ANÁLISIS DE LAS PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DE LAS

DISCONTINUIDADES EN NUBES DE PUNTOS 3D

ANALYSIS OF GEOMETRICAL PROPERTIES OF DISCONTINUITIES IN 3D

CLOUD OF POINTS

German Sanchez T.1, Esmeide Leal2, Nallig Leal.3

1PhD en Ingeniería. E-mail: gsanchez@unimagdalena.edu.co. Profesor asistente, Universidad del Magdalena, Santa Marta. Grupo de I+D en nuevas tecnologías de la información y la comunicación GIDTIC. Cra 32 No 22-08. Tel: (57 - 5) 421 7940. Ext: 1138. 2MSc en Ingeniería de sistemas. E-mail: esleal@uac.edu.co. Profesor titular, Universidad Autónoma del Caribe, Barranquilla. Programa Análisis y Diseño de Sistemas y Computación. C 90 #46-112. 3MSc en Ingeniería de sistemas. E-mail: nleal@uac.edu.co. Profesor titular, Universidad Autónoma del Caribe, Barranquilla. Programa de Ingeniería de Sistemas. C 90 #46-112. RESUMEN Típicamente, la corrección de huecos en modelos 3d es realizada mediante interpolación global de los puntos, lo que genera una superficie continua. Sin embargo, un grupo específico de objetos contienen huecos y que no deben corregirse en el modelo digital pues no constituyen una anomalía. Este trabajo muestra el análisis del comportamiento de las características geométricas, específicamente, la curvatura y la torsión, como mecanismo de discriminación entre anomalías reales y falsas. Esto permitirá automatizar el proceso de reconstrucción de piezas sin la necesidad de la intervención de un usuario que seleccione los huecos a reparar. Los resultados muestran que estas características poseen comportamientos estadísticos diferentes en los dos grupos, lo que sugieren que son características candidatas en procesos automáticos de clasificación. PALABRAS CLAVE: curvatura, llenado de huecos, oclusiones, reconstrucción de superficies, torsión. KEY WORDS: curvature, hole filling, occlusions, surface reconstruction, torsion. 1. INTRODUCCIÓN En general, existen numerosas dificultades respecto del proceso de adquisición de datos tridimensionales, tales como: la topología del objeto que genera oclusiones, las características físicas del material del objeto, las condiciones de iluminación, entre otras, las cuales constituyen las fuentes principales de generación de anomalías dentro de los datos que afectan las estimaciones de representaciones precisas de las características geométricas de los objetos. Estas anomalías son corregidas en una etapa denominada Integración, su importancia consiste en disminuir el efecto de estas anomalías en los

procesos de representación final (Curless y Levoy, 1996). Banta et al. (1998), describe dos tipos de oclusiones, oclusión láser y oclusión de cámara. Estas oclusiones dependen de la geometría del segmento que se desea adquirir pero tienen su naturaleza en las limitaciones propias de los montajes de adquisición. La oclusión láser ocurre cuando el láser es incapaz de iluminar un punto del objeto visible por la cámara. Por otra parte, la oclusión de cámara ocurre cuando la cámara no puede adquirir un punto iluminado por el láser (ver figura1).

Figura 1. Tipos de oclusión, izquierda; oclusión laser, derecha; oclusión de cámara (Banta et al. 2000).

La idea tras la corrección de este tipo de anomalías consiste en reproducir el segmento de superficie faltante que se incorporará a la malla inicial con el fin de reparar la anomalía. En este sentido, diferentes técnicas han sido propuestas en Wang y Oliveira, 2007; Podolak y Rusinkiewicz, 2005; Bischhoff, Pavic y Kobbelt, 2005; Branch, Prieto y Boulanger, 2006. En este grupo de técnicas basadas en geometría se encuentran dos tendencias generales. La reparación basada en triángulos y la reparación basada en voxels. Las técnicas basadas en triángulos obtienen mediante triangulación una aproximación lineal del hueco y refinan esta triangulación de acuerdo con la geometría en la cual el hueco está inmerso. Branch, Prieto y Boulanger, (2006) y Zhao, Gao y Lin (2007), son ejemplos de este enfoque.

Los procedimientos basados en voxels generan una representación volumétrica de la superficie inicial compuesta de un conjunto de unidades de volumen llamadas voxels, estas unidades de volumen son marcadas con un signo de acuerdo con su posición relativa a la superficie, dentro o fuera de la superficie, Podolak y Rusinkiewicz (2009), Qiang et al. (2010), Xiaohe, Lan y Hu (2011), presentaron algoritmos para llenar huecos basados en una descomposición del espacio en regiones atómicas de volumen. Los trabajos en el estado del arte realizan

correcciones de los modelos 3-D sin ninguna consideración geométrica diferente de la discontinuidad del modelo, lo que los limita al tratamiento de objetos continuos y dificulta el tratamiento de modelos que presenten discontinuidades reales, debido a que no proponen esquemas de clasificación de discontinuidades. Esto debido a que existe un subdominio de objetos que poseen discontinuidades que deben conservarse en la representación final y no deben considerarse anomalías (ver figura 2). Esta discriminación es realizada frecuentemente mediante la intervención de usuario experto quien determina cuales discontinuidades deben ser reparadas. Esta intervención constituye un factor limitante en el diseño de un método automatizado de reconstrucción. Este trabajo está orientado a analizar las características de los contornos de los huecos formados por fenómenos ópticos y oclusiones en relación con aquellos que corresponden a discontinuidades presentes en los objetos. La hipótesis se centra en el hecho que el comportamiento de las características geométricas como la torsión y la curvatura en los contornos de los huecos generados por anomalías difieren de las de los contornos de las discontinuidades presentes en los objetos. La principal contribución es demostrar que dichos comportamientos son diferentes y que estos podrían utilizarse para la creación de métodos orientados a la corrección automática de huecos o discontinuidades.

a) b) c)

d) e) f) Figura 2. Discontinuidades en objetos, a,b,c) Ejemplos de objetos con falsas anomalías, d,e,f)

anomalías reales .

2. MATERIALES Y MÉTODOS

A. Estimación de la torsión y la curvatura

Para la estimación de la torsión y la curvatura, se adopto el procedimiento de mínimos cuadrados pesados y la aproximación local por longitud de arco (Lewiner et al. (2005)). Para esto, se considera una curva en el espacio representada por un conjunto de puntos �p��, y las estimaciones de las derivadas de la curva parametrizada r en el punto p� es realizado con un subconjunto de puntos P de 2q 1 puntos tales que P �p���, … , p�, … , p����. De tal forma que los elementos de P forman segmentos continuos del contorno de una discontinuidad. A estos segmentos se ajusta una curva paramétrica �x��s�, y��s� z��s)), tal que: ����� �� ��� ⋅ � 12 ���� ⋅ � ! 16 ����� ⋅ � #

$���� $� $�� ⋅ � 12 $��� ⋅ � ! 16 $���� ⋅ � #

%̂��� %� %�� ⋅ � 12 %��� ⋅ � ! 16 %���� ⋅ � #

(1)

Para una simplificar la solución la minimización se puede rescribir en forma de inversión de matrices:

'( ⋅ ) *( ⋅ + *( ⋅ , *

(2)

Donde,

-a/ a! a0a! a# a1a0 a1 a23 ⋅ 4 ��� $�� $�� ���� $��� $��� ����� $���� $����5 4b7,/ b8,/ b9,/b7,! b8,! b9,!b7,# b8,# b9,#5

Finalmente, se define:

r�� 4 x�� y�� z��5 r��� 4 x��� y��� z���5 r���� 4 x���� y���� z����5

Y el cómputo de la torsión y curvatura es directo:

τ�p�� ; �r�� < r���� ⋅ r����‖r�� < r���‖!

(3)

k�p�� ; �r�� < r����‖r�� ‖#

(4)

El procedimiento consiste en estimar estas medidas en cada punto del contorno ajustando n curvas sobre el contorno (ver figura 3).

Figura 3. Ejemplo de curva de aproximación en contorno. B. Selección de objetos y generación de Imágenes

La selección del conjunto de objetos fue realizada teniendo en cuenta que sus materiales produjeran las diferentes fuentes de generación de anomalías.. Las imágenes obtenidas corresponden a un proceso de adquisición bajo las mismas condiciones de escala, calibración y fueron obtenidas con el sensor Minolta de la Universidad Nacional de Colombia - sede Manizales. 3. RESULTADOS A cada contorno extraído se le estimó un grupo de medidas de igual tamaño que el número de vértices que conforma el contorno. Estas medidas son la estimación de la curvatura y la torsión. La figura 4, muestra el comportamiento de los valores obtenidos para cada grupo de contornos, tanto para la curvatura (ver figura 4a), como para la torsión (ver figura 4b). En la figura 4, es posible notar que estos dos grupos de medidas tienden a en rango de valores diferentes. Sus distribuciones presentan forma diferente como se evidencia en la figura 5. Por otra parte, el grupo de contornos opacos muestra un rango superior en relación con el rango de los contornos brillantes. Sin embargo, no es posible observar una diferenciación definitiva para afirmar

que estas medidas se comportan de forma diferente de acuerdo con la naturaleza de la anomalía. Debido a la dificultad de obtener un concepto determinante frente al comportamiento de las dos medidas obtenidas de los diferentes grupos analizados, se realizaron pruebas estadísticas para determinar si las diferencias encontradas son significativas para determinar si estos comportamientos son o no diferentes. Las medidas descriptivas de ambas muestras es de 0,34 y 0,14 para la curvatura, y 0,033 y 0,007 para la torsión, son estadísticamente, suficientemente diferentes en cada grupo. Un factor determinante e inicial para realizar análisis estadísticos lo constituye la prueba de normalidad en los datos. Debido a las características de los datos, en relación con su tamaño, la prueba Shapiro-Wilk resulta más adecuada (Sclaroff y Pentland, 1991). Los resultados de la prueba de normalidad para los grupos de muestras de curvatura y torsión fueron de 0,11, 0,01, 0,00y 0,004, respectivamente. Las pruebas fueron realizadas con un nivel α = 0,05, asumiendo la normalidad de la distribución para ? > 0,05. Los resultados muestran que a pesar de que la distribución de los datos de la muestra de curvaturas obtenidas en objetos brillantes, esta distribuida de forma normal, el resto de las muestras no presentan ese comportamiento. Dada la no normalidad de los datos, se aplicó una prueba no paramétrica para analizar la similitud entre las medias de ambos pares de grupos. Se aplicó la prueba de Mann-Whitney, apropiada para cuando la asunción de normalidad en la distribución de los datos no es posible. Las hipótesis utilizadas para la comparación de los grupos fueron: la hipótesis nula @�: Las dos muestras provienen de idénticas poblaciones y la hipótesis alternativa @A: Las dos muestras provienen de poblaciones diferentes. A un nivel de significancia de α = 0,05 y una regla de decisión tal que: si ? ; BCDEF < 0,05 se rechaza la hipótesis nula.

a) b)

Figura 4. Comportamiento del promedio de la a) curvatura y b) la torsión para los conjuntos de contornos extraídos de objetos brillantes (línea punteada) y opacos (línea continua).

Figura 5. Distribuciones de los datos obtenidos a) curvatura y b) torsiones. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 3. Los estadísticos encontrados para el grupo de curvaturas y de torsión corresponden a 0,0003 y 0,0005. De tal forma que para ambos casos se acepta la hipótesis nula. 4. CONCLUSION Lo resultados obtenidos del análisis de las curvas que representan los contornos de anomalías causadas por fenómenos ópticos y por oclusión, sugieren que las diferencias encontradas pueden considerarse productos del azar. Esto porque las pruebas estadísticas demuestran que no se puede diferenciar éstas anomalías desde el punto de vista geométrico. En ese mismo sentido, es posible concluir que el comportamiento de los valores de curvatura y los valores de las torsiones no permite que éstas puedan ser consideradas como

características discriminantes para determinar una fuente generadora de anomalías asociadas a ausencia de información, de forma similar al tamaño y la forma. Por lo tanto, en el diseño de un método para el tratamiento de correcciones se puede asumir un tratamiento similar para las anomalías con independencia de la fuente que la genera.

Estos resultados evidencian la dificultad en la discriminación de la fuente tomando solo la estimación de las características. Sin embargo, de acuerdo con los datos obtenidos, existe evidencia que sugiere que la distribución de los valores de las características medidas, en cada grupo es diferente. Es decir, aunque los promedios y los valores sean similares para ambas fuentes de anomalías, estos valores presentan diferencias en las distribuciones dentro del rango numérico. Este hecho permite

asumir que es posible, la construcción de un clasificador más complejo, que uno que sólo toma en cuenta el valor numérico de las características geométricas. Como trabajo futuro, se propone el análisis de las regiones de superficie cercanas al contorno para determinar si existen perturbaciones introducidas por la fuente de generación de la discontinuidad, y si estas perturbaciones pueden caracterizarse con el objeto de diferenciar la fuente generadora. REFERENCIAS Banta, J., Wong, L. Dumont, C., Abidi, M. (2000). “A next-best-view system for autonomous 3-d object reconstruction”. Systems, Man and

Cybernetics, Part A: Systems and Humans, IEEE

Transaction , vol. 30, No. 5 (September), pp. 589-598. Bischoff, S., Pavic, D., and Kobbelt, L. (2005). “Automatic restoration of polygon models”. ACM

Trans. Graph., vol. 24, No 4 (October), pp.1332–1352. Branch, J., Prieto, F., and Boulanger, P. (2006). Automatic hole-filling of triangular meshes using

local radial basis function. Processing, Visualization, and Transmission (3DPVT’06), Washington, DC, USA. IEEE Computer Society, pp. 727–734. Curless B. (1997). New Methods for Surface

Reconstruction from Range Images. Doctoral Thesis dissertation, Stanford University, Stanford, CA, USA. Lewiner, T. Joao, D., Gomes, J., Lopes, H. y Craizer. M. (2005), "Curvature and torsion estimators based on parametric curve fitting.", Computers & Graphics, Vol. 25, No. 5, pp. 641-655, ISSN 0097-8493. Podolak, J. and Rusinkiewicz, S. (2005). Atomic

volumes for mesh completion. Proceedings of the 2005 Eurographics symposium on Geometry processing, Switzerland, pp. 33-41. Qiang H., Shusheng Z, Xiaoliang B, Xin Z. (2010). "Hole filling based on local surface approximation", Computer Application and System

Modeling (ICCASM), vol. 3, no. 1 (October), pp. 22-24. Sclaroff, S. and Pentland, A. (1991). “Generalized implicit functions for computer graphics”. SIGGRAPH Comput. Graph., vol. 25, No. 4 (July), pp. 247–250. Wang, J. and Oliveira, M. (2007). “Filling holes on locally smooth surfaces reconstructed from point clouds”. Image and Vision Computing, Vol. 25, No. 1 (January, 2007), pp. 103-113. Xiaohe L, Lan K, Hu X. (2011). Hole filling

method of triangle mesh, Multimedia Technology (ICMT), 2011 International Conference, Changzhou, China, pp. 3085-3089.

Zhao, W., Gao, S., and Lin, H. (2007). “A robust hole-filling algorithm for triangular mesh”. Vis. Comput., vol. 23, No. 12 (November), pp. 987–997.