aula zero prt

8/17/2019 Aula Zero Prt

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Matrizes e

SistemasLineares

Aula Zero - Álgebra Linear

Professor: Juliano de Bem Francisco

Departamento de Matemática

Universidade Federal de Santa Catarina

agosto de 2011

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Matrizes e

SistemasLineares

Outline

Matrizes

Sistemas Lineares

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Caṕıtulo 1

Matrizes

Caṕıtulo 2

Sistemas

Lineares Part I

Caṕıtulo 1 - Matrizes

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Caṕıtulo 1

Matrizes

Caṕıtulo 2

Sistemas

Lineares

Definição:

Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliações.Para representar esses dados de maneira organizada, podemosfazer uso de uma tabela:

Ana 4,5 6,2 7,0 5,5Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0

Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2

Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0

Edson 6,8 7,2 6,8 7,5

O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazemdesses objetos matemáticos instrumentos valiosos naorganização e manipulação de dados.

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Caṕıtulo 1

Matrizes

Caṕıtulo 2

Sistemas

Lineares

Definição:

Uma matriz é um arranjo de números, śımbolos, letras, etc,dispostos em linhas e colunas.

Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que a

matriz tem ordem m × n.Exemplos:

A = 0 −2 1 43 −1 0 02 5 −1 2 B =

2 −

1√ 3 5

A matriz A é de ordem 3 × 4 e a matriz B é de ordem 2 × 2.



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Caṕıtulo 1

Matrizes

Caṕıtulo 2

Sistemas

Lineares

Definição:

Uma matriz A de ordem m × n é representada por:

A = a11 a12 · · · a1na21 a22

· · · a2n

... ... . . . ...am1 am2 · · · amn

m×n

Abreviadamente podemos escrever, A = [aij ]m×n, com

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i , j ∈ N.Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a14 = 4 ea22 = −1.

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Caṕıtulo 1

Matrizes

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Sistemas

Lineares

Tipos de Matrizes

Matriz Nula é aquela em que todos os seus elementos sãonulos.

Exemplo:

O = 0 0 0

0 0 0

O =

0 00 0

Matriz Linha é aquela que possui uma única linha (m = 1).Exemplo:

A =

2−1 1 3√

2

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Caṕıtulo 1

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Sistemas

Lineares

Tipos de Matrizes

Matriz Coluna é aquela que possui apenas uma coluna(n = 1).

Exemplos:

A =

10

−1

B =

5−4

Um vetor no plano ou no espaço pode ser considerado comouma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar asolução de um sistema de equações.

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Lineares

Tipos de Matrizes

Matriz Quadrada é aquela cujo número de linhas é igual aonúmero de colunas (m = n).

Exemplo:

A = 2 1 00

−1

−2

2 π √ 3 Matriz Identidade é uma matriz quadrada cujos elementosaij = 0 se i = j e aij = 1 se i = j .Exemplo:

A =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

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Tipos de Matrizes

Matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada de ordemn cujos elementos aij são nulos quando i > j , isto é:

A =

a11 a12 · · · a1n0 a22 · · · a2n...

...

. ..

...

0 0 · · · ann

Matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada de ordemn cujos elementos aij são nulos quando i


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Tipos de Matrizes

Matriz Simétrica é uma matriz quadrada de ordem n, em queaij = a ji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.Exemplo:

A = 4 3 −13 2 0

−1 0 5 Matriz Anti-Simétrica é uma matriz quadrada de ordem n,em que aij = −a ji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.Exemplo:

A =

0 3 0√

2−3 0 −1 10 1 0 −2

−√

2 −

1 2 0

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Sistemas

Lineares

Tipos de Matrizes

Matriz Elementar Uma matriz é denominada elementar se forobtida por meio de uma única mudança na matriz identidade.Essa mudança pode ser de um dos seguintes tipos:

1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (oucoluna);

2) A multiplicação de uma linha (ou coluna) por um valorα ∈R;

3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valorα ∈ R, com outra linha (ou coluna).



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Tipos de Matrizes

Exemplos:

a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 é dada por:

E 1 = 0 11 0 b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem3) é dada por:

E 2 =

1 0 00 1 00 1 −3



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Igualdade de Matrizes

Definição

Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [b ij ]m×n são iguais quando

aij = b ij , ∀ i , j .

Exemplo:

A = 9 1 log 12 22 5 e B = 9 sen (π/2) 02 4 5 são iguais.

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Operações com Matrizes - Adição

DefiniçãoSejam A = [aij ]m×n e B = [b ij ]m×n, a matriz A somada com a matriz B, resulta numa matriz C = [c ij ]m×n, cujos elementos são:c ij = aij + b ij , ∀ i , j . Denotamos por: C = A + B = [aij + b ij ]m×n.

Exemplo: 1 −14 02 5

+ 0 4−2 51 0

= 1 32 53 5

.Propriedades:

(a) Comutatividade: A + B = B + A.(b) Associatividade: (A + B ) + C = A + (B + C ).

(c) Elemento Neutro da Adição: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 denota a matriz nula.

(d) Elemento Simétrico: A + (−A) = 0.



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Produto de uma matriz por um escalar

Definição

Seja k um n´ umero qualquer. Para multiplicar k por uma matriz

A de ordem m × n, basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também m × n e seus elementos serão b ij = k aij .

Exemplo: −2 2 10 11 −3 00 −2 3

= −4 −20 −2−2 6 00 4 −6

.

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Produto de uma matriz por um escalar

Propriedades:

(a) Associativa: k 1(k 2A) = (k 1k 2)A.

(b) Distributiva à direita em relação as matrizes:k (A + B ) = kA + kB .

(c) Distributiva à esquerda em relação aos escalares:(k 1 + k 2)A = k 1A + k 2B .

(d) Elemento Neutro: 1.A = A.(e) 0.A = 0.

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Matriz transposta

Definição

Dada uma matriz A = [aij ]m× n, podemos obter uma outramatriz A = [b ij ]n×m, cujas linhas são as colunas de A, isto é,b ij = a ji . A

é denominada a transposta de A.

Exemplo: Seja A = 3 −2 51 7 0 .A transposta de A é a matriz A =

3 1−2 75 0

.Propriedades:

(a) (A) = A.

(b) (A + B ) = A + B .

(c) A é simétrica se, e somente se, A = A.

(d) (kA)

= kA

, k é um escalar qualquer.

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Produto de Matrizes

Definição

Sejam, A = [aij ]m×n e B = [b rs ]n×p , então, seu produto A.B é a matriz m × p dada por: C = [c uv ]m×p . Os elementos damatriz produto c uv são dados por: c uv =

n

k =1 auk b kv .Propriedades:

(a) AI = IA = A, onde I é a matriz identidade.

(b) Associativa: (AB )C = A(BC ).(c) Distributiva: A(B + C ) = AB + AC.

(d) (A + B )C = AC + BC .

(e) k (AB ) = (kA)B = A(kB ).

(f) (AB )

= B

A

.

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Traço de uma Matriz

Dada A = [aij ]n, o traço de A, denotado por Tr (A), é o númerodado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto é:

Tr (A) =

n

i =1 aii .Propriedades:

(a) Tr (A + B ) = Tr (A) + Tr (B );

(b) Tr (αA) = αTr (A);

(c) Tr (A) = Tr (A);

(d) Tr (AB ) = Tr (BA).

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Determinantes

Cofator de uma Matriz: O cofator Aij do elemento naposição (i , j ) de uma matriz A é dado pelo valor dodeterminante M ij , vezes o valor (−1)i + j . Isto é:

Aij = (−1)i + j det (M ij )

onde M ij é a matriz obtida eliminando a i -ésima linha e a j -ésima coluna da matriz A.

Definição

Seja A uma matriz de ordem n, o cálculo do determinante damatriz referido a linha k é dado por:

|A| = ak 1Ak 1 + ak 2Ak 2 + ... + aknAkn.

Similarmente é posśıvel fazer o desenvolvimento por colunas.



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Propriedades do Determinante

Considere A e B matrizes quadradas. Então, valem aspropriedades dos determinantes.

Propriedades:

(a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros,então, det (A) = 0;

(b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais,então, det (A) = 0;

(c) Se B é obtida de A multiplicando-se uma linha(ou coluna) por um escalar α, então,det (B ) = α det (A);

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Propriedades do Determinante

Propriedades:

(d) Se B é obtida por troca das posiç˜ oes relativas de duas linhas (ou colunas) da matriz A, então,

det (B ) = −det (A);(e) Se B é obtida de A, substituindo-se a linha i (ou

coluna) por ela somada a um multiplo escalar de outra linha j (ou coluna) ( j = i ) então,det (B ) = det (A);

(f) det (A) = det (A);

(g) det (AB ) = det (A) det (B ).

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Matriz Adjunta

Dada A = [aij ]n, a matriz adjunta de A é dada por

Adj (A) = (Cof (A)),

onde Cof (A) é a matriz cujos elementos são os cofatores Aij da matriz A, ou seja, é a matriz onde cada elemento aij é igualao cofator Aij da matriz A.

Teorema

Se A é uma matriz de ordem n,

Adj (A) · A = A · Adj (A) = det (A) · I n.

M i i

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Sistemas

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Matriz inversa

Definição

Uma matriz é dita singular se o seu determinante é nulo. Caso contrário, dizemos que a matriz é não singular.

Definição

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir umamatriz A−1, de mesma ordem, tal que A.A−1 = A−1.A = I n,então dizemos que A é inverśıvel e que A−1 é matriz inversa

de A.

Propriedades:

Se A é inverśıvel, então, A é não singular.

M i i

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Matriz inversa

Se det (A) = 0 então

A−1 = adj (A)

det (A)·

Propriedades:

Se A e B são inverśıveis, então:

(a) (AB )−1 = B −1A−1.

(b) (A−1

)−1

= A.(c) (A)−1 = (A−1).

(d) det (A−1) = 1

det (A)·

O ˜ El t

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Operações Elementares

Operações elementares são realizadas na matriz com o objetivode invertê-la, reduzi-la ou simplesmente colocá-la num formatoespecificado previamente. Elas podem ser de três tipos:

1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (oucoluna);

2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valorα

∈R, com α

= 0;

3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valorα ∈ R (α = 0) numa outra linha (ou coluna).

F E d d M t i

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Sistemas

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Forma Escada de uma Matriz

Dizemos que uma matriz A = (aij )m×n está na sua formaescada quando:

a) se o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna

k i , então aij = 0 para todo i > k i . Em outras palavras, oselementos da coluna k i que estão abaixo do primeiro elementonão nulo da linha i são todos iguais à zero;

b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas;

c) Se as linhas 1,..., r são linhas não nulas, e se o primeiroelemento não nulo da linha i ocorre na coluna k i , então,k 1


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Forma Escada de uma Matriz

Exemplos:

A1 =

0 1 00 0 0

A2 =

0 1 5 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0

A3 = 1 −1 00 1 0

0 0 1

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Part II

Caṕıtulo 2 - Sistemas Lineares

Sistemas de Equacões Lineares

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Sistemas de Equaçoes Lineares

Definição

Um sistema da forma

a11x 1 + a12x 2 + . . . + a1nx n = b 1

a21x 1 + a22x 2 + . . . + a2nx n = b 2...

am1x 1 + am2x 2 + . . . + amnx n = b m

(1)

é chamado de sistema de equaç˜ oes lineares de ordem m × n.

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Exemplo


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Sistemas

Lineares

Exemplo

Exemplos:

x 1 + 2x 2 = 1

2x 1 + x 2 = 0

x 1 − x 2 = −1

Forma matricial:

X =

x 1x 2

, A =

1 22 11 −1

e B = 10

−1

.

Interpretacão Geométrica

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Lineares

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Lineares

Interpretaçao Geometrica

Considere o seguinte sistema:a11x + a12y = b 1a21x + a22y = b 2

Geometricamente temos as seguintes possibilidades:

Combinacão Linear de Vetores



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Combinaçao Linear de Vetores

O sistema: x + 2y = 53x + y = 5

pode ser escrito da forma

x 13 + y 21 = 55

Posto e Nulidade de uma Matriz

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DefiniçãoDada uma matriz A de ordem m × n, o posto da matriz, p (A),é dado pela ordem da maior submatriz não singular da matriz dada.

Exemplo:

A =

1 22 41 2

3×2, temos que p (A) = 1

Definição

Dada uma matriz A de ordem m × n, a nulidade da matriz,nul (A), é dada pela diferença entre o n´ umero de colunas e o seu posto (nul (A) = n

−p (A)).


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Definição

As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz Asão as linhas não nulas de sua forma escada.

Exemplo: Seja A tal que sua forma escada é

˜A =

1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 2

∗ ∗0 0 0 0 −10 0 0 0 0

4×5

números de linhas L.I. de A??

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Propriedades:(a) Se A é m × n, então p (A) = (n´ um. de linhas L.I.)(b) p (A) ≤ min{m, n}

Conclusão: Achar p (A) basta achar o posto de sua formaescada!

Assim, se A é tal que sua forma escada é

Ã =

1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 −3 ∗ ∗

0 0 0 0 20 0 0 0 0

Então, posto de A é 3 e sua nulidade é 2.

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Mais exemplos:

Ã =

2 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 3 ∗0 0 0 0 00 0 0 0 0

4×5

p (A) =?? nul(A) = ??

Ã = 2 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 3 ∗ ∗0 0 0 1 1

0 0 0 0 −2

4×5

p (A) =?? nul(A) = ??

Exerćıcio

Encontre o posto e nulidade de A =

1 2 −1 02 −1 1 11 −3 2 10 −5 3 1

Matrizes Equivalentes e Sistemas Equivalentes

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q q

Definição

Duas matrizes A e

A são ditas matrizes equivalentes se uma

delas e obtida ao fazermos operaç˜ oes elementares na outra.

Exemplo:

A =

1 2 1 40 0 2 1

−1

−2

−1

−4

é equivalente a

Ã = 1 2 1 40 0 1 1/2

0 0 0 0

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Propriedade. Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto.

Definição

Dado um sistema AX = B, com A m × n, definimos a matrizaumentada/ampliada do sistema por Au = [A : B ] (de ordemm × (n + 1))

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Definição

Dois sistemas, AX = B e AX = B, são ditos equivalentes se as matrizes aumentadas dos mesmos, Au = [A : B ] e

Au = [A : B ], são matrizes equivalentes.Exemplo: Os sistemas

x + 2y + z

−t = 1

2z − 2t = 2−x − 2y − z + 2t = −1

e x + 2y + z

−t = 1

z − t = 1t = 0

são equivalentes.

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Propriedades:

Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solução.

Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operaçõeselementares em [A : B ] e obter [Ã : B̃ ] na forma escada, eentão resolver ÃX = B̃ (mais simples)

Caracterização dos Sistemas Lineares

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Seja o sistema linear de m equações com n incógnitas

da forma: AX = B . O sistema linear pode ser:

a) Posśıvel, se possui solução. Neste caso, p (Au ) = p (A).

Determinado: quando a solução é única. Neste caso,p (A) = n;

Indeterminado: quando há infinitas soluções. Neste caso,

p (A) < n.

b) Imposśıvel, se não possui solução (p (Au ) > p (A)).

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Lineares

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Exemplo:Considere o sistema AX = B onde

A =

1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 1 ∗ ∗

0 0 0 0 10 0 0 0 0

4×5

, B = ∗∗∗

z

4×1

Qual valor de z para que o sistema seja posśıvel? eimposśıvel? Pode ser determinado?

Graus de Liberdade

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DefiniçãoConsidere um sistema indeterminado AX = B, com A m × n.O n´ umero de graus de liberdade do sistema é g = n − p (A) > 0 (que é o n ́umero de variáveis livres).

Exemplo:

A = 1 2 −1 3 00 0 1 2 −10 0 0 0 10 0 0 0 0

, B = −1010

e X = x 1x 2x 3x 4x 5

então, g =?? e as variáveis livres são ??

Método de Gauss

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SistemasLineares

O Método de Gauss para sistemas lineares: escolhervariáveis livres e, a partir delas, encontramos as outras variáveisusando o sistema equivalente na forma escada.

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Exemplo

Encontre o grau de liberdade, as varíaveis livres e oconjunto de soluções para o sistema, indicando o posto e a

nulidade da matriz do sistema :

x + 2y − 3z − 2s + 4t = 12x + 5y − 8z − s + 6t = 4x + 4y

−7z + 5s + 2t = 8

Escreva as soluções como combinação linear de vetores.

Sistemas Homogêneos

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Matrizes e

Sistemas

Lineares

Caṕıtulo 1

Matrizes

Caṕıtulo 2

SistemasLineares

DefiniçãoQuando B = 0 dizemos que o sistema é homogêneo. Neste caso, AX = 0.Notação: SLh.

Observação

Ao aplicar operaç˜ oes elementares no sistema aumentado [A : 0]a ´ ultima coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [Ã : 0].

Propriedades:

Em um sistema AX = B, a solucão geral é X = X p + X h, onde X p é uma solução particular do sistema e X h é a solução geral do sistema homogêneo Ax = 0.

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Exemplo

Encontre o conjunto de soluções para o sistema homogêneo:

x + 2y − 3z − 2s + 4t = 02x + 5y − 8z − s + 6t = 0x + 4y − 7z + 5s + 2t = 0
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