baccv004chap8flexionsimple rect elu

CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS

CHAIRE DE TRAVAUX PUBLICS & BATIMENT

COURS CCV004

ELEMENTS DE BETON ARME

___________

COURS THEORIQUE ET EXERCICES DE COURS Flexion simple sections rectangulaires l'ELU

Responsable de lenseignement : F. GUILLEMARD novembre 2006

CNAM CCV004 Elments de Bton arm 2

Sommaire

8. CALCUL DUNE SECTION RECTANGULAIRE A LA FLEXION SIMPLE A LELU ............... 3 8.1. SECTION DE POUTRE SOUMISE A UN MOMENT DE FLEXION........................................................... 3 8.2. PRINCIPE DES PIVOTS A LELU .................................................................................................. 6

8.2.1. Domaine 1, pivot A ............................................................................................................ 7 8.2.2. Domaine 2, pivot B ............................................................................................................ 8 8.2.3. Domaine 3, pivot C .......................................................................................................... 10

8.3. PRINCIPES GENERAUX DE CALCUL .......................................................................................... 11 8.4. EQUATIONS DEQUILIBRE ET DIMENSIONNEMENT A LELU.......................................................... 12

8.4.1. Les paramtres et les inconnues..................................................................................... 12 8.4.2. Les quations dquilibres ............................................................................................... 12 8.4.3. Dimensionnement des aciers tendus .............................................................................. 13 8.4.4. Valeurs particulires ........................................................................................................ 14

8.5. DEFINITION ET EXPRESSION DU MOMENT LIMITE ULTIME REDUIT ................................................ 14 8.5.1. Introduction ...................................................................................................................... 14 8.5.2. Dimensionnement lELS par compression du bton .................................................... 14 8.5.3. Dfinition du moment rduit ultime rduit ........................................................................ 15

8.6. TECHNIQUE DE CALCUL DANS LA CAS OU IL NY A PAS DACIER COMPRIME .................................. 17 8.6.1. Le calcul tape par tape ................................................................................................ 17 8.6.2. Exercice de cours: Section rectangulaire sans acier comprim...................................... 18

8.7. TECHNIQUE DE CALCUL DANS LA CAS OU IL Y A DES ACIERS COMPRIMES .................................... 22 8.7.1. dimensionnement de Au et Au ......................................................................................... 22 8.7.2. Exercice de cours : Section rectangulaire avec aciers comprims ................................. 26


8. Calcul dune section rectangulaire la flexion simple lELU

8.1. Section de poutre soumise un moment de flexion Une poutre est sollicite en flexion simple si l'ensemble des actions perpendiculaires sont perpendiculaires son axe neutre.

Ces actions sont gnralement : Des charges permanentes G. Des charges dexploitation Q .

Et les combinaisons dimensionnantes sont drives de lexpression : 1,35 G + 1,50 Q

Sous laction de ces charges la poutre se dforme et flchie. Ainsi pour une poutre sur deux appuis, la dformation engendre une zone comprime au dessus de la fibre neutre de la section et une zone tendue en dessous :


Si on considre une section homogne (ce qui n'est pas le cas d'une section en bton arm), le diagramme des sollicitations ou des contraintes est symtrique. On a ainsi une zone comprime et une zone tendue de part et d'autre de l'axe neutre.

En bton arm, on nglige la rsistance la traction du bton, et ce pour viter une fissuration trop importante de la section. Cependant, pour pouvoir quilibrer la section, il est impratif d'avoir une zone tendue. Pour cela, on remplace la section de bton par une section dacier tendue.

On a ainsi une section htrogne constitue d'une zone comprime de bton et d'une zone tendue d'aciers. Dans ce cas, l'axe neutre de la section ne correspond pas forcment avec l'axe gomtrique, on a donc plusieurs tats d'quilibre possibles, fonction des sollicitations.

Ces diffrents diagrammes de dformations qui traduisent ces quilibres peuvent tre dcrit en utilisant la rgle des pivots, qui dfinissent les comportements de la section en bton arm tenant compte des caractristiques des matriaux.

On rappelle que pour lacier, on a la loi de comportement suivante :

Et pour le bton :

Cest dire que en fonction de la dformation du bton, la contrainte de compression suit une loi parabole rectangle.


Pour la flexion, on pourra substituer la diagramme parabole rectangle par un diagramme rectangle simplifi.

La figure suivante rsume le lien entre la dformation dune section droite dans le cas dune flexion avec zone comprime et les diagrammes parabole rectangle et rectangle simplifie :


8.2. Principe des pivots lELU

Quelque soit les sollicitations agissantes sur une section droite : Traction simple, Flexion simple, Compression simple, Flexion compose avec traction, Flexion compose avec compression,

Ltat limite ultime dune section peut tre atteint de deux faons : Par coulement plastique des aciers qui correspond un allongement des aciers de

10. Par crasement du bton, ce qui correspond un raccourcissement du bton de 3,5.

Le diagramme des trois pivots est donc articul autour de ces deux limites avec trois possibilits : Le pivot A qui correspond un allongement maxi des aciers tendus. Le pivot B qui correspond un raccourcissement maxi du bton comprim. Le pivot C qui correspond une section entirement comprime.

Ces trois possibilits se traduisent par le diagramme suivant :

Pour un calcul en flexion simple, on aura une section que sera en pivot A ou en pivot B, la section ne pouvant pas tre entirement comprime.

On note yu la distance de laxe neutre la fibre suprieure de la section ; la valeur de yu dtermine celui des domaines dans lequel est situ le diagramme limite.


8.2.1. Domaine 1, pivot A Les droites de dformation passent par le pivot A qui correspond un allongement de larmature de

==== 10S

Lallongement du bton est tel que : 5,30 b .

Dans ce cas, la section peut tre sollicite en : Traction simple. Flexion simple. Flexion compose avec traction.

Dans le cas de la traction simple, lallongement des armatures est gal

==== 10S et yu

est infini. Dans le cas de la flexion compose avec traction : lallongement de larmature la plus

tendue est

==== 10S et celui de larmature la moins tendue

10S .Laxe yu se trouve lextrieur de la section.

En ce qui concerne la flexion simple ou la flexion compose , la valeur de yu est donne par les formules suivantes issues des triangles semblables : BC

yu

d .y d

y

BCS

BCu

BCS

BCu++++

====

++++

====

d

==== 10S

On peut remarquer sur ce diagramme que lquilibre de la section avec un tat limite atteint simultanment sur le bton et sur les aciers correspond une position de laxe neutre y=0,259d. Il s'agit d'une solution conomique car les matriaux travaillent tout deux au maximum de leurs capacits.


On peut galement noter quil y a des positions de laxe neutre viter : b 2 .

En effet, dans ce cas, le bton a un raccourcissement infrieur 2 , ce qui veut dire que le bton travaille mal et que la section est surdimensionne en bton.

Pour dterminer la position de laxe neutre (donc le coefficient ) qui correspond cette limite, on utilise le thorme de Thals :

167,0)102(2

=

+=

En considrant : dyu .=

8.2.2. Domaine 2, pivot B Le pivot B se traduit par le schma suivant :

Les droites de dformation passent par le pivot B qui correspond un raccourcissement ultime du bton de

==== 53,BC

La limite du pivot A et B se situe pour une valeur de moment frontire MAB


Il sagit du moment valu par rapport au centre de gravit de larmature infrieure et correspondant la position AB du diagramme des dformations. A partir du moment de flexion l'ELU, not Mu, on peut voir si lon est en rgion I, pivot A ou en rgion II pivot B :

Si Mu< MAB le pivot est le point A Si Mu> MAB le pivot est le point B

Le moment MAB correspond au travail maximum des aciers la traction soit

==== 10S et au

travail maximum du bton la compression soit

==== 53,BC .

En appliquant les triangles semblables on trouve :

25901053

53,

,

,

dy

.dy

SBC

BCu

u

====

++++====

++++

========

====

soit d.,y u 2590==== , limite entre la rgion I et la rgion II

Ainsi pour une sollicitation de flexion simple et de flexion compose dans le domaine 2 laxe neutre est situe entre : hyd., u 2590

Une position particulire de ce pivot B est la suivante :

Dans le cas ou lallongement des aciers est infrieur se, ces derniers ne travaillent pas suffisamment et il faudra mettre en place de trs grandes sections. La valeur de se est une proprit de lacier et dpend de la nuance utilise. A titre indicatif, on peut retenir :

Acier Fe500 => se = 2,174 Acier Fe400 => se = 1,739


En conclusion, les diffrents cas de figure ci-dessus se rsument par :

Le meilleur dimensionnement dune section Bton Arm correspond donc une valeur de tel que itelim167,0 :

Pour proche de limite, on aura une petite section de bton avec beaucoup darmatures.

Pour proche de 0,167, on aura une grande section de bton avec trs peu darmatures.

Lorsque lon prdimensionne une section de bton, il est impratif davoir ces donnes en tte, car en effet, en se fixant la valeur de on peut en dduire facilement les valeurs de b et d correspondantes. (voir formules ci aprs).

Il est important de noter que =0,259 correspond une valeur de =0,187. On peut galement prdimensionner une poutre de faon avoir cette valeur pour le moment rduit. Cette notion de moment rduit sera dtaille un peu plus loin dans ce cour.

8.2.3. Domaine 3, pivot C

Les droites de dformation passent par le pivot C qui correspond un raccourcissement du bton de

==== 2BC .

Dans ce cas, la section ne peut tre sollicite qu'en flexion compose ou en compression simple. La position de laxe neutre est en dehors de la section : hy u

Dans ce chapitre ddi la flexion simple nous nous intresserons donc au pivot A et B correspondant aux domaines 1 et 2.


8.3. Principes gnraux de calcul

En flexion simple, le dimensionnement peut dcouler : Soit dun calcul ltat limite ultime (ELU). Soit dun calcul aux tats limites de service (ELS).

A lELU Le moment agissant ultime est de la forme ==== iiu M.M Le diagramme des dformations passe, soit par le pivot A soit par le pivot B, lexclusion

du pivot C (compression flexion) Les diagrammes dformations contraintes du bton et de lacier sont ceux donns dans

le chapitre 3 du cours.

A lELS Le moment agissant de service est de la forme ==== iis M.M Les diagrammes dformations contraintes sont linaires :

SSs .E ==== avec Es= 2.105 MPa

bbb .E ==== ou, puisque conventionnellement 15========b

S

EE

n

bS

b .E

====15

Le coefficient "n" est appel coefficient d'quivalence et permet de se ramener une section homogne quivalente.

On distingue :

Un tat limite de compression du bton dans lequel la contrainte du bton est limite cjf..600

Des tats limites douverture des fissures dans lesquels la contrainte de traction de lacier tendu est limite, pour les cas de fissuration prjudiciable ou trs prjudiciable, aux valeurs indiques dans le cours 3 (3.3.2)


8.4. Equations dquilibre et dimensionnement lELU

8.4.1. Les paramtres et les inconnues

On connat : Les dimensions b, d Fe, fc28 Mu

On recherche Au des armatures tendues

8.4.2. Les quations dquilibres

Pour crire lquilibre de la section, il faut mettre en quation deux hypothses : 1. Lquilibre des forces : la somme des forces doit tre gale 0. 2. Lquilibre des moments : la somme des moments doit tre gale 0.

ATTENTION, pour crire lquilibre dune section, on considre un moment positif celui qui tend la fibre infrieure de la section (convention Bton Arm)

Les quations dquilibre sont les suivantes :

1- Equilibre des forces : ==== 0F

Pour calculer l quilibre des forces, on part des contraintes s et Fbu (respectivement sur les aciers et le bton) et on dtermine les forces qui en rsultent :

La force exerce sur une section Au darmatures vaut Fs=Au * s La force exerce sur le bton vaut Fbc= Fbu * 0,8yu * b0= 0,8*u*b0*d*Fbu

Connaissant lexpression des forces, on crit maintenant lquilibre :

bcs FF = => buusu FdbA = 08,0 (1)


2- Equilibre des moments : ==== 0M

On a 1 moment externe Mu et les 2 forces internes engendres par la section du bton comprim et la section de lacier tendue.

Pour calculer lquilibre des moments, on part des forces dcrites ci-dessous et on calcul les moments rsultants par rapport Au, ce qui nous permet de supprimer cette inconnue.

Ainsi, les moments rsultants en ce point sont : Le moment Mu appliqu la section. Le moment du la force sur le bton multiplie par le bras de levier appel zb et qui vaut

: )4,01(4,0 == dydz ub

A partir de ces moments, on peut crire lquilibre :

bbc zFMu =

en remplaant les termes Fbc et zb par leurs expressions respectives, on obtient :

)4,01(8,0 ubuu FbdMu = (2)

8.4.3. Dimensionnement des aciers tendus

Avec les quations (1) et (2), on obtient donc un systme deux quations et deux inconnues : Au et u.

C'est dire, qu'il nous faut dterminer la position de l'axe neutre et les armatures tendues qui induisent cette position.

A partir de lquation (2), on pose bu

b FbdMu

= et on obtient lquation )4,01(8,0 uub =

La grandeur b est appele "moment rduit" de la section.

En dveloppant cette quation, on obtient un polynme du second degr en :

08,032,0 2 =+ buu , ce qui nous donne comme solution : [ ])21(125,1 bu = (3)

Tout ce cheminement nous a permis de dterminer la valeur de et donc la position de laxe neutre.

Lquation (1) permet de dterminer lexpression de la section dacier :

buusu f.d.b..,.A ==== 80 => S

buuu

f.d.b..,A

====

80

ou en appelant ).,.(dZ uB ==== 4001


On trouve : SB

uu

.ZM

A

==== (4) avec

s

s

Fe

=

BZ correspond au bras de levier de la rsultante du bton comprim par rapport aux aciers tendus.

Cet quilibre est valable tant que le moment rduit b est infrieur une limite note lu (voir le cours ci aprs) . Au-del de cette limite, il faut mettre en place des aciers comprims et lquilibre de la section ainsi obtenu nest plus le mme.

8.4.4. Valeurs particulires

Nous avons vu que la limite entre les pivots A et B correspond au travail maximum des aciers la traction soit

==== 10S et au travail maximum du bton la compression soit ==== 53,B :

soit d.,y 2590==== soit galement 186025904001259080 ,),*,.(,*,AB ========

8.5. Dfinition et expression du moment limite ultime rduit

8.5.1. Introduction Dans le cas de la fissuration peu nuisible, la contrainte de lacier en service nest pas limite. Par contre, la contrainte maximale du bton comprime est limite 2860 cbc f.,====

Le dimensionnement se fera donc :

A lELU en vrifiant qu lE.L.S. la limite de compression du bton ne soit pas atteinte.

8.5.2. Dimensionnement lELS par compression du bton

On sait que la contrainte normale du bton est limite : 2860 cbc f.,====


Les quations dquilibre sont les suivantes :

1- Equilibre des forces : ==== 0F

On a 2 forces internes et aucune force externe normale puisque lon est en flexion. Donc, en utilisant le diagramme triangle :

SSBCBC .A.y.b.F ======== 121

(1)

2- Equilibre des moments : ==== 0M

On a 1 moment externe MS et les 2 forces internes engendres par la section du bton comprim et la section de lacier tendue.

En crivant lquilibre au niveau des aciers tendues, ce qui permet dliminer une inconnue As, on trouve :

bBCS Z.FM ==== (2)

avec BZ bras de levier de la rsultante du bton comprim par rapport aux aciers tendus :

31y

B dZ ====

Connaissant MS on peut tirer y1 de lquation (2) ce qui permet de calculer :

1

115y

yd.. BCS

==== puis SB

SS

.ZM

A

====

Mais en pratique la considration du moment rduit limite ultime rend inutile le calcul de As comme nous allons le voir ci aprs.

8.5.3. Dfinition du moment rduit ultime rduit

En principe il faudrait retenir :

====

S

U

AA

MAXA

Mais en pratique les calculs montrent que lon a Au > As tant que le moment agissant ultime reste infrieur une certaine valeur limite Mlu ou , obtenue pour Au = As

Le dimensionnement aux tats limites ultimes seffectuera donc de la manire suivante : si luB alors on calcule la section dacier Au selon les formules dfinies en 6.4 si luB >>>> alors on doit :

1. Soit redimensionner la section bton en modifiant les valeurs de la largeur b ou de la hauteur h

2. Soit ajouter des aciers comprims qui quilibreront la part du moment flchissant ultime qui ne peut tre repris par le bton seul.


Le moment rduit ultime lu dpend du rapport S

u

MM

==== ainsi que des caractristiques des

matriaux acier et bton.

Il existe des tables donnant des valeurs prcises de lu

On dispose galement de formules approches :

Pour les aciers Fe500 et fc28 30 Mpa : 310051322010 284 ++++==== clu

f...

Pour les aciers Fe400 et fc28 30 Mpa : 305049344010 284 ++++==== clu

f...

Si fc28 > 30 Mpa il faut utiliser les valeurs tires des tableaux prcdents.

Dans une premire approximation on peut retenir galement : Fe400: ==== .,lu 300 Fe500: ==== .,lu 270


8.6. Technique de calcul dans la cas o il ny a pas dacier comprim

8.6.1. Le calcul tape par tape

1- On calcule : buo

UB fdb

M2====

2- On trouve la valeur de lu

3- Si luB > il faut prvoir des aciers comprims (voir chapitre suivant)

4- Si luB il ny a pas daciers comprims

On calcule )..(, B==== 211251 Si < 0,259 on est dans le pivot A sinon dans le pivot B

Le bras de levier est gal ),.(dZB ==== 401

5- Finalement la section darmatures recherche est gale : SB

uu

.ZMA

====

6- Il faut vrifier que les aciers calculs respectent bien la condition de % mini :

Le pourcentage minimum pour une poutre rectangulaire en flexion simple vaut :

dbFeF23,0A 028tmin =

Remarque :

Le paramtre "d" est couramment appel "hauteur utile" et reprsente la distance entre la fibre extrme comprime et le centre de gravit des aciers tendus.

Lors d'un dimensionnement, on ne connat pas les armatures et donc leur centre de gravit. Par consquent, il est ncessaire d'estimer la valeur de "d" puis de la vrifier ultrieurement, aprs avoir dterminer la quantit d'armatures tendues.

Usuellement, on se fixe d=0,9h, mais cette estimation est arbitraire.


8.6.2. Exercice de cours: Section rectangulaire sans acier comprim

Prenons lexemple suivant :

Les donnes de l'exercice sont les suivantes : Sollicitations : la poutre est soumise une charge uniformment rpartie (note P) sur

toute la trave avec : o Pg= 15 KN/ml + poids propre o Pq= 20KN/ml

Dure dapplication des charges : suprieure 24h Matriaux :

o Bton: Fc28= 25Mpa o Acier: Fe500

Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non prjudiciable Densit du bton : 25KN/m3

On se propose : De dterminer les ractions dappuis et le moment de flexion interne (pour rappel !) De dterminer les armatures longitudinales. De vrifier le pourcentage minimum.

Calcul des sollicitations

Avant de dterminer les sollicitations internes, il convient de dterminer la valeur de la charge applique lELU, note Pu.

Pour cela, il faut appliquer la combinaison Pu= 1,35(Pg + PP) + 1,5Pq.

Calcul du poids propre de la poutre : Attention, le poids propre de la poutre doit tre calcul par mtre linaire : PP=0,25*0,60*25= 3,75KN / ml.

Calcul de Pu et Pser: Pu=1,35(15+3,75) + 1,5*20= 55,31 KN / ml. Pser= 15 + 3,75 + 20= 38,75 KN / ml.

Calcul des ractions dappuis

Pour dterminer les ractions dappuis, il faut crire les quations dquilibre externe de la poutre : lPRR BA =+ (1)

Somme des moments par rapport A : 02

)( = lPllRB (2)

P

RA RB l


A partir de lquation (2), on obtient : 2PlRB = .

En injectant la valeur de Rb dans lquation (1), on trouve 2PlRA =

On obtient donc :

KNRR BA 10,15225,531,55

=

== lELU

Calcul du moment de flexion Pour le calcul des sollicitations internes, il faut dterminer lquilibre rdm de la poutre nimportes quelle abscisse :

Equilibre des efforts horizontaux : H=0

Equilibre des efforts tranchants : x.P2PlV = => )x

2l(PV =

Equilibre des moments / A : 022

=+ MxPlxPx => )(222

xlPxPlxPxM =+=

Pour x=l/2, on obtient M=Pl/8 => Donc mKNM u .14,20985,531,55

=

= et

mKNM ser .52,14685,575,38

=

=

Caractristiques des matriaux

Bton Fc28= 25 Mpa => MpaF

Fbub

c 17,145,1

2585,085,0 28 ==

=

Avec fonction de la dure dapplication des charges : o = 1,00 si t > 24 heures o = 0,90 si 1 t 24 heures o = 0,85 si t < 1 heure

MpaFF ct 10,22506,06,006,06,0 2828 =+=+=

Acier Fe500 : MpaFeFeds

78,43415,1

500===

P

Pl/2 x

H

V M


Calcul de lu

Pour vrifier la prsence ou non daciers comprims, il est ncessaire de calculer la valeur de lu qui est fonction de fc28, et .

Cette valeur peut tre dtermine partir des tables ou des formules approches si Fc28 30 Mpa.

Dans notre cas (acier Fe500), on peut utiliser la formule :

310051322010 28lim4 += CF avec

MserMu

=

On a donc : 43,152,14614,209

== => 278,0lu =

Calcul des armatures

Hauteur utile : d=0,9h= 0,54m

Calcul du moment rduit : 202,017,1454,025,0

209,0

=

==

bub Fbd

Mu

On a bien b lu donc pas daciers comprims : 0,202 < 0,278

Calcul de : [ ] [ ] 285,0)202,021(125,1)21(125,1 === bu Calcul du bras de levier zb : mdzb 478,0)285,04,01(54,0)4,01( === Calcul de la section darmatures :

o 06,1010.06,1078,434478,0

209,0 4 cmmFz

MuAedb

u ==

==

On doit donc mettre en place 10,06cm darmatures en partie infrieure.

On peut mettre en place 5HA16 (10,05cm) ou 3HA16 + 3HA14 (10,65cm)


Vrification du % mini


05,1030,154,025,0500

1,223,023,0 028min cmcmdbFeFA t OK


8.7. Technique de calcul dans la cas o il y a des aciers comprims

8.7.1. dimensionnement de Au et Au

On doit mettre en place des aciers comprims lorsque le bton est incapable de rquilibrer, lui seul, la section.

Pour savoir si l'on est dans ce cas, il nous faut comparer le moment rduit B de la section au moment rduit limite lu dfinit dans les chapitres prcdents. Si on est dans le cas ou luB > , il faut mettre en place des aciers comprims.

Dans ce cas, le bton comprim quilibre un moment flchissant en relation avec le moment

rduit limite lu :

buluul f.d.b.M = et les aciers comprims quilibrent la diffrence entre le moment flchissant Mu et le moment flchissant Mul.


Dans ce cas, on peut dcomposer la section de la faon suivante :

Mu2

En considrant la section soumise un moment total Mu , on a la dcomposition suivante : Une section 1 dans laquelle le bton comprim et les armatures reprennent un moment

Mu1 correspondant la valeur limite du moment rduit : bulu1u FbdM = Une section 2 qui quilibre le moment restant, savoir Mu-Mu1.

ATTENTION, le rglement stipule que la section 2 ne doit jamais quilibrer plus de 40% du moment total. Cette rgle se traduit par lquation suivante :

MuMu 40,02 lELU

Lquilibre dune telle section se traduit par le schma suivant :

De la mme faon que pour une section sans acier comprim, pour crire lquilibre de la section, il faut mettre en quation deux hypothses :

Lquilibre des forces : la somme des forces doit tre gale 0. Lquilibre des moments : la somme des moments doit tre gale 0.

Cependant, pour des raisons de simplicit, on peut dterminer cet quilibre en deux phases :


Equilibre de la section 1 :

Lquilibre de la section 1 est un simple quilibre dune section rectangulaire en flexion simple sans acier comprim . La seule nuance est que cette section ne reprend que Mul.

On peut donc reprendre les formules vues chapitre prcdent et les appliquer cette section :

On obtient donc pour cette section : Moment repris : buu FbdM lim1 = Valeur de : [ ])21(125,1 limlim = Bras de levier : )4,01( limlim = dz

Section darmatures : s

ul

z

MA

lim1 =

Equilibre de la section 2 :

Lquilibre de la section 2 est beaucoup plus simple poser car il ny a pas de bton prendre en compte :

Equilibre des forces : scs AA '2 = (1) Equilibre des moments / A2 : scu ddAM )'('2 = (2)


Or on sait que uluu MMM =2 , on obtient donc :

sc

ulu

ddMM

A)'('

=

Il nous faut donc dterminer sc avec la formule des triangles semblables :

))'((1000

5,3 ddd ll

sc

=

et sscsc E=

Daprs la formule (1), on a e

scAA

'2 =

sc est appele contrainte quivalente des aciers comprims

Pour des valeurs de Fc28 infrieures 35Mpa, on peut galement utiliser les formules suivantes pour dterminer sc :

s

CcsceFeKFF

+= )41513('9 2828 Avec

dd '

'= et

=

=

=

=

85,004,19,002,1

100,1

sisisi

K

Equilibre de la section totale : En partie infrieure, La section daciers tendus est gale : 21 AAAu +=

En partie suprieure, La section daciers comprims est gale : 2AuA ' ====


8.7.2. Exercice de cours : Section rectangulaire avec aciers comprims

Le but de cet exercice est danalyser une poutre isostatique en flexion simple lELU, avec aciers comprims.

Prenons lexemple suivant :

Les donnes de l'exercice sont les suivantes : Sollicitations : la poutre est soumise une charge uniformment rpartie (note P) sur

toute la trave avec : o Pg= 5 KN/ml + poids propre o Pq= 50 KN/ml

Dure dapplication des charges : suprieure 24h Matriaux :

o Bton: Fc28= 25Mpa o Acier: Fe500

Enrobage des armatures : 3cm Fissuration non prjudiciable Densit du bton : 25KN/m3

On se propose : De dterminer les ractions dappuis et le moment de flexion interne. De dterminer les armatures longitudinales. De vrifier le pourcentage minimum.

Calcul des Sollicitations

Avant de dterminer les sollicitations internes, il convient de dterminer la valeur de la charge applique lELU, note Pu.

Pour cela, il faut appliquer la combinaison Pu= 1,35(Pg + PP) + 1,5Pq.

Calcul du poids propre de la poutre :

Attention, le poids propre de la poutre doit tre calcul par mtre linaire :

PP=0,25*0,60*25= 3,75KN / ml.

Calcul de Pu et Pser:

Pu=1,35(5+3,75) + 1,5*50= 86.81 KN / ml. Pser= 5 + 3,75 + 50= 58,75 KN / ml.


Calcul des ractions dappuis

Pour dterminer les ractions dappuis, il faut crire les quations dquilibre externe de la poutre : lPRR BA =+ (1)

Somme des moments par rapport A : 02

)( = lPllRB (2)

A partir de lquation (2), on obtient : 2PlRB = .

En injectant la valeur de Rb dans lquation (1), on trouve 2PlRA =

On obtient donc :

KNRR BA 73.23825,581.86

=

== lELU

Calcul du moment de flexion

Pour le calcul des sollicitations internes, il faut dterminer lquilibre rdm de la poutre nimporte quelle abscisse :

Equilibre des efforts horizontaux : H=0

Equilibre des efforts tranchants : PPl)x(V +=2

=> 2PlV =

Equilibre des moments / A : xPlxPx)x(M22

= => )(222

xlPxPlxPxM =+=

Pour x=l/2, on obtient M=Pl/8 => Donc mKNM u .25.32885,581.86

=

= et

mKNM ser .15.22285,575.58

=

=

P

RA RB

l

P

Pl/2

x

H

V M


Caractristiques des matriaux

Bton Fc28= 25 Mpa => MpaF

Fbub

c 17,145,1

2585,085,0 28 ==

=

MpaFF ct 10,22506,06,006,06,0 2828 =+=+=

Acier Fe500 : MpaFeFeds

78,43415,1

500===

Calcul de lu

Pour vrifier la prsence ou non daciers comprims, il est ncessaire de calculer la valeur de lim qui est fonction de fc28, et .

Cette valeur peut tre dtermine partir des tables ou des formules approches si Fc28 30 Mpa.

Dans notre cas (acier Fe500), on peut utiliser la formule :

310051322010 28lim4 += CF avec

MserMu

=

On a donc :

48,115,22225,328

== => 294,0lim =

Calcul des armatures

Hauteur utile : d=0,9h= 0,54m

Calcul du moment rduit : 317,017,1454,025,0

328,0

=

==

bub Fbd

Mu

On a b > lu: il faut donc mettre en place des aciers comprims ou alors redimensionner la section de bton.

Calcul des aciers tendus (section A1)

Le calcul des aciers tendus doit tre men avec un moment correspond lim :

buFbdM

limlim = => mMNFbdM bu .304,017,1454,025,0294,0limlim ===

Calcul de lim : [ ] 448,0)294,021(125,1lim == Calcul du bras de levier zb : mdzb 443,0)448,04,01(54,0)4,01( === Calcul de la section darmatures :

o 78,1510.78,1578,434443,0

304,0 4lim1 cmmFz

MAedb

==

==


Calcul des aciers comprims (section A)

Calcul de la contrainte des aciers comprims : KFF Ccsce )41513('9 2828 += Mpasce 292)4152513(54,0

03,02548,19 =+=

Calcul des aciers comprims : 62,1292)03,054,0(

304,0328,0)'(' cmddMM

Asc

ulu=

=

=

Calcul des aciers A2 pour quilibrer A : 10,178,434

292632,1'2 cmAAe

sc===

Section totale mettre en uvre

La section totale mettre en place est : A=A1+A2=16,88cm en partie infrieure (aciers tendus) => 3 lits de 3HA16 (18,10cm) A=1,62cm en partie suprieure (aciers comprims) => 3 HA 10 (2,32cm)

On obtient le ferraillage suivant :

Vrification du % mini


10,1830,154,025,0500

1,223,023,0 028min cmcmdbFeFA t OK

baccv004chap8flexionsimple rect elu

Documents

flexion simple lelu

moment de flexion

technique de calcul

section de poutre soumise

exercice de cours

cours theorique

expression du moment

bton arm