Bases en espacios de Hilbert

Marfia Martın

Trabajo Final de Analisis Funcional

basado en el libro An introduction to frames and Riesz bases de Ole Christensen

Indice

1. Introduccion 1

2. Preliminares 1

3. Bases en espacios de Banach 3

4. Sucesiones de Bessel en espacios de Hilbert 7

5. Bases y sistemas biortogonales en H 9

6. Bases ortonormales 11

7. La matriz de Gram 14

8. Bases de Riesz 17

9. Series de Fourier y bases de Gabor 22

10.Bases Wavelet 24

1. Introduccion

Las bases juegan un rol prominente en el analisis de espacios vectoriales, tanto en el casofinito como en el infinito dimensional. La idea es la misma en ambos casos, consideramosuna familia de elementos tales que todos los vectores del espacio pueden ser expresadosde forma unica como combinacion lineal de esos elementos. En el caso infinito dimensionalla situacion es mas complicada: se tiene que trabajar con series infinitas, y dependiendo decomo queremos que converja la serie hay diferentes conceptos de base. Por ejemplo podrıamospreguntarnos por la convergencia de la serie dado un orden fijo de los elementos (convergenciacondicionada) o sin importar que escojamos. Definiremos los tipos de bases mas relevantesen espacios de Banach generales y discutiremos las propiedades mas importantes de lasortonormales en los Hilbert. Veremos que las bases ortonormales y las llamadas de Riesz,cumplen la desigualadad de Bessel, que es la llave que nos permite observar que nos danconvergencia incondicional de series de una expansion de un elemento del espacio. Al finaldaremos ejemplos concretos de bases en espacios de funciones usando la teorıa de series deFourier y bases de Gabor, como ası tambien introduciremos la idea de bases wavelet paraL2(R).

2. Preliminares

Definicion 2.0.1. La inmersion canonica JE : E → E∗ se define por

JE(x) = Jx ∈ E∗∗ con Jx(φ) = φ(x), paratodoφ ∈ E∗

Definicion 2.0.2. El espacio E se dice reflexivo si la isometrıa JE es sobre.

Proposicion 2.0.3. Hahn Banach : Sea E un espacio normado, S ⊂ E un subespacio yφ ∈ S∗. Entonces existe un funcional Φ ∈ E∗ tal que:

1. φ extiende a φ en el sentido de que Φ(y) = φ(y) ∀y ∈ S

2. ‖Φ‖E∗ = ‖φ‖S∗

Definicion 2.0.4. Una sucesion {fk}∞k= en X tal que span{fk}∞k= = X se dice completa.

Definicion 2.0.5. Sea H un espacio de Hilbert y T ∈ L(H). Diremos que T es:

1. Normal si T ∗T = TT ∗.

2. Autoadjunto si T = T ∗.

3. Positivo si es autoadjunto y 〈Tx, x〉 ≥ 0.

4. Unitario si T es invertible y T−1 = T ∗.

Proposicion 2.0.6. Todo operador acotado y positivo U : H → H tiene una unica y acotadaraız cuadrada W (i.e., tal que W 2 = U). Si U es autoadjunto/invertible entonces W esautoadjunto/invertible.

1

Proposicion 2.0.7. Teorema de la imagen abierta: Sean E y F dos espacios de Banach, siT ∈ L(E,F ) es sobre, entonces T es abierto.

Proposicion 2.0.8. Teorema de la funcion inversa: Si T ∈ L(E,F ) es biyectiva, entoncesT−1 es continua.

Proposicion 2.0.9. Principio de la acotacion uniforme: Sean E y F dos espacios de Banach.Entonces toda familia de operadores (Ti)i∈I en L(E,F ) tal que para todo x ∈ E:

Mx = supi∈I ‖Tix‖F <∞ (puntualmente acotada)

implica que supi∈I ‖Ti‖L(E,F ) <∞ (uniformemente acotada en BE)

Proposicion 2.0.10. Teorema de Banach - Steinhaus : Sean E y F dos espacios de Banachy (Tn)n∈N una familia de operadores en L(E,F ) tal que para todo x ∈ E existe un yx ∈ Ftal que

Tnx→ yx

entonces valen:

1. La sucesion es acotada, o sea que M = supn∈N ‖Tn‖ <∞

2. El operador T : E → F dado por

Tx = yx = lımn→∞

Tnx

es lineal, acotado y ‖T‖ ≤M

Proposicion 2.0.11. Si T ∈ L(E,F ), S ∈ L(F,G) con E,F,G espacios normados

1. (ST )∗ = T ∗S∗

2. Si T es un iso, entonces T ∗ hace que E∗ y F ∗ sean isomorfos con (T ∗)−1 = (T−1)∗

3. ‖y‖ = supφ∈BF∗ |φ(y)|, para todo y ∈ F .

4. ‖T‖ = ‖T ∗‖

Proposicion 2.0.12. Sea H un espacio de Hilbert, y sean x, y ∈ H:

1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: |〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.

2. ‖x‖ = sup‖y‖=1 |〈x, y〉|.

Proposicion 2.0.13. Teorema de Representacion de Riesz:Sea H un espacio de Hilbert. Laaplicacion R : H → H∗ dada por

R(y) = φy

con

φy(x) = 〈x, y〉

es un antiisomorfismo isometrico de H sobre H∗. Es decir, para toda φ ∈ H∗ existe un unicoy ∈ H tal que φ = 〈·, y〉 que ademas cumple que ‖φ‖ = ‖y‖.

2

3. Bases en espacios de Banach

El concepto mas fundamental de una base fue introducido por Schauder en 1927. Tomalugar en un espacio de Banach X, y captura la idea basica de tener una familia de vectorescon la propiedad de que cada f ∈ X tiene una unica expansion en terminos de esos vectores.Todas las bases que vamos a considerar en este trabajo son bases de Schauder. Antes de darla definicion formal, recordamos que una sucesion en X es un conjunto ordenado, i.e.,

{ek}∞k=1 = {e1, e2, . . . }

Definicion 3.0.14. Sea X un espacio de Banach. Una sucesion de vectores {ek}∞k=1 en Xes una base (de Schauder) para X si, para cada f ∈ X, existen unicos coeficientes escalares{ck(f)}∞k=1 tales que

f =∞∑k=1

ck(f)ek .

En ocasiones nos referiremos a esta ultima ecuacion como la expansion def en la base{ek}∞k=1. Esta igualdad implica que esa serie converge con respecto al orden elegido de loselementos. Si dicha serie converge incondicionalmente para toda f ∈ X, decimos que {ek}∞k=1

es una base incondicional. Detras de la existencia de una expansion de f , esta la dudade la unicidad. Esto usualmente se obtiene pidiendole a {ek}∞k=1 que sea independiente enalgun sentido. En espacios de Banach de dimension infinita hay diferentes conceptos deindependiencia:

Definicion 3.0.15. Sea {fk}∞k=1 una sucesion en X. Decimos que:

1. {fk}∞k=1 es linelamente independiente si cualquier subconjunto finito de {fk}∞k=1 eslinealmente independiente.

2. {fk}∞k=1 es ω − independiente si cuando la serie∑∞

k=1 ckfk converge y es igual a ceropara ciertos escalares {ck}∞k=1, entonces necesariamente ck = 0 para todo k ∈ N.

3. {fk}∞k=1 es minimal si fj 6∈ span{fk}k 6=j,∀j ∈ N.

Las relaciones entre estas definiciones se da de la siguiente manera:

Lema 3.0.16. Sea {fk}∞k=1 una sucesion en X. Luego:

1. Si {fk}∞k=1 es minimal, luego {fk}∞k=1 es ω - independiente.

2. Si {fk}∞k=1 es ω - independiente, entonces {fk}∞k=1 es linealmente independiente.

Las implicaciones al reves no son ciertas.

3

Demostracion. Pra la prueba de (1) asumamos que {fk}∞k=1 no es ω-independiente. Elegimosescalares {ck}∞k=1 no todos nulos tales que

∑∞k=1 ckfk = 0; luego hay al menos un cj no

nulo talque sucede que fj =∑

k 6=j−ckcjfk, lo que implica que fj ∈ span{fk}k 6=j. Ası {fk}∞k=1

no es minimal. La segunda es obvia. Veamos que las vueltas no valen, aunque para esonecesitamos conceptos y resultados de la seccion Bases ortonormales, igual le damos paraadelante. Sea {ek}∞k=1 una base ortonormal de H; tomemos {

∑∞k=1

ekk} ∪ {ek}∞k=1. Veamos

que es linealmente independiente pero no ω independientes. Si tomo finitos de los ek yaesta por ser {ek}∞k=1 una base. Ahora si tomo finitos de ellos y {

∑∞k=1

ekk} simplemente hago

producto 〈·, ej〉 con un ej que no este entre los finitos. Para ver la otra parte hago simplemente−∑ ek

k+ e1 + e2

2+ e3

3+ · · · = 0. Para ver que la vuelta de (1) no es cierta tomamos de la

base ortonormal {ek}∞k=1, el conjunto {e1}∪{ek + ek+1}∞k=1 que es ω independiente es trivial.Para ver que no es minimal veamos que {ek + ek+1}∞k=1 es completo. Para ello sea f ∈ H ysupongamos que 〈f, ek + ‘ek+1〉 = 0 ∀k ∈ N, entonces 〈f, ek〉 = −〈f, ek+1〉 lo que implica que|〈f, ek〉| es constante. Como

∑|〈f, ek〉|2 = ‖f‖2 −→ 〈f, ek〉 = 0 −→ f = 0 lo que equivale a

que {ek + ek+1}∞k=1 es completo. ♣

Un espacio de Banach con una base es necesariamente separable (tomando como densoel conjunto de las combinaciones lineales finitas con escalares racionales o de parte real eimaginaria racionales en el caso complejo, que es denso y numerable). Y la mayorıa de losespacios de Banach separables tienen una base, pero no es condicion suficiente, en 1972 Enfloconstruyo un contraejemplo. Es claro que una base en X es completa y consiste de vectoresno nulos, pero si ademas anadimos una condicion extra podemos caracterizar las bases:

Teorema 3.0.17. Una familia completa de vectores no nulos {ek}∞k=1 en X es una base paraX si y solo si existe una constante K talque para todo m, n ∈ N con m ≤ n,∥∥∥∥∥

m∑k=1

ckek

∥∥∥∥∥ ≤ K

∥∥∥∥∥n∑k=1

ckek

∥∥∥∥∥.

para toda sucesion de escalares {ck}∞k=1.

Demostracion. Supongamos que {ek}∞k=1 es una base. Luego cada f ∈ X tiene una unicaexpansion f =

∑∞k=1 ckek. Definimos entonces

|||f ||| := supn

∥∥∥∥∥n∑k=1

ckek

∥∥∥∥∥ <∞Notar que si |||f ||| = 0, luego‖

∑nk=1 = 0 para todo n ∈ N; luego por la independencia de la

base tenemos que ck = 0 para todo k ∈ N, y f = 0. No es difıcil ver que ||| · ||| es una normaen X y que X es un espacio de Banach con esa norma. Por la definicion de ||| · |||, tenemosque ‖f‖ ≤ ||f ||,∀f ∈ X, lo que implica que la identidad es un operador continuo e inyectivode (X, ||| · |||) en (X, ‖ · ‖). Luego este operador tiene una inversa continua,i.e., que existeuna constante K > 0 tal que para toda f ∈ X, |||f ||| ≤ K‖f‖. En particular, fijando unn ∈ N arbitrario y considerando f =

∑nk=1 ckek obtenemos la desigualdad deseada. Para la

otra implicacion, asumamos que una familia completa de vectores no nulos {ek}∞k=1 satisfacela desigualdad. Sea A el espacio vectorial que consiste en todos los f ∈ X que se puedenexpandir como f =

∑∞k=1 ckek para ciertos coeficientes {ck}∞k=1. Primero vamos a probar que

4

A = X; com {ek}∞k=1 es completa, tenemos que A es densa en X, asi que veamos solamenteque A es cerrado. Sea f ∈ X, y elijamos una sucesion {fj}∞j=1 ⊂ A tal que fj → f cuando

j →∞. Ahora bien, fj =∑∞

k=1 c(j)k ek para ciertos coeficientes {c(j)k }

∞k=1. Por la desigualdad,

para cada i ∈ N y para todo i≤m≤n, tenemos para todo j,l ∈ N que

|c(j)i − c(l)i | ‖ei‖ ≤ K

∥∥∥∥∥m∑k=1

(c(j)k − c

(l)k

)ek

∥∥∥∥∥≤ K2

∥∥∥∥∥n∑k=1

(c(j)k − c

(l)k

)ek

∥∥∥∥∥≤ K2

(∥∥∥∥∥n∑k=1

c(j)k ek − fj

∥∥∥∥∥+ ‖fj − f‖

)

+K2

(‖f − fl‖+

∥∥∥∥∥fl −n∑k=1

c(l)k ek

∥∥∥∥∥).

Dado ε > 0, elegimos N ∈ N tal que

‖f − fj‖ ≤ ε2K2 para j ≥ N.

Haciendo n→∞, de la estimacion de antes se sigue que

|c(j)i − c(l)i | ‖ei‖ ≤ ε para todo i ∈ N, j, l ≥ N .

y, ası ∥∥∥∥∥m∑k=1

(c(j)k − c

(l)k

)ek

∥∥∥∥∥ ≤ ε para todo m ∈ N, j, l ≥ N .

Para cada i ∈ N, la sucesion {c(l)i }∞l=1 es convergente, digamos c(l)i → ci, cuando l → ∞.

Haciendo luego, l→∞ en las dos ultimas desigualdades, obtenemos que

|c(j)i − ci|‖ei‖ ≤ ε para todo i ∈ N, j ≥ N ,

y ∥∥∥∥∥m∑k=1

(c(j)k − ck

)ek

∥∥∥∥∥ ≤ ε para todo m ∈ N, j ≥ N .

Ahora, para m ∈ N dado, y todo j ∈ N,∥∥∥∥∥f −m∑k=1

ckek

∥∥∥∥∥ ≤ ‖f − fj|+∥∥∥∥∥fj −

m∑k=1

c(j)k ek

∥∥∥∥∥+

∥∥∥∥∥m∑k=1

(c(j)k − ck

)ek

∥∥∥∥∥;

Ası a partir de un argumento ε/ 3 tenemos que∑∞

k=1 ckek converge a f. Luego f ∈ A comoquerıamos. Solo nos resta probar para que los ek sean una base, que son ω-independientes.Esto sale por la desigualdad de la hipotesis: si

∑∞k=1 ckek = 0, luego para cada i ∈ N y todo

n ≥ i,

|ci|‖ei‖ ≤ K

∥∥∥∥∥n∑k=1

ckek

∥∥∥∥∥;

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y obtenemos la independencia haciendo n→ infty. ♣

Dada una base {ek}∞k=1 es claro que los coeficientes {ck(f)}∞k=1 de la definicion de ex-pansion de f dependen linealmente de f . Llamaremos a los funcionales f → ck(f), losfuncionales coeficientes de f . Como consecuencia del teorema previo, estos son continuos:

Corolario 3.0.18. Los funcionales coeficientes {ck}∞k=1 asociados a la base {ek}∞k=1 para Xson continuos, asi se los puede considerar en el dual X∗. Y si existiese una constante C > 0tal que ‖ek‖ ≥ C para todo k ∈ N, entonces las normas de los {ck}∞k=1 estan uniformementeacotadas.

Demostracion. Usaremos el teorema previo y la notacion introducida recien. Dada f ∈ X,escribimos f =

∑∞k=1 ck(f)ek. Luego, para todo j ∈ N y todo n ≥ j,

|cj(f)|‖ej‖ ≤ K

∥∥∥∥∥n∑k=1

ck(f)ek

∥∥∥∥∥.Haciendo n→∞ obtenemos que

|cj(f)| ≤ K‖ej‖‖f‖.

♣

Definicion 3.0.19. Una sucesion {fk}∞k=1 en X y una sucesion {gk}∞k=1 en X∗ se dicenbiortogonales si

gk(fj) = δk,j :={

1 si k=j0 si k 6=j

Corolario 3.0.20. Supongamos que {ek}∞k=1 es una base para X. Luego {ek}∞k=1 y los fun-cionales coeficientes {ck}∞k=1 asociados, son biortogonales.

Demostracion. Es obvia a partir de la defincion de los funcionales y del hecho de que loscoeficientes de cada ek en la base {ek}∞k=1 son 1 en la posicion k-esima y 0 en las demas. ♣

Por completitud mencionamos el siguiente resultado sobre los funcionales coeficientes:

Teorema 3.0.21. Sea {ek}∞k=1 una base para X y sean {ck}∞k=1 los funcionales coeficientesasociados. Entonces

{ck}∞k=1 es una base para su span cerrado en X∗, y su sistema biortogonal asociado es{ek}∞k=1 (pensados en X∗∗).

Si X es reflexivo, entonces {ck}∞k=1 es una base de X∗.

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4. Sucesiones de Bessel en espacios de Hilbert

En el resto del trabajo consideraremos sucesiones en espacios de Hilbert. Por convenienciaindexaremos todas las sucesiones sobre N en esta seccion. Pero pronto veremos que en realidadtodos los resultados valen sin en cualquier conjunto de ındices.

Lema 4.0.22. Sea {fk}∞k=1 una sucesion en H, y supongamos que∑∞

k=1 ckfk es convergentepara toda {ck}∞k=1 ∈ l2(N). Luego

T : l2(N)→ H, T{ck}∞k=1 :=∞∑k=1

ckfk

define un operador lineal acotado. Su operador adjunto esta dado por

T ∗ : H → l2(N), T ∗f = {〈f, fk〉}∞k=1.

Mas aun

∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 ≤ ‖T‖2‖F‖2,∀f ∈ H

Demostracion. Consideremos la sucesion de operadores lineales acotados:

Tn : l2(N)→ H, Tn{ck}∞k=1 :=n∑k=1

ckfk

Claramente Tn → T puntualmente, luego T esta acotado por el lımite inferior de las normasde estos operadores. Para encontrar una expresion para T ∗, sea f ∈ H, {ck}∞k=1 ∈ l2(N).Luego:

〈f, T{ck}∞k=1〉H = 〈f,∞∑k=1

ckfk〉H =∞∑k=1

〈f, fk〉ck.

Ası para hallar T ∗f notemos que la convergencia de la serie∑∞

k=1〈f, fk〉ck para todo {ck}∞k=1 ∈l2(n) implica que {〈f, fk〉}∞k=1 ∈ l2(N). Ası podemos escribir

〈f, T{ck}∞k=1〉H = 〈{〈f, fk〉}, {ck}〉l2(N)y concluimos que, por la definicion de T ∗

T ∗f = {〈f, fk〉}∞k=1

Ahora bien, el adjunto de un operador acotado es acotado, y ‖T‖ = ‖T ∗‖. Luego tenemospor la hipotesis que

‖T ∗f‖ ≤ ‖T‖2 ‖f‖2 ,∀f ∈ H.

lo que nos da la desigualdad pedida. ♣

En lo que sigue jugaran un papel muy importante las sucesiones {fk}∞k=1 para las quevalen una desigualdad como la ultima.

7

Definicion 4.0.23. Una sucesion {fk}∞k=1 en H es una sucesion de Bessel si existe unaconstante B > 0 tal que

∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 ≤ B ‖f‖2,∀f ∈ H.

Todo numero B satisfaciendo esta desigualdad se llama cota de Bessel para {fk}∞k=1.

Teorema 4.0.24. Sea {fk}∞k=1 una sucesion en H. Luego {fk}∞k=1 es una sucesion de Besselcon cota de Bessel B si y solo si

T : {ck}∞k=1 →∞∑k=1

ckfk es un operador bien definido de l2(N) en H y ‖T‖ ≤√B.

Demostracion. Primero asumamos que {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cota de BesselB. Sea {ck}∞k=1 ∈ l2(N). Primero queremos ver que T{ck}∞k=1 esta bien definido, i.e., que∑∞

k=1 ckfk es convergente. Consideremos n,m ∈ N, n > m. Luego∥∥∥∥∥n∑k=1

ckfk −m∑k=1

ckfk

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥n∑

k=m+1

ckfk

∥∥∥∥∥= sup

‖g‖=1

∣∣∣∣∣〈n∑

k=m+1

ckfk, g〉

∣∣∣∣∣≤ sup

‖g‖=1

n∑k=m+1

|ck〈fk, g〉|

≤

(n∑

k=m+1

|ck|2) 1

2

sup‖g‖=1

(n∑

k=m+1

|〈fk, g〉|2) 1

2

≤√B

(n∑

k=m+1

|ck|2) 1

2

.

Como {ck}∞k=1 ∈ l2(N), sabemos que {∑∞

k=1 |ck|2}∞k=1 es una sucesion de Cauchy en C. Peopor lo anterior vemos que {

∑∞k=1 ckfk}∞k=1 es una sucesion de Cauchy en H y por lo tanto

convergente, es decir T esta bien definido. Claramente T es lineal, y como ‖T{ck}∞k=1‖ =sup‖g‖=1 |〈T{ck}∞k=1, g〉| una cuenta como la de antes muestra como T es acotado y su norma

es ≤√B. Para la vuelta, supongamos que T es un operador bien definido y que ‖T‖ ≤

√B.

Ası por el lema previo y la acotacion de ‖T‖ tenemos que {ck}∞k=1 es una sucesion de Besselcon cota de Bessel B ♣

El lema previo nos muestra que si solo necesitamos saber que {fk}∞k=1 es una sucesionde Bessel pero la cota de Bessel es irrelevante, solo hace falta chequear que el operador Teste bien definido:

Corolario 4.0.25. Si {fk}∞k=1 es una sucesion en H y∑∞

k=1 ckfk es convergente para todo{ck}∞k=1 ∈ l2(N), luego {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel.

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La condicion de Bessel se mantiene sin importar el orden en que los elementos {fk}∞k=1

son numerados. Lo que nos lleva a una importante consecuencia del teorema anterior:

Corolario 4.0.26. Si {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel en H, luego∑∞

k=1 ckfk convergeincondicionalmente para todo {ck}∞k=1 ∈ l2(N).

Por este motivo, podemos elegir una indexacion arbitraria de los elementos de la sucesionde Bessel, en particular no es una restriccion que presentemos todos los resultados con losnaturales como conjunto de ındices. Como veremos mas adelante, todas las bases ortonorma-les, bases de Riesz y marcos son sucesiones de Bessel. Es suficiente con chequear la condicionde Bessel en un subconjunto denso de H:

Lema 4.0.27. Supongamos que {fk}∞k=1 es una sucesion de elementos de H y existe unaconstante B > 0 tal que

∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 ≤ B ‖f‖2

para todo f en un subconjunto V denso de H. luego {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel concota B.

Demostracion. Tenemos que ver que la condicion de Bessel vale para toda f en H. Supon-gamos que existe g ∈ H tal que

∞∑k=1

|〈g, fk〉|2 > B ‖g‖2

Luego existe un conjunto finito F ⊂ N tal que∞∑k∈F

|〈g, fk〉|2 > B ‖g‖2

Como V es denso en H, esto implica que existe h ∈ V tal que∞∑k∈F

|〈h, fk〉|2 > B ‖h‖2,

pero esto contradice la hipotesis. ♣

5. Bases y sistemas biortogonales en H

Ahora volveremos a algunos de los conceptos definidos en la Seccion 3. El primer lema enrealidad vale en espacios de Banach, pero para nuestros proposito nos alcanza con los Hilbert.Notemos que como H∗ = H, si una sucesion {fk}∞k=1 en H tiene una sucesion biortogonal{gk}∞k=1, luego {fk}∞k=1 es tambien una sucesion en H.

Lema 5.0.28. Sea {fk}∞k=1 una sucesion en H. Luego

1. {fk}∞k=1 tiene una sucesion biortogonal {gk}∞k=1 si y solo si {fk}∞k=1 es minimal.

9

2. Si existe una sucesion biortogonal para {fk}∞k=1, esta unıvocamente determinada si ysolo si {fk}∞k=1 es completa en H.

Demostracion. Supongamos que {fk}∞k=1 tiene un sistema biortogonal {gk}∞k=1. Luego paracualquier j ∈ N dado,

〈fj, gj〉 = 1 y 〈fk, gk〉 = 0 para k 6= j.

Luego fj 6∈ span{fk}k 6=j( si estuviera 〈fj, gj〉 seria 0);i.e.; {fk}∞k=1 es minimal. Para la otraimplicacion de (1), asumamos que {fk}∞k=1 es minimal y sea

H0 := span{fk}∞k=1.

Dado j ∈ N sea Pj la proyeccion ortogonal de H en span{fk}k 6=j, y sea Io el operadoridentidad restringido a H0. Luego, (Io − Pj)fj 6= 0), y

〈fj, (I0 − Pj)fj〉 = 〈Pjfj + (I0 − Pj)fj, (I0 − Pj)fj〉 = ‖(I0 − Pj)fj‖2 6= 0

Para k 6= j, claramente 〈fk, (Io − Pj)fj〉 = 0. Definiendo

gj :=(I0−Pj)fj‖(Io−Pj)fj‖2 , j ∈ N

obtenemos que {gk}∞k=1 es un sistema biortogonal para {fk}∞k=1.Para la prueba de (2), supongamos que {fk}∞k=1 tiene un sistema biortogonal {gk}∞k=1.

Si {fk}∞k=1 no fuera completo, podemos reemplazar {gk}∞k=1 por {gk + hk}∞k=1 para algunhk ∈ H⊥0 \ {0} y de esta forma obtener un nuevo sistema biortogonal para {fk}∞k=1. ♣

Teorema 5.0.29. Si {ek}∞k=1 es una base para un espacio de Hilbert H. Entonces existe unaunica familia {gk}∞k=1 en H para la cual

f =∞∑k=1

〈f, gk〉ek, ∀f ∈ H.

Ademas {gk}∞k=1 es una base para H, y {ek}∞k=1 junto con {gk}∞k=1 forman un sistema bior-togonal.

Demostracion. Sabemos que los funcionales coeficientes {ck}∞k=1 asociados a {ek}∞k=1 soncontinuos. Usando la representacion de Riesz, existe una unica familia {gk}∞k=1 en H tal que

ck(f) = 〈f, gk〉, ∀f ∈ H;

luego

f =∞∑k=1

〈f, gk〉ek, ∀f ∈ H.

♣

La base {gk}∞k=1 que satisface la igualdad del teorema previo es llamada la base dual, ola base biortogonal, asociada a {ek}∞k=1.

Lema 5.0.30. Sea {ek}∞k=1 una base para H y {gk}∞k=1 el sistema biortogonal asociado. Si{ek}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cota B, luego

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1. 1B‖f‖2 ≤

∑∞k=1 |〈f, gk〉|2, ∀f ∈ H.

2. 1B

∑∞k=1 |ck|2 ≤ ‖

∑∞k=1 ckgk‖2 para toda sucesion finita {ck}∞k=1

Donde con sucesion finita nos referimos a aquellas con a lo sumo finitas entradas no nulas.

Demostracion. Sea f ∈ H. Usando que f =∑∞

k=1〈f, gk〉ek y la desigualdad de CauchySchwarz, tenemos que

‖f‖4 = |∞∑k=1

〈f, gk〉〈ek, f〉|2 ≤∞∑k=1

|〈f, gk〉|2∞∑k=1

|〈ek, f〉|2 ≤ B ‖f‖2∞∑k=1

|〈f, gk〉|2.

(1) sale inmediato de esta desigualdad. Para (2), sea {ck}∞k=1 una succesion finita. Usando elsistema biortogonal {ek}∞k=1, {gk}∞k=1 podemos escribir

{ck}∞k=1 =

{〈∞∑k=1

cjgj, ek〉

}∞k=1

y

∞∑k=1

|ck|2 =∞∑k=1

∣∣∣∣∣〈∞∑k=1

cjgj, ek〉

∣∣∣∣∣2

≤ B

∥∥∥∥∥∞∑k=1

cjgj

∥∥∥∥∥2

.

Notar lo esencial que es que la sucesion {ck}∞k=1 sea finita. Pues la ultima serie podrıa noconverger. ♣

6. Bases ortonormales

Tenemos todo para introducir uno de los temas centrales, las bases ortonormales en es-pacios de Hilbert. Ellas son la contraparte abstracta ( infinito - dimensional) de las basescanonicas en Cn, y tienen propiedades similares. Estas bases se usan mucho tanto en ma-tematica como en fısica, procesamiento de senales, y muchas otras areas donde uno necesitarepresentar funciones en terminos de una base.

Definicion 6.0.31. Una sucesion {ek}∞k=1 en H es un sistema ortonormal si

〈ek, ej〉 = δk,j.

Una base ortonormal es un sistema ortonormal {ek}∞k=1 que es base para H.

Notar que un sistema ortonormal {ek}∞k=1 es una sucesion de Bessel. En efecto, si {ck}∞k=1 ∈l2(N) y m,n ∈ N, n > m, luego∥∥∥∥∥

n∑k=1

ckek −m∑k=1

ckek

∥∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥∥n∑

k=m+1

ckek

∥∥∥∥∥2

=n∑

k=m+1

|ck|2;

y como hicimos antes, esto prueba que la serie∑∞

k=1 ckek es convergente y ademas

11

∥∥∥∥∥∞∑k=1

ckek

∥∥∥∥∥2

=∞∑k=1

|ck|2.

El siguiente teorema nos da condiciones equivalentes para que un sistema ortonormal seauna base ortonormal.

Teorema 6.0.32. Dado un sistema ortonormal {ek}∞k=1, son equivalentes:

1. {ek}∞k=1 es una base ortonormal.

2. f =∑∞

k=1〈f, ek〉ek, ∀f ∈ H.

3. 〈f, g〉 =∑∞

k=1〈f, ek〉〈ek, g〉, ∀f, g ∈ H.

4.∑∞

k=1 |〈f, ek〉|2 = ‖f‖2, ∀f ∈ H. (Ecuacion de Parseval)

5. span{ek}∞k=1 = H.

6. Si 〈f, ek〉 = 0, ∀k ∈ N, f = 0.

Demostracion. Para la prueba de que (1)⇒ (2), sea f ∈ H. Si {ek}∞k=1 es una bse ortonormal,entonces existen coeficientes {ck}∞k=1 tales que f =

∑∞k=1 ckek. Dado cualquier j ∈ N, tenemos

que 〈f, ej〉 =∑∞

k=1 ckδk,j = cj, lo que muestra (2). (3) es consecuencia inmediata de (2), y(4) es un caso particular de (3) cuando f = g. ♣

Con este teorema (en particular, usando que (1) ⇐⇒(4))y usando un corolario vistocombinados obtenemos el siguiente resultado:

Corolario 6.0.33. Si {ek}∞k=1 es una base ortonormal, luego cada f ∈ H tiene una expansionincondicionalmente convergente

f =∞∑k=1

〈f, ek〉ek.

En particular, la base dual es ella misma.

Teorema 6.0.34. Todo espacio de Hilbert H separable tiene una base ortonormal.

Demostracion. Como H es separable, podemos elegir una sucesion {fk}∞k=1 en H tal quespan{fk}∞k=1 = H. Extrayendo una subsucesion de ser necesario, podemos asumir que paracada n ∈ N, fn+1 6∈ span{fk}nk=1. Aplicando Gram - Schmidt a {fk}∞k=1 tenemos un sistemaortonormal {ek}∞k=1 en H para el cual span{ek}∞k=1 = span{fk}∞k=1 = H ♣

A veces queremos tener una base ortonormal concreta para un espacio de Hilbert dado,mas alla de saber que hay una. El caso mas sencillo es l2(N):

Ejemplo 6.0.35. Sea ek la sucesion en l2(N) cuya k-esima entrada es 1, y el resto 0. Clara-mente {ek}∞k=1 es una base ortonormal para l2(N); se la suele llamar la base ortonormal canonica.Denotaremos usualmente esta base como {δk}∞k=1.

12

Posteriormente consruiremos bases ortonormales para otros espacios de Hilbert, por ejem-plo, L2(−π, π) y L2(R). Las bases ortonormales son ciertamente las mas convenientes parausar porque su base biortogonal es ella misma. Desafortunadamente hay que pagar un pre-cio por esta buena propiedad, puesto que las condiciones sobre {ek}∞k=1 para ser una baseortonormal son muy fuertes, y suele ser imposible construir bases ortonormales satisfacien-do ademas otras condiciones. Notemos tambien que no siempre es buena idea usar Gram- Schmidt para construir una base ortonormal a partir de una base dada: puede sacarnosalgunas propiedades de la base original. Basados en el teorema previo, podemos probar quetodo espacio de Hilbert separable puede ser identificado con l2(N):

Teorema 6.0.36. Todo espacio de Hilbert H separable e infinito dimensional es isometrica-mente isomorfo a l2(N).

Demostracion. Sea {ek}∞k=1 una base ortonormal para H. Ya vimos que∑∞

k=1 ckek es con-vergente para todo {ck}∞k=1 ∈ l2(N). Mas aun, cada f ∈ H tiene una unica expansion concoeficientes en l2(N), a saber, f =

∑〈f, ek〉ek. Tomando la base canonica de l2(N), {δk}∞k=1,

podemos ası definir el operador

U : H → l2(N), U(∑

ckek

)=∑ckδk, {ck}∞k=1 ∈ l2(N).

Luego U manda H a l2(N) de forma biyectiva. Para f ∈ H, f =∑〈f, ek〉ek, tenemos

‖Uf‖2 = ‖∑〈f, ek〉δk‖2 =

∑|〈f, ek〉|2 = ‖f‖2.

Luego U es una isometrıa. ♣

El siguiente teorema caracteriza todas las bases ortonormales para H cuando ya tenemosuna base ortonormal de prepo.

Teorema 6.0.37. Sea {ek}∞k=1 una base ortonormal para H. Luego las bases ortonormalespara H son precisamente los conjuntos {Uek}∞k=1 donde U : H → H es un operador unitario.

Demostracion. Sea {fk}∞k=1 una base ortonormal para H. Definimos el operador

U : H → H, U(∑

ckek

)=∑ckfk, {ck}∞k=1 ∈ l2(N).

Luego U manda a H continua y biyectivamente en sı mismo. Para f, g ∈ H, escribimosf =

∑〈f, ek〉ek y g =

∑〈g, ek〉ek; luego por definicon de U y las equivalencias de ser base

ortonormal,

〈U∗Uf, g〉 = 〈Uf, Ug〉=

⟨∑〈f, ek〉fk,

∑〈g, ek〉fk

⟩=

∑〈f, ek〉〈g, ek〉 = 〈f, g〉;

luego U∗U = I. Como U es suryectivo, tenemos que U es unitario. Reciprocamente si U esun operador unitario dado, luego

〈Uek, Uej〉 = 〈U∗Uek, ej〉 = 〈ek, ej〉 = δk,j.

es decir, {Uek}∞k=1 es un sistema ortonormal. Y como U es suryectivo, es una base. ♣

13

La condicion de la ecuacion de Parseval que vimos en las equivalencias de base ortonormal,tiene una interpretacion en terminos de los llamados marcos. Si no asumimos que {ek}∞k=1

es un sistema ortonormal, implica que {ek}∞k=1 es una base ortonormal si los vectores estannormalizados:

Teorema 6.0.38. Asumamos que {ek}∞k=1 es una sucesion normalizada de vectores en H yque

∞∑k=1

|〈f, ek〉|2 = ‖f‖2, ∀f ∈ H.

Luego, {ek}∞k=1 es una base ortonormal para H.

Demostracion. Por las equivalencias que ya conocemos solo nos hace falta ver que {ek}∞k=1

es un sistema ortogonal. Para cada j ∈ N tenemos que

1 = ‖ej‖2 =∞∑k=1

|〈ej, ek〉|2 = 1 +∑k 6=j

|〈ej, ek〉|2.

Lo que muestra que 〈ej, ek〉 = 0 para k 6= j. ♣

7. La matriz de Gram

Si {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel podemos componer los operadores acotados T y T ∗

y de esta manera obtener el operador acotado

T ∗T : l2(N)→ l2(N), T ∗T{ck}∞k=1 ={⟨ ∞∑

l=1

clfl, fk

⟩}∞k=1

.

Si {ek}∞k=1 es la base canonica ortonormal para l2(N) la j-esima entrada en la matriz derepresentacion de T ∗T es

〈T ∗Tek, ej〉 = 〈Tek, T ej〉 = 〈fk, fj〉.

Identificando T ∗T con su representacion matricial, notamos

T ∗T = {〈fk, fj〉}∞j,k=1.

La matriz {〈fk, fj〉}∞j,k=1 es llamada la matriz de Gram asociada a {fk}∞k=1, y lo visto antesmuestra que define un operador acotado en l2(N) cuando {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel.Uno podrıa en principio considerar la matriz de Gram asociada a cualquier sucesion {fk}∞k=1,pero si queremos definir un operador acotado no podemos eludir la condicion de Bessel:

Lema 7.0.39. Para una sucesion {fk}∞k=1 en H son equivalentes:

1. {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cota de Bessel B.

2. La mtariz de Gram asociada a {fk}∞k=1 define un operador acotado en l2(N), con normamenor o igual que B.

14

Demostracion. La implicacion (1)⇒(2), sale de lo visto al comienzo, junto con el hecho deque ‖T ∗T‖ ≤ ‖T ∗‖‖T‖ = ‖T‖2 = B. Ahora supongamos que vale (2) y sea {ck}∞k=1 ∈ l2(N),la idea va a ser probar la condicion equivalente a ser sucesion de Bessel que nos hablaba dedefinir cierto operador acotado con norma menor o igual que

√B. Luego

∞∑j=1

∣∣∣ ∞∑k=1

〈fk, fj〉ck∣∣∣2 ≤ B2

∞∑k=1

|ck|2.

Dados n,m ∈ Nn > m arbitrarios,∥∥∥ n∑k=1

ckfk −m∑k=1

ckfk

∥∥∥4 =∥∥∥ n∑k=m+1

ckfk

∥∥∥4=

∣∣∣〈 n∑k=m+1

ckfk,

n∑j=m+1

cjfj〉∣∣∣2

=∣∣∣ n∑j=m+1

cj

n∑k=m+1

ck〈fk, fj〉∣∣∣2

≤( n∑j=m+1

|cj|2)( n∑

j=m+1

∣∣∣ n∑k=m+1

ck〈fk, fj〉∣∣∣2),

donde usamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz en la suma sobre j en el ultimo paso. Usan-do la desigualdad de la hipotesis en la sucesion finita (· · · , 0, 0, cm+1, cm+2, · · · , cn, 0, 0, · · · ),,

n∑j=m+1

∣∣∣ n∑k=m+1

ck〈fk, fj〉∣∣∣2 ≤ ∞∑

j=1

∣∣∣ n∑k=m+1

ck〈fk, fj〉∣∣∣2 ≤ B2

n∑j=m+1

|cj|2.

Todo junto nos lleva a que∥∥∥ n∑k=1

ckfk −m∑k=1

ckfk

∥∥∥4 ≤ B2( ∞∑j=m+1

|cj|2)2

.

Ası∑∞

k=1 ckfk es convergente y, repitiendo este argumento,∥∥∥ ∞∑k=1

ckfk

∥∥∥ ≤ √B ( ∞∑j=1

|cj|2) 1

2

Ası concluimos que {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cota B. ♣

El siguiente teorema dara una condicion necesaria para que {fk}∞k=1 sea una sucesion deBessel. Pero el trabajo pesado esta en el lema de Schur que usa y que es el siguiente:

Lema 7.0.40. Sea M = {Mj,k}∞j,k=1 una matriz tal que Mj,k = Mk,j para todo j, k ∈ N ypara la que existe una constante B > 0 tal que

∞∑k=1

|Mj,k| ≤ B, ∀j ∈ N.

Luego M define un operador acotado en l2(N) de norma menor o igual que B.

15

Demostracion. Sea {ck}∞k=1 ∈ l2(N). Luego M{ck}∞k=1 es una sucesion bien definida indexadaen N cuya j-esima coordenada es

∑∞k=1Mj,kck. Sin embargo no es inmediatamente claro que

esta sucesion este en l2(N). Abusando de la notacion es suficiente con mostrar que la flecha

{dk}∞k=1 → 〈{dk}∞k=1,M{ck}∞k=1〉l2(N)es un funcional lineal continuo en l2(N). De hecho, esto muestra que M{ck}∞k=1 pertenece aldual de l2(N) que es l2(N). Ahora para {dk}∞k=1 ∈ l2(N),

∞∑j=1

∣∣∣∣∣∞∑k=1

Mj,kckdj

∣∣∣∣∣ ≤∞∑j=1

∞∑k=1

|Mj,kckdj|

=∞∑j=1

∞∑k=1

(|Mj,k|

12 |ck|

)(|Mj,k|

12 |dj|

)= (∗)

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz,

(∗) ≤

(∞∑j=1

∞∑k=1

|Mj,k||ck|2)1/2( ∞∑

j=1

∞∑k=1

|Mj,k||dj|2)1/2

≤ B( ∞∑k=1

|ck|2)1/2( ∞∑

j=1

|dj|2)1/2

.

Lo que muestra que la flecha era un funcional lineal continuo en l2(N), luego M manda l2(N)en l2(N). Ademas

‖M{ck}∞k=1‖ = sup‖{dk}‖=1

|〈{dk}∞k=1,M{ck}∞k=1〉l2(N)| ≤ B( ∞∑k=1

|ck|2)1/2

,

lo que completa la prueba. ♣

Una aplicacion del lema de Schur nos da una condicion suficiente para que la matriz deGram defina un operador acotado en l2(N), y ası {fk}∞k=1 sea una sucesion de Bessel. Parala prueba nos remitimos al lema anterior al de Schur:

Teorema 7.0.41. Sea {fk}∞k=1 una sucesion en H y supongamos que existe una constanteB > 0 tal que

∞∑k=1

|〈fj, fk〉| ≤ B, ∀j ∈ N.

Luego {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cota de Bessel B.

Comparada con la condicion de Bessel, este ultimo teorema tiene la ventaja de que soloinvolucra el producto interno de elementos en {fk}∞k=1, es decir, una cantidad numerablede de condiciones deben ser verificadas, mientras que en la condicion de Bessel hay quechequearla para toda f ∈ H.

16

8. Bases de Riesz

Ya hemos caracterizado todas las bases ortonormales en terminos de operadores unitariosactuando en una base de partida. Formalmente, la definicion de una base de Riesz aparecedebilitando las condiciones sobre el operador actuando:

Definicion 8.0.42. Una base de Riesz para H es una familia de la forma {Uek}∞k=1, donde{ek}∞k=1 es una base ortonormal para H y U es un operador acotado y biyectivo sobre H.

Uno puede caracterizar las bases de Riesz en terminos de bases satisfaciendo condicionesextra:

Lema 8.0.43. Una sucesion {fk}∞k=1 es una base de Riesz para H si y solo si es una baseincondicional para H y

0 < ınfk‖fk‖ ≤ sup

k‖fk‖ <∞.

Este lema fue probado por Kothe y Lorch y fue redescubierto (vuelto a probar) muchasveces. Las bases duales asociadas a una base de Riesz tambien son bases de Riesz:

Teorema 8.0.44. Si {fk}∞k=1 es una base de Riesz para H, existe una unica sucesion {gk}∞k=1

en H tal que

f =∞∑k=1

〈f, gk〉fk, ∀f ∈ H.

{gk}∞k=1 tambien es una base de Riesz, y {fk}∞k=1 y {gk}∞k=1 son biortogonales. Mas aun laserie converge incondicionalmente para todo f ∈ H.

Demostracion. Por defincion escribimos {fk}∞k=1 = {Uek}∞k=1, donde U es un operador bi-yectivo y acotado y {ek}∞k=1 es una base ortonormal. Sea ahora f ∈ H. Expandiendo U−1fen la base ortonormal {ek}∞k=1 tenemos

U−1 =∞∑k=1

〈U−1f, ek〉ek =∞∑k=1

〈f, (U−1)∗ek〉ek.

Luego, con gk := (U−1)∗ek ,

f = UU−1f =∞∑k=1

〈f, (U−1)∗ek〉Uek =∞∑k=1

〈f, gk〉fk.

Como (U−1)∗ es un operador acotado y biyectivo, {gk}∞k=1 es una base de Riesz por definicion.Para f ∈ H,

∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 =∞∑k=1

|〈f, Uek〉|2 = ‖U∗f‖2 ≤ ‖U∗‖2‖f‖2 = ‖U‖2‖f‖2,

lo que prueba que una base de Riesz es una sucesion de Bessel y por lo tanto la serie convergeincondicionalmente. El resto es todo consecuencia del primer teorema de la seccion de basesy sistemas biortogonales. ♣

17

A {gk}∞k=1 la llamaremos la base de Riesz dual de{fk}∞k=1. Uno puede aplicar el teoremaanterior para hallar el dual de {gk}∞k=1 = {(U−1)∗ek}∞k=1; por la demostracion del teorematendremos que hallar el adjunto del inverso de (U−1)∗ y aplicar el resultado a {ek}∞k=1. Esteprocedimiento nos devuelve {fk}∞k=1 de vuelta. Luego {fk}∞k=1 y {gk}∞k=1 son duales uno delotro y

f =∞∑k=1

〈f, gk〉fk∞∑k=1

〈f, fk〉gk, ∀f ∈ H

Para uso posterior, veremos que una base de Riesz es una sucesion de Bessel y ademassatisface una especie de desigualdad opuesta:

Proposicion 8.0.45. Si {fk}∞k=1 = {Uek}∞k=1 es una base de Riesz para H, existen constantesA,B > 0 tales que

A ‖f‖2 ≤∞∑K=1

|〈f, fk〉|2 ≤ B ‖f‖2, ∀f ∈ H.

Ademas A ≤ 1‖U−1‖2 , y B ≥ ‖U‖2.

Demostracion. Sabemos que una base de Riesz {Uek}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cotaoptima ‖UV ert por lo visto en la demostracion del teorema previo. Lo de la cota inferiorsale de que

‖f‖ = ‖(U∗)−1U∗f‖ ≤ ‖(U∗)−1‖‖U∗f‖ = ‖U−1‖‖U∗f‖.

♣

Una forma estandar de construir un operador es definirlo en una base y luego extenderpor linealidad. El siguiente lema nos da condiciones para que esto sea posible.

Lema 8.0.46. Sea H,K espacios de Hilbert, y sea {hk}∞k=1 una sucesion en H , {gk}∞k=1 unasucesion en K. Supongamos que {gk}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cota B, que {hk}∞k=1

es completa en H, y que existe una constante A > 0 tal que

A∑|ck|2 ≤ ‖

∑ckhk‖2

para toda sucesion finita de escalares {ck}. Luego

U(∑

ckhk

):=∑ckgk ({ck}finito)

define un operador lineal acotado de span{hk}∞k=1 en span{gk}∞k=1; y U tiene una unicaextension a un operador acotado de H en K; la norma de U y la de su extension es a lo

sumo√

BA

Demostracion. Por hipotesis, toda h ∈ span{hk}∞k=1 tiene una unica representacion h =∑ckhk con {ck} finito, luego U esta bien definido y es lineal. Dada una sucesion finita {ck},∥∥∥U(∑ ckhk

)∥∥∥2 =∥∥∥∑ ckgk

∥∥∥2 ≤ B∑|ck|2 ≤

B

A

∥∥∥∑ ckhk

∥∥∥2.18

Luego U esta acotada. Como {hk}∞k=1 es completa, U tiene una extension a un operadoracotado en H.

♣

El siguiente teorema nos da condiciones equivalentes para que {fk}∞k=1 sea una base deRiesz. Notar que la condicion (2) suele ser muy usada a tal punto que algunos autores lapresentan como la definicion de base de Riesz.

Teorema 8.0.47. Para una sucesion {fk}∞k=1 en H, son equivalentes:

1. {fk}∞k=1 es una base de Riesz para H

2. {fk}∞k=1 es completa en H, y existen constantes A,B > 0, tales que para cada sucesionde escalares finita {ck}, tenemos que

A∑|ck|2 ≤ ‖

∑ckfk‖2 ≤ B

∑|ck|2.

3. {fk}∞k=1 es completa y su matriz de Gram {〈fk, fj〉}∞k=1 define un operador acotado einversible en l2(N).

4. {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel completa, y tiene una sucesion biortogonal completa{gk}∞k=1 que es tambien una sucesion de Bessel.

Demostracion.(1) ⇒ (2) : Supongamos que {fk}∞k=1 es una base de Riesz, y lo escribimos en la forma

{Uek}∞k=1 de la definicion. Notar que {fk}∞k=1 es completa. Dada cualquier sucesion finita deescalares {ck},∥∥∥∑ ckfk

∥∥∥2 =∥∥∥U(∑ ckek

)∥∥∥2 ≤ ‖U‖2∥∥∥∑ ckek

∥∥∥2 = ‖U‖2∑|ck|2

y ∥∥∥∑ ckfk

∥∥∥2 =∥∥∥U−1U(∑ ckek

)∥∥∥2 ≤ ‖U−1‖2∥∥∥∑ ckfk

∥∥∥2de lo que deducimos que

1‖U−1‖2

∑|ck|2 ≤

∥∥∥∑ ckfk

∥∥∥2 ≤ ‖U‖2∑ |ck|2.(2) ⇒ (1) : La segunda desigualdad implica que {fk}∞k=1 es una sucesion de Bessel con cotade Bessel B. Elegimos una base ortonormal {ek}∞k=1 para H, y la extendemos usando el lemaanteior, a la funcion Uek := fk a un operador acotado enH. De la misma manera extendemosV fk := ek a un operador acotado en H. Luego UV = V U = I, y ası U es invetible; porlo que {fk}∞k=1 es una base de Riesz. (1) ⇒ (3) : Escrivimos otra vez {fk}∞k=1 = {UEk}∞k=1.Para todo j, k ∈ N,

〈fk, fj〉 = 〈Uek, Uej〉 = 〈U∗Uek, ej〉

19

es decir, la matriz de Gram representa al operador invertible U∗U en la base {ek}∞k=1.(3) ⇒ (2) : Al asumir (3) esto es equivalente a que {fk}∞k=1 sea una sucesion de Bessel

con cota B, lo que equivale a que T : {ck}∞k=1 →∑ckfk sea un operador acotado de l2(N)

en H con norma menor o igual a√B. Luego la segunda desigualdad vale. Sea G el operador

en l2(N) dado por la matriz de Gram {〈fk, fj〉}∞j,k=1. Dada una sucesion {ck}∞k=1 ∈ l2(N), elj-esimo elemento de la imagen de la sucesion G{ck}∞k=1 es

∑∞k=1〈fk, fj〉ck. Luego

〈G{ck}∞k=1, {ck}∞k=1〉 =∞∑j=1

∞∑k=1

〈fk, fj〉ckcj =∥∥∥ ∞∑k=1

ckfk

∥∥∥2.y G resulta positivo. Una cuenta similar muestra que es autoadjunto. Sea V la raız cuadradade G que existe por ser G positivo, y es autoadjunta por ser G autoadjunto. Luego la cuentade arriba nos da ∥∥∥ ∞∑

k=1

ckfk

∥∥∥2 = ‖V {ck}∞k=1‖2 ≥1

‖V −1‖2∞∑k=1

|ck|2.

(1)⇒ (4) : Por ser {fk}∞k=1 una base Riesz existe una unica sucesion {gk}∞k=1 biortogonalque tambien es base de Riesz. Por ser ambas bases de Riesz, son completas, sabemos quevale la condicion de Bessel.

(4)⇒ (1) : Toda f ∈ span{fk}∞k=1 tiene una representacion f =∑ckfk por una sucesion

finita {ck}, y por lo asumido en (4) es unica: Si f =∑ckfk, luego ck = 〈f, gk〉, como ya lo

hemos visto antes. Si {ek}∞k=1 es una base ortonormal para H, podemos definir un operador

V : span{fk}∞k=1 → H, V fk = ek

Si escribimos para f ∈ span{fk}∞k=1 como f =∑〈f, gk〉fk, y siendo C una cota de Bessel

para {gk}∞k=1 tenemos

‖V f‖2 = ‖∑〈f, gk〉ek‖2 =

∑|〈f, gk〉|2 ≤ C‖f‖2.

Por la completitud de {fk}∞k=1, V tiene una extension a un operador acotado en H. Comolo que asumimos en (4) para {fk}∞k=1, es simetrico en {gk}∞k=1, podemos extender Tgk := eka un operador acotado en H. Consideremos las combinaciones lineales finitas de {fk}∞k=1 y{gk}∞k=1, digamos

f =∑ckfk, g =

∑dkgk

Como {fk}∞k=1 y {gk}∞k=1 son biortogonales tenemos que

〈V f, Tg〉 = 〈∑ckek,

∑dkek〉 =

∑ckdk = 〈f, g〉.

por continuidad y completitud tenemos entonces que 〈V f, Tg〉 = 〈f, g〉 ∀f, g ∈ H. Luegopara todo h ∈ H,

‖h‖2 = 〈h, h〉 = 〈V h, Th〉 ≤ ‖V h‖‖T‖‖h‖..

Luego V es inyectivo y ademas suryectivo: Dado g ∈ H, g =∑∞

k=1〈g, ek〉ek = V (∑∞

k=1〈g, ek〉fk)Como fk = V −1ek, concluimos que {fk}∞k=1 es una base de Riesz. ♣

20

Una sucesion {fk}∞k=1 que satisface las desigualdades del teorema se la llama sucesion de Riesz.Y por el teorema previo, una sucesion de Riesz {fk}∞k=1 es una base de Riesz para span{fk}∞k=1,que es un subespacio de H. Notemos que si las desigualdades se satisfacen para una familia{fk}∞k=1, luego se satisface para cualquier subsucesion de ella. Lo que nos lleva al siguientecorolario:

Corolario 8.0.48. Toda subfamilia de una base de Riesz es una sucesion de Riesz

Si las desigualdades valen para sucesiones finitas {ck}, luego valen para toda {ck}∞k=1 ∈l2(N). Si {fk}∞k=1 es una base de Riesz, los numeros A,B > 0 que las satisfacen se llamancotas de Riesz respectivamente superior e inferior. Claramente no son unicas, y definimoslas cotas de Riesz optimas al mas valor mas grande posible para A y el mas chico posiblepara B. Estas cotas pueden ser caracterizas en terminos de los operadores que aparecieronen la demostracion del teorema previo:

Proposicion 8.0.49. Sea {fk}∞k=1 = {Eek}∞k=1 una base de Riesz para H, y sea G : l2(N)→l2(N) su matriz de Gram. Luego las cotas de Riesz optimas son:

A = 1‖U−1‖2 = 1

‖g−1| y B = ‖U‖2 = ‖G‖.

Demostracion. Las cotas que involucran a U se obtienen del teorema anterior. Ademas

‖G‖ = ‖U∗U‖ = ‖U‖2 y ‖G−1‖ = ‖(U∗U)−1‖ = ‖U−1‖2.

Que la cota optima se alcanza en ‖G‖ lo probamos en el primer lema de la seccion La matrizde Gram. ♣

Si A = B = 1 entonces {fk}∞k=1 es ortonormal:

Proposicion 8.0.50. Si span{fk}∞k=1 = H y∥∥∥∑ ckfk

∥∥∥2 =∑|ck|2

para toda sucesion finita de escalares {ck}. Luego {fk}∞k=1 es una base ortonormal para H.

Demostracion. Por el teorema anterior tenemos que {fk}∞k=1 es una base de Riesz para H,entonces podemos escribirla como {Uek}∞k=1 donde {ek}∞k=1 es una base ortonormal para Hy U es un operador invertible acotado. Luego para toda {ck}∞k=1 ∈ l2(N),∑

|ck|2 =

∥∥∥∥∥∞∑k=1

ckfk

∥∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥∥U(∞∑k=1

ckek

)∥∥∥∥∥2

.

Luego ‖U‖ = ‖U−1‖ = 1; y por un resultado previo tenemos que∞∑k=1

|〈f, fk〉|2 = ‖f‖2, ∀f ∈ H.

Como ‖fk‖ = 1, ∀k ∈ N, deducimos el resultado por la ultima equivalencia de la seccionBases ortonormales. ♣

21

9. Series de Fourier y bases de Gabor

Consideremos ahora bases ortonormales concretas para los espacios de funciones L2(0, 1)y L2(R). Aca vamos a usar otros conjuntos de ındices aparte de los naturales; como vimos enla seccion de sucesiones de Bessel, las sucesiones de Bessel pueden ser ordenadas de cualquiermanera sin alterar la convergencia de las series de expansion relevantes, por lo que podemosaplicar todos los resultados presentados sin inconvenientes. Arranquemos con las series deFourier, dando un pequeno resumen. Las series de Fourier pueden ser asociadas a funcionesen cualquier espacio L2(I), donde I es un intervalo acotado en R. Para nuestro propositosera conveniente considerar funciones en L2(0, 1/b), con b > 0. Como las funciones

ek(x) := b1/2Ekb(x) = b1/2e2πikbc, k ∈ Z

constituyen una base ortonormal para L2(0, 1/b), toda f allı tiene una expansion

f =∑k∈Z

ckek

donde

ck = 〈f, ek〉 = b1/2〈f, Ekb〉 = b1/2∫ 1/b

0f(x)e−2πkbxdx

A la expansion de f en los coeficientes ck se la llama la serie de Fourier de f , y los numeros{ck}k∈Z son los coeficientes de Fourier. A veces es mas conveniente expresar a f ∈ L2(0, 1/b)como combinacion lineal de las funciones e2πikbx en vez de las ek; de esta forma, la expansionde Fourier tiene la forma

f(x) =∑k∈Z

cke2πikbx, donde ck = b

∫ 1/b

0

f(x)e−2πikbxdx.

Para evitar confusiones hablaremos casi siempre de una expasion de Fourier, y espicificaremossi es con respecto a las ek o a las e2πikbx. Notemos que una ventaja de {ek}∞k=1 es que es unabase ortonormal; ademas la expansion no refiere a la variable, lo que evita la confusioncon la convergencia puntual. Es crucial entender el significado de la expansion de Fourierque definimos. En lo que sigue tomaremos b = 1 para conveniencia notacional. Es decir,consideraremos L2(0, 1) con la base ortonormal {ek}∞k=1 donde ek(x) = e2πikx. Ası la serie defourier de f es

f =∑k∈Z

ckek, donde ck =

∫ 1

0

f(x)e−2πikxdx.

Luego el significado de la expansion es que∥∥∥∥∥f −k=n∑k=−n

ckek

∥∥∥∥∥L2(0,1)

=

(∫ 1

0

∣∣∣∣∣f(x)−k=n∑k=−n

cke2πikx

∣∣∣∣∣2

dx

)1/2

→ 0 cuando n→∞.

22

La convergencia en el sentido de L2(0, 1) es muy diferente a la convergencia puntual, por loque no podemos afirmar que f(x) =

∑k∈Z〈f, ek〉ek(x) para x ∈ [0, 1] sin hipotesis extra. La

convergencia puntual de series de Fourier es un tema delicado. Como resultado positivo, laserie de Fourier para una funcion arbitraria en L2(0, 1 = converge puntualmente en casi todopunto. Mas aun, si f es 1-periodica, continua y diferenciable a trozos, luego

f(x) =∑k∈Z

〈f, ek〉ek(x), ∀x ∈ [0, 1].

Si la derivada f ′ inL2(0, 1), luego para todo N ∈ N,∣∣∣∣∣f(x)−∑|k|∈N

〈f, ek〉ek(x)

∣∣∣∣∣ ≤ 1√2π

1√N

(∫ 1

0

|f ′(t)|2dt)1/2

.

Con lo que podemos estimar la cantidad de terminos de la suma parcial de Fourier paraobtener una aproximacion puntual. Ahora sı, volviendo a las series de Fourier en L2(0, 1),enunciamos un lema que es consecuencia inmediata de las funciones {ek}∞k=1 que definimos.

Lema 9.0.51. Sean f, g ∈ L2(0, 1) para algun b > 0, y consideremos la serie de Fourier

f =∑k∈Z

ckek, g =∑k∈Z

dkek,

con ek(x) = b1/2e2πikbx k ∈ Z. Luego

〈f, g〉 =∑k∈Z

ckdk.

Una funcion f que es combinacion lineal de exponenciales,

f(x) =∑cke

2πikx,

es llamado polinomio trigonometrico. Para estos, la serie de Fourier es igual a la funcionmisma. Por la formula de Euler

cos(2πkx) = e2πikx+e−2πikx

2, sin(2πkx) = e2πikx−e−2πikx

2

vemos que cualquier combinacion lineal de estas dos es un polinomio trigonometrico. En elsiguiente ejemplo mostraremos como construir bases ortonormales L2(R) basados en la baseortonormal en ese espacio {e2πikx}k∈Z.

Ejemplo 9.0.52. Sea χ[0,1] la funcion indicadora del intervalo [0, 1]. {e2πikxχ[0,1](x)}k∈Z, esuna base ortonormal para L2(0, 1); por translacion vemos que para cada n ∈ Z el espacioL2(n, n + 1) tiene la base ortonormal {e2πik(x−n)χ[0,1](x − n)}k∈Z = {e2πikxχ[0,1](x − n)}k∈Z.Juntando todo, obtenemos que L2(R) tiene la base ortonormal

{e2πikxχ[0,1](x− n)}k,n∈Z.

23

Notar que todos los elementos de la base consisten en versiones transladadas de χ[0,1] quehan sido moduladas. Para ser mas formales introduciremos los siguientes operadores:

Translacion en a ∈ R, Ta : L2(R)→ L2(R), (Taf)(x) = f(x− a)Modulacion en b ∈ R, Eb : L2(R)→ L2(R), (Ebf)(x) = e2πibxf(x)Dilatacion en a 6= 0, Da : L2(R)→ L2(R), (Daf)(x) = 1√

|a|f(x

a)

En analisis wavelet el operador D1/2 juega un rol importante, por lo que simplementeescribiremos Df(x) := 21/2f(2x).

Usando estos operadores podemos escribir la base como {EkTng}k,n∈Z, donde g = χ[0,1].Las bases del estilo {EkTng}k,n∈Z se las llama bases de Gabor. La estructura de estas baseses muy util para hacer calculos, esto es, su utilidad proviene del hecho de que los elementosde la base aparecen por accion de una familia de operadores, EkTn en nuestro caso, en unasola funcion g.

10. Bases Wavelet

Las bases de Wavelet constituyen una de las clases mas importantes de bases. Dada unafuncion ψ ∈ L2(R) y j, k ∈ Z, sea

ψj,k(x) := 2j/2ψ(2jx− k), x ∈ R.

En terminos de los operadores antes definidos

ψj,k = DjTkψ, j, k ∈ Z.

Si {ψj,k}j,k∈Z es una base ortonormal para L2(R), la funcion ψ se la llama wavelet. El primerejemplo de este tipo de funciones aparecio hace tiempo atras en el estudio sistematico debases wavelet en los ’80.

Ejemplo 10.0.53. La funcion de Haar esta definida por

f(x) =

1 si 0 ≤ x < 1/2

−1 si 1/2 ≤ x < 1

0 cc

Ya en 1910 Haar probo que las funciones {ψj,k}j,k∈Z constituyen una base ortonormal deL2(R) para esta ψ. Para la ortonormalidad uno puede argumentar como sigue. Si conside-ramos ψj,k y ψj,k′ , es decir, elementos con el mismo parametro de dilatacion, luego

〈ψj,k, ψj,k′〉 = 〈DjTkψ,DjTk′ψ〉 = 〈Tkψ, Tk′ψ〉 = δk,k′ .

Antes de seguir, notemos que es facil verificar que TbDa = DaT ba. A su vez esto implica que

en particular TkDj = DjT2jk. Ahora asumamos que j′ 6= j, digamos, j′ > j. Las relaciones

de antes nos dan que

〈ψj,k, ψj′,k′〉 = 〈DjTkψ,Dj′Tk′ψ〉

= 〈T−k′Dj−j′Tkψ, ψ〉= 〈Dj−j′T−k′2j−j′+kψ, ψ〉.

24

La funcion Dj−j′T−k′2j−j′+kψ tiene soporte en el intervalo

I := [2j′−j(−k′2j−j′ + k), 2j

′−j(−k′2j−j′ + k + 1)] = [−k + 2j′−jk,−k′ + 2j

′−j(k + 1)].

de longitud 2j‘−j, que puede tomar valores 2, 4, 8, · · · pues j′ > j. Ahora, el soporte de ψtiene longitud 1, y esta contenido en un intervalo en el cual Dj−j′T−k′2j−j′+kψ es constante;luego

〈ψj′,k′ , ψj,k〉 =∫∞∞

(Dj−j′T−k′2j−j′+kψ

)(x)ψ(x)dx = 0.

Stromberg construyo en 1982 (antes de que empiece la era de los wavelet) bases waveletortonormales {ψj,k}j,k∈Z para el cual ψ tiene decaimiento exponencial y ψ ∈ Ck(R); aca k ∈N es arbitarrio pero fijo. Meyer hallo en 1985 bases wavelet para las cuales ψ ∈ C∞(R).En 1986 Mallat y Meyer introdujeron el analisis multiresolucion como una herramientageneral para construir bases wavelet ortonormales:

Definicion 10.0.54. Un analisis multiresolucion para L2(R) consiste en una sucesion desubespacios cerrados {Vj}j∈Z de L2(R) y una funcion φ ∈ V0, tal que

1. · · ·V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 · · · .

2. ∪jVj = L2(R) y ∩jVj = {0}.

3. f ∈ Vj ⇔ [x→ f(2x)] ∈ Vj+1.

4. f ∈ V0 ⇒ Tkf ∈ V0, ∀k ∈ Z.

5. {Tkφ}k∈Z es una base ortonormal para V0.

Cuando (1) se satisface decimos que los espacios estan anidados, lo cual es una propiedadmuy importante en ,por ejemplo, teorıa de la aproximacion, especialmente, cuando hay unareceta sencilla para moverse de un espacio al otro. Posteriormente la propiedad es garantizadapor (3), porque implica que Vj = DjV0, es decir, que todos los espacios son versiones escaladasde V0. Si queremos aproximar una funcion f ∈ L2(R) via un analısis multiresolucion, elpunto de partida natural es buscar una aproximacion en un cierto espacio Vj. Si ningunelemento aproxima lo suficiente a f , lo buscamos en un espacio con j mas grande. En estemomento solo describiremos como esta herramienta puede ser usada para construir basesortonormales. Supongamos que valen las hipotesis de la definicion. Pra j ∈ Z, sea Wj elcomplemento ortogonal de Vj en Vj+1. Si Qj es la proyeccion ortogonal sobre Wj, tenemosque de (1) y (2) cada f ∈ L2(R) tiene una representacion f =

∑j∈ZQjf , donde Qjf⊥Qj′f

para j 6= j′; ası

L2(R) =⊕j∈Z

Wj.

Los espacios Wj satisfacen la misma relacion de dilatacion que los Vj, es decir,

ψ ∈ W0 ⇔ [x→ ψ(2jx)] ∈ Wj.

25

Para obtener la base ortonormal {ψj,k}j,k∈Z para L2(R) es suficiente encontrar una funcionψ ∈ W0 tal que {ψ(· − k}k∈Z sea una base ortonormal para W0; por las dos propiedadesanteriores esto implica que {ψj,k}j,k∈Z es una base ortonormal para L2(R). Una manera deelegir ψ es como sigue. Primero, la condicion de que φ ∈ V0 ⊂ V1 implica por (3) que

1√2D−1φ ∈ V0.

Como {Tkφ}k∈Z es una base ortonormal para V0, existen coeficientes {ck}k∈Z ∈ l2(Z) talesque

1√2D−1φ =

∑k∈Z

ckTkφ.

Usando la transformada de Fourier y su relacion con los operadores definidos tenemos que1√2Dφ =

∑k∈Z ckE−kφ definiendo ası la funcion 1-periodica H0 :=

∑k∈Z ckE−k, lo cual puede

ser escrito como

φ(2γ) = H0(γ)φ(γ) .

Una eleccion para la funcion ψ ∈ W0 que genere una base wavelet ortonormal para L2(R)esta dada por

ψ(γ) = H0(γ2

+ 12)e−πiγφ(γ

2).

Observar la definicion indirecta de ψ en terminos de la transformada de Fourier. No loveremos en estos momentos pero esta construccion de wavelets es tıpica, ni veremos que laψ definida genera una base ortonormal. Como ψ ∈ W0 ⊂ V1, existen coeficientes {ck}k∈Z ∈l2(Z) tales que

ψ =∑k∈Z

ckDTkφ.

Los coeficientes ck pueden ser hallados via la definicion de ψ mediante la manipulacion de loscoeficientes de Fourier de H0. Por ultimo, mecionamos como ejemplo que la base de Haar,puede ser construida usando el analisis multirresolucion definido φ = χ[0,1] y

ψ = 1√2φ1,0 − 1√

2φ1,1.

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