C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 535–539, 2000Théorie des groupes/Group Theory

Arithmetical properties of idempotents in groupalgebras

Max NEUNHÖFFER

Lehrstuhl D für Mathematik, Templergraben 64, 52062 Aachen, AllemagneE-mail: max.neunhoeffer@math.rwth-aachen.de

(Reçu le 8 novembre 1999, accepté après révision le 15 février 2000)

Abstract. We consider a finite groupG and a Dedekind ringA of characteristic0. Letp 6= 0 be a primeideal ofA. Then the localizationAp of A atp is a discrete valuation ring. The idempotentsin the group algebraApG play a fundamental rôle in the study of projective modules forG. In this Note we show that for every idempotente ∈ApG there is an idempotente and apositive integern ∈N∗, such thatApGe=ApGe and|G|ne ∈AG. 2000 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Propriétés arithmétiques d’idempotents d’algèbres de groupes

Résumé. SoientG un groupe fini,A un anneau de Dedekind de caractéristique0, et p 6= 0 unidéal premier deA. Alors la localisationAp est un anneau de valuation discrète. Lesidempotents dans l’algèbre du groupeApG jouent un rôle fondamental dans l’étude desmodules projectifs pourG. Dans cette Note, nous démontrons que pour chaque idempotente ∈ ApG il existe un idempotente et unn ∈N∗ tel queApGe = ApGe et |G|ne ∈ AG. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Version française abrégée

SoientG un groupe fini,A un anneau de Dedekind de caractéristique0, etK son corps des fractions. Onse fixe un idéal premierp 6= 0 deA. Alors la localisationAp est un anneau de valuation discrète, dont lecorps résiduel est de caractéristiquep > 0. On considère la partie

T :=Ar(

p∪⋃q

q

)

deA, où q parcourt l’ensemble de tous les idéaux premiers deA tels |G| /∈ q. L’ensembleT est clos parmultiplication et on peut donc définir l’anneau des quotientsR := T−1A⊆K .

Note présentée par Jacques TITS.

S0764-4442(00)00223-8/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 535

M. Neunhöffer

Remarque1. – Tout élément deR est de la forma/d aveca ∈A etd ∈N∗, oùd n’est divisible que pardes nombres premiers qui divisent l’ordre du groupeG. Autrement dit, pour toutx ∈R il existe unn ∈N∗

tel que|G|nx ∈A, où |G| désigne l’ordre du groupeG.

Remarque2. – On aA ⊆ R ⊆ Ap ⊆K , etAp est aussi la localisation deR dans l’idéal premier deRengendré parp.

Les résultats principaux de cette Note sont des conséquences du théorème suivant. Remarquons d’abordqu’unR-module de type fini qui est sans torsion est toujours projectif. C’est une conséquence du fait queR– comme localisation d’un anneau de Dedekind – est aussi un anneau de Dedekind (voir [2], Theorem 10.4).

THÉORÈME 1. –SoitM un RG-module de type fini qui est projectif commeR-module. AlorsM estindécomposable si et seulement si leApG-moduleMp :=Ap ⊗RM est indécomposable.

En effet, siM est décomposable, alors il est clair queMp est aussi décomposable. Supposons maintenantqueMp est décomposable : cela implique qu’il existe une suite exacte

0−→M1 −→M −→M2 −→ 0, (1)

oùM1 6= 0 etM2 6= 0 sont desRG-modules de type fini et sans torsion, tels que la suite exacte

0−→Ap ⊗RM1 −→Ap ⊗RM −→Ap ⊗RM2 −→ 0

est scindée. Afin de montrer que (1) est aussi scindée, on utilise le principe du « passage du local au global » :la suite (1) est scindée si et seulement si, pour tout idéal premierq deR, la suite

0−→Rq ⊗RM1 −→Rq ⊗RM −→Rq ⊗RM2 −→ 0 (2)

est scindée. Une version généralisée du théoreme de Maschke (voir [1], (25.12)) montre qu’il suffit deconsidérer les idéaux premiersq⊂R tels que|G| ∈ q. Or, par la construction deR (voir remarque 1), il ya au plus un idéal premier deR qui contient|G| : c’est l’idéal engendré parp. Dans ce cas-là, la suite (2)est scindée par hypothèse, ce qui démontre le théorème 1.

En appliquant le théorème 1 aux modules de la formeRGe, oùe ∈RG est un idempotent, on obtient lecorollaire suivant :

COROLLAIRE. – Un idempotente ∈RG est primitif si et seulement sie est primitif vu comme idempotentdansApG. De plus, pour tout idempotente ∈ ApG il existe un idempotente ∈ RG et unn ∈N∗ tel queApGe=ApGe et |G|ne ∈AG.

En particulier, si on a1 = e1 + · · ·+ er oú e1, . . . , er sont des idempotents primitifs dansRG qui sontdeux á deux orthogonaux, alors la même chose est vraie dansApG.

Les idempotents jouent un rôle fondamental dans l’étude des modules projectifs deApG, où Ap est lacomplétion deAp : tout ApG-module projectif et indécomposable est isomorphe à un module de la formeApGe, où e ∈ ApG est un idempotent primitif (voir [1], (6.17)).

PROPOSITION. – SupposonsK assez gros pour queKG soit deployée. Alors toutApG-module projectifet indécomposable est isomorphe à un module de la formeApGe, où e est un idempotent tel que|G|ne ∈AG pour unn ∈N∗.

En effet, soitk le corps résiduel deAp. CommeKG est deployé, tout idempotent dekG peut être relevépas seulement à un idempotent dansApG mais à un idempotent dansApG (voir [1], Ex. 6.16). Donc, tout

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ApG-module projectif et indécomposable est isomorphe à un module de la formeApGe, où e ∈ ApG estun idempotent primitif. Il reste à utiliser le corollaire et la remarque 1.

1. Introduction

Idempotents in the group algebra of a finite groupG over a ring ofp-adic integers play a fundamental rôlein the study of modular representations ofG. In this Note we are concerned with the problem of obtainingarithmetical conditions on the coefficients of such an idempotent when expressed as a linear combinationof group elements. Our main results are statements about the denominators in these coefficients: eachequivalence class of idempotents (under conjugation in the group algebra) always contains a representativein which the only prime divisors of the denominators are primes which divide the order ofG. This isestablished as a consequence of a more general result about the behaviour of indecomposableRG-latticesunder scalar extension fromR to a ring ofp-adic integers, whereR is a certain non-local ring. The proofuses a local-global principle and some properties of Dedekind rings and maximal orders. The results aboutidempotents in group algebras over Dedekind domains answer a question of Meinolf Geck (posed in theproblem book in Oberwolfach in 1992) positively.

2. The main theorem

Let G be a finite group,A a Dedekind ring of characteristic0, andK its field of fractions. We fix anon-zero prime idealp of A. SinceA is Dedekind, the localizationAp is a discrete valuation ring, withresidue field of characteristicp > 0, say. We consider the following subset ofA:

T :=Ar(

p∪⋃q

q

),

whereq runs over all prime ideals ofA such that|G| /∈ q. The setT is multiplicatively closed and so wecan form the ring of quotientsR := T−1A⊆K .

Remark1. – Every element ofR is of the forma/d with a ∈ A andd ∈N∗, whered is only divisibleby prime numbers which divide the order ofG. In other words, for eachx ∈R there exists ann ∈N∗ suchthat |G|nx ∈A, where|G| denotes the order ofG.

This is seen as follows: by definition, every element ofR is of the forma/t with a ∈A andt ∈ T . SinceA is Dedekind, the principal ideal|G|A can be written in an essentially unique way as a product of primeidealspj in A:

|G|A= pi11 · · · · · pimm (ik > 0 for 16 k 6m).

We now conclude from the construction ofT that the principal idealtA decomposes into a product of primeideals, such that only prime ideals dividing|G| occur, so renumbering yields for some`6m:

tA= pj11 · · · · · p

j`` (jk > 0 for 16 k 6 `).

This means that there is some exponentn > 0 such that|G|nA⊆ tA. But then|G|n ∈ tA and so there is ag ∈A with |G|n = tg. Hence we havea/t= (ag)/(|G|n). 2

Remark2. – We haveA ⊆ R ⊆ Ap ⊆K , andAp is also the localization ofR at the prime ideal ofRgenerated byp.

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Note thatR as ring of quotients of a Dedekind ring is also Dedekind (seefor example Theorem 10.4(1)in [2]). Therefore a finitely generatedR-moduleM is projective if and only if it is torsion free. AnRG-lattice is a finitely generatedR-projectiveRG-module.

THEOREM 1. –An RG-latticeM is indecomposable if and only if theApG-latticeMp := Ap ⊗RMobtained by localization atp is indecomposable.

Proof. –“⇐=” is clear: fromM =M ′ ⊕M ′′ asRG-lattices, it follows, thatMp =M ′p ⊕M ′′p , becauselocalization preserves direct sums.

“=⇒”: for this direction we have to show that ifMp is decomposable, alsoM itself is decomposable.More explicitly: if Mp = M ′⊕ M ′′ with two non-trivialApG-submodulesM ′ andM ′′, thenM is a directsum of two proper submodules.

So letMp = M ′ ⊕ M ′′. BecauseM isR-torsion free asRG-lattice, the map

M ↪→Mp, m 7→m/1,

is an embedding. Invoking Proposition (23.12) in [1] we get anRG-submoduleM ′ of M with M ′ =

M ∩ M ′ andM ′ =M ′p. We consider the following short exact sequence ofRG-lattices (note thatM/M ′

isR-torsion free becauseMp/M′p isAp-torsion free andM ′ is the intersection ofM ′ andM ):

0−→M ′ −→M −→M/M ′ −→ 0 (1)

and its localization atp:

0−→ M ′ −→Mp −→(M/M ′

)p−→ 0.

As M ′ is, by hypothesis, a direct summand ofMp, the latter sequence splits.We now use Proposition (4.2iii) in [1] which states, that (1) splits if and only if all its localizations at

prime ideals ofR split. A generalized version of Maschke’s theorem (see[1], (25.12)) shows that we have|G| ·Ext1

RqG((M/M ′)q,M′q) = 0 for all prime idealsq of R. Thus, we only need to consider those prime

idealsq such that|G| ∈ q. But, by the construction ofR (cf . Remark 1), there is at most one such primeideal ofR, namely, the prime ideal generated byp. In this case, the localization of (1) splits by assumption.So (1) is split and the theorem is proved.23. Application to idempotents

We use the same notations as in the last section. An idempotente in the group algebraRG generates a leftidealRGe which is, as a leftRG-module, a direct summand of the left regularRG-module and thereforeRG-projective. Being alsoR-projective, it is anRG-lattice. Conversely, every direct summand of the leftregularRG-module is generated by an idempotent. So a direct summand ofRG is indecomposable if andonly if the corresponding idempotent is primitive. Thus we have the following corollary:

COROLLARY 1. –An idempotente ∈RG is primitive if and only if it is primitive as idempotent inApG.

But the situation is even better: ife is an idempotent inApG we can apply the same kind of argumentas in the proof of Theorem 1 to the left regularAp-moduleM := ApG. That module is the localizationof the left regularRG-moduleM := RG and it has a direct summandM ′ := ApGe. Again by usingProposition (23.12) in [1], we get a submoduleM ′ of RG with M ′ = M ∩ M ′ = RG ∩ ApGe andApGe = M ′p. The exact sequence0→M ′ →M →M/M ′ → 0 splits by the same argument as in thetheorem, showing thatM ′ is a direct summand ofM =RG. So there must be an idempotente ∈RG suchthatRGe = M ′. BecauseM ′ = RG ∩ ApGe, we havee ∈ ApGe and thereforeM ′ = ApGe. InvokingRemark 1 we conclude that there is a natural numbern such that|G|ne ∈AG. We have thus proved:

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Arithmetical properties of idempotents in group algebras

COROLLARY 2. –Let e be an idempotent inApG. Then there is an idempotente in RG and a naturalnumbern such thatApGe=ApGe and|G|ne ∈AG.

In particular, if we consider a decomposition of1 into a sum of pairwise orthogonal primitive idempotents1 = e1 + · · ·+ er in RG (existence is clear becauseR is noetherian), we conclude from Corollary 1 thatthis is also a decomposition of1 into pairwise orthogonal primitive idempotents forApG.

Idempotents play a fundamental rôle in the study of projectiveApG-modules, whereAp denotes thecompletion ofAp. Indeed, every projective indecomposableApG-module is isomorphic to a module of theform ApGe, wheree ∈ ApG is a primitive idempotent (see[1], (6.17)).

PROPOSITION. – Assume thatK is a splitting field forG and let Ap be the completion ofAp. Thenevery projective indecomposableApG-module is isomorphic to a module of the formApGe, wheree is anidempotent such that|G|ne ∈AG for somen ∈N∗.

Indeed, letk be the residue field ofAp. SinceKG is split semisimple, we can lift idempotents fromkGtoApG (see[1], Ex. 6.16). So every projective indecomposableApG-module is isomorphic to a module ofthe formApGe, wheree ∈ApG is a primitive idempotent. It remains to use Corollary 2 and Remark 1.

Acknowledgements.I thank Meinolf Geck for his excellent suggestions which helped to improve the exposition ofthis Note.

References

[1] Curtis C.W., Reiner I., Methods of Representation Theory, Vol. I, John Wiley & Sons, New York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapore, 1981.

[2] Jacobson N., Basic Algebra, Vol. II, W.H. Freeman and Company, New York, 1989.

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