Base Base ee and Natural and Natural LogarithmsLogarithms

Section 10-5Section 10-5

Base Base ee● As As n n increases the increases the

expression approaches expression approaches the irrational number the irrational number 2.71828…2.71828…

● This is the natural base or e● sometimes sometimes ee is called is called

the Euler Number, the the Euler Number, the Eulerian Number, or Eulerian Number, or Napier's ConstantNapier's Constant

n

n1

1

Euler: He was also a student of Daniel Bernoulli

e e calculated to calculated to 100,000 digits100,000 digits

2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966 967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966 967627724076630353547594571382178525166427427466391932003059 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 4774201418 19706841614039701921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992 19706841614039701921817413596629043572900334295260595630738132328627943490763233829880753195251019011573834187930702154089149934884167509244761460668082264800168477411853742345442437107539077744992 069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864412315465465454905 069551702761838606261331384583000752044933826560297606737113200709328709127443747047230696977209310141692836819025515108657463772111252389784425056953696770785449969967946864412315465465454905 987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295312312312323122211802 987931636889230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398496465105820939239829488793320362509443117301238197068416140397019837679320683282376464804295312312312323122211802 12328782509819455815301756717361332069811250996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805825749279610484198444363464927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099123287825098194558153017567173613320698112509961818815930416903515988885193458072738667385894228792284998920868058257492796104841984443634649279610484198444363463244968487560233624827041978623209002160990 23530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981245419334 0 23530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981245419334 321068170121005627880235193033224745015853904730419957777093503660416997329725088687696640355570716226844716256079882651787134195124665201030592123667719432527867539855894489697231546791234655096 321068170121005627880235193033224745015853904730419957777093503660416997329725088687696640355570716226844716256079882651787134195124665201030592123667719432527867539855894489697231546791234655096 409754591856956380236370162112047742722836489613422516445078182442352948636372141740238893441247963574370263755294448337998016125492278509257782562092622648326277933386566123123123123123481627725 409754591856956380236370162112047742722836489613422516445078182442352948636372141740238893441247963574370263755294448337998016125492278509257782562092622648326277933386566123123123123123481627725 1640191059004916449982893150566047258027786318641551956532442586982946959308019152987211725563475463964479101459040905862984967912492796104841984443634687406870504895858671747985466775757320568128845920 1640191059004916449982893150566047258027786318641551956532442586982946959308019152987211725563475463964479101459040905862984967912492796104841984443634687406870504895858671747985466775757320568128845920 5413340539220001137863009455606881667400169842055804033637953764520304024322566135278369511778838638744396625322498506549958862342818997077332761717839280349465014345588970719425121212286 5413340539220001137863009455606881667400169842055804033637953764520304024322566135278369511778838638744396625322498506549958862342818997077332761717839280349465014345588970719425121212286 398772754710962953741521115136835062752602326484728703920764310059584116612054529703023647254929666938115137322753645098889031360205724817658511806303644281231496550704751025446123123123123122501 398772754710962953741521115136835062752602326484728703920764310059584116612054529703023647254929666938115137322753645098889031360205724817658511806303644281231496550704751025446123123123123122501 172721155519486685080036853228183152196003735625279449515828418829478761085263981395599006737648292244375287184624578036192981971399147564488262608443714369882185596703903381441823262515097482798777996 172721155519486685080036853228183152196003735625279449515828418829478761085263981395599006737648292244375287184624578036192981971399147564488262608443714369882185596703903381441823262515097482798777996 43730899703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522122222220 43730899703888677822713836057729788241256119071766394650706330452795466185509666618566470971134447401607046262156807174818778443714369882185596709591025968620023537185887485696522122222220 005031173439207321139080329363447972735595527734907178379342163701205005451326383544000186323991490705479778056697853358048966906295119432473099587655247309958765523681285904138324116072260291298 005031173439207321139080329363447972735595527734907178379342163701205005451326383544000186323991490705479778056697853358048966906295119432473099587655247309958765523681285904138324116072260291298 3305353708761389396391779574540161372236187893652605381558415871869255386061647798340254351284396129460352913325942794904337299085731580290958631382683249279610484198444363469147711639633709240031689458 3305353708761389396391779574540161372236187893652605381558415871869255386061647798340254351284396129460352913325942794904337299085731580290958631382683249279610484198444363469147711639633709240031689458 6360606458459251269946557248391865642097526850823075442545993769170419777800853627309417101634349076964237222943523661255725088147792231519747780605696725380171807763603462459271123123877 6360606458459251269946557248391865642097526850823075442545993769170419777800853627309417101634349076964237222943523661255725088147792231519747780605696725380171807763603462459271123123877 84658506560507808442115296975218908740196609066518035165017925046195013665854366327125496399085491442000145747608193022120660243300964127048943903971771951806990869986066365832311111111111111227 84658506560507808442115296975218908740196609066518035165017925046195013665854366327125496399085491442000145747608193022120660243300964127048943903971771951806990869986066365832311111111111111227 870937650226014929101151717763594460202324930028040186772391028809786660565118326004368850881715723866984224220102495055188169480322100251542649463981287367765892768816456456455454555359831247788 870937650226014929101151717763594460202324930028040186772391028809786660565118326004368850881715723866984224220102495055188169480322100251542649463981287367765892768816456456455454555359831247788 652014117411091360116499507662907794364600585194199856016264790761532103872755712699251827568798930276176114616254935649590379804583818232336861201624373656984670378585330527583332465644513878953 652014117411091360116499507662907794364600585194199856016264790761532103872755712699251827568798930276176114616254935649590379804583818232336861201624373656984670378585330527583332465644513878953 7939907521660692380533698879565137285593883499894707416181550125397064648171946708348197214488898790676503795903669672494992545279033729636162658976039498576741397359441023744927961048419844436346432970 7939907521660692380533698879565137285593883499894707416181550125397064648171946708348197214488898790676503795903669672494992545279033729636162658976039498576741397359441023744927961048419844436346432970 9355477982629614591442936451428617158587339746791897571211956187385783644758448423555581050025611492391518893099463428413936080383091662818811503715284967059741625628236092168122122207515 9355477982629614591442936451428617158587339746791897571211956187385783644758448423555581050025611492391518893099463428413936080383091662818811503715284967059741625628236092168122122207515 017772538740256425347087908913729172282861151591568372524163077225440633787593105982676094420326192428531701878177296023541306067213604600038966109364709514141718577701418061231231232123210644363 017772538740256425347087908913729172282861151591568372524163077225440633787593105982676094420326192428531701878177296023541306067213604600038966109364709514141718577701418061231231232123210644363 681546444005331608778314317444081194942297559931401188868331483280270655383300469329011574414756313999722170380461709289457909627166226074071874997535921275608441473782330327034561312314561233016 681546444005331608778314317444081194942297559931401188868331483280270655383300469329011574414756313999722170380461709289457909627166226074071874997535921275608441473782330327034561312314561233016 823719364800217328573493594756433412994302485023573221459784328264142168487872167336701061509424345698440187331281010794512722373788612605816566805371439612788873252737389039212345621321546289050 823719364800217328573493594756433412994302485023573221459784328264142168487872167336701061509424345698440187331281010794512722373788612605816566805371439612788873252737389039212345621321546289050 68653241380627960259303877276977837928684093253658807339884572187460210053114833513238500478271693762180049047955979592905916554705057775143081751126989851884087185640260353054774201418 58373 68653241380627960259303877276977837928684093253658807339884572187460210053114833513238500478271693762180049047955979592905916554705057775143081751126989851884087185640260353054774201418 58373 7492796104841984443634683242292418562564425502267215598027401261797192804713960068916382866527700975276706977703643926022437284184088325184877047263844037953016690546593746161932384036389313136432713768 7492796104841984443634683242292418562564425502267215598027401261797192804713960068916382866527700975276706977703643926022437284184088325184877047263844037953016690546593746161932384036389313136432713768 8841026811219891275223056256756254701725086349765367288605966752740868627407912856576996313789753034660616669804218267724560530660773899624218340859882071864682623215080288287742635974 8841026811219891275223056256756254701725086349765367288605966752740868627407912856576996313789753034660616669804218267724560530660773899624218340859882071864682623215080288287742635974 683965435885668550377313129658797581050121491620765676995065971534476347032085321560367482860837865680307306265763346977429563464371670939719306087696349532884683361303882943104774201418 4080 683965435885668550377313129658797581050121491620765676995065971534476347032085321560367482860837865680307306265763346977429563464371670939719306087696349532884683361303882943104774201418 4080 02968738691170666661468000151211434422560238744743252507693870777751932999421372772112588436087158348356269616619805725266122067975406210620806498829184543953015299820925030054947742014177428 825 02968738691170666661468000151211434422560238744743252507693870777751932999421372772112588436087158348356269616619805725266122067975406210620806498829184543953015299820925030054947742014177428 825 704339055357016865312052649561485724925738620691740369521353373253166634546658859728665945113644137033139367211856955395210845840724432383558606310680696492485123263269951460354774201418 9603 704339055357016865312052649561485724925738620691740369521353373253166634546658859728665945113644137033139367211856955395210845840724432383558606310680696492485123263269951460354774201418 9603 7297253198368423363904649279610484198444363463213671011619282171115028280160448805880238203198149309636959673583274202498824568494127386056649135252670604623445054922758115170931492187959271800194096886 7297253198368423363904649279610484198444363463213671011619282171115028280160448805880238203198149309636959673583274202498824568494127386056649135252670604623445054922758115170931492187959271800194096886 698683703730220047531433818109270803001720593553052070070607223399946399057131158709963577735902719628506114651483752620956534671329002599439766311454590268589897911583709341937044 698683703730220047531433818109270803001720593553052070070607223399946399057131158709963577735902719628506114651483752620956534671329002599439766311454590268589897911583709341937044 1155121920117164880566945938131183843765620627846310490346293950029458341164824114969758326011800731699437393506966295712410273239138741754923071862454543222039552735295240245904774201418 380 1155121920117164880566945938131183843765620627846310490346293950029458341164824114969758326011800731699437393506966295712410273239138741754923071862454543222039552735295240245904774201418 380 574450289224688628533654221381572213116328811205214648980518009202471939171055539011394331668151582884368760696110250517100739276238555338627255353883096067164466237092264680964774201418 7125 574450289224688628533654221381572213116328811205214648980518009202471939171055539011394331668151582884368760696110250517100739276238555338627255353883096067164466237092264680964774201418 7125 4061869502143176211668140097595281493907222604927961048419844436346111268115310838731761732323526360583817315103459573653822353499293582283685100781088463434998351840445170427018938199424341009057537625 4061869502143176211668140097595281493907222604927961048419844436346111268115310838731761732323526360583817315103459573653822353499293582283685100781088463434998351840445170427018938199424341009057537625 77675711180900881641833192019626234162881665213747173254777277834887743665188287521566857195063719365653903894493664217640031215278702223664636357555035655769488865495004774201418 27085392361 77675711180900881641833192019626234162881665213747173254777277834887743665188287521566857195063719365653903894493664217640031215278702223664636357555035655769488865495004774201418 27085392361 710550213114741374410613444554419210133617299628569489919336918472947858072915608851039678195942983318648075608367955149663644896559294818785178403877332624705194505041984774201418 710550213114741374410613444554419210133617299628569489919336918472947858072915608851039678195942983318648075608367955149663644896559294818785178403877332624705194505041984774201418 3947731202815886845707290544057510601285258056594703046836344592652492796104841984443634655213700806875200959345360731622611872817392807462309468536782310609792159936001994623799343421068781349734695924 3947731202815886845707290544057510601285258056594703046836344592652492796104841984443634655213700806875200959345360731622611872817392807462309468536782310609792159936001994623799343421068781349734695924 64697525062469586169091785739765951993929939955675427146549104568607020990126068187049841780791739240719459963230602547079017745275131868099822847308607665368668555164674774201418 70291133682 64697525062469586169091785739765951993929939955675427146549104568607020990126068187049841780791739240719459963230602547079017745275131868099822847308607665368668555164674774201418 70291133682 756310722334672611370549079536583453863719623585631261838715677411873852772292259474337378569553845624680101390572787101651296663676445187246565373040244368414081448873295784734849 756310722334672611370549079536583453863719623585631261838715677411873852772292259474337378569553845624680101390572787101651296663676445187246565373040244368414081448873295784734849 0003019477888020460324660842875351848364959195082888323206522128104190448047247949291342284951970022601310430062410717971502793433263407995960531446053230488528972917659876016664774201418 781 0003019477888020460324660842875351848364959195082888323206522128104190448047247949291342284951970022601310430062410717971502793433263407995960531446053230488528972917659876016664774201418 781 1937932372453857209607582277178483361613582612896226118129455927462767137794487586753657549279610484198444363464486140761193112595851265575973457301533364263076798544338576171533346232527057200530398828 1937932372453857209607582277178483361613582612896226118129455927462767137794487586753657549279610484198444363464486140761193112595851265575973457301533364263076798544338576171533346232527057200530398828 949903425956623297578248873502925916682589445689465599265845476269452878051650172067478541788798227680653665064191097343452887833862172615626958265447820567298775642632534774201418 2159429441 949903425956623297578248873502925916682589445689465599265845476269452878051650172067478541788798227680653665064191097343452887833862172615626958265447820567298775642632534774201418 2159429441 803994321700009054265076309558846589517170914760743713689331946909098190450129030709956622662030318264936573369841955577696378762491885286568660760056602560544571133728684020557441 803994321700009054265076309558846589517170914760743713689331946909098190450129030709956622662030318264936573369841955577696378762491885286568660760056602560544571133728684020557441 6030837052312242587223438854123179481388550075689381124935386318635287083799845692619981794523364087429591180744927961048419844436346745341955142035172618420084550917084568236820089773945584267921427347 6030837052312242587223438854123179481388550075689381124935386318635287083799845692619981794523364087429591180744927961048419844436346745341955142035172618420084550917084568236820089773945584267921427347 756087964427920270831215015640634134161716644806981548376449157390012121704154787259199894382536495051477137939914720521952907939613762110723849429061635760459623125350606853765142 756087964427920270831215015640634134161716644806981548376449157390012121704154787259199894382536495051477137939914720521952907939613762110723849429061635760459623125350606853765142 311534966568371511660422079639446662116325515772907097847315627827759878813649195125748332879377157145909106484164267830994972367442017586226940215940792448054125536043131799269673 4774201418 311534966568371511660422079639446662116325515772907097847315627827759878813649195125748332879377157145909106484164267830994972367442017586226940215940792448054125536043131799269673 4774201418 915754241929660731239376354213923061787675395871143610408940996608947141834069836299367536262154524729846421375289107988438130609555262272083751862983706678722443019579v4774201418 379378607210 915754241929660731239376354213923061787675395871143610408940996608947141834069836299367536262154524729846421375289107988438130609555262272083751862983706678722443019579v4774201418 379378607210 7254277289071732854874374355781966511716618330881129120245204048682200072344035025448202834254187884653602591506445271657700044521097492796104841984443634673558589762265548494162171498953238342160011406 7254277289071732854874374355781966511716618330881129120245204048682200072344035025448202834254187884653602591506445271657700044521097492796104841984443634673558589762265548494162171498953238342160011406 295071849042778925855274303522139683567901807640604213830730877446017084268827226117718084266433365178000217190344923426426629226145600433738386833555534345300426481847398921562708 295071849042778925855274303522139683567901807640604213830730877446017084268827226117718084266433365178000217190344923426426629226145600433738386833555534345300426481847398921562708 6095650629340405264943244261445665921291225648893569655009154306426134252668472594914314239398845432486327461842846655985332312210466259890141712103446084271616619001257195874774201418 079321 6095650629340405264943244261445665921291225648893569655009154306426134252668472594914314239398845432486327461842846655985332312210466259890141712103446084271616619001257195874774201418 079321 75696985440133976220967494541854071184464339469901626983516078489245140589409463952678073545797003070511636825194877011897640028276484141605872061841852971891540196882532894774201418 30914966 75696985440133976220967494541854071184464339469901626983516078489245140589409463952678073545797003070511636825194877011897640028276484141605872061841852971891540196882532894774201418 30914966 5345753571427318482016384644832499037886069008072709327673127581966563941148961716832980455139729506687604740915420428429993541025829113502241690769431668549279610484198444363467424252250902693903481485 5345753571427318482016384644832499037886069008072709327673127581966563941148961716832980455139729506687604740915420428429993541025829113502241690769431668549279610484198444363467424252250902693903481485 645130306992519959043638402842926741257342244776558417788617173726546208549829449894678735092958165263207225899236876845701782303809656788311228930580914057261086588484587310165815 645130306992519959043638402842926741257342244776558417788617173726546208549829449894678735092958165263207225899236876845701782303809656788311228930580914057261086588484587310165815 116753332767488701482916741970151255978257270740643180860142814902414678047232759768426963393577354293018673943971638861176420900406866339885684168100387238921448317607011668454774201418 0388 116753332767488701482916741970151255978257270740643180860142814902414678047232759768426963393577354293018673943971638861176420900406866339885684168100387238921448317607011668454774201418 0388 7212364367043314091155733280182977988736590916659612402021778558854876176161989370794380056663364884365089144805571039765214696027662583599051987042300179465536788567430285974604927961048419844436346014 7212364367043314091155733280182977988736590916659612402021778558854876176161989370794380056663364884365089144805571039765214696027662583599051987042300179465536788567430285974604927961048419844436346014 378548323706870119007849940493091891918164932725977403007487968148488234293202301212803232746039221968752834051690697419425761467397811071546418627336909158497318501118396048253351 378548323706870119007849940493091891918164932725977403007487968148488234293202301212803232746039221968752834051690697419425761467397811071546418627336909158497318501118396048253351 8748438923177292613543024932562896371361977285456622924461644497284597867711574125670307871885109336344480149675240618536569532074170533486782754827815415561966911055101472492796104841984443634679904038 8748438923177292613543024932562896371361977285456622924461644497284597867711574125670307871885109336344480149675240618536569532074170533486782754827815415561966911055101472492796104841984443634679904038 689722046555083317078239480878599050194756310898412414467282186545997159663901564194175182093593261631688838013275875260146050767609839262572641112013528859131784829947568247256488 689722046555083317078239480878599050194756310898412414467282186545997159663901564194175182093593261631688838013275875260146050767609839262572641112013528859131784829947568247256488 5533492796104841984443634635727977220554356812630253574821658541400080531482069713726214975557605189048162237679041492674260007104592269531483518813746388710427354476762357793399397063239660496914530327 5533492796104841984443634635727977220554356812630253574821658541400080531482069713726214975557605189048162237679041492674260007104592269531483518813746388710427354476762357793399397063239660496914530327 388787455790593493777232014295480334500069525698093528288778371067058556774948137385863038576282304069400566534058488752700530883245918218349431804983419963998145877343586311594057 388787455790593493777232014295480334500069525698093528288778371067058556774948137385863038576282304069400566534058488752700530883245918218349431804983419963998145877343586311594057 0443683515285383609442955964360676090221741896883548131643997437764158365242234642619597390455450680695232850751868719449064767791886720306418630751053512149851051207313846644774201418 871754 0443683515285383609442955964360676090221741896883548131643997437764158365242234642619597390455450680695232850751868719449064767791886720306418630751053512149851051207313846644774201418 871754 7518382979990189317751550649279610484198444363463998101646641459210240683829460320833151318675891566830067921021594733685859120139536030167811041344441103090338876152048829690910468916767155537334662254 7518382979990189317751550649279610484198444363463998101646641459210240683829460320833151318675891566830067921021594733685859120139536030167811041344441103090338876152048829690910468916767155537334662254 5575975202624771242796225983278405833585897671474205724047439720232895903726148688388003174146490203843590358527993123871042845981608996101945691646983837718267264685264869172977424841 5575975202624771242796225983278405833585897671474205724047439720232895903726148688388003174146490203843590358527993123871042845981608996101945691646983837718267264685264869172977424841 4153004604004299585035164101899027529366867431834955447458124140190754681607770977920579383895378192128847409929537040548378455945469160223687689641425960164689647106348074927961048419844436346410992854 4153004604004299585035164101899027529366867431834955447458124140190754681607770977920579383895378192128847409929537040548378455945469160223687689641425960164689647106348074927961048419844436346410992854 6482353083540132332924864037318003195202317476206537726163716168869954837012207009772320423330228129491042179019846042105112733390124519991391683820939321059926449208855098131066102154545 6482353083540132332924864037318003195202317476206537726163716168869954837012207009772320423330228129491042179019846042105112733390124519991391683820939321059926449208855098131066102154545

At font size 3

Base e shows up in problems that involve the statistical bell curve

There is also a connection between e and via Euler's Equation.

complex numbers,

This remarkable equation involves the five most important constants in all of mathematics: 0, 1, i, and e.

Natural Base Natural Base Exponential FunctionsExponential Functions

● An exponential An exponential function with base function with base ee is is a natural base a natural base exponential function exponential function

● Used extensively in science to model quantities that grow and decay continuously

Natural LogarithmsNatural Logarithms

● A logarithm with base A logarithm with base ee is a natural is a natural logarithm logarithm

● Sometimes written asSometimes written as● Usually written as the abbreviated form Usually written as the abbreviated form ln ln

xx● y= ln x y= ln x is called a natural logarithm is called a natural logarithm

functionfunction

xe

log

Natural Natural LogarithmLogarithm

natural base exponential functions and natural base exponential functions and natural logarithms are inversesnatural logarithms are inverses

Natural Base Natural Base Exponential Exponential

FunctionFunction

xe

logln x=

By using the following equation, you can write By using the following equation, you can write an equivalent natural base exponential an equivalent natural base exponential

equation for a natural logarithmic equation equation for a natural logarithmic equation and vice versaand vice versa

Write an equivalent exponential or logarithmic Write an equivalent exponential or logarithmic equation equation

5ex

xe

5log

x5ln

6931.0ln x

6931.0log xe

ex 6931.06931.0ln x

Inverse Property of Base Inverse Property of Base ee and and Natural LogarithmsNatural Logarithms

xx

e lnxex ln

Evaluate each expression

e xln 34

34ln 34 xe x 77ln e

Solving Base Solving Base ee Equations Equations or Inequalitiesor Inequalities

275 e x

95 e x

5

9e x

5

9lnln e x

5

9ln x

5

9lnx

5878.0x

21ln x

ee

x 21ln

ex2

1

12

ex

1353.1x

Compound InterestCompound Interest

PertA r is the annual interest rater is the annual interest rateP is amount of P is amount of

principalprincipal

SolveSolveIf you deposit $1000 in an account paying 5% If you deposit $1000 in an account paying 5% annual interest compounded continuously:annual interest compounded continuously:a. What is the balance after 10 years?

PertA e1000 1005.0

e1000 5.0

72.1648

b. How long will it take for the balance in your account to reach at least 1500

15001000 05.0 e t

1500A

1500Pert

5.105.0 e t

5.1ln05.0ln e t

5.1ln05.0 t

05.0

5.1lnt

11.8t

The balance after ten years would be 1648.72

It will take at least 8.11 years for the balance to reach %1500