anonymous secret sharing schemes

8/13/2019 Anonymous Secret Sharing Schemes

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A n o n y m o u s S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s

C . B l u n d o

D i p a r t i m e n t o d i I n f o r m a t i c a e d A p p l i c a z i o n i

U n i v e r s i t a d i S a l e r n o

8 4 0 8 1 B a r o n i s s i ( S A ) , I t a l y

D . R . S t i n s o n

D e p a r t m e n t o f C o m p u t e r S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g

a n d C e n t e r f o r C o m m u n i c a t i o n a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e

U n i v e r s i t y o f N e b r a s k a - L i n c o l n

L i n c o l n N E 6 8 5 8 8 , U S A

J a n u a r y 2 9 , 1 9 9 6

A b s t r a c t

I n t h i s p a p e r w e s t u d y a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s . I n f o r m a l l y , i n a n a n o n y -

m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e t h e s e c r e t c a n b e r e c o n s t r u c t e d w i t h o u t k n o w l e d g e o f w h i c h

p a r t i c i p a n t s h o l d w h i c h s h a r e s . I n s u c h s c h e m e s t h e c o m p u t a t i o n o f t h e s e c r e t c a n b e

c a r r i e d o u t b y g i v i n g t h e s h a r e s t o a b l a c k b o x t h a t d o e s n o t k n o w t h e i d e n t i t i e s o f t h e

p a r t i c i p a n t s h o l d i n g t h o s e s h a r e s . P h i l l i p s a n d P h i l l i p s g a v e n e c e s s a r y a n d s u c i e n t

c o n d i t i o n s f o r t h e r e t o e x i s t a n a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e w h e r e t h e s i z e o f t h e

s h a r e s g i v e n t o e a c h p a r t i c i p a n t i s e q u a l t o t h e s i z e o f t h e s e c r e t . I n t h i s p a p e r , w e

p r o v i d e l o w e r b o u n d s o n t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t s i n a n y ( t ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e , a n d

f o r a n i n n i t e c l a s s o f n o n - t h r e s h o l d a c c e s s s t r u c t u r e s . W e a l s o d i s c u s s c o n s t r u c t i o n s

f o r a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s , a n d a p p l y t h e m t o a c c e s s s t r u c t u r e s o b t a i n e d

f r o m c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h s .

1 I n t r o d u c t i o n

I n f o r m a l l y , a s e c r e t s h a r i n g s c h e m e i s a m e t h o d o f d i s t r i b u t i n g a s e c r e t k e y a m o n g a s e t

o f p a r t i c i p a n t s P i n s u c h a w a y t h a t q u a l i e d s u b s e t s o f P c a n r e c o n s t r u c t t h e v a l u e o f ,

w h e r e a s a n y o t h e r ( n o n - q u a l i e d ) s u b s e t s o f P c a n n o t d e t e r m i n e a n y t h i n g a b o u t t h e v a l u e

o f t h e .

S e c r e t s h a r i n g s c h e m e s a r e u s e f u l i n a n y i m p o r t a n t a c t i o n t h a t r e q u i r e s t h e c o n c u r r e n c e

o f s e v e r a l d e s i g n a t e d p e o p l e t o b e i n i t i a t e d , s u c h a s l a u n c h i n g a m i s s i l e , o p e n i n g a b a n k v a u l t

o r e v e n o p e n i n g a s a f e t y d e p o s i t b o x . S e c r e t s h a r i n g s c h e m e s a r e a l s o u s e d i n m a n a g e m e n t

o f c r y p t o g r a p h i c k e y s a n d m u l t i - p a r t y s e c u r e p r o t o c o l s ( s e e 1 2 ] f o r e x a m p l e ) .

T h e r s t s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s t h a t w e r e s t u d i e d a r e ( t ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e s . A ( t ; w )

t h r e s h o l d s c h e m e a l l o w s a s e c r e t t o b e s h a r e d a m o n g w p a r t i c i p a n t s i n s u c h a w a y t h a t a n y

t o f t h e m c a n r e c o v e r t h e s e c r e t , b u t a n y t 1 h a v e a b s o l u t e l y n o i n f o r m a t i o n o n t h e s e c r e t .

S h a m i r 2 1 ] a n d B l a k l e y 2 ] s h o w e d h o w t o c o n s t r u c t ( t ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e s . S u b s e q u e n t l y ,

I t o , S a i t o , a n d N i s h i z e k i 1 4 ] a n d B e n a l o h a n d L e i c h t e r 1 ] d e s c r i b e d a m o r e g e n e r a l m e t h o d

o f s e c r e t s h a r i n g . T h e y s h o w e d h o w t o r e a l i z e a s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r a n y m o n o t o n e

1


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a c c e s s s t r u c t u r e . ( A n a c c e s s s t r u c t u r e i s t h e f a m i l y o f a l l s u b s e t s o f p a r t i c i p a n t s t h a t a r e

a b l e t o r e c o n s t r u c t t h e s e c r e t . )

T h e s u r v e y b y S t i n s o n 2 3 ] c o n t a i n s a u n i e d d e s c r i p t i o n o f r e s u l t s i n t h e a r e a o f s e -

c r e t s h a r i n g s c h e m e s . F o r d i e r e n t a p p r o a c h e s t o t h e s t u d y o f s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s ,

i n c l u d i n g s c h e m e s w i t h \ e x t e n d e d c a p a b i l i t i e s " s u c h a s d i s e n r o l l m e n t , f a u l t - t o l e r a n c e , a n d

p r e - p o s i t i o n i n g , a n d a c o m p l e t e b i b l i o g r a p h y , w e r e c o m m e n d t h e s u r v e y a r t i c l e b y S i m -

m o n s 2 2 ] .

A n i d e a l s e c r e t s h a r i n g s c h e m e i s a s c h e m e i n w h i c h t h e s i z e o f t h e s h a r e s g i v e n t o

e a c h p a r t i c i p a n t i s e q u a l t o t h e s i z e o f t h e s e c r e t . B r i c k e l l a n d D a v e n p o r t 5 ] s h o w e d a

c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n i d e a l s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s a n d m a t r o i d s ( s e e a l s o 1 5 ] ) .

I n t h i s p a p e r w e a n a l y z e a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s . I n f o r m a l l y , i n a n a n o n y -

m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e t h e s e c r e t c a n b e r e c o n s t r u c t e d w i t h o u t k n o w l e d g e o f w h i c h

p a r t i c i p a n t s h o l d w h i c h s h a r e s . I n s u c h s c h e m e s t h e c o m p u t a t i o n o f t h e s e c r e t c a n b e

c a r r i e d o u t b y g i v i n g t h e s h a r e s t o a b l a c k b o x t h a t d o e s n o t k n o w t h e i d e n t i t i e s o f t h e

p a r t i c i p a n t s h o l d i n g t h o s e s h a r e s . T h i s w o u l d s e e m t o b e a d e s i r a b l e p r o p e r t y i n c e r t a i n a p -

p l i c a t i o n s . F o r e x a m p l e , i f t h e s c h e m e i s t o b e u s e d t o p r o v i d e a c c e s s t o a s e c u r e a r e a , t h e n

a n a n o n y m o u s s c h e m e w i l l p r o v i d e s e c u r i t y w i t h o u t t h e n e e d f o r a s e p a r a t e i d e n t i c a t i o n

p r o t o c o l .

A n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s w e r e r s t i n v e s t i g a t e d i n 1 9 8 8 b y S t i n s o n a n d V a n -

s t o n e 2 6 ] . I n t h e m o d e l p r o p o s e d i n 2 6 ] t h e p a r t i c i p a n t s r e c e i v e d i s t i n c t s h a r e s ( w e w i l l

c a l l s u c h a s c h e m e a \ s t r i c t " a n o n y m o u s s c h e m e ) . T h e a u t h o r s p r o v e d a l o w e r b o u n d o n

t h e s i z e o f t h e s h a r e s f o r a n o n y m o u s t h r e s h o l d s c h e m e s a n d p r o v i d e d o p t i m a l s c h e m e s f o r

c e r t a i n c l a s s e s o f t h r e s h o l d s t r u c t u r e s b y u s i n g a c o m b i n a t o r i a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f o p t i m a l

s c h e m e s . F u r t h e r r e s u l t s c a n b e f o u n d i n 2 0 ] a n d i n 9 ] .

I n 1 9 9 2 , P h i l l i p s a n d P h i l l i p s 1 8 ] c o n s i d e r e d a d i e r e n t m o d e l f o r a n o n y m o u s s e c r e t s h a r -

i n g s c h e m e s . I n t h e i r m o d e l , d i e r e n t p a r t i c i p a n t s a r e a l l o w e d t o r e c e i v e t h e s a m e s h a r e s .

T h e y a n a l y z e d i d e a l a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s , r e f e r r e d t o i n 1 8 ] a s \ s t r o n g l y i d e a l

s c h e m e s " . P h i l l i p s a n d P h i l l i p s p r o v e d t h e i n t e r e s t i n g r e s u l t t h a t a s t r o n g l y i d e a l s c h e m e

f o r a n a c c e s s s t r u c t u r e o n w p a r t i c i p a n t s c a n b e r e a l i z e d i f a n d o n l y i f i s e i t h e r a ( 1 ; w )

t h r e s h o l d s t r u c t u r e , a ( w ; w ) t h r e s h o l d s t r u c t u r e , o r t h e c l o s u r e o f t h e e d g e s e t o f a c o m p l e t e

b i p a r t i t e g r a p h .

T h i s p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : I n S e c t i o n 2 w e g i v e f o r m a l d e n i t i o n s f o r v a r i o u s

t y p e s o f s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s , a n d i n t r o d u c e s o m e n o t a t i o n u s e d i n t h e p a p e r . I n S e c t i o n 3

w e p r o v i d e a l o w e r b o u n d o n t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t ( a s a f u n c t i o n o f t h e s i z e o f t h e k e y s e t )

i n a n y a n o n y m o u s ( t ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e , a n d f o r a n i n n i t e c l a s s o f n o n - t h r e s h o l d a c c e s s

s t r u c t u r e s . I n S e c t i o n 4 w e c o n s i d e r s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s . W e p r o v e a

l o w e r b o u n d o n t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t f o r n o n - t h r e s h o l d a c c e s s s t r u c t u r e s , g e n e r a l i z i n g

t h e b o u n d p r o v e d i n 2 6 ] . I n S e c t i o n 5 w e p r e s e n t s o m e c o n s t r u c t i o n s f o r a n o n y m o u s s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e s . I n p a r t i c u l a r , w e l o o k a t a c c e s s s t r u c t u r e s w h i c h a r e t h e c l o s u r e o f t h e

e d g e s e t o f a c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h , t h a t i s , a c c e s s s t r u c t u r e s f o r w h i c h t h e s e t o f

p a r t i c i p a n t s c a n b e i d e n t i e d w i t h t h e v e r t e x s e t V ( G ) o f a g r a p h G = ( V ( G ) ; E ( G ) ) , a n d

t h e s u b s e t s o f p a r t i c i p a n t s q u a l i e d t o r e c o n s t r u c t t h e s e c r e t a r e o n l y t h o s e c o n t a i n i n g a n

e d g e o f G . ( N o n - a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s f o r g r a p h a c c e s s s t r u c t u r e s h a v e b e e n

e x t e n s i v e l y s t u d i e d i n s e v e r a l p a p e r s , s u c h a s 5 , 6 , 8 , 4 , 3 , 2 4 , 2 5 ] . )

2


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2 D e n i t i o n s a n d N o t a t i o n

A p e r f e c t s e c r e t s h a r i n g s c h e m e p e r m i t s a s e c r e t t o b e s h a r e d a m o n g a s e t P o f w p a r t i c i p a n t s

i n s u c h a w a y t h a t a q u a l i e d s u b s e t o f P c a n r e c o v e r t h e s e c r e t , b u t a n y n o n - q u a l i e d s u b s e t

h a s a b s o l u t e l y n o i n f o r m a t i o n o n t h e s e c r e t . A n a c c e s s s t r u c t u r e i s t h e s e t o f a l l s u b s e t s

o f P t h a t c a n r e c o v e r t h e s e c r e t .

D e n i t i o n 2 . 1 L e t P = f P

1

; : : : ; P

w

g b e a s e t o f p a r t i c i p a n t s . A m o n o t o n e a c c e s s s t r u c t u r e

o n P i s a s u b s e t 2

P

; s u c h t h a t

A 2 ; A A

0

P ) A

0

2 :

D e n i t i o n 2 . 2 L e t P = f P

1

; : : : ; P

w

g b e a s e t o f p a r t i c i p a n t s a n d l e t A 2

P

: T h e c l o s u r e

o f A , d e n o t e d c l ( A ) , i s t h e s e t

c l ( A ) = f C : 9 B 2 A s u c h t h a t B C P g :

F o r a m o n o t o n e a c c e s s s t r u c t u r e w e h a v e = c l ( ) : I f i s a n a c c e s s s t r u c t u r e o n P , t h e n

B 2 i s a m i n i m a l q u a l i e d s e t i f A 62 w h e n e v e r A B , A 6= B . T h e f a m i l y o f m i n i m a l

q u a l i e d s e t s o f i s d e n o t e d

0

a n d i s c a l l e d t h e b a s i s o f . W e r e f e r t o a m i n i m a l q u a l i e d

s e t a s a b a s i s s e t . I t i s e a s y t o s e e t h a t i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d a s a f u n c t i o n o f

0

, n a m e l y ,

= c l (

0

) . A n a c c e s s s t r u c t u r e w i l l b e c a l l e d t r i v i a l i f e i t h e r = 2

P

o r = f P g ( i . e . , i f

e v e r y s e t i s a q u a l i e d s e t o r i f t h e o n l y q u a l i e d s e t i s t h e e n t i r e s e t o f p a r t i c i p a n t s P ) .

L e t K b e a s e t o f q e l e m e n t s c a l l e d s e c r e t s o r k e y s , a n d l e t S b e a n i t e s e t w h o s e

e l e m e n t s a r e c a l l e d s h a r e s . S u p p o s e a d e a l e r D w a n t s t o s h a r e t h e s e c r e t k e y 2 K a m o n g

t h e p a r t i c i p a n t s i n P ( w e w i l l a s s u m e t h a t D 62 P ) . H e d o e s t h i s b y g i v i n g e a c h p a r t i c i p a n t

P 2 P a s h a r e f r o m S . T h e d e a l e r c a n d i s t r i b u t e t h e s a m e s h a r e s t o d i e r e n t p a r t i c i p a n t s ,

h e n c e i n t h e f o l l o w i n g w e w i l l u s e b r a c e s f g t o d e n o t e s e t s a n d s q u a r e b r a c k e t s ] t o d e n o t e

m u l t i s e t s ( a m u l t i s e t i s a s e t c o n t a i n i n g r e p e a t e d e l e m e n t s ) .

W e r e p r e s e n t a s e c r e t s h a r i n g s c h e m e b y a c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s . A d i s t r i b u t i o n

r u l e i s a f u n c t i o n

f : P f D g ! K S

w h i c h s a t i s e s t h e c o n d i t i o n s f ( D ) 2 K a n d f ( P

i

) 2 S , f o r i = 1 ; 2 ; : : : ; w . A d i s t r i b u t i o n

r u l e f r e p r e s e n t s a p o s s i b l e d i s t r i b u t i o n o f s h a r e s t o t h e p a r t i c i p a n t s , w h e r e f ( D ) i s t h e

s e c r e t k e y b e i n g s h a r e d , a n d f ( P

i

) i s t h e s h a r e g i v e n t o P

i

. I f F i s a f a m i l y o f d i s t r i b u t i o n

r u l e s a n d 2 K , t h e n F

= f f 2 F : f ( D ) = g i s t h e f a m i l y o f a l l d i s t r i b u t i o n r u l e s

h a v i n g a s t h e s e c r e t . I f 2 K i s t h e v a l u e o f t h e s e c r e t t h a t D w a n t s t o s h a r e , t h e n D

w i l l c h o s e a d i s t r i b u t i o n r u l e f 2 F

u n i f o r m l y a t r a n d o m , a n d u s e f t o d i s t r i b u t e s h a r e s

t o t h e p a r t i c i p a n t s .

L e t f p

K

( ) g

2 K

b e a p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n o n K , a n d l e t a c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n

r u l e s f o r s e c r e t s i n K b e x e d . W e d e n e a p e r f e c t s e c r e t s h a r i n g s c h e m e a s f o l l o w s .

D e n i t i o n 2 . 3 A p e r f e c t s e c r e t s h a r i n g s c h e m e , w i t h r e s p e c t t o t h e m o n o t o n e a c c e s s s t r u c -

t u r e 2

P

, i s a c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s t h a t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g t w o p r o p e r t i e s :

1 . I f a s u b s e t A 2 o f p a r t i c i p a n t s p o o l t h e i r s h a r e s , t h e n t h e y c a n d e t e r m i n e t h e v a l u e

o f t h e s e c r e t . F o r m a l l y , i f A 2 t h e n f o r a l l a = f ( P

i

; s

i

) : P

i

2 A a n d s

i

2 S g

w i t h p ( a ) > 0 , a u n i q u e s e c r e t 2 K e x i s t s s u c h t h a t p ( j a ) = 1 .

3


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2 . I f a s u b s e t A 62 o f p a r t i c i p a n t s p o o l t h e i r s h a r e s , t h e n t h e y c a n d e t e r m i n e n o t h i n g

a b o u t t h e v a l u e o f t h e s e c r e t ( i n a n i n f o r m a t i o n - t h e o r e t i c s e n s e ) , e v e n w i t h i n -

n i t e c o m p u t a t i o n a l r e s o u r c e s . F o r m a l l y , i f A 62 t h e n f o r a l l a = f ( P

i

; s

i

) : P

i

2

A a n d s

i

2 S g w i t h p ( a ) > 0 , a n d f o r a l l 2 K , i t h o l d s p ( j a ) = p

K

( ) .

P r o p e r t y 1 : m e a n s t h a t t h e v a l u e s o f t h e s h a r e s h e l d b y A 2 a n d t h e i d e n t i t i e s o f t h e

p a r t i c i p a n t s i n A c o m p l e t e l y d e t e r m i n e t h e s e c r e t 2 K . P r o p e r t y 2 : m e a n s t h a t t h e

p r o b a b i l i t y t h a t t h e s e c r e t i s e q u a l t o , g i v e n t h a t t h e s h a r e s h e l d b y A 62 a n d t h e

i d e n t i t i e s o f t h e p a r t i c i p a n t s i n A a r e s p e c i e d b y a , i s t h e s a m e a s t h e a p r i o r i p r o b a b i l i t y

o f t h e s e c r e t . ( F r o m t h i s i t f o l l o w s t h a t f o r a l l a = f ( P

i

; s

i

) : P

i

2 A g , t h e r e e x i s t s a n

i n t e g e r

a

s u c h t h a t , f o r e v e r y 2 K , t h e r e e x i s t e x a c t l y

a

d i s t r i b u t i o n r u l e s f 2 F

s u c h

t h a t f ( P

i

) = s

i

f o r a l l P

i

2 A . ) T h e r e f o r e , n o a m o u n t o f k n o w l e d g e o f s h a r e s o f p a r t i c i p a n t s

n o t q u a l i e d t o r e c o n s t r u c t t h e s e c r e t e n a b l e s a B a y e s i a n o p p o n e n t t o m o d i f y a n a p r i o r i

g u e s s r e g a r d i n g t h e s e c r e t .

T h r o u g h o u t t h i s p a p e r , w e c o n n e o u r a t t e n t i o n t o p e r f e c t s c h e m e s , s o t h e t e r m \ s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e " c a n b e t a k e n t o m e a n \ p e r f e c t s e c r e t s h a r i n g s c h e m e " .

A s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r w h i c h j K j = j S j i s c a l l e d a n i d e a l s e c r e t s h a r i n g s c h e m e a n d

a n a c c e s s s t r u c t u r e a d m i t t i n g a n i d e a l s c h e m e w i l l b e r e f e r r e d a s i d e a l a c c e s s s t r u c t u r e .

W e a s s u m e t h a t t h e s e c r e t r e c o n s t r u c t i o n p h a s e i s c a r r i e d o u t b y a t r u s t w o r t h y m a c h i n e

t h a t k e e p s s e c r e t a l l t h e r e c e i v e d s h a r e s . T h i s i s n o t a s t r o n g a s s u m p t i o n a n d i t i s m o r e

o r l e s s e x p l i c i t l y u s e d i n a l l u s u a l s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s . I n f a c t , i f t h e m a c h i n e d o e s n o t

k e e p t h e r e c e i v e d s h a r e s s e c r e t , t h e n e v e r y o n e w h o h a s a c c e s s t o t h e m a c h i n e w o u l d k n o w

a l l t h e s h a r e s a n d t h e r e f o r e c o u l d r e c o n s t r u c t t h e s e c r e t e v e n i f h e i s n o t a l l o w e d t o .

I n a n a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e t h e s e c r e t c a n b e r e c o n s t r u c t e d w i t h o u t k n o w l -

e d g e o f w h i c h p a r t i c i p a n t s h o l d w h i c h s h a r e s . I n s u c h s c h e m e s t h e c o m p u t a t i o n o f t h e s e c r e t

c a n b e c a r r i e d o u t b y g i v i n g t h e s h a r e s t o a t r u s t w o r t h y m a c h i n e t h a t d o e s n o t k n o w t h e

i d e n t i t i e s o f t h e p a r t i c i p a n t s h o l d i n g t h o s e s h a r e s . T h e d i e r e n c e b e t w e e n a s e c r e t s h a r i n g

s c h e m e a n d a n a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e d e p e n d s o n t h e r e c o n s t r u c t i o n f u n c t i o n

u s e d b y t h e t r u s t w o r t h y m a c h i n e .

W e d e n e a n a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e a s f o l l o w s .

D e n i t i o n 2 . 4 A n a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e , w i t h r e s p e c t t o t h e m o n o t o n e a c c e s s

s t r u c t u r e 2

P

, i s a c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s w h i c h s a t i s e s P r o p e r t y 2 . o f D e n i t i o n

2 . 3 , a s w e l l a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y :

1 . I f a s u b s e t A 2 o f p a r t i c i p a n t s p o o l t h e i r s h a r e s ( b u t k e e p t h e i r i d e n t i t i e s s e c r e t ) ,

t h e n t h e y c a n d e t e r m i n e t h e v a l u e o f t h e s e c r e t . F o r m a l l y , i f A 2 t h e n f o r a l l

s = s

i

: P

i

2 A a n d s

i

2 S ] w i t h p ( s ) > 0 , a u n i q u e s e c r e t 2 K e x i s t s s u c h t h a t

p ( j s ) = 1 .

I n t h i s d e n i t i o n , P r o p e r t y 1 : m e a n s t h a t t o c o m p u t e t h e s e c r e t i t i s e n o u g h t o k n o w j u s t

t h e s h a r e s h e l d b y p a r t i c i p a n t s i n a q u a l i e d s e t | i t i s n o t n e c e s s a r y t o k n o w t h e q u a l i e d

s e t o r w h i c h p a r t i c i p a n t s h o l d w h i c h s h a r e s .

N o t e t h a t i n s t e a d w e c o u l d h a v e u s e d t h e f o l l o w i n g w e a k e r s e c u r i t y c o n d i t i o n i n t h e

d e n i t i o n o f a n a n o n y m o u s s c h e m e :

2

0

: I f a s u b s e t A 62 o f p a r t i c i p a n t s p o o l t h e i r s h a r e s ( b u t k e e p t h e i r i d e n t i t i e s s e c r e t ) ,

t h e n t h e y c a n d e t e r m i n e n o t h i n g a b o u t t h e v a l u e o f t h e s e c r e t ( i n a n i n f o r m a t i o n -

t h e o r e t i c s e n s e ) , e v e n w i t h i n n i t e c o m p u t a t i o n a l r e s o u r c e s . F o r m a l l y , i f A 62 t h e n

4


5/15

f o r a l l s = s

i

: P

i

2 A a n d s

i

2 S ] w i t h p ( s ) > 0 , a n d f o r a l l 2 K , i t h o l d s

p ( j s ) = p

K

( ) .

H o w e v e r , i n t h i s p a p e r , w e w i l l r e s t r i c t o u r a t t e n t i o n t o s c h e m e s t h a t s a t i s f y P r o p e r t y 2 :

s i n c e m o s t k n o w n c o n s t r u c t i o n s p r o d u c e s c h e m e s t h a t s a t i s f y t h i s \ s t r o n g e r " c o n d i t i o n .

M o r e o v e r , i t i s g e n e r a l l y b e t t e r t o u s e t h e s t r o n g e s t s e c u r i t y c o n d i t i o n i n d e s i g n i n g a n y

c r y p t o g r a p h i c p r o t o c o l .

S t i n s o n a n d V a n s t o n e 2 6 ] c o n s i d e r e d a m o d e l o f a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g i n w h i c h t h e

p a r t i c i p a n t s r e c e i v e d i s t i n c t s h a r e s . W e w i l l r e f e r t o t h i s m o d e l a s a s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e . A s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e c a n b e c o n s i d e r e d a s a n a n o n y m o u s s c h e m e

w i t h a n a d d i t i o n a l p r o p e r t y .

W e d e n e a s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e a s f o l l o w s .

D e n i t i o n 2 . 5 A s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e , w i t h r e s p e c t t o t h e m o n o t o n e

a c c e s s s t r u c t u r e 2

P

, i s a c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s w h i c h s a t i s e s P r o p e r t i e s 1 .

a n d 2 . o f D e n i t i o n 2 . 4 , a s w e l l a s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y :

3 F o r a n y g i v e n s e c r e t k e y 2 K , t h e p a r t i c i p a n t s i n P r e c e i v e d i s t i n c t s h a r e s . F o r m a l l y ,

f o r a l l 2 K , f o r a l l s 2 S a n d f o r a l l P

i

; P

j

2 P , i t h o l d s p ( P

i

= s ; P

j

= s j ) = 0 :

T h e f o l l o w i n g e x a m p l e i l l u s t r a t e s t h e t h r e e d i e r e n t m o d e l s o f s e c r e t s h a r i n g f o r a p a r -

t i c u l a r a c c e s s s t r u c t u r e .

E x a m p l e 2 . 1 L e t

0

= f f P

1

P

2

g ; f P

1

P

3

g ; f P

2

P

3

g g b e t h e b a s i s o f a ( 2 ; 3 ) t h r e s h o l d s t r u c -

t u r e , , o n t h e s e t o f p a r t i c i p a n t s P = f P

1

; P

2

; P

3

g . W e c o n s t r u c t s c h e m e s f o r t h i s a c c e s s

s t r u c t u r e , i n w h i c h t h e s e t S c o n t a i n s n i n e e l e m e n t s , f o r a l l t h r e e m o d e l s .

A n i d e a l s c h e m e

W e c a n r e a l i z e a n i d e a l s e c r e t s h a r i n g s c h e m e ( i . e . o n e i n w h i c h t h e r e a r e n i n e p o s s i b l e

k e y s ) f o r b y u s i n g t h e t e c h n i q u e o f S h a m i r 2 1 ] . L e t S = K = G F ( 9 ) . F o r a n y s e c r e t

k e y 2 K t h e f a m i l y F

o f d i s t r i b u t i o n r u l e s w i l l b e c o n s t r u c t e d a s

F

= f ( f

a

( 1 ) ; f

a

( 2 ) ; f

a

( 3 ) ) : f

a

( x ) = + a x ; a 2 G F ( 9 ) g :

I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e d i s t r i b u t i o n r u l e s t h u s o b t a i n e d c o n s t i t u t e a n i d e a l s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e f o r . T h e r e a r e 8 1 d i s t r i b u t i o n r u l e s , n i n e f o r e a c h p o s s i b l e s e c r e t

k e y .

A n a n o n y m o u s s c h e m e

T h e f o l l o w i n g c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s c o m p r i s e a n a n o n y m o u s s c h e m e f o r , i n

w h i c h t h e r e a r e v e p o s s i b l e k e y s . ( T h i s s c h e m e i s a n a p p l i c a t i o n o f a c o n s t r u c t i o n

g i v e n i n S e c t i o n 5 . )

F

0

= f ( 0 ; 0 ; 0 ) ; ( 1 ; 1 ; 1 ) ; ( 2 ; 2 ; 2 ) ; ( 3 ; 3 ; 3 ) ; ( 4 ; 4 ; 4 ) ; ( 5 ; 5 ; 5 ) ; ( 6 ; 6 ; 6 ) ; ( 7 ; 7 ; 7 ) ; ( 8 ; 8 ; 8 ) g

F

1

= f ( 0 ; 1 ; 2 ) ; ( 1 ; 2 ; 0 ) ; ( 2 ; 0 ; 1 ) ; ( 3 ; 4 ; 5 ) ; ( 4 ; 5 ; 3 ) ; ( 5 ; 3 ; 4 ) ; ( 6 ; 7 ; 8 ) ; ( 7 ; 8 ; 6 ) ; ( 8 ; 6 ; 7 ) g

F

2

= f ( 0 ; 3 ; 6 ) ; ( 3 ; 6 ; 0 ) ; ( 6 ; 0 ; 3 ) ; ( 1 ; 4 ; 7 ) ; ( 4 ; 7 ; 1 ) ; ( 7 ; 1 ; 4 ) ; ( 2 ; 5 ; 8 ) ; ( 5 ; 8 ; 2 ) ; ( 8 ; 2 ; 5 ) g

F

3

= f ( 0 ; 4 ; 8 ) ; ( 4 ; 8 ; 0 ) ; ( 8 ; 0 ; 4 ) ; ( 1 ; 5 ; 6 ) ; ( 5 ; 6 ; 1 ) ; ( 6 ; 1 ; 5 ) ; ( 2 ; 3 ; 7 ) ; ( 3 ; 7 ; 2 ) ; ( 7 ; 2 ; 3 ) g

F

4

= f ( 0 ; 5 ; 7 ) ; ( 5 ; 7 ; 0 ) ; ( 7 ; 0 ; 5 ) ; ( 1 ; 3 ; 8 ) ; ( 3 ; 8 ; 1 ) ; ( 8 ; 1 ; 3 ) ; ( 2 ; 4 ; 6 ) ; ( 4 ; 6 ; 2 ) ; ( 6 ; 2 ; 4 ) g

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t w e h a v e a n a n o n y m o u s s c h e m e f o r . I n d e e d , e a c h p a i r o f

s h a r e s ( x ; y ) 2 ( Z

9

Z

9

) b e l o n g s t o o n l y o n e F

; h e n c e t h e s e c r e t k e y i s u n i q u e l y

5


6/15

d e t e r m i n e d f r o m a n y t w o s h a r e s . I n e a c h F

, e a c h p o s s i b l e s h a r e i s a s s i g n e d t o e a c h

p o s s i b l e p a r t i c i p a n t b y e x a c t l y o n e d i s t r i b u t i o n r u l e . H e n c e t h e s e c r e t k e y r e m a i n s

c o m p l e t e l y u n k n o w n , g i v e n a s i n g l e s h a r e a n d t h e i d e n t i t y o f t h e p a r t i c i p a n t h o l d i n g

i t . T h e r e a r e 4 5 d i s t r i b u t i o n r u l e s , n i n e f o r e a c h p o s s i b l e s e c r e t k e y .

A s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e

T h e d i s t r i b u t i o n r u l e s i n F

1

; F

2

; F

3

; a n d F

4

c o m p r i s e a s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e f o r

0

i n w h i c h t h e r e a r e f o u r p o s s i b l e k e y s . ( T h i s s c h e m e i s a n a p p l i c a t i o n o f a c o n s t r u c t i o n

g i v e n i n 2 6 ] , a n d i s o p t i m a l w i t h r e s p e c t t o t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t . )

I t i s e a s y t o c h e c k t h a t t h e s e f a m i l i e s o f d i s t r i b u t i o n r u l e s r e a l i z e a n a n o n y m o u s s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e f o r . I n d e e d , e a c h p a i r o f ( d i s t i n c t ) s h a r e s x ; y 2 Z

9

b e l o n g s t o

o n l y o n e F

, h e n c e t h e s e c r e t k e y i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d ; b u t a n y s i n g l e s h a r e i s

a s s i g n e d t o a n y p a r t i c u l a r p a r t i c i p a n t b y e x a c t l y o n e d i s t r i b u t i o n r u l e i n e a c h F

, s o

t h e s e c r e t k e y r e m a i n s c o m p l e t e l y u n k n o w n . T h e r e a r e 3 6 d i s t r i b u t i o n r u l e s , n i n e f o r

e a c h p o s s i b l e s e c r e t k e y .

2 . 1 T e r m i n o l o g y f r o m G r a p h T h e o r y a n d D e s i g n T h e o r y

W e r s t p r e s e n t s o m e b a s i c t e r m i n o l o g y f r o m g r a p h t h e o r y . W e c o n s i d e r o n l y u n d i r e c t e d

g r a p h s t h a t d o n o t h a v e l o o p s o r m u l t i p l e e d g e s . I f G i s a g r a p h , w e d e n o t e t h e v e r t e x s e t o f G

b y V ( G ) a n d t h e e d g e s e t b y E ( G ) . I n a n u n d i r e c t e d g r a p h t h e p a i r o f v e r t i c e s r e p r e s e n t i n g

a n y e d g e i s u n o r d e r e d . T h u s , t h e p a i r s ( u ; v ) a n d ( v ; u ) r e p r e s e n t t h e s a m e e d g e . A g r a p h

G i s c o n n e c t e d i f a n y t w o v e r t i c e s a r e j o i n e d b y a p a t h . T h e c o m p l e t e g r a p h K

n

i s t h e g r a p h

o n n v e r t i c e s i n w h i c h a n y t w o v e r t i c e s a r e j o i n e d b y a n e d g e . T h e c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e

g r a p h K

n

1

; n

2

; : : : ; n

t

i s a g r a p h o n

P

t

i = 1

n

i

v e r t i c e s , i n w h i c h t h e v e r t e x s e t i s p a r t i t i o n e d i n t o

s u b s e t s o f s i z e n

i

( 1 i t ) c a l l e d p a r t s , s u c h t h a t ( v ; w ) i s a n e d g e i f a n d o n l y i f v a n d

w a r e i n d i e r e n t p a r t s . A n a l t e r n a t i v e w a y t o c h a r a c t e r i z e a c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h

i s t o s a y t h a t t h e c o m p l e m e n t a r y g r a p h i s a v e r t e x - d i s j o i n t u n i o n o f c l i q u e s . N o t e t h a t t h e

c o m p l e t e g r a p h K

n

c a n b e t h o u g h t o f a s a c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h w i t h n p a r t s o f s i z e

1 . A s t a b l e s e t o r i n d e p e n d e n t s e t o f G i s a s u b s e t o f v e r t i c e s A V ( G ) s u c h t h a t n o t w o

v e r t i c e s i n A a r e j o i n e d b y a n e d g e i n E ( G ) . T h e s t a b i l i t y n u m b e r o r i n d e p e n d e n c e n u m b e r

( G ) i s d e n e d t o b e t h e m a x i m u m c a r d i n a l i t y o f a s t a b l e s e t o f G . A d o m i n a t i n g s e t o f a

g r a p h G i s a s e t V

0

V ( G ) s u c h t h a t e v e r y v e r t e x v 2 V ( G ) n V

0

i s j o i n e d t o a t l e a s t o n e

e l e m e n t o f V

0

b y a n e d g e i n E ( G ) .

G i v e n a g r a p h G , w e c a n o b t a i n a n a c c e s s s t r u c t u r e b a s e d o n G b y c o m p u t i n g t h e

c l o s u r e o f t h e e d g e s e t E ( G ) . E a c h e d g e i n t h e g r a p h d e t e r m i n e s t w o p a r t i c i p a n t s w h o c a n

r e c o v e r t h e s e c r e t . I n t h i s s i t u a t i o n , w e w i l l i d e n t i f y

0

w i t h t h e g r a p h G .

W e n o w p r e s e n t s o m e b a s i c t e r m i n o l o g y f r o m d e s i g n t h e o r y . A t - ( v ; k ; ) d e s i g n i s a

p a i r ( V ; B ) , w h e r e V i s a s e t o f v e l e m e n t s ( c a l l e d p o i n t s ) a n d B i s a f a m i l y o f s u b s e t s o f

V o f s i z e k ( c a l l e d b l o c k s ) , s u c h t h a t e v e r y s u b s e t o f p o i n t s o f s i z e t o c c u r s i n e x a c t l y

b l o c k s . A t - ( v ; k ; ) d e s i g n i s s a i d t o b e n o n - t r i v i a l i f t < k < v . A S t e i n e r s y s t e m i s a

t - ( v ; k ; 1 ) d e s i g n , a l s o d e n o t e d b y S ( t ; k ; v ) . L e t ( V ; B ) b e a S t e i n e r s y s t e m S ( t ; k ; v ) . W e

s a y t h a t ( V ; B ) i s p a r t i t i o n a b l e i f w e c a n p a r t i t i o n t h e s e t o f b l o c k s B i n t o s e t s B

1

; : : : ; B

i n

s u c h a w a y t h a t e a c h ( V ; B

j

) , f o r 1 j , i s a S t e i n e r s y s t e m S ( t 1 ; k ; v ) . I f a S t e i n e r

s y s t e m S ( t ; k ; v ) i s p a r t i t i o n a b l e , t h e n t h e i n t e g e r = ( v t + 1 ) = ( k t + 1 ) : A p a r t i t i o n a b l e

S ( 2 ; k ; v ) i s c a l l e d r e s o l v a b l e . F o r g e n e r a l i n f o r m a t i o n o n t h e e x i s t e n c e o f t - ( v ; k ; ) d e s i g n s

w e r e f e r t o 1 0 ] .

6


7/15

T h e f o l l o w i n g r e s u l t w i l l b e u s e d i n t h e c o n s t r u c t i o n o f a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s

f o r c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h s .

T h e o r e m 2 . 1 F o r 2 k 4 , t h e r e e x i s t s a r e s o l v a b l e S ( 2 ; k ; v ) i f a n d o n l y i f v k m o d

k ( k 1 ) .

P r o o f : T h e c a s e k = 2 i s t r i v i a l . I n f a c t , a r e s o l v a b l e S ( 2 ; 2 ; v ) i s a o n e - f a c t o r i z a t i o n o f

K

v

, t h e c o m p l e t e g r a p h o n v v e r t i c e s . T h e p r o o f o f T h e o r e m 2 . 1 f o r t h e c a s e k = 3 c a n b e

f o u n d i n 1 9 ] ( t h i s i s t h e w e l l k n o w n \ K i r k m a n ' s s c h o o l g i r l p r o b l e m " ) ; f o r k = 4 , s e e 1 3 ] .

R e s u l t s o n r e s o l v a b l e S ( 2 ; k ; v ) f o r l a r g e r k c a n b e f o u n d i n 1 0 ] .

3 B o u n d s o n t h e S i z e o f t h e S h a r e s

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m o f P h i l l i p s a n d P h i l l i p s g i v e s n e c e s s a r y a n d s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r

a n i d e a l a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e t o e x i s t .

T h e o r e m 3 . 1 ( 1 8 ] ) L e t b e a n a c c e s s s t r u c t u r e o n a s e t o f p a r t i c i p a n t s P . A n i d e a l

a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r e x i s t s i f a n d o n l y i f e i t h e r i s a ( 1 ; j P j ) t h r e s h o l d

s t r u c t u r e , a ( j P j ; j P j ) t h r e s h o l d s t r u c t u r e , o r t h e c l o s u r e o f a c o m p l e t e b i p a r t i t e g r a p h .

I n t h e r e m a i n d e r o f t h i s s e c t i o n , w e p r o v i d e l o w e r b o u n d s o n t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t

a s a f u n c t i o n o f t h e s i z e o f t h e k e y s e t i n a n y ( t ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e ( 1 < t < w ) , a n d

f o r a n i n n i t e c l a s s o f n o n - t h r e s h o l d a c c e s s s t r u c t u r e s . F r o m T h e o r e m 3 . 1 , w e k n o w t h a t

j S j > j K j , b u t t h e b o u n d w e p r o v e i n t h i s s e c t i o n i s a n a s y m p t o t i c i m p r o v e m e n t .

T h e o r e m 3 . 2 L e t b e a ( t ; w ) t h r e s h o l d s t r u c t u r e w i t h 1 < t < w . I n a n y a n o n y m o u s

s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r , w i t h s e c r e t s i n K , t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t S s a t i s e s

j S j >

( w t + 2 )

j K j 1

j K j

1

( j K j 1 ) :

P r o o f : S u p p o s e t h e s e t o f p a r t i c i p a n t s i s P = f P

i

: 1 i w g . L e t j S j = v , l e t

K = f 1 ; : : : ; q g , a n d l e t F d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s o f t h e s c h e m e . D e n o t e

h = w t + 2 . C h o o s e a n y d i s t r i b u t i o n r u l e f

0

2 F , a n d d e n e

F

0

= f f 2 F : f ( P

i

) = f

0

( P

i

) ; 1 i t 2 g :

F o r a n y f 2 F

0

, d e n e

A

f

= f ( P

i

) : t 1 i w ] :

( T h a t i s , w e l o o k a t a l l t h e d i s t r i b u t i o n r u l e s t h a t c o n t a i n a x e d l i s t o f s h a r e s f o r a s p e c i e d

n o n - q u a l i e d s e t o f p a r t i c i p a n t s , a s w a s d o n e i n 1 6 ] . ) I n t h i s w a y w e g e t a c o l l e c t i o n

A = A

f

: f 2 F

0

] o f h m u l t i s e t s o f S , w h i c h w e r e f e r t o a s b l o c k s . P a r t i t i o n t h i s c o l l e c t i o n

o f b l o c k s i n t o q s u b c o l l e c t i o n s , A

1

; : : : ; A

q

, d e t e r m i n e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g k e y s f o r t h e

d i s t r i b u t i o n r u l e s . T h i s c o l l e c t i o n s a t i s e s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

1 . I f x o c c u r s c

x

t i m e s i n b l o c k s i n A

i

( c o u n t i n g m u l t i p l i c i t i e s ) , t h e n x o c c u r s e x a c t l y c

x

t i m e s i n b l o c k s i n A

j

, f o r 1 j q . ( T h i s f o l l o w s f r o m h a p p l i c a t i o n s o f P r o p e r t y 2 .

o f D e n i t i o n 2 . 4 , b y t a k i n g A t o b e t h e h d i e r e n t s u b s e t s A

j

= f P

1

; : : : ; P

t 2

; P

j

g ,

t 1 j w . )

7


8/15

2 . I f x ; y ] o c c u r s i n a b l o c k i n A

i

, t h e n x ; y ] o c c u r s i n n o b l o c k s i n A

j

i f i 6= j . ( T h i s

f o l l o w s f r o m P r o p e r t y 1 . o f D e n i t i o n 2 . 4 . )

W e o b s e r v e t h a t P r o p e r t y 1 : i m p l i e s t h a t

j A

i

j =

P

x 2 S

c

x

h

f o r 1 i q . W e w i l l d e n o t e t h i s v a l u e b y m .

N o w f o r e a c h b l o c k A 2 A , d e n e

~

A t o b e t h e s e t c o n s i s t i n g o f t h e d i s t i n c t p o i n t s i n A

( i . e . , t h e \ u n d e r l y i n g s e t " o f p o i n t s i n A ) . L e t

~

A

i

= f

~

A : A 2 A

i

g : C o n s i d e r t h e i n c i d e n c e

s t r u c t u r e

~

A = f

~

A

1

; : : : ;

~

A

q

g : A n y p o i n t x o c c u r s a t l e a s t ( q 1 ) c

x

+ 1 t i m e s i n

~

A , s i n c e t h e

p a i r x ; x ] o c c u r s i n a b l o c k A 2 A

i

f o r a t m o s t o n e v a l u e o f i .

T h e a v e r a g e b l o c k s i z e i n

~

A s a t i s e s t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t y :

X

x 2 S

( q 1 ) c

x

+ 1

m q

>

m h ( q 1 )

m q

=

h ( q 1 )

q

: ( 1 )

D e n o t e b y

i

( x ) t h e a v e r a g e s i z e o f t h e b l o c k s i n

~

A

i

c o n t a i n i n g x , a n d d e n e

( x ) =

q

X

i = 1

i

( x ) :

N o w , w e h a v e

X

f

~

A : x 2

~

A g

j

~

A j c

x

q

X

i = 1

i

( x ) = c

x

( x ) :

T h e n , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g :

X

x 2 S

c

x

( x )

X

x 2 S

X

f

~

A : x 2

~

A g

j

~

A j

=

X

A 2 A

j

~

A j

2

j A j

P

A 2 A

j

~

A j

j A j

!

2

( f r o m J e n s e n ' s i n e q u a l i t y )

= m q

2

> m q

h ( q 1 )

q

2

( f r o m ( 1 ) )

=

m h

2

( q 1 )

2

q

:

L e t = m a x f ( x ) : x 2 S g . T h e n , w e h a v e t h a t

X

x 2 S

c

x

( x )

X

x 2 S

c

x

=

X

x 2 S

c

x

= m h :

H e n c e w e h a v e t h a t

>

h ( q 1 )

2

q

:

8


9/15

C o n s e q u e n t l y , t h e r e i s a p o i n t x 2 S s u c h t h a t

( x ) >

h ( q 1 )

2

q

:

C o n s i d e r L = j f y 6= x : f x ; y g

~

A f o r s o m e

~

A g j . T h e n , L v 1 . B u t

L

q

X

i = 1

(

i

( x ) 1 ) ( f r o m p r o p e r t y 2 . )

= ( x ) q

>

h ( q 1 )

2

q

q :

T h u s ,

v >

h ( q 1 )

2

q

q + 1

= ( w t + 2 )

( q 1 )

2

q

( q 1 )

=

( w t + 2 )

( q 1 )

q

1

( q 1 ) ;

a n d t h e t h e o r e m i s p r o v e d .

T h e b o u n d o f t h e p r e v i o u s t h e o r e m i s n o n - t r i v i a l ( i . e . , w e g e t j S j > j K j ) w h e n j K j 5 .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m g i v e s a l o w e r b o u n d o n t h e s i z e o f t h e s h a r e s h e l d b y p a r t i c i p a n t s

f o r a n i n n i t e c l a s s o f n o n - t h r e s h o l d a c c e s s s t r u c t u r e s .

T h e o r e m 3 . 3 L e t b e a n a c c e s s s t r u c t u r e o n a s e t P o f w p a r t i c i p a n t s . S u p p o s e t h e r e

e x i s t s a s e t B P s u c h t h a t B f P

i

g 62 f o r a l l P

i

2 P n B , a n d B f P

i

; P

j

g 2 f o r a l l

f P

i

; P

j

g P n B . T h e n , i n a n y a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r , w i t h k e y s e t K ,

t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t S s a t i s e s

j S j >

( w j B j )

j K j 1

j K j

1

( j K j 1 ) :

P r o o f : L e t F d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s o f t h e s c h e m e . C h o o s e a n y d i s t r i -

b u t i o n r u l e f

0

2 F , a n d d e n e

F

0

= f f 2 F : f ( P

i

) = f

0

( P

i

) f o r a l l P

i

2 B g :

F o r a n y f 2 F

0

, d e n e

A

f

= f ( P

i

) : P

i

2 P n B ] :

N o w r e p e a t t h e r e m a i n d e r o f t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 2 , m u t a t i s m u t a n d i s .

A s a n e x a m p l e , c o n s i d e r t h e a c c e s s s t r u c t u r e h a v i n g b a s i s

0

= f f P

1

; P

3

; P

4

g ; f P

2

; P

4

g ; f P

1

; P

2

g g :

I n t h i s c a s e w e c a n t a k e B = f P

3

g a n d t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y h o l d s .

C o r o l l a r y 3 . 4 L e t

0

= f f P

1

; P

3

; P

4

g ; f P

2

; P

4

g ; f P

1

; P

2

g g b e t h e b a s i s o f a n a c c e s s s t r u c -

t u r e o n t h e s e t o f p a r t i c i p a n t s P = f P

1

; P

2

; P

3

; P

4

g . I n a n y a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g

s c h e m e f o r w i t h a k e y s e t o f s i z e q , t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t S s a t i s e s

j S j > 2 q 5 +

3

q

:

9


10/15

4 S t r i c t A n o n y m o u s S c h e m e s

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s i d e r a d i e r e n t m o d e l o f a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e , w h e r e

w e r e q u i r e t h a t t h e p a r t i c i p a n t s r e c e i v e d i s t i n c t s h a r e s . W e w i l l r e f e r t o s u c h a s c h e m e a s a

s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e . T h i s m o d e l w a s r s t i n v e s t i g a t e d b y S t i n s o n a n d

V a n s t o n e 2 6 ] i n t h e c a s e o f t h r e s h o l d s c h e m e s . F u r t h e r r e s u l t s c a n b e f o u n d i n 2 0 ] a n d i n

9 ] .

R e m a r k 4 . 1 S t i n s o n a n d V a n s t o n e i n v e s t i g a t e d a s l i g h t l y m o r e r e s t r i c t e d m o d e l i n w h i c h a

( t ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e i s c o n s t r u c t e d f r o m a w u n i f o r m h y p e r g r a p h . T h i s i n v o l v e s d e n i n g

w ! d i s t r i b u t i o n r u l e s f r o m e a c h h y p e r e d g e b y o r d e r i n g i t i n a l l p o s s i b l e w a y s . H o w e v e r , a l l

r e s u l t s p r o v e d i n 2 6 ] r e m a i n t r u e i n t h e m o r e g e n e r a l m o d e l w e c o n s i d e r i n t h i s p a p e r .

S t i n s o n a n d V a n s t o n e 2 6 ] p r o v e d t h e f o l l o w i n g r e s u l t .

T h e o r e m 4 . 1 ( 2 6 ] ) I n a n y s t r i c t a n o n y m o u s ( t ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e , t h e s i z e o f t h e s h a r e

s e t S s a t i s e s

j S j ( w t + 1 ) j K j + t 1 :

F o r a n i n f o r m a t i o n t h e o r e t i c p r o o f , s e e 7 ] .

H e r e , w e p r o v e a l o w e r b o u n d o n t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t f o r g e n e r a l a c c e s s s t r u c t u r e s ,

w h i c h c o n t a i n s t h e p r e v i o u s b o u n d a s a s p e c i a l c a s e .

T h e o r e m 4 . 2 L e t b e a n a c c e s s s t r u c t u r e o n a s e t P o f w p a r t i c i p a n t s . S u p p o s e t h a t t h e r e

e x i s t s a s e t B P s u c h t h a t j B j = r , B 62 , a n d B f P

i

g 2 f o r a l l P

i

2 P n B . T h e n ,

i n a n y s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r w i t h k e y s e t K , t h e s i z e o f t h e s h a r e

s e t S s a t i s e s

j S j ( w r ) j K j + r :

P r o o f : L e t F d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s o f t h e s c h e m e . C h o o s e a n y d i s t r i -

b u t i o n r u l e f

0

2 F , a n d d e n e

F

0

= f f 2 F : f ( P

i

) = f

0

( P

i

) f o r a l l P

i

2 B g :

F o r a n y f 2 F

0

, d e n e

A

f

= f ( P

i

) : P

i

2 P n B ] :

I n t h i s w a y w e g e t a c o l l e c t i o n A = A

f

: f 2 F

0

] o f ( w r ) m u l t i s e t s o f S , w h i c h w e r e f e r

t o a s b l o c k s . P a r t i t i o n t h i s c o l l e c t i o n o f b l o c k s i n t o q s u b c o l l e c t i o n s , A

1

; : : : ; A

q

, d e t e r m i n e d

b y t h e c o r r e s p o n d i n g k e y s f o r t h e d i s t r i b u t i o n r u l e s .

N o w , c h o o s e o n e s e t i n e a c h o f t h e s e s u b c o l l e c t i o n s , s a y A

i

2 A

i

f o r i = 1 ; 2 ; : : : ; q . S i n c e

t h e s c h e m e f o r i s a s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e , i t i s e a s y t o s e e t h a t t h e A

i

' s s a t i s f y t h e

f o l l o w i n g p r o p e r t i e s .

1 . F o r i = 1 ; 2 ; : : : ; q , w e h a v e S \ A

i

= ; .

2 . F o r i 6= j , w e h a v e A

i

\ A

j

= ; ( f o r , i f x 2 A

i

\ A

j

, t h e n t h e r e c o r r e s p o n d t w o d i e r e n t

k e y s t o t h e s a m e s e t o f s h a r e s , S f x g , d i s t r i b u t e d t o s o m e q u a l i e d s u b s e t ) .

H e n c e , t o c o n s t r u c t a s c h e m e f o r , w e n e e d a s h a r e s e t o f s i z e a t l e a s t ( w r ) j K j + r .

1 0


11/15

E v e n t h o u g h t h e c o n d i t i o n s o f T h e o r e m 4 . 2 s e e m q u i t e s t r i c t , f o r a n y a c c e s s s t r u c t u r e

t h e r e d o e s e x i s t a s e t B o f p a r t i c i p a n t s s a t i s f y i n g t h e m . I n f a c t , i t i s s u c i e n t t o t a k e t h e

s e t B a s a n o n - q u a l i e d s e t o f m a x i m u m s i z e . F o r t h r e s h o l d a c c e s s s t r u c t u r e s , t h i s y i e l d s

t h e b o u n d o f T h e o r e m 4 . 1 . I n t h e c a s e o f a g r a p h a c c e s s s t r u c t u r e , t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y

i s o b t a i n e d .

C o r o l l a r y 4 . 3 L e t G b e a g r a p h o n w v e r t i c e s . T h e n , i n a n y s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e f o r G , w i t h k e y s e t K , t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t S s a t i s e s

j S j ( w ( G ) ) j K j + ( G ) ;

w h e r e ( G ) i s s t a b i l i t y n u m b e r o f G .

I n g e n e r a l , g i v e n a g r a p h G , w e w o u l d w a n t t o n d a s e t B s a t i s f y i n g t h e c o n d i t i o n s o f

T h e o r e m 4 . 2 s u c h t h a t t h e b o u n d i s m a x i m i z e d . H e n c e , t h e s i z e o f s u c h a s e t B s h o u l d b e

m i n i m i z e d . T h e b e s t c h o i c e f o r B i s t o t a k e a m i n i m u m s i z e i n d e p e n d e n t s e t o f G t h a t i s

a l s o a d o m i n a t i n g s e t . W e o b t a i n t h e f o l l o w i n g .

C o r o l l a r y 4 . 4 L e t G b e a g r a p h o n w v e r t i c e s . T h e n , i n a n y s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e f o r G w i t h k e y s e t K , t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t S s a t i s e s

j S j ( w ( G ) ) j K j + ( G ) ;

w h e r e ( G ) i s t h e m i n i m u m s i z e o f a n i n d e p e n d e n t s e t o f G t h a t i s a l s o a d o m i n a t i n g s e t .

F o r g e n e r a l g r a p h s , t o c o m p u t e t h e m i n i m u m s i z e i n d e p e n d e n t s e t t h a t i s a l s o a d o m i -

n a t i n g s e t i s h a r d . I n d e e d , g i v e n a n i n t e g e r a n d a g r a p h G , t o d e t e r m i n e w h e t h e r t h e r e

e x i s t s a s e t V

0

2 V ( G ) o f s i z e s u c h t h a t V

0

i s b o t h a d o m i n a t i n g s e t a n d a n i n d e p e n d e n t

s e t i s a n N P - c o m p l e t e p r o b l e m ( s e e 1 1 ] ) . H o w e v e r , f o r a p a r t i c u l a r c l a s s o f g r a p h s , w e c a n

c o m p u t e e a s i l y s u c h a s e t V

0

, a n d t h u s o b t a i n a n e x p l i c i t b o u n d .

C o r o l l a r y 4 . 5 L e t G = K

w

1

; w

2

; : : : ; w

t

b e a c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h o n w v e r t i c e s s u c h

t h a t w

1

w

2

w

t

. T h e n , i n a n y s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r G w i t h

k e y s e t K , t h e s i z e o f t h e s h a r e s e t S s a t i s e s

j S j ( w w

1

) j K j + w

1

:

P r o o f : F o r i = 1 ; 2 ; : : : ; t , l e t V

i

V ( G ) b e t h e i t h p a r t o f G , w i t h j V

i

j = w

i

. I t i s e a s y t o

s e e t h a t t h e s e t V

1

i s t h e m i n i m u m s i z e i n d e p e n d e n t s e t o f G t h a t i s a l s o a d o m i n a t i n g s e t .

5 C o n s t r u c t i o n s f o r A n o n y m o u s S c h e m e s

I n t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s b r i e y s o m e s i m p l e c o n s t r u c t i o n s f o r a n o n y m o u s s c h e m e s . S o m e o f

t h e s e c o n s t r u c t i o n s a r e m o d i c a t i o n s o f p r e v i o u s l y k n o w n c o n s t r u c t i o n s . A s a n i l l u s t r a t i o n ,

w e a p p l y o u r c o n s t r u c t i o n s t o a c c e s s s t r u c t u r e s b a s e d o n c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h s .

F i r s t , w e n o t e t h a t B r i c k e l l a n d S t i n s o n 6 ] s h o w e d h o w t o t r a n s f o r m a n y s e c r e t s h a r i n g

s c h e m e f o r a n a c c e s s s t r u c t u r e i n t o a s t r i c t a n o n y m o u s o n e .

1 1


12/15

T h e o r e m 5 . 1 S u p p o s e t h a t t h e r e e x i s t s a s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r a c c e s s s t r u c t u r e ,

h a v i n g p a r t i c i p a n t s e t P , k e y s e t K a n d s h a r e s e t S . T h e n t h e r e e x i s t s a s t r i c t a n o n y m o u s

s c h e m e f o r a c c e s s s t r u c t u r e , h a v i n g k e y s e t K a n d s h a r e s e t P S .

W e n o w l o o k a t t h e c o n c e p t o f \ s p l i t t i n g " a n a c c e s s s t r u c t u r e , a n i d e a i n t r o d u c e d i n

t h e c o n t e x t o f g r a p h a c c e s s s t r u c t u r e s i n 6 ] ( n o t e a l s o t h a t s p l i t t i n g i s a s p e c i a l c a s e o f

\ i n s e r t i o n " 1 7 ] ) . S u p p o s e i s a n a c c e s s s t r u c t u r e f o r p a r t i c i p a n t s e t P , a n d l e t : P ! Z

+

.

F o r e a c h P 2 P , l e t P

0

= f P g f 1 ; : : : ; ( P ) g b e a s e t o f ( P ) p a r t i c i p a n t s . T h e n d e n e

P

0

=

P 2 P

P

0

t o b e a n e w p a r t i c i p a n t s e t . F o r e a c h B 2 , a n d f o r e a c h f u n c t i o n : B ! Z

+

s u c h t h a t ( P ) ( P ) f o r e v e r y P 2 B , l e t B

= f ( P ; ( P ) ) : P 2 B g . T a k e

0

t o c o n s i s t

o f a l l s u c h s e t s B

, B 2 . T h e n w e s a y t h a t

0

i s o b t a i n e d f r o m b y s p l i t t i n g .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m h o l d s .

T h e o r e m 5 . 2 L e t b e a n a c c e s s s t r u c t u r e o n a s e t P o f p a r t i c i p a n t s , a n d s u p p o s e t h e r e

e x i s t s a s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e f o r w i t h a k e y s e t o f s i z e q a n d a s h a r e s e t o f s i z e v . L e t

0

b e a n y a c c e s s s t r u c t u r e o b t a i n e d b y s p l i t t i n g . T h e n t h e r e e x i s t s a n a n o n y m o u s s c h e m e

f o r

0

w i t h a k e y s e t o f s i z e q a n d a s h a r e s e t o f s i z e v .

P r o o f : L e t F b e t h e c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s f o r t h e s c h e m e r e a l i z i n g . F o r e v e r y

f 2 F , d e n e a n e w d i s t r i b u t i o n r u l e f

0

f o r t h e p a r t i c i p a n t s i n P

0

b y t h e r u l e f

0

( Q ) = f ( P )

f o r e v e r y Q 2 P

0

. ( I n t e r m s o f t h e m a t r i x M r e p r e s e n t i n g t h e s c h e m e f o r , w e r e p l a c e

e v e r y c o l u m n P b y ( P ) i d e n t i c a l c o l u m n s i n d e x e d b y P

0

. )

H e r e a r e s o m e a p p l i c a t i o n s o f t h i s i d e a . S t i n s o n a n d V a n s t o n e 2 6 ] g a v e t h e f o l l o w i n g

c o n s t r u c t i o n f o r ( o p t i m a l ) s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e s :

T h e o r e m 5 . 3 ( 2 6 ] ) A s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e f o r a ( t ; w ) t h r e s h o l d s t r u c t u r e w i t h a s e t

K o f ( v t + 1 ) = ( w t + 1 ) k e y s h a v i n g a s e t S o f v s h a r e s e x i s t s i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s

a S t e i n e r s y s t e m S ( t ; w ; v ) t h a t c a n b e p a r t i t i o n e d i n t o S t e i n e r s y s t e m s S ( t 1 ; w ; v ) .

A p p l y i n g T h e o r e m 5 . 2 a n d T h e o r e m 5 . 3 w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g .

T h e o r e m 5 . 4 L e t G = K

w

1

; w

2

; : : : ; w

k

b e a c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h o n k p a r t s . I f t h e r e

e x i s t s a r e s o l v a b l e S t e i n e r s y s t e m S ( 2 ; k ; v ) , t h e n t h e r e e x i s t s a n a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g

s c h e m e f o r G f o r a s e t K o f ( v 1 ) = ( k 1 ) k e y s h a v i n g a s h a r e s e t o f s i z e v .

P r o o f : A c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h w i t h k p a r t s c a n b e o b t a i n e d b y s p l i t t i n g a c o m p l e t e

g r a p h o n k v e r t i c e s ( w h i c h i s a ( 2 ; k ) t h r e s h o l d a c c e s s s t r u c t u r e ) .

U s i n g T h e o r e m 2 . 1 , T h e o r e m 5 . 4 c a n b e a p p l i e d f o r k = 2 ; 3 o r 4 i f v k m o d k ( k 1 ) .

I n t h e c a s e k = 2 , t h i s p r o v i d e s a s c h e m e w i t h q k e y s a n d q + 1 s h a r e s f o r a n a c c e s s s t r u c t u r e

w h i c h i s t h e c l o s u r e o f t h e e d g e s e t o f a c o m p l e t e b i p a r t i t e g r a p h , b u t i t i s p o s s i b l e t o d o

b e t t e r u s i n g t h e P h i l l i p s - P h i l l i p s c o n s t r u c t i o n ( T h e o r e m 3 . 1 ) .

I n t h e c a s e o f a ( 2 ; w ) t h r e s h o l d s t r u c t u r e , w e c a n c o n s t r u c t a n a n o n y m o u s s c h e m e

h a v i n g o n e m o r e k e y t h a n a s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e o b t a i n e d f r o m T h e o r e m 5 . 3 .

T h e o r e m 5 . 5 I f t h e r e e x i s t s a r e s o l v a b l e S t e i n e r s y s t e m S ( 2 ; w ; v ) , t h e n t h e r e e x i s t s a n

a n o n y m o u s ( 2 ; w ) t h r e s h o l d s c h e m e h a v i n g a k e y s e t K o f s i z e ( v 1 ) = ( w 1 ) + 1 a n d a

s h a r e s e t S o f s i z e v .

1 2


13/15

P r o o f : I f a r e s o l v a b l e S t e i n e r s y s t e m S ( 2 ; w ; v ) e x i s t s , t h e n f r o m T h e o r e m 5 . 3 t h e r e e x i s t s

a s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e w i t h a k e y s e t o f s i z e ( v 1 ) = ( w 1 ) a n d a s h a r e s e t S o f s i z e v .

L e t F b e t h e f a m i l y o f d i s t r i b u t i o n r u l e s o f s u c h a s c h e m e . L e t 1 62 K b e a n e w k e y , a n d

d e n e F

1

= f ( x ; x ; : : : ; x ) : x 2 S g . C o n s i d e r t h e f a m i l y F

0

= F F

1

. I t i s e a s y t o c h e c k

t h a t F

0

c o n s t i t u t e s a f a m i l y o f d i s t r i b u t i o n r u l e s f o r a n a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e

f o r w i t h a s e t o f ( v 1 ) = ( w 1 ) + 1 k e y s h a v i n g a s h a r e s e t S o f s i z e v .

R e m a r k 5 . 1 T h e s c h e m e p r e s e n t e d i n E x a m p l e 2 . 1 f o r t h e ( 2 ; 3 ) t h r e s h o l d s t r u c t u r e i s

b a s e d o n t h e p r e v i o u s c o n s t r u c t i o n .

I n t h e f o l l o w i n g t h e o r e m , w e p r e s e n t a t e c h n i q u e t o o b t a i n s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t

s h a r i n g s c h e m e s f o r a c c e s s s t r u c t u r e s c o n s t r u c t e d b y s p l i t t i n g .

T h e o r e m 5 . 6 L e t b e a n a c c e s s s t r u c t u r e o n a s e t P o f p a r t i c i p a n t s , a n d s u p p o s e t h e r e

e x i s t s a s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e f o r w i t h a k e y s e t o f s i z e q a n d a s h a r e s e t o f s i z e

v . L e t

0

b e t h e a c c e s s s t r u c t u r e o b t a i n e d b y s p l i t t i n g u s i n g t h e f u n c t i o n . D e n o t e

T = m a x f ( P ) : P 2 P g . T h e n t h e r e e x i s t s a s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e f o r

0

w i t h a k e y

s e t o f s i z e q a n d a s h a r e s e t o f s i z e v T .

P r o o f : L e t F b e t h e c o l l e c t i o n o f d i s t r i b u t i o n r u l e s f o r t h e s c h e m e r e a l i z i n g . L e t S b e

t h e s h a r e s e t f o r t h e s c h e m e F , a n d d e n e S

0

= S f i : 1 i T g . F o r e v e r y f 2 F ,

d e n e a n e w d i s t r i b u t i o n r u l e f

0

f o r t h e p a r t i c i p a n t s i n P

0

b y t h e r u l e f

0

( P ; i ) = ( f ( P ) ; i )

f o r e v e r y P 2 P , 1 i ( P ) .

A g a i n , w e w i l l a p p l y t h i s c o n s t r u c t i o n i n t h e c a s e o f c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h s .

T h e o r e m 5 . 7 L e t G = K

w

1

; w

2

; : : : ; w

k

b e a c o m p l e t e m u l t i p a r t i t e g r a p h s u c h t h a t w

1

w

2

w

k

. S u p p o s e t h e r e e x i s t a r e s o l v a b l e S t e i n e r s y s t e m S ( 2 ; k ; v ) . T h e n , t h e r e e x i s t s a

s t r i c t a n o n y m o u s s e c r e t s h a r i n g s c h e m e f o r G w i t h a s e t K o f ( v 1 ) = ( k 1 ) k e y s , h a v i n g

a s h a r e s e t o f s i z e w

k

v .

I f w

1

= w

2

= : : : = w

k

, t h e n b y C o r o l l a r y 4 . 5 t h e s c h e m e i s o p t i m a l w i t h r e s p e c t t o t h e s i z e

o f t h e s h a r e s e t . F o r e x a m p l e , i n t h e c a s e k = 2 , w e o b t a i n t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .

C o r o l l a r y 5 . 8 L e t G b e a c o m p l e t e b i p a r t i t e g r a p h K

w ; w

. T h e n t h e r e e x i s t s a n o p t i m a l

s t r i c t a n o n y m o u s s c h e m e f o r G f o r a n y s e t K o f q 3 k e y s , q o d d , h a v i n g ( q + 1 ) w p o s s i b l e

s h a r e s .

A c k n o w l e d g e m e n t s

C . B l u n d o ' s r e s e a r c h i s s u p p o r t e d b y t h e I t a l i a n M i n i s t r y o f U n i v e r s i t y a n d R e s e a r c h

( M . U . S . R . T . ) a n d b y t h e N a t i o n a l C o u n c i l f o r R e s e a r c h ( C . N . R . ) , a n d D . R . S t i n s o n ' s

r e s e a r c h i s s u p p o r t e d b y N S F g r a n t C C R { 9 4 0 2 1 4 1 . W e w o u l d l i k e t o t h a n k t h e r e f e r e e s f o r

t h e i r c a r e f u l r e a d i n g o f t h e m a n u s c r i p t a n d f o r t h e i r s u g g e s t i o n s c o n c e r n i n g t h e p r e s e n t a t i o n

o f v a r i o u s r e s u l t s i n t h i s p a p e r .

1 3


14/15

R e f e r e n c e s

1 ] J . C . B e n a l o h a n d J . L e i c h t e r , G e n e r a l i z e d S e c r e t S h a r i n g a n d M o n o t o n e F u n c t i o n s , A d v a n c e s i n

C r y p t o l o g y { C R Y P T O ' 8 8 , S . G o l d w a s s e r , E d . , L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , v o l . 4 0 3 , S p r i n g e r -

V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 0 , p p . 2 7 { 3 5 .

2 ] G . R . B l a k l e y , S a f e g u a r d i n g C r y p t o g r a p h i c K e y s , P r o c e e d i n g s o f A F I P S 1 9 7 9 N a t i o n a l C o m p u t e r C o n -

f e r e n c e , v o l . 4 8 , N e w Y o r k , J u n e 1 9 7 9 , p p . 3 1 3 { 3 1 7 ,

3 ] C . B l u n d o , A . D e S a n t i s , L . G a r g a n o , a n d U . V a c c a r o , O n t h e I n f o r m a t i o n R a t e o f S e c r e t S h a r i n g

S c h e m e s , A d v a n c e s i n C r y p t o l o g y { C R Y P T O ' 9 2 , E . B r i c k e l l , E d . , L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e ,

v o l . 7 4 0 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 3 , p p . 1 4 9 { 1 6 9 .

4 ] C . B l u n d o , A . D e S a n t i s , D . R . S t i n s o n , a n d U . V a c c a r o , G r a p h D e c o m p o s i t i o n s a n d S e c r e t S h a r i n g

S c h e m e s , J . C r y p t o l o g y , 8 ( 1 9 9 5 ) , 3 9 { 6 4 .

5 ] E . F . B r i c k e l l a n d D . M . D a v e n p o r t , O n t h e C l a s s i c a t i o n o f I d e a l S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s , J . C r y p -

t o l o g y , 4 ( 1 9 9 1 ) , 1 2 3 { 1 3 4 .

6 ] E . F . B r i c k e l l a n d D . R . S t i n s o n , S o m e I m p r o v e d B o u n d s o n t h e I n f o r m a t i o n R a t e o f P e r f e c t S e c r e t

S h a r i n g S c h e m e s , J . C r y p t o l o g y , 5 ( 1 9 9 2 ) , 1 5 3 { 1 6 6 .

7 ] R . M . C a p o c e l l i , A . D e S a n t i s , L . G a r g a n o , a n d U . V a c c a r o , A N o t e o n S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s ,

S e q u e n c e s I I : M e t h o d s i n C o m m u n i c a t i o n , S e c u r i t y a n d C o m p u t e r S c i e n c e , R . C a p o c e l l i , A . D e S a n t i s

a n d U . V a c c a r o , E d s . , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 3 , p p . 3 3 5 { 3 4 4 .

8 ] R . M . C a p o c e l l i , A . D e S a n t i s , L . G a r g a n o , a n d U . V a c c a r o , O n t h e S i z e o f S h a r e s f o r S e c r e t S h a r i n g

S c h e m e s , J . C r y p t o l o g y , 6 ( 1 9 9 3 ) , 1 5 7 { 1 6 9 .

9 ] D . C h e n a n d D . R . S t i n s o n , R e c e n t R e s u l t s o n C o m b i n a t o r i a l C o n s t r u c t i o n s f o r T h r e s h o l d S c h e m e s ,

A u s t r a l a s i a n J o u r n a l o f C o m b i n a t o r i c s , 1 ( 1 9 9 0 ) , 2 9 { 4 8 .

1 0 ] C . J . C o l b o u r n a n d J . H . D i n i t z , E d s . , C R C H a n d b o o k o f C o m b i n a t o r i a l D e s i g n s , C R C P r e s s , B o c a

R a t o n , 1 9 9 6 .

1 1 ] M . G a r e y a n d D . J o h n s o n , C o m p u t e r s a n d I n t r a c t a b i l i t y : a G u i d e t o t h e T h e o r y o f N P - C o m p l e t e n e s s ,

W . H . F r e e m a n & C o . , N e w Y o r k , 1 9 7 9 .

1 2 ] O . G o l d r e i c h , S . M i c a l i , a n d A . W i g d e r s o n , H o w t o P l a y a n y M e n t a l G a m e , P r o c . 1 9 t h A C M S T O C ,

1 9 8 7 , p p . 2 1 8 { 2 2 9 .

1 3 ] H . H a n a n i , D . K . R a y - C h a u d h u r i , a n d R . M . W i l s o n , O n R e s o l v a b l e D e s i g n s , D i s c r e t e M a t h . , 3 ( 1 9 7 2 ) ,

3 4 3 { 3 5 7 .

1 4 ] M . I t o , A . S a i t o , a n d T . N i s h i z e k i , S e c r e t S h a r i n g S c h e m e R e a l i z i n g G e n e r a l A c c e s s S t r u c t u r e , P r o c .

G l o b e c o m ' 8 7 , T o k y o , J a p a n , p p . 9 9 { 1 0 2 .

1 5 ] W . - A . J a c k s o n a n d K . M . M a r t i n , C o m b i n a t o r i a l M o d e l s f o r P e r f e c t S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s , J . C o m -

b i n . M a t h . C o m b i n . C o m p u t . , t o a p p e a r .

1 6 ] K . K u r o s a w a a n d K . O k a d a , C o m b i n a t o r i a l I n t e r p r e t a t i o n o f S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s , A d v a n c e s i n

C r y p t o l o g y { A S I A C R Y P T ' 9 4 , J . P i e p r z y k a n d R . S a f a v i - N a i n i , E d s . , L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r

S c i e n c e , v o l . 9 1 7 , S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 5 , p p . 5 5 { 6 4 .

1 7 ] K . M . M a r t i n , N e w s e c r e t s h a r i n g s c h e m e s f r o m o l d , J . C o m b i n . M a t h . C o m b i n . C o m p u t . 1 4 ( 1 9 9 3 ) ,

6 5 { 7 7 .

1 8 ] S . J . P h i l l i p s a n d N . C . P h i l l i p s , S t r o n g l y I d e a l S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s , J . C r y p t o l o g y , 5 ( 1 9 9 2 ) ,

1 8 5 { 1 9 1 .

1 9 ] D . K . R a y - C h a u d h u r i a n d R . M . W i l s o n , S o l u t i o n o f K i r k m a n ' s S c h o o l g i r l P r o b l e m , A m e r . M a t h . S o c .

P r o c . S y m p . P u r e M a t h . , 1 9 ( 1 9 7 1 ) , 1 8 7 { 2 0 4 .

1 4


15/15

2 0 ] P . J . S c h e l l e n b e r g a n d D . R . S t i n s o n , T h r e s h o l d S c h e m e s f r o m C o m b i n a t o r i a l D e s i g n s , J . C o m b i n .

M a t h . C o m b i n . C o m p u t . , 5 ( 1 9 8 9 ) , 1 4 3 { 1 6 0 .

2 1 ] A . S h a m i r , H o w t o S h a r e a S e c r e t , C o m m u n . o f t h e A C M , 2 2 ( 1 9 7 9 ) , 6 1 2 { 6 1 3 .

2 2 ] G . J . S i m m o n s , A n I n t r o d u c t i o n t o S h a r e d S e c r e t a n d / o r S h a r e d C o n t r o l S c h e m e s a n d T h e i r A p p l i c a -

t i o n , C o n t e m p o r a r y C r y p t o l o g y , G . J . S i m m o n s , E d . , I E E E P r e s s , 1 9 9 1 , p p . 4 4 1 { 4 9 7 .

2 3 ] D . R . S t i n s o n , A n E x p l i c a t i o n o f S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s , D e s i g n s , C o d e s a n d C r y p t o g r a p h y , 2 ( 1 9 9 2 ) ,

3 5 7 { 3 9 0 .

2 4 ] D . R . S t i n s o n , N e w G e n e r a l L o w e r B o u n d s o n t h e I n f o r m a t i o n R a t e o f S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s , A d -

v a n c e s i n C r y p t o l o g y { C R Y P T O ' 9 2 , E . B r i c k e l l , E d . , L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , v o l . 7 4 0 ,

S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n , 1 9 9 3 , p p . 1 7 0 { 1 8 4 .

2 5 ] D . R . S t i n s o n , D e c o m p o s i t i o n C o n s t r u c t i o n s f o r S e c r e t S h a r i n g S c h e m e s , I E E E T r a n s . I n f o r m . T h e o r y ,

4 0 ( 1 9 9 4 ) , 1 1 8 { 1 2 5 .

2 6 ] D . R . S t i n s o n a n d S . A . V a n s t o n e , A C o m b i n a t o r i a l A p p r o a c h t o T h r e s h o l d S c h e m e s , S I A M J . D i s c .

M a t h . , 1 ( 1 9 8 8 ) , 2 3 0 { 2 3 6 .

1 5

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