonosság
135 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
F4: Adja meg a p paraméter értékét, hogy az alábbi függvény folytonos legyen!
Megoldás:
A megismert tételek alapján, a racionális törtfüggvény a nevező zérushelyeinek kivételével mindenütt folytonos,
így csak az x=3 helyen kell vizsgálnunk a függvényt: értelmezve van? -igen
határértéke van? - igen, van határértéke
a határérték és a helyettesítési érték egyenlő? - igen, ha a p=3 értéket adjuk a paraméternek
5.3. Maple gyakorló panel a határérték meghatározására
Először kattintsunk a kép alatti nyomógombra, kis idő múlva megjelenik a felugró ablak, abban a gyakorló
panel. A panel function mezőjébe írhatjuk a keresett határértéket, melyet aztán részletesen lépésről-lépésre
megoldhatunk a Next Step parancsra kattintva.
6. Megoldásra javasolt feladatok
1. Határozza meg az alábbi határértékeket!
Függvény határértéke, folytonosság
136 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2. Vizsgálja meg folytonosság szempontjából az alábbi függvényeket!
és f (0) = 1.
3. Határozza meg az a és b paraméterek értékét, amennyiben léteznek ilyenek, oly módon, hogy az alábbi
függvény folytonos legyen!
137 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
5. fejezet - Differenciálszámítás
forrás: http://www.edenkert.hu/wellness/elmenyvadaszat---miert-szeretjuk-a-szaguldast-/2352/2/sebesseg-az-
alagutban.jpg
1. A differenciálszámítás elemei
Ennek a fejezetnek az a célja, hogy megértsük az alapfogalmakat és elsajátítsuk a deriválás műveletét. A
differenciálszámítás kialakulását geometriai és mechanikai problémák siettették. A függvény adott pontban való
differenciálhatóságát is többféleképpen definiálhatjuk. Mi a határérték fogalmára támaszkodó definíciót fogjuk
használni.
1.1. Differenciahányados, differenciálhányados, derivált függvény
A differenciahányados fogalma
definíció:
Legyen f (x) az x0 pont valamely környezetében értelmezve. Ha az , x≠x0, differenciahányados
függvénynek létezik a (véges) határértéke az x0 pontban, akkor az f (x) függvényt az x0 pontban
differenciálhatónak nevezzük. Ezt a határértéket az f (x) függvény x 0 pontbeli differenciálhányadosának
nevezzük.
Jele: vagy szokásos jelölések még:
A differenciahányados a függvénygörbe két pontján át húzott szelő meredekségét mutatja meg:
[ > n := sqrt(x)
[ > ngorbe := plot(n, x = 0 .. 5, discont = true, thickness = 3); ngorbe
Differenciálszámítás
138 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A differenciálhányados a függvénygörbe adott pontjában húzott érintő meredekségét mutatja meg:
Ha azt mondjuk, hogy f'(x0) létezik, az azt jelenti, hogy f (x) az x0 pontban differenciálható. Ha x = x0 + ∆x
alakú, akkor , ∆x≠0; ezzel a kifejezéssel is gyakran találkozhatunk tankönyvekben.
A differenciálhányados definíciójára egyaránt megfogalmazhatunk Heine-féle és Cauchy-féle definíciót is, mint
a határérték és folytonosság esetében. Ezektől most eltekintünk.
Szemléletesen:
Tekintsük az f (x) = x2 függvényt az x0= 1 hely (rögzített pont) környékén. ∆ x= 1; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1 értékeket
veszi fel.
...
Differenciálszámítás
139 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Számoljuk ki rendre a differenciahányadosok értékét:
A kiszámolt differenciahányadosok értékeit vizsgálva, az a sejtés alakul ki, hogy az adott esetben a
differenciahányadosok sorozata 2-höz konvergál, ha ∆ x→ 0 . Nézzük e sejtés igazolását:
A függvénygörbéhez szelőket rajzolva, láthatjuk, hogy a differenciahányadosok a szelők meredekségeit adják
meg, a differenciálhányados az érintő meredekségét adja meg. Mondhatjuk azt is, hogy a szelők határhelyzete az
érintő az adott pontban. Innen származnak olyan elnevezések a közgazdaságtanban, hogy a határbevételi
függvény a bevételi függvény deriváltja. Általában, amelyik függvény neve elé odatesszük a „határ” jelzőt, az
adott függvény deriválását jelenti.
[ > animate( plot, [[x^2,(2+t)*(x-1)+1],x=-4..4], t=-2..0 );
definíció:
Differenciálszámítás
140 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha , illetve határértékek léteznek, akkor azt
mondjuk, hogy létezik az f (x) bal illetve jobboldali differenciálhányadosa az x0 pontban, ezek jele:
illetve
Ezek után nyilvánvaló, hogy akkor és csakis akkor létezik, ha és léteznek és
egyenlők, azaz:
Nézzük például az abszolútérték függvény differenciálhányadosát a 0 helyen:
[ > a := abs(x)
[ > agorbe := plot(a, x = -4 .. 5, discont = true, thickness = 3); agorbe
[ > rajzokbal := [seq(display([pointplot([x, a(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]), x
= -4 .. 0, .1)]
[ > display(rajzokbal, insequence = true)
Differenciálszámítás
141 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > rajzokjobb := [seq(display([pointplot([x, a(x)], color = red, symbolsize = 18, symbol = solidcircle), gorbe]),
x = 5 .. 0, -.1)]:
[ > display(rajzokjobb, insequence = true)
A két féloldali differenciálhányados nem egyezik meg, tehát az abszolútérték függvény a 0 helyen nem
differenciálható.
definíció:
Differenciálszámítás
142 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az f (x) függvényt az [a;b] intervallumon akkor nevezzük differenciálhatónak, ha minden belső pontban
differenciálható, továbbá az a pontban a jobboldali és a b pontban a baloldali differenciálhányadosa létezik.
definíció:
A differenciálhányados és a differenciálhányados függvény:
Azt a függvényt, amelynek értelmezési tartománya azon pontok halmaza, ahol differenciálható és amelynek
értéke egy ilyen helyen éppen a differenciálhányadosa ebben a pontban, azt a függvény differenciálhányados
függvényének, vagy derivált függvényének nevezzük. (Gyakran röviden csak differenciálhányadosának vagy
deriváltjának.)
A differenciálhányadosra vonatkozó rendőrelv:
Ha az f (x) , g (x) és h (x) függvények az x0 pont valamely környezetében értelmezve vannak és e környezetben f
(x)≤g (x)≤h (x), továbbá f (x0) = h (x0) és f ' (x0) = h' (x0), akkor g (x) differenciálható az x0 helyen és g' (x0) = f '
(x0) = h' (x0) .
Tétel:
Konstans differenciálhányadosa mindenütt 0. ( f (x) = c )
Bizonyítás:
1.2. Differenciálhatóság és folytonosság
Tétel: ( A differenciálhatóság szükséges feltétele)
Ha f (x) differenciálható az(x0 pontban, akkor ott folytonos is.
Úgy is szoktuk fogalmazni, hogy a differenciálhatóságból következik a folytonosság, de a folytonosságból a
differenciálhatóság még nem. Például:
[ > f := abs(x)
[ > plot(f, x = -6 .. 6, thickness = 3)
Differenciálszámítás
143 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tekintsük a baloldali differenciálhányadost az x=0 pontban:
Tekintsük a jobboldali differenciálhányadost az x=0 pontban:
Mivel a két féloldali határérték nem egyezik meg, ezért a 0 pontban nem diffenciálható az abszolútérték
függvény, de ott folytonos, hiszen mindkét féloldali határértéke 0.
definíció:
Egy függvényt egy intervallumon akkor nevezünk folytonosan differenciálhatónak, ha differenciálhányados
függvénye folytonos ezen az intervallumon.
1.3. Differenciálási szabályok
Differenciálási szabályok tétele:
Ha f (x) és g (x) differenciálható x0 -ban, akkor összegük, különbségük, szorzatuk is, és ha a nevezőben levő
függvény x0 -ban 0-tól eltérő értéket vesz fel, akkor a hányadosuk is differenciálható, továbbá érvényesek az
alábbi összefüggések:
ha g (x0)≠ 0 akkor
, hol c valós számot jelöl.
Elemi függvények deriválása:
A bizonyításoktól, levezetésektől eltekintünk, táblázatos formában foglaljuk össze:
Összetett függvény differenciálhányadosa:
Ha a g (x) függvény differenciálható x0 -ban és f (x) differenciálható g (x0) -ban, akkor az f (g (x)) összetett
függvény is differenciálható x0 -ban és
Differenciálszámítás
144 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A fenti szabályt szokták láncszabálynak is hívni. Bizonyítását nem részletezzük.
Mivel néha nehéz felismerni az összetett függvényt, vagy legalábbis jól kell beazonosítani, hogy melyik a külső
függvény és melyik a belső függvény, ehhez is készült egy segédtáblázat, melynek segítségével egyszerűsödik a
deriválás.
...
1.4. Maple ellenőrző panel a deriváláshoz
1.5. Maple gyakorló panel a deriváláshoz
Differenciálszámítás
145 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
1.6. Középérték tételek
Rolle-tétel:
Ha f (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott ]a;b[ intervallumon, továbbá ha f
(a) = f (b) , akkor létezik legalább egy belső pont, ahol a differenciálhányados 0.
Ennek a tételnek következménye az, hogy a derivált 0 volta szükséges feltétele a szélsőérték létezésének.
Szemléletesen:
Differenciálszámítás
146 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
ROLLE-TÉTEL
Az alábbi utasításban ha kicseréljük a függvény hozzárendelési utasítását és az intervallum végpontjait, a Maple
megrajzolja a függvényt és megkeresi a közbülső helyet.
[ > with(Student[Calculus1]):
[ > RollesTheorem(x^4-3*x^2+1, x = -2 .. 2);
Lagrange-tétel:
Ha f (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott ]a;b[ intervallumon, akkor van
olyan c belső pont, ahol a differenciálhányados értékére
Szemléletesen:
Differenciálszámítás
147 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Szokás a differnciálszámítás első középérték tételének is nevezni. Szemléletesen azt jelenti, hogy van olyan c
belső pont, amelyben olyan érintőt rajzolhatunk a függvényhez, amelyik párhuzamos az intervallum végpontjain
át húzott szelővel.
A Lagrange- tétel általánosítása a Cauchy-tétel:
Ha f (x) és g (x) folytonos a véges zárt [a;b] intervallumon és differenciálható a nyitott [a;b[ intervallumon,
továbbá g '(x) a belső pontokban nem nulla, akkor van olyan ξ belső pont, ahol
1.7. Kidolgozott feladatok
1. Differenciáljuk a következő függvényeket:
Megoldás:
2. Adja meg a következő függvények deriváltjait!
Megoldás:
Differenciálszámítás
148 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3. Írja fel az függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét az y tengellyel való
metszéspontjában!
Megoldás:
Először határozzuk meg, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt. Ez ott van, ahol x = 0. Behelyettesítés után
kapjuk, hogy y = -1/2 . Tehát a P0(0; 1/2) ponton átmenő érintő egyenesét kell felírnunk. Ehhez az egyenes
iránytényezős egyenletét használjuk, mivel az iránytényezőt vagy meredekséget a függvény
differenciálhányadosának értéke adja meg az adott pontban. A meredekség meghatározása:
Az egyenes iránytényezős alakja: . Behelyettesítés után az érintő egyenlete:
[ >
[ >
[ > plot([f, g], x = -3 .. 1.5, thickness = 3)
Differenciálszámítás
149 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4. Mennyi az függvény differenciahányadosa a 2≤x≤2,2 intervallumban? Mennyi a
differenciálhányados ezen intervallum végpontjaiban?
Megoldás:
A differenciahányados képzéséhez vegyük észre, hogy x0= 2 és ∆x = 0,2. A definíció szerint
A differenciálhányadoshoz meghatározzuk a derivált függvényt és annak vesszük a helyettesítési értékeit az
intervallum végpontjaiban.
Differenciálszámítás
150 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
f '(2,2) = 0,1 és f '(2) = 0
5. Mennyi az függvény differenciahányadosa az 1≤x≤1,5 intervallumban? Melyik x értéknél
egyezik az meg az intervallumon belül a differenciálhányadossal?
Megoldás:
A differenciahányados definíciója szerint: . Legyen x0= 1 ekkor ∆x = 0,5 a
feladatban. Számolás:
A differenciálhányados definíciója szerint:
Kérdés, hogy a derivált függvény melyik helyen veszi fel az 1,58 értéket. Meghatározás:
Tehát két olyan hely is van, ahol a differenciálhányados értéke megegyezik a kérdéses intervallumban vett
differenciahányados értékével.
6. A függvények ismeretében határozza meg a következő értékeket!
f '(1) = ? g '(1) = ?
Megoldás:
7. Mennyi f '(1) értéke, ha ?
Differenciálszámítás
151 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
8. Mekkora szögben metszi az függvény grafikonja az x tengelyt?
Megoldás:
Az x tengelyt a zérushelyében metszi, ennek meghatározása:
A metszés szögét a differenciálhányados adja meg az adott helyen. Meghatározása:
2. Megoldásra javasolt feladatok
Végezze el a következő deriválásokat!
152 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
6. fejezet - A differenciálszámítás alkalmazásai
forrás: http://www.erdekesvilag.hu/kepek/huang-shan/sarga-hegy-1.jpg
1. Alkalmazások
Ebben a fejezetben a differenciálszámítás alkalmazásait ismerjük meg több pédán keresztül.
A függvénytulajdonságok definíciói a harmadik fejezetben találhatók.
1.1. Monotonitás
A monotonitás deriválttal való kapcsolatát fejezi ki a következő tétel:
Ha az f (x) az ]a; b[ intervallumon differenciálható, akkor annak, hogy f ( x) az ]a; b[ -on növekedő (csökkenő)
legyen, szükséges és elegendő feltétele, hogy f′ (x)≥0, illetve f′ (x) ≤ 0 teljesüljön. A szigorú növekedés (szigorú
csökkenés) szükséges és elegendő feltétele, hogy 0 < f′ (x), illetve f′ (x) < 0 legyen, de a derivált az ]a; b[
intervallum egyetlen részintervallumán sem lehet azonosan 0.
1.2. Szélsőérték
Egy szemléletes példa:
Legyen az értelmezési tartomány a Föld hegyeinek halmaza.
Ekkor abszolút maximum:
A differenciálszámítás alkalmazásai
153 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Helyi maximum (a környezet Magyarország):
Szélsőérték létezésének szükséges feltétele:
Ha az f (x) az x0 pont valamely környezetében mindenütt differenciálható és a differenciálhányados függvénye
x0 -nál előjelet vált, akkor az x0 -ban az f (x) függvénynek szigorú helyi szélső értéke van; mégpedig maximum,
ha f′(x) előtte pozitív, utána negatív; minimum, ha f′(x) előtte negatív, utána pozitív.
Szélsőérték meghatározása magasabb rendű deriváltakkal:
Tétel:
Ha az x0 pontban az első 0-tól különböző differenciálhányados páros rendű, akkor a függvénynek szélsőértéke
van az x0 helyen, mégpedig ha a kérdéses differenciálhányados pozitív, akkor minimuma van, ha negatív, akkor
maximuma van. Ha az első nullától különböző differenciálhányados páratlan rendű és e rendszám nagyobb 1-
nél, akkor ha ez a differenciálhányados pozitív, a függvény x0 valamely környezetében növekedő, ha negatív,
akkor csökkenő.
Példa:
Hol van szélsőértéke az függvénynek?
Megoldás:
Ott lehet a függvénynek szélsőértéke, ahol az első derivált eltűnik, azaz f′(x) = 0 .
A differenciálszámítás alkalmazásai
154 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ezzel még csak azt kaptuk meg, hogy hol lehet szélsőértéke a függvénynek. Ezután megvizsgáljuk, hogy a
kapott helyen előjelet vált-e a derivált függvény.
A vizsgálathoz készítsünk előjel-táblázatot!
f ' (x) - 0 +
f (x) ↘ lokális minimum ↗
Eldönthetjük a szélsőérték típusát a második derivált segítségével is:
1.3. Konvexitás, inflexiós hely
Konvexség és konkávság eldöntése differenciálhányadosokkal:
Tétel:
Ha az f (x) az ]a; b[ intervallumon kétszer differenciálható, akkor annak, hogy f (x) az ]a; b[ -on konvex
(konkáv) legyen, szükséges és elegendő feltétele, hogy f″(x)≥0 illetve f″(x)≤0 teljesüljön ]a; b[-ben. A szigorú
növekedés (szigorú csökkenés) szükséges és elegendő feltétele, hogy f″(x)>0 illetve f″(x)<0 legyen, de a
második derivált az ]a; b[ egyetlen részintervallumán sem lehet azonosan 0.
Inflexiós pont kritériumai deriváltakkal
Ha az f (x) az x0 pont valamely környezetében mindenütt kétszer differenciálható és x0 -ban inflexiós pontja van,
akkor a második differenciálhányados függvénye szükségképpen 0, azaz f″(x) = 0 .
Inflexiós pont magasabb rendű deriváltakkal:
Ha az első el nem tűnő differenciálhányados páratlan rendű az x0 pontban, akkor azf (x) -nek az x0 -ban inflexiós
pontja van.
...
1.4. Függvényvizsgálat
A függvénydiszkusszió általános sémája
1. Meghatározzuk a függvény értelmezési tartományát, a szakadási pontokat, folytonossági intervallumokat,
zérushelyeket, jeltartási intervallumokat, a görbe szimmetriatengelyeit és pontjait (paritás).
2. Meghatározuk az első deriválttal a monotonitási intervallumokat, a szélsőérték helyeit és értékeit.
3. Meghatározzuk a második deriválttal a függvénygörbe konvex és konkáv részeit, inflexiós pontjait.
A differenciálszámítás alkalmazásai
155 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
4. Meghatározzuk a függvény határértékeit a - és + végtelenben és a szakadási pontokban.
5. Megrajzoljuk a függvény görbéjét, ha lehet, és meghatározzuk az értékkészletet.
1.5. Példák függvényvizsgálatra
Végezze el az függvény teljes vizsgálatát!
HAGYOMÁNYOS MEGOLDÁS:
Értelmezési tartomány meghatározása: Df: x ∈ ℝ
szimmetria tulajdonságok, periodicitás:
nem periodikus
zérushely: f (x) = 0
szélsőérték, monotonitási szakaszok: A függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja eltűnik.
x < 5 x = 5 5 < x < 7 x = 7 7 < x
f ' (x) - 0 + 0 -
f (x) ↘ lok. min. ↗ lok. max. ↘
Azaz a függvény a ]-∞;5[ intervallumban monoton nő, az [5;7] intervallumban monoton csökken, a [7;∞[
intervallumban monoton nő. Az x = 5 helyen lokális maximuma van, ennek értéke f (5) = 0 , mert ez éppen a
zérushelye is. A z x =7 helyen lokális minimuma van, ennek értéke
inflexiós pont, görbület ( konvexitás)
A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol a második differenciálhányados eltűnik.
A differenciálszámítás alkalmazásai
156 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
f " (x) + 0 - 0 +
f (x) ∪ infl. pont ∩ infl. pont ∪
Azaz az f (x) függvény a intervallumban konvex, a intervallumban konkáv,
intervallumban ismét konvex.
határértékek vizsgálata:
függvénygörbe megrajzolása (kiemelve a határértékek):
függvény görbe megrajzolása az inflexiós hely és szélsőérték környékének kiemelésével:
A differenciálszámítás alkalmazásai
157 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Értékkészlet meghatározása:
MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOKKAL:
[ > restart; with(plots):
[ >
[ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x);
[ > derivaltf := diff(f(x), x);
[ > implify(derivalsimplify(derivaltf)tf);
[ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x);
[ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = 0 .. 10, color = blue); rajzderivaltf;
A differenciálszámítás alkalmazásai
158 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(signum(derivaltf(x)), x = 0 .. 10, title = A derivált elöjele, color = green);
A derivált függvény az x=5-nél negatívról pozitívra váltja az előjelét, így lokális minimuma van, míg x=7-nél
pozitívról, negatívra vált, tehát lokális maximuma van. A szélsőértékek nagysága:
[ > m := f(5)
[ > M := f(7)
[ > derivalt2 := diff(derivaltf, x);
[ > simplify(derivalt2);
[ >
[ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x);
[ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = 0 .. 10, color = blue); rajzderivalt2;
A differenciálszámítás alkalmazásai
159 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(signum(derivalt2(x)), x = 0 .. 10, title = A második derivált előjele, color = green);
A második derivált a zérushelyeknél előjelet vált, a -on pozitív előjelű, így ott a függvény konvex, a
-on negatív előjelű, így ott konkáv, a -on pedig ismét konvex a függvény.
[ >
[ >
[ > plot(f(x), x = -4 .. 10, title = A függvény grafikonja, color = red);
A differenciálszámítás alkalmazásai
160 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(f(x), x = -4 .. 10, 0 .. 0.1e-1, title = A függvény grafikonja, color = red);
Értékkészlet meghatározása:
Végezze el az függvény teljes vizsgálatát!
Megoldás:
Értelmezési tartomány: x≠0 ⇒ Df: x ∈ ℝ ∖ {0}
Nem periodikus, azaz nincs olyan p valós szám, amelyre f (x) = f (x + p) lenne.
Paritás:
A differenciálszámítás alkalmazásai
161 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Zérushely:
Szélsőérték és monotonitás:
A függvénynek ott lehet szélsõ értéke, ahol f '(x) = 0 ( szükséges feltétel!)
A függvény egy szorzatfüggvény, amelynek az egyik tényezője összetett függvény:
Elegendő a feltétel, ha a derivált e helyen előjelet vált:
x < - 1 x = -1 - 1 < x < 0 x = 0 0 < x
f ' (x) + 0 - nincs értelmezve! +
f (x) ↗ lok. max. ↘ nincs értelmezve! ↗
Konvexitás és inflexiós pont:
A függvénynek ott lehet inflexiós pontja, ahol f "(x) = 0
Az első deriváltat tovább deriválva ( szorzat, egyik tényező összetett függvény):
Látjuk, hogy a második derivált sehol sem lesz 0, tehát nincs inflexiós pontja! Elõjel vizsgálatot azonban
végezni kell:
x < 0 x = 0 0 < x
f " (x) - nincs értelmezve! +
f (x) ∩ nincs értelmezve! ∪
Tehát a negatív számok halmazán konkáv, a pozitív számok halmazán konvex a függvény.
Határértékek:
(dominál az x fgv)
A +∞-ben hasonlóan +∞ ⋅ 1 = ∞. Kihasználtuk, hogy
Mi a helyzet a 0 környékén? (zűrös hely)
A differenciálszámítás alkalmazásai
162 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Grafikon:
Aszimptota : y=x egyenes
Értékkészlet:
MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOK HASZNÁLATÁVAL:
[ >
[ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x)
[ > derivaltf := diff(f(x), x)
[ > simplify(derivaltf)
[ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x)
[ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = -3 .. 2, color = blue); rajzderivaltf
A differenciálszámítás alkalmazásai
163 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(signum(derivaltf(x)), x = -5 .. 5, title = A*derivált*elöjele, color = green)
A derivált függvény az x=-1-nél pozitívról negatívra váltja az elõjelét, így lokális maximuma van, míg x=0-nél
negatívról, pozitívra vált, de itt nincs szélsõérték, mert sem a függvény, sem a derivált nincs értelmezve. A
szélsõ értékek nagysága:
[ > M := f(-1)
[ > derivalt2 := diff(derivaltf, x)
[ > simplify(derivalt2)
[ > md := x → derivalt2(x)
[ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x)
[ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = -2 .. 2, color = blue); rajzderivalt2
A differenciálszámítás alkalmazásai
164 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(signum(derivalt2(x)), x = -5 .. 5, title = A*második*derivált*elöjele, color = green)
A második derivált a 0-nál előjelet vált: a ]-∞;0[ -on konkáv a ]0;∞[-on konvex a függvény.
[ >
[ >
[ > limit(f(x), x = 0, right)
[ > limit(f(x), x = 0, left)
A féloldali határértékeket más szintaxisban kell beírni!!!
[ > plot(f(x), x = -4 .. 10, title = A*függvény*grafikonja, color = red)
A differenciálszámítás alkalmazásai
165 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Értékkészlet meghatározása:
Végezze el a következő függvény vizsgálatát!
HAGYOMÁNYOS MEGOLDÁS:
Df : x ∈ ℝ
paritás:
nem periodikus
zérushely:
szélsőérték, monotonitás:
A szélső érték létezésének szükséges feltétele, hogy az első derivált eltűnjön; elegendő is, ha azon a helyen a
derivált előjelet vált:
x < 0 x =0 0 < x < 9 x = 9 9 < x
f ' (x) + 0 + 0 -
f (x) ↗ nincs szélső érték ↗ nincs értelmezve! ↘
inflexiós pont, konvexitás:
A differenciálszámítás alkalmazásai
166 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az inflexiós pont létezésének szükséges feltétele, hogy a második derivált eltűnjön, elegendő is, ha az adott
helyen a második derivált előjelet is vált.
előjel táblázat:
x < 0 x =0 0 < x < 6 x = 6 6 < x
f " (x) - 0 + 0 -
f (x) ∩ inflexiós pont ∪ inflexiós pont ∩
határértékek vizsgálata:
grafikon megrajzolása:
Értékkészlet :
MEGOLDÁS MAPLE PARANCSOKKAL:
[ > f := x → 12*x^3-x^4
[ > fgv_zérushelye := solve(f(x) = 0, x)
[ > derivaltf := diff(f(x), x)
[ > simplify(derivaltf)
[ > derivaltf_zérushelye := solve(derivaltf(x) = 0, x)
A differenciálszámítás alkalmazásai
167 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > rajzderivaltf := plot(derivaltf(x), x = -3 .. 10, color = blue); rajzderivaltf
[ > plot(signum(derivaltf(x)), x = -3 .. 12, title = A*derivált*elöjele, color = green)
A derivált függvény az x=0-nál nem vált elõjelet, így itt nincs szélsõ értéke. Az x=9 helyen pozitíról negatíra
vált, így ott a függvénynek maximuma van. A szélsõ érték nagysága:
[ > M := f(9)
[ > derivalt2 := diff(derivaltf, x)
[ > simplify(derivalt2)
[ > md := x →derivalt2(x)
[ > derivalt2_zérushelye := solve(md(x) = 0, x)
[ > rajzderivalt2 := plot(derivalt2(x), x = -2 .. 10, color = blue); rajzderivalt2
A differenciálszámítás alkalmazásai
168 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(signum(derivalt2(x)), x = -2 .. 10, title = A*második*derivált*elöjele, color = green)
A második derivált a zérushelyeknél elõjelet vált, a "]-∞ ; 0[" -on negatív elõjelû, így ott a függvény konkáv, a
"]0;6[" -on pozitív elõjelû, így ott konvex, a "]6 ; ∞[" -on pedig ismét konkáv a függvény.
[ >
[ >
[ > plot(f(x), x = -4 .. 15, title = A*függvény*grafikonja, color = red)
A differenciálszámítás alkalmazásai
169 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A helyi maximum abszolút maximum is.
Értékkészlet meghatározása:
1.6. Érintő
Az érintő egyenes egyenletét az y - y0 = m ⋅ (x - x0) iránytényezős egyenlet felhasználásával írjuk fel, ahol (x0,
y0) jelöli azt a pontot, amelyben kíváncsiak vagyunk az érintő egyenletére, az m meredekség a
differenciálhányados értéke az x0 pontban. Így az érintő általános egyenlete átrendezés után: y = f' (x0)⋅ (x - x0)
+ f (x0)
Példa:
A differenciálszámítás alkalmazásai
170 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Írja fel az függvény grafikonjához húzható érintő egyenletét az y tengellyel való metszéspontjában!
Megoldás:
Először meghatározzuk, hogy hol metszi a függvény az y tengelyt. Ez ott van, ahol x=0. Behelyettesítés után azt
kapjuk, hogy y= -1/2 . Tehát a P0(0; -1/2) ponton átmenő érintő egyenesét kell felírnunk. Ehhez az egyenes
iránytényezős egyenletét használjuk, mivel az iránytényezőt, vagy meredekséget a függvény
differenciálhányadosának értéke adja meg az adott pontban. A meredekség meghatározása:
Az egyenes iránytényezős alakja: y - y0 = m ⋅ (x - x0). Behelyettesítés után az érintő egyenlete:
Példa:
Mekkora szögben metszi az
Megoldás:
Az x tengelyt a függvény zérushelyén metszi, ennek meghatározása: . A metszés
szögét a differenciálhányados adja meg az adott helyen.
Meghatározása:
...
1.7. Közelítés
A differenciálszámítás alkalmazásai
171 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
TAYLOR-POLINOM GYAKORLÓ PANEL ANIMÁCIÓVAL:
Példa:
Számítsa ki és közelítő értékét célszerű helyen felvett érintő egyenletének felhasználásával!
Megoldás:
A következő közelítést alkalmazzuk: célszerű helyen az érintő meredeksége megegyezik a szelő
meredekségével, azaz
A függvény jelen esetben a négyzetgyök függvény lesz, a célszerű hely pedig a 4. Így:
Példa:
A differenciálszámítás alkalmazásai
172 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Írja fel az f (x) = ln (2 x + 1) függvény Taylor-polinomját a 0 hely környékén a harmadfokú tagig! Segítségével
becsülje meg ln3 értékét!
Megoldás:
A harmadfokú Taylor-polinom:
Alkalmazzuk a feladatra:
ln3 becsléséhez x=1 helyettesítést alkalmazzuk:
1.8. Gazdasági feladatok megoldása
Ismeretes, hogy egy cég valamely termékének B(x) árbevételi, illetve K(x) költségfüggvénye, a következő: B(x)
=200x � 0,1 2 x , illetve K(x) = 10x + 6000, ahol x (> 0) a termék darabszámban kifejezett mennyisége. a) Írja
fel a határköltség függvényt, a profitfüggvényt és a határprofit függvényt! b) Határozza meg a termék azon
darabszámát, amelynek értékesítése esetén a cég nyeresége maximális lesz. Számítsa ki a maximális profit
értékét is! c) A fedezeti pont a nulla veszteséghez és profithoz tartozik. Határozza meg, hogy fedezeti pont
milyen termelési mennyiséghez tartozik!
[ > K : = x →10⋅ x + 6000
[ > határköltség := x →diff(K(x), x)
[ > határköltség(x)
[ > B: =x →200*x-0.1*x^2
[ > profit : =x →B(x)-K(x)
[ > profit(x)
[ > határprofit: = x → diff(profit(x), x)
[ > határprofit(x)
[ > határprofit_zérushelye := solve(határprofit(x) = 0, x)
[ > rajzhatárprofit := plot(határprofit(x), x = 0 .. 1500, color = blue); rajzhatárprofit
A differenciálszámítás alkalmazásai
173 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > plot(signum(határprofit(x)), x = 0 .. 1800, title = `A derivált elöjele`, color = green);
A derivált az x=950-nél előjelet vált, pozitívról negatívra, tehát a profitfüggvénynek maximuma van.
[ > P:= profit(950)
[ > fedezetipont := solve(profit(x) = 0, x)
Feladat:
Egy termék árbevételének alakulását (ezer Ft-ban) a függvény adja meg, ahol x az eladott
termékek darabszámát jelenti.
a) Milyen értékeket vehet fel az eladott termék darabszáma?
b) Milyen x érték mellett lesz maximális az árbevétel?
A differenciálszámítás alkalmazásai
174 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
c) Számítsa ki az árbevétel-függvény pontelaszticitását x = 1000; -ben, és a kapott eredményt értékelje!
[ >
[ > grafikon := plot(B(x), x = 0 .. 3000); grafikon
[ > deriváltB : = x → diff(B(x), x); derivált = deriváltB(x)
[ > derivált_zérushelyei := solve(deriváltB(x) = 0, x)
[ > rajzderivált := plot(deriváltB(x), x = 0 .. 4000, color = blue); rajzderivált
[ > maximum_hely := derivált_zérushelyei[2]
A derivált előjelet vált 1600-nál, pozitívról negatívra, tehát B(x)-nek helyi maximuma van x=1600-ban.
[ > plot(signum(deriváltB(x)), x = 0 .. 1800, title = `A derivált elöjele`, color = green)
A differenciálszámítás alkalmazásai
175 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > maximum_értéke := B(maximum_hely); evalf(%)
A bevétel maximális értéke 25600000 sqrt(2)
[ > elaszticitás := unapply(x*deriváltB(x)/B(x), x)
`Az árbevétel elaszticitása` = elaszticitás(x)
[ > elaszticitás_értéke := elaszticitás(1000)
[ > fuggoleges := plot([[1000, 0], [1000, 1.5]], linestyle = [dash], color = blue);
[ > rajz_elaszticitás := plot([elaszticitás(x), elaszticitás_értéke], x = 0 .. 1700, color = [green, red], linestyle =
[solid, longdash]); display([fuggoleges, rajz_elaszticitás]);
Adott az f(x)=e-0,01x+1 függvény, ahol x egy termék egységárát jelenti forintban, f(x) pedig a termék iránti
keresletet darabban. a) Milyen egységár mellett lesz a bevétel maximális,és mekkora az ehhez a bevételhez
tartozó kereslet és árbevétel? b)Állapítsa meg az f (x)függvény x0=50 pontbeli elaszticitását! Fogalmazza meg,
mit jelent a kapott eredmény!
[ > f : = x→ x ⋅ f (x)
[ > bevétel(x)
[ > grafikon := plot(bevétel(x), x = 0 .. 700); grafikon
A differenciálszámítás alkalmazásai
176 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > bevételderivált : = x→diff(bevétel(x), x)
[ > bevételderivált(x);
[ > bevételderivált_zérushelye := solve(bevételderivált(x) = 0, x);
[ > rajzderivált := plot(bevételderivált(x), x = 0 .. 700, color = blue); rajzderivált;
A derivált előjelet vált 100-nál, pozitívról negatívra, tehát a bevételnek helyi maximuma van x=100-ban.
[ > plot(signum(bevételderivált(x)), x = 0 .. 700, title = A derivált elöjele, color = green);
A differenciálszámítás alkalmazásai
177 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > B : = bevétel(100)
[ > db := f(100);
[ >
[ > elaszticitás_értéke := elaszticitás(50)
2. Megoldásra javasolt feladatok
1. Egy bizonyos termék (kg-ban kifejezett) kereslete és annak x (Ft/kg ) egységára között az f(x) = 21 000 -
0,7⋅ x2, (0≤x≤173) összefüggés áll fenn. (f(x ) tehát a keresleti függvény, B(x)=x⋅ f(x ) az árbevétel függvénye.)
Írja fel a bevételi függvényt és a határbevételi függvényt! Milyen egységár mellett maximális az árbevétel és
mekkora az ehhez tartozó kereslet? Mekkora a maximális árbevétel? Állapítsa meg az f(x) függvény
elaszticitását (rugalmasságát) az x0 = 50 helyen és értelmezze a kapott eredmény jelentését!
2. Végezze el a következő függvények vizsgálatát!
f (x)= 3x3-6x2
3. Mi az görbéhez az x = -1 abszcisszájú pontjában húzott érintő egyenlete?
4. Diszkutáljuk a következő függvényt monotonitás szempontjából! Van-e szélső értéke? Ha igen, hol?
5. Írja fel az függvény Taylor-polinomját a 0 hely környékén az ötödfokú tagig! Segítségével
becsülje meg értékét!
...
178 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7. fejezet - Integrálszámítás
forrás: http://motorinfo.hu/images/11446-itt_van_bmw_r_1200_gs/42-11446-itt_van_bmw_r_1200_gs.jpg
1. Definíciók, az integrálás és deriválás kapcsolata
Definíció:
Egy F(x) függvényt az f(x) függvény primitív függvényének nevezünk valamely véges, vagy végtelen
intervallumon, ha ennek az intervallumnak minden x pontjában F ' (x) = f (x) dx .
Az f (x) függvény y = F(x) primitív függvényének görbéjét az f (x) függvény integrálgörbéjének nevezzük.
Tétel:
Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek, tehát ha van primitív függvény, akkor
végtelenül sok van. A primitív függvény konstans erejéig egyértelműen meghatározott.
Elemi függvények primitív függvényei:
Integrálszámítás
179 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Integrálási szabályok:
Az integrálási szabályok következnek a deriválási szabályokból.
Példa:
Végezze el a következő integrálást!
Megoldás:
Maple paranccsal:
[ > int(1+sh(2*x-1), x)
Végezze el a következő integrálást!
Megoldás:
Maple paranccsal:
[ > int(((2*x-1)*(1/3))^2, x)
Határozza meg a következő integrált!
Integrálszámítás
180 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Megoldás:
Határozza meg a következő integrált!
Természetesen Maple paranccsal szintén minden feladat megoldható, ezt a továbbiakban nem részletezzük.
Határozza meg az függvény primitív függvényét!
Végezze el a következő integrálást!
Integrálja a következő függvényeket!
(alfás típus)
2. Integrálási típusok
Az összetett függvény deriválási szabályai alapján megfogalmazhatunk néhány gyakran előforduló integrálási
típust.
Helyettesítéssel való primitív függvény meghatározása:
Integrálszámítás
181 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha az f (x) függvénynek F(x) függvény a primitív függvénye, akkor bármely olyan differenciálható ϕ(t)
függvény esetén, amelyre f(ϕ(t)) értelmezve van egy intervallumon, az f(ϕ(t))⋅ ϕ'(t) függvénynek F(ϕ(t))
primitív függvénye, azaz
Ez a tétel az alapja a fenti integrálási típusoknak is.
Példa:
Határozza meg a következő integrált!
Megoldás:
Vezessük be az helyettesítést. Ekkor azaz . Így az alábbiakra jutunk:
Végezze el a következő integrálást!
Megoldás:
Vezessük be az helyettesítést. Ekkor . Így az alábbiakra jutunk:
Alkalmas helyettesítéssel határozza meg az integrál kifejezés értékét!
Megoldás:
Vezessük be az helyettesítést. Ekkor . Átalakítva az
integrandust:
Alkalmas helyettesítéssel határozza meg az integrál kifejezés értékét!
Megoldás:
Legyen helyettesítés. Ekkor , átalakítva az integrandusban álló kifejezést:
Parciális integrálással folytatva:
választással:
Integrálszámítás
182 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
3. Maple gyakorló-ellenőrző panel az integráláshoz
4. Határozott integrál
Alapfogalmak:
Az I = [a, b] intervallum n-részes beosztásán egy olyan n+1 elemű Bn = (x0, x1, x2, ... , xn) pontrendszert értünk,
amelyre x0 = a , xn = b , és xi-1< xi (i=1,2,...,n) teljesül. Az xi pontokat osztáspontoknak, az Ii = [xi-1, xi]
intervallumot i-edik részintervallumnak nevezzük.
Az f (x) függvényről tegyük fel, hogy korlátos az [a; b]-on, így bármely részintervallumán létezik a
függvényértékeinek infimuma és suprémuma is. Ezeket így jelöljük: és . Ezek segítségével
képezzük az függvénynek az I=[a; b] intervallum Bn = (x0, x1, x1, ... , xn) beosztásához tartozó alsó ill. felső
integrálközelítő összegét:
A Maple gyakorló panel:
Integrálszámítás
183 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Riemann-féle közelítő összeg: alakú összeg, ahol ξi∈ Ii .
A beosztás finomításán azt értjük, hogy újabb osztáspontokat veszünk hozzá.
Tételek:
1. A beosztás finomításakor az alsó összegek nem csökkennek, a felső összegek nem növekednek.
2. Bármely beosztáshoz tartozó alsó összeg nem-nagyobb bármely másik beosztáshoz tartozó felső összegnél.
Darboux-féle alsó ill. felső integrálon értjük az alsó összegek felső határát ill. a felső összegek alsó határát.
Tétel:
A Darboux-féle alsó integrál nem nagyobb a Darboux-féle felső integrálnál; és ha m≤f (x)≔M, akkor
Riemann-integrál- definíciója:
A korlátos f (x) függvényt az [a;b] véges intervallumon Riemann-szerint integrálhatónak nevezzük, ha a
Darboux-féle alsóintegrálja egyenlő a Darboux-féle felső integráljával, és ezt a közös értéket nevezzük az f (x)
függvény [a;b] véges intervallumon vett Riemann-integráljának. Jelölés:
RIEMANN-KÖZELÍTő ÖSSZEGEK ANIMÁCIÓVAL
Integrálhatósági kritériumok:
Definíció: Egy f (x) függvény B beosztáshoz tartozó oszcillációs összegén értjük a következő összeget:
A definícióból következik, hogy bármely beosztás esetén az oszcillációs összeg nemnegatív.
Oszcillációs-kritérium:
Az [a;b] véges intervallumon korlátos f (x) függvény akkor és csak akkor Riemann-integrálható, ha bármely
pozitív ε-hoz megadható olyan B=B(ε) , hogy o(f, B) < ε .
Integrálszámítás
184 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tételek:
1. Ha az f(x) függvény korlátos és monoton az [a;b] véges intervallumon, akkor Riemann-szerint integrálható.
2. Ha az f(x) függvény folytonos a véges [a;b] intervallumon, akkor integrálható.
3. Ha az f(x) függvény korlátos az [a;b] véges intervallumon és annak bármely részintervallumán integrálható,
akkor [a;b] -on is integrálható.
Szükséges és elegendő kritérium:
Ha az f (x) függvény korlátos az [a;b] véges intervallumon, akkor ahhoz, hogy integrálható legyen, szükséges és
elegendő, hogy a Riemann-féle közelítő összegek konvergáljanak a közbülső helyek bármely választása esetén,
ha a beosztások finomsága tart nullához.
A határozott integrál tulajdonságai:
Ha az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon, akkor ezen intervallum bármely
részintervallumán is integrálható.
Ha az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon és a < c and c < b , akkor
, azaz integrálási tartomány szerint additív.
Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon, akkor összegük, különbségük,
szorzatuk is integrálható, továbbá ha m ≤g(x) , m ≠ 0 akkor is integrálható.
Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon és g(x) jeltartó és m ≤ |g(x)| , m ≠ 0
akkor is integrálható [a;b] -on.
Ha a korlátos f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon, akkor | f (x) | is integrálható és
Az integrálszámítás első középérték tétele:
Ha az f (x) és g (x) függvények integrálhatóak az [a; b] véges intervallumon és g(x) jeltartó is ezen, akkor
létezik olyan μ valós szám, amelyre
Következmény:
Ha az f (x) folytonos az [a; b] véges intervallumon, akkor van olyan ξ az [a;b] -ban, amelyre
Az integrálfüggvény
Tegyük fel, hogy az f (x) függvény integrálható az [a; b] véges intervallumon. Mint láttuk, akkor ezen
intervallum bármely részintervallumán is integrálható f (x) , és így bármely x∈ [a;b] esetén létezik az
integrál is. Jelöljük az integrál értékét mint a felső határ függvényét F(x)-szel, azaz legyen , és ezt a
függvényt az f(x) függvény integrálfüggvényének nevezzük.
Integrálszámítás
185 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tétel:
Legyen az f(x) korlátos függvény integrálható az [a;b] véges intervallumon és legyen . Az F(x)
függvény az [a; b] minden belső pontjában folytonos ( a végpontokban jobbról illetve balról), és minden olyan x
pontjában, ahol f(x) folytonos, az F(x) függvény differenciálható és
5. Megoldásra javasolt feladatok
1. Mennyi a kifejezés értéke?
2. Végezze el a következő integrálásokat!
3. Határozza meg a következő kifejezések értékét!
Integrálszámítás
186 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
187 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
8. fejezet - Az integrálszámítás alkalmazásai
forrás: https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSTmvykAmRKfniLF2zvQ1AKMguwvZP0EwcJ3xorvvSIMBsC31f6jg
1. Az integrálás alkalmazásai
A fejezetben az integrálszámítás azon alkalmazásaira mutatunk példát, amelyeket a leggyakrabban használunk.
1.1. Newton-Leibniz-formula
Newton-Leibniz formula tétele:
Ha az f (x) függvény korlátos és folytonos az ]a;b[ nyitott intervallumon, a Φ(x) függvény az f (x) függvénynek
ezen az intervallumon primitív függvénye, továbbá Φ(x) a zárt [a;b] intervallumon folytonos, akkor
Példa:
Határozza meg a kifejezés értékét!
Megoldás:
Maple paranccsal:
[ > int(6-x^3, x = -1 .. 4)
Definíció:
Az [a;b] intervallumon értelmezett, nemnegatív, integrálható f (x) függvény görbéje alatti területet (pontosabban
az x �tengely, az x=a és x=b egyenesek, valamint az y = f (x) görbe által közrezárt területet) az f (x)
függvénynek ezen az intervallumon vett integráljával definiáljuk.
Függvénygörbék által közrezárt területet, a görbék alatti területek különbségeként tudjuk meghatározni.
Példa:
Mennyi az a paraméter értéke, ha
Az integrálszámítás alkalmazásai
188 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Megoldás:
Maple paranccsal:
[ >
[ >
...
1.2. Függvénygörbék közti terület
Függvénygörbék által közrezárt területet, a görbék alatti területek különbségeként tudjuk meghatározni.
Lépései:
• metszéspontok meghatározása-ezek lesznek az integrálási tartomány végpontjai
a függvények ábrázolásával vagy más módon megállapítjuk, hogy melyik függvény van a másik felett
a két függvény különbségét a meghatározott tartományon integráljuk
("felsőből az alsó")
Példa:
Határozza meg az ábrán a színezett terület nagyságát!
Az integrálszámítás alkalmazásai
189 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Megoldás:
Megkeressük az alsó integrálási határt, ami jelen esetben a függvény zérushelye.
A meghatározandó terület nagyságát (a függvénygörbe alatti területet) integrálással határozzuk meg.
Maple paranccsal:
[ > solve(sqrt(x)-1 = 0, x)
[ > int(sqrt(x)-1, x = 1 .. 4)
Példa:
Határozza meg az ábrán a színezett terület nagyságát!
Megoldás:
A kérdéses területet a függvénygörbe alatti terület határozza meg, amely a tanultak szerint a függvény határozott
integráljával egyezik meg az adott intervallumon. Meghatározzuk az integrálási határokat, melyek éppen a
függvény zérushelyeivel egyenlők a feladatban. A zérushelyek:
Ezek után a terület meghatározása:
Maple paranccsal:
[ > solve(-x^2+2 = 0, x)
[ > int(-x^2+2, x = -sqrt(2) .. sqrt(2))
Példa:
Az integrálszámítás alkalmazásai
190 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Számítsa ki az ábrán színessel jelölt terület nagyságát!
Megoldás:
Az első negyed beli területet határozzuk meg, majd kétszerezzük, mert a III. negyed beli terület ugyanakkora.
Az y=x egyenes az I. negyedben az x tengellyel háromszöget zár be, melynek területe:
Tehát a kérdezett terület nagysága fél terület egység.
Maple paranccsal:
[ > solve(x^3 = x, x)
[ > int(x-x^3, x = 0 .. 1)
Példa:
Mennyi az ábrán a satírozott terület?
Megoldás:
Célszerű az integrálási tartományt több részre bontanunk, így az egyes részeken tudjuk alkalmazni a megoldási
útmutatót.
Az integrálszámítás alkalmazásai
191 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tehát a kérdéses terület 3 területegység.
Maple paranccsal:
[ > solve(4*x = (1/2)*x, x)
[ > solve(4*x = 4/x^2, x)
[ > solve(4/x^2 = (1/2)*x, x)
[ >
1.3. Függvény átlaga
Definíció: Függvény átlaga vagy integrálközép:
Példa:
Mennyi az függvény átlaga az 3≤x≤8 intervallumban?
Megoldás:
Példa:
Melyik kifejezés számértéke a nagyobb? vagy a f (x) = 2 x + 3 függvény átlaga az [1;4]
intervallumon?
Megoldás:
A kérdéses függvény átlagának kiszámítása:
Tehát az első kifejezés értéke a nagyobb.
Maple paranccsal:
Az integrálszámítás alkalmazásai
192 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ >
[ >
Gyakorló panel a függvény átlagának meghatározásához:
1.4. Görbe ívhossza
Definíció:
Példa:
Határozzuk meg az grafikonjának ívhosszát az 0≤x≤2 intervallumban.
Megoldás:
Maple paranccsal:
[ >
[ >
Az integrálszámítás alkalmazásai
193 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ >
Példa:
Határozzuk meg az f (x) = x2 grafikonjának ívhosszát az 0≤x≤1 intervallumban.
Megoldás:
Mivel az integrandusban szereplő függvénynek nincs primitív függvénye, a helyettesítéses integrálás pedig
nehéz, közelítőleg határozzuk meg. Felírjuk a hatványsorát a 0 hely környezetében, és azzal helyettesítjük a
függvényt.
Maple parancsokkal:
[ > f : =x2
[ >
[ >
...
1.5. Forgástest térfogata, palástjának felszíne
Definíció:
Az integrálszámítás alkalmazásai
194 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha az f (x) függvényt megforgatjuk az x-tengely körül az [a;b] intervallumon, akkor az így keletkező forgástest
térfogatát így definiáljuk:
Forgástest palástjának felszíne:
Példa:
Határozza meg a [4;9] intervallumon az f (x) függvény x tengely körüli megforgatással keletkező
test térfogatát, ha
Megoldás:
Maple paranccsal:
[ >
[ >
[ >
Példa:
Határozzuk meg az grafikonja (parabola) x tengely körüli megforgatásával keletkező forgási paraboloid
felszínét az 0≤x≤2 intervallumban.
Megoldás:
Az integrálszámítás alkalmazásai
195 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Gyakorló panel forgástest térfogatának meghatározásához:
1.6. Súlypont
A súlypont meghatározása:
Homogén görbeív elsőrendű nyomatéka x- illetve az y-tengelyre:
Súlypont: , ahol
Homogén síkrész elsőrendű nyomatéka az x- ill. y-tengelyre:
Az integrálszámítás alkalmazásai
196 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Súlypont:
Példa:
Legyen f (x) = x2 ; 0≤x≤3, keressük az A területű síkidom súlypontjának koordinátáit!
Megoldás:
, vagyis
2. Megoldásra javasolt feladatok
1. Állapítsa meg, mekkora területet zár be egymással a következő két függvény vonala! A szükséges adatokat
számítással határozza meg!
a) f (x) = -x2 + 4 x - 3 és a g(x) = 2 x - 3
Az integrálszámítás alkalmazásai
197 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
b) f (x) = -(x - 2)2 + 4 és a
c) f (x) = -2 x2 - 1 és a g(x) = 4 x - 5
d) és a g (x) = x2
e) és a g(x) = x
f) , az x = 0 és a g(x) = x - 1
2. Mennyi az f (x) = 3 x2 - 4 x + 1 függvény átlaga az [1;5] intervallumon?
3 Mennyi az függvény átlaga az [0;16] intervallumon?
4. Melyik kifejezés számértéke a nagyobb?
vagy az f (x) = 2 x + 3 függvény átlaga az intervallumon?
5. Számítsa ki az függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező test térfogatát a [0;9]
intervallumban!
6. Számítsa ki az f(x) = 2 x + 1 függvény x tengely körüli megforgatásával keletkező test térfogatát a [-1;3]
intervallumban!
...
198 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
9. fejezet - Kétváltozós függvények I.
Javier Barrallo: Sliceform
1. Bevezetés
A minket körülvevő világot tanulmányozva észrevehetjük, hogy a mennyiségek általában több más
mennyiségtől függnek. Ezeket a kapcsolatokat többváltozós függvényekkel írhatjuk le. A többváltozós
függvények tanulmányozása, analízise fontos a közgazdasági alkalmazásokban is. Erre nézzünk két konkrét
példást: "R. Frisch és T. Haavelmo a tej keresletére vonatkozó tanulmányukban az alábbi összefüggést adták:
(A pozitív állandó) A képletben x a tej fogyasztása, p a tej relatív ára és r egy család jövedelme. Ez az
egyenlőség x-et p és r függvényeként adja meg. Vegyük észre, hogy a tej fogyasztása nő, ha az r jövedelem nő,
és csökken, ha a tej ára növekszik � mindez elfogadhatónak tûnik." Knut Sydsaeter Peter I. Hammond
Matematika közgazdászoknak 462. oldal
Kettőnél több változós függvényekkel is találkozhatunk a közgazdasági gyakorlatban: "R. Stone az alábbi
becslést adta az angliai sörkeresletre:
Itt a sörkereslet (x) négy változó függvénye: x1 (a fogyasztó jövedelme), x2 (a sör ára), x3 (egy a többi jószágra
vonatkozó általános árindex), és x4 (a sör alkoholtartalma)." Knut Sydsaeter Peter I. Hammond Matematika
közgazdászoknak 463. oldal További gazdasági alkalmazásokat találhatunk az alábbi könyvekben: Simonovits
András Mikroökonómia, Sydsaeter Hammond Matematika közgazdászoknak
2. Kétváltozós függvények definíciója, szemléltetése
A függvény leképezés két halamaz elemei között. Az eddig vizsgált, egyváltozós függvények a valós számok
részhalmazai között létesítettek leképezést. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet is a valós számok
részhalmaza volt. A két és többváltozós függvényeket az egyváltozós függvényekhez hasonlóan definiáljuk. A
többváltozós függvények értelmezési tartománya most rendezett valós számpárok, számhármasok, szám n-esek
halmaza, értékkészlete pedig ugyanúgy, mint az egyváltozós esetban a valós számok egy részhalmaza. A
továbbiakban a kétváltozós függvényekkel foglalkozunk részletesen, esetleg utalást teszünk a többváltozós
esetekre.
D. Az f függvény kétváltozós, ha értelmezési tartománya D ( f ) része a kétdimenziós Euklideszi térnek ℜ2 -nek
és a függvény D ( f ) minden eleméhez egyetlen valós számot rendel, vagyis ℜ2-ből ℜ-be képez. A függvény
értékkészlete R ( f ) az egydimenziós Euklideszi tér részhalmaza.
Kétváltozós függvények I.
199 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tehát a kétváltozós függvényeknek két független változója van, ezeket x és y jelöli, az értelmezési tartomány az
xy-sík egy részhalmaza. A kétváltozós függvény jelölése: f (x, y). A kétváltozós függvényeket térbeli Descartes
koordináta-rendszerben ábrázolva a függvény azon térbeli P (x, y, z) pontok halmazával szemléltethető,
amelyek koordinátáira fennáll a z = f (x, y) összefüggés.
Egy és kétváltozós függvények jelölésének összehasonlítása:
Kétváltozós Egyváltozós
Felület Descartes - koordinátás ábrázolása a háromdimenziós koordináta-rendszerben:
[ > B : = textplot3d([2, 3, 1, "P0 (x, y)", 'font' = ["times", "roman", 12]], axes = normal, 'view' = [-5 .. 6, -5 .. 6, -
4 .. 7]);
[ > C : = textplot3d([2, 3, 5, "P (x, y, z)", 'font' = ["times", "roman", 12]], axes = normal, 'view' = [-5 .. 6, -5 .. 6,
-4 .. 7]);
[ > E : = pointplot3d([2, 3, 4], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20);
[ > F : = pointplot3d([2, 3, 0], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 15);
[ > H := implicitplot3d(z = 0, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, z = 0 .. 7, transparency = .9, color = magenta, style =
patchnogrid);
[ > A : = plot3d(-.1*x^2-.1*y^2+6.3, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, transparency = .9, color = grey, style = patchnogrid);
[ > display({A, B, C, E, F, H});
Kétváltozós függvények I.
200 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A felületeket különböző koordináta-rendszerekben szokás ábrázolni, mi minden felületet a térbeli derékszögû
Descartes koordináta-rendszerben ábrázolunk. Érdekességképpen nézzünk meg néhány felületet a Mapleben,
ezek ábrázolásakor használtunk gömbkoordinátákat, hengerkoordinátákat, paraméteres ábrázolást is. A képekre
kattintva a felületeket forgathatjuk, különböző irányból megszemlélhetjük. A megjelenő ábrázolás menüsor
lehetőségei között szerepel többek között a különböző koordináta-rendszerek választása, az ábrázolás stílusának
megváltoztatása, a felület közelítése, távolítása. A táblázat legalsó sorában felületek animációját láthatjuk. Ha a
kiválasztjuk az egyik felületet, megjelenik az animáció menü. A jelek magukért beszélnek. Az animáció
sebességét (FPS: után megjelenő szám) érdemes minél kisebbre, pl. 1-re választani, hogy jobban
megszemlélhessük a változást.
Sík z = 3 Descartes -
koordináta Gömb Gömbkoordináta Gömbkoordináta Hengerkoordináta
Kúp Hengerkoordináta Felület paraméteres
ábrázolása Möbiusz-szalag
Hengerkoordináta Descartes - koordináta
Kétváltozós függvények I.
201 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tórusz Tóruszkoordináta Gömbkoordináta Descartes - koordináta Animáció Descartes -
koordináta
Animáció
Gömbkoordináta Animáció
Gömbkoordináta Animáció
Hengerkoordináta Animáció
Gömbkoordináta
Hogyan tudjuk a felületeket még jobban szemléltetni? Elsőként a földrajzból ismerős, térképek ábrázolására is
használatos szintvonalas ábrázolás siet segítségünkre.
Szintvonalas térkép és magyarázata Forrás: http://nagysandor.eu/AsimovTeka/PhysHelp/fields.html
Az alábbi táblázatban két felületet ábrázoltunk. Az egyik az f(x, y) = x2 + y2 a másik a g (x, y) = sin (x) + 2 sin
(y) . Az első cellában láthatjuk a felületeket, 10 párhuzamos síkkal elmetszve. A síkok az xy síkkal
párhuzamosak, z értéke mindegyik síkon állandó, más szóval egy-egy síkon a pontok z koordinátája
megegyezik. (Az xy síkon levő pontok harmadik, z koordinátája mindig 0. Ezért az xy sík egyenlete z = 0.) A
táblázat második oszlopában elhagytuk a felület és a síkok ábrázolását és csak a metszésvonalak maradtak, de ez
még mindig térbeli ábra. A harmadik oszlopban látszik az úgynevezett szintvonalas ábrázolás. Itt a második ábra
metszésvonalait merőlegesen levetítettük az xy síkra.
[ > P := Array(1 .. 2, 1 .. 3):
[ > with(Student[MultivariateCalculus]):
[ > P1,1 := CrossSection(x^2+y^2, z = 0 .. 25, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, planes = 10)
[ > P1,3 := contourplot(x^2+y^2, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1)
Kétváltozós függvények I.
202 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > P1,2 := plot3d(x^2+y^2, x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, style = contour)
[ > P2,3 := contourplot(sin(x)+2*sin(y), x = -4*Pi .. 4*Pi, y = -3 .. 3)
[ > P2,2 := plot3d(sin(x)+2*sin(y), x = -4*Pi .. 4*Pi, y = -3 .. 3, style = contour)
[ > P2,1 := CrossSection(sin(x)+2*sin(y), z = -3 .. 3, x = -4*Pi .. 4*Pi, y = -3 .. 3, planes = 10)
[ > display(P)
...
A felületnek nemcsak az xy síkkal párhuzamos metszeteit kell vizsgálnunk ahhoz, hogy a felületet minél jobban
el tudjuk képzelni, hanem a zy és a zx síkokkal párhuzamos metszeteket is érdemes megnéznünk.
Az alábbi ábrán az f(x,y)=x2- y2 egyenletû nyeregfelület látható. Egy zy síkkal párhuzamos síkkal elmetszettük,
a sík egyenlete x = 3. A metszetgörbe egy maximumos parabola. Ha további zy-nal párhuzamos síkkal metsszük
a felületet szintén maximumos parabolákat kapunk, egymáshoz képest eltolva.
[ > CrossSection(x^2-y^2, x = 3, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, planes = 10, axes = normal);
Kétváltozós függvények I.
203 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Nézzük meg ugyanennek a felületnek egy xz síkkal párhuzamos metszetét, most y-t rögzítjük, legyen y = 2:
[ > CrossSection(x^2-y^2, y = 2, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, planes = 10, axes = normal);
Most minimumos parabolát kapunk.
A következő ábrák mutatják a nyeregfelület xy, yz, xz síkokkal párhuzamos síkmetszeteinek sorozatát (több
párhuzamos síkkal történő metszetét), az első három ábrán a síkra merőleges, harmadik tengely irányából nézve,
mintegy egyetlen síkra vetítve a metszeteket, a második sor ábrái ugyanezt mutatják, de itt látható, hogy térbeli
ábrákról van szó.
Kétváltozós függvények I.
204 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A különböző felületek síkmetszeteinek előállításával magunk is kísérletezhetünk a "Kétváltozós szemléltetés"
elnevezésű gombra kattintva. A gomb alatt látható ablakba tetszőleges kétváltozós függvény képletét írva tudjuk
a mindhárom koordináta síkkal párhuzamos síkmetszeteket előállítani és tanulmányozni.
3. Értelmezési tartomány
A kétváltozós függvények esetén is, ha a feladat nem adja meg , meg kell határoznunk az értelmezési
tartományt, egyszerűbben a kikötést. Ha a feladat megadja az értelmezési tartonányt, könnyebb dolgunk van.
Először nézzünk erre egy példát. Ábrázoljuk a
függvényt az adott tartományon.
[ >
Kétváltozós függvények I.
205 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ >
[ > display({A, B});
A következő példák, azokat a leggyakoribb eseteket veszik sorra, amikor nekünk kell kikötést tenni.
1. A függvény hányadost tartalmaz. A nevező nem lehet 0. Ábrázoljuk a kikötést, az x2 + y2 - 9 = 0 -t, mint
egyváltozós függvényt. A kapott görbén nincs értelmezve a függvény.
[ > with(plots, implicitplot);
[ > implicitplot(x^2+y^2-9 = 0, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5);
Kétváltozós függvények I.
206 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tehát a fenti függvény mindenütt értelmezve van kivéve az ábrán látható kör pontjai felett. Most ábrázoljuk a
felületet. Hogyan látszik az ábrán az értelmezési tartomány? Ha jobb gombbal az ábrára kattintva a tengelyek
címnél a z értékét -2-től, 2-ig engedjük futni, nagyon szép szemléletes ábrát kapunk. Így jól láthatóvá válik,
hogy hogyan szakad a függvény.
[ >
Kétváltozós függvények I.
207 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ha x és y értéket is csak -2 és 2 között futtatjuk, a szakadás nem látszik, hiszen teljesen a kör belsejáben
maradunk, de a függvény menete jól szemléltethető az adott tartományon.
[ >
A szakadási körön kívül is megszemlélhetjük a függvényt:
[ >
Kétváltozós függvények I.
208 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2. Kikötés gyökös függvény esetén: ekkor a gyök alatt csak nemnegatív szám állhat. A Maple megoldja az
egyenlőtlenséget, és ábrázolja 2 dimenzióban, a sötétkék tartomány felett van értelmezve a függvény.
[ >
Kétváltozós függvények I.
209 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Ezután a függvényt három dimenzióban ábrázoljuk, a z tengelyre merőleges irányból nézve itt is látjuk az
értelmezési tartományt.
[ >
Az értelmezési tartomány ábrájával jól összevethető a 3 dimenziós ábra, ha a szokásos 3D Descartes koordináta
- rendszert állítjuk be és jobb gombbal a z tengely irányú tájolást.
Kikötés logaritmus függvény esetén: ekkor a logaritmus után csak pozitív szám állhat.
[ > g(x,y):=ln(3*x-2*y)
[ > inequal({3*x-2*y > 0}, x = -2 .. 2, y = -2 .. 2)
Kétváltozós függvények I.
210 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ plot3d(ln(3*x-2*y), x = -2 .. 2, y = -2 .. 2, axes = normal)
4. Határérték
A kétváltozós függvények esetében is definiálhatjuk a határértéket és a folytonosságot. Egy pont környezete az
egyváltozós függvények esetében nyílt intervallun volt, most a környezet egy nyílt körlap.
Kétváltozós függvények I.
211 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Egy P0(a, b) középpontú δ sugarú nyílt körlap a egyenlőtlenséget kielégítő P ( x, y ) pontok
halmaza.
Az f kétváltozós függvényről akkor mondjuk, hogy a P0(a, b) helyhez tartozó határértéke az A szám, ha
tetszőleges kis ε > 0 esetén mindig létezik a P0 pontnak olyan δ sugarú környezete (ahol a környezet egy P0
középpontú δ sugarú nyílt körlap), hogy az ebből a környezetből választott x,y számpárhoz tartozó f(x, y)
függvényértékek A-tól való eltérése kisebb, mint ε.
Matematikai jelölésekkel: Ha , akkor
A legtöbb kétváltozós függvény is "jól viselkedik" van határértéke minden pontban. Most nézzük meg, hogy
milyen az, ha egy kétváltozós függvénynek nincs határértéke egy pontban. Tekintsük az
függvényt, belátjuk, hogy a (0,0) - ban a függvénynek nincs határértéke.
A tengelyeken a függvény értéke 0, mert a tört számlálója 0 és a nevezője nem 0, ezért a (0,0) pont minden
környezetében van olyan pont, ahol a függvényérték 0. De, ha a függvényt az y = x egyenes pontjaiban nézzük,
akkor itt a függvényértéke 1/2 (helyettesítsük be a függvény képletébe y = x -et), ezért a (0,0) minden
(bármilyen kicsi) környezetében van olyan pont, ahol a függvény 1/2-et vesz fel. Így világosan látszik, hogy
bármilyen határértéket is adunk meg, pl. ε=1/4-hez nem lehet jó δ-t találni. Ha az origón átmenő y = m x
egyenest tekintjük, a függvény képletébe behelyettesítve adódik.
Nézzük meg, hogy néz ki ez a függvény az origó körül:
[ >
[ >
Kétváltozós függvények I.
212 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az (a,b) pontban folytonosnak nevezzük az f (x,y) függvényt, ha az (a,b) pontban értelmezve van, létezik ott
véges határértéke és az megegyezik a függvény helyettesítési értékével. (A definíció pontosan ugyanaz, mint az
egyváltozós függvények esetében, csak ott természetesen más a határérték fogalma.)
...
5. Parciális deriváltak
Kétváltozós, f(x, y) függvények differenciálása.
1. x szerinti parciális derivált:
Legyen az f függvény értelmezve a P0(x0, y0) pontban és annak egy környezetében, az f(x, y) függvény x szerinti
parciális deriváltjának nevezzük a következő határértéket:
Az x szerinti parciális deriválásnál, y rögzített, x változó.
Szemléletesen: Metsszük el a felületet egy y tengelyre merőleges síkkal, ez a felületből egy görbét metsz ki, a
görbe érintőjének a meredeksége, más szóval iránytangense a felület x szerinti parciális deriváltja.
[ > F : = plot3d(x^2-y^2, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, style = patchnogrid, color = grey, transparency = .6, axes =
normal);
[ > H : = implicitplot3d(y = 1, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, z = -25 .. 25, transparency = .7, color = magenta, style =
patchnogrid);
[ > G : = plot3d(x^2-y^2, x = -5 .. 5, y = 1 .. 1, thickness = 3, color = red);
[ > C : = plot3d(4*x-5, x = -5 .. 5, y = 1 .. 1, thickness = 3)
[ > display({C, F, G, H})
Kétváltozós függvények I.
213 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
2. y szerinti parciális derivált:
Legyen az f függvény értelmezve a P0(x0, y0) pontban és annak egy környezetében, az f (x, y) függvény y szerinti
parciális deriváltjának nevezzük a következő határértéket:
Az y szerinti parciális deriválásnál, x rögzített, y változó.
Szemléletesen: Metsszük el a felületet egy x tengelyre merőleges síkkal, ez a felületből egy görbét metsz ki, a
görbe érintőjének a meredeksége, más szóval iránytangense a felület y szerinti parciális deriváltja.
[ > F : = plot3d(x^2-y^2, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, style = patchnogrid, color = grey, transparency = .6, axes =
normal);
[ > H : = implicitplot3d(x = 2, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, z = -25 .. 15, transparency = .7, color = magenta, style =
patchnogrid);
[ > G : = plot3d(x^2-y^2, x = 2 .. 2, y = -5 .. 5, thickness = 3, color = red);
[ > C : = plot3d(-2*y+5, x = 2 .. 2, y = -5 .. 5, thickness = 3);
[ > display({C, F, G, H})
Kétváltozós függvények I.
214 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Hogyan derviválunk parciálisan kétváltozós függvényt ? Tanuljuk meg a parciális deriválás technikáját!
A konstansnak tekinthető tényező van a kék karikában.
Az x szerinti parciális derivált kiszámításakor az első tagot az egyváltozós függvényeknél megszokott módon
deriváljuk, mert csak x-et tartalmaz, y-t nem, ezért lesz a 2x2 deriváltja 4 x. A második tagnál már bonyolultabb
a helyzet. A definíció azt mondja, hogy az x szerinti parciális derivált esetében y rögzített, nem változik, ezért a
deriválás során konstansként kezeljük, x deriváltja 1, ezért xy3 deriváltja y3lesz.
A konstansnak tekinthető tag és tényező van a kék karikában.
Az y szerinti parciális deriválásnál az első tagban nincs y, ezért a 2x2 állandónak tekinthető, ezért deriváltja 0, a
második tagban, most x lesz állandó és y3 -t kell deriválnunk, ez 3y2 és az x konstanssal szorozva lesz 3xy2 a
kivonás miatt - előjelet kap. Az egyváltozós esethez hasonlóan itt is definiálhatunk magasabbrendû deriváltakat.
Elvileg itt négy másodrendû derivált lenne.
Amit először x szerint deriváltunk, másodszor is x szerint deriváljuk:
Kétváltozós függvények I.
215 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Amit először x szerint deriváltunk, most y szerint deriváljuk:
Amit először y szerint, másodszor x szerint:
És végül, kétszer egymás után y szerint deriválunk:
Magasabb rendű deriváltak az előző példában:
Általánosan is igaz, hogy
Számoljunk parciális deriváltakat Maple-ben:
[ > f(x,y): =x^(3)-y^(3)+8* x*y;
[ > e : = diff(f(x, y), x);
[ > g : = diff(f(x, y), y);
[ > a : = diff(f(x, y), `$`(x, 2));
[ > b : = diff(f(x, y), `$`(y, 2));
[ > c : = diff(f(x, y), x, y);
...
6. Iránymenti derivált
A parciális deriváltakon kívül gyakran számolunk még iránymenti deriváltat is. A felületet itt is egy xy síkra
merőleges síkkal metsszük el, de most a sík nem merőleges sem az x, sem az y tengelyre, hanem egy xy síkban
fekvő vektorral párhuzamos. Ez a sík is egy görbét metsz ki a felületből, ennek a görbének az iránytangense az
iránymenti derivált. Az iránymenti derivált számításánál tehát nemcsak egy pontot kell megadnunk, mint a
parciális derváltak kiszámításánál, hanem egy irányt is. A Maple-ben beépített utasítások számolják az
iránymenti deriváltat és szemléltetik is azt.
[ > with(VectorCalculus):
[ >
[ > with(Student[MultivariateCalculus]):
[ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [1, 2], [3, 4]);
[ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [-4, 4], [-4, 4], output = animation, frames = 7);
Kétváltozós függvények I.
216 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > DirectionalDerivative(x^2+y^2, [x, y] = [-4, 4], [-6, -6], x = -8 .. -2, y = 0 .. 6, z = 0 .. 40, output = plot);
[ > Student[MultivariateCalculus][CrossSectionTutor]();
Kétváltozós függvények I.
217 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
7. Megoldott feladatok
Ábrázolja paraméteresen a függvényt az x = 0,1,2 értékekre. Jelölje meg az ábrán azt a P1 pontot,
amelyre x1 =1, y1 =2 és számítsa ki a z1 értéket!
Megoldás:
Három függvényt kell ábrázolnunk, ezek:
ha x = 0, akkor
ha x = 1, akkor
ha x = 2, akkor
Kétváltozós függvények I.
218 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Határozza meg a értékeket, ha !
Megoldás:
Tehát a függvényértékek: és
8. Feladatok önálló megoldásra
Számítsa ki az függvény (1,1) helyhez tartozó másodrendű deriváltjait.
Ábrázolja paraméteresen a függvényt az x=0,1,2 értékekre. Jelölje meg az ábrán azt a P1 pontot, amelyre x1
=1, y1 =2 és számítsa ki a z1 értéket!
Határozza meg a és értékeket, ha !
Határozzuk meg a következő függvények elsőrendű parciális deriváltjait:
Kétváltozós függvények I.
219 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Számítsa ki a következő fügvények minden másodrendű deriváltját!
A következő feladatokban mutassuk meg, hogy !
Határozzuk meg a következő függvények iránymenti deriváltját a P0 pontban és a v irányban!
P0(4, 5) v(3,4)
P0(3, - 5) v(1,-2)
220 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
10. fejezet - Kétváltozós függvények II.
Georg Glaeser: Tangent surface of a helix
1. Szélsőérték
1.1. Fogalmak
Helyi szélsőérték, lehet helyi minimum és helyi maximum Az f (x, y) függvénynek az (a, b) helyen helyi
minimuma van, ha (a, b) pontnak van olyan környezete, ahol f (a, b) > f (x, y). Az f (x, y) függvénynek az (a, b)
helyen helyi maximuma van, ha (a, b) pontnak van olyan környezete, ahol f (a, b) < f (x, y). Ha az f (x, y)
kétváltozós függvénynek szélső értéke van az (a, b) pontban, akkor helyi szélsőértéke van az x = a helyen az f
(x, b) egyváltozós függvénynek is, amelynek görbéje természetesen illeszkedik a felületre. Ezért az egyváltozós
függvényeknél tanultak alapján a szélsőérték létezésének szükséges feltétele . Hasonlóképpen
helyi szélsőértéke van az y = b helyen az f (a, y) egyváltozós függvénynek is. Ezért a szélsőérték létezésének
is szükséges feltétele.
1.2. Szükséges feltétel
Tétel: Az f kétváltozós függvény (a, b) helyhez tartozó szélsőértéke létezésének szükséges feltétele:
és
Ezt a következőképpen láthatjuk be. Ha f (x, y)-nak szélsőértéke van (a, b)-ben, akkor g (x) = f (x, b)-nek is
szélsőértéke van x = a-ban, ezért g'(a) = 0 az egyváltozós függvényeknél tanultak alapján és mivel g'(a) =
, így . Hasonlóan h (y) = f (a, y)-nak is szélsőértéke van b-ben, ezért
adódik.
Tehát a függvénynek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az elsőrendű parciális deriváltjai zérussal egyenlők. A
szüséges feltétel általában egy egyenletrendszer. Ha az egyenletrendszernek van megoldása, a kapott pont, vagy
pontok még nem biztosan szélsőértékek, ahhoz az elégséges feltételnek is teljesülnie kell. De abban biztosak
lehetünk, hogy a kapott pontokon kívül más pontban helyi (lokális) szélsőérték nem lehet.
Kétváltozós függvények II.
221 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A felület forgatásával szemléletesen az ábrán is látható, hogy mindkét parciális derivált 0, mert a parciális
deriváltak az xy síkkal párhuzamosak a g (x) = f (x, b) és h (y) = f (a, y) görbék érintői.
[ > F : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, axes = normal, transparency = .5, style = patchnogrid, color
= red):
B : = plot3d(10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0):
C : = plot3d(10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4):
G : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0, color = blue):
H : = plot3d(-x^2-y^2+10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4, color = green):
display({B, C, F, G, H});
[ > F : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = -4 .. 4, y = -4 .. 4, axes = normal, transparency = .5, style = patchnogrid, color
= blue):
B : = plot3d(10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0):
C : = plot3d(10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4):
G : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = -4 .. 4, y = 0 .. 0, color = blue):
H : = plot3d(-x^2+y^2+10, x = 0 .. 0, y = -4 .. 4, color = green):
display({B, C, F, G, H});
Kétváltozós függvények II.
222 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
A kék felület arra példa, hogy nem csak a helyi szélsőérték esetén fordulhat elő, hogy egy pontban mindkét
parciális derivált 0 (a megfelelő metszetgörbék érintői párhuzamosak az xy síkkal), hanem más esetben,
úgynevezett nyeregpontoknál is. Ezért a szélsőérték létezésének bizonyításához, a szükséges feltételen kívül
elégséges feltételt is meg kell a későbbiekben fogalmaznunk.
A következő példák egyelőre csak a szükséges feltételt vizsgálják, és a kapott eredményeket ábrázolva,
szemléletünk alapján mondunk döntést a szélsőérték létezésére.
Példa: Határozzuk meg, hogy a következő függvénynek hol lehet helyi szélsőértéke!
Először határozzuk meg a két parciális deriváltat:
Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
Fejezzük ki x-et a (2) egyenletből, majd helyettesítsük be az (1)-be.
→ → → → →
A kapott y értéket helyettesítsük be a (2) egyenlet azon alakjába, ahol kifejeztük y-t:
Tehát a kapott pont a -3, 3 csak ebben a pontban lehet szélsőértéke a függvénynek.
Ha van itt szélsőérték, akkor ebben a pontban a függvény értéke:
Kétváltozós függvények II.
223 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Most nézzük meg ugyanezt Maple-ben:
[ > f(x, y):=x^(2)+x*y+y^(2)+3*x-3*y+4;
[ > fx := diff(f(x, y), x) # f x szerinti parciális deriváltjának meghatározása
[ > fy := diff(f(x, y), y) # y szerinti parciális deriváltjának meghatározása
[ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]) # Az egyenletrendszer megoldása
[ > gyokok[1, 1] # Külön felírjuk az egyenletrendszer x-re kapott megoldását, hogy később tudjunk hivatkozni
rá.
[ > gyokok[1, 2] # Külön felírjuk az egyenletrendszer y-ra kapott megoldását, hogy később tudjunk hivatkozni
rá.
[ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]) # Kiszámítjuk a szélsőérték helyen a függvény
értékét.
[ > A := pointplot3d([-3, 3, -5], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white)
[ > B := plot3d(f(x, y), x = -5 .. 0, y = 0 .. 5, axes = normal, style = patchnogrid, color = orange, transparency =
.5) # Ábrázoljuk a felületet, a felület forgatásával szemléletesen ellenőrizzük megoldásunk helyességét.
[ > display({A, B})
[ > g(x,y):=x^(3)-y^(3)-2*x*y+6;
[ > gx := diff(g(x, y), x);
[ > gy := diff(g(x, y), y);
Kétváltozós függvények II.
224 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > solve({gx = 0, gy = 0}, [x, y]);
[ > A := pointplot3d([0, 0, 6], color = black, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);
[ > B := pointplot3d([-2/3, 2/3, 170/27], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);
[ > C := plot3d(g(x, y), x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, axes = normal, style = patchnogrid, color = grey);
[ > display({A, B, C});
1.3. Elégséges feltétel
Tétel: A helyi szélsőérték létezésének elégséges feltétele, hogy a másodrendű deriváltakból képezett
kifejezés pozitív legyen, ha a
függvénynek minimuma, ha a függvénynek maximuma van. Ha D < 0 nincs szélsőértéke a
függvénynek, D = 0 esetén csak további vizsgálattal dönthető el a szélsőérték létezése.
Határozzuk meg a következő függvények lokális szélsőértékeit!
[ > f(x, y):=2*x*y-5*x^(2)-2*y^(2)+4*x+4*y-4;
[ > fx := diff(f(x, y), x);
[ > fy := diff(f(x, y), y);
[ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]);
[ > n := numelems(gyokok);
[ > gyokok[1, 1];
Kétváltozós függvények II.
225 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > gyokok[1, 2];
[ > fxx := diff(fx, x);
[ > yy := diff(fy, y);
[ > fxy := diff(fx, y);
[ > d := fxx*fyy-fxy^2;
[ > if d > 0 then print(van*szélsőérték) elif d < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d = 0 then
print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;
[ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);
[ > if fxx > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;
[ > A := plot3d(f(x, y), x = -1 .. 3, y = -1 .. 3, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue);
[ >
[ > display({A, B});
Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 1 megoldása van. P (2/3; 4/3; 0), ez valóban
szélsőérték, mégpedig maximum.
[ > f(x, y):=x^(3)+3*x*y+y^(3);
[ > fx := diff(f(x, y), x);
[ > fy := diff(f(x, y), y);
[ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]);
Kétváltozós függvények II.
226 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > n := numelems(gyokok);
[ > gyokok[1, 1];
[ > gyokok[1, 2];
[ > ertek1 := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);
[ > gyokok[2, 1];
[ > gyokok[2, 2];
[ > ertek2 := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]);
[ > fxx := diff(fx, x);
[ > fyy := diff(fy, y);
[ > fxy := diff(fx, y);
[ > d := fxx*fyy-fxy^2;
[ > d1 := eval(d, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);
[ > if d1 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d1 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d1 = 0 then
print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;
[ > d2 := eval(d, [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]);
[ > if d2 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d2 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d2 = 0 then
print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;
[ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]);
[ > if eval(fxx, gyokok[2, 1]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;
[ > C := plot3d(f(x, y), x = -3 .. 2, y = -3 .. 2, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue);
[ > A := pointplot3d([0, 0, 0], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);
[ > B := pointplot3d([-1, -1, 1], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);
[ > display({A, B, C});
Kétváltozós függvények II.
227 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 2 valós megoldása van, ezek közül csak az
egyik szélsőérték, ez maximum a P (-1; -1; 1) pontban.
[ >
[ > fx := diff(f(x, y), x);
[ > fy := diff(f(x, y), y);
[ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]);
[ > n := numelems(gyokok);
[ > gyokok[1, 1];
[ > gyokok[1, 2];
[ > fxx := diff(fx, x);
[ > fyy := diff(fy, y);
[ > fxy := diff(fx, y);
[ > d := fxx*fyy-fxy^2;
[ > simplify(d);
[ > d1 := eval(d, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);
[ > if d1 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d1 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d1 = 0 then
print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;
[ > if eval(fxx, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;
Kétváltozós függvények II.
228 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > szelsoertek := eval(f(x, y), [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);
[ > A := plot3d(f(x, y), x = -.5 .. .5, y = -.5 .. .5, axes = normal, style = patchnogrid, color = gold);
[ > B := pointplot3d([0, 0, -1], symbol = solidcircle, symbolsize = 30, color = black);
[ > display({A, B});
Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 1 megoldása van. P (0; 0; -1), ez valóban
szélsőérték, mégpedig maximum.
[ > f(x, y):=4*x*y-x^(4)-y^(4);
[ > fx := diff(f(x, y), x);
[ > fy := diff(f(x, y), y);
[ > gyokok := solve({fx = 0, fy = 0}, [x, y]);
[ > n := numelems(gyokok);
[ > gyokok[1, 1];
[ > gyokok[1, 2];
[ > gyokok[2, 1];
[ > gyokok[2, 2];
[ > gyokok[3, 1];
[ > gyokok[3, 2];
[ > fxx := diff(fx, x);
Kétváltozós függvények II.
229 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > fyy := diff(fy, y);
[ > fxy := diff(fx, y);
[ > d := fxx*fyy-fxy^2;
[ > d1 := eval(d, [gyokok[1, 1], gyokok[1, 2]]);
[ > if d1 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d1 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d1 = 0 then
print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;
[ > d2 := eval(d, [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]);
[ > if d2 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d2 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d2 = 0 then
print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;
[ > szelsoertek1 := eval(f(x, y), [gyokok[2, 1], gyokok[2, 2]]);
[ > if eval(fxx, gyokok[2, 1]) ,gyokok[2, 2]> 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;
[ > d3 := eval(d, [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]);
[ > if d3 > 0 then print(van*szélsőérték) elif d3 < 0 then print(nincs*szélsőérték) elif d3 = 0 then
print(más*módszerrel*kell*eldönteni, hogy*van-e*szélsőérték) end if;
[ > szelsoertek2 := eval(f(x, y), [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]);
[ > if eval(fxx, [gyokok[3, 1], gyokok[3, 2]]) > 0 then print(minimum) else print(maximum) end if;
[ > C := plot3d(f(x, y), x = -2 .. 2, y = -2 .. 2, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue);
[ > A := pointplot3d([0, 0, 0], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = red);
[ > B := pointplot3d([1, 1, 2], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);
[ > E := pointplot3d([-1, -1, 2], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);
[ > display({A, B, C, E});
Kétváltozós függvények II.
230 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Eredmény: a parciális deriváltakból kapott egyenletrendszernek 3 valós megoldása van, ezek közül kettő
szélsőérték, mindkettő maximum a P1 (-1; -1; 128) és P2(1; 1; 128) pontokban.
2. Érintősík
Tekintsük a P0(x0, y0) pontban és környezetében differenciálható f (x, y) függvényt. A P0 ponton átmenő xy síkra
merőleges síkok az f ( x, y) függvény képét (ami felület), különböző síkgörbékben metszik. Bizonyítható, hogy
ezeknek a síkgörbéknek az érintői egy síkban vannak és ezek összességét a felület P0 ponthoz tartozó
érintősíkjának nevezzük. Egy sík két egymást metsző egyenessel egyértelmûen megadható. Az xz, ill. yz
síkokkal párhuzamos síkmetszete a felületnek egy-egy görbe, melynek érintő egyenesei a felület parciális
deriváltjai segítségével meghatározhatók, így az érintősíkot is megadhatjuk. A sík egyenlete általában z = A⋅ x
+ B⋅ y + C alakú. Az érintési pontban a felület és az érintősík parciális deriváltjai megegyeznek, ezért
és , C értéke pedig abból a feltételból számolható ki, hogy az
érintési pont és a felület közös pontja > P0.;
[ > F := plot3d(x^2+y^2, x = -2 .. 4, y = -2 .. 4, style = patchnogrid, color = grey):
G := plot3d(x^2+y^2, x = 1 .. 1, y = -2 .. 4):
A := plot3d(x^2+y^2, x = -2 .. 4, y = 1 .. 1):
B := plot3d(2*x, x = -2 .. 4, y = 1 .. 1):
C := plot3d(2*y, x = 1 .. 1, y = -2 .. 4):
E := plot3d(2*x+2*y-2, x = -2 .. 4, y = -2 .. 4, transparency = .5, color = green, style = patchnogrid):
display({A, B, C, E, F, G});
Kétváltozós függvények II.
231 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Tehát egy adott f (x, y) függvény P[0] pontbeli érintőjének felírásakor a következőképpen járunk el:
1. Először kiszámoljuk az adott pont harmadik koordinátáját z0 = f (x0, y0)
2. Majd parciálisan deriváljuk x és y szerint a függvényt, majd a kapott parciális deriváltakba x0, y0 értékének
behelyettesítésével nyerjük az A és a B együtthatókat.
3. Végül C értékének meghatározása következik, abból a feltételből, hogy a felület és az érintősík közös pontja
az adott pont: C = z0 - A ⋅ x0 - B ⋅ y0
Nézzünk meg néhány konkrét példát, először hagyományos módon, utána Maple-ben:
Határozzuk meg az f (x,y) : = x2+2⋅ y2+x⋅ y függvény érintősíkját a P0(1, 1) pontban!
zz0= 12+2⋅ 12+1⋅ 1=4
A parciális deriváltak:
Helyettesítsük be a megadott pont koordinátáit a kapott parciális deriváltakba:
Tehát A = 3 és B = 5 C = 4 - 3⋅ 1 - 5⋅ 1= - 4 Az érintő egyenlete: z = 3 x + 5 y - 4
Ugyanez Maple-ben:
[ > f(x,y):= x^(2)+2*y^(2)+x*y;
[ > x0 := 1; y0 := 1;
[ > z0 := subs(x = x0, y = y0, f(x, y));
[ > fx := diff(f(x, y), x);
Kétváltozós függvények II.
232 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > A := subs(x = x0, y = y0, fx);
[ > fy := diff(f(x, y), y);
[ > B := subs(x = x0, y = y0, fy);
[ > C := z0-A*x0-B*y0;
[ > z := A*x+B*y+C;
[ > X := pointplot3d([1, 1, 4], symbol = solidbox, color = black, symbolsize = 20);
[ > Y := plot3d({z, f(x, y)}, x = -1 .. 4, y = -4 .. 4, colour = [blue, red], axes = normal, style = patchnogrid);
[ > display({X, Y});
És még egy példa Maple-ben:
[ >
[ > x0 := 1; y0 := 2;
[ > z0 := simplify(subs(x = x0, y = y0, f(x, y)));
[ > fx := diff(f(x, y), x);
[ > A := simplify(subs(x = x0, y = y0, fx));
[ > fy := diff(f(x, y), y);
[ > B := simplify(subs(x = x0, y = y0, fy));
[ > C := z0-A*x0-B*y0;
[ > z := A*x+B*y+C;
Kétváltozós függvények II.
233 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
[ > X := plot3d(f(x, y), x = -1 .. 3, y = 0 .. 4, axes = normal, style = patchnogrid, color = blue, transparency = .6);
[ > Y := plot3d(z, x = -1 .. 3, y = 0 .. 4, axes = normal, style = patchnogrid, color = grey);
[ > E := pointplot3d([1, 2, 3], symbol = solidcircle, symbolsize = 20, color = white);
[ > display({E, X, Y});
3. Megoldott feladatok
1. Írja fel az felület érintősíkja egyenletét az x0 = -1, y0 = 1 helyen!
Megoldás:
Az érintősík egyenlete z = Ax + By + C alakú, ahol
Az érintősík egyenlete: z = x - 2y + 2
2. Írja fel a függvény érintősíkja egyenletét a P1(1; 1) helyen!
Megoldás:
Kétváltozós függvények II.
234 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Az érintősík egyenlete tehát: z = 3x+5y-4
3. Fennáll-e annak a lehetősége, hogy a függvénynek a helyen helyi (lokális)
szélsőértéke legyen? Igen, vagy nem? Válaszát indokolja!
Megoldás:
Képezzük az első parciális differenciálhányadosokat! Ha ezek eltűnnek a kérdéses pontban, akkor lehet, hogy
szélsőértéke van az adott függvénynek.
Tehát a függvénynek a P pontban nincs szélsőértéke.
4. Írja fel a következő felület érintősíkjának egyenletét x0 = 2, y0 = 1 pontban!
5. Írja fel a következő felület érintősíkjának egyenletét x0 = 1, y0 = 2 pontban!
6. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét:
Kétváltozós függvények II.
235 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
van szélsőérték!
, ezért a szélsőérték minimum.
7. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét!
Nincs szélsőérték a kapott pontban.
4. Feladatok önálló megoldásra
1. Lehet-e szélsőértéke a függvénynek?
2. Írja fel a függvény érintősíkja egyenletét a P 1(1;1)helyen!
3. Fennáll-e annak a lehetősége, hogy a függvénynek a helyen helyi (lokális)
szélsőértéke legyen? Igen, vagy nem? Válaszát indokolja!
4. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét: pontban:
5. Írja fel az alábbi kétváltozós függvény érintősíkjának egyenletét a P (2; - 3) pontban:
6. Milyen típusú szélsőértéke van a következő kétváltozós függvénynek?
7. Írja fel a következő felület érintősíkjának egyenletét x0=1, y0=2 pontban!
8. Állapítsa meg a következő függvény helyi szélsőérték helyét és annak értékét:
236 Created by XMLmind XSL-FO Converter.
Irodalomjegyzék
[1] Ábrahám I., Analízis I, Mozaik Kiadó, Szeged,2005
[2] Ábrahám I., Analízis II, Mozaik Kiadó, Szeged,2005
[3] Ábrahám I., Analízis III, Mozaik Kiadó, Szeged,2005
[4] Baumol, W.,J., Közgazdaságtan és operációanalízis, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1968
[5] Csernyák L. (szerk.), Analízis. Matematika a közgazdasági alapképzés számára, Nemzeti Tankönyvkiadó,
Budapest, 2008, ISBN: 9789631958959
[6] Heck, A., Bevezetés a Maple használatába, JGYF Kiadó, Szeged, 1999
[7] Klincsik M.-Maróti Gy.,Maple, Nyolc tételben a matematikai problémamegoldás művészetéről, Livermore,
2006, ISBN 9630605716
[8] Leindler L., Analízis II, Egyetemi jegyzet, JATE Sokszorosító Üzeme, Szeged,1973, 338/76
[9] Leindler L., Analízis I, Egyetemi jegyzet, JATE Sokszorosító Üzeme, Szeged,1974, 131
[10] Obádovics J. Gy., Felsőbb matematikai feladatgyűjtemény, Scolar Kiadó, Budapest, 1999
[11] Walter J., Matematika I., PATE Állattenyésztési Kar, Kaposvár, 1995
[12] Laczkovich Miklós - T. Sós Vera Analízis I. II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2006
[13] Knut Sydsaeter Peter I. Hammond Matematika közgazdászoknak, Aula, 2003
[14] Michael Spivak Calculus, Cambridge University Press, 1994