année : 2011/2012 delta-hedging dune option digitale et approche par bull spread sen serdar amadel...

Année : 2011/2012

Delta-Hedging d’une option digitale et approche par Bull Spread

SEN Serdar

AMADEL Mohcine

ZALBA Juan

SOMMAIREIntroduction

I-Calcul du Delta d’une option digitale

II-Option Bull Spread

III- Méthode d’approximation de l’option digitale

1) Approximation du prix de l’option digitale

2) Approximation de delta de l’option digitale

IV- Comportements de l’option digitale approché

1) Comportement du delta approché

2) Comportement temporel de l’option digitale approché

V- Simulations du portefeuille de duplication et de l’erreur de couverture

Conclusion

INTRODUCTIONUne option Call Digitale est une option qui donne le droit à un euro

à une échéance T si le Strike K est dépassé par l’actif à cette date T,

et 0 sinon.

Payoff du Call Digitale :

Digitale européenne Digitale américaine

INTRODUCTION

Notre étude est basé sur les digitales européennes, dans le cadre du

modèle de Black Scholes.

But du projet :

Utiliser les options vanilles simples pour approcher le payoff d’une digitale

Calculer le Delta approchée de la digitale grâce aux options vanille simples.

Réaliser une couverture en Delta approchée de l’option digitale.

I. CALCUL DU DELTA D’UNE OPTION DIGITALE

Payoff du Call Digitale :

Prix de l’option :

Delta :

En en déduit le delta de la digitale :

Le delta de la digitale diverge à l’approche de la maturité, c’est la raison pour

laquelle on va utiliser des options vanilles simple pour approximer le delta de la

digitale.

II. OPTION BULL SPREADUn Bull Spread est défini par :

- Achat d’un Call C1 de Strike K1

- Vente d’un Call C2 de Strike K2 > K1

Pour K2 et K1 trés proche le payoff de la Bull Spread s’approche du payoff de l’option Call Digitale

Sous-jacent ST Payoff C1 Payoff C2 Payoff Bull SpreadST < K1 0 0 0

K2 < ST < K1 ST - K1 0 ST - K1

ST > K2 ST - K1 - (ST - K2) K2 - K1

Pour on a

On prend , dans ce cas

Si j’achète le payoff devient :

Exemple :

Si je doit acheter Bull Spreads pour que le payoff vaille

1 (valeur du payoff d’une digitale).

II. OPTION BULL SPREADSous-jacent ST Payoff C1 Payoff C2 Payoff Bull Spread

ST < K1 0 0 0K2 < ST < K1 ST - K1 0 ST - K1

ST > K2 ST - K1 - (ST - K2) K2 - K1

Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de :

- achat Call C1 de Strike K

- vente Call C2 de Strike

2.Calcul des prix sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread :

3.On obtient le prix du Bull Spread :

Prix Bull Spread = C1 - C2

4.Calcul du prix de l’option digitale approchée :

III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALE1) Approximation du prix de l’option digitale

Dans la suite les différentes graphiques et résultats que nous obtiendront seront suivant ces paramètres :

III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALEC1) Approximation du prix de l’option digitale

III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALE

Prix Digital Approché pour є = 0,1 à 0,001

On remarque que plus є est petit plus le prix du digital approché tend vers le vrai prix

de l’option digital

00.020.040.060.080.10.4874

0.4876

0.4878

0.488

0.4882

0.4884

0.4886

0.4888

Prix Digital Approché Prix Digital

ϵ

1) Approximation du prix de l’option digitale

Etape de calcul: 1.On prend un Bull Spread constitué de :

- achat Call C1 de Strike K

- vente Call C2 de Strike

2.Calcul le delta sous Black Scholes des options constituant le Bull Spread :

On a :

3.Le delta du Bull Spread s’obtient par :

4.Finalement le Delta approché de l’option digitale est :

III. MÉTHODE D’APPROXIMATION DE L’OPTION DIGITALE2) Approximation de delta de l’option digitale

IV. COMPORTEMENTS DE L’OPTION DIGITALE APPROCHÉ

00.10.20.30.40.50.015406

0.0154065

0.015407

0.0154075

0.015408

0.0154085

0.015409

Delta Digital Approché en fonction de є

Delta Digital Approché

є

1) Comportement du delta approché

Delta du digitale en t=0



0 2 4 6 8 10 120.455

0.46

0.465

0.47

0.475

0.48

0.485

0.49

0.495

0.5

0.505

Prix en fonction du temps pour є = 1

Prix Digital Approché Prix Digital

Temps (mois)



0 2 4 6 8 10 120.48

0.485

0.49

0.495

0.5

0.505

Prix en fonction du temps pour є = 0,1

Prime Digital Approché Prime Digital

Temps (mois)



On remarque que à l’approche de la maturité le prix de la digitale approché diffère très légèrement du prix

du digital original. Cette différence est moins important pour є très petit.

0 2 4 6 8 10 120.482

0.484

0.486

0.488

0.49

0.492

0.494

0.496

0.498

0.5

0.502

Prix en fonction du temps pour є = 0,01

Prime Digital Approché Prime Digital

Temps (mois)

V- SIMULATION DU PORTEFEUILLE DE DUPLICATION ET DE L’ERREUR DE COUVERTURE

Portefeuille de couverture :

Quantité de sous-jacent à acheter :

Emprunt au taux sans risque :

Etape de calcul :

1.Couverture sur une grille discrète :

2.On se place dans le cadre de Black Scholes

3.Calcul du delta approché :

4.Dynamique discrète du portefeuille :

Avec :

5.Erreur de couverture :


0 50 100 150 200 250

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

Rebalancement journalier, є = 1

Digital Portefeuille couverture

Nombres de rebalancement


0 50 100 150 200 250

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

0.999999999999999

Rebalancement journalier, є =0,1




0 50 100 150 200 250

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

Rebalancement journalier, є = 0,01


Nombres de Rebalancement


On remarque que l’erreur de couverture est plus petit pour un rebalancement à haute fréquences

0 50 100 150 200 250 300

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Rebalancement journalier, є = 0,001




Page 23

Rebalancement trimestriel

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Rebalancement trimestriel, є = 0,1



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

Rebalancement trimestriel ,є = 0,01



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Rebalancement trimestriel ,є = 0,001



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.1

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

Rebalancement trimestriel, є = 1




Rebalancement mensuel

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Rebalancement mensuel, є = 1



0 2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Rebalancement mensuel, є = 0,1



0 2 4 6 8 10 12

-0.700000000000001

-0.500000000000001

-0.300000000000001

-0.100000000000001

0.0999999999999994

0.299999999999999

0.5

0.7

0.9

Rebalancement triestriel, є = 0,01


Nombres de simulation

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Rebalancement mesuel, є = 0,001




Rebalancement bi-mensuel

-6 -1 4 9 14 19 24

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

0.999999999999999

Rebalancement bi-mensuel, є = 1


Nombres de Rebalancement0 5 10 15 20 25

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

Rebalancement bi-mensuel, є = 0,1



0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Rebalancement bi-mensuel, є=0,01



0 5 10 15 20 25

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

0.999999999999999

Rebalancement bi-mensuel, є = 0,001




Rebalancement hebdomadaire

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

0.999999999999999

Rebalancement hebdomadaire, є = 1



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

0.999999999999999

Rebalancement hebdomadaire, є = 0,1



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6




0 10 20 30 40 50 600

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6





Rebalancement bi-hebdomadaire

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Rebalancement bi-hebdomadaire, є = 1



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

0.8

Simulations bihebdomadaire є = 0,1



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-0.600000000000001

-0.400000000000001

-0.200000000000001

-5.55111512312578E-16

0.199999999999999

0.399999999999999

0.6

Rebalancement bi-hebdomadaire, є = 0,01



0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Rebalancement bi-hebdomadaire, є = 0,001



CONCLUSION

année : 2011/2012 delta-hedging dune option digitale et approche par bull spread sen serdar amadel...

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