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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

ENGENHARIA ELÉTRICA

ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS

MOMENTOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

DE ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO

POR SUPERFÍCIES PLANAS CONDUTORAS

Miller Drumond da Silveira Pompeo

15 de Julho de 2015

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA Av. Amazonas, 7675 - Nova Gameleira, Belo Horizonte - MG, 30510-000, Brasil


ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS

MOMENTOS NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS

DE ESPALHAMENTO ELETROMAGNÉTICO

POR SUPERFÍCIES PLANAS CONDUTORAS

Trabalho de Conclusão de Curso submetida

à banca examinadora designada pelo

Colegiado do Departamento de Engenharia

Elétrica do CEFET-MG, como parte dos

requisitos necessários à obtenção do grau

de Bacharelado em Engenharia Elétrica.

Área de Concentração: Engenharia Elétrica.

Orientador(a): Profa. Dra. Úrsula do Carmo

Resende

CEFET-MG

Belo Horizonte

CEFET-MG

2015


Texto do Relatório do Trabalho de Graduação submetido ao Professor da disciplina

de TCC II do Curso de Engenharia Elétrica do Centro Federal de Educação Tecnológica de

Minas Gerais.

____________________________________________________

Prof.ª. Dra. Úrsula do Carmo Resende – Orientadora

Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais

__________________________________________________

Prof. Dr. Rafael Silva Alípio


____________________________________________________

Prof. Dr. Sandro Trindade Mordente Gonçalves


“Ainda que eu andasse pelo vale da sombra da morte, não temerei mal algum,

porque tu estás comigo; a tua vara e o teu cajado me consolam. ” Salmo 23

Agradecimentos

Em especial a Deus por vosso amor incondicional, pela força e amparo nos momentos difíceis, pela saúde e por me proporcionar essa conquista.

Aos meus familiares (minha mãe, meu pai e meus irmãos), por todo suporte, carinho que me foram dados durante todos esses anos de minha vida. Ao meu sobrinho, por conseguir me tirar um sorriso até nos momentos difíceis. Agradeço também aos meus amigos e namorada que dividiram sempre comigo as aflições e felicidade da vida pessoal. A todos esses agradeço por entenderem por muitas vezes minha ausência.

Agradeço a minha orientadora Úrsula do Carmo Resende, por todas as oportunidades que me proporcionou durante a graduação, pelo incentivo e confiança que várias vezes reforçou em mim depositar. Agradeço, também, pela disponibilidade e por não medir esforços em me auxiliar.

Ao CEFET-MG por me fazer crescer como pessoa, por me proporcionar uma formação acadêmica de qualidade, com professores fantásticos.

Aos meus amigos do CEFET-MG pela companhia de todos esses anos, pelo suporte e encorajamento.

Por fim, a todos os professores da instituição, por transmitir seu conhecimento, que agora levarei não só para vida profissional, quanto para a pessoal.

i

Resumo

O espalhamento eletromagnético é um processo físico que ocorre quando uma

onda eletromagnética viajante no espaço incide sobre um obstáculo, gerando com isso

um campo espalhado. Esse fenômeno fomenta inúmeras pesquisas na área do

Eletromagnetismo e possui diversas aplicações. Para análises onde o espalhador

apresenta geometrias complexas, faz-se necessário o uso de técnicas numéricas que

garantam a confiabilidade dos resultados. Dentre essas técnicas, destaca-se o Método

dos Momentos (MoM). O MoM é caracterizado por sua elevada precisão e complexa

modelagem. Esse método é largamente utilizado para estudos envolvendo espalhamento

eletromagnético e apresenta alta confiabilidade, sendo assim, utilizou-se o MoM para a

modelagem do problema investigado neste trabalho. Foi desenvolvido uma ferramenta

teórica, analítica e, numérica para o tratamento do espalhamento eletromagnético por

superfícies planas condutoras. O modelo computacional desenvolvido foi validado por

meio de comparações dos resultados obtidos com os resultados gerados pelo software

CST (Computer Simulation Technology).

Palavras-chaves: Espalhamento Eletromagnético, Método dos Momentos, equação

integral do campo elétrico, software CST.

ii

Abstract

The electromagnetic scattering is a physical process that occurs when a traveling

electromagnetic wave in space focuses on an obstacle, generating with this a scattered

field. This phenomenon promotes extensive research on electromagnetism area and has

many applications. For analyzes in which the spreader presents complex geometries, it

is necessary the use of numerical techniques to ensure the reliability of results. Among

these techniques, it highlights the Method of Moments (MoM). MOM is characterized by

its high precision and complex modeling, this method is widely used for studies

involving electromagnetic scattering and has a high reliability, therefore, this technique

is used for numerical modeling of the problem investigated in this work. It is developed

a theoretical tool, analytical and numerical processing to the electromagnetic scattering

by conductive flat surfaces. The computational model was validated by comparing the

results obtained with the results generated by the CST software (Computer Simulation

Technology).

Keywords: Scattering Electromagnetic, Method of Moments, Electric Field Integral

Equation, CST software.

iii

Sumário

Resumo .................................................................................................................................................. i

Abstract ................................................................................................................................................ ii

Sumário .............................................................................................................................................. iii

Lista de Figuras ................................................................................................................................. v

Lista de Tabelas .............................................................................................................................. vii

Lista de Símbolos .......................................................................................................................... viii

Lista de Abreviações ....................................................................................................................... ix

Capítulo 1 ......................................................................................................................................... 10

1.1. Contextualização do Problema ................................................................................................... 10

1.2 Objetivo ........................................................................................................................................... 12

1.3 Metodologia .................................................................................................................................. 13

1.4 Apresentação do Trabalho ...................................................................................................... 13

Capítulo 2 ......................................................................................................................................... 14

2.1 Introdução ..................................................................................................................................... 14

2.2 Funções de Base .......................................................................................................................... 15

2.2.1 Função Pulso ........................................................................................................................... 16

2.2.2 Função Triangular ................................................................................................................ 17

2.3 Funções de Teste ......................................................................................................................... 18

2.3.1 Point Matching........................................................................................................................ 18

2.3.2 Método de Galerkin .............................................................................................................. 18

2.4 MoM Aplicado a Solução de Problemas Eletroestáticos 2D ....................................... 19

2.4.1 Modelagem Matemática Utilizando MoM– Point Matching .................................. 22

2.4.2 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Pulso ...................................... 25

2.4.3 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Triângulo .............................. 28

2.4.4 Modelagem Matemática Utilizando MoM - Função Pulso-Triângulo ................ 31

2.5 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Funções de Base e Teste ... 35

2.6 Validação dos Resultados através do CST ......................................................................... 38

2.7 Conclusão Parcial ........................................................................................................................ 39

iv

Capítulo 3 ......................................................................................................................................... 40

3.1 Espalhamento Eletromagnético ............................................................................................ 40

3.2 Método ............................................................................................................................................ 42

3.3 Equações Integrais de Espalhamento Válidas para o Espaço Livre ........................ 43

3.4 Problema Equivalente ............................................................................................................... 47

3.5 Espalhamento em uma placa condutora finita ................................................................ 50

3.5.1 Método dos Momentos aplicado a solução do espalhamento eletromagnético

de uma placa condutora finita ............................................................................................................. 52

3.6 Análise do MoM para Diferentes Tipos de Funções de Base e Teste ...................... 53

3.6.1 Função Pulso de Base e Teste ........................................................................................... 54

3.6.2 Função Triangular de Base e teste ................................................................................. 57

3.6.3 Função Pulso - Triângulo de Base e teste .................................................................... 61

3.7 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Função de Base e Teste ..... 65

3.8 Validações dos resultados através do software CST ..................................................... 68

3.8.1 Conclusões Parciais .............................................................................................................. 69

Capítulo 4 ......................................................................................................................................... 71

Apêndice A ....................................................................................................................................... 72

Referências Bibliográficas ......................................................................................................... 77

v

Lista de Figuras

Figura 2-1 – Função de base: Pulso ................................................................................................................................................ 16

Figura 2-2 – Função de base: Triangular ..................................................................................................................................... 17

Figura 2-3 – Capacitor de placas paralelas ................................................................................................................................. 19

Figura 2-4 – Função Pulso aplicado no Capacitor ................................................................................................................... 22

Figura 2-5 – Densidade de Carga (15 segmentos) .................................................................................................................. 24

Figura 2-6 – Densidade de Carga (35 segmentos) .................................................................................................................. 25

Figura 2-7 – Densidade de carga (15 segmentos) ................................................................................................................... 27

Figura 2-8 – Densidade de carga (35 segmentos) ................................................................................................................... 27

Figura 2-9 – Função Triangular aplicada no Capacitor ......................................................................................................... 28

Figura 2-10 – Densidade de carga (15 segmentos) ................................................................................................................ 30


Figura 2-12 – Função Pulso-Triângulo aplicada no Capacitor ........................................................................................... 32



Figura 2-15 – Capacitância do capacitor para as diferentes funções de base e teste, em função do número

de sub-áreas ................................................................................................................................................................................. 35

Figura 2-16 – Número de condicionamento para as diferentes funções de base e teste, em função do

número de sub-áreas ................................................................................................................................................................ 36

Figura 2-17 – Gasto computacional das funções de base ..................................................................................................... 37

Figura 2-18 – Comparação do gasto computacional das funções de base .................................................................... 38

Figura 3-1 - Espalhamento eletromagnético: (a) fonte (b) espalhador ........................................................................ 41

Figura 3-2 – Diagrama de blocos para o cálculo do campo de fontes elétricas e magnéticas.............................. 44

Figura 3-3 – Princípio da Equivalência: Problema Original ................................................................................................ 48

Figura 3-4 – Princípio da Equivalência: Problema equivalente externo ....................................................................... 49

Figura 3-5 – Princípio da Equivalência: Problema Equivalente Interno ....................................................................... 50

Figura 3-6– Campo elétrico incidindo em uma superfície CEP ......................................................................................... 51

Figura 3-7 – Densidade de corrente superficial para função de base pulso ................................................................ 56

Figura 3-8 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos) ....................................................................... 57

Figura 3-9 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo ......................................................... 60

Figura 3-10 – Distribuição de corrente ao longo da placa (35 segmentos) ................................................................. 61

Figura 3-11 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo ...................................................... 64

Figura 3-12 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos)..................................................................... 64

Figura 3-13 – Soma das correntes superficiais para todas as funções de base .......................................................... 65

vi

Figura 3-14 – Comparação do gasto computacional das funções de base .................................................................... 66

Figura 3-15 – Comparação do Número de Condicionamento das funções de base ................................................. 67

Figura 3-16 – Superfície CEP simulada no CST ......................................................................................................................... 68

Figura 3-17 – Módulo do Campo Elétrico na superfície CEP em 2D ............................................................................... 69

Figura 3-18 – Módulo da Corrente Superficial na superfície CEP em 1D ..................................................................... 69

vii

Lista de Tabelas

Tabela 2-1 – Resultados obtidos utilizando Point Matching .............................................................................................. 23

Tabela 2-2 – Resultados obtidos utilizando a Função Pulso............................................................................................... 26

Tabela 2-3 – Resultados obtidos utilizando a Função Triãngulo...................................................................................... 30

Tabela 2-4 – Resultados Função Pulso-Triângulo ................................................................................................................... 33

Tabela A-1 – Materiais dielétricos comerciais e suas características elétricas .......................................................... 74

viii

Lista de Símbolos

∅ = Potencial Elétrico

𝜌= densidade superficial de carga elétrica (C/m²)

𝑬𝑇 = intensidade de campo elétrico (V/m)

𝑬𝑖 = intensidade de campo elétrico incidente (V/m)

𝑬𝑠 = intensidade de campo elétrico espalhado (V/m)

𝑯𝑇 = intensidade de campo magnético (A/m)

𝑯𝑖 = intensidade de campo magnético incidente (A/m)

𝑯𝑠 = intensidade de campo magnético espalhado (A/m)

𝐺 = função de Green

𝑱 = densidade de corrente elétrica (A/m²)

𝑴 = densidade de corrente magnética (A/m²)

= vetor normal

𝜂0 = impedância intrínseca do meio

𝜔 = frequência angular (rad/s)

𝜇 = permeabilidade magnética (H/m)

𝜇𝑜 = permeabilidade magnética no espaço livre (H/m)

𝜇𝑟 = permeabilidade magnética relativa

휀 = permissividade elétrica (F/m)

휀𝑜= permissividade elétrica no espaço livre (F/m)

휀𝑟 = permissividade elétrica relativa

𝑃 = função de base pulso

𝑇 = função de base triângulo

𝑊 = função de teste

𝑘 = número de onda

ix

Lista de Abreviações

MoM = Método dos Momentos

CEP = Condutor elétrico perfeito

EFIE = Equação integral do Campo Elétrico

MLT = Método da Linha de Transmissão

MCR= Modos da Cavidade Ressonantes

FDM = método de diferenças finitas

FEM = método de elementos finitos

MEIF = método de equações integrais de fronteira

10

Capítulo 1

Introdução

1.1. Contextualização do Problema

A comunicação tem sido o principal mecanismo para a evolução da humanidade

ao longo dos anos. Os mecanismos por meio dos quais as comunicações têm sido

realizadas vêm evoluindo constantemente. Com o passar dos anos e o crescente

aumento das distâncias, desenvolveu-se tecnologias para realização das comunicações

sem nenhuma conexão física e a longas distâncias. O principal equipamento utilizado

para a concretização das comunicações sem fio é antena. Esta é um dispositivo que

transforma energia eletromagnética guiada por uma linha de transmissão em energia

eletromagnética irradiada, ou o contrário. O IEEE (Institute of Electrical and Electronics

Engineers) define antena como “A parte de um sistema de transmissão ou recepção que é

projetada para irradiar ou receber ondas eletromagnéticas” [2].

Independente da aplicação em telecomunicações da antena, é essencial que a

mesma tenha alto ganho e eficiência. Dentre os diversos tipos de antena disponíveis

atualmente no mercado, destaca-se a antena de microfita. O início da utilização desse

tipo de antena se deu na década de 70 para aplicações aeronáuticas, aeroespaciais, de

satélites e de mísseis de alto desempenho, onde seu perfil discreto, de baixo custo, peso

e tamanho eram essenciais. Apesar das antenas de microfita terem recebido

considerável atenção a partir da década de 70, esse tipo de antena já havia sido

investigado na década de 50 por Deschamps e foram apresentadas em 1953 durante o

III Simpósio sobre antenas nos Estados Unidos [3].

A partir das diferentes investigações que vem sendo conduzidas desde sua

concepção, verificou-se que o desempenho e funcionamento da antena de microfita está

relacionado principalmente à geometria do elemento radiante (plaqueta: quadrada,

circular, retangular, dentre outros) e às características do substrato onde a mesma está

impressa. Sua popularização se deu devido à facilidade de análise e de fabricação,

11

oferecendo baixo custo, moldabilidade, versatilidade (em termos de frequência

ressonante) e robustez. Um breve estudo apresentando as principais características das

antenas de microfita é apresentado no Anexo A.

Diversos estudos para a concepção de antenas de microfita compactas, com maior

largura de banda, dupla frequência e polarização, aumento do ganho, dentre outros, têm

sido apresentados nos últimos anos. Dentre os principais métodos utilizados nesse

estudo, destacam-se: o Método da Linha de Transmissão (MLT), Modos da Cavidade

Ressonantes (MCR) e o Método dos Momentos (MoM).

O método da linha de transmissão é considerado um método analítico e é a

técnica mais simples dentre os métodos citados para estudo de antenas de microfita. Na

solução analítica através desse modelo, o elemento irradiador de microfita é definido

como uma linha de transmissão ressonante. Apesar da facilidade em utilizar tal método,

não se deve restringir a análise apenas a esse modelo, uma vez que ele não leva em

consideração a variação do campo na direção ortogonal à direção de propagação, assim

a solução do problema fica comprometida e os resultados obtidos podem não ser

precisos [4]. O Método da Cavidade é um modelo relativamente simples de ser

implementado e possui a vantagem de poder manipular qualquer geometria de plaqueta

para antena de microfita. Esse método possui maior precisão quando comparado com o

da Linha de Transmissão. Ele modela a parte interna da antena como uma cavidade

cercada por paredes elétricas no topo e na base [5]. Entretanto esse modelo possui a

desvantagem de não apresentar resultados aceitáveis para antenas de microfita com

substratos mais espessos, com plaquetas empilhadas e arranjos de antenas. O MoM leva

em consideração o substrato dielétrico e força condições de contorno apropriadas na

interface ar/dielétrico. Utiliza-se a função de Green para o composto dielétrico [6], assim

são incluídos na análise a irradiação de onda espacial, modos de onda de superfície,

perdas do dielétrico e acoplamento com elementos externos. O MoM é caracterizado por

sua elevada precisão e complexa modelagem, devido a essas características, o MoM foi

utilizado para a solução do problema investigado neste trabalho.

O MoM permite o estudo do espalhamento eletromagnético, que é fundamental

para avaliar o comportamento das correntes superficiais na estrutura da antena. A

modelagem matemática aplicando utilizando o MoM deve ser aplicada nas superfícies

plana condutora perfeita e no dielétrico. Nesse trabalho faz-se o estudo do

12

espalhamento eletromagnético para a superfície metálica pura, esse estudo pode ser

estendido considerando a inclusão do substrato dielétrico.

1.2 Objetivo

O objetivo principal deste trabalho é o desenvolvimento do ferramental teórico,

analítico e numérico para análise do espalhamento eletromagnético por superfícies

planas condutoras. O desenvolvimento dessa modelagem matemática é importante pois

a partir da mesma, considerando a inclusão de um substrato dielétrico, pode ser

realizada a análise completa e antenas de microfita. Para alcançar esse objetivo principal

outros menores são necessários, dentro os quais destaca-se:

Revisão bibliográfica sobre MoM;

Desenvolvimento da modelagem matemática para solução de problemas

eletrostáticos bidimensionais utilizando o MoM;

Desenvolvimento do modelo computacional para solução de problemas

eletrostáticos bidimensionais;

Análise da resposta de diferentes tipos de função de base;

Extensão da modelagem matemática para problemas bidimensionais

estáticos para problemas de espalhamento eletromagnético por

superfícies planas condutoras perfeitas. A modelagem matemática é

baseada na solução da Equação integral do Campo Elétrico (EFIE) avaliada

pelo MoM.

Desenvolvimento do modelo computacional para problemas de

espalhamento eletromagnético por superfícies planas condutoras

perfeitas;

Validação do modelo computacional para problemas de espalhamento

eletromagnético por superfícies planas condutoras perfeitas por meio de

comparações dos resultados obtidos com aqueles gerados pelo CST [7];

Análise da resposta de diferentes tipos de função de base para problemas

de espalhamento eletromagnético por superfícies planas condutoras

perfeitas.

13

1.3 Metodologia

O desenvolvimento do ferramental teórico apresentado neste trabalho utiliza a

formulação integral generalizada para problemas de espalhamento eletromagnético.

Através do princípio da equivalência, o corpo é substituído por uma distribuição

superficial equivalente de corrente elétrica radiando em espaço livre. Aplicando

condições de contorno sobre a sua superfície, um sistema de equações integrais é

estabelecido e resolvido numericamente para a obtenção da corrente superficial

equivalente. A formulação numérica desenvolvida através do MOM é implementada no

software Matlab. Uma vez finalizado, o algoritmo é avaliado através de comparações

entre seus resultados e aqueles obtidos pelo software de modelagem eletromagnética

computacional CST.

1.4 Apresentação do Trabalho

O trabalho está organizado neste texto na seguinte ordem:

No Capítulo 2 é realizada uma breve apresentação da teoria sobre Método dos

Momentos. Formula-se a modelagem matemática para aplicação do MoM em um

problema eletrostático em duas dimensões, faz-se o uso de funções de base (Função

Pulso, Função Triangular e Função Pulso-Triângulo) e funções de teste (Point Matching e

Método de Galerkin). Avalia-se os resultados obtidos de densidade de carga e o número

de condicionamento das funções de base e teste estudadas.

No Capítulo 3 é apresentado o problema do espalhamento eletromagnético para

superfícies condutoras planas. São apresentadas as equações integrais de espalhamento

válidas para o espaço livre, o princípio da equivalência. Discorre-se sobre o

espalhamento eletromagnético em um meio condutor elétrico perfeito. Apresenta-se

então, o método dos momentos e as funções de base e de peso para o problema em

questão. Os resultados obtidos computacionalmente são validados através da

comparação com software CST.

No Capítulo 4 são apresentadas a conclusão do trabalho e as sugestões de

trabalhos futuros.

14

Capítulo 2

Método dos Momentos (MoM)

Neste capítulo realiza-se uma breve apresentação da teoria sobre Método dos

Momentos e elabora-se a modelagem matemática para sua aplicação à solução de um

problema eletrostático em duas dimensões.

2.1 Introdução

O método dos momentos é um método numérico amplamente utilizado na

solução de equações integrais cujo integrando é desconhecido [9]. A equação integral é

discretizada em um conjunto de equações lineares e dispostas em uma topologia

matricial [8]. Assim, considerando a equação (2.1):

𝐹(𝑔) = ℎ, (2.1)

onde 𝐹 é o operador linear conhecido, ℎ é a função de excitação conhecida e 𝑔 é a função

de resposta. Deseja-se determinar 𝑔, uma vez que 𝐹 e ℎ são conhecidos. A linearidade do

operador 𝐹 faz com que esse problema tenha solução. O método dos momentos é uma

técnica aplicável a esse tipo de problema, onde a função de resposta desconhecida pode

ser expandida como uma combinação linear de N termos e escrita na forma:

𝑔(𝑟′) = 𝛼1𝑔1(𝑟′) + 𝛼2𝑔2(𝑟

′) + ⋯+ 𝛼𝑁𝑔𝑁(𝑟′) = ∑ 𝛼𝑛𝑔𝑛(𝑟′)

𝑁

𝑛=1

, (2.2)

em que, 𝛼𝑛 são os coeficientes desconhecidos, os termos 𝑔𝑛(𝑟′) são conhecidos,

normalmente denominados de função de base ou função de expansão, 𝑁 é o número

15

total de funções e 𝑟′ representa o ponto fonte. O domínio de 𝑔𝑛(𝑟′) é o mesmo que o de

𝑔(𝑟′). Substitui-se então (2.2) em (2.1), tem-se assim que [9]:

∑ 𝛼𝑛𝐹(𝑔𝑛) ≈ ℎ

𝑁

𝑛=1

. (2.3)

As funções de base 𝑔𝑛 são escolhidas para cada 𝐹(𝑔𝑛), portanto podem ser

avaliadas de forma conveniente. Deve-se encontrar, então, somente 𝑎𝑛. Expandindo

(2.3) surge uma equação com N termos desconhecidos. Para resolver essa equação são

necessários 𝑁 equações lineares independentes, uma solução possível é resolver pelo

teste de 𝑁 pontos distintos.

∑ 𝛼𝑚𝐹(𝑔𝑚) = ℎ𝑚

𝑁

𝑚=1

, 𝑚 = 1,2,… , 𝑁, (2.4)

originando ao seguinte sistema linear [9]:

[𝑍𝑚𝑛][𝐼𝑛] = [𝑉𝑚], (2.5)

onde 𝐼𝑛 é o vetor que contém os coeficientes desconhecidos, 𝑉𝑚 é o vetor que contém os

termos independentes e 𝑍𝑚𝑛 é a matriz do MoM que é diagonalmente dominante e

portanto inversível.

2.2 Funções de Base

As funções de base têm uma importante função na solução das equações

integrais, pois devem representar razoavelmente o comportamento da função

desconhecida em todo o domínio do problema. A escolha apropriada do conjunto de

funções de aproximação pode otimizar a solução computacional, reduzindo o tempo

para encontrar a solução [10]. Variáveis desconhecidas mais complexas requerem o uso

de funções de base mais complicadas. Porém a escolha do tipo de função de base

determina o nível de dificuldade em avaliar os elementos da matriz do MoM. As funções

16

de base podem ser divididas em duas classes gerais, a primeira classe consiste em

funções de subdomínio [11], as quais são validas em apenas uma parte do domínio da

função, a segunda classe é baseada em funções de domínio inteiro [12], existem em todo

domínio da função desconhecida.

As funções definidas em subdomínios são mais comuns que as de domínio inteiro

[13]. A primeira pode ser utilizada sem o conhecimento prévio da natureza da função

que será representada. Devido a essa característica, a função definida em subdomínio foi

escolhida para modelagem do problema apresentado neste trabalho, pois pretende-se

obter o comportamento do espalhamento eletromagnético por superfícies planas

condutoras, cuja natureza da distribuição de corrente no condutor não é conhecida à

priori. As funções de base de subdomínio utilizadas neste trabalho são apresentadas nas

Seções 2.2.1 e 2.2.2.

2.2.1 Função Pulso

A função pulso é exibida na Figura 2-1, em que, o domínio foi discretizado em 𝑁

segmentos. Todos os segmentos da figura possuem o mesmo comprimento, mas isso não

é um requisito.

Figura 2-1 – Função de base: Pulso

A função de pulso é definida dentro de cada segmento como uma função

constante [8] e dado por:

𝑔𝑛(𝑥′) = 𝑃𝑛(𝑥′) = 1, 𝑥′𝑛 ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥′

𝑛+1

𝑃𝑛(𝑥′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.

(2.6)

17

A função pulso é uma aproximação simples para a solução em cada segmento,

mas pode simplificar muito a avaliação dos elementos da matriz.

2.2.2 Função Triangular

Outro tipo de funções de base, bastante utilizados é a função triangular [13], que

é exibida na Figura 2-2. Ao contrário da função pulso, a função triangular não é

constante em todo segmento, ela varia no eixo 𝑥′, conforme ilustrado, em que, o domínio

foi discretizado em N segmentos, resultando em N-1 funções de base.

Figura 2-2 – Função de base: Triangular

As funções triangulares são definidas como [8]:

𝑔𝑛(𝑥′) = 𝑇𝑛(𝑥′) =𝑥′−𝑥𝑛−1

′

𝑥𝑛′ −𝑥𝑛−1

′ , 𝑥𝑛−1′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛

′

𝑇𝑛(𝑥′) =𝑥𝑛−1

′ −𝑥′

𝑥𝑛+1′ −𝑥𝑛

′ , 𝑥𝑛′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1

′

𝑇𝑛(𝑥′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.

(2.7)

Conforme ilustrado na Figura 2-2, as funções triangulares cobrem dois segmentos

e se sobrepõem às funções vizinhas. Essas funções proporcionam uma aproximação

suave para a função 𝑔 em comparação com a função pulso. Porém, o aumento da

complexidade das funções de base aumenta o custo computacional total do MoM.

18

2.3 Funções de Teste

Após a escolha da função de base, deve-se efetuar o produto interno com uma

função de teste em ambos os lados da equação obtida com Método dos Momentos,

forçando-se assim a ortogonalidade do resultado [13]. As funções de teste são escolhidas

de forma a simplificar e facilitar a formulação do problema, há uma grande flexibilidade

na escolha dessas funções, pode-se usar o Point Matching e o Método de Garlekin.

A escolha da função de base e teste é a principal questão dentro da

implementação do Método dos Momentos [14]. Os fatores que afetam a escolha da

função de base e teste são: a precisão da solução desejada; a facilidade de avaliação dos

elementos da matriz; realizar um bom condicionamento da matriz. As funções de base e

teste devem ser obrigatoriamente linearmente independentes [15].

2.3.1 Point Matching

O Point Matching é equivalente ao uso de uma função Delta de Dirac como função

de teste. Esse método também é conhecido como “Point Collocation”. O Point Matching

possui a vantagem de não necessitar de integral ao longo da função de teste para avaliar

os elementos da matriz, sendo necessário apenas a função de origem, o que torna a

avaliação mais simples [8]. A principal desvantagem do método é que as condições de

contorno são combinadas apenas em locais discretos em todo o domínio da solução.

Apesar da desvantagem os resultados obtidos com o Point Matching são bastante

precisos, assim, o mesmo foi utilizado para fins comparativos neste trabalho.

2.3.2 Método de Galerkin

Em princípio pode-se utilizar qualquer tipo de função como função de teste para

a solução do MoM, porém a escolha da função de teste é fundamental para obter um

resultado preciso na solução do problema. O método de Galerkin é bastante utilizado

para esse fim, e estabelece que a função de teste escolhida deve ser igual a função de

base [8]. Ele tem a vantagem de fazer cumprir a condição de contorno em todo domínio

19

da solução, o que conduz a resultados mais precisos que o Point Matching. Neste

trabalho utiliza-se também o Método de Garlekin para fins comparativos.

2.4 MoM Aplicado a Solução de Problemas Eletroestáticos 2D

Em um primeiro estudo considerou-se a aplicação do MoM a um problema

simples, no caso, um capacitor de placas paralelas. O objetivo em examinar esse caso é

consolidar a modelagem matemática para um problema em duas dimensões e explorar a

precisão da solução para diferentes tipos de função de base e teste. O problema sob

análise é apresentado na Figura 2-3, em que, as placas de dimensão 𝑎 x 𝑏 estão

discretizadas em 2𝑁 sub-áreas, ∆𝑆1, ∆𝑆2, … , ∆𝑆𝑛 e∆𝑆𝑛+1, ∆𝑆𝑛+2, … , ∆𝑆2𝑛. A placa superior

𝑃1 possui potencial elétrico ∅1 e a inferior 𝑃2 tem potencial ∅2.

Figura 2-3 – Capacitor de placas paralelas

20

Dado o potencial elétrico nas placas ∅1 e ∅2, o potencial em qualquer ponto do

espaço é dado por [9]:

∅(𝒓) = ∫𝜌𝑆(𝒓

′)

4𝜋휀𝑜𝑅𝑑𝒓′,

𝑆′

(2.8)

onde 𝑅 = |𝑟 − 𝑟′| = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + (𝑧 − 𝑧′)², 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e 𝑥′, 𝑦′ e 𝑧′ são os pontos

de observação e fonte, respectivamente, 𝜌𝑆 é a densidade superficial de carga (C/m²)

sobre as placas, 휀𝑜 é a permissividade elétrica do vácuo e 𝑆 representa a superfície das

placas.

Em (2.8) 𝜌𝑆 é o termo desconhecido e portanto o parâmetro a ser determinado, a

densidade de carga desconhecida é então expandida em uma combinação linear de

funções de base como se segue:

𝜌𝑆(𝒓′) = ∑𝛼𝑛𝑔𝑛(𝒓′),

2𝑁

𝑗=1

(2.9)

onde 𝛼𝑛 são os coeficientes desconhecidos e 𝑔𝑛(𝒓′) são as funções de base.

Substituindo a equação (2.9) em (2.8) e escrevendo a equação como um

somatório, tem-se:

∅(𝒓) = ∑𝛼𝑛

4𝜋휀𝑜∫

𝑔𝑛(𝒓′)

𝑅𝑑𝒔′

𝑆′

2𝑁

𝑗=1

. (2.10)

A equação (2.10) é uma soma de integrais, cada uma sobre o domínio da função

de base, aplicando-se essa equação a cada uma das 2𝑁 sub-áreas da Figura 2-3 e

utilizando uma função de teste (W) em ambos os lados da equação (2.10), obtém-se:

∫ 𝑊(𝒓)∅1(𝒓)𝑆

= ∫ 𝑊(𝒓)𝑆

∑𝛼𝑗

4𝜋휀𝑜∫

𝑔1𝑗(𝒓′)

𝑅1𝑗𝑑𝑠′

𝑆′

2𝑁

𝑗=1

,

21

∫ 𝑊(𝒓)∅2(𝒓)𝑆

= ∫ 𝑊(𝒓)𝑆

∑𝛼𝑗

4𝜋휀𝑜∫

𝑔2𝑗(𝒓′)

𝑅2𝑗𝑑𝑠′

𝑆′

2𝑁

𝑗=1

,

⋮

∫ 𝑊(𝒓)∅2𝑁(𝒓)𝑆

= ∫ 𝑊(𝒓)𝑆

∑𝛼𝑗

4𝜋휀𝑜∫

𝑔2𝑛,𝑗(𝒓′)

𝑅2𝑁,𝑗𝑑𝑠′

𝑆′

2𝑁

𝑗=1

.

(2.11)

onde 𝑊 = ∑ 𝑊(𝒓)2𝑁𝑖=1 .

A equação (2.11) pode ser escrita na forma matricial

[

𝑍11 𝑍12 … 𝑍1,2𝑛

𝑍21 𝑍22 … 𝑍2,2𝑛

⋮𝑍𝑛,1

𝑍𝑛+1,1

⋮𝑍2𝑛,1

⋮𝑍𝑛,2

𝑍𝑛+1,2

⋮𝑍2𝑛,2

⋱……⋱…

⋮𝑍𝑛,𝑛

𝑍𝑛+1,𝑛

⋮𝑍2𝑛,2𝑛 ]

[

𝛼1

𝛼2

⋮𝛼𝑛

𝛼𝑛+1

⋮𝛼2𝑛 ]

=

[

𝑉1

𝑉2

⋮𝑉𝑛

𝑉𝑛+1

⋮𝑉2𝑛 ]

,

(2.12)

onde os elementos da matriz 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são:

𝑉𝑖 = ∫ 𝑊(𝒓′)𝑆

∅𝑖(𝒓). (2.13)

𝑍𝑖𝑗 =1

4𝜋휀𝑜∫ 𝑊(𝒓′)∫

𝑔𝑖𝑗(𝒓′)

𝑅𝑑𝒓′

𝑆′𝑆

. (2.14)

O problema do capacitor de placas paralelas foi solucionado considerando

diferentes tipos de funções de base e teste, conforme apresentado nas Seções 2.4.1, 2.4.2,

2.4.3 e 2.4.4.

22

2.4.1 Modelagem Matemática Utilizando MoM– Point Matching

Considerando como função de base, a função pulso (𝑔(𝒓′) = 𝑃(𝒓′)), conforme

ilustrado na Figura 2-4, e para a função de teste, delta de dirac (𝑊(𝒓) = 𝛿(𝒓)). Obtém-se

a modelagem matemática aplicando o MoM utilizando o Point Matching.

Figura 2-4 – Função Pulso aplicado no Capacitor

Reescreve-se as equações (2.13) e (2.14), os elementos da matriz 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são:

𝑉𝑖 = ∫ 𝛿(𝒓)𝑆

∅𝑖(𝒓)𝑑𝑠 (2.15)

23

𝑍𝑖𝑗 =1

4𝜋휀𝑜∫ 𝛿(𝒓)∫

𝑃𝑗(𝒓′)

𝑅𝑑𝑠′𝑑𝑠

𝑆′𝑆

. (2.16)

Expandindo (2.15) e (2.16) tem-se:

𝑉𝑖 = ∫ ∫ ∅𝑖(𝒓)𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥

, (2.17)

𝑍𝑖𝑗 =1

4𝜋휀𝑜∫ ∫

1

𝑅𝑦′

𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑥′

, (2.18)

onde 𝑅 = √(𝑥𝑐 − 𝑥′)2 + (𝑦𝑐 − 𝑦′)2 + 𝑑², sendo (𝑥𝑐, 𝑦𝑐) é o ponto central de cada sub-

área e ∫ ∫ 𝛿(𝑥, 𝑦)𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥

= 1. As integrais em 𝑥 e 𝑥′ são aproximadas por expressões

analíticas.

Utilizando o software Matlab foi desenvolvido um algoritmo, onde aplicou-se as

equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância entre as placas

do capacitor. Foram realizadas simulações considerando, a placa discretizada nos eixos

𝑥 e 𝑦 em 15 e 35 segmentos, resultando assim em um total de 450 e 2450 subáreas,

respectivamente. Os resultados obtidos durante a simulação no Matlab são apresentados

na Tabela 2-1.

Tabela 2-1 – Resultados obtidos utilizando Point Matching

Nº Segmentos Densidade de Carga (pC/m²) Capacitância (pF) Tempo (s)

15 58,03 29,02 0,668657

35 58,75 29,37 12,434716

Observa-se através da análise da Tabela 2-1 que o custo computacional para a

placa discretizada em 35 segmentos aumentou significativamente quando comprada

com a mesma placa discretizada em 15 segmentos embora o valor de densidade de carga

e capacitância não sofram alterações significativas. A Figura 2-5 e Figura 2-6 apresentam

o perfil da densidade de carga obtidas computacionalmente, para 15 e 35 segmentos,

24

respectivamente. O problema proposto na Figura 2-3 é também estudado no livro

“Elements of Electromagnetics” [9], os resultados obtidos na literatura são próximos dos

resultados exibidos na Tabela 2-1, confirmando assim a modelagem apresentada nesta

Seção.

Figura 2-5 – Densidade de Carga (15 segmentos)

0

5

10

15

0

5

10

150

0.5

1

1.5

2

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

25

Figura 2-6 – Densidade de Carga (35 segmentos)

Nota-se na Figura 2-5 e Figura 2-6 que valor da densidade de carga é

substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior concentração de

carga nessas regiões, conforme esperado, visto que, há efeito de borda nas placas. O

campo elétrico nas placas é uniforme na região central e não uniforme nas bordas das

placas. Embora o valor da densidade de carga da placa discretizada em 35 segmentos

não tenha uma alteração significativa em relação a placa discretizada em 15 segmentos,

esse pequeno aumento é devido ao fato de que o ponto de observação se aproxima da

borda a medida que se aumenta o número de subdivisões das placas.

2.4.2 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Pulso

Em uma segunda análise realizada, fez-se a modelagem matemática aplicando o

MoM utilizando a função pulso, onde para a função de base aplicou-se a função pulso

(𝑔(𝒓′) = 𝑃(𝒓′)). Utilizando o método de Garlekin, empregou-se como função de teste o

pulso (𝑊(𝒓) = 𝑃(𝒓)). Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são:

0

10

20

30

40

0

10

20

30

400

1

2

3

4

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

26

𝑉𝑖 = ∫ ∫ 𝑃𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓′)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥𝑦

, (2.19)

𝑍𝑖𝑗 =1

4𝜋휀𝑜∫ ∫ 𝑃𝑖(𝒓)

𝑥𝑦

∫ ∫𝑃𝑗(𝒓

′)

𝑅𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥′𝑦′

, (2.20)

onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑2.

Para resolução das integrais presentes em 𝑍𝑖𝑗 fez-se necessário recorrer a

métodos númericos, utilizou-se então uma grade quadrada onde foi aplicada uma

Quadratura Gaussiana para a integral na fonte [16]. Esse método possui a vantagem de

oferecer resultados precisos na solução de integrais. Para a resolução das integrais,

aplicou-se novamente a Quadratura Gaussiana de 1 e 1 e 6 e 6 pontos para as integrais

no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), respectivamente. Utilizando o software Matlab

desenvolveu-se um novo algoritmo onde, empregou-se as equações obtidas nesta seção,

de forma a obter a carga e a capacitância entre as placas. Foram realizadas simulações

considerando, as placas discretizadas em 15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e y, resultando

assim em 450 e 2450 subáreas, respectivamente. A Tabela 2-2 exibe os resultados

obtidos com a simulação do problema no Matlab.

Tabela 2-2 – Resultados obtidos utilizando a Função Pulso


15 58,55 29,28 3,755143

35 58,97 29,49 124.623355

A análise da Tabela 2-2 permite concluir que o custo computacional para a placa

discretizada em 35 segmentos aumentou significativamente quando comprada com a

mesma placa discretizada em 15 segmentos, embora o valor da densidade de carga e

capacitância não sofram alterações significativas. A Figura 2-7 e Figura 2-8 ilustram a

densidade de carga obtidas computacionalmente, para 15 e 35 segmentos,

respectivamente.

27

Figura 2-7 – Densidade de carga (15 segmentos)


0

5

10

15

0

5

10

150

0.5

1

1.5

2

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

0

10

20

30

40

0

10

20

30

400

1

2

3

4

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

28

Nota-se nas Figura 2-7 e Figura 2-8 que valor da densidade de carga é

significativamente maior nas bordas da placa, indicando uma maior concentração de

carga nessas regiões, como esperado. Embora o valor da capacitância para a placa

discretizada em 35 segmentos não tenha uma alteração significativa em relação a placa

discretizada em 15 segmentos, o aumento deve-se ao fato de que o ponto de observação

se aproximada borda à medida que se aumenta o número de subdivisões das placas.

2.4.3 Modelagem Matemática Utilizando MoM- Função Triângulo

Em uma terceira análise foram consideradas função de base e teste como sendo

funções triangulares, ou seja, 𝑔(𝒓′) = 𝑇(𝒓′) e 𝑊(𝒓) = 𝑇(𝒓), respectivamente como

ilustrado na Figura 2-9.

Figura 2-9 – Função Triangular aplicada no Capacitor

29

Neste trabalho foi proposta um novo tipo de função triangular aplicada as

coordenadas 𝑥 e 𝑦 da seguinte forma:

𝑔𝑛(𝒓′) = 𝑇𝑛(𝒓′) = (𝑥′ − 𝑥𝑛−1

′

𝑥𝑛′ − 𝑥𝑛−1

′ )(𝑦′ − 𝑦𝑛−1

′

𝑦𝑛′ − 𝑦𝑛−1

′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛−1′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛

′ 𝑒 𝑦𝑛−1′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛

′ ,

𝑇𝑛(𝒓′) = (𝑥𝑛−1

′ − 𝑥′

𝑥𝑛+1′ − 𝑥𝑛

′ )(𝑦𝑛−1

′ − 𝑦′

𝑦𝑛+1′ − 𝑦𝑛

′) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1

′ 𝑒 𝑦𝑛′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛+1

′ ,

𝑇𝑛(𝒓′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.

(2.21)

Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são:

𝑉𝑖 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥𝑦

4

𝑖=1

, (2.22)

𝑍𝑖𝑗 =1

4𝜋휀𝑜∑∑∫ ∫ 𝑇𝑖(𝒓)

𝑥𝑦

∫ ∫𝑇𝑗(𝒓

′)


𝑥′

,

𝑦′

4

𝑗=1

4

𝑖=1

(2.23)

onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑2.

Para resolução das integrais em (2.22) e

(2.23) fez-se necessário a integração numérica, utilizou-se a Quadratura

Gaussiana de 2 e 2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′),

respectivamente. Utilizando o software Matlab desenvolveu-se um novo algoritmo onde,

aplicou-se as equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância

entre as placas. Foram realizadas simulações considerando, as placas discretizadas em

15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e 𝑦, novamente. A Tabela 2-3 exibe os resultados obtidos

durante a simulação do problema no Matlab foram considerados os valores obtidos no

centro e nos vértices de cada sub-área. Os vértices das sub-áreas coincidem com o

vértice superior das funções triangulares, e dentro de cada sub-área a unicidade de

funções é garantida.

30

Tabela 2-3 – Resultados obtidos utilizando a Função Triãngulo


15-borda 61,036 30,52 244.575778

35-borda 61,21 30,6 3517.327885

15-centro 55,4 27,7 244.575778

35-centro 57,32 28,66 3517.327885

A análise da Tabela 2-3 permite concluir que o custo computacional para as

placas discretizadas em 35 subáreas aumentou significativamente quando comprada

com as mesmas placas discretizadas em 15 subáreas embora o valor da densidade de

carga e capacitância não sofram alterações significativas, tanto para a solução

considerando a carga nos vértices quanto para a solução considerando a carga no centro

de cada sub-área. Através da Tabela 2-3 nota-se que para um mesmo número de

discretizações, a densidade de carga e capacitância são maiores nos vértices da placa do

que no centro da mesma, realçando assim o efeito de borda. As Figura 2-10 e Figura 2-11

ilustram a densidade de carga obtida computacionalmente, para 15 e 35 segmentos,

respectivamente.

31



0

5

10

15

0

5

10

150

0.5

1

1.5

2

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

0

10

20

30

40

0

10

20

30

400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

32

Percebe-se na Figura 2-10 e Figura 2-11 que valor da Densidade de Carga é

significativamente maior nos vértices das placas, indicando uma maior concentração de

carga nessas regiões. Mesmo que o valor da capacitância para as placas discretizadas em

35 segmentos não tenha uma alteração significativa em relação as placas discretizadas

em 15 segmentos, o aumento é devido ao fato do ponto de observação ficar mais

próximo a borda a medida que se aumenta o número de subdivisões das placas.

2.4.4 Modelagem Matemática Utilizando MoM - Função Pulso-Triângulo

Em uma última análise considerou-se uma combinação de funções pulso e

triângulo para a modelagem matemática, em que a função de base é: 𝑔(𝒓′) = 𝑇𝑃(𝒓′) e a

função de teste é: 𝑊(𝒓) = 𝑇𝑃(𝒓), conforme ilustrado na Figura 2-12.

Figura 2-12 – Função Pulso-Triângulo aplicada no Capacitor

33

A função pulso triângulo é definida para os eixos 𝑥 e 𝑦 como:

𝑔𝑛(𝒓′) = 𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = (𝑥′ − 𝑥𝑛−1

′

𝑥𝑛′ − 𝑥𝑛−1

′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛−1′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛

′ 𝑒 𝑦𝑛−1′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛

′ ,

𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = (𝑥𝑛−1

′ − 𝑥′

𝑥𝑛+1′ − 𝑥𝑛

′ ) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝑛′ ≤ 𝑥′ ≤ 𝑥𝑛+1

′ 𝑒 𝑦𝑛′ ≤ 𝑦′ ≤ 𝑦𝑛+1

′ ,

𝑇𝑃𝑛(𝒓′) = 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.

(2.24)

Neste caso os elementos das matrizes 𝑉𝑖 e 𝑍𝑖𝑗 são:

𝑉𝑖 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖(𝒓)∅𝑖(𝒓)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥𝑦

2

𝑖=1

, (2.25)

𝑍𝑖𝑗 =1

4𝜋휀𝑜∑∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖(𝒓)

𝑥𝑦

∫ ∫𝑇𝑃𝑗(𝒓

′)


𝑥′𝑦′

2

𝑗=1

,

2

𝑖=1

(2.26)

onde 𝑅 = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2 + 𝑑².

Para resolução das integrais em (2.25) e (2.26) também foi utilizada a Quadratura

Gaussiana de 2 e 2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′),

respectivamente. Utilizando o software Matlab desenvolveu-se um novo algoritmo onde,

aplicou-se as equações obtidas nesta seção, de forma a obter a carga e a capacitância

entre as placas. Foram realizadas simulações considerando, as placas discretizadas em

15 e 35 segmentos nos eixos 𝑥 e 𝑦, novamente. A Tabela 2-4 exibe os resultados obtidos

durante a simulação do problema no Matlab. Também neste caso pontos na borda e no

centro de cada sub-área foram considerados. Em cada sub-área existem dois triângulos

onde os vértices estão alinhados no eixo 𝑥.

Tabela 2-4 – Resultados Função Pulso-Triângulo


15-borda 58,032 29,016 106.197301

34

15-centro 55,24 27,62 106.197301

35-borda 59,17 29,58 2799.005626

35-centro 57,24 28,62 2799.005626

A análise da Tabela 2-4 permite concluir que o custo computacional para a placa

discretizada em 35 subáreas aumentou significativamente quando comprada com a

mesma placa discretizada em 15 subáreas, embora o valor da densidade de carga e

capacitância não sofram acentuações significativas, tanto para a solução considerando a

carga na borda quanto para a solução considerando a carga no centro da placa. Devido

ao efeito de borda, a densidade de carga é maior na borda do que no centro da placa. A

Figura 2-13 e Figura 2-14 ilustram a densidade de carga obtidas computacionalmente,

para 15 e 35 segmentos, respectivamente.


0

5

10

15

0

5

10

150

0.5

1

1.5

2

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

35


Constata-se na Figura 2-13 e Figura 2-14 que valor da Densidade de Carga é

significativamente maior nas bordas da placa, indicando maior concentração de carga

nessas regiões. Mesmo que o valor da densidade de carga das placas discretizadas em 35

segmentos não tenha uma alteração significativa em relação as placas discretizadas em

15 segmentos, o aumento é devido ao ponto de observação ficar mais próximo a borda a

medida que se aumenta o número de subdivisões das placas.

2.5 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Funções de Base e Teste

Os resultados obtidos nas Seções 2.4.1, 2.4.2, 2.4.3 e 2.4.4 foram aglutinados e

comparados nessa seção. Para tanto a discretização das placas do capacitor de placas

paralelas ilustrada na Figura 2-3 foi variada de 1 a 35 segmentos para os eixos 𝑥 e 𝑦,

resultando em 2 a 2450 sub-áreas, respectivamente. A Figura 2-15 ilustra os resultados

obtidos para a capacitância. Considerou-se todas as funções de teste e base apresentadas

neste capítulo, sendo elas, Point Matching, função pulso, função triangular e função

pulso-triângulo.

0

10

20

30

40

0

10

20

30

400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x 10-10

Densid

ade d

e C

arg

a (

C/m

²)

36

Figura 2-15 – Capacitância do capacitor para as diferentes funções de base e teste, em função do

número de sub-áreas

A análise da Figura 2-15 permite inferir que a medida que o número de sub-áreas

aumenta, o valor da capacitância tende a um único valor. O Point Matching e a função

pulso possuem comportamento semelhante, visto que, a primeira utiliza como função de

teste a função Delta de Dirac e a segunda é um pulso com valor unitário ambos avaliados

no centro de cada sub-área. Comparando a função triangular na borda e no centro e a

função pulso-triângulo na borda e no centro, conclui-se que a capacitância na borda é

maior que no centro, resultado esperado, uma vez que, na borda das placas o valor da

carga é maior, em razão do efeito de borda. A capacitância na função triângulo é maior

que na função pulso-triângulo, esse resultado deve-se ao fato da primeira função ser

dividida em 4 funções (triângulo nos eixos 𝑥 e 𝑦) em cada sub-área e a segunda ser

dividida em 2 funções (triângulo no eixo 𝑥 e pulso no eixo y), assim, o efeito de borda é

mais acentuado na função triângulo que possui funções mais próximas da borda.

A Figura 2-16 ilustra os resultados obtidos para o número de condicionamento da

matriz 𝑍𝑖𝑗 para as soluções sob estudo e considerando diferentes números de

segmentos.

0 500 1000 1500 2000 25001.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2x 10

-11

Número total de Sub-áreas das placas do capacitor

C (

F)

Point Matching

Pulso

Triângulo centro

Triângulo borda

Pulso-triângulo centro

Pulso-triângulo borda

37

Figura 2-16 – Número de condicionamento para as diferentes funções de base e teste, em função do número de sub-áreas

Através da análise da Figura 2-16 conclui-se que o número de condicionamento

da matriz de impedância piora à medida que se aumenta o número de discretizações em

sub-áreas, conforme esperado, uma vez que a matriz tende a ser mais singular. A função

triângulo apresentou o maior número de condicionamento dentre as funções de base

analisadas, em razão de possuir um maior número de funções envolvidas, quatro por

sub-área. A função pulso-triângulo possui mais funções envolvidas que a pulso e point

matching, sendo duas por sub-área, por isso, o seu número de condicionamento é maior

quando comparado com essas funções. As funções pulso e point matching são similares,

visto que a segunda utiliza como função de base o pulso, com isso, o número de

condicionamento dessas funções são próximos. Todas as funções analisadas

apresentaram um número de condicionamento comportado, assegurando assim a

precisão da solução numérica do sistema linear.

A Figura 2-17 e Figura 2-18 ilustram o custo computacional de cada solução sob

estudo à medida que se aumenta o número de discretizações das placas, ambas as

0 500 1000 1500 2000 25000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

cond(Z

)

Número total de Sub-áreas das placas do capacitor

Point Matching

Pulso

Triângulo

Pulso-triângulo

38

figuras representam as mesmas funções, sendo que na primeira é possível visualizar o

comportamento de cada função individualmente e a segunda exibe uma comparação de

todas as funções estudadas.

Figura 2-17 – Gasto computacional das funções de base

Figura 2-18 – Comparação do gasto computacional das funções de base

0 1000 2000 30000

5

10

15

Número de Sub-áreas

Tem

po (

s)

Point Matching

0 1000 2000 30000

50

100

150


Tem

po (

s)

Pulso

0 1000 2000 30000

1000

2000

3000

4000


Tem

po (

s)

Triângulo

0 1000 2000 30000

1000

2000

3000


Tem

po (

s)

Pulso-Triângulo

0 500 1000 1500 2000 25000

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Número total de Sub-áreas

Tem

po (

s)

Point Matching

Pulso

Triângulo

Pulso-Triângulo

39

Verifica-se na Figura 2-17 que o gasto computacional de todas as funções de base

aumenta exponencialmente a medida que se aumenta o número de sub-áreas. A Figura

2-18 compara o gasto computacional das funções de base utilizadas neste capítulo,

constata-se que as funções triângulo e pulso-triângulo custam mais tempo para a

solução do problema do capacitor de placas paralelas, visto que possuem mais funções

envolvidas em cada sub-área. A função pulso e o Point Matching são soluções simples,

assim apresentaram menor gasto computacional.

2.6 Validação dos Resultados através do CST

Os resultados obtidos computacionalmente através do código desenvolvido no

software Matlab foram validados através de comparações, com o resultado obtido

utilizando o CST. O valor obtido via CST foi 21,9 pF, comparando esse resultado com os

apresentados na Tabela 2-1, Tabela 2-2, Tabela 2-3 e Tabela 2-4, verifica-se que o

resultado da capacitância obtido na simulação é próximo dos resultados obtidos com as

funções de base testadas, confirmando assim a eficácia da solução em estudo, validando

portanto os resultados obtidos no programa desenvolvido no Matlab.

2.7 Conclusão Parcial

Todas a funções de base testadas apresentaram resultados fisicamente

consistentes para o problema proposto neste capítulo, a grande diferença entre elas é o

custo computacional apresentada por cada uma. A função triangular necessitou de um

tempo maior para simulação, seguido da função pulso-triângulo e função pulso, já que

quanto maior o número de funções envolvidas, maior é o custo computacional,

consequentemente maior será o tempo requerido para a simulação. As funções

investigadas são utilizadas no Capítulo 3 para o estudo do problema de espalhamento

eletromagnético.

40

Capítulo 3

Espalhamento Eletromagnético

Neste capítulo é apresentado o problema do espalhamento eletromagnético para

superfícies condutoras planas. Mostra-se as equações integrais de espalhamento válidas

para o espaço livre e o princípio da equivalência. Discorre-se sobre o método dos

momentos aplicado ao problema em questão, considerando a análise para os diferentes

tipos de funções de base e teste exibidos no Capítulo 2.

3.1 Espalhamento Eletromagnético

41

O espalhamento eletromagnético ocorre quando uma onda eletromagnética

viajante no espaço é interceptada por um obstáculo (corpo), assim um campo é

espalhado ou refletido. Quando um campo elétrico incidente (𝐸𝑖) e um campo magnético

incidente (𝐻𝑖) incidem sobre o obstáculo, são induzidas correntes nesse obstáculo [17],

que irradiam campos eletromagnéticos espalhados (𝐸𝑠, 𝐻𝑠). Os campos

eletromagnéticos totais (𝐸𝑇 , 𝐻𝑇), são então uma sobreposição dos campos espalhados

com os campos incidentes [18]:

𝑬𝑇 = 𝑬𝑖 + 𝑬𝑠 (3.1)

𝑯𝑇 = 𝑯𝑖 + 𝑯𝑠 (3.2)

A Figura 3-1 ilustra o problema de espalhamento eletromagnético. Considerando

que o avião (espalhador) está longe da fonte (antena) – Far Field, pode-se afirmar que a

onda que irá incidir no objeto é plana. A antena então emite uma onda plana no espaço

livre (Ω𝑜), quando essa onda for interceptada pelo corpo, no caso, o avião, ocorrerá o

fenômeno do espalhamento eletromagnético, que é a interação entre o campo incidente

e o campo espalhado.

42

Figura 3-1 - Espalhamento eletromagnético: (a) fonte (b) espalhador

Para o problema de espalhamento eletromagnético, deve-se então considerar a

fonte de campos eletromagnéticos e o objeto espalhador. Considera-se que as ondas

planas que incidem sobre o espalhador são uniformes, com isso, para se obter o campo

eletromagnético total, basta calcular o campo espalhado.

Uma forma de se calcular o espalhamento eletromagnético é através das

equações de campo eletromagnético e das condições de contorno do campo sob esse

objeto. As equações de campo, elétrico e magnético, são obtidas através das equações de

Maxwell.

3.2 Métodos Numéricos para Solução de Problemas de Espalhamento Eletromagnético

43

Os métodos numéricos são utilizados para solucionar problemas de

espalhamento eletromagnético. Para a solução desses problemas pode-se usar técnicas

diferenciais e integrais. As técnicas numéricas diferenciais são utilizadas para solucionar

problemas de contorno em domínios fechados, preenchidos por materiais heterogêneos,

não-lineares ou anisotrópicos [19]. As técnicas numéricas integrais consistem na

modelagem de um problema utilizando equações integrais. São largamente utilizadas

para problemas, em que, o domínio seja composto por material linear, homogêneo,

isotrópico e problemas abertos.

O método de diferenças finitas (FDM) é uma técnica numérica diferencial

computacional, que calcula dinamicamente campos eletromagnéticos, distribuições de

temperatura ou outros fenômenos descritos por equações diferenciais [20]. Esse método

consiste em uma subtração nos pontos de interesse, seguida de uma divisão pelo

intervalo entre os pontos considerados, substituindo assim, a operação de diferenciação.

O FDM é de simples implementação, porém não permite a modelagem precisa de

problema que possuem a superfície curva e apresenta dificuldade em representar

campos na interface entre meios diferentes [21].

O método de elementos finitos (FEM) é uma técnica numérica diferencial

utilizada para modelagem de objetos que possuem geometria complexa. A técnica

consiste em dividir o domínio do problema em subdomínios arbitrários, chamados

elementos [21]. Após essa divisão, aproxima-se a incógnita de cada elemento por uma

função de interpolação. Utiliza-se para essa função um outro método, que é o dos erros

ponderados ou o variacional, como resultado tem-se que a equação diferencial parcial

transformou-se em um sistema algébrico de equações, onde a matriz de coeficientes é

espessa, podendo ser simétrica [22]. O FEM possui a vantagem de ser flexível, podendo

modelar objetos com geometria complexa e cujos domínios estejam preenchidos por

diferentes materiais [21].

O método de equações integrais de fronteira (MEIF) é uma técnica numérica

integral que consiste na solução de equações diferenciais, transformando-as em

equações integrais sobre a fronteira da região estudada, seguido da discretização do

contorno, montagem das matrizes e solução do sistema de equações [23]. O MEIF possui

alta precisão e baixo gasto computacional. Entretanto não são eficientes para solucionar

problemas, onde se deve modelar o interior do domínio.

44

O método dos momentos (MoM) é uma técnica numérica integral que consiste na

solução de equações integrais, transformando-as em sistema de equações algébricas,

com auxílio de funções de base ponderada e funções de teste [14]. A modelagem

matemática através do MoM fornecem soluções precisas e permite o tratamento de

problemas abertos. O método possui elevado custo computacional e singularidades

numéricas. Entretanto essa técnica é largamente utilizada para solucionar problemas de

antenas e de espalhamento eletromagnético com excelentes resultados.

Devido aos bons resultados gerados pelo MoM para solucionar problemas de

espalhamento eletromagnético e sua larga aplicação, esse método foi escolhido para

análise do problema proposto neste trabalho.

3.3 Equações Integrais de Espalhamento Válidas para o Espaço Livre

Para problemas de radiação normalmente se utiliza o vetor potencial magnético

(A) e o vetor potencial elétrico (F) para o cálculo dos campos. A Figura 3-2 ilustra as

etapas para a resolução de problemas de radiação para campos elétricos e magnéticos. O

primeiro caminho, relaciona os campos eletromagnéticos (E, H) com as fontes de

corrente (J, M) através de relações integrais. O segundo caminho de integração,

relaciona os vetores potencial (A, F) com as fontes de corrente (J, M) através de relações

integrais. O terceiro caminho, determina os campos eletromagnéticos (E, H) através da

diferenciação dos vetores potencial (A, F). Embora o segundo caminho exija integração e

diferenciação, enquanto que o primeiro requeira apenas uma integração, os integrandos

do segundo caminho são simples [13].

45

Para obter as equações integrais e solucionar problemas envolvendo campo

elétrico e magnético utiliza-se as equações de Maxwell, essas podem ser escritas no

domínio da frequência como [13]:

∇ × 𝑬 = −𝑴 − 𝑗𝜔𝜇𝑯,

(3.3)

∇ × 𝑯 = −𝑱 − 𝑗𝜔휀𝑬,

(3.4)

∇. 𝑬 =𝑞

휀,

(3.5)

∇.𝑯 = 0, (3.6)

onde 𝑬 é o campo elétrico (V/m), 𝑯 é o campo magnético (A/m), 𝑱 é a densidade de

corrente elétrica (A/m²), 𝑴 é a densidade de corrente magnética (A/m²), 𝑞 é a

densidade de carga, 휀 (F/m) é a permissividade elétrica, 𝜇 (H/m) permeabilidade

magnética e 𝜔 é a frequência angular (rad/s).

A partir das equações (3.3) a (3.6) representa-se os campos elétrico e magnético

totais, tal como [13]:

𝑬 = −𝑗𝜔𝑨 − 𝑗1

𝜔𝜇휀∇(∇. 𝑨) −

1

휀∇ × 𝑭, (3.7)

Figura 3-2 – Diagrama de blocos para o cálculo do campo de fontes elétricas e magnéticas

46

𝑯 =1

𝜇∇ × 𝑨 − 𝑗𝜔𝑭 − 𝑗

1

𝜔𝜇휀∇(∇. 𝑭), (3.8)

sendo:

𝑨 =𝜇

4𝜋∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)

𝑒−𝑗𝛽𝑅

𝑅𝑑𝑣′

𝑣

. (3.9)

𝑭 =휀

4𝜋∭ 𝑴(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)

𝑒−𝑗𝛽𝑅

𝑅𝑑𝑣′

𝑣

. (3.10)

onde 𝑅 = |𝒓 − 𝒓′| = √(𝑥 − 𝑥′)2 + (𝑦 − 𝑦′)2.

Substituindo as equações (3.9) e (3.10) na equação (3.7), tem-se

𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔𝜇

4𝜋∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)

𝑒−𝑗𝛽𝑅

𝑅𝑑𝑣′

𝑣

− 𝑗1

𝜔𝜇휀∇(∇. (

𝜇

4𝜋∭ 𝑱(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)

𝑒−𝑗𝛽𝑅

𝑅𝑑𝑣′

𝑣

)) −1

휀∇

×휀

4𝜋∭ 𝑴(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)

𝑒−𝑗𝛽𝑅

𝑅𝑑𝑣′

𝑣

,

(3.11)

A função de Green para o espaço livre é definida como[24]:

𝐺(𝒓, 𝒓′) =𝑒−𝑗𝛽𝑅

4𝜋𝑅𝑑𝑣′. (3.12)

Substituindo (3.12) em

(3.11), tem-se:

47

𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔𝜇 ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑣

− 𝑗1

𝜔휀∇(∇. (∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)

𝑣

𝑑𝑣′)) − ∇

× ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′

𝑣

.

(3.13)

De maneira similar para o campo magnético, tem-se:

𝑯(𝒓, 𝒓′) = ∇ × ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑣

− 𝑗𝜔휀 ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑣

− 𝑗1

𝜔𝜇∇(∇.∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)

𝑣

).

(3.14)

Como as fontes não são funções do observador, essas não afetam os operadores,

com isso as relações a seguir podem ser empregadas [25].

∇. ((𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)) = 𝑱(𝒓′). ∇𝐺(𝒓, 𝒓′).

(3.15)

∇ (∇. ((𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′))) = ∇(𝑱(𝒓′). ∇𝐺(𝒓, 𝒓′)) = (𝑱(𝒓′). ∇)∇G(𝐫, 𝐫′).

(3.16)

∇ × ((𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)) = ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑴(𝒓′). (3.17)

Reescrevendo a equação (3.13), com base nas relações (3.15) a (3.17), tem-se:

𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝑗𝜔𝜇 ∭ 𝑱(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′

𝑣

− ∭𝑗

𝜔휀(𝑱(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)

𝑣

𝑑𝑣′

− ∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑴(𝒓′)) 𝑑𝑣′.𝑣

(3.18)

De forma dual, pode-se obter a equação integral para o campo magnético:

48

𝑯(𝒓, 𝒓′) = j∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑱(𝒓′) 𝑑𝑣′𝑣

− 𝑗𝜔휀 ∭ 𝑴(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′

𝑣

−𝑗

𝜔𝜇∭ (𝑴(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′

𝑣

.

(3.19)

Pode-se simplificar as equações (3.18) e (3.19) utilizando operadores integro

diferenciais para um dado meio “𝑙” [24].

𝐿𝑙(𝑿) = −𝑗

𝜔휀∭ 𝑘2

𝑣

𝑿(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑿(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑣′.

(3.20)

𝐾𝑙(𝑿) = −1∭ ∇𝐺(𝒓, 𝒓′) × 𝑿(𝒓′).𝑣

(3.21)

onde 𝑿 = 𝑱 ou 𝑴 e 𝑘𝑙 = 𝜔√𝜇휀 é o número de onda.

Assim, reescreve-se as equações (3.18) e (3.19) como:

𝑬(𝒓, 𝒓′) = −𝜂𝐿𝑙(𝑱) + 𝐾𝒍(𝑴),

(3.22)

𝑯(𝒓, 𝒓′) =1

𝜂𝐿𝑙(𝑴) − 𝐾𝒍(𝑱), (3.23)

onde 𝜂0 = √𝜇/휀 é a impedância intrínseca do meio.

3.4 Problema Equivalente

Na Seção 3.3 foram apresentadas as equações integrais do campo elétrico e

magnético para o problema de radiação eletromagnética válidas para o espaço livre.

Para a solução de problemas de espalhamento utilizando essas equações deve-se utilizar

o princípio da equivalência, em que, o obstáculo é substituído por correntes superficiais

equivalentes elétrica e magnética [24].

49

A Figura 3-3 ilustra o problema original, em que, um obstáculo (meio 1) com

características (𝜇𝑟 , 휀𝑟) e (meio 2) com características (𝜇0, 휀0)é iluminado por um campo

eletromagnético incidente.

Figura 3-3 – Princípio da Equivalência: Problema Original

A partir das condições de contorno sobre as componentes tangenciais do campo

na fronteira entre os meios externo e interno, pode-se obter as equações integrais do

campo elétrico e magnético em cada meio.

Para o problema equivalente externo, tem-se que o campo elétrico e magnético

interno ao objeto valem zero (𝑬𝟏 = 𝑯𝟏 = 0). A Figura 3-4 ilustra o problema de

equivalente externo. Nessa condição as equações (3.22) e (3.23) podem ser reescritas

como:

𝑬𝟎(𝒓, 𝒓′) = −𝜂0𝐿0(𝑱𝑺) + 𝐾𝟎(𝑴𝑺),

(3.24)

𝑯𝟎(𝒓, 𝒓′) =1

𝜂0

𝐿0(𝑴𝑺) − 𝐾𝟎(𝑱𝑺), (3.25)

50

Figura 3-4 – Princípio da Equivalência: Problema equivalente externo

De maneira semelhante para o problema equivalente interno, tem-se que o

campo elétrico e magnético externo ao objeto valem zero (𝑬𝟎 = 𝑯𝟎 = 0). A Figura 3-5

ilustra o problema de equivalência interno. Nessa condição as equações (3.22) e (3.23)

podem ser reescritas como:

𝑬𝟏(𝒓, 𝒓′) = −𝜂1𝐿1(−𝑱𝑺) + 𝐾𝟏(−𝑴𝑺). (3.26)

𝑯𝟏(𝒓, 𝒓′) =1

𝜂1

𝐿1(−𝑴𝑺) − 𝐾𝟏(−𝑱𝑺). (3.27)

onde 𝑱𝑺 e 𝑴𝑺 são as correntes equivalentes superficiais.

O sinal negativo nas correntes equivalentes superficiais (−𝑱𝑺 e −𝑴𝑺) para o

problema equivalente interno indicam que no problema em questão essas correntes têm

o sentido oposto àquele definido para o problema equivalente externo devido a

orientação fixa do operador .

51

Figura 3-5 – Princípio da Equivalência: Problema Equivalente Interno

3.5 Espalhamento em uma placa condutora finita

Para a modelagem de uma antena de microfita um primeiro passo é o

desenvolvimento da modelagem matemática para superfície plana condutora perfeita

posteriormente estende-se a formulação para a inclusão do substrato dielétrico. Neste

trabalho é considerada a modelagem da superfície metálica pura, portanto, modela-se

somente para o problema equivalente externo, pois não existem campos

eletromagnéticos internos a superfícies condutoras perfeitas. A Figura 3-6 ilustra o

problema estudado neste capítulo, em que, um campo elétrico incide normalmente

sobre um obstáculo, no caso, uma placa condutora perfeita (CEP) de dimensão 𝑎 x 𝑏,

induzindo correntes superficiais a placa nas direções 𝑥 e 𝑦, 𝐽𝑥 e 𝐽𝑦, respectivamente.

52

Figura 3-6– Campo elétrico incidindo em uma superfície CEP

Através da imposição das condições de contorno sobre as componentes

tangenciais do campo na superfície da placa ilustrada na Figura 3-6, tem-se que, o campo

elétrico total vale zero e o campo magnético total é igual a corrente elétrica superficial:

× 𝑬𝑇 = 0. (3.28)

× 𝑯𝑇 = 𝑱𝒔. (3.29)

Substituindo as equações (3.28) e (3.29) nas equações (3.1) e (3.2),

respectivamente, tem-se que:

× 𝑬𝑖(𝒓) = − × 𝑬𝑠(𝒓, 𝒓′) == −𝜂0 × 𝐿0(𝑱𝒔(𝒓′)). (3.30)

× 𝑯𝑖 = 𝑱𝒔 − × 𝑯𝒔(𝒓, 𝒓′) = 𝑱𝒔 + × 𝐾𝟎(𝑱𝒔(𝒓′)). (3.31)

Para o meio CEP a corrente magnética é nula (𝑴𝑠 = 0), em razão disso a parte

referente a essa corrente nas equações (3.30) e (3.31) foi desprezada. A equação do

campo magnético não foi aplicada a solução do espalhamento eletromagnético de uma

placa condutora finita, pois a mesma não é adequada para análise de superfícies CEP

abertas, como é o caso da placa em estudo [26].

53

3.5.1 Método dos Momentos aplicado a solução do espalhamento eletromagnético de uma placa condutora finita

Como apresentado na Seção 2.1 o método dos momentos é utilizado para resolver

equações integrais, quando um parâmetro do integrando é desconhecido,

transformando a equação integral em um sistema linear.

Para resolver a equação (3.30), deve-se transformá-la em um sistema linear de

equações algébricas. Para tanto, a densidade de corrente equivalente superficial elétrica

deve ser representada por uma soma finita de funções de base conhecidas (𝑱𝑗(𝒓′)),

multiplicado por coeficientes desconhecidos (𝐼𝑗) [24].

𝑱𝑠(𝒓′) = ∑𝐼𝑗

𝑥𝐽𝑗𝑥(𝒓′) + 𝐼𝑗

𝑦𝐽𝑗𝑦(𝒓′),

𝑁

𝑗=1

(3.32)

onde 𝑁 é o número total de funções de base escolhidas para representar corretamente o

comportamento da corrente elétrica na superfície do condutor.

Assim, substituindo a equação (3.32) na equação (3.30), tem-se que:

× 𝑬𝒊(𝒓) = −𝜂0 × 𝐿0(∑ 𝐼𝑗𝑥𝐽𝑗

𝑥(𝒓′)𝑥 + 𝐼𝑗𝑦𝐽𝑗𝑦(𝒓′)𝑁

𝑗=1 ). (3.33)

Expandindo, tem-se:

× 𝑬𝒊(𝒓) =𝑗

𝜔휀 × ∬ 𝑘2𝑱𝑠(𝒓

′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝑠(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)

𝑆′𝑑𝑠′.

(3.34)

Operando o produto escalar de funções de teste, 𝑾(𝒓′), obtém-se um sistema

linear, assim, determina-se os coeficientes desconhecidos da equação (𝐼𝑗𝐽). Resolvendo a

integral sobre a superfície do objeto espalhador e reescrevendo (3.34), tem-se que:

54

∫ 𝑾(𝐫’). × 𝑬𝒊(𝒓)𝑑𝑠′

𝑺

=𝑗

𝜔휀 × ∫ 𝑾(𝒓′)

𝑆

∫ [𝑆′

𝑘2𝑱𝑠(𝒓′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝑠(𝒓

′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)]𝑑𝑠′𝑑𝑠.

(3.35)

onde 𝑾(𝐫’) = 𝑊𝑥(𝑟) + 𝑊𝑦(𝑟).

A equação matricial obtida é:

[𝑉𝐸] = [𝑍𝐸][𝐼],

(3.36)

onde 𝐸 representa a equação matricial obtida através da equação integral do campo

elétrico (EFIE), [𝑉] é o vetor de excitação, [𝑍] é a matriz de impedâncias e [𝐼] é o vetor de

coeficientes desconhecidos.

A matriz [𝑉] possui dimensão [𝑁 x 1] e seu i-ésimo termo pode ser expresso

como:

𝑉𝑖𝐸 = ∫ 𝑾𝒊(𝒓). [ × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑠

𝑆

. (3.37)

A matriz [𝑍] possui dimensão [𝑁 x 𝑁] e seus elementos podem ser escritos como:

𝑍𝑖𝑗𝐸 =

𝑗

𝜔휀∫ ∫ × [ 𝑾(𝒓′)(𝑘2𝑱𝒋(𝒓

′)𝐺(𝒓, 𝒓′) + (𝑱𝒋(𝒓′). ∇)∇𝐺(𝒓, 𝒓′)]𝑑𝑠′𝑑𝑠

𝑆′𝑆

. (3.38)

3.6 Análise do MoM para Diferentes Tipos de Funções de Base e Teste

Nesta Seção aplicou-se o MoM para a solução do problema do espalhamento

eletromagnético, utilizando as funções de base e teste apresentadas no Capítulo 2.

55

3.6.1 Função Pulso de Base e Teste

Como apresentado Capítulo 2, apesar da sua simplicidade, a Função Pulso

apresentada resultados precisos para a solução de problemas eletrostáticos. Então

aplicou-se o MoM para a solução do problema de espalhamento eletromagnético de uma

placa condutora. Utilizou-se a função de base pulso, o que resulta na seguinte

discretização para a corrente superficial equivalente.


𝑥𝑃𝑗𝑥(𝒓′) + 𝐼𝑗

𝑦𝑃𝑗

𝑦(𝒓′),

𝑁

𝑗=1

(3.39)

onde 𝐼𝑗𝑥 e𝐼𝑗

𝑦 são os coeficientes complexos desconhecidos associadoas as funções de

base, 𝑃𝑗𝑥(𝒓′) e 𝑃𝑗

𝑦(𝒓′), nas direções e , respectivamente, 𝑃𝑗

𝑥(𝑥′) e 𝑃𝑗𝑦(𝑥′) são pulsos

conforme ilustrado na Figura 2-1.

Utilizou-se o método de Galerkin para a função de teste, 𝑾𝑖(𝒓), que é igual as

funções de base, assim a função é dada por:

𝑾𝑖(𝒓′) = ∑𝑃𝑖

𝑥(𝑟)𝑥 + 𝑃𝑖𝑦(𝑟)

𝑁

𝑖=1

. (3.40)

Aplicando as equações (3.39) e (3.40) na equação matricial (3.36), tem-se:

[𝑉𝐸𝑥

𝑉𝐸𝑦] = [𝑍𝐸𝑥𝑥 𝑍𝐸𝑥𝑦

𝑍𝐸𝑦𝑥 𝑍𝐸𝑦𝑦] [𝐼𝐽𝑥

𝐼𝐽𝑦],

(3.41)

onde os elementos das matrizes são:

𝑉𝑖𝐸𝑥 = ∫ ∫ 𝑃𝑖

𝑥(𝑥). [ × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥𝑦

.

(3.42)

𝑉𝑖𝐸𝑦

= ∫ ∫ 𝑃𝑖𝑦(𝑥). [ × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥𝑦

. (3.43)

56

𝑍𝑖𝑗𝐸𝑥𝑥 =

𝑗

𝜔휀∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑃𝑖𝑥(𝑥)𝑃𝑗

𝑥(𝑥′) +𝜕𝑃𝑖

𝑥(𝑥)

𝜕𝑥

𝜕𝑃𝑗𝑥(𝑥′)

𝜕𝑥)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥′𝑦′𝑥𝑦

.

(3.44)

𝑍𝑖𝑗𝐸𝑥𝑦

=𝑗

𝜔휀∫ ∫ ∫ ∫ (

𝜕𝑃𝑖𝑥(𝑥)

𝜕𝑥

𝜕𝑃𝑗𝑦(𝑦′)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.

(3.45)

𝑍𝑖𝑗𝐸𝑦𝑥

=𝑗

𝜔휀∫ ∫ ∫ ∫ (

𝜕𝑃𝑖𝑦(𝑦)

𝜕𝑥

𝜕𝑃𝑗𝑥(𝑥′)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦..

(3.46)

𝑍𝑖𝑗𝐸𝑦𝑦

=𝑗

𝜔휀∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑃𝑖𝑦(𝑦)𝑃𝑗

𝑦(𝑥′) +𝜕𝑃𝑖

𝑦(𝑦)

𝜕𝑦

𝜕𝑃𝑗𝑦(𝑦′)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦


. (3.47)

A função pulso, 𝑃𝑖,𝑗 , é igual a um e sua derivada é igual a zero, assim as equações

(3.42) a (3.47) podem ser simplificadas para:

𝑉𝑖𝐸𝑥 = ∫ ∫ × 𝑬𝒊(𝒓) 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥𝑦

.

(3.48)

𝑉𝑖𝐸𝑦

= ∫ ∫ × 𝑬𝒊(𝒓) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥𝑦

. (3.49)


𝑗

𝜔휀∫ ∫ ∫ ∫ 𝑘𝑙

2𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥′𝑦′𝑥𝑦

.

(3.50)


= 0.

(3.51)


= 0. (3.52)


=𝑗

𝜔휀∫ ∫ ∫ ∫ 𝑘𝑙

2𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥′𝑦′𝑥𝑦

. (3.53)

57

Para a solução de todas as integrais foi utilizado a Quadratura Gaussiana de de 1 e

1 e 6 e 6 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′),

respectivamente.

Foi desenvolvido um código no software Matlab para implementar as equações

desenvolvidas nesta seção para obter a densidade de corrente superficial na borda e no

centro da placa condutora com a incidência de um campo eletromagnético. A Figura 3-7

ilustra a densidade de corrente superficial obtida computacionalmente para o centro e

borda da placa CEP discretizada em 35 segmentos, resultando em 1225 sub-áreas. A

Figura 3-8 ilustra a distribuição de corrente ao longo de toda a placa.

Figura 3-7 – Densidade de corrente superficial para função de base pulso

0 5 10 15 20 25 30 350.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05


Densid

ade d

e C

orr

ente

(A

/m²)

Centro

Borda

58

Figura 3-8 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos)

Verifica-se na Figura 3-7 que o valor da densidade de corrente superficial é

substancialmente maior nas bordas da placa, indicando uma maior circulação de

corrente nessas regiões [27]. A onda eletromagnética incide no centro da placa

condutora, por isso nessa região há uma maior concentração de correntes superficiais,

essas correntes se espalham ao longo da placa e se acumula principalmente nas bordas

da placa, tanto considerando as correntes superficiais na borda da placa, quanto

considerando as correntes no centro da placa.

3.6.2 Função Triangular de Base e teste

Uma nova formulação foi proposta, onde aplicou-se o MoM para a solução do

problema de espalhamento eletromagnético de uma placa condutora utilizando a

Função Triangular de base e teste. Para a resolução, utilizou-se a função de base

triangular, como se verifica na equação (3.54).

0

10

20

30

40

0

10

20

30

400

0.02

0.04

0.06

0.08

Número de Sub-áreasNúmero de Sub-áreas

Densid

ade d

e C

orr

ente

(A

/m²)

59


𝑥𝑇𝑗𝑥(𝒓′) + 𝐼𝑗

𝑦𝑇𝑗

𝑦(𝒓′).

𝑁

𝑗=1

(3.54)

onde 𝐼𝑗𝑥 e 𝐼𝑗


base, 𝑇𝑗𝑥(𝒓′) e 𝑇𝑗

𝑦(𝒓′), essas foram apresentadas na Seção 2.4.3.

Utilizou-se o método de Galerkin para a função de teste, 𝑾𝑖(𝒓′), que é o

conjugado complexo das funções de base e é definido como:

𝑾𝑖(𝒓′) = ∑𝑇𝑖

𝑥(𝑟)𝑥 + 𝑇𝑖𝑦(𝑟)

𝑁

𝑖=1

. (3.55)


[𝑉𝐸𝑥



𝐼𝐽𝑦],

(3.56)

onde os elementos da matriz são:

𝑉𝑖𝐸𝑥 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑖

𝑥(𝑥). [ × 𝑬𝒊(𝒓)]𝑥

𝑑𝑥𝑑𝑦.𝑦

4

𝑖=1

(3.57)

𝑉𝑖𝐸𝑦

= ∑∫ ∫ 𝑇𝑖𝑦(𝑥). [ × 𝑬𝒊(𝒓)]

𝑥


4

𝑖=1

(3.58)


𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑖𝑥(𝑥)𝑇𝑗

𝑥(𝑥′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦

4

𝑗=1

4

𝑖=1

+𝜕𝑇𝑖

𝑥(𝑥)

𝜕𝑥

𝜕𝑇𝑗𝑥(𝑥′)

𝜕𝑥)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.

(3.59)


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (

𝜕𝑇𝑖𝑥(𝑥)

𝜕𝑥

𝜕𝑇𝑗𝑦(𝑦′)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′)


𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦

4

𝑗=1

4

𝑖−1

.

(3.60)

60


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (

𝜕𝑇𝑖𝑦(𝑦)

𝜕𝑥

𝜕𝑇𝑗𝑥(𝑥′)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′)



4

𝑗=1

4

𝑖−1

.

(3.61)


𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑖𝑦(𝑦)𝑇𝑗

𝑦(𝑦′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦

4

𝑗=1

4

𝑖=1

+𝜕𝑇𝑖

𝑦(𝑦)

𝜕𝑦

𝜕𝑇𝑗𝑦(𝒚)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′) 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.

(3.62)

Como 𝜕𝑇𝑖

𝑥

𝜕𝑥=

𝜕𝑇𝑖𝑦

𝜕𝑦=

𝜕𝑇𝑗𝑥

𝜕𝑥=

𝜕𝑇𝑗𝑦

𝜕𝑦= 1, assim as equações (3.59) a (3.62) podem ser

reescritas como:


𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑖𝑥(𝑥)𝑇𝑗

𝑥(𝑥′))𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦

𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.

4

𝑗=1

4

𝑖=1

(3.63)


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)



4

𝑗=1

4

𝑖−1

.

(3.64)


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)



4

𝑗=1

4

𝑖−1

.

(3.65)


𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑖𝑦(𝑦)𝑇𝑗

𝑦(𝑦′))𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦


4

𝑗=1

4

𝑖=1

.

(3.66)

Para a solução de todas as integrais foi utilizado a Quadratura Gaussiana de de 2 e

2 e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′),

respectivamente.


obtidas nesta seção e obter a densidade superficial de corrente superficial na borda e no

centro da placa condutora com a incidência de um campo eletromagnético. A Figura 3-9

ilustra a densidade de carga superficial obtida computacionalmente, para o centro e

61

borda da placa CEP discretizada em 35 segmentos, resultando em 1225 sub-áreas. A

Figura 3-10 ilustra a distribuição de corrente ao longo de toda a placa.

Figura 3-9 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo

0 5 10 15 20 25 30 35 400.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035


Densid

ade d

e C

orr

ente

(A

/m²)

Borda

Centro

62

Figura 3-10 – Distribuição de corrente ao longo da placa (35 segmentos)

Verifica-se na Figura 3-9 que o valor da Densidade de Corrente é


corrente nessas regiões. Comprando os resultados apresentados na Figura 3-9 com os

exibidos na Figura 3-7, nota-se que a uma proximidade nos resultados, porém os

resultados para pulso guardam certa imprecisão devido os elementos em (3.51) e (3.52)

serem nulos. A não simetria da solução exibida na Figura 3-9 e Figura 3-10 deve-se ao

fato da onda incidente estar polarizada ao longo da diagonal da placa nesta direção

existe uma indução maior de corrente.

3.6.3 Função Pulso - Triângulo de Base e teste

Aplicou-se o MoM para a solução do problema de espalhamento eletromagnético

de uma placa condutora utilizando a Função Pulso-Triângulo de base e teste, conforme

se verifica na equação (3.39).

0

10

20

30

40

0

10

20

30

400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06


Densid

ade d

e C

orr

ente

(A

/m²)

63


𝑥𝑇𝑃𝑗𝑥(𝒓′) + 𝐼𝑗

𝑦𝑇𝑃𝑗

𝑦(𝒓′),

𝑁

𝑗=1

(3.67)

onde 𝐼𝑗𝑥 e 𝐼𝑗


base, 𝑇𝑃𝑗𝑥(𝒓′) e 𝑇𝑃𝑗

𝑦(𝒓′), nas direções e , respectivamente, 𝑇𝑃𝑗

𝑥(𝒓′) e 𝑇𝑃𝑗𝑦(𝒓′) foi

apresentado na Seção 2.4.4.

Utilizou-se a função de Galerkin para a escolha da função de teste, 𝑾𝑖(𝒓′), que é o

conjugado das funções de base, e é dada por:

𝑾𝑖(𝒓′) = ∑𝑇𝑃𝑖

𝑥(𝑟)𝑥 + 𝑇𝑃𝑖𝑦(𝑟)

𝑁

𝑖=1

. (3.68)


[𝑉𝐸𝑥



𝐼𝐽𝑦],

(3.69)

onde os elementos das matrizes são:

𝑉𝑖𝐸𝑥 = ∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖

𝑥(𝑥). [ × 𝑬𝒊(𝒓)] 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑥𝑦

.

2

𝑖=1

(3.70)

𝑉𝑖𝐸𝑦

= ∑∫ ∫ 𝑇𝑃𝑖𝑦(𝑥). [ × 𝑬𝒊(𝒓)]

𝑥


2

𝑖=1

(3.71)


𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑃𝑖𝑥(𝑥)𝑇𝑃𝑗

𝑥(𝑥′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦

2

𝑗=1

2

𝑖=1

+𝜕𝑇𝑃𝑖

𝑥(𝑥)

𝜕𝑥

𝜕𝑇𝑃𝑗𝑥(𝑥′)

𝜕𝑥)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦,

(3.72)

64


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (

𝜕𝑇𝑃𝑖𝑥(𝑥)

𝜕𝑥

𝜕𝑇𝑃𝑗𝑦(𝑦′)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′)


𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦,

2

𝑗=1

2

𝑖=1

(3.73)


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (

𝜕𝑇𝑃𝑖𝑦(𝑦)

𝜕𝑦

𝑇𝑃𝑗𝑥(𝑥)

𝜕𝑥)𝐺(𝒓, 𝒓′)


2

𝑗=1

2

𝑖=1

𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦,

(3.74)


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑃𝑖𝑦(𝑥)𝑇𝑃𝑗

𝑦(𝑦′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦

2

𝑗=1

2

𝑖=1

+𝜕𝑇𝑃𝑖

𝑦(𝑦)

𝜕𝑦

𝜕𝑇𝑃𝑗𝑦(𝑦)

𝜕𝑦)𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦,

(3.75)

Como 𝜕𝑇𝑃𝑖

𝑥

𝜕𝑥=

𝜕𝑇𝑃𝑖𝑦

𝜕𝑦=

𝜕𝑇𝑃𝑗𝑥

𝜕𝑥=

𝜕𝑇𝑃𝑗𝑦

𝜕𝑦= 1, assim as equações (3.72) a (3.75) podem

ser reescritas como:


𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑃𝑖𝑥(𝑥)𝑇𝑃𝑗

𝑥(𝑥′))𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦

𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑥𝑑𝑦.

2

𝑗=1

2

𝑖=1

(3.76)


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)



2

𝑗=1

2

𝑖−1

.

(3.77)


=𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ 𝐺(𝒓, 𝒓′)



2

𝑗=1

2

𝑖−1

.

(3.78)


𝑗

𝜔휀∑∑∫ ∫ ∫ ∫ (𝑘𝑙

2𝑇𝑃𝑖𝑦(𝑦)𝑇𝑃𝑗

𝑦(𝑦′))𝐺(𝒓, 𝒓′)𝑥′𝑦′𝑥𝑦


2

𝑗=1

2

𝑖=1

.

(3.79)

Para a solução de todas as integrais foi utilizado a Quadratura Gaussiana de 2 e 2

e 5 e 5 pontos para as integrais no observador (𝑥 e y) e fonte (𝑥′ e 𝑦′), respectivamente.


obtidas nesta seção e obter a densidade de corrente superficial que circula na borda e no

centro da placa condutora com a incidência de um campo elétrico. A Figura 3-11 ilustra a

densidade de carga superficial obtida computacionalmente, para o centro e borda da

65

placa CEP discretizada em 35 segmentos, resultando em 1225 sub-áreas. A Figura 3-12

ilustra a densidade de corrente superficial ao longo da placa.

Figura 3-11 - Densidade de corrente superficial para função de base triângulo

Figura 3-12 – Densidade de corrente ao longo da placa (35 segmentos)

0 5 10 15 20 25 30 350.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045


Densid

ade d

e C

orr

ente

(A

/m²)

Borda

Centro

0

10

20

30

40

0

10

20

30

400

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05


Densid

ade d

e C

orr

ente

(A

/m²)

66

Verifica-se na Figura 3-11 que o valor da Densidade de Corrente é


corrente nessas regiões, tal ocorrência deve-se ao efeito de borda. A função pulso-

triângulo é definida para o eixo 𝑦 como uma função pulso, justificando assim a

semelhança entre a Figura 3-7 e a Figura 3-11

3.7 Avaliação dos Resultados para Diferentes Tipos de Função de Base e Teste

Os resultados obtidos nas Seções 3.6.1, 3.6.2 e 3.6.3 foram aglutinados e

comparados nesta seção. Para tanto a discretização da placa condutora perfeita ilustrada

na Figura 3-6 foi variada de 1 a 35 segmentos para os eixos 𝑥 e 𝑦, resultando em 1 a

1225 sub-áreas, respectivamente. A Figura 3-13 ilustra os resultados obtidos para a

soma das correntes superficiais ao longo do eixo 𝑥 para cada função de base testada.

Figura 3-13 – Soma das correntes superficiais para todas as funções de base

0 200 400 600 800 1000 1200 140010

-3

10-2

10-1

100

101


Densid

ade d

e C

orr

ente

Superf

icia

l

Pulso-Triângulo

Pulso

Triângulo

67

A análise da Figura 3-13 permite inferir que a medida que o número de sub-áreas

aumenta, o valor da soma das correntes superficiais de todas as funções de base tende a

um valor constante. A densidade de corrente superficial na função triângulo é maior que

na função pulso-triângulo, esse resultado deve-se ao fato da primeira função ser dividida

em 4 funções (triângulo nos eixos 𝑥 e 𝑦) em cada sub-área e a segunda ser dividida em 2

funções (triângulo no eixo 𝑥 e pulso no eixo y), assim, o efeito de borda é mais acentuado

na função triângulo que possui funções mais próximas da borda.

A Figura 3-14 e Figura 3-15 ilustra o custo computacional de cada solução sob

estudo à medida que se aumenta o número de discretizações das placas. A Figura 3-15

ilustra os resultados obtidos para o número de condicionamento da matriz 𝑍𝑖𝑗 para as

soluções sob estudo e considerando diferentes números de segmentos, utilizou-se a

função rcond (reciprocal condition number) no Matlab, se a matriz estiver bem

condicionada a função rcond retorna um resultado próximo de um, já se estiver mal

condicionada o resultado é próximo de zero.

Figura 3-14 – Comparação do gasto computacional das funções de base

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

500

1000

1500

2000

2500


Tem

po (

s)

Pulso

Triângulo

Pulso-Triângulo

68

Verifica-se na Figura 3-14 que o gasto computacional de todas as funções de base

cresce exponencialmente a medida que se aumenta o número de sub-áreas. Constata-se

que as funções triângulo e pulso-triângulo custam mais tempo para a solução do

problema do capacitor de placas paralelas, visto que possuem mais funções envolvidas

em cada sub-área. A função pulso é simples, por isso apresenta menor gasto

computacional.

Figura 3-15 – Comparação do Número de Condicionamento das funções de base

Através da análise da Figura 3-15 conclui-se que o número de condicionamento

da matriz de impedância piora à medida que se aumenta o número de discretizações em

sub-áreas, conforme esperado, uma vez que a matriz tende a ser mais singular. A função

triângulo apresentou o maior número de condicionamento dentre as funções de base

analisadas, em razão de possuir um maior número de funções envolvidas, quatro por

sub-área. A função pulso-triângulo possui mais funções envolvidas que a pulso sendo

duas por sub-área, por isso, o seu número de condicionamento é maior quando

comparado com essa função. Apesar do número de condicionamento das funções de

base se aproximar de zero à medida que se aumenta o número de discretizações, todas

0 200 400 600 800 1000 1200 140010

-4

10-3

10-2

10-1

100


Núm

ero

de C

ondic

ionam

ento

Pulso

Triângulo

Pulso-Triângulo

69

as funções analisadas apresentaram um número de condicionamento comportado,

assegurando assim a precisão da solução numérica do sistema linear.

3.8 Validações dos resultados através do software CST

Os resultados obtidos computacionalmente através do código desenvolvido no

software Matlab foram validados através de comparações, com o resultado obtido

utilizando o CST. A Figura 3-16 ilustra a geometria simulada no software, considerou-se

a uma placa CEP imersa no vácuo. A superfície metálica foi excitado com uma onda

plana polarizada nas direções 𝑥 e 𝑦 e com propagação normal na direção −𝑧. A Figura

3-17 exibe os resultados obtidos para a densidade superficial de corrente em duas

dimensões, a Figura 3-18 ilustra os resultados obtidos para a densidade superficial de

corrente em uma dimensão ao longo da linha mostrada na Figura 3-16 (centro da placa).

Figura 3-16 – Superfície CEP simulada no CST

70

Figura 3-17 – Módulo do Campo Elétrico na superfície CEP em 2D

Figura 3-18 – Módulo da Corrente Superficial na superfície CEP em 1D

Mediante a comparação do resultado obtido na simulação realizada no CST,

ilustrado na Figura 3-18, com os obtidos através do código desenvolvido no Matlab,

ilustrados nas Figura 3-7, Figura 3-9 e Figura 3-11, verifica-se que os resultados obtidos

são semelhantes. A solução apresentada na Figura 3-18 confirma a precisão do código

desenvolvido, visto que, os resultados são semelhantes.

3.8.1 Conclusões Parciais

Neste capítulo foi abordado o espalhamento eletromagnético, foram

apresentados as equações integrais de espalhamento válidas para o espaço livre e o

princípio da equivalência. Aplicou-se o método dos momentos em um meio condutor

71

elétrico perfeito, utilizando a uma função de base e peso do tipo pulso. Essas equações

serão utilizadas nos próximos capítulos como referência para a o desenvolvimento da

ferramenta computacional para o cálculo do espalhamento eletromagnético.

72

Capítulo 4

Conclusão

A formulação para o Método dos Momentos desenvolvida neste trabalho foi

apresentada e mostrou-se eficiente ao tratar problemas eletromagnéticos. Essa

formulação foi aplicada inicialmente a solução de um problema eletrostático 2D, no caso

um capacitor de placas paralelas, os resultados obtidos foram fisicamente consistentes,

consolidando a modelagem matemática para o problema em duas dimensões e

ratificando o uso das funções de base e teste utilizadas. Essa solução motivou a busca

por diferentes desafios e, dessa maneira, a mesma metodologia foi proposta para um

espalhador condutor elétrico perfeito. Aplicou-se um campo elétrico normal ao objeto

espalhador, superfície plana condutora. Obteve-se assim a densidade de corrente

superficial da placa, nas bordas e no centro, os resultados obtidos também se mostraram

consistentes para diferentes discretizações. Dessa forma, a formulação desenvolvida foi

avaliada e pode ser estendida para novos problemas com diferentes geometrias. Para a

modelagem de uma antena de microfita um primeiro passo é o desenvolvimento da

modelagem matemática para superfície plana condutora perfeita, como executado neste

trabalho, posteriormente estende-se a formulação para a inclusão do substrato

dielétrico, sendo está uma proposta de continuidade deste trabalho. Outras sugestões de

continuidade desse trabalho são melhorar a solução numérica de forma a reduzir o

custo computacional e estudar novas geometrias para a placa condutora.

O sistema matricial originado pela formulação desenvolvida é denso, assim, a

solução de problema com elevado número de discretizações gera um elevado gasto

computacional, com isso, para ganhar em precisão compromete-se a eficiência. Neste

trabalho buscou se otimizar esse processo, conciliando eficiência e precisão, verificou-se

na solução que para um número de discretizações o resultado converge para um valor

único, não sendo necessário um número maior de discretizações para obter os

resultados, evitando com isso o comprometimento da eficiência computacional.

73

Apêndice A

Anexo

No Anexo A discorresse com mais detalhes a respeito de antenas de microfita,

apresentando a teoria básica da mesma. Os aspectos históricos dessas antenas são

descritos, assim como, as diversas geometrias e substratos dielétricos utilizados, bem

como os principais tipos de alimentação existentes. Detalha-se mais os métodos de

análise apresentados no Capítulo 2.

A-1 Aspectos históricos

O primeiro trabalho relacionado a antenas de microfita, foi proposto por

Deschamps em 1953. Esse trabalho foi apresentado no 3º Simpósio sobre antenas

patrocinado pela Força Aérea Americana. Em sua apresentação Deschamps destacou o

uso de linhas de microfita, no lugar de guias de onda para compor o circuito de

alimentação de algumas redes de antenas. Deschamps enfatizou as vantagens que

seriam obtidas com a configuração proposta, são elas: menor volume ocupado; peso

reduzido; menor custo de fabricação; e linhas de microfita assumirem várias formas e

poderem ser empilhadas.

A evolução das antenas de microfita se deu 20 anos após Deschamps propor o uso

das linhas de microfita, devido ao desenvolvimento teórico e analítico das mesmas, além

da disponibilidade de aplicação em microondas, com baixa tangente de perdas e com

características mecânicas e térmicas atrativas.

A configuração da antena de microfita que é utilizada atualmente foi proposta por

Howell [28] e Robert E.Munson [22, 23] em 1972. Munson publicou em 1974 um artigo

na revista IEEE que ainda serve de referência na área de irradiadores impressos. A

partir da década de 90 houve uma intensificação dos trabalhos com aplicações práticas.

Desde a década de 70 as antenas de microfita se desenvolveram

exponencialmente, se tornando cada vez mais versáteis. Hoje em dia essas antenas

74

possuem aplicação como antenas para navegação de aeronaves, antenas de satélites,

antenas de veículos espaciais, telefones celulares, em radares de abertura sintética

(SAR) aplicados em sensoriamento remoto, em receptores de navegação por satélite e

até mesmo em irradiadores de aplicação biomédica.

A-2 Características Construtivas

A A.1 ilustra uma antena de microfita com patch retangular. A antena de microfita

como pode ser visualizado nessa figura consiste basicamente em duas placas condutoras

paralelas separadas por um substrato dielétrico, a placa condutora superior é o

elemento radiante e a inferior o plano terra [29]. A plaqueta deve possuir pequena

espessura, em que, t <<𝜆𝑜, onde 𝜆𝑜 é o comprimento de onda no espaço livre. A

espessura do substrato também deve ser muito pequena, em que, h<<𝜆𝑜, normalmente

0,003𝜆𝑜 ≤ ℎ ≤0,05𝜆𝑜. Para as antenas de microfita com plaqueta retangular, o

comprimento L é tal que, 𝜆𝑜/3 ≤ 𝐿 ≤ 𝜆𝑜/2.

FiguraA.1 - Antena de microfita com plaqueta retangular

Visando o melhor desempenho da antena, utiliza-se substratos espessos cujas

constantes dielétricas sejam baixas, garantindo com isso maior eficiência, maior largura

de banda e campos mais desprendidos, entretanto devido ao maior consumo de material

dado a maior espessura do substrato, apresentarão maiores dimensões [30].

75

Para a aplicação em circuitos de micro-ondas, utiliza-se substratos menos

espessos e com alta valor de permissividade, garantindo com isso, campos mais

confinados, minimizando radiação e acoplamento indesejáveis. Contudo essas antenas

serão menos eficientes quando comparadas com as antenas fabricadas com substratos

espessos e com permissividade baixa.

São características necessárias para fabricação de um substrato para compor um

projeto de antena patch de microfita, baixas perdas e elevadas taxas de homogeneidade.

Os substratos mais usados utilizam constantes dielétricas entre 2,2 ≤ 휀𝑟 ≤ 12. A Tabela

A-1 indica os materiais dielétricos comerciais mais utilizados como substrato de antenas

de microfita.

Tabela A-1 – Materiais dielétricos comerciais e suas características elétricas

Materiais Constante Dielétrica (𝜺𝒓) Tangente de Perdas (𝒕𝒂𝒏𝜹)

Alumina 9,2 0,008

Duróide 2,2 0,0009

Ferrita 12 0

FR$-Epóxi 4,4 0,02

PTFE 2,5 0,002

A antena de microfita mais simples utiliza um patch de meio comprimento de

onda, montada em uma superfície dielétrica de um plano de terra. Uma antena tipo

patch simples radia uma onda linearmente polarizada. A radiação pode ser considerada

como sendo produzida por “fendas radiantes” na parte superior e inferior, ou

equivalentemente, como resultado da corrente fluindo sobre o patch e o plano de terra.

Existem diversas geometrias para a plaqueta radiante da antena de microfita,

destaca-se a quadrada, retangular fita estreita, circular, elíptica, triangular, ou

combinações dessas. As geometrias mais utilizadas são as quadradas, retangulares e

circulares, isso se deve ao fato dessas serem fabricadas com facilidade e possuírem

características de radiação atrativa, especialmente para polarização cruzada, além de

serem analisadas facilmente. A Figura A.2 ilustra as formas geométricas para as

plaquetas radiantes mais comuns [31].

76

FiguraA.2 - Antena de microfita com plaqueta retangular: Formas geométricas da antena de microfita

A antena dipolo em microfita é muito utilizada por possuir uma grande largura de

banda e ocupar menos espaço, o que facilita sua construção em arranjos. O material que

compõe a plaqueta e o plano de terra normalmente é o cobre.

A-3 Vantagens e Limitações das Antenas de Microfita

As antenas de microfita apresentam vantagens em relação às antenas comuns

utilizadas para microondas que corroboram para a sua escolha, destaca-se [29]:

Volume e peso reduzidos e configuração fina;

Polarização linear e circular são possíveis com alimentação simples;

Antenas com polarização dual e frequência são facilmente executáveis;

Podem ser facilmente embarcadas com circuitos integrados de microondas;

Linhas de alimentação e redes de casamento de impedância podem ser

fabricadas simultaneamente com a estrutura da antena.

As antenas de microfita também apresentam algumas limitações, destacam-se

[29]:

Largura de banda limitada;

Baixo ganho, aproximadamente 6 dB;

Excitação de ondas de superfície;

Para atenuar essas limitações, pode-se utilizar materiais magnético-dielétrico

com permeabilidade alta e permissividade moderada, conseguindo com isso, a redução

do acoplamento entre a antena de microfita e o plano de terra. Faz-se também o

77

empilhamento de antenas de microfita, ou multicamadas dielétricas, obtendo com isso,

um aumento na largura de banda.

78

Referências Bibliográficas

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of Technology.

[2] IEEE (1953). IEEE standard definitions of terms for antenas.

[3] Deschamps, G.; Sichak, W. Microstrip Microwave Antennas. In: Symposium on the

USAF Antenna Research and Development Program, 3. Out. 1953, Robert Allerton Park.

Proceedings....Monticello: University of Illinois, 1953.

[4] Kumar, G. & Ray, K. P. (2003). Broadband Microstrip Antenna. Artech House.

[5] Garg, R. Bhartia, P. Bahl, I.; & Ittipiboon, A. (2001). Microstrip Antenna Design

Handbook. Artech House.

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Taylor & Francis Group.

[9] Sadiku, M. N. O. (2007). Elements of Electromagnetics, Third Edition. Oxford

[10] R. Mittra, Stability and Convergence of Moment Method Solutions. Springer-Verlag,

1975.

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[12] C. H. Chan; MITTRA, R. On the analysis of frequency selective surfaces using

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[13] Balanis, C. A. (1997). Antenna Theory, Second Edition. John Wiley & Sons, INC.

[14] R.F. Harrington, Field Computation by Moment Methods, New York, IEEE Press

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[15] B. Ozbakis, Analysis of the Electromagnetic Scattering from Flat Plates by Using

Different Sinc-Type Basis Functions in Method of Moments, Izmir, Izmir Institute of

Technology.

[16] F. F. Campos, Algoritmos Numéricos, Rio de Janeiro, LTC.

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79

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