Antena LazoAntena Lazo

Sandra Cruz-Pol, Ph. D.INEL 5305ECE UPRMMayagüez, PR

The Loop antennaThe Loop antenna

• Has many practical applications• Can be considered as a sum (integration) of Hertzian

dipoles elements

Prime variables refer to distance to the source from the origin.R is the distance from antenna to observation.

z

x

y

r

R

ar'

I

P

dl

A x,y,z 4

I x' ,y' , z' R e jkRdl'

LazoLazoPara simplificar, y aprovechándome de la simetría del problema escojo un punto de observación en el playo xz.

donde:

Sustituyendo:

Entonces queda:

'ˆˆ rrR

yyxxr

zzxxr

ˆ'ˆ''ˆ

ˆˆˆ

cos

sin

'sin'

'cos'

ry

rx

ay

ax

2

2

222

sin'cos2

1

cos'sin'cossin

r

a

r

arR

raarRR

R r asin cos'

Aplicando la Serie de Taylor:

• La corriente viaja en dirección de azimut:

• Y el elemento de largo es:

• Sustituyendo queda:

I Ioˆ

Io ˆ x sin ' ˆ y cos '

dl' a d '

'cosˆ'sinˆ'

4'cossin

2

0

yxeer

daIA jkajkro

The Loop antennaThe Loop antenna

Dos Casos:Dos Casos:

• Lazo pequeño (a/<<1)

• Lazo de tamaño arbitrario

Recall : Integral of Recall : Integral of trigonometric fnct.trigonometric fnct.

odd

2even 0

cossin220

nmnm

mnm

dnm

nm

nmdnm

2

0coscos

0

Given that m and n are integers:

nm

nmdnm

2

0sinsin

0

Small Loop, Small Loop,

• Since ka<<1

• Then

• And solving:

• We obtain that:

1 para1

...!3!2

132

xx

xxxex

'cosˆ'sinˆ'cossin1'

4

2

0

yxjkaer

daIA jkro

'cossin1'cossin jkae jka

0

sin4

2

x

jkroy

A

Aer

IjkaA

Again, if we know Again, if we know AAwe we can find can find HH and and EE..

H 1

A

1

ˆ r

1

rsin

A sin 1

ˆ

1

r

r

rA

H jka2

4rIo sin

r

e jkr

H Io ka 2

4re jkr sin

E H ?Como lucira’ el patron?

Arbitrary Size Loop Arbitrary Size Loop AntennaAntenna

• We can’t approximate, so:

• For the x-component:

• If we let:

• then

dyxeer

aIA jkajkro 'cosˆ'sinˆ

4'cossin

2

0

Ax e jkasin cos '

0

2

sin ' d '

u jka sin cos '

Ax 1

jka sineu

jka sin

jka sin

du 0

So we are left with y-So we are left with y-component onlycomponent only

• Were the integral:

• Can be identified as the Bessel function of first kind of order n.

Ay A Ioa4r

e jkr e jkasin cos '

0

2

cos' d '

Ay A Ioa4r

e jkr

e jkasin cos'

0

cos ' d ' e jka sin cos'

0

cos' d '

j nJn z e jz cos '

0

cosn ' d '

Bessel FunctionsBessel Functions

jJ1 ka sin jJ1 ka sin

Loop Antenna of Loop Antenna of arbitrary lengtharbitrary length

• J1(z) es una función impar, [i.e., -J1(-z) = J1(z)], la integral se puede simplificar a,

2jJ1 ka sin A

jIoa

2re jkrJ1 ka sin

sin

sin2

4

sin 12

ka

kaJe

r

IjkaA jkro

Igual al lazo pequeno Jinc(x)

Campos E y HCampos E y H

• Se obtienen

• Donde definimos:

EkaJ

r

ekaIH

kaJr

ekaIE

jkro

jkro

sin2

sin60

1

1

CC

aka 2

Como trazar el patron Como trazar el patron de un Lazode un Lazo

• 1. Trazamos líneas verticales desde J(x) hasta un arco de radio C,

• 2. Se coloca un punto radialmente desde el origen hasta este arco a una distancia proporcional al valor de |J(x)| en ese punto

• 3. Se repite esto para varios puntos entre x=0 y x=Cformando así un patrón polar del lazo (no normalizado).

Ejemplo:Ejemplo: sin1 CJ

sinC