astrodinamica_3

E. Lorenzini Astrodinamica 1

I coefficienti di Lagrange��L’equazione di Keplero

Testi consigliati: H.D. Curtis, “Orbital Mechanics for Engineering Students”

Elsevier Aerospace Engineering Series, 2005


Riferimento perifocale •  Il sistema di riferimento perifocale é un sistema di assi cartesiani centrato al

fuoco F con asse x diretto al perigeo (versore p^), l’asse y lungo il semilato retto (versore q^) e l’asse z lungo il momento angolare (versore w^)

•  Il raggio r espresso in coordinate perifocali é dato da

!

r = xˆ p + y ˆ q con x = rcos" e y = rsin"

r =h2

µ1

1+ ecos"cos" ˆ p + sin" ˆ q ( )

• La velocitá

!

v = ˙ r = ˙ x ̂ p + ˙ y ̂ q

!

ˆ q

!

ˆ w

!

ˆ p

Fuoco

Semilato retto x

y z


Coordinate perifocali

•  Da cui si ottiene !

˙ x = ˙ r cos" # r ˙ " sin" ˙ y = ˙ r sin" + r ˙ " cos"

vr = ˙ r = µh

esin" e v$ = r ˙ " =µh

(1+ ecos")

•  Per cui si ha

!

˙ x = " µh

sin#

˙ y = µh

e + cos#( )

v =µh" sin# ˆ p + (e + cos#) ˆ q [ ]


Coefficienti di Lagrange •  Dati la posizione e velocitá ad un certo istante (t = t0) vogliamo

calcolare posizione e velocitá ad un istante diverso (t = t)

• Sostituendo nell’equazione di v0 si ottiene

!

Al tempo t0 r0 = x0 ˆ p + y0 ˆ q ed al tempo t r = xˆ p + y ˆ q v0 = ˙ x 0 ˆ p + ˙ y 0 ˆ q v = ˙ x ̂ p + ˙ y ̂ q

•  Si ha anche che il momemnto angolare in coordinate perifocali é

!

ˆ q = 1y0

r0 "x0

y0

ˆ p

•  Risolvendo le equazioni di posizione e velocitá per p^ e q^ si ottiene

!

h = r0 " v0 = x0 ˙ y 0 # y0 ˙ x 0( ) ˆ w # > h = x0 ˙ y 0 # y0 ˙ x 0

!

v0 =y0 ˙ x 0 " x0 ˙ y 0

y0

ˆ p + ˙ y 0y0

r0 = "hy0

ˆ p + ˙ y 0y0

r0


Coefficienti di Lagrange • Risolvendo per p^

!

ˆ p = ˙ y 0h

r0 "y0

hv0

• e sostituendo nell’equazione di q^

!

ˆ q = " ˙ x 0h

r0 +x0

hv0

• Sostituendo le espressioni di p^ e q^ nelle equazioni di r e v

!

r =x˙ y 0 " y˙ x 0

hr0 +

"xy0 + yx0h

v0 = fr0 + gv0

v =˙ x ̇ y 0 " ˙ y ̇ x 0

hr0 +

" ˙ x y0 + ˙ y x0h

v0 = ˙ f r0 + ˙ g v0

• Le funzioni f e g si chiamano i coefficienti di Lagrange e permetteranno di esprimere r e v al tempo t in funzione di r0 e v0 al tempo t0


Coefficienti di Lagrange • Il momento angolare si puó esprimere in funzione delle funzioni f e g e

delle derivate come segue

• Calcoliamo adesso i coefficienti di Lagrange in funzione dell’anomalia vera o meglio della differenza Δθ fra le anomalie al tempo t e t0

• Usando le espressioni di x, y, dx/dt e dy/dt in funzione di θ e analogamente per x0, y0, dx0/dt e dy0/dt in funzione di θ0 (per i passaggi vedere il testo del Curtis) si ottiene

!

h = f ˙ g " ˙ f g( ) r0 # v0( ) = f˙ g " ˙ f g( )h0

!

f˙ g " ˙ f g = 1 quindi delle 4 espressioni solo 3 sono indipendenti

• Ma siccome il momento angolare si conserva h = ho per cui


Coefficienti di Lagrange

•  Con r in funzione di Δθ dato da !

f = 1" µrh2 1" cos#$( )

g =rr0

hsin#$

˙ f =µh

1" cos#$sin#$

µh2 1" cos#$( ) " 1

r0

"1r

%

& '

(

) *

˙ g = 1" µr0

h2 1" cos#$( )

•  Coefficienti di Lagrange e derivate in funzione di Δθ

!

r =h2

µ1+

h2

µr0"1

#

$ %

&

' ( cos)* " hvr0

µsin)*

+

, -

.

/ 0

"1

con vr0 =µhesin*0


Coefficienti di Lagrange •  Notare che nel calcolare la posizione e la velocitá al tempo t usando i

coefficienti di Lagrange non c‘é bisogno di sapere il tipo di orbita (ellittica, parabolica, etc.)��I coefficienti valgono per orbite di tutti i tipi

•  Tuttavia il tipo di orbita si puó ricavare dalle espressioni a t0 di r0 e la componente radiale vr0 di v0

!

r0 =h2

µ1

1+ ecos"0

; vr0 =µhesin"0

risolvendo per e e θ0


L’equazione di Keplero • Abbiamo calcolato il periodo delle orbite (ellittiche) ma non abbiamo

un’ espressione che lega l’anomalia vera al tempo

• Il tempo in realtá non é ancora comparso nelle equazioni orbitali

• Dall’espressione del momento angolare si ha da cui tramite l’equazione dell’orbita si ottiene

in cui tp, il tempo al passaggio del perigeo, é la sesta costante di integrazione dell’equazione dell’orbita. Possiamo scegliere il passaggio al perigeo tp = 0 come tempo iniziale di riferimento

• L’integrazione dell’equazione precedente per i vari tipi di orbita produce l’equazione di Keplero per le varie orbite

!

µ2

h3 dt =d"

(1+ ecos")2 # > µ2

h3 t # tp( ) =d"

(1+ ecos")20

"

$

!! = h / r2


L’equazione di Keplero •  Per orbite ellittiche si ha:

!

Me = E " esinE

•  Con Me = (2π/T)t l’anomalia media ed ��E l’anomalia eccentrica (vedere figura) che per orbite ellittiche é data da:

!

tan E2

=1" e1+ e

tan#2

•  Se l’anomalia vera é nota si puó calcolare E e dall’equazione di Keplero Me da cui si calcola direttamente t ��

•  Se il tempo t é noto allora bisogna risolvere l’equazione (trascendente) di Keplero per trovare E da cui poi si puó calcolare l’anomalia vera θ


Soluzione dell’equazione di Keplero •  L’equazione di Keplero é normalmente risolta in θ in modo iterativo

mediante il metodo di Newton (o sue varianti)��

•  Per trovare la soluzione di una funzione f(x) il metodo di Newton si basa sull’equazione iterativa

!

xi+1 = xi "f (xi)f '(xi)

con f '(xi) la derivata

•  Applicando il metodo di Newton all’equazione di Keplero si ottiene

!

f (E) = E " esinE " Me

f '(E) = 1" ecosE

Ei+1 = Ei "Ei " esinEi " Me

1" ecosEi


Soluzione dell’equazione di Keplero • Ci sono anche soluzioni dell’equazione di Keplero espresse in termini di

espansione in serie • Una soluzione che funziona bene per orbite ellittiche é data da

!

E = Me +2nn=1

"

# Jn (ne)sin(nMe )

• In cui Jn(x) sono funzioni di Bessel del primo tipo definite dalla serie

!

Jn (x) =("1)k

k!(n + k)!k= 0

#

$ x2%

& ' (

) * n+ 2k

• La serie per E naturalmente viene troncata a valori finiti di n = N. ��Per N < 10 si ottengono alte precisioni e convergenza anche per valori di e vicini a 1


Orbite paraboliche • Per orbite paraboliche (e = 1) si ha

!

Mp =12

tan"2

+16

tan3 "2

con Mp =µ2

h3 t

• Mp é l’equivalente dell’anomalia media per orbite paraboliche • L’equazione é una cubica nella variabile tan(θ/2) che ha una sola radice

reale data da

!

tan"2

= 3Mp + (3Mp )2 + 1[ ]

1/ 3# 3Mp + (3Mp )

2 + 1[ ]#1/ 3


Orbite iperboliche •  L’equazione di Keplero per orbite iperboliche é:

!

Mh = esinh(F) " F•  In cui l’anomalia eccentrica F delle orbite iperboliche é espressa in funzione dell’anomalia vera come segue

!

tanh F2

=e "1e + 1

tan#2

•  L’anomalia media

!

Mh =µ2

h3e2 "1( )

3 / 2t

•  L’equazione di Keplero deve essere ��risolta con il metodo di Newton per ��trovare F secondo le equazioni

!

f (F) = esinhF " F " Mh

f '(F) = ecoshF "1

Fi+1 = Fi "esinhFi " Fi " Mh

ecoshFi "1

con F é definita da sinh(F) = y/b per le iperboli

Nota: sinhF = (eF – e-F)/2, coshF = (eF + e-F)/2


Equazioni orbite ellittiche <-> iperboliche •  Le equazioni per le orbite iperboliche sono simili a quelle delle orbite

ellittiche. Si passa dalle formule ellittiche a quelle iperboliche mediante le sostituzioni

!

Da ellit. a iperb. a <- -a b <- ib Me <- -iMh E <- iF

Nota: sin(iF) = isinh(F), cos(iF) = cosh(F)


Variabili universali •  L’ equazione di Keplero ha diverse espressioni per i diversi tipi di orbite •  Si puó avere una espressione generale dell’equazione di Keplero

applicabile a tutte le orbite usando l’anomalia universale •  L’equazione di Keplero generale espressa in termini dell’anomalia

universale χ é

!

µ"t =r0vr0

µ# 2C($# 2) + 1%$r0( )# 3S($# 2) + r0#

in cui α = 1/a e con α < 0, α = 0, α > 0 rispettivamente per iperbole, parabole ed ellissi. C ed S sono chiamate le funzioni di Stumpff

• L’anomalia universale χ ha dimensioni [km1/2] e z = αχ2 é adimensionale

!

" =

hµ

tan#2

parabola

aE ellisse$aF iperbola

%

&

' '

(

' '

)

*

' '

+

' '

con t0 = 0 al periasse


Variabili universali •  Le funzioni di Stumpff sono espresse in termini di funzioni trigonometriche

!

S(z) =

z " sin z

z( )3 (z > 0)

sinh "z " "z

"z( )3 (z < 0)

16

(z = 0)

#

$

% % % %

&

% % % %

'

(

% % % %

)

% % % %

!

C(z) =

1" cos zz

(z > 0)

sinh "z "1z

(z < 0)

12

(z = 0)

#

$

% % %

&

% % %

'

(

% % %

)

% % %

con z = αχ2 con z > 0 per ellissi, z = 0 parabole e z < 0 iperboli


Variabili universali •  Espansione in serie delle funzioni di Stumpff

con z = αχ2


Variabili universali

•  E sostituendo χ = a1/2E si ottiene l’equazione di Keplero classica per le ellissi !

Me ="a# esin "

a$

% &

'

( )

•  La relazione fra l’equazione universale e quelle di Keplero per i vari tipi di orbite si puó ottenere dopo un certo numero di passaggi (vedere il Curtis)

•  Per le ellissi per esempio si ottiene

!

Me = E " esinE


Variabili universali •  Come in precedenza, l’equazione di Keplero universale deve essere

risolta iterativamente per la variabile z (z = αχ2) in modo da ottenere χ •  Si ha

!

dS(z)dz

=12z

C(z) " 3S(z)[ ]

dC(z)dz

=12z1" zS(z) " 2C(z)[ ]

•  Per cui l’algoritmo di Newton (per un intervallo di tempo Δt) diventa

!

" i+1 = " i #

r0vr0µ" i2C(zi) + 1#$r0( )" i

3S(zi) + r0" i # µ%t

r0vr0µ" i 1#$" i

2S(zi)[ ] + 1#$r0( )" i2C(zi) + r0

•  In cui viene suggerito di usare la stima iniziale:

!

"0 = µ |# |$t


Coeff. di Lagrange e variabili universali •  I coefficienti di Lagrange, come visto, servono per esprimere la

posizione e velocitá del satellite al tempo t in funzione della posizione e velocitá ad un generico istante t0

•  I coefficienti di lagrange sono espressi in funzione dell’anomalia universale χ come segue

!

f = 1" #2

r0

C($# 2)

g = %t " 1µ# 3S($# 2)

˙ f =µ

rr0

$# 3S($# 2) " #[ ]

˙ g = 1" #2

rC($# 2)

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ecos e e esin e i

trovare e

e analogamente

calcolare e e dall equazione

r cos e y

r0 e v0

esin e v

esprimere r e v