ba - calcul neliniar - 4-1

CALCULUL NELINIAR AL ELEMENTOR DE BETON ARMAT I PRECOMPRIMAT

63

4 ELEMENTE DE BETON ARMAT

Aa cum s-a precizat n capitolul anterior, aplicarea metodelor

incrementale de analiz pretinde ajustri de rigiditate cel puin la fiecare

increment al sarcinii aplicate. n raport cu schema adoptat, corecia de

rigiditate se face dup valoarea secant sau tangent. La nivelul unui

element liniar, rigiditatea depinde de:

constantele elastice corespunztoare modelelor constitutive ale

materialelor (corespunztoare schemei secante sau tangente);

caracteristicile geometrice ale seciunii transversale;

lungimea barei;

legturile barei la extremiti.

Pentru elementele compozite, cum este i cazul elementelor de

beton armat i precomprimat, rezolvarea se face prin introducerea

noiunii de seciune ideal.

Considerarea la fiecare pas al analizelor structurale a

caracteristicilor geometrice asociate seciunii ideale asigur:

aplicarea ipotezelor i relaiilor de calcul secional furnizate de

rezistena materialelor i/sau teoria elasticitii pentru fiecare

increment al sarcinilor exterioare i al eforturilor interne asociate;


64

calculul eforturilor secionale, corespunztoare echilibrului, prin

integrarea pe domeniul seciunii a eforturilor unitare n concordan

cu modelele constitutive;

reevaluarea, la fiecare pas incremental, a proprietilor de rigiditate

prin integrarea pe domeniul seciunii a constantelor definite de

modelele constitutive, cu valoarea lor tangent sau secant.

4.1 Elemente de beton armat solicitate la

ncovoiere simpl

Considernd cazul simplu al solicitrii de ncovoiere pur (vezi

Figura 4.1), dac se ia ca i referin modulul tangent iniial al

materialului component principal (betonul), caracteristicile seciunii

ideale n raport cu axele principale de rigiditate sunt:

aria

l

jD

j

Dxj

dydzz

dAz

0ref

t[s]

ref

t[s]

t[s]

iE

E

E

EA (4.1)

poziia axei principale de inerie y-y

t[s]

i

0ref

t[s]

ref

t[s]

ref

t[s]

t[s]

iA

E

E

E

E

E

E

x

l

jD

j

D

Dj

dydzz

z

dAz

dAz

z

z

(4.2)

momentul de inerie n raport cu axa y-y

l

jD

j

Dyj

dydzz

zzdAz

zz0

ref

t[s]2t[s]

i

ref

t[s]2t[s]

i

t[s]

iE

E-

E

E-I (4.3)

unde j este constituentul curent (j=0l) al seciunii.

Indicele matricei de beton, materialul principal, este 0. Valoarea

secant [s] sau tangent [t] a modulului lui Young t[s])(

Ezj

, pentru un

constituent j, deriv n fiecare punct material al acestuia n funcie de

tipul de rigiditate considerat, secant sau respectiv tangent.


65

y y

infinf

1 jjzz

0

1

l

inf

0

infinf

1- jj

sup

0

t[s]

iz

j-1 j

l-1

supsup

1 jjzz

x

supsup

1- jj

H

eM

y

z

z

Figura 4.1 Seciune de beton armat solicitat la ncovoiere pur

Considernd funciile polinomiale de gradul doi (vezi Figura

2.24) introduse n capitolul 2, care sintetizeaz modelele constitutive ale

materialelor, expresiile modulului lui Young sunt:

modulul de referin, care este indicat a fi modulul tangent iniial al

principalului component, betonul (vezi relaia 2.23.c):

0

2,1

0

0

2

0

refcE

xxxx

d

df

d

d (4.4)

modulii tangent i secant n fiecare punct material al constituentului

j al seciunii solicitat pe ramura i:

j

ix

j

i

x

j

i

x

x

zjd

df

d

d,1,2

t

)(c2cE (4.5)

x

j

ij

ix

j

i

x

j

i

x

x

zj

f

,0

,1,2

s

)(

cccE (4.6)

unde i=0nj (nj este numrul de ramuri al modelului constitutiv pentru

constituentul j), supinfjxj

i jixji ,1,

.

Orice material constituent al unei seciuni compozite are

conturul definit de o funcie care n variant explicit este de forma:

y=yj(z) (4.7)


66

Raportarea deformaiei specifice curente de pe seciune la

acelai sistem de referin se obine prin relaia (vezi Figura 4.1)

H

- inf0

sup

0inf

0

zz

xx (4.8)

Introducnd relaiile (4.4)(4.8) n expresiile (4.1) (4.3) i

aplicnd formula lui Green pentru integrale de suprafa, integrarea pe

domeniul fiecrui constituent se reduce la rezolvarea unei integrale

curbilinii n raport cu variabila z.

Avnd n vedere exprimarea polinomial a modelelor

constitutive, astfel de funcii se pot integra direct sau cu ajutorul

procedeelor de numerice.

Caracteristicile ideale n raport cu rigiditatea tangent sunt:

aria ideal:

l

jC

j

i

j

ij

l

jD

j

i

j

i

l

jD

j

ix

j

il

jD

j

x

j

j

jj

dzzzy

dydzz

dydzdydzz

0,1

inf

0

sup

0inf

0,20

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,20

2,1

00

2,1

,1,2

0ref

t

t

i

cH

-2c

c

1

cH

-2c

c

1

c

c2c

E

EA

(4.9)

poziia axei principale de inerie y-y:

l

jC

j

i

j

ij

x

l

jD

j

i

j

i

x

x

D

j

ix

j

i

x

l

jD

j

j

j

jj

dzzzzy

dydzzz

dydzzdydzz

z

z

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2t

i

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2t

i

0

2,1

t

i

0

2,1

,1,2

t

i

0ref

t

t

i

cH

-2c

Ac

1

cH

-2c

Ac

1

A

c

c2c

A

E

E

(4.10)


67

momentul de inerie ideal n raport cu axa y-y:

l

jC

j

i

j

ij

l

jD

j

i

j

i

l

jD

j

ix

j

il

jD

j

y

j

j

jj

dzzzzzy

dydzzzz

dydzzzdydzz

zz

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2t

i0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2t

i0

2,1

00

2,1

,1,22t

i0

ref

t2t

i

t

i

cH

-2c-

c

1

cH

-2c-

c

1

c

c2c-

E

E-I

(4.11)

Caracteristicile ideale n raport cu rigiditatea secant sunt:

aria:

l

jC

j

i

j

l

jC

j

i

j

ij

l

jD

j

i

l

jD

j

i

j

i

l

jD

x

j

ij

ix

j

il

jD

j

x

j

j

j

j

jj

dz

z

zy

dzzzy

dydz

z

dydzz

dydzdydzz

0inf

0

sup

0inf

0

,0

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,20

2,1

0inf

0

sup

0inf

0

,0

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,20

2,1

00

2,1

,0

,1,2

0ref

s

s

i

H

-

c

c

1

cH

-c

c

1

H

-

c

c

1

cH

-c

c

1

c

ccc

E

EA

(4.12)


s

i

0

2,1

,0

,1,2

s

i

0ref

s

s

iA

c

ccc

A

E

E

x

D

x

j

ij

ix

j

i

x

l

jD

j

jj

dydzzdydzz

z

z (4.13)


68

l

jC

j

i

j

x

l

jC

j

i

j

ij

x

l

jD

j

i

x

l

jD

j

i

j

i

x

j

j

j

j

dz

z

zzy

dzzzzy

dydz

z

z

dydzzz

0inf

0

sup

0inf

0

,0

s

i

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2s

i

0

2,1

0inf

0

sup

0inf

0

,0

s

i

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2s

i

0

2,1

H

-

c

Ac

1

cH

-c

Ac

1

H

-

c

Ac

1

cH

-c

Ac

1

(4.13)

momentul de inerie n raport cu axa y-y:

l

jC

j

i

j

l

jC

j

i

j

ij

l

jD

j

i

l

jD

j

i

j

i

l

jD

x

j

ij

ix

j

i

l

jD

j

y

j

j

j

j

j

j

dz

z

zzzy

dzzzzzy

dydz

z

zz

dydzzzz

dydzzz

dydzz

zz

0inf

0

sup

0inf

0

,02s

i0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2s

i0

2,1

0inf

0

sup

0inf

0

,02s

i0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2s

i0

2,1

00

2,1

,0

,1,22s

i

0ref

s2s

i

s

i

H

-

c-

c

1

cH

-c-

c

1

H

-

c-

c

1

cH

-c-

c

1

c

ccc

-

E

E-I

(4.14)

Odat calculate caracteristicile geometrice ale seciunii ideale,

deformaiile specifice n fiecare punct al seciunii se calculeaz simplu


69

aplicnd legea lui Hooke i formula lui Navier:

t[s]

i

0

2,1

t[s]

i

e

t[s]

iref

t[s]

i

e

Ic

-M

IE

-M

y

y

y

y

x

zzzz (4.15)

iar eforturile unitare pe seciune rezult aplicnd relaiile constitutive

corespunztoare pentru deformaia specific i material:

jix

j

ix

j

ix

j

ixxf

,0,1

2

,2ccc (4.16)

unde i=0nj (nj este numrul de ramuri al modelului constitutiv pentru

constituentul j), supinfjxj

i jixji ,1,

.

Sub form incremental (r=1, 2, 3 ), relaia (4.15) devine:

t[s]

1-,i

0

2,1

t[s]

1-,i

e

,

,Ic

-

ry

rry

rx

zzdMd (4.17)

i creterea eforturilor unitare asociat:

1-,,1-,,

-rx

j

irxrx

j

irxfdfd (4.18)

La iteraia r, momentul ncovoietor rezidual este:

ryryry ,

e

,

e

,M-MM (4.19)

unde My,r este rezultanta eforturilor de ncovoiere pe seciune:

l

jC

rj

j

i

l

jC

rr

rrj

j

i

l

jC

rr

rrj

j

i

l

jD

j

irx

j

irx

j

ir

l

jD rxrxr

D rxrxrD rxrxrry

j

j

j

j

j

dzzzzy

dzzzzzy

dzzzzzy

dydzzz

dydzzz

dydzzzdAzz

0

t[s]

i,,0

0

inf

0,

sup

0,inf

0,

t[s]

i,,1

0

2inf

0,

sup

0,inf

0,

t[s]

i,,2

0,0,,1

2

,,2

t[s]

i,

0,,

t[s]

i,

,,

t[s]

i,,,

t[s]

i,,

-c

H

--c

H

--c

ccc-

-

--M

(4.20)


70

yr-1 0

1

l

inf

1-,0 r

sup

1-,0 r

t[s]

1-i,rz

j-1 j

l-1

x,r-1

H

e

1-,M

ry

yr-1

e

,rydM

sup

,0 rd

dx,r

inf

,0 rd

+

z

z

Figura 4.2 Creteri incrementale pe seciunea solicitat la

ncovoiere simpl

ntre doi pai incrementali apar variaii ale limitelor de

integrare. Variaia deformaiilor specifice conduce la necesitatea

adaptrii la fiecare pas a modelelor constitutive prin schimbarea

limitelor de integrare pe conturul fiecrui constituent. Figura 4.3

prezint eforturile i deformaii ale matricii de beton (constituentul 0)

nainte de aplicarea momentului incremental e

,rydM (echilibrul la pasul

r-1) i limitele de integrare asociate acestora.

limite de integrare

00,2 yr-1 yr-1 0

t[s]

1-i,rz

0,3

sup

1-,0

r x,r-1 x,r-1

0,1

inf

1-,0

r

ryry ,

e

,MM

z

z

Figura 4.3 Deformaii i eforturi ale constituentului 0

corespunztoare incrementului r-1


71

00,2 yr yr

0

0,3

t[s]

i,rz

0,0

inf

,0

r

0,4

sup

,0

r

noi puncte de contur

(limite de integrare)

x,r-1+d x,r x,r-1+d x,r

0,0

0,1

beton fisurat

e

,

e

1-,M

ryrydM

z

z

Figura 4.4 Deformaii i eforturi ale constituentului 0

corespunztoare incrementului r

Figura 4.4 prezint eforturile i deformaiile aceluiai

constituent 0 dup aplicarea incrementului e

,rydM , adic echilibrul

corespunztor pasului r.

Din comparaia celor dou figuri rezult necesitatea

reconsiderrii limitelor de integrare pe conturul seciunii. Practic, acest

lucru de poate realiza prin redefinirea la fiecare pas incremental a

punctelor (corespunztoare limitelor de integrare) care definesc conturul

fiecrei componente a seciunii. n cazul incrementrii prin Metoda

iterrii directe 0Me1-,

ry, ee, M yrydM , rxrxd ,, etc.


ncovoiere oblic

La seciunile ncovoiate oblic (vezi Figura 4.5), procedura este

similar, fiind necesare doar cteva operaii suplimentare.

Pe lng caracteristicile geometrice ale seciunii ideale date de

expresiile (4.9)(4.11) i (4.124.14) pentru direciile incrementale


72

tangent i respectiv secant, trebuie luate n considerare i distana yi

pn la cealalt ax principal de inerie z-z, respectiv momentul de

inerie ideal Izi. De asemenea, datorit suprapunerii eforturilor unitare

datorate momentelor ncovoietoare de pe cele dou direcii, variaia

modulului lui Young are loc n raport cu ambele coordonate y i z.

Astfel, caracteristicile seciunii ideale au urmtoarele expresii

globale:

aria

l

jD

j

Dxj

dydzzy

dAzy

0ref

t[s]

ref

t[s]

t[s]

iE

,E

E

,EA (4.21)

poziia axei principale de inerie y-y

t[s]

i

0ref

t[s]

ref

t[s]

ref

t[s]

t[s]

iA

E

,E

E

,E

E

,E

x

l

jD

j

D

Dj

dydzzy

z

dAzy

dAzy

z

z

(4.22)

z it[s] cos

Hcos

sup x

inf

Figura 4.5 Seciune solicitat la ncovoiere oblic

y y

z

z

Me eMy

eM

z


73

poziia axei principale de inerie z-z:

t[s]

i

0ref

t[s]

ref

t[s]

ref

t[s]

t[s]

iA

E

,E

E

,E

E

,E

x

l

jD

j

D

Dj

dydzzy

y

dAzy

dAzy

y

y

(4.23)


l

jD

j

Dyj

dydzzy

zzdAzy

zz0

ref

t[s]2t[s]

i

ref

t[s]2t[s]

i

t[s]

iE

,E-

E

,E-I (4.24)

momentul de inerie n raport cu axa z-z :

l

jD

j

Dzj

dydzzy

yydAzy

yy0

ref

t[s]2t[s]

i

ref

t[s]2t[s]

i

t[s]

iE

,E-

E

,E-I (4.25)

Unghiul (vezi Figura 4.5), pe care axa neutr l face cu y-y se

calculeaz n baza relaiei:

i

i

I

I

z

ytgtg (4.26)

unde este unghiul dintre rezultanta momentului ncovoietor cu aceeai

ax principal de rigiditate y-y.

Raportnd variaia liniar a deformaiilor specifice la direcia

zcos, procednd similar ca i n cazul ncovoierii drepte, rezult

caracteristicile seciunii ideale n raport cu axele sale principale de

rigiditate. Pentru abordarea incremental urmrind rigiditatea tangent

se obine:

aria ideal:

l

jC

j

i

j

ijx

j

dzcos

zcoszy0

,1

inf

0

sup

0inf

0,20

2,1

t

ic

H

-2c

c

1A (4.27)


l

jC

j

i

j

ij

x j

dzcos

zcoszzyz0

,1

inf

0

sup

0inf

0,2t

i

0

2,1

t

ic

H

-2c

Ac

1 (4.28)


74


l

jC

j

i

j

ij

x j

dzcos

zcoszyy0

,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2

t

i

0

2,1

t

ic

H

-2c

Ac

1 (4.29)

momentul de inerie ideal n raport cu axa y-y:

l

jC

j

i

j

ijy

j

dzcos

zcoszzzy0

,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2t

i0

2,1

t

ic

H

-2c-

c

1I (4.30)

momentul de inerie ideal n raport cu axa z-z:

l

jC

j

i

j

ijjz

j

dzcos

zcosyzyzy0

,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2t

i0

2,1

t

ic

H

-2c-

c

1I (4.31)

Pentru incrementarea dup rigiditatea secant rezult:

aria ideal:

l

jC

j

i

j

l

jC

j

i

j

ijx

j

j

dz

coszcos

zy

dzcos

zcoszy

0inf

0

sup

0inf

0

,0

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,20

2,1

s

i

H

-

c

c

1

cH

-c

c

1A

(4.32)


l

jC

j

i

j

x

l

jC

j

i

j

ij

x

j

j

dz

coszcos

zzy

dzcos

zcoszzyz

0inf

0

sup

0inf

0

,0

s

i

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2s

i

0

2,1

s

i

H

-

c

Ac

1

cH

-c

Ac

1

(4.33)


l

jC

j

i

j

x

l

jC

j

i

j

ij

x

j

j

dz

coszcos

zy

dzcos

zcoszyy

0inf

0

sup

0inf

0

,02

s

i

0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2

s

i

0

2,1

s

i

H

-

c

Ac

1

cH

-c

Ac

1

(4.34)


75


l

jC

j

i

j

l

jC

j

i

j

ijy

j

j

dz

coszcos

zzzy

dzcos

zcoszzzy

0inf

0

sup

0inf

0

,02s

i0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2s

i0

2,1

s

i

H

-

c-

c

1

cH

-c-

c

1I

(4.35)

momentul de inerie n raport cu axa z-z:

l

jC

j

i

jj

l

jC

j

i

j

ijjz

j

j

dz

coszcos

yzyzy

dzcos

zcosyzyzy

0inf

0

sup

0inf

0

,02s

i0

2,1

0,1

inf

0

sup

0inf

0,2

2s

i0

2,1

s

i

H

-

c-

c

1

cH

-c-

c

1I

(4.36)

Calculul incremental trebuie organizat dup cum urmeaz:

se calculeaz caracteristicile geometrice ideale n raport cu axele

principale de inerie pentru x=0 pe ntreg domeniul seciunii;

se aplic primul increment (r=1) al momentului ncovoietor care se

proiecteaz pe cele dou axe principale de inerie i se stabilete

starea de deformaie pe seciune cu relaia:

t[s]

1-i,

t[s]

1-i,

e

1

t[s]

1-i,

t[s]

1-i,

e

1

0

2,1

t[s]

1-i,

t[s]

1-i,

t[s]

1-i,

t[s]

1-i,

ref

e

1

,

I

-

I

-

c

1

I

-

I

-

E

rz

rz

ry

ry

rz

r

ry

r

rx

yydMzzdM

sinyycoszzdMd

(4.37)

se calculeaz nclinarea axei neutre cu relaia (4.26);

se calculeaz rezultantele eforturilor interioare de ncovoiere n

raport cu axele principale de inerie cu relaiile:

l

jC

rr

rrj

j

iry

j

dzcos

zcoszzzy0

2inf

0,

sup

0,inf

0,

t[s]

i,,2,H

--cM (4.38)


76

1cu -c

H

--c

0

t[s]

i,,0

0

inf

0,

sup

0,inf

0,

t[s]

i,,1

rdzzzzy

dzcos

zcoszzzy

l

jC

rj

j

i

l

jC

rr

rrj

j

i

j

j (4.38)

1cu -c

H

--c

H

--cM

0

t[s]

i,,0

0

inf

0,

sup

0,inf

0,

t[s]

i,,1

0

2inf

0,

sup

0,inf

0,

t[s]

i,,2,

rdzyzyzy

dzcos

zcosyzyzy

dzcos

zcosyzyzy

l

jC

rjj

j

i

l

jC

rr

rrjj

j

i

l

jC

rr

rrjj

j

irz

j

j

j

(4.39)

se calculeaz momentele ncovoietoare reziduale cu relaia (4.19)

dup direciile axelor principale de inerie i se stabilesc urmtoarele

incremente ale momentelor ncovoietoare;

se stabilesc limitele de integrare pe contururile constituenilor n

raport cu direcia zcos pentru urmtorul pas i se reia procesul,

considernd de asemenea eforturile reziduale, pentru r=2, 3,


compresiune excentric

La elementele comprimate excentric (vezi Figura 4.6) calculele

secionale sunt similare cu cele de la ncovoiere dreapt, aspectul

specific de considerat fiind stabilitatea elementului, deci influena

deformaiilor de ordinul II. n analizele neliniare, problema stabilitii

elementelor comprimate excentric poate fi rezolvat pe dou ci:

rezolvarea ecuaiilor de echilibru pe schema deformat pentru

fiecare increment al sarcinilor exterioare, caz n care din punctul de

vedere al analizei secionale calculele sunt similare, cu mici

modificri, cu cele de la cazul ncovoierii drepte;


77

y y 0

1

l

inf

0

sup

0

t[s]

iz

j-1 j

l-1

x

H

z

z

eM

y

eN

x

eM

y

eN

x

Figura 4.6 Seciune de beton armat solicitat la compresiune excentric

considerarea n mod simplificat a efectului Shanley [23] prin

multiplicarea excentricitii cu un coeficient [24], determinat cu

relaia:

cr

e

N

N-1

1

x

x

(4.40)

n care efortul critic se determin cu formula lui Euler considernd

seciunea ideal i lungimea de flambaj Lf asociat legturilor barei la

extremiti:

2

f

t[s]

i

0

2,1

2

2

f

t[s]

iref

2

cr

L

Ic

L

IEN

yy

x

(4.41)

Astfel, momentul exterior de ordinul II devine: ee

IIMM

yy (4.42)

La fiecare pas incremental r, caracteristicile geometrice ale

seciunii ideale se determin cu relaiile (4.9)(4.11) sau (4.124.14).

Cnd se introduce simplificat influena flambajului, fora axial critic i

momentul de ordinul doi trebuie reactualizate la fiecare iteraie. Astfel,

pentru pasul curent r, relaia (4.41) devine:


78

2

f

t[s]

1-i,

0

2,1

2

cr

1,L

IcN

ry

rx

(4.43)

iar coeficientul de multiplicare a excentricitii:

cr

1,

e

,

e

1-,

1

N

N-1

1

rx

rxrx

rdN

(4.44)

Incrementul asociat momentului exterior de ordinul II devine:

t[s]0i,

t[s]

1i,

e

,

e

,1

e

II,- zzdNdMdM

rrxryrry (4.45)

Creterea incremental a deformaiilor se calculeaz cu:

t[s]

1-,i

0

2,1

t[s]

1-,i

e

,II

t[s]

1-,i

e

,

,Ic

-

Ary

rry

rx

rx

rx

zzdMdNd (4.46)

iar creterea eforturilor unitare asociat este:

1-,,1-,,

-rx

j

irxrx

j

irxfdfd (4.47)

Eforturile reziduale sunt:

t[s]0i,

t[s]

1i,

e

,,

e

II,

1

e

,

,

e

,

e

,

-N-M-M1

M

N-NN

zzrryryry

r

ry

ryryry

(4.48)

unde My,r este rezultanta eforturilor de ncovoiere pe seciune calculat

cu relaia (4.20), iar Ny,r este rezultanta eforturilor normale:

l

jC

j

j

i

l

jC

rr

rj

j

i

l

jC

rr

rj

j

i

l

jD

j

irx

j

irx

j

i

l

jD rxrxD rxrxD rxrxrx

jj

j

j

j

dzzydzzzy

dzzzy

dydz

dydzdydzdA

0,0

0

inf

0,

sup

0,inf

0,,1

0

2inf

0,

sup

0,inf

0,,2

0,0,,1

2

,,2

0,,,,,,,

cH

-c

H

-c

ccc

N

(4.49)


79

La analizele pentru care echilibrul global se efectueaz pe

schema deformat, momentele ncovoietoare de ordinul II rezult direct

din calculul de ansamblu al elementului, astfel nct nu mai trebuie

introdus coeficientul de cretere a excentricitii.


compresiune excentric oblic

Modul de calcul la compresiune excentric oblic (vezi Figura

4.7) decurge n mod natural din cazurile de solicitare la ncovoiere

oblic i compresiunea excentric. n acest caz pierderea stabilitii

trebuie rezolvat n raport cu planurile normale definite de axele

principale de inerie y-y i z-z cu axa x a elementului.

x

z it[s] cos

Hcos

sup

inf

y y

z

z

Me

eM

y

eM

z

eN

x

eN

x

Me

Figura 4.7 Seciune de beton armat solicitat la compresiune

excentric oblic


80

n formularea incremental calculul se organizeaz astfel:

se calculeaz caracteristicile geometrice ideale n raport cu axele

principale de inerie pentru x=0 (r=1) pe ntreg domeniul seciunii;

se stabilesc eforturile critice n planurile principale de inerie:

2

f

t[s]

1-i,

0

2,1

2

cr

1,L

IcN

ry

rxz

(4.50.a)

2

f

t[s]

1-i,

0

2,1

2

cr

1,L

IcN

rz

rxy

(4.50.b)

se calculeaz coeficienii de multiplicare a excentricitilor:

cr

1,

e

,

e

1-,

1,

N

N-1

1

rxz

rxrx

rxzdN

(4.51.a)

cr

1,

e

,

e

1-,

1,

N

N-1

1

rxy

rxrx

rxydN

(4.51.b)

se calculeaz incrementele de ordinul II:

t[s]

0i,

t[s]

1i,

e

,

e

,1,

e

,II

t[s]

0i,

t[s]

1i,

e

,

e

,1,

e

,II

e

,

e

,

-

-

yydNdMdM

zzdNdMdM

dNdN

rrxrzrxyrz

rrxryrxzry

rxrx

(4.52)

se stabilete starea de deformaie prin aplicarea incrementele

eforturilor:

t[s]

1-i,

t[s]

1,i

e

,II

t[s]

1-i,

t[s]

1,i

e

,II

0

2,1

t[s]

1-,i

e

,

,I

-

I

-

c

1

Arz

rrz

ry

rry

rx

rx

rx

yydMzzdMdNd (4.53)

aplicnd relaiile constitutive se calculeaz rezultantele eforturilor

interioare de ncovoiere cu relaiile (4.38), (4.39) i efortul interior

axial cu relaia (4.49);

se calculeaz eforturile reziduale:

ryryry ,

e

,

e

,N-NN (4.54)

ba - calcul neliniar - 4-1

Documents

4 modulii tangent i

1 supsup1 jjzz x supsup1

ncovoiere pur vezi figura

jj sup0 tsiz j

beton armat i precomprimat

tangent t a modulului