APA 2514

Exercices trigonométrie,

Vecteur, 1ière condition d’équilibre 2ième condition d’équilibre

Nomenclature

Nomenclature

Définition d’angle

Nomenclature

Définition d’angle

Trigonometrie des angles droits

Triangle rectangle

Un échelle de 17 m est appuyée sur un mur dont la base de l’échelleest à 8 m. À quelle hauteur atteindra l’échelle?

Triangle rectangle

Un échelle de 17 m est appuyée sur un mur don’t la base de l’échelleest à 8 m. À quelle hauteur atteindra l’échelle?

h = 15 m

Triangles quelconques

? Rappel : somme des angles d’un triangle

Rappel :

Triangles quelconques

Loi du Cosinus

Loi du Cosinus

TROUVEZ LA RÉSULTANTE?

Deux personnes tirent une boîte se reposant sur une surface sans frottement. Une personne tire avec une force de 10 N au nord. L'autre personne tire avec une force de 15 N à l'ouest. Trouvez la grandeur et la direction de la résultante en utilisant l’approche algébrique.

Solution algébrique

Pour trouver la résultante algébriquement, esquissez les vecteurs. Construisez une triangle en plaçant la tête d'un vecteur à la queue de l'autre. Puis, compléter le triangle en dessinant la résultante par une droite de l'origine à la tête du vecteur déplacé. Voir le diagramme suivant :

Solution algébrique

A = tg -1 (10 N / 15 N) = 33.6o ou par rapport à l’axe directeur 180 – 33.6 = 146.4o

R 2 = (10 N)2 + (15 N)2 = 100 N + 225 N = 325 NR = 18 N

10N

Nord

Ouest

Résultante

PROBLÈME 2

Résoudre un vecteur en deux composantes perpendiculaires de force de 100 N à 400 vers le haut de l'axe des abscisses positifs. Déterminez les composants horizontaux et verticaux de cette force graphiquement et algébriquement.

Solution algébrique

Trouver les composants du vecteur algébriquement : 1. Esquissez le vecteur. 2. Tirez une perpendiculaire de la tête du vecteur à

un de l'axe deux. 3. Employez les définitions de base de la

trigonométrie pour trouver les composants.

Solution algébrique

sin 400 = Fy / 100 N

Fy = (100 N) sin 400 = (100 N) (0.643) = 64.3 N

cos 400 = Fx / 100N

Fx = (100 N) (.766) = 76.6 N

Trouvez les composantes vertiacale (y) et horizontale (x)

FACTEURS IMPORTANTS

• La résultante maximum se produit quand l'angle entre les deux vecteurs est 00. Quand l'angle entre les deux vecteurs est 00 la grandeur de la résultante est simplement l’addition arithmétique des deux vecteurs.

• La résultante minimum se produit quand l'angle entre les deux vecteurs est 1800. Quand l'angle entre les deux vecteurs est 1800 la grandeur de la résultante est simplement l’sosutraction arithmétique des deux vecteurs.

Problème 1

Calculez la résultante des cinq vecteurs (A,B,C,D,E) avec les angles a, b, c , d et e au point 0. Utilisez la méthodes des composantes. A= 19 et a=0° B= 15 et b=60° C= 16 et c=135° D= 11 et d= 210° E= 12 et e = 270°

Solution(1)

Vecteurs Composante horizontale

Composante verticale

A 19 0

B 15 cos 60 15 sin 60

C -16 cos45 16 sin 45

D -11 cos 30 -11sin 30

E 0 -12

5.7 6.8

Ax

By

Bx

Cy

Cx

Dy

Dx

Eya=0°b=60°c=45°d=30°e=90°

Solution(1)

9.8

8.67.5

)()(

22

22

R

R

yxR

Ax

By

Bx

Cy

Cx

Dy

Dx

Eya=0°b=60°c=45°d=30°e=90°

R

50

2.17.5

8.6

Tan

x

yTan

Résultante:

Orientation:

Problème 2

Trouvez la résultante R des deux vecteurs suivants: A= 8 avec l’angle directeur de 57° par rapport à l’horizontale, B=5 avec l’angle directeur de 322° par rapport à l’horizontale.

8 .0 0

cm

5 .0 0 c m

A

B

X +

Y +

5 7 º

3 2 2 º

Solution 2

8 .0 0

cm

5 .0 0 cm

A

B

X +

Y +

5 7 º

3 2 2 º

A y = A s in 5 7 º

A x = A co s 5 7 º

3 8 ºB x = B co s 3 8 º

B y = -B s in 3 8 º

Vecteurs Composante horizontale

Composante verticale

A 8 cos 57°(4.35)

8 sin 57°(6.71)

B 5 cos 38°(3.94)

-5 sin 38 °(-3.07)

8.29 3.64

2 68.72 13.25

R 9.04

θ 23.7 °

R

Solution

8 .0 0

cm

5 .0 0 cm

A

B

X +

Y +

5 7 º

3 2 2 º

A y = A s in 5 7 º

A x = A co s 5 7 º

3 8 ºB x = B co s 3 8 º

B y = -B s in 3 8 º

9 .0 4 c m

R

2 3 .7 º

Problème 3

Trouvez la résultante R des vecteurs suivants: A= 422 avec l’angle directeur de 0° par rapport à l’horizontal, B=405 avec l’angle directeur de 235° par rapport à l’horizontal et C= 210 avec l’angle directeur de 110° par rapport à l’horizontal.

Solution 3

4 2 2

X +

Y +

405

210

A

C

B

1 1 0 º

2 3 5 º

Illustration du problème

Note: En biomécanique par convention les angles se mesurent de l’axe des X positif dans le sens anti-horaire

Solution 3

4 2 2

X +

Y +

3 83 .3m

m

210

A

C

B

5 5 º

7 0 º

134

11 7

177-4 8 º

R x

R y R

Vecteurs Composante horizontale

Composante verticale

A 422 cos 0 °(422)

422 sin 0 °0

B -405 cos 55°(-232.3)

-405 sin 55 °(-331.7)

C -210 cos 70 °(-71.8)

210 sin 70 °(197.3)

117 -134.4

2 13689 17956

R 177.9

θ -48 ° ou 312 °

Problème

Exemple de problème

Afin de faire glisser une boîte de 1000 N sur une table en bois, on doit appliquer une force de 200 N. Quelle est le coefficient de frottement entre la boîte et la table?

1000 N

Solution

Il faut premièrement isoler le bloc et identifier toutes les forces extérieures qui agissent sur lui.

Le poids étant égal à la force normale il est possible d’obtenir le coefficient de frottement en substituant les valeurs connues dans la formule suivante:

Afin que le bloc puisse se mettre en mouvement il doit subir une force qui excède la force de frottement statique maximale. Dans le cas suivant la force minimale servant à faire bouger le bloc est de 200 N. Il est important de mentionner que l’aire de contact n’a pas d’importance sur la force de frottement.

Problème Force-Vecteur

Sur une patinoire parfaitement lisse, une rondelle de Hockey de 0,30 kg glisse sans frottement. Cette rondelle est soumise à deux forces Déterminer l’accélération de la rondelle sachant que F1 à une grandeur de 4,0 N et que F2 à une grandeur de 9,0 N.

F1

F2

50o

15o

Calculez la force résultante agissant sur la rondelle pour l’axe des x et l’axe des y.

Solution

F1

F2

50o

15o

Solutionnez les forces

Calculez maintenant l’accélération…..

Solution

L’accélération de la rondelle peut être déterminée par la deuxième loi de Newton:

L’accélération de la rondelle est de 35.5 m/s2 et son orientation peut se trouver de la façon suivante:

ax= 11.3/.3ax = 37.6m/s2

Ay=0.7/0.3Ay= 2.3m/s2

Accélération Résultante = = √ (37.62 + 2.32) = 37.6 m/s2

DCL

DCL solution

DCL avec Frottement

Bloc 1 = Bloc ABloc 2 = Bloc B

DCL avec Frottement (solution)

Exemple de problème 3

Problème : Selon la figure, identifiez les forces afin de compléter le diagramme de corps libre de l’infirmier.

Solution : Isolez le corps de l’infirmier et identifiez toutes les forces extérieures agissant sur celui-ci. Ne représentez pas les forces que l’infirmier exerce sur son environnement. Il ne faut pas oublier que dans la situation suivante, il faut prendre en considération les deux membres inférieurs et supérieurs de l’infirmier.

Il est possible d’identifier cinq forces extérieures exercées sur le corps.

• Poids (force de gravité)• Les 2 forces normales causées par la poussée, exercées par chaque pied sur le

sol (N1 et N2)

• Les 2 forces normales causées par la poussée, exercées par chaque bras sur la chaise roulante (R1 et R2)

DCL

Trovez le DCL de la personne qui est appuyée sur le mur? Seulement les mains touchent le mur.

DCL

Trouvez le DCL de la personne qui est appuyée sur le mur? Seulement les mains touchent le mur.

4 forces résultantes: 2 aux pieds et 2 aux mains et le poids de la personneou 8 forces décomposées et le poids de la personne

DCL

Trouvez le DCL de la cheville? En 2 dimension (2D)

DCL de la cheville

Centre de gravité

FgCentre de pression

Force du muscle tibial antérieur

Force des os

Force des ligaments

Moment à l’articulation

Problème 2ième loi d’équilibre

Solution

On trace premièrement un DCL représentant toutes les forces. Comme représenté sur ce dernier on remarque que l’axe articulaire du coude devient l’axe de rotation, la force de réaction

C au coude n’exerce donc aucun moment de force.

Pour déterminer la force du triceps brachial il s’agit de calculer la somme des forces verticales et le moment de forces autour du coude. Il y a deux

inconnues C et Fm.

R

w

Solution – Calcul de la force du triceps (Fm)

R

w

Solution – calcul de la force de réaction (C)

R

w

Solution

R

w

Même données, différent scénario….

20°

Calculez la force du triceps si le bras se retrouve à un angle de 20°.

R

W

Fm

20°

dwx

dRx

Problème 2ième loi d’équilibre

Problème : Sur une balançoire, deux garçons, A pesant 300 N et B 250 N, sont assis face à face. Si A est à 1,2 m du pivot, à quelle distance doit être assis B pour que la balançoire soit en équilibre ?

Solution : Afin que la balançoire soit à équilibre, la somme des moments de forces doit être égale de chaque côté de la balançoire.

Bras de levier

Problème :  À l’aide de la figure, trouvez la valeur du bras de force et du bras de résistance.

Solution : La définition d’un bras de force ou d’un bras de résistance est la distance perpendiculaire entre l’axe de rotation et la ligne d’action de la force produite par la force ou la résistance. Dans ce cas, les distances données ne sont pas les distances perpendiculaires entre la force et la résistance. Il est donc possible de trouver ces distances en utilisant les fonctions circulaires dans un triangle rectangle.

À partir de la figure 1, calculez la longueur du bras de résistance (x). si W = 172N, M = 500N, m = 2cm , = 30°.

Figure 1

cmxN

cmNx

W

mMx

mMxW

mMxWM

horairesensM

a

a

03.5172

230cos500

0

0

0

À partir de la figure 1, calculez la force M.

Si W = 100N, x=5, m = 2.5cm , = 30° .

Figure 1