bases teóricas de los robots rígidos actuados por...

Juan Aguaron de Blas

Bases teoricas de los robots rıgidosactuados por cables

Extracto del Trabajo de Fin de MasterDiseno, construccion y control de un robot

hiperredundante rıgido modular

Universidad Politecnica de MadridCentro de Automatica y Robotica

Tutor: Antonio Barrientos Cruz

Madrid, Febrero 2018

Indice general

Resumen III

1. Bases teoricas de los robots rıgidos actuados por cables 11.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Modelos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Fuerza ejercida por el cable: interes de su medida . . . . . . . 6

1.4. Estabilidad y cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5. Conceptos sobre actuacion con cables . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Identificacion del modelo de actuacion del robot . . . . . . . . 29

1.7. Control: en busca de un robot preciso . . . . . . . . . . . . . . 39

A. Diagramas de flujo 51

iii

1. Bases teoricas de los robotsrıgidos actuados por cables

1.1. Introduccion

En este capıtulo se abordaran los fundamentos teoricos de los robots rıgidosaccionados mediante cables, que son el objeto de este trabajo. Si bien enla mayorıa de robots convencionales el tema de interes se encuentra enla cinematica, esto es, las relaciones entre las coordenadas articulares yespaciales del manipulador; en este tipo de robots tambien es necesario ex-plicar cual es la relacion entre las longitudes de los cables y las coordenadasarticulares. Es decir, el sistema de actuacion.

A lo largo de las siguientes paginas se explicaran distintos conceptos querespalden las decisiones tomadas en la fase de diseno mecanico del proto-tipo final, siempre desde una perspectiva generica que pueda aplicarse acualquier tipo de robot rıgido actuado mediante cables.

Primero se presentaran unos modelos geometricos que se usaran en lasexplicaciones de este capıtulo. Aunque no guarden relacion aparente con losprototipos reales, los conceptos relevantes son completamente extrapolablesde unos a otros. A continuacion, se hablara brevemente de la segundavariable de interes al controlar la longitud de un cable: la fuerza que ejerce.Tambien se proporcionaran un par de tecnicas orientadas a su medida.

La siguiente seccion versara sobre la interesante cuestion del numero deactuadores: mientras que en un robot clasico es necesario un unico actuadorpor cada grado de libertad, en los robots accionados mediante cables estaproporcion es mas desfavorable. Se tratara de explicar por que sucedeesto, y se presentara una metodologıa general para comprobar si se puede

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1. Bases teoricas de los robots rıgidos actuados por cables

lograr que un manipulador concreto se comporte de forma rıgida medianteun conjunto de cables determinado. Despues, se dedicaran unas cuantaspaginas a estudiar como se entrelazan los conceptos de las dos anterioressecciones de cara a lograr que el robot adopte las configuraciones articularesdeseadas.

A continuacion se se presentaran diversas propuestas para obtener unmodelo preciso de actuacion, de modo totalmente generico e independientede las caracterısticas cinematicas o mecanicas del robot. Finalmente, lasultimas paginas del capıtulo se dedicaran al tema del control preciso delrobot: se plantera un regulador LQR en pequena senal con el fin de alcanzarla configuracion articular deseada.

1.2. Modelos geometricos

A lo largo de las proximas paginas se van a explicar dos modelos geometri-cos relativamente sencillos que seran empleados durante todo el capıtulo:son dos modulos de uno y dos grados de libertad. El primero se actuamediante dos cables, y el segundo por medio de tres. En cualquier caso, sonlas versiones bi y tridimensional, respectivamente, del mismo concepto.

En esta seccion asumiremos que son necesarios dos cables para controlarun grado de libertad, o tres para el modelo en tres dimensiones. En unaseccion posterior se justificara esta necesidad.

1.2.1. Modulo de un grado de libertad actuado mediantedos cables

En la Figura 1.1 se representa el modulo objeto de estudio, siendo las varia-bles de interes el angulo θ y las longitudes de cable lA y lB. Asumiendo queen θ = 0 los cables son paralelos a la columna central (es decir, que formanun angulo recto con la base), y que siempre pasan por los puntos PA, PB, setendran las siguientes ecuaciones tomando como origen de coordenadas elextremo inferior izquierdo del modulo, PA:

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lA

lB

R

a

b

c d

θ

PA PB

h

Figura 1.1.: Esquema del modulo plano con angulos y distancias caracterısticos

a = R sin θ

d = R cos θ

(PA, A) = (R, h)− R(cos θ, sin θ) =(

R(1− cos θ), h− R sin θ) (1.1)

obteniendose ası las siguientes relaciones entre longitud de cable y angulogirado:

{lA(θ) = ||R(1− cos θ), h− R sin θ||2lB(θ) = ||R(1− cos θ), h + R sin θ||2

(1.2)

En la Figura 1.2 se ha representado la curva lA(θ), que presenta un compor-tamiento bastante lineal en torno a θ = 0.

1.2.2. Modulo de dos grados de libertad actuado mediantetres cables

La extrapolacion del modulo anterior a tres dimensiones implica la existen-cia de un grado de libertad adicional en la articulacion, que se traduce en

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Figura 1.2.: Curva lA(θ)

una junta universal o cardan (Figura 1.3).

Los puntos A0, B0 y C0 son aquellos por los que los cables pasan en la basedel modulo (equivalentes a PA, PB en el modelo plano de la Seccion 1.2.1).Equivalentemente, se definen los tres puntos A1, B1, C1 correspondientes alos anclajes de los cables en la plataforma superior. Siendo α el giro en el ejex, y β en el y, se pueden calcular las posiciones de los puntos superioresempleando matrices de transformacion homogeneas.

Ası, las longitudes de los cables en funcion de los angulos girados por laarticulacion se hallaran computando las distancias entre el punto de pasoinferior y el de anclaje:

lA(α, β) =||(A0, A1)||2lB(α, β) =||(B0, B1)||2lC(α, β) =||(B0, C1)||2

(1.3)

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Figura 1.3.: Modulo de dos grados de libertad actuado mediante tres cables basado enjunta universal.

En el Anexo ?? se muestra un codigo Matlab que permite obtener de formaanalıtica estas expresiones.

1.2.3. Guiado de los cables a traves del robot

Se han obtenido las ecuaciones que relacionan los angulos girados porlas articulaciones con las longitudes de cable que los hacen posibles. Sinembargo, eso solo resuelve el problema de un unico modulo: por lo general,interesara tener varios modulos concatenados para tener un manipuladorcon mas de uno o dos grados de libertad. Eso conduce a la cuestion decomo influye la configuracion articular del robot en la longitud de los cablesque actuan en una articulacion determinada. En la Figura 1.4 se muestrandos posibilidades.

En la primera, los cables bajarıan por el exterior del robot, y en la segundapasarıan lo mas cerca posible de su columna central, con el fin de simplificarlos calculos. En el primer caso, tendrıamos que lA,3 = f (θ1, θ2, θ3) = f (θ),mientras que en el segundo apenas influirıa el valor del resto de articu-

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q1

q2

q3

lA,3

lB,3q1

q2

q3

lA,3

lB,3

Figura 1.4.: Dos alternativas para el guiado de cable

laciones al discurrir los cables por una lınea de longitud cuasi constante:lA,3 ' f (θ3)

La primera opcion es constructivamente mas sencilla y hace sufrir menosa los cables (puesto que encuentran giros menos bruscos), pero el controlresulta mas complicado ya que para pasar de una configuracion articulara otra hay que variar las longitudes de todos los cables, como se veraen la Seccion 1.5.8. En la segunda ocurre al reves: los cables tendran quedeformarse mas, pero el modelo resultara mas sencillo.

A lo largo del capıtulo se empleara la primera opcion, principalmente porofrecer mayor claridad en los diagramas. En cualquier caso, las tecnicas deanalisis expuestas son perfectamente aplicables al segundo caso.

1.3. Fuerza ejercida por el cable: interes de sumedida

En la seccion anterior se han calculado longitudes de cables en distintasmodulos, pero en todos ellos se ha asumido que el cable describıa una lınearecta entre dos puntos, siendo su longitud el unico factor relevante. Sinembargo, existe otra variable a tener en cuenta: la fuerza con la que se tira

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1.4. Estabilidad y cables

de el.

Un cable siempre debe tener cierta tension, o en caso contrario estara laxo yno aportara rigidez a la estructura (ya que solo puede funcionar a traccion,y nunca a compresion). Esto lleva a plantear la una nueva cuestion: la deque fuerza de traccion es la adecuada. La respuesta natural parece ser queaquella que haga que el angulo θ (o α, β en el caso tridimensional) sea eldeseado.

Sin embargo, existen infinitas parejas de longitudes (lA,i, lB,i) que dan lugara la misma θi: esto es ası debido a que la fuerza ejercida por los cables esotra variable, adicional al angulo (algo que se desarrollara en mas detalleen la Seccion 1.5.5).

En cualquier caso, esta cuestion se abordara de forma exhaustiva en laSeccion 1.5. Por ahora, baste decir que la fuerza ejercida por los cablesjuega un papel importante en el control del robot, y que por ello resultainteresante medirla.

1.3.1. Tipos de medida de fuerza

A lo largo del capıtulo se consideraran dos metodos de medida de fuerza:continuos o discretos. Esta separacion es necesaria debido a que resultamas economico y sencillo de implementar un sensor discreto de fuerza queuno continuo. Ası, en el primer caso la salida del captador sera un valordigital (alto o bajo) segun el valor de la fuerza supere o no cierto umbral;mientras que en el segundo se dispondra de una medida continua de lafuerza dentro de un rango. En la Seccion ?? se presentan algunos disenosque implementan estos conceptos.


En la primera seccion se presentaron los modulos basicos de articulacionesactuadas con cables, y se propuso la hipotesis de que eran necesarios doscables para actuar un grado de libertad, o tres en el caso de una articulacion

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θmin θmax

{ θposibles

θmin θmax

{ θposibles

θ(lA) θmin θmax

{θposibles

θ(lA)θ(lB) θmin θmax

θposible

θ(lA)θ(lB)

a) b) c) d)

Figura 1.5.: Etapas de la acotacion del angulo de giro de un modulo plano.

esferica. A continuacion se justificaran estas suposiciones, y se desarrollaraun marco teorico que permita evaluar bajo que condiciones una estructuraarticulada cualquiera soportada por cables se comporta de forma rıgida.

1.4.1. Demostracion de la necesidad de dos cables paracontrolar un grado de libertad

En la Seccion 1.2.1 se presentaron las ecuaciones que definen las longitudesde los cables (lA, lB) en funcion del angulo θ. Siendo estas expresionesbiyectivas, existiran las funciones recıprocas θ(l):

{lA(θ) = ||R(1− cos θ), h + R sin θ||2 → θ(lA)

lB(θ) = ||R(1− cos θ), h− R sin θ||2 → θ(lB)(1.4)

Ademas, se considera que el angulo θ esta limitado a un intervalo θ ∈[θmin, θmax]. Resulta evidente que, en ausencia de cables, la articulacionpodrıa girar libremente dentro de su rango de movimiento. Es decir, que elintervalo de angulos posibles serıa θposibles = [θmin, θmax], como se esquema-tiza en la Figura 1.5, a.

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Pero, si se acota lA a un valor determinado, el angulo quedara limitadomediante la restriccion impuesta por lA (Figura 1.5, b):

θposibles = [θmin, θ(lA)] (1.5)

Y si a continuacion se bloqueara lB a un valor geometricamente factible, setendrıa el siguiente intervalo dentro del cual la articulacion podrıa girarlibremente (Figura 1.5, c):

θposibles = [θ(lB), θ(lA)] (1.6)

Variando (lA, lB) serıa posible modificar el rango θposibles. Y, si θ(lA) = θ(lB),solo hay un θ posible: la articulacion queda fijada y el modulo se considerarıgido (Figura 1.5, d).

En resumen: puesto que, por definicion, el intervalo tiene dos extremos,para acotarlo seran necesarios dos cables.

1.4.2. Demostracion de la necesidad de tres cables paracontrolar una junta universal

En la seccion 1.2.2 se presentaron las ecuaciones del modulo basado en unaarticulacion de tipo cardan de dos grados de libertad actuada mediante trescables. En esta se seguira un procedimiento similar al del apartado anteriorpara justificar la necesidad de los tres cables para asegurar la rigidez de laestructura (esto es, que sus dos angulos estan puntualmente acotados).

Para simplificar la explicacion, se han ubicado los anclajes de los tres ca-bles del modo que se ve en la Figura 1.3. De este modo, se logra quela longitud lA no dependa de β (puesto que A1 esta contenido en el ejede rotacion de β). Ası, de acuerdo con la Figura, se tendrıan las longitu-des lA(α), lB(α, β) y lC(α, β). Se asumira que existen las funciones inversasα(lA, lB, lC) y β(lB, lC).

De nuevo, se parte de la base de que los angulos de giro α, β restringidos a

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un cierto intervalo:

α ∈ [αmin, αmax] (1.7)β ∈ [βmin, βmax] (1.8)

Ahora, si se fija lA a un valor arbitrario, se estara restringiendo el movimientode α, con lo que se tendra la siguiente situacion (en concordancia con lossentidos de giro marcados por la Figura 1.3):

αposibles = [α(lA), αmax], βposibles = [βmin, βmax] (1.9)

Si a continuacion se fija lB (nuevamente, a un valor que este permitido por lageometrıa propia del modulo), los intervalos pasaran a ser los siguientes:

αposibles = [α(lA), α(lB)], βposibles = [β(lB), βmin] (1.10)

Y si, finalmente, se bloquea lC, se habra llegado a una situacion en la que losintervalos estan unicamente definidos por las longitudes de los tres cables(la funcion mın se debe a que prevalecera la restriccion mas fuerte entre lBy lC):

αposibles =[α(lA), min[α(lB), α(lC)]

], βposibles = [β(lB), β(lC)] (1.11)

Es decir, que hasta que no se incorpora un tercer cable no se tiene controlcompleto del rango de posibles (α, β). Si se hace que ese rango sea un unicopunto del espacio [α, β], la configuracion quedara fijada y la estructura secomportara de forma rıgida, esto es, sin que sus articulaciones puedanrotar.

1.4.3. Un modulo de dos grados de libertad actuadomediante tres cables no basado en cardan

En la seccion anterior se ha demostrado que el modulo basado en articu-lacion esferica puede llegar a hacerse estable por medio de tres cables. Sin

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embargo, desde el punto de vista del diseno mecanico una articulacion detipo rotula es mas compleja que una junta de un grado de libertad. Ası queen los proximos parrafos se propondra un modulo alternativo de desarrollopropio que, en conjunto, tambien tiene dos grados de libertad y tres cablesde actuacion, pero sus juntas estan trasladadas entre sı.

El modulo es el representado en la Figura 1.7. Para conocer las longitudesde los cables, serıa preciso calcular las siguientes distancias, expresadasde forma generica en funcion de angulos qi en vez de (α, β) de cara ageneralizarlo para un conjunto de modulos:

lA(q1, q2) = ||A− A′||2(q1, q2) (1.12)

lB(q1, q2) = ||B− B′||2(q1, q2) (1.13)

lC(q1, q2) = ||C− C′||2(q1, q2) (1.14)

En el Anexo ?? se encuentra una funcion escrita en Matlab para obteneresas distancias.

Pero la obtencion de las ecuaciones que rigen las longitudes de los cablesno garantiza que el modulo se comporte de forma rıgida, puesto que nocumple con las restricciones de los modelos analizados anteriormente. Portanto, se hace necesario algun metodo que permita verificar la rigidez de unmodulo concreto.

1.4.4. El problema de estabilidad y un algoritmo pararesolverlo

El problema que se presenta consiste en determinar si un modulo o unconjunto de modulos de articulaciones rotacionales1 actuado por cables esestable en una configuracion determinada definida por las longitudes deesos cables, entendiendo estable como que todas las articulaciones estan

1Cuyos grados de libertad recaigan en los parametros θ de Denavit-Hartenberg, esdecir, que sean puramente rotacionales y no de revolucion

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fijadas, sin posibilidad de movimiento (es decir, que el modulo se comportede forma rıgida).

Se parte de la base de que se dispone de las ecuaciones que relacionan losangulos de giro de las articulaciones con las longitudes de los cables. Deforma generica, para un modulo de dos grados de libertad y tres cables setendrıan las siguientes expresiones:

lA = fA(q1, q2), lB = fB(q1, q2), lC = fC(q1, q2) (1.15)

El algoritmo que se propone para estudiar la estabilidad de una estructurapara un punto articular cualquiera es el siguiente:

Se elige un punto (q1, q2)Se calcula (lA, lB, lC) en funcion de (q1, q2) mediante las ecuacionespropias del moduloSe muestrea (aleatoriamente o no) en un entorno reducido alrededorde (q1, q2). Para cada una de estas nuevas configuraciones articulares(q′1, q′2) se calculan sus correspondientes (l′A, l′B, l′C)Se compara la terna original de longitudes con cada una de las nuevas.Basta con que una de las longitudes l′i sea mayor que su homologaoriginal para que esa configuracion no sea alcanzable desde (q1, q2),ya que para ello el cable deberıa elongarse, lo que no se contempla

Si la proporcion entre puntos alcanzables y muestreados es cercana a cero,se puede considerar que el modulo, para esos (q1, q2) concretos, es estable.En principio, para garantizar la rigidez no deberıa poderse alcanzar ningunpunto en el entorno de la configuracion estudiada, pero puesto que no se co-noce el comportamiento de las funciones li(q) podrıa infiltrarse algun puntoque no sea alcanzable, pero que compute como si lo fuera. En cualquiercaso, la probabilidad de que esto ocurra disminuye conforme se reduce elentorno de muestreo.

Si se recorre todo el espacio articular de la estructura y se aplica el procedi-miento descrito a cada (q1, q2) es posible determinar si el modulo es estableen todo el rango articular, si solo lo es en un subespacio determinado, o sino resulta rıgido en ninguna configuracion.

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Figura 1.6.: Diagrama de estabilidad de junta universal. Los puntos en blanco son comple-tamente estables. A la derecha, el diagrama binario de estabilidad correspon-diente.

En el Anexo ?? se muestra una implementacion del algoritmo en codigoMatlab.

1.4.5. Verificacion del algoritmo con el modulo tipo cardan

Para comprobar que el criterio de estabilidad es adecuado, se evaluara elmodulo basado en rotula esferica ya que se ha demostrado previamente quees estable. Como recordatorio, se trata del representado en la Figura 1.3.

En la Figura 1.6, izquierda se representa el diagrama de estabilidad de laarticulacion universal. Los puntos blancos indican que esa configuracionarticular es completamente estable, y conforme se van oscureciendo dismi-nuyen las garantıas de que el modulo se pueda comportar de forma rıgidaen esa configuracion concreta. Dicho de otro modo, cuanto mas oscuro seencuentra representado un punto, mayor sera el numero de “direcciones”en las que pueda variarse su configuracion articular.

Ası, vemos que para un rango articular muy amplio este modulo es estable,existiendo unos lımites claramente definidos que separan el subespacio

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Figura 1.7.: Modulo de dos grados de libertad no basado en cardan y actuado mediantetres cables.

estable de aquel en el que la rigidez no esta garantizada. Por eso, en laFigura 1.6, derecha se muestra el diagrama binario de estabilidad, que no esotra cosa que el diagrama anterior tras aplicar un umbral proximo a 1: enlos puntos en blanco la estructura sera estable; y en los negros, no. Se tratade un diagrama necesario para el posterior control del modulo, pues deberatenerse en cuenta que la configuracion articular no traspase la frontera quesepara la zona estable de la inestable.

1.4.6. Estabilidad de un modulo de dos grados de libertadtrasladados actuado mediante tres cables

En la seccion 1.4.3 se presento un modulo de dos grados de libertad actuadomediante tres cables no basado en junta universal.

El conjunto es el representado en la Figura 1.7. Se basa en tres cables: lApermite actuar q1 en un sentido, teniendo para el contrario lB y lC. Ademas,

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1.5. Conceptos sobre actuacion con cables

Figura 1.8.: Diagrama de estabilidad del modulo alternativo. Los puntos en blanco soncompletamente estables. A la derecha, el diagrama binario de estabilidadcorrespondiente.

con estos ultimos cables es posible variar q2. Es decir, que si se recogenlB, lC simultaneamente se produce una variacion de q1 (siempre que lA lopermita); y si se tira de uno ellos mientras el otro se libera (manteniendo lAconstante), se alterara q2.

Por muy prometedor que este modulo pueda parecer, es preciso verificarque sea estable. Para ello se emplea el algoritmo expuesto unos parrafosatras, con el que se llega a un diagrama como el de la Figura 1.8.

En el se aprecia que el modulo no solo es estable dentro de una region, sinoque esta (como se observa en el diagrama binario de estabilidad) es inclusomayor que en la estructura basada en la junta de tipo cardan.


En las secciones anteriores se han desarrollado algunos conceptos de ındoleteorica con el fin de presentar las estructuras geometricos que se emplearana lo largo del trabajo. En este apartado se dara un paso mas, y se sentaran

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las bases necesarias para modelar y controlar un robot compuesto por variosmodulos como los ya expuestos.

Gran parte de las explicaciones se haran en base al modulo de un gradode libertad (como el de la Figura 1.1) actuado mediante dos cables, aunqueson completamente extrapolables al caso tridimensional (dos grados delibertad, tres cables). La razon detras de esta decision es grafica: cuantasmenos variables haya en juego, mas sencillo resulta representarlas.

1.5.1. Definicion de la curva S y de los subespacios J, N

En el caso del modulo plano, las longitudes (lA, lB) para un θ concreto secalcularon con las siguientes expresiones:

{lA(θ) = ||R(1− cos θ), h− R sin θ||2lB(θ) = ||R(1− cos θ), h− R sin θ||2

(1.16)

Sin embargo, a priori los cables podrıan adoptar cualquier valor compren-dido entre sus maximos y sus mınimos, a pesar de no proporcionar unasolucion puntual en θ. Al conjunto de todas las posibles longitudes de cablese le llamara C, y en el estaran contenidos los puntos (lA, lB) que cumplanlas restricciones:

{lA ∈ [lA,min, lA,max]

lB ∈ [lB,min, lB,max](1.17)

No obstante, unicamente resultan de interes aquellos puntos de C queproporcionan una solucion puntual en θ. En la Figura 1.9, izquierda se hanrepresentado los puntos l (longitudes de cable) contenidos en C que quedandefinidos por las ecuaciones del modulo para un rango articular concreto.Esta curva2, a la que se denominara S o curva de soluciones, estara portanto contenida en C.

2Resulta que la curva S es una variedad de tipo 1 (plano) o 2 (3D):http://bit.ly/2pK88eb Estarıa bien la justificacion aquı, del mismo modo que cadauna de las regiones T, W es una variedad de tipo 2 o 3. Anadir a referencias

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Figura 1.9.: Titulo

En la Figura 1.9, derecha se muestra la misma grafica pero en 3D. El ejeadicional, el Z, representa el angulo girado por la articulacion en cada unode los puntos l = (lA, lB) contenidos en S. La proyeccion de los puntos dela curva S(lA, lB, θ) sobre el plano θ = 0 equivaldrıa a la primera grafica.

La curva S es una variedad de dimension uno en el caso actual, pero enel modulo actuado mediante tres cables su dimension serıa dos: se tendrıaentonces una superficie, como se muestra en la Figura 1.10.

En cualquier caso, la curva S separa el espacio de las longitudes de cable Cen 2 subespacios: uno al cual no es posible llegar porque los cables no lopermiten (bajo la hipotesis de solido rıgido), y otro que no proporciona unasolucion puntual para θ (es decir, que el grado de libertad tendra juego). Deeste modo, el espacio C estarıa compuesto por los siguientes elementos:

Curva o superficie de soluciones, S: la formada por los puntos deC que aseguran un θ puntual. Se obtiene a partir de las ecuacionesgeometricas del moduloSubespacio restringido, N: donde las longitudes de cable son demasia-do pequenas, y no ofrecen una solucion realizable. Correspondera allado de S en el que se encuentre el punto l = (lA,min, lB,min, lC,min).Subespacio de juego, J: las longitudes de cable son demasiado grandes,y no proporcionan una solucion unica en θ, sino un rango.

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Figura 1.10.: Superficies S de los dos modulos tridimensionales estudiados. Tan solo serepresentan aquellos puntos para los que la configuracion es estable.

1.5.2. Presentacion del concepto de cable elastico. CurvaV

Todos los razonamientos geometricos realizados hasta el momento se hanhecho asumiendo que un cable no es elastico (es decir, asumiendo que bajotraccion se comporta como un solido rıgido) cuando eso no es cierto: enel mundo real, para el modulo de la seccion anterior serıa posible fijar laarticulacion a un θ concreto, y reducir levemente las longitudes de los cables.Es decir, que (lA, lB) pasen a ser (c · lA, c · lB); de forma proporcional paraque la articulacion siga en θ, y no pase a ser θ + ∆θ3.

Con esto lo que se hace no es sino tirar con mas fuerza de los cables (o,equivalentemente, aumentar su tension), un concepto muy interesante quees necesario explorar. Puesto que estos nuevos puntos no estan contenidos enla curva S, sera preciso reestructurar el espacio C para tenerlos en cuenta.

Lo que se propone es definir un subespacio nuevo en C mediante la divisionde N en dos de menor tamano: uno que seguira siendo considerado noalcanzable, denominandolo N, y otro nuevo que se llamara T. Esta region

3Esto no es cierto, pero con el fin de simplificar la explicacion se tomara como si fueraverdad.

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Semiplanos caracteríscos y curvas de soluciones y tensión máxima

J S

V

NT

S

V

Trayectorias a ángulo constante entre S y V

Figura 1.11.: Particion de C en tres regiones: J, T, V.

T se puede considerar “operativa” en tanto que cualquier conjunto delongitudes que se halle dentro de ese subespacio representa una posiblesolucion puntual de θ. Es decir, no existira juego en la articulacion y seramecanicamente alcanzable.

Idealmente se limitarıa este nuevo subespacio T mediante dos curvas: porun lado S; y por otro, una que marque el lımite elastico de los cables. Sinembargo, tanto por comodidad como por mantener un cierto margen deseguridad en los cables, se fijara para cada punto de la curva S, (lA, lB), unhomologo (β · lA, β · lB) que definira V: la curva (o superficie) lımite inferioro de tension maxima. Con un β arbitrario se obtendrıan unas particionescomo las mostradas en la Figura 1.11, izquierda.

De este modo se formarıa la region o subespacio T (de Tension) entre lacurva de soluciones S y la de tension maxima, V. Para cada punto l ∈ T,cuanto mas se acerque a V, mayor sera la tension a la que estaran sometidoslos cables. O lo que es lo mismo: mayores seran las fuerza con las que setira de ellos.

Evidentemente, solo se garantizara un θ igual al calculado en S si las longi-tudes se hallan sobre la curva de angulo constante correspondiente, comose puede observar en la Figura 1.11, derecha: cada lınea negra representa elconjunto de puntos posibles l contenidos en T que dan como resultado el

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m

lA

lBfB

fA

g

τ

Figura 1.12.: Modulo plano sometido a un par de perturbacion

mismo angulo θ.

1.5.3. Unificacion de medidas de fuerza en una unicavariable

En la seccion anterior se ha supuesto que, para mantener θ constante atraves de la region T, era preciso contraer los cables de forma proporcional(de forma que (lA, lB) pasaran a ser (c · lA, c · lB)). Esto no es necesariamentecierto, puesto que podrıa darse una situacion como la de la Figura 1.12,en la que se tiene en cuenta la gravedad (algo de lo que es difıcil escaparen el mundo real). Modelando mediante la masa m la dinamica del robotdurante un movimiento o el efecto combinado de las masas de los modulossuperiores, es evidente que se produce un par de perturbacion τ que afectaa la articulacion.

En este caso, la suposicion de que las longitudes han de elongarse o retraerseproporcionalmente es claramente falso. Debido al par τ, para mantenerθ constante al retraer lB un cierto valor, la retraccion de lA debera serproporcionalmente mayor. Dicho de otro modo, la fuerza ejercida por elcable superior debera ser mayor que la del inferior. Al prescindir de estaconjetura, sera preciso redefinir las curvas S y V. Puesto que se mide lafuerza ejercida por cada uno de los cables, se presentara un criterio basado

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en ellas.

Anteriormente se ha hablado de un unico valor de fuerza f , a pesar deque cada uno de los cables estara sometido, por lo general, a una tensiondiferente. La explicacion a esta aparente inconsistencia radica en las curvasde angulo constante mostradas en la Figura 1.11, derecha: cada una deestas lıneas, independientemente del tipo de modulo (ya sea uno plano deun grado de libertad, o uno tridimensional con dos articulaciones), es unavariedad de dimension uno que se puede recorrer aumentando la fuerzacon la que se tira del cable. En el caso de la estructura plana, si bien hay dosfuerzas a priori independientes, la restriccion impuesta por el angulo θ haceque queden relacionadas de forma que se trate, en ultima instancia, de unaunica variable.

Puesto que la region de interes es la comprendida entre las curvas S y V,donde la fuerza ejercida por los cables sera siempre mayor que cero, se haoptado por identificar la variable de fuerza de interes como la menor delconjunto: f = mın( fi). Ası, si alguna de las fuerzas medidas es cero, seconsiderara que f = 0⇒ l ∈ J. En cualquier caso, f sera propia del modulo,y no del manipulador en conjunto: un ensamblaje de p modulos dara lugara un numero p de variables f .

De este modo, la curva S representara una frontera o cota de T en tantoque cualquier punto l ∈ T tendra un valor de fuerza f mas proximo a cerocuanto mas cerca de S se encuentre.

Puesto que la curva V fue descrita anteriormente en base a un criterio deelongacion maxima de los cables, ahora sera preciso modificar su definicionde modo que se base en las fuerzas ejercidas por cada cable. Si la superficieS representa una cota mınima de T, V lo hace por arriba. De este modo,tiene sentido definir V como la curva o superficie compuesta por los puntosl en los que una de las medidas de fuerza fi es igual a fmax, siendo elresto superiores a cero. Dicho de otro modo, un punto l ∈ T4 cruzara V(adentrandose en N) en el momento en el que la fuerza ejercida por uno desus cables supere el umbral arbitrario fmax. En resumen:

4Tecnica y formalmente se podrıa pasar de J a N sin atravesar T, pero profundizar enello complica innecesariamente la explicacion. Ası pues, no se considerara esa situacion(que, de todas formas, carece de utilidad practica).

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J

N TW

S

U

V

Figura 1.13.: Particion final de C

S se define geometricamente a partir de las ecuaciones del modulo.Ademas, si se retraen los cables desde un punto l ∈ S aumentara lafuerza que estos ejercen, pasando inmediatamente f a ser superior acero. Cumple pues la funcion de lımite o cota de T.V se cruza en el momento en el que al menos una de las medidas defuerza supera un cierto valor, poniendo de relieve que su funcion espreventiva.

1.5.4. Curva de tension mınima U

Realmente el modulo plano objeto de este estudio no se diferencia tanto deuna articulacion animal, como puede ser un codo humano: ambos tienen ungrado de libertad, y son actuados mediante dos “cables”: en el primero seransirgas; y en el segundo, el bıceps y el trıceps braquial. Por ello no resultasorprendente que en ambos casos resulte mas difıcil actuar externamentela articulacion cuanto mas tensionados se encuentren los cables (ya seanartificiales o naturales). Ası, sera habitualmente deseable en una junta oarticulacion actuadas por cables dotar a estos de cierta tension con el fin derobustecerlas frente a perturbaciones.

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Dentro del marco teorico presentado hasta el momento, esto serıa equiva-lente a decir que, cuanto mas cerca se halle el punto l de la curva V (esdecir, a mayor tension de cable), mayor sera la oposicion que presentara laarticulacion a que un par externo varıe el valor de la misma.

De cara al control, resulta evidente el interes que tiene hacer el modulomas robusto frente a perturbaciones. Ya que la curva S se obtiene de formaanalıtica a partir de un conjunto de ecuaciones que asumen que un cablebajo traccion se comporta como un solido rıgido, la fuerza ejercida porlas sirgas en esos puntos l sera nula sobre el papel, y muy reducida en lapractica.

Con esto en mente, se propone definir una nueva curva en C, la curva detension mınima U, que garantice una mayor robustez del modulo. Estaracontenida en la region T, dividiendola en dos nuevas: una que seguiremosdenominando T situada entre V y U; y otra a la que llamaremos W entre Uy S (Figura 1.13).

Formalmente, U se define de manera muy similar a V: ya que lo queinteresa es que los cables ejerzan una fuerza mınima, se considerara queU esta compuesta por aquellos puntos l para los que su variable de fuerzaunificada sea igual a cierta constante situada entre cero y fmax:

l ∈ U si f |l = fmin = fU (1.18)

Tras la introduccion de esta ultima curva, la distribucion final del subespaciode las posibles longitudes de cable C quedarıa de este modo:

3 curvas caracterısticas (S, U, V)2 grandes regiones donde no hay solucion q, ya sea por tener juego opor resultar inalcanzable (J, N)2 regiones mas pequenas que se encuentran entre las dos anteriores,para las que existe una solucion puntual q (T, W)

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Ecuaciones para las regiones (T,W)

l

τpert

q

f

Figura 1.14.: Diagrama de entradas y salidas de un modulo generico

1.5.5. Necesidad de la medida de fuerzas

Podrıa existir cierta confusion ante el metodo seguido hasta ahora, quesupone que es preciso medir para cada cable tanto su longitud li comola fuerza que ejerce, fi. Especialmente porque, a simple vista, parecenconceptos equivalentes: tirar con mas fuerza de un cable equivale a reducirsu longitud, y viceversa. Esto sucede si se confunden variables de actuacion(longitudes de los cables l) y variables controladas (fuerza ejercida por loscables f , valores articulares q).

Ante la tentadora idea de conocer la tension de los cables –o, equivalente-mente, la fuerza ejercida por ellos- a partir de sus longitudes, o directamenteprescindir de esa informacion, solo cabe presentar un ejemplo disuasorio:es cuanto menos arriesgado pretender estimar la velocidad de un cochemidiendo unicamente cuanto se pisa el acelerador.

En cualquier caso, se tendrıa un sistema que, dentro de las regiones T, W;puede esquematizarse como en la Figura 1.14. Para el modulo tridimensionalhabrıa tres variables a controlar: dos angulos (q1, q2), y la fuerza ejercidapor los cables ( f ). Como ya se explico en una seccion anterior, es posiblealcanzar la misma configuracion articular con distintos valores de f , lo quela convierte en otra variable mas. Por consiguiente, para conocer el estadodel sistema en su totalidad sera preciso medir o estimar las tres variables.

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f

AvanceA B

J W T

S U V

f

JW

T

NV

U

S

fmax

fmin

Figura 1.15.: Trayectoria entre dos puntos en C. Niveles de f

1.5.6. Ubicacion de l en C en funcion del valor de f

Como se ha visto, es posible definir las distintas regiones en que se encuentradividido el espacio C a partir de la medida de las fuerzas ejercidas por cadacable, unificadas dentro de la variable f . En esta seccion servira de ejemplopara ver como se puede emplear esta informacion para discernir en quesubespacio en concreto se encuentra un punto l determinado.

En la Figura 1.15, izquierda se presenta el mapa del espacio C con dos puntosA, B correspondientes a dos conjuntos de longitudes: uno de partida ( ¯lA)y otro de llegada ( ¯lB). Haciendo que las longitudes de los cables describanuna trayectoria a traves del espacio C entre A y B como la representada pormedio de la lınea roja, se encontrarıa una situacion como la esquematizadaen la Figura 1.15, centro desde el punto de vista de f .

En esta situacion, se partirıa desde la region J con un valor de f nulo, quese mantendrıa en cero hasta cruzar la curva S. A partir de ahı, f crecerıa deforma monotona atravesando las regiones W y T hasta superar la curva Vde tension maxima. A partir de ahı no estarıa garantizada la llegada a B:quiza los accionadores no tengan suficiente potencia, y puede que los cablessufran deformacion plastica o, eventualmente, rotura.

En cualquier caso, para todo punto l se tendran los niveles de f mostradosen la Figura 1.15, derecha.

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T,W

J

Nqmax q

fP

P

fv

qminlA

lB

Figura 1.16.: T

1.5.7. Biyeccion entre l y (q, f )

En base a las definiciones de U y V presentadas en las secciones 1.5.3 y1.5.4 se han trazado los lımites de las regiones T y W. Sin embargo, paradelimitarlas de forma completa y rigurosa es preciso anadir dos regionesmas al mapa del subespacio C: los subespacios P.

Estas nuevas regiones tienen en cuenta los casos en los que una configu-racion articular es alcanzable matematicamente, pero no mecanicamente.Dicho de otro modo, tienen su origen en el rango articular de la junta encuestion (que estara definido entre qmin y qmax). Ası, para un modulo de ungrado de libertad quedarıa un esquema de C como el que se muestra en laFigura 1.16, izquierda; en el que las regiones T y W estarıan constrenidaspor J, N y P. Por tanto, el conjunto de las regiones “controlables” en C (T, W)sera una variedad de tipo m (en este caso, m = 2 por haber dos cables).

Esto tiene una consecuencia inmediata de gran interes: entre las regionesT, W y el subespacio controlable en (q, f ) en el que esta asegurada la solu-cion puntual (Figura 1.5.4, derecha) se puede establecer una correspondenciapunto a punto. Es decir, existira una funcion biyectiva que relacione las con-figuraciones alcanzables (q) a una determinada fuerza ( f ) con un conjuntode longitudes concreto (l).

En el caso de un modulo de dos grados de libertad actuado mediante tres

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q1

q2

q3

qi

qi-1

lA,i

lB,i

Figura 1.17.: Manipulador plano compuesto por varios modulos.

cables se tendrıa la misma situacion: existira una funcion biyectiva querelacione cada punto contenido en las regiones T y W (que en este casosupondrıan una variedad de tipo 3) con el subespacio controlable. Para unmodulo generico,

(q, f ) = h(l) (1.19)

l = h−1(q, f ) (1.20)

1.5.8. Complejidad de l en funcion del numero de modulos.Defensa de un enfoque empırico en detrimento deuno analıtico

Hasta ahora se ha centrado el analisis teorico en modulos individuales,tanto de uno como de dos grados de libertad. Pero un robot modular, pordefinicion, estara compuesto por varias de estas estructuras. En la Figura1.17 se ha representado de manera esquematica un manipulador plano de ngrados de libertad, para el que interesa calcular las longitudes de los cablesque accionan la articulacion qi.

De forma generica, las expresiones que proporcionan estas medidas (lA,i, lB,i)tendran una parte relativa al modulo i en el que los cables actuan, y otra

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que tenga en cuenta el camino descrito por el cable a lo largo del robotdesde la base hasta el modulo i− 1. Es decir, unas ecuaciones del tipo:

{lA,i(q1, . . . , qi, fi) = ||R(1− cos qi), h− R sin qi||2 + kA(q1, . . . , qi−1)

lB,i(q1, . . . , qi, fi) = ||R(1− cos qi), h + R sin qi||2 + kB(q1, . . . , qi−1)(1.21)

Siendo kA, kB expresiones que describen la longitud de los cables antes delmodulo i.

Con robots planos sencillos como el del dibujo es posible obtener las ex-presiones analıticas para las longitudes de los cables, pero al pasar a mani-puladores tridimensionales y a modelos cada vez mas no lineales (debidoa factores y requerimientos mecanicos, principalmente) las expresiones secomplican, especialmente los terminos k que acumulan las distancias en lasarticulaciones anteriores.

Si bien es posible llegar a calcular y definir estas funciones, a medida queaumenta i (esto es, cuantos mas grados de libertad haya entre el modulo aestudiar y la base) tambien aumenta la complejidad analıtica, al acumularsenumerosas expresiones de caracter no lineal. Este problema, que podrıaresolverse con un buen modelo matematico, es de caracter secundario apartir de un i elevado, cuando las imprecisiones fısicas del robot talescomo flexibilidad de los cables, deformacion elastica del robot o pequenasdesviaciones entre los puntos de anclaje de los cables teoricos y los reales,se empiezan a acumular y hacen que las longitudes de cable calculadasdifieran notablemente de las reales.

Esto no serıa un problema tan grave de no ser las regiones T, W tan pequenasen relacion a J y N, puesto que es posible que las longitudes l calculadaspara alcanzar una cierta configuracion articular den lugar a una solucionque no se encuentre sobre T o W, sino en uno de los subespacios “a evitar”;ya sea J, donde el grado de libertad tendra juego, o N, que podrıa dar lugara una solucion mecanicamente inalcanzable. Dicho de otro modo, la curva Scalculada sera distinta de la real, algo que se acentuara conforme aumenteel numero de modulos del robot. Por tanto, en esos casos no bastara conmodelar matematicamente el robot: sera preciso identificar el modelo del

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1.6. Identificacion del modelo de actuacion del robot

V SU

lA

lBp0

p3

p2

p1

p0+∆

p0 p1 p2

Figura 1.18.: Visualizacion del algoritmo de busqueda de curvas caracterısticas

sistema real. Sobre eso trata la siguiente seccion.

1.6. Identificacion del modelo de actuacion delrobot

En las secciones anteriores se explico como modelar algunos modulosmecanicos, ası como de la relacion entre sus coordenadas articulares y lalongitud de los cables que los actuan. Sin embargo, se llego a la conclusionde que a partir de cierto numero de grados de libertad un modelado analıticopodrıa carecer de utilidad practica. Si bien existen otras formas de corregirestas fallas, en esta seccion se utilizara este argumento como “excusa” parapresentar un metodo que permita identificar de forma experimental elmodelo de actuacion de cualquier robot rıgido accionado por cables.

En ultima instancia, la meta consiste en obtener un conjunto de expresionesdel tipo l = h(q, f ) que proporcionen las longitudes de cable requeridas paraalcanzar una determinada configuracion articular ejerciendo unas fuerzasconcretas.

1.6.1. Identificacion con medida de angulo y fuerza f

Como punto de partida, se supone un robot de n grados de libertad accio-nado por m cables como los estudiados con anterioridad, y cuyas variables

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relevantes son conocidas en todo momento: longitudes de cable l, fuerzaejercida por ellos f (por ejemplo, mediante un sistema como el de la Seccion??), y configuracion articular q. Ademas, se habran fijado las variables fU yfV a unos valores concretos (para definir en consecuencia la ubicacion delas curvas U, y V dentro del espacio C ⊂ <m).

La cuestion radica en como obtener las curvas S, U y V. Se propone unmetodo para ello que se ilustra mediante la Figura 1.18 para el caso de unmodulo de dos cables y un grado de libertad. Los pasos a seguir son lossiguientes:

1. Elongar ambos cables de modo que lA = lA,max, lB = lB,max, haciendoası l = p0.

2. Reducir uno de los dos cables (por ejemplo, lA) hasta que f 6= 0. Elvalor de l en ese punto, p1, determinara θ de forma inequıvoca. Porconsiguiente, p1 estara ubicado sobre la curva S.

3. Se reduce5 l hasta que f = fU = fmin. Esta condicion marcara el puntop2, que estara situado sobre la curva U.

4. Nuevamente, reduciendo l en modulo, se llegarıa a f = fV = fmax.Por lo tanto, el punto l = p3 se hallara en V.

5. A continuacion, se lleva l hasta el punto contenido en J anterior, p0,reduciendo levemente el valor de lB de modo que el nuevo l sea p0 +∆.

6. Se repiten los pasos 2 a 5 hasta que lB = lB,min.

En el Anexo A, Figura A.1 se muestra el procedimiento descrito mediante undiagrama de flujo. Despues de este, en la Figura A.2, aparece la extrapolaciondel mismo metodo a un modulo tridimensional de dos grados de libertadaccionados mediante tres cables, independientemente de su construccionmecanica.

Si se han almacenado todos los puntos, se habran obtenido unas curvasdiscretas que relacionan unas longitudes de cable l con unos angulos θpara distintas fuerzas ( f = {0, fmin, fmax}). Mediante alguna tecnica deinterpolacion que sera discutida mas adelante se podrıan obtener las curvasreales S, U y V; y por consiguiente construir la funcion l = h(q, f ) a partir

5Por ejemplo, recogiendo cada cable en la misma proporcion; de todos modos no es unaspecto crıtico del metodo ya que el nuevo punto tendra por lo general un valor θ diferente,que seguira aportando informacion igualmente valida.

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V SU V U

lA

lB

lA

lB

Figura 1.19.: Izquierda: curvas empıricas S, U, V. Derecha: curvas U, V.

de los puntos muestreados (Figura 1.19, izquierda).

No obstante, debido a lo impreciso que resulta medir f 6= 0, ademas de lapoca robustez frente a perturbaciones que presentan los puntos contenidossobre la curva S, resulta mas sencillo obtener unicamente las curvas U, V (ydefinir en consecuencia la region T) puesto que su companera S sera de pocautilidad en un robot real. Ademas, teniendo datos de θ para dos valores defuerza distintos sigue siendo posible interpolar en f , de modo que se podrallegar al mismo θ con diferentes valores de tension comprendidos entre 0 yfmax.

Tambien serıa posible, despues de hallar las curvas U, V, encontrar nuevospuntos (l, f , θ) comprendidos entre ellas con el fin aumentar la cantidad deinformacion sobre la region T.

1.6.2. Obtencion de las curvas para un conjunto de variosmodulos

Hasta ahora se ha explicado como obtener las curvas para un unico modulo.Pero, por lo general, interesara identificar el sistema correspondiente a unconjunto de modulos concatenados. En este caso, el procedimiento sera muysimilar al explicado en el apartado anterior.

Como se vio en la seccion 1.5.8, las longitudes relativas al modulo i (li)

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q1

q2

lA,2

lB,2

lA,1 lB,1f1

f2

Figura 1.20.: Conjunto de dos modulos planos

dependen de la configuracion articular de los modulos comprendidos entrela base y el que se estudia6. Por lo tanto sera preciso tener esto en cuenta ala hora de identificar la relacion entre longitudes de cable, fuerza y angulode cierto modulo i con i > 1.

Antes de presentar formalmente un algoritmo generico se propone unejemplo ilustrativo con dos modulos de un grado de libertad ensambladosen serie, como el que se representa en la Figura 1.20. En este caso se tendranlas siguientes variables:

Dos angulos: q1, q2Cuatro longitudes de cable: lA,1, lB,1, lA,2, lB,2Dos fuerzas: f1, f2

Puesto que las longitudes del modulo 2 dependeran de la configuraciondel modulo 1, pero no a ası a la inversa, sera preciso asegurar un angulo q1puntual que defina la longitud de los cables lA,2, lB,2 en el primer modulo.

Se comenzarıa fijando las cuatro longitudes a su valor maximo. A continua-cion, serıa preciso retraer los cables lA,1, lA,2 de modo que q1 quede fijo y f1tenga un valor no nulo. A partir de ahı, con el primer modulo asegurado, seharıa lo propio con el segundo: habrıa que reducir lA,2 y lB,2 hasta llegar aun punto (q2, f2) de interes. En ese momento, se habra obtenido un conjuntode datos (l, q, f ). Resultarıa conveniente aprovechar que q1 esta fijado para

6Pero no ası de las fuerzas f1 . . . fi−1 ejercidas por los cables de dichos modulos, siemprey cuando sean mayores que cero

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continuar obteniendo datos en relacion al segundo modulo, que es lo quese propone con caracter general. No dejarıa de ser una version secuencialdel algoritmo para un modulo, ilustrado mediante la Figura 1.18.

Conforme aumenta el numero de grados de libertad del manipuladorcada vez es preciso tener en cuenta el estado de mas modulos, lo quecomplica considerablemente el algoritmo a implementar. Para gestionar laidentificacion de un numero arbitrario de modulos se ha desarrollado unaversion recursiva del presentado con anterioridad. Su diagrama de flujo semuestra en el Anexo A, Figura A.3.

Es importante senalar que, por la naturaleza del algoritmo, la complejidadcrece de forma exponencial con el numero de grados de libertad (O(k2n),siendo k un parametro proporcional a la densidad del muestreo). Ademas,la funcion se llama a sı misma dos veces por cada ejecucion de la misma.Para simplificar esto ultimo, se propone en el Anexo A, Figura A.4 unaligera modificacion que reduce el numero de llamadas a la propia funcion acosta de un requerimiento adicional, el de conocer la matriz de derivadas(esto es, la jacobiana) de los angulos qi respecto de las longitudes li. Estoserıa resoluble mediante alguna tecnica de optimizacion online, por ejemplo.De este modo se reducirıa la complejidad del algoritmo a O(kn). En cuantoal caso tridimensional, se propone un algoritmo equivalente en el Anexo A,Figura A.5.

Debido a que este tipo de muestreo exhaustivo resulta inabarcable para unnumero de articulaciones suficientemente elevado, sera preciso combinarlocon otros metodos si se desea obtener el modelo de actuacion del manipula-dor. Pero es importante remarcar que todo este proceso de muestreo estadisenado para no necesitar supervision.

1.6.3. Obtencion del modelo inverso de actuacion

Puesto que lo que se persigue es controlar la configuracion articular qdel robot, es preciso conocer cuales son las longitudes de los cables queproporcionan los angulos deseados. Ademas, se ha visto que la fuerzaejercida por los cables es otra variable controlable que esta ıntimamenterelacionada con las anteriores. Como se ha aventurado anteriormente, lo

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Interpolador

ql

f

Figura 1.21.: Vista de bloque de la funcion l = h(q, f )

que se busca es una expresion o funcion que permita obtener cada una delas longitudes como una funcion de las fuerzas a aplicar y de los valoresarticulares. En este apartado se sugerira un metodo para construir estafuncion inversa del modelo de actuacion por cables.

El punto de partida es un conjunto preferiblemente extenso de datos del tipo(q, f , l) que se habran obtenido mediante algun metodo como los descritosanteriormente, por ejemplo.

Propuesta de usar una red neuronal

Existen diversas formas de reconstruir una funcion a partir de una serie depuntos definidos por ella. Por ejemplo, mediante un interpolador estandarmultivariable7. Tambien es posible emplear una red neuronal construidaespecıficamente para aproximar funciones. Sin perdida de generalidad, sepropone emplear una red neuronal por resultar mucho mas flexible a efectosexplicativos. En cualquier caso, se terminarıa con una caja negra como lamostrada en la Figura 1.21.

Esta red se entrenarıa con los datos experimentales obtenidos siguiendo lospasos de la seccion anterior. A partir de ese momento se dispondrıa en lapractica de una funcion l = h(q, f ). Si esta ha sido pobremente entrenada, laspredicciones que realice seran poco acertadas. Sin embargo, como primeraaproximacion al sistema no lineal sera perfectamente valida ya que lainformacion que proporcione situara al manipulador en las inmediacionesde las curvas S, U y V.

En una segunda fase, la red se emplearıa para generar nuevos datos que

7https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/interpn.html

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pasarıan a engrosar el conjunto de entrenamiento obtenido previamentemediante muestreo. De este modo, por medio de entrenamientos sucesivosque tengan en cuenta cada vez mas puntos se podra mejorar la precision dela red neuronal. En el Anexo A, Figura A.6 se muestra un diagrama de flujoesquematico del proceso.

En caso de que el punto (qr, fr) alcanzado al llevar al robot a cierta longitudlpred haga que algun modulo caiga en la region J solo habra que recogerlos cables implicados hasta cruzar la curva U y asegurar la pertenencia a laregion T. En cambio, si las longitudes predichas por la red proporcionanuna configuracion en la zona prohibida N, en el momento en el que unode los cables alcance su fuerza lımite ( f j = fv) sera suficiente con detener laretraccion de ese cable.

Tras seguir todo este proceso se tendra una red neuronal entrenada querepresentara la funcion l = h(q, f ). Como se ha visto, no habra sido ne-cesario ningun tipo de modelado matematico previo: el planteamiento estotalmente independiente de la configuracion, estructura o diseno del robot.En definitiva, el metodo expuesto es un procedimiento generico util paraidentificar el modelo de actuacion para cualquier robot actuado con cablesque encaje en la descripcion presentada a comienzos del capıtulo.

1.6.4. Identificacion con medida discreta de f

Si bien lo ideal es medir la fuerza ejercida por cada uno de los cablesque accionan el robot mediante un captador que proporcione informacioncontinua, el sensor implicado (Figura ??) representa un desarrollo electro-mecanico lo suficientemente complejo como para que resulte interesanteexplorar otras alternativas mas simples, como la descrita en la seccion ??.

Si se ajusta cada interruptor para que conmute a partir de un valor defuerza fk = fu = fmin, resulta inmediato aplicar el metodo presentado en laseccion anterior (si bien simplificado) para obtener las curvas U para cadaarticulacion. Ası, serıa posible obtener datos del tipo (l, q) para unas f convalor igual o superior a fu. Tambien serıa conveniente anadir un segundointerruptor por cable que permita discernir cuando la fuerza es superior afv = fmax para evitar la region N. En el Anexo A, Figura A.7 se muestra

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Pulsador vNo pulsado Pulsado

Pulsador u No pulsado J XPulsado T N

Cuadro 1.1.: Determinacion de la ubicacion de l en C por medio de dos sensores de fuerzadiscretos

el diagrama de flujo correspondiente al algoritmo de muestreo a aplicarpara identificar un modulo de dos grados de libertad accionado por trescables, todos ellos con medida discreta de fuerzas. La version recursiva parala obtencion de puntos de varios modulos del mismo tipo concatenados seencuentra en en el Anexo A, Figura A.8.

En cualquier caso, los resultados se suministrarıan nuevamente a una redneuronal con el fin de que suponga una buena aproximacion a la funcionl = h(q). En la segunda fase de entrenamiento (bucle interno del diagramade flujo del Anexo A, Figura A.6) se procederıa de igual manera que en laanterior seccion, rectificando unicamente los puntos l contenidos en J (sihay un unico FdC), o tanto los que caigan en J como los situados sobre N(si se miden dos umbrales de tension). En este ultimo caso se tendrıa una“tabla de verdad” como la mostrada en el Cuadro 1.1.

1.6.5. Sobre la necesidad de obtener l(q) para cada puntoq al seguir una trayectoria definida entre q0 y q f

Ahora que se cuenta con un procedimiento para obtener las longitudes decable que conllevan una configuracion articular determinada y quiza unasfuerzas concretas, solo resta plantear un metodo para generar trayectoriasdefinidas entre dos coordenadas articulares.

Si se desea llevar al robot desde la configuracion articular q0 hasta q f no esconveniente calcular l0 = h(q0), l f = h(q f ) e interpolar linealmente entrel0 y l f ya que, por lo general, la funcion h(q) sera fuertemente no lineal.

Por ejemplo, para la articulacion plana de dos cables y un grado de libertad

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V

S

V

S

lA

lB

lA

lB

Figura 1.22.: Trayectorias a traves de regiones localmente convexas y concavas, respectiva-mente

estudiada se tienen unas curvas como las de la Figura 1.22, izquierda8; enlas que S, U y V son convexas, por lo que una interpolacion lineal entrel0 y l f discurrira por la region J, provocando que la solucion puntual dela articulacion no solo no este garantizada, sino que pueda llegar a causardanos al robot.

Debido a la concatenacion de varios modulos que se dara en un manipula-dor, es necesario prever que habra zonas en las que las superficies S, U, Vdefinidas en el espacio C ∈ <n, con n elevado, puedan ser concavas. A efec-tos ilustrativos, para el caso del modulo plano serıa una situacion similar ala de la Figura 1.22, derecha. En este caso, los puntos generados mediantela interpolacion lineal entre l0 y l f atravesarıan la region N, poniendo ası enriesgo la integridad mecanica del robot (ya que es la zona donde no estaasegurada la deformacion elastica de los cables, y en cualquier caso puedeque la fuerza ejercida por el sistema de actuacion sea insuficiente).

Unicamente para pequenos desplazamientos en C es sensato realizar inter-polacion lineal entre dos puntos l1 y l2. Ası, la trayectoria estara contenidaen W o en T (entre las curvas S y V) siempre que la distancia ||l2 - l1||2 seamenor o igual que cierto εl, siendo este un valor experimental.

En cualquier caso, esto serıa equivalente a decir que la idoneidad de la

8A modo de recordatorio, en la Figura 1.10 se mostraron las curvas S correspondientesa sendos modulos de dos grados de libertad cada uno.

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V SU T

Wl0

lf

lk

lk+1

lA

lB

Figura 1.23.: Izquierda: trayectoria entre dos configuraciones articulares definidas por l0 yl f . Derecha: detalle donde se aprecia la interpolacion lineal.

interpolacion lineal de longitudes entre dos configuraciones articulares q0 yq f depende de que se cumpla ||q f − q0||∞ ≤ εq. Es decir, que el incrementomaximo del valor de una articulacion sea menor que un cierto angulo εq,tambien experimental.

Ası, sera necesario “trocear” las trayectorias para garantizar el correctofuncionamiento del robot. Para una interpolacion lineal en coordenadasarticulares entre q0 y q f sera preciso obtener nsegmentos tramos:

nsegmentos =

⌈max |q f − q0|

εq

⌉(1.22)

Ası, se obtendran (nsegmentos − 1) puntos entre q0 y q f . Para cada una deestas configuraciones articulares intermedias qk sera preciso hallar medianteel modelo inverso de actuacion la longitud de cable correspondiente, lk. Encaso de tener sensores de fuerza continuos lo idoneo serıa mover el robot alo largo de la curva U por suponer la frontera entre T y W: lk = h(qk, fu).En caso contrario, bastarıa con evaluar en el punto de interes: lk = h(qk).

Siguiendo este metodo se tendrıa una serie de puntos sobre o en las inme-diaciones de la curva U, como se observa en la Figura 1.23, izquierda. Eneste momento sı serıa adecuado realizar la interpolacion lineal entre dichaslongitudes, pues quedarıa garantizada la pertenencia del recorrido a las

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1.7. Control: en busca de un robot preciso

U

l0 ld

lA

lB

Figura 1.24.: Error de prediccion: el punto alcanzado no es el deseado.

regiones T o W (cayendo del lado de T si el segmento de U entre qi) y ¯qi+1es convexo, o del de W si es concavo). En la Figura 1.23, derecha se muestraun detalle de la trayectoria seguida por el robot en el espacio C entre dospuntos intermedios de una trayectoria concreta.


Un robot real, como tal, no se comportara como un solido rıgido ideal: es deprever que se produzcan ligeras variaciones en las longitudes de los cablesdebido al peso de la posible herramienta o efector final, o que la estructurapresente leves deformaciones por distintos motivos. Esto supondra unadesviacion mas o menos acusada del modelo de actuacion (implementadopor medio de la red neuronal) respecto al sistema real.

Ası, es de esperar que al calcular el vector de longitudes necesario parallevar al robot a cierta configuracion articular deseada qd se obtenga un l0(l0 = h(qd)) que se corresponda con otra configuracion, q0. Si la funcion h(q)supone una buena aproximacion al modelo real, la diferencia entre q0 y qddeberıa ser pequena.

Esto quiza no sea grave si qd es un punto intermedio en una trayectoria, peropuede ser crıtico si se trata del final de esta y se requiere cierta precisionen la pose del robot. Ası, sera necesaria alguna tecnica de regulacion para

39


hacer que q0 pase a ser qd.

A lo largo de los siguientes apartados se planteara una tecnica de controlempleando un modulo de dos grados de libertad actuados mediante trescables como base de las explicaciones, que se iran ampliando progresiva-mente. se asumira que no se tiene capacidad de medida continua de fuerzasen aras de una mayor claridad, aunque en la seccion 1.7.3 se presenta undesarrollo semejante para el caso contrario, levemente mas complejo.

1.7.1. Planteamiento y desarrollo de un regulador

Obtencion de q(l) y posterior linealizacion

Para dicho modulo tridimensional se tiene un modelo (representado comoh) que relaciona las coordenadas articulares con las longitudes de cable quelas originan. Esta funcion es vectorial, y es posible dividirla en m funcionesescalares (con m = 3 en este caso):

l =

lAlBlC

= h((q1, q2) =

hA(q1, q2)hB(q1, q2)hC(q1, q2)

(1.23)

Pero lo que interesa controlar son los angulos q, por lo que el modelo deactuacion inverso no sera valido para esta tarea: ahora, se necesita conocercomo varıa la configuracion articular (la variable a controlar) en funcionde las longitudes de cable (las variables de actuacion). Esto es, hace faltael modelo en sı del robot, una funcion q = g(l) equivalente a la recıprocade h (como se explico en la Seccion 1.5.7). Puesto que durante la fase deobtencion del modelo inverso de actuacion, l = h(q), se obtuvo un conjuntode puntos (l, q) que se emplearon para entrenar una red neuronal, lo quese propone ahora es emplear estos mismos datos para acabar con otra redneuronal recıproca de la original. De esta forma se obtendrıa un metodoque, visto como una caja negra, se representa en la Figura 1.25.

Puesto que existen valores de l que no proporcionan un q valido, y se haprescindido en este caso de la medida de fuerzas, la funcion g(l) solo sera

40


Red de control

ql

f

Figura 1.25.: Vista de bloque de la funcion l = h(q, f )

de utilidad en las inmediaciones de la curva U, que en cualquier caso esla zona donde se encontraran los puntos a afinar. Dicho de otro modo,solo se obtendran resultados utiles de la segunda red si se le suministranvalores ubicados en la region en la que esta garantizada la biyectividad.Expandiendo la funcion vectorial se tendrıa lo siguiente:

q =

(q1q2

)=

(g1(lA, lB, lC)g2(lA, lB, lC)

), (1.24)

Cada una de estas funciones gi es no lineal en sus parametros de entrada.Desarrollando en series de Taylor hasta el primer termino para la primera,g1, en torno a una longitud l0:

q1 = g1(l0,A, l0,B, l0,C)+∂g1

∂lA

∣∣∣l0· (lA− l0,A)+

∂g1

∂lB

∣∣∣l0· (lB− l0,B)+

∂g1

∂lC

∣∣∣l0· (lC− l0,C)

(1.25)

Haran falta dos redes: una que nos resuelva la funcion l(q), y otra para q(l).La primera es para aproximar y obtener las longitudes, y la segunda se usapara hallar las derivadas en el control.

Se propone hallar las derivadas parciales mediante incrementos en l, em-pleando la red neuronal recien entrenada, g(l):

41


q1 = g1(l0,A, l0,B, l0,C) +g1(l0,A + ∆l, l0,B, l0,C)− g1(l0,A − ∆l, l0,B, l0,C)

2∆l(lA − l0,A)

(1.26)

+g1(l0,A, l0,B + ∆l, l0,C)− g1(l0,A, l0,B − ∆l, l0,C)

2∆l(lB − l0,B)

(1.27)

+g1(l0,A, l0,B, l0,C + ∆l)− g1(l0,A, l0,B, l0,C − ∆l)

2∆l(lC − l0,C),

(1.28)

En cualquier caso, esta expresion se puede escribir de forma mas compactacomo:

q1 = g1(l0) + k1,A(lA − l0,A) + k1,B(lB − l0,B) + k1,C(lC − l0,C) (1.29)

Repitiendo el mismo proceso, es posible escribir las ecuaciones linealizadasde la siguiente forma, mas compacta:

q(lA, lB, lC) =(

q1q2

)=

(g1(lA, lB, lC)g2(lA, lB, lC)

)=

(q0,1q0,2

)+

(k1,A k1,B k1,Ck2,A k2,B k2,C

)·

lA − l0,AlB − l0,BlC − l0,C

(1.30)

O, reescribiendolo en diferencias,

(q1 − q0,1q2 − q0,2

)=


)·

lA − l0,AlB − l0,BlC − l0,C

(1.31)

Propuesta de dinamica del sistema

Sin embargo, las ecuaciones vectoriales obtenidas no son las de un sistemadinamico, por lo que no se podran aplicar directamente las tecnicas de

42


B

A

Cl Dg∫dt+

x = x =lu-l0

Figura 1.26.: Diagrama de espacio de estados correspondiente a un modulo de dos gradosde libertad actuado mediante tres cables.

control estandar. Por ello, es preciso dotarlas de una dinamica ad hoc. Lomas sencillo consiste en modelar un polo en cada uno de los cables, que encualquier caso existe en la realidad9. Ası, se distinguira entre lu (comandode longitud) y l (valor actual simulado de la longitud). Se establecera unarelacion entre ambas equivalente a un primer orden. En pequena senal, parael primer cable, se tendrıa:

lA − l0,A

lu,A − l0,A(s) =

11 + τs

(1.32)

Y, en consecuencia, las siguientes ecuaciones (notese el operador derivadasobre las variables incrementales):

(lA − l0,A) + τ( ˙lA − l0,A) = (lu,A − l0,A) (1.33)

(lB − l0,B) + τ( ˙lB − l0,B) = (lu,B − l0,B) (1.34)

(lC − l0,C) + τ( ˙lC − l0,C) = (lu,C − l0,C) (1.35)

Integrando estas ecuaciones dinamicas con las obtenidas en el apartadoanterior se puede llegar a un modelo (en pequena senal o diferencias) comoel de la Figura 1.26 cuyas matrices seran:

9Ya que cualquier cambio en el valor de una variable necesita cierto tiempo para tenerlugar.

43


A =

−1/τ 0 00 −1/τ 00 0 −1/τ

, B =

1/τ 0 00 1/τ 00 0 1/τ

(1.36)

(1.37)

C = Cl · Dg =

(1 00 1

)·(

k1,A k1,B k1,Ck2,A k2,B k2,C

)=


), (1.38)

con entrada en pequena senal lu − l0 y salida(

q1 − q0,1q2 − q0,2

).

Control por realimentacion del estado

Una vez obtenido un modelo en espacio de estados del sistema, se plantea uncontrolador LQR generico que de mas importancia a las variables reguladasque a la actuacion. Por ejemplo,

R =

1 0 00 1 00 0 1

, Q =

(1000 0

0 1000

)(1.39)

La matriz de realimentacion K se podrıa obtener mediante el siguientecomando de Matlab:

[K, ∼, ∼] = LQR(A,B,Q,R);

La implementacion y puesta en marcha de este controlador implicarıa lacreacion de un servosistema Referencia a Ogata, capıtulo 8 que llevarıa alrobot a la configuracion deseada. En la Figura 1.27 se ha representadocomo quedarıa el sistema tras anadir la matriz de realimentacion K y la detransformacion T.

En el momento en el que se lo quiera llevar a otra configuracion articular, elregulador se desactivarıa.

44


-K B

A

C∫+++-

Tqref-q0 uref

x =x = q-q0=

xref

lu-l0

Figura 1.27.: Diagrama de bloques del regulador implementado.

1.7.2. Integracion del proceso de regulacion

A modo de aclaracion se ofrece en esta seccion una recopilacion de los pasosa seguir antes, durante y despues de la aplicacion del metodo de controlpropuesto. Las condiciones de partida son las siguientes:

El robot se encuentra en qpSe desea llevarlo a qdTanto qp como qd se suponen en T o en W.Se supone que qp se encuentra cerca de qd, por lo que no sera necesariointerpolar.

Y los pasos a seguir, estos:

1. Obtener mediante la funcion h el vector de longitudes que lleve alrobot a qd: l0 = h(qd)

2. La configuracion alcanzada sera diferente a la prevista. Tras medir losangulos, se verifica que al llevar las longitudes a l0 = (l0,A, l0,B, l0,C) seha llegado a q0

3. Para el punto (q0, l0) se construyen las matrices A, B, C. A continuacion,se calcula K.

4. Se activa el regulador en pequena senal, que suministrara los incre-mentos de cable necesarios para alcanzar qd.

5. Cuando se desee ir a un nuevo punto en coordenadas articulares, elregulador se desactiva y se comienza de nuevo.

45


1.7.3. Planteamiento del sistema con realimentacion defuerza f

En los apartados anteriores se ha supuesto que no se podıa medir la fuerzaejercida por los cables. Ahora se considerara que sı se tiene esta capacidad.El analisis se plantea para el mismo modulo: dos grados de libertad actuadosmediante tres cables, cuyas variables de interes se conforman v:

v =

q1q2f

(1.40)

El proceso a seguir es virtualmente el mismo, pues la funcion vectorial g(l)se puede dividir en tres escalares:

v =

q1q2f

=

g1(lA, lB, lC)g2(lA, lB, lC)g f (lA, lB, lC)

(1.41)

La linealizacion de las funciones tambien pasarıa por aplicar el desarrolloen series de Taylor, obteniendose una matriz de derivadas con una fila mascorrespondiente a f . Expresandolo en diferencias,

v− v0 =

q1 − q0,1q2 − q0,2

f − f0

=

k1,A k1,B k1,Ck2,A k2,B k2,Ck f ,A k f ,B k f ,C

·lA − l0,A

lB − l0,BlC − l0,C

(1.42)

Nuevamente esta matriz de ganancias o derivadas se corresponderıa conla matriz C del sistema “simulado”. En cuanto a A y B, serıan identicas alas de la situacion sin realimentacion de fuerza. De cara al control, la unicadiferencia que quiza se pueda plantear es en la eleccion de la matriz Q:habitualmente interesara ponderar menos el valor correspondiente a f .

46


1.7.4. Ejemplo del sistema regulado con dos modulos

Finalmente, se concluye el capıtulo con una expansion del metodo seguidoen la seccion anterior a dos modulos, cada uno de ellos de dos grados delibertad y accionado mediante tres cables, es decir, un manipulador serie decuatro grados de libertad. Desde aquı resultarıa inmediato generalizar elmetodo a cualquier conjunto formado por p modulos.

Las condiciones de partida son las siguientes:

Los angulos q se numeran empezando desde el mas cercano a la basedel robot.El primer modulo (angulos q1, q2) es actuado por las longitudes(lA, lB, lC). El segundo (q3, q4), por (lD, lE, lF).Las longitudes relativas al segundo modulo no tienen influencia sobreel primero. Como se ha visto, al contrario esto no es ası.

Por tanto, la funcion a linealizar serıa la siguiente:

q =

q1q2q3q4

=

g1(lA, lB, lC)g2(lA, lB, lC)

g3(lA, lB, lC, lD, lE, lF)g4(lA, lB, lC, lD, lE, lF)

(1.43)

Al realizar el desarrollo en series de Taylor hasta el primer termino, como elcaso anterior, sera necesario calcular mas derivadas cuanto mas se aleje elgrado de libertad en cuestion de la base. Por tanto, la matriz de ganancias oderivadas tendra un aspecto “triangular inferior”:

q1 − q0,1q2 − q0,2q3 − q0,3q4 − q0,4

=

k1,A k1,B k1,C 0 0 0k2,A k2,B k2,C 0 0 0k3,A k3,B k3,C k3,D k3,E k3,Fk4,A k4,B k4,C k4,D k4,E k4,F

·

lA − l0,AlB − l0,BlC − l0,ClD − l0,DlE − l0,ElF − l0,F

(1.44)

La matriz de derivadas se corresponde, como en el caso anterior, con lamatriz C del sistema. En cuanto a las matrices A y B, se obtendrıan de

47


forma analoga: tan solo serıa necesario ampliar la dimension de las matricesdiagonales que las generan.

48

Apendices

49

Apendice A.

Diagramas de flujo

Identificación de móduloplano con f continua

lB,tope = lB,máx

lB = lB,tope

lA = lA,máx

Se reduce lA

f>fu?

Se almacena v actual(θ, lA, lB, f)

Se reduce l

f>fv?

lB,tope > lB,min? Fin

lB,tope = lB,tope - ∆l

Se almacena v actual(θ, lA, lB, f)

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Figura A.1.: Diagrama de flujo para la obtencion de puntos de un modulo plano conmedida de fuerza continua

51

Apendice A. Diagramas de flujo

Identificación de módulo3D con f continua

lC = lC,tope

lA = lA,máx

lC,tope = lC,máx


Fin

f>fu?

Sí

No

f>fv?

Sí

No

Se almacena v actual(q1, q2, lA, lB, lC, f)

Se reduce l

Se almacena v actual(q1, q2, lA, lB, lC, f)

Se reduce lA

lB,tope > lB,min?Sí

No

lB = lB,tope

lB,tope = lB,máx

lC,tope = lC,tope - ∆l lC,tope > lC,min?Sí

No

Figura A.2.: Diagrama de flujo para la obtencion de puntos de un modulo de dos gradosde libertad accionado mediante tres cables, con medida de fuerza continua

52

Identificación lenta2D con f continua

lB,i,tope = lB,i,máx

lA,i = lA,i,máx

lB,i,tope = lB,i,tope - ∆l

Fin

fi>fu?

Sí

No

fi>fv?

Sí

No

Se reduce li

Se almacena v actual(q, l, f)

Se reduce lA,i

lB,i,tope>lB,i,min?Sí

No

lB,i = lB,i,tope

i<p?

Sí

No


i<p?

Sí

No



Figura A.3.: Diagrama de flujo recursivo para la obtencion de puntos de un manipuladorplano con medida de fuerza continua

53


Identificación rápida2D con f continua


lA,i = lA,i,máx


Fin

fi>fu?

Sí

No

fi>fv?

Sí

No

Se reduce li con qi cte.


Se reduce lA,i


No

lB,i = lB,i,tope

i<p?

Sí

No

nDatos++

nDatosPrev = nDatos


nDatosPost = nDatos

i<p?

Sí

No

Para todo dato entre nDatosPrev y nDatosPost se hace una copia pero con los valores de fi, li actuales del módulo


nDatos++

Figura A.4.: Diagrama de flujo recursivo para la obtencion de puntos de un manipuladorplano con medida de fuerza continua; version optimizada

54


lC,i = lC,i,tope

lA,i = lA,i,máx

lC,i,tope = lC,i,máx


Fin

fi>fu?

Sí

No

fi>fv?

Sí

No

Se reduce l con q cte.


Se reduce lA,i


No

lB,i = lB,i,tope


lC,i,tope = lC,i,tope - ∆l lC,i,tope>lC,i,min?Sí

No

i<p?

Sí

No

nDatos++

nDatosPrev = nDatos


nDatosPost = nDatos

i<p?

Sí

No

Para todo dato entre nDatosPrev y nDatosPost se hace una copia pero con los valores de fi, li actuales del módulo


nDatos++

Figura A.5.: Diagrama de flujo recursivo para la obtencion de puntos de un manipuladorcompuesto por modulos de dos grados de libertad con medida de fuerzacontinua; version optimizada

55


Obtención del modeloinverso de actuación

Obtención de puntosmediante muestreo recursivo

Entrenamiento dela Red Neuronal

¿Suficienteprecisión?Fin

Elegir aleatoriamenteun punto (qd, fd)

Suministrar (qd, fd) ala red para obtener lpred

Llevar las longitudes de cable del manipulador a lpred

Medir los ángulos y fuerzas obtenidos: (qr, fr)

¿Suficientespuntos?

Añadir el nuevo dato (qr, fr, lpred)al conjunto existente

No

No

Sí

Sí

Figura A.6.: Diagrama de flujo que muestra, a alto nivel, el proceso a seguir para generarnuevos puntos por medio de una red neuronal

56

Identificación de módulo3D con f discreta

lC = lC,tope

lA = lA,máx

lC,tope = lC,máx


f>fu?

Sí

No

Se almacena v actual(q1, q2, lA, lB, lC)

Se reduce lA

lB,tope > lB,min?Sí

No

lB = lB,tope

lB,tope = lB,máx

lC,tope = lC,tope - ∆l lC,tope > lC,min?Sí

No

Fin

lA = lA,máxlB = lB,máxlC = lC,máx

Figura A.7.: Diagrama de flujo para la obtencion de puntos de un modulo de dos gradosde libertad accionado mediante tres cables, con medida de fuerza discreta

57



lC,i = lC,i,tope

lA,i = lA,i,máx

lC,i,tope = lC,i,máx


fi>fu?

Sí

No


Se reduce lA,i


No

lB,i = lB,i,tope


lC,i,tope = lC,i,tope - ∆l lC,i,tope>lC,i,min?Sí

No

i<p?

Sí

No

Fin

lA = lA,máxlB = lB,máxlC = lC,máx


Figura A.8.: Diagrama de flujo recursivo para la obtencion de puntos de un manipuladorcompuesto por modulos de dos grados de libertad con medida de fuerzadiscreta

58

bases teóricas de los robots rígidos actuados por...

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