1

Basic Differentiation Rules and Rates of Change

The Constant RuleThe derivative of a constant function is 0. For any real number, c

The slope of a horizontal line is 0.

The derivative of a constant function is 0.

x

y

2

PROOF:  Let f(x) = c, Then by the limit definition of the derivative,

EX. #1  Using the Constant Rule

Function Derivative

3

The Power RuleThe derivative of the term axn , where a and n are real numbers, is

STEPS:

1.  Multiply the coefficient by the variable's exponent.       If no coefficient is stated – in other words, the       coefficient equals 1– the exponent becomes the      new coefficient.2.  Subtract 1 from the exponent.

EX.#2:  Use the power rule to find f '(x) if:

4

Finding the Slope of a Graph

EX.#3:  Find the slope of the graph of f(x) when:

a.   x = 2

b.   x = 0

c.   x = 2

The slope of a graph at a point is the value of the derivative at that point.

5

Finding an Equation of a Tangent Line

EX.#4:  Find the equation of the tangent line to the             graph of f(x) when:

a.   At x = 2, y '  = 3

b.   At x = 0, y ' = 1

c.   At x = 2 , y ' = 5

The derivative of f  is:

6

Derivatives of the Sine and Cosine Functions

Function Derivative

EX #5:  Derivatives Involving Sines and Cosines

7

RATES OF CHANGEThe derivative can determine slope and can also be used to determine the rate of change of one variable with respect to another.

It is customary to describe the motion of an object moving in a straight line with either a horizontal or vertical line, from some designated origin, to represent the line of motion.  • Movement right or upward is considered positive    direction.• Movement left or downward is considered    negative direction.

Vocabularyrate of changeinstantaneous rate of changedisplacement

derivative}distance traveled

8

Rate =DistanceTime

Average Velocity of an Object over time Interval

Change in distanceChange in time

Vavg =

General Position Function

FORMULAS TO RECOGNIZE

g  gravitational constantv0  initial velocitys0  initial height

Free Fall Constants

English– 32 ft/sec2

Metric– 9.8 m/sec2

Velocity Function

1. Tells how fast an object is moving2. Tells the direction of motion

object moves forward ⇒positiveobject moves backward ⇒ negative

3. Velocity is derivative of position function with respect to time.

9

t1 = 1 t2 

PThe average velocity between t1 and t2 is the slope of the secant line, and the instantaneous velocity at t1 is the slope of the tangent line. 

10

Speed1. absolute value of velocity2. measures the rate of motion, regardless of direction3. nonnegative velocity

Speed = 

Acceleration1. rate at which velocity changes2. measures how quickly the body picks up or loses speed.3. derivative of velocity or second derivative of position     function.

11

EX #6:  A coin is dropped from the top of a building that              is 1362 feet tall.

A.  Write the       position function.

B.  Write the      velocity function.

C.  Find the average velocity on [1, 2].

Vavg =

12

D.  Find instantaneous velocities when

t = 1

t = 2

E.  When will coin reach ground?

F.  What is the velocity at impact?

G.  Convert (f) to miles per hour.

Page 1: Sep 25-7:53 AMPage 2: Sep 26-12:06 PMPage 3: Sep 26-12:19 PMPage 4: Sep 26-12:48 PMPage 5: Sep 26-12:48 PMPage 6: Sep 26-1:03 PMPage 7: Sep 26-4:26 PMPage 8: Sep 26-5:50 PMPage 9: Sep 26-5:10 PMPage 10: Sep 26-5:30 PMPage 11: Sep 26-6:14 PMPage 12: Sep 26-6:19 PM