astrodinamica_20

E. Lorenzini

Perturbazioni orbitali dovute al potenziale gravitazionale

Testi consigliati: D.A. Vallado, “Fundamentals of Astrodynamics and Applications” 2nd Edition, Space Technology Library, 2004 V.A. Chobotov, “Orbital Mechanics” AIAA Education Series, 1991

E. Lorenzini Astrodinamica 2

Campo gravitazionale terrestre •  Il potenziale gravitazionale terrestre U

(quello col segno +) viene espresso (per r >> s) mediante un’espansione in armoniche sferiche e integrato sul volume del corpo di attrazione

!

U =GMr

1" RE

r#

$ %

&

' ( n

JnPn0(sin)) +n= 2

*

+ RE

r#

$ %

&

' ( n

Cnm cosm, + Snm sinm,( )m=1

n

+n= 2

*

+ Pnm (sin))- . /

0 1 2

• In cui Pnm(sinθ) sono polinomi di Legendre di grado n ed ordine m, ��λ é la longitudine, φ la latitudine (misurata dall’equatore) ed r la distanza geocentrica del punto dove calcoliamo il potenziale

• Il primo termine é quello a simmetria sferica mentre gli altri termini, con coefficienti Jn, Cnm e Snm sono le armoniche di ordine superiore

!

U = G "(s)| r # s |

d3sVol$ ρ = densitá


Alcuni valori numerici •  Alcuni valori numerici dei coefficienti del potenziale gravitazionale

terrestre sono

Coefficienti zonali n≠m coeff. tesserali n=m coeff. settoriali

n≠m coeff. tesserali n=m coeff. settoriali

J2 = 1082x10-6

J3 = -2.56x10-6

J4 = -1.58x10-6

J5 = -0.15x10-6

!

C21 = 0

!

C22 = 1.57x10"6

!

C31 = 2.1x10"6

!

C32 = 0.25x10"6

!

S21 = 0

!

S22 = "0.897x10"6

!

S31 = 0.16x10"6

!

S32 = "0.27x10"6

• Polinomi di Legendre Pnm(sinφ) sono potenze di sinφ, ad esempio:

!

P10 = sin"; P11 = cos"; P20 =12

3sin2 " #1( ); P21 = 3sin2 " cos"; P22 = 3cos2 "

P30 =12

5sin3 " # 3sin"( ); P31 =12

cos" 15sin2 " # 3( ); P32 = 15cos2 " sin"; P33 = 15cos3 "


Armoniche zonali

•  Le armoniche zonali (m = 0) hanno simmetria a banda��

•  L’armonica zonale con coefficiente J2 (non sfericitá della terra = oblateness) é di particolare importanza per la dinamica orbitale perché influenza secolarmente la posizione della linea degli absidi e quella dei nodi dell’orbita ��

•  A lato é mostrata l’armonica zonale definita da P60(sinφ) P60(sinφ)


Altre armoniche •  I termini con n ≠ m sono chiamati

tesserali (da tessera = mattonella) perché rappresentano armoniche a forma di scacchiera

•  I termini con n = m sono armoniche settoriali con configurazione a forma di spicchi

P63(sinφ)cos(3λ) P66(sinφ)cos(6λ)


Potenziale gravitazionale della terra •  Ciascuna linea di frontiera (nella rappresentazione precedente)

rappresenta una radice del polinomio di Legendre •  Le linee di frontiera definiscono il passaggio fra zone piú dense e meno

dense •  Ci concentriamo adesso sul termine potenziale (R2) di perturbazione di

J2 che essendo 1000 volte piú grosso del termine piú grosso successivo (J3) é il piú importante dei termini di perturbazione gravitazionali

• Esprimiamo la latitudine φ in funzione dei parametri orbitali i, ω, θ

!

R2 = "32

µrJ2

RE

r#

$ %

&

' ( 2

sin2 ) " 13

#

$ %

&

' (

!

sin" = sinisin(# + $) per ottenere

!

R2 = "32

µrJ2

RE

r#

$ %

&

' ( 2

sin2 isin2() + *) " 13

+

, - .

/ 0


Potenziale gravitazionale della terra •  Sviluppando per separare il termine sini si ottiene

• Sostituendo l’espressione µ = n2a3 e considerando solo i termini secolari che non dipendono da (ω + θ) si ottiene

• Calcolando la media del termine (a/r)3 su un’orbita si ha (vedere Vallado)

per cui si ottiene

!

R2 = "32

µrJ2

RE

r#

$ %

&

' ( 2 12sin2 i " 1

2sin2 icos2() + *) " 1

3+

, - .

/ 0

!

R2,sec = "32n2J2RE

2 ar

#

$ % &

' ( 3 12sin2 i " 1

3)

* + ,

- .

!

a /r( )avg3

= 1" e2( )"3 / 2

!

R2,avg = "32n2J2RE

2 11" e2( )3 / 2

12sin2 i " 1

3#

$ % &

' (


Perturbazioni orbitali dovute al J2 •  Utilizzando l’equazione planetaria di Lagrange con RU il termine

potenziale di disturbo

!

d"dt

=1

na2 sini 1# e2$RU$i

• Usando RU = R2,avg e calcolando la derivata rispetto ad i si ottiene

!

"R2,avg"i

= #32n2J2RE

2 sinicosi1# e2( )3 / 2

• Per cui infine si ottiene la regressione media del nodo come

!

d"dt

= #32nJ2

RE

a$

% &

'

( )

2cosi1# e2( )2

= #32nJ2

RE

p$

% &

'

( )

2

cosi

con p = a(1 - e2) il semilato retto


Perturbazioni orbitali dovute al J2 •  Con procedimento simile ed usando la seguente equazione di Lagrange

• Sostituendo si ottiene

!

d"dt

=1# e2

na2e$RU$e

#cot i

na2 1# e2$RU$i

!

d"dt

=1# e2

na2e#92n2J2RE

2 e1# e2( )5 / 2

$

%

& &

'

(

) ) sin2 i2

#13

*

+ ,

-

. / #

cot ina2 1# e2

#32n2J2RE

2 11# e2( )3 / 2

$

%

& &

'

(

) ) sinicosi

•  Abbiamo giá calcolato dR2,avg/di, l’altra derivata é come segue

!

"R2,avg

"e= #

32n2J2RE

2 sin2 i2

#13

$

% &

'

( ) 1# e2( )#5 / 2

#32

$

% &

'

( ) #2e( )

= #92n2J2RE

2 sin2 i2

#13

$

% &

'

( )

e1# e2( )

5 / 2


Perturbazioni orbitali dovute al J2 •  Da cui si ha

• Usando il semilato retto p = a(1 - e2) e raccogliendo i termini

!

d"dt

=34nJ2

RE

p#

$ %

&

' (

2

4 ) 5sin2 i( )

!

d"dt

= #92nJ2

RE2

a21

1# e2( )2sin2 i2

#13

$

% &

'

( ) +

32nJ2

RE2

a21

1# e2( )2cos2 i

!

d"dt

=34nJ2

RE

p#

$ %

&

' (

2

)3sin2 i + 2 + 2cos2 i( )

• E quindi alla fine


Grafici degli effetti del J2 •  La regressione secolare della linea dei nodi é rappresentata in figura per

orbite terrestri (il parametro é l’altezza orbitale media)

!

h = (ha + hp ) /2


Grafici degli effetti del J2 •  Il moto secolare della linea degli absidi é rappresentata in figura per

orbite terrestri (il parametro é l’altezza orbitale media)

!

h = (ha + hp ) /2


Inclinazione critica •  Dalla formula della rotazione della linea absidale si nota che la velocitá

di rotazione si annulla per

•  É interessante notare che i valori dell’ inclinazione critica non dipendono né dal valore numerico del J2 (e quindi i risultati sono validi per qualsiasi pianeta) né dall’eccentricitá dell’orbita

•  Il concetto di inclinazione critica é utilizzato nel sistema russo Molniya in cui la posizione dell’apogeo di un satellite ad alta eccentricitá rimane fissa alla latitudine desiderata (l’alta eccentricitá fa sí che il satellite rimanga sufficientemente a lungo intorno all’apogeo)

•  Altre piccole perturbazioni (sole-luna e altre armoniche), che perturbano la posizione del apogeo-perigeo, devono essere compensate attivamente

!

˙ " = 0 # > 4 # 5sin2 i = 0ovvero peri = 63.43° (prograda) i = 116.57° (retrograda)


Molniya •  L’orbita del sistema russo per telecomunicazioni alle alte latitudini Molniya usa

un’orbita ad inclinazione critica per mantenere l’apogeo in posizione fissa rispetto alle latitudini di interesse

•  Inoltre il periodo dell’orbita Molniya (con semiasse maggiore a = 26554 km) é la metá del periodo sidereo in modo da fornire due passaggi giornalieri alle alte latitudini (l’orbita Molniya si chiama anche Q = 2 per indicare i due passaggi giornalieri)


Molniya

•  L’alta eccentricitá dell’orbita di Molniya fa sí che la velocitá di apogeo sia bassa e quindi il satellite passa il grosso del tempo all’apogeo dove é in vista delle alte latitudini ��

•  L’argomento del perigeo della Molniya é ω ≈ 270° cosicché l’apogeo é alle latitudini alte e rimane in quella posizione grazie all’inclinazione critica di 63.4°


Orbite eliosincrone •  Dall’equazione della regressione della linea nodale si puó ottenere la

relazione per cui il piano orbitale si muove alla stessa velocitá del moto apparente del sole (visto dalla terra), si ha

con αSun l’ascensione retta del sole • La figura a lato mostra il valore

dell’inclinazione (deg) richiesta per orbite eliosincrone circolari

• Le orbite eliosincrone sono orbite retrograde vicine all’inclinazione polare (in LEO)

!

da ˙ " J2 = ˙ # Sun

$32nJ2

REp

%

& '

(

) *

2

cosi = ˙ # Sun = 0.9856 deg/day

96

100

104°

1000 nm 200


Orbite eliosincrone •  Avendo le orbite eliosincrone un’orientazione fissa rispetto al sole, esse

attraversano l’equatore ad un’ ora locale fissa •  Di solito si usa citare l’ora locale del nodo ascendente per individuare

l’orientazione dell’orbita eliosincrona rispetto al sole •  Di particolare nota é l’orientazione dawn-dusk in cui l’ora locale del nodo

ascendente é intorno alle 6:00AM per cui il piano orbitale é circa ortogonale alla direzione dei raggi solari e l’orbita non ha eclissi

•  Le perturbazioni di terzo corpo e quella di drag (per orbite basse) influenzano l’inclinazione delle orbite eliosincrone

•  In particolare per effetto della condizione di elio-sincronia c’é una risonanza nella perturbazione d’inclinazione dovuta alla pressione solare che produce una variazione secolare come segue

!

didt"

# $

%

& ' sp

= (0.047 ) sin 2 asun ( *( )[ ] deg/ year

con un effetto massimo per (αsun - Ω) = ±45° cioé con il piano orbitale a 45° rispetto alla direzione del sole


Effetti del J3 •  Il termine zonale J3 é all’incirca 10-3J2 per la terra cosicché ��

l’ampiezza delle variazioni orbitali che provoca sono normalmente molto piccole ��

•  Tuttavia, nell’equazione di Lagrange delle variazioni di lungo periodo dell’inclinazione orbitale associata al J3 l’eccentricitá compare al denominatore per cui le variazioni possono diventare non completamente trascurabili alle medie eccentricitá

!

"i =12J3J2

Ra

#

$ %

&

' (

e1) e2

cosisin*


Orbite congelate • Siccome l’argomento di perigeo ω varia per effetto del J2 gli effetti

perturbativi del J2 e J3 sono accoppiati e vengono sfruttati nelle “orbite congelate” per mantenere l’argomento di perigeo ω e l’eccentricitá e dell’orbita costanti

• Per effetto del J2 e J3 insieme i due parametri orbitali ω e e variano nel lungo periodo e secolarmente come segue

!

d"dt

=3nJ2(1# e2)2

RE

a$

% &

'

( )

2

1# 54sin2 i

$

% &

'

( ) 1+

12

J3J2e(1# e

2)RE

a$

% &

'

( ) sinisin"

*

+ ,

-

. /

!

dedt

=32

nJ3(1" e2)2

RE

a#

$ %

&

' (

3

1" 54sin2 i

#

$ %

&

' ( sinicos)


Orbite congelate •  Selezionando combinazioni particolari di eccentricitá e inclinazione si

possono produrre orbite in cui la linea absidale non ruota e la cui forma (ie, eccentricitá) non cambia ovvero il profilo di altezza dalla superficie terrestre si ripete ad ogni rivoluzione

•  Orbite all’inclinazione critica, per esempio, sono congelate perché all’inclinazione critica (4 - 5sin2i) = 0 annulla sia dω/dt che de/dt

•  Si possono peró avere orbite congelate anche ad altre inclinazioni per esempio ponendo ω = 90° che comporta de/dt = 0 e poi imponendo che la quantitá in parentesi quadre nell’equazione dω/dt si annulli per ottenere il valore di e

!

1+12

J3

J2e(1" e2)

RE

a#

$ %

&

' ( sini

)

* +

,

- . = 0

" > e / " 12J3

J2

RE

a#

$ %

&

' ( sini (valida per e << 1)


Orbite congelate •  La soluzione approssimata che

considera solo i termini J2 e J3 é mostrata nel grafico come linea tratteggiata

•  Alle inclinazioni che si avvicinano a quella critica diventa importante il ruolo delle armoniche superiori e la soluzione vera diverge parecchio da quella approssimata

•  La linea continua indica la soluzione piú accurata che tiene conto delle armoniche fino al J12


Effetti del J2,2 •  La sezione lungo il piano equatoriale della terra non é circolare ma (in

approssimazione) ellittica •  Questa discrepanza é espressa (al primo ordine) dal termine settoriale J2,2 del

campo gravitazionale terrestre •  Il semiasse maggiore dell’ellisse é alla longitudine di 14.7° W (rispetto a

Greenwich) •  Il J2,2 puó essere visualizzato come due “dossi” e due “valli” lungo l’equatore

terrestre


Posizioni stabili ed instabili in GEO •  Il J2,2 é soprattutto importante per i satelliti geostazionari che essendo

fissi rispetto alla superficie terrestre non mediano l’effetto del J2,2 lungo l’orbita

•  Di conseguenza vi sono due posizioni in longitudine che sono stabili (ai vertici del semiasse minore dell’ellisse) e due posizioni che sono instabili (ai vertici del semiasse maggiore dell’ellisse)��- le posizioni stabili sono alle longitudini 75.3° E e 255.3° E��- le posizioni instabili sono alle longitudini 14.7° W e 165.3° E

•  Un satellite in prossimitá delle posizioni stabili effettuerá se non controllato una lenta librazione (lungo la longitudine) con un periodo di 800 giorni ed un’ampiezza massima di 90°

•  Siccome i satelliti in GEO hanno delle posizioni di longitudine (slots orbitali) assegnate, bisogna effettuare un controllo attivo est-ovest per mantenere il satellite nel suo slot (di solito entro ±1°)

•  Grazie alla lentezza del moto, la correzione orbitale é effettuata ogni 100 giorni con un ΔV < 2 m/s (ie, ΔV < 10 m/s all’anno)


Variazioni di inclinazione •  Alle basse quote (ovvero in LEO) gli effetti di J2 sono prevalenti ��

•  A quote superiori a circa 20000 km, gli effetti delle perturbazioni luni-solari diventano piú importanti di quelli del J2��

•  In GEO gli effetti di perturbazione luni-solari sono importanti, in particolare l’effetto di perturbazione dell’inclinazione orbitale��

•  La deriva dell’inclinazione orbitale in GEO é dell’ordine di 1 °/anno con un periodo del ciclo di perturbazione di 27 anni��

•  Manovre di correzione di questo effetto sono correzioni nord-sud e richiedono un certo numero di ΔV all’anno in funzione della banda tollerabile di variazione dell’ inclinazione


Variazioni di inclinazione •  Il ΔV necessario per la correzione é dato da con ΔΘ é l’angolo totale di variazione orbitale (che include

l’inclinazione i e la rotazione della linea nodale ΔΩ) dato da !

"V = 2V sin "# /2( )

•  Per mantenere una banda di variazione dell’inclinazione di 0.1° ed assumendo per esempio i1 = 0.1°, i2 = 0° e ΔΩ = 0 si ha ΔΘ = i2 per cui ogni correzione di inclinazione orbitale in GEO richiede un ΔV < 5 m/s

•  Il ΔV totale (nord-sud) é funzione del numero delle correzioni per anno (tipicamente < 8 correzioni per una banda di ampiezza 0.1°, ovvero ��ΔV < 40 m/s all’anno)

!

"# = cos$1 sini1 sini2 cos %2 $ %1( ) + cosi1 cosi2[ ]

con i pedici 1 e 2 che indicano l’orbita prima e dopo la correzione

astrodinamica_20

Documents

dt na e

avg e calcolando

snm sin

sin p11

sin p31

pnm sin

sin isin

sin icos2