aritmetica preuniversitario firme
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1 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
CLASES PARTICULARES: MATEMÁTICA, FÍSICA, QUÍMICA, CTA, ESTADÍSTICA, BIOLOGÍA, FISICOQUÍMICA,BIOQUÍMICA, BIOFÍSICA, ASESORÍA DE TESIS
Cel.:952 545914 - 952 849673 / correo: [email protected]
ARITMÉTICA
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2 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
CONCEPTOSe entiende como una colección de objetos biendefinidos, llamados elementos y pueden ser deposibilidades reales, abstractas o imaginarias. Losconjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B,C ....... etc, o entre llaves { } y sus integrantes generalesseparados con comas ( , ) o punto y coma ( ; )
Ejemplos:A = {1; 4; 6; 8; 10; 12}B = {a; e; i; o; u}C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0)
NOTACIÓN: Se ha adoptado la convención de usar
letras mayúsculas A,B,C,...para representar conjuntos y
letras minúsculas a,b,c... o numerales 0,1,2... para
representar a los elementos.
RELACION DE PERTENENCIA:
- Si un elemento “X” pertenece al conjunto “A”,
se escribe: A x∈
- Si un elemento “X” no pertenece al conjunto
“A”, se escribe: A x∉I) REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS (DIAGRAMAS)
a)Diagrama de Venn – Euler: Son regiones planas
limitadas por figuras geométricas (círculos, triángulos,
etc, el primero es el mas usado) cerradas, que se
utilizan para representar gráficamente las relaciones y
operaciones con conjuntos.Ejemplo::
Conjunto Universal o Referencial
U = {1; 2; 3; 4; 5, 6; 7, 8; ), 10; 11; 12}A = {2; 3, 4; 5}B = {3; 4, 5; 6; 7; 8; 9}
C = {8; 9; 10; 11; 12}
b) Diagrama de Lewis-Carroll: Son cuadriláteros, los
cuales se emplean para representar conjuntos disjuntos.
II)DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO:
a)Por Extensión (o tabular): Si se define un
conjunto , escribiendo sus elementos
Ejemplo 1:
{ }uoiea A ,,,,=
Ejemplo 2:
Tabulando
x 1 2 3 4 5 6 7 8
2
1x2 − 0
3
2 4
2
15 12
2
35 2
2
63
B = {0; 4; 12; 24}
b)Por Comprensión (o no tabular): Si se define un
conjunto, indicando alguna propiedad o característica
común a sus elementos.
Ejemplo1: A = {3x N/ x < 2}
Ejemplo2:
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3 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
peruanoacongresist unes x
x A =
Se lee: conjunto “A” formado por los elementos “x”
tal que cada elemento “x” sea un congresista
peruano.
Es decir: El conjunto “A” es el conjunto de todos los
congresistas peruanos.
OBSERVACIÓN: Un conjunto por extensión se puede
transformar a conjunto por compresión y viceversa.
III)CLASIFICACION DE CONJUNTOS
a)Conjunto finito: Cuando la lista de sus elementos se
puede terminar.
Ejemplo:
{ }d cba A ,,,=
b)Conjunto infinito: Cuando la lista de sus elementos
es interminable.
Ejemplo:
{ },...4,3,2,1| = N
IV)CONJUNTOS ESPECIALES1)Conjunto vacío: Es el que no tiene elemento alguno.
Se representa así: { }óΦ
2)Conjunto unitario: Es aquel que tiene un solo
elemento.Ejemplo:
{ } país soloun Francia B
fútbol demundial campeónel Es x
x B
;
98
=
=
3)CONJUNTO UNIVERSAL: (O REFERENCIAL)Es el conjunto que contiene en su totalidad a los
elementos de los otros conjuntos considerados o
tomados como referencia.
Grafico:
4) CONJUNTO DE CONJUNTOS (O FAMILIA DE
CONJUNTOS)Es aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos. Ejemplo:
{ } { } { }{ }4;3;2= M
5) CONJUNTO POTENCIA:Es el conjunto cuyos elementos son todos los
subconjuntos de un conjunto dado.
Dado el conjunto: φ ≠ A
Se denota P(A)
A x
x A P ⊂=)(
número de subconjuntos:
donde:n: Número de elementos del conjunto “A”
Ejemplo:
n P(A)= 22 =4
En conjunto potencia:
“Precauciones con la simbología”
Ejemplo 1:
Para A= {1; [2]}
Tenemos:
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4 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
{ } [ ]{ } [ ]{ }{ }
[ ]{ } ( )
{ }[ ]{ } [ ]{ } etc A P A A P A
A P A
A P A
A A
cumple se y
A P
),(22)(11
2
)(2
1
:
2;1;2;1;)(
∈⊂∈∉
⊂∉
∈∈
⊂∈
=
φ
φ
φ
φ
Ejemplo 2:
B={1,2,{3},4}
{ }{ }{ } falsaesafirmacionesta F B
V B
V B
V B
)(3
)(4
)(3
)(1
⊂
⊂
∈
∈
6) SUBCONJUNTO PROPIO (⊂ ) se denominasubconjunto propio de A, a igual subconjunto diferente
al conjunto A
Del ejemplo anterior:
Número de subconjuntos propios de A =2n(A) -1
V) RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:1) INCLUSIÓN )(⊂ : Un conjunto A esta incluido en
B, si todos sus elementos son también elementos B
Se denota: A Bo B A ⊂⊂
Se lee: A esta incluido en B
A es subconjunto de B
A esta contenido en BB incluye en A
B contiene a A
B es superconjunto de A
Ejemplo:
{ } { }4,3,2,12,1 == B y A
A los conjuntos A y B se les llama conjuntoscomparables
C A
C B B A si
A A
A
opiedades
A Bó B ASi
⊂⇒
⊂∧⊂
⊂
⊂
⊂⊂
:)3
)2
)1
:Pr
):(
φ
2) IGUALDAD Intuitivamente, 2 conjuntos A y B son
iguales, cuando poseen los mismos elementos.
Se denota : A=B
Se define: A B B A B A ⊂∧⊂⇔=
Ejemplo 1: A={a ,b c ,d} y B={c, a, d, b}
Como: A B B A ⊂∧⊂
B A =⇒
Ejemplo 2: A={a, c, 3, 4} ; B={c, c, 3, 4, 4, a} B A A B B AComo =⇒⊂∧⊂:
Propiedades:
1)A =A
2)A =B A B =⇒3)A=B ∧ B=C ⇒A = C
3) EXCLUSIÓN: ( )⊄ dos conjuntos se excluyen
mutuamente cuando no poseen los mismos elementos.
A estos conjuntos se les llama “conjuntos
disjuntos”
Ejemplo:A={1,2,3} Y B={-1,-2,-3}
A y B :Son disjuntos
4)EQUIVALENCIA. Dos conjuntos son equivalentes
cuando poseen la misma cantidad de elementos.
Se denota: B A B A Bn An si ⇒= )()(:
Ejemplo 1:
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{ }
{ }
{ } { }
Q P Qn P nQn P n
aQ y P
Ejemplo
B A
Bn An Bn An
d cba B
A
⇒=∧==
==
⇒
=∧==
=
=
)()(3)(;3)(
2,1,,3,2,1
:2
)()(4)(;4)(
,,,
4,3,2,1
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6 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
VI) OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:
OPERACION DIAGRAMAS1) UNIÓN O REUNIÓN (∪ ):Launión de dos conjuntos A y B esel conjunto formado por todoslos elementos de A y de B.
Se denota: A ∪ BSe define:
B X A x
x B A ∈∨∈=∪
A U B = {x/ x A x B}ConjuntosComparables
ConjuntosDiferentes
Conjuntos Disjuntos
Ejemplo:
{ } { }8,5,3,0;8,3,4 == B A
{ }5,0,8,3,4=∪ B A
2) INTERSECCIÓN )(∩ :
Es el conjunto conformado por
los elementos que pertenecen a
A y a la vez a B.
Se denota: B A∩Se define:
B X A x
x B A ∈∧∈=∩
Si: A y B son disjuntos
φ =∩⇒ B A
A B = {x/ x A x B}ConjuntosComparables
ConjuntosDiferentes
Conjuntos Disjuntos
Ejemplo:
{ } { }5,4,3;4,3,2,1 == B A
{ }4,3=∩ B A
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3) DIFERENCIA (-): La
diferencia entre dos conjuntos A
y B con dicho orden es el
conjunto formado por los
elementos de A pero no los de B.
Se denota: A-B
Se define:
B X A x
x B A ∉∧∈=−
A – B = {x/ x A x B}Conjuntos Comparables
A – B
Conjuntos Diferentes
A – B
Conjuntos Disjuntos
A – B
Ejemplo: { } { }nq p B sr q p A ,,;,,, ==
{ } sr B A ,=−
4.-DIFERENCIA SIMÉTRICA)( B A∆ : La diferencia
simétrica de los conjuntos A y B
es el conjunto formado sólo por
los elementos no comunes a
dichos conjuntos.
A B = {x/ x A x B}ConjuntosComparables
Conjuntos Diferentes
A B A B A
o
A A B B A
=∩−∪
∆=−∪−
)()(
)()(
Conjuntos Disjuntos
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8 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
5)COMPLEMENTO (Ac):el complemento de un conjunto
A, es el conjunto formado por
los elementos, que pertenecen al
conjunto universal , pero no
al conjunto A.
Se denota: ° A A A A cc ;;́;
Se lee:
“Complemento de A”
:defineSe
c A = }/{ A x x x ∉∧∈
DIAGRAMA: c A
A Ac
−=
Ejemplo 1: }6,5,4,3,2,1{=A={2,3}
Ac= -A
Ac={1,4,5,6}
Ejemplo 2: A={1,2} ; B={1,2,3,4,}
={1,2,3,4}
Ac= -A
Ac={1,2,3,4}-{1,2}
Ac={3,4}
LEYES Y PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DECONJUNTOS
I) Reflexiva:• A ∪ A = A• A ∩ A = A• A A =
II) Asociativa:• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A•
A (B C) = (A B) C
III) Conmutativa:• A ∪ B = B ∪ A• A ∩ B = B ∩ A• A B = B A
IV) Distributiva:• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ∪ (A ∩ C)• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)• (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
V) De la Inclusión:
Si: A B
−=∆
∅=−
=
=
ABBA
BA
ABA
BBA
VI) Elemento Neutro:• A ∪ = A• A ∩ =• A ∪ U = U• A ∩ U = A
VII) De la Diferencia:• A – B = A ∩ B'• A – B = B'- A'
VIII) Del Conjunto Producto:• n(A x B) = n(A) x n(B)• A x (A ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)• A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
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IX) De la Exclusión:
Si A y B son disjuntos
=∆
=−
∅=
BABA
ABA
BA
X) Del Complemento:• (A')'= A• A ∪ A' = U• A ∩ A´=• ' = u• U' =
XI) Leyes de Morgan:• (A ∪ B)'= A' ∩ B'•
A ∩ (A ∪ B) = A• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B
XII) De Absorción:• A ∪ (A ∩ B) = A• A ∩ (A ∪ B) = A• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B
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P. Distributiva
( ) ( ) ( )C A B AC B A ∪∩∪=∩∪
P. Distributiva
( ) ( ) ( )C B B AC B A ∩∪∩=∪∩
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10 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
6) CARDINAL DE UN CONJUNTO ( n ) Es el número
de elementos distintos que tiene un conjunto.Ejemplo 1. B= {a, b, c}
n(B)=3
Card(B)=3
Ejemplo 2 :C={b, b, c}
n(C)=2
Card(C)=2
Propiedades del cardinal:
)(:
)()()()1
disjuntosconjuntos B A si
Bn An B An
φ =∩
+=∪
φ ≠∩
∩−+=∪
B A si
B An Bn An B An
:
)()()()()2
)()()()(
)(
)(
)(
B An Bn An B An
b xa B An
xb Bn
xa An
∩−+=∩→
++=∪→
+=→
+=→
][
)(
)()()(
)()()()()3
C B An
C BnC An B An
C n Bn AnC B An
∩∩
+∩+∩+∩
−++=∪∪
CONJUNTOS NUMERICOS IMPORTANTES:
A)CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)
N= {1,2,3...}
B)CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3...}
C)CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
(Q):Es el conjunto de todos los cocientes de números
enteros.
Son infinitos e infinitos; si son infinitos son periódicos.
≠∈∧
== 0;; b Z ba
b
a
x xQ
Ejemplos:
D) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
(I):Tiene representación decimal infinita y no periódica.
Los números como ...41,12 =
Que no se pueden escribir como el cociente de 2números enteros, se llaman números irracionales.
≠∈∧
≠= 0;; b Z ba
b
a
x x I
Ejemplos:
7;5
...,718,2...;14.3
;2...;414213,12
==
−=
eπ
E) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)
R = Q ∪ I
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11 CLASES PARTICULARES: PRIMARIA-SECUNDARIA-PREUNIVERSITARIO-UNIVERSIDAD-POSTGRADO
F) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IMAGINARIOS (
m I )
Ejemplos: 21,3−
G) CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (
⊄ )
( ⊄ )=R∪ m I
La Unidad Imaginaria i
Definición: Es aquel imaginario puro cuya parte imaginariaes 1 y se define así:
i = (0,1)Siendo representada por Euler de la siguiente manera:
1−=iEjemplo:
i53+ : 3: parte real ; i5 :parte imaginaria
ESQUEMA DE LOS CONJUNTOS NUMERICOS
Complejos
imaginarios Reales(R)
Irracionales
Racionales
Fraccionarios:Eje mplo:
1/3,7/9,...
NaturalesEje mplo:
{1,2,3,... }
Enteros(Z)
{…-2,-1,0,1,2... }
Z+={1,2,3,. }Cer o=0
Z-
N
,...,3 π
Z Q
I
R
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Es el conjunto de reglas y convenios que permiten formar, expresar y representar todos los
números.
Numeración:Es el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y lectura de los números,
mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.
Base de un sistema de numeraciónEs el número de unidades de cualquier orden que equivalen a una unidad del orden inmediato
superior.
Principales sistemas de numeraciónBase Nombre
del
Sistema
Cifras que se
Utilizan
2 Binario 0,13 Terciario 0,1,24 Cuaternari
o
0,1,2,3
5 Quinario 0,1,2,3,46 Senario 0,1,2,3,4,57 Heptanari
o
0,1,2,3,4,5,6
8 Octanario 0,1,2,3,4,5,6,79 Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,810 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,911 Undecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
(10)12 Duodecim
al
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
(11)Ejemplo: Contar en Base 4:
Base 10: 14 Base 4: 324 “Se lee: tres dos en base 4”
observación:
γ
β
α
===
===
===
12
11
10
C c
Bb
Aa
Ejemplo: 2(10)3(11)( 13 )= β α 32
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VALOR DE LAS CIFRAS:ejemplo1: (en base 10)
Ejemplo 2:(en base 9)
SISTEMAS DE NUMERACIÓN DE BASE (N)
0
,,
1;;)(
≠
≤
≠∈
a
ncba
n N nabc n
El máximo valor de cada cifra es (n-1); o sea la base siempre es mayor que sus cifras.
DESCOMPOSICIÓN POLINOMICA :Ejemplo 1:
3456=3000+400+50+6
=3x103+4x102+5x101+6x100
= 3x103+4x102+5x10+6
Ejemplos:
0,257 =2x10-1+5 x 102+7 x10-3 [BASE 10]
5479 = 5 . 103 + 4 .102 + 7 .10 1+ 9.100 [BASE 10]235(7) = 2 . 72 + 3 .7 1+ 5.70 [BASE 7]4523(8) = 4 . 83 + 5 . 82 + 2 . 8 1+ 3.80 [BASE 8]
CAMBIOS DE SISTEMA DE NUMERACIÓNbase (10):1,2,3,4,5,6,7,...,10
base (5):1,2,3,4,10,11,12,...,20
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a )DE BASE “n”(n=10) A BASE 10:Ejemplo:
3520( 6 ) a base10
solución:
3520(6) = 3(6)4 +5(6)3 +2(6)2+0(6)1+1(6)0
35201(6)= 3888+1080+72 +0 +135201(6)= 5041
OBSERVACIÓN:
5041
No es necesario colocar el sub-indice 10 para indicar que es de base 10 este se
sobreentiende
b)DE BASE 10 A BASE 10≠n
Ejemplo: 258 a base 6
Solución
Se escribe el resultado de derecha a izquierda
258= 1110( 6)
c)DE BASE n 1010 ≠≠ n BASE A
Ejemplo:
5632(7) a base (5)
Solución:
1ro: se transforma a base 10
5632(7)=5(7)3+6(7)2+3(7)1+2(7)0
5632(7)=2032
2do: se transforma ala base (5)
2032 a base (5)
5632(7)=1412(5)
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d) DE BASE nk A BASE nK ∈ Z+
Ejemplo:
5762(9) en base 3
como 9=32, cada cifra del numeral genera un bloque de 2 cifras.
Luego:
5762(9)=12212002(3)
e)DE BASE n a nk
K ∈ Z+
Ejemplo:
101110011(2) en base (8)
como 8 =23, las cifras se reagrupan en bloques de 3 y luego se descompone cada bloque.
luego:
1011100111(2)=1347(8)
NÚMEROS CAPICÚAS: Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda aderechas, también se dice es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.Ejemplos:
343 (10)
414(7)
PROPIEDADES
1.Dada la igualdad:
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( )
mn
efg abc si
mnefg abc mn
<⇒
>
≠=
:
;)(
En general a mayor número (considerado en el sistema decimal) corresponde menor base.
Ejemplo:De la siguiente igualdad , encontrar la base mayor
1011100111(n)=1347(m)
solución
1011100111>1347
mn <⇒
Rspta: m
2) para todo número de 3 cifras:
9
9
396478874
874
:
99:
:)(x
=
=+
=−
=+=
=−>
b
ca
cba
Ejemplo
cabdonde
abc zyx xyz si z xyz
* En general, numero de 3 cifras:
cifras x
nnnnn
nca
nb
abc zyz xyz
z x xyz
k
n
nnn
n
""
1)1)...(1)(1)(1()3
)1(
)1(
)(
)(
)()()(
)(
−=−−−−
−=+
−==−
>
Ejemplo 1:
2222(3)=34-1
2222(3)=80
Ejemplo 2:
666(7) =73-1
666(7) = 343
)(1
1
1
1
...1...111)4
n x
c
b
a
xcban xncba
+++++=
Ejemplo:
14 =9+7+5+4=25
1517
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9
ADICIÓNOperación binaria, cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas (de una misma
especie), en una sola llamada suma total.
Adición en Otros Sistemas de Numeración
Ejemplo:Calcular:123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)
Resolución:
Colocando verticalmente los sumandos, considerando el orden(como el sistema decimal eran lasunidades, decenas, ........... etc)
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123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)Otro Ejemplo:
4 7 (9) + 1ra columna8 0 (9) 7 + 1 = 8
1 0 (9) 2da. Columna5 1 (9) 4 + 8 + 1 + 5 = 18 = 2(9) + 0
2 0 8 (9) Se llevaQueda
Ejemplo:Calcular: “n” ; en:
( )8)8()8( 7650n432325a =+
Resolucióncolocando verticalmente
n 3 2 5(8) +4 3 2 n(8)7 6 5 0(8)
• De la 1era Columna, se tendrá que:5 (8) + n (8) = 10 (8)
• Llevando a base decimal, se tiene:
5 + n = 8 n = 3
SUSTRACCIÓNOperación inversa a la adición, consiste en que dada 2 cantidades llamadas minuendo y
sustraendo, hallar una cantidad llamada sustraendo.Ejemplo:
Ejemplo:Calcular:
237 – 128Resolución:
OJO:
EN BASE 10, “1 UNIDADES DE UNA ORDEN CUALQUIERA ES 10
UNIDADES ORDEN CUALQUIERA ES 10 UNIDADES DEL ORDEN INMEDIATO INFERIOR”
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43
Sustracción en Otras BasesEjemplo ilustraciones:Calcular: 432(5) – 143 (5)
ResoluciónRecordando que en base 5, “1” unidades de orden cualquiera es 5 unidades del orden del orden
inmediato inferior.
Explicación• 1ra Columna:
Como a “2” no se lee puede ser restar 3, entonces lo que se hace es prestar una base a “2”, esdecir:
5 + 2 = 77 – 3 = 4
queda.
• 2da Columna:Como se presto una base del 3, ahora será: luego le prestaremos al 2 una base, es decir:
5 + 2 = 77 – 4 = 3
Queda.
• 3ra Columna:Como se prestó una base de 4, entonces ahora será: 4 – 3 , y a este “3” si le puede restar 1, con loque necesario prestarle una base.
3 – 1 = 2Queda.
432(5) – 143(5) = 234(5)
Otros Ejemplos:5 1 3 (8) - 6 2 3 1 (7) – 3 1 5 (8) 3 6 5 4 (7)1 7 6 2 2 4 4 (7)
Propiedades:
I) Dado:
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)n(
)n(
)c(
z yx
abc
cba−
−=+
−=
>
1nzx)2
1n y)1
e n t o n,caS i
II) En Base 10:
z yx
abc
cba −
=+
=
>
9zx)2
9 y)1
e n t o n,caS i
Ejemplo:
Si: 7nmabccba =−
Calcular: m2 + n2
Resolución:Aplicando directamente la propiedad, se tendrá que:
) n = 9) m + 7 = 9 m = 2
Piden 22 + 92 = 85
COMPLEMENTO ARITMÉTICO: CA(N)Es lo que falta a u número “N”, para ser igual a la unidad de orden inmediato superior, es decir
lo que le falta para ser igual a un número formado por la unidad seguida de tantos ceros comocifras tiene “N”Ejemplo:
• CA (7) = (10)1 – 7 = 10 - 7 = 3• CA (341) = (10)3 – 341 = 1000 – 341 = 659
En general:Sea “N” número de “k” cifras,y “B” la base luego:
C A (N) = (B)K – N
Ejemplo en otras base aplicando forma general:• C A (429 (11) ) = 113 – 429 (11)• C A (7251 (8) ) = 84 – 7251 (8)
FORMA PRÁCTICA:Se resta 9 a todas las cifras del número empezando por la izquierda, excepto a la última cifra
significativa a la cual se le resta 10. si después de esta última cifra significativa siguen ceros, todos
ellos se consideran en el C.A.
(CA) en base 10
( ) )d10)(c9)(b9)(a9(abcd −−−−=
Forma general:
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)(nabc
Ejemplos:Ejemplo: hallar el C.A.
235785000
Solución:
Rspta: 764215000
Ejemplo 2.:aplicando forma general
MULTIPLICACIÓNEs una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados multiplicando y
multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.
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Notas:1. Si se multiplica:
2 43 x65
1215 1er producto parcial1458 2do producto parcial
15795 Producto Total
2. Si: abc . 7 = .......... 6 c = 83
3. Si: abc . 4 = .......... 2 c =8
4. Se cumple:(# impar) (.... 5) = ..... 5(# par) (... 5) = .......0
5. Se cumple:........ 0
n(n + 1) = ....... 2........ 6
DIVISIONEs una operación que consiste en hallar un factor llamado cociente que indica el número divisor
esta contenido en otro llamado dividendo.
Luego:
D d Dividendo: D
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r q Divisor: d (Z+)
Cociente: q
Residuo: r
D = d x q + r
Ejemplo:
Dividir 135 entre 18
Solución:
135 18
126 7
9
Además:
135 = 18(7) + 9
Algoritmo de la división
CLASES DE DIVISIÓN:
A) EXACTA:
28 4 D d
0 7 0 q
28 = 4 x 7 D = d x q
B) INEXACTA (Residuo 0)
DEFECTO EXCESO
26 7 26 7
5 3 2 426 = 7 x 3 + 5 26 = 7 x 4 – 2
En donde: 5 + 2 = 7
En general:
DEFECTO EXCESO
D d D d
r q re q+1
D = dq + r D = d(q+1) – re r + re = d
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PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN INEXACTA
1. 0 < Residuo < divisor
2. Residuo mínimo = 1
Residuo máximo = divisor – 1
3.
Es toda serie en la cual cada termino después del primero se obtienen sumándose al término anterior
una cantidad constante llamada RAZON (r) O DIFERENCIA
Ejemplo: de la serie 2 , 5 , 8 , 11
Donde:
n: Número de términos de la P.A. en este caso n=4
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T1: termino inicial , en este caso T1 =2
Tn: Termino final en este caso Tn= 11
r: razón en este caso r=3
T0= termino anterior al primero
T0=t1-r
En este caso:T0=2-3
T0=-1
PROPIEDADES
r T T
r nT T
r
T T n
nn
n
n
+=
−+=
−=
−1
1
0
)3
)1()2
)1
SUMA DE LOS TERMINOS DE UNA P.A.
[ ]2
)1(2)2
2
)()1
1
1
nr nT S
nT T S
n
nn
−+=
+=
Ejemplo particular:
hallar el termino 30 (T30)
7 ;12 ;19 ;28 ;...; T30
Solución:
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Fórmula: an2+bn+c ; c=0
Tn=an2+bn+cT30= 1(30)2+2(30)+4
T30= 964 Rspta.
SUMA DE LOS “N” 1ROS NUMEROS CONSECUTIVOS
1) NÚMEROS NATURALES :
Sn=1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+n
2
)1( +=
nnS n
2) NÚMEROS PARES :
Sp=2+4+6+…+(2n-4)+(2n-2)+2n
)1( += nnS P
3) NÚMEROS IMPARES
Si=1+3+5+…+(2n-3)+(2n-1)
2nS i =
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4) CUADRADO DE NÚMEROS
6
)12)(1(....321 2222 ++=++++ nnn
n
5) CUBO DE NÚMEROS2
3333
2
1)n(n n...321
+=++++
ACOTACIONES
i) Cifras consecutivas y ordenadas
(x-1)(x)(x+1)
ii) cinco primero números pares consecutivos , a partir de “a” par:
(a-4)+(a-2)+a+(a+2)+(a+4)
iii) en una restaminuendo –
sustraendo
diferencia
propiedad: M +S +D =2M
El número A es múltiplo del numero B si A resulta de multiplicar a B por un numeroentero.EjemploS:
57 es múltiplo de 19, pues 57 = 19 x 3-38 es múltiplo de 19, pues –38 = 19 x (–2)
0 es múltiplo de 19, pues 0 = 19 x 0
Notación:
°=
===°
B A
Bdemultiplo BmB B
se lee: “A es múltiplo de B”= o “A es divisible por B”=”B es divisible de A”=”B es submúltiplo de A”
Ejemplo:
8=2°
A=B°
A es múltiplo de BPorque: A contiene “K” veces a B
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(8) contiene (4) veces a (2)
8 = 2+2+2+2
Operaciones con los Múltiplos
1.
ºººº
aaaa =++
2.
º
a -º
a =º
a
3.
º
a .º
a =º
a
4.
º
a . K =º
a ,; K ∈Z
5. ( º
a ) k =º
a ; K ∈ Z
PROPIEDADES:
1) A = B° ; K ∈ Z, A =KB
2) A no es divisible por B
)( defecto por Divisionr B A
r Bq A
+°=
+=⇒
3) A=B°+re (división por exceso)
r+re =B°
4)si N = A° y N = B°
N =(AxB)°
Si A y B son primos entre si (PESI)
Ejemplo:
12 y 7 son PESI , Tienen como divisor a la unidad
N = A° N = B°
N =12° N = 7°
N = (12x7)°
N = 84°
O sea : 84 es múltiplo de 12 y 7
5)todo número Z+ es múltiplo de si mismo
6)el “cero” es múltiplo de todo numero Z+
7)
3125(7)=3x73+1x72+2x7+5
7°
3125(7)=7°+5
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FORMA GENERAL:
11)si: A =B°, entonces A es múltiplo de todos los divisores de B
ejemplo:
24=6°
los divisores de 6, son:
1;2;3 y 6
luego se cumple:
24=1°; 24=3°; 24=2°; 24=6°
12)si un número es divisible por varios módulos, será divisible por el mínimo común múltiplo de
dichos módulos Ejemplo:N =4° ∧ N=6°
MCM = 12PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
Si A x B =o
n y A no posee factores comunes con n salvo la unidad entonces:
B =o
n
Ejemplos:
5A =o
3 A =o
3
Así mismo se puede aplicar en:
4B =o
7 + 1
6C =o
9 + 3
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3N + 7 =o
11
BINOMIO DE NEWTON
Ejemplos:2
o2
o
25)25( +=+ 2o
2o
35)35( +=−
3o
3o
25)25( +=+33
35)35( −=−oo
Se dice que A es divisible por B si al dividir A entre B, se obtienen como cociente un número enteroy demás su residuo es cero.
Ejemplo1:
57 19 entonces0 3
57 es divisible por 1919 es divisor de 57
Ejemplo2:-51 17 entonces
0 -3
-51 es divisible por 1717 es divisor de 51
Ejm: Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; Divisores de 15: 1, 3, 5, 15
1) D. Por 2:Cuando termina en par:Ejm: 24, 28, 350
* “cero” es considerado par
2) D. Por 3:
Cuando sumadas sus cifras dan un múltiplo de 3.Ejem: 924, 843) D. Por 4:
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Si sus dos últimas cifras son, cero o forman un 4° (múltiplo de 4)
Ejemplo: 3144
44 ÷ 4 = 4
⇒ es divisible por 4
4) D. Por 5:
Cuando termina en cero o en 5
5) D. Por 6:Si cumplen las condiciones de divisibilidad por 2 y 3
Ejemplo:
630
- Termina en cifra par (0)
- Suma de sus cifras es múltiplo de 3
6+3+0=9 (9=3°)
⇒ 630 es divisible por 6
6) D. Por 9:Cuando sumadas sus cifras dan un múltiplo de 3
7) D. Por 10:Cuando terminan en “cero”
8) D. Por 11:
=−∑∑ 11)()( par ordendecifrasimpar ordendecifras
Ejemplo: 10967
⇒ 10967 es divisible por 11
9)D. Por 8:si sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 ó terminan por lo menos en tres “ceros”.
Ejemplo 1: 77264
264 ÷ 8 =33
264=8°
⇒ 77264 es divisible por 8
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Ejemplo 2:
26000
3 ceros
2600 ÷ 8 = 3250
⇒ 26000 es divisible por 8
10)D. por 7 :Cuando descompuesto de tres en tres las cifras, de derecha a izquierda, cada cifra se va
multiplicando por
1,3,2, -1,-3,-2 ; también hacia la derecha.Al final se suma el producto de las cifras el resultado
deberá ser “0” o múltiplo de 7.
si:
a – (2b+3c+d)+ 2e+3f+g=7°
⇒ abcdefg = 7°
Ejemplo 1: 4 8 8 9 6 4
{ }[ ] [ ] 0)}4(1)6(3)9(2{)8(1)8(3)4(2 =++++++−
*Recordando que “cero” es múltiplo de cualquier numero positivo.
⇒ 488964 es divisible por 7
Ejemplo 2: 21
2 1
3 1
+
3(2)+1
7 =7°
⇒ 21 es divisible por 7
11)D. Por 13: Cuando la suma algebraica del producto de sus cifras (de derecha a izquierda) por 1,
-3,-4, -1, 3, 4, 1, …….,respectivamente, deberá se múltiplo de 13
si: 1(a)+4(b)+3(c)-(1d+4e+3f)+1(g)=13°
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⇒ abcdefg = 13°
Ejemplo 1: 1 2 9 9 4 8
4 +3(2)-{9+4(9)+3(4)}+8=10-49 =39 (39 es múltiplo de 13))
⇒ 129948 es divisible por 13
Ejemplo 2: 2 6
2 63 1
(-) (+)
-3(2)+6
0 = 13°
⇒ 26 es divisible por 13
ACOTACIONES:i) “cero” es considerado numero par
ii) El producto de 3 números enteros consecutivos, siempre es múltiplo de 6
ejemplo:
3x4x5=60
60=6°
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD RESUMEN
Sea el numeral N = abcdef
Módulo Criterio
2 o
2 = f
4o
4 = ef
8 def o
=8
5 f o
=5
25 )75,50,25,00(:25 ef N o
==
125 def o
=125
9 f ed cbao
+++++=9
3 f ed cbao
+++++=3
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7 abcd e f o
2312317 −−−++=
13 abcd e f o
43143113 ++−−−=
11 abcd e f o
−+−+−=11
1) NUMERO PRIMO .- es todo numero entero mayor que “1” que tiene únicamente 2
divisores asimismo y la unidad.
Ejemplo.El numero 3
31
3;1
3
3==
3 es número primo, porque es solo divisible por si mismo y por la unidad.
2) NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI).- Dos o mas números son PESI, si tiene como
único divisor común la unidad.
Ejemplo. 3 y 5 (divisor común 1)
8,12 y 15 (divisor común 1)
27, 45, 36,1 (divisor común 1)
3) NUMERO COMPUESTO .- Es todo numero que tienen mas de 2 divisores.
Ejemplo: el numero 6
23
6;3
2
6;6
1
6===
6 es divisible por 1,2,3
NOTA:
-) “1” No es primo ni compuesto
-) Dos números consecutivos son PESIejemplo: 14; 15 (son PESI)
1; 2 (son PESI)
REGLA PARA DETERMINAR SI UN NUMERO ES PRIMO O NO:a) Se extrae la raíz cuadrada al numero dado, si el resultado es exacto el numero no es primo,
en caso contrario redondear al entero inmediato inferior.Ejm: 525 = (5 es entero, entonces 25 no es primo)
,...11139 = (11 no es entero, entonces 139 probablemente es primo)
b) Se prueba la divisibilidad del número dado por todos los números primos menores o iguales
a la raíz aproximada (obtenida en el paso anterior).Ejm: Números primos menores o iguales a 11 son 2, 3, 5, 7, 11
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c) Si el número dado no es divisible por ninguno de los divisores del paso anterior, se puedeasegurar que se trata de un número primo.
Ejm: 139 no es divisible por los números primos menores a 11 , entonces 139 es primo
DESCOMPOSICIÓN CANONICA DE UN NÚMERO
Ejemplo: 360
360=23.32.5 2;3;5 son PESI
Además son primos absolutos
TABLA DE NUMEROS PRIMOSQue existen desde el número 1 al 140
2 37 89 17 61 1133 41 97 19 71 1275 43 101 23 73 1317 47 103 24 79 13711 53 107 31 83 13913 59 109
A) CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NUMERO (Cd (N) )
Donde :N: Es un número
a,b,c: son números primos
x,y,z: exponentes.
ax.by.cz provienen de la descomposición canonica de N
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B)SUMA DE LOS DIVISORES DE LOS UN NUMERO (Sd(N))
C)PRODUCTO DE LOS DIVISORES {Pd(N)}
Ejemplo: N =360
N = 23.32.5
-)Cd(N)=(3+1)(2+1)(1+1)
Cd(N)=24
( ) ( ) ( )
−−
+−
−−=
+++
15
15
13
13
12
12)(
111213
N Sd
Sd(N)= 1170
12
12
360)(
360)(
=
=
N Pd
N Pd
D) SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE UN NUMEROEsta dado por:
N
Sd SId
N
N
)(
)(=
3
7
12
28
17281212
282
8.
1
7
13
13.
12
12
6)11)(12(
3.212
12,,
)(
36
)(
23
)(
)(
2
)()()(
==
===
==−
−
−
−=
=++=
=
N
N
N
N
N N N
SId
Pd
Sd
Cd
deSId Pd Cd Hallar