bab 1. matrix

8/17/2019 Bab 1. Matrix

http://slidepdf.com/reader/full/bab-1-matrix 1/32

MATRIX

BAB 1

23/08/2015 1

8/17/2019 Bab 1. Matrix


MATRIKS - Pengantar

Aplikasi: Sistem Persamaan Linear Bentuk umum Persamaan Linear:

a11 x1 + a12 x2 + ........... + a1nxn = c1

a21 x1 + a22 x2 + ........... + a2nxn = c2

a31 x1 + a32 x2 + ........... + a3nxn = c3

Bentuk Matriks:baris a11 a12 ...............a1n x1 c1

a21 a22 ...............a2n . x c2

=

am1 am2 ..............amn x3 c3

kolom A . x = c

matriks koefisien

ordo matriks = m (baris) x n (kolom)

23/08/2015 2

8/17/2019 Bab 1. Matrix


MATRIKS – Pengantar 2 Metode penyelesaian Matriks (mencari x1, x2, … xn):

Metode Cramer

Eliminasi Gauss

Metode Gauss-Jordan

Metode Inversi

Augmented Matriks:a11 a12 ...............a1n c1

a21 a22 ...............a2n c2

am1 am2 ..............amn c3

Contoh :Matrix A Augmented Matrix A

0352613

1332412

93221

x x x

x x x

x x x

0563

1342

9211

23/08/2015 3

8/17/2019 Bab 1. Matrix


MATRIKS –

Pengantar 3 Matriks harus dilambangkan dengan huruf kapital atau huruf kecil (bold).

a =

Elemen dari matriks biasa dituliskan dalam bentuk aij = (A)ijKeterangan: i = row j = kolom

Matriks dengan s baris dan s kolom disebut matriks persegi dengan orde s.

a11 a12 ............a1s

a21 a22 ............a2s

. . .

as1 as2 .............ass

diagonal utama

Suatu matriks disebut sama apabila memiliki ukuran dan elemen yg sama.

A

232221

131211

aaa

aaa

23/08/2015 4

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Sifat-sifat Matriks1. Penjumlahan/Pengurangan syarat : ordo sama

(A + B)ij =(A)ij + (B)ij = aij + bij(A - B)ij =(A)ij - (B)ij = aij - bij

Contoh:

A = B = ; A + B = ; A – B =

Komutatif: A + B = B + A Assosiatif: A + (B + C) = (A + B) + C

2. Perkalian dengan Skalar

Matrix A x c (skalar) = c A (hasil kali setiap elemen A dengan c)

(cAij) = c(A)ij = caij

Contoh : A = 2A =

Assosiatif:

a(B + C) = aB + aC a(B – C) = aB – aC

(a + b)C = aC + bC (a – b)C = aC – bC

a(bC) = (ab)C a(BC) = (aB)C = B(aC)

22

13

32

21

50

32

131

432

262

864

1x23x21x2

4x23x22x2

82

51

23/08/2015 5

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Sifat-sifat Matriks - 23. Perkalian Matriks

Matriks Matriks Matriks

Ordo x ordo = ordo

m x n n x p m x p

Syarat : ordo sesuai, jumlah kolom matriks ke-1 = jumlah baris matrix-2

Sifat:

> AB # BA

> Jika AB = 0, tidak berarti A=0 atau B=0

> Assosiatif: (AB)C = A(BC) (B + C)A = BA + CA A(B + C) = AB + AC

Contoh:

A = B = AxB =

Soal :

1. A = B = C =

Hitung 2A – B + 0,5C, AB dan BA

062

421

30

21

65

016

147

202

421

632

261

042

646

282

465

021

[ ] [ [] ]

23/08/2015 6San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Jenis-jenis Matriks

500

210

324

316

025

004

300

020

004

5300

9320

0622

0041

1. Matriks Segitiga

a. Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular) A =

b. Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular) B =

2. Matriks Diagonal C =

3. Matriks Pita D =Tebal pita=3

matriks tridiagonal

23/08/2015 7San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Transpose Matrix

921

325

93

22

15

53

37

705

034

541

(AT

)ij = (A) ji

P = PT =

(A + B)T = AT + BT

(A – B)T = AT - BT

((A)T)T = A

(A.B)T = BT . AT

(kA)T = kAT

AT = A (a jk = akj) matriks simetris.

Contoh :

A dan B adalah matriks simetris ordo sama; k faktor skalar maka:

(a) AT juga simetris

(b) A + B dan A – B simetris

(c) kA simetris

Perhatikan perubahan ordo matrix!

23/08/2015 8San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Zero Matrix & Matrix Identitas

00

00

000

000

000 0000

10

01

100

010

001

921

325

10

01

921

325

921

325

921

325

100

010

001

921

325

• ZERO MATRIXContoh: Penulisan: 0 atau 0mxn

A – A = 00 – A = -A

A0 = 0; 0A = 0

• MATRIKS IDENTITAS (dilambangkan dengan I)

matriks bujursangkar yang elemen diagonal utama 1 dan elemen lainnya 0.

Contoh :

Jika A matriks m x n maka berlaku : Im.A = A dan A.In = A

Contoh :

A = I2 A = = AI3 = =

A + 0 = 0 + A = A

23/08/2015 9

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Determinan

Cara mencari det A atau [ A ] :

Ekspansi Cofaktor

dc

ba

ac

bd

•MATRIX PERSEGI 2 x 2 :

A-1 = 1 .

det A A

(-) (+)

Det A = ad – bc

•Fungsi: untuk mendapatkan harga invers A atau A-1

•MATRIX PERSEGI n x n :

Ada 2 cara mencari A-1:

Gauss Jordan

Adjoint

a11 a12 ..........a1n

a21 a22 ..........a2n

an1 an2 ...........ann A

23/08/2015 10

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Ekspansi Cofaktor - Definisi

A

a11 a12 ..........a1n

a21 a22 ..........a2n

an1 an2 ...........ann

A

m

i

ij

ji

ij M a1

.)1(= det A =

Mij = ”minor aij”

= determinan dari matriks A yg diperoleh dengan menghilangkan baris ke idan kolom ke j dari matriks A

C jk = “cofactor aij”

= (-1)i+j. Mij

841

652

423

1684

65

Contoh :

A =Minor of entry a11 =M11 =

C11 = = (-1)1+1 M11 = M11 = 16

841

652

423

Cofactor a11

23/08/2015 11

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Ekspansi Cofactor - Aplikasi

Determinan suatu matriks n x n dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1 ≤ j ≤ n,

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j ekspansi cofactor sepanjang kolom ke-j

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ai3Ci3 ekspansi cofactor sepanjang baris ke-i

Matriks persegi ordo 3x3

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

det(A) = a11

a22

a33

+ a12

a23

a31

+ a13

a21

a33

- a13

a22

a31

- a12

a21

a33

- a11

a23

a32

det(A) = a11 (a22a33 - a23a32) + a21 (a13a32 – a12a33) + a31 (a12a23 – a13a22)

= a11 C11 + a21 C21 + a31 C31

det(A)= a11C11 + a12C12 + a13C13 (ekspansi cofactor pd baris 1)

= a21C21 + a22C22 + a23C23 (ekspansi cofactor pd baris 2)

= a12C12 + a22C22 + a32C32 (ekspansi cofactor pd kolom 2)= ... dan seterusnya...

det(A) = a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a33

- - - + + +

23/08/2015 12

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Ekspansi Cofactor - Latihan

245

342

013

150

521

210

1. B =

Hitunglah harga determinan dengan:a. Ekspansi cofactor pada kolom 1

b. Ekspansi cofactor pada kolom 2.

KESIMPULAN?

2. D =

Hitunglah harga determinan dengan:

a. Ekspansi cofactor sepanjang kolom 2

b. Ekspansi cofactor sepanjang baris 3

Ekspansi cofactor akan lebih mudah pada kolom/baris

dengan jumlah komponen 0 ( nol ) paling banyak

23/08/2015 13San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Determinan – Sifat-sifat (1-7)

1. Det A = Det (AT)

2. Seluruh komponen salah satu baris atau kolom matrix A = 0 Det A = 0

3. Seluruh komponen salah satu baris atau kolom

matrix A dikalikan dengan k (skalar) Det A baru = k. Det A awal

Seluruh komponen n baris atau kolom matrix A

dikalikan dengan k (skalar) Det A baru = kn. Det A awal

4. Dua baris atau kolom dipertukarkan Det A baru = - Det A awal

5. Penjumlahan, pengurangan baris atau kolom yang telah dikalikan k (skalar)

dengan baris atau kolom lain TIDAK mengubah nilai determinan

Note: Eliminasi Gauss TIDAK mengubah nilai determinan

6. Ada baris/kolom yang merupakan kelipatan baris/kolom lain Det A = 0

7. Matrix atas, bawah, diagonal Det = perkalian suku diagonal

ATAU Det A nxn = a11 * a22 * a33 * …* ann

23/08/2015 14San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Determinan – Sifat-sifat (8)

8. Determinan Elementary MatrixElementary Matrix: operasi aljabar (x,:, +,-) pada matriks identitas atau I

a. Jika E adalah k dikali salah satu baris/kolom pada I Det (E) = k

b. Jika E adalah hasil pertukaran baris/kolom pada I Det (E) = -1

c. Jika E adalah hasil penjumlahan/pengurangan salah

satu baris/kolom dengan baris/kolom lain yang telah

dikalikan k (skalar), maka det TIDAK berubah Det (E) = 1

PERHATIKAN:

Jika Amxm dan Bmxm maka berlaku: det (AB) = det (A) . det (B)

Jika A dapat diinvers maka berlaku: det(A-1) = 1/detA

Determinan dapat dicari dengan kombinasi metode Gauss & Ekspansi Cofactor 23/08/2015 15

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Determinan – Contoh

32422

32649

32421

01333

01004

3573

5142

1121

6253

A =

0 -1 1 3

det (A) = det 1 2 -1 1

0 0 3 30 1 8 0

-1 1 3

det (A) = (-1) 0 3 3

1 8 0

-1 1 3

det (A) = (-1) 0 3 3

0 9 3

det (A) = (-1) (-1) 3 3 = -189 3

Ekspansi cofactor

sepanjang kolom ke-1

Ekspansi cofactorsepanjang kolom ke-1

0 -1 1 3

det (A) = det 1 2 -1 10 0 3 3

0 1 8 0

(baris ke-2 x k) +

baris-baris lain :S{ }

SOAL

A = Carilah determinan Matrix A !

-1 1 3

det (A) = (-1) 0 3 3

1 8 0

23/08/2015 16San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Inversi Matriks

1 Matriks Orde 2

> Matriks A =

> Matriks invertible jika ad – bc 0

>

2 Matriks Orde 3

dc

ba

ac

bd .

A A

det

11

2.1 Metode Adjoint

A A

det

11

. Adj A

042

361

123

161012

162416612

333231

232221

131211

C C C

C C C

C C C

161616

1026

12412

161012

1624

16612 T

Contoh :

A =

Cofactor

of A :

Adjoint

of A :

A-1 =

4

1

4

1

4

1

64

10

64

2

64

6

64

12

64

4

64

12

161616

1026

12412

64

1

A-1 =

23/08/2015 17San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Inversi Matriks2 Matrix Orde 3 Lanjutan

2.2 Metode Gauss Jordan

Prinsip

Menemukan langkah-langkah operasi untuk mengubah A menjadi matrik identitas

dan melakukan operasi yg sama pada matrik identitas untuk mendapatkan A-1:

[A I] [I A-1]

801

352

321Contoh :

Matriks A = , A-1 = ?

JAWAB:

Langkah 1:

Elemen a11 pada baris pertama harus bernilai 1.

Apabila nilainya ≠ 1, lakukan operasi pada baris 1 agar a11 = 1.

(Nilai a11 pada Matrix A sudah 1, tidak perlu dilakukan langkah 1)

100

010

001

801

352

321

23/08/2015 18San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Inversi Matriks2.2 Metode Gauss Jordan - Lanjutan

Operasi matriks agar a21&a31 bernilai nol:

(-2 x baris ke 1) + baris ke 2 baris ke 2


Elemen a22 pada baris ke-2 harus bernilai 1.

Apabila nilainya ≠ 1, lakukan operasi pada baris 2 agar a22 = 1.

(Nilai a22 pada Matrix A sudah 1, tidak perlu dilakukan langkah 1)

Langkah 2:

101

012

001

520

310

321

101

012

001

520

310

321

Langkah 3:

125

012

001

100

310

321

Langkah 4:

Operasi matriks agar a32 bernilai nol:(2 x baris ke 2) + baris ke 3 baris ke 3

125012

001

100310

321

Langkah 5:

Elemen a33 pada baris ke-3 harus bernilai 1.

Karena nilainya ≠ 1, lakukan operasi pada baris 3 agar a33 = 1.

(-1 x baris ke 3) baris ke 323/08/2015 19San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Inversi Matriks2.2 Metode Gauss Jordan – Lanjutan -2

Operasi matriks agar a13&a23 bernilai nol:


( 3 x baris ke 3) + baris ke 2 baris ke 2

125

3513

91640

100

010

001

Langkah 7:

1

A I

Matrix A telah menjadi I,

Matrix I telah menjadi A-1

125

3513

3614

100

010

021

Langkah 6:

Operasi matriks agar a12 bernilai nol:


{ {

Jadi A-1 =

125

3513

91640

23/08/2015 20

8/17/2019 Bab 1. Matrix


A. A

-1

= I A

-1

. A = I

Jika A. B invertible, maka:

(A. B)-1 = B-1. A-1

Jika Matrix A invertible, maka:

> (A-1)-1 = A> (An)-1 = (A-1)n n = 0, 1, 2 …

> (k. A)-1 = (1/k). (A-1) k skalar, k ≠ 0

> (AT)-1 = (A-1)T

Soal-soal:

Carilah invers dari matriks-matriks berikut ini:

Inversi Matriks – Sifat-sifat

1111

1111

0011

0011

7531

0531

0031

0001

A = B =

23/08/2015 21San&Jen07

P l i M ik

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Penyelesaian Matriks –

1. Eliminasi Gauss Merupakan salah satu metode penyelesaian matriks (lihat slide 4).

Prinsip dasar: membentuk matriks segitiga atas

Langkah-langkah:

1. Komponen a11 TIDAK BOLEH nol; Jika a11 = 0, tukar baris 1 dengan baris lain.

2. Baris 1 dibagi dengan a11 sehingga a11 = 1.

3. Buat komponen lain pada kolom 1 yang berada di bawah a11 bernilai 0 dengan cara:

baris 2 - (baris 1 x a21)

baris 2baris 3 - (baris 1 x a31) baris 3 …. dan seterusnya

4. Baris 2 dibagi dengan a22 sehingga a22 = 1

5. Ulangi langkah 3 sehingga kolom 2 selain a22 bernilai 0.

6. Ulangi langkah 2 atau 4 untuk a33 diikuti langkah 3 untuk baris 4, 5… dst

7. Diperoleh matriks segitiga atas atau “upper triangular matrix” sebagai berikut:

8. Lakukan substitusi dan eliminasi dengan cara:

> Eliminasi

maju dari baris 1 ke n> Substitusi mundur dari baris n ke (n-1)

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ...... + a1nxn = c1

a22x2 + a23x3 + ...... + a2nxn = c2

a33x3 + ...... + a3nxn = c3

… = …

annxn = cn

a11 a12 a13 .... a1n c1

0 a22 a23 .... a2n c2

0 0 a33 .… a3n c3

0 0 0 .... ann cn

ATAU

23/08/2015 22

500

210

324

8/17/2019 Bab 1. Matrix


14

48

6

520

1240

201

Matriks – Eliminasi Gauss - 2 Contoh:

Carilah komponen-komponen pada SPL berikut dengan eliminasi Gauss :

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

JAWAB:

8

30

6

321

643

201

(3xbaris 1) + baris 2 baris 2

(1xbaris 1) + baris 3 baris 3

(-2xbaris 2)

+ baris 3

baris 3

14

12

6

520

310

201

38

12

6

1100

310

201

x baris 3111

45,3

12

6

100

310

201

x3 = 3,45

x2 + 3x3 = 12

x2 = 12 – 3(3,45) = 1,65

x1 + 2x3 = 6

x1 = 6 – 2(3,45) = -0,9

Substitusi

Eliminasi

x baris 24

1

23/08/2015 23San&Jen07

8/17/2019 Bab 1. Matrix



2. Eliminasi Gauss Jordan

Merupakan salah satu metode penyelesaian matriks (lihat slide 4).

Prinsip dasar: membentuk matriks identitas, sehingga langkahsubstitusi eliminasi tidak diperlukan lagi.

Langkah-langkah :

1 – 7. Sama seperti pada Metode Gauss Jordan8. Buat komponen lain pada kolom n selain ann bernilai 0

9. Setelah terbentuk matrix identitas, langsung diperoleh nilai x1,x2… dst

nnnnn

n

n

c

c

c

aaa

aaa

aaa

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

nc

c

c

...

1...00

............

0...10

0...01

2

1

23/08/2015 24

8/17/2019 Bab 1. Matrix


8

30

6

321

643

201

Matriks – Eliminasi Gauss Jordan-2 Contoh:

Carilah komponen-komponen SPL berikut dengan eliminasi Gauss Jordan:

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

JAWAB:

(3xbaris 1)+baris 2baris 2

(1xbaris 1)+baris 3baris 3

14

48

6

520

1240

201

(-2xbaris 2)

+ baris 3

baris 3

14

12

6

520

310

201

x baris 241

38

12

6

1100

310

201

x baris 3111

45,3

12

6

100

310

201(-3xbaris 3)+baris 2baris 2

(-2xbaris 3)+baris 1baris 1

45,3

65,1

9,0

100

010

001 Solusi :

x1 = -0,9

x2 = 1,65

x3 = 3,45

23/08/2015 25

P l i M ik

8/17/2019 Bab 1. Matrix



3. Cramer Merupakan salah satu metode penyelesaian matrix (lihat slide 4)

Syarat: determinan 0

Prinsip dasar:

x1 = , x2 = , ............ , xn =

An

diperoleh dengan mengganti kolom ke n matriks A dengan c =

Contoh:

Carilah x1, x2, x3 pada SPL berikut dengan metode Cramer:

x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

JAWAB:

A = A1= A2 = A3 =

)det(

)det( 1

A

A

)det(

)det( 2

A

A

)det(

)det(

A

An

n

2

1

c

c

c

321

643

201

328

6430

206

381

6303

261

821

3043

601

91,044

40

]A[det

]A[detx 1

1

64,144

72

]A[det

]A[det

x

2

2

45,344

38

]A[det

]A[detx 3

3

23/08/2015 26

8/17/2019 Bab 1. Matrix



4. Inversi Merupakan salah satu metode penyelesaian matrix (lihat slide 4)

Syarat: matrix harus invertible

Prinsip dasar:

Mencari A-1 sehingga x dapat diperoleh dari persamaan x = A-1. c

Contoh:

Carilah x1, x2, x3 pada SPL berikut dengan metode Cramer:x1 + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

JAWAB:

1. A-1 dicari dari Metode Adjoint /Metode Gauss Jordan (lihat slide18-21):

A-1 =

09,0045,023,0

27,0115,006,0

18,009,054,0

09,0045,023,0

27,0115,006,0

18,009,054,0

8

30

6

45,3

65,1

9,0

x = A-1 . c

x = =

.

Jadi x1 = -0,9 ; x2 = 1,65 ; x3 = 3,4523/08/2015 27

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Matriks – Aplikasi Teknik Kimia

Pada suatu tanki mixing dicampurkan 5 buah aliran yangmengandung bahan a, b, c, d dan e, sebagai berikut:

Aliran 1 mengandung 10%a, 20%b, 25%c, 25%d, dan e

Aliran 2 mengandung 5%a, 10%b, 2.5% c, dan e Aliran 3 memiliki komposisi a, b, c, d sama dengan aliran1,tanpa e.

Aliran 4 mengandung 5%a, 20%b, 15%c, 15%d, dan e.

Aliran 5 mengandung 25%a, 40%b, 20%c, 5%e, dan d.

Jika produk keluaran yang diinginkan sebanyak 1250 kg/jamdengan komposisi 10%-a, 21.2%-b, 14.1%-c, 11.3%-d dan43.4%-e, tentukan laju aliran 1, 2, 3, 4 dan 5.

23/08/2015 28

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Matriks – Aplikasi Teknik KimiaJAWAB:

Misal: laju alir masukan1 = F1 = F3 = 100 kg/jam; F2 = F4 = 400 kg/jam;laju alir keluaran = F6 = 1250 kg/jam

NMT: F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = F6 F5 = 250 kg/jam

NMK:

Komponen a: 10%.F1+5%.F2+(10% / 80%).F3+5%.F4+25%.F5 = a6.F6

Komponen b: 20%.F1+10%.F2+(20% / 80%).F3+20%.F4+40%.F5=b6.F6

Komponen c: 25%.F1+2.5%.F2+(25% / 80%).F3+15%.F4+20%.F5=c6.F6

Komponen d:

25%.F1+0%.F2+(25% / 80%).F3+15%.F4+(100-25-40-20-5)%.F5=d6.F6

Komponen e:(100-10-20-25-25)%.F1+(100-5-10-2.5)%.F2+0%.F3+(100-5-20-15-15)%.F4+5%.F5= e6.F6

%5%45%0%5.82%20

%10%15%25.31%0%25

%20%15%25.31%5.2%25

%40%20%25%10%20

%25%5%5.12%5%10

5

4

3

2

1

F

F

F

F

F

1250x%3.43

1250x%3.11

1250x%1.14

1250x%2.21

1250x%10F1, F2, F3, F4, F5 diperoleh dari

metode Gauss/Gauss-Jordan:

F1 = F3 = 100

F2 = F4 = 400

F5 = 25023/08/2015 29

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Soal-Soal Latihan

1. Carilah nilai x3 dari system persamaan linear berikut:-x1 – 4x2 + 2x3 +x4 = -322x1 – x2 + 7x3 +9x4 = 14-x1 + x2 + 3x3 +x4 = 11x1 -2x2 + x3 - 4x4 = -4

2. Carilah nilai a, b, c, d dan e dari system persamaan linear berikut dengan eliminasiGauss:

10b - 4c + d = 1a + 4b – c + d = 23a + 2b + c + 2d = 5-2a - 8b + 2c - 2d = -4a - 6b + 3c = 1

3. Carilah eigenvalue dan eigenvector dari system persamaan linear berikut:x2 + x3 = λ x1x1 - x3 = λ x2x1 +5 x2 + 3x3 = λ x3

23/08/2015 30

8/17/2019 Bab 1. Matrix


4. Umpan menara distilasi mengandung 4 komponen A, B, C dan D dengan jumlah 10000 kg/j. Komponen D ingin dimurnikan dari A, B dan C. Distilasi

dilakukan secara bertingkat seperti pada bagan di bawah ini. Tercantumkomposisi massa komponen baik di bagian distilat(bagian atas MD) &bottom(bagian bawah MD). Hitunglah laju alir top product dan bottomproduct masing-masing MD

E-1

E-2

E-3

P-3

P-4

P-5

P-6

P-7

P-8E-4

23/08/2015 31

A = 0.3

B = 0.2

C = 0.1

D = 0.4

A = 0.5

B = 0.2C = 0.2

D=0.1 A = 0.8

B = 0.1

C = 0.1

A = 0.45

B = 0.15

C = 0.4

A = 0.15

B = 0.05

D = 0.8

8/17/2019 Bab 1. Matrix


Seorang Barista sedang mencoba-coba membuat ramuan kopi yang nikmat. Dia inginmemformulasikan antara larutan kopi, gula dan susu yang dibuat oleh para pembantunya. Ada 3 orang pembantu, masing-masing dengan 3 teko berisi 3 larutan yang berbeda (susu,kopi dan gula) dengan kapasitas 1L, 2L dan 1 L berturut-turut untuk susu, kopi dan gula.Semua teko berisi full.

Pembantu A memiliki 5 gr/L larutan susu, 30 gr/L larutan kopi dan 5 gr/L larutan gula

Pembantu B memiliki 20 gr/L larutan susu, 50 gr/L larutan kopi dan 10 gr/L larutan gula

Pembantu C memiliki 10 gr/L larutan susu, 40 gr/L larutan kopi dan 8 gr/L larutan gula

Dengan menambahkan susu, kopi dan gula dengan volume yang sama untuk memperolehsecangkir kopi (200 mL), Barista mendapatkan kopi dengan citarasa yang berbeda:

Pembantu 1 memiliki kopi ringan dengan densitas 17.5 gr/L. Pembantu 2 memiliki kopi kental dengan densitas 31 gr/L

Pembantu 3 memiliki kopi sedang dengan densitas 24.2 gr/L.

Berapa volume kopi, susu dan gula yg ditambahkan oleh masing-masing pembantu?

/ 8/

bab 1. matrix

Documents