answers - ebsi.co.kr 정답과풀이 3 02-1 ① 02-2 ⑤ 02-3 ① 02-4 ③ 02...
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A n s w e r s
EBS 수능열기 / 수학 가 [정답과 풀이]
2 수능열기 / 수학가
01-1② 01-2⑤ 01-3① 01-4②
01 지수함수와로그함수의최 , 최소
01-1
함수 y=-{;2!;}x+2
+1의그래프는함수 y={;2!;}x
의그래프를
x축에대하여대칭이동한후, x축의방향으로-2만큼, y축
의방향으로 1만큼평행이동한것이므로다음그림과같다.
따라서 x=2일때, 최대이며최댓값은
M=-{;2!;} ¤ ±¤ +1=;1!6%;
x=-1일때, 최소이며최솟값은
m=-{;2!;}—⁄ ±¤ +1=;2!;
이므로
= =;;¡8∞;;
01-2
f(x)=2≈_3—¤ ≈ ={;9@;}≈ (a…x…b)은 x의 값이 증가하면 함숫
값은감소하므로
f(x)의최댓값M=f(a)={;9@;}å
f(x)의최솟값m=f(b)={;9@;}∫
따라서 ={;9@;}å ÷{;9@;}∫ ={;9@;}å —∫
{;9@;}å —∫ = = ={;2(;};2!;
={;9@;}—;2!;
이므로3'2
3'22
Mm
;1!6%;
;2!;
Mm
y
y=- +1x+21
2{ }
O
1
x
a-b=-;2!;
01-3
함수 y=log;2!;(x¤ +2x+5)에서 밑이 ;2!;이고 0<;2!;<1이므
로 y=log;2!;(x¤ +2x+5)의진수가최소일때최댓값을갖는다.
f(x)=x¤ +2x+5=(x+1)¤ +4라하면
x=-1일때 f(x)는최솟값 4를가지므로주어진함수의최
댓값은
log;2!;4=log
;2!;{;2!;}—¤ =-2
따라서 a=-1, b=-2이므로
a¤ +b¤ =(-1)¤ +(-2)¤ =5
01-4
f(x)=log;5!;|(x+1)(x-9)|에서
밑이 ;5!;이고 0<;5!;<1이므로 0…x…7에서 |(x+1)(x-9)|
의값이최대일때, f(x)는최솟값을갖는다.
g(x)=|(x+1)(x-9)|로 놓으면 y=g(x)의 그래프는 다음
그림과같다.
따라서 0…x…7에서 함수 g(x)의 최댓값은 g(4)=25이므로
함수 f(x)의최솟값은
f(4)=log;5!;25=-2
y y=g(x)
O-1
9
16
25
4 7 9 x
Ⅰ.지수함수와로그함수본문 7쪽
유형
미적분Ⅱ
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 3
02-1① 02-2⑤ 02-3① 02-4③
02 지수함수와로그함수의활용
02-1
9≈ =27{;3!;}x¤
에서
3¤ ≈ =3‹ _3-x¤
3¤ ≈ =33-x¤
2x=3-x¤이므로 x¤ +2x-3=0
이차방정식 x¤ +2x-3=0의두근이주어진방정식의두근 a,
b이므로이차방정식의근과계수의관계에의하여
a+b=-2
02-2
한근이 1이므로 x=1을대입하면
9-4_3¤ +a=0, a=27
주어진방정식은
9≈ -4_3x+1+27=0
(3≈ )¤ -12_3x+27=0
이므로 3≈ =t (t>0)로놓으면
t¤ -12t+27=0
(t-3)(t-9)=0
t=3또는 t=9
이때 t=3≈이므로
3≈ =3또는 3≈ =9
즉, x=1또는 x=2
따라서 a=27, b=2이므로
a+b=27+2=29
02-3
로그의진수조건에의하여
x-3>0, x+3>0
즉, x>3 yy`㉠
주어진부등식에서
logå (x-3)¤ >logå(x+3)
0<a<1이므로
(x-3)¤ <x+3
x¤ -7x+6<0, (x-1)(x-6)<0
1<x<6 yy`㉡
본문 9쪽유형
㉠, ㉡에서 3<x<6
따라서모든정수 x의값의합은
4+5=9
02-4
로그의진수조건에의하여
;2{;>0, ;8{;>0이므로 x>0 yy`㉠
{log™ ;2{;} ¤ -log™ ;8{;-2=0에서
(log™ x-log™ 2)¤ -(log™ x-log™ 8)-2=0
(log™ x-1)¤ -(log™ x-3)-2=0
(log™ x)¤ -3 log™ x+2=0
이때 log™ x=t로놓으면
t¤ -3t+2=0
(t-1)(t-2)=0
t=1또는 t=2
log™ x=t=1에서 x=2
log™ x=t=2에서 x=4
x=2, x=4는㉠을만족시키므로주어진방정식의근이다.
따라서서로다른모든실근의합은
2+4=6
4 수능열기 / 수학가
03-1 8 03-2④ 03-3 15 03-4 201
03 지수함수와로그함수를활용한외적문제
본문 11쪽유형
03-1
L=10일때, T=;2!;Tº이므로
;2!;Tº=Tº_a⁄ ‚
따라서 a⁄ ‚ =;2!;
L=p일때, T=t¡이므로
t¡=Tº_aπ yy`㉠
L=p+30일때, T=t™이므로
t™=Tº_a𠱋 ‚
t™=Tº_aπ _a‹ ‚ yy`㉡
㉠, ㉡에서
=
= =(a⁄ ‚ )—‹
={;2!;}—‹ =2‹
=8
03-2
배양한지 2시간후의박테리아의개체수가 5n이므로
5n=n_2¤ ˚`에서 2¤ ˚ =5
즉, 2 ='5
5시간후의박테리아의개체수N은
N=n_2fi ˚ =n(2 )fi =n('5)fi =25'5n
따라서 5시간후의개체수는처음개체수의 25'5배이다.
03-3
t=0일때, p=0.1이므로
0.1= =
1+k=10
k=9
n주가지난후의물의오염도가 0.64이상이되었다고하면
t=n일때, pæ0.64이므로
æ0.641
1+9_10-;1¡2;n
11+k
11+k_10‚
1a‹ ‚
Tº_aπTº_aπ _a‹ ‚
t¡t™
1+9_10-;1¡2; n…;1@6%;
10-;1¡2; n…;1¡6;
양변에상용로그를취하면
-;1¡2;n…log ;1¡6;
-;1¡2;n…-4 log 2
næ48 log 2=48_0.3010=14.4480이므로
자연수 n의최솟값은 15이다.
03-4
R¡=0.67 log(0.37E¡)+1.46
R™=0.67 log(0.37E™)+1.46
R¡-R™=0.67{log(0.37E¡)-log(0.37E™)}
R¡-R™=0.67 log
R¡-R™=0.67 log 2 (E¡=2E™에의해서)
=0.67_0.3010
=0.20167
따라서 [1000k]=[201.67]=201
E¡E™
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 5
04-1④ 04-2③ 04-3① 04-4③
04 지수함수와로그함수의극한
04 -1
=
=;4!; [ + + ]
= =;4(;
04 -2
= ln(1+3x);3¡[;
=ln e=1 yy㉠
에서 e¤ ≈ -1=t라하면 x=;2!;ln(1+t)이므로
=
= ln(1+t);t!;
=ln e=1 yy㉡
㉠, ㉡에서
= [ _ _;2#;]
=;2#;
=;2#;_1_1=;2#;
04-3
= [ _ ]2x+8x¤
xln (1+2x+8x¤ )
2x+8x¤limx ⁄0
ln (1+2x+8x¤ )x
limx ⁄0
2xe¤ ≈ -1
limx ⁄0
ln(1+3x)3x
limx ⁄0
2xe¤ ≈ -1
ln(1+3x)3x
limx ⁄0
ln(1+3x)e2x-1
limx ⁄0
limt ⁄0
ln(1+t)t
limt ⁄0
2xe¤ ≈ -1
limx ⁄0
2xe¤ ≈ -1
limx ⁄0
limx ⁄0
ln(1+3x)3x
limx ⁄0
1+3+5
4
5 ln(1+5x)5x
3 ln(1+3x)3x
ln(1+x)x
limx ⁄0
ln(1+x)+ln(1+3x)+ln(1+5x)111111111111111334x
e› ≈ -111134x
limx ⁄0
ln(1+x)(1+3x)(1+5x)e› ≈ -1
limx ⁄0
본문 13쪽유형 = (2+8x)
=1_2=2
04-4
f(x)(e¤ ≈ -1)
= [ f(x)ln(1+3x)_ ]
= f(x)ln(1+3x)_
= f(x)ln(1+3x)_
=5_
=;;¡3º;;
1_21_3
)}0
e¤ ≈ -11133_22xln(1+3x)11111_3
3x
({9
limx ⁄0
)}0
e¤ ≈ -11133xln(1+3x)11111x
({9
limx ⁄0
e¤ ≈ -1ln (1+3x)
limx ⁄0
limx ⁄0
limx ⁄0
ln(1+2x+8x¤ )2x+8x¤
limx ⁄0
6 수능열기 / 수학가
b lnx=0에서 b lna=0
b+0이므로 a=1
=
= { _ }
=;2!; =1
따라서 =2
이때 f(x)=b lnx라하면 `f(1)=0이므로
= =f '(1)=2
즉, f '(x)=;[B;이므로
f '(1)=;1B;=2, b=2
따라서 a¤ +b¤ =1+4=5
05-4
=b에서 x ⁄ 1일때(분모)⁄ 0이므로
(분자)⁄ 0이어야한다.
f(1)-2=a-2=0, a=2
f(x)=x lnx+2x에서 f '(x)=3+lnx이므로
=
= _
=;2!;f '(1)=;2!;_3
=;2#;=b
따라서 a+b=2+;2#;=;2&;
f(x)-f(1)x-1
limx⁄1
1x+1
limx ⁄1
f(x)-f(1)(x-1)(x+1)
limx ⁄1
f(x)-2x¤ -1
limx ⁄1
f(x)-2x¤ -1
limx ⁄1
f(x)-f(1)x-1
limx ⁄1
b lnxx-1
limx ⁄1
b lnxx-1
limx ⁄1
b lnxx-1
limx ⁄1
b lnxx-1
1x+1
limx ⁄1
b lnxx¤ -1¤
limx ⁄1
b lnxx¤ -a¤
limx ⁄a
limx ⁄a
05-1⑤ 05-2① 05-3③ 05-4③
05 지수함수와로그함수의미분
05-1
f(x)=(x¤ +x-1)e≈ ±⁄에서
f '(x)=(2x+1)e≈ ±⁄ +(x¤ +x-1)e≈ ±⁄
=(x¤ +3x)e≈ ±⁄
=x(x+3)e≈ ±⁄
f '(x)=x(x+3)e≈ ±⁄ =0에서 e≈ ±⁄ >0이므로
x=0또는 x=-3
따라서
f(a)_f(b)=f(0)_f(-3)
f(a)_f(b)=(-e)_5e—¤
f(a)_f(b)=-;e%;
05-2
=b에서 x ⁄ 1일때,
(분모)⁄ 0이므로(분자)⁄ 0이어야한다.
즉, f(1)-1=a+2-1=0, a=-1
따라서 f(x)=2≈ -x
f'(x)=2≈ ln 2-1에서
f '(1)=2 ln 2-1
=
= _
= =
=ln 2-;2!;=b
따라서
a+b=(-1)+{ln 2-;2!;}
a+b=ln 2-;2#;
05-3
=1에서x→ a일때(분모) → 0이므로
(분자) → 0이어야한다.
b lnxx¤ -a¤
limx⁄a
2 ln 2-12
f'(1)2
1x+1
limx ⁄1
f(x)-f(1)x-1
limx ⁄1
f(x)-f(1)(x-1)(x+1)
limx ⁄1
f(x)-1x¤ -1
limx ⁄1
f(x)-1x¤ -1
limx ⁄1
본문 15쪽유형
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 7
06-1
sin h+cos h= 의양변을제곱하면
sin¤ h+2sin h cos h+cos¤ h=;2!;이므로
sin hcos h=-;4!;
따라서
+ =
+ =
+ = =
=14
06-2
cos h+0이므로주어진식의분모, 분자를 cos h로각각나누면
=
=
=
= =-3
06-3
=3-2'2에서
3+tan h= =
3+tan h=3+2'2
즉, tan h=2'2
3+2'2
(3-2'2)(3+2'2)
1
3-2'2
13+tan h
9-3
1-2_(-4)2_(-4)+5
1-2 tan h2 tan h+5
sin h1-2_1133
cos hsin h
2_1133+5cos h
cos h-2sin h2 sin h+5cos h
;8&;
;1¡6;
1¤ -2{-;4!;}¤
{-;4!;}¤
(sin¤ h+cos¤ h)¤ -2sin¤ hcos¤ hsin¤ hcos¤ h
sin› h+cos› hsin¤ hcos¤ h
cos¤ hsin¤ h
sin¤ hcos¤ h
'22
tan h= =2'2이므로
sin h=2'2 cos h yy`㉠㉠
sin¤ h+cos¤ h=1에㉠을대입하면
8 cos¤ h+cos¤ h=1이므로
cos¤ h=;9!;
p<h<;2#;p에서 cos h<0이므로 cos h=-;3!;
tan h= 에서
sin h=tan h cos h=2'2_{-;3!;}=- 이므로
sin h+cos h=- +{-;3!;}=-
06-4
이차방정식의근과계수의관계에의하여
sin h+cos h=-
양변을제곱하면
sin¤ h+2sin hcos h+cos¤ h=;2!;
1+2 sin hcos h=;2!;이므로
sin hcos h=-;4!;
h가제2사분면의각이므로
sin h>0, cos h<0
즉, sin h-cos h>0
(sin h-cos h)¤ =sin¤ h-2sin hcos h+cos¤ h
(sin h-cos h)¤ =1-2 sin hcos h
(sin h-cos h)¤ =1-2_{-;4!;}=;2#;
sin h-cos h=æ;2#;= 이므로
sin¤ h-cos¤ h=(sin h-cos h)(sin h+cos h)
sin¤ h-cos¤ h= _{- }
sin¤ h-cos¤ h=-'3
2
'2
2
'6
2
'6
2
'2
2
1+2'2
32'23
2'23
sin hcos h
sin hcos h
06-1 14 06-2③ 06-3② 06-4①
06 삼각함수의뜻
본문 17쪽유형
Ⅱ.삼각함수
8 수능열기 / 수학가
07-3
cos x=0이면주어진부등식은성립하지않으므로
cosx+0
따라서 cos¤ x>0
주어진부등식을 cos¤ x로나누면
3tan ¤ x-4'3 tan x+3<0
(3tan x-'3)(tan x-'3)<0
<tan x<'3
-;6%;p<x<-;3@;p또는 ;6“;<x<;3“;
따라서
a+b+c+d={-;6%;p}+{-;3@;p}+;6“;+;3“;
a+b+c+d=-p
07-4
sin ¤ x+3cos x+a-12…0에서
(1-cos¤ x)+3cos x+a-12…0
cos¤ x-3cos x+11-aæ0
이때 cos x=t로놓으면
f(t)=t¤ -3t+11-a
f(t)={t-;2#;}¤ +;;£4∞;;-a (-1…t…1)
y=f(t)는 t=1일때최솟값 f(1)=9-a를갖는다.
따라서-1…t…1에서부등식 t¤ -3t+11-aæ0이항상성립
하려면 9-aæ0을만족해야한다.
a…9이므로양의정수 a의개수는 9이다.
'3
3
07-1⑤ 07-2 ;2%;p 07-3 -p 07-4④
07 삼각함수의활용
07-1
sin x+'3 cos x=0에서
=-'3, tan x=-'3
방정식 tan x=-'3의해는 y=tan x의그래프와직선
y=-'3의교점의 x좌표와같다.
그래프의주기성을이용하여 y=tanx의그래프와직선
y=-'3의교점의 x좌표를구하면다음과같다.
p-;3“;=;3@;p, 2p-;3“;=;3%;p
즉, x=;3@;p또는 x=;3%;p
따라서
tan(a+b)=tan ;3&;p
tan(a+b)=tan ;3“;='3
07-2
2cos ¤ x-sin x-1=0에서
2(1-sin ¤ x)-sin x-1=0
2sin¤ x+sin x-1=0
(sin x+1)(2 sin x-1)=0이므로
sin x=-1또는 sin x=;2!;
sin x=-1에서 x=;2#;p
sin x=;2!;에서 x=;6“; 또는 x=;6%;p
따라서모든 x의값의합은
;2#;p+;6“;+;6%;p=;2%;p
y=tan xy
xO p3
'3
-'3 y=-'3
p2
23p
32p
53pp 2p
sin xcos x
본문 19쪽유형
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정답과풀이 9
08-3
0<a<;2“;, ;2#;p<b<2p에서 cosa>0, sinb<0이므로
cosa="1 √-sin¤ a=Æ1…-;9!;=
sinb=-"1√-cos¤ b=-Æ1…-;9$;=-
따라서
sin (a-b)=sinacosb-cosasinb
sin (a-b)=;3!;_;3@;- _{- }
sin (a-b)=
08-4
두직선 y=-2x+3과 y=3x가 x축의양의방향과이루는
각의크기를각각 h¡, h™라하면
tanh¡=-2, tanh™=3
h=h¡-h™이므로
tanh=tan(h¡-h™)
tanh=
tanh=
tanh=1
따라서 h=;4“;
-2-31+(-2)_3
tanh¡-tanh™1+tanh¡ tan h™
y y=3xy=-2x+3
h™ h¡
h
O x
2+2'1å09
'53
2'23
'53
2'23
08-1④ 08-2⑤ 08-3⑤ 08-4③
08 삼각함수의덧셈정리
08-1
tana= =-;4#;, tanb= =;3$;이므로
tan(a+b)=
tan(a+b)=
tan(a+b)=;2¶4;
08-2
∠PDC=a, ∠QDC=b라하면
h=a-b
DP”="√2¤ +4¤ =2'5이므로
sin a= = , cos a=
DQ”="√3¤ +4¤ =5이므로
sin b=;5#;, cos b=;5$;
따라서
sin h=sin (a-b)
sin h=sin a`cos b-cos a`sin b
sin h= _;5$;- _;5#;
sin h= ='55
1'5
1'5
2'5
1'5
2'5
42'5
-;4#;+;3$;
1-{-;4#;}_;3$;
tana+tanb1-tana tanb
-4-3
3-4
y
O
B
A
-4-3
3
-4
xab
본문 21쪽유형
10 수능열기 / 수학가
=
= [ _(1+cos 3x)]
= [ { } 2_ _;9A;_(1+cos 3x)]
=1_1_;9A;_2
= =;3!;
= =;3!;
따라서 a=;2#;
09-4
x⁄ ;4“;일때, 함수 는 0이아닌극한값이존재하고
cos 2x=0이므로 (ax+b)=0
이어야한다. 즉, ;4“;a+b=0이므로 b=-;4“; a이고,
=
이때 x-;4“;=t로놓으면 x⁄ ;4“;일때, t⁄ 0이므로
=
=
=
=-;a@;
=-;a@;=;2!;
a=-4, b=p이므로
a+b=-4+p
sin2t2t
limt ⁄0
-sin2tat
limt ⁄0
cos {;2“;+2t}
atlimt ⁄0
cos2{t+;4“;}
atlimt ⁄0
cos 2x
{x-;4“;}alim
px⁄1
4
cos 2x
{x-;4“;}alim
px⁄1
4
cos 2xax+b
limp
x⁄14
limp
x⁄14
limp
x⁄14
cos 2xax+b
2a9
2a9
ln (1+ax)ax
3xsin 3xlim
x⁄0
x ln (1+ax)sin¤ 3x
limx⁄0
x ln (1+ax)_(1+cos 3x)1-cos¤ 3x
limx⁄0
09-1 ;2!; 09-2① 09-3② 09-4①
09 삼각함수의극한
09-1
=
=
=
= { _ _ }
=1_1_;2!;
=;2!;
09-2
에서
x-p=t로놓으면 x ⁄p일때 t⁄0이므로
=
=
=
=
=
= { }¤_ _ {2(1+cos t)}
=1_1_4=4
09-3
=x ln (1+ax)_(1+cos 3x)(1-cos 3x)(1+cos 3x)
limx⁄0
x ln (1+ax)1-cos 3xlim
x⁄0
limt⁄0
sin 2t2tlim
t⁄0
tsin tlim
t⁄0
t sin 2t(1+cos t)sin¤ t
limt⁄0
t sin 2t(1+cos t)1-cos¤ t
limt⁄0
t sin 2t(1+cos t)(1-cos t)(1+cos t)lim
t⁄0
t sin 2t1-cos tlim
t⁄0
t sin 2(p+t)1+cos(p+t)lim
t⁄0
(x-p)sin 2x1+cosxlim
x ⁄p
(x-p)sin 2x1+cosxlim
x ⁄p
1
1+cos xsinxx
sinxx
limx ⁄0
sin¤ xx¤ (1+cos x)
limx ⁄0
1-cos¤ xx¤ (1+cos x)
limx ⁄0
(1-cos x)(1+cos x)x¤ (1+cos x)
limx ⁄0
1-cosxx¤
limx ⁄0
본문 23쪽유형
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 11
= =f '(1)
또한
=
=;2!;
=-;2!;
㉠에서 f'(1)_{-;2!;}=4이므로
f'(1)=-8
한편, f(-x)=f(x)의양변을 x에대하여미분하면
-f '(-x)=f '(x)
즉, f '(-x)=-f '(x)
따라서 f '(-1)=-f '(1)=8
-sin¤ xx¤
limx ⁄0
cos¤ x-1x¤ (cos x+1)
limx ⁄0
cos x-1x¤
limx ⁄0
f(t)-f(1)t-1
limt ⁄1
f(cos x)-f(1)cos x-1
limx ⁄0
10-1③ 10-2④ 10-3① 10-4①
10 삼각함수의미분
10-1
f(x)=(1+sinx) cosx에서
f '(x)=cos¤ x+(1+sinx)(-sinx)
따라서 f '{;6“;}={ }¤ +{1+;2!;}{-;2!;}=0
10-2
f(x)=(1+cos x)sinx에서
f'(x)=(-sin x)sin x+(1+cos x)cosx
f'(x)=-sin ¤ x+cos x+cos¤ x
f'(x)=-(1-cos¤ x)+cos x+cos¤ x
f'(x)=2 cos ¤ x+cos x-1
f'(x)=(2 cos x-1)(cos x+1)
f'(x)=0에서 cos x=;2!;또는 cos x=-1
0…x…2p에서 x=;3“;또는 x=;3%;p또는 x=p
따라서 ;3“;+;3%;p+p=3p
10-3
f '(x)=(x)'sin x+x(sin x)'
f '(x)=sin x+x cosx
따라서 f '(p)=sinp+pcosp=-p
10-4
=4에서 x⁄ 0일때, (분모)⁄ 0이므로
(분자)⁄ 0이어야한다.
즉, f(1)=2
=
= [ _ ]
=4 yy㉠㉠
여기서 cos x=t로놓으면 x⁄ 0일때 t ⁄ 1이므로
cos x-1x¤
f(cos x)-f(1)cos x-1
limx ⁄0
f(cos x)-f(1)x¤
limx ⁄0
f(cos x)-2x¤
limx ⁄0
f(cos x)-2x¤
limx ⁄0
'32
본문 25쪽유형
12 수능열기 / 수학가
따라서
h'(1)=g'( f(1))f'(1)
=g'(2)f'(1)
=4g'(2)
=4_3=12
11-3
f(x¤ -1)-f(x¤ -x)=2x‹ -3x¤ +2x-1
의양변을 x에대하여미분하면
f '(x¤ -1)_2x-f'(x¤ -x)_(2x-1)
=6x¤ -6x+2 yy`㉠㉠
㉠에 x=0을대입하면
f '(-1)_0-f '(0)_(-1)=2이므로
f '(0)=2
㉠에 x=-1을대입하면
f '(0)_(-2)-f '(2)_(-3)=14
3f '(2)=14+2f '(0)=14+2_2=18
따라서 f '(2)=6
11-4
f(g(x))=h(x)로놓으면
h(2)=f(g(2))=f(3)=-2
=
=h'(2)
h'(x)=f '(g(x))g'(x)이므로
h'(2)=f '(g(2))g'(2)
h'(2)=f '(3)g'(2)
h'(2)=5_4=20
h(x)-h(2)x-2
limx⁄2
f(g(x))+2x-2
limx⁄2
11-1③ 11-2 12 11-3② 11-4⑤
11 합성함수의미분법
11-1
=3에서 x⁄-1일때(분모)⁄0이므로
(분자)⁄0이어야한다.
즉, { f(x)+2}=0
함수 f(x)가 x=-1에서연속이므로
{ f(x)+2}=f(-1)+2=0에서
f(-1)=-2
따라서
=
=f'(-1)=3
f { }에서 g(x)= 로놓으면
f { }=f(g(x))
f { }= f(g(x))
f { }=f'(g(x))g'(x)
f { }=f'{ }_{- }
f { }=- f'{ }
따라서함수 f { }의 x=-1에서의미분계수는
- _f '{ }=-f'(-1)
- _f '{ }=-3
11-2
f(x)=x¤ +2x-1에서
f '(x)=2x+2
h(x)=g( f(x))에서
h'(x)=g'( f(x))f'(x)
1-1
1(-1)¤
1x
1x
1x¤
1x¤
1x
ddx
1x
ddx
1x
1x
1x
f(x)-f(-1)x-(-1)
limx⁄-1
f(x)+2x+1lim
x⁄-1
limx⁄-1
limx⁄-1
f(x)+2x+1lim
x⁄-1
본문 27쪽유형
Ⅲ.미분법
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 13
f(g(x))=x
위식의양변을 x에대하여미분하면
f '(g(x))g '(x)=1
따라서 g '(x)=
f '(x)=1+{ f(x)}¤에서 x대신 g(x)를대입하면
f '(g(x))=1+{ f(g(x))}¤ =1+x¤
g '(x)= = 이므로
10g '(2)=10_ =2
12-4
f(x)=x‹ +x¤ +2x+1=1에서
x‹ +x¤ +2x=x(x¤ +x+2)=0
x¤ +x+2+0이므로 x=0
따라서 f(0)=1이므로
a=g(1)=0
f'(x)=3x¤ +2x+2에서 f '(0)=2이므로 역함수의 미분법에
의하여
g'(1)= =;2!;
그런데 곡선 y=g(x) 위의 점 (1, 0)에서의 접선의 기울기는
g'(1)의값과같으므로
b=;2!;
따라서 a+b=0+;2!;=;2!;
1f'(0)
11+2¤
11+x¤
1f '(g(x))
1f '(g(x))
12-1③ 12-2③ 12-3 2 12-4①
12 역함수의미분법
12-1
=6에서 x⁄2일때(분모)⁄0이므로
(분자)⁄0이어야한다.
즉, g(2)=5
=
=g'(2)=6
한편역함수의미분법에의하여
f '(5)= =;6!;
함수 f(x)의역함수가 g(x)이므로
f(5)=2
따라서 f(5)_f '(5)=2_;6!;=;3!;
12-2
점 (1, k)가곡선 x=(8y‹ +2)fi을지나므로
1=(8k‹ +2)fi에서 8k‹ +2=1
즉, k‹ +;8!;=0
k는실수이므로
k=-;2!;
=5(8y‹ +2)› (8y‹ +2)'
=120y¤ (8y‹ +2)›
이므로
=
= {단, y+0, y‹ +-;4!;} yy㉠㉠
㉠`에 y=-;2!;을대입하면
=;3¡0;
12-3
g(x)가 f(x)의역함수이므로
dydx
1120y¤ (8y‹ +2)›
1dxdy
dydx
dxdy
1g'(2)
g(x)-g(2)x-2lim
x⁄2
g(x)-5x-2lim
x⁄2
g(x)-5x-2lim
x⁄2
본문 29쪽유형
14 수능열기 / 수학가
13-3
f(x)= 로놓으면
f '(x)= =
f'(x)=-
이므로 f '(1)=f'(3)=-2
따라서점 (1, -1)에서의접선 l¡의방정식은
y-(-1)=-2(x-1), y=-2x+1
점 (3, 3)에서의접선 l™의방정식은
y-3=-2(x-3), y=-2x+9
두직선 l¡, l™의 x절편은각각 ;2!;, ;2(;이고 y절편은각각 1,
9이므로두직선 l¡, l™와 x축및 y축으로둘러싸인도형의넓
이는
;2!;_;2(;_9-;2!;_;2!;_1=;;•4¡;;-;4!;=;;•4º;;=20
13-4
f(x)=ln(ax+2), g(x)=-lnx‹ +b라하면
f '(x)= , g '(x)=-;[#;
두곡선이점A(1, c)에서만나므로
f(1)=g(1)에서
ln(a+2)=b yy`㉠㉠
또두곡선 y=f(x), y=g(x)에대하여점A에서의접선이서
로수직이므로
f '(1)g '(1)=-1에서
_(-3)=-1이므로
a=1
㉠에서 b=ln(a+2)=ln3
f(1)=ln3=c
따라서 ab+c=1_ln3+ln3=2ln 3=ln 3¤=ln9
aa+2
aax+2
2(x-2)¤
(x-2)-x(x-2)¤
(x)'(x-2)-x(x-2)'(x-2)¤
xx-2
yl¡ l™ y=
y=-2x+9y=-2x+1
xx-2
O
9
1
12
x92
13-1⑤ 13-2④ 13-3 20 13-4④
13 접선의방정식
13-1
y=2x+ln x에서 y'=2+;[!;
곡선 y=2x+ln x위의접점의좌표를 (t, 2t+ln t)로놓으면
접선의기울기가 2+;t!;이므로접선의방정식은
y={2+;t!;}(x-t)+2t+ln t yy㉠㉠
직선㉠은점 (0, -1)을지나므로
-1={2+;t!;}(0-t)+2t+ln t
-1=-2t-1+2t+ln t
ln t=0, t=1
t=1을㉠에대입하면
y=3(x-1)+2
즉, y=3x-1
따라서접선 y=3x-1이점 (2, a)를지나므로
a=3_2-1=5
13-2
함수 y='2sinx에서 y'='2cosx이므로점 {;4“;, 1}에서의접
선의기울기는 '2cos ;4“;=1
그러므로점 {;4“;, 1}에서의접선의방정식은
y-1=1_{x-;4“;}
y=x-;4“;+1
이접선이원 (x-a)¤ +{y-;4“;}¤ =1의중심을지나므로원의
중심의좌표 {a, ;4“;}를접선의방정식 y=x-;4“;+1에대입하면
;4“;=a-;4“;+1
따라서 a=;4“;+;4“;-1=;2“;-1
본문 31쪽유형
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 15
즉, f(x)= 에서
M=f(3)=;2!;, m=f {-;3!;}=-;2(;
따라서M+m=;2!;+{-;2(;}=-4
14-3
함수 f(x)=2x lnx+(3-2x) ln(3-2x)에서
f '(x)
=2 lnx+2x_;[!;+(-2)_ln(3-2x)+(3-2x)_
=2 lnx-2 ln(3-2x)
=2 ln {0<x<;2#;}
f '(x)=0에서 =1, x=1
함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
따라서함수 f(x)는 x=1에서극솟값 0을가지므로
a=1, b=0
따라서 a+b=1
14-4
f(x)=2cos 2x+4 sinx(0<x<p)에서
f '(x)=-4 sin 2x+4cosx
=-8 sinxcosx+4cosx
=4cosx(1-2 sinx)
f '(x)=0에서 cosx=0또는 sinx=;2!;이므로
x=;2“;또는 x=;6“;또는 x=;6%;p
함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
x3-2x
x3-2x
-23-2x
3x-4x¤ +1
14-1② 14-2④ 14-3① 14-4②
14 함수의극 와극소
14-1
함수 f(x)=2xe-;2!;x¤의정의역은실수전체의집합이다.
f(x)=2xe-;2!;x¤에서
f '(x)=2e-;2!;x¤+2xe-;2!;x¤ (-x)
f'(x)=(2-2x¤ )e-;2!;x¤
f '(x)=-2(x+1)(x-1)e-;2!;x¤
f '(x)=0에서 x=-1또는 x=1
함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
함수 f(x)는 x=-1에서극소이고, x=1에서극대이므로
극솟값은 m=f(-1)=-2e-;2!;이고,
극댓값은 M=f(1)=2e-;2!;이다.
따라서 M-m=2e-;2!;-(-2e-;2!;)=4e-;2!;
14-2
f(x)= 에서
f '(x)=
f '(x)=
함수 f(x)가 x=3에서극값을가지므로
f '(3)= =0
6a=-24, a=-4
f '(x)=
f '(x)=
f '(x)=0에서 x=-;3!; 또는 x=3
함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
-(3x+1)(x-3)(x¤ +1)¤
-3x¤ +8x+3(x¤ +1)¤
-27-6a+3100
-3x¤ -2ax+3(x¤ +1)¤
3(x¤ +1)-(3x+a)_2x(x¤ +1)¤
3x+ax¤ +1
본문 33쪽유형
x y -1 y 1 y
f '(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
x y -;3!; y 3 y
- 0 + 0 -
↘ 극소 ↗ 극대 ↘
f '(x)
f(x)
x (0) y 1 y { }32
- 0 +
↘ 0 ↗
f '(x)
f(x)
16 수능열기 / 수학가
따라서함수` f(x)는 x=;6“;에서극댓값 3,
x=;2“;에서극솟값 2,
x=;6%;p에서극댓값 3을가지므로
a=;2“;, b=2
따라서 ab=;2“;_2=p
x
f'(x)
f(x)
(0) y
+
↗
;6“;
0
3
y
-
↘
;2 “;
0
2
y
+
↗
;6%;p
0
3
y
-
↘
(p)
15-1④ 15-2 20 15-3③ 15-4③
15 함수의최 와최소
15-1
함수 f(x)=ax+acos2x에서
f '(x)=a-2a sin2x
f'(x)=0에서 sin2x=;2!;
0…x…;4“;이므로 x=;1…2;
함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
f(0)=a, f{;4“;}=;4A;p이고, 양수 a에대하여 a>;4A;p이므로
함수 f(x)의최솟값은 ;4A;p이다.
즉, ;4A;p=p이므로 a=4
15-2
f(x)=e¤ ≈ -2e≈ -4x에서
f'(x)=2e¤ ≈ -2e≈ -4=2(e¤ ≈ -e≈ -2)
f'(x)=2(e≈ +1)(e≈ -2)
f'(x)=0에서 e≈ =2이므로 x=ln2
닫힌구간 [0, ln 4]에서함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내
면다음과같다.
따라서함수 f(x)는 x=ln4일때최댓값 8-8 ln 2,
x=ln 2일때최솟값-4 ln 2를가지므로
M=8-8 ln 2, m=-4 ln 2
M+m=8-8 ln 2+(-4 ln 2)=8-12 ln 2
a=8, b=-12이므로 a-b=8-(-12)=20
본문 35쪽유형
x 0 y y p4
p12
+ 0 -
a ↗ 극대 ↘ ;4A;p
f '(x)
f(x)
x
f(x)
f'(x)
0 y ln2 y ln4
-1 ↘ -4 ln 2 ↗ 8-8 ln 2
- - 0 + +
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 17
15-3
f '(x)= =
f '(x)=0`에서 ln x=1, x=e
닫힌구간 [;e!;, e¤ ]에서함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내
면다음과같다.
함수 f(x)는닫힌구간 [;e!;, e¤ ]에서양끝에서의함숫값
f {;e!;}=-ae, f(e¤ )= 이고극댓값 f(e)=;eA;이다.
따라서 a>0이므로최댓값 M=;eA;, 최솟값 m=-ae이다.
Mm=;eA;_(-ae)=-a¤ =-3, a¤ =3
a>0이므로 a='3
15-4
f(x)='2e≈ cosx에서
f '(x)='2 {e≈ cosx+e≈ (-sinx)}
='2e≈ (cosx-sinx)
f'(x)=0에서 cosx=sinx
0…x…2p일때, x=;4“;또는 x=;4%;p
함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
함수 f(x)는 x=;4“;에서극대이고, x=;4%;p에서극소이므로
극댓값과극솟값은각각
f {;4“;}='2e;4“;cos ;4“;=e;4“;, f {;4%;p}='2e;4%;pcos ;4%;p=-e;4%;p
구간의양끝점에서의함숫값은
f(0)='2e‚ cos0='2, f(2p)='2e2pcos2p='2e2p
이므로최댓값은 M='2e2p, 최솟값은 m=-e;4%;p이다.
따라서 = =-'2e;4#;p'2e2p
-e;4%;p
Mm
2ae¤
a(1-ln x)x¤
;[A;_x-a ln x
x¤ 16-1② 16-2 2 16-3② 16-4③
16 방정식과부등식에의활용
16-1
e≈ -x=a에서 y=e≈ -x라하면
y'=e≈ -1이므로 y'=0에서 x=0
따라서 x=0에서극소이면서최소이고최솟값은 1이므로
y=e≈ -x의그래프는다음그림과같다.
따라서방정식 e≈ -x=a가서로다른두실근을갖기위해서는
곡선 y=e≈ -x와직선 y=a가서로다른두교점을가져야하
므로그림과같이 a>1이어야한다.
즉, 자연수 a의최솟값은 2이다.
16-2
lnx=ex-e에서 ex-e-lnx=0
f(x)=ex-e-lnx (x>0)로놓으면
f '(x)=e-;[!;
f '(x)=0에서 x=;e!;
함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
이때 f{;e!;}=2-e<0이고, lnx=-¶이므로
f(x)= (ex-e-lnx)=¶
사이값정리에의하여방정식 f(x)=0은열린구간
{0, ;e!;}에서하나의실근을갖는다.
또 f(1)=e-e-0=0이므로방정식 f(x)=0은 x=1을실근
으로갖는다.
따라서방정식 f(x)=0, 즉 lnx=ex-e의서로다른실근의
개수는 2이다.
limx⁄0+
limx⁄0+
limx⁄0+
y
y=a
O
1
x
본문 37쪽유형
f '(x) + + 0 - -
x ;e!; y e y e¤
f(x) -ae ↗ 극대 ↘2ae¤
x 0 y ;4“; y ;4%;p y 2p
f '(x) + + 0 - 0 + +
f(x) '2 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ '2 e¤ p
x (0) y ;e!; y
- 0 +
↘ 2-e ↗
f '(x)
f(x)
18 수능열기 / 수학가
16-3
x>-1인실수 x에대하여부등식 2x+kæln(x+1)이성립
할때 kæln(x+1)-2x
f(x)=ln(x+1)-2x라하면
f '(x)= -2=-
이므로함수 f(x)의증가, 감소를표로나타내면다음과같다.
따라서 f(x)는 x=-;2!;에서극대이면서최대이고,
최댓값은 f{-;2!;}=1+ln ;2!;=1-ln2
따라서 x>-1인실수 x에대하여
부등식 kæln(x+1)-2x가성립하려면
kæ1-ln 2
따라서 k의최솟값은 1-ln2이다.
16-4
부등식 sin x+k cos x…k에서
sinx…k(1-cosx)
;6“;<x<;3“;에서 1-cos x>0이므로
…k
f(x)= 라하면
f '(x)=
f'(x)=
f'(x)=- <0
따라서 f(x)는열린구간 {;6“;, ;3“;}에서감소하므로
…k를만족시키는상수 k의최솟값은
f{;6“;}= = = =2+'312-'3
sinx1-cos x
11-cos x
cosx-(cos¤ x+sin¤ x)(1-cosx)¤
cosx(1-cosx)-sinx sinx(1-cosx)¤
sin x1-cos x
sin x1-cos x
2x+1x+1
1x+1
f '(x)
f(x)
+
↗
0
극대
-
↘
x (-1) y -;2!; y
1- '32
12sin ;6“;
1-cos ;6“;
17-1④ 17-2 17-3① 17-4④1+p1-p
17 정적분의계산
17-1
:)1 (6x¤ +3'x)dx=[2x‹ +2x;2#;]1)
:)1 (6x¤ +3'x)dx=4-0
:)1 (6x¤ +3'x)dx=4
17-2
:)
p`f(x)dx=a (a는상수)라하면
f(x)=sin x-cos x+a
a=:)
pf(x)dx
a=:)
p(sin x-cos x+a)dx
a=[-cos x-sin x+ax])p
a=(1+ap)-(-1)
a=2+ap
즉, a=2+ap이므로 a=
따라서 f(x)=sin x-cos x+ 이므로
f(0)=sin 0-cos 0+
f(0)=
17-3
:)1 "ç4≈ dx=:)1 2≈ dx
:)1 "ç4≈ dx=[ ]1)
:)1 "ç4≈ dx= -
:)1 "ç4≈ dx= 1ln 2
1ln 2
2ln 2
2≈ln 2
1+p1-p
21-p
21-p
21-p
본문 39쪽유형
Ⅳ.적분법
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 19
17-4
f '(x)=g 에서
( x¤ +C¡ (xæ0)`f(x)={ (C¡, C™는적분상수)9-;2!;cos2x+C™ (x<0)
`f(1)=2이므로 1+C¡=2에서
C¡=1
함수 f(x)는 x=0에서연속이므로
`f(x)= `f(x)=f(0)에서
{-;2!;cos 2x+C™}= (x¤ +1)
-;2!;+C™=1, C™=;2#;
따라서
: 3
-2p`f(x)dx
=: 0
-2p`{-;2!;cos 2x+;2#;}dx+:)3 (x¤ +1)dx
=[-;4!; sin 2x+;2#;x]0-2p
+[;3!;x‹ +x]3)
=-(-3p)+(9+3)
=3p+12
limx ⁄0+
limx ⁄0-
limx⁄0+
limx ⁄0-
2x (xæ0)
sin 2x (x<0) 18-1③ 18-2③ 18-3③ 18-4 149
18-5② 18-6④ 18-7⑤ 18-8④
18 치환적분법을이용한정적분
18-1
1+x¤ =t로놓으면 =2x
x=1일때 t=2, x='7일때 t=8이므로
:!
'7
dx=;2!; :@8 ;t!;dt=;2!;[ln|t|]8@
:!
'7
dx=;2!;(ln 8-ln 2)=;2!; ln 4=ln2
18-2
sin x=t로놓으면 cos x =1
x=0일때 t=0, x=;2“;일때 t=1이므로
:)
;2“;
cos x 'ƒsin x dx=:)1 't dt=[;3@;t ;2#;]1)=;3@;
18-3
'x∂+1=t로치환하면
x=t¤ -1에서 =2t이고
x=1이면 t='2, x=2이면 t='3이므로
15:!2 x'x∂+1 dx=15:'2
'3
(t¤ -1)t¥2tdt
15:!2 x'x∂+1dx=30:'2
'3
(t› -t¤ )dt
15:!2 x'x∂+1dx=[6tfi -10t‹ ]'2
'3
15:!2 x'x∂+1dx=24'3-4'2
따라서A=24, B=-4이므로
A+B=20
18-4
ln x=t로놓으면 =;[!;
x=1일때, t=ln 1=0, x=e일때, t=ln e=1이므로
dtdx
dxdt
dxdt
x1+x¤
dtdx
본문 41, 43쪽유형
20 수능열기 / 수학가
a«=:!e dx=:)1 t« dt
a«=[ t« ±⁄ ]1)=
a«a«≠¡= { _ }
a«a«≠¡= { - }
a«a«≠¡={;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+y
+{;9¡9;-;10!0;}
a«a«≠¡=;2!;-;10!0;=;1¢0ª0;
따라서 p=100, q=49이므로
p+q=100+49=149
18-5
x¤ =t로놓으면 2x=
x=0일때 t=0, x=1일때 t=1이므로
:)1 (xex¤-1)dx=:)1 xex¤ dx-:)1 1 dx
:)1 (xex¤-1)dx=:)1 ;2!;e† dt-[x]1)
:)1 (xex¤-1)dx=[;2!;e† ]1)-1
:)1 (xex¤-1)dx=;2!;(e-3)
18-6
:)
;3“;
(tanx+sinx)dx
=:)
;3“;
tanxdx+:)
;3“;
sinxdx
=:)
;3“;
dx+:)
;3“;
sinxdx
이때 cosx=t로 놓으면-sinx =1이고
x=0일때 t=1, x=;3“;일때 t=;2!;이므로
(주어진식)=:)
;3“;
dx+:)
;3“;
sinxdx
(주어진식)=-:!
;2!;
;t!;dt+:)
;3“;
sinxdx
sinxcosx
dxdt
sinxcosx
dtdx
1n+2
1n+1
98¡
n=1
1n+2
1n+1
98¡
n=1
98¡
n=1
1n+1
1n+1
(lnx)«x
(주어진식)=-[ln |t|]!`;2!;
+[-cosx])`;3“;
(주어진식)=-{ln ;2!;-0}+{- ;2!;+1}
(주어진식)=-ln ;2!;+ ;2!;
(주어진식)=ln2'e
18-7
=
2'3+tanx=t로놓으면 sec¤ x=
x=;6“;일때 t= , x=;3“;일때 t=3'3이므로
:;6“;
;3“;
dx=:
3'3;t!;dt
:;6“;
;3“;
dx=[ln|t|]
:;6“;
;3“;
dx=ln3'3-ln
:;6“;
;3“;
dx=ln {3'3_ }
:;6“;
;3“;
dx=ln ;7(;
18-8
( 2x (0…x…1)
f(x)={ 2 (1<x…3)
9-2x+8 (3<x…4)
:!2 dx에서 x¤ =t로놓으면 2x=
x=1일때 t=1, x=2일때 t=4이므로
:!2 dx=:!2 dx=:!4 dt
:)2 dx=:!3 dt+:#4 dt
:)2 dx=:!3 dt+:#4 {-1+ } dt
:)2 dx=[ln t]3!+[-t+4 ln t]4#
:)2 dx=ln3+{(-4+4 ln4)-(-3+4 ln3)}
:)2 dx=4 ln4-3 ln3-1
4t
1t
-2t+82t
22t
f(t)2t
2x f(x¤ )2x¤
f(x¤ )x
dtdx
f(x¤ )x
37'3
7'33
3'3
7'31333
7'33
1(2'3+tanx)cos¤ x
7'33
dtdx
sec¤ x2'3+tanx
1(2'3+tanx)cos¤ x
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 21
19-1④ 19-2② 19-3② 19-4③
19 부분적분법을이용한정적분
19-1
f(x)=x, g'(x)=e≈으로놓으면
f '(x)=1, g(x)=e≈이므로
:)1 xe≈ dx=[xe≈ ]1)-:)1 e≈ dx
:)1 xe≈ dx=[xe≈ ]1)-[e≈ ]1)=1
19-2
:!e dx=[-;[!; lnx]e!-:!e {-;[!;_;[!;}dx
:!a dx=-;e!;+:!e dx
:!a dx=-;e!;+[-;[!;]e!
:!a dx=-;e!;-;e!;+1
:!a dx=1-;e@;
19-3
:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=:!e (lnx-1)dx
:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=:!e lnxdx-:!e 1dx
에서 f(x)=lnx, g '(x)=1이라하면
f '(x)=;[!;, g(x)=x이므로
:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=[x lnx]e!-:!e 1dx-[x]e!
:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=(e-0)-[x]e!-(e-1)
:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=e-(e-1)-(e-1)
:!e ("çlnx+1)("çlnx-1)dx=2-e
19-4
u'=sinx, v=x로놓으면 u=-cosx, v'=1이므로
:
;2“;
pf(x)dx=:
;2“;
pxsinxdx
:
;2“;
pf(x)dx=[-xcosx] -:
;2“;
p(-cosx)dx
p
;2“;
1x¤
ln xx¤
본문 45쪽유형
:
;2“;
pf(x)dx=[-xcosx] +[sinx]
:
;2“;
pf(x)dx=-p_(-1)+;2“;_0+0-1
:
;2“;
pf(x)dx=p-1
:
-;2“;
-pf(x)dx=:
-;2“;
-pxsinxdx
:
-;2“;
-pf(x)dx=[-xcosx] -:
-;2“;
-p(-cosx)dx
:
-;2“;
-pf(x)dx=[-xcosx] +[sinx]
:
-;2“;
-pf(x)dx=p_(-1)-;2“;_0+0-(-1)
:
-;2“;
-pf(x)dx=-p+1
따라서
:
;2“;
pf(x)dx+:
-;2“;
-pf(x)dx=(p-1)+(-p+1)
;2“;
pf(x)dx+:
-;2“;
-pf(x)dx=0
-p
-;2“;
-p
-;2“;
-p
-;2“;
p
;2“;
p
;2“;
22 수능열기 / 수학가
한편주어진식의양변에 x=1을대입하면
f(1)=1
f(1)=ln 1+C=1에서C=1
f(x)=ln x+1이므로
f(e¤ )=3
20-4
f(t)= 라하고, 함수 f(t)의한부정적분을
F(t)라하면
;[!;:)/ dt= ;[!;[F(t)]/)
;[!;:)/ dt=
;[!;:)/ dt=F'(0)=f(0)
;[!;:)/ dt=
;[!;:)/ dt=
;[!;:)/ dt=-;4!;
-;2!;
2
sin {-;6“;}
1+1
F(x)-F(0)xlim
x⁄0
limx⁄0
sin {3t-;6“;}
e† +1limx⁄0
sin {3t-;6“;}
e† +1
20-1⑤ 20-2 4 20-3 3 20-4⑤
20 정적분으로정의된함수
20-1
:A/ f(t)dt=(x-a)e≈ +x-2 yy㉠㉠
x=a를㉠에대입하면
:Aa f(t)dt=(a-a)eå +a-2
a-2=0, a=2
㉠의양변을 x에대하여미분하면
f(x)=e≈ +(x-a)e≈ +1
f(x)=(x-1)e≈ +1
따라서 f(a)=f(2)=e¤ +1
20-2
주어진식의양변에 x=1을대입하면
f(1)=:!1 sin (t¤ -4)dt+2
f(1)=0+2=2=a
즉, a=2
주어진식의양변을 x에대하여미분하면
f '(x)=sin(x¤ -4)
다시이식의양변을 x에대하여미분하면
f"(x)={cos(x¤ -4)}_2x
따라서 f"(a)=f"(2)
따라서 f"(a)=cos 0_4=4
20-3
주어진식의양변을 x에대하여미분하면
f(x)+xf '(x)=1+f(x)
x>0이므로 f '(x)=;[!;
따라서 f(x)=: f '(x)dx
따라서 f(x)=: ;[!; dx
따라서 f(x)=ln x+C (단, C는적분상수)
본문 47쪽유형
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 23
21-1 1 21-2③ 21-3④ 21-4 6
21-5③ 21-6⑤ 21-7⑤ 21-8⑤
21 도형의넓이
21-1
구하는넓이를S라하면
S=:)
;2“;
sin x dx
S=[-cos x]);2“;
S=0-(-1)
S=1
21-2
a>0이므로 0…x…1에서 a sin¤ pxæ0이다.
구하는넓이를S라하면
S=:)1 a sin¤ pxdx
S=:)1 ;2A;(1-cos 2px)dx
S=[;2A;{x-;2¡ç; sin 2px}]1)
S=;2A;
따라서 ;2A;=1이므로 a=2이다.
21-3
0…x…2p일 때, 함수 f(x)=sin 2x-2 cosx의 그래프와 x
축이만나는교점의 x좌표는
sin 2x-2cos x=0에서
2sinxcos x-2cos x=0
2(sin x-1)cos x=0
sin x=1또는 cos x=0
x=;2“;또는 x=;2#;p
;2“;…x…;2#;p일때, sin 2x-2cosxæ0이므로구하는넓이를
S라하면
S=:;2“;
;2#;p
(sin 2x-2cos x)dx
S=[-;2!;cos 2x-2sinx];2“;
;2#;p
y
O
1
xp2
y=sin x
본문 49쪽, 51쪽유형
S={;2!;+2}-{;2!;-2}=4
21-4
S¡=:)3 {-f(x)}dx=6
S™=:#6 f(x)dx=18
한편, 정적분 :)3 f(2x)dx에서 2x=t로놓으면 =2이고,
x=0일때 t=0, x=3일때 t=6이므로
:)3 f(2x)dx=;2!;:)6 f(t)dt
:)3 f(2x)dx=;2!;[:)3 f(t)dt+:#6 f(t)dt]
:)3 f(2x)dx=;2!;[-:)3 {-f(t)}dt+:#6 f(t)dt]
:)3 f(2x)dx=;2!;(-6+18)=6
21-5
f(x)=1-3e—≈ 에서
f '(x)=3e—≈
1-3e—≈ =3e—≈ 에서
e—≈ =;6!;, -x=-ln6이므로
x=ln6
따라서구하는넓이는
:)
ln6
(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=:)
ln6
(6e—≈ -1)dx
:)
ln6
(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=[-6e—≈ -x]ln 6
)
:)
ln6
(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=-6e-ln6-ln6+6
:)
ln6
(3e—≈ -1+3e—≈ )dx=5-ln6
O ln 6
-2
3 y=3e—≈
y=1-3e—≈
y
x
dtdx
24 수능열기 / 수학가
21-6
함수 f(x)=e≈ —å의그래프와역함수 y=g(x)의그래프가한
점 (1, g(1))에서만만나므로
g(1)=f(1)=1
즉, 1=e⁄ —å에서 a=1이므로
f(x)=e≈ —⁄
y=f(x)와 y=g(x)는역함수관계에있으므로구하는넓이는
곡선 y=f(x)와 y축및직선 y=x로둘러싸인부분의넓이의
2배이다.
따라서
2:)1 (e≈ —⁄ -x)dx=2[e≈ —⁄ -;2!;x¤ ]1)
2:)1 (e≈ —⁄ -x)dx=2-1-;e@;
2:)1 (e≈ —⁄ -x)dx=1-;e@;
21-7
두곡선의교점의 x좌표는 sin x=cosx에서
x=;4“;또는 x=;4%;p
0…x…;4“;에서 cosxæsinx
;4“;…x…;4%;p에서 sinxæcosx
;4%;p…x…2p에서 cosxæsinx
따라서구하는넓이를S라하면
S=:)
;4“;
(cos x-sin x)dx+:;4“;
;4%;p
(sin x-cos x)dx
+:;4%;p
2p
(cos x-sin x)dx
S=[sin x+cosx]0
;4“;
+[-cos x-sinx];4“;
;4%;p
+[sin x+cosx];4%;p
2p
S=('2-1)+2'2+(1+'2)
S=4'2
y=sin x
y=cos x
O
x=2p
2p
y
p4
54p
xp
21-8
0…x…;3“;에서
f {;3“;}=tan ;3“;='3, f {;6“;}=tan ;6“;=
이고, 함수 f(x)의역함수가 g(x)이므로
g('3)= ;3“;, g{ }= ;6“;
그림과같이 :
'3
g(x)dx는영역A의넓이이고,
:
g('3)
tanxdx=:;6“;
;3“;
tanxdx는영역B의넓이와같다.g{;;3;;
'3}
따라서구하는값은두영역A와B의넓이의합과같으므로
'3_;3“;- _;6“;= p5'318
'33
'33
BA
O
y=tan xy=x
y=g(x)
y
'3
'3 x
p6
p3
'33 p
3
'33
'33
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 25
22-1③ 22-2② 22-3① 22-4③
22 입체도형의부피
22-1
x축에수직인평면으로자른단면의넓이를S(x)라하면
S(x)= { }2=
따라서구하는부피를V라하면
V=:!2 S(x)dx
V=:!2 dx
V='3 [lnx]2!
V='3 ln 2
22-2
원점에서 x만큼떨어진 x축위의점에서 x축에수직으로자른
입체도형의단면은한변의길이가
sinx-(-sinx)=2sinx
인정사각형이므로단면의넓이를 T(x)라하면
T(x)=4sin¤ x
따라서구하는입체도형의부피는
:)» T(x)dx=:)» 4sin¤ xdx
:)» T(x)dx=:)» 4_ dx
:)» T(x)dx=:)» 2(1-cos2x)dx
:)» T(x)dx=2[x-;2!;sin2x]»)
:)» T(x)dx=2p
22-3
이웃하는두변의길이가 p, cos'∂px인직사각형의넓이를
S(x)라하면
S(x)=pcos'∂px
따라서구하는입체도형의부피를V라하면
V=p:0
;4“;
cos'∂pxdx
1-cos2x2
'3x
'3x
2
'ßx'34
본문 53쪽유형 이때 '∂px=t라하면 = = 이고,
x=0일때 t=0, x=;4“;일때 t=;2“;이므로
V=p:0
;2“;
_cos tdt
V=2:0
;2“;
tcos tdt
V=2 {[tsint]0
;2“;
-:0
;2“;
sin tdt}
V=2 {;2“;-[-cos t]0
;2“;
}
V=2 {;2“;-1}
V=p-2
22-4
좌표평면을접어두반평면이서로수직이되도록하였을때, 삼
각형PQR는직각삼각형이된다.
PQ”=sin x, PR”=|-;2!;x|
이므로삼각형PQR의넓이를 S(x)라하면
S(x)=;2!;_|-;2!;x|_sinx
S(x)=;4!;xsinx
구하는부피를V라하면
V=:)» ;4!;xsin xdx=;4!;:)» xsin xdx
V=;4!;[-x cosx]»)+;4!;:)» cos xdx
V=;4“;+;4!;[sinx]»)
V=;4“;
2tp
p2t
p2'∂px
dtdx
26 수능열기 / 수학가
01-1② 01-2 48 01-3① 01-4②
01-5① 01-6③ 01-7⑤ 01-8 288
01 경우의수와순열
01-1
오른쪽그림의지점A에서출발하
여지점 P는지나고지점 Q는지
나지 않고 지점 B로 갈 때, 서로
다른 5개의지점을거쳐가는방법
은AFIPJKB, AFGPJKB,
ACGPJKB, ACGFIPB의 4가지이다.
지점 A에서 출발하여 지점 Q는 지나고 지점 P는 지나지 않고
지점B로갈때, 서로다른 5개의지점을거쳐가는방법은
ACDEHQB, AFGCDQB의 2가지이다.
지점A에서출발하여두지점 P, Q를거쳐지점 B로갈때, 서
로다른 5개의지점을거쳐가는방법은
AFIPGQB, ACDQGPB의 2가지이다.
따라서구하는방법의수는
4+2+2=8
01-2
⁄아버지대표를뽑는경우:4가지
¤아버지대표를뽑은후어머니대표를뽑는경우:3가지
‹아버지 대표, 어머니 대표를 뽑은 후 자녀 대표를 뽑는 경
우:4가지
따라서구하는경우의수는
4_3_4=48
01-3
⁄ c=1인경우: a+3b=20이므로순서쌍(a, b)는
⁄ (2, 6), (5, 5)의2가지
¤ c=2인경우: a+3b=15이므로순서쌍(a, b)는
⁄ (3, 4), (6, 3)의2가지
‹ c=3인경우: a+3b=10이므로순서쌍(a, b)는
⁄ (1, 3), (4, 2)의2가지
› c=4인경우: a+3b=5이므로순서쌍(a, b)는
⁄ (2, 1)의1가지
따라서구하는순서쌍(a, b, c)의개수는
2+2+2+1=7
01-4
네가지색을빨간색, 파란색, 노란색, 검정색이라하자.
빨간색으로칠한면을바닥에닿도록정육면체를놓으면윗면에
빨간색으로 칠하는 경우와 빨간색을 칠하지 않는 경우의 두 가
지로나누어생각할수있다.
⁄윗면에빨간색을칠하는경우
⁄옆면에칠하는방법은빨간색을제외한세가지색중에서한
가지색을두번칠해야한다. 두번칠하는색을고르는방법
의수는 3이다.
⁄그런데 두 번 칠하는 색은 서로 이웃할 수 없으므로 칠하는
방법의수는 1이다.
⁄따라서 3_1=3
¤윗면에빨간색을칠하지않는경우
⁄윗면에칠할색을고르는방법의수가 3이다. 옆면에는남은
두가지색을두번씩번갈아가며칠해야하므로칠하는방법
의수는 1이다.
⁄따라서 3_1=3
⁄, ¤에서구하는방법의수는
3+3=6
01-5
«P™+«≠¡P™=«≠£P™에서
n(n-1)+(n+1)n=(n+3)(n+2)
n¤ -5n-6=0, (n+1)(n-6)=0
따라서n=6
01-6
A보다B가본사로부터거리가먼지사에발령이나야하므로다
음과같이경우를나누어생각한다.
⁄ A가‘가’지사에발령이나는경우
⁄‘나’지사에나머지사람을발령하는경우의수는 B를제외한
3가지이므로각지사에발령하는경우의수는
⁄ 3_£P£=3_3_2_1=18
¤ A가‘나’지사에발령이나는경우
Ⅴ.순열과조합본문 55, 57쪽
유형
확률과통계
A E
HF
I
QG
C D
BP
J K
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 27
⁄‘가’지사에나머지사람을발령하는경우의수는 B를제외한
3가지이므로각지사에발령하는경우의수는
⁄ 3_£P£=3_3_2_1=18
‹ A가‘가’, ‘나’지사이외의곳에발령이나는경우
⁄‘가’, ‘나’지사에나머지사람을발령하는경우의수는 £P™이
고나머지의곳에A, B를포함하여세명을발령하는경우의
수는3가지뿐이므로구하는경우의수는
⁄ £P™_3=18
따라서⁄~‹에서구하는 경우의수는
18+18+18=54
01-7
이웃하는짝수를하나로묶어서생각한다.
⁄짝수2, 4, 6을일렬로나열하는경우의수는 £P£=6
¤홀수3개와짝수묶음1개를일렬로나열하는경우의수는
¤ ¢P¢=24
따라서구하는경우의수는
6_24=144
01-8
두쌍의부부를커플좌석에배정하는방법의수는
2_2!_2!=8
남은여자 3명과남자 2명을개인별좌석에여자끼리이웃하도록
배정하는방법의수는
3!_3!=36
따라서구하는경우의수는
8_36=288
02-1④ 02-2④ 02-3⑤ 02-4 30
02 조합
02-1
«C£= , «P™=n(n-1)이므로
«C£-«P™= _(n-2-6)=0
næ3이므로n=8
02-2
5일중 3일을선택하여요가를하는방법의수는
∞C£=∞C™= =10
나머지 2일중하루를수영, 줄넘기중한가지를하고남은하루
는농구, 축구중한가지를하는방법의수는
2_2_2=8
따라서구하는방법의수는
10_8=80
02-3
동아리의대표를뽑을수있는전체경우의수는
•C£=56
이중에서여자가한명도뽑히지않는경우의수는
∞C£_£Cº=10
따라서구하는경우의수는
56-10=46
02-4
⁄ A, B가공통으로가입한동아리가 1개인경우
⁄공통으로가입하는동아리 1개를선택하고이를제외한 3개
의동아리중에서 A, B가각각하나씩택하면되므로구하
는경우의수는
⁄ ¢C¡_3_2=24
¤ A, B가공통으로가입한동아리가없는경우
⁄ A가 2개의동아리를선택한후B가나머지중에 2개의동아
리를선택하면되므로구하는경우의수는
⁄ ¢C™_™C™=6
따라서⁄, ¤에서구하는경우의수는
24+6=30
5_4
2
n(n-1)6
n(n-1)(n-2)3!
본문 59쪽유형
28 수능열기 / 수학가
03-1② 03-2 144 03-3③ 03-4④
03-5① 03-6① 03-7② 03-8②
03 여러가지순열
본문 61, 63쪽유형
03-1
철수와 영희가 이웃하거나 마주보는 경우로 나누면 다음과 같
다.
⁄철수와영희가이웃하는경우
⁄철수와영희를하나로생각하여원순열로나열한후철수와
영희가자리를바꾸는경우를생각하면된다.
⁄그러므로구하는경우의수는
⁄ (5-1)!_2!=48
¤철수와영희가마주보는경우
⁄철수와영희가마주보도록앉은후나머지 4명은나머지네
자리에앉으면된다.
⁄그러므로구하는경우의수는
⁄ 4!=24
따라서⁄, ¤에의하여구하는경우의수는
48+24=72
03-2
그림과 같이 어른 4명을 먼저 원탁
의○자리에앉히는경우의수는
(4-1)!=3!
어른 사이의 4개의 □ 자리에 어린
이 3명을앉히는경우의수는 ¢P£
따라서구하는경우의수는
3!_¢P£=6_24=144
03-3
5의개수에따라각경우로나누어구하면다음과같다.
⁄ 5가한개인경우
⁄ 5가한개인경우 5가들어갈자리는 3개중하나이고이각
각에대하여나머지자리에는 1, 2, 3, 4를중복하여넣으면
된다.
⁄그러므로구하는경우의수는
⁄ 3_¢P™=3_4¤ =3_16=48
¤ 5가없는경우
⁄ 1, 2, 3, 4를중복하여세자리에넣으면된다.
⁄그러므로구하는경우의수는
⁄ ¢P£=4‹ =64
따라서⁄, ¤에서구하는경우의수는
48+64=112
03-4
A, B가서로다른세종류의노트중서로다른종류의노트를
받아야하므로경우의수는
£P™=6
이각각에대하여나머지 4명은노트를각각한권씩받으면되
므로경우의수는
£P¢=3› =81
따라서구하는경우의수는
6_81=486
03-5
a의개수에따라각경우로나누면다음과같다.
⁄ a가 1개인경우
⁄ b는 4개를사용해야하므로구하는경우의수는
⁄ =5
¤ a가 3개인경우
⁄ b는 2개를사용해야하므로구하는경우의수는
⁄ =10
따라서⁄, ¤에서구하는경우의수는
5+10=15
03-6
⁄ 3개의문자 i, o, o가이웃하므로 3개의문자를하나로보고
⁄배열한다음자리를바꾸는경우의수는
¤ g가 s보다항상왼쪽에있도록배열하는경우는이두문자
를모두A로놓고배열한것과같다.
⁄따라서 i, o, o를묶어서 B로생각하면 A, A, B, h, h, h,
c, l을배열하는경우의수는
⁄
따라서구하는경우의수는
8!
3!2!
3!
2!
5!
3!2!
5!
1!4!
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 29
_ =
10개의문자 h, i, g, h, s, c, h, o, o, l에서 i, o, o를제외하고
g, s를B로놓은 7개의문자 h, B, h, B, c, h, l을그림과같이
□의자리에배열하는경우의수는
이때 i, o, o를한문자A로보고 8개의○중한자리에배열하
는경우의수는
8_
따라서구하는경우의수는
_8_ =
03-7
[그림 1] [그림 2]
구하는경우의수는 [그림 2]의A지점에서출발하여B지점까지
최단거리로 가는 경우의 수에서 A ⁄ P⁄ Q⁄ B로 가는 경
우의수를뺀것과같다.
따라서구하는경우의수는
- =35-10=25
⁄ A ⁄ P⁄ B로가는경우의수는
⁄ _ =2_10=20
¤ A ⁄ Q⁄ B로가는경우의수는
⁄ 1_ =55!
4!1!
5!
3!2!
2!
1!1!
A
Q
P
B
다른풀이
5!
2!3!
7!
4!3!
A QP
B
A QP
B
8!
4
3!
2!
7!
3!2!
3!
2!
7!
3!2!
다른풀이
8!
4
3!
2!
8!
3!2!
⁄, ¤에서구하는경우의수는
20+5=25
03-8
A지점에서C지점으로이동하는방법의수는
=10
C지점에서B지점으로이동하는방법의수는
=15이므로
l=10_15=150
A지점에서D지점으로이동하는방법의수는
=5
D지점에서B지점으로이동하는방법의수는
=20이므로
m=5_20=100
A지점에서E지점으로이동하는방법의수는 1, E지점에서B
지점으로이동하는방법의수는 =15이므로
n=1_15=15
따라서
l-m+n=150-100+15
l-m+n=65
6!
2!4!
6!
3!3!
5!
4!1!
6!
4!2!
5!
3!2!
30 수능열기 / 수학가
04-1③ 04-2④ 04-3③ 04-4 28
04-5④ 04-6③ 04-7 84 04-8 192
04 중복조합
04 -1
학생 6명을A, B, C, D, E, F라하자.
이중에서다섯명의학생A, B, C, D, E만볼펜을받는경우
의수를생각해보자.
A, B, C, D, E의다섯명의학생에게볼펜을한개씩나누어
준후남은 4개를다시 A, B, C, D, E의다섯명의학생에게
나누어주는경우의수와같으므로
∞H¢=∞≠¢–¡C¢=•C¢= =70
볼펜을받는다섯사람을택하는경우의수는
§C∞=§C¡=6
따라서구하는경우의수는
§C∞_∞H¢=6_70=420
04 -2
파란공 5개를서로다른 4개의상자에남김없이나누어담는경
우의수는서로다른 4개에서중복을허락하여 5개를택하는조
합의수와같으므로
¢H∞=¢≠∞–¡C∞=•C∞=•C£= =56
04-3
사과맛사탕과딸기맛사탕을각각한개씩꺼내어상자에담
고, 사과맛사탕, 딸기맛사탕, 자두맛사탕중에서 8개를꺼내
상자에담으면된다.
즉, 구하는경우의수는서로다른세종류의사탕중에서 8개를
택하는중복조합의수와같다.
따라서구하는경우의수는
£H•=£≠•–¡C•=¡ºC•=¡ºC™= =45
04-4
바나나우유 3팩을먼저구입하고, 나머지는 3종류의우유중중
복을허락하여 6팩을구입하면된다.
따라서구하는경우의수는
£H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™
10_92
8_7_63_2_1
8_7_6_54_3_2_1
본문 65, 67쪽유형 £H§= =28
⑴서로다른 n개에서 r개를택하여일렬로나열하는경우의수
: «P®
⑵서로다른 n개에서 r개를택하는경우의수: «C®
⑶서로다른 n개에서중복을허락하여 r개를택하는경우의수
: «H®=«≠®–¡C®
04-5
음이아닌정수 x', y', z', u'에대하여
x=x'+2, y=y'+2, z=z'+1, u=u'+1
이라하면 xæ2, yæ2, zæ1, uæ1이성립한다.
x+y+z+u=12
(x'+2)+(y'+2)+(z'+1)+(u'+1)=12
x'+y'+z'+u'=6
따라서구하는순서쌍 (x, y, z, u)의개수는방정식
x'+y'+z'+u'=6을만족시키는음이아닌정수 x', y', z',
u'의순서쌍 (x', y', z', u')의개수와같으므로
¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£= =84
04-6
임의의 x¡<A, x™<A에대하여 x¡<x™일때,
f(x¡)…f(x™)가 성립하고 f(2)=2이므로 f(1)은 1 또는 2이
다.
한편집합A의원소 3, 4, 5는집합B의원소 2, 3, 4, 5, 6 중의
하나와 대응이 되므로 5개의 원소에서 중복을 허락하여 3개의
원소를택하여크기순으로작은것부터 3, 4, 5에차례로대응
시키면된다.
이러한함수의개수는서로다른 5개에서중복을허락하여 3개
를택하는경우의수 ∞H£과같다.
그러므로함수 f의개수는
2_∞H£=2_¶C£=2_ =70
04-7
a=10k+10, b=10l+10, c=10m+10, d=10n+10 (k, l,
m, n은음이아닌정수)으로놓으면 a+b+c+d=100은다음
과같다.
(10k+10)+(10l+10)+(10m+10)+(10n+10)=100
7_6_53_2_1
9_8_73_2_1
참고
8_72_1
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 31
따라서 k+l+m+n=6 yy㉠
㉠을만족시키는음이아닌정수 k, l, m, n의순서쌍
(k, l, m, n)의개수는
¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£= =84
04-8
조건㈎를만족시키는함수 f의개수는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 6개의
숫자에서중복을허락하여 5개를뽑는조합의수와같으므로
§H∞=§≠∞–¡C∞=¡ºC∞= =252
이중에서 f(3)=3을만족시키는함수 f의개수는
£H™_¢H™=¢C™_∞C™=6_10=60
따라서구하는함수 f의개수는
252-60=192
f(3)=1인경우 1_§H™=¶C™=21
f(3)=2인경우 ™H™_∞H™=£C™_§C™=3_15=45
f(3)=4인경우 ¢H™_£H™=∞C™_¢C™=10_6=60
f(3)=5인경우 ∞H™_™H™=§C™_£C™=15_3=45
f(3)=6인경우 §H™_1=¶C™=21
따라서구하는함수 f의개수는
21+45+60+45+21=192
다른풀이
10_9_8_7_65_4_3_2_1
9_8_73_2_1
05-1 160 05-2③ 05-3⑤ 05-4①
05-5⑤ 05-6② 05-7⑤ 05-8③
05 이항정리
05-1
다항식 (2x+a)fi의전개식에서일반항은
∞C®(2x)fi —® a®
x‹항은 5-r=3에서 r=2일때이므로 x‹의계수는
∞C™_2‹ _a¤ =80a¤ =320
a¤ =4이고 a>0이므로 a=2
따라서 x›의계수는 5-r=4에서 r=1일때이므로
∞C¡_2› _2=5_2fi =160
05-2
{x¤ -;[@;}6의전개식에서일반항은
§C® (x¤ )6-r{-;[@;}r=§C®_(-2)® _x12-2r_x—®
§C® (x¤ )6-r{-;[@;}r=§C®_(-2)® _x12-3r
따라서상수항은 12-3r=0, 즉 r=4일때이므로구하는상수
항은
§C¢_(-2)› =§C™_(-2)›
§C¢_(-2)› = _16
§C¢_(-2)› =240
05-3
(x+3)fi의전개식에서일반항은
∞C®xfi —® 3®
다항식 (2x+1)(x+3)fi의 전개식에서 x‹항은 다음과 같은 경
우에만들어진다.
⁄ 2x+1에서상수항과 (x+3)fi에서 x‹항이곱해지는경우
1_∞C™_x‹ _3¤ =90x‹
¤ 2x+1에서 x항과 (x+3)fi에서 x¤항이곱해지는경우
2x_∞C£_x¤ _3‹ =∞C™_54x‹ =540x‹
⁄, ¤에서 x‹의계수는
90+540=630
6_52_1
본문 69, 71쪽유형
32 수능열기 / 수학가
05-4
{x¤ -;[A;} fi의전개식에서일반항은
∞C®(x¤ )fi —® {-;[A;} ® =∞C®(-a)® x⁄ ‚ —‹ ®
이때 x›항은 r=2일때이므로 x›의계수는
∞C™(-a)¤ =10a¤
x항은 r=3일때이므로 x의계수는
∞C£(-a)‹ =-10a‹
x›의계수와 x의계수가같으므로
10a¤ =-10a‹ , a¤ (a+1)=0
따라서 a=0또는 a=-1
a+0이므로 a=-1
05-5
¡¡C®=¡¡C¡¡–® (r=0, 1, 2, y, 11)이므로
¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+¡¡C£+¡¡C¢+¡¡C∞
=¡¡C§+¡¡C¶+¡¡C•+¡¡Cª+¡¡C¡º+¡¡C¡¡
¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+y+¡¡C¡¡=2⁄ ⁄에서
2(¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+¡¡C£+¡¡C¢+¡¡C∞)=2⁄ ⁄
따라서
¡¡Cº+¡¡C¡+¡¡C™+¡¡C£+¡¡C¢+¡¡C∞=2⁄ ‚ =1024
05-6
(2x+1)⁄ ‚ =¡ºCº+¡ºC¡(2x)+¡ºC™(2x)¤ +y+¡ºC¡º(2x)⁄ ‚
(2x+1)⁄ ‚ =1+2¡ºC¡x+2¤ ¡ºC™x¤ +2‹ ¡ºC£x‹ +y
+2⁄ ‚ ¡ºC¡ºx⁄ ‚
이식의양변을 x에대하여미분하면
10(2x+1)· ¥2
=2¥¡ºC¡+2¥2¤ ¡ºC™x+3¥2‹ ¡ºC£x¤ +y+10¥2⁄ ‚ ¡ºC¡ºx·
yy㉠
㉠`의양변에 x=1을대입하면
20_3· =2¡ºC¡+2¥2¤ ¡ºC™+3¥2‹ ¡ºC£+y+10¥2⁄ ‚ ¡ºC¡º
이므로구하는값은 20_3·이다.
05-7
(1+x)« =«Cº+«C¡x+«C™x¤ +y+«C«x«이므로
x=2, n=40을대입하면
N=¢ºCº+¢ºC¡¥2+¢ºC™¥2¤ +¢ºC£¥2‹ +y+¢ºC¢º¥2› ‚
N=(1+2)› ‚
즉, N=3› ‚
logN=log 3› ‚ =40 log3=40_0.4771=19.084
즉, 19…log N<20이므로N은 20자리의자연수이다.
그러므로 k=20
log 1<0.084<log2이므로최고자리숫자는 1이다.
그러므로 a=1
3⁄ =3, 3¤ =9, 3‹ =27, 3› =81, 3fi =243, y
에서일의자리숫자는 3, 9, 7, 1이반복되므로
40=4_10에서 b=1
따라서 k+a-b=20+1-1=20
05-8
™¡C¡+™¡C£+™¡C∞+y+™¡C™¡=2¤ ⁄ —⁄ =2¤ ‚이므로
N= ™¡C™®≠¡=™¡C£+™¡C∞+y+™¡C™¡
N=2¤ ‚ -™¡C¡=2¤ ‚ -21
n=1, 2, 3, y일때, 2«의일의자리숫자를차례로나열하면
2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, y
과같이 2, 4, 8, 6이반복되므로 2¤ ‚의일의자리숫자는 6이다.
따라서 2¤ ‚ -21의일의자리숫자는 6-1=5이다.
10¡
r=1
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 33
06-1
홀수 k개의합이홀수가되려면 k는홀수이어야한다.
1개의수:9
3개의수:7+1+1, 5+3+1, 3+3+3
5개의수:5+1+1+1+1, 3+3+1+1+1
7개의수:3+1+1+1+1+1+1
9개의수:1+1+1+1+1+1+1+1+1
따라서서로다른분할은모두 8개이다.
06-2
같은종류의봉지 5개에빈봉지가없도록같은종류의사탕 9개
를남김없이나누어담는경우는자연수 9를 5개의자연수로분
할하는경우와같으므로, 그수는P(9, 5)이다.
따라서자연수 9를 5개의자연수로분할하면
9=5+1+1+1+1=4+2+1+1+1
9=3+3+1+1+1=3+2+2+1+1
9=2+2+2+2+1
이므로구하는경우의수는 5이다.
06-3
같은종류의단추 7개를같은모양의상자에넣어보관하는모든
방법의수는 7개의분할의방법의수와같으므로
7=6+1=5+2=4+3
7=5+1+1=4+2+1=3+3+1=3+2+2
7=4+1+1+1=3+2+1+1=2+2+2+1
7=3+1+1+1+1=2+2+1+1+1=2+1+1+1+1+1
7=1+1+1+1+1+1+1
이므로구하는경우의수는 15이다.
06-4
⁄두명의학생을 3명인조에넣는경우
⁄ •C¡_¶C£_¢C¢=280
¤두명의학생을 4명인조에넣는경우
⁄ •C™_§C£_£C£_ =280
⁄, ¤에서구하는경우의수는 280+280=560
1
2!
06-1② 06-2④ 06-3③ 06-4 560
06 분할
본문 73쪽유형
07-1⑤ 07-2③ 07-3② 07-4②
07-5② 07-6① 07-7⑤ 07-8①
07-9⑤ 07-10⑤ 07-11④ 07-12④
07 확률의뜻과활용
07-1
6장의카드가들어있는상자에서임의로 2장의카드를동시에
뽑는경우의수는
§C™= =15
뽑은 2장의카드에적혀있는두수가서로소인경우는
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 3), (2, 5)
(3, 4), (3, 5)
(4, 5)
(5, 6)
따라서구하는확률은 ;1!5!;이다.
07-2
임의로두장의카드를차례로뽑을때나올수있는모든경우
의수는
10_9=90
a+b=8에서 a=i라하면 b=8-i
1…a…10, 1…b…10, a+b에서 i=1, 2, 3, 5, 6, 7로
6(가지)
따라서구하는확률은
;9§0;=;1¡5;
07-3
흰공 7개와검은공 3개를모두일렬로배열하는경우의수는
10개의 공 중에서 검은 공 3개가 놓일 3자리를 택하는 조합의
수와같으므로
¡ºC£=120
검은공 3개가서로이웃하지않도록배열되는경우의수는흰
공 7개를먼저배열하고그사이와양끝의 8개의자리중에서
검은공 3개가놓일 3자리를택하는조합의수와같으므로
•C£=56
6_52_1
본문 75, 79쪽유형
Ⅵ.확률
34 수능열기 / 수학가
따라서구하는확률은
;1∞2§0;=;1¶5;
07-4
두주사위A, B를던져서나올수있는순서쌍 (a, b)의개수는
6_6=36
등식 ab-5a-2b+6=0에서 (a-2)(b-5)=4를 만족시키
는순서쌍 (a, b)는 (6, 6), (1, 1)의 2개이므로구하는확률은
;3™6;=;1¡8;
07-5
이학급의학생중에서임의로한명을택할때, 이학생이야구
경기를관람한경험이있는학생인사건을A, 축구경기를관람
한경험이있는학생인사건을B라하면
P(A)=;3!6@;, P(B)=;3!6(;, P(A'B)=;3@6);
따라서
P(A;B)=P(A)+P(B)-P(A'B)
P(A;B)=;3!6@;+;3!6(;-;3@6);
P(A;B)=;3!6!;
07-6
10장의 카드 중에서 임의로 3장의 카드를 동시에 택하는 모든
경우의수는
¡ºC£= =120
카드에적힌숫자가모두홀수인사건을A, 모두짝수인사건을
B라하면두사건은서로배반사건이고 1부터 10까지의자연수
중홀수가 5개, 짝수가 5개있으므로
n(A)=∞C£=∞C™= =10
n(B)=∞C£=∞C™=10
이때A;B=Δ이므로구하는확률은P(A'B)=P(A)+P(B)
P(A'B)=;1¡2º0;+;1¡2º0;=;1™2º0;=;6!;
07-7
P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)=;3!;
5_42_1
10_9_83_2_1
P(B;AÇ )=P(B)-P(A;B)=;4!;
따라서P(A)+P(B)=2P(A;B)+;1¶2;이므로
;4#;=2P(A;B)+;1¶2;
즉, P(A;B)=;1¡2;
따라서
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
P(A'B)=;4#;-;1¡2;=;1•2;=;3@;
07-8
각학생이가위, 바위, 보중하나를낼수있으므로 4명의학생
이가위바위보를동시에한번할때가능한모든경우의수는
3_3_3_3=81
⁄ 4명이모두같은것을내는경우
⁄ 4명이가위, 바위, 보 중낸것을정하는경우의수는 3이므
로 4명이모두같은것을낼확률은
⁄ ;8£1;=;2¡7;
¤ 4명이세가지를다내는경우
⁄같은것을내는 2명을정하는경우의수는 ¢C™
⁄같은것을내는 2명이가위, 바위, 보 중 낸것을정하는경
우의수는 3
나머지 2명이같은것을낸 2명이내지않은것을각각내는
경우의수는 2!이므로 4명이세가지를다낼확률은
⁄ = =;9$;
⁄, ¤에서구하는확률은
;2¡7;+;9$;=;2!7#;
각학생이가위, 바위, 보중하나를낼수있으므로 4명의학생
이가위바위보를동시에한번할때가능한모든경우의수는
3_3_3_3=81
⁄한명이이기는경우
⁄이기는한명을정하는경우의수는 ¢C¡
⁄이기는한명이가위, 바위, 보중낸것을정하는경우의수
는 3이므로한명이이길확률은
⁄ = =;2¢7;4_381
¢C¡_381
다른풀이
6_3_281
¢C™_3_2!81
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 35
¤두명이이기는경우
이기는두명을정하는경우의수는 ¢C™
이기는두명이가위, 바위, 보중낸것을정하는경우의수
는 3이므로두명이이길확률은
⁄ = =;9@;
‹세명이이기는경우
이기는세명을정하는경우의수는 ¢C£
이기는세명이가위, 바위, 보중낸것을정하는경우의수
는 3이므로세명이이길확률은
⁄ = =;2¢7;
⁄, ¤, ‹에서이기는사람이정해지지않을확률은
1-{;2¢7;+;9@;+;2¢7;}=1-;2!7$;=;2!7#;
07-9
임의로 3명을선택할때, 적어도한명이여학생인사건을 A라
하면 A의여사건 AÇ 은임의로 3명을선택할때 3명이모두남
학생인사건이므로
P(AÇ )= =;1™2º0;=;6!;
따라서
P(A)=1-P(AÇ )
P(A)=1-;6!;
P(A)=;6%;
07-10
6명을 2명씩 3팀으로나누는경우의수는
§C™_¢C™_™C™_ =15_6_1_;6!;=15
한팀이여학생만으로구성되는사건의여사건은 3팀이모두남
학생 1명과여학생 1명으로구성되는사건이다.
3팀이모두남학생 1명과여학생 1명으로구성되는경우의수는
남학생각각에여학생을대응시키는순열의수와같으므로
£P£=3!=6
따라서구하는확률은
1-;1§5;=1-;5@;=;5#;
6명을 2명씩 3팀으로나누는경우의수는
다른풀이
13!
§C£¡ºC£
4_381
¢C£_381
6_381
¢C™_381
§C™_¢C™_™C™_ =15_6_1_;6!;=15
여학생만으로한팀을구성할여학생 2명을택하는경우의수는
£C™=3
남학생만으로한팀을구성할남학생 2명을택하는경우의수는
£C™=3
나머지한팀은팀을구성하지않은여학생 1명과남학생 1명으
로구성하면된다.
따라서구하는확률은
=;1ª5;=;5#;
07-11
적어도 한 개의 구슬에 적힌 수가 짝수인 사건을 A라 하면 AÇ
은 2개의구슬에적힌수가모두홀수인사건이다.
따라서P(AÇ )= =;2§1;=;7@;이므로구하는확률은
P(A)=1-P(AÇ )
P(A)=1-;7@;
P(A)=;7%;
07-12
9명의회원중에서임의로 3명을선택할때, 적어도한명이지
리산을선택한회원일사건을 A라하면 A의여사건 AÇ 은 3명
모두설악산또는한라산을선택한회원을뽑는사건이다.
P(AÇ )= =;4∞2;
따라서
P(A)=1-P(AÇ )
P(A)=1-;4∞2;
P(A)=;4#2&;
∞C£ªC£
¢C™¶C™
3_3_115
13!
36 수능열기 / 수학가
P(E|A)=
P(E|A)=
P(E|A)=
P(E|A)= =;3!;
따라서 p=3, q=1이므로
p+q=3+1=4
08-5
남학생 19명중에서테니스를선택한남학생이 7명이므로골프
를선택한남학생은 12명이다.
또여학생 17명중에서골프를선택한여학생이 9명이므로테니
스를선택한여학생은 8명이다.
이 학급의 학생 36명 중에서 임의로 한 명을 뽑았을 때 골프를
선택한학생인사건을A, 남학생인사건을B라하면
P(A)=;3@6!;=;1¶2;, P(A;B)=;3!6@;=;3!;이므로
P(B|A)=
P(B|A)= =;7$;
남학생 19명중에서테니스를선택한남학생이 7명이므로골프
를선택한남학생은 12명이다. 또여학생 17명중에서골프를선
택한여학생이 9명이므로테니스를선택한여학생은 8명이다.
이 학급의 학생 36명 중에서 임의로 한 명을 뽑았을 때 골프를
선택한학생인사건을A, 남학생인사건을B라하면
n(A)=21, n(A;B)=12이므로
P(B|A)=n(A;B)n(A)
다른풀이
;3!;
;1¶2;
P(A;B)P(A)
2121+42
0.3_0.70.3_0.7+0.7_0.6
P(E;A)P(E;A)+P(EÇ ;A)
P(E;A)P(A)
08-1③ 08-2② 08-3① 08-4 4
08-5④ 08-6 28 08-7③ 08-8④
08 조건부확률
08-1
P(B|A)= =;5@;에서
P(A;B)=;5@;P(A)=;5@;_;8%;=;4!;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)이므로
;1!6#;=;8%;+P(B)-;4!;
따라서P(B)=;1¶6;
08-2
P(BÇ )=0.4에서
P(B)=1-0.4=0.6
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)에서
0.8=0.3+0.6-P(A;B)
따라서P(A;B)=0.1이므로
P(B|A)=
P(B|A)= =;3!;
08-3
이동호회회원 250명중에서임의로한명을선택할때이회원
이여성회원인사건을A, 산을선호하는회원인사건을B라하
면
P(A)=;2!5!0);=;2!5!;, P(A;B)=;2¢5∞0;=;5ª0;이므로
P(B|A)=
P(B|A)= =;2ª2;
08-4
임의로뽑은한명이자기주도학습을하는학생일사건을A, 여
학생일사건을E라하면구하는확률은P(E|A)이다.
;5ª0;
;2!5!;
P(A;B)P(A)
0.10.3
P(A;B)P(A)
P(A;B)P(A)
본문 81, 83쪽유형
골프 테니스
남학생 12 7
여학생 9 8
(단위 :명)
골프 테니스
남학생 12 7
여학생 9 8
(단위 :명)
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 37
P(B|A)=;2!1@;=;7$;
08-6
줄다리기에 참가할 학생일 사건을 A, 배드민턴에 참가할 학생
일사건을B라하면
P(A)=;6#0*;, P(A;B)=;6!0*;
따라서구하는확률은
P(B|A)=
P(B|A)= =;3!8*;
P(B|A)=;1ª9;
p=19, q=9이므로
p+q=19+9=28
08-7
⁄ A가검은공, B가검은공, C가흰공을꺼내는경우
⁄이경우의확률은
⁄ ;6$;_;5#;_;4@;=;3@;_;5#;_;2!;=;5!;
¤ A가검은공, B가흰공, C가흰공을꺼내는경우
⁄이경우의확률은
⁄ ;6$;_;5@;_;4!;=;3@;_;5@;_;4!;=;1¡5;
‹ A가흰공, B가검은공, C가흰공을꺼내는경우
⁄이경우의확률은
⁄ ;6@;_;5$;_;4!;=;3!;_;5$;_;4!;=;1¡5;
C가꺼낸공이흰공인사건을E, A가꺼낸공이흰공인사건
을F라하면⁄, ¤, ‹에서
P(E)=;5!;+;1¡5;+;1¡5;=;3!;
P(E;F)=;1¡5;
따라서구하는확률은
P(F|E)=
P(F|E)=;1¡5;
;3!;
P(E;F)
P(E)
;6!0*;
;6#0*;
P(A;B)
P(A)
P(F|E)=;5!;
08-8
5_a_b가홀수인사건을A, 5_a_b가 15 이상인사건을B
라하면구하는확률은
P(B|A)=
5_a_b가홀수이면 a와 b가모두홀수이므로 1 또는 3이적혀
있는 6개의공중에서 2개를꺼내는경우의수와같다.
따라서P(A)=
따라서P(A)=
따라서P(A)=;4!5%;=;3!;
5_a_b가 홀수이면서 15 이상인 경우는 (a, b)의 순서쌍이
(1, 3), (3, 1), (3, 3) 중의하나이어야하므로 1 또는 3이적
혀있는 6개의공중에서 2개를꺼내는경우의수에서 1이적혀
있는공 2개를꺼내는경우의수를빼면된다. 그러므로
P(A;B)=
P(A;B)=
P(A;B)= =;5!;
따라서구하는확률은
P(B|A)=
P(B|A)= =;5#;;5!;
;3!;
P(A;B)P(A)
15-645
6_5 4_3112-1122_1 2_11111112510_91112_1
§C™-¢C™¡ºC™
6_51122_1111210_91112_1
§C™¡ºC™
P(A;B)P(A)
38 수능열기 / 수학가
09-1③ 09-2③ 09-3④ 09-4 10
09 확률의곱셈정리
09-1
주머니 A에서꺼낸공에적혀있는수가짝수인사건을X, 주
머니B에서꺼낸두개의공에적혀있는수의합이홀수인사건
을Y라하자.
⁄주머니A에서짝수인공을한개꺼내주머니B에넣고주머
니 B에서짝수인공한개, 홀수인공한개를동시에꺼내는
경우의확률은
⁄ P(X;Y)=P(X)P(Y|X)
⁄ P(X;Y)=;5@;_
⁄ P(X;Y)=;5@;_;1ª5;
⁄ P(X;Y)=;2§5;
¤주머니A에서홀수인공을한개꺼내주머니B에넣고주머
니 B에서짝수인공한개, 홀수인공한개를동시에꺼내는
경우의확률은
⁄ P(XÇ ;Y)=P(XÇ )P(Y|XÇ )
⁄ P(XÇ ;Y)=;5#;_
⁄ P(XÇ ;Y)=;5#;_;1•5;
⁄ P(XÇ ;Y)=;2•5;
⁄, ¤에서구하는확률은
P(Y)=P(X;Y)+P(XÇ ;Y)
P(Y)=;2§5;+;2•5;
P(Y)=;2!5$;
09-2
첫번째꺼낸카드에적힌수가짝수인사건을A, 두번째꺼낸
카드에적힌수가짝수인사건을B라하자.
⁄첫번째꺼낸카드에적힌수가짝수, 두번째꺼낸카드에적
힌수도짝수인경우
⁄ P(A;B)=P(A)P(B|A)
⁄ P(A;B)=;6#;_;5@;
¢C¡_™C¡§C™
£C¡_£C¡§C™
본문 85쪽유형
⁄ P(A;B)=;5!;
¤첫번째꺼낸카드에적힌수가홀수, 두번째꺼낸카드에적
힌수는짝수인경우
⁄ P(AÇ ;B)=P(AÇ )P(B|AÇ )
⁄ P(AÇ ;B)=;6#;_;5#;
⁄ P(AÇ ;B)=;1£0;
⁄, ¤에서구하는확률은
P(B)=P(A;B)+P(AÇ ;B)
P(B)=;5!;+;1£0;=;2!;
09-3
현민이가주사위를처음던질때 5 이상의눈의수가나올확률
은
;6@;=;3!;
또, 처음에 2 이하의눈이나오고두번째로던진주사위에서 5
이상의눈의수가나올확률은
;6@;_;6@;=;9!;
따라서구하는확률은
;3!;+;9!;=;9$;
09-4
주어진시행에서흰공이 2개나오려면정사면체의눈의수가 2
또는 3이어야한다.
주어진시행에서흰공이 2개나오는사건을X라하자.
⁄정사면체의눈의수가 2이고, 흰공이 2개나올확률
⁄정사면체의눈의수가 2인사건을A라하면
⁄ P(A)=;4!;
⁄ P(X|A)는주머니에서 2개의공을꺼낼때흰공이 2개나
올확률이므로
⁄ P(X|A)= =;6#;=;2!;
⁄따라서P(A;X)=P(A)P(X|A)
⁄따라서P(A;X)=;4!;_;2!;
⁄따라서P(A;X)=;8!;
£C™¢C™
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 39
¤정사면체의눈의수가 3이고, 흰공이 2개나올학률
⁄정사면체의눈의수가 3인사건을B라하면
⁄ P(B)=;4!;
⁄ P(X|B)는주머니에서 3개의공을꺼낼때흰공이 2개나
올확률이므로
⁄ P(X|B)= = =;4#;
⁄따라서P(B;X)=P(B)P(X|B)
⁄따라서P(B;X)=;4!;_;4#;
⁄따라서P(B;X)=;1£6;
(A;X);(B;X)=Δ, (A;X)'(B;X)=X이므로
p=P(X)=P(A;X)+P(B;X)
p=P(X)=;8!;+;1£6;
p=P(X)=;1∞6;
따라서 32p=32_;1∞6;=10
3_14
£C™_¡C¡¢C£
10-1② 10-2② 10-3 499 10-4④
10 사건의독립과독립시행의확률
10-1
두사건A, B가서로독립이므로
P(A|B)=P(A)=;8#;
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)
P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A'B)=;8#;+P(B)-;8#;P(B)
P(A'B)=;8#;+;8%;P(B)
P(A'B)=;5#;
;8%;P(B)=;5#;-;8#;=;4ª0;이므로
P(B)=;2ª5;
따라서
P(A;BÇ )=P(A)-P(A;B)
P(A;BÇ )=P(A)-P(A)P(B)
P(A;BÇ )=P(A){1-P(B)}
P(A;BÇ )=;8#;_{1-;2ª5;}
P(A;BÇ )=;8#;_;2!5^;=;2§5;
10-2
두사건A, C가서로독립이므로두사건AÇ , C도서로독립이다.
따라서
P(AÇ ;C)=P(AÇ )P(C)
P(AÇ ;C)=P(AÇ )_;5@;=;1£0;
에서P(AÇ )=;4#;이므로
P(A)=1-P(AÇ )=1-;4#;=;4!;
두사건A, B가서로배반사건이므로
P(A'B)=P(A)+P(B)
P(A'B)=;4!;+;3!;=;1¶2;
본문 87쪽유형
40 수능열기 / 수학가
10-3
이농구선수의 2점슛성공률이 75 %이므로 2점슛이성공할
확률은 ;4#;이다.
이농구선수가 2점슛을 4번던졌을때 2번이상성공하는사건
을 A라하면 A의여사건 AÇ 은한번도성공하지못하거나한
번만성공하는사건이다.
⁄이농구선수가 2점슛을 4번던졌을때한번도성공하지못
할확률은
¤ ¢Cº{;4#;}‚ {;4!;}› =;25!6;
¤이농구선수가 2점슛을 4번던졌을때한번만성공할확률
은
¤ ¢C¡{;4#;}{;4!;} ‹ =;2¡5™6;
⁄, ¤에서P(AÇ )=;25!6;+;2¡5™6;=;2¡5£6;이므로
P(A)=1-P(AÇ )
P(A)=1-;2¡5£6;
P(A)=;2@5$6#;
따라서 p=256, q=243이므로
p+q=256+243
=499
10-4
P(A)=p, P(AÇ )=2p이므로
P(AÇ )=1-P(A)에서
2p=1-p
즉, p=;3!;
한번의시행에서사건A가일어날확률이 ;3!;인시행을 8회반복
할때, 사건A가 1회일어날확률은
•C¡ {;3!;}1 {;3@;}7=8_;3!;_{;3@;}7=4_{;3@;}8
따라서 k=4
11-1⑤ 11-2③ 11-3 90 11-4④
11-5③ 11-6② 11-7③ 11-8③
11 이산확률분포
11-1
확률의총합은 1이므로
;4!;+;4%;-4a+a‹ + =1에서
4a‹ -a¤ -16a+4=0
(a-2)(a+2)(4a-1)=0
a=2또는 a=-2또는 a=;4!;
이때 0…;4%;-4a…1, 0…a‹ …1, 0… …1이어야하므로
a=;4!;
11-2
확률변수X가가질수있는값은 2, 3, 4이고각각의확률은
P(X=2)= =;1£0;
P(X=3)= =;1¢0;=;5@;
P(X=4)= =;1£0;
따라서확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.
따라서
E(X)=2_;1£0;+3_;5@;+4_;1£0;
E(X)=
E(X)=;1#0);=3
X=3인경우는 3을뽑고 1, 2 중하나, 4, 5 중하나를뽑는경
우이므로그경우의수는
™C¡_™C¡
참고
6+12+1210
£C¡_¡C¡∞C£
™C¡_™C¡∞C£
¡C¡_£C¡∞C£
2-a¤4
2-a¤4
본문 89, 91쪽유형
X 2 3 4 계
P(X=x) ;1£0; ;5@; ;1£0; 1
Ⅶ.통계
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 41
11-3
확률의총합은 1이므로
2p+p+p+2p=6p=1
따라서 p=;6!;
E(X)=2_;3!;+a_;6!;+b_;6!;+6_;3!;=4에서
;6!;(a+b)=;3$;
따라서 a+b=8
E(X¤ )=2¤ _;3!;+a¤ _;6!;+b¤ _;6!;+6¤ _;3!;
E(X¤ )=
V(X)=E(X¤ )-{E(X)} ¤
V(X)= -4¤ =3에서
a¤ +b¤ =34
a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab이므로
34=64-2ab
ab=15
따라서 = =90
11-4
확률변수X가가질수있는값은 0, 1, 2, 3이고각각의확률은
P(X=0)= =;2¡0;
P(X=1)= =;2ª0;
P(X=2)= =;2ª0;
P(X=3)= =;2¡0;
따라서확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.
따라서E(X¤ )=0_;2¡0;+1_;2ª0;+4_;2ª0;+9_;2¡0;
따라서E(X¤ )=;2%0$;=;1@0&;
£C£_£Cº§C£
£C™_£C¡§C£
£C¡_£C™§C£
£Cº_£C£§C£
15
;6!;
abp
80+a¤ +b¤6
80+a¤ +b¤6
11-5
E(X)=(-1)_;3!;+0_;6!;+1_;3!;+2_;6!;=;3!;이므로
E(30X+5)=30E(X)+5
E(30X+5)=30_;3!;+5
E(30X+5)=15
11-6
확률의총합은 1이므로
a+;9@;+b+2b=1에서
a+3b=;9&; yy`㉠
E(X)=1이므로
-a+b+4b=1에서
-a+5b=1 yy`㉡
㉠, ㉡에서
a=;9!;, b=;9@;
따라서확률변수X의확률분포를표로나타내면다음과같다.
E(X¤ )=1_;9!;+0_;9@;+1_;9@;+4_;9$;=; ¡9ª:
이고E(X)=1이므로
V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤
V(X)=; ¡9ª:-1=; ¡9º:
따라서 r(X)=Ƭ; ¡9º:= 이므로
r(3X+'2)=3r(X)
r(3X+'2)=3_
r(3X+'2)='1å0
11-7
P(X=1)=a라하면
P(X=2)=;3!;P(X=1)=;3A;,
P(X=3)=;3!;P(X=2)=;9A;,
P(X=4)=;3!;P(X=3)=;2Å7;
'1å03
'1å03
X 0 1 2 3 계
;2¡0; ;2ª0; ;2ª0; ;2¡0; 1P(X=x)
X -1 0 1 2 계
;9!; ;9@; ;9@; ;9$; 1P(X=x)
42 수능열기 / 수학가
이므로X의확률분포를표로나타내면다음과같다.
이때확률의총합은 1이므로
a{1+;3!;+;9!;+;2¡7;}=1, ;2$7);a=1
즉, a=;4@0&;
E(X)=a{1+2_;3!;+3_;9!;+4_;2¡7;}
E(X)=;4@0&;_;2%7*;=;2@0(;
따라서
E(20X-10)=20E(X)-10
E(20X-10)=29-10=19
11-8
확률변수X가가질수있는값은 100, 500, 600이고, 확률변수
X의확률분포를표로나타내면다음과같다.
E(X)=100_;4!;+500_;4!;+600_;2!;=450이므로
E(4X+100)=4E(X)+100
E(4X+100)=4_450+100
E(4X+100)=1900
X 1 2 3 4 계
a ;3A; ;9A; ;2Å7; 1P(X=x)
X 100 500 600 계
;4!; ;4!; ;2!; 1P(X=x)
12-1③ 12-2④ 12-3④ 12-4②
12 이항분포
12-1
확률변수X가이항분포B{n, ;4!;}을따르므로
V(X)=n_;4!;_;4#;=;1£6;n=15
따라서 n=80
이때E(X)=n_;4!;=80_;4!;=20이고,
V(X)=E(X¤ )-{E(X)} ¤에서
E(X¤ )=V(X)+{E(X)} ¤
E(X¤ )=15+20¤
E(X¤ )=415
12-2
E(X)=np, r(X)='∂npq (q=1-p)에서
np=1, '∂npq= 이므로 q=;4#;
따라서 p=;4!;, n=4이므로
P(X=2)=¢C™ {;4!;}¤ {;4#;} ¤
P(X=2)=;1™2¶8;
12-3
동전 2개가모두앞면이나올확률은 ;2!;_;2!;=;4!;이므로
확률변수X는이항분포B {20, ;4!;}을따른다.
이때V(X)=20_;4!;_;4#;=;;¡4∞;;이므로
V(2X+1)=4V(X)
V(2X+1)=4_;;¡4∞;;
V(2X+1)=15
12-4
두주사위의눈의수의합이 6인경우를순서쌍으로나타내면
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
'32
본문 93쪽유형
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 43
의 5가지이고, 두주사위의눈의수의합이 12인경우를순서쌍
으로나타내면 (6, 6)
의 1가지이므로두주사위A, B를동시에던질때, 두주사위의
눈의수의합이 6의배수일확률은
=;3§6;=;6!;
따라서확률변수X는이항분포B {120, ;6!;}을따른다.
E(X)=120_;6!;=20이므로
E(3X-1)=3E(X)-1
E(3X-1)=3_20-1
E(3X-1)=59
5+136
13-1③ 13-2② 13-3② 13-4⑤
13-5⑤ 13-6②
13 정규분포
13-1
직원의직무능력평가시험점수를확률변수X라하면X는정
규분포N(800, 25¤ )을따르므로확률변수
Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따른다.
선택된직원의직무능력평가시험점수가 850점이상일확률은
P(Xæ850)=P{Zæ }
P(Xæ850)=P(Zæ2)
P(Xæ850)=0.5-P(0…Z…2)
P(Xæ850)=0.5-0.4772
P(Xæ850)=0.0228
13-2
확률변수X가정규분포N(50, r¤ )을따르므로
Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따른다.
P(X…80)-P(X…50+r)
=0.5+P{0…Z… }
-[0.5+P{0…Z… }]
=P{0…Z… }-P(0…Z…1)
=0.1359
에서
P{0…Z… }=0.1359+P(0…Z…1)
P{0…Z… }=0.1359+0.3413
P{0…Z… }=0.4772
이므로 =2
따라서 r=15
13-3
젖소한마리가하루에생산하는우유의양을확률변수X라하
면X는정규분포N(20, 2¤ )을따른다.
30r
30r
30r
50+r-50r
80-50r
X-50r
850-80025
X-80025
본문 95, 97쪽유형
44 수능열기 / 수학가
이때Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따르므로구하
는확률은
P(18…X…23)=P{ …Z… }
P(18…X…23)=P(-1…Z…1.5)
P(18…X…23)=P(0…Z…1)+P(0…Z…1.5)
P(18…X…23)=0.3413+0.4332
P(18…X…23)=0.7745
13-4
이지역의고등학교 3학년학생의키를확률변수X라하면X
는정규분포N(173, 5¤ )을따르고, Z= 이라하면
확률변수Z는표준정규분포N(0, 1)을따른다.
P(Xæ179.5)=P{Zæ }
P(Xæ179.5)=P(Zæ1.3)
P(Zæ1.3)=0.5-P(0…Z…1.3)
P(Zæ1.3)=0.5-0.40=0.1
따라서임의로선택한학생의키가 179.5이상일확률이 ;1¡0;이
므로 400명중에서키가 179.5이상인학생수는대략
400_;1¡0;=40이다.
13-5
설문조사에응한주민 192명중정부의예산삭감을지지한주
민의수를확률변수X라하자.
한사람이내년정부의예산삭감을지지할확률은 ;4#;이므로
확률변수X는이항분포B {192, ;4#;}을따른다. 이때
E(X)=192_;4#;=144
r(X)=Æ19…2_;4#;_;4!;='3å6=6
이때 n=192는충분히큰수이므로확률변수X는근사적으로
정규분포N(144, 6¤ )을따른다.
0 1.3 z
179.5-1735
X-1735
23-202
18-202
X-202
따라서정부의예산삭감을지지한주민이 150명이하일확률은
P(X…150)=P{Z… }
P(X…150)=P(Z…1)
P(X…150)=P(Z…0)+P(0…Z…1)
P(X…150)=0.5+0.3413
P(X…150)=0.8413
13-6
한개의주사위를한번던질때, 5이상의눈이나올확률이 ;3!;
이므로확률변수X는이항분포B {n, ;3!;}을따른다.
E(X)=n_;3!;=;3N;, V(X)=n_;3!;_;3@;=;;™9;;이고
V(X)+{E(X)}¤ =E(X¤ )이므로
;;™9;;+ =40
n¤ +2n=360, n¤ +2n-360=0
(n-18)(n+20)=0
따라서n이자연수이므로 n=18
즉, 확률변수X는이항분포B{18, ;3!;}을따르고,
E(X)=6, V(X)=4이다.
이때 n=18은 충분히 큰 수이므로 확률변수 X는 근사적으로
정규분포 N(6, 2¤ )을 따르고 Z= 이라 하면 확률변수
Z는표준정규분포N(0, 1)을따른다.
따라서
P(Xæ9)=P{Zæ }=P(Zæ1.5)
P(Xæ9)=0.5-P(0…Z…1.5)
P(Xæ9)=0.5-0.4332
P(Xæ9)=0.0668
9-62
X-62
n¤9
150-1446
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 45
14-1① 14-2④ 14-3④ 14-4③
14-5④ 14-6② 14-7 244 14-8③
14 통계적추정
14-1
이모집단에서크기가 3인표본을복원추출할때X’=2인경우
는 2를세번추출하는경우와 1, 2, 3을각각한번씩추출하는
경우이다.
⁄ 2를세번추출할확률
¤ {P(X=2)}‹ ={;2!;}‹ =;8!;
¤ 1, 2, 3을각각한번씩추출할확률
¤ 3!_P(X=1)_P(X=2)_P(X=3)
¤ =6_;4!;_;2!;_;4!;
¤ =;1£6;
⁄, ¤에서구하는확률은
P(X’=2)=;8!;+;1£6;
P(X’=2)=;1∞6;
14-2
표본평균X’에대하여E(X’)=100, r(X’)= =2이므
로X’는정규분포N(100, 2¤ )을따르며확률변수
Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따른다.
따라서
P(98…X’…104)=P{ …Z… }
P(98…X’…104)=P(-1…Z…2)
P(98…X’…104)=P(0…Z…1)+P(0…Z…2)
P(98…X’…104)=0.3413+0.4772
P(98…X’…104)=0.8185
14-3
정규분포 N(10, 4)를따르는모집단에서임의추출한크기가 4
인표본의표본평균X’는정규분포N(10, 1)을따르며
104-1002
98-1002
X’-1002
20'1 ß00
본문 99, 101쪽유형 확률변수Z= 은표준정규분포N(0, 1)을따른다.
따라서
P(8…X’…11)=P{ …Z… }
P(8…X…11)=P(-2…Z…1)
P(8…X…11)=P(0…Z…2)+P(0…Z…1)
P(8…X…11)=0.4772+0.3413
P(8…X…11)=0.8185
14-4
토마토 1개의무게를확률변수X라하면X는정규분포
N(m, 8¤ )을따르므로크기가 16인표본의표본평균X’는정규
분포N(m, 2¤ )을따른다.
16개를임의추출하여 1상자를만들때이토마토 1상자의무게
가 4320g이하일확률이 0.0228이므로
P(16X’…4320)=P(X’…270)
P(16X’…4320)=0.0228
P(16X’…4320)=0.5-0.4772
P{Z… }=0.5-P(-2…Z…0)
P{Z… }=P(Z…-2)
따라서 =-2이므로
m=274
14-5
표본의크기 n=64, 표본평균 xÆ=80, 모표준편차 r=2이므로
비타민제한통의무게의평균m에대한신뢰도 95%의신뢰구
간은
80-1.96_ …m…80+1.96_
즉, 79.51…m…80.49
14-6
표본의 크기 n=16, 표본평균 x’=100, 모표준편차 r=8이므
로모평균m에대한신뢰도 95 %의신뢰구간은
2'6å4
2'6å4
270-m2
270-m2
11-101
8-101
X’-101
46 수능열기 / 수학가
100-1.96_ …m…100+1.96_
즉, 96.08…m…103.92
14-7
400명의학생중에서하루 1시간이상운동하는학생의비율을
p이라하면
P {pæ }=0.0139
한편 모비율 p=0.2이고, 표본의 크기 n=400은 충분히 크므
로
Z=
Z=
Z=
Z=
는근사적으로표준정규분포N(0, 1)을따른다.
=a라하면
P{pæ }=P(pæa)
P{pæ }=P{Zæ }
P{pæ }=0.5-P{0…Z… }
P{pæ }=0.0139
따라서
P{0…Z… }=0.5-0.0139
P{0…Z… }=0.4861
이때P(0…Z…2.2)=0.4861이므로
=2.2
a=0.2+2.2_0.02=0.244
따라서 10k=1000a=244
a-0.20.02
a-0.20.02
a-0.20.02
a-0.20.02
k100
k100
p-0.20.02
p-0.2'0ƒ.0004
p-0.2
0.2_0.8æ–1111400
p-p
p(1-p)æ–1111n
k100
8'1å6
8'1å6
14-8
p=;1ª0;이므로모비율에대한신뢰도 95 %의신뢰구간은
;1ª0;-1.96_ …p…;1ª0;+1.96_
따라서
b-a=2_1.96_
b-a=2_1.96_;10#0;
b-a=0.1176
æ≠;1ª0;_;1¡0;
'1ß00
æ≠;1ª0;_;1¡0;
'1ß00
æ≠;1ª0;_;1¡0;
'1ß00
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 47
01-1④ 01-2④ 01-3⑤ 01-4⑤
01 포물선의정의와포물선의방정식
01-1
포물선위의임의의점을 P(x, y), 초점을 F(3, a), 점 P에서
준선에내린수선의발을H라하면PF”=PH”이므로
"√(x-3)¤ +(y-a)¤ =|x+1|
양변을제곱하면
(x-3)¤ +(y-a)¤ =(x+1)¤ yy㉠
포물선이 x축과만나는점의 x좌표가 3이므로
x=3, y=0을㉠에대입하면 a¤ =16
따라서 a=4또는 a=-4
a는양수이므로 a=4
01-2
점 A(8, 8)이 포물선 y¤ =px 위의
점이므로
8¤ =8p에서
p=8
따라서 포물선 y¤ =8x의 초점은
F(2, 0)이고준선의방정식은
x=-2이므로H(-2, 8)이다.
HF”=øπ4¤ +(-8)¤ =4'5, AH”=AF”=10
따라서삼각형 FAH의둘레의길이는
20+4'5
01-3
두포물선C¡, C™의준선을각각 l¡, l™라하고점 P에서 l¡, l™에
내린수선의발을각각H¡, H™라하자.
점F의좌표가 (3, 0)이므로준선 l¡의방정식은 x=-3이다.
점P의좌표를 P(x¡, y¡)이라하면
P’H¡”=PF”=8에서
O
F
A(8, 8)
-2 2
H
y
y™=8x
x
x¡-(-3)=8
즉, x¡=5
포물선C¡의방정식은 y¤ =12x이므로
y¡¤ =12x¡=60에서
y¡>0이므로 y¡=2'∂15
FA”=k라하고, 준선 l¡, l™와 x축의
교점을각각Q, R라하면
AR”=FA”=k이므로
QR”=6+2k
한편
H’¡H™”=H’¡P”+P’H™”=8+8=16
이므로 6+2k=16에서 k=5
따라서구하는삼각형PFA의넓이는
_5_2'∂15=5'∂15
01-4
포물선 y¤ =2nx의초점의좌표는
F«{;2N;, 0}이고준선의방정식은
x=-;2N;이다.
점 A«에서포물선 y¤ =2nx의준
선에내린수선의발을T«이라하
면 A’«F« ”=A’«T«”이므로
A’«F«”+A’«H«”=A’«T«”+A’«H«”
A’«F«”+A’«H«”=T’«H«”
A’«F«”+A’«H«”=;2#;n-{-;2N;}
A’«F«”+A’«H«”=2n
따라서
(A’«F«”+A’«H«”)= 2n
=2_
=110
10_112
10
¡n=1
10
¡n=1
12
O
Tn
Fn
An
Hn
yy™=2nx
x=- n2
x
x= n3 x= n3
2
OQ F A R
PH¡ H™
C™ C¡y
l¡
x
l™
Ⅷ.평면곡선본문 103쪽
유형
기하와벡터
48 수능열기 / 수학가
02-1③ 02-2② 02-3① 02-4③
02 타원의정의와타원의방정식
02-1
두 점 F, F'으로부터 거리의 합이 일정한 점 P가 나타내는 도
형은타원이므로타원의방정식을 + =1(a>b>0)이
라하면
PF”+PF'”=4'5에서 a=2'5
(2'5)¤ =b¤ +2¤ , b¤ =16
b는양수이므로 b=4
이타원이 y축과만나는두점사이의거리는
2b=2_4=8
02-2
타원의방정식을정리하면
(x-2)¤ +5(y+1)¤ =5,
+(y+1)¤ =1
이고, 이타원은타원 +y¤ =1을x축의방향으로 2만큼, y축
의방향으로-1만큼평행이동한것이다.
타원 +y¤ =1의초점의좌표는 (2, 0), (-2, 0)이므로
주어진타원의초점의좌표는 (4, -1), (0, -1)이다.
F¡(4, -1), F™(0, -1)이라하면
O’F™”=1, F’¡F™”=4, ∠OF™F¡=90˘
이므로삼각형OF¡F™의넓이는
_1_4=2
02-3
타원의정의에의하여
A’F’+A’F'”=2'a, B’F’+B’F'”=2'a
O
F'
F
A
B
x™
ay™
b+ =1
y
x
12
x¤5
x¤5
(x-2)¤5
y¤b¤
x¤a¤
본문 105쪽유형
삼각형AF'B의둘레의길이가 16이므로
(A’F’+A’F'”)+(B’F’+B’F'”)=4'a=16
'a=4, a=16
초점F의 x좌표가 2이므로
'ƒa-b='ƒ16-b=2, 16-b=4
b=12
따라서 a_b=16_12=192
02-4
좌표평면에서위의그림과같이선분AB의중점이원점에오도
록두점 A, B를 x축위에잡으면 AC”+BC”=14가되는점 C
가나타내는도형은두점A, B를초점으로하고장축의길이가
14인타원이다.
이타원의방정식을 + =1(a>b>0)이라하면
2a=14에서 a=7
øπa¤ -b¤ =5이므로 a¤ -b¤ =25
b¤ =24이므로 b=2'6
선분 AB를밑변으로하는삼각형 ABC는점 C가 y축위에있
을때, 즉점C'일때높이가최대가되므로넓이도최대가된다.
따라서삼각형ABC의넓이의최댓값은
;2!;_10_2'6=10'6
y¤b¤
x¤a¤
O
-5
-7 7
5
CC'
A B
y
x
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 49
03-1③ 03-2① 03-3④ 03-4⑤
03 쌍곡선의정의와쌍곡선의방정식
본문 107쪽유형
03-1
직각삼각형ABC에서
CA”="√4¤ +3¤ =5
쌍곡선의정의에의하여
AC”-BC”=5-3=2
이므로두초점으로부터거리의차는 2이다.
두꼭짓점P, Q에대하여
AQ”-BQ”=2 yy`㉠
BP”-AP”=2 yy`㉡
㉠+㉡을하면
(AQ”-AP”)+(BP”-BQ”)=4
2PQ”=4
따라서 PQ”=2
03-2
쌍곡선 - =1은쌍곡선 - =1을 x축의
방향으로 2만큼평행이동한것이므로점근선의방정식은
y=— ;4$;(x-2)
즉, y=x-2또는 y=-x+2
두점근선과직선 y=3의교점은각각
(5, 3), (-1, 3)
따라서구하는삼각형의넓이는
;2!;_{5-(-1)}_3=9
O 2 4
3 y=3
y=x-2y=-x+2
(x-2)™
4 - =1y™
4
y
x
y¤4
x¤4
y¤4
(x-2)¤4
AP Q
B
C
4
35
03-3
5x¤ -4y¤ =20의양변을 20으로나누면
- =1
점P가제1사분면위의점이므로쌍곡선의정의에의하여
P’F'”-PF”=2_2=4 yy㉠
c¤ =4+5=9에서두초점의좌표는 F(3, 0), F'(-3, 0)이므
로
F’F'”=6
삼각형PFF'의둘레의길이가 22이므로
PF”+P’F'”+F’F'”=22
즉, PF”+P’F'”=16 yy㉡
㉠, ㉡을연립하여풀면
PF”=6
03-4
쌍곡선의정의에의하여CB”-CA”=4, DB”-DA”=4이므로
(CB”+DB”)-(CA”+DA”)=8 yy㉠
조건에서CA”+CB”+DB”+DA”=38 yy㉡
㉡-㉠에서 2(CA”+DA”)=30
따라서 CA”+DA”=CD”=15
O
C
B A-3 3D
y
x
x™
4 =1-y™
5
y¤5
x¤4
OF' F
Py
x
5x™-4y
™=20
50 수능열기 / 수학가
04-1① 04-2① 04-3 48 04-4⑤
04 음함수와매개변수의미분법
04 -1
x=-2t+3에서 =-2
y=3t¤ -1에서 =6t
= = =-3t
따라서 t=2일때, 의값은 -6이다.
04 -2
t=2일때 x=4, y=;2@;+;2!;=;2#;이므로접점의좌표는
{4, ;2#;}
한편 x=t¤ , y=;2T;+;t!;에서
=2t, =;2!;- 이므로
= =
=
따라서 t=2에대응하는점에서의접선의기울기는
=;1¡6;
이므로접선의방정식은
y-;2#;=;1¡6;(x-4)
즉, y=;1¡6;x+;4%;
이직선이점 (12, a)를지나므로
a=;1¡6;_12+;4%;=2
2¤ -24_2‹
t¤ -24t‹
1 11-12 t¤2t
dy12dtdx12dt
dydx
1t¤
dydt
dxdt
dydx
6t-2
dydtdxdt
dydx
dydt
dxdt
본문 109쪽유형 04-3
'x+y¤ =13의양변을 x에대하여미분하면
+2y =0
2y =- 이므로
=- (단, xy+0) yy㉠
이때곡선 'x+y¤ =13 위의점 (16, 3)에서의접선의기울기는
㉠에 x=16, y=3을대입한값과같으므로
- =-;4¡8;
서로수직인두직선의기울기의곱은 -1이므로
-;4¡8;_m=-1
따라서 m=48
04-4
x‹ +2y‹ -axy+4b=0의양변을 x에대하여미분하면
3x¤ +6y¤ -ay-ax =0 yy`㉠
점 (0, -1)에서 의값이 3이므로㉠에 x=0, y=-1,
=3을대입하면
3_0¤ +6_(-1)¤ _3-a_(-1)-a_0_3=0
18+a=0
a=-18
한편점 (0, -1)은곡선 x‹ +2y‹ -axy+4b=0 위에있으므
로
-2+4b=0
b=;2!;
따라서 ab=-18_;2!;=-9
dydx
dydx
dydx
dydx
14_3_'∂16
14y'x
dydx
12'x
dydx
dydx
12'x
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 51
05-1② 05-2⑤ 05-3⑤ 05-4④
05 포물선의접선의방정식
05-1
y¤ =4x의양변을 x에대하여미분하면
2y =4, 즉 y+0에서 =;]@;
따라서포물선 y¤ =4x위의점 (1, 2)에서의접선의기울기가
=;2@;=1이므로포물선 y¤ =4x위의점 (1, 2)에서의접선
의방정식은
y=(x-1)+2=x+1
직선 y=x+1과 x축, y축의교점이각각A, B이므로
A(-1, 0), B(0, 1)
따라서AB”="{√0-√(-1√)}¤ +√(1-0)¤ ='2
05-2
y¤ =4x의양변을 x에대하여미분하면
2y =4, 즉 y+0에서 =;]@;
포물선 y¤ =4x위의점 (x¡, y¡)에서의접선의기울기가
= 이므로포물선 y¤ =4x위의점 (x¡, y¡)에서의접선
의방정식은
y= (x-x¡)+y¡= x- +y¡
양변에 y¡을곱하면
y¡y=2(x-x¡)+y¡¤
점 (x¡, y¡)은포물선 y¤ =4x위의점이므로
y¡¤ =4x¡
따라서
y¡y=2(x-x¡)+y¡¤
y¡y=2(x-x¡)+4x¡=2(x+x¡)
이접선이점A(-2, 0)을지나므로
0=2(-2+x¡)에서
x¡=2
y¡¤ =4x¡=4_2=8에서
y¡>0이므로 y¡=2'2
따라서점B의좌표는 B(2, 2'2)이므로
OB”=øπ2¤ +(2'2) ¤=2'3
2x¡y¡
2y¡
2y¡
2y¡
dydx
dydx
dydx
dydx
dydx
dydx
본문 111쪽유형 05-3
y¤ =2x의양변을x에대하여미분하면
2y =2, 즉 y+0에서 =;]!;
접점을 (x¡, y¡)이라하면 y¡¤ =2x¡ yy`㉠
접선의기울기가 = =;3!;이므로 y¡=3
y¡=3을㉠에대입하면 9=2x¡이므로x¡=;2(;
포물선 y¤ =2x위의점 {;2(;, 3}에서의접선 l의방정식은
y=;3!;{x-;2(;}+3=;3!;x+;2#; yy`㉡
따라서직선 l이 x축과만나는점A의좌표는A(-3, 0)이다.
점F{;2!;, 0}을지나고기울기가-3인직선의방정식은
y=-3{x-;2!;}, 즉 y=-3x+;2#; yy㉢
이때두직선㉡, ㉢이 y축위에서만나므로
H{0, ;2#;}
따라서삼각형AFH의넓이는
;2!;_5_;2#;=:¡4∞:
05-4
포물선 y¤ =4'3x의초점F의좌표는 F('3, 0)이다.
y¤ =4'3x의양변을 x에대하여미분하면
2y =4'3
즉, y+0에서 =
접점을 (x¡, y¡)이라하면 y¡¤ =4'3x¡ yy㉠
접선의기울기가 1이므로
=1, y¡=2'3
y¡=2'3을㉠에대입하면
(2'3)¤ =4'3 x¡이므로 x¡='3
따라서직선 l의방정식은
y-2'3=1_(x-'3), 즉 x-y+'3=0
따라서초점F('3, 0)과직선 l사이의거리는
= ='62'3'2
|'3-0+'3|"√1¤ +(-1)¤
2'3y¡
2'3y
dydx
dydx
1y¡
dydx
dydx
dydx
52 수능열기 / 수학가
06-1
+ =1의양변을 x에대하여미분하면
;2{;+;3@;y =0
즉, y+0에서 =-
점 {1, ;2#;}에서의접선의기울기는
=- =-;2!;
따라서접선의방정식은
y=-;2!;(x-1)+;2#;
이접선이점 (-4, k)를지나므로
k=-;2!;(-4-1)+;2#;=4
06-2
+y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면
;2{;+2y =0
즉, y+0에서 =-
점 {'3, ;2!;}에서의접선의기울기는
=- =-
이므로점 {'3, ;2!;}에서의접선의방정식은
y=- (x-'3)+;2!;=- x+2
0=- x+2에서
x= = 이므로
A{ , 0}
y=- _0+2에서 y=2이므로B(0, 2)이다.'32
4'33
4'33
4'3
'32
'32
'32
'32
'3
4_;2!;
dydx
x4y
dydx
dydx
x¤4
3_1
4_;2#;
dydx
3x4y
dydx
dydx
y¤3
x¤4
06-1 4 06-2① 06-3 20 06-4⑤
06 타원의접선의방정식
본문 113쪽유형
타원의초점은F('3, 0)이므로
(삼각형 FBO의넓이) : (삼각형 FAB의넓이)`
=OF” : FA”='3 : { -'3}
='3 : =3 : 1
따라서 k=3
06-3
+y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면
+2y =0, 즉 y+0에서 =-
점 (a, b)에서의접선의기울기는 =-
타원위의점 (a, b)에서의접선의방정식은
y=- (x-a)+b
양변에 b를곱하면
by=-;3A;(x-a)+b¤
점P(a, b)는타원 +y¤ =1위의점이므로
+b¤ =1 yy`㉠
b¤ =1- 이므로
by=-;3A;(x-a)+b¤
by=-;3A;(x-a)+1- =- +1
즉, by=- +1
x축과만나는점은 0=- +1에서
x=;a#;이므로A {;a#;, 0}
y축과만나는점은 by=0+1에서
ax3
ax3
ax3
a¤3
a¤3
a¤3
x¤3
a3b
a3b
dydx
x3y
dydx
dydx
2x3
x¤3
'33
4'33
O-2 2F
1
B
PA
-1
x
y=- x+2'32
x™
4 +y™=1
y
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 53
y=;b!;이므로B {0, ;b!;}
S¡=;2!;_;a#;_b= , S™=;2!;_;b!;_a= 이므로
S¡ : S™=1 : 3에서 =
따라서 a¤ =9b¤ yy㉡
㉡`을㉠`에대입하면
3b¤ +b¤ =1, b¤ =;4!;
b>0이므로 b=;2!;
b=;2!;을㉡`에대입하면
a>0이므로 a=;2#;
따라서 10(a+b)=10{;2#;+;2!;}=20
06-4
y¤ =8x의양변을 x에대하여미분하면
2y =8
즉, y+0에서 =
따라서포물선 y¤ =8x위의점P(2, 4)에서의접선의기울기는
= =1
점 P에서의타원의접선과포물선의접선이서로수직이므로타
원의접선의기울기는-1이다.
점P(2, 4)를지나고기울기가-1인접선의방정식은
y=-x+6 yy㉠
타원위의점P(2, 4)에서의접선의방정식은
+ =1
즉, y=- x+ yy㉡
㉠, ㉡에서
=1, =6
이므로 a¤ =12, b¤ =24
따라서 타원의 방정식은 + =1이고 두 초점의 좌표는
(0, -2'3), (0, 2'3)이므로두초점사이의거리는 4'3이다.
y¤24
x¤12
b¤4
b¤2a¤
b¤4
b¤2a¤
4yb¤
2xa¤
44
dydx
4y
dydx
dydx
9b2a
a2b
a2b
3b2a
07-1① 07-2 16 07-3② 07-4 4
07 쌍곡선의접선의방정식
07-1
3x¤ -2y¤ =-6에서양변을 x에대하여미분하면
6x-4y =0
즉, y+0에서 =
점 (2, 3)에서의접선의기울기는
=;6;=1
이므로접선의방정식은
y=(x-2)+3=x-1
따라서이접선에평행하므로기울기는 1이고점 (-1, -2)를
지나는직선의방정식은
y+2=x+1, y=x-1
따라서 a=1, b=-1이므로
a¤ +b¤ =1+1=2
07-2
쌍곡선 - =1에서양변을 x에대하여미분하면
;4{;-;2}; =0
즉, y+0에서 =
점 (4, 2)에서의접선의기울기는
= =1
따라서접선 l의방정식은
y=(x-4)+2=x-2
이직선과수직이고점P(4, 2)를지나는직선m의방정식은
y=-(x-4)+2=-x+6
직선 l의 y절편이-2, 직선m의 y절편이 6이고
점P의 x좌표가 4이므로구하는삼각형의넓이는
;2!;_(6+2)_4=16
07-3
쌍곡선 -y¤ =1의점근선중기울기가음수인직선 l의방x¤4
42_2
dydx
x2y
dydx
dydx
y¤4
x¤8
dydx
3x2y
dydx
dydx
본문 115쪽유형
54 수능열기 / 수학가
정식은 y=- x이므로직선l에수직인직선의기울기는 2이다.
-y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면
;2{;-2y =0
즉, y+0에서 =
점 (x¡, y¡)에서의접선의기울기는
= =2
즉, x¡=8y¡ yy`㉠
-y¡¤ =1에㉠을대입하면
16y¡¤ -y¡¤ =1
즉, y¡= 또는 y¡=-
⁄ y¡= 일때, x¡=
⁄이때접선의방정식은
⁄ y=2{x- }+ =2x-'1å5
¤ y¡=- 일때, x¡=-
⁄이때접선의방정식은
⁄ y=2{x+ }- =2x+'1å5
두접선사이의거리는직선 2x-y-'∂15=0위의점 (0, -'∂15)
와직선 2x-y+'∂15=0사이의거리와같다.
따라서구하는거리는
= =2'3
07-4
두점A, B를각각제1사분면위의점, 제4사분면위의점이라
하자.
쌍곡선 -y¤ =1의점근선의방정식은
y= x yy㉠
또는 y=- x yy㉡
한편 -y¤ =1의양변을 x에대하여미분하면x¤2
'22
'22
x¤2
2'∂15'5
|0+'∂15+'∂15|
øπ2¤ +(-1)¤
1'1å5
8'1å5
8'1å5
1'1å5
1'1å5
8'1å5
8'1å5
1'1å5
1'1å5
1'1å5
x¡¤4
x¡4y¡
dydx
x4y
dydx
dydx
x¤4
12 x-2y =0, 즉 y+0에서 =
점 (2, 1)에서의접선의기울기는 =;2@;=1이므로
접선의방정식은
y=(x-2)+1=x-1 yy`㉢
㉠, ㉢`에서
x=x-1, x=1
x= = =2+'2
y= _(2+'2)=1+'2이므로
A(2+'2, 1+'2)
㉡, ㉢`에서
- x=x-1, x=1
x= = =2-'2
y=- _(2-'2)=1-'2이므로
B(2-'2, 1-'2)
따라서선분AB의길이는
øπ(2'2)¤ +(2'2)¤ =4
'22
2(2-'2)4-2
22+'2
2+'22
'22
'22
2(2+'2)4-2
22-'2
2-'22
'22
dydx
x2y
dydx
dydx
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 55
08-1④ 08-2① 08-3⑤ 08-4②
08 평면벡터의크기와연산
08-1
MÚC≥+NC≥=(AC≥-AM≥)+(AC≥-AN≥)
MÚC≥+NC≥=2AC≥-AM≥-AN≥
MÚC≥+NC≥=2(AB≥+AD≥)-;2!;AD≥-;3@;AB≥
MÚC≥+NC≥=;3$;AB≥+;2#;AD≥
MÚC≥+NC≥=;3$; a+;2#; b
08-2
그림에서AD≥=FE≥, CE≥=FD≥이므로
a=AD≥+CE≥
=FE≥+FD≥
=FB≥
또DE≥=FC≥이므로
b=DE≥-FB≥
=FC≥-FB≥
=BC≥
따라서
a+b=FB≥+BC≥
=FC≥
=AF≥
a+b=(A’D≥+CE≥)+(DE≥-FB≥)
=(AD≥+DE≥)+CE≥-FB≥
=AE≥+CE≥-FB≥
=AE≥+EB≥+BF≥ (∵CE≥=EB≥, -FB≥=BF≥)
=AB≥+BF≥
=AF≥
다른풀이
D
A
B C
F
E
본문 117쪽유형
Ⅸ.평면벡터 08-3
O’P≤=A’X≥인 점 X는 원 (x-3)¤ +(y-4)¤ =40을 x축의 방
향으로 9만큼평행이동한원 C : (x-12)¤ +(y-4)¤ =40 위
의점이다.
이때O’A≥+O’P≤=O’A≥+A’X≥=O’X≥이다.
따라서그림과같이원 C의중심M이선분 OX 위에있을때
|OX≥|의값이최대이다.
따라서 |O’A≥+O’P≤|의최댓값은
"√12¤ +4¤ +'∂40=6'∂10
08-4
BP≥+A’M≥-AB≥=BP≥+(A’M≥≥-AB≥)
BP≥+A’M≥-AB≥=BP≥+B’M≥
이므로벡터 BP≥+B’M≥의크기는변AB 위를움직이는점 P가
점A와일치할때최대이다.
사각형 BMDA가 평행사변형이 되도록 점 D를 잡으면 벡터
BP≥+B’M≥의크기의최댓값은그림에서벡터BD≥의크기이다.
그런데점M은BC”의중점이므로
AD”=B’M”=MÚC”
직각삼각형BCD에서
BC”=2, CD”=A’M”='3
BD”=ø πBC” ¤ +CD” ¤ =øπ2¤ +('3)¤ ='7
따라서 |BD≥|='7
A D
CMB
O 12A
4M
X
C
x
(x-3)™+(y-4)
™=40
y
56 수능열기 / 수학가
09-1③ 09-2② 09-3 4 09-4④
09 평면벡터의내적
09-1
삼각형 ABC는 AC”=BC”인이등변삼각형이므로점 C에서선
분 AB에 내린 수선의 발을M이라 하면 점M은 선분 AB의
중점이다.
이때 cos (∠CAB)= 이므로
AB≥•AC≥=AB”_AC”_cos (∠CAB)
AB≥•AC≥=AB”_AC”_
AB≥•AC≥=AB”_A’MÚ
AB≥•AC≥=10_5=50
09-2
두점P, Q의 y좌표를각각 a, b라하면
P{ , a}, Q{ , b}
p ¯•q= _ +a_b
p ¯•q= (ab+2)¤ -1
따라서 p ¯•q의최솟값은-1이다.
09-3
두벡터 a ¯, b가이루는각의크기를 h라하면
|a¯+tb|¤ =(a¯+tb) ¥¥ (a+tb)
=a¯ ¥¥ a+a¯ ¥¥ (tb)+(tb) ¥¥ a¯+t¤ (b¯ ¥¥ b¯)
=|a¯|¤ +2(a ¥¥ b¯)t+|b¯|¤ t ¤
=3¤ +2_3_1_cosh_t+1¤ _t¤
=t¤ +(6cosh)t+9
=(t+3cosh)¤ +9-9cos¤ h
14
b¤2
a¤2
b¤2
a¤2
A’MÚ
AC”
A’MÚ
AC”
A
C
MB
본문 119쪽유형
따라서 |a¯+tb|는 t=-3cosh일때최솟값
"√9-9cos¤ h를가지므로
"√9-9cos¤ h='5, 9-9cos¤ h=5
cos¤ h=;9$;
따라서
(a¯ ¥¥ b¯)¤ =(3_1_cosh)¤
(a¯ ¥¥ b¯)¤ =9cos¤ h
(a¯ ¥¥ b¯)¤ =9_;9$;
(a¯ ¥¥ b¯)¤ =4
09-4
PO≥=(0, -4), P’A‘≥=(i, 0)-(0, 4)=(i, -4)
이므로 l‘=PO≥`∑`P’A‘≥=(0, -4)`∑`(i, -4)=16
따라서 16=16_10=160
∠OPA‘=h‘라하면 |P’A‘≥|cos h‘=|PO≥|
l‘=PO≥`∑`P’A‘≥=|PO≥||P’A‘≥|cos h‘=|PO≥|¤
따라서
l‘= PO≥`∑`P’A‘≥
l‘= |PO≥|¤
l‘= 16
l‘=16_10=160
10
¡i=1
10
¡i=1
10
¡i=1
10
¡i=1
다른풀이
10
¡i=1
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정답과풀이 57
10-1① 10-2③ 10-3④ 10-4②
10 두평면벡터가이루는각의크기
10-1
두벡터가서로수직이기위해서는 a•b ¯=0이다.
(3, 4-x)•(7, x)=0
21+4x-x¤ =0
x¤ -4x-21=0
(x-7)(x+3)=0
x>0이므로 x=7
두벡터가서로평행하기위해서는
a=kb ¯ (k는 0이아닌실수)이다.
즉, 3=7k, 4-x=kx
두식을연립하여풀면
k= , x=
따라서m=7, n= 이므로
=
10-2
|a ¯+b¯|=4이므로
|a ¯+b¯|¤ =(a¯+b¯)¥¥ (a ¯+b¯)
=a¯ ¥¥ a¯+a¯ ¥¥ b¯+b¯ ¥¥ a¯+b¯ ¥¥ b¯
=|a¯|¤ +2(a ¯ ¥¥ b ¯)+|b ¯|¤
=3¤ +2(a ¯ ¥¥ b¯)+2¤
=4¤
즉, a ¯ ¥¥ b¯=;2#;
따라서
cosh=
cosh=
cosh=;4!;
;2#;
3_2
a ¯ ¥¥ b¯|a¯||b¯|
25
nm
145
145
37
본문 121쪽유형 10-3
두벡터 a ¯, b가이루는각의크기가 ;6“;이고,
|a¯|='3, |b¯|=2이므로
a ¯`•b=|a||b|cos ;6“;='3_2_ =3
두벡터 2a¯+tb ¯와 a ¯가수직이므로
(2a+tb)`•a=0
따라서 2a¯`•a ¯+t(b`•a)=0이므로
t=- =-
t=- =-2
10-4
점P의좌표를 P(0, a)라하면
PA≥=(1, -a), PB≥=(3, -a)
∠APB=h라하면
cos h=
cos h=
cos h=»«…
cos h=»«…1-
cos h=»«…1-
그런데 a¤ + æ2æa¤ –_ =6
(단, 등호는 a=—'3일때성립)
그러므로 a=—'3일때 cos h가최소이고 h는최대이다.
따라서삼각형APB의넓이는
;2!;_2_'3='3
9a¤
9a¤
4913+10+a¤a¤
4a¤9+10a¤ +a›
(3+a¤ )¤9+10a¤ +a›
3+a¤"1ç+a¤ "9 ç+a¤
PA≥•`PB≥
|PA≥||PB≥|
2_3
3
2|a|¤
a ¯`•b
2a¯`•a ¯
a`•b
'32
58 수능열기 / 수학가
11-1⑤ 11-2③ 11-3② 11-4 3
11 평면에서의속도와가속도
11-1
평면위를움직이는점P의시각 t에서의위치 (x, y)가
x=t¤ +at, y=2at¤ +4t일때
=2t+a, =4at+4
이므로 t=1일때의속도는 (a+2, 4a+4)이다.
따라서 t=1에서의점P의속력이 4'1å0이므로
(a+2)¤ +(4a+4)¤ =160
17a¤ +36a-140=0
(17a+70)(a-2)=0
따라서 a=2또는 a=-;1&7);
그런데 a>0이므로
a=2
11-2
점P의 x좌표가매초 1씩증가하므로점P의 x좌표는 t,
y좌표는 로놓을수있다.
즉, 점P(x, y)에서 x=t, y= 이므로
=1, =-
=0, =
점P가점 (ln 4, 1)을지날때 t=ln 4이므로
점P의시각 t=ln 4에서의속도와가속도를각각 v, a ¯라하면
v=(1, -1), a=(0, 1)
따라서 |v¯|="√1¤ +(-1)¤ ='2, |a¯|="√0¤ +1¤ =1
11-3
점P의시각 t에서의위치가 x=2t¤ -t, y='7t+1이므로
=4t-1, ='7
=4, =0
즉, 점P의속도와가속도는각각 (4t-1, '7), (4, 0)이다.
d¤ ydt¤
d¤ xdt¤
dydt
dxdt
4e†
d¤ ydt¤
d¤ xdt¤
4e†
dydt
dxdt
4e†
4e†
dydt
dxdt
본문 123쪽유형
t=a에서점P의속력과가속도의크기가서로같으므로
"(√4a-1)¤ +('7)¤ ="√4¤ +0¤
위의식의양변을제곱하여정리하면
2a¤ -a-1=0, (2a+1)(a-1)=0
a>0이므로 a=1
11-4
x=sin t, y=2cos t+t에서
=cos t, =-2sin t+1
이므로
{ }¤ +{ }¤ =(cos t)¤ +(-2 sin t+1)¤
{ }¤ +{ }¤ =cos¤ t+4 sin ¤ t-4 sin t+1
{ }¤ +{ }¤ =3 sin¤ t-4 sin t+2
{ }¤ +{ }¤ =3{sin t-;3@;}¤ +;3@;
이때-1…sin t…1이므로
{ }¤ +{ }¤의값은 sin t=-1일때최대이다. 즉,
{ }¤ +{ }¤…3_(-1)¤ -4_(-1)+2=9
이므로
æ{≠ }¤ +{ }¤…'9=3
따라서점P의속력의최댓값은 3이다.
dydt
dxdt
dydt
dxdt
dydt
dxdt
dydt
dxdt
dydt
dxdt
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 59
12-1③ 12-2⑤ 12-3⑤ 12-4②
12 평면에서의곡선의길이
12-1
f(x)=;3@;x'x, 곡선의길이를 l이라하면 f '(x)=x;2!;이므로
l=:)3 øπ1+ π{ f π'(x)}¤ dx
l=:)3 øπ1+(x;2!;)¤ dx
l=:)3 'ƒ1+xdx
l=[;3@;(1+x);2#;]3)
l=;3@;(8-1)
l=:¡3¢:
12-2
y=;4!;x¤ -ln'ßx=;4!;x¤ -;2!; lnx에서
y'=;2!;x-;2!;_;[!;
y'=;2!; {x-;[!;}
이므로곡선의길이를 l이라하면
l=:@8 æ≠1+{≠ }2 dx
l=:@8 æ≠1+[≠;2!; {x≠-≠;[!;}]2 dx
l=;2!;:@8 æ≠4+ ≠{x≠- ≠;[!;}2 dx
l=;2!;:@8 æ≠≠{x≠+≠;[!;}2 dx
l=;2!;:@8 {x+;[!;}dx {x+;[!;>0이므로 |x+;[!;|=x+;[!;}
l=;2!;[;2!;x¤ +lnx]8@
l=;2!; {(32+ln8)-(2+ln2)}
l=;2!;(30+2 ln2)
l=15+ln2
dydx
본문 125쪽유형 12-3
=2t¤ , =2t이므로구하는길이는
:)1 æ≠{ }¤+{ }
¤ dt=:)1 "√4t› +4t¤ dt
:)1 æ≠{ }¤+{ }
¤ dt=:)1 2t"√t¤ +1 dt
t¤ +1=u로놓으면 2t= 이고
t=0일때 u=1, t=1일때 u=2이므로
:)1 2t"√t¤ +1dt=:!2 'udu=[;3@;u;2#;]2!
:)1 2t"√t¤ +1dt=;3@;(2'2-1)
12-4
='2(e† sin t+e† cos t)='2e† (sin t+cos t)
='2(e† cos t-e† sin t)='2e† (cos t-sin t)
이므로점P가 t=0에서 t=ln10까지움직인거리는
:)
ln10æ≠{ }
¤+{ }¤ dt
=:)
ln10
"√2e¤ † (sin t+co√s t)¤ +2e¤ † (√cos t-sin t)¤ dt
=:)
ln10
"√2e¤ † {(sin t+co√s t)¤ +(√cos t-sin t)¤ } dt
=:)
ln10
"√2e¤ †_2dt=:)
ln10
2e† dt
=[2e† ] =2(eln10-e0)
=2(10-1)
=18
ln10
0
dydt
dxdt
dydt
dxdt
dudt
dydt
dxdt
dydt
dxdt
Ⅹ.공간도형
60 수능열기 / 수학가
13-1 12 13-2② 13-3⑤ 13-4 34
13 직선과직선, 직선과평면이이루는각
13-1
EH”∥AD”이므로두직선 AC, EH가이루는각의크기 a는두
직선AC, AD가이루는각의크기와같다.
이때삼각형ACD는직각이등변삼각형이므로
a=
따라서 cos¤ a=cos¤ ={ }¤ = yy㉠
FH”∥BD”이므로두직선 AC, FH가이루는각의크기 b는두
직선AC, BD가이루는각의크기와같다.
이때정사각형ABCD의두대각선AC, BD는수직이므로
b=
따라서 cos¤ b=cos¤ =0 yy㉡
BG”∥AH”이므로두직선 AC, BG가이루는각의크기 c는두
직선AC, AH가이루는각의크기와같다.
이때삼각형AHC는정삼각형이므로 c= 이다.
따라서 cos¤ c=cos¤ ={ }¤ = yy㉢
㉠, ㉡, ㉢에서
16(cos¤ a+cos¤ b+cos¤ c)=16_{ +0+ }
16(cos¤ a+cos¤ b+cos¤ c)=12
13-2
AG”="( √'2)¤ +('3)¤ +2¤ =3
이고직선 EF와직선 GH는평행하므로직선AG와직선 EF
가이루는예각의크기는직선 AG와직선 GH가이루는예각
의크기와같다.
이때삼각형AGH는직각삼각형이므로
cos h= = ='2
3
AB”
AG”
G’HÚ
AG”
14
12
14
12
p3
p3
p2
p2
12
'22
p4
p4
본문 127쪽유형
13-3
꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발 F는 밑면인 정사각형
BCDE의 두 대각선 BD, CE의 교점과 같으므로 직선 AC와
밑면 BCDE가 이루는 각의 크기 h는 직선 AC와 직선 CF가
이루는각의크기와같다.
cos h=cos (∠ACF)
cos h=cos 30˘=
이때C’F’=;2!;_C’E’=;2!;_('2_B’C’)= 이므로직각삼각
형AFC에서
cos h=cos(∠ACF)
cos h= =
cos h= =
따라서 a= =
13-4
정사각형 BCDE의두대각선의교점을 O, 점 P에서선분 BD
에내린수선의발을H라하면두점 O, H는각각두점A, P
에서평면BCDE에내린수선의발이다.
사각형BCDE는한변의길이가 4인정사각형이므로
BD”=4'2
이때A’B’=A’D”=4, BD”=4'2이므로
∠BAD=90˘
A
B
D
h
P
E
H
O
C
'63
'2'3
'32
'22a
aCF”
AC”
'22
'32
A
B
DE
F h
C
'22
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 61
직각삼각형DAP에서A’P’=;4!;AB”=1이므로
D’P’="√4¤ +1¤ ='∂17
선분AB를 1 : 3으로내분하는점이P이므로점H는선분OB
를 1 : 3으로내분하는점이다.
D’H”=DO”+OH”
D’H”=2'2+
D’H”=
한편직각삼각형DHP에서
PH”=øπD’P’ ¤ -D’H” ¤
PH”=Æ…17-:∞4º:
PH=
이때선분 DP와평면 BCDE가이루는각의크기는직각삼각
형DHP에서선분DP와선분DH가이루는각의크기와같다.
tanh= = =;5#;
따라서 p=5, q=3이므로
p¤ +q¤ =5¤ +3¤ =34
3'21121125'2112
PH”
D’H”
3'22
5'22
2'24
14-1⑤ 14-2④ 14-3④ 14-4④
14 이면각과삼수선의정리
14-1
평면 a 위에있지않은한점 P에서이평면까지의거리가 4이
므로
PH”=4
또한점P에서직선 l에내린수선의발을H'이라하면
P’H'”=9
주어진조건에의하여
PH”⊥a, P’H'”⊥l
이므로삼수선의정리에의하여
H’H'”⊥l
따라서점H에서직선 l까지의거리는H’H'”이므로
H’H'”="√9¤ -4¤ ='6å5
14-2
직선 PO와평면 a가수직이고직선 OH와직선 OA는평면 a
위의직선이므로
PO”⊥OH”, PO”⊥OA”
삼각형PHO는∠PHO= 인직각삼각형이므로
cos = 에서
PH”=
PH”= =4
tan = 에서
PO”=OH”_tan
PO”=2_'3=2'3
p3
PO”
OH”
p3
2
;2!;
OH”
cos ;3“;
OH”
PH”
p3
p3
P
H
9 4
H'la
본문 129쪽유형
62 수능열기 / 수학가
또삼각형PAO는∠PAO= 인직각삼각형이므로
sin = 에서
PA”=
PA”=
PA”=2'6
이때PO”⊥a, OH”⊥AB”이므로삼수선의정리에의하여
PH”⊥AB”이고삼각형PAH는직각삼각형이다.
AH”=øπPA” ¤ -PH” ¤
AH”=øπ(2'6)¤ -4¤
AH”=2'2
따라서삼각형PAH의넓이는
_AH”_PH”= _2'2_4=4'2
14-3
DH”⊥(평면 EFGH), DI”⊥EG”이므로 삼수선의 정리에 의하여
HI”⊥EG”이다.
EF”=FG”이므로
GI”=;2!;EG”
GI=;2!;_4'2
GI”=2'2
직각삼각형DIG에서DG”=5이므로
DI”=øπDG” ¤ -GI” ¤ =øπ5¤ -(2'2)¤ ='∂17
A
E
G
CD
B
H
I
F
12
12
A
P
HB
O
p4
p3
2'3'21332
PO”
sin ;4“;
PO”
PA”
p4
p4
한편밑면EFGH는정사각형이므로
HI”=GI”=2'2
평면DIG와평면HEG가이루는예각의크기는이면각의크기
의정의에의하여두직선 DI와 HI가이루는예각의크기와같
으므로
cosh=cos(∠DIH)
cosh= =
14-4
밑면인원의중심을O라하자.
점 P에서 아래쪽에 있는 밑면에 내린 수선의 발 H에 대하여
HP”⊥(평면 AQH)이고, 조건에서 HQ”⊥AB”이므로 삼수선의
정리에의하여PQ”⊥AB”이다.
직각삼각형PQA에서AP”='∂30, PQ”='∂29이므로
AQ”=øπAP” ¤ -PQ” ¤
AQ”=øπ('∂30)¤ -('∂29)¤ =1
한편밑면의반지름의길이를 r라하면직각삼각형HQO에서
HO”=r=;2%;, OQ”=r-1=;2#;이므로
HQ”=øπHO” ¤ -OQ” ¤
HQ”=æ≠{;2%;}¤ -{;2#;}¤ =2
평면AQP와평면AQH가이루는예각의크기는이면각의크
기의정의에의하여두직선PQ와HQ가이루는예각의크기와
같으므로
cosh=cos (∠PQH)
cosh= =2'∂2929
2 '∂29
P
A
Q
H
OB
2'∂3417
2'2'∂17
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 63
15-1④ 15-2③ 15-3② 15-4 21
15 정사 의길이와넓이의응용
15-1
단축은 밑면과 평행하므로 단면의
밑면 위로의 정사영은 지름의 길이
가 2인원이다.
따라서장축의길이를 x라하면
xcos 60˘=2
x_;2!;=2
따라서 x=4
15-2
원C의넓이를S라하면
S=p_2¤ =4p
넓이가S¡인도형F¡의평면a위로의정사영이원 C이므로
S=S¡cos
S¡=
S¡=
S¡=8p
원C의평면b위로의정사영은넓이가S™인도형F™이므로
S™=S cos
S™=4p_
S™=2p
따라서 S¡+S™=8p+2p=10p
15-3
그림과같이지면에생기는공의그림자는반지름의길이가
태양광선�
지면�
C
60˘
30˘C'
12
p3
4p
;2!;
S
cos ;3“;
p3
본문 131쪽유형
2
2
a
6'2인원 C에태양광선이수직으로비출때, 지면에생기는그
림자C'과같다.
원 C의 넓이는 p_(6'2)¤ =72p이므로 그림자 C'의 넓이를 S
라하면
Scos 30˘=72p
따라서 S= = =48'3p
15-4
점O에서평면ABC에내린수선의발을H라하면점H는
삼각형ABC의무게중심이다.
또직선OG와모서리AB가만나는점을M, 점G의평면
ABC위로의정사영을G'이라하면
O’M”=O’A” sin 60˘=
MH”=;3!;C’M”=;3!;O’M”
MH=;3!;_ =
O’H”=øπO’M” ¤ -MH” ¤ =Æ…:™4¶:-;4#;='6
또 G’G'”=;3!;O’H”=;3!;_'6= 이고
A’G’=O’G’=;3@;O’M”=;3@;_ ='3
따라서구하는정사영의길이는
A’G'”=øπA’G’ ¤ -G’G'” ¤ =Æ…3-;3@;=
따라서 a= 이므로
9a¤ =9_:™9¡:=21
'∂213
'∂213
3'32
'63
'32
3'32
3'32
A C
B
H
O
M
G
G'
144p'3
72pcos 30˘
64 수능열기 / 수학가
16-1⑤ 16-2⑤ 16-3⑤ 16-4①
16 두점사이의거리
16-1
두점 P(3, 2, 3), Q(7, 5, 8)에서 xy평면에내린수선의발을
각각 P'(3, 2, 0), Q'(7, 5, 0)이라할때, 선분 PQ의 xy평면
위로의정사영은선분P'Q'과같다.
따라서정사영의길이는
P'ÚQ'Ú="(√7-3√)¤ +√(5-2)¤ =5
16-2
점 C가 y축위의점이므로점 C의좌표를 C(0, b, 0)이라하
면AC”=BC”에서AC” ¤ =BC” ¤이다.
A(1, -2, 3), B(3, 1, 4)이므로
AC” ¤ =(0-1)¤ +(b+2)¤+(0-3) ¤
=b¤ +4b+14
BC” ¤ =(0-3)¤ +(b-1) ¤ +(0-4) ¤
=b¤ -2b+26
b ¤ +4b+14=b¤ -2b+26에서
b=2
즉, 점C의좌표는 C(0, 2, 0)이다.
따라서
AC”=øπ(0-1)¤ +(2+2)¤ π+(0-3)¤
='∂26
16-3
xy평면위의점P의좌표를 P(a, b, 0)으로놓으면
A’P’="√(a-1)¤ √+(b-3)¤ +(0-2)¤
A’P’="√a¤ +b¤ -2a-6b+14
B’P’="√(a+2)¤ √+(b-3)¤ +(0-5)¤
B’P’="√a¤ +b¤ +4a-6b+38
A’P’=B’P’이므로
a¤ +b¤ -2a-6b+14=a¤ +b¤ +4a-6b+38에서
a=-4
따라서P(-4, b, 0)이므로
O’P’="√(-4)¤ +b¤ +0¤ ="√b¤ +16æ4
(단, 등호는 b=0일때성립)
따라서O’P’의최솟값은 4이다.
본문 133쪽유형
좌표공간의서로다른두점A, B에대하여A’P’=B’P’를만족시
키는점P는선분AB를수직이등분하는평면위의점이다.
따라서 A’P’=B’P’를만족시키고 xy평면위에있는점 P의자취
는 선분 AB를 수직이등분하는 평면과 xy평면의 교선 위의 점
이다.
16-4
점P(a, b, c)에서원점까지의거리가 5이므로
"√a¤ +b¤ +c¤ =5에서
a¤ +b¤ +c¤ =25 yy㉠
점P의 z축에대하여대칭인점이Q이므로
Q(-a, -b, c)이다.
PQ”="√{a-(-a)} ¤ +{b-√(-b)}¤ +(c-c)¤
PQ”="√4a¤ +4b¤
PQ=6
a¤ +b¤ =9 yy㉡
㉠에서 c¤ =16이므로
c=4
점 P에서 zx평면에내린수선의발을H라하면점 P에서 zx평
면까지의거리가 2이므로
PH”=2
즉, b=2
㉡에서 a='5
따라서 abc='5_2_4=8'5
참고
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 65
17-1④ 17-2② 17-3③ 17-4①
17-5④
17 두점의내분점과외분점
17-1
두점A(a, 2, 0), B(-4, b, 4)에대하여선분AB를 2 : 1
로내분하는점을C라하면점C의좌표는
C{ , , }
이때점 C는 z축위의점이므로점 C의 x좌표와 y좌표는모두
0이다.
즉, =0, =0이므로
a=8, b=-1
이고, 두점A, B의좌표는각각 A(8, 2, 0), B(-4, -1, 4)
이다. 따라서
AB”=øπ(-4-8)¤ +π(-1-2)¤ +π(4-0)¤
=13
17-2
삼각형ABC의무게중심G의좌표는
G{ , , }
즉, { , , }이다.
점G는 zx평면위의점이므로점G의 y좌표는 0이다.
따라서 =0에서 a=-5이다.
17-3
두 점 A(-1, 2, -3), B(4, -5, 6)에 대하여 선분 AB를
m : n으로내분하는점을P(x, y, z)라하면
x= , y= , z=
x좌표와 y좌표가같으므로
= 에서
4m-n=-5m+2n
즉, n=3m
-5m+2nm+n
4m-nm+n
6m-3nm+n
-5m+2nm+n
4m-nm+n
a+53
a+83
a+53
a+23
2+3+(a+3)3
0+6+(a-1)3
3-1+a3
2b+23
-8+a3
2_4+1_02+1
2_b+1_22+1
2_(-4)+1_a2+1
본문 135쪽유형 따라서 z= = =-;4#;
17-4
점 B(2, 1, 2)를 xy평면에대하여대칭이동한점을점 B'이라
하면점B'의좌표는 B'(2, 1, -2)이다.
그림에서
AP”+PB”=AP”+P’B'ÚæA’B'Ú
따라서점P가선분AB'과 xy평면의교점Pº에위치할때,
AP”+PB”는최솟값A’B'Ú을갖는다.
A’PºÚ : PºÚB'Ú=t :1 (t는실수)
로놓으면점Pº의좌표는
Pº{ , , }
이고, 점Pº은 xy평면위의점이므로
=0에서 t=3
그러므로구하는점P의좌표는 P{;2%;, -;2!;, 0}이다.
따라서 a+b=;2%;+{-;2!;}=2
17-5
두삼각형 PAC, PBC에서밑변을각각선분AC, 선분 BC로
하면 두 삼각형의 높이는 같으므로 넓이의 비는 밑변의 길이의
비와같다.
즉, AC” : BC”=3 : 1이다.
따라서점C는선분AB를 3:1로외분하는점이므로
C{ , , }
즉, C{6, -;2%;, ;;¡2¡;;}
따라서 a+b+c=6+{-;2%;}+;;¡2¡;;=9
3_4-1_13-1
3_(-1)-1_23-1
3_3-1_(-3)3-1
-2t+6t+1
-2t+6t+1
t-5t+1
2t+4t+1
Pº
O
B(2, 1, 2)A(4, -5, 6)
B'(2, 1, -2)
P
z
y
x
6m-9mm+3m
6m-3nm+n
66 수능열기 / 수학가
18-1② 18-2 12 18-3④ 18-4③
18 공간좌표에서구의방정식
18-1
구 x¤ +y¤ +z¤ -6x+8z+21=0을변형하면
(x-3)¤ +y¤ +(z+4)¤ =4
즉, 중심이C(3, 0, -4)이고반지름의길이 r=2인구이다.
이때OC”-r…OP”…OC”+r이고,
OC”=øπ3¤ +0¤ +(-4)¤ =5이므로
OP”…OC”+r
=5+2
=7
OP”æOC”-r
=5-2
=3
즉, M=7, m=3이다.
따라서 M+m=7+3=10
18-2
구 S¡의중심은 (1, 0, 3), 반지름의길이는 6이고, 구 S™의중심
은 (-1, 2, 2), 반지름의길이는 r이다.
두구S¡, S™의중심사이의거리는
"√(-1-1)¤ √+(2-0)¤ +(2-3)¤ =3<6
이므로두구가접하려면내접해야한다.
따라서두구의반지름의길이의차는두구의중심사이의거리
와같아야한다.
|r-6|=3이므로 r-6=-3또는 r-6=3이다.
즉, r=3또는 r=9
따라서구하는상수 r의값의합은 3+9=12
18-3
구 S의중심에서 xy평면에내린수선의발의좌표가 (1, 3, 0)
이므로구S의중심의좌표는 (1, 3, a)로놓을수있다.
C
P
O
r
r
본문 137쪽유형
또정사영인원의반지름의길이가 6이므로구 S의반지름의길
이도 6이다.
구 S의중심 A(1, 3, a)에서 yz평면에내린수선의발을 H라
하면H(0, 3, a)이므로
A’H”=1
따라서구S와 yz평면이만나서생기는원의반지름의길이는
"√6¤ -1¤ ='∂35
이므로구하는원의넓이는
('∂35)¤ p=35p
18-4
x¤ +y¤ +z¤ +2x-6y-8z+k=0에서
(x+1)¤ +(y-3)¤ +(z-4)¤ =26-k yy㉠
㉠이구가되기위해서는
'ƒ26-k>0, 즉 k<26 yy㉡
한편, 구의 중심의 좌표가 (-1, 3, 4)이고, 구 ㉠이 zx평면과
만나기위해서는구의반지름의길이가구의중심과 zx평면사
이의거리보다크거나같아야하므로
'ƒ26-kæ3, 즉 26-kæ9에서 k…17 yy㉢
또한, 구㉠이 xy평면과만나지않으려면구의반지름의길이가
구의중심과 xy평면사이의거리보다작아야하므로
'ƒ26-k<4, 즉 26-k<16에서 k>10 yy㉣
㉡, ㉢, ㉣에서 10<k…17
자연수 k의최솟값은 11, 최댓값은 17이므로그합은 28이다.
A
S
H1
6
yz평면�
35
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 67
19-1① 19-2⑤ 19-3① 19-4④
19 공간벡터의크기와연산
19-1
CP≥-CB≥=BP≥이고, 삼각형BAD에서
AB”=AD”=10이고BD”=10'2이므로∠BAD=;2“;
따라서벡터 BP≥의크기가최소일때는점 P가점 A와일치할
때이므로구하는 |CP≥-CB≥|의최솟값은
BA”=10
19-2
AG≥+H’E≥=AG≥+GF≥=AF≥, AF”='2이므로
a=|AG≥+H’E≥|=|AF≥|='2
그림과같이한모서리의길이가 1인정육면체 DCJI-HGKL
을정육면체ABCD-EFGH에이어붙이면
A’G≥-H’E≥=AG≥-K’G≥
A’G≥-H’E≥=AG≥+(-K’G≥)
A’G≥-H’E≥=AG≥+G’K≥=A’K≥
이때삼각형AIK는직각삼각형이고AI”=2, IK”='2이므로
A’K”=øπAI” ¤ +IK” ¤ =øπ2¤ +('2)¤ ='6
b=|AG≥-H’E≥|=|A’K≥|='6
따라서 ab='2_'6=2'3
19-3
두구의중심 C¡, C™가일치하도록두구를이동하고그중심을
C
P
Q
I J
K
G
FE
A
D C
BL
H
본문 139쪽유형
ⅩⅠ.공간벡터 C라하면
C’¡P≥=CP≥, C’™Q≥=CQ≥
사각형PCQR가평행사변형이되도록점R를정하면
|C’¡P≥+C’™Q≥|=|CP≥+CQ≥|=|CR≥|='5
이고, 조건에서
|CP≥|=|QR≥|=1, |CQ≥|=|PR≥|=2
이므로
|CP≥|¤ +|PR≥|¤ =|CQ≥|¤ +|QR≥|¤ =|CR≥|¤
이성립한다. 따라서 ∠CPR=∠CQR= 이므로평행사변형
PCQR는직사각형이다. 이때두직선 C¡P, C™Q가이루는각의
크기 h는∠PCQ이다.
즉, h=∠PCQ=
따라서 cosh=cos =0
19-4
O’A≥-O’P≤=PA≥이므로주어진조건에서
|O’P≤|=|PA≥|=6
그런데 |O’A≥|=6이므로 삼각형 OAP는 한 변의 길이가 6인
정삼각형이다.
선분OA는고정되어있으므로점P는선분OA의중점
M(0, 0, 3)을중심으로하고반지름의길이가 PM”=3'3이며
평면 z=3위에있는원위의점이다.
따라서점P가나타내는도형전체의길이는 6'3p이다.
O
A
MP
y
x
z
p2
p2
p2
C
P R
Q
68 수능열기 / 수학가
20-1 44 20-2① 20-3③ 20-4②
20 공간벡터의내적과활용
20-1
a ¯+2b ¯=(2, -1, 3)+(-2, 0, 8)=(0, -1, 11)이므로
(a+2b ¯) ¥¥ b¯=(0, -1, 11) ¥¥ (-1, 0, 4)
=0_(-1)+(-1)_0+11_4
=0+0+44=44
a ¯ ¥¥ b¯=(2, -1, 3) ¥¥ (-1, 0, 4)
a ¯ ¥¥ b¯=-2+0+12=10
b ¯ ¥¥ b¯=(-1, 0, 4) ¥¥ (-1, 0, 4)
a ¯ ¥¥ b¯=1+0+16=17
이므로
(a+2b ¯) ¥¥ b¯=a ¯ ¥¥ b¯+2(b ¥¥ b ¯)
=10+2_17
=44
20-2
OA≥ ¥¥ OP≥=OB≥ ¥¥ OP≥이므로
(OA≥-OB≥) ¥¥ OP≥=BA≥ ¥¥ OP≥=0
따라서 BA≥⊥OP≥
따라서점 P는주어진구의중심인원점 O를지나고선분 AB
와수직인평면에의하여구가잘려서생기는원위의점이다.
이때OA≥+OB≥=(2, 1, 5)이므로
|OA≥+OB≥|="√2¤ +1¤ +5¤
|OA≥+OB≥|='∂30
점 P는구위의점이므로 |OP≥|=3이고, 벡터 OA≥+OB≥와벡
터OP≥가이루는각의크기를 h라하면 0…h…p이다.
따라서OA≥ ¥¥ OP≥+OB≥ ¥¥ OP≥=(OA≥+OB≥) ¥¥ OP≥의최댓값은
|OA≥+OB≥||OP≥|cos 0='∂30_3_1
=3'∂30
A
B
O
P
OA+OB
다른풀이
본문 141쪽유형 20-3
그림과같이꼭짓점H를원점, 세반직선HE, HG, HD를각각
x축, y축, z축의양의방향으로하는좌표공간에직육면체
ABCD-EFGH를올려놓으면네점E, P, F, Q의좌표는
E(2, 0, 0), P(0, 1, 4), F(2, 2, 0), Q(0, 0, 2)
EP≥=HP≥-HE≥=(-2, 1, 4)
FQ≥=HQ≥-HF≥=(-2, -2, 2)
따라서
EP≥ ¥¥ FQ≥=(-2, 1, 4)¥¥(-2, -2, 2)
EP≥ ¥¥ FQ=4-2+8=10
20-4
점 B가원점에놓이고모서리 AB는 y축에, 모서리 BD는 z축
에 놓이도록 삼각뿔 ABCD를 좌표공간으로 이동하면 그림과
같으므로
OA≥=(0, 2, 0), OC≥=(2, 2, 0), OD≥=(0, 0, 4)
점E는모서리BD의중점이므로
OE≥=(0, 0, 2)
점F는모서리AC의중점이므로
OF≥=(1, 2, 0)
그러므로
AE≥=OE≥-OA≥=(0, 0, 2)-(0, 2, 0)=(0, -2, 2)
DF≥=OF≥-OD≥=(1, 2, 0)-(0, 0, 4)=(1, 2, -4)
따라서
AE≥ ¥¥ DF≥=(0, -2, 2)¥¥(1, 2, -4)
=0-4-8=-12
2
A2
E
C
F
O(B)
4
D
x
z
y
z
y
x
A
E F
GH2
2
QB
CPD4
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 69
21-1④ 21-2⑤ 21-3① 21-4②
21 직선의방정식
21-1
직선 3(x-5)=2(y-1)=6(z+1)에서
= =z+1이므로이직선의방향벡터는
u Æ¡≤=(2, 3, 1)이다.
그런데직선 l과직선 3(x-5)=2(y-1)=6(z+1)이서로평
행하므로직선 l의방향벡터도 uÆ™ ≤=(2, 3, 1)이다.
그러므로구하는직선의방정식은
= =z+3
이직선이점 (2, a, b)를지나므로
= =b+3에서
a=7, b=-1이므로 a+b=7+(-1)=6
21-2
직선 l의방정식은 = =z-2
직선m의방정식은 x-1=y=
즉, 직선 l의방정식은모든실수 t에대하여
x=1+3t, y=1+2t, z=2+t
직선m의방정식은모든실수 s에대하여
x=1+s, y=s, z=-1+(k+1)s
두직선의교점이있기위해서는 x좌표, y좌표, z좌표가일치하
는두실수 t, s가존재해야한다.
1+3t=1+s yy㉠
1+2t=s yy㉡
2+t=-1+(k+1)s yy㉢
㉠, ㉡을연립하여풀면
t=1, s=3
t=1, s=3을㉢에대입하면
3=-1+3(k+1)
따라서 k=
21-3
구 (x+1)¤ +(y+3)¤ +(z-2)¤ =1의 중심을 A라 하고, 구
13
z+1k+1
y-12
x-13
a-13
2+22
y-13
x+22
y-13
x-52
본문 143쪽유형
x¤ +(y-3)¤ +(z-a)¤ =4의중심을B라하면
A(-1, -3, 2), B(0, 3, a)이다.
두점A, B를지나는직선의방정식은
= =
즉, x+1= = yy㉠
직선AB가x축과만나는점의좌표를(t, 0, 0)이라하면㉠`에서
t+1= = , 즉 t+1=;2!;=
가성립해야하므로
a-2=(-2)_2
따라서 a=-4+2=-2
21-4
직선 l¡ : =y-1= 위의한점을
A(-1, 1, -1), 점A에서직선
l™ : =y+1=
에내린수선의발H의좌표를H(2t+1, t-1, 2t-2) (t는실
수)로놓을수있다.
AH≥=(2t+2, t-2, 2t-1)
이때직선l™의방향벡터는 u=(2, 1, 2)이고AH≥⊥u이므로
AH≥ ¥¥ u ¯=2(2t+2)+(t-2)+2(2t-1)
AH≥ ¥¥ u=9t=0
즉, t=0, AH≥=(2, -2, -1)
따라서두직선 l¡, l™ 사이의거리는
AH”=|AH≥|="√2¤ +(-2)¤ +(-1)¤ =3
직선 l¡ : =y-1= 위의한점을
A(-1, 1, -1)이라하고
직선 l™ : =y+1= =t (t는실수)
위의임의의한점을B(2t+1, t-1, 2t-2)라하자.
AB”=øπ(2t+2)¤ +(t-2)¤ π+(2t-1)¤
AB=øπ9t¤ +9
t=0일때, AB”의최솟값은 '9=3이므로구하는두직선 l¡, l™
사이의거리는 3이다.
z+22
x-12
z+12
x+12
다른풀이
z+22
x-12
z+12
x+12
-2a-2
0-2a-2
0+36
z-2a-2
y+36
z-2a-2
y+33-(-3)
x+10-(-1)
70 수능열기 / 수학가
22-1② 22-2① 22-3 11 22-4③
22 평면의방정식
22-1
평면 a가직선 = = 을포함하므로
직선위의점은모두평면 a에있다.
즉, 점 (1, 3, 1)은평면 a에있다.
법선벡터가 n=(1, 1, -1)이고점 (1, 3, 1)을지나는평면이
a이므로평면 a의방정식은
(x-1)+(y-3)-(z-1)=0
즉, x+y-z-3=0
따라서원점과평면 a사이의거리는
='3
22-2
평면 ax+by+cz=-4의 법선벡터 n’¡≤=(a, b, c)가 다른
두평면의법선벡터 n’™≤=(1, -1, 1), n’£≤=(1, 2, -1)과수
직이므로
a-b+c=0, a+2b-c=0
c=-3a, b=-2a
평면 ax+by+cz=-4가점 (1, -2, 3)을지나므로
a-2b+3c=-4
즉, a+4a-9a=-4에서 a=1
따라서 a=1, b=-2, c=-3이므로
a+b+c=-4
22-3
점 (3, -1, 2)와평면 x+2y+2z=k사이의거리는
=
=2에서 |5-k|=6이므로
5-k=6또는 5-k=-6
k>0이므로 k=11
|5-k|3
|5-k|3
|3+2_(-1)+2_2-k|
"√1¤ +2¤ +2¤
|-3|'ƒ1+1+1
z-15
y-32
x-13
본문 145쪽유형 22-4
직선 x-1=y+2= 의방향벡터는 u=(1, 1, 2),
평면 x-2y-z=3의법선벡터는 n=(1, -2, -1)이므로
cos { -h}=sinh=
cos { -h}=
cos { -h}=
cos { -h}=;2!;
|-3|6
|1_1+1_(-2)+2_(-1)|øπ1¤ +1¤ +2¤ øπ1¤ +(-2)¤ +(-1)¤
|u¥¥ n||u||n ¯|
p2
z+42
w w w . e b s i . c o . k r
정답과풀이 71
23-1① 23-2① 23-3⑤ 23-4③
23 구와평면의위치관계
23-1
평면 a의방정식이 x-y+z-1=0이므로평면 a에수직인직
선 l의방향벡터는평면 a의법선벡터
n≤=(1, -1, 1)과평행하다.
또직선 l이구의중심 (0, 0, 1)을지나므로직선 l의방정식은
= =
그러므로직선 l 위의점의좌표는 (t, -t, t+1)(t는실수)이
다. 평면 a와직선 l의교점은
t-(-t)+(t+1)-1=0에서 t=0
즉, 교점의좌표는 (0, 0, 1)이다.
따라서 a=0, b=0, c=1이므로
a+b+c=1
23-2
구 (x-1)¤ +(y+1)¤ +(z+1)¤ =1의중심의좌표는
(1, -1, -1)이고평면 a : 2x-3y+6z+d=0이구
(x-1)¤ +(y+1)¤ +(z+1)¤ =1에접하고있으므로
=1
즉, |d-1|=7 yy`㉠
구 (x-3)¤ +(y-5)¤ +(z+1)¤ =9의중심의좌표는
(3, 5, -1)이고평면 a가구
(x-3)¤ +(y-5)¤ +(z+1)¤ =9에접하고있으므로
=3
즉, |d-15|=21 yy`㉡
㉠에서 d=8또는 d=-6
㉡에서 d=36또는 d=-6
따라서 d=-6
23-3
구 x¤ +y¤ +z¤ =a¤ (a>0)의중심은O(0, 0, 0)이고반지름의
길이는 a이다.
구의중심O와평면 x-y+z=a사이의거리d는
|6-15-6+d|'ƒ4+9+36
|2+3-6+d|'ƒ4+9+36
z-11
y-1
x1
본문 147쪽유형 d= =
이때단면인원의넓이가 p이므로원의반지름의길이는 1이다.
"√a¤ -d¤ =æ≠a¤ - =1
=1, a¤ =;2#;
a는양수이므로
a= =
23-4
두개의구
(x+1)¤ +(y+1)¤ +z¤ =6,
x¤ +(y-2)¤ +(z-1)¤ =10
의중심은각각
C¡(-1, -1, 0), C™(0, 2, 1)
그림과같이직선 C¡C™는평면 a와수직이므로평면 a의법선벡
터를n¡≤=C’¡C™≥라할수있다.
n¡ ≤=C’¡C™≥=(0+1, 2+1, 1-0)=(1, 3, 1)
한편, xy평면의법선벡터 n™ ≤는 n™ ≤=(0, 0, 1)
따라서
cosh=
cosh=
cosh= ='∂1111
1'∂11
|1_0+3_0+1_1|
øπ1¤ +3¤ +1¤ øπ0¤ +0¤ +1¤
|n¡≤¥¥n™≤||n¡ ≤||n™ ≤|
a
C¡
C™
'62
'3'2
2a¤3
a¤3
O
1
a'3
a
x™+y
™+z
™=a
™
x-y+z=a
a'3
|-a|"√1¤ +(-1)¤ +1¤
72 수능열기 / 수학가
24-1③ 24-2 104 24-3③ 24-4③
24 평면위로의정사
24-1
평면 2x-2y+z=1과 xy평면의법선벡터가각각
n’¡≤=(2, -2, 1), n’™≤=(0, 0, 1)이므로두평면이이루는각의
크기를 h라하면
cosh= =
평면 2x-2y+z=1위에있는정삼각형의넓이는
_6¤ =9'3
따라서정사영의넓이는
9'3 cosh=9'3_ =3'3
24-2
구 S의중심은C(1, 2, 2)이므로직선OC의방향벡터를 a ¯라하
면
a ¯=(1, 2, 2)
평면 x-y+z+10=0의법선벡터를 b ¯라하면
b ¯=(1, -1, 1)
따라서 직선 OC와평면 x-y+z+10=0이이루는 예각의 크
기를 h라하면
cos {;2“;-h}=sinh=
cos {;2“;-h}= =
cosh="√1-sin¤ h
cosh=Æ…1-;2¡7;=
직선AB는구 S의중심 C를지나므로선분AB의길이는구 S
의지름의길이와같다.
즉, AB”=2'∂27
따라서선분 AB의평면 x-y+z+10=0 위로의정사영의길
이는
l=AB”_cosh=2'∂27_ =2'∂26
따라서 l¤ =4_26=104
'∂26'∂27
'∂26'∂27
13'3
|1-2+2|'9'3
|a¯ ¥¥ b¯||a¯||b¯|
13
'34
13
|2_0+(-2)_0+1_1|
øπ2¤ +(-2)¤ +1¤ øπ0¤ +0¤ +1¤
본문 149쪽유형 24-3
두 평면 x-y+3=0, x+4y+z-3=0의 법선벡터는 각각
n¡≤=(1, -1, 0), n™ ≤=(1, 4, 1)이므로두평면이이루는예각의
크기를 h라하면
cosh=
cosh=
cosh=;6#;=;2!;
원C의넓이를S라하면S=20p
따라서구하는정사영의넓이S'은
S'=Scosh=20p_;2!;=10p
24-4
직선AB의방향벡터는AB≥=(2, 1, 3)이고,
평면 a : 2x+2y-z=4의법선벡터는 (2, 2, -1)이다.
그러므로 평면 a의 법선벡터와 직선 AB의 방향벡터가 이루는
예각의크기를 h라하면
cos`h=
cos`h=
평면 a와직선AB가이루는예각의크기가 ;2 “;-h이므로
cos`{;2“;-h}=sin h=æ≠1-;1¡4;
cos`{;2“;-h}=
선분AB의길이는
"√(1+ √1)¤ √+(3 √-2 √√)¤ + √(4-1)¤ ='1 å4
따라서정사영의길이는
'1 å4cos`{;2“;-h}='1 å4_ ='1 å3'1 å3'1 å4
'1å3'1å4
1'1å4
|2_2+1_2+3_(-1)|
'4 ƒ+1 ƒ+9 '4ƒ+4+1
|1_1+(-1)_4+0_1|
øπ1¤ +(-1)¤ +0¤ øπ1¤ +4¤ +1¤
|n¡≤¥¥n™ ≤||n¡≤||n™ ≤|
2012 시민인문강좌 엘레지읽기 셸리와 오든armytage.net/pdsdata/2012 시민인문강좌.pdf-그리스어 elegos(슬픈 노래)에서 유래. 기원전 7 세기 그리스에서
VOL - Seongnam · 호텔, 호스텔, 빌라 등 ... 국내 의료기관 해외진출은 ’15년 누적 141건 에서 ’16년 155건으로 14건 (’16년 신규진출 ... 북방지역