bab6md_

1Departemen Matematika IPB

6.1 FUNGSI

Fungsi muncul bilamana suatu besaran bergantung pada besaran lain.

Contoh:1. Populasi manusia P bergantung pada waktu t 2. Biaya pengiriman surat B bergantung pada berat w. 3. Luas lingkaran L bergantung pada panjang jari-jari r

Definisi: [Fungsi]Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f adalah suatu aturan yang memadankan setiap elemen x A dengan tepat satu elemen y = f(x) B.

BA

y = f(x) x

Notasi: f : A →B

Catatan: 1. Dalam kalkulus biasanya A, B 2. Aturan pemadanan fungsi: y = f(x) x peubah bebas

y peubah tak bebas, bergantung pada x

f

BAB 6. FUNGSI DAN MODEL


3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}

4. Daerah hasil fungsi:Wf = {y B | y = f(x), x Df }

5. Grafik fungsi:{(x,y) | x Df , y = f(x)) }

x

yy = f(x)

Df

Wf

x

y

Contoh: Sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya.

a. y = 2x + 1 b. y = x2 - 1

Uji garis tegakKurva di bidang-xy merupakan grafik suatu fungsi jika dan hanya jika tidak terdapat garis tegak yang memotong kurva lebih dari sekali.

x

y

x

yfungsi bukan fungsi


Contoh: Sketsa grafik pesamaan berikut.2 a. b. c. 2 1 2 1y x x y y x

Menggunakan uji garis tegak periksa apakah grafik tersebut merupakan grafik suatu fungsi

Contoh:

1. Secara verbal Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w). Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut. Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.

2. Secara numerik Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Penyajian fungsi

Secara verbal : dengan uraian kata-kata. Secara numerik : dengan tabel Secara visual :dengan grafik Secara aljabar :dengan aturan/rumusan eksplisit

Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)

0 < w 1 1.000

1< w 2 1.250

2 < w 3 1.500

3 < w 4 1.750

4 < w 5 2.000


3. Secara visual Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.

0 1 2 3 4 5

1.000

1.500

2.000

w

B

Ons

Rupiah

4. Secara aljabar Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut.

1.000, jika 0 1

1.250, jika 1 2

( ) 1.500, jika 2 3

1.750, jika 3 4

2.000, jika 4 5

w

w

B w w

w

w

Latihan: berikan contoh fungsi yang disajikan secara: a. verbal b. numerik c. visual d. aljabar


6.2 JENIS-JENIS FUNGSI

1. Fungsi linear Aturan fungsi: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta

a = kemiringan garis b = perpotongan garis dengan sumbu-y

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf =

Grafik:y

x

b

y = ax + b

2. Polinom

Aturan fungsi:

y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0

an, …, a1, a0 konstanta, (an 0), n = derajat polinom

Daerah asal: Df = Grafik:

Polinom derajat 2: y = P(x) = ax2 + bx + c, D = b2 - 4ac

x

y

c

a < 0, D > 0 a < 0, D = 0 a < 0, D < 0

y = P(x)y

cy = P(x)

y

cy = P(x)

x x


3. Fungsi pangkat

Aturan fungsi: y = f(x) = xn , n

Daerah asal: Df =

Grafik:

x

y

c

a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0

y = P(x)y

cy = P(x)

y

c

y = P(x)

x x

yy = x

yy = x2

0 0xx

yy = x3

0x

4. Fungsi akar

Aturan fungsi: ( ) , 2,3,4,...ny f x x n

Daerah asal dan daerah hasil: Df = [0,), Wf = [0,), jika n genap Df = , Wf = , jika n ganjil

Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.

a. y = x2 + 2x - 1 b. y = -2x2 + 2x - 4


5. Fungsi kebalikan

Aturan fungsi:

Daerah asal dan daerah hasil: Df = - {0}, Wf = - {0}

Grafik: 1y

x

1, 0y x

x

y

0x

6. Fungsi rasional

Aturan fungsi:

P dan Q adalah fungsi polinom

Daerah asal: Df = - { x | Q(x) = 0 }

( )

( )

P xy

Q x

y

0x

y

0x

2y x 3y x

Grafik:

Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut

2 1 a. b 2 2. y x y x x


Contoh: Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut

2

1 2 a. b.

1 1

x xy y

x x

7. Fungsi aljabar

Definisi: [Fungsi aljabar] Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Contoh:3

2a. b.

1 2 ( ) ( ) ( 2) 1

1 1

x xf x f x x x

x x

Catatan: Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

8. Fungsi trigonometri

8.1 Fungsi sinus Aturan fungsi: y = f(x) = sin x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]


Grafik:

0 2 --2

-1

1

x

y

y = sin x

8.2 Fungsi cosinus

Aturan fungsi: y = f(x) = cos x, x dalam radian

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]

Grafik:

0 2 --2

-1

1

y

y = cos x

x

8.3 Fungsi tangen

Aturan fungsi:

Daerah asal dan daerah hasil: Df = - {/2 + n | n } Wf =

sin( ) tan , dalam radian

cos

xy f x x x

x


Grafik:

0-2 --1

1

x

y

y = tan x

2

8.4 Fungsi trigonometri lainnya

Aturan fungsi: 1

( ) sec , dalam radiancos

1( ) cosec , dalam radian

sin1

(

a.

b.

c. ) cot , dalam radianta

n

y f x x xx

y f x x xx

y f x x xx

8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1 sin x 1 b. -1 cos x 1

c. sin x = sin (x + 2) d. cos x = cos (x + 2) e. tan x = tan (x + )


Grafik:

x

y

0 1

1

y = ax , a > 1

x

y

0 1

1 y = ax , 0 < a < 1

10. Fungsi logaritma

Aturan fungsi: y = f(x) = loga x, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0,) , Wf = Grafik:

y

0 1

1

y = loga x, a > 1

x

9. Fungsi eksponensial

Aturan fungsi: y = f(x) = ax, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = (0,)

y

0 1

1y = loga x, 0 < a < 1

x


Contoh: Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

11. Fungsi transenden Definisi: [Fungsi transenden]

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsialjabar.

Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

4

10 102

2

10

( ) 1 ( ) 10

log6 ( )

1. 4.

( )6 2

( ) log

2. 5.

3. 6 ). (2

xf x x f x

xxf x f x x

x x x

xf x x f x x

x

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)

Definisi: [Fungsi yang terdefinisi secara sepotong- sepotong] Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

Contoh: 0

( ) | | 0

1.

x xf x x

x x

y

0 1

1

y = |x|

x


0 1

( ) 2 1 2

0

2.

2

x x

f x x x

x

y

0 1

y = f(x)

x2

3. Definisikan untuk setiap bilangan real x: x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

f(x) = x =

0 0 1

1 1 2

2 2 3

3 3 4

x

x

x

x

0 1 2 3

1

2

3

x

y

4

y = f(x)

Catatan: 1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak 2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: [Fungsi genap] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.

x

y

f(x)

-xx

y = f(x)


Definisi: [Fungsi ganjil] Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

x

y

f(x)

-xx

y = f(x)

-f(x)

Catatan: Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

Contoh: Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.

a. f(x) = 1 - x4 b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x2 + cos x d. f(x) = 2x - x2

14. Fungsi naik dan fungsi turun Definisi:

1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.


x1

y

f(x1)

x

y = f(x)

x2

f(x2)

Fungsi f naik

x1

y

f(x2)

x

y = f(x)

x2

f(x1)

Fungsi f turun

Contoh: Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I.

a. f(x) = x2 I = [0,) b. f(x) = sin x I = [,2]

6.3 FUNGSI BARU DARI FUNGSI LAMA

Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:

1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian & pembagian3. Komposisi fungsi

Transformasi fungsi

Pergeseran (translasi) Misalkan c > 0. Untuk memperoleh grafik:

1. y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas


2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan 4. y = f(x + c) , geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

y = f(x)

c

y

x

c

c

cy = f(x-c)y = f(x+c)

y = f(x) - c

y = f(x) + c

Peregangan (dilatasi) Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:

1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c. 3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c. 4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c.


0 2

-1

1

y

y = cos x

2

-2

y = 2 cos x

y = ½ cos x

x 0 2

-1

1

y

y = cos x

2

-2

x

y = cos ½ x

y = cos 2x

Pencerminan Untuk memperoleh grafik:

1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) thd sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) thd sumbu-y y

x

y = f(x)

y = -f(x)

x

y = f(x)y = f(-x)

y

x-xx

f(x)f(x)

-f(x)

Contoh: Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi.

1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x2+2x+1 3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x


Operasi aljabar fungsi Definisi: [Aljabar fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Df+g = Df Dg.

2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Df-g = Df Dg.

3. (fg)(x) = f(x) g(x) Dfg = Df Dg.

4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) Df/g = {Df Dg.} – {x | g(x)= 0}

Contoh: Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika

2 ( ) ( )

( ) 1

1.

2 ). ( 1

f x x g x x

f x x g x x

Komposisi fungsi

Definisi: [Komposisi fungsi] Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan Dg. Fungsi komposisi f g didefinisikan sebagai berikut:

(f g)(x) = f(g(x)) di mana Df g = {x Dg | g(x) Df }

Df g f WfWgDg

x

g(a)

f(g(x))

a

g(x)

f g


Contoh: Tentukan f g, g f dan f f beserta daerah asalnya, jika

21.

2.

( ) ( )

1 ( ) ( ) 1

f x x g x x

f x g x xx

6.4 MODEL MATEMATIKA

Model matematika: adalah uraian secara matematika (sering kali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata.

Tujuan: memahami suatu fenomena dan mungkin membuat prakiraan tentang perilakunya di masa depan.

Proses pemodelan:

Permasalahan dunia nyata

Rumuskan

Pecahkan

Tafsirkan

Uji

Model matematika

Kesimpulan matematika

Prakiraan dunia nyata


Contoh:

Rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfer, diukur dalam ppm (parts per million) di Mauna Loa Observatori dari 1972 s/d 1990 ditunjukkan oleh tabel berikut.

Tahun Tingkat CO2 (ppm)

1972 327,3

1974 330,0

1976 332,0

1978 335,3

1980 338,5

1982 341,0

1984 344,3

1986 347,0

1988 351,3

1990 354,0

t

C

1975 1980 1985 1990

330

340

350

Grafik rata-rata tingkat CO2

C = 1,496667 t – 2624,826667

Perkiraan tingkat CO2 pada tahun 2005:

C(2005) = (1,496667)(2005) – 2624,826667 375,99 ppm

Data hampir menyerupai garis lurus model linear

Metode kuadrat terkecil persamaan garis

bab6md_

Documents