apostila cálculo ii

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Instituto Superior para as Tecnologias de Informa¸ ao e Comunica¸ ao - ISUTIC Disciplina: C´ alculo II Cr´ editos:(Inatel) Prof Renan Sthel Duque Prof Melquisedec Francisco da Silva

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  • Instituto Superior para as Tecnologias de Informacao e

    Comunicacao - ISUTIC

    Disciplina: Calculo IICreditos:(Inatel)

    Prof Renan Sthel DuqueProf Melquisedec Francisco da Silva

  • Sumario

    Lista de Figuras 3

    1 Sequencias e Series 41.1 Sequencias infinitas (ou sucessoes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Definicao de uma sequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Limite de uma sequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Propriedades do limite de sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.2 Limites que aparecem com frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3.1 Definicao e conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2 Series convergentes e divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Series geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.4 Propriedades das series infinitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.5 Series-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    1.4 Series de termos nao negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Teste da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Teste da comparacao direta (ou criterio de Gauss) . . . . . . . . . . 211.4.3 Teste da comparacao no limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.4 Teste da razao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.5 Teste da raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.5 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.1 Teste para series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.2 Convergencia absoluta e convergencia condicional . . . . . . . . . . 28

    1.6 Resumo dos testes de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 1a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 Respostas da 1a serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.9 2a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.10 Respostas da 2a serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.11 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    1.11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.2 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11.3 Teorema da convergencia para series de potencias . . . . . . . . . . 43

    1.12 Expansao de funcoes em series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.12.1 Diferenciacao e integracao de series de potencias . . . . . . . . . . . 441.12.2 Series de Taylor e series de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1.13 3a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    1

  • 1.14 Respostas da 3a serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2 Equacoes diferenciais ordinarias 522.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2 Definicao de equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3 Classificacao das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    2.3.1 Classificacao quanto ao tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.2 Classificacao quanto a` ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.3 Classificacao quanto a` linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    2.4 Origem das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.1 Problemas geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.2 Problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4.3 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2.5 Solucoes gerais e particulares de uma equacao diferencial . . . . . . . . . . 572.5.1 Solucao geral de uma equacao diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.2 Solucao particular de uma equacao diferencial . . . . . . . . . . . . 59

    2.6 4a Serie de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.7 Equacoes diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    2.7.1 Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7.2 Forma normal e forma diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7.3 Solucao do problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.7.4 Formas de equacoes diferenciais de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . 61

    2.8 Aplicacoes dos diversos tipos de equacoes diferenciais . . . . . . . . . . . . 672.9 Equacoes diferenciais lineares de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . 70

    2.9.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.9.2 Propriedades do operador diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.9.3 Smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    2.10 Equacoes diferenciais lineares homogeneas de ordem n com coeficientes cons-tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.10.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.10.2 Equacao caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.10.3 Princpio da Superposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.10.4 Solucao da equacao diferencial linear homogenea de coeficientes cons-

    tantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.11 Equacoes diferenciais nao-homogeneas de ordem n com coeficientes constantes 80

    2.11.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.11.2 Solucao da equacao diferencial nao-homogenea de ordem n com coe-

    ficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.12 5a Serie de Exerccios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.13 Aplicacoes das equacoes diferenciais homogeneas na analise de circuitos eletricos 91

    2

  • Lista de Figuras

    1.1 Grafico da sequencia {an} = n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Limite de uma sequencia {an} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 120 primeiros termos da sequencia {an} = 1

    n. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Faixa de convergencia da sequencia {an} = 1npara = 0, 01. . . . . . . . . 8

    1.5 20 primeiros termos da sequencia {an} = nn+ 1

    . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.6 Faixa de convergencia da sequencia {an} = nn+ 1

    para = 0, 1. . . . . . . 9

    1.7 Funcao para demonstracao do teste da integral. . . . . . . . . . . . . . . . 191.8 Funcao para demonstracao do teste da integral. . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Demonstracao do teste da razao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.10 Demonstracao do teste da raiz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.11 Demonstracao do teste das series alternadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.12 Resumo dos testes de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.13 Grafico do exemplo 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.14 Grafico do exemplo 32 c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.15 Intervalo de convergencia de uma serie de potencias. . . . . . . . . . . . . . 43

    2.1 Famlia de curvas integrais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Circuito RL e RC serie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3 Circuito RLC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.4 Circuito LC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    3

  • Captulo 1

    Sequencias e Series

    1.1 Sequencias infinitas (ou sucessoes)

    1.1.1 Introducao

    Quando dizemos que uma colecao de objetos forma uma sequencia, significa que estacolecao esta ordenada de forma que possui um primeiro elemento, um segundo elementoe assim por diante. Do ponto de vista da matematica, uma sequencia e uma funcao cujodomnio e o conjunto dos numeros inteiros positivos e a imagem e dada por um conjuntode valores que seguem uma lei de formacao. Utilizamos a notacao:

    n 1, 2, 3, 4, 5, . . ., n, . . . domnio

    an a1, a2, a3, a4, a5, . . ., an, . . . imagem

    1.1.2 Definicao de uma sequencia

    Uma sequencia de numeros reais e uma funcao f : N R, que associa a cada numeronatural n um numero real {an} ou f(n).

    Exemplo 01: A sequencia f(n) = n ou {an} = n, mostrada no grafico da Figura 1.1,e dada por a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, . . . , an = n, . . .

    Observacoes:

    1) Os termos a0, a1, a2, . . . , an sao chamados de termos da sequencia.

    2) Em alguns casos e conveniente considerar o primeiro termo da sequencia como a0.Neste caso, a sequencia assume a forma

    a0, a1, a2, a3, . . . , an, . . . (1.1)

    3) Conhecendo os primeiros termos da sequencia, e possvel representa-la pelo seu termogeral.

    4

  • 0 2 4 6 8 100

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    n

    f(n)

    Figura 1.1: Grafico da sequencia {an} = n.

    Exemplo 02:

    a) 1,1

    2,1

    3,1

    4, . . .

    O termo geral desta sequencia e dado por an =1

    n, n 1.

    b) 1, 1 1, 1,1, . . .

    O termo geral desta sequencia e dado por an = (1)n, n 1.

    4)Uma regra de formacao ou equacao para o n-esimo termo de uma sequencia e sufici-ente para especifica-la.

    Exemplo 03: Indique os quatro primeiros termos e o decimo termo das sequencias aseguir, considerando a1 como sendo o primeiro termo da sequencia:

    a) {an} = nn+ 1

    b) {bn} = n2

    2n 1c) {cn} = (1)n+1 n

    2

    3n 1d) {an} = 4

    5

  • 1.1.3 Limite de uma sequencia

    Um numero real L e limite de uma sequencia {an}, ou a sequencia {an} converge parao valor L se a seguinte condicao for satisfeita: > 0, existe um ndice M N tal que

    |an L| < , n > M. (1.2)Isto significa que

    < an L < , (+L)L < an < L+ (1.3)

    Este resultado e mostrado no grafico da Figura 1.2.

    Figura 1.2: Limite de uma sequencia {an} .

    A definicao dada na equacao (1.2) diz que a partir de um determinado ndice M (n >M), todos os termos da uma sequencia que converge para o valor L se encontram dentroda faixa mostrada no grafico. E importante notar que:

    1. Se a sequencia {an} converge para um valor L, apenas uma quantidade finita determos (M termos) ficara fora da faixa compreendida entre as retas y = L + ey = L .

    2. O ndice M para o qual a sequencia {an} comeca a convergir depende do valor de .3. Todos os termos da sequencia {an} a partir do termo de ordem M estao dentro do

    intervalo aberto (L , L+ ).

    6

  • Exemplo 04:

    1) Sabemos que limn

    1

    n= 0. Neste caso, a sequencia cujo termo geral e dado por

    an =1

    nconverge para o valor L = 0. Utilizando a definicao dada na equacao (1.2), vamos

    considerar = 0, 01. A definicao diz que

    |an L| < n > M, (1.4)ou seja, 1n 0

    < 0, 01 (1.5)Sendo n um inteiro positivo, temos

    1

    n< 0, 01 (1.6)

    Para que isto ocorra devemos ter n > 100. Logo, M = 101 satisfaz a definicao (1.2),que indica que todos os termos da sequencia {an}, n > 100 se encontram dentro dointervalo aberto (0, 01; 0, 01).

    O grafico da Figura 1.3 mostra os 120 primeiros termos desta sequencia e o graficoda Figura 1.4 mostra a mesma sequencia, porem com uma visualizacao que permite ob-servar que a partir do 101o, todos os termos da sequencia se encontram dentro da faixa(0, 01; 0, 01).

    0 20 40 60 80 100 1200

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    n

    f(n)

    Figura 1.3: 120 primeiros termos da sequencia {an} = 1n.

    7

  • 95 100 105 110 1150.015

    0.01

    0.005

    0

    0.005

    0.01

    0.015

    n

    f(n)

    Figura 1.4: Faixa de convergencia da sequencia {an} = 1npara = 0, 01.

    2) Dada uma sequencia de termo geral an =n

    n+ 1, verificamos que

    limn

    n

    n+ 1= 1 (1.7)

    Adotando um valor > 0, observamos que

    |an L| < n > M, (1.8)ou seja, nn+ 1 1

    < , (1.9)n n 1n+ 1 < , (1.10)

    1

    n+ 1< , (1.11)

    n+ 1 >1

    (1.12)

    e finalmente

    n >1

    1 (1.13)

    Esta desigualdade nos sugere que, dado um valor , devemos escolher M como sendo o

    primeiro numero natural maior que1

    1. Qualquer valor de ndice n > M atende a` de-

    finicao de convergencia da sequencia. Por exemplo, para = 0, 1, temos1

    1 = 1

    0, 11 = 9

    e M = 10 e o primeiro ndice a partir do qual os termos da sequencia se encontram dentroda faixa de convergencia (0, 9; 1, 1). Fora deste intervalo existem exatamente 9 termos dasequencia.

    8

  • O grafico da Figura 1.5 mostra os 20 primeiros termos desta sequencia e o grafico daFigura 1.6 mostra a mesma sequencia, porem com uma visualizacao que permite observarque a partir do 10o, todos os termos da sequencia se encontram dentro da faixa (0, 9; 1, 1).

    0 5 10 15 200

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    n

    f(n)

    Figura 1.5: 20 primeiros termos da sequencia {an} = nn+ 1

    .

    0 5 10 15 200.7

    0.8

    0.9

    1

    1.1

    1.2

    n

    f(n)

    Figura 1.6: Faixa de convergencia da sequencia {an} = nn+ 1

    para = 0, 1.

    Teorema 01: Limite de uma sequencia.

    Se os termos de uma sequencia coincidem com os valores de uma funcao f(x) que possuilimite quando x , entao esta sequencia converge para este mesmo limite. Em outraspalavras:

    Seja f(x) uma funcao de variavel real tal que limx

    f(x) = L. Se a sequencia {an} e talque f(n) ={an} n inteiro positivo, entao lim

    nan = L.

    9

  • Sequencias que possuem limites L finitos (para n) sao chamadas de convergentes,ao passo que sequencias que nao possuem limites sao chamadas de divergentes. O teorema01 permite a utilizacao da Regra de LHopital para calcularmos limites de sequencias.

    Exemplo 05: Determine o limite da sequencia {an} =(1 +

    1

    n

    )n.

    Teorema 02: Teste da razao para sequencias.

    Para uma sequencia {an} de termos positivos, se limn

    an+1an

    < 1, esta sequencia tende

    para zero.

    Exemplo 06: Verifique se o teorema 02 e satisfeito para as sequencias a seguir:

    a) {an} = n!nn

    b) {bn} =rn

    n!, r > 0

    c) {cn} = n!1 3 5 . . . (2n 1).

    d){an} =np

    2n

    1.1.4 Propriedades do limite de sequencias

    Se limn

    an = A, limn

    bn = B e c R, entao:

    1. limn

    (an bn) = A B.

    2. limn

    c an = c A.

    3. limn

    an bn = AB.

    4. limn

    anbn

    =A

    B, bn 6= 0 e B 6= 0.

    5. Se |a| < 1, entao limn

    an = 0.

    6. Se |a| > 1, entao limn

    an = e {an} diverge.

    10

  • 1.2 Limites que aparecem com frequencia

    1. limn

    ln(n)

    n= 0.

    2. limn

    nn = 1.

    3. limn

    x1n = 1, (x > 0).

    4. limn

    xn = 0, (|x| < 1).

    5. limn

    (1 +

    x

    n

    )n= ex, x R.

    6. limn

    xn

    n!= 0, x R.

    Exemplo 07: Determine se as sequencias a seguir convergem ou divergem:

    a) {an} = [3 + (1)n]

    b) {bn} =(

    n

    1 2n)

    c) {cn} =(

    2n

    5n 3)

    d) {an} =(5n

    e2n

    )

    e) {an} =(

    n2

    2n 1)

    Exemplo 08: Encontre o n-esimo termo das sequencias a seguir e verifique se as mes-mas convergem ou divergem.

    a) 0,1

    2,2

    3,3

    4, . . .

    b) 0, 2, 0, 2, 0, 2, . . .

    c) 2,5

    2,10

    3,17

    4, . . .

    d)2

    3,3

    6,4

    9,5

    12, . . .

    11

  • e) 1, 9, 25, 49, 81, 121, . . .

    f) 2,4

    3,8

    5,16

    7,32

    9, . . .

    g)1

    3,8

    9,27

    27,64

    81, . . .

    De acordo com os exemplos anteriores, e preciso conhecer a lei de formacao de umasequencia para identificarmos sua convergencia ou sua divergencia.

    Exemplo 09: Determine se as sequencias a seguir convergem ou divergem. Se con-vergem, calcule o limite das mesmas.

    a)

    {n2 + 2n 1n2 + 3n+ 4

    }

    b)

    {2n

    3n+1

    }

    c){sen

    (npi2

    )}

    d)

    {n3 + 5n

    7n2 + 1

    }

    e)

    {n3 + 3n+ 1

    4n2 + 2

    }

    f){nsen

    ( pi2n

    )}

    g)

    {1

    nsen(pin)

    }

    h){

    n+ 1n}

    12

  • 1.3 Series numericas

    1.3.1 Definicao e conceitos iniciais

    Uma serie infinita e definida como sendo a soma dos termos de uma sequencia infinita,ou seja,

    {an} = a1, a2, a3, a4, a5, . . . sequencia (1.14)

    n=1

    an = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . . . serie (1.15)

    Embora nao possamos somar um numero infinito de termos, como proposto na equacao(1.15), e necessario definir o significado de uma soma infinita. Para tal, iremos definirinicialmente uma sequencia de somas parciais.

    Dada uma serie

    an, a sequencia de somas parciais e definida por

    {Sn} = S1, S2, S3, S4, . . . , Sn, . . . (1.16)onde

    S1 = a1

    S2 = a1 + a2 = S1 + a2

    S3 = a1 + a2 + a3 = S2 + a3 (1.17)

    S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = S3 + a4...

    Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an = Sn1 + an

    1.3.2 Series convergentes e divergentes

    Dada uma serie infinita

    an, a sua n-esima soma parcial e dada por

    Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an (1.18)

    Se a sequencia {Sn} diverge, isto significa que a serie

    an diverge. Se {Sn} convergepara um valor L, isto significa que a serie

    an converge para o mesmo valor.

    Exemplo 10:

    a) A serien=1

    1

    2n=

    1

    2+

    1

    4+

    1

    8+

    1

    16+ . . . possui as somas parciais

    13

  • S1 =1

    2

    S2 =1

    2+

    1

    4=

    3

    4

    S3 =1

    2+

    1

    4+

    1

    8=

    7

    8

    S4 =1

    2+

    1

    4+

    1

    8+

    1

    16=

    15

    16...

    Sn =1

    2+

    1

    4+

    1

    8+ . . .+

    1

    2n=

    2n 12n

    Como limn

    2n 12n

    = limn

    2n ln(2)

    2n ln(2)= 1, conclumos que esta serie converge e sua soma

    e igual a 1.Observacao: Do exemplo acima, conclumos que determinar a soma S de uma serie

    significa achar o limite da sequencia de somas parciais {Sn}, ou seja,

    S = limn

    Sn (1.19)

    b)n=1

    1

    n(n+ 1)

    Expandindo o termo geral desta serie em uma soma de fracoes parciais, encontramos

    S =n=1

    1

    n(n+ 1)=

    n=1

    (1

    n 1n+ 1

    )=

    (1 1

    2

    )+

    (1

    2 1

    3

    )+

    (1

    3 1

    4

    )+ . . . (1.20)

    Observamos que

    Sn = 1 1n+ 1

    e

    limn

    Sn = limn

    (1 1

    n+ 1

    )= 1

    Logo, a serie converge e sua soma e igual a 1.

    Observacao: a serie do ultimo exemplo dado e chamada serie telescopica, pois assumea forma:

    S = (b1 b2) + (b2 b3) + (b3 b4) + . . .+ (bn1 bn) + . . . (1.21)Sua n-esima soma parcial e dada por

    Sn = b1 bn (1.22)Uma serie telescopica converge se, e somente se bn possui limite finito quando n,

    e sua soma e dada por

    14

  • S = limn

    Sn = b1 limn

    bn (1.23)

    Exemplo 11: Calcule a soma da serie telescopican=1

    2

    4n2 1

    1.3.3 Series geometricas

    Se a sequencia {an} e uma progressao geometrica (PG) cuja razao e dada por r eprimeiro termo e dado por ak = cr

    k 6= 0, a soma dada pela equacao (1.24) a seguir e umaserie geometrica.

    n=k

    an =n=k

    crn = crk + crk+1 + crk+2 + crk+3 + . . .+ crk+n1 + crk+n + . . . (1.24)

    onde c e uma constante real.

    Teorema 03: Convergencia de uma serie geometrica.

    Uma serie geometrica de razao r diverge se |r| 1.

    Se |r| < 1, a serie converge e sua soma e igual a

    S =n=k

    an =n=k

    crn =ak

    1 r =crk

    1 r (1.25)

    onde ak = crk corresponde ao primeiro termo da serie geometrica.

    Demonstracao do teorema: Tomando os n primeiros termos da serie geometrica dadapela equacao (1.24), temos:

    Sn = crk + crk+1 + crk+2 + crk+3 + . . .+ crk+n1 (1.26)

    Multiplicando (1.26) pela razao r, obtemos

    rSn = crk+1 + crk+2 + crk+3 + . . .+ crk+n1 + crk+n (1.27)

    Subtraindo a equacao (1.27) da equacao (1.26), obtemos

    Sn rSn = crk crk+n (1.28)

    Sn(1 r) = crk(1 rn) (1.29)

    Sn =crk(1 rn)

    1 r =ak(1 rn)

    1 r (1.30)

    15

  • A equacao (1.30) representa a n-esima soma parcial de uma serie geometrica, indepen-dente da mesma ser convergente ou divergente, uma vez que Sn e o resultado da soma deuma quantidade finita de termos. Observando esta equacao, para |r| > 1, temos rn quando n e por consequencia a serie geometrica diverge. Para |r| < 1, temos rn 0quando n e entao

    S = limn

    Sn = limn

    [ak(1 rn)

    1 r]=

    ak1 r limn(1 r

    n) =ak

    1 r (1.31)

    Exemplo 12: Analise a convergencia das series geometricas a seguir:

    a)n=0

    3

    2n

    b)n=0

    (3

    2

    )n

    Observacao: Uma dzima periodica pode ser expressa como uma serie geometrica.

    Exemplo 13: Expresse cada uma das dzimas periodicas a seguir como a razao dedois inteiros.

    a) 0, 080808080808 . . .

    b) 1, 414414414414 . . .

    c) 1, 24123123123 . . .

    1.3.4 Propriedades das series infinitas

    As propriedades a seguir sao derivadas das propriedades dos limites de sequencias. Sean = A,

    bn = B e c e uma constante real, as series a seguir convergem para as somas

    indicadas:

    1.(an bn) = AB

    2.

    can = cA

    3. Se retirarmos um numero finito de termos de uma serie, sua convergencia ou di-vergencia nao e alterada, ou seja, as series

    n=1

    an = a1 + a2 + a3 + . . . e

    16

  • n=k

    an = ak + ak+1 + ak+2 + ak+3 + . . .

    ambas convergem ou ambas divergem.

    Exemplo 14: Encontre a soma da serien=1

    [1

    8n+

    1

    n(n+ 1)

    ]

    Teorema 04: Limite do n-esimo termo de uma serie convergente.

    Se uma serie infinitan=1

    an converge, entao limn

    an = 0.

    Observacao: A recproca nao e verdadeira, ou seja, nao podemos afirmar que uma serie

    converge se limn

    an = 0. Isto ocorre com a serie harmonica divergenten=1

    1

    n, que sera

    estudada a seguir. Do teorema 04 podemos enunciar o teorema 05 a seguir.

    Teorema 05: Criterio do termo geral para a divergencia de series.

    1. Se limn

    an nao existe ou se limn

    an existe e e diferente de zero, entao a serie

    an e

    divergente.

    2. Se limn

    an = 0, a princpio nada pode ser afirmado a respeito da convergencia da seriean.

    Exemplo 15: Analise o n-esimo termo das series a seguir para determinar se as mes-mas divergem.

    a)n=0

    2n

    b)n=1

    n

    n+ 1

    c)n=1

    n!

    2n! + 1

    Exemplo 16: Sabendo quen=1

    2n

    n!converge, encontre lim

    n

    2n

    n!.

    Exemplo 17: Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, comeca a quicar ao atingiro solo. A altura maxima atingida pela bola a cada batida no solo e igual a 3/4 da alturada queda correspondente. Calcule a distancia vertical total percorrida pela bola.

    17

  • Exemplo 18: Encontre a serie infinita que produz as sequencias de somas parciaisdadas. Analise a natureza destas series.

    a) {Sn} = nn+ 1

    b) {Sn} = 2 12n1

    1.3.5 Series-p

    Uma serie-p e uma serie que assume a forma

    n=1

    1

    np=

    1

    1p+

    1

    2p+

    1

    3p+

    1

    4p+ . . .+

    1

    np+ . . . , (1.32)

    onde p e uma constante real.

    No caso p = 1, a serie e chamada serie harmonica e e dada pela equacao (1.33).

    n=1

    1

    n= 1 +

    1

    2+

    1

    3+

    1

    4+ . . . (1.33)

    Teorema 06: Convergencia das series-p.

    Uma serie-p converge se p > 1 e diverge se p 1. A prova deste teorema sera dadamais adiante.

    Exemplo 19: De acordo com o teorema 06,

    a) A serien=1

    1

    n= 1 +

    1

    2+

    1

    3+

    1

    4+ . . . , (p = 1) e divergente.

    b) A serien=1

    1

    n2= 1 +

    1

    22+

    1

    32+

    1

    42+ . . . , (p = 2) e convergente.

    1.4 Series de termos nao negativos

    Dada uma serie

    an, temos duas perguntas:

    1. A serie converge?

    2. Se ela converge, qual e a sua soma?

    18

  • Estudamos ate entao algumas series conhecidas, como a serie telescopica, a serie geometricae a serie-p, que possuem caractersticas proprias que permitem a aplicacao de determina-dos testes de convergencia. Porem, se estas caractersticas sofrerem pequenas alteracoes,os testes vistos deixam de ser validos. Isto pode ser observado no exemplo a seguir.

    Exemplo 20:

    a)n=0

    1

    2ne uma serie geometrica, mas

    n=0

    n

    2nnao e.

    b)n=1

    1

    n3e uma serie-p, mas

    n=1

    1

    n3 + 1nao e.

    Veremos a seguir alguns criterios para o estudo da natureza das series.

    1.4.1 Teste da integral

    Seja {an} uma sequencia de termos nao negativos. Suponha que {an} = f(n), onde fe uma funcao de x contnua, positiva e decrescente para todo x M , onde M N .

    Entao, tanto a serie

    n=M

    an quanto a integral

    M

    f(x)dx convergem ou tanto uma

    quanto a outra divergem.

    Demonstracao: Supondo uma funcao f decrescente com f(n) = an n, como mostradona Figura 1.7. Os retangulos da Figura 1.7, de areas a1, a2, a3, . . . , an englobam coleti-vamente uma area maior que a area sob a curva y = f(x) de x = 1 a x = n + 1, istoe, n+1

    1

    f(x)dx a1 + a2 + a3 + . . .+ an (1.34)

    1a

    2a3a

    na

    y

    y

    x

    ...

    0 1 2 3 4 n

    = )( xf

    n+ 1

    Figura 1.7: Funcao para demonstracao do teste da integral.

    19

  • A Figura 1.8 traz o grafico da mesma funcao f(x), porem com os retangulos voltadospara a esquerda. Desconsiderando o primeiro retangulo na Figura 1.8, vemos que a somadas areas dos retangulos restantes e menor que a area sob a curva f(x) para x = 1 atex = n, ou seja,

    a2 + a3 + a4 + . . .+ an n1

    f(x)dx (1.35)

    1a

    2a

    3a

    na

    y

    x

    ...4a

    0 1 2 3 4 n

    y= )( xf

    n -1

    Figura 1.8: Funcao para demonstracao do teste da integral.

    Somando a1 nos dois membros da equacao (1.35), temos

    a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an a1 + n1

    f(x)dx (1.36)

    Combinando as equacoes (1.34) e (1.36), encontramos n+11

    f(x)dx a1 + a2 + a3 + a4 + . . .+ an a1 + n1

    f(x)dx (1.37)

    Fazendo n, conclumos que:

    (i) Se

    1

    f(x)dx e finita, o lado direito da desigualdade (1.37) mostra que

    an e finita.

    (ii) Se

    1

    f(x)dx e infinita, o lado esquerdo da desigualdade (1.37) mostra que

    an

    e infinita.

    Consequentemente, a serie

    n=M

    an e a integral

    M

    f(x)dx sao ambas convergentes ou

    ambas divergentes.

    Exemplo 21: Estude a natureza das series-p utilizando o teste da integral.

    20

  • Exemplo 22: Estude a natureza das series a seguir utilizando o teste da integral.

    a)n=1

    nen2

    b)n=1

    3

    4n+ 3

    c)n=1

    1

    n2 + 1

    d)n=2

    1

    n[ln(n)]14

    e)n=1

    nen

    1.4.2 Teste da comparacao direta (ou criterio de Gauss)

    Este teste consiste em comparar uma serie com outra de natureza conhecida. Seja

    anuma serie de termos nao negativos.

    (i)

    an converge se existe uma serie convergente

    bn, com an bn para todo n > M ,M N.

    (ii)

    an diverge se existe uma serie divergente

    bn, com an bn para todo n > M ,M N.

    Observacoes:

    1. Como a natureza de uma serie nao e afetada pela remocao de um numero finito determos, as condicoes an bn e an bn sao exigidas somente a partir de um termoqualquer de ordem M .

    2. Uma serie

    dn domina uma serie

    cn se 0 < cn < dn, n N. Logo, de acordo coma condicao (i), uma serie dominada por uma serie convergente e tambem convergente,e de acordo com a condicao (ii), uma serie que domina uma serie divergente e tambemdivergente.

    21

  • Exemplo 23: Estude a natureza das series a seguir, utilizando o teste da comparacaodireta.

    a)n=2

    1

    n 1

    b)n=1

    1

    3n + 1

    c)n=1

    1

    n!

    d)n=2

    3n 1

    e)n=2

    1

    ln(n)

    Pelo exemplo 23, conclumos que devemos ter em maos uma lista de series conhecidas,para que possamos utilizar o teste da comparacao direta.

    1.4.3 Teste da comparacao no limite

    Este teste tambem consiste na utilizacao de uma serie de natureza conhecida para oestudo da natureza de outra serie. Seja duas series

    an e

    bn, cujos termos gerais sao

    dados por an > 0 e bn > 0, respectivamente, para todo n M , onde M N.

    (i) Se limn

    anbn

    = c, 0 < c 0, pela definicao dada na equacao (1.2), existe um numero

    inteiro M tal que para todo n > M , anbn c < c2 (1.38)

    Entao, para n > M , temos

    22

  • c2 M, (1.43)ou

    L < an+1an

    < L+ n > M (1.44)

    Ja que L+ = L+(rL) = r, observando o lado direito da inequacao (1.44), conclumosque

    an+1an

    < r n > M, (1.45)ou

    an+1 < anr n > M (1.46)

    24

  • Portanto,

    aM+1 < aMr

    aM+2 < aM+1r < aMr2 (1.47)

    aM+3 < aM+2r < aMr3

    e assim por diante. De fato, aM+k < aMrk se verifica para todo inteiro positivo k. Portanto,

    a serie geometricak=1

    aMrk domina a serie

    k=1

    aM+k. Sabendo que 0 < r < 1, a serie

    geometrica converge, da,

    k=1

    aM+k =

    n=M+1

    an (1.48)

    converge pelo teste da comparacao direta. Pela propriedade 3 da Secao 1.3.4, conclumos

    quen=1

    an converge, quando o resultado do teste da razao for L < 1.

    Exemplo 25: Estude a natureza das series a seguir, utilizando o teste da razao. Casoo teste seja insuficiente para determinar a natureza da serie, utilize outro teste.

    a)n=1

    n+ 1

    2n

    b)n=1

    2

    5n+ 1

    c)n=1

    n4en2

    d)n=1

    n

    n2 + 1

    e)n=1

    1

    n!

    f)n=1

    2n + 1

    3n + n

    25

  • 1.4.5 Teste da raiz

    Seja

    an uma serie de termos positivos e suponha que limn

    nan = L.

    Entao,

    (i) A serie converge se L < 1.

    (ii) A serie diverge se L > 1 ou se L.

    (iii) Se L = 1, nada pode ser afirmado a respeito da natureza da serie.

    Demonstracao: Suponha que limn

    nan = L < 1. Escolhamos um numero r, com

    L < r < 1. Seja = r L, observando que > 0, como mostrado no esquema da Figura1.10.

    Figura 1.10: Demonstracao do teste da raiz.

    Uma vez que limn

    nan = L, pela definicao dada pela equacao (1.2), existe um inteiro

    positivo M N tal que

    | nan L| < n > M, (1.49)isto e,

    < nan L < n > M, (1.50)ou

    L < nan < L+ n > M (1.51)Mas = rL, de forma que r = L+ . Observando o lado direito da inequacao (1.51),

    conclumos que

    nan < r n > M, (1.52)

    ou

    an < rn n > M (1.53)

    Como r < 1, observamos que a serie geometrica convergente

    rn domina a serie

    an.Logo, pelo teste da comparacao direta, a serie

    an e convergente quando lim

    nnan < 1.

    26

  • Exemplo 26: Estude a natureza das series a seguir, utilizando o teste da raiz. Caso oteste seja insuficiente para determinar a natureza da serie, utilize outro teste.

    a)n=1

    23n+1

    nn

    b)n=1

    [ln(n)]n

    nn2

    c)n=1

    1

    nn

    d)n=1

    (n

    n+ 1

    )n2

    e)n=1

    n

    2n

    1.5 Series alternadas

    Toda serie na qual os termos sao alternadamente positivos e negativos e uma seriealternada.

    Exemplo 27: A serien=1

    (1)n+1 1n= 1 1

    2+

    1

    3 1

    4+

    1

    5 . . . e uma serie alternada

    (serie harmonica alternada).

    1.5.1 Teste para series alternadas

    A serie alternadan=1

    (1)n+1an = a1 a2 + a3 a4 + . . . converge se

    (i) Os termos an forem todos positivos (an > 0).

    (ii) an+1 an, n M , onde M N.

    (iii) limn

    an = 0.

    27

  • Supondo que as tres condicoes acima sejam satisfeitas, a demonstracao da convergenciapara series alternadas pode ser facilmente observada na Figura 1.11.

    Figura 1.11: Demonstracao do teste das series alternadas.

    Exemplo 28: Estude a natureza das series alternadas a seguir.

    a)n=1

    n

    (2)n1

    b)n=1

    (1)n nln(2n)

    c)n=1

    (1)n+1(3n+ 2

    4n2 3)

    d)n=1

    (1)n1 1n

    e)n=1

    (1)n1 n(n+ 1)3

    f)n=1

    (1)n1 2n4n 3

    1.5.2 Convergencia absoluta e convergencia condicional

    Uma serie alternada

    an e absolutamente convergente se a serie |an| e convergente.

    Uma serie alternada

    an e condicionalmente convergente se a serie

    an converge, mas aserie

    |an| diverge.

    28

  • Exemplo 29:

    a) A serie geometrica 1 12+

    1

    4 1

    8+ . . . converge absolutamente, pois a serie de

    valores absolutos correspondente 1 +1

    2+

    1

    4+

    1

    8+ . . . converge.

    b) A serie harmonica alternada 1 12+

    1

    3 1

    4+ . . . converge condicionalmente, pois

    a serie de valores absolutos correspondente 1 +1

    2+

    1

    3+

    1

    4+ . . . diverge.

    Exemplo 30: Estude a natureza das series a seguir. Verifique se as series convergentessao absolutamente ou condicionalmente convergentes.

    a)n=1

    (1)n1 1n2

    b)n=1

    (1)n(n+1)23n

    c)n=0

    (1)n n!2n

    d)n=1

    (1)nn

    e)n=1

    sen(n)

    n2

    29

  • 1.6 Resumo dos testes de convergencia

    A Figura 1.12 e a Tabela 1.1 trazem um resumo dos testes de convergencia para series.

    Figura 1.12: Resumo dos testes de convergencia.

    30

  • TESTE SERIE CONVERGENCIA OU DIVERGENCIA

    n-esimo termo

    an Diverge se limn

    an 6= 0

    Serie Geometrica

    n=k

    an =

    n=k

    c rn(i) Converge para S =

    ak

    1 r se |r| < 1

    (ii) Diverge se |r| 1

    Serie-p

    n=1

    1

    np

    (i) Converge se p > 1(ii) Diverge se p 1

    Integral

    n=k

    an

    an = f(n)

    (i) Converge se

    k

    f(x)dx converge

    (ii) Diverge se

    k

    f(x)dx diverge

    Comparacao

    anbn

    onde

    an > 0 e

    bn > 0

    (i) Se

    bn converge e an bn para todo n,entao

    an converge

    (ii) Se

    bn diverge e an bn para todo n,entao

    an diverge

    (iii) Se limn

    (an

    bn

    )= c > 0, ambas as series

    convergem ou ambas divergem

    Razao

    an

    Se limn

    an+1an = L, a serie

    (i) Converge se L < 1(ii) Diverge se L > 1(iii) Se L = 1, nada pode ser afirmado.

    Raiz

    an

    Se limn

    n

    |an| = L, a serie

    (i) Converge se L < 1(ii) Diverge se L > 1(iii) Se L = 1, nada pode ser afirmado.

    Series Alternadas

    (1)nanan > 0

    Converge se ak ak+1 para todo k e limn

    an = 0

    |an| an Se |an| converge, entao an converge absolutamente.Tabela 1.1: Resumo dos testes de convergencia.

    31

  • 1.7 1a Serie de exerccios

    1. A sequencia cujo n-esimo termo e

    an =

    (n+ 1

    n 1)n

    converge? Em caso afirmativo, encontre limn

    an

    2. Mostre utilizando a Regra de LHopital que a sequencia a seguir converge para ovalor ex

    {an} =(1 +

    x

    n

    )n3. Encontre uma formula para o n-esimo termo das sequencias.

    a) 0, 3, 8, 15, 24, . . .b) 1, 5, 9, 13, 17, . . .

    4. Quais das sequencias {an} a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limitede cada sequencia convergente.

    a) an = 2 + (0, 1)n

    b) an = 1 + (1)n

    c) an =n

    2n

    d) an = sen

    (pi

    2+

    1

    n

    )

    e) an =ln(n+ 1)

    n

    f) an = ln(n) ln(n+ 1)

    g) an =n!

    106n

    h) an =

    (1

    n

    ) 1ln(n)

    i) an =3n 6n2n n!

    j) an = arctan(n)

    5. Diga se cada serie converge ou diverge. Se converge, calcule a soma dela.

    a) 1 12+

    1

    4 1

    8+ . . .+

    (12

    )n1+ . . .

    b)pi

    2+pi2

    4+pi3

    8+ . . .

    32

  • 6. Expresse a dzima periodica 5, 232323 . . . como razao de dois inteiros, usando umaserie geometrica.

    7. Verifique se cada serie a seguir converge ou diverge. Se converge, calcule sua soma.

    a)n=1

    (1)n+1

    b)n=1

    n2n+ 5

    c)n=1

    3n1 16n1

    d)n=1

    4

    2n1

    e)n=0

    (12

    )n

    f)n=0

    (2)n

    g)n=0

    cos(npi)

    5n

    h)n=1

    ln

    (1

    n

    )

    i)n=0

    ( epi

    )n

    j)n=1

    nn

    n!

    8. Calcule a soma das series convergentes a seguir:

    a)n=0

    (1

    2n+

    (1)n5n

    )

    b)n=0

    (2n+1

    5n

    )

    c)n=1

    2n+ 1

    n2(n+ 1)2(Dica: Expanda o termo geral da serie em uma soma de fracoes par-

    ciais.

    d)n=1

    (1

    ln(n+ 2) 1

    ln(n+ 1)

    )

    9. Encontre uma formula para a n-esima soma parcial de cada serie e use-a para en-contrar a soma da serie, se ela convergir:

    33

  • a) 2 +2

    3+

    2

    9+

    2

    27+ . . .+

    2

    3n1+ . . .

    b)9

    100+

    9

    1002+

    9

    1003+ . . .+

    9

    100n+ . . .

    c) 1 12+

    1

    4 1

    8+ . . .+ (1)n1 1

    2n1+ . . .

    d)1

    2 3 +1

    3 4 +1

    4 5 + . . .+1

    (n+ 1) (n+ 2) + . . .

    1.8 Respostas da 1a serie de exerccios

    1. A sequencia converge e limn

    an = e2.

    2. Fazer limn

    [ln(an)] para encontrar uma indeterminacao do tipo 0/0 e depois apli-

    car a regra de LHopital. Mesmo procedimento adotado no exerccio 1.

    3.a) {an} = n2 1.b) {an} = 4n 3.

    4.a) Converge para L = 2.b) Diverge.c) Converge para L = 0.d) Converge para L = 1.e) Converge para L = 0.f) Converge para L = 0.g) Diverge.h) Converge para L = e1.i) Converge para L = 0.

    j) Converge para L =pi

    2.

    5.

    a) Converge e sua soma e igual a S =2

    3.

    b) Diverge.

    6. 5, 232323... = 5 +n=0

    23

    102

    (1

    102

    )n= 5 +

    23

    99=

    518

    99.

    7.a) Diverge.b) Diverge.

    34

  • c) Converge e S =4

    5.

    d) Converge e S = 8.e) Converge e S =

    2 + 2.

    f) Diverge.

    g) Converge e S =5

    6.

    h) Diverge.

    i) Converge e S =pi

    pi e .j) Diverge.

    8.

    a) S =17

    6.

    b) S =10

    3.

    c) S = 1.

    d) S =1ln(2)

    .

    9.

    a)Sn = 3

    [1

    (1

    3

    )n]e S = 3.

    b)Sn =1

    11

    [1

    (1

    100

    )n]e S =

    1

    11.

    c)Sn =2

    3

    [1

    (12

    )n]e S =

    2

    3.

    d)Sn =1

    2 1n+ 2

    e S =1

    2.

    1.9 2a Serie de exerccios

    1. Series de termos nao negativos - Quais das series a seguir convergem e quais di-vergem? Lembre-se de que pode existir mais de uma forma de determinar a convergenciaou a divergencia de uma serie. Utilize o teste que achar mais adequado.

    a)n=1

    en

    1 + e2n

    b)n=2

    ln(n)n

    c)n=1

    1n(n+ 1)

    35

  • d)n=1

    1

    n[1 + ln2(n)]

    e)n=1

    sen2(n)

    2n

    f)n=1

    (n

    3n+ 1

    )n

    g)n=1

    3

    n+n

    h)n=1

    1 + cos(n)

    n2

    i)n=2

    1

    ln2(n)

    j)n=1

    ln2(n)

    n3

    k)n=1

    n2

    2n

    l)n=1

    n!en

    m)n=1

    n2en

    n)n=1

    n10

    10n

    o)n=1

    [ln(n)]n

    nn

    p)n=1

    (1

    n 1n2

    )n

    q)n=2

    n

    [ln(n)]n

    r)n=1

    (n!)n

    (nn)2

    2. Quais das seriesn=1

    an definidas pelas formulas a seguir convergem e quais divergem?

    a) a1 = 2, an+1 =1 + sen(n)

    nan

    b) a1 =1

    3, an+1 =

    3n 12n+ 5

    an

    36

  • c) a1 =1

    3, an+1 = n

    an

    3. Sen=1

    an e uma serie convergente de termos nao negativos, pode-se dizer algo so-

    bren=1

    ann? Justifique.

    4. Series alternadas - Quais das series alternadas a seguir convergem e quais diver-gem?

    a)n=1

    (1)n+1 1n2

    b)n=1

    (1)n+1( n10

    )n

    c)n=2

    (1)n+1 1ln(n)

    d)n=2

    (1)n+1 ln(n)ln(n2)

    e)n=1

    (1)n+1 1n

    32

    f)n=1

    (1)n+1 ln(n)n

    5. Convergencia absoluta x convergencia condicional - Quais das series a seguirconvergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem?

    a)n=1

    (1)n+1(0, 1)n

    b)n=1

    (1)n 1n+ 1

    c)n=1

    (1)n+1 nn3 + 1

    d)n=1

    (1)n 1n+ 3

    e)n=1

    (1)n+13 + n5 + n

    f)n=1

    (1)n sen(n)n2

    g)n=1

    (1)nn2(2

    3

    )n

    37

  • h)n=1

    (100)nn!

    i)n=1

    (1)n1n2 + 2n+ 1

    j)n=1

    cos(npi)

    nn

    k)n=1

    (1)n(n+ 1)n(2n)n

    1.10 Respostas da 2a serie de exerccios

    1.a) De acordo com o teste da integral, a serie converge.b) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie diverge.c) De acordo com o teste da integral, a serie diverge.d) De acordo com o teste da integral, a serie converge.e) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie converge.f) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.g) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie diverge.h) De acordo com o teste da comparacao direta, a serie converge.i) De acordo com o teste da comparacao no limite, a serie diverge.j) De acordo com o teste da comparacao no limite, a serie converge.k) De acordo com o teste da razao, a serie dada converge.l) De acordo com o teste da razao, a serie dada diverge.m) De acordo com o teste da razao, a serie dada converge.n) De acordo com o teste da razao, a serie dada converge.o) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.p) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.q) De acordo com o teste da raiz, a serie converge.r) De acordo com o teste da raiz, a serie diverge.

    2.a) De acordo com o teste da razao, a serie converge.b) De acordo com o teste da razao, a serie diverge.c) De acordo com o teste do n-esimo termo, a serie diverge.

    3. Pelo teste da comparacao direta, a serie e convergente.

    4.a) A serie converge.b) A serie diverge.c) A serie converge.

    38

  • d) A serie diverge.e) A serie converge.f) A serie converge.

    5.a) A serie e absolutamente convergente.b) A serie e condicionalmente convergente.c) Pelo teste da comparacao no limite, a serie e absolutamente convergente.d) A serie e condicionalmente convergente.e) Pelo teste do n-esimo termo, a serie e divergente.f) Pelo teste da comparacao direta, a serie e absolutamente convergente.g) Pelo teste da razao, a serie e absolutamente convergente.h) Pelo teste da razao, a serie e absolutamente convergente.i) Pelo teste da comparacao direta, a serie e absolutamente convergente.j) A serie e absolutamente convergente.k) Pelo teste da raiz, a serie e absolutamente convergente.

    Observacao: Os testes foram mencionados nos exerccios apenas como suges-tao, pois mais de um teste pode ser aplicado a uma serie para o estudo de suanatureza.

    39

  • 1.11 Series de potencias

    1.11.1 Introducao

    O objetivo principal deste estudo e representar as funcoes elementares do calculo comoseries de potencias, que sao aquelas cujos termos contem potencias de uma variavel x.

    Exemplo 31: O conhecimento de series geometricas nos afirma que

    n=0

    xn = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + . . .+ xn + . . . =1

    1 x para|x| < 1 (1.54)

    Este resultado e comprovado na Figura 1.13, onde a curva contnua corresponde ao

    grafico da funcao f(x) =1

    1 x e a curva tracejada corresponde ao grafico da soma dos 11

    primeiros termos da serien=0

    xn.

    5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 510

    8

    6

    4

    2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    x

    1/(1

    x)

    Figura 1.13: Grafico do exemplo 31.

    Pelo grafico podemos observar que fora do intervalo 1 < x < 1 a serie de potenciasdiverge.

    1.11.2 Definicao

    Se x e uma variavel, entao uma serie infinita da forma

    n=0

    Cnxn = C0 + C1x+ C2x

    2 + C3x3 + . . .+ Cnx

    n + . . . (1.55)

    oun=0

    Cn(x a)n = C0 + C1(x a) + C2(x a)2 + . . .+ Cn(x a)n + . . . (1.56)

    40

  • e uma serie de potencias de x ou de (x a), respectivamente, onde C0, C1, C2, . . . sao oscoeficientes da serie e a e uma constante chamada centro da serie.

    Observacoes:

    1. A serie dada pela equacao (1.56) possui centro a e a serie dada pela equacao (1.55),que e caso particular da serie (1.56), possui centro a = 0.

    2. Nas series de potencias admitimos x0 = 1 e (x a)0 = 1, mesmo quando x = 0 ex = a, respectivamente. Isto e feito para simplificar o termo geral da serie.

    Exemplo 32:

    a)n=0

    xn

    n!= 1 + x+

    x2

    2!+x3

    3!+ . . . +

    xn

    n!+ . . . e uma serie de potencias com centro em

    a = 0 e coeficientes dados por Cn =1

    n!.

    b)n=1

    1

    n(x 1)n = (x 1) + 1

    2(x 1)2 + 1

    3(x 1)3 + . . . e uma serie de potencias com

    centro em a = 1 e coeficientes dados por Cn =1

    n.

    c)n=0

    (12

    )n(x 2)n = 1 1

    2(x 2) + 1

    4(x 2)2 1

    8(x 2)3 + . . . e uma serie de

    potencias centrada em a = 2 e coeficientes dados por Cn =

    (12

    )n. Esta e uma serie

    geometrica, cujo primeiro termo e dado por a0 = 1 e razao r = 12(x 2). Esta serie

    converge paraa0

    1 r se |r| < 1, ou seja,

    x 22 < 1

    1 < x 22

    < 1

    2 < x 2 < 20 < x < 4

    Dentro deste intervalo obtido, a serie de potencias dada converge para

    S =a0

    1 r =1

    1 + x22

    =1

    2+x22

    =2

    x

    Assim, conclumos que

    1 12(x 2) + 1

    4(x 2)2 1

    8(x 2)3 + . . .+

    (12

    )n(x 2)n + . . . = 2

    x, 0 < x < 4

    41

  • A Figura 1.14 ilustra este exemplo, onde a curva contnua corresponde ao grafico da

    funcao f(x) =2

    xe a curva tracejada corresponde ao grafico da soma dos 11 primeiros

    termos da serie.

    10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 105

    4

    3

    2

    1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    x

    2/x

    Figura 1.14: Grafico do exemplo 32 c).

    Pelo grafico podemos observar que fora do intervalo 0 < x < 4 a serie de potenciasdiverge. Podemos observar tambem que o centro da serie a = 2 esta localizado no centrodeste intervalo de convergencia.

    No exemplo anterior, vimos que uma serie de potencias pode ser considerada uma funcaode x.

    f(x) =n=0

    Cn(x a)n, (1.57)

    onde o domnio de f(x) e o conjunto de todos os valores de x para os quais a serie converge.Observando a equacao (1.57), conclumos que toda serie de potencias converge em seu centro(x = a), para o valor C0.

    f(a) =n=0

    Cn(a a)n = C0 + 0 + 0 + 0 + . . . = C0 (1.58)

    Todavia, este nao e o unico valor de x para o qual a serie converge. Existem outrosvalores de x que tornam a serie convergente, e estes valores formam um intervalo chamadode intervalo de convergencia da serie, cujo centro e o ponto x = a (Figura 1.15).

    42

  • Figura 1.15: Intervalo de convergencia de uma serie de potencias.

    1.11.3 Teorema da convergencia para series de potencias

    Dado que toda serie de potenciasn=0

    Cn(x a)n possui um raio de convergencia R,a serie converge absolutamente quando |x a| < R e diverge quando |x a| > R. Esteresultado pode ser observado na Figura 1.15.

    Observacoes:

    1. A serie pode ou nao convergir nos extremos do intervalo de convergencia x = a Re x = a+R.

    2. Se R = 0, a serie converge somente no ponto x = a (centro).

    3. Se R, a serie converge para qualquer valor de x.

    O intervalo de convergencia R pode ser encontrado atraves do teste da razao ou testeda raiz. Para estudar a convergencia da serie nas extremidades x = a R e x = a + R,utilizamos os demais testes vistos (teste da comparacao, comparacao no limite, integral,etc.).

    Exemplo 33: Para quais valores de x as series de potencia a seguir convergem?

    a)n=1

    (1)n1xn

    n

    b)n=1

    (1)n1 x2n1

    2n 1

    c)n=0

    xn

    n!

    d)n=0

    n!xn

    43

  • Exemplo 34: Encontre o centro a, o raio de convergencia R e o intervalo de con-vergencia das series de potencias a seguir. Estude a convergencia das mesmas nas extremi-dades do intervalo de convergencia.

    a)n=1

    1

    2nxn

    b)n=0

    (x 5)2nn!

    c)n=1

    3n(x 4)2nn2

    d)n=0

    n!(x+ 2)n

    e)n=1

    nn(x 3)n

    f)n=0

    x2n+1

    (4)n

    g)n=1

    (x+ 5)n1

    n2

    1.12 Expansao de funcoes em series de potencias

    1.12.1 Diferenciacao e integracao de series de potencias

    Se

    Cn(x a)n converge para a R < x < a + R para algum raio de convergenciaR > 0, isto define uma funcao f(x).

    f(x) =n=0

    Cn(xa)n = C0+C1(xa)+C2(xa)2+C3(xa)3+ . . . , aR < x < a+R(1.59)

    Esta funcao possui derivadas de todas as ordens dentro do intervalo de convergencia.Estas derivadas sao obtidas atraves da derivacao da serie dada pela equacao (1.59) termoa termo, obtendo as series dadas pelas equacoes (1.60) e (1.61).

    f (x) =n=0

    nCn(xa)n1 = C1+2C2(xa)+3C3(xa)2+. . . , aR < x < a+R (1.60)

    44

  • f (x) =n=0

    n(n 1)Cn(x a)n2 = 2C2+6C3(x a)+ . . . , aR < x < a+R (1.61)

    Por outro lado, esta funcao tambem e integravel dentro do intervalo de convergencia.

    f(x)dx =

    n=0

    Cn(x a)n+1n+ 1

    + C, aR < x < a+R (1.62)

    Exemplo 35: Encontre as series para f (x) e f (x) se f(x) =1

    1 x = 1 + x2 + x3 +

    . . .+ xn + . . . =n=0

    xn, 1 < x < 1.

    Exemplo 36: Identifique a funcao f(x) atraves de sua derivacao e posteriormente in-tegracao.

    f(x) = x x3

    3+x5

    5 x

    7

    7+ . . . =

    n=1

    (1)n+1 x2n1

    2n 1 , 1 < x < 1

    1.12.2 Series de Taylor e series de Maclaurin

    Seja f(x) uma funcao com derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo acomo um ponto interior. Desta forma, a serie de Taylor gerada por f em x = a e dada por

    f(x) =n=0

    f (n)(a)

    n!(x a)n, (1.63)

    onde f (n)(a) corresponde a` derivada de ordem n de f(x) calculada no ponto x = a.

    Demonstracao: Suponha que a serie de potencias

    Cn(x a)n tenha um raio deconvergencia dado por R. Entao, a n-esima derivada de f(x) existe para |x a| < R e,derivando a serie de potencias sucessivas vezes, obtemos

    f (0)(x) = C0 +C1(x a) +C2(x a)2 +C3(x a)3 +C4(x a)4 +C5(x a)5 + . . . (1.64)

    f (1)(x) = C1 + 2C2(x a) + 3C3(x a)2 + 4C4(x a)3 + 5C5(x a)4 + . . . (1.65)

    f (2)(x) = 2C2 + 6C3(x a) + 12C4(x a)2 + 20C5(x a)3 + . . . (1.66)

    f (3)(x) = 6C3 + 24C4(x a) + 60C5(x a)2 + . . . (1.67)

    45

  • f (4)(x) = 24C4 + 120C5(x a) + . . . (1.68)

    f (n)(x) = n!Cn + uma soma de termos com potencias de (x a) como fator comum.(1.69)

    Calculando cada uma destas derivadas em x = a, obtemos

    f (0)(a) = C0 = 0!C0 (1.70)

    f (1)(a) = C1 = 1!C1 (1.71)

    f (2)(a) = 2C2 = 2!C2 (1.72)

    f (3)(a) = 6C3 = 3!C3 (1.73)

    f (4)(a) = 24C4 = 4!C4 (1.74)

    f (n)(a) = n!Cn (1.75)

    Desta forma,

    Cn =f (n)(a)

    n!(1.76)

    e

    f(x) =n=0

    Cn(x a)n =n=0

    f (n)(a)

    n!(x a)n

    = f(a) +f (a)

    1!(x a) + f

    (a)

    2!(x a)2 + f

    (a)

    3!(x a)3 + . . .

    (1.77)

    A serie encontrada na equacao (1.77) e chamada de serie de Taylor. No caso especiala = 0, a funcao f(x) assume a forma

    f(x) =n=0

    f (n)(0)

    n!xn = f(0) +

    f (0)

    1!x+

    f (0)

    2!x2 +

    f (0)

    3!x3 + . . . , (1.78)

    chamada de serie de Maclaurin.

    Exemplo 37: Obtenha a serie de Taylor para f(x) = ln(x) centrada em a = 1. Paraque valores de x esta serie e valida?

    46

  • Exemplo 38: Ache as series de Maclaurin para as funcoes a seguir. Encontre o inter-valo de convergencia das series obtidas.

    a) f(x) = ex

    b) f(x) = sen(x)

    c) f(x) =1

    1 xd) f(x) = ex

    2

    e) f(x) = cos(x)

    1.13 3a Serie de exerccios

    1. Determine o centro, o raio de convergencia e o intervalo de convergencia das series depotencias a seguir.

    a)n=0

    xn

    b)n=0

    (2x)n

    c)n=0

    (x 2)n10n

    d)n=0

    nxn

    n+ 2

    e)n=1

    (x 1)nn

    f)n=0

    3nxn

    n!

    g)n=0

    x2n+1

    n!

    h)n=1

    (1 +

    1

    n

    )nxn

    i)n=1

    ln(n)xn

    j)n=0

    (2)n(n+ 1)(x 1)n

    47

  • 2. Determine o intervalo de convergencia das series de potencias a seguir e, dentrodeste intervalo, a soma das series como uma funcao de x.

    a)n=0

    (x 1)2n4n

    b)n=0

    (x+ 1)2n

    9n

    c)n=0

    (x

    2 1)n

    d)n=0

    (x2 + 1

    3

    )n

    e)n=0

    (x2 1

    2

    )n3. Para quais valores de x a serie

    1 12(x 3) + 1

    4(x 3)2 + . . .+

    (12

    )n(x 3)n + . . .

    converge? Qual e a sua soma? Qual serie voce obtem se derivar a serie dada termo atermo? Para quais valores de x a nova serie converge? Qual e a sua soma?

    4. Dada a serie f(x) =n=0

    (x2

    )n, pede-se:

    a) O intervalo de convergencia de f(x) e a soma da serie neste intervalo.b) Idem para f (x).c) Idem para f (x).

    5. Encontre os cinco primeiros termos nao nulos da serie de Maclaurin para as funcoes aseguir e ache a serie em notacao de somatorio. Qual e o intervalo de convergencia paracada serie encontrada?

    a) f(x) = ex

    b) f(x) = eax

    c) f(x) = ln(1 + x)

    d) f(x) = cos(x)

    48

  • 6. Encontre os quatro primeiros termos nao nulos da serie de Taylor em torno de x = apara as funcoes a seguir e ache a serie correspondente em notacao de somatorio. Qual e ointervalo de convergencia para cada serie encontrada?

    a) f(x) = ex, a = 1

    b) f(x) = ex, a = ln(2)

    c) f(x) = ln(x), a = 1

    7. A funcao ln(x) admite uma representacao em serie de Maclaurin? E a funcao x1?Justifique.

    8. Encontre a serie de Maclaurin para as funcoes a seguir. Defina o intervalo de con-vergencia das mesmas.

    a) f(x) = e4x

    b) f(x) = x2sen(x)

    9. Desenvolva as funcoes dadas em series de Taylor. Encontre o intervalo de convergenciada serie obtida para cada item a seguir.

    a) f(x) = sen(kx) em torno de x = a e depois desenvolva paraa.1) f(x) = sen(2x) a = 0a.2) f(x) = sen(pix) a = 1/2

    b) f(x) = ln(kx) em torno de x = a e depois desenvolva para f(x) = ln(x/3), a = e

    10. Em estatstica a funcao E(x) =2pi

    x0

    et2

    dt leva o nome de Funcao Erro. En-

    contre a serie de Maclaurin da funcao E(x).

    1.14 Respostas da 3a serie de exerccios

    1.a) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.b) Centro a = 0, raio R = 1/2 e intervalo de convergencia 1/2 < x < 1/2.c) Centro a = 2, raio R = 10 e intervalo de convergencia 8 < x < 12.d) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.e) Centro a = 1, raio R = 1 e intervalo de convergencia 0 x < 2.f) Centro a = 0, raio R = e intervalo de convergencia x R.g) Centro a = 0, raio R = e intervalo de convergencia x R.h) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.i) Centro a = 0, raio R = 1 e intervalo de convergencia 1 < x < 1.j) Centro a = 1, raio R = 1/2 e intervalo de convergencia 1/2 < x < 3/2.

    49

  • 2.

    a) f(x) =4

    4 (x 1)2 , intervalo de convergencia 1 < x < 3.

    b) f(x) =9

    9 (x+ 1)2 , intervalo de convergencia 4 < x < 2.

    c) f(x) =2

    4x , intervalo de convergencia 0 < x < 16.

    d) f(x) =3

    2 x2 , intervalo de convergencia 2 < x 0, tem-se

    f(tx, ty) = tnf(x, y), (2.24)

    onde n e um numero real.

    Exemplo 20: Verifique a homogeneidade das funcoes a seguir.

    a) f(x, y) = x2y 4x3 + 3xy2

    b) f(x, y) = xexy + ysen

    (yx

    )c) f(x, y) = x+ y2

    d) f(x, y) =x

    2y+ 4

    e) f(x, y) = x2 3xy + 5y2

    Definicao de equacao diferencial homogenea

    Uma equacao diferencial dada na forma diferencial

    M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.25)

    e homogenea se M e N sao funcoes homogeneas de mesmo grau.Se a equacao diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 e homogenea, entao ela pode ser

    transformada em uma equacao diferencial de variaveis separadas, adotando a mudanca devariavel

    y = vx (2.26)

    dy = xdv + vdx (2.27)

    Isto reduzira qualquer equacao diferencial homogenea a` forma

    P (x, v)dx+Q(x, v)dv = 0, (2.28)

    onde as variaveis x e v sao separaveis. Depois da integracao, v e substitudo pory

    xpara

    voltar a`s variaveis originais.

    63

  • Exemplo 21: Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir.

    a) 2xyy y2 + x2 = 0

    b) (x2 + y2)dx+ (x2 xy)dy = 0

    c) xy2dy (x3 + y3)dx = 0

    d) (x2 y2)dx+ 3xydy = 0

    e) y =2xy

    x2 y2f) xsen

    (yx

    )(ydx+ xdy) + y cos

    (yx

    )(xdy ydx) = 0

    g) xdy (y +x2 y2)dx = 0

    h) (1 + 2ey

    x )dy + 2ey

    x

    (1 y

    x

    )dx = 0

    Equacoes diferenciais lineares

    Sao equacoes diferenciais da forma

    dy

    dx+ yP (x) = Q(x), (2.29)

    onde a derivadady

    dxe a variavel dependente y sao do primeiro grau e P (x) e Q(x) sao

    funcoes contnuas de x.

    Exemplo 22:

    a)dy

    dx+ ysen(2x) = x P (x) = sen(2x) Q(x) = x

    b)dy

    dx+ x2y = x3 P (x) = x2 Q(x) = x3

    c) tg(x)dy

    dx+ y = sec(x) P (x) = cotg(x) Q(x) = cossec(x)

    d)dx

    dy+ y2x = 2 P (y) = y2 Q(y) = 2

    e)dy

    dx+ 3xy2 = sen(x) Esta equacao nao e linear.

    Solucao da equacao diferencial linear

    Com a ajuda de um fator de integracao apropriado, ha uma tecnica padrao para resolveruma equacao diferencial linear de primeira ordem da forma

    64

  • dy

    dx+ P (x)y = Q(x) (2.30)

    em um intervalo onde as funcoes coeficientes P (x) e Q(x) sejam contnuas. Adotando umfator de integracao

    = eP (x)dx (2.31)

    e multiplicando a equacao (2.30) por este fator de integracao, obtem-se

    eP (x)dx dy

    dx+ P (x)e

    P (x)dxy = Q(x)e

    P (x)dx (2.32)

    O primeiro membro da equacao (2.32) corresponde a` derivada do produto

    y(x)eP (x)dx, (2.33)

    de modo que (2.32) e equivalente a

    d

    dx

    [ye

    P (x)dx

    ]= Q(x)e

    P (x)dx (2.34)

    Integrando os dois membros da equacao (2.34), resulta

    yeP (x)dx =

    Q(x)e

    P (x)dxdx+ C (2.35)

    Finalmente, a solucao geral y da equacao diferencial linear de primeira ordem e

    y = eP (x)dx

    [Q(x)e

    P (x)dxdx+ C

    ](2.36)

    A equacao (2.36) nao deve ser memorizada. Em um problema mais especfico e geral-mente mais simples usar o metodo com que a mesma foi deduzida.

    Exemplo 23: Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir.

    a)dy

    dx 3y = e2x

    b) y 2xy = x

    c)dy

    dx+

    (4

    x

    )y = x4

    d) y + y = sen(x), y(pi) = 1

    65

  • e) (x2 + 1)dy

    dx+ 3xy = 6x

    f) y = (1 y) cos(x), y(pi) = 2

    g) (x+ yey)y = 1 Dica: considere y como sendo a variavel independente.

    h) cos2(x)sen(x)dy + (y cos3(x) 1)dx = 0

    i)dy

    dx+ y =

    1 e2xex + ex

    j) (1 + x)y xy = x+ x2

    k)dy

    dx+ y = x2

    l) (x 2)dydx

    = y + 2(x 2)3

    m)dy

    dx+

    x

    1 x2y =2x

    1 x2

    n)dy

    dx+ ycotg(x) = 5ecos(x)

    Equacoes diferenciais redutveis a` linear - Equacoes de Bernoulli

    Sao equacoes diferenciais da forma

    dy

    dx+ P (x)y = Q(x)yn, (2.37)

    onde P (x) e Q(x) sao funcoes de x ou constantes.

    Exemplo 24:

    a)dy

    dx+ ysen(x) = y3 cos(x) P (x) = sen(x) Q(x) = cos(x)

    b) xydy

    dx+ y2 = x2y4 (xy)

    dy

    dx+y

    x= xy3 P (x) =

    1

    xQ(x) = x

    Solucao da equacao diferencial de Bernoulli

    Uma equacao diferencial de Bernoulli se reduz a` linear, pela multiplicacao de ambos osmembros da equacao (2.37) pelo fator yn, obtendo

    66

  • yndy

    dx+ P (x)y1n = Q(x) (2.38)

    Adotando uma substituicao de variaveis da forma

    z = y1n = dzdx

    = (1 n)yn dydx, (2.39)

    tem-se

    yndy

    dx=

    1

    1 ndz

    dx(2.40)

    Substituindo (2.39) e (2.40) em (2.38), obtem-se

    1

    1 ndz

    dx+ P (x)z = Q(x), (2.41)

    logo:

    dz

    dx+ (1 n)P (x)z = (1 n)Q(x), (2.42)

    que e uma equacao diferencial linear em z, cuja solucao e dada pelo metodo de resolucao deequacoes diferenciais lineares visto anteriormente. Apos a obtencao da solucao da equacaoem z, deve substituir na mesma a relacao dada por (2.39) para expressar a solucao comouma funcao y(x).

    Exemplo 25: Encontre a solucao geral para as equacoes diferenciais a seguir.

    a) y + 3y = 2y2

    b)dy

    dx+ 2xy + xy4 = 0

    c) xdy = {y + xy3[1 + ln(x)]}dx

    d)dy

    dx+

    1

    3y =

    1

    3(1 2x)y4

    e)dy

    dx+y = y2[cos(x)sen(x)] Dica: na integral

    exsen(x)dx fazer u = sen(x) e dv =

    exdx

    2.8 Aplicacoes dos diversos tipos de equacoes diferen-

    ciais

    Os exemplos a seguir mostram aplicacoes de equacoes diferenciais originadas de umproblema geometrico, problemas fsicos, como taxa de crescimento e decrescimento de po-

    67

  • pulacao, tempo de meia vida, etc.

    Exemplo 26: O grafico de y = f(x) passa pelo ponto (9, 4). A reta tangente ao grafico,em qualquer ponto (x, y), apresenta inclinacao igual a 3

    x. Determine f(x).

    Exemplo 27: Uma partcula desloca-se sobre o eixo OX de modo que, em cada instantet, a velocidade e o dobro da posicao. Qual a equacao diferencial que rege o movimento? Equal a funcao da posicao x(t)?

    Exemplo 28: A taxa de crescimento de uma populacao de moscas da fruta e pro-porcional ao tamanho da populacao em qualquer instante t. Se a populacao era de 180moscas ao final do segundo dia de experiencia, e de 300 moscas ao final do quarto dia, qualo tamanho da populacao original?

    Exemplo 29: Sabendo que a populacao de uma cidade dobra em 50 anos, em quantosanos ela sera o triplo, admitindo que a razao de crescimento e proporcional ao numero dehabitantes?

    Exemplo 30: A Lei de Resfriamento de Newton diz que a taxa de variacao da tempe-ratura de um objeto e proporcional a` diferenca entre sua temperatura e a temperatura domeio ambiente, isto e,

    dT

    dt= k(T Tm). (2.43)

    Suponha que um comodo seja mantido a uma temperatura constante de 220C e que umobjeto neste comodo leve 45 minutos para resfriar de 1500C a 500C. Quanto tempo vailevar para este objeto atingir a temperatura de 270C?

    Exemplo 31: Considere os circuitos simples, contendo um indutor ou um capacitorem serie com um resistor, como mostrado na Figura 2.2.

    L

    R

    E

    C

    R

    E

    Figura 2.2: Circuito RL e RC serie.

    Tem-se:

    - R resistencia dada em ohms [].- L indutancia dada em henries [H].

    68

  • - C capacitancia dada em farads [F ].- E tensao da fonte dada em volts [V ].- i(t) corrente no circuito serie em funcao do tempo, dada em amperes [A].- q(t) carga em um capacitor em funcao do tempo, dada em coulombs [C].

    A carga q(t) se relaciona com a corrente i(t) atraves da expressao

    i(t) =dq(t)

    dt(2.44)

    e a tensao e(t) se relaciona com a corrente i(t) da forma mostrada a seguir para cada ele-mento de circuito:

    - Resistor e(t) = Ri(t) = Rdq(t)dt

    .

    - Indutor e(t) = Ldi(i)dt

    = Ld2q(t)

    dt2.

    - Capacitor e(t) = 1Cq(t).

    A 2a lei de Kirchhoff diz que a soma das quedas de tensao em uma malha fechada deum circuito e nula, ou seja,

    Ldi

    dt+Ri = E (2.45)

    para o circuito RL e

    Rdq

    dt+

    1

    Cq = E (2.46)

    para o circuito RC.

    Vale notar que as equacoes (2.45) e (2.46) sao equacoes diferenciais lineares de 1a ordem.Baseado nessas informacoes, pede-se:

    a) Uma bateria de 12 volts e conectada a um circuito em serie no qual a indutancia ede 1/2 henry e a resistencia de 10 ohms. Determine a expressao para a corrente no circuitoi(t) sabendo que a corrente no instante inicial e zero.

    b) Encontre a corrente i(t), sabendo que esta corrente satisfaz a equacao diferencial

    Ldi

    dt+Ri = sen(2t), onde R e L sao constantes nao nulas.

    69

  • Exemplo 32: Tempo de duplicacao e meia vida

    Se uma quantidade y possuir um modelo de crescimento exponencial, entao o temponecessario para a quantidade inicial dobrar e chamado de tempo de duplicacao, e se y pos-suir um modelo de decaimento exponencial, entao o tempo requerido para a quantidadeinicial se reduzir pela metade e chamado de meia vida. O tempo de duplicacao e meia vidadependem somente da taxa de crescimento ou decaimento e nao da quantidade presenteinicialmente.

    Suponha que y = y(t) possui um modelo de crescimento exponencial dado por

    y = y0ekt (2.47)

    e seja T o tempo requerido para y dobrar seu tamanho. Desta forma, no tempo t = T ovalor de y sera duas vezes y0 e portanto

    2y0 = y0ekT ekT = 2 ln(ekT ) = ln(2) T = ln(2)

    k(2.48)

    Baseado nestas informacoes, pede-se:

    A taxa de decomposicao do elemento radio e proporcional a` quantidade presente emum dado instante. Sabendo que a meia vida do radio e de 1600 anos, encontre o percentualde radio que permanece apos 25 anos.

    2.9 Equacoes diferenciais lineares de ordem superior

    2.9.1 Definicao

    Uma equacao diferencial linear de ordem n tem a forma geral representada por

    a0dny

    dxn+ a1

    dn1y

    dxn1+ a2

    dn2y

    dxn2+ . . .+ an1

    dy

    dx+ any = f(x), (2.49)

    onde a0 6= 0, a1, a2, . . . , an sao constantes ou funcoes de x somente.

    Por conveniencia, a equacao (2.49) pode ser representada na forma de um polinomio,atraves da utilizacao de um operador diferencial D, onde

    D =d

    dx(2.50)

    Assim,dy

    dx= Dy,

    d2y

    dx2= D2y,

    d3y

    dx3= D3y,

    dny

    dxn= Dny. Portanto, a equacao (2.49)

    pode ser escrita na forma

    70

  • a0Dny + a1D

    n1y + a2Dn2y + . . .+ an1Dy + any = f(x) (2.51)

    ou

    [a0Dn + a1D

    n1 + a2Dn2 + . . .+ an1D + an]y = f(x) (2.52)

    A expressao entre colchetes de (2.52) e chamada de operador polinomial e e represen-tada por F (D), ou seja,

    F (D) = a0Dn + a1D

    n1 + a2Dn2 + . . .+ an1D + an (2.53)

    e a equacao (2.49) pode ser escrita na forma

    F (D)y = f(x) (2.54)

    Exemplo 33: Representar a equacao diferencial a seguir utilizando o operador dife-rencial D.

    d3y

    dx3 d

    2y

    dx2 4dy

    dx+ 4y = 0

    2.9.2 Propriedades do operador diferencial

    P1) D[ky(x)] = kD[y(x)]

    P2) D[k1y1(x) k2y2(x)] = kD[y1(x)] k2D[y2(x)]P3) Dm[Dny(x)] = Dm+n[y(x)]

    P4) [D2 (a+ b)D + ab]y(x) = (D a)(D b)y(x)

    2.9.3 Smbolos

    1. O simbolo Dn[f(x)] significa que a funcao f(x) deve ser derivada n vezes.

    Exemplo 34: Obtenha:

    a) D(x2 + 2x+ 1)

    b) (D 2)(D 2)ex

    c) D2(x3 + e2x)

    d) D3[D2(sen(x))]

    2. O smbolo1

    Dnf(x) = Dnf(x) significa que a funcao f(x) deve ser integrada n vezes.

    71

  • Seja a equacao diferencial

    dy

    dx= f(x) dy = f(x)dx (2.55)dy =

    f(x)dx (2.56)

    y =

    f(x)dx (2.57)

    Escrevendo a equacao (2.55) utilizando o operador diferencial D e comparando o resul-tado com a equacao (2.57), tem-se:

    dy

    dx= f(x) Dy = f(x) (2.58)

    y =1

    Df(x) (2.59)

    1

    Df(x) =

    f(x)dx (2.60)

    1

    D2f(x) =

    f(x)dx2 (2.61)

    1

    D3f(x) =

    f(x)dx3 (2.62)

    Generalizando:

    1

    Dnf(x) =

    . . .

    f(x)dxn (2.63)

    Exemplo 35: Obtenha:

    a)1

    D[tg(x)]

    b)1

    D[x+ ex]

    c)1

    D[sen(x)]

    d)1

    D[x2 + xex]

    3. O smbolo1

    (D r1)(D r2) . . . (D rn)f(x) significa que deve-se operar com1

    D r1em f(x), em seguida com

    1

    D r2 no resultado encontrado e assim sucessivamente, ate o-

    perar1

    D rn no ultimo resultado.

    72

  • Exemplo 36: Seja a equacao diferencial linear

    dy

    dx r1y = f(x) P (x) = r1 Q(x) = f(x) (2.64)

    A solucao geral desta equacao e

    y = eP (x)dx

    f(x)e

    P (x)dxdx (2.65)

    y = er1dx

    f(x)e

    r1dxdx (2.66)

    Escrevendo (2.64) em funcao do operador diferencial D, tem-se

    Dy r1y = f(x) (2.67)

    (D r1)y = f(x) (2.68)

    y =1

    D r1f(x) (2.69)

    Comparando (2.66) e (2.69) conclui-se que

    1

    D r1f(x) = er1dx

    f(x)e

    r1dxdx (2.70)

    Exemplo 37: Obtenha:

    a)1

    D 2ex

    b)1

    D + 4(0)

    c)1

    (D + 1)(D + 2)ex

    2.10 Equacoes diferenciais lineares homogeneas de or-

    dem n com coeficientes constantes

    2.10.1 Definicao

    Sao equacoes diferenciais da forma

    dny

    dxn+ a1

    dn1y

    dxn1+ a2

    dn2y

    dxn2+ . . .+ an1

    dy

    dx+ any = 0 (2.71)

    73

  • Dny + a1Dn1y + a2D

    n2y + . . .+ an1Dy + any = 0 (2.72)

    F (D)y = 0, (2.73)

    onde os coeficientes a1, a2, . . . , an sao constantes.

    Observacao: A equacao

    dny

    dxn+ a1

    dn1y

    dxn1+ a2

    dn2y

    dxn2+ . . .+ an1

    dy

    dx+ any = g(x), (2.74)

    onde g(x) 6= 0 e chamada nao-homogenea.

    Tomando o polinomio F (D) e fatorando-o, obtem-se

    F (D) = (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn) (2.75)Dessa forma, a equacao (2.73) fica

    (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn)y = 0 (2.76)

    2.10.2 Equacao caracterstica

    E a equacao

    F (D) = (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn) = 0, (2.77)onde r1, r2, r3, . . . , rn sao chamadas razes caractersticas.

    Exemplo 38: Encontre a equacao caracterstica e as razes caractersticas das equacoesdiferenciais a seguir.

    a) y y 4y + 4y = 0

    b) y + y 12y = 0

    c) y + 2y 3y = 0

    d) 2y 3y + y = 0

    2.10.3 Princpio da Superposicao

    Se as funcoes y1(x), y2(x), y3(x), . . . , yn(x) sao solucoes de uma equacao diferencialhomogenea, entao a combinacao linear

    74

  • y(x) = C1y1 + C2y2 + C3y3 + . . .+ Cnyn (2.78)

    tambem e uma solucao, onde y1, y2, y3, . . . , yn sao funcoes linearmente independentes. Dessaforma, a equacao (2.78) representa a solucao geral ou completa da equacao diferencial linearhomogenea.

    Dependencia linear

    As funcoes y1(x), y2(x), y3(x), . . . , yn(x) possuem dependencia linear quando uma ex-pressao pode ser escrita na forma

    C1y1(x) + C2y2(x) + C3y3(x) + . . .+ Cnyn(x) =ni=1

    Ciyi(x), (2.79)

    onde C1, C2, C3, . . . , Cn sao constantes arbitrarias.

    As funcoes y1(x), y2(x), y3(x), . . . , yn(x) sao linearmente independentes se a equacao

    C1y1(x) + C2y2(x) + C3y3(x) + . . .+ Cnyn(x) = 0 (2.80)

    e satisfeita somente quando C1 = C2 = C3 = . . . = Cn = 0. Caso contrario, as n funcoessao ditas linearmente dependentes.

    Exemplo 39: As funcoes y1 = ex e y2 = e

    x sao linearmente independentes, poisC1e

    x + C2ex = 0 somente quando C1 = C2 = 0.

    Exemplo 40: As funcoes y1 = ex, y2 = 2e

    x e y3 = ex sao linearmente dependentes,

    pois C1ex + 2C2e

    x + C3ex = 0 nao somente quando C1 = C2 = C3 = 0, e sim para uma

    infinidade de valores, como C1 = 2, C2 = 1 e C3 = 0; C1 = 2, C2 = 1 e C3 = 0; etc.

    Assim, e interessante usar um metodo mais pratico para estabelecer uma condicao ne-cessaria e suficiente para a confirmacao da dependencia linear entre funcoes. Isto podeser realizado atraves do determinante de Wronski (ou Wronskiano), que e formado na suaprimeira linha pelas funcoes em estudo, e da segunda linha em diante por suas funcoesderivadas de primeira ordem ate a de ordem (n 1), como mostrado a seguir.

    W =

    y1(x) y2(x) y3(x) . . . yn(x)y1(x) y

    2(x) y

    3(x) . . . y

    n(x)

    y1(x) y2(x) y

    3(x) . . . y

    n(x)

    ......

    ... . . ....

    y(n1)1 (x) y

    (n1)2 (x) y

    (n1)3 (x) . . . y

    (n1)n (x)

    (2.81)

    Da teoria dos determinantes, pode-se concluir que

    75

  • - Se W = 0, as funcoes sao linearmente dependentes.

    - Se W 6= 0, as funcoes sao linearmente independentes.

    Exemplo 41: Estudar a dependencia linear das funcoes a seguir:

    a) y1 = ex, y2 = e

    2x

    b) y1 = ex, y2 = 2e

    2x

    c) y1 = x, y2 = x+ 1, y3 = x+ 2

    d) y1 = sen(ax), y2 = cos(ax)

    e) y1 ln(x), y2 = x ln(x), y3 = x2 ln(x)

    2.10.4 Solucao da equacao diferencial linear homogenea de coe-ficientes constantes

    A solucao geral de uma equacao diferencial linear homogenea de coeficientes constantese dada de acordo com a forma assumida pelas razes da equacao caracterstica. Existem 4casos de razes da equacao caracterstica.

    10 Caso: Razes da equacao caracterstica reais e distintas

    Considerando a equacao

    dy

    dx r1y = 0 (D r1)y = 0, (2.82)

    sua solucao e dada por

    y = C1er1x (2.83)

    Considerando a equacao

    (D r1)(D r2)y = 0, (2.84)onde r1 6= r2, sua solucao e dada por

    y = C1er1x + C2e

    r2x (2.85)

    Generalizando para uma equacao diferencial de ordem n, tem-se como solucao

    76

  • y = C1er1x + C2e

    r2x + C3er3x + . . .+ Cn1e

    rn1x + Cnernx, (2.86)

    onde as funcoes er1x, er2x, er3x, . . . , ern1x, ernx sao linearmente independentes.

    Exemplo 42: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:

    a)d3y

    dx3 d

    2y

    dx2 4dy

    dx+ 4y = 0

    b) (D3 + 2D2 5D 6)y = 0

    c) (D2 +D 6)y = 0

    20 Caso: Razes da equacao caracterstica reais e iguais

    Considerando a equacao

    (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rk)(D rk+1)(D rk+2) . . . (D rn)y = 0, (2.87)e supondo que a equacao caracterstica possui k razes reais iguais e as razes restantes reaisdistintas, ou seja,

    r1 = r2 = r3 = . . . = rk (2.88)

    e

    rk 6= rk+1 6= rk+2 6= . . . 6= rn (2.89)No caso da equacao caracterstica admitir razes reais multiplas, ou seja, razes de mul-

    tiplicidade k e k n, onde n e a ordem da equacao diferencial, a solucao geral da mesmaassume a forma

    y = (C1 + C2x+ C3x2 + . . .+ Ckx

    k1)erkx + Ck+1erk+1x + . . .+ Cne

    rnx, (2.90)

    onde as funcoes erkx, xerkx, x2erkx, . . . , xk1erkx, erk+1x, . . . , ernx sao linearmente independen-tes.

    Exemplo 43: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:

    a) (D3 3D2 + 3D 1)y = 0

    b) (D2 + 6D + 9)y = 0

    77

  • c) (D 2)3(D + 3)(D 1)2y = 0

    30 Caso: Razes da equacao caracterstica complexas e distintas

    Sabe-se que se a equacao caracterstica F (D) = 0 possui uma raiz complexa da forma + j, o conjugado j tambem e raiz da mesma.

    Supondo que a equacao caracterstica apresenta n razes, onde duas razes sao + j, j e as razes restantes sao reais e distintas, a equacao diferencial linear homogeneaapresentara como solucao geral:

    y = K1e(+j)x +K2e

    (j)x + C3er3x + C4e

    r4x + . . .+ Cnernx, (2.91)

    onde atraves da utilizacao das relacoes de Euler

    ejx = cos(x) + jsen(x) (2.92)

    e

    ejx = cos(x) jsen(x) (2.93)e apos algumas manipulacoes algebricas, a equacao (2.91) fica

    y = [C1 cos(x) + C2sen(x)]ex + C3e

    r3x + C4er4x + . . .+ Cne

    rnx (2.94)

    Novamente, as funcoes presentes na solucao da equacao diferencial sao linearmente in-dependentes.

    Exemplo 44: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:

    a)d2y

    dx2 2dy

    dx+ 10y = 0

    b) (D3 + 4D)y = 0

    40 Caso: Razes da equacao caracterstica complexas e iguais

    Neste caso, basta fazer a combinacao do 20 e 30 casos. Supondo que a equacaocaracterstica F (D) = 0 de uma equacao diferencial apresenta n razes, onde 4 delas cor-respondem a 2 pares de razes conjugadas e as demais razes sao reais e distintas. Assim:

    r1 = r3 = + j (2.95)

    r2 = r4 = j (2.96)

    78

  • r1 6= r2 6= r5 6= r6 6= . . . 6= rn (2.97)A solucao geral para esta equacao diferencial e dada por

    y = [(C1 + C2x) cos(x) + (C3 + C4x)sen(x)]ex + C5e

    r5x + C6er6x + . . .+ Cne

    rnx

    (2.98)Novamente, as funcoes presentes na solucao da equacao diferencial sao linearmente in-

    dependentes.

    Exemplo 45: Encontre a solucao geral das seguintes equacoes diferenciais:

    a) y 4y = 0

    b) y 16y = 0

    c)d4y

    dx4 4d

    2y

    dx2= 0

    d) y 2y + 10y = 0

    e)d2y

    dx2 3dy

    dx+ 4y = 0

    f)d4y

    dx4+ 2

    d2y

    dx2+ y = 0

    g) yiv + 4y + 4y = 0

    h) yiv 8y + 16y = 0

    i) (D2 +D + 1)3(D2 + 9)2(D + 4)2(D 7)y = 0

    Exemplo 46: Encontre a solucao das equacoes diferenciais a seguir, levando em contaas condicoes iniciais dadas:

    a) y 4y + 3y = 0 y(0) = 7 y(0) = 11

    b) 9y + 6y + 4y = 0 y(0) = 3 y(0) = 4

    c) 3y + 2y = 0 y(0) = 1 y(0) = 0 y(0) = 1

    79

  • 2.11 Equacoes diferenciais nao-homogeneas de ordem

    n com coeficientes constantes

    2.11.1 Definicao

    Sao equacoes diferenciais da forma

    dny

    dxn+ a1

    dn1y

    dxn1+ a2

    dn2y

    dxn2+ . . .+ an1

    dy

    dx+ any = f(x) (2.99)

    Usando o operador diferencial, esta equacao fica:

    (Dn + a1Dn1 + a2D

    n2 + . . .+ an1D + an)y = f(x) (2.100)

    F (D)y = f(x) (2.101)

    Escrevendo F (D) na forma fatorada, obtem-se

    F (D) = (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn) (2.102)Assim, (2.100) fica:

    (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn)y = f(x) (2.103)

    2.11.2 Solucao da equacao diferencial nao-homogenea de ordemn com coeficientes constantes

    Considerando a equacao diferencial homogenea

    (D r1)(D r2)(D r3) . . . (D rn)y = 0 (2.104)associada a` equacao (2.103).

    A equacao (2.104) possui uma solucao yh(x), chamada de solucao homogenea, que pos-sui constantes arbitrarias. A equacao diferencial nao-homogenea dada por (2.103) possuitambem uma solucao yp(x), chamada de solucao particular, livre de constantes arbitrarias.

    Dessa forma, a solucao geral da equacao diferencial nao-homogenea com coeficientesconstantes e dada por

    y(x) = yh(x) + yp(x), (2.105)

    onde

    80

  • - yh(x) solucao homogenea ou funcao complementar, que no estudo de circuitos cor-responde ao regime transitorio.

    - yp(x) solucao particular ou integral particular, que no estudo de circuitos correspondeao regime permanente.

    - y(x) solucao geral, que no estudo de circuitos corresponde a` resposta completa domesmo.

    Sabe-se que a solucao geral possui n constantes arbitrarias devido a` presenca da solucaohomogenea. Assim,

    F (D)y = F (D)[yh + yp] = F (D)yh + F (D)yp = 0 + f(x) (2.106)

    A equacao (2.106) indica que a solucao homogenea da equacao diferencial (2.103) eaquela que se substituda na equacao, o resultado sera nulo; e a solucao particular e aquelaque se substituda na equacao, ira gerar a funcao f(x). Foi visto anteriormente como pro-ceder no calculo da solucao homogenea. Para o calculo da solucao particular existem doismetodos principais:

    - Metodo abreviado

    - Metodo dos coeficientes a determinar

    Metodo abreviado

    A solucao particular de uma equacao diferencial F (D)y = f(x) com coeficientes cons-tantes e dada por

    yp(x) =1

    F (D)f(x) (2.107)

    Sabe-se que para uma equacao diferencial de primeira ordem, tem-se:

    yp(x) =1

    F (D)f(x) =

    1

    D r1f(x) = er1x

    f(x)er1xdx (2.108)

    Para uma equacao diferencial de ordem n tem-se:

    yp(x) =1

    F (D)f(x) =

    1

    (D r1)(D r2) . . . (D rn)f(x) (2.109)

    yp(x) = er1x

    e(r2r1)x

    e(r3r2)x . . .

    e(rnrn1)x

    f(x)ernxdxn (2.110)

    E facil notar em (2.110) que o calculo da solucao particular e uma tarefa trabalhosa,porem, este calculo facilita bastante quando a funcao f(x) assume formas conhecidas como

    81

  • - f(x) = K

    - f(x) = ex

    - f(x) = xn

    - f(x) = xnex

    - f(x) = ex cos(x)

    - f(x) = exsen(x)

    onde n Z e , R.

    10 Caso: f(x) = ex F (D)yp = ex, onde e sao constantes arbitrarias.

    Neste caso a solucao particular e dada por

    yp(x) =1

    F (D)f(x) =

    1

    F (D)ex

    D=

    , F () 6= 0 (2.111)

    Exemplo 47: Encontre a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir:

    a) (D 1)(D 3)(D + 2)y = e4x

    b) (D 1)(D 3)(D + 2)y = (e2x + 3)2

    c) (D 1)(D 3)(D + 2)y = e3x

    d) y 3y + 2y = 3e2x

    e) (D 1)2(D 2)y = 3ex + 2ex

    20 Caso: f(x) = ksen(ax+ b) ou f(x) = k cos(ax+ b), onde k, a, b R.

    A equacao diferencial tera a forma

    F (D)yp = ksen(ax+ b) (2.112)

    ou

    F (D)yp = k cos(ax+ b) (2.113)

    Neste caso a solucao particular e dada por

    82

  • yp(x) =1

    F (D)ksen(ax+ b)

    D2=a2

    (2.114)

    ou

    yp(x) =1

    F (D)k cos(ax+ b)

    D2=a2

    , (2.115)

    onde F (a2) 6= 0.

    Exemplo 48: Determinar a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir:

    a) y y = 2sen(x)

    b) (D2 + 4)y = cos(3x)

    c) yiv + y = sen(2x)

    d) y 3y + 2y = 2sen2x

    e) y + 3y 4y = sen2x

    Observacao: Se no calculo da solucao particular para este caso F (D) = 0 paraD2 = a2, deve-se resolver a equacao diferencial pelo metodo dos coeficientes a determi-nar, que sera visto posteriormente.

    30 Caso: f(x) = xm F (D)yp = xm, onde m Z+.

    Neste caso a solucao particular e dada por

    yp(x) =1

    F (D)xm = (a0 + a1D + a2D

    2 + a3D3 + . . .+ amD

    m)xm, a0 6= 0, (2.116)

    onde o polinomio (a0+a1D+a2D2+a3D

    3+ . . .+amDm) e obtido ao fazer a divisao

    1

    F (D),

    desprezando-se todos os termos alem de Dm, pois D(m+1)[xm] = 0.

    Exemplo 49: Encontrar a solucao geral das equacoes diferenciais a seguir:

    a) y + 4y = x

    b) y 4y = x 1

    c) (D2 4D + 3)y = x2 + 2x+ 1

    83

  • d) (D3 4D2 + 3D)y = x2

    40 Caso: f(x) = ezxQ(x) F (D)yp = ezxQ(x), onde z R e Q(x) e uma das funcoesestudadas nos casos 2 e 3, ou seja,

    Q(x) = xm (2.117)

    ou

    Q(x) = ksen(ax+ b) (2.118)

    ou

    Q(x) = k cos(ax+ b) (2.119)

    Neste caso, a solucao particular da equacao diferencial e dada por

    yp(x) =1

    F (D)ezxQ(x) = ezx

    1

    F (D + z)Q(x) (2.120)

    Exemplo 50: Encontre a solucao geral para as equacoes diferenciais a seguir:

    a) (D2 4)y = x2ex

    b) (D2 +D 6)y = e5xsen(x)

    c) (D2 D + 4)y = xe3x

    Metodo dos coeficientes a determinar

    Semelhante ao metodo abreviado, a aplicacao deste metodo se limita a`s equacoes dife-renciais lineares nao-homogeneas com coeficientes constantes da forma

    F (D)y = f(x), (2.121)

    onde f(x) apresenta uma das formas mostradas abaixo ou e uma combinacao linear dasmesmas:

    f(x) =

    k k Rxm m Z+ex R

    sen(ax) a Rcos(ax) a R

    (2.122)

    84

  • Exemplo 51: A funcao f(x) poderia assumir as formas:

    a) f(x) = 10

    b) f(x) = x2 + 5x

    c) f(x) = 8x 6e2x

    d) f(x) = sen(2x) 5xsen(3x) + 3x2ex

    O metodo dos coeficientes a determinar nao se aplica a`s equacoes diferenciais cu-jas funcoes f(x) sao diferentes das formas citadas, como por exemplo, f(x) = ln(x),f(x) = x1, f(x) = tg(x) ou f(x) = sec(x).

    As famlias de funcoes conhecidas (constantes, exponenciais, polinomios, senos e cosse-nos) possuem a seguinte propriedade:

    Se as somas e os produtos destas funcoes forem derivadas sucessivas vezes, o resul-tado obtido continuara sendo somas e produtos destas mesmas funcoes.

    Exemplo 52: Seja f(x) = (x3 + 3x2)e4x + e2xsen(x)

    Nota-se que f(x) possui um produto de um polinomio por uma exponencial e um pro-duto de um seno por uma exponencial. Derivando esta funcao em relacao a x, obtem-se:

    f (x) = (3x2 + 6x)e4x + (x3 + 3x2)(4e4x) + 2e2xsen(x) + e2x cos(x)Como dito na propriedade, o resultado f (x) consiste em somas de produtos das mesmas

    funcoes, ou seja, ao produto de exponenciais por polinomios e ao produto de exponenciaispor funcoes senoidais.

    Tomando esta propriedade e sabendo que uma equacao diferencial linear nao-homogeneade coeficientes constantes e uma combinacao linear entre a funcao y(x) e suas derivadas,pode-se concluir que a solucao particular yp(x) que gera a funcao f(x) possui a mesmaforma de f(x).

    Exemplo 53: Encontrar a solucao geral de

    y + 4y 2y = 2x2 3x+ 6 (2.123)A solucao homogenea e determinada a partir das razes da equacao caracterstica. As-

    sim:

    (D2 + 4D 2) = 0 (2.124)

    85

  • As razes da equacao caracterstica sao r1 = 2 +6 e r2 = 2

    6. Logo, a solucao

    homogenea e

    yh = C1e(2+

    6)x + C2e

    (26)x (2.125)

    Para determinar a solucao particular, uma vez que f(x) assume a forma de um po-linomio do segundo grau, admite-se que yp tambem assume a forma de um polinomio dosegundo grau. Assim:

    yp = Ax2 + Bx+ C (2.126)

    Para encontrar a solucao particular, os valores de A, B e C devem ser calculados, deri-vando a equacao (2.126) duas vezes e substituindo os resultados em (2.123). Assim:

    yp = 2Ax+B (2.127)

    yp = 2A (2.128)

    Substituindo estes resultados em y + 4y 2y = 2x2 3x+ 6, vem:

    2A+ 8Ax+ 4B 2Ax2 2Bx 2C = 2x2 3x+ 6 (2.129)

    2Ax2 + (8A 2B)x+ 2A+ 4B 2C = 2x2 3x+ 6 (2.130)Comparando os dois membros de (2.130), conclui-se que

    2A = 2 A = 1 (2.131)

    8A 2B = 3 B = 52

    (2.132)

    2A+ 4B 2C = 6 C = 9 (2.133)Assim, a solucao geral da equacao diferencial dada e

    y = yh + yp = C1e(2+

    6)x + C2e

    (26)x x2 5

    2x 9 (2.134)

    Exemplo 54: Encontre a solucao da equacao diferencial y y + y = 2sen(3x)

    Dica: Sabendo que derivacoes sucessivas de sen(3x) geram termos com sen(3x) e cos(3x),uma escolha sensata para a solucao particular e:

    yp = Asen(3x) + B cos(3x)

    86

  • Exemplo 55: Encontre a solucao da equacao diferencial y2y3y = 4x5+6xe2x

    Dica: Sabendo que f(x) e composta por uma funcao polinomial do primeiro grau so-mada com o produto de um polinomio do primeiro grau com uma exponencial, a solucaoparticular assume a mesma forma:

    yp = Ax+ B + (Cx+D)e2x

    Exemplo 56: A tabela a seguir traz alguns exemplos de f(x). Complete esta tabelacom as escolhas apropriadas para a solucao particular yp(x):

    f(x) Solucao particular yp(x)

    1

    5x+ 7

    3x2 2x3

    sen(4x)

    e5x

    (9x 2)e5xx2e5x

    e3x cos(4x)

    5x2sen(4x)

    xe3x cos(4x)

    O exemplo a seguir mostra que algumas vezes o metodo dos coeficientes a determinardeve sofrer uma pequena modificacao no momento de adotar a solucao particular, ao ob-servar a forma de f(x).

    Exemplo 57: Encontre a solucao geral para a equacao diferencial y 2y = 4e2x.

    A solucao homogenea obtida a partir da raiz da equacao caracterstica (D 2) = 0 e

    yh = C1e2x (2.135)

    Observando a funcao f(x) = 4e2x, uma escolha inicial para a solucao particular e:

    yp = Ae2x (2.136)

    Derivando (2.136), vem:

    yp = 2Ae2x (2.137)

    87

  • Substituindo estes resultados na equacao diferencial dada, vem:

    2Ae2x 2Ae2x = 4e2x (2.138)

    0 = 4e2x (2.139)

    Isto ocorre devido ao fato da solucao particular adotada yp = Ae2x est