bayes theorem applications
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Teorema de Bayes en la toma de decisiones, ejemplos.
G. Edgar Mata Ortiz
“The illiterate of the XXI century will not
be those who cannot read and write, but
those who cannot learn, unlearn and
relearn.”Alvin Tofler
Puedes emplear todos los datos cuantitativos que puedas conseguir, pero aún así
debes desconfiar de ellos y aplicar tu inteligencia y buen juicio.
Conocimientos previos
Experimento aleatorio
Espacio muestral
Evento
Probabilidad de un evento
Asignación de probabilidades
Probabilidad condicional
Para una mejor comprensión de este material es
necesario revisar los siguientes conceptos.
Probabilidad Total y Teorema de Bayes
El artículo que contiene dicho
teorema fue publicado después
de la muerte de Bayes y,
probablemente, no imaginó el
impacto tan grande que tendría
en el desarrollo de la teoría de
probabilidades.
Estos conceptos son fundamentales en la toma de
decisiones, especialmente el Teorema de Bayes
porque permite determinar la probabilidad de las
causas a partir de los efectos observados.
Probabilidad Total
Si se conocen las probabilidad condicionales P(S|Ei)
de un suceso S, entonces la probabilidad de
ocurrencia del suceso S, conocida como probabilidad
total, se determina con la siguiente expresión:
Cuando se sabe que el espacio muestral está
formado por un conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
𝑷 𝑺 = 𝑷 𝑬𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬𝟏 + 𝑷 𝑬𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬𝟐 +⋯ ,+𝑷 𝑬𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬𝒏
Teorema de Bayes
Si se conocen las probabilidad de los eventos Ei y las
probabilidades condicionales P(S|Ei), entonces se
puede determinar la probabilidad condicional de que
haya ocurrido uno de los eventos Ei dado que ocurrió
el suceso S mediante la fórmula:
Cuando se sabe que el espacio muestral está
formado por un conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
𝑷 𝑬𝒊|𝑺 =𝑷 𝑬𝒊 × 𝑷 𝑺|𝑬𝒊
𝑷 𝑬𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬𝟏 + 𝑷 𝑬𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬𝟐 +⋯ ,+𝑷 𝑬𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬𝒏
Ejemplo 2
Los médicos saben que una enfermedad es
padecida por el 1% de la población.
Se dispone de una prueba de laboratorio que
tiene una alta sensibilidad, de modo que siempre
detecta la enfermedad. No produce falsos
negativos.
𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
Ejemplo 2
No obstante, su alta sensibilidad provoca un
5% de falsos positivos, es decir, indica que
el paciente padece la enfermedad aún
cuando no es así.
𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
Ejemplo 2
Si un paciente presenta los síntomas y se
somete a la prueba, obteniéndose un
resultado positivo, ¿cuál es la probabilidad
de que efectivamente padezca la enfermedad
en cuestión?
𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (Solución)
Podemos identificar con variables cada
uno de los elementos de este problema:
RP = Resultado positivo en la prueba
Sí = Paciente que efectivamente padece la
enfermedadNo = Paciente que no padece la enfermedad
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (Solución)
RP = Resultado positivo en la prueba
Sí = Paciente que efectivamente padece la
enfermedadNo = Paciente que no padece la enfermedad
Las probabilidades disponibles son:
𝑷 𝑺í = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 𝑷 𝑵𝒐 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝑷 𝑺í 𝑹𝑷 = 𝟏 𝑷 𝑵𝒐 𝑹𝑷 = 𝟎. 𝟎𝟓
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (Solución)
Las probabilidades disponibles son:
𝑷 𝑺í = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 𝑷 𝑵𝒐 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗𝑷 𝑹𝑷 𝑺í = 𝟏 𝑷 𝑹𝑷 𝑵𝒐 = 𝟎. 𝟎𝟓
La fórmula de bayes es:
𝑷 𝑺í 𝑹𝑷 =𝑷(𝑹𝑷|𝑺í) × 𝑷(𝑺í)
𝑷 𝑹𝑷 𝑺í × 𝑷 𝑺í + 𝑷(𝑹𝑷|𝑵𝒐) × 𝑷(𝑵𝒐)
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (Solución)
Las probabilidades disponibles son:
𝑷 𝑺í = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 𝑷 𝑵𝒐 = 𝟎. 𝟗𝟗𝟗
𝑷 𝑹𝑷 𝑺í = 𝟏 𝑷 𝑹𝑷 𝑵𝒐 = 𝟎. 𝟎𝟓
La fórmula de bayes es:
𝑷 𝑺í 𝑹𝑷 =𝑷(𝑹𝑷|𝑺í) × 𝑷(𝑺í)
𝑷 𝑹𝑷 𝑺í × 𝑷 𝑺í + 𝑷(𝑹𝑷|𝑵𝒐) × 𝑷(𝑵𝒐)
Sustituyendo:
𝑷 𝑺í 𝑹𝑷 =𝟏 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟏
𝟏 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟓 × 𝟎. 𝟗𝟗𝟗
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (Solución)
Efectuando operaciones:
𝑷 𝑺í 𝑹𝑷 =𝟏 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟏
𝟏 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟓 × 𝟎. 𝟗𝟗𝟗=
𝟎. 𝟎𝟎𝟏
𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟗𝟓
𝑷 𝑺í 𝑹𝑷 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟔𝟐𝟕
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 2: (Solución)
Interpretación:
𝑷 𝑺í 𝑹𝑷 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟗𝟔𝟐𝟕
La probabilidad de que una persona que
obtuvo un resultado positivo en esa
prueba, realmente padezca la enfermedad
es menor al 2% (1.96%).
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Ejemplo 3
Una empresa requiere
construir una nueva
sección para el
departamento de calidad.
El departamento de staff
realiza una estimación de
costos y un proveedor
genera información
diferente al respecto.
𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
Ejemplo 3
La tabla siguiente contiene la estimación de
costos y sus probabilidades efectuados por
el departamento de staff y un proveedor.
𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
Ejemplo 3
Tabla de datos:
𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (Solución)
En este caso tenemos dos posiciones:
La visión optimista del proveedor
La visión pesimista del departamento Staff
El teorema de Bayes también puede
emplearse en estas circunstancias
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (Solución)
Sustituyendo en la fórmula de Bayes:
𝑷 $𝟓𝑴 𝑸 =𝟎. 𝟔𝟎 × 𝟎. 𝟒𝟎
𝟎. 𝟔𝟎 × 𝟎. 𝟒𝟎 + 𝟎. 𝟐𝟓 × 𝟎. 𝟑𝟎 + 𝟎. 𝟏𝟎 × 𝟎. 𝟐𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟓 × 𝟎. 𝟏𝟎
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (Solución)
Efectuando operaciones:
𝑷 $𝟓𝑴 𝑸 =𝟎. 𝟔𝟎 × 𝟎. 𝟒𝟎
𝟎. 𝟔𝟎 × 𝟎. 𝟒𝟎 + 𝟎. 𝟐𝟓 × 𝟎. 𝟑𝟎 + 𝟎. 𝟏𝟎 × 𝟎. 𝟐𝟎 + 𝟎. 𝟎𝟓 × 𝟎. 𝟏𝟎
𝟎. 𝟐𝟒
𝟎. 𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟕𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟓=𝟎. 𝟐𝟒
𝟎. 𝟑𝟒
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (Solución)
Efectuando operaciones:
𝑷 $𝟓𝑴 𝑸 =𝟎. 𝟐𝟒
𝟎. 𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟕𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟓=𝟎. 𝟐𝟒
𝟎. 𝟑𝟒
𝑷 $𝟓𝑴 𝑸 = 𝟎. 𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Teorema de Bayes Ejemplo 3: (Solución)
Interpretación:
𝑷 $𝟓𝑴 𝑸 = 𝟎. 𝟕𝟎𝟓𝟖𝟖
La probabilidad de que la construcción
cueste $5‘000,000 es mayor al 70%, incluso
la probabilidad del departamento Staff fue
menor, es decir, el resultado es aún menos
optimista.
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔:𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.
Gracias por su atención
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