bab 3 turunan.pdf

BAB 3 : TURUNANETIS SUNANDI, M.Si

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Softwarehttp://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

TOKOH KALKULUS

Sir Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz


Pendahuluan( Dua Masalah dengan Satu Tema)

h

xfhxfmPQ

)()(

a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQ adalah :

x

f(x)P

X+h

f(x+h)Q

h

f(x+h)-f(x)

Jika x+h x , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

h

f(x)h)f(xm

h

0lim


b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehinggaposisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c bendaberada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan posisi

s

f(c)

f(c+h)

h

cfhcfv ratarata

)()(

•Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah



Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Untuk kecepatan sesaat di sembarang tempat dapat dituliskan sebagaiberikut:

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaatterlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaituturunan :

Definisi :Turunan pertama fungsi f(x) dinotasikan dengan lambang f’(x)dan didefinisikan sebagai berikut :

h

cfhcfvv

hratarata

h

)()(limlim

00

h

f(x)h)f(xxf

h

0lim)('

h

xfhxfvv

hratarata

h

)()(limlim

00



Notasi dari turunan fungsi f(x) :

)(

)),((

),('

,)(

Leibnitzasidisebutnotdx

dybentuk

dx

dydan

xfD

xf

dx

xdf

x

Teorema A . Keterdiferensialan mengimplikasikan kekontiuan

Jika f’(c) ada maka f kontinu di c.


Dengan menggunakan definisi turunan dapat diturunkan aturan sebagai berikut : misal k adalah suatu konstanta, f(x) dan g(x) adalah fungsi maka untuk setiap x berlaku :

1. Jika f(x) = k maka f’(x)=0

2. Jika f(x) = x maka f’(x)=1

3. Jika

4.

5.

6.

(x)g(x)f

dx

g(x)f(x)d ''

)()()()(

)()( '' xgxfxgxfdx

xgxfd

)(

)()()()(2

'')(

)(

xg

xgxfxgxf

dx

d xgxf

1)(')( nn nkxxfkxxf


Bukti aturan 3 :

h

kxhxk

h

xfhxfxf

nn

hh

))(lim

)()(lim)('

00

h

xhhhnxxk nnnn

h

...(...)lim

21

0

111

0

)...(...)(lim

n

nn

hnx

h

hhnxhk

Tentukan fungsi turunan pertama dari

)12()1()( 3 xxxxf

1

1)(

x

xxf

1)(

2 x

xxf

1

1)(

2

2

x

xxf

1)( 3 22/1 xxxf1.

2.

3.

4.

5.


Teorema A. fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x. Keduannyaterdiferensialkan.

f’(x) = cos x dan g’(x) = -sin x

Contoh : carilah turunan f(x) = 3 sin x -2 cos xJawab :

f’(x) = 3 Dx(sin x) – 2 Dx(cos x)= 3 cos x + 2 sin x

Teorema B. dx

d

dx

xd xx

cossintan

x

xx2

22

cos

sincos

x2cos

1 x2sec

dx

d

dx

xd xx

sincoscot

x

xx2

22

sin

cossin

x2sin

1 x2csc


x

x2sin

cos

dx

d

dx

xd xcos1sec

x

x2cos

sin

xx

x

cos

1

cos

sin xx sectan

dx

d

dx

xd xsin1csc

xx

x

sin

1

sin

cos xx cotcsc

a. f(x) = sin 3x + cos 2x

b. f(x) = x2 sin 2x

c. f(x) = sin2 x

d. f(x) = 3 cos2 x

e. f(x) = tan x

f. f(x) = tan2 x

g. f(x) = ½ tan x sin 2x


Teorema A. ( Anturan Rantai)

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f

terdiferensialkam di u=g(x), maka fungsi komposit f ๐ g, didefinisikan

oleh (f ๐ g)(x) = f(g(x)) terdiferensialkan di x dan

(f ๐ g)’(x) = f’(g(x)) g’(x)

dx

dy)1sin( 2 xy

12 xu

xdx

du2

uy sin

udu

dycos

)1cos(2 2 xxxxdx

dy2)1cos( 2

Karena

Contoh 1: Tentukan dari

Jawab :

Misal : sehingga bentuk diatas menjadi

dan

maka


Contoh 2 : Tentukan turunan dari : y = (3x2+4)4

Jawab :

Misal u=(3x2+4) maka

Dan y= u4 maka

xdx

du6

34udu

dy

sehingga :

dx

du

du

dy

dx

dy. = 6x.4u3

= 6x.4(3x2+4)3

= 24x.(3x2+4)3

adalah y’= 24x.(3x2+4)3Turunan dari y = (3x2+4)4


dx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dandx

dv

dv

du

du

dy,, Ada, maka

dx

dy

Contoh 3: Tentukan )5( 34 xSinydari

53 xv23 x

dx

dv

Jawab :

Misal u = Sin v )5cos(cos 3 xv

dv

du

4uy )5(44 333 xSinudu

dy

sehingga

)5()5(12.. 3332 xCosxSinxdx

dv

dv

du

du

dy

dx

dy


y x 2 3 10

y x sin3

xxy 24 4cos

2

1

1

x

xy

A. Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2 + 1 ]

yx x

x x

2

2

2 5

2 31.

2.

3.

4.

5.

6.

y x sin 2 1

y x 2 3 4

yx

x

1

y x cos2

B.Tentukan turunan kedua dari

1.

2.

3.

4.


Untuk menentukan persamaan garis singgung pada kurva.

Telah disinggung didepan bahwa gradien garis singgung pada suatu

Kurva f(x) adalah turunan pertama dari fungsi terebut :

m = f’(x) =dx

dy

3

1

Tentukan nilai gradien garis singgung pada kurva :

a. y = x2 -3x +4 di titik A. ( 2,2 )

b. y = sin x untuk x =

Contoh Soal:

Jawab :

a. y = x2 -3x +4 gradien m = y’ = 2x – 3 , di titik ( 2,2 ) m = y’ = 2.2 – 3 = 1

b. y = sin x gradien m = y’ = cos x , untuk x = m = cos = ½3

1 3

1


Pemakaian Gradien untuk menentukan persamaan garis singgung

Terhadap suatu kurva di titik tertentu .

Misalkan titik P(x1,y1) terletak pada kurfa f(x), maka persamaan

Garis singgung yang melalui titik P pada kurva f(x) dituliskan sbb:

y – y1 = f’(x) ( x – x1)

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x3 – 2x + 3

Dititik P(2,7).

Jawab :

Gradien garis singgung = m = f’(x) = 3x2 – 2 di titik ( 2,7) maka

m = f’(2) = 10Persamaan garis singgungnya ,Y – y1 = f’(x)(x-x1) yaitu y – 7 = 10 ( x – 2 )

y – 7 = 10 x – 20y = 20 x - 13


Jika l1 garis yang memiliki gradien m1; dan l2 garis yang memiliki

Gradien m2, maka hubungan antara m1 dan m2 terhadap kedudukan

Garis l1 dan l2 adalah sebagai berikut :

Jika l1 sejajar l2 maka nilai m1 = m2 dan

Jika l1 tegak lurus l2 maka nilai m1.m2 = -1

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 3x + 2

Yang sejajar terhadap garis y= 3x + 4

Jawab :

Gradien garis singgung = m1= f’(x) = 2x – 3 sejajar garis y = 3x + 4m1 = m2 = 3 maka m2= 2x – 3 = 3 ; x = 3

untuk x = 3 nilai y = 32 – 3.3 + 2 = 2 maka titik singgungnya di ( 3,2)Persamaan garis singgung yang ditanyakan adalah :Y – 2 = 3 ( x – 3 )Y = 3x – 11


Selain digunakan untuk menentukan gradien garissinggung, turunan Juga digunakan untuk menentukankelajuan. Jika suau variabel x ada lah fungsi dari waktu lajuperubahan x terhadap waktu dinyatakan Dalam dx/dt.

Contoh soal :

Mobil meluncur dengan membentuk fungsi S = 50 – 3t – 2t2, tentukan Kecepatan mobil saat t=3.

Jawab.

Kecepatan = v = dS/dt = -3 – 4t saat t = 3

Maka v = -3 -4.3

= - 15


Contoh soal :

Air mengalir keluar dari corong kerucut dengan kelajuan 5 cm3s-1

Jari-jari dasar corong adalah 10 cm dan tingginya 20 cm. hitungkelajuan air saat ketinggian air turun berjarak 5 cm dari puncak.

Air berjarak 5 cm dari puncakMaka air telah turun sejauhh = 20 – 5 = 15 cm

Maka kelajuan air yang ditanyakan adalah :

.45

4

15.15.

5.4

15

202

dt

dhcm3s-1

10

20r

h

O

A B

C D

Segitiga OAB sebangun dengan segitiga OCDmaka r/10 = h/20 sehingga r = ½ h

hrv 2

3

1 Karena r = ½ h maka

3

12

1hv

Diketahui dv/dt = 5 cm3s-1

dt

dhh

dt

dv 2

4

1

dt

dhh2

4

15

2

20

hdt

dh


1.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x)= x4 + 12x – 5

Di titik ( 1, 11)

2.Tentukan persamaan garis singgung pada kurva f(x) = 2x3 - 23x – 2

Yang sejajar dengan garis y = x - 7

3.Tentukan pesamaan garis singgung pada kurva f(x) = x2 – 6x + 4

Yang tegak lurus dengan garis y= ½ x - 5

4.Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran berpusat di (0,0)

yang berjari jari 5 dan melalui titik P(3,4).

5.Sebuah beban w diikatkan pada tali sepanjang 15m, yang melewati

Katrol di p berjarak 6m di atas tanah,ujung lain diikatkan pada truk

Dengan jarak 0.5 m dari atas tanah, jika truk bergerak dengan kela

Juan 3ms-s, berapa cepat beban naik jika beban berada 2m diatas

Tanah? Perhatikan gambar dibawah ini. 9-x

y6-x

x 0.5


Tugas kelompok ( edisi 8)

• 3.1 : 28, 30

• 3.2 : 20, 26,28

• 3.3 : 42,50,55

• 3.4 : 4, 10

• 3.5 : 6, 24


TingkatTurunan

Notasif’

Notasiy’

NotasiD

NotasiLeibniz

Pertama f’(x) y’ D(x)

Kedua f’’(x) y’’ D2(x)

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ke-n f(n)(x) y(n) Dn(x)

Notasi Leibniz dan lainnya untuk turunan y terhadap x adalah sbb :

2

2

dx

yd

dx

dy

n

n

dx

yd


• Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas

dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda.

• Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

14

2

28

42

4228

02248

tentukan ,024

:

22

2

2

22

xy

yx

xy

yx

dx

dy

yxdx

dyxy

dx

dyxy

dx

dyxy

dx

dyyxxy

contoh


24

Contoh:Tentukan y’ dari bentuk implisit Sin(xy) = x2 + 1

Jawab: Dx (Sinxy) = Dx(x2 + 1)

Cos(xy) Dx(xy) = 2x

Cos(xy) (y + x y’ ) = 2x

Maka )(

)(2'

xyxCos

xyyCosxy


• Fungsi transenden


• Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Sebagai ilustrasiakan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut.


0,1

ln1

xdtt

xx

xx e logln

Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :


Dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus kita peroleh bahwa

0,1

ln1

1

xx

xdx

ddttdx

dx

xudx

d

xuxu

dx

d 1ln

Secara umum, dengan menggunakan Dalil Rantai kita peroleh bahwa:

• Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana eadalah 2.718281828459... (dan seterusnya).

• Logaritma natural terdefinisikan untuk semua bilangan real positif xdan dapat juga didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bukan0.


Carilah turunan pertamauntuk fungsi Hiperboliklainnya !


bab 3 turunan.pdf

Documents