aula 1classes/est-prob-2012/slides/aula_1.pdf · 2012. 10. 31. · title: aula_1 created date:...
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3
Probabilidade e E
statística
Conteúdo:
1.1 Por que estudar ?
1.2 O que é ?
1.3 População e A
mostra
1.4 Um
exemplo
1.5 Teoria da P
robabilidade1.6 A
nálise Com
binatória Professora:
Rosa M
. M. Leão
Aula 2
-
1.1 Por que estudar P
robabilidade e Estatística?
A E
statística é empregada com
o ferramenta fundam
ental em
várias áreas, tais como:
4
• em com
putação - estudo do desempenho de sistem
as,algoritm
os para aumentar a eficiência, etc;
• na área médica - m
etodologia adequada que possi-bilita decidir sobre a eficiência de um
novo tratamento;
• na indústria - controle de qualidade de produto e processo;
• na pesquisa de mercado e de opinião pública - defini-
ção de novos produtos, lançamentos, vendas, etc;
• na definição de indicadores econômicos e sociais;
• meteorologia, ecologia, biologia, entre outras.
-
Grande parte das inform
ações divulgadas pelos meios de
comunicação provém
de pesquisas e estudos estatísticos:
"a inflação esse mês foi ...."
"a taxa de desemprego no B
rasil no ano de 2005...."
"o candidato A tem
32% da intenção de votos, o can-
didato B tem
41% e 27%
dos entrevistados não souberam
ou não quiseram responder"
"o número de carros vendidos no país aum
entou em
20%"
" a altura média da população aum
entou em 5%
"
"o time A
teve 60% do tem
po de posse de bola, ..."
→→→→→→5
-
Pode tam
bém ajudar a responder perguntas do nosso dia
a dia, como por exem
plo:
6
-
Pode tam
bém ajudar a responder perguntas do nosso dia
a dia, como por exem
plo:
→7
Será que se jogarm
os sempre no m
esmo núm
ero na Me-
ga Sena terem
os uma possibilidade m
aior de ganhar?
-
Pode tam
bém ajudar a responder perguntas do nosso dia
a dia, como por exem
plo:
→→
8
Será que se jogarm
os sempre no m
esmo núm
ero na Me-
ga Sena terem
os uma possibilidade m
aior de ganhar?
Se em
um teste com
várias perguntas onde teremos que
responder "falso" ou "verdadeiro", dá para saber se te-rem
os uma probabilidade de acertar um
número m
aior de respostas se "chutarm
os" sempre a m
esma resposta?
ou seria melhor alternarm
os as respostas?
-
Para m
odelar e/ou avaliar o sistema a ser estudado é
preciso coletar dados e/ou fazer algumas suposições:
→→9
Caso 1: S
istema já existe e deseja-se coletar dados
para seu estudo/modelagem
.
Caso 2: S
istema não existe e deseja-se criar um
modelo
para prever o seu desempenho.
-
• Sobre a obtenção dos dados para estudo/m
odelagemdo sistem
a:
10
-
• Sobre a obtenção dos dados para estudo/m
odelagemdo sistem
a:
11 • Se o sistem
a não existe, como obter os dados para
criar o modelo ?
• Com
o definir o período no qual deve-se coletar os dados (24h, som
ente pela manhã, no horário de m
aior uso do sistem
a) ?
• Pode-se usar os dados coletados durante um
certo período (am
ostra), para concluir sobre o comportam
ento do sistem
a ?
• Por quanto tem
po deve-se coletar os dados ?
-
ii) O que fazer com
os dados colhidos?
12
• Com
o fazer para que os dados obtidos para esse período de tem
po possam ser generalizados para
obtermos infom
ações sobre o sistema ?
• Com
o extrair informações de interesse?
• Com
o organizar esses dados?
-
13 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos perm
i-tam
responder a essas questões com segurança e obje-
tividade.
-
14 Ou seja, para colher os dados, organizá-los e analisá-los
necessitamos de técnicas conhecidas, que nos perm
i-tam
responder a essas questões com segurança e obje-
tividade.
Estas técnicas são:
Estatística
Probabilidade
Inferência estatística
→→→
-
Estatística: conjunto de técnicas destinadas a
descrever, organizar e resumir os dados a fim
de que possam
os tirar conclusões de características de interesse.
15
-
Estatística: conjunto de técnicas destinadas a
descrever, organizar e resumir os dados a fim
de que possam
os tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". P
ode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
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-
Estatística: conjunto de técnicas destinadas a
descrever, organizar e resumir os dados a fim
de que possam
os tirar conclusões de características de interesse.
Probabilidade: teoria utilizada para estudar a "incerteza"
dos fenômenos de caráter "aleatório". P
ode-se dizer que é a teoria utilizada para quantificar o acaso.
Inferência estatística: estudo de técnicas que possibilitam
a análise e interpretação de dados com objetivo de genera-
lizar e prever resultados.
17
-
1.3 População e am
ostra
18
A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
-
1.3 População e am
ostra
Exem
plos:
i) Se o objeto de estudo for um
a aplicação P2P
, como
por exemplo o B
itTorrent. O
que é a população ?
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A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
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1.3 População e am
ostra
Exem
plos:
ii) Se o objeto de estudo for a confiabilidade de um
produto de uma certa fábrica durante um
período de tem
po, por exemplo, a durabilidade das lâm
padas pro- duzidas durante o ano de 2004, a população será com
- posta por todas as lâm
padas produzidas pela fábrica em
questão no ano de 2004.
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A população é o conjunto de todos os dados que
que temos interesse.
i) Se o objeto de estudo for um
a aplicação P2P
, como
por exemplo o B
itTorrent. O
que é a população ?
-
População
pode ser finita ou infinita
21
-
População
pode ser finita ou infinita
Em
determindas situações há im
possibilidade de se analisar toda população, ou por razões econôm
icas, ou pela população ser infinita.
22
-
Um
exemplo:
23
Sabem
os que uma aplicação é usada por m
ilhões depessoas, por exem
plo o Skype, e querem
os avaliarquantos pacotes de voz, em
média, são perdidos
prejudicando a qualidade da comunicação:
-
Um
exemplo: C
omo escolher?
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Sabem
os que uma aplicação é usada por m
ilhões depessoas, por exem
plo o Skype, e querem
os avaliarquantos pacotes de voz, em
média, são perdidos
prejudicando a qualidade da comunicação:
População - todos os pacotes de voz transm
itidos pela aplicação
Am
ostra - parcela dos pacotes coletados
-
25
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
-
26
Análise: feita na população total ou em
uma am
ostra
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
-
27
Análise: feita na população total ou em
uma am
ostra
populaçãoam
ostra
A1 ?
A2 ?
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
-
28
Análise: feita na população total ou em
uma am
ostra
populaçãoam
ostra
A1
Am
ostrasubconjunto da população a ser estudado
o mais parecido possível com
a população que lhe deu origem
-
29 Teoria de P
robabilidade: Conceitos B
ásicos
Fenôm
eno Aleatório
Situação ou acontecim
ento cujos resultados não podem
ser previstos com certeza.
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30 Fenôm
eno Aleatório
Situação ou acontecim
ento cujos resultados não podem
ser previstos com certeza.
Exem
plos:
→ O
resultado do lançamento de um
dado.
→ O
clima num
determinado dia da sem
ana que vem.
→ A
média final que você tirará nesta disciplina.
Teoria de P
robabilidade: Conceitos B
ásicos
-
31 Espaço am
ostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um
certo fenôm
eno aleatório.
Denom
inaremos este espaço pela letra grega Ω
(Ôm
ega).
-
32 Espaço am
ostral
O conjunto de todos os resultados possíveis de um
certo fenôm
eno aleatório.
Denom
inaremos este espaço pela letra grega Ω
(Ôm
ega).
Os subconjuntos do espaço am
ostral são chamados de
eventos e são representados por letras maiúsculas
(A, B
, C, ...).
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33 Exem
plos:
→ U
ma m
oeda é lançada duas vezes e observam-se as
faces obtidas
onde aqui C é cara e R
coroa.
Ω = {C
C,C
R,R
C,R
R},
-
34 Exem
plos:
→ U
ma m
oeda é lançada duas vezes e observam-se as
faces obtidas
onde aqui C é cara e R
coroa.
Ω = {C
C,C
R,R
C,R
R},
→ U
ma m
oeda é lançada consecutivamente até o apare-
cimento da prim
eira cara
Ω = {C
,RC
,RR
C,R
RR
C,...},
que contém um
número infinito de elem
entos.
-
35 Lembrando da T
eoria dos Conjuntos:
→ O
conjunto vazio é denotado por ∅
→ A
união de dois eventos A e B
representa a ocorrên-
cia de, pelo menos, um
dos eventos A ou B
.
Denotam
os a união de A com
B por
→ A
intersecção do evento A com
B é a ocorrência sim
ul-
tânea de A e B
.
Denotam
os a intersecção de A com
B por .
-
36 Exem
plo
Sejam
A, B
e C três eventos do
espaço amostral Ω
:
Ω =
{A,B
,C}
AB
C
Pelo m
enos um dos eventos ocorre
AB
C
-
37 Exemplo
Sejam
A, B
e C três eventos do
espaço amostral Ω
:
Ω =
{A,B
,C}
AB
C
Am
bos os eventos ocorremA
B
C
-
38
→ D
ois eventos A e B
são disjuntos (ou mutuam
ente exclusivos) quando não têm
elementos em
comum
, ou seja:
→ D
ois eventos A e B
são complem
entares se sua uni- ão é o espaço am
ostral e sua intersecção é vazia, ou seja:
-
39
Exem
plo:
AB
C
A e C
: eventos disjuntos
Ac →
complem
entar de A
AB
C
AA
c
-
40
Outros exem
plos
→ P
elo menos um
dos eventos ocorre
→ O
evento A ocorre m
as o evento B não
→ N
enhum deles ocorre
-
41 4.3 Probabilidade
Um
a função P(.) é denom
inada probabilidade se satisfaz as condições:
ou seja, probabilidade é a função que atribui valores numé-
ricos aos eventos do espaço amostral.
,com todos os disjuntos.
-
42 Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elem
entos do espaço am
ostral?
-
43
Questão que se coloca:
como atribuir probabilidade aos elem
entos do espaço am
ostral?
1) Baseado nas características da realização
de um fenôm
eno;
2) Usando as freqüências de ocorrência.
-
44 → B
aseado nas características da realização de um
fenômeno
Exem
plo:
Lançamento de um
dado cúbico perfeitamente hom
ogê-neo e sim
étrico com os lados num
erados, teremos o es-
paço amostral:
E nesse caso a probabilidade de ocorrência de cada
evento será:
-
45 → U
sando as freqüências de ocorrência
Exem
plo:
Pegam
os um dado e jogam
os várias vezes.
Para um
número suficientem
ente grande de lançamentos,
podemos usar as freqüências de ocorrência com
o probabi-lidades. M
as ......
-
46
O que quer dizer núm
ero suficientemente grande de lança-
mentos ?
Geralm
ente a medida que o núm
ero de repetições aumenta,
as freqüências relativas vão se estabilizando em um
número
que chamarem
os de probabilidade.
-
47 Exem
plo: Q
ual a probabilidade de escolhermos um
estudante do se-xo fem
inino ou
alguém da turm
a B?
Sabendo que 52%
dos alunos estão na turma A
e 48% na
turma B
, escolhemos um
estudante ao acaso.
Usem
os a tabela abaixo que mostra o núm
ero de alunosde cada sexo num
a escola:
Sexo
fn
FMT
otal
370,74
130,26
501
-
48 Tabela
Da tabela e das características das turm
as A e B
temos
P(M
) = 0,26;
P(A
) = 0,52;
P(F
) = 0,74; P(B
) = 0,48.
-
49 Pergunta colocada:
"Qual a probabilidade de escolherm
os um estudante do se-
xo feminino ou alguém
da turma B
?"
Não podem
os simplesm
ente somar P
(F) com
P(B
) já que teríam
os probabilidade maior que 1.
Estam
os somando duas vezes alguns elem
entos pois há m
ulheres em am
bas as turmas
Querem
os
P(M
) = 0,26;
P(A
) = 0,52;
P(F
) = 0,74; P(B
) = 0,48.
-
50 Temos que é igual ao núm
ero de estudantes do sexo fem
inino e da turma B
.
Assim
, para obter a probabilidade correta temos que som
ar as probabilidades P
(F) com
P(B
) e, então subtrair deste va-lor
ou seja,
-
51 Para o caso geral, temos que a regra da adição de probabi-
lidades, a probabilidade da união de dois eventos A e B
, é dada por
observe que se os eventos A e B
forem disjuntos (e som
en-te neste caso),a probabilidade da intersecção de A
com B
énula e tem
os que a união é igual a soma das probabilidades
dos dois eventos.
Esta regra pode ser estendida para som
a de três ou mais
termos.
-
52
e que
Observe que
-
53
Observe que
e que
Logo,
-
54 → C
omo calcular as freqüências de ocorrência:
Contando o núm
ero de casos favoráveis para ocorrênciade um
certo evento, se os eventos são equiprováveis
Quando o espaço am
ostral é grande, temos que usar a
análise combinatória
P(E
) = núm
ero de casos favoráveis/número total de casos