Universitatea “POLITEHNICA” Bucuresti

REFERAT

LA

Simularea energetica a cladirilor

INDRUMATOR DOCTORAT

Prof. Dr. Ing. Adrian Badea

DOCTORAND

Ing. Tudor Baracu

Februarie, 2011

1

Cuprins

Introducere ………………………………………………… 2 1. Microclimatul interior al clădirii …………………….. 3 2. Bilanţul energetic al clădirii…………………………… 12 3. Calcul termotehnic al componentelor unei cladiri…… 25 4. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri… 39 5. Teoria circuitelor termice……………………………… 50 6. Sisteme de control pentru incalzirea cladirii…………. 60 7. Sisteme de incalzire…………………………………….. 63 8. Izolarea termica a cladirilor …………………………. 67 9. Audit energetic ………………………………………… 74

Bibliografie ………………………………………………… 78

2

Introducere

Simularea energetica acladirilor este un domeniu in deplina maturitate dar in acelasi timp in plina dezvoltare beneficiind de noile tehnici computerizate si de automatizare care se extind tot mai mult in chiar cele mai banale sectoare de activitate. Problema este ca prin aportul tehnicii computerizate exista riscul pentru majoritatea beneficiarilor sa uite sensul fenomenelor care stau la baza asigurarii pentru ei a unui climat placut in cladiri. Oamenii ajung sa gandeasca “aparatul acesta imi face totul, eu nu trebuie nici sa mai gandesc macar, apas un buton”.

Un al doilea risc care il poate da dezvoltarea tehnicii pentru oameni il poate reprezenta enclavizarea stiintei doar pentru anumite centre private de cercetare si de promovare produse specifice, care sub protectie de patent sau copyrights (care in ziua de azi mai mult blocheaza dezvoltarea stiintei decat sa o promoveze) pastreaza doar in interiorul lor in mod ezoteric anumite rezultate de cercetare in scopul fructificarii comerciale al lor.

In acest sens, lucrarea de fata isi propune sa trateze bazele fundamentale ale fenomenelor de transfer energetic la nivelul cladirilor, in mod explicit, expunand atat modele matematice cat si modele descriptive. Se incearca sa se evite promovarea definitiilor care este mai mult un exercitiu sofistic, evitarea limbajului rece al standardelor, care de fapt sunt utile pentru verificarea finala a viabilitatii unui model, dar in cazul de cercetari la limitele pavate ale stiintei trebuie iesit de sub gravitatia lor.

Optimizarea energiei in cladiri este facuta pentru oameni, deci se pleaca de la necesitatile lor legate de microclimat acceptabil, ulterior rezultatele cercetarii trebuie sa convearga catre aceste necesitati

Introduction

The simulation of the energy in buildings is a ground in full maturity and in the same time in full development thriving from the new computational technics and control theory which are expanding more and more in just simpliest activities. TheThe problem is that trough the help of the computational technics exist the risk for majority of beneficiary to forget the sense of phenomena wich stay on the basis of delivering for them of an pleasant climate in buildings. People bring to think “the machine do all for me, I don’t have to get worried of something, I press the button”

A second risk that could bring the development of the technics for people is represented by enclavization of science only for some private centers of research and promoting of specific products, which under the protection of patents and copyrights (that today prevail in prevent the development of the science than to promote it) keep only inside their organization in esoteric way the research to commercially fructify it.

In this way, this work propose a treatment of fundamental basis of energy transfer phenomena in buildings in an explicit way exposing the mathematical models but also the descriptive ones. It is tried to avoid the promoting of definitions that is more a sophistic exercise, avoid the cool language of standards which in fact are useful to verify finally the viability of a model, but in case of research to the boundary of the science it must be got out from their gravity.

Optimisation of energy inside the buildings is done for people, so it is leaving from their needs in link with the acceptable microclimate, then the results of research have to converge to those needs.

3

1. Microclimatul interior al unei clădiri

Oamenii isi petrec majoritatea timpului in cladiri (peste 70% din timp), ca urmare acest lucru incumba studii legate de confortul termic oferit de acestea in sensul de a se crea conditii optime de activitate.

Este cunoscut ca sunt la fel de multe preferinte de confort termic pe cat de multi oameni sunt, si niciodata toata lumea din cladire va fi multumita de conditiile termice existente, dar in sens strict democratic trebuie sa ajunga sa fie multumiti minim 2/3 din oameni, sau conform unor standarde minim 80% (HSE – Health and Safety Executive).

Confortul termic releva o stare perceputa a conditiilor termice din cladire de catre persoane, la care participa elemente obiective si subiective care determina o opinie. Totul se rezuma intr-o explicatie simplista la faptul ca unii considera ca este prea cald, altii prea rece in cladire.

In multe situatii conditiile termice care trebuie sa fie asigurate in cladire sunt strans legate de activitatea de baza care se desfasoara in cladire.

Realizarea confortului termic presupune menţinerea temperaturii medii interne a corpului în jurul valorii de 37 °C, respectiv evacuarea integrală a căldurii generate de către organismul uman.

Dar nu conditiile termice sunt singurele care determina confortul termic. De fapt factorii care determina confortul termic sunt urmatorii:

Factori de mediu

• Temperatura aerului • Umiditatea aerului • Nivelul de caldura radianta propagata prin incinta • Viteza de miscare a curentilor de aer

Factori personali

• Izolatia termica data de hainele purtate • Caldura metabolica (determinata de particularitatile biologice ale persoanei, de activitatea

acesteia mecanica sau psihica, de starea psihica generala, etc) Pentru a-si mentine echilibrul termic vital, anume temperatura medie de 370C, corpul va ceda sau va primi caldura de la mediu. Totul este redus la un bilant global de caldura, anume:

• caldura produsa Qprodusa din transformarile metabolice la nivel celular a substantelor nutritive si din activitatea muschilor (fiecare activitate musculara determina miscari relative intre straturi de tesuturi, prin urmare frecari care determina disipare de caldura)

• caldura cedata Qcedata de organism catre mediu

Sunt 3 situatii de bilant pentru organism:

• Qprodusa = Qcedata este o situatie de echilibru corespunzatoare confortului termic. Orice crestere lenta a unuia din termeni determina o crestere gradata si a celuilalt termen

• Qprodusa > Qcedata este situatia in care temperatura organismului tinde sa creasca deoarece caldura produsa creste alert incat nu este echilibrata in acelasi ritm de catre caldura cedata.

4

Astfel apar senzatii de sufocare, transpiratii, necesitatea de miscare, creste ritmul respiratiei, stress

• Qprodusa < Qcedata in aceasta situatie temperatura organismului tinde sa scada, intrucat este cedata caldura catre mediu intr-un ritm care nu este echilibrat de catre caldura produsa de organism. Apare senzatia de frig, prima reactie involuntara a organismului este data de incretirea pielii si de tremuraturi. Prin incretirea pielii firele de par de pe piele tind sa creeze un strat dens si ordonat de cativa mm grosime deasupra pielii care impiedica circulatia convectiva a aerului, deci reduce caldura schimbata; insasi incretiturile de pe piele tind sa reduca deplasarea aerului in jurul corpului, si desi este in acelasi timp crescuta si suprafata de schimb de caldura lucru care nu este benefic, per ansamblu corpul cedeaza mai putina caldura. Tremuraturile sunt miscari alternative ale fibrelor musculare, prin care unele straturi de tesut se vor freca de altele si deci se va produce caldura.

Confortul termic poate fi desprins mai usor din fondul lucrurilor daca se explica contrariul sau, anume disconfortul termic.

Acesta initial incepe prin adaugarea sau renuntarea la o haina de purtat. Poate continua prin schimburi repetate si intermitente ale posturii in mod inconstient, stari de iritare si nervozitate, transpiratie, mancarimi, etc. Acesta continua prin tendinta de a intreba pe cei de alaturi cum percep ei mediul termic, cat si cu propuneri de a se schimba reglajul termic al incintei; sau efectiv persoana cauta locuri mai racoroase pentru a-si reveni temporar din disgratia termica pe care o are.

Acest disconfort termic poate avea consecinte destul de semnificative pentru productivitatea muncii daca este generalizat.

Temperatura aerului

In cadrul comfortului ambiental participa temperatura aerului aflat in jurul corpului si ea influenteaza fluxul de cadura transmis prin convectie si conductie intre corp si mediu, fluxul radiativ fiind exclus considerandu-se ca persoana sta departe de sursele de radiatie termica. Variatiile de temperatura destul de fine sunt usor sesizate de corpul uman care se va manifesta prin reactii fiziologice involuntare in primele momente (tremuraturi, senzatia de rece, incretire piele). Datorită faptului că temperatura corpului uman şi caldura produsa de acesta nu sunt distribuite în mod uniform pe suprafaţa corpului uman, realizarea unui confort termic perfect impune şi o anumită distribuţie a temperaturii aerului pe verticala incintei. Diferenţa de temperatură a aerului, măsurată între nivelul capului şi nivelul gleznelor, nu trebuie să depăşească 3 grd. În caz contrar, sistemul termoregulator al organismului uman nu poate regla diferenţiat părţile corpului şi acest lucru conduce la o senzaţie neplăcută de frig la picioare, chiar dacă temperatura la nivelul gleznelor ar avea valoarea care ar asigura confortul termic. În perioada de iarnă, când pentru obţinerea unei anumite valori a temperaturii aerului interior se folosesc instalaţiile de încălzire, apar o serie de fenomene asociate transferului de căldură (apare o convecţie naturală) care fac ca repartiţia temperaturii aerului interior pe verticala incintei să nu mai fie uniformă. Distribuţia temperaturii aerului interior pe verticala incintei depinde esenţial de tipul instalaţiilor de încălzire utilizate – vezi figura.

5

Variaţia temperaturii pe verticala incintei: a. variatia ideala; b. încălzirea cu aer cald; c. încălzirea cu sobe de teracotă; d. încălzirea centrală; e. încălzirea prin plafon; f. încălzirea prin pardoseală.

La realizarea confortului termic o importanţa deosebită o are şi distribuţia temperaturii în planul orizontal incintei –vezi figura. Dacă incinta are zone diferă cu mai mult de 2 – 3 grd., trecerea de la zonele calde, la cele mai puţin calde, devine supărătoare pentru om, datorită necesităţii unui timp de aclimatizare. Distribuţia temperaturii aerului interior într-o incintă: a. cazul încălzirii centrale; b. cazul încălzirii prin plafon.

Se observă că, în centrul încăperilor, repartiţiile temperaturilor aerului sunt foarte apropiate,

indiferent de tipul de încălzire, iar lângă pereţi (interiori sau exteriori) repartiţiile diferă foarte mult. Plaja de confort a temperaturilor de confort este între 20 si 24°C, în funcţie de activitatea depusă în acea camera. Cu cât efortul depus de ocupanţi este mai mare, cu atât va scădea valoarea temperaturii de confort (pentru starea de repaus temperatura de confort este în jurul valorii de 22-23°C, pentru starea de activitate uşoară, munca de birou, valoarea acesteia este de aproximativ 21°C, pentru munca fizică grea temperatura de confort este de cca 17-18°C, iar în cazurile de muncă fizică grea valoarea poate fi chiar de 10°C).

Radiatia termica

Radiatia termica este caldura radiata de un corp cald. Ea este prezenta atunci cand sunt surse de caldura intr-o incinta. Radiatia termica are o influenta chiar mai mare in confortul ambiental decat temperatura aerului. Pielea noastra absoarbe caldura radianta aproape cat corpul negru mat, dar aceasta poate fi redusa prin imbracaminte reflectanta (de exemplu imbracamintea de culori deschise, etc). Surse de caldura radianta sunt: soarele, sobe, cuptoare, calorifere, fire electrice, etc.

Radiatia termica dintr-o incinta va depinde bineinteles si de tipul sistemele si aparatelor de incalzire folosite.

a b16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

16 20 24 28 ti[°C]

0,5

1,0

1,5

2,0

h[m]

c. d e f.

23°

22°

21°

20°19° 20°

21°

22°23°

25°

a. b.

6

Valoarea medie a temperaturii de radiatie (ca medie a tuturor temperaturilor suprafetelor radiante din incinta) guverneaza schimbul de caldura radiant intre corpul uman si mediu. In acelasi timp fiecare sursa de radiatie din incinta trebuie sa nu aiba cu mult mai mare temperatura decat cea a aerului interior, intrucat ar genera disconfort termic. Formula care calculeaza o temperatura medie radiativa este:

Tradiatie =∑ Si Ti∑ Si

unde Si sunt suprafetele emisive de radiatie impreuna cu temperatura aferenta fiecareia Ti.

Viteza aer

Oamenii sunt sensibili in general la curentii de aer din ambient. Astfel, este de dorit sa existe o circulatie dar slaba a aerului in incinte.

Daca aerul este prea stagnant in conditiile in care temperatura este destul de ridicata, apare senzatia de inabusire.

Daca aerul circula cu viteza mare apare mai usor senzatia de frig deoarece fluxul convectiv corp-ambient creste. Activitatile fizice din cladiri au influenta in viteza generala a aerului din incinte.

Daca viteza aerului in incinta distribuita si foarte eterogen, existand curenti de aer predominanti si care sunt sesizabili acest lucru poate genera nu doar disconfort termic, ba chiar si inbolnavire (raceli, dureri de cap, etc). Oamenii au sensibilitati destul de diferite la curentii de aer si de multe ori intr-un spatiu comun apar multe opinii divergente si la acest lucru (situatii de usi deschise, ferestre deschise, porniri ale aparatelor de ventilatie si aer conditionat, etc)

Gradientul de deplasare al aerului in incinta la diverse ore intr-o zi obisnuita de iarna

7

Sectiunea de masura din incinta

Se considera ca o viteza de 0.15 – 0.25 m/s a aerului este optima pentru confortul termic.

Umiditate aer

Apa evaporandu-se in aer ii confera acestuia umiditate. Umiditatea relativa a aerului este raportul dintre presiunea actuala de vapori a aerului si presiunea de saturatie vapori de apa pe care aerul poate sa ii preia.

Umiditatea relativa influenţează schimbul de căldură al unei persoane cu mediul înconjurător prin evaporarea transpiraţiei la suprafaţa pielii. La temperaturi ale aerului interior mici, cedarea de căldură prin evaporare este mai scăzută, deci umiditatea relativă a aerului interior are o influenţă mai mică. La temperaturi ale aerului mai mari şi la activităţi fizice intense, creşterea umidităţii relative are o influenţă mare asupra schimbului de căldură între om şi mediul ambiant. Astfel, umiditatea ridicata previne evaporarea transpiratiei ceea ce da un disconfort suplimentar.

Umidităţi relative ale aerului interior mai mari de 70%, la temperaturi coborâte ale aerului exterior, favorizează apariţia condensatului pe suprafaţa interioară a pereţilor exteriori, în lipsa unei izolări termice corespunzătoare.

In interval de 30% - 70% umiditatea relativa nu influenteaza confortul termic. Daca in functie de temperatura si umiditate transpiratia tinde sa se evapore acest lucru rezulta in pierdere de caldura a organismului mai mare si senzatii de frig.

Izolarea termica a hainelor

Hainele pot sa dea disconfort fie fiind prea izolante fie prea conductive termic. Oricum, ele trebuie alese in mod adaptativ la cerintele sezonului. In general adaptarea persoanei la conditiile termice ale unui spatiu se face prin indepartarea sau adaugarea unei haine pe corp pentru cautarea confortului optim.

Izolaţia termică dată de o ţinută vestimentară se caracterizează prin rezistenţele termice ale elementelor îmbrăcămintei, care variază în limite foarte largi. În tabel sunt prezentate rezistenţele termice pentru diferite combinaţii de haine (ASHRAE).

8

Combinaţia de haine Rezistenta termica [m2K/W]

Om dezbrăcat 0 Pantaloni scurţi 0,018 Haine pentru climat tropical (subţiri) 0,047 Haine de vară (îmbrăcăminte uşoară) 0,078 Salopetă de lucru 0,124 Haine de interior pentru iarnă 0,155 Costum 0,233

Caldura metabolica

Caldura metabolica este energia pe care organismul o produce prin procesele biologice de la nivelul celulelor. Din ea rezulta:

• Schimb de energie mecanica cu mediul • Schimb de caldura cu mediul • Schimb de substanta cu mediul

Primele doua sunt foarte legate deoarece se sustin si se amplifica reciproc. O activitate sustinuta determina producerea unei cantitati mai mari de caldura de catre organism care va fi cedata mediului. O cantitate mare de caldura produsa de catre organism pentru a evita supraincalzirea va determina miscarea persoanei, adica intensificare a cedarii convective de caldura catre mediu respectiv cautarea unui loc mai rece pentru a facilita cedarea conductiva de caldura a organismului catre mediu.

Caldura metabolica produsa de organism mai depinde si de varsta, sex, dieta, activitate,stare psihica.

Cantitatea de căldură generată de organismul uman este în funcţie de gradul de activitate musculara, de condiţiile date de mediul înconjurător precum şi de mărimea corpului.

Temperatura corpului este menţinută constantă la 37 oC, de un sistem de reglare complex, condus de un centru termoregulator situat în hipotalamus. Pentru a uşura transferul termic şi a resimţi senzaţia de confort, cu cât activitatea musculară este mai intensă, cu atât temperatura aerului interior trebuie să fie mai scăzută Energia internă produsă pe unitatea de suprafaţă poate să varieze de la 45W/m2 pentru un om odihnit până la 500 W/m2 pentru un om alergând. Energia internă se determină ca diferenţa între căldura metabolică şi energia consumată în unitatea de timp pentru efectuarea diferitelor activităţi mecanice (mers, mişcare, muncă, etc.).

i LQ M Q= − , [W]

unde: M - căldura metabolică, iar QL – energia consumată în unitatea de timp pentru efectuarea unui lucru mecanic de către om . Randamentul mecanic al corpului uman se defineşte cu relaţia:

0, 2Lm

QM

η = ≤

9

Ca ordin de mărime, QL este mult mai mică decât M, de aceea se poate considera egală cu 0 pentru majoritatea activităţilor.

Viteza metabolismului este definită ca raportul dintre căldura metabolică şi suprafaţa totală a corpului uman. Valorile medii pentru adulţi ale suprafeţei totale a corpului uman sunt cuprinse între 1,6 şi 2 m2.

Cantitatea de căldură generată de organismul uman

Felul activităţii Cantitatea de căldură generată de organism [W]

Somn 73 Aşezat, liniştit 116

Invatare 3.2 Mers pe jos 2 – 3.4 Munca de birou 1.1 – 1.3

Muncă uşoară

Aşezat, mişcări moderate ale braţelor (ex. muncă de birou) 133 - 160

Aşezat, mişcări moderate ale braţelor şi picioarelor (ex. conducere autovehicule) 160 – 190

În picioare, muncă uşoară la maşină sau banc, în special mişcări ale braţelor 160 – 190

Muncă moderată

Aşezat, mişcări puternice ale braţelor şi picioarelor 190 – 237

În picioare, muncă uşoară la maşină sau banc însoţită de scurte deplasări 190 – 220

În picioare, muncă moderată la maşină sau banc însoţită de scurte deplasări 220 – 293

Deplasări de la un loc la altul cu ridicări, trageri sau împingeri moderate 293 – 410

Muncă grea Muncă grea intermitentă de ridicare, tragere sau împingere 440 – 586

Muncă grea continuă 586 – 704

Căldura schimbată de om prin convecţie cu aerul din mediul ambiant depinde de viteza curenţilor de aer din interior, de deplasarea persoanei prin camera sau de miscarea a diferite parti ale corpului.

Schimbul de căldură prin convecţie se realizează atât direct de la suprafaţa neacoperită a pielii, cât şi indirect intermediul elementelor de îmbracăminte.

Căldura schimbată de om prin radiaţie cu elementele de construcţie care delimitează incinta depinde de marimea incintei, de sistemul de incalzire, de temperatura peretilor.

Literatura de specialitate indică faptul că la grosimi ale stratului de aer mai mari de 8 m, absorbţia radiaţiilor calorice de către acesta anulează practic schimbul de căldură prin radiaţie.

10

Căldura schimbată de om prin evaporarea umidităţii se determină cu relaţia:

( ) OB

0Bsev S

pp

pprcq ⋅⋅−⋅⋅=

în care: c este coeficientul de evaporare, dependent de viteza curenţilor de aer interiori; r – caldura latentă de vaporizare a apei la temperatura medie a suprafeţei corpului omenesc tO; ps – presiunea de saturaţie la temperatura medie a suprafeţei corpului omenesc tO (presiunea parţială a vaporilor de apă la nivelul pielii); p – presiunea parţială a vaporilor de apă din aer; pB – presiunea barometrică; iar pB0 – presiunea barometrică normală (760 mmHg. sau 1,013 bar.).

Caldura schimbată de om prin evaporarea umidităţii depinde de diferenţa dintre presiunea parţială a vaporilor de apă la nivelul pielii şi cea a aerului din mediul ambiant.

( ) Boev s

B

pQ c r p p Sp

= × × − × × , [W]

în care: c – coeficientul de evaporare, de viteza aerului interior, r – căldura latentă de vaporizare a apei la temperatura medie a suprafeţei corpului uman în J/kg, ps - presiunea parţială a vaporilor de apă la nivelul pielii, p – presiunea parţială a vaporilor de apă din aerul interior, pB – presiunea barometrică, pBo – presiunea barometrică normală , pBo= 760 mmHg=1,013 bar.

Căldura transmisă prin respiraţie are două componente: căldura sensibilă pierdută prin respiraţie Qcres şi căldura latentă conţinută în vaporii expiraţi Qvap.

Qres=Qcres+Qvap , [W] (1.13)

Unde:

( )

( )

res i ex ocres

c

res i ex ovap

c

m c T TQ

Fm i x x

QF

× × −=

× × −=

, (1.14)

resm - debitul de aer expirat în J/kg, ci – căldura specifică la presiune constantă a aerului interior în J/kgoC, Tex – temperatura aerului expirat în oC, ii – entalpia aerului expirat în J/kg, xex – umiditatea absolută a aerului expirat, xo – umiditatea absolută a aerului interior, Fc – porţiunea din suprafaţa corpului uman aflată în contact cu mediul.

Rezultă că realizarea confortului termic este influenţată de:

• tipul activităţii depuse de om (prin intermediul căldurii generate de organismul uman - qO); • temperatura aerului interior (prin intermediul căldurii schimbate de om prin convecţie - qcv); • viteza curenţilor de aer interiori (prin intermediul căldurii schimbate de om prin convecţie - qcv

şi prin intermediul căldurii schimbate de om prin evaporare - qev); • temperatura medie a suprafeţelor radiante (prin intermediul căldurii schimbate de om prin

radiaţie - qr); • umiditatea aerului interior (prin intermediul presiunii p care intervine în cantitatea de căldură

schimbată de om prin evaporarea umidităţii - qev).

11

Ca o concluzie legată de modalităţile de transfer de căldură între om şi mediul ambiant dintr-o incintă, se poate spune că transferul de căldură între om şi mediul înconjurător se realizează prin:

• Convenţie şi conducţie (42…44%) • Radiaţie (32…35%) • Evaporare (21….26%) • Respiratie

12

2. Bilanţul energetic al clădirii

Cladirile se apreciaza ca consuma aproximativ 40% din consumul energetic global, ca atare este esential sa li se acorde importanta sub aspectul reducerii consumului sau optimizarii energetice a acestora.

In Romania repartitia consumului energetic este urmatorul:

• 55% din total energie pentru incalzirea cladirii • 21% din total energie pentru producerea apei calde • 10% din total energie prin consum gaz natural • 14% din total energie prin consum energie electrica

Variatiile temperaturii exterioare de la zi la zi pot fi semnificative, iar sistemul de distributie energie termica are o limita a flexibilitatii tehnice si economice de adaptare la aceste schimbari in sensul stabilirii daca trebuie sa se distribuie energie termica sau nu. In acest sens, in Romania este stabilita o temperatura externa de referinta de 120C astfel incat:

• Daca temperatura exterioara este 3 zile consecutiv ≤ 120𝐶 atunci sistemul de distributie energie termica trebuie sa porneasca

• Daca temperatura exterioara este 3 zile consecutiv > 120𝐶 atunci sistemul de distributie energie termica trebuie sa se opreasca

Aceasta conditie prezentata mai sus are urmatoarele justificari:

• Economice – nu trebuie distribuita energie termica daca nu este necesara • Inertia termica a cladirilor – datorita acestei inertii termice a cladirilor, variatiile de temperatura

externa sunt amortizate si astfel nu se fac simtite in interior • Tehnice – sistemul energetic nu poate sa reactioneze efectiv la orice variatie de temperatura

sesizata, intrucat sunt limitari tehnice legate de fiabilitatea echipamentelor pe termen lung (numar de cicluri de functionare propus) si efectiv la orice reactie a sistemului la o variatie de temperatura oricum aceasta ajustare ajunge cu o anumita intarziere la consumator

Bilanţul termic al unei incinte încălzite

Calculul necesarului de căldură pentru încălzire are la bază bilanţul termic al unei incinte încălzite. El este dat de relaţia:

rditrpipt qqqqqq ++=++

unde qpt - pierderile de căldură prin transmisie (convecţie, radiaţie, conducţie) prin elementele exterioare de construcţie (pereţi, ferestre, uşi); qpi – pierderile de căldură prine încălzirea aerului pătruns prin neetanşeităţi şi prin ventilare naturală (la deschiderea uşilor şi/sau ferestrelor); qtr –căldura înmagazinată în elementele de construcţie; qi –căldura introdusă de instalaţia de încălzire; qd –căldura introdusă de degajările interioare de căldură; iar qr –căldura introdusă de radiaţia solară.

13

De regulă, în majoritatea cazurilor incintele sunt încălzite în mod continuu (chiar dacă reglarea livrării de căldură este prin intermitenţă), ca urmare cantitatea de căldură înmagazinată în elementele de construcţie qtr are în mod obişnuit valori foarte reduse, chiar nule, putând fi neglijată. Această cantitate de căldură are valori relativ ridicate, cam de acelaşi ordin de mărime cu restul cantităţilor de căldură care intervin în bilanţul termic al incintei doar în perioadele scurte de timp corespunzătoare începutului încălzirii.

Reimprospatarea aerului interior

S-au facut studii si in privinta cantitatilor de aer pe care trebuie sa le schimbe o cladire cu exteriorul, incat sa nu fie perturbat confortul, cat si pentru prevenirea infestarii aerului cu microbi, transmisiei de boli, etc.

Se recomanda din acest punct de vedere un numar de schimburi de aer pe ora:

𝑛 = 0.5 ℎ−1 Aceste schimburi de aer se realizează prin:

• neetanseitaţi ale tamplariei; • deschiderea ferestrelor şi uşilor exterioare; • sisteme de ventilare naturală (aerisiri, clapete reglabile) • sisteme de ventilare fortata

Bineinteles ca aceasta reimprospatare a aerului din interior va duce la pierderi suplimentare de caldura, care vor fi considerate in calcule.

Temperatura exterioara

O variatie importanta a temperaturii exterioare este variatia diurnal de-a lungul celor 24 de ore.In cursul zilei temperature variaza sinusoidal de o parte si de alta a unei temperature medii.

Variatia zilnica a temperaturii exterioare: 1 – zi de iarnă; 2 – zi de primavera/toamna; 3 – zi de vara

+12

+16

+20

+24

+32

te

[°C]

0 4 8 12 16 20 τ [h]

-12

-8

-4

0

+4

+8

+28

-16

2

3

1

14

Daca temperatura exterioara variaza sinusoidal, aceasta variatie va ajunge in interior cu un anumit decalaj in timp si cu amplitudinea redusa datorita inertiei termice si a acumularilor de caldura din pereti.

Pentru a mentine temperatura din interior constanta intrucat trebuie indeplinita conditia de confort termic, sistemul de incalzire va fi determinat sa reactioneze de asemenea sinusoidal fata de variatia sesizata, cu un decalaj de timp si o amplitudine specifice.

Variaţiile zilnice corelate ale temperaturii exterioare, ale necesarului de căldură pentru încălzire şi ale temperaturii interioare: 1 – variaţia zilnică a temperaturii exterioare in jurul unei valori medii; 2 – variaţia zilnică a fluxului termic din sistemul de încălzire in jurul valorii medii fara efectul inerţiei termice a clădirii; 3 – variaţia zilnică a fluxului termic din sistemul de încălzire in jurul aceleiasi valori medii pentru încălzire plus efectul inerţiei termice a clădirii; 4 – variaţia zilnică a temperaturii interioare in jurul unei valori medii si intr-o

banda admisibila de confort.

Daca se neglijeaza efectul inerţiei termice a clădirii, variaţia zilnică a necesarului de căldură pentru încălzire este practic inversă variaţiei zilnice a temperaturii exterioare.

Trebuie remarcat ca daca variatia temperaturii exterioare este permanenta, sistemul de incalzire se va adapta acestei variatii permanent incercand sa o anuleze in virtutea mentinerii in cladire a unei temperaturi constante. Dar intotdeauna va fi un decalaj in timp intre cele doua (sistemul de incalzire reactioneaza cu o anumita intarziere data atat de pragul de sensibilitate al senzorilor, cat si unul dat de reglarea regimurilor sale interne de functionare) cat si o diferenta de amplitudine. Cel mult cele doua temperaturi (exterioara si interioara) pot varia cu aceeasi pulsatie. Prin urmare echilibrul nu v-a fi atins in aceste conditii niciodata, in schimb putem vorbi de o banda de echilibru. Astfel, la o variatie sinusoidala a temperaturii din exterior, in urma raspunsului sistemului de incalzire va apare efectul ca temperatura interioara va varia numai intr-o banda limitata de valori care este de dorit sa fie in interiorul zonei de confort termic.

te

[°C]

ti

[°C]

qi

[W]

0

0

0 6 12 18 24

τ [h]

τ [h]

τ [h]

1

2

3

4

ε ε

2 Ate

2 Ati

15

Se poate face comparatia intre o incinta neincalzita si una incalzita, ca in figurile de mai jos.

Variaţiile temperaturii interioare într-o încăpere: a. încăpere neîncălzită; b. încăpere încălzită (flux de căldură constant).

Se observa ca incinta neincalzita are un comportament termic „docil” variatiilor din exterior, temperatura medie de echilibrul fiind apropiata celei din exterior. In cazul in care in incinta se asigura o incalzire in flux termic constant, temperatura medie de echilibru din aceasta incepe sa difere semnificativ de cea din exterior.

Ca urmare:

• diferenţele dintre temperaturile interioare şi cele exterioare devin maxime în cazul încăperilor încălzite. Dacă în cazul încăperilor neîncălzite cele două temperaturi oscilează zilnic practic în jurul aceleaşi valori medii, în cazul încăperilor încălzite cele două temperaturi oscilează zilnic în jurul unor valori medii foarte diferite;

• între variaţiile temperaturilor interioare şi celor exterioare apar diferenţe atât ca amplitudine, cât şi ca alură – existând decalaje între momentele atingerii extreme

In figura de mai jos se prezinta raspunsul unei constructii experimentale neincalzite la schimbarile de temperatura ale mediului exterior de-a lungul unui an.

Comportmentul termic al unei constructii experimentale neincalzite - Universitatea Tohoku (Japonia)

0 12 24

Ti, Te

[°C]

τ

2Ati 2Ate

ε

ε Te

Ti

a.

Ti, Te

[°C]

0 12 24 τ

2Ati

2Ate

ε

ε ti

Te

b.

16

Din figura de mai sus se observa ca oscilatiile externe de temperatura sunt urmate de oscilatii de temperatura la o amplitudine mai redusa a cladirii. De asemenea se observa si un anumit defazaj dat de inertia termica a cladirii. Anvelopa oscilatiilor externe se intersecteaza cu cea a oscilatiilor de temperatura interne in perioadele de tranzitie din an (primavara si toamna), practic in acele puncte temperatura exterioara si cea din cladire sunt in unda. Se mai constata de asemenea ca la inceputul sezonului cald, dupa o acumulare a caldurii in peretii cladirii, la un moment dat temperatura medie de oscilatie a cladirii urca brusc. Aceasta panta de crestere a temperaturii medii de oscilatie la inceputul sezonului cald este mai abrupta decat panta de descrestere de la inceputul sezonului rece. Se pare ca o influenta o are aici si temperatura solului.

Cand in cladire este prezent un sistem de incalzire activ, comportamentul termic al acesteia se modifica semnificativ. Practic temperatura medie din aceasta oscileaza de-a lungul intregului an in jurul unei temperaturi medii de 20 0C.

Un alt exemplu este prezentat in figura de mai jos, in care cele sunt prezentate in paralel cele 2 situatii de incalzire a cladirii:

• Cladirea cu sistem de incalzire fara termoreglare activa (la flux de caldura constant) • Cladirea cu sistem de incalzire cu termoreglare activa

17

Se observa ca in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa varfurile de oscilatie ale temperaturii din exterior tind sa fie urmate de temperatura interna din cladire. In cazul sistemului de incalzire cu termoreglare activa varfurile de oscilatie tind sa fie „taiate”.

Datorita acelor variatii mari ale temperaturii din interiorul cladirii in cazul sistemului de incalzire fara termoreglare activa consecinta este un consum de combustibil mai mare, respectiv un confort termic mai scazut.

Temperatura interioara

Temperatura interioara de calcul a sistemului termic este aleasa in functie de destinatia cladirii sau a incintei. Cateva astfel de temperaturi sunt prezentate in tabel.

Incinta Temperatura de calcul [0C] Camere 20 0C Bucatarii 18 0C Sali, saloane 15...18 0C Holuri, coridoare 10...18 0C Bai 22...25 0C

Inertia termica a cladirii

Pentru caracterizarea unui element de construcţie sau a unei clădiri din punctul de vedere al inerţiei termice se foloseşte o mărime adimensională denumită indice de inerţie termică D.

Pentru un element de construcţie omogen indicele de inerţie termică D este:

24sRD ⋅=

unde R este rezistenţa termică a elementului de construcţie, în m2K/W; iar s24 – coeficientul de asimilare termică a elementului de construcţie respectiv pentru oscilaţii ale fluxului termic cu perioade de 24 ore, în W/m2K.

Coeficientul de asimilare termică a unui element de construcţie omogen se determină cu relaţia:

pcs ⋅⋅⋅⋅

= ρλτπ

24

2

în care τ24 este perioada oscilatiei diurne de temperatura, în s; cp – căldura specifică a materialului de construcţie, în J/kg.K; λ – coeficientul de conductivitate termică, în W/mK; iar ρ densitatea materialului, în kg/m3.

Pentru un element de construcţie neomogen format din mai multe straturi, indicele de inerţie termică D este:

18

∑=

=n

1iiDD

unde Di este indicele de inerţie termică a stratului omogen “i”.

In cazul un element de construcţie neomogen format din mai multe zone distincte , indicele de inerţie termică D se determină cu relaţia:

∑

∑

=

=

⋅=

n

1ii

n

1iii

S

DSD

în care Di este indicele de inerţie termică a zonei distincte “i” omogene sau neomogene; iar Si – suprafaţa zonei distincte “i”.

Se recomandă următoarele valori limită ale necesare pentru realizarea confortului termic:

• pentru încălzirea cu sobe (încălzire intermitentă): D ≥ 2,5 • pentru încălzirea centrală (centrale termice, cogenerare): 1.5 ≤ D ≤ 2.0

Stabilitatea termica a elementelor de construcţie este influentata de proprietăţile termofizice ale materialelor de constructic şi de alcatuirea lor.

Stabilitatea termica a anvelopei cladirii este descrisa de parametrii:

• Coeficientul ν de amortizare a amplitudinii oscilatiei temperaturii aerului exterior ca raport intre amplitudinea de oscilatie a temperaturii de calcul a aerului exterior si amplitudinea de oscilatie a temperaturii suprafetei interioare a anvelopei cladirii

• Defazarea oscilatiilor temperaturilor mediului inconjurator reprezinta timpul pe care maximul unui front de unda de temperatura il parcurge de la o fata a peretelui la cealalta.

Amortizarea undei de temperatura din exterior

Amortizarea undei de temperatura arata in ce raport scade amplitudinea de variatie temperatura exterioara cand tranziteaza peretele si ajunge atenuata la suprafata interioara a acestuia.

Coeficientul de amortizare al undei de temperatura este

ν =𝐴𝑒𝐴𝑖

unde Ae şi Ai sunt amplitudinile de oscilaţie ale temperaturii exterioare, respectiv interioare

Clădirile de locuit sunt caracterizate de coefiecienţi de amorizare ν cu valori de circa 15 – 30.

Având în vedere că amplitudinea oscilaţiilor temperaturii exterioare este în cursul iernii in medie de 6 – 8 grd., oscilaţiile temperaturii interioare vor fi de aproximativ:

Cti0)53,0...20,0(

)30...15()8...6(

==∆

19

respectând condiţia impusă de realizarea confortului termic care prevede că valoarea acestei amplitudini nu trebuie sa depăşească 1 grad.

Defazarea undei de temperatura din exterior

Unda de temperatura din exterior cand strabate peretele pana la suprafata interioara a acestuia suporta si o defazare.

Defazajul ε este de asemenea o consecinta a inerţiei termice si are o valoare de 4 ÷ 12 ore. O formula care aproximeaza acest defazaj al undei de temperatura la trecere printr-un perete este:

𝜀 =1

1540.5 𝐷 − atan

𝛼𝑖𝛼𝑖 + 𝛿√2

− atan𝛿

𝛿 + 𝛼𝑒√2

unde 𝛿 este grosimea peretelui, D este inersia termica, iar 𝛼𝑖 ,𝛼𝑒coeficientii de convectie pe suprafata interioara si exterioara.

Rezumand, la trecerea prin perete undele termice sufera un proces de atenuare ca amplitudine si un proces de defazare cu intarziere a oscilatiei, lungimea de unda pastrandu-se.

In cazul incintelor, coeficientul de amortizate ν a undei de temperatură şi defazajul ε se pot determina prin calculul transferului termic în regim nestaţionar folosind metode numerice (diferenţe sau elemente finite).

Practic orice variatie externa de temperatura ce cauta sa influenteze temperatura din interior suporta urmatoarele transformari:

1. Este atenuata in amplitudine (deci aplatizata) si decalata in timp de inertia termica a peretilor externi ai cladirii

2. Este sesizata de senzorii sistemului de incalzire care va ridica temperatura aerului din interior suplimentar fata de momentul initial pentru a preintampina aceasta variatie

3. Sistemul de incalzire dupa ce ridica temperatura la un anumit prag se opreste, surplusul de temperatura transmis in interior va urma sa fie cedat catre exterior datorita variatiei sesizate de acolo

4. Va fi cedata caldura catre exterior pana cand sistemul sesizeaza ca temperatura din interior scade sub cea stabilita atingand pragul de toleranta

5. Sistemul de incalzire se va declansa din nou

Astfel fluxul de caldura pentru încălzire trebuie livrat la o valoare medie zilnică, corespunzătoare temperaturii exterioare medii zilnice, fără ca abaterile temperaturii interioare de la condiţiile de confort termic să depăşească limitele admisibile. Daca sistemul de incalzire nu functioneaza in virtutea acestor principii in acest caz nu este garantat nici confortul termic, si in plus sistemul poate duce la consumuri de energie nejustificate pentru incalzire.

20

Temperatura exterioara are mai multe component ale variatiei:

• variatii zilnice – determinate de succesiunea zi-noapte, sunt variatii periodice certe ale temperaturii exterioare in intervalul de timp de 24 de ore

• variatii sezoniere – sunt variatii din perioada anului determinate de schimbarea sezonului (iarna, primavera, vara, toamna) care in sens mai stiintific sunt determinate de inclinarea axei de precesie a Pamantului si de variatia distantei Pamant-Soare intre Periheliu(distanta minima) si Afeliu (distanta maxima) pe traiectoria eliptica a Pamantului.

• Variatii aleatoare – determinate de miscari aleatorii ale formatiunilor atmosferice dintr-o locatie in alta, amestecuri de formatiuni de aer cald cu aer rece, etc

Undele de temperatură ale aerului exterior Te şi interior Ti pot fi reprezentate sub formă de oscilaţii armonice perfecte sau ca o sumă a unei serii de armonici.

In Romania, temperatura exterioara de calcul se stabileste pornind de la impartirea teritoriului Romaniei pe 4 zone climatice

Temperaturi exterioara de calcul valabile pe zone în România

Zona climatică

I II III IV

Temperatura exterioară de calcul [°C] -12 -15 -18 -20

În timpul unei zile cea mai scăzută valoare a temperaturii se înregistrează dimineaţa, înainte de a răsări soarele. Calculele se vor efectua presupunând că afară este noapte, caz cand influenţa radiaţiei solare nu va interveni în efectuarea calculelor, deoarece soarele are o acţiune care vine în ajutorul procesului de încălzire, ca şi aportul de căldură datorat funcţionării aparatelor electrice, care vor fi considerate oprite pe timpul nopţii.

Viteza vantului de calcul

21

Viteza vantului de calcul vas ta la baza stabilirii coeficientului de convective a suprafetei exterioare.

Este stabilită prin prelucrarea statistică a vitezelor vântului, înregistrate pe perioade lungi de timp (20 – 30 de ani), simultane cu temperaturile exterioare cele mai coborâte. De regula temperaturile exterioare cele mai scăzute nu corespund cu vitezele cele mai ridicate ale vântului. Este adevarat de asemenea ca la o temperatura exterioara scazuta vantul detemina o amplificare a perceptiei de frig datorita intensificarii convectiei.

Pe baze statistice, referitoare la concomitenţa vânt - temperatură, s-au adoptat valori de calcul ale vitezei vântului, care determină 4 zone eoliene pe teritoriul ţării ( SR 1907-1). Zonarea climatică făcută după temperatura exterioară de calcul nu este identică cu zonarea eoliană.

Valorile vitezelor de calcul ale vântului, în m/s, valabile în România

Zona eoliană Amplasamentul clădirii

în localităţi în afara localităţii

I 8,0 10,0

II 5,0 7,0

III 4,5 6,0

IV 4,0 4,0

Radiatia solara

Energia radiaţiilor provine din energia internă a corpurilor şi diferă de la o radiaţie la alta. Toate corpurile emit şi absorb radiaţii în proporţii diferite şi pe lungimi de undă caracteristice, sau pe toată gama lungimilor de undă.

Radiaţia diferă de conducţie şi convective in principal prin următoarele:

• nu necesită prezenţa substanţei ca mediu de propagare • puterea termică transferată prin radiaţie este proporţională cu puterea a patra a temperaturilor

corpurilor implicate în schimbul termic.

Radiaţia termică reprezintă acea parte a radiaţiei electromagnetice care transferă căldură. Aceasta este definită de intervalul lungimilor de undă cuprins între 10-7 m şi 10-4 m, adică domeniul infraroşu şi parţial cel ultraviolet, inclusiv spectrul îngust al radiaţiei vizibile, respectiv: (3,9.10-7......7,8. 10-7)

22

Spectrul radiatiei solare este divers, dar cea mai mare parte a energiei acesteia este concentrate in jurul lungimii de unda de 0.5 μm. De exemplu intregul spectru cuprinde de la raze X (<0.01 μm) pana la unde radio (>100 m) dar 99.9% din energia totala este continuta inauntru intervalului 0.22 – 10.94 μm.

Spectrul radiatiei solare

Duratele medii de strălucire a soarelui, determinate prin prelucrarea statistică a datelor meteorologice, diferă în funcţie de localitate şi de luna anului. În tabelul următor se dau sumele medii ale duratelor de strălucire a soarelui, în ore pe lună, pentru unele localităţi din România.

Durate medii de strălucire a soarelui, în ore/lună

Localitatea Ianuarie

Mai

Iulie

Septembrie

Galaţi 76

250

307

230

Constanţa

78

254

330

243

Craiova 64

252

310

208

Cluj 83

219

236

201

Radiaţia solară globală [W/m2] se compune din:

• Radiaţie directa – depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia directa in unde scurte este cea mai importanta componenta a radiatiei globale si are aportul cel mai mare in bilantul energetic

• Radiaţie difuză (datorată aerului atmosferic şi norilor) – nu depinde de orientarea suprafetei receptoare. Radiatia difuza este imprastiata din razele solare de catre aer si aerosoli (particule de praf, resturi de vegetatie, etc)

• Radiatia reflectata este in principal datorita neregularitatilor din teren si are un aport mai mare in special in zonele muntoase

Pe cer senin radiaţia directă este maximă şi cea difuză minimă, iar pe cer înnorat, invers.

Radiaţia solară globală este diferită în funcţie de ora zilei. La calculul radiatiei solare asupra unei clădiri trebuie avute în vedere particularităţile amplasamentului referitoare la vecinătăţi şi la efectele umbririi cauzate de vegetaţie şi alte clădiri.

23

Tipurile de radiatie solara: a) directa; b) difuza; c) reflectata

In general graficul de radiatie solara de-a lungul unui an este dupa caracteristica prezentata mai jos:

Radiatia solara (I) este rata de la care energia radiant este incidenta pe unitatea de suprafata. Daca cerul este senin se poate calcula de asemenea o component difuza a radiatiei care este si izotropica. In conditii de cer noros sau partial noros de asemenea exista o radiatie difuza dar care de data aceasta nu mai este izotropica.

Daca intensitatea de radiatie soseste pe suprafata de pamant dintro directive data, atunci cantitatea de radiatie incident pe unitatea de suprafata de-a lungul directiei “zenith” este:

𝐼𝑧 = 𝐼 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑧

unde 𝜃𝑧 este unghiul azimuthal intre normal la suprafata si directia razei.

24

O formula de calcul a intensitatii radiatiei solare pentru o anumita data din an, este prezentata mai jos:

𝐼 = 𝐼0 1 + 0.033 𝑐𝑜𝑠 360 𝑁𝑐

365

unde 𝑁𝑐 este numarul de ordine al zilei din an.

Orbita Pamantului in jurul Soarelui

Unghiurile specifice radiatiei solare

25

3. Calculul termotehnic al componentelor cladirii

Calculul termotehnic al componentelor cladirii are in principal urmatoarele ratiuni:

• Asigurarea confortului interior al cladirii • Reducerea consumului de energie • Evitarea aparitiei condensului fie pe suprafetele elementelor de constructive fie in interiorul

acestora

Rezistenta termica unidirectionala a unui perete multistrat

Fluxul termic prin perete si normal la acesta este constant indifferent de tipul de transfer de caldura din aproape in aproape:

𝑞𝑖 = 𝑞1 =. . . = 𝑞𝑛 = 𝑞𝑒 = 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

In consecinta:

𝛼𝑖(𝜃𝑖 − 𝜃1) =𝜆1𝛿1

(𝜃𝑖 − 𝜃1) =. . . =𝜆𝑛𝛿𝑛

(𝜃𝑛−1 − 𝜃𝑛) = 𝛼𝑒(𝜃𝑛 − 𝜃𝑒) = 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Sau

𝑅𝑖(𝜃𝑖 − 𝜃1) = 𝑅1(𝜃𝑖 − 𝜃1) =. . . = 𝑅𝑛(𝜃𝑛−1 − 𝜃𝑛) = 𝑅𝑒(𝜃𝑛 − 𝜃𝑒) = 𝑞 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

unde 𝑅𝑖 rezistentele termice 𝑅𝑖 = 1𝛼𝑖

; 𝑅1 = 𝛿1𝜆1

; … ; 𝑅𝑛 = 𝛿𝑛𝜆𝑛

; 𝑅𝑒 = 1𝛼𝑒

𝑞𝑖 𝑞1 𝑞2 𝑞𝑛−1 𝑞𝑛 𝑞𝑒

𝛿1 𝛿2 𝛿𝑛−1 𝛿𝑛

𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛−1 𝜆𝑛

𝛼𝑖 𝛼𝑒

𝜃𝑖 𝜃1 𝜃2 𝜃𝑛−1 𝜃𝑛 𝜃𝑒

𝜃𝑖 𝑅𝑖 𝜃1 𝑅1 𝜃2 𝑅2 𝜃2 𝜃𝑛−2 𝑅𝑛−2 𝜃𝑛−1 𝑅𝑛−1 𝜃𝑛 𝑅𝑒 𝜃𝑒

26

Caderea de temperatura totala de la suprafata interioara a peretelui la suprafata exterioara a acestuia este suma caderilor de temperature pe fiecare strat de perete.

∆𝜃 = ∆𝜃𝑖 + ∆𝜃1+. . . +∆𝜃𝑛−1 + ∆𝜃𝑒

𝜃𝑖 − 𝜃𝑒 = (𝜃𝑖 − 𝜃1) + (𝜃1 − 𝜃2)+. . . (𝜃𝑛−1 − 𝜃𝑛) + (𝜃𝑛 − 𝜃𝑒) = 𝑅𝑖 𝑞 + 𝑅1 𝑞+. . . + 𝑅𝑛 𝑞 + 𝑅𝑒 𝑞= 𝑅 𝑞

Se obtine ca rezistenta termica totala a peretelui format din straturi in serie este suma rezistentelor termice ale straturilor parcurse de un flux termic perpendicular pe acestea.

𝑅 = 𝑅𝑖 + 𝑅1+. . . + 𝑅𝑛 + 𝑅𝑒 = 𝑅( )

Notatii

𝜃𝑖 ,𝜃𝑒 [𝐾] – temperatura de pe fata interioara respective exterioara a peretelui

𝜃1, … , 𝜃𝑛 [𝐾] – temperaturile de pe fetele straturilor din perete

Rezistenta termica a unui perete alcatuit din straturi paralele cu fluxul termic

𝛿

𝜆1 𝑄1

𝜆2 𝑄2

𝛼𝑖

𝜃𝑖

𝛼𝑒

𝜃𝑒

𝑄 𝑄

𝑅1

𝑅2

𝑅𝑛−1

𝑅𝑛

𝜃𝑖 𝜃𝑒

27

Fluxul prin suprafata totala a unui element de constructie este suma tuturor fluxurilor prin suprafetele celor n straturi paralele ce o compun.

𝑄 = 𝑄1 + 𝑄2+. . . +𝑄𝑛

∆𝜃 = 𝜃𝑖 − 𝜃𝑒 = ∆𝜃1 = ∆𝜃2 =. . . = ∆𝜃𝑛

𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2+. . . +𝑆𝑛

Deci

𝑞𝑆 = 𝑞1𝑆1 + 𝑞2𝑆2+. . . +𝑞𝑛𝑆𝑛

𝑞𝑘 =∆𝜃𝑘 𝑅𝑘

Rezulta

∆𝜃𝑅‖

𝑆 =∆𝜃 𝑅1

𝑆1 +∆𝜃 𝑅2

𝑆2+. . . +∆𝜃 𝑅𝑛

𝑆𝑛

Se obtine formula:

𝑅‖ =𝑆

𝑆1 𝑅1

+ 𝑆2 𝑅2

+. . . + 𝑆𝑛 𝑅𝑛

Transferul de caldura in interiorul unui perete din doua panouri radiante

𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐1 𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐2

𝑅𝑟

𝜃𝑖 𝜃𝑒

δ

𝜃𝑖 𝜃𝑒

𝛼𝑖 𝛼𝑒

28

Q𝑟 =𝐶𝑟 𝑆100

(𝜃𝑖4 − 𝜃𝑒4) = 𝐶𝑟 𝑆1004

(𝜃𝑖 + 𝜃𝑒)(𝜃𝑖2 + 𝜃𝑒2) (𝜃𝑖 − 𝜃𝑒) =(𝜃𝑖 − 𝜃𝑒)

Rr

Prin urmare rezistenta termica in cazul radiatiei este:

Rr =0.1 ∙ 10−3

𝐶𝑟 𝑆 (𝜃𝑖 + 𝜃𝑒)(𝜃𝑖2 + 𝜃𝑒2)

In cazul convectiei rezistenta termica este:

Rconv =1

𝛼𝑐𝑐𝑛𝑐 𝑆

Aplicand regulile circuitelor termice se obtine:

Rconv = Rconv1 + Rconv2 1R

=1

Rconv+

1Rr

R =Rr + Rconv

Rr Rconv

Calculul termotehnic al ferestrelor

𝑖

𝜃𝑖

𝐼

𝑟𝐼

𝜃𝑒

𝐼0 𝑖′

𝑡

𝐼𝑡

𝑟𝐼𝑡

(1 − 𝑟)𝐼𝑡

29

Din punct de vedere al energiei, ferestrele sunt elementele prin care se poate pierde multa energie

daca nu este adoptata o solutie constructiva satisfacatoare a acestora. Cu geamuri conventionale practic

o mare cantitate de energie este pierduta in exterior. In case tipice cu astfel de ferestre conventionale

pierderile de caldura pot ajunge pana la 1/3 din energia termica pentru incalzirea cladirii.

Ferestrele prin constructia lor furnizeaza izolare termica dar si captare de energie din radiatia solara.

In general geamurile transmit 75-80% din radiatia solara catre incapere, absorb 10-20% si reflecta

inapoi in exterior 10-20%.

Pentru intreaga fereastra se calculeaza un coeficient global de schimb de caldura echivalent

incluzand pe cel al geamului, cadrului si tocului.

𝐾 =𝐾𝑐𝑔𝑆𝑐𝑔 + 𝐾𝑒𝑔𝑆𝑒𝑔 + 𝐾𝑓𝑆𝑓

𝑆𝑐𝑔 + 𝑆𝑒𝑔 + 𝑆𝑓

In care suprafata totala de calcul va fi 𝑆 = 𝑆𝑐𝑔 + 𝑆𝑒𝑔 + 𝑆𝑓

Pentru o intensitate de radiatie solara I incidenta pe geam, o parte ρI este reflectata, o alta parte αI este

absorbita in geam, si o alta parte τI este transmisa catre interior.

𝜌 + 𝛼 + 𝑑 = 1

Radiatia transmisa spre interior se considera absorbita total prin efectul de cavitate, intrucat marea

majoritate din razele radiante ce trec de geamuri parcurg mai departe drumul pana sunt absorbite de

pereti, cantitatea rezultata din reflectia din suprafata interioara a geamului respectiv din peretii

incaperii inapoi la geam fiind nesemnificativa.

𝐼0 = (1 − 𝑟)𝐼

Daca 𝜉 este versorul radiatiei I0 care va parcurge peretele, atunci:

𝑑𝐼𝑑𝜉

= −𝑘𝜉

𝐼 = 𝐼0𝑒−𝑘𝜉

Atunci cand 𝜉 = 𝑡𝑐𝑐𝑠 𝑖′

se obtine ca:

𝐼𝑡 = 𝐼0𝑒− 𝑘𝑡𝑐𝑐𝑠 𝑖′

30

Deci cantitatea de caldura absorbita de geam este:

𝐼0 − 𝐼𝑡 = 𝐼0 1 − 𝑒−𝑘𝑡

𝑐𝑐𝑠 𝛼′

Si fractiunea de absorbtie este deci:

𝑎 =𝐼0 − 𝐼𝑡𝐼0

= 1 − 𝑒−𝑘𝑡

𝑐𝑐𝑠 𝛼′

𝐼𝑡 = (1 − 𝑎)𝐼0

Fluxul de radiatie transmisa prin geam va fi (1 − 𝑟)𝐼𝑡

In prezenta radiatiei solare, fluxul termic total prin geam este:

= 𝐾(𝜃𝑒 − 𝜃𝑖) + 𝑑𝐼𝑆 + 𝛼𝑖𝑆 ∆𝑇

Unde ∆𝑇 este diferenta cu care a crescut temperatura geamului.

In situatie fara radiatie caldura transferata este:

= 𝛼𝑖𝜃𝑖 − 𝜃𝑝𝑖 =𝜆𝛿𝜃𝑝𝑖 − 𝜃𝑝𝑒 = 𝛼𝑒𝜃𝑝𝑒 − 𝜃𝑒 = 𝐾(𝜃𝑖 − 𝜃𝑒)

𝐾 =1

1𝛼𝑖

+ 𝛿𝜆 + 1

𝛼𝑒

La existenta radiatiei mai apare un flux de caldura provenit radiatie convertita in caldura 𝑟𝑐 si un

flux de radiatie ramasa 𝑟𝑛𝑐 astfel incat caldura schimbata este:

𝑄 = − 𝑟 = − 𝑟𝑐 − 𝑟𝑛𝑐

𝑄 = 𝐾𝑆(𝜃𝑖 − 𝜃𝑒) − 𝛼𝑖𝑆∆𝑇 − 𝑑𝐼𝑆

Deci:

𝑄 = 𝛼𝑖𝑆𝜃𝑖 − 𝜃𝑝𝑖 − ∆𝑇 − 𝑑𝐼 =𝜆𝛿𝑆𝜃𝑝𝑖 − 𝜃𝑝𝑒 + 𝑚𝑐𝑝∆𝑇 = 𝛼𝑒𝑆𝜃𝑝𝑒 + ∆𝑇 − 𝜃𝑒 − (𝛼 + 𝑑)𝑆𝐼

Rezulta ca

𝛼𝐼 = 𝛼𝑖∆𝑇 + 𝛼𝑒∆𝑇 = ∆𝑇(𝛼𝑖 + 𝛼𝑒)

Practic

(𝛼 + 𝑑)𝐼 = 𝛼𝑒∆𝑇 + 𝑚𝑐𝑝∆𝑇 = 𝛼𝑖∆𝑇 + 𝑑𝐼

Deci

31

∆𝑇 =𝛼

(𝛼𝑖 + 𝛼𝑒) 𝐼

Se obtine o noua expresie a schimbului total de caldura:

𝑄 = 𝐾𝑆(𝜃𝑖 − 𝜃𝑒) −𝛼𝛼𝑖

(𝛼𝑖 + 𝛼𝑒) 𝑆 − 𝑑𝐼𝑆

Deci castigul de caldura din radiatie este:

𝑟 =𝛼𝛼𝑖

(𝛼𝑖 + 𝛼𝑒) 𝑆 + 𝑑𝐼𝑆

Mai departe vom explicita legatura dintre termenii ρ, α si τ.

32

𝐼 = 𝐼𝜌 + 𝐼𝛼 + 𝐼𝜏 = 𝜌𝐼 + 𝛼𝐼 + 𝑑𝐼

𝛼𝐼 = (1 − 𝜌)𝑎𝐼 + (1 − 𝜌)𝑎𝜌(1 − 𝑎) + (1 − 𝜌)𝑎𝜌(1 − 𝑎)𝜌(1 − 𝑎) …

= 𝑎(1 − 𝜌)𝐼 + 𝑎𝜌(1 − 𝜌)(1 − 𝑎)𝐼 + 𝑎𝜌(1 − 𝜌)(1 − 𝑎)2𝐼+. ..

= 𝑎(1 − 𝜌)𝐼[1 + 𝜌(1 − 𝑎) + 𝜌2(1 − 𝑎)2+. . . ] = 𝑎(1 − 𝜌)𝐼 lim𝑛→∞ 1−𝜌𝑛+1(1−𝑎)𝑛+1

1−𝜌(1−𝑎)

= 𝑎(1−𝜌)1−𝜌(1−𝑎)

𝐼

𝜌𝐼 = 𝑟𝐼 + 𝑟(1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)2 + 𝑟3(1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)4 + ⋯

= 𝑟1 + (1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)2[1 + 𝑟2(1 − 𝑎)2 + ⋯ ]

= 𝑟𝐼 1 + (1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)2 lim𝑛→∞1−𝑟2𝑛+2(1−𝑎)2𝑛+2

1−𝑟2(1−𝑎)2

= 𝑟𝐼 1 + (1−𝑟)2(1−𝑎)2

1−𝑟2(1−𝑎)2

𝑑𝐼 = (1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)𝐼 + 𝑟2(1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)3𝐼 + 𝑟4(1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)5𝐼+. ..

= (1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)𝐼[1 + 𝑟2(1 − 𝑎)2 + 𝑟4(1 − 𝑎)4+. . . ]

= (1 − 𝑟)2(1 − 𝑎)𝐼 lim𝑛→∞1−𝑟2𝑛+2(1−𝑎)2𝑛+2

1−𝑟2(1−𝑎)2

= (1−𝑟)2(1−𝑎)1−𝑟2(1−𝑎)2

𝐼

Elemente de calculul termotehnic al fundatiei cladirii

La nivelul fundatiei cladirii are loc transfer de caldura ce are rolul practic de a diminua variatiile de temperatura din incinta. Se remarca urmatoarele situatii:

• Iarna daca cladirea este neincalzita toate variatiile de temperatura din cladire sunt amortizate de schimbul de caldura cu pamantul de sub fundatie. Daca cladirea este neincalzita iarna, apar perioade de transfer de caldura de la cladire spre fundatie (incalzire brusca a vremii), dar pot fi si perioade cand fundatia cedeaza caldura catre cladire (racire brusca a vremii).

• Iarna daca cladirea este incalzita se cedeaza permanent caldura catre pamantul de sub fundatie. • Vara datorita faptului ca cladirea are inertie termica mult mai mica decat pamantul,ea se

incalzeste mai mult si apare un flux de caldura de la cladire spre pamantul de sub ea. Practic pamantul de sub cladire vara are un efect de racorire a acesteia.

33

La nivelul pamantului de sub fundatie transferul de caldura se produce dupa directii perpendiculare pe izotermele ce se stabilesc la nivelul solului.

Daca ne uitam la formaa izotermelor din pamantul fundatiei, vom vedea o diferentiere alurii curburii in perioada rece fata de cea calda de-a lungul anului, deci apare o diferenta a fluxurilor atat ca marime cat si ca directie.

34

O privire mai de ansamblu asupra profilului termic al solului functie de sezon este data in figura de mai jos:

Datorita inertiei termice mari, solul de sub fundatie si implicit fundatia vor avea un raspuns intarziat si cu atenuare la variatiile exterioare de temperatura.

35

In figura de mai jos se prezinta caracteristicile de temperatura ale solului la diferite adancimi. Cu cat adancimea este mai mare schimbarile de temperatura ale aerului de afara sunt resimtite mai putin. Practic la 5 m adancime variatiile de temperatura de la suprafata nu mai sunt resimtite.\

Pentru o fundatie pbisnuita se vor folosi materialele ca in tabelul de mai jos.

Material Grosime, δ [mm]

Densitatea, ρ [Kg/m3]

Conductivitatea termica, 𝝀 [W/mK]

Caldura specifica, Cp [J/Kg K]

Pardoseala beton 10 2400 1.500 1000 Radier beton 200 2400 1.500 1000 Pietris 100 2000 2.000 812 Izolatie termica 50 40 0.029 1.21 Pamant - 1.000

36

In figura de mai jos este prezentata o schita a modelului de studiat

Intreaga fundatie se considera o placa asezata pe sol.

Caldura pierduta prin suprafata planseului:

𝑄(𝑑) = −𝜆𝜕𝜃𝜕𝑛

𝑑𝑆

𝑆

Conditia de frontiera la interior:

𝜃𝑖 − 𝜃𝛿/𝜆

= −𝜆𝜕𝜃𝜕𝑛

Conditia de frontiera la exterior:

𝜃𝑒(𝑑) = 𝜃0 + 𝜃1𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑑𝑑𝑝− 𝜑1

Unde Θe este temperatura externa, Θ0 temperatura medie anuala, Θ1 amplitudinea de temperatura, 𝑑𝑝 perioada de variatie de un an de zile, iar 𝜑1 este faza de timp in care se pozitioneaza datele initiale incat graficul de variatie sa se suprapuna pe variatia din realitate.

Pentru rezolvarea distributiei temperaturilor si fluxurilor in sol, descrierea fenomenului de transfer de caldura este dupa ecuatia Laplace:

37

• in flux stationar de caldura: 𝜕2𝜃𝜕𝑥2

+𝜕2𝜃𝜕𝑦2

+𝜕2𝜃𝜕𝑧2

= 0

• in flux tranzitoriu de caldura: 1𝑎𝜕𝜃𝜕𝑑

=𝜕2𝜃𝜕𝑥2

+𝜕2𝜃𝜕𝑦2

+𝜕2𝜃𝜕𝑧2

Aceasta ecuatie diferentiala cu derivate partiale se va putea rezolva prin metoda diferentelor finite sau prin metoda elementului finit.

Un exemplu relevant pentru cazul unidimensional de schimb de caldura il vom prezenta mai jos:

1𝑎𝜕𝜃𝜕𝑑

=𝜕2𝜃𝜕𝑦2

Bazat pe aceasta ecuatie, se poate alege o functie care satisface atat aceasta ecuatie, dar care acopera in buna masura datele experimentale de variatie a temperaturii exterioare de-a lungul anului.

O astfel de solutie este de exemplu pentru un caz particular:

𝜃(𝑦, 𝑑) = 𝜃0 − 𝐴0𝑒−𝑦 𝜋

365 𝜀0.5

𝑐𝑜𝑠 2𝜋

365𝑑 − 𝑑0 −

𝑦2

𝜋365 𝜀

0.5

In ecuatie apare marimea 𝜀 care este difuzivitatea termica a solului, iar 𝑑0 este constanta de faza care ajusteaza fprmula la variatia reala a temperaturii.

Daca modelul de fundatie se discretizeaza cu elemente finite, atunci in urma rularii modelului rezultatele vor arata ca in figura de mai jos.

Un model de simulare al pierderii de caldura prin radierul de fundatie in luna ianuarie este prezentat de asemenea mai jos.

38

39

4. Calcul numeric al transferului de caldura in cladiri

Sunt mai multe modalitati de calcul numeric al transferului de caldura, dar cele mai importante sunt:

• metoda diferentelor finite – se porneste de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul ajungandu-se in urma discretizarii si stabilirii conditiilor de margine la un sistem de ecuatii banal

• metoda elementului finit – se porneste tot de la ecuatiile ce guverneaza fenomenul la scara intregului, ulterior in urma discretizarii forma ecuatiei inca se recunoaste la nivelul elementelor finite rezultate, fiecare element finit este reprezentat de o matrice, iar matricea globala a intregului studiat este insumarea tuturor matricelor elementelor finite.

• Metoda volumelor finite • Metoda spectrala

Vom aborda doar primele 2 metode.

Metoda diferentelor finite in schimbul de caldura

In figura de mai sus este prezentat un element de volum tridimensional centrat in nodul (i,j,k). Laturile acestuia sunt ∆𝑥, ∆𝑦, ∆𝑧. Variatia numarului de nod I, j, k in cazul nostru se face dupa directiile x, y, respectiv z.

In elaborarea metodei diferentelor finite se pleaca de la desfasurarea functiei in serie Taylor, anume:

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) +11!𝜕𝑓𝜕𝑥

(𝑥 − 𝑥0) +12!𝜕2𝑓𝜕𝑥2

(𝑥 − 𝑥0)2 +13!𝜕3𝑓𝜕𝑥3

(𝑥 − 𝑥0)3 +14!𝜕4𝑓𝜕𝑥4

(𝑥 − 𝑥0)4 + ⋯

i,j,k i+1,j,k

i,j,k

i,j,k+1 i,j+1,k

i-1,j,k

i,j-1,k

40

Sunt trei concepte care se aplica in diferentiere, in functie de conjunctura studiului care se urmeaza sa se faca, anume:

• diferentierea “inainte”

𝜕𝑓𝜕𝑥𝑖

=𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥)

• diferentierea “centrala” (din punct de vedere pur matematic cea mai riguroasa)

𝜕𝑓𝜕𝑥𝑖

=𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1

2 ∆𝑥+ 𝑂(∆𝑥2)

• diferentierea “inapoi”

𝜕𝑓𝜕𝑥𝑖

=𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥)

Dupa cum se vede, apare termenul 𝑂(∆𝑥) care se cheama “eroare de truncare” si apare datorita faptului ca in exprimarea cu diferente finite a unei functii sau diferentialei acesteia se face in limitele unei erori acceptate ca urmare a faptului ca termenii de grad superior ai seriei Taylor sunt neglijati. Se observa ca prin diferentierea centrala eroarea de truncare este cea mai mica dintre cele trei variante, anume porneste abia de la ∆𝑥2 , fiind 𝑂(∆𝑥2).

Oricare din cele trei metode folosite da rezultate asemanatoare, problema alegerii uneia dintre ele este doar de convenienta sau functie de anumite rigori ce le impune modelul studiat.

Trebuie sa prezentam mai pe larg cum se pleaca de la seria Taylor pentru a se ajunge la formulele de diferentiere:

𝑓(𝑥 + ℎ) ≈ 𝑓(𝑥) +𝑓′(𝑥)

1!ℎ +

𝑓′′(𝑥)2!

ℎ2

𝑓(𝑥 − ℎ) ≈ 𝑓(𝑥) −𝑓′(𝑥)

1!ℎ +

𝑓′′(𝑥)2!

ℎ2 →

𝑓′(𝑥) =𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 − ℎ)

2ℎ

𝑓′′(𝑥) =𝑓(𝑥 + ℎ) − 2 ∙ 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥 − ℎ)

ℎ2

Se obtin astfel diferentele finite:

• Derivata partiala de ordin 1 centrala in nodul (i,j,k)

𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝜕𝑥=𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘 − 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘

2 ∙ ∆𝑥 ;

𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝜕𝑦=𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘 − 𝑇𝑖,𝑗−1,𝑘

2 ∙ ∆𝑦 ;

𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝜕𝑧=𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1 − 𝑇𝑖,𝑗,𝑘−1

2 ∙ ∆𝑧

• Derivarea de ordin 2 in mod central in nodul (i,j,k)

𝜕2𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝜕𝑥2=𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘 − 2 ∙ 𝑇𝑖,𝑗,𝑘 + 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘

∆𝑥2

∂2Ti,j,k∂y2

=𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘 − 2 ∙ 𝑇𝑖,𝑗,𝑘 + Ti,j−1,k

∆𝑦2

∂2Ti,j,k∂z2

=𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1 − 2 ∙ 𝑇𝑖,𝑗,𝑘 + Ti,j,k−1

∆𝑧2

41

Ecuatia de transfer de caldura stationar de-a lungul sistemului discretizat va fi:

Ti+1,j,k + 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘 + 𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘 + Ti,j−1,k + 𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1 + Ti,j,k−1 − 2 ∙ 𝑙 ∙ Ti,j,k = 0

In forma unidimensionala:

Ti+1 + 𝑇𝑖−1 − 2 Ti

Practic in forma matriceala aceasta ecuatie are forma (intr-un studiu unidimensional, ):

[𝐴] ∙ [𝑇] = [𝐶]

care dezvoltata inseamna:

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑎11 𝑎12 𝑎13 0 … 0 0 0 0

0 𝑎21 𝑎22 𝑎23 0 0 … 0 0

0 0 𝑎31 𝑎32 𝑎33 0 0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ … ⋮ ⋮

0 0 … 0 𝑎𝑚−2,𝑛−4 𝑎𝑚2,𝑛−3 𝑎𝑚−2,𝑛−2 0 0

0 0 0 0 0 𝑎𝑚−1,𝑛−3 𝑎𝑚−1,𝑛−2 𝑎𝑚−1,𝑛−1 0

0 0 0 0 … 0 𝑎𝑚,𝑛−2 𝑎𝑚,𝑛−1 𝑎𝑚,𝑛⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

∙

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑇1𝑇2𝑇3⋮

𝑇𝑛−2𝑇𝑛−1𝑇𝑛 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑏10𝑏20𝑏30⋮

𝑏𝑛−2,0

𝑏𝑛−1,0

𝑏𝑛0 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

Ca sa fie rezolvabila aceasta ecuatie matriceala atunci numarul de linii trebuie sa fie egal cu numarul de coloane.

Se observa ca pe fiecare linie sunt maxim 3 termeni, acest lucru rezultand din faptul ca in cadrul ecuatiei apar pentru fiecare directie termenii a 3 noduri succesive.

In general aceasta relatie matriceala implica foarte multe grade de libertate si atunci rezolvarea acesteia pe cale analitica implica un consum mare de resurse de calcul cat si de timp de rezolvare, ca atare sunt preferate tehnicile de rezolvare prin iteratii, intre care este si metoda Gauss – Seidel. Exactitatea solutiilor este cu atat mai mare cu cat numarul de noduri rezultate din discretizarea modelului este mai mare.

O mare atentie in rezolvarea acestui sistem de ecuatii trebuie acordata conditiilor de margine.

La regim nestationar derivata partiala (diferenta “inainte”) a temperaturii in raport cu timpul in nodul u este:

𝜕𝑇𝑢

𝜕𝑑=𝑇(𝑢+1) − 𝑇(𝑢)

∆𝑑

Relationari pentru regim nestationar si tridimensional

𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢

𝜕𝑥=𝜕𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘

𝑢 − 𝜕𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘𝑢

2 ∙ ∆𝑥 ;

𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢

𝜕𝑦=𝜕𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘

𝑢 − 𝜕𝑇𝑖,𝑗−1,𝑘𝑢

2 ∙ ∆𝑦 ; 𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝑢

𝜕𝑧=𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1

𝑢 − 𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘−1𝑢

2 ∙ ∆𝑧

42

𝜕T𝑖,𝑗,𝑘u

𝜕𝑑=

T𝑖,𝑗,𝑘u+1 − T𝑖,𝑗,𝑘

u

2 ∙ ∆𝑑

𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘u

𝜕𝑥2=

T𝑖+1,𝑗,𝑘u − 2 ∙ T𝑖,𝑗,𝑘

u + T𝑖−1,𝑗,𝑘u

∆𝑥2

𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘u

𝜕𝑦2=

T𝑖,𝑗+1,𝑘u − 2 ∙ T𝑖,𝑗,𝑘

u + T𝑖,𝑗−1,𝑘u

∆𝑦2

𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘u

𝜕𝑧2=

T𝑖,𝑗,𝑘+1u − 2 ∙ T𝑖,𝑗,𝑘

u + T𝑖,𝑗,𝑘−1u

∆𝑧2

In acest moment avand stabilite toate diferentialele functiei T, poate fi scrisa complet ecuatia Fourier de transmitere a caldurii.

Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,

𝜕𝑇𝜕𝑑

− 𝑎 ∙ 𝜕2𝑇𝜕𝑥2

+𝜕2𝑇𝜕𝑦2

+𝜕2𝑇𝜕𝑧2

= 0

Este aplicata in nodul quadridimensional (u, i, j, k)

𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢

𝜕𝑑− 𝑎 ∙

𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘u

𝜕𝑥2+𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘

u

𝜕𝑦2+𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘

u

𝜕𝑧2 = 0

Si are ca exprimare in diferente finite expresia:

𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢+1 − 𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝑢 − ∆𝐹𝑜𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘𝑢 + 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘𝑢 + 𝑇i,j−1,k

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1𝑢 + 𝑇i,j,k−1𝑢 − 6 ∙ 𝑇i,j,k𝑢 = 0

in care ∆𝐹𝑜 = 𝑎∙∆𝜏(∆𝑥)2

este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si

rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

𝑎 ∙ ∆𝑑 ∙ 1

(∆𝑥)2 +1

(∆𝑦)2 +1

(∆𝑧)2 ≤12

Relatia (prin metoda diferentelor “inainte”) de regim tranzitoriu este:

𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢+1 − 𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝑢 − ∆𝐹𝑜 ∙ 𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘𝑢 + 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘𝑢 + 𝑇i,j−1,k

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1𝑢 + 𝑇i,j,k−1𝑢 + (1 − 2 ∙ 𝑙 ∙ ∆𝐹𝑜) ∙ 𝑇i,j,k𝑢 =0

In forma combinata in care intra in considerare o pondere, care este o derivatie intre metodele diferentelor “inainte” si “inapoi” se poate utiliza relatia dupa schema lui Crank-Nicolson:

𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢+1 − 𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝑢 − ∆𝐹𝑜 ∙ 𝜂 ∙ 𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘𝑢+1 + 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘

𝑢+1 + 𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘𝑢+1 + 𝑇i,j−1,k

𝑢+1 + 𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1𝑢+1 + 𝑇i,j,k−1𝑢+1 − 6 ∙ 𝑇i,j,k𝑢+1

−

43

∆𝐹𝑜 ∙ (1 − 𝜂) ∙ 𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘𝑢 + 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘𝑢 + 𝑇i,j−1,k

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1𝑢 + 𝑇i,j,k−1𝑢 − 6 ∙ 𝑇i,j,k𝑢 = 0

unde 𝜂 este un coeficient de pondere, 0 ≤ 𝜂 ≤ 1.

In regim nestationar vom avea o relatie matriceala de genul:

[𝐴] ∙ [𝜃𝑢+1] = [𝐵] ∙ [𝜃𝑢] + [𝐶]

Conditii de margine

Schimbul de caldura pe zona de frontiera este caracterizat de relatia:

𝜌𝑐𝑝𝜕𝑇𝜕𝑑

= 𝛼(𝑇𝑒 − 𝑇𝑠) + 𝜆𝜕2𝑇𝜕𝑥2

In diferente finite, relatia de mai sus capata forma:

𝜌𝑐𝑝𝑇𝑖𝑢+1 − 𝑇𝑖𝑢

∆𝑑= 𝛼(𝑇𝑒 − 𝑇𝑠) + 𝜆

T𝑖+1u − 2 ∙ T𝑖u + T𝑖−1u

∆𝑥2

−𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥

= 𝛼(𝑇𝑒 − 𝑇𝑠)

Nodul s1

− 𝜆𝑇1 − 𝑇𝑠1∆𝑥

+ 𝛼𝑇𝑠1 − 𝑇𝑒1 = 0

Nodul 1

− 𝜆𝑇2 − 𝑇1∆𝑥

+ 𝛼𝑇𝑠1 − 𝑇𝑒1 = 0

Nodul n

− 𝜆𝑇𝑛 − 𝑇𝑛−1

∆𝑥+ 𝛼𝑇𝑒𝑛 − 𝑇𝑠𝑛 = 0

Nodul sn

−𝜆𝑇𝑠𝑛 − 𝑇𝑛∆𝑥

+ 𝛼𝑠𝑛𝑇𝑒𝑛 − 𝑇𝑠𝑛 = 0

𝑇𝑒𝑛 𝑇𝑠𝑛 𝑇𝑛 𝑇1 𝑇𝑠1 𝑇𝑒1 𝑇2 𝑇𝑛−1

44

𝜕𝑄𝜕𝑑

= 𝑄𝑥 − 𝑄𝑥+𝑐𝑥 = −𝜕𝑄𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝜕𝑄𝜕𝑑

= 𝛼(𝑇𝑒 − 𝑇𝑠) − 𝑄𝑥+𝑐𝑥 = 𝛼(𝑇𝑒 − 𝑇𝑠) − 𝑄𝑥 +𝜕𝑄𝜕𝑥

𝑑𝑥 =

= 𝛼(𝑇𝑒 − 𝑇𝑠) + 𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥

+ 𝜆𝜕2𝑇𝜕𝑥2

𝑑𝑥

Studiul transmiterii caldurii prin metoda elementului finit

La baza studiului cu element finit se afla la scara cea mai larga de folosire aparatul matematic elaborat de Boris Grigoryevich Galerkin (1871 – 1945) metoda Galerkin.

Un domeniu de studiu D este discretizat in n elemente finite (subdomenii). Ecuatia generala ce sta la baza intregului domeniu studiat va fi folosita ca aplicare si la nivelul fiecarui element finit parte a intregului.

Fiecare element finit va avea o ecuatie matriceala aferenta rezultata din ecuatia diferentiala ce sta la baza fenomenului studiat.

Ulterior intregul domeniu D va avea o matrice globala rezultata din asamblarea matricelor fiecarui element finit. Astfel, de la ecuatia adaptata generalizat la nivelul fiecarui element finit obtinandu-se o ecuatie matriceala pentru fiecare, se ajunge la o ecuatie matriceala globala a intregului domeniu D.

De exemplu, pentru un domeniu D unidimensional, in urma discretizarii, fiecare element finit va avea o ecuatie in care va interveni o functie N de interpolare intre nodurile elementului finit.

𝑇(𝑥) = 𝑁𝑖(𝑥) ∙ 𝑇𝑖 + 𝑁𝑗(𝑥) ∙ 𝑇𝑗

In care 𝑁𝑖(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 este functie liniara de x.

De asemenea intervine o functie de pondere 𝑊𝑖.

Ecuatia unidimensionala a caldurii fara surse de caldura va avea forma:

𝑁 ∙ 𝜆 ∙𝑑2𝑇𝑑𝑥2

+ 𝑞𝑐 ∙ 𝑑𝑉 = 0

𝐷

Echivalent in relatie matriceala se obtine:

⎝

⎜⎜⎛𝜆

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝐿

𝜆𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑗𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝐿

𝜆𝜕𝑁𝑗𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝐿

𝜆𝜕𝑁𝑗𝜕𝑥

𝜕𝑁𝑗𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝐿 ⎠

⎟⎟⎞

⎝

⎜⎛

𝑇𝑖

𝑇𝑗⎠

⎟⎞

=

⎝

⎜⎛

𝑄𝑖

𝑄𝑗⎠

⎟⎞

45

Matriceala elementara are forma:

𝐾11𝑒1 𝐾12𝑒1

𝐾21𝑒1 𝐾22𝑒1 ∙ 𝑇1𝑇2

= 𝑄1𝑒1

𝑄2𝑒1

𝐾11𝑒 𝐾12𝑒𝐾21𝑒 𝐾22𝑒

=𝐾 ∙ 𝐴𝐿

1 −1−1 1

Ecuatia matriceala globala va capata forma:

Evident, fiecare matrice a elementului finit corespunzator va fi pozitionata in matricea globala corespunzator locatiei legaturilor acestuia de ansamblu (de exemplu elementul 2 are nodurile cu temperaturile 𝑇2 si 𝑇3 prin care se leaga de ansamblu, iar zona ramasa goala din jurul matricei elementului finit in cadrul matricei globale este zona fara legaturi, deci termenii sunt nuli.

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝐾11𝑒1 𝐾12𝑒1 0 0 … 0 0

𝐾21𝑒1 𝐾22𝑒1 + 𝐾11𝑒2 𝐾12𝑒2 0 … 0 0

0 𝐾21𝑒2 𝐾22𝑒2 0 … ⋮ ⋮

0 0 0 ⋱ 0 0 0

⋮ ⋮ … 0 𝐾11𝑒𝑛−1 𝐾12𝑒𝑛−1 0

0 0 … 0 𝐾21𝑒𝑛−1 𝐾22𝑒𝑛−1 + 𝐾11𝑒𝑛 𝐾12𝑒𝑛

0 0 … 0 0 𝐾21𝑒𝑛 𝐾22𝑒𝑛⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

∙

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑇1𝑇2𝑇3⋮

𝑇𝑛−2𝑇𝑛−1𝑇𝑛 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑄1𝑄2𝑄3⋮

𝑄𝑛−2𝑄𝑛−1𝑄𝑛 ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

𝑥𝑖 𝑥𝑗 𝑥

𝑁𝑖

𝑁𝑗

𝑇

46

Matricea emulata a matricei elementului 2 la dimensiunea matricei globale este:

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

0 0 0 0 … 0 0

0 𝐾11𝑒2 𝐾12𝑒2 0 … 0 0

0 𝐾21𝑒2 𝐾22𝑒2 0 … ⋮ ⋮

0 0 0 ⋱ 0 0 0

⋮ ⋮ … 0 0 0 0

0 0 … 0 0 ⋱ 0

0 0 … 0 0 0 0⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

Ecuatia matriceala elementara in forma prezentata mai sus este rezultatul prelucrarii ecuatiei caldurii prin utilizarea unor functii de interpolare.

𝑇(𝑥) = 𝛼1 + 𝛼2 ∙ 𝑥

𝑇𝑖 = 𝛼1 + 𝛼2 ∙ 𝑥𝑖𝑇𝑗 = 𝛼1 + 𝛼2 ∙ 𝑥𝑗

→

⎩⎪⎨

⎪⎧𝛼1 =

𝑇𝑖 ∙ 𝑥𝑗 − 𝑇𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑥𝑗 − 𝑥𝑖

𝛼1 =𝑇𝑗 − 𝑇𝑖𝑥𝑗 − 𝑥𝑖

𝑇 =𝑥𝑗 − 𝑥𝑥𝑗 − 𝑥𝑖

𝑇𝑖 +𝑥 − 𝑥𝑖𝑥𝑗 − 𝑥𝑖

𝑇𝑗 = 𝑁𝑖(𝑥) ∙ 𝑇𝑖 + 𝑁𝑗(𝑥) ∙ 𝑇𝑗

𝑇 = 𝑁𝑖 ∙ 𝑇𝑖 + 𝑁𝑗 ∙ 𝑇𝑗 = (𝑁𝑖 𝑁𝑗) ∙ 𝑇𝑖𝑇𝑗

unde 𝑁 = (𝑁𝑖 𝑁𝑗) este functie a formei in elementul finit in care 𝑁𝑖 + 𝑁𝑗 = 1

𝑑𝑇𝑑𝑥

=𝑑𝑁𝑖𝑑𝑥

𝑇𝑖 +𝑑𝑁𝑗𝑑𝑥

𝑇𝑗 = −1𝑙

1𝑙 ∙

𝑇𝑖𝑇𝑗

Relatia matriceala este:

[𝐾] ∙ [𝑇] = [𝑄]

j

k

i

y

x

47

In elemente bidimensionale

𝑇 = 𝑁𝑖 ∙ 𝑇𝑖 + 𝑁𝑗 ∙ 𝑇𝑗 + 𝑁𝑘 ∙ 𝑇𝑘 = (𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝑁𝑘) ∙ 𝑇𝑖𝑇𝑗𝑇𝑘

𝑁𝑖 + 𝑁𝑗 + 𝑁𝑘 = 1

𝑁𝑖𝑁𝑗𝑁𝑘 =

12𝐴

𝑎𝑖 𝑏𝑖 𝑐𝑖𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗𝑎𝑘 𝑏𝑘 𝑐𝑘

1𝑥𝑦

unde 𝑎( ) = 𝑥( )+1𝑦( )+2 − 𝑥( )+2𝑦( )+1

𝑏( ) = 𝑦( )+1 − 𝑦( )

𝑐( ) = 𝑥( )+1 − 𝑥( )

𝜕𝑇𝜕𝑥

=𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

𝑇𝑖 +𝜕𝑁𝑗𝜕𝑥

𝑇𝑗 +𝜕𝑁𝑘𝜕𝑥

𝑇𝑘 =𝑏𝑖2𝐴

𝑇𝑖 +𝑏𝑗2𝐴

𝑇𝑗 +𝑏𝑘2𝐴

𝑇𝑘

𝜕𝑇𝜕𝑦

=𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦

𝑇𝑖 +𝜕𝑁𝑗𝜕𝑦

𝑇𝑗 +𝜕𝑁𝑘𝜕𝑦

𝑇𝑘 =𝑐𝑖

2𝐴𝑇𝑖 +

𝑐𝑗2𝐴

𝑇𝑗 +𝑐𝑘2𝐴

𝑇𝑘

⎝

⎛

𝜕𝑇𝜕𝑥𝜕𝑇𝜕𝑦⎠

⎞ =1

2𝐴 𝑏𝑖 𝑏𝑗 𝑏𝑘𝑐𝑖 𝑐𝑗 𝑐𝑘

𝑇𝑖𝑇𝑗𝑇𝑘

Criterii de stabilitate a solutiilor numerice

Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-un mediu continuu de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sunt in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.

In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentine solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale unor coordonate care in principiu sunt independente una de alta.

Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii sa existe cate un element finit in care ∆𝑥 ≫ ∆𝑦 sau invers.

Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit de genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.

1

3 2

48

Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumite elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu de intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.

Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu erori care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregului model determinand rezultate de neconceput.

Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este cea mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toate componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvant iterative.

Pornim de la forma Cranck-Nickolson:

𝑇𝑗𝑢+1 = ∆𝐹𝑜 𝑇𝑗+1𝑢 + (1 − 2 ∆𝐹𝑜)𝑇𝑗𝑢 + ∆𝐹𝑜 𝑇𝑗−1𝑢

in care ∆𝐹𝑜 = 𝑎∙∆𝜏(∆𝑥)2

este modulul Fourier si care defineste raportul dintre rata caldurii conduse si

rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu cu conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar cu un potential mare de stocare de caldura.

Substituind component generala Fourier 𝑇𝑗𝑢 = 𝐴𝑘𝑢 𝑒𝑖𝜋 𝑘 𝑗 ∆𝑥

𝑙 in relatia de mai sus, obtinem:

𝐴𝑘𝑢+1 𝑒𝑖𝜋 𝑘 𝑗 ∆𝑥

𝑙 = 𝐴𝑘𝑢 ∆𝐹𝑜 𝑒𝑖𝜋 𝑘 (𝑗+1) ∆𝑥

𝑙 + (1 − 2 ∆𝐹𝑜)𝑒𝑖𝜋 𝑘 𝑗 ∆𝑥

𝑙 + ∆𝐹𝑜 𝑒𝑖𝜋 𝑘 (𝑗−1) ∆𝑥

𝑙

Se obtine:

𝐴𝑘𝑢+1

𝐴𝑘𝑢= (1 − 2 ∆𝐹𝑜) + ∆𝐹𝑜 𝑒𝑖

𝜋 𝑘 𝑗 ∆𝑥𝑙 + ∆𝐹𝑜 𝑒−𝑖

𝜋 𝑘 𝑗 ∆𝑥𝑙

= 1 − 2 ∆𝐹𝑜 + 2 ∆𝐹𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑘 ∆𝑥𝑙 = 1 − 4 ∆𝐹𝑜 𝑠𝑖𝑛2

𝜋 𝑘 ∆𝑥2𝑙

Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier.

Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui sa fie satisfacuta relatia:

𝐴𝑘𝑢+1

𝐴𝑘𝑢 ≤ 1

Deci in consecinta

1 − 4 ∆𝐹𝑜 𝑠𝑖𝑛2 𝜋 𝑘 ∆𝑥

2𝑙 ≤ 1

adica |1 − 4 ∆𝐹𝑜| ≤ 1 sau 1 − 4 ∆𝐹𝑜 ≤ 1 daca 1 − 4 ∆𝐹𝑜 > 0 −1 + 4 ∆𝐹𝑜 ≤ 1 daca 1 − 4 ∆𝐹𝑜 ≤ 0

49

deci ∆𝐹𝑜 ≥ 0 ∆𝐹𝑜 ≤ 1

2 sau 0 ≤ ∆𝐹𝑜 ≤ 1

2 rezultand astfel 𝑎∆𝜏

(∆𝑥)2≤ 1

2

Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:

∆𝑑 ≤(∆𝑥)2

2 𝑎

Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura,

𝜕𝑇𝜕𝑑

− 𝑎 ∙ 𝜕2𝑇𝜕𝑥2

+𝜕2𝑇𝜕𝑦2

+𝜕2𝑇𝜕𝑧2

= 0

𝜕𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢

𝜕𝑑− 𝑎 ∙

𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘u

𝜕𝑥2+𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘

u

𝜕𝑦2+𝜕2T𝑖,𝑗,𝑘

u

𝜕𝑧2 = 0

are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia

𝑇𝑖,𝑗,𝑘𝑢+1 − 𝑇𝑖,𝑗,𝑘

𝑢 − ∆𝐹𝑜𝑇𝑖+1,𝑗,𝑘𝑢 + 𝑇𝑖−1,𝑗,𝑘

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗+1,𝑘𝑢 + 𝑇i,j−1,k

𝑢 + 𝑇𝑖,𝑗,𝑘+1𝑢 + 𝑇i,j,k−1𝑢 − 6 ∙ 𝑇i,j,k𝑢 = 0

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

𝑎 ∙ ∆𝑑 ∙ 1

(∆𝑥)2 +1

(∆𝑦)2 +1

(∆𝑧)2 ≤12

50

5. Teoria circuitelor termice

Atat in transformari in regim stationar cat si nestationar procesele de transfer de caldura pot fi asimilate cu procesele si relationarile din circuite electrice, in sensul ca se pot face unele analogii ce vor facilita studierea lor.

Astfel,

Marimea Termica Marmea Electrica Temperatura, T [K] Potentialul electric, U [V] Flux termic, Q [W/s] Intensitatea curentului, I [A] Rezistenta termica, 𝑅 = 1

𝐾∙𝑆 [ K/W] Rezistenta Electrica, R [Ω]

Capacitatea termica a fluidui, C [𝐽/𝐾𝑔 ∙ 𝐾] Capacitatea electrica, C [F]

Se pot face unele analogii in privinta aparatelor specifice domeniilor termic si electric

Aparat termic Aparat Electric Perete Configuratie Rezistor+Condensator Suprafete radiante paralele Condensator electric Volum de gaz Condensator electric Schimbator de caldura Transformator electric

In forma Laplace generalizata in coordonata “s” fiecare componenta are urmatoarele marimi omoloage corespunzatoare imaginii transformatei Laplace:

Element Marime specifica Impedanta specifica Rezistor 𝑅 𝑅 Condensator 𝐶 1

𝑠 ∙ 𝐶

Inductanta 𝐿 1𝑠 ∙ 𝐿

.Ca o observatie, inca nu s-a gasit un omolog pentru inductanta electrica in circuitele termice.

Impedanta este marimea ce poate ingloba si caracteristica de rezistor si e cea de condensator, deci este exact marimea ce poate exprima de una singura comportamentul unui perete sau al masei de aer dintr-un compartiment.

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 ∙ 𝑋

Unde R este rezistenta componentei respectiv X este reactanta acesteia.

‖𝑍‖ = 𝑅2 + 𝑋2

Unde 𝑅 = ‖𝑍‖ ∙ cos(𝜑) , 𝑋 = ‖𝑍‖ ∙ sin(𝜑) , 𝜑 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑋𝑅

Aplicand toate aceste analogii, vom studia mai departe cateva exemple tipice de transfer de caldura in analogie cu circuitele electrice.

51

Circuitul termic al unui perete simplu

Fiecare componenta din circuitul termic se calculeaza dupa formulele:

Capacitatea: 𝐶 = 𝜌𝑐𝑝𝑉 = 𝜌𝑐𝑝𝑆 ∆𝑥

Rezistenta convectiva: Rconv = 1𝛼𝑐𝑜𝑛𝑣 𝑆

Rezistenta radiativa: Rr = 0.1∙10−3

𝐶𝑟 𝑆 (𝜃𝑖+𝜃𝑒)𝜃𝑖2+𝜃𝑒2

Rezistenta conductiva: Rcond = 1𝜆𝛿 𝑆

Circuit RC cu constanta de timp al unei incinte

In aceasta situatie se considera incinta avand caldura stocata sub forma de energie interna in “condensatorul” sau de capacitate C. Lasand sistemul sa functioneze si interactioneze liber, din condensator incepe sa fie emis un flux de caldura Q prin peretele de “rezistenta” termica globala R. Deci oricum pentru a modela inertia termica a unui element trebuie folosit modelul de condensator cu capacitatea sa de stocare.

𝐶𝑑𝜃𝑖𝑑𝑑

=𝜃𝑒 − 𝜃𝑖𝑅

+ 𝑄

Daca 𝜃𝑖 = 𝜃 + 𝜃𝑒 + 𝑅𝑄 si 𝑑𝑐 = 𝑅𝐶 atunci:

𝑑𝑐𝑑𝜃𝑑𝑑

+ 𝜃 = 0

𝜃1 𝜃2

𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐,1 𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐,2

𝑅𝑟,𝑖

𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐,𝑖 𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐,𝑒

𝑅𝑟,𝑒

𝐶

𝜃𝑖

𝜃𝑟,𝑖

𝜃𝑒

𝜃𝑟,𝑒

𝑅

𝐶

𝜃𝑖 𝜃𝑒

52

Aceasta ecuatie are solutia generala:

𝜃(𝑑) = 𝜃(𝑑0) 𝑒−𝜏𝜏𝑐

Se ia constanta de timp 𝑑𝑐 = 𝑅𝐶 care este o constanta ce caracterizeaza modul in care sistemul filtreaza unda termica ce trece prin el. Astfel, sistemul are specifica si o frecventa de “taiere:

𝑓𝑐 =1

2 𝜋 𝑑𝑐

Aceasta frecventa de taiere inseamna ca pana la o anumita frecventa sistemul atenueaza unda termica, si de la o frecventa in sus sistemul tinde sa amplifice semnalul.

Cu cat constanta de timp a unei cladiri este mai mare, cu atat aceasta are inertia termica mai mare, adicdureaza mai mult sa fie incalzita sau racita.

Daca insa fluxul de caldura Q este unul variabil in timp, atunci solutia generala a ecuatiei este:

𝑇𝑖(𝑑) = 𝑇𝑖(𝑑0)𝑒𝜏0−𝜏𝜏𝑐 + 𝑢(𝑑′) 𝑒

𝜏′−𝜏𝜏𝑐

𝜏

𝜏0

𝑑𝑑′

In care 𝑢(𝑑) = 𝑇0(𝜏)+𝑅 𝑄(𝜏)𝜏𝑐

Din pacate circuitul RC nu este suficient pentru tot ceea ce este propus. El trateaza cladirea ca si cand toate masele termice sunt in interior, intotdeauna la aceeasi temperatura ca aerul interior. In cladiri de fapt implicarea termica a maselor este mult mai complicata.

Pentru aplicatiile cu termostat modelul RC poate da rezultate acceptabile daca se alege o capacitate C corespunzatoare.

Circuitul termic RC extins al unei incinte

In acest tip de circuit termic practic mai este introdus un parametru, anume pe langa capacitatea termica cu care participa anvelopa cladirii, mai este introdusa o capacitate termica a interiorului cladirii (in care sunt inclusi pereti, plansee, aer interior).

Avand aceasta adaugire modelul de calcul este mult mai fidel realitatii fenomenelor.

Ecuatiile sistemului termic sunt:

𝐶𝑝𝑖𝑑𝜃𝑖𝑑𝑑

=𝜃𝑝 − 𝜃𝑖𝑅𝑝𝑖

+

𝐶𝑖

𝑅𝑝𝑖 𝜃𝑖 𝜃𝑝

𝐶𝑝

𝜃𝑒 𝑅𝑝𝑒

53

𝐶𝑝𝑒𝑑𝜃𝑝𝑑𝑑

=𝜃𝑖 − 𝜃𝑝𝑅𝑝𝑖

+𝜃𝑒 − 𝜃𝑝𝑅𝑝𝑒

Vom cauta sa scapam de variabila intermediara 𝜃𝑝 urmand sa obtinem modelul matematic doar in temperaturile 𝜃𝑖 si 𝜃𝑒 .

In urma unor transformari se obtine ecuatia diferentiala de ordinul 2:

𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒 𝑑2𝜃𝑖𝑑𝑑2

+ 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒 + 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒𝑑𝜃𝑖𝑑𝑑

+ 𝜃𝑖 − 𝜃𝑒 + 𝑅𝑝𝑖 + 𝑅𝑝𝑒 − 𝑅𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒𝐶𝑝𝑒

= 0

Consideram cazul special in care 𝜃𝑒 si 𝜃𝑒 sunt constante. Atunci facand substitutia:

𝜃(𝑑) = 𝜃𝑖(𝑑) − 𝜃𝑒 − 𝑅𝑝𝑖 + 𝑅𝑝𝑒

Se obtine modelul simplificat al ecuatiei:

𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒 𝑑2𝜃𝑑𝑑2

+ 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒 + 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒𝑑𝜃𝑑𝑑

+ 𝜃 = 0

Plecand de la solutia particulara a ecuatiei diferentiale:

𝜃(𝑑) = 𝜃(𝑑0) 𝑒−𝜏𝜏𝑐

Vom obtine ecuatia de grad 2 pe care trebuie sa o satisfaca constanta de timp 𝑑𝑐:

𝑑𝑐2 − 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒 + 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒𝑑𝑐 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒 = 0

Solutiile sunt:

𝑑𝑐,1 =12𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒 + 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒 1 + 1 −

4 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒 + 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒

2

𝑑𝑐,2 =12𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒 + 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒 1 −1 −

4 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑖 + 𝐶𝑝𝑖𝑅𝑝𝑒 + 𝐶𝑝𝑒𝑅𝑝𝑒

2

Succint, avand 2 constante de timp ale sistemului, solutia generala este:

𝜃𝑖(𝑑) = 𝐴1𝑒− 𝜏𝜏𝑐,1 + 𝐴2𝑒

− 𝜏𝜏𝑐,2

Unde coeficientii 𝐴1 si 𝐴2 sunt determinati din conditiile initiale pentru 𝜃𝑖(𝑑0) si 𝑖(𝑑0).

Dupa cum se vede la inertia termica a sistemului participa doua constante de timp fapt care in regimurile dorite de functionare duce la aplatizarea variatiilor.

Un model cu 2 noduri are doua constante de timp, iar un model cu n noduri va avea in consecinta n constante de timp. Pentruintreaga cladire este o constanta de timp care este rezultanta tuturor constantelor de timp date de fiecare nod. Aceasta constanta de timp globala a cladirii este mult mai

54

mare decat toate celelalte. Aceasta constanta de timp globala determina raspunsul cladirii la variatii lente de temperatura.

Elemente de teoria sistemelor aplicate transferului de caldura in cladiri

Consideram ecuatia Fourier de transfer a caldurii unidimensionala si tranzitorie:

𝜕𝜃𝜕𝑑

= 𝑎 ∙𝜕2𝜃𝜕𝑥2

Transformata Laplace a functiei 𝜃(𝑥, 𝑑) este:

𝜃(𝑥, 𝑑) = 𝜃(𝑥, 𝑑) = 𝑒−𝑝∙𝜏 ∙ 𝜃(𝑥, 𝑑) ∙ 𝑑𝑑∞

0

Aplicand proprietatile transformatei Laplace ecuatiei caldurii, se obtine ecuatia in p:

𝜕2𝜃(𝑥,𝑝)𝜕𝑥2

−𝑝𝛼𝜃(𝑥,𝑝) +

1𝛼𝜃(𝑥, 0) = 0

Se foloseste apoi teorema de inversare a transformatei Laplace:

𝜃(𝑥, 𝑑) = ℒ−1[𝜃(𝑥,𝑝)] = 𝑒𝑝∙𝑡 ∙ 𝜃(𝑥,𝑝) ∙ 𝑑𝑝𝜀+𝑖∙∞

𝜀−𝑖∙∞

Solutia obtinuta va fi:

𝜃(𝑥,𝑝) = cosh 𝑝𝛼12 ∙ 𝑥 ∙ 𝜃(0,𝑝) −

sinh 𝑝𝛼12 ∙ 𝑥

𝜆 ∙ 𝑝𝛼12

∙ 𝑞(0,𝑝)

In acelasi timp ecuatia fluxului de caldura este:

𝑞(𝑥, 𝑑) = −𝜆𝜕𝜃(𝑥, 𝑑)𝜕𝑥

Aplicand si aici teorema de inversare a transformatei Laplace:

𝜕𝑞(𝑥,𝑝)𝜕𝑥

+ 𝑝𝜌𝐶𝜃(𝑥,𝑝) − 𝜌𝐶𝜃(0,𝑝) = 0

Se obtine:

𝑞(𝑥,𝑝) = −𝜆 ∙𝜕𝜃(𝑥, 𝑝)𝜕𝑥

= −𝜆 ∙ 𝑝𝛼12 ∙ sinh

𝑝𝛼12 ∙ 𝑥 ∙ 𝜃(0,𝑝) + cosh

𝑝𝛼12 ∙ 𝑥 ∙ 𝑞(0,𝑝)

Se observa ca exista relatia matriceala pentru 0<x<l:

55

⎣⎢⎢⎢⎡𝜃(𝑙, 𝑝)

𝑞(𝑙,𝑝)⎦⎥⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

cosh 𝑝𝛼12 ∙ 𝑙 −

sinh 𝑝𝛼12 ∙ 𝑙

𝜆 ∙ 𝑝𝛼12

−𝜆 ∙ 𝑝𝛼12 ∙ sinh

𝑝𝛼12 ∙ 𝑙 cosh

𝑝𝛼12 ∙ 𝑙

⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

∙

⎣⎢⎢⎢⎡𝜃(0,𝑝)

𝑞(0,𝑝)⎦⎥⎥⎥⎤

Adica in forma generala:

𝜃(𝑙, 𝑝)𝑞(𝑙,𝑝) =

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22 ∙

𝜃(0,𝑝)𝑞(0,𝑝)

In general, in reprezentarea matriceala a proceselor termice nestationare se ia grupat ca marimi de referinta temperatura 𝜃(𝑥, 𝑡) si fluxul termic q(x,t).

Practic acest tip de relatie descrie in mod linear transformarea termica in timp a unui corp considerand 𝜃(𝑥, 𝑡) si q(x,t) doua marimi conjugate in care transformarea data de variatia in spatiu se face printr-o matrice [A] de ordin 2x2.

Relatia matriceala obtinuta deschide calea abordarii circuitelor termice cu metode dezvoltate in teoria sistemelor.

Legarea in cascada a aparatelor termice

Imprumutand modelul matematic al circuitelor electrice in configuratie de cuadripoli conectati in cascada, avem urmatoarea schema:

in care:

𝑇𝑖𝑞𝑖 = [𝐴𝑖] ∙

𝑇𝑖+1𝑞𝑖+1

, ⋯ , 𝑇𝑖+𝑛−1𝑞𝑖+𝑛−1 = [𝐴𝑖+𝑛−1] ∙ 𝑇𝑖+𝑛𝑞𝑖+𝑛

Prin substitutii succesive obtinem:

𝑇𝑖𝑞𝑖 = [𝐴𝑖] ∙ [𝐴𝑖+1] ∙ … ∙ [𝐴𝑖+𝑛−1] ∙ 𝑇𝑖+𝑛𝑞𝑖+𝑛

sau

𝑇𝑖𝑞𝑖 = 𝐴𝑖,𝑖+𝑛 ∙

𝑇𝑖+𝑛𝑞𝑖+𝑛

unde 𝐴𝑖,𝑖+𝑛 = [𝐴𝑖] ∙ [𝐴𝑖+1] ∙ … ∙ [𝐴𝑖+𝑛−1] este matricea de transformare globala in tre nodurile i si i+n.

....

𝑇𝑖 𝑇𝑖+1 𝑇𝑖+2 𝑇𝑖+n-1 𝑇𝑖+𝑛 𝑞𝑖 𝑞𝑖+1 𝑞𝑖+2 𝑞𝑖+n-1 𝑞𝑖+n

𝐴𝑖 𝐴𝑖+1 𝐴𝑖+𝑛−1

56

De remarcat ca fiecare bloc Ai, Ai+1, ...., Ai+n-1 se comporta pe principiul “cutiei negre”, anume nu conteaza ce este in interiorul lor, ci doar marimile de input si de output.

Element pur rezistiv

𝑇𝑖−1 = 𝑇𝑖 + 𝑅 ∙ 𝑞𝑖

𝑞𝑖−1 = 𝑞𝑖

𝑇𝑖−1𝑞𝑖−1 = 1 𝑅

0 1 ∙ 𝑇𝑖𝑞𝑖

Element pur capacitiv

𝑇𝑖−1 = 𝑇𝑖

𝑞𝑖−1 = 𝐶 ∙𝑑𝑇𝑑𝑑

+ 𝑞𝑖 → 𝑇𝑖−1𝑞𝑖−1

= 1 0

𝐶 ∙𝑑𝑑𝑑

( ) 1 ∙ 𝑇𝑖𝑞𝑖

Se face o conventie matematica pentru exprimarea temperaturii, anume:

𝑇 = 𝑇0 ∙ 𝑒𝑗∙𝜔∙𝜏

Deci:

𝑐𝑇𝑐𝜏

= 𝑗 ∙ 𝜔 ∙ 𝑇0 ∙ 𝑒𝑗∙𝜔∙𝜏 = 𝑗 ∙ 𝜔 ∙ 𝑇

In acest caz

𝑇𝑖−1 = 𝑇𝑖 𝑞𝑖−1 = 𝑗 ∙ 𝜔 ∙ 𝐶 ∙ 𝑇𝑖 + 𝑞𝑖

→ 𝑇𝑖−1𝑞𝑖−1 = 1 0

𝑗𝑤𝐶 1 ∙ 𝑇𝑖𝑞𝑖

𝑇𝑖−1 𝑇𝑖 𝑞𝑖−1 𝑞𝑖

Element pur rezistiv

𝑅

𝑇𝑖−1 𝑇𝑖 𝑞𝑖−1 𝑞𝑖

𝐶

Element pur capacitiv

𝐶𝑑𝑇𝑑𝑑

57

Circuit termic cu proprietati rezistive si capacitive (circuit RC)

Avand o legatura in cascada a 3 aparate termice, atunci va fi valabila relatia:

𝑇𝑖−1𝑞𝑖−1 = 1 𝑅1

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑤𝐶 1 ∙

1 𝑅20 1 ∙

𝑇𝑖𝑞𝑖

Un astfel de circuit poate fi aplicat de exemplu pentru situatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu printr-un perete, ca in figura de mai jos.

Reducerea unui model la unul echivalent

O configuratie de aparate termice poate fi reprezentata printr-un circuit termic. Prin intermediul acestui circuit termic se pot determina nu doar diversi parametri termici ai aparatelor, dar si proprietati ale intregului ansamblu de aparate.

𝑇𝑖𝑞𝑖1 = 1 𝑅𝑖1

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑤𝐶1 1 ∙

1 𝑅𝑒10 1 ∙ 𝑇𝑒𝑞𝑒1

𝑇𝑖𝑞𝑖2 = 1 𝑅𝑖2

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑤𝐶2 1 ∙

1 𝑅𝑒20 1 ∙ 𝑇𝑒𝑞𝑒2

Sau

𝑇𝑖𝑞𝑖1 =

1 + 𝑗𝑤𝑅𝑖1𝐶1 𝑅𝑖1 + 𝑅𝑒1 + 𝑗𝑤𝑅𝑖1𝑅𝑒1𝐶1𝑗𝑤𝐶1 1 + 𝑗𝑤𝑅𝑒1𝐶1

∙ 𝑇𝑒𝑞𝑒1

𝑇𝑖𝑞𝑖2 =

1 + 𝑗𝑤𝑅𝑖2𝐶2 𝑅𝑖2 + 𝑅𝑒2 + 𝑗𝑤𝑅𝑖2𝑅𝑒2𝐶2𝑗𝑤𝐶2 1 + 𝑗𝑤𝑅𝑒2𝐶2

∙ 𝑇𝑒𝑞𝑒2

Astfel, daca pe fiecare ramura de circuit:

𝑅2 𝑅1 𝑇𝑖−1 𝑇𝑖

𝐶

𝑅𝑖1 𝑅𝑒1

𝑅𝑖2 𝑅𝑒2

𝑇𝑖 𝑇𝑒

𝐶1

𝐶2

Circuit termic de baza

𝑅𝑖 𝑅𝑒

𝐶

𝑇𝑒 𝑇𝑖

Circuit termic echivalent

58

𝑇𝑖𝑞𝑖1 =

𝑚11 𝑚12𝑚21 𝑚22

∙ 𝑇𝑒𝑞𝑒1

𝑇𝑖𝑞𝑖2 =

𝑛11 𝑛12𝑛21 𝑛22 ∙

𝑇𝑒𝑞𝑒2

Atunci ecuatia de transformare pentru intregul ansamblu este:

𝑇𝑖𝑞𝑖1 + 𝑞𝑖2

= 𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22 ∙

𝑇𝑒𝑞𝑒1 + 𝑞𝑒2

Unde:

𝑎11 =𝑚11𝑛12 + 𝑛11𝑚12

𝑚12 + 𝑛12

𝑎12 =𝑚12𝑛12𝑚12 + 𝑛12

𝑎21 = (𝑚21 + 𝑛21) −(𝑚11 − 𝑛11)(𝑚22 − 𝑛22)

𝑚12 + 𝑛12

𝑎21 =𝑚12𝑛22 + 𝑛12𝑚22

𝑚12 + 𝑛12

Din matricea ansamblului se evidentiaza ca 𝑎12 reprezinta capacitatea termica a ansamblului, 𝑎21 rezistivitatea ansamblui, iar 𝑎11 si 𝑎22 sunt termeni ce reprezinta proprietati combinate capacitive si rezistive ale ansamblului cat si aspecte legate de configuratia circuitului termic.

Perete supus unei variatii de temperatura pe una din fete

𝑞𝑐

𝑇0

𝑇1

𝑑0

𝑑1

∆𝑑0

𝑇2

𝑞𝑖 𝑞𝑒

``

59

Procesul tranzitoriu din figura are descrierea:

• La cresterea temperaturii pe fata “i” in intervalul de timp ∆𝑑0 • Stratul limita de pe fata “i” tinde sa expandeze • In primele momente liniile de temperatura sunt concave deoarece peretele nu are timp sa

absoarba variatia de temperatura in prima faz. • Ulterior pe masura ce unda de variatie strabate peretele incepand de la un anumit punct din

grosimea peretelui (punct de inflexiune) incepe sa isi piarda din intensitate, peretele incepe sa absoarba din aceasta variatie, iar liniile de temperatura devin convexe.

• Dupa ce incepe sa se simta variatia de temperatura pe cealalta fata, si aici stratul limita tinde sa expandeze

• La incetarea fenomenului tranzitoriu de crestere a temperaturii pe fata “i”, curbele de temperatura din zona superioara vor tinde sa se stabilizeze luind forma unei drepte corespunzatoare regimului stationar de transfer de caldura.

Ecuatia dmatriceala de transfer de caldura specifica acestui perete va fi:

𝑇𝑖𝑞𝑖 = 1 𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐,𝑖

0 1 ∙ 1 𝑅/2

0 1 ∙ 1 0𝑗𝑤𝐶1 1 ∙

1 𝑅/20 1 ∙ 1 𝑅𝑐𝑐𝑛𝑐,𝑒

0 1 ∙ 𝑇𝑒𝑞𝑒

60

6. Sisteme de control automat al incalzirii cladirii

La baza unui system de control al incalzirii sunt urmatoarele component:

• Senzori de temperature • Controller – integreaza toate informatiile din sistemul termic si il controleaza • Actuator – este dispozitivul controlat (motor electric sau bobina) ce asigura inchiderea-

deschiderea totala sau partiala a unei valve reglandu-se astfel fie debitul de circulatie al fluidului de incalzire, fie debitul combustibilului

Sistemul sensor – controller – actuator este un system de reglare cu bucla inchisa sau feedback. Daca nu ar exista senzorul atunci sistemul controller – actuator ar fi doar in bucla deschisa acest caz nefiind bineinteles de interes.

Actiunile de reglare care le ia controller-ul sunt:

• Pozitie dubla on-off • Proportional • Integral • Derivative

Variabila s este variabila functiei imagine din transformata Laplace:

𝑠 = 𝑗𝜔𝑡

O functie de transfer specifica unui aparat este functia ce defineste raportul dintre marimea globala de intrare si marimea globala de iesire din aparat.

𝑇𝐹 =𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒 (𝑠)𝑖𝑒𝑠𝑖𝑟𝑒 (𝑠)

O functie de transfer globala a unor aparate in cascada (in serie) este produsul functiilor de transfer al fiecarui aparat in parte. O astfel de functie de transfer mai este numita si functie de transfer de bucla deschisa.

𝑇𝐹 = 𝑇𝐹1 ∙ 𝑇𝐹2 ∙ … ∙ 𝑇𝐹𝑛

TFtermostat

TFcamera TFcontroller Tsetare Tcamera +

_

ε

61

Eroarea de reglare ε este rezultatul compararii intre temperatura setata si temperatura citita si transmisa de senzor pentru un anumit ciclu de timp:

𝜖 = 𝑇𝑠𝑒𝑡𝑎𝑟𝑒 − 𝑇𝑡𝑒𝑟𝑚𝑐𝑠𝑡𝑎𝑡

Functia de transfer pentru camera

𝑇𝐹𝑐𝑎𝑚𝑒𝑟𝑎 =𝐾 𝜖−𝑠 𝐿𝑐𝑎𝑚𝑒𝑟𝑎

1 + 𝑑𝑐𝑎𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑠

Functia de transfer pentru controller

𝑇𝐹𝑐𝑐𝑛𝑡𝑟𝑐𝑙𝑙𝑒𝑟 =𝑉(𝑠)𝐸(𝑠)

= 𝐾𝑝 +𝐾𝑖𝑠

+ 𝐾𝑐 𝑠

Functia de transfer pentru termostat incluzand latenta sa specifica, este:

𝑇𝐹𝑡𝑒𝑟𝑚𝑐𝑠𝑡𝑎𝑡 =𝑒−𝑠 𝐿𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡

1 + 𝑑𝑡𝑒𝑟𝑚𝑐𝑠𝑡𝑎𝑡 𝑠

In care de exemplu latenta de timp 𝐿𝑡𝑒𝑟𝑚𝑐𝑠𝑡𝑎𝑡 este de ordinul a 30 – 40 secunde, iar constanta de timp 𝑑𝑡𝑒𝑟𝑚𝑐𝑠𝑡𝑎𝑡 este de ordinul a cateva minute.

Ca urmare in schema noastra functia globala de transfer este:

𝑇𝐹 = 𝑇𝐹𝑐𝑐𝑛𝑡𝑟𝑐𝑙𝑙𝑒𝑟 ∙ 𝑇𝐹𝑐𝑎𝑚𝑒𝑟𝑎

Functia de transfer pentru bucla controllerului

𝑇𝐹𝑏𝑢𝑐𝑙𝑎 =𝑇𝐹(𝑠)

1 + 𝑇𝐹(𝑠) 𝑇𝐹𝑡𝑒𝑟𝑚𝑐𝑠𝑡𝑎𝑡(𝑠)

Ecuatia caracteristica a intregului sistem de control este:

1 + 𝑇𝐹(𝑠) 𝑇𝐹𝑡𝑒𝑟𝑚𝑐𝑠𝑡𝑎𝑡(𝑠) = 0

Avand toate aceste functii determinate, practic autoreglarea sistemului este rezolvata.

Stabilitatea sistemelor de control

La stabilitatea sistemelor de control ale incalzirii cladirilor se pune problema daca acestea sunt stabile pentru impune si mentine temperatura setata.

In acest sens, se folosesc diverse criterii de verificare ale stabilitatii, cum ar fi criteriul Routh. Astfel, un sistem este stabil cand toate radacinile ecuatiei caracteristice au partea reala negativa a variabilei complexe s.

62

Doua conditii necesare pentru stabilitate:

• Toate puterile lui s trebuie sa fie prezente in ecuatia caracteristica de la 0 la cel mai inalt ordin • Toti coeficientii ecuatiei caracteristice trebuie sa aiba acelasi semn

Acestea doua conditii sunt necesare dar nu suficiente. Criteriul lui Routh este o metoda algebrica pentru a investiga stabilitatea mai departe. Un algoritm simplu este utilizat pentru constructia matricei din coeficientii ecuatiei caracteristice. Apoi prima coloama este examinata pentru schimbarile de semn. Numarul de schimbari de semn din aceasta prima coloana este egala cu numarul de radacini pozitive. O singura parte reala pozitiva a vreunei radacini va insemna instabilitate.

63

7. Sisteme de încălzire

Clasificarea generală a sistemelor de încălzire se poate face după mai multe criterii: După sursa de căldură :

• Centrală (centrale termice, respectiv puncte termice), • Locală (sisteme de încălzire directă);

După agentul termic folosit :

• Apa (temperatură redusă; caldă; fierbinte) • Abur (presiune-joasa;presiune-medie) • Aer-cald;

După modul de transfer de căldură predominant:

• Convective (radiatoare;aparate de aer-cald; elemente de ventilarea si condiţionarea aerului). Sistemul de încălzire convectiv menţine temperatura aerului interior Ti la un nivel mai ridicat decât temperatura medie radiantă Tmr.

• Radiante(încălzirea prin pardoseală, panouri radiante de tavan şi de perete, panouri radiante suspendate; radianţi cu infraroşu). Sistemul de încălzire radiant menţine temperatura radiantă la un nivel mai ridicat decât temperatura aerului interior (Tmr>Ti ).

Instalaţii de încălzire cu apă La aceste instalaţii, apa iese din centrala termica pe terminalul de “tur”, intra în sistem, se răceşte cedand caldura prin corpul de încălzire şi revine inapoi prin terminalul “retur” pentru a fi din nou încălzită. Avantaje:

• Agentul termic este disponibil în cantităţi nelimitate, • Agentul termic se situează la temperaturi în limite rezonabile, • Căldura specifică mare a apei, volum redus al fluidului de transport, • Fiabilitate buna în exploatare, • Reglare uşoară (reglare centralizată, prin robineţi termostatici pe corpurile de încălzire).

Dezavantaje:

• Inerţie termică ridicată, perioada lungă de intrare şi de ieşire în/din regim, • Cost de investiţie relativ mare.

Instalaţiile de încălzire cu apă funcţie de temperatura apei folosite sunt clasificate în:

• instalaţii cu apă caldă cu temperaturi până la 95 °C • instalaţii cu apă fierbinte cu temperaturi de peste 95 °C.

64

Instalaţiile de încălzire cu apă caldă sunt foarte mult utilizate pentru încălzirea clădirilor de locuit, publice şi administrative. Instalaţiile de încălzire cu apă fierbinte sunt folosite în special la halele industriale. Instalaţiile de încălzire cu apă, funcţie de modul de circulaţie a apei se pot clasifica în:

• Instalaţii cu circulaţie a apei prin gravitaţie, • Instalaţii cu circulaţie a apei forţată.

Instalaţiile cu circulaţia apei calde prin gravitaţie se foloseau pentru clădiri mici. Astăzi ele sunt utilizate doar excepţional. La aceste instalaţii era utilizată proprietatea apei de a-şi schimba densitatea la răcire şi încălzire. Într-un sistem vertical închis cu repartizarea neuniformă a densităţii, sub acţiunea câmpului gravitaţional al Pământului ia naştere o presiune de circulaţie care provoacă mişcarea apei. Instalaţiile cu circulaţie forţată utilizează pompa acţionată mecanic pentru majorarea diferenţei de presiuni care duce la mişcarea apei şi astfel în sistem se creează o circulaţie forţată. Instalaţii de încălzire cu abur În corpurile de încălzire cu abur, în corpurile de încălzire aburul cedează căldură latentă de vaporizare, condensându-se. Condensatul este evacuat din corpurile de încălzire şi întors în cazanele de abur pentru prelungirea ciclului. Sistemele de încălzire cu abur au următoarele avantaje şi dezavantaje: Avantaje:

• Inerţie termică redusă, perioadă scurtă de intrare în regim • Pericol neglijabil de îngheţ • Costurile de investiţii sunt mai mici decât la cele cu apă caldă.

Dezavantaje:

• Reglare centralizată dificilă,neeconomică • Temperaturi mari ale suprafeţei • Pericol de coroziune.

Instalaţii de încălzire cu aer cald Încălzirea cu aer cald se impune în cazul spaţiilor largi, dar cu înălţime mica (H<4,5m), sau a celor înalte, dar cu restricţii de natură tehnologică (unde se recomandă încălzirea radiantă); de exemplu, o hală de producţie de confecţii textile sau o hală cu mediu corosiv / exploziv / inflamabil. Avantaje ale utilizării încălzirii cu aer cald:

• este un tip de încălzire mai rapid decât încălzirea clasică (cu corpuri statice), • se pretează în spaţiile în care activitatea se desfăşoară pe o perioada lungă din zi, • în spaţiul respectiv se pot face zonări de funcţionare sau de temperaturi, • faţă de sistemele clasice (cu corpuri statice), soluţia încălzirii cu aer cald este mai sigură şi mai

simplă (se elimină agentul termic intermediar). Pentru încălzirea aerului dintr-o incintă se utilizează un schimbător de căldură de suprafaţă (aeroterma), în care se face transferul de căldură de la un agent termic principal (apă, abur, gaze arse) la aer. Aeroterma se defineşte ca un sistem de încălzire locală a aerului dintr-o încăpere, cu o anume putere termică, electrică şi debit de aer. Este o instalaţie compactă şi poate fi de două tipuri: suspendată şi de pardoseală.

65

Instalaţii de încălzire cu panouri radiante Încălzirea prin radiaţie sec referă la modul de încălzire în care temperatura medie radiantă a încăperii este mai mare decât temperatura aerului interior. Se utilizează panouri care au suprafaţa netedă. Aceste sisteme destinate pentru suprafeţe mari, medii şi mici cu înălţimi de peste 3 m, încălzesc suprafeţe şi nu volume, rezultând astfel o economie de minim 35% faţă de sistemele clasice de încălzire cu aer cald. Prin utilizarea acestui sistem, se elimină stratificarea aerului. În cazul încălzirii cu aer cald, acesta se ridică la partea superioară a halei, zona de lucru rămânând mai rece. În cazul încălzirii prin radiaţie, căldura rămâne jos, în zona de lucru. De asemenea, în cazul încălzirii prin radiaţie pierderile de căldură se reduc mult, deoarece căldura nu se mai acumulează la partea superioară a halei mărind astfel diferenţa de temperatură faţă de mediul exterior. Panourile radiante se pot monta la nivelul tavanului, pe pardoseală şi pe perete. Locul de amplasare este ales din considerente tehnologice, igienice şi tehnico-economice. În cazul utilizării panourilor radiante de tavan, principiul de funcţionare este următorul:

• Căldura emisa de panourile radiante se propaga sub forma de radiaţii electromagnetice şi intrând în contact cu corpurile solide din zona de lucru le încălzeşte pe acestea;

• Radiaţiile termice emise în jos sunt orientate către sol, pereţi, respectiv persoanele si obiectele aflate în spaţiul încălzit. Pardoseala si pereţii constituie o suprafaţă însemnata, astfel absorb o cantitate mare de căldura şi se încălzesc;

• Aerul se încălzeşte venind în contact cu clădirea şi corpurile (convecţie secundară), astfel încât temperatura aerului va fi uniformă atât pe orizontala cât şi pe verticală. Temperatura pardoselii va fi cu 2-4°C mai înaltă faţă de alte sisteme de încălzire prin convecţie şi faţă de temperatura aerului din apropierea pardoselii;

Radiaţiile naturale, de undă lungă, ce sunt absorbite de suprafaţa corpului uman produc un efect de confort. Radiaţiile termice într-un spaţiu încălzit abia sunt percepute, dar într-un spaţiu rece produc o senzaţie de confort termic. Ca orice alt corp de încălzire şi panourile radiante cedează căldura mediului înconjurător prin convecţie şi radiaţie termică. Caracteristica lor principală este că cedarea de căldură în proporţie de 80% se produce prin radiaţii termice, adică undele electromagnetice se transformă în căldură în zonele de lucru ale spaţiului încălzit. Astfel, în comparaţie cu încălzirea prin convecţie, gradientul de temperatură pe înălţimea spaţiului este minimă, ceea ce înseamnă că utilizarea sistemului de încălzire prin panouri radiante de tavan este mai economică şi mai plăcută din punct de vedere fiziologic.

Panouri radiante montate pe tavan

Transferul de căldură doar prin radiaţie este posibil doar în vid, de aceea, în realitate există şi transfer de căldură prin convecţie. Radiaţia suprafeţei panourilor nu este uniformă. Totodată datorită

66

temperaturilor diferite ale suprafeţelor, apare mişcarea aerului în încăpere şi panourile transmit o anumită cantitate de căldură aerului aflat în contact cu suprafeţele panourilor (Vârlan).La panourile amplasate pe tavan, partea radiantă reprezintă 70-75% din transferul total. Panoul amplasat în pardoseală activează transferul termic prin convecţie, cel prin radiaţie reprezentând 30-40%. Panourile pe pereţi transmit între 30% şi 60% din căldură prin radiaţie. Undele termice transmit căldura direct şi fără pierderi la transport către toate corpurile solide din incintă. Temperatura optimă a spaţiului se obţine prin temperatura de suprafaţă a materialelor înconjurătoare şi a obiectelor de instalaţii din încăpere.

67

8. Izolarea termică a clădirilor

Prin izolarea termică a unei clădiri se obtine:

• realizarea unui climat interior confortabil • reducerea pierderilor de căldură către exterior • evitarea condensării vaporilor de apă la suprafaţa de interior a peretilor, cât şi în interiorul

masei acestora; • realizarea unei stabilităţi termice prin limitării oscilaţiilor temperaturii aerului exterior ce tind

sa se propage prin anvelopa cladirii • realizarea unei rezistenţe la infiltraţiile de aer pentru reducerea pierderilor de căldură

Pentru izolarea termica a cladirii un rol important il joaca anvelopa care reprezinta ansamblul elementelor ce delimiteaza cladirea si prin care se asigura interactiunea cladirii cu exteriorul.

Anvelopa cladirii

Anvelopa cladirii reprezinta totalitatea suprafetelor elementelor de constructie ce delimiteaza cladirea in ansamblul ei fata de exterior.

Anvelopa cladirii cuprinde:

• Radierul fundatiei cladirii • Acoperisul cladirii • Peretii exteriori ai cladirii • Usi de acces • Ferestre exterioare

Estimari ale pierderilor de caldura realizate de o cladire in exterior prin anvelopa

Item Fundatie Pereti Acoperis Ferestre, usi Neetanseitati, deschideri

Pierderi de caldura 15 – 20 % 10-35 % 25-45% 10-15 % 15-25%

Radierul fundatiei cladirii

Aceasta component a cladirii este un element masiv de beton si care are in consecinta si o inertie termica mare. Izolarea termica a acestui element se face pe suprafata interioara (de deasupra) a radierului.

Peretii exterior ai cladirii

68

Acesti pereti sunt de obicei multistrat si in general sunt si cei mai grosi pereti ai cladirii, deci au o inertia termica mai mare.

Usi de acces ale cladirii

Sunt elemente de acces in cladire, iar ca material al lor este utilizat lemn, metal sau PVC. Transferul de caldura intre cladire si exterior se realizeaza la nivelul lor prin:

• Suprafata exterioara • Flux de aer care circula la deschideri repetate ale usilor, rezultand deci un effect de ventilare al

incintei din cladire care contine usa de acces • Flux de aer rezultat din neetanseitati ale usii de acces

Grosimea usilor de acces variaza in general intre 10-60 mm. Uneori usile de acces contin elemente vitrate ca influenteaza comportamentul termic global al acestora.

Ferestrele exterioare ale cladirii

Fereastra este ansamblul toc + rama + geam. Rama se poate executa din lemn, metal, PVC

Dupa numarul de geamuri continute, ferestrele pot fi:

• Simple • Duble • Triple

In cazul ferestrelor duble sau triple intre doua geamuri successive va exista un strat intermediar de gaz. Acest strat poate fi:

• Simplu (aer la presiunea atmosferica) • Spatiu vidat (spatial intre geamuri este unul etans cu aer la presiune mai mica decat cea

atmosferica) • Argon

Prin vidare a spatiului etans intre doua geamuri se poate mari semnificativ rezistenta termica a geamului. De asemenea la Solutia cu gaz inert se folosesc gaze cu o rezistenta termica mare

Pentru solutiile de ferestre cu vid sau cu gaze inerte Geamurile sunt atasate la rame prin garnituri (de cauciuc, metalice) pentru a asigura etanseitatea, iar intre doua geamuri successive sunt montati spaceri de regula din aluminiu.

Transferul de caldura din ferestre are loc in mod diferentiat si specific prin:

• Tocul ferestrei • Ramele geamurilor • Suprafata de geam • Flux de aer care circula la deschideri repetate ale ferestrei • Flux de aer rezultat din neetanseitati ale ferestrei

Punti termice

69

Punțile termice reprezintă zone ale unui perete cu rezistenta termica relativ redusa fata de imprejur. Puntile termice sunt practic zone de scurtcircuit pe care fluxul termic tinde sa le urmeze, deci au un efect de deviere convergenta spre ele. Practic liniile de flux termic devin mai dense in zonele de punte termica si se raresc in afara acestora.

Sunt doua principale tipuri de punti termice:

• punti termice rezultate din neomogenitati interioare ale peretilor, insertii de alte materiale, anizotropii

• punti termice rezultate din configuratia geometrica a peretilor: zone de colt, zone de grosime diferita

Colţurile încăperilor sunt punţi termice (ale configuratiei geometrice) deoarece:

• forma geometrică a colţului face ca suprafata exterioara sa fie mai mare decat cea interioara ceea ce face ca in masa peretelui sa prevaleze temperatura exterioara (temperatura peretelui la suprafaţa interioară este mai redusă în dreptul colţului decât pe restul suprafeţei);

• datorită faptului ca in dreptul coltului sunt blocate doua grade de libertate in miscarea aerului, acesta va deveni mai static, ca urmare coeficientul de convectie scade, deci in consecinta temperatura din interior influenteaza mai putin temperatura peretelui.

Exemple de punti termice detectate prin termografie sunt prezentate in figurile de mai jos.

Doua dificultati care le creeaza puntile termice:

• Pierderi de caldura crescute • Favorizare condens datorita diferentelor de temperatura aparute intre diverse zone

Punţi termice in situatii practice:

a) b) Exemple de punti termice: a) punte termica din neomogenitati interioare; b),c) punte termica din configuratie geometrica

c)

70

• la pereţi: armatura, tencuiala, stâlpi, grinzi, centuri, colţuri • la planşeele: streşini, coşuri, ventilaţii; • la radierul fundatiei: zona de racordare cu soclul

Izolarea termică a anvelopei implica materiale ce împiedică transmiterea căldurii interior-exterior, iarna, exterior-interior, vara. Acesta înveleşte anvelopa clădirii pentru a-i reduce pierderile de căldură spre exterior. Aerul în repaus nu este bun conductor termic, astfel că el reprezintă în principiu un izolant relativ bun. Însă, în spaţii mai mari, precum cavităţile din pereţi, căldura se poate pierde totuşi prin convecţie şi radiaţie. Rolul izolaţiei este exact acela de a diviza volumul de aer în compartimente suficient de mici pentru a împiedica formarea curenţilor convectivi, aerul rămânând în repaus. În acelaşi timp, materialul izolator reduce radiaţia de la o suprafaţă la alta a compartimentului cu aer. Materialele termoizolante au conductivitate termică şi densitate reduse, sunt de natură organică sau anorganică şi se prezintă sub formă de plăci, blocuri, saltele.

Valori ale conductivităţii termice ale unor materiale termoizolante

MATERIAL CONDUCTIVITATE TERMICĂ [W/MK]

Poliuretan 0,018 Polistiren extrudat 0,035 Polistiren expandat 0,04 Vată minerală 0,041 Plută 0,045

Materialele termoizolatoare se pot clasifica conform tipului:

• Vegetale: plută, fibre de lemn, in, paie, etc. • Minerale: fibră de sticlă, vata minerală, argila expandată, carburi metalice, sticlă spongioasă,

etc. • Materiale sintetice: polistiren expandat, spume fenolice şi poliuretan, PVC, etc.

Vata minerală se realizează prin topirea la temperaturi înalte a rocii de bazalt, şi prin centrifugarea materialului obţinut, până când ajunge să formeze fibre. Peste aceste fibre se aplică o substanţă răşinoasă care împiedică degajarea prafului din produs şi care capătă o rezistenţă crescută la orice acţiune mecanică, făcând ca vata minerala să-şi păstreze dimensiunile şi forma. Poate fi găsită cel mai adesea sub forma de rulouri, saltele, dar şi de plăci termoizolante şi poate fi aplicata atât în interior cât şi la exterior, prin montare în dibluri sau pur şi simplu prin ataşarea cu ajutorul unui liant puternic. Pentru faţadele ventilate, se poate aplica un adeziv la rece care fixează materialul pe perete. Vata minerală este un material izolator foarte eficient si flexibil ce este compatibil cu foarte multe lucrări efectuate în aproape orice zona din casa, începând cu pardoseala şi terminând cu acoperişurile mansardate. Datorita flexibilităţii si densităţii materialului, acest tip de izolaţie nu este doar termica, ci şi fonică. Vata minerală se poate folosi şi pentru structuri de lemn, cum ar fi căpriorii uşilor şi ferestrelor, dar şi pentru izolarea podurilor şi mansardelor din lemn necirculabile.

71

Izolare cu vată minerală

Plăcile de polistiren sunt o variantă ceva mai ieftină a vatei minerale şi foarte potrivite pentru hidroizolaţie. Termoizolarea unei locuinţe cu polistiren prezintă anumite avantaje deosebit de importante. Prin intermediul acestui material are loc creşterea eficientă a termoizolarii pereţilor si eliminarea punţilor termice. Plăcile de polistiren au o greutate redusa care nu afectează structura de rezistenţă a clădirii. Polistirenul permite refacerea fatţadei şi păstrarea detaliilor arhitecturale şi oferă posibilitatea mascării eventualelor fisuri ale pereţilor. Plăcile de polistiren (figura 3.2), expandat sau extrudat, sunt folosite cu precădere in izolaţiile de exterior: terase, balcoane, acoperişuri. Polistirenul expandat are diferite densităţi si este folosit pentru izolarea termică a pereţilor în timp ce polistirenul extrudat (cu o densitate mai ridicata) este folosit cu precădere la izolarea termica a pereţilor fundaţiilor şi a pardoselilor. Cel din urma, având o densitate mai mare are si rezistenta mărită si se poate turna şapă şi se poate fixa parchet deasupra acestuia.

Plăci de polistiren

Cu o bună rezistenţă la condiţiile meteo (îngheţ/dezgheţ, înfiltraţii), plăcile de polistiren sunt de preferat celor din vata minerală, datorita uşurinţei cu care se montează. Fixarea se face tot prin dibluri sau printr-un adeziv special şi necesită mult mai puţină muncă. Pentru realizarea unei termoizolaţii de calitate a podelelor şi pentru un aspect uniform al suprafeţelor, se recomandă folosirea şapei mecanizată. Utilizarea acesteia impune câteva recomandări: nu se toarnă sub 5oC, iar la grosimi de peste 5 cm se armează cu plasa de sârmă. Şapa mecanizată turnată la exterior trebuie urmărită permanent pentru a nu se fisura, până la uscarea completa.

Există şi alte tipuri de materiale cu proprietăţi termice superioare în curs de introducere în

practica:

• materiale izolante sub formă de straturi subţiri asociate cu folii reflectante, care au rolul de a reflecta radiaţia infraroşie şi deci de a suprima transferul de căldură prin radiaţie. Folosirea materialelor termoizolante bazate pe reflexia radiaţiei şi barierele termice realizează acest lucru economisind energia necesară încălzirii şi nevoii de răcoare ceea ce duce la reducerea cheltuielilor;

• materiale izolante sub vid obţinute prin evacuarea aerului dintr-un suport fibros sau celular ambalat intr-o foaie etanşă; printre acestea nanogelul de siliciu prezintă proprietăţi speciale, fiind mai puţin conductiv decât aerul la presiune normală;

72

Modul de montare a izolaţiei pe peretele exterior al unei clădiri este prezentat în figura:

Pentru economisirea energiei clădirilor, cei mai importanţi factori ai construcţiei sunt pereţii exteriori. Pereţii exteriori clasici cu un singur strat nu asigură cerinţele termoizolante, nici cerinţele fonice ale interiorului clădirii, de aceea se propun construcţii cu mai multe straturi. Izolarea externă a pereţilor de zid are beneficiul menţinerii temperaturii stabile – acumulând căldura iarna şi reducând pătrunderea razelor solare vara. Condensul este redus.

Multe dintre clădirile vechi, în special cele construite în anii 60 şi 70, suferă datorită deteriorării materialului extern al peretelui, penetrării apei, condensului şi pierderii excesive a căldurii datorită lipsei unei izolaţii adecvate. În proiectele de renovare şi reabilitare, izolarea externă este de obicei combinată cu înlocuirea ferestrelor astfel evitându-se un blocaj termic. Montarea izolaţiei şi aplicarea tencuielii este prezentată în figura:

Aplicarea izolaţiei şi a tencuielii pe peretele exterior al unei clădiri

Din punctul de vederea al fizicii construcţiilor, în zonele cu clima rece, soluţia optimă de izolaţie termica, este cea pe suprafaţa exterioara a clădirii, micşorându-se riscul apariţiei condensării

a. perete exterior cu alcătuire compactă, cu inerţie termică mică, b. perete exterior cu alcătuire compactă cu inerţie termică medie, c. perete exterior cu alcătuire compactă, cu inerţie termică mică

73

interstiţiale a vaporilor de apa; în cazul acestei soluţii şi structura va fi protejata termic, iar capacitatea acesteia de a stoca căldura va fi utilizata din plin. Atunci când nu este posibilă aplicarea izolaţiei la exteriorul pereţilor, aceasta se poate aplica şi la interior (figura) şi poate fi folosită pentru:

• Căptuşirea pereţilor solizi, noi, care prezintă blindaj extern sau tencuială, • Îmbunătăţirea pereţilor solizi, existenţi pentru a ameliora izolaţia termică.

Aplicarea izolaţiei termice pe interiorul unui perete

Plasarea izolaţiei pe partea internă a unui perete exterior, îmbunătăţeşte timpul răspunsului termic al clădirii şi este adecvat pentru un regim intermitent de încălzire. La folosirea izolaţiei interne trebuiesc luate în calcul următoarele probleme:

• Blocaj termic – când izolaţia este întreruptă la joncţiuni, acolo unde se separă pereţii şi la deschizături;

• Infiltrarea aerului – prevenirea trecerii aerului de la cavitate, în spatele izolaţiei, înspre clădire; • Condensul pereţilor din zid – încorporarea unui strat de combatere a vaporilor pe partea caldă a

izolaţiei; • Igrasia – unii dintre pereţii solizi existenţi pot avea temporar igrasie, aceasta trebuie curăţată

înainte de a începe lucrul.

Izolarea termica a ferestrelor (suprafetelor vitrate)

Una dintre căile cele mai eficace de îmbunătăţire a izolaţiei clădirii este aceea de a îmbunătăţi eficienţa suprafeţelor vitrate. Acestea sunt părţile cele mai sensibile ale clădirii întrucât au valori ale coeficientului de transfer termic de 4 pana la 5 ori mai mari decât celelalte suprafeţe.

Ferestrele cu geam termopan au valori ale rezistenţei termice cu peste 50% mai mari decât cele cu un singur geam. Cele mai eficiente ferestre cu geam termopan permit pătrunderea a până la 80% din lumina solară şi au valori ale rezistenţei termice de aproximativ 0,5 m2 °K/W.

Multe dintre ferestrele cu geam dublu sunt umplute cu un gaz foarte bun izolator (Argon) şi au acoperiri invizibile care transmit doar radiaţia cu lungimi de undă specifice.

Caracterisitici termotehnice

• Conductivitatea termică a geamurilor se consideră λ = l,0 W/(mK). • Conductivităţile termice ale tocurilor şi cercevelelor din lemn (cu o umiditate de 12%) se

consideră astfel: Lemn de esenţă moale (brad) (ρ=600 kg/m3 ) λ = 0,19 W/(mK); Lemn de esenţă tare (stejar) (ρ= 900 kg/m3 ) λ = 0,25 W/(mK).

74

9. Audit Energetic

Performanţa energetică a unei clădiri este reprezentată de cantitatea de energie efectiv consumată sau estimată pentru a face faţă necesităţilor legate de utilizarea standard a clădirii, care presupune între altele: încălzirea, apa caldă, sistemul de răcire, ventilaţia şi iluminatul. Această cantitate se reflectă într-unul sau mai mulţi indicatori numerici care se calculează luându-se în considerare:

• Izolaţia; • Caracteristicile tehnice şi de montaj; • Proiectarea şi amplasarea în raport cu parametrii climatici; • Expunerea la soare; • Influenţa structurilor învecinate; • Resursele proprii de generare a energiei; • Alţi factori (climatul interior, etc.).

Ceritificatul de performanţă energetică a unei clădiri este un certificat recunoscut la nivel national sau international care cuprinde performanţa energetică a unei clădiri in raport cu un standard. Cuprinde în special următoarele elemente:

• caracteristicile termotehnice ale elementelor ce alcătuiesc anvelopa clădirii, compartimentarea interioară, inclusiv etanşeitatea la aer;

• instalaţiile de încălzire şi de alimentare cu apă caldă de consum, inclusiv caracteristicile în ceea ce priveşte izolarea acestora;

• instalaţia de climatizare; • ventilaţia; • instalaţia de iluminat integrată a clădirii, în principal sectorul nerezidenţial; • poziţia şi orientarea clădirilor, inclusiv parametrii climatici exteriori; • sistemele solare pasive şi de protecţie solară; • ventilaţia naturală; • condiţiile de climat interior, inclusiv cele prevăzute prin proiect.

Cuprinde după caz şi alte elemente, cand influenţa acestora asupra performanţei energetice a clădirilor este relevantă:

• sisteme solare active şi alte sisteme de încălzire, inclusiv electrice, bazate pe surse de energie regenerabilă;

• electricitate produsă prin cogenerare; • centrale de încălzire şi de răcire de cartier sau de bloc; • iluminatul natural.

Certificatul de performanţă energetică al clădirii este un document tehnic care are caracter informativ şi este valabil 10 ani. Certificatul este însoţit de recomandări privind îmbunătăţirea performanţei energetice şi se întocmeşte de către auditorii energetici pentru clădiri.

Auditul energetic al clădirii este o procedură specifică, având drept scop obţinerea datelor privind:

• Profilul consumului energetic al clădirii;

75

• Identificarea şi cuantificarea măsurilor pentru realizarea unei economii de energie; • Raportarea rezultatelor.

Auditul se realizează pe baza datelor tehnice ale construcţiei şi cuprinde:

• Analizele termice şi energetice ale clădirii, prin care se elaborează certificatul de performanţă energetică a clădirii;

• Măsurile necesare pentru creşterea performanţei energetice a clădirii, cu estimarea costurilor, a economiei de energie precum şi a duratei de recuperare a investiţiilor.

Auditul se finalizează printr-un raport de audit energetic.

În acelaşi timp se realizează şi inspecţia energetică a cazanelor, centralei termice şi a instalaţiilor de încălzire astfel:

• Se determină performanţele energetice ale acestora; • Se stabilesc măsurile pentru reducerea consumului de energie şi limitarea emisiilor de CO2, a

gazelor şi a compuşilor chimici pentru încadrarea în valorile prescrise privind protecţia mediului, în conformitate cu reglementărlie tehnice şi legislaţia specifică.

Cercetari practice ale comportamentului termic al cladirilor

Cel mai simplu si practic mod de a investiga interactiunea termica intre cladire si exterior este de a folosi imager termic (camera termica infrarosii).

Astfel de camere termice sunt de inalta rezolutie, imaginea in unde infrarosii care o capteaza ele fiind prelucrata instant si codata la nivelul pixelilor de imagine in coduri de culoare si contrast.

In general ele lucreaza in urmatorii parametri:

• Intervalul spectral de detectie: 5 – 15 μm • Temperatura mediu ambiant: -20…60 0C • Temperatura a elementelor studiate: -20…400 0C • Sensibilitatea: <0.5 0C

76

• Eroarea maxima de detectie: ±2 0C Din parametrii prezentati mai sus se poate spune ca prin aceste camere termice se pot face masuratori cu o precizie satisfacatoare in vederea investigarii comportamentului termic al anvelopei cladirii.

O imagine termica daca ar fi prelucrata cu un software special ar fi capabila sa furnizeze nu numai pierderi la nivel local, dar poate fi obtinuta o conversie digitala a valorilor de culoare si contrast a tuturor pixelilor de pe imagine si descrisa astfel intreaga pierdere de caldura de pe intreaga suprafata a cladirii prinsa in cadru.

77

Bibliografie

1. Abdullatif E. Nakhi - Adaptive construction modelling within whole building dynamic simulation (1995) 2. Ali M. Malkawi - Advanced Building Simulation (2004) 3. Bliuc I., Baran I. – Calitatea mediului interior şi eficienţa energetică a clădirilor 4. Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989) 5. Bruggen, van der, Reinerus J.A. - Energy consumption for heating and cooling in relation to building design (1978) 6. C.P. Underwood - Modelling Methods for Energy in Buildings (2004) 7. Clarke, J. A. - Energy Simulation in Building Design (2001, 2nd Ed) 8. Davies M G - Building Heat Transfer (2004) 9. Dimitriu Valcea E - Termotehnica in constructii (1970) 10. Energy Conscious Design - A Primer for Architects [Book on green building design] 11. Ery Djunaedy - External coupling between CFD and building energy simulation (2005) 12. Essam O Aasem - PRACTICAL SIMULATION OF BUILDINGS AND AIR-CONDITIONING... (1993) 13. Godfried Augenbroe - Energy modelling and simulation (2010) 14. Grigore Roxana - Energetica Cladirilor (curs) 15. International Energy Agency - Real Time Simulation HVAC Systems For Building Optimisation (1999) 16. Ion Sotir Dumitrescu - Energetica Cladirilor (curs) 17. Iordache F - Termotehnica constructiilor (2008 Ed. 2) 18. Kreider J F, Rabl Ari – Heating and cooling of buildings (1994) 19 Leonachescu N - Transferul caldurii intre constructii si sol (ET 1989, vol. 2) 20. Mirza Carmen - Termotehnica Constructiilor 21. Moga I, Manea D - Termotehnica cladirilor_Indrumator (1998) 22. Part 2 Responsive Building Elements - Annex_44_Expert_Guide_RBE 23. Peter Weitzmann - Modelling building integrated heating and cooling systems (2004) 24. R. Judkoff - Methodology for Validating Building Energy Analysis Simulations (2008) 25. Standard ASHRAE 26. Standard EN-ISO 27. Standard STAS